20 câu hỏi ôn tập hình học không gian có lời giải

Chia sẻ: Trần Bá Trung3 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:23

5
1.273
lượt xem
704
download

20 câu hỏi ôn tập hình học không gian có lời giải

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

20 câu hỏi ôn tập hình học không gian có lời giải giúp các em học sinh có tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập một cách thuận lợi, dể dàng và tự kiểm tra đánh giá kết quả học tập của mình. Tác giả hy vọng tài liệu có ích cho các bạn tham khảo

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: 20 câu hỏi ôn tập hình học không gian có lời giải

  1. Trường THPT Trưng Vương Ñaøo Phuù Huøng BÀI 1 Caâu 1: Trong khoâng gian Oxyz, vieát phöông trình maët phaúng (P) chöùa ñöôøng thaúng (d) : x  y  2  0  sao cho giao tuyeán cuûa maët phaúng (P) vaø maët caàu (S) :  2x  z  6  0 x2  y2  z2  2x  2y  2z  1  0 laø ñöôøng troøn coù baùn kính r = 1. Caâu 2: Cho laêng truï ABC.A'B'C' coù caùc maët beân ñeàu laø hình vuoâng caïnh a. Goïi D, F laàn löôït laø trung ñieåm caùc caïnh BC, C'B'. Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng A'B vaø B'C'. GIẢI Caâu 1: Maët phaúng (P) chöùa (d) coù daïng: m(x – y – 2) + n(2x – z – 6) = 0  (P) : (m  2n)x  my  nz  2m  6n  0  Maët caàu (S) coù taâm I(-1; 1; -1), baùn kính R = 2.  (P) caét (S) theo moät ñöôøng troøn giao tieáp (C) coù baùn kính r = 1  d(I; P)  R2  r 2  3 m  2n  m  n  2m  6n   3  4m  7n  3. 2m2  5n2  4m.n (m  2n)2  m 2  n2  5m2  22m.n  17n2  0 17  Cho n  1  5m 2  22m  17  0  m  1 hay m   5 (P1 ) : x  y  z  4  0  Vaäy, coù 2 maët phaúng (P):  (P2 ) : 7x  17y  5z  4  0 Caâu 2: A/ C/ . Caùch 1: B/ F  Vì caùc maët beân cuûa laêng truï laø caùc hình vuoâng H  AB  BC  CA  A/ B/  B/ C/  C/ A/  a  caùc tam giaùc ABC, A/B/C/ laø caùc tam giaùc ñeàu.  Ta coù: B/ C/ // BC  B/ C/ //(A/ BC) A C / / / / / / /  d(A B; B C )  d(B C ; (A BC))  d(F; (A BC)) D B BC  FD  Ta coù:  / / /  BC  (A / BC) BC  A D (A BC caân taïi A )  Döïng FH  A/ D  Vì BC  (A/ BC)  BC  FH  H  (A/ BC) 1 1 1 4 1 7 a 21  A/FD vuoâng coù: 2  / 2 2  2  2  2  FH  . FH AF FD 3a a 3a 7 Trang 1
  2. Trường THPT Trưng Vương Ñaøo Phuù Huøng a 21  Vaäy, d(A / B; B/ C/ )  FH  7 Caùch 2:  Vì caùc maët beân cuûa laêng truï laø caùc hình vuoâng z C/  ABC, A/B/C/ laø caùc tam giaùc ñeàu caïnh a. / A  Döïng heä truïc Axyz, vôùi Ax, Ay, Az a B/ ñoâi moät vuoâng goùc, A(0; 0; 0), a a 3   a a 3  / B ; ; 0 , C  ; ; 0  , A (0; 0; a), 2 2   2 2  C a a 3  / a a 3  A B/  ; ; a, C   ; ; a D y 2 2   2 2  x / / / / / B  Ta coù: B C // BC, B C // (A BC)  d(B/ C/ ; A/ B)  d(B/ C/ ; (A/ BC))  d(B/ ; (A/ BC))   a a 3     a a 3   / /  A B ; ;  a, A C    ; ;  a 2 2   2 2       a2 3  2  3 2    3  [A / B; A / C]   0; a2 ;   a  0; 1;   a .n, vôùi n   0; 1;   2   2   2    Phöông trình mp (A/BC) qua A/ vôùi phaùp vectô n : 3 0(x  0)  1(y  0)  (z  a)  0 2 3 a 3   (A / BC) : y  z  0 2 2 a 3 3 a 3 a 3  .a   d(B/ (A / BC))  2 2 2  2  a 21 .  3 7 7 1 4 2 a 21  Vaäy, d(A / B; B/ C/ )  . 7 BÀI 2 Caâu 1: Trong khoâng gian Oxyz cho A(0; 1; 0), B(2; 2; 2), C(-2; 3; 1) vaø ñöôøng thaúng x 1 y  2 z  3 () :   2 1 2 1. Tìm ñieåm M thuoäc () ñeå theå tích töù dieän MABC baèng 3. 2. Tìm ñieåm N thuoäc () ñeå theå tích tam giaùc ABN nhoû nhaát. Trang 2
  3. Trường THPT Trưng Vương Ñaøo Phuù Huøng Caâu 2: (1,0 ñieåm) Cho hình choùp S.ABC ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh a. SA = SB = SC, khoaûng caùch töø S ñeán maët phaúng (ABC) laø h. Tính h theo a ñeå hai maët phaúng (SAB) vaø (SAC) vuoâng goùc nhau. GIẢI Caâu 1: x  1  2t  1. Phöông trình tham soá cuûa (D): y  2  t z  3  2t   M  ()  M(1  2t;  2  t; 3  2t)    AB  (2; 1; 2), AC  (2; 2;1)        [AB; AC]  (3;  6; 6)  3(1; 2;  2)  3.n , vôùi n  (1; 2;  2)   Phöông trình mp (ABC) qua A vôùi phaùp vectô n : (ABC): x + 2y – 2z – 2 = 0. 1     1 9  SABC  [AB; AC]  (3)2  (6)2  62  . 2 2 2  Ñöôøng cao MH cuûa töù dieän MABC laø khoaûng töø M ñeán (ABC): 1  2t  2(2  t)  2(3  2t)  2 4t  11 MH  d(M(ABC))   1 4  4 3 1 9 4t  11  Theå tích töù dieän MABC baèng 3  V  . . 3 3 2 3 5 17  4t  11  6  t   hay t   . 4 4  3 3 1  15 9 11   Vaäy, coù 2 ñieåm M caàn tìm laø: M   ;  ;  hay M   ; ;   2 4 2  2 4 2 2. N  ()  N(1  2t;  2  t; 3  2t) 1    1 2 3 2  SABN  [NA; NB]  32t 2  128t  146  (4t  8)2  9  2 2 2 2 3 2  max SABN   4t  8  0  t  2. 2  Vaäy, ñieåm N caàn tìm laø N(-3; 0; 1). Caâu 2: S Caùch 1:  Goïi O laø taâm cuûa ABC I SA  SB  SC  Ta coù:  OA  OB  OC (ABC ñeàu)  SO laø truïc cuûa ñöôøng troøn (ABC) A C  SO  (ABC) O M  Maø : AO  BC; SO  BC  BC  (SOA)  BC  SA B Trang 3
  4. Trường THPT Trưng Vương Ñaøo Phuù Huøng  Döïng BI  SA , suy ra: SA  (IBC)  SA  IC.   BIC laø goùc phaúng nhò dieän (B, SA, C). a2 3h2  a2 3h2  a2  SOA vuoâng coù: SA2  SO2  OA 2  h2    SA  3 3 3  Goïi M laø trung ñieåm BC Ta coù: BM  (SOA), BI  SA  IM  SA (ñònh lyù 3 ñöôøng vuoâng goùc)  MIA  SOA AM a 3 3 3ah  MI  SO.  h. .  SA 2 3h2  a2 2 3h2  a2  SAB  SAC (c.c.c)  IB  IC  IBC caân taïi I. 1  (SAB)  (SAC)  IBC vuoâng caân taïi I  IM  BC 2 3ah 1   a  3h  3h 2  a2 2 3h 2  a2 2    a 6  9h2  3h 2  a2  h  . 6 a 6  Vaäy, h  . z 6 Caùch 2: S  Goïi H laø taâm cuûa ABC vaø M laø trung ñieåm cuûa BC SA  SB  SC  Ta coù:  C HA  HB  HC (ABC ñeàu) A H  Döïng heä truïc toïa ñoä Axyz, vôùi Ax, Ay, Az M y z ñoâi moät vuoâng goùc A(0; 0; 0), B a a 3   a a 3   a 3   a 3  B ; ; 0 , C  ; ; 0  , H  0; ; 0  , S  0; ; h.  2 2   2 2   2   3    a 3    a a 3     a a 3    SA   0; ; h  , SB   ; ;  h  , SC    ; ;  h  3  2 6   2 6     ah 3 ah a2 3   a a   [SA; SB]    ; ;    (3h 3;  3h; a 3)   .n1 ,  2 2 6  6 6  vôùi n1  (3h 3;  3h; a 3)      ah 3 ah a2 3  a a   [SA; SC]    ; ;    (3h 3; 3h;  a 3)   .n 2 ,  2 2 6  6 6  vôùi n2  (3h 3; 3h;  a 3) .      Maët phaúng (SAB) coù caëp vectô chæ phöông SA; SB neân coù phaùp vectô n1 . Trang 4
  5. Trường THPT Trưng Vương Ñaøo Phuù Huøng       Maët phaúng (SAC) coù caëp vectô chæ phöông SA; SC neân coù phaùp vectô n 2 .    (SAB)  (SAC)  cos(n1; n2 )  0     3h 3.3h 3  3h.3h  a 3(a 3)  0  27h 2  9h 2  3a2  0 a 6  2 2  18h  3a  h  . 6 a 6  Vaäy: h  . 6 BÀI 3 Caâu 1: Trong khoâng gian Oxyz cho ñöôøng thaúng (d) vaø maët caàu (S): 2x  2y  z  1  0 (d) :  ; (S) :x2  y2  z 2  4x  6y  m  0  x  2y  2z  4  0 Tìm m ñeå (d) caét (S) taïi hai ñieåm M, N sao cho MN = 8. Caâu 2: Cho töù dieän OABC coù ñaùy laø OBC vuoâng taïi O, OB = a, OC = a 3, (a  0) vaø ñöôøng cao OA  a 3 . Goïi M laø trung ñieåm caïnh BC. Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng AB vaø OM. GIẢI Caâu 1: M H N Maët caàu (S): (x  2)2  (y  3)2  z2  13  m coù taâm I(-2; 3; 0), baùn kính R  IN  13  m , vôùi m < 13. I  Döïng IH  MN  MH  HN  4  IH  IN2  HN2  13  m  16  m  3 , vôùi m < -3. x  t  1   Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng (d):  y  1  t  2  z  1  t    1  1  (d) coù vectô chæ phöông u   1; ; 1  (2; 1; 2) vaø ñi qua ñieåm A(0; 1; -1)  2  2 Trang 5
  6. Trường THPT Trưng Vương Ñaøo Phuù Huøng     AI  (2; 2; 1); [AI; u]  (3; 6;  6)  Khoaûng caùch h töø I ñeán ñöôøng thaúng (d):   [AI; u] 32  62  62 81 h     3. u 22  12  22 9  Ta coù: IH = h  m  3  3   m  3  9  m  12 (thoûa ñieàu kieän)  Vaäy, giaù trò caàn tìm: m = -12. Caâu 2: Caùch 1:  Goïi N laø ñieåm ñoái xöùng cuûa C qua O.  Ta coù: OM // BN (tính chaát ñöôøng trung bình)  OM // (ABN)  d(OM; AB) = d(OM; (ABN)) = d(O; (ABN)).  Döïng OK  BN, OH  AK (K  BN; H  AK)  Ta coù: AO  (OBC); OK  BN  AK  BN BN  OK; BN  AK  BN  (AOK)  BN  OH OH  AK; OH  BN  OH  (ABN)  d(O; (ABN)  OH  Töø caùc tam giaùc vuoâng OAK; ONB coù: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 a 15 2  2  2  2  2  2  2  2  2  2  OH  OH OA OK OA OB ON 3a a 3a 3a 5 a 15 z  Vaäy, d(OM; AB)  OH  . a 3 A 5 Caùch 2: N  Döïng heä truïc Oxyz, vôùi Ox, Oy, Oz ñoâi moät vuoâng goùc O(0; 0; 0), C O A(0; 0; a 3); B(a; 0; 0), C(0; a 3; 0), a 3 y a a 3   a 3 a 3 B M M ; ; 0  vaø N  0; ;  a 2 2   2 2  x laø trung ñieåm cuûa AC.  MN laø ñöôøng trung bình cuûa ABC  AB // MN  AB // (OMN)  d(AB; OM) = d(AB; (OMN)) = d(B; (OMN)).   a a 3    a 3 a 3    OM   ; ; 0  , ON   0; ;   2 2   2 2     3a2 a2 3 a2 3  a2 3  a2 3   [OM; ON]   ; ;    3; 1; 1   n , vôùi n  ( 3; 1; 1)  4 4 4  4 4 Trang 6
  7. Trường THPT Trưng Vương Ñaøo Phuù Huøng   Phöông trình mp (OMN) qua O vôùi phaùp vectô n : 3x  y  z  0 3.a  0  0 a 3 a 15  Ta coù: d(B; (OMN))    3 11 5 5 a 15  Vaäy, d(AB; OM)  . 5 BÀI 4 Caâu 1: Trong khoâng gian Oxyz cho maët phaúng () : 2x – y + z – 5 = 0. Vieát phöông trình maët phaúng (P) qua giao tuyeán cuûa () vaø maët phaúng (xOy) vaø (P) taïo vôùi 3 maët phaúng 125 toïa ñoä moät töù dieän coù theå tích baèng . 36 Caâu 2: Cho hình choùp SABC coù ñaùy laø tam giaùc ABC vuoâng caân taïi A, AB = AC = a (a > 0), hình chieáu cuûa S treân ñaùy truøng vôùi troïng taâm G cuûa ABC. Ñaët SG = x (x > 0). Xaùc ñònh giaù trò cuûa x ñeå goùc phaúng nhò dieän (B, SA, C) baèng 60 o. GIẢI Caâu 1: Phöông trình maët phaúng (xOy): z = 0  Phöông trình maët phaúng (P) thuoäc chuøm xaùc ñònh bôûi () vaø (xOy) coù daïng: m(2x – y + z – 5) – nz = 0  (P) : 2mx  my  (m  n)z  5m  0  Giao ñieåm A, B, C cuûa (P) vaø 3 truïc Ox, Oy, Oz laàn löôït coù toïa ñoä: 5   5m  A  ; 0; 0  , B(0;  5; 0), C  0; 0;  2   mn  Theå tích töù dieän OABC baèng 125 1 1 5 5m 125  V  .OA.OB.OC  . .5.  36 6 6 2 mn 36  m  n  3m  m  1, n  2  mn 3m     m  n  3m  m  1, n  4  Vaäy, coù 2 phöông trình maët phaúng (P): (P1 ) : 2x  y  3z  5  0 (m  1; n  2) (P ) : 2x  y  3z  5  0 (m  1; n  4)  2 Caâu 2: S . Caùch 1:  Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC I  AM  BC (ABC vuoâng caân) C  Ta coù: SG  (ABC)  SG  BC . A G M Trang 7
  8. Trường THPT Trưng Vương Ñaøo Phuù Huøng Suy ra: BC  (SAM)  Döïng BI  SA  IM  SA vaø IC  SA   BIC laø goùc phaúng nhò dieän (B; SA; C).  SAB  SAC (c.c.c)  IB  IC  IBC caân taïi I. 1 a 2 a 2  BC  a 2; AM  BM  MC  BC  ; AG  2 2 3 AM a 2 1 ax 2  AIM ~ AGS  IM  SG.  x. .  AS 2 2 SG  AG 2 2 2a2 2 x  9 3ax 2  IM  . 2 9x2  2a2   a 2 3.3ax 2  Ta coù: BIC  60o  BIM  30o  BM  IM.tg30o   2 2 9x2  2a2  9x2  2a2  3x 3  9x 2  2a2  27x 2 a  18x2  2a2  9x2  a2  x  . 3 a  Vaäy, x  . 3 z Caùch 2: x  BC  a 2  Goïi M laø trung ñieåm BC a 2 a 2  AM  ; AG  2 3 A F C  Goïi E, F laàn löôït laø hình chieáu cuûa G y G treân AB, AC. Töù giaùc AEGF laø hình vuoâng E M a  AG  AE 2  AE  AF  . B 3  Döïng heä truïc toïa ñoä Axyz, vôùi Ax, Ay, Az x ñoâi moät vuoâng goùc, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), a a  a a  C(0; a; 0), G  ; ; 0  , S  ; ; x  . 3 3  2 2    a a    2a a     a 2a    SA   ; ; x  , SB   ;  ;  x  , SC    ; ;  x  3 3   3 3   3 3      a2   a    a  [SA; SB]   0; ax;    a  0; x;    a.n1 , vôùi n1   0; x;    3  3  3     a2  a    a  [SA; SC]  (ax; 0; )  a  x; 0;    a.n 2 , vôùi n2   x; 0;   . 3  3  3      Maët phaúng (SAB) coù caëp vectô chæ phöông SA, SB neân coù phaùp vectô n1 Trang 8
  9. Trường THPT Trưng Vương Ñaøo Phuù Huøng       Maët phaúng (SAC) coù caëp vectô chæ phöông SA, SC neân coù phaùp vectô n 2  Goùc phaúng nhò dieän (B; SA; C) baèng 60o. a a a2 0.x  x.0  3 3 9  cos60o   2 a 2 2 a 2 9x  a2 2 0x  x 0 9 9 9 1 a2 a   2  9x2  a2  2a2  9x2  a2  x  . 2 9x  a2 3 a  Vaäy, x  . 3 BÀI 5 Caâu 1: Trong khoâng gian Oxyz, tìm treân Ox ñieåm A caùch ñeàu ñöôøng thaúng x 1 y z  2 (d) :   vaø maët phaúng () : 2x – y – 2z = 0. 1 2 2 Caâu 2: Cho hình choùp SABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu coù caïnh baèng 2a 2 , SA vuoâng goùc vôùi (ABC) vaø SA = a. Goïi E, F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caïnh AB, BC. Tính goùc vaø khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng SE vaø AF. GIẢI Caâu 1: Goïi A(a; 0; 0)  Ox . 2a 2a  Khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng () : d(A; )   22  12  22 3   () qua M0 (1; 0;  2) vaø coù vectô chæ phöông u  (1; 2; 2)    Ñaët M0 M1  u  Do ñoù: d(A; ) laø ñöôøng cao veõ töø A trong tam giaùc AM0 M1    2.SAM0M1 [AM0 ; u] 8a2  24a  36  d(A; )     M0 M1 u 3  Theo giaû thieát: d(A; ) = d(A; ) Trang 9
  10. Trường THPT Trưng Vương Ñaøo Phuù Huøng 2a 8a2  24a  36    4a2  8a2  24a  36  4a2  24a  36  0 3 3 2  4(a  3)  0  a  3.  Vaäy, coù moät ñieåm A(3; 0; 0). Caâu 2: S Caùch 1:  Goïi M laø trung ñieåm cuûa BF  EM // AF    (SA; AF)  (EM; AF)  SEM   SAE vuoâng taïi A coù: SE2  SA2  AE  a2  2a2  3a2  SE  a 3 H A C 2a 2. 3  AF  a 6  K F 2 E M a 6 B   EM  BM  MF  ; BF  a 2  2  SB2  SA2  AB2  a2  8a2  9a2  SB  3a   SF2  SA2  AF2  a2  6a2  7a2  SF  a 7   AÙp duïng ñònh lyù ñöôøng trung tuyeán SM trong SBF coù: 1 SB2  SF 2  2.SM2  BF 2 2 2 2 2 1 2 2 15a2  9a  7a  2SM  .2a  SM  2 2  Goïi  laø goùc nhoïn taïo bôûi SE vaø AF  AÙp duïng ñònh lyù haøm Coâsin vaøo SEM coù: 3a2 15a2 3a2    ES2  EM2  SM2 2 2   2  2. cos   cosSEM   2.ES.EM a 6 2 2 2. .a 3 2 o    45 . a 2  Döïng AK  ME; AH  SK. Ta coù: AK  MF  vaø AH  (SME) 2  Vì AF // ME  d(SE; AF)  d(AF; (SME))  AH. 1 1 1 1 2 3 a 3  SAK vuoâng coù: 2  2  2  2  2  2  AH  AH SA AK a a a 3 a 3  Vaäy, d(SE; AF)  . 3 z Caùch 2: a S  Döïng heä truïc Axyz, vôùi Ax, Ay, Az ñoâi moät vuoâng goùc, A(0; 0; 0), C A Trang 10 x F E y M
  11. Trường THPT Trưng Vương Ñaøo Phuù Huøng B(a 2; a 6; 0), C(a 2; a 6; 0), S(0; 0; a), a 2 a 6  E ; ; 0  ; F(0; a 6; 0)  2 2  a 2  vaø M  ; a 6; 0  .  2    a 2 a 6      a 2   SE   ; ;  a  ; AF  (a; a 6; 0), SM   ; a 6;  a   2 2   2   Goïi  laø goùc nhoïn taïo bôûi SE vaø AF.ta coù: a 2 a 6 0.  a 6. 0(a)    2 2 3a2 2 cos   cos(SE; AF)    . 2 2 a 3a 2 2 a 6.a 3 2 0  6a  0.  a 2 2    45o.    a2 6 a2 3  a 2 3 a2 3    [SE; SM]   ; 0;   ( 2; 0; 1)  n, vôùi n  ( 2; 0; 1)  2 2  2 2   Phöông trình maët phaúng (SEM) qua S vôùi phaùp vectô n : 2x  z  a  0. 00a a 2  Khoaûng caùch töø A ñeán (SEM): d(A;SEM)   2 1 3  Vì AF // EM  AF //(SEM)  d(SE; AF)  d(A; SEM) a 3  Vaäy, d(SE; AF)  . 3 ĐỀ 6 Caâu 1: Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä vuoâng goùc Oxyz cho maët phaúng (P) vaø maët caàu (S): (P): 2x  2y  z  m2  3m  0 ; (S) : (x  1)2  (y  1)2  (z  1)2  9 . Tìm m ñeå (P) tieáp xuùc (S). Vôùi m tìm ñöôïc xaùc ñònh toïa ñoä tieáp ñieåm. Caâu : Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng taïi B, AB = a, BC = 2a, caïnh SA vuoâng goùc vôùi ñaùy vaø SA = 2a. Goïi M laø trung ñieåm SC. Chöùng minh MAB caân vaø tính dieän tích MAB theo a. LỜI GIẢI Caâu 1: Trang 11
  12. Trường THPT Trưng Vương Ñaøo Phuù Huøng (P) : 2x  2y  z  m2  3m  0 (S) : (x  1)2  (y  1)2  (x  1)2  9 coù taâm I(1; -1; 1) vaø baùn kính R = 3. (P) tieáp xuùc (S)  d[I, (P)]  R 2.1  2.(1)  1.1  m 2  3m 2  m 2  3m  1  9 m  2   3  m  3m  1  9   2   22  22  12  m  3m  1  9   m  5  Vaäy, (P) tieáp xuùc (S) khi m = -5 hay m = 2, khi ñoù (P): 2x + 2y + z – 10 = 0  Ñöôøng thaúng (d) qua I vaø vuoâng goùc vôùi (P) coù phöông trình: x 1 y 1 z 1   2 2 1 2x  2y  z  10  0 x  3    Toïa ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm cuûa heä:  x  1 y  1 z  1  y  1  2  2  1  z  2   Vaäy, toïa ñoä tieáp ñieåm M(3; 1; 2). S Caâu 2: Caùch 1: M  Ta coù: SA  (ABC)  SA  AC. Do ñoù SAC vuoâng taïi A coù AM laø 1 trung tuyeán neân MA  SC. A C 2 H K SA  (ABC)  Ta laïi coù:  B AB  BC (ABC vuoâng taïi B)  SB  BC (ñònh lyù 3 ñöôøng vuoâng goùc) 1 Do ñoù SBC vuoâng taïi B coù BM laø trung tuyeán neân MB  SC. 2  Suy ra: MA = MB  MAB caân taïi M.  Döïng MH // SA vaø HK // BC (H  AC; K  AB)  1 SA  (ABC) MH  (ABC) MH  2 SA  a  vì:     BC  AB HK  AB HK  1 BC  a   2  MHK vuoâng taïi H coù: MK2  MH2  HK2  a2  a2  2a2  MK  a 2 1 1 a2 2  Dieän tích MAB: SMAB  .MK.AB  .a 2.a  2 2 2 Caùch 2: Trang 12
  13. Trường THPT Trưng Vương Ñaøo Phuù Huøng  ABC vuoâng taïi B coù: z AC2  AB2  BC2  a2  4a2  5a2 2a S  AC  a 5  Döïng BH  AC (H  AC), ta coù: M AB2 a2 a  AH    AC a 5 5 H C y A 1 1 1 5 a 5  2  2  2  2 K BH AB BC 4a x a B 2a  BH  5 5  Döïng heä truïc toïa vuoâng goùc Axyz, vôùi Ax, Ay, Az ñoâi moät vuoân g goùc vaø  2a a  A(0; 0; 0), C(0; a 5; 0), S(0; 0; 2a), B  ; ; 0  5 5   a 5   Toïa ñoä trung ñieåm M cuûa SC laø M  0; ; a  2    a 5   3a  Ta coù: MA   0; ; a   MA   2  2   2a 3a  3a MB    ; ; a   MB  .  5 2 5  2 suy ra: MA = MB  MAB caân taïi M.    a2  2a2 2      Ta coù: [MA; MB]   ; ; a   [MA; MB]  a2 2  5 5  1    1 a2 2  Dieän tích MAB: SMAB  [MA; MB]  .a2 2  . 2 2 2 BÀI 7 Caâu 1: Cho hình choùp ñeàu S.ABC, ñaùy ABC coù caïnh baèng a, maët beân taïo vôùi ñaùy moät goùc baèng  (0o    90o ) . Tính theå tích khoái hình choùp S.ABC vaø khoaûng caùch töø ñænh A ñeán maët phaúng (SBC). Caâu 2: . Trong khoâng gian oxyz cho hai ñöôøng thaúng: x  2 t  x  y  3  0 (d1) : y  t ; (d2) :  z  4 4x  4y  3z 12  0  Chöùng minh (d1) vaø (d2) cheùo nhau. Vieát phöông trình maët caàu (S) coù ñöôøng kính laø ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa (d1) vaø (d2). Trang 13
  14. Trường THPT Trưng Vương Ñaøo Phuù Huøng GIẢI Caâu 1: S Caùch 1:  Goïi H laø trung ñieåm cuûa BC.  Do S.ABC ñeàu vaø ABC ñeàu neân chaân ñöôøng cao ñænh S truøng vôùi giao ñieåm ba ñöôøng cao laø tröïc taâm O A C  cuûa ABC vaø coù SBC caân taïi S. O H  suy ra: BC  SH, BC  AH, neân SHA   . B 1 a 3  Ta coù: OH  AH  . 3 6 a 3 HO a 3 SHO vuoâng goùc: SO  HO.tg  tg vaø SH   6 cos  6.cos  1 1 a 3 a2 3 a3tg  Theå tích hình choùp S.ABC: V  .SO.SABC  . tg.  3 3 6 4 24 1 a2 3  Dieän tích SBC: SSBC  .SH.BC  2 12.cos   Goïi h laø khoaûng caùch töø A ñeán (SBC), ta coù: 1 3.V a3tg a2 3 a 3 V  .h.SSBC  h   3. :  sin  3 SSBC 24 12 cos  2 Caùch 2:  Vì S.ABC laø hình choùp ñeàu z neân chaân ñöôøng cao ñænh S truøng S vôùi taâm O ñöôøng troøn (ABC).  Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC. Ta coù: 2 a 3 a 3 - AO  AM  vaø OM  C 3 3 6  A  - AM  BC, SM  BC  SMA   O M y - SOM vuoâng coù: a 3 x B SO  OM.tg  tg 6  Döïng heä truïc toïa ñoä Axyz, vôùi Ax, Ay, Az ñoâi moät vuoâng goùc, A(0; 0; 0), a a 3   a a 3   a 3   a 3   a 3 a 3  B ; ; 0  ,C   ; ; 0  ,M  0; ; 0  , O  0; ; 0  , S  0; ; tg  2 2   2 2   2   3   3 6  1 a3tg  Theå tích hình choùp: V  .SO.SABC  3 24 Trang 14
  15. Trường THPT Trưng Vương Ñaøo Phuù Huøng   a a 3 a 3    Ta coù: BS    ;  ; tg  , BC  (a; 0; 0)  2 6 6     a2 3 a2 3    [BS; BC]   0;  tg;  n  6 6    Phöông trình maët phaúng (SBC) qua B vôùi vectô phaùp tuyeán n :  a  a2 3  a 3  a2 3 O x    tg  y   (z  0)  0  2 6  2  6 a 3  (SBC) : tgy  z  tg  0. 2  Khoaûng caùch d töø A ñeán (SBC): a 3 a 3 tg.O  O  tg tg 2 2 a 3 d   sin . tg2  1 1 2 cos  Caâu 2:  (d1) ñi qua ñieåm A(0; 0; 4) vaø coù vectô chæ phöông u1  (2; 1; 0)  (d2) ñi qua ñieåm B(3; 0; 0) vaø coù vectô chæ phöông u2  (3;  3; 0)   AB  (3; 0;  4)          AB.[u1; u2 ]  36  0  AB, u1 , u2 khoâng ñoàng phaúng.  Vaäy, (d1) vaø (d2) cheùo nhau. x  3  t /   (d2) coù phöông trình tham soá: y   t / z  0   Goïi MN laø ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa (d 1) vaø (d2)  M  (d1 )  M(2t; t; 4) , N  (d2 )  N(3  t / ;  t / ; 0)    MN  (3  t /  2t;  t /  t;  4)    MN  u1  2(3  t /  2)  (t /  t)  0  t /  1 M(2; 1; 4)  Ta coù:         t  1 N(2; 1; 0) / / MN  u2  3  t  2t  (t  t)  0  1  Toïa ñoä trung ñieåm I cuûa MN: I(2; 1; 2), baùn kính R  MN  2. 2  Vaäy, phöông trình maët caàu (S): (x  2)  (y  1)  (z  2)2  4. 2 2 Trang 15
  16. Trường THPT Trưng Vương Ñaøo Phuù Huøng BÀI 8 Caâu 1: Trong khoâng gian Oxyz coù 2 maët phaúng (P): 3x + 12y – 3z – 5 = 0, (Q): 3x – 4y + 9z + 7 = 0 vaø 2 ñöôøng thaúng: x  5 y  3 z 1 x  3 y 1 z  2 (d1):   ; (d 2 ) :   2 4 3 2 3 4 Vieát phöông trình ñöôøng thaúng () song song vôùi hai maët phaúng (P) vaø (Q), vaø caét hai ñöôøng thaúng (d1) vaø (d2). Caâu 2: Cho hình laäp phöông ABCD . A'B'C'D' caïnh a. M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø C'D'. Tính khoaûng caùch töø B' ñeán (A'MCN). GIẢI Caâu 1:  / / (P) coù phaùp vectô nP  (3; 12;  3)  3(1; 4;  1)  3n P , vôùi nP  (1; 4;  1)   (Q) coù phaùp vectô nQ  (3;  4; 9)     (d1) coù vectô chæ phöông u1  (2;  4; 3)  nq Q  np P  (d2) coù vectô chæ phöông u2  (2; 3; 4)  ( / )  (P)  (Q)  u Q/  / / P/ (P )//(P), (Q )//(Q)  Goïi:  / /  u1 (d1 )  (P ), (d 2 )  (Q )  u2   / A  u  u d1 Bd 2 /  Suy ra () laø giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (P ) vaø (Q/), vaø () // (/).  /  /  () coù vectô chæ phöông u  [nP ; nQ ]  (32;  12;  16)  4(8;  3;  4)  4u , / vôùi u  (8;  3;  4).  /  mp (P/) coù caëp vectô chæ phöông u1 vaø u neân coù phaùp vectô:   / nP/  [u1; u ]  (25; 32; 26)   Phöông trình mp (P/) chöùa (d1) ñi qua ñieåm A(-5; 3; -1)  (d1 ) vôùi n P / laø: 25(x + 5) + 32(y – 3) + 26(z + 1) = 0 /  (P ) : 25x  32y  26z  55  0  /  mp (Q/) coù caëp vectô chæ phöông u2 vaø u neân coù phaùp vectô:   / nQ/  [u2 ; u ]  (0; 24;  18) Trang 16
  17. Trường THPT Trưng Vương Ñaøo Phuù Huøng   Phöông trình mp (Q/) chöùa (d2) ñi qua ñieåm B(3; -1; 2)  (d 2 ) vôùi n Q/ laø: 0(x  3)  24(y  1)  18(z  2)  0 /  (Q ) : 4y  3x  10  0  Ta coù: ()  (P / )  (Q/ ). 25x  32y  26z  55  0  Vaäy, phöông trình ñöôøng thaúng () :  4y  3z  10  0 Caâu 2: Caùch 1:  Boán tam giaùc vuoâng AA/ M, BCM, CC/ N, A/ D/ N baèng nhau (c.g.c) D/ N C/ / /  A M  MC  CN  NA  A/ MCN laø hình thoi. A/ B/  Hai hình choùp B/A/MCN vaø B/.A/NC coù chung ñöôøng cao veõ töø ñænh B/ vaø SA/ MCN  2.SA/ NC D C neân: VB/ .A/ MCN  2.VB/ .A/ NC. A B M 1 1 1 a3 a3  Maø: VB/ .ANC  VC.A/ B/ N  .CC/ .SA/ B/ N  .a. .a.a   VB/ .A/ MCN  . 3 3 2 6 3 1  Ta coù: SA/ MCN  .A / C.MN, vôùi A/ C  a 3; MN  BC/  a 2 2 a2 6  SA/ MCN  . 2 1  Goïi H laø hình chieáu cuûa B/ treân (A/MCN), ta coù: VB/ .A/ MCN  .B/ H.SA/ MCN 3 3.VB/ .A/ MCN a3 a2 6 a 6  B/ H   3. :  . SA/ MCN 3 2 3 Caùch 2:  Choïn heä truïc Dxyz, vôùi Dx, Dy, Dz z ñoâi moät vuoâng goùc, a D / N C/ A(a; 0; 0), B(a; a; 0), C(0; a; 0), A/ D(0; 0; 0), A/(a; 0; a), B/(a; a; a), C/(0; a; a), D/(0; 0; a),  a   a  D C M  a; ; 0  , N  0; ; a  a y  2   2  A   a M B  Ta coù: A/ C  (a; a;  a), MN  (a; 0; a) x     [A C; MN]  (a2 ; 2a2 ; a2 )  a2 (1; 2; 1) /    a2 .n vôùi n  (1; 2; 1). Trang 17
  18. Trường THPT Trưng Vương Ñaøo Phuù Huøng   Phöông trình mp (A/MCN) qua C(0; a; 0) vôùi phaùp vectô n : 1(x  0)  2(y  a)  1(z  0)  0  (A/ MCN) : x  2y  z  2a  0.  Khoaûng caùch d töø B/(a; a; a) ñeán mp(A/MCN): a  2a  a  2a 2a a 6 d   . 1 4 1 6 3 ĐỀ 9 Caâu 1: Trong khoâng gian Oxyz cho 2 ñöôøng thaúng: x  t x  t '   (d1) : y  4  t ; vaø (d2) : y  3t '  6 z  6  2 t z  t '  1   Goïi K laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñieåm I(1; -1; 1) treân (d2). Tìm phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng qua K vuoâng goùc vôùi (d 1) vaø caét (d1). Caâu 2: 1. Tính theå tích cuûa hình choùp S.ABC, bieát ñaùy ABC laø moät tam giaùc ñeàu caïnh a, maët beân (SAB) vuoâng goùc vôùi ñaùy, hai maët beân coøn laïi cuøng taïo vôùi ñaùy goùc . GIẢI Caâu 1:  (d1) coù vectô chæ phöông u1  (1; 1; 2)  (d2) coù vectô chæ phöông u2  (1; 3; 1)   K(d2 )  K(t / ; 3t /  6; t /  1)  IK  (t /  1; 3t /  5; t /  2)   18  18 12 7   IK  u2  t /  1  9t /  15  t /  2  0  t /   K ;  ;  11  11 11 11   Giaû söû () caét (d1) taïi H(t; 4  t; 6  2t), (H  (d1 ))   18 56 59   HK    t;   t;   2t   11 11 11    18 56 118 26  HK  u1  t t  4t  0  t   11 11 11 11   30 7 1  HK   4;  ;    (44;  30;  7).  11 11  11 Trang 18
  19. Trường THPT Trưng Vương Ñaøo Phuù Huøng  18 x  11  44   12  Vaäy, phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng ():  y    30 .  11  7 z   7  11  Caâu 2: Caùch 1:  Döïng SH  AB S  Ta coù: (SAB)  (ABC), (SAB)  (ABC)  AB, SH  (SAB)  SH  (ABC) vaø SH laø ñöôøng cao cuûa hình choùp.  Döïng HN  BC, HP  AC B    SN  BC, SP  AC  SPH  SNH   N H   SHN = SHP  HN = HP.  C a 3 P  AHP vuoâng coù: HP  HA.sin 60o  . A 4 a 3  SHP vuoâng coù: SH  HP.tg  tg 4 1 1 a 3 a2 3 a3  Theå tích hình choùp S.ABC : V  .SH.SABC  . .tg.  tg 3 3 4 4 16 Caùch 2:  Döïng SH  AB  Ta coù: (SAB)  (ABC), (SAB)  (ABC)  B, SH  (SAB)  SH  (ABC)  Vì (SAC) vaø (SBC) cuøng taïo vôùi (ABC) moät goùc  vaø ABC ñeàu, neân suy ra H laø trung ñieåm AB.  Döïng heä truïc toïa ñoä Hxyz, vôùi Hx, Hy, Hz z ñoâi moät vuoâng goùc, H(0; 0; 0), h S a   a  A  ; 0; 0  ; B   ; 0; 0  , 2   2   a 3  C  0; ; 0  , S(0; 0; h), (h  0). B  2   Phöông trình mp (ABC): H C  a 3 y z = 0, vôùi phaùp vectô n1  (0; 0;1) A 2 a  Phöông trình mp (SAC): 2 x y z x   1 a a 3 h   (SAC) : 2h 3x  2hy  a 3z  ah 3  0 vôùi n2  (2h 3; 2h; a 3)  (SAC) taïo vôùi (ABC) moät goùc : Trang 19
  20. Trường THPT Trưng Vương Ñaøo Phuù Huøng 00a 3 a 3 cos    2 2 2 0  0  1. 12h  4h  3a 16h 2  3a2 1 2 16h 2  3a2   1  tg   cos2  3a2 3a2 tg2 a 3  h2   h tg 16 4 1 1 a 3 a2 3 a3  Theå tích hình choùp S.ABC: V  .h.SABC  . tg.  tg . 3 3 4 4 16 ĐỀ 10 Caâu 1: Trong khoâng gian Oxyz cho 2 ñöôøng thaúng: x  3 y 1 z 1 x 7 y 3 z 9 (1) :   ; ( 2 ):   7 2 3 1 2 1 1. Laäp phöông trình chính taéc cuûa ñöôøng thaúng (3) ñoái xöùng vôùi (2) qua (1). 2. Xeùt maët phaúng ( : x + y + z + 3 = 0. Vieát phöông trình hình chieáu cuûa (2) theo phöông (1) leân maët phaúng ().   3. Tìm ñieåm M treân maët phaúng () ñeå MM1  MM2 ñaït giaù trò nhoû nhaát bieát M1(3; 1; 1) vaø M2(7; 3; 9). Caâu 2: Cho laêng truï ñöùng ABC.A'B'C' coù ñaùy ABC laø tam giaùc caân vôùi AB = AC = a, goùc  BAC  120o , caïnh beân BB' = a. Goïi I laø trung ñieåm CC'. Chöùng minh AB'I vuoâng taïi A vaø tính cosin cuûa goùc giöõa hai maët phaúng (ABC) vaø (AB'I). GIẢI Caâu 1: x  3  7t1   1.  (1 ) : y  1  2t1 coù vectô chæ phöông u1  (7; 2; 3) z  1  3t  1 x  7  7t 2  qua A (7; 3; 9), B(8; 5; 8) vaø  ( 2 ) : y  3  2t 2  B  z  9  t coù vectô chæ phöông u2  (1; 2;  1)  2 A   Goïi H laø hình chieáu cuûa A treân (1) u1   H  (1 )  H(3  7t1; 1  2t1; 1  3t1 ) H K   AH  (4  7t1;  2  2t1;  8  3t1 ) A/ Trang 20 B/ 
Đồng bộ tài khoản