: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

Chia sẻ: vuotnguc

- Thế nào là phương pháp quy nạp tóan học. - Các bước tiến hành để giải bài tóan quy nạp Giải tóan bằng phương pháp quy nạp. Nguồn maths.vn

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Chủ đề liên quan:

 

Nội dung Text: : DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

Giáo án Giải tích 11 – GV: Bùi Quang Quyền – THPT Hương Thủy – Năm học: 2006 – 2007
1
Tiết:
Ngày sọan: Chương III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TÓAN HỌC


A. Mục đích yêu cầu:
1. Kiến thức: Học sinh nắm vững:
- Thế nào là phương pháp quy nạp tóan học.
- Các bước tiến hành để giải bài tóan quy nạp.
2. Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng:
- Giải tóan bằng phương pháp quy nạp.
B. Lên lớp:
B1. Ổn định và điểm danh:
B2. Bài cũ:
B3. Bài mới: Trọng tâm: Cách giải các bài tóan bằng phương pháp quy nạp.
Phương pháp: Vấn đáp – Minh họa


NỘI DUNG TG PHƯƠNG PHÁP

I. Mở đầu: + GV giới thiệu phương pháp quy nạp tón học.
Trong nhiều bài tóan, đôi lúc ta thường gặp phải chứng minh
những mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n ∈ ¥ .
Để chứng minh những mệnh đề như thế, ta không thể thử
trực tiếp được mà dùng phương pháp chứng minh bằng quy nạp
như sau:

II. Phương pháp chứng minh bằng quy nạp:
Để chứng minh một mệnh đề bằng phương pháp quy nạp
tóan học (hay phương pháp quy nạp), ta làm như sau:


Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 0.
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất
kỳ
n = k ≥ 0 (gọi là giả thiết quy nạp). Ta hãy chứng minh
mệnh đề cũng đúng với n = k+1.
Kết luận: Mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n.
Chú ý. Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự
nhiện n ≥ p thì:
- Trong bước 1 ta phải thử với n = p.
- Trong bước 2, ta giả sử mệnh đề đúng với một số
tự nhiên n = k p.
III. Một số ví dụ:

1. Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có:
n ( n + 1) + Kiểm tra với n nào?
1 + 2 + 3 + ... + n = ( 1) + Cách kiểm tra?
2
+ Cách thiết lập giả thiết quy nạp?
Giải:
+ Khi n = 1, ta có:
VT = 1 

1( 1 + 1)  ⇒ (1) đúng với n = 1
VP = 
2 
+ Giả sử (1) đúng với một số tự nhiên n = k ≥ 1, tức là:
k ( k + 1)
1 + 2 + 3 + ... + k = ( 1')
2
Ta chứng minh (1) cũng đúng khi n = k+1, tức phải chứng minh:
Giáo án Giải tích 11 – GV: Bùi Quang Quyền – THPT Hương Thủy – Năm học: 2006 – 2007
2

NỘI DUNG TG PHƯƠNG PHÁP

( k + 1) ( k + 2 )
1 + 2 + 3 + ... + k + ( k + 1) = ( 1") + Phải chứng minh điều gì?
2
Cm:

k ( k + 1)
VT = ( 1 + 2 + 3 + ... + k ) + ( k + 1) = + ( k + 1) + Dùng giả thiết quy nạp thay vào k số hạng đầu
2 tiên.
 k  ( k + 1) ( k + 2 )
= ( k + 1) .  + 1 = = VP
2  2
Vậy (1) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1
2. Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có:
a n − b n = ( a − b ) ( a n −1 + a n − 2 b + ... + ab n − 2 + b n −1 ) ( 2)
Giải:
+ Khi n = 2:
VT = a 2 − b 2  + Kiểm tra với n = 2.

2
⇒ (2) đúng với n = 2
VP = ( a − b ) ( a + b ) = a − b 
2

+ Giả sử (2) đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k ≥ 2, tức là:
+ Thành lập giả thiết quy nạp?
a − b = ( a − b) ( a
k k k −1
+a k −2
b + ... + ab k−2
+b k −1
) ( 2 ')
Ta chứng minh (2) cũng đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh:
a k +1 − b k +1 = ( a − b ) ( a k + a k −1b + ... + ab k −1 + b k ) ( 2") + Mệnh đề phải chứng minh?
Cm:
a k +1 − b k +1 = a k +1 + a k b − a k b + b k +1 = a k ( a − b ) + b ( a k − b k ) + Hướng dẫn chứng minh.
=a k
( a − b ) + b ( a − b ) ( a + a + ... + ab
k −1 k −2 k −2
+b k −1
)
= ( a − b ) ( a k + a k −1b + ... + ab k −1 + b k ) = VP
Vậy (2) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 2

IV. Bài tập:
Chứng minh rằng với ∀n ∈ ¥ * , ta có:
n ( n + 1) ( 2n + 1)
12 + 22 + 33 + ... + n 2 = (*)
6
Giải:
+ Khi n = 1, ta có:
+ Kiểm tra (*) với n = 1
VT = 1 

1( 1 + 1) ( 2 + 1)  ⇒ (*) đúng với n = 1
VP = = 1
6 
+ Giả sử (*) đúng với một số tự nhiên n = k > 0, tức là: + Thành lập giả thiết quy nạp?
k ( k + 1) ( 2k + 1)
12 + 2 2 + 33 + ... + k 2 =
6
Ta chứng minh (*) cũng đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh: + Cách chứng minh?
( k + 1) ( k + 2 ) ( 2k + 3) + Kết luận.
12 + 22 + 33 + ... + k 2 + ( k 2 + 1) =
6
Cm:
k ( k + 1) ( 2k + 1)
VT = 12 + 22 + 33 + ... + k 2 + ( k + 1) = + ( k + 1)
2 2

6
k ( 2k + 1) + 6 ( k + 1) 2k 2 + 7k + 6
= ( k + 1) . = ( k + 1) . =
6 6
( k + 1) ( k + 2 ) ( 2k + 3)
= = VP
6
B4. Củng cố: Phương pháp chứng minh bằng quy nạp?
B5. Dặn dò: BTVN trang 88
Giáo án Giải tích 11 – GV: Bùi Quang Quyền – THPT Hương Thủy – Năm học: 2006 – 2007
3

Tiết:
Ngày sọan:
DÃY SỐ



C. Mục đích yêu cầu:
1. Kiến thức: Học sinh nắm vững:
- Định nghĩa dãy số.
- Cách cho dãy số, biểu diễn hình học của dãy số.
- Dãy số đơn điệu, dãy số bị chặn.
2. Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng:
- Giải các bài tóan về dãy số như: Tính đơn điệu, tính bị chặn,...
- Rèn luyện kỹ năng tính tóan.
D. Lên lớp:
B1. Ổn định và điểm danh:
B2. Bài cũ:
B3. Bài mới: Trọng tâm: Định nghĩa, dãy đơn điệu, dãy số bị chặn.
Phương pháp: Vấn đáp – Minh họa


I. Định nghĩa: NỘI DUNG TG PHƯƠ
+ Giới thiệu định nghĩa. NG PHÁP
1. Định nghĩa 1: Cho tập hợp M = {0; 1; 2; …; m} + Ví dụ: Cho dãy số hữu hạn 2; 4; 6 ;8 ;10
- Một hàm số u xác định trên M được gọi là một dãy số hữu hạn. Ta có:
- Tập giá trị của dãy này là {u(1); u(2);…; u(m)}. Ký hiệu là: - Dãy số có 5 số hạng.
u ( 1) = u1 ; u ( 2 ) = u 2 ;...; u ( m ) = u m - Số hạng đầu: 2
- Số hạng cuối: 10
- Viết dãy số như sau:
u1 ; u 2 ;...; u m
• u1 là số hạng thứ nhất (số hạng đầu)
• u2 là sồ hạng thứ hai,…
• um là số hạng cuối (số hạng thứ m)
1
2. Định nghĩa 2: Một hàm số u xác định trên tập ¥ * được gọi là + Ví dụ: Cho dãy số (un), với u n = , ta có dạng
một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số) n
- Tập giá trị của dãy số gồm vô số phần tử được ký hiệu là: 1 1 1
khai triển của nó là: 1; ; ;...; ;...
u1 ; u 2 ;...; u n ;... 2 3 n
Dạng này được gọi là dạng khai triển của dãy số.
- u1 là số hạng thứ nhất,…
- un là số hạng tổng quát (số hạng thứ n) của dãy số u.

II. Cách cho dãy số
1. Cho số hạng tổng quát bằng công thức:
+ Thay các giá trị của n vào.
( −1)
n

Ví dụ: Cho dãy số (un), với u n =
n2
Viết dưới dạng khai triển, ta có:
( −1)
n

−1;1; −1;1;...; 2 ;...
n
2. Cho một mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp của nó:
3. Cho bằng phương pháp truy hồi:
Cách cho:


Cho một hay vài số hạng đầu của dãy.
-
Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng
-
thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) trước nó.
 u1 = 1, u 2 = 2

Ví dụ: Cho dãy số 
 u n = u n − 2 + u n −1 ( n ≥ 3)

Ta có:
Giáo án Giải tích 11 – GV: Bùi Quang Quyền – THPT Hương Thủy – Năm học: 2006 – 2007
4



u1 = 1, u 2 = 1, u 3 = u1 + u 2 = NỘI DUNGu 3 = 3, u 5 = u 3 + u 4 = 5
2, u 4 = u 2 + TG PHƯƠNG PHÁP
Dãy số này được gọi là dãy Phibônaci.

III. Biểu diễn hình học của dãy số:
Người ta có thể biểu diễn hình học của dãy số trên trục số. + Cho n vài giá trị để thấy dãy số dần tiến về
điểm 0
1
Ví dụ: Biểu diễn hình học của dãy số   trên trục số (nhưng không bằng 0)
n
u u
u4 u3 u
u u
u
4 3 2 1?
?
O 1 1 1 1
4 3 2
IV. Dãy số tăng, dãy số giảm:
1. Các định nghĩa :
+ Suy ra: Để khảo sát tính đơn điệu của dãy số ta
tính un+1 rồi xét hiệu un+1 – un ( ∀n ∈ ¥ * ). Nếu:
a) ĐN1: ( u2 ) là dãy số tăng ⇔ ∀n ∈ ¥ * : u n < u n +1 • un+1 – un < 0 thì dãy số giảm
b) ĐN2: ( u2 )
là dãy số giảm ⇔ ∀n ∈ ¥ * : u n > u n +1 • un+1 – un > >0 thì dãy số tăng
c) ĐN3: Dãy số tăng và dãy số giảm được gọi chung là dãy
số đơn điệu.
Chú ý:
• Không phải mọi dãy số đều đơn điệu.
• Nếu mọi số hạng của dãy đều dương thì:
u
( u n ) tăng ⇔ ∀n ∈ ¥ *, n +1 > 1
un
u n +1
( un )
giảm ⇔ ∀n ∈ ¥ *, 20 thì đặt q = r2.
⇔ q + Chọn nghiệm cho q như thế nào?
α + α + α q = 7 α + α q + α q = 7q
 2q − 5q + 2 = 0
 q đó, CSN có 4 số hạng có dạng: α , α , α r, α r 3
 Khi
r3 r
α = 2

⇔ 1 ⇔α =q = 2
q = 2 ∨ q = 2 , q ∈ Z

Bài 6: Cho a, b, c theo thứ tự đó là một CSN và a, b, c > 0. CmR ba
1 1
số ( a + b + c ) , ( ab + bc + ca ) , 3 abc cũng lập thành một CSN
3 3
Giải:
1 
( a + b + c ) . 3 abc  1 1 + Học sinh nhắc lại tính chất về số hạng của một
 ⇔ ( a + b + c ) . b = ( a + b + c ) .b
3 3
3 CSN?
3 3
a, b, c CSN ⇔ b 2 = ac   + Để chứng minh ba số lập thành một CSN, ta làm
2 đpcm như thế nào?
1 1  1 
= ( ab + b + bc ) = ( ab + bc + ca ) =  ( ab + bc + ca ) 
2
 3 
3 3  

B4. Củng cố: Cách giải.
B5. Dặn dò: Ôn tập chương III
Giáo án Giải tích 11 – GV: Bùi Quang Quyền – THPT Hương Thủy – Năm học: 2006 – 2007
16




Tiết:
Ngày sọan:
Ôn tập CHƯƠNG III


I. Mục đích yêu cầu:
a. Kiến thức: Học sinh hệ thống hóa các kiến thức đã học trong chương gồm:
Bài 1: Chứng minh rằng với ∀n ∈ ¥ * ,i.ta có:ương n 3 + 11n (1) chia học.
Ph u n = pháp quy nạp tóan
ii. Dãy số.
hết cho 3.
iii. Định nghĩa và tính chất của CSC và CSN.
Giải:
+ Khi n = 1: u1 = 12M ⇒ (1) b. Kỹ i n = 1. Học sinh có kỹ năng:
+ Học sinh nhắc lại các bước giải một bài tóan
3 đúng vớ năng:
i. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.ằng phương pháp phản chứng.
b
+ Giả sử (1) đúng với một số tự nhiên n = k ≥ 1, tức là:
ii. Giải các bài tóan về CSC, CSN. Rèn luyện kỹ năng tính tóan.
u k = k 3 + 11k chia hết cho 3
J. Lên lớp:
Ta chứng minh (1) cũng đúngB1.iỔn định và c làm danh: ứng minh:
vớ n = k+1, tứđiể phải ch
u k +1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) chiaọc sinh nhắc lại các kiến thức trọng tâm đã học trong chươế nào?
B2. Bài cũ: H hết cho 3 + Chứng minh như th ng III.
Cm: B3. Bài mới: Trọng tâm: Định nghĩa, các tính chất của CSC, CSN.
∀n ∈ ¥ *, u k +1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) = k 3 + 3k 2 + 3k +ng pháp: 11ấn đáp – Minh họa
Phươ 1 + 11k + V

⇔ u k +1 = ( k 3 + 11k ) + 3k ( k + 1) + 12 chia hết cho 3
NỘI DUNG TG PHƯƠNG PHÁP
Vậy u n = n + 11n chia hết cho 3, ∀n ∈ ¥ *
3


+ Học sinh nhắc lại tính đơn điệu của dãy số?
Bài 2: Xét tính đơn điệu của dãy số: un = 2n2 – n + 1.
Giải: Với ∀n ∈ ¥ * , ta có:
u n +1 − u n = 2 ( n + 1) − ( n + 1) + 1 − ( 2n 2 − n + 1) = 4n + 1 > 0
2


Vậy dãy số đã cho tăng với ∀n ∈ ¥ * .

1 + Nhắc lại định nghĩa dãy số bị chặn?
Bài 3:Xét tính bị chặn của dãy số (un) với u n = 2sin
n + Tập giá trị của hàm sin?
Giải: Với ∀n ∈ ¥ * , ta có:
1 1
−1 ≤ sin ≤ 1 ⇒ −2 ≤ 2sin ≤ 2
n n
Vậy dãy số đã cho bị chặn trên bởi 2, bị chặn dưới bởi –2 nên bị
chặn.

Bài 4: Tìm số hạng thứ 10 của CSC ÷ 3, 3, ...
Gỉai:
Ta có: d = 3 − 3 + Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát?
Áp dụng công thức un = u1 + (n–1).d. Suy ra: + Tính d = ?

( )
u10 = 3 + 9 3 − 3 = 27 − 8 3

Bài 5: Tính tổng của 21 số hạng đầu của CSC có công sai nguyên,
biết rằng:
Giáo án Giải tích 11 – GV: Bùi Quang Quyền – THPT Hương Thủy – Năm học: 2006 – 2007
17




u1 = 3  u 7 + u u= = 11
 60 + Công thức tính tổng của CSN hữu hạn?
 15
 2 b)  1
a) 
( n ≥ 1) u 4 + uu=+1170 n + 1 − 9n, ∀n ∈ ¥
2
u n +1 = 2u n
  12 n 1 = 10u

Giải:
 u 7 + u15 = 60
 ( u1 + 6d ) + ( u1 + 14d ) = 60
 + Tính u1 và d như thế nào?
 2 ⇔ + Giải hệ với chú ý rằng công sai d là số nguyên.
u 4 + u12 = 1170 ( u1 + 3d ) + ( u1 + 11d ) = 1170
2 2 2

 
u1 = 30 − 10d
 u = 0
⇔ 2 ⇔ 1
5d − 36d + 63 = 0 ( d ∈ ¢ )
 d = 3
n 21
Suy ra : S21 =  u1 + ( n − 1) d  = 0 + ( 21 − 1) .3 = 630
  2  
2

Bài 6: Trong CSN có 9 số hNỘI DUNG = 5, u9 = 1280. Tính tổng S
ạng, biết u1 TG PHƯƠNG PHÁP
các số hạng đó.
Giải: + Công thức tính tổng các số hạng của một CSN
hữu hạn?
u 1280
u n = u1 .q n −1 ⇔ u 9 = u1 .q8 ⇔ q 8 = 9 = = 256 ⇔ q = ±2 + Cách tính công bội q?
u1 5 + Thay vào công thức.
29 − 1
gq = 2 ⇒ S = S9 = 5. = 2555
2 −1
(−2)9 − 1
gq = −2 ⇒ S = S9 = 5. = 855
−2 − 1

Bài 7: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ + Phát biểu tính chất về các số hạng của một
A B C CSN?
để ba số tg , tg , tg lập thành CSC là ba số cosA, cosB, cosC
2 2 2 + Giả thiết suy ra gì?
lập thành CSC. + Để chứng minh ba số cosA, cosB, cosC lập thành
Giải: CSC, ta phải chứng minh như thế nào?
A+C B + Học sinh nhắc lại một số công thức lượng giác:
sin sin • tga + tgb = ?
A B C A C B 2 2
÷ tg , tg , tg ⇔ tg + tg = 2tg ⇔ =2 • cosa.cosb = ?
2 2 2 2 2 2 A C B
cos cos cos
2 2 2 • cos2a – cos2b = ?
B B + Với tam giác ABC, ta chú ý:
cos sin A+C B
⇔ 2 =2 2 ⇔ cos 2 B = 2sin B cos A cos C sin = cos (cung phụ)
A C B 2 2 2 2 2 2
cos cos cos
2 2 2
B B A+C A−C
⇔ cos 2 = sin  cos + cos 
2 2 2 2 
B B  B A−C
⇔ cos 2 = sin .  sin + cos 
2 2  2 2 
B B B A−C A+C A−C
⇔ cos 2 − sin 2 = sin cos ⇔ cos B = cos cos
2 2 2 2 2 2
1
⇔ cos B = ( cos A + cos B ) ⇔ ÷ cos A, cos B, cos C
2
B4. Củng cố: Cách giải một số dạng.
B5. Dặn dò: Bài mới.
Giáo án Giải tích 11 – GV: Bùi Quang Quyền – THPT Hương Thủy – Năm học: 2006 – 2007
18




Nguồn maths.vn
Giáo án Giải tích 11 – GV: Bùi Quang Quyền – THPT Hương Thủy – Năm học: 2006 – 2007
19
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản