100 Bài Tập về Phương Trình và Hệ Phương trình

Chia sẻ: daoxuanloc

100 Bài Tập về Phương Trình và Hệ Phương trình

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: 100 Bài Tập về Phương Trình và Hệ Phương trình

 

  1. Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A 1
  2. Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A TUYỂN CHỌN 100 BÀI PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2
  3. Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A 3
  4. Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A GIẢI PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1) 5x 2 + 14 x − 9 − x 2 − x − 20 = 5. x + 1 2) x 5 − 15x 3 + 45x − 27 = 0 11 25 3) − =1 x 2 ( x + 5) 2 4) 4 ( x − 2)( 4 − x ) + 4 x − 2 + 4 4 − x + 6x 3x = x 3 + 30 x 3 − xy 2 + 2000 y = 0  5)   y 3 − yx 2 − 500 x = 0  6) 5 27 x 10 − 5x 6 + 5 864 = 0 7) x2 + x −1 + − x2 + x +1 = x2 − x + 2 12 x 2 − 48x + 64 = y 3   2 3 8) 12 y − 48 y + 64 = z  2 3 12z − 48z + 64 = x  x 19 + y 5 = 1890 z + z 2001  19  5 2001 9)  y + z = 1890 x + x  19 5 2001 z + x = 1890 y + y  2 x + 1 = y 3 + y 2 + y   3 2 10) 2 y + 1 = z + z + z  3 2 2 z + 1 = x + x + x  11) ( x − 18 )( x − 7 )( x + 35)( x + 90 ) = 2001x 2 12) ( 2001 − x ) 4 + ( 2003 − x ) 4 = 2000 1 − x 2x + x 2 13) = x 1+ x2 a − bx ( b + c ) x + x 2 Đề xuất: = Với a ,b,c >0 cx a + x2 14) x − 2 + 4 − x = 2 x 2 − 5x − 1 Đề xuất :  b2 − a 2 b−a  a + b  b−a x − a + b − x = ( b − a)x −  2  2 − x −    2 − 2 2  2   (Với a + 2 < b ) 15) 3 3x 2 − x + 2001 − 3 3x 2 − 7 x + 2002 − 3 6 x − 2003 = 3 2002 4
  5. Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A 3  8x 3 + 2001  16)   2002  = 4004 x − 2001    ( x − a )( x − b ) + ( x − c )( x − b ) + ( x − a )( x − c ) = 1 17) c( c − a )( c − b ) a ( a − c )( a − b ) b( b − a )( b − c ) x Trong đó a;b;c khác nhau và khác không ( 18) x = 1 − 1978 1 − 1978 x 2 ) 2 ( 19) x x 2 − 1 = ) 2 20) x + 2 x + .... + 2 x + 2 3x = x 21) 1 − x 2 + 4 x 2 + x − 1 + 6 1 − x − 1 = 0 2 2  2 22) 1 − x =  − x  3  23) 3 x 2 − 2 = 2 − x3 24) 1 + 1 − x 2 [ (1 + x ) 3 − (1 − x ) 3 ]= 2+ 1− x2 36 4 25) + = 28 − 4 x − 2 − y − 1 x−2 y −1 26) x 4 − 10 x 3 − 2( a − 11) x 2 + 2( 5a + 6 ) x + 2a + a 2 = 0 27)Tìm m để phương trình : (x 2 ) − 1 ( x + 3)( x + 5) = m có 4 nghiệm phân biệt x1 ; x2 ; x3 ; x4 thỏa mãn 1 1 1 1 + + + = −1 x1 x 2 x 3 x 4 x 5 − x 4 + 2 x 2 y = 2   5 4 2 28)  y − y + 2 y z = 2 Tìm nghiệm dương của phương trình  5 4 2 z − z + 2 z x = 2  29) 18 x 2 − 18x x − 17 x − 8 x − 2 = 0 30) 4 17 − x 8 − 3 2 x 8 − 1 = 1 31) x 2 + 2 − x = 2 x 2 2 − x x 4 + y 4 + z 4 = 8( x + y + z ) 32)  xyz = 8 33) 19 + 10 x 4 − 14 x 2 = 5x 2 − 38 ( ) x2 − 2 x 2 6125 210 12 x 34) + 2 + − =0 5 x x 5 5
  6. Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A  y 3 − 6x 2 + 12 x − 8 = 0  3  2 35) x − 6z + 12 z − 8 = 0  3 2 z − 6 y + 12 y − 8 = 0  ( )( 36) x + 3 x + 2 x + 9 x + 18 = 168 x ) 37)Tìm m để hệ phương trình sau có đúng 2 nghiệm. ( x + y ) 8 = 256   8 x + y 8 = m + 2  38) x = 2 − x 3 − x + 5 − x 3 − x + 5 − x 2 − x 2 2 39) + x = x+9 x +1 a Đề xuất: + x = x + a +1 (a > 1) x +1 40) 13 x − 1 + 9 x + 1 = 16 x 28 27 41) 2 . 4 27 x 2 + 24 x + = 1+ x+6 3 2 42) 5x − 1 + 3 9 − x = 2 x 2 + 3x − 1 x + y + z = 1  43)  x y z x+y y+z y z x y + z + x + y +1 + + =  44) x 3 − 3x 2 + 2 ( x + 2) 3 − 6x = 0 a b  − = c − xz x z b c 45)  − = a − xy Trong đó a;b;c ∈ R * + y x c a  − = c − yz z y ( )( ) 46) x 2 − 12 x − 64 x 2 + 30 x + 125 + 8000 = 0 47) ( x − 2 ) x − 1 − 2x + 2 = 0  x 1 + x 2 + ... + x n = n  48)   x 1 + 8 + x 2 + 8 + ... + x n + 8 = 3n  6
  7. Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A 49)Cho hệ phương trình: n ∑ x i = n  i =1 n ; b > 1 .CMR:Hệ phương trình có nghiệm duy ∑ x + b − 1 = bn 2  i =1 i  nhất x1 = x2 = ...= xn = 1 50) 3−x =x 3+x Tổng quát: bx + c = x px + q với a; b; q; p∈ R & q 2 = −3pb. ( )( ) 2 51) x = 2004 + x 1− 1− x Tổng quát: ax = ( b + c x )(d − ) 2 d2 − e x với a;b;c;d;e là các hằng số cho trước. 52) 4 x 2 − 4 x − 10 = 8x 2 − 6x − 10  x 3 ( 2 + 3y ) = 1  53)  ( x y 3 − 2 = 3  ) x 3 + 3xy 2 = −49  54)  x 2 − 8xy + y 2 = 8 y − 17 x  55) 16 x 4 + 5 = 6 .3 4 x 3 + x ( x 2 ( x + 1) = 2 y 3 − x + 1 )   2 ( 56)  y ( y + 1) = 2 z − y + 1 3 )  2 ( z ( z + 1) = 2 x − z + 1  3 ) 57) 3 3x + 1 + 3 5 − x + 3 2 x − 9 − 3 4 x − 3 = 0 Tổng quát: 3 a 1 x + b1 + 3 a 2 x + b 2 + 3 a 3 x + b 3 = 3 ( a 1 + a 2 + a 3 ) x + b1 + b 2 + b 3 x 3 + y = 2  58)  y 3 + x = 2  x 6 k +3 + y = 2  Tổng quát:  ( k ∈ N)  y 6 k +3 + x = 2  59) x 2 − x − 1000 1 + 8000 x = 1000 60) x + 5 + x − 1 = 6 61)Tìm nghiệm dương của phương trình: x −1 1 1 2x + = 1− + 3 x − x x x 7
  8. Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A x + 4 x (1 − x ) + 4 ( 1 − x ) = 1 − x + 4 x 3 + 4 x 2 ( 1 − x ) 2 3 62) ( 63) x 3 + 1 ) 3 = 81x − 27 6 64) 3 x + 1 − 3 x − 1 = x2 −1 ( 65) 2 x 2 − 3x + 2 = 3 x 3 + 8 )  y 3 − 9x 2 + 27 x − 27 = 0   3 2 66) z − 9 y + 27 y − 27 = 0  3 2 x − 9z + 27 z − 27 = 0  67) 15 2 ( ) 30 x 2 − 4x = 2004 30060 x + 1 + 1 ( ) 68) 5x 2 + 14 x + 9 − x 2 − x − 20 = 5 x + 1  y 30 2 + 4 y = 2004  x  z 69) 30 2 + 4z = 2004  y  x 30 2 + 4x = 2004  z 70) x 2 + 15 = 3 .3 x − 2 + x 2 + 8 71) x 3 − 3 3x 2 − 3x + 3=0  y 3 − 6x 2 + 12 x − 8 = 0  3  2 72) z − 6 y + 12 y − 8 = 0  3 2 x − 6z + 12z − 8 = 0  73) 3 3x 2 − x + 2002 − 3 3x 2 − 6 x + 2003 − 3 5x − 2004 = 3 2003 74) x 3 + 1 = 3 .3 3x − 1 75) x 2 − 4 x + 2 = x + 2 Bài tập tương tự: a) 20 x 2 + 52 x + 53 = 2 x − 1 b) − 18x 2 + 17 x − 8 = 1 − 5x c) 18 x 2 − 37 x + 5 = 14 x + 9 4x + 9 d) = 7x 2 + 7x 28 7 2 3 76) 3 x + 332 x + 3128 = 316 x +1 8
  9. Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A 77)Cho 0 < a < c < d < b ; a + b = c + d GPT: x + a 2 + x + b2 = x + c2 + x + d2 78) x 2 − 4 x + 6 = 2x 2 − 5x + 3 + − 3x 2 + 9x − 5 2 x + x 2 y = y   2 79) 2 y + y z = z  2 2 z + z x = x  80) x 2 − x + 19 + 7 x 2 + 8x + 13 + 13x 2 + 17 x + 7 = 3 3 ( x + 2) 81) 4 − x 2 + 4x + 1 + x 2 + y 2 − 2 y − 3 = 4 x 4 − 16 + 5 − y 82) x 2 − 8x + 816 + x 2 + 10 x + 267 = 2003   1  1  1 3 x +  = 4 y +  = 5 z +    83)   x  y  z xy + yz + xz =1   x 2 + 21 = y − 1 + y 2  84)   y 2 + 21 = x − 1 + x 2  85) 1 − x 2 = 4 x 3 − 3x 86) x 2 + x + 1 − x 2 − x − 1 = m Tìm m để phương trình có nghiệm 87)Tìm a để phương trình có nghiệm duy nhất 2 + x + 4 − x − 8 + 2x − x 2 = a x + y + z = 0  2 2 2 88) x + y + z = 10  7 7 7 x + y + z = 350  x + 30.4 + y − 2001 = 2121  89)   x − 2001 + y + 30.4 = 2121  90) 3 ( ) ( 2 x 2 + 1 − 1 = x 1 + 3x + 8 2 x 2 + 1 ) ( ) 91) 2 x 2 + 2 − 5 x 3 + 1 = 0 9
  10. Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A  2 2 2 3 x + y + z = 2   3 92) xy + yz + xz = −  4  1  xyz =  8  x + x 2 − y 2 9x  =  x − x2 − y2 5 93)   x 5 + 3x  y = 6( 5 − y )  x 2 + x + 1 x 2 + 3x + 1 5 94) + = x 2 + 2x + 1 x 2 + 4x + 1 6 25 1 1369 95) + + = 86 − x − 5 − y − 3 − z − 606 x −5 y−3 z − 606 6 10 96) + =4 2−x 3− x 97) 3 x 2 − 7 x + 8 + 3 x 2 − 6 x + 7 − 3 2 x 2 − 13x − 12 = 3 98) x 3 − 6 .3 6 x + 4 − 4 = 0 3 99) x 2 − 3x + 1 = − x4 + x2 +1 3 1+ x3 2 100) = x2 + 2 5 10
  11. Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A HƯỚNG DẪN GIẢI 100 BÀI PT & HPT 1) ĐK: x ≥ 5 Chuyển vế rồi bình phương: 5x 2 + 14x + 9 = x 2 + 24x + 5 + 10. (x 2 − x − 20 ( x + 1) ) ⇔ 4x 2 − 10x + 4 = 10. ( x − 5) ( x + 4 ) ( x + 1) ⇔ 2x 2 − 5x + 2 = 5. (x 2 − 4x − 5 ( x + 4 )) ⇔ 2(x 2 − 4x − 5) + 3 ( x + 4 ) = 5. (x 2 − 4x − 5 ( x + 4 )) ( u= x 2 − 4x − 5  ) → ....    v = ( x + 4) ( ( x + 3) x 4 − 3x 3 − 6x 2 + 18x − 9 = 0 ) 2) GPT : x 4 − 3x 3 − 6x 2 + 18x − 9 = 0 x 4 − 3x 2 ( x − 1) − 9 ( x − 1) = 0 2 ⇒ x 4 − 3x 2 y − 9y 2 = 0 Đặt: x- 1 = y ⇒ 2x 2 = 3y ± 3y 5 3) ĐK: x ≠ 0; x ≠ −5 Đặt x+5 = y ≠ 0 → x = ( y − 5 ) 2 PT ⇔ y 4 − 10y3 + 39y 2 − 250y + 625 = 0  625   25  ⇔  y 2 + 2  − 10  y +  + 39 = 0  y   y  4) ĐK: 2 ≤ x ≤ 4 4 (x − 2) ( 4 − x ) ≤ ( x − 2) + ( 4 − x ) =1 Áp dụng Cauchy: 2 6x 3x = 2 27x 3 ≤ 27 + x 3 ( ) 2 Áp dụng Bunhia: 4 x−2 + 4 4−x ≤2 ( )  x x 2 − y 2 = −2000y ( 1)  5)   2 ( − y x − y = 500x ( 2 ) 2 ) Nếu x = 0 ⇒ y = 0 ⇒ ( 0;0 ) là n o 11
  12. Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A Nếu x ≠ 0.Rút x 2 − y 2 từ (1) thế vào (2) ta có:  −2000y  y ≠ 0 −y   = 500y ⇒  2 2  x   x = 4y 6) 5 27 x 10 − 5x 6 + 5 864 = 0 Vì x = 0 không là nghiệm của pt nên chia cả 2 vế cho x6 ta được pt: 5 32.27 5 27 x 4 + =5 x6 2 1 x 4 + 6 = 5.5 x 27 2 x4 x4 x4 4 1 1 1 Áp dụng CauChy: x + 6 = + + + 6 + 6 ≥ 5.5 x 3 3 3 x x 27 7) x2 + x −1 + − x2 + x + 1 = x2 − x + 2  2 x + x − 1 ≥ 0 ĐK:  − x 2 + x + 1 ≥ 0  Áp dụng Cauchy: 2 x2 + x −1+1 x2 + x x + x −1 ≤ = 2 2 2 − x + x + 1 + 1 − x2 + x + 2 2 − x + x +1 ≤ = 2 2 2 2 x + x −1 + − x + x +1 ≤ x +1 Từ PT ⇒ x 2 − x + 2 ≤ x + 1 ⇔ ( x − 1) ≤ 0 2 12 x 2 − 48x + 64 = y 3 (1)   8) 12 y − 48 y + 64 = z ( 2 ) 2 3  2 12z − 48z + 64 = x ( 3) 3  G/s (x; y; z) là nghiệm của hệ phương trình trên thì dễ thấy ( y; z; x); (z; y; x) cũng là nghiệm của hệ do đó có thể giả sử : x = max{x; y; z} ( ) Từ 12 x 2 − 48x + 64 =12 x 2 − 4 x + 4 + 16 ≥ 16 3 ⇒ y ≥ 16 ⇒ y ≥ 2 Tương tự x ≥ 2 ; z ≥ 2 Trừ (1) cho (3): y3 – x3 = 12(x2 – z2) – 48(x-z) ⇔ y3 – x3 = 12(x– z)(x+z-4) VT ≤ 0; VT ≥ 0 . Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z 12
  13. Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A x 19 + y 5 = 1890 z + z 2001  19  5 2001 9)  y + z = 1890 x + x  19 5 2001 z + x = 1890 y + y  Ta đi cm hệ trên có nghiệm duy nhất x = y = z Giả sử (x,y,z) là nghiệm của hệ ⇒ (− x; − y; −z) cũng là nghiệm của hệ ⇒ không mất tính tổng quát ta giả sử ít nhất 2 trong 3 số x, y, z không âm. Ví dụ: x ≥ 0; y ≥ 0 . Từ phương trình ( 1) ⇒ z ≥ 0 . Cộng từng vế phương trình ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z 2001 + 1890z + x 2001 + 1890x + y 2001 + 1890z = z19 + z 5 + x19 + x 5 + y19 + y5 . Ta có: 0 < t ≤ 1 ⇒ t + 1890t ≥ t + t 2001 19 5 t 2000 + 1890 ≥ t18 + t 4 (đúng) t > 1 ⇒ t 2001 + 1890t > t19 + t 5 Thật vậy: t + 1890 > 1 + t ≥ 2t1000 2001 2000 cô si > t18 + t 4 (đpcm) Vậy x = y = z −1 −1 −1 Bài 10: + Nếu x < 0 từ ( 3) ⇒ 2z + 1 < 0 ⇒ z < ⇒y< ⇒x< 2 2 2 Cộng 3 phương trình với nhau: ( x + 1) ( x − 1) + ( y + 1) ( y − 1) + ( z + 1) ( z − 1) = 0 (*) 2 2 2 1 1 1 Với x < − ; y < − ;z < − ⇒ ( *) vô nghiệm 2 2 2 ⇒ x > 0; y > 0;z > 0 Gọi ( x; y;z ) là nghiệm của hệ phương trình, không mất tính tổng quát ta giả sử: x = max { x;y;z} Trừ (1) cho (3) ta được: ( 2 ( x − z ) = ( y − x ) x 2 + y 2 + xy + x + y + 1)  VT ≤ 0  dấu " = " ⇔ x = y = z ⇒ ....  VP ≥ 0 ( )( Bài 11: PT ⇔ x + 17x − 630 x + 83x − 630 = 2001x . 2 2 2 ) Do x = 0 không phải là nghiệm của phương trình ⇒ chia 2 vế phương trình cho x 2  630  630  Ta có:  x + 17 −  x + 83 −  = 2001  x  x  630 Đặt: x − =t x Bài 12: t/d: pt: ( x + a ) + ( x + b ) = c 4 4 a+b Đặt: y = x + 2 13
  14. Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A Bài 13: Đk: 0 < x ≤ 1 1− x 2x − 1 PT ⇔ = 1+ (*) x 1+ x2 1 + x = là nghiệm pt (*) 2 1  VP > 1 + < x ≤1 :  2  VT < 1 1  VT>1 + 0<x< :  2  VP<1 14
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản