100 Bài Tập về Phương Trình và Hệ Phương trình

Chia sẻ: daoxuanloc

100 Bài Tập về Phương Trình và Hệ Phương trình

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: 100 Bài Tập về Phương Trình và Hệ Phương trình

Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A




1
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A


TUYỂN CHỌN 100 BÀI PHƯƠNG TRÌNH
& HỆ PHƯƠNG TRÌNH




2
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A




3
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH


1) 5x 2 + 14 x − 9 − x 2 − x − 20 = 5. x + 1
2) x 5 − 15x 3 + 45x − 27 = 0
11 25
3) − =1
x 2 ( x + 5) 2
4) 4 ( x − 2)( 4 − x ) + 4 x − 2 + 4 4 − x + 6x 3x = x 3 + 30
x 3 − xy 2 + 2000 y = 0

5) 
 y 3 − yx 2 − 500 x = 0

6) 5 27 x 10 − 5x 6 + 5 864 = 0
7) x2 + x −1 + − x2 + x +1 = x2 − x + 2
12 x 2 − 48x + 64 = y 3

 2 3
8) 12 y − 48 y + 64 = z
 2 3
12z − 48z + 64 = x

x 19 + y 5 = 1890 z + z 2001
 19
 5 2001
9)  y + z = 1890 x + x
 19 5 2001
z + x = 1890 y + y

2 x + 1 = y 3 + y 2 + y

 3 2
10) 2 y + 1 = z + z + z
 3 2
2 z + 1 = x + x + x

11) ( x − 18 )( x − 7 )( x + 35)( x + 90 ) = 2001x 2
12) ( 2001 − x ) 4 + ( 2003 − x ) 4 = 2000
1 − x 2x + x 2
13) =
x 1+ x2
a − bx ( b + c ) x + x 2
Đề xuất: = Với a ,b,c >0
cx a + x2
14) x − 2 + 4 − x = 2 x 2 − 5x − 1
Đề xuất :
 b2 − a 2 b−a  a + b  b−a
x − a + b − x = ( b − a)x − 
2
 2 − x − 
  2 − 2 2
 2  
(Với a + 2 < b )
15) 3 3x 2 − x + 2001 − 3 3x 2 − 7 x + 2002 − 3 6 x − 2003 = 3 2002


4
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A
3
 8x 3 + 2001 
16) 
 2002  = 4004 x − 2001

 
( x − a )( x − b ) + ( x − c )( x − b ) + ( x − a )( x − c ) = 1
17)
c( c − a )( c − b ) a ( a − c )( a − b ) b( b − a )( b − c ) x
Trong đó a;b;c khác nhau và khác không
(
18) x = 1 − 1978 1 − 1978 x 2 ) 2


(
19) x x 2 − 1 = ) 2
20) x + 2 x + .... + 2 x + 2 3x = x
21) 1 − x 2 + 4 x 2 + x − 1 + 6 1 − x − 1 = 0
2
2 
2
22) 1 − x =  − x 
3 
23) 3 x 2 − 2 = 2 − x3
24) 1 + 1 − x 2 [ (1 + x ) 3
− (1 − x ) 3 ]= 2+ 1− x2
36 4
25) + = 28 − 4 x − 2 − y − 1
x−2 y −1
26) x 4 − 10 x 3 − 2( a − 11) x 2 + 2( 5a + 6 ) x + 2a + a 2 = 0
27)Tìm m để phương trình :
(x 2
)
− 1 ( x + 3)( x + 5) = m
có 4 nghiệm phân biệt x1 ; x2 ; x3 ; x4 thỏa mãn
1 1 1 1
+ + + = −1
x1 x 2 x 3 x 4
x 5 − x 4 + 2 x 2 y = 2

 5 4 2
28)  y − y + 2 y z = 2 Tìm nghiệm dương của phương trình
 5 4 2
z − z + 2 z x = 2

29) 18 x 2 − 18x x − 17 x − 8 x − 2 = 0
30) 4 17 − x 8 − 3 2 x 8 − 1 = 1
31) x 2 + 2 − x = 2 x 2 2 − x
x 4 + y 4 + z 4 = 8( x + y + z )
32) 
xyz = 8
33) 19 + 10 x 4 − 14 x 2 = 5x 2 − 38 ( ) x2 − 2
x 2 6125 210 12 x
34) + 2 + − =0
5 x x 5


5
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A

 y 3 − 6x 2 + 12 x − 8 = 0
 3
 2
35) x − 6z + 12 z − 8 = 0
 3 2
z − 6 y + 12 y − 8 = 0

( )(
36) x + 3 x + 2 x + 9 x + 18 = 168 x )
37)Tìm m để hệ phương trình sau có đúng 2 nghiệm.
( x + y ) 8 = 256

 8
x + y 8 = m + 2

38) x = 2 − x 3 − x + 5 − x 3 − x + 5 − x 2 − x
2 2
39) + x = x+9
x +1
a
Đề xuất: + x = x + a +1 (a > 1)
x +1
40) 13 x − 1 + 9 x + 1 = 16 x
28 27
41) 2 . 4 27 x 2 + 24 x + = 1+ x+6
3 2
42) 5x − 1 + 3 9 − x = 2 x 2 + 3x − 1
x + y + z = 1

43)  x y z x+y y+z
y z x y + z + x + y +1
+ + =

44) x 3 − 3x 2 + 2 ( x + 2) 3 − 6x = 0
a b
 − = c − xz
x z
b c
45)  − = a − xy Trong đó a;b;c ∈ R *
+
y x
c a
 − = c − yz
z y
( )( )
46) x 2 − 12 x − 64 x 2 + 30 x + 125 + 8000 = 0
47) ( x − 2 ) x − 1 − 2x + 2 = 0
 x 1 + x 2 + ... + x n = n

48) 
 x 1 + 8 + x 2 + 8 + ... + x n + 8 = 3n





6
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A
49)Cho hệ phương trình:
n
∑ x i = n
 i =1
n ; b > 1 .CMR:Hệ phương trình có nghiệm duy
∑ x + b − 1 = bn
2
 i =1 i

nhất x1 = x2 = ...= xn = 1
50) 3−x =x 3+x
Tổng quát: bx + c = x px + q với a; b; q; p∈ R & q 2 = −3pb.

( )( ) 2
51) x = 2004 + x 1− 1− x
Tổng quát: ax = ( b + c x )(d − ) 2
d2 − e x với a;b;c;d;e là các hằng
số cho trước.
52) 4 x 2 − 4 x − 10 = 8x 2 − 6x − 10
 x 3 ( 2 + 3y ) = 1

53) 
(
x y 3 − 2 = 3
 )
x 3 + 3xy 2 = −49

54) 
x 2 − 8xy + y 2 = 8 y − 17 x

55) 16 x 4 + 5 = 6 .3 4 x 3 + x

(
x 2 ( x + 1) = 2 y 3 − x + 1 )

 2
(
56)  y ( y + 1) = 2 z − y + 1
3
)
 2
(
z ( z + 1) = 2 x − z + 1

3
)
57) 3 3x + 1 + 3 5 − x + 3 2 x − 9 − 3 4 x − 3 = 0
Tổng quát:
3 a 1 x + b1 + 3 a 2 x + b 2 + 3 a 3 x + b 3 = 3 ( a 1 + a 2 + a 3 ) x + b1 + b 2 + b 3
x 3 + y = 2

58) 
y 3 + x = 2

x 6 k +3 + y = 2

Tổng quát:  ( k ∈ N)
 y 6 k +3 + x = 2

59) x 2 − x − 1000 1 + 8000 x = 1000
60) x + 5 + x − 1 = 6
61)Tìm nghiệm dương của phương trình:
x −1 1 1
2x + = 1− + 3 x −
x x x


7
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A

x + 4 x (1 − x ) + 4 ( 1 − x ) = 1 − x + 4 x 3 + 4 x 2 ( 1 − x )
2 3
62)

(
63) x 3 + 1 ) 3
= 81x − 27
6
64) 3 x + 1 − 3 x − 1 = x2 −1
(
65) 2 x 2 − 3x + 2 = 3 x 3 + 8 )
 y 3 − 9x 2 + 27 x − 27 = 0

 3 2
66) z − 9 y + 27 y − 27 = 0
 3 2
x − 9z + 27 z − 27 = 0

67)
15
2
( )
30 x 2 − 4x = 2004 30060 x + 1 + 1 ( )
68) 5x 2 + 14 x + 9 − x 2 − x − 20 = 5 x + 1
 y
30 2 + 4 y = 2004
 x
 z
69) 30 2 + 4z = 2004
 y
 x
30 2 + 4x = 2004
 z
70) x 2 + 15 = 3 .3 x − 2 + x 2 + 8
71) x 3 − 3 3x 2 − 3x + 3=0
 y 3 − 6x 2 + 12 x − 8 = 0
 3
 2
72) z − 6 y + 12 y − 8 = 0
 3 2
x − 6z + 12z − 8 = 0

73) 3 3x 2 − x + 2002 − 3 3x 2 − 6 x + 2003 − 3 5x − 2004 = 3 2003
74) x 3 + 1 = 3 .3 3x − 1
75) x 2 − 4 x + 2 = x + 2
Bài tập tương tự:
a) 20 x 2 + 52 x + 53 = 2 x − 1
b) − 18x 2 + 17 x − 8 = 1 − 5x
c) 18 x 2 − 37 x + 5 = 14 x + 9
4x + 9
d) = 7x 2 + 7x
28
7 2 3
76) 3 x + 332 x + 3128 = 316 x +1




8
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A
77)Cho 0 < a < c < d < b ; a + b = c + d
GPT: x + a 2 + x + b2 = x + c2 + x + d2
78) x 2 − 4 x + 6 = 2x 2 − 5x + 3 + − 3x 2 + 9x − 5
2 x + x 2 y = y

 2
79) 2 y + y z = z
 2
2 z + z x = x

80) x 2 − x + 19 + 7 x 2 + 8x + 13 + 13x 2 + 17 x + 7 = 3 3 ( x + 2)
81) 4 − x 2 + 4x + 1 + x 2 + y 2 − 2 y − 3 = 4 x 4 − 16 + 5 − y
82) x 2 − 8x + 816 + x 2 + 10 x + 267 = 2003
  1  1  1
3 x +  = 4 y +  = 5 z + 
 
83)   x  y  z
xy + yz + xz =1

 x 2 + 21 = y − 1 + y 2

84) 
 y 2 + 21 = x − 1 + x 2

85) 1 − x 2 = 4 x 3 − 3x
86) x 2 + x + 1 − x 2 − x − 1 = m
Tìm m để phương trình có nghiệm
87)Tìm a để phương trình có nghiệm duy nhất
2 + x + 4 − x − 8 + 2x − x 2 = a
x + y + z = 0
 2 2 2
88) x + y + z = 10
 7 7 7
x + y + z = 350
 x + 30.4 + y − 2001 = 2121

89) 
 x − 2001 + y + 30.4 = 2121

90) 3 ( ) (
2 x 2 + 1 − 1 = x 1 + 3x + 8 2 x 2 + 1 )
( )
91) 2 x 2 + 2 − 5 x 3 + 1 = 0




9
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A

 2 2 2 3
x + y + z = 2

 3
92) xy + yz + xz = −
 4
 1
 xyz =
 8
 x + x 2 − y 2 9x
 =
 x − x2 − y2 5
93) 
 x 5 + 3x
 y = 6( 5 − y )

x 2 + x + 1 x 2 + 3x + 1 5
94) + =
x 2 + 2x + 1 x 2 + 4x + 1 6
25 1 1369
95) + + = 86 − x − 5 − y − 3 − z − 606
x −5 y−3 z − 606
6 10
96) + =4
2−x 3− x
97) 3 x 2 − 7 x + 8 + 3 x 2 − 6 x + 7 − 3 2 x 2 − 13x − 12 = 3
98) x 3 − 6 .3 6 x + 4 − 4 = 0
3
99) x 2 − 3x + 1 = − x4 + x2 +1
3
1+ x3 2
100) =
x2 + 2 5




10
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A

HƯỚNG DẪN GIẢI 100 BÀI PT & HPT


1) ĐK: x ≥ 5
Chuyển vế rồi bình phương:
5x 2 + 14x + 9 = x 2 + 24x + 5 + 10. (x 2
− x − 20 ( x + 1) )
⇔ 4x 2 − 10x + 4 = 10. ( x − 5) ( x + 4 ) ( x + 1)
⇔ 2x 2 − 5x + 2 = 5. (x 2
− 4x − 5 ( x + 4 ))
⇔ 2(x 2 − 4x − 5) + 3 ( x + 4 ) = 5. (x 2
− 4x − 5 ( x + 4 ))
(
u= x 2 − 4x − 5
 )
→ ....


 v = ( x + 4)
(
( x + 3) x 4 − 3x 3 − 6x 2 + 18x − 9 = 0 )
2) GPT : x 4 − 3x 3 − 6x 2 + 18x − 9 = 0

x 4 − 3x 2 ( x − 1) − 9 ( x − 1) = 0
2


⇒ x 4 − 3x 2 y − 9y 2 = 0
Đặt: x- 1 = y
⇒ 2x 2 = 3y ± 3y 5
3) ĐK: x ≠ 0; x ≠ −5
Đặt x+5 = y ≠ 0 → x = ( y − 5 )
2


PT ⇔ y 4 − 10y3 + 39y 2 − 250y + 625 = 0
 625   25 
⇔  y 2 + 2  − 10  y +  + 39 = 0
 y   y 
4) ĐK: 2 ≤ x ≤ 4

4 (x − 2) ( 4 − x ) ≤
( x − 2) + ( 4 − x ) =1
Áp dụng Cauchy: 2
6x 3x = 2 27x 3 ≤ 27 + x 3

( )
2
Áp dụng Bunhia: 4
x−2 + 4 4−x ≤2

( )
 x x 2 − y 2 = −2000y ( 1)

5) 

2
(
− y x − y = 500x ( 2 )
2
)
Nếu x = 0 ⇒ y = 0 ⇒ ( 0;0 ) là n o



11
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A

Nếu x ≠ 0.Rút x 2 − y 2 từ (1) thế vào (2) ta có:

 −2000y  y ≠ 0
−y   = 500y ⇒  2 2
 x   x = 4y
6) 5
27 x 10 − 5x 6 + 5 864 = 0
Vì x = 0 không là nghiệm của pt nên chia cả 2 vế cho x6 ta được pt:
5
32.27
5
27 x 4 + =5
x6
2 1
x 4 + 6 = 5.5
x 27
2 x4 x4 x4
4 1 1 1
Áp dụng CauChy: x + 6 = + + + 6 + 6 ≥ 5.5
x 3 3 3 x x 27
7) x2 + x −1 + − x2 + x + 1 = x2 − x + 2
 2
x + x − 1 ≥ 0
ĐK: 
− x 2 + x + 1 ≥ 0

Áp dụng Cauchy:
2 x2 + x −1+1 x2 + x
x + x −1 ≤ =
2 2
2 − x + x + 1 + 1 − x2 + x + 2
2
− x + x +1 ≤ =
2 2
2 2
x + x −1 + − x + x +1 ≤ x +1
Từ PT ⇒ x 2 − x + 2 ≤ x + 1 ⇔ ( x − 1) ≤ 0
2


12 x 2 − 48x + 64 = y 3 (1)


8) 12 y − 48 y + 64 = z ( 2 )
2 3

 2
12z − 48z + 64 = x ( 3)
3

G/s (x; y; z) là nghiệm của hệ phương trình trên thì dễ thấy ( y; z; x); (z; y;
x) cũng là nghiệm của hệ do đó có thể giả sử :
x = max{x; y; z}
( )
Từ 12 x 2 − 48x + 64 =12 x 2 − 4 x + 4 + 16 ≥ 16
3
⇒ y ≥ 16 ⇒ y ≥ 2
Tương tự x ≥ 2 ; z ≥ 2
Trừ (1) cho (3): y3 – x3 = 12(x2 – z2) – 48(x-z)
⇔ y3 – x3 = 12(x– z)(x+z-4)
VT ≤ 0; VT ≥ 0 . Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z




12
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A

x 19 + y 5 = 1890 z + z 2001
 19
 5 2001
9)  y + z = 1890 x + x
 19 5 2001
z + x = 1890 y + y

Ta đi cm hệ trên có nghiệm duy nhất x = y = z
Giả sử (x,y,z) là nghiệm của hệ ⇒ (− x; − y; −z) cũng là nghiệm của hệ
⇒ không mất tính tổng quát ta giả sử ít nhất 2 trong 3 số x, y, z không âm.
Ví dụ: x ≥ 0; y ≥ 0 . Từ phương trình ( 1) ⇒ z ≥ 0 .
Cộng từng vế phương trình ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
z 2001 + 1890z + x 2001 + 1890x + y 2001 + 1890z = z19 + z 5 + x19 + x 5 + y19 + y5 .
Ta có: 0 < t ≤ 1 ⇒ t + 1890t ≥ t + t
2001 19 5


t 2000 + 1890 ≥ t18 + t 4 (đúng)
t > 1 ⇒ t 2001 + 1890t > t19 + t 5
Thật vậy: t + 1890 > 1 + t ≥ 2t1000
2001 2000
cô si

> t18 + t 4 (đpcm)
Vậy x = y = z

−1 −1 −1
Bài 10: + Nếu x < 0 từ ( 3) ⇒ 2z + 1 < 0 ⇒ z < ⇒y< ⇒x
0; y > 0;z > 0
Gọi ( x; y;z ) là nghiệm của hệ phương trình, không mất tính tổng quát ta giả sử:
x = max { x;y;z}
Trừ (1) cho (3) ta được:
(
2 ( x − z ) = ( y − x ) x 2 + y 2 + xy + x + y + 1)
 VT ≤ 0
 dấu " = " ⇔ x = y = z ⇒ ....
 VP ≥ 0

( )(
Bài 11: PT ⇔ x + 17x − 630 x + 83x − 630 = 2001x .
2 2 2
)
Do x = 0 không phải là nghiệm của phương trình ⇒ chia 2 vế phương trình cho x 2
 630  630 
Ta có:  x + 17 −  x + 83 −  = 2001
 x  x 
630
Đặt: x − =t
x

Bài 12: t/d: pt: ( x + a ) + ( x + b ) = c
4 4


a+b
Đặt: y = x +
2

13
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A

Bài 13: Đk: 0 < x ≤ 1
1− x 2x − 1
PT ⇔ = 1+ (*)
x 1+ x2
1
+ x = là nghiệm pt (*)
2
1  VP > 1
+ < x ≤1 : 
2  VT < 1
1  VT>1
+ 0
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản