35 đề thi đại học 2010_Đáp án

Chia sẻ: Trung Tuyet Mai Mai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:60

0
123
lượt xem
72
download

35 đề thi đại học 2010_Đáp án

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu '35 đề thi đại học 2010_đáp án', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: 35 đề thi đại học 2010_Đáp án

  1. MATHVN.COM - www.mathvn.com Đáp án 35 đề LTĐH 2010 Hướng dẫn giải giải ĐỀ SỐ 1 Câu I: 2) Gọi M(m; 2) Î d. Phương trình đường thẳng D qua M có dạng: y = k( x - m) + 2 . Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến với (C) Û Hệ phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: ì - x3 + 3 x2 - 2 = k( x - m) + 2 (1) ì 5 ï ï í 2 Û ím < -1 hoaëc m > 3 ï -3 x + 6 x = k î (2) ïm ¹ 2 î Câu II: 1) Đặt t = 2 x + 3 + x + 1 > 0. (2) Û x = 3 2) 2) Û (sin x + cos x) é 4(cos x - sin x) - sin 2 x - 4 ù = 0 ë û p 3p Û x=- + kp ; x = k2p ; x = + k2p 4 2 33 7 3 33 Câu III: (sin4 x + cos4 x)(sin6 x + cos6 x) = + cos 4 x + cos8 x Þ I = p 64 16 64 128 V1 SM SN SM 1 Câu IV: Đặt V1=VS.AMN; V2=VA..BCNM; V=VS.ABC; . = = . (1) V SB SC SB 2 2 4a SM 4 V 2 V 3 3 AM = a; SM= Þ = Þ 1 = Þ 2 = Þ V2 = V (2) 5 5 SB 5 V 5 V 5 5 3 1 a . 3 a3 . 3 V = SDABC .SA = Þ V2 = 3 3 5 Câu V: a 4 + b4 ³ 2a2 b2 (1); b4 + c 4 ³ 2b2 c2 (2); c 4 + a4 ³ 2c2 a2 (3) Þ a 4 + b4 + c 4 ³ abc(a + b + c) Þ a4 + b 4 + c 4 + abcd ³ abc( a + b + c + d ) 1 1 Þ £ (4) Þ đpcm. 4 4 4 a + b + c + abcd abc(a + b + c + d ) Câu VI.a: 1) A(3; 1), B(5; 5) Þ (C): x2 + y 2 - 4 x - 8y + 10 = 0 x y z 2) Gọi I(a;0;0), J(0;b;0), K(0;0;c) Þ ( P) : + + = 1 a b c ì4 5 6 ì 77 uu r uur + + =1 ïa b c ïa = 4 IA = (4 - a;5; 6), JA = (4;5 - b; 6) ï ï ï Þ í-5b + 6c = 0 Þ íb = 77 uuur uur ï JK = (0; -b; c), IK = (- a; 0; c) ï 5 ï-4a + 6c = 0 î ïc = 77 ï î 6 Câu VII.a: a + bi = (c + di) Þ |a + bi| = |(c + di) | n n Þ |a + bi|2 = |(c + di)n |2 = |(c + di)|2n Þ a2 + b2 = (c2 + d2)n Câu VI.b: 1) Tìm được C (1; -1) , C2 (-2; -10) . 1 11 11 16 + Với C1 (1; -1) Þ (C): x2 + y 2 - x+ y + = 0 3 3 3 91 91 416 + Với C2 (-2; -10) Þ (C): x2 + y 2 - x + y + =0 3 3 3 2) Gọi (P) là mặt phẳng qua AB và (P) ^ (Oxy) Þ (P): 5x – 4y = 0 (Q) là mặt phẳng qua CD và (Q) ^ (Oxy) Þ (Q): 2x + 3y – 6 = 0 Ta có (D) = (P)Ç(Q) Þ Phương trình của (D) Link download 35 đề LTĐH: http://bit.ly/c0nGIx (hoặc vào www.mathvn.com và search)
  2. MATHVN.COM - www.mathvn.com Đáp án 35 đề LTĐH 2010 ìx = a ì x= 2 Câu VII.b: í vôùi a > 0 tuyø yù vaø í îy = a î y= 1 Hướng dẫn giải ĐỀ SỐ 2 Câu I: 2) Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và trục hoành: x3 - 3mx2 + 9 x - 7 = 0 (1) Gọi hoành độ các giao điểm lần lượt là x1; x2 ; x3 . Ta có: x1 + x2 + x3 = 3m Để x1; x2 ; x3 lập thành cấp số cộng thì x2 = m là nghiệm của phương trình (1) ém = 1 -1 - 15 Þ -2m + 9m - 7 = 0 Û ê 3 . Thử lại ta được : m= ê m = -1 ± 15 2 ê ë 2 é kp êx = Câu II: 1) sin2 3 x - cos2 4 x = sin2 5 x - cos2 6 x Û cos x(cos7 x - cos11x) = 0 Û ê 2 êx = kp ê ë 9 2) 0 < x £ 1 3 x+7 -2 2 - 5 - x2 1 1 7 Câu III: A = lim + lim = + = x®1 x -1 x®1 x -1 12 2 12 2 Câu IV: VANIB = 36 Câu V: Thay x = F - 3 y vào bpt ta được: 50 y 2 - 30 Fy + 5F2 - 5F + 8 £ 0 Vì bpt luôn tồn tại y nên D y ³ 0 Û - 25 F 2 + 250 F - 400 ³ 0 Û 2 £ F £ 8 Vậy GTLN của F = x + 3 y là 8. Câu VI.a: 1) AF1+AF2 = 2a và BF +BF2 = 2a Þ AF1 + AF2 + BF + BF2 = 4a = 20 1 1 Mà AF1 + BF2 = 8 Þ AF2 + BF = 12 1 2) B(4;2; -2) Câu VII.a: x = 2; x = 1 - 33 é 2 2 2 Câu VI.b: 1) Phương trình đường tròn có dạng: ê( x - a)2 + ( y + a)2 = a2 (a) ê( x - a) + ( y - a ) = a ë (b) a) Þ ê a = 1 é b) Þ vô nghiệm. ëa = 5 Kết luận: ( x - 1)2 + ( y + 1)2 = 1 và ( x - 5)2 + ( y + 5)2 = 25 r uu uur r r x -1 y -1 z + 2 2) u = éud ; nP ù = (2;5; -3) . D nhận u làm VTCP Þ D : ë û = = 2 5 -3 Câu VII.b: Toạ độ các điểm cực trị lần lượt là: A(m;3m + 1) và B(-3m; -5m2 + 1) 2 Vì y1 = 3m2 + 1 > 0 nên để một cực trị của (Cm ) thuộc góc phần tư thứ I, một cực trị của (Cm ) ìm > 0 ï 1 thuộc góc phần tư thứ III của hệ toạ độ Oxy thì í-3m < 0 Û m> . ï-5m2 + 1 < 0 5 î Link download 35 đề LTĐH: http://bit.ly/c0nGIx (hoặc vào www.mathvn.com và search)
  3. MATHVN.COM - www.mathvn.com Đáp án 35 đề LTĐH 2010 Hướng dẫn giải ĐỀ SỐ 3 Câu I: 2) Giả sử A(a; a3 - 3a 2 + 1), B(b; b3 - 3b 2 + 1) (a ¹ b) Vì tiếp tuyến của (C) tại A và B song song suy ra y ¢ (a) = y ¢ (b) Û (a - b)(a + b - 2) = 0 Û a + b - 2 = 0 Û b = 2 – a Þ a ¹ 1 (vì a ¹ b). AB2 = (b - a)2 + (b3 - 3b2 + 1 - a3 + 3a2 - 1)2 = 4(a - 1)6 - 24(a - 1)4 + 40(a - 1)2 AB = 4 2 Û 4(a - 1)6 - 24(a - 1)4 + 40(a - 1)2 = 32 Û ê a = 3 Þ b = -1 é ë a = -1 Þ b = 3 Þ A(3; 1) và B(–1; –3) Câu II: 1) (1) Û ( x + 3) x - 1 = 4 x Û x = 3; x = -3 + 2 3 é 5p 2p æ pö æp ö êx = +k (k Î Z ) (a) 2) (2) Û sin ç 2 x - ÷ = sin ç - x ÷ Û ê 18 3 è 3ø è2 ø ê x = 5p + l 2p (l Î Z ) (b) ê ë 6 æ pö 5p Vì x Î ç 0; ÷ nên x= . è 2ø 18 p p p p - 2 2 2 2 Câu III: Đặt x = –t Þ ò f ( x ) dx = ò f ( -t )( -dt ) = ò f ( -t ) dt = ò f ( - x ) dx -p p p p - - 2 2 2 2 p p p 2 2 2 Þ2 ò f ( x)dx = ò é f ( x) + f (- x)ù dx = ë û ò cos4 xdx -p p -p - 2 2 2 3 1 1 3p cos4 x =+ cos2 x + cos 4 x Þ I = . 8 2 8 16 1 uuur uuu uuu a3 2 r r Câu IV: V = é AH, AK ù . AO = ë û 6 27 Câu V: Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: a ab2 c ab2 c ab c ab(1 + c) ab abc =a- ³a- =a- ³a- =a- - (1) 1+ b c 2 1+ b c 2 2b c 2 4 4 4 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi b = c = 1 b bc2 d bc2 d bc d bc (1 + d ) bc bcd =b- ³b- =b- ³b- =b- - (2) 1+ c2 d 1 + c2 d 2c d 2 4 4 4 c cd 2 a cd 2 a cd a cd (1 + a ) cd cda =c- ³c- =c- ³c- =c- - (3) 1+ d 2 a 1 + d 2a 2d a 2 4 4 4 d da2 b da2 b da b da (1 + b ) da dab =d- ³d- =d- ³d- =d- - (4) 1+ a 2 b 1 + a2 b 2a b 2 4 4 4 Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: a b c d ab + bc + cd + da abc + bcd + cda + dab + + + ³4- - 1+ b c 2 1+ c d2 1+ d a 2 1+ a b 2 4 4 Mặt khác: 2 æa+c+b+d ö · ab + bc + cd + da = ( a + c )( b + d ) £ ç ÷ = 4 . Dấu "=" xảy ra Û a+c = b+d è 2 ø Link download 35 đề LTĐH: http://bit.ly/c0nGIx (hoặc vào www.mathvn.com và search)
  4. MATHVN.COM - www.mathvn.com Đáp án 35 đề LTĐH 2010 2 2 æa+bö æc+dö · abc + bcd + cda + dab = ab ( c + d ) + cd ( b + a ) £ ç ÷ (c + d ) + ç ÷ (b + a) è 2 ø è 2 ø æa+b c+dö Û abc + bcd + cda + dab £ ( a + b )( c + d ) ç + ÷ = ( a + b )( c + d ) è 4 4 ø 2 æa+b+c+d ö Û abc + bcd + cda + dab £ ç ÷ = 4 . Dấu "=" xảy ra Û a = b = c = d = 1. è 2 ø a b c d 4 4 Vậy ta có: + + + ³4- - 2 2 2 1+ b c 1+ c d 1+ d a 1+ a b 2 4 4 a b c d Û + + + ³ 2 Þ đpcm. 2 2 2 1+ b c 1+ c d 1+ d a 1 + a2 b Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1. Câu VI.a: 1) Ptts của d: í x = t ì . Giả sử C(t; –4 + 3t) Î d. î y = -4 + 3t uuu uuu r r 1 1 ( ) 2 3 é t = -2 S= AB. AC .sin A = AB2 . AC 2 - AB. AC = Û 4t 2 + 4t + 1 = 3 Û ê 2 2 2 ët = 1 Þ C(–2; –10) hoặc C(1;–1). r uu uuu r r r 2) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Þ (Q) có VTPT n = é np , ABù = ( 0; -8; -12 ) ¹ 0 ë û Þ (Q) :2 y + 3z - 11 = 0 Câu VII.a: Vì z = 1 + i là một nghiệm của phương trình: z2 + bx + c = 0 nên: ìb + c = 0 ì b = -2 (1 + i)2 + b(1 + i ) + c = 0 Û b + c + (2 + b)i = 0 Û í Ûí î2 + b = 0 îc = 2 Câu VI.b: 1) A(–4, 2), B(–3, –2), C(1, 0) 2) Phương trình mặt phẳng (a) chứa AB và song song d: (a): 6x + 3y + 2z – 12 = 0 Phương trình mặt phẳng (b) chứa OC và song song d: (b): 3x – 3y + z = 0 ì6x + 3y + 2z - 12 = 0 D là giao tuyến của (a) và (b) Þ D: í î3x - 3y + z = 0 é z = -1 êz = 2 Câu VII.b: z4 – z3 + 6 z 2 – 8z –16 = 0 Û ( z + 1)( z - 2)( z 2 + 8) = 0 Û ê ê z = 2 2i ê z = -2 2i ë Hướng dẫn giải ĐỀ SỐ 4 9 9 Câu I: 2) x4 - 5 x2 + 4 = log2 m có 6 nghiệm Û log12 m = Û m = 12 4 = 144 4 12 4 ì p p Câu II: 1) (1) Û í- cos 2 x - cos x cos 2 x = 2 cos 2 x Û cos2x = 0 Û x = + k 2 îsin 2 x ¹ 0 4 2 2 t2 - 2 2) Đặt t = x - 2x + 2 . (2) Û m £ (1 £ t £ 2),do x Î [0;1 + 3] t +1 Link download 35 đề LTĐH: http://bit.ly/c0nGIx (hoặc vào www.mathvn.com và search)
  5. MATHVN.COM - www.mathvn.com Đáp án 35 đề LTĐH 2010 t2 - 2 t 2 + 2t + 2 Khảo sát g(t) = với 1 £ t £ 2. g'(t) = > 0 . Vậy g tăng trên [1,2] t +1 (t + 1)2 t2 - 2 2 Do đó, ycbt Û bpt m £ có nghiệm t Î [1,2] Û m £ max g(t ) = g(2) = t +1 tÎ[1;2] 3 3 t2 Câu III: Đặt t = 2x + 1 . I = ò 1 1+ t dt = 2 + ln2. 1 uuuuu uuu uuuu r r r a3 15 1 uuur uuuuu r Câu IV: VAA BM = A A 1. é AB, AM ù = ë û ; SDBMA = é MB, MA 1 ù = 3a2 3 1 6 3 1 2 ë û 3V a 5 Þ d= = . S 3 1 3 5 Câu V: Áp dụng BĐT Cô–si: ( x + y ) ³ xy ; ( y + z ) ³ 3 xy ; ( z + x ) ³ 5 xy Þ đpcm 2 2 2 Câu VI.a: 1) B, C Î (Oxy). Gọi I là trung điểm của BC Þ I(0; 3; 0) . · = 450 Þ a = · = 450 . MIO NIO 3æ 3ö 3 2) VBCMN = VMOBC + VNOBC = ç a + ÷ đạt nhỏ nhất Û a = Û a = 3 . 3 è aø a Câu VII.a: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số Þ x = y = 0. Câu VI.b: 1) 2x + 5y + z - 11 = 0 2) A, B nằm cùng phía đối với (P). Gọi A¢ là điểm đối xứng với A qua (P) Þ A '(3;1;0) Để M Î (P) có MA + MB nhỏ nhất thì M là giao điểm của (P) với A¢B Þ M(2;2; -3) . log2 x + 1 é 1 Câu VII.b: (log x 8 + log 4 x2 ) log2 2 x ³ 0 Û ³ 0 Û ê0 < x £ 2 . log2 x ê ë x >1 Hướng dẫn giải ĐỀ SỐ 5 æ 3 ö Câu I: 2) Gọi M ç x0 ;2 + ÷ Î(C). è x0 - 1 ø -3 3 Tiếp tuyến d tại M có dạng: y = ( x - x0 ) + 2 + ( x0 - 1)2 x0 - 1 æ 6 ö Các giao điểm của d với 2 tiệm cận: A ç1; 2 + ÷ , B(2x0 –1; 2). è x0 - 1 ø SDIAB = 6 (không đổi) Þ chu vi DIAB đạt giá trị nhỏ nhất khi IA= IB 6 é x0 = 1 + 3 Û = 2 x0 - 1 Þ ê Þ M1( 1 + 3; 2 + 3 ); M2( 1 - 3;2 - 3 ) x0 - 1 ê x0 = 1 - 3 ë ì 2(1 - cos x)sin x(2cos x - 1) = 0 p Câu II: 1) (1) Û í Û 2cosx – 1 = 0 Û x = ± + k 2p îsin x ¹ 0, cos x ¹ 0 3 ì( x 2 - 2) 2 + ( y - 3) 2 = 4 ï ì x2 - 2 = u 2) (2) Û í . Đặt í ï( x - 2 + 4)( y - 3 + 3) + x - 2 - 20 = 0 îy -3 = v 2 2 î Link download 35 đề LTĐH: http://bit.ly/c0nGIx (hoặc vào www.mathvn.com và search)
  6. MATHVN.COM - www.mathvn.com Đáp án 35 đề LTĐH 2010 ìu 2 + v 2 = 4 ìu = 2 ìu = 0 Khi đó (2) Û í Ûí hoặc í îu.v + 4(u + v) = 8 îv = 0 îv = 2 ì x = 2 ì x = -2 ì x = 2 ì x = - 2 ï ï Þ í ;í ;í ;í îy = 3 îy = 3 ïy = 5 ïy = 5 î î 1 1 t 1 Câu III: Đặt t = sin2x Þ I= ò e (1 - t )dt = 2 e 20 4 3 tan a tan 2 a tan 2 a 1 1 1 Câu IV: V= a. . Ta có = . . £ 3 (2 + tan a ) 2 3 (2 + tan a ) 2 3 2 + tan a 2 + tan a 2 + tan a 27 2 2 2 4a 3 3 Þ V max = khi đó tan 2 a =1 Þ a = 45 o . 27 Câu V: Với x, y, z > 0 ta có 4( x3 + y 3 ) ³ ( x + y )3 . Dấu "=" xảy ra Û x = y Tương tự ta có: 4( y 3 + z 3 ) ³ ( y + z )3 . Dấu "=" xảy ra Û y = z 4( z + x ) ³ ( z + x) . 3 3 3 Dấu "=" xảy ra Û z = x Þ 3 4( x3 + y 3 ) + 3 4( y 3 + z 3 ) + 3 4( z 3 + x3 ) ³ 2( x + y + z ) ³ 6 3 xyz æ x y z ö 6 Ta lại có 2 ç 2 + 2 + 2 ÷ ³ . Dấu "=" xảy ra Û x = y = z èy z x ø 3 xyz æ 1 ö ì xyz = 1 Vậy P ³ 6 ç 3 xyz + ç ÷ ³ 12 . Dấu "=" xảy ra Û í Ûx=y=z=1 è 3 xyz ÷ ø îx = y = z Vậy minP = 12 khi x = y = z = 1. Câu VI.a: 1) A(–2; 0), B(2; 2), C(3; 0), D(–1; –2) 2) Chứng tỏ (d1) // (d2). (P): x + y – 5z +10 = 0 Câu VII.a: Nhận xét: 10 x 2 + 8 x + 4 = 2(2 x + 1)2 + 2( x 2 + 1) æ 2x + 1 ö æ 2x + 1 ö 2 2x + 1 (3) Û 2 ç 2 ÷ - m ç 2 ÷ + 2 = 0 . Đặt = t Điều kiện : –2< t £ 5 . è x +1ø è x +1 ø x2 + 1 2t 2 + 2 12 Rút m ta có: m= . Lập bảng biên thiên Þ 4 < m £ hoặc –5 < m < -4 t 5 r Câu VI.b: 1) Giả sử đường thẳng AB qua M và có VTPT là n = (a; b) (a2 + b2 ¹ 0) r => VTPT của BC là: n1 = (-b; a ) . Phương trình AB có dạng: a(x –2) +b(y –1)= 0 Û ax + by –2a –b =0 BC có dạng: –b(x – 4) +a(y+ 2) =0 Û – bx + ay +4b + 2a =0 -b 3b + 4a éb = -2a Do ABCD là hình vuông nên d(P; AB) = d(Q; BC) Û = Ûê a +b 2 2 a +b 2 2 ëb = - a · b = –2a: AB: x – 2y = 0 ; CD: x – 2y –2 =0; BC: 2x +y – 6= 0; AD: 2x + y – 4 =0 · b = –a: AB: –x + y+ 1 =0; BC: –x –y + 2= 0; AD: –x –y +3 =0; CD: –x + y+ 2 =0 ì 2 x – y + 10 z – 47 = 0 2) í î x + 3y – 2z + 6 = 0 Câu VII.b: (4) Û ( mx + 1)3 + mx + 1 = ( x - 1)3 + ( x - 1) . Xét hàm số: f(t)= t 3 + t , hàm số này đồng biến trên R. f ( mx + 1) = f ( x - 1) Û mx + 1 = x - 1 Giải và biện luận phương trình trên ta có kết quả cần tìm. -2 · -1 < m < 1 phương trình có nghiệm x = m -1 Link download 35 đề LTĐH: http://bit.ly/c0nGIx (hoặc vào www.mathvn.com và search)
  7. MATHVN.COM - www.mathvn.com Đáp án 35 đề LTĐH 2010 · m = –1 phương trình nghiệm đúng với "x ³ 1 · Các trường hợp còn lại phương trình vô nghiệm. Hướng dẫn giải ĐỀ SỐ 6 9 Câu I: 2) M(–1;2). (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt Û m > - ; m ¹ 0 4 -3 ± 2 2 Tiếp tuyến tại N, P vuông góc Û y '( xN ). y '( xP ) = -1 Û m = . 3 3 Câu II: 1) Đặt t = 3x > 0 . (1) Û 5t 2 - 7t + 3 3t - 1 = 0 Þ x = log 3 ; x = - log 3 5 5 ìlog 3 ( x + 1) - log 3 ( x - 1) > log 3 4 (a) ï 2) í ïlog 2 ( x - 2 x + 5) - m log ( x 2 - 2 x + 5) 2 = 5 2 (b) î · Giải (a) Û 1 < x < 3. · Xét (b): Đặt t = log 2 ( x 2 - 2 x + 5) . Từ x Î (1; 3) Þ t Î (2; 3). æ 25 ö (b) Û t 2 - 5t = m . Xét hàm f (t ) = t 2 - 5t , từ BBT Þ m Î ç - ; -6 ÷ è 4 ø Câu III: Cộng (a), (b), (c) ta được: ( x - 3) + ( y - 3) + ( z - 3) = 0 (d ) 3 3 3 · Nếu x>3 thì từ (b) có: y 3 = 9 x( x - 3) + 27 > 27 Þ y > 3 từ (c) lại có: z 3 = 9 y ( y - 3) + 27 > 27 Þ z > 3 => (d) không thoả mãn · Tương tự, nếu x y=3; thay vào (c) => z=3. Vậy: x =y = z =3 Câu IV: I là trung điểm AD, HL ^ SI Þ HL ^ ( SAD ) Þ HL = d ( H ;( SAD )) MN // AD Þ MN // (SAD), SK Ì (SAD) a 21 Þ d(MN, SK) = d(MN, (SAD)) = d(H, (SAD)) = HL = . 7 1 - (1 - a) 1 - (1 - b) 1 - (1 - c) æ 1 1 ö ÷ - ( 1- a + 1- b + 1- c ) 1 Câu V: T = + + =ç + + 1- a 1- b 1- c è 1- a 1- b 1- c ø 1 1 1 9 Ta có: + + ³ ; 0 < 1 - a + 1 - b + 1 - c < 6 (Bunhia) 1- a 1- b 1- c 1- a + 1- b + 1- c 9 6 1 6 ÞT³ - 6= . Dấu "=" xảy ra Û a = b = c = . minT = . 6 2 3 2 æ2 6ö æ4 7ö Câu VI.a: 1) B ç ; ÷ ; C1 (0;1); C2 ç ; ÷ è5 5ø è5 5ø 2) (S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = 3. (Q) chứa Ox Þ (Q): ay + bz = 0. Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên (Q) đi qua tâm I. Suy ra: –2a – b = 0 Û b = –2a (a ¹ 0) Þ (Q): y – 2z = 0. Câu VII.a: Cân bằng hệ số ta được a = 2, b = –2, c = 4 Phương trình Û ( z - 2i )( z 2 - 2 z + 4) = 0 Û z = 2i; z = 1 + 3i; z = 1 - 3i Þ z = 2 . Câu VI.b: 1) (C) có tâm I(3;0) và bán kính R = 2. Gọi M(0; m) Î Oy é· = 600 (1) AMB Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB Þ ê ê· = 1200 (2) AMB ë Vì MI là phân giác của · nên: AMB (1) Û · = 300 Û MI = IA AMI Û MI = 2R Û m2 + 9 = 4 Û m = ± 7 sin 300 (2) Û · = 600 Û MI = IA 2 3 4 3 AMI 0 Û MI = R Û m2 + 9 = Vô nghiệm Vậy có hai điểm sin 60 3 3 Link download 35 đề LTĐH: http://bit.ly/c0nGIx (hoặc vào www.mathvn.com và search)
  8. MATHVN.COM - www.mathvn.com Đáp án 35 đề LTĐH 2010 M1(0; 7 ) và M2(0; - 7 ) 2) Gọi MN là đường vuông góc chung của (d1) và (d2) Þ M (2; 1; 4); N (2; 1; 0) Þ Phương trình mặt cầu (S): ( x - 2)2 + ( y - 1) 2 + ( z - 2) 2 = 4. Câu VII.b: Đặt u = e x - 2 Þ J = é 4 - (eb - 2)2 / 3 ù . Suy ra: lim J = 3 3 ë û .4 = 6 2 b ® ln 2 2 Hướng dẫn giải ĐỀ SỐ 7 Câu I: 2) xB, xC là các nghiệm của phương trình: x 2 + 2mx + m + 2 = 0 . 1 1 ± 137 SD KBC = 8 2 Û BC .d ( K , d ) = 8 2 Û BC = 16 Û m = 2 2 p Câu II: 1) (1) Û (cos x – sin x) 2 - 4(cos x – sin x) – 5 = 0 Û x = + k 2p Ú x = p + k 2p 2 ì æ3ö 3 ï(2 x)3 + ç ÷ = 18 ï è yø 3 ìa + b = 3 2) (2) Û í . Đặt a = 2x; b = . (2) Û í ï 3æ 3ö y î ab = 1 ï2 x. y ç 2 x + y ÷ = 3 î è ø æ3- 5 6 ö æ3+ 5 6 ö Hệ đã cho có nghiệm: ç ç ; ÷,ç ; ÷ è 4 3+ 5 ÷ ç 4 ø è 3- 5 ÷ ø 3 Câu III: Đặt t = cosx. I = (p + 2) 16 1 a3 3 1 a 2 13 3 3a Câu IV: VS.ABC = S SAC .SO = = S SAC .d ( B; SAC ) . S SAC = Þ d(B; SAC) = 3 16 3 16 13 t - 2t + 1 2 Câu V: Đặt t = 31+ 1- x . Vì x Î [-1;1] nên t Î [3;9] . (3) Û m = 2 . t-2 t 2 - 2t + 1 48 Xét hàm số f (t ) = với t Î [3;9] . f(t) đồng biến trên [3; 9]. 4 £ f(t) £ . t-2 7 48 Þ 4£m£ 7 Câu VI.a: 1) (C) có tâm I(1; –2), R = 3. ABIC là hình vuông cạnh bằng 3 Þ IA = 3 2 m -1 é m = -5 Û = 3 2 Û m -1 = 6 Û ê 2 ëm = 7 2) Gọi H là hình chiếu của A trên d Þ d(d, (P)) = d(H, (P)). Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có AH ³ HI => HI lớn nhất khi A º I . Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi uuur qua A và nhận AH làm VTPT Þ (P): 7 x + y - 5 z - 77 = 0 . Câu VII.a: Áp dụng BĐT Cô–si ta có: a3 1 + b 1 + c 3a b3 1 + c 1 + a 3b c3 1 + a 1 + b 3c + + ³ ; + + ³ ; + + ³ (1 + b)(1 + c) 8 8 4 (1 + c)(1 + a ) 8 8 4 (1 + a )(1 + b) 8 8 4 a3 b3 c3 a + b + c 3 3 3 abc 3 3 Þ + + ³ - ³ - = (1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a ) (1 + a)(1 + b) 2 4 2 4 4 Dấu "=" xảy ra Û a = b = c = 1. a -b-5 2S DABC Câu VI.b: 1) Gọi C(a; b), (AB): x –y –5 =0 Þ d(C; AB) = = 2 AB Link download 35 đề LTĐH: http://bit.ly/c0nGIx (hoặc vào www.mathvn.com và search)
  9. MATHVN.COM - www.mathvn.com Đáp án 35 đề LTĐH 2010 éa - b = 8 (1) æ a +5 b-5ö Þ a -b -5 =3Û ê ; Trọng tâm G ç ; ÷ Î (d) Þ 3a –b =4 (3) ëa - b = 2 (2) è 3 3 ø S 3 · (1), (3) Þ C(–2; 10) Þ r = = p 2 + 65 + 89 S 3 · (2), (3) Þ C(1; –1) Þ r = = p 2+2 5 2) (S) tâm I(–2;3;0), bán kính R= 13 - m = IM (m < 13) . Gọi H là trung điểm của MN Þ MH= 4 Þ IH = d(I; d) = -m - 3 r uur r éu; AI ù ë û (d) qua A(0;1;-1), VTCP u = (2;1;2) Þ d(I; d) = r =3 u Vậy : -m - 3 =3 Û m = –12 Câu VII.b: Điều kiện x, y > 0 ìlog 2 ( x 2 + y 2 ) = log 2 2 + log 2 ( xy ) = log 2 (2 xy ) ï í ï x 2 - xy + y 2 = 4 î ì x 2 + y 2 = 2xy ï ì(x - y)2 = 0 ìx = y ìx = 2 ì x = -2 Û í 2 Û í Û í Û í hay í ï x - xy + y = 4 î xy = 4 î xy = 4 îy = 2 î y = -2 2 î Hướng dẫn giải ĐỀ SỐ 8 Câu I: 2) Hàm số có CĐ, CT khi m < 2 . Toạ độ các điểm cực trị là: A(0; m 2 - 5m + 5), B ( 2 - m ;1 - m), C (- 2 - m ;1 - m) Tam giác ABC luôn cân tại A Þ DABC vuông tại A khi m = 1. 1 Câu II: 1) · Với -2 £ x < : x + 2 - 3 - x < 0, 5 - 2 x > 0 , nên (1) luôn đúng 2 1 5 5 · Với < x < : (1) Û x + 2 - 3 - x ³ 5 - 2 x Û 2 £ x < 2 2 2 é 1ö é 5ö Tập nghiệm của (1) là S = ê -2; ÷ È ê 2; ÷ ë 2ø ë 2ø p p 2) (2) Û (sin x - 3)(tan 2 x + 3) = 0 Û x = - + k ; k Î Z 6 2 p 5p Kết hợp với điều kiện ta được k = 1; 2 nên x = ; x = 3 6 1 1- x é pù p Câu III: · Tính H = ò x = cos t; t Î ê 0; ú Þ H = 2 - dx . Đặt 0 1+ ë 2û x 2 1 ìu = ln(1 + x) 1 · Tính K = ò 2 x ln (1 + x ) dx . Đặt í Þ K= 0 î dv = 2 xdx 2 Câu IV: Gọi V, V1, và V2 là thể tích của hình chóp S.ABCD, K.BCD và phần còn lại của hình V S ABCD .SA SA chóp S.ABCD: = = 2. = 13 V1 S BCD .HK HK V V +V V V Ta được: = 1 2 = 1 + 2 = 13 Û 2 = 12 V1 V1 V1 V1 a+c Câu V: Điều kiện abc + a + c = b Û b = vì ac ¹ 1 và a, b, c > 0 1 - ac Link download 35 đề LTĐH: http://bit.ly/c0nGIx (hoặc vào www.mathvn.com và search)
  10. MATHVN.COM - www.mathvn.com Đáp án 35 đề LTĐH 2010 p Đặt a = tan A, c = tan C với A, C ¹+ kp ; k Î Z . Ta được b = tan ( A + C ) 2 2 2 3 (3) trở thành: P = 2 - + tan A + 1 tan ( A + C ) + 1 tan C + 1 2 2 = 2cos 2 A - 2cos 2 ( A + C ) + 3cos 2 C = cos 2 A - cos(2 A + 2C ) + 3cos 2 C = 2sin(2 A + C ).sin C + 3cos 2 C 2 10 æ 1 ö 10 Do đó: P £ 2 sin C - 3sin 2 C + 3 = - ç sin C - ÷ £ 3 è 3ø 3 ì 1 ï sin C = 3 ï Dấu đẳng thức xảy ra khi: í sin(2 A + C ) = 1 ï ïsin(2 A + C ).sin C > 0 î 1 2 2 Từ sin C = Þ tan C = . Từ sin(2 A + C ) = 1 Û cos(2 A + C ) = 0 được tan A = 3 4 2 10 æ 2 2ö Vậy max P = Û ç a = ç ; b = 2; c = ÷ 3 è 2 4 ÷ ø æ 2 5ö Câu VI.a: 1) C ç ; - ÷ , AB: x + 2 y + 2 = 0 , AC: 6 x + 3 y + 1 = 0 è 3 3ø 2) Phương trình mp(P) đi qua M và vuông góc với d2: 2 x - 5 y + z + 2 = 0 x -1 y -1 z -1 Toạ độ giao điểm A của d1 và mp(P) là: A ( -5; -1;3) Þ d: = = 3 1 -1 Câu VII.a: Xét (1 + x ) = Cn + Cn .x + Cn .x + Cn .x + ... + Cn .x n 0 1 2 2 3 3 n n · Lấy đạo hàm 2 vế n (1 + x ) n -1 = Cn + 2Cn .x + 3Cn .x 2 + ... + nCn .x n -1 1 2 3 n 2 2 2 2 2 · Lấy tích phân: n ò (1 + x ) n -1 dx = Cn ò dx + 2Cn ò xd x + 3Cn ò x 2 d x + ... + nCn ò x n -1d x 1 2 3 n 1 1 1 1 1 Þ C + 3C + 7C + ... + ( 2 - 1) C = 3 - 2 1 n 2 n 3 n n n n n n · Giải phương trình 3n - 2n = 32 n - 2n - 6480 Û 32 n - 3n - 6480 = 0 Þ 3n = 81 Û n = 4 Câu VI.b: 1) Đường thẳng đi qua các giao điểm của (E) và (P): x = 2 é 4 - 3b = b éb =1 Tâm I Î D nên: I = ( 6 - 3b; b ) . Ta có: 6 - 3b - 2 = b Û ê Ûê ë 4 - 3b = -b ëb = 2 Þ (C): ( x - 3) + ( y - 1) = 1 hoặc (C): x 2 + ( y - 2 ) = 4 2 2 2 2) Lấy M Î ( d1 ) Þ M (1 + 2t1 ; -1 - t1 ; t1 ) ; N Î ( d 2 ) Þ N ( -1 + t; -1; -t ) uuuu r Suy ra MN = ( t - 2t1 - 2; t1 ; -t - t1 ) ì 4 uuuu r r ï t=5 ï Þ M = æ ;- ;- ö 1 3 2 ( d ) ^ mp ( P ) Û MN = k.n; k Î R* Û t - 2t1 - 2 = t1 = -t - t1 Û í ç ÷ ït = -2 è5 5 5ø ï1 5 î 1 3 2 Þ d: x - = y + = z + 5 5 5 é x = -1 Câu VII.b: Từ (b) Þ y = 2 x+1 .Thay vào (a) Û x 2 = 1 + 6log 4 2 x +1 Û x 2 - 3 x - 4 = 0 Û ê ëx = 4 Þ Nghiệm (–1; 1), (4; 32). Link download 35 đề LTĐH: http://bit.ly/c0nGIx (hoặc vào www.mathvn.com và search)
  11. MATHVN.COM - www.mathvn.com Đáp án 35 đề LTĐH 2010 Hướng dẫn giải ĐỀ SỐ 9 Câu I: 2) YCBT Û phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x1 < x2 < 1 ì D ' = 4m 2 - m - 5 > 0 ï 5 7 Û ï f (1) = -5m + 7 > 0 Û < m < í 4 5 ï S = 2m - 1 < 1 ï2 î 3 2 p p Câu II: 1) (1) Û cos4x = Û x=± + k 2 16 2 ì x2 + 1 ï + y+ x-2= 2 ì x2 + 1 ï y ï =1 ì x =1 ì x = -2 2) (2) Û í 2 Ûí y Û í hoặc í ï x + 1 ( y + x - 2) = 1 ïy + x - 2 =1 î y=2 î y=5 ï y î î 3 1 Câu III: Đặt t = 4 x + 1 . I = ln - 2 12 3 3 1 1 a 2 3 3a 3 Câu IV: VA.BDMN = VS.ABD = . SA.SABD = .a 3 . = 4 4 3 4 4 16 Câu V: Đặt A = x + xy + y , B = x - xy - 3 y 2 2 2 2 · Nếu y = 0 thì B = x 2 Þ 0 £ B £ 3 x x 2 - xy - 3 y 2 t2 - t - 3 · Nếu y ¹ 0 thì đặt t = ta được B = A. 2 = A. 2 y x + xy + y 2 t + t +1 t2 - t - 3 Xét phương trình: = m Û (m–1)t + (m+1)t + m + 3 = 0 (1) 2 t + t +1 2 (1) có nghiệm Û m = 1 hoặc D = (m+1)2 – 4(m–1)(m+3) ³ 0 -3 - 4 3 -3 + 4 3 Û £m£ 3 3 Vì 0 £ A £ 3 nên –3– 4 3 £ B £ –3+ 4 3 æ 2 2ö æ8 8ö Câu VI.a: 1) A ç - ; - ÷ , C ç ; ÷ , B(– 4;1) è3 3 ø è 3 3 ø x-2 y-2 z 2) I(2;2;0). Phương trình đường thẳng KI: = = . Gọi H là hình chiếu của I trên (P): 3 2 -1 H(–1;0;1). Giả sử K(xo;yo;zo). ì x0 - 2 y0 - 2 z0 ï = = 1 1 3 Ta có: KH = KO Û í 3 2 -1 Þ K(– ; ; ) ï ( x + 1) 2 + y 2 + ( z - 1) 2 = x 2 + y 2 + z 2 4 2 4 î 0 0 0 0 0 0 Câu VII.a: Từ (b) Þ x = 2y hoặc x = 10y (c). Ta có (a) Û ln(1+x) – x = ln(1+y) – y (d) 1 -t Xét hàm số f(t) = ln(1+t) – t với t Î (–1; + ¥) Þ f ¢(t) = -1 = 1+ t 1+ t Từ BBT của f(t) suy ra; nếu phương trình (d) có nghiệm (x;y) với x ¹ y thì x, y là 2 số trái dấu, nhưng điều này mâu thuẩn (c). Vậy hệ chỉ có thể có nghiệm (x, y) với x = y. Khi đó thay vào (3) ta được x = y = 0 Câu VI.b: 1) Gọi (d) là đường thẳng qua M vuông góc với AD cắt AD, AB lần lượt tại I và N, ta có: æ 1 1ö (d ) : x + y + 1 = 0, I = (d ) Ç ( AD ) Þ I ç - ; - ÷ Þ N (-1; 0) (I là trung điểm MN). è 2 2ø AB ^ CH Þ pt ( AB) : x - 2 y + 1 = 0, A = ( AB ) I ( AD ) Þ A(1; 1) . AB = 2AM Þ AB = 2AN Þ N là trung điểm AB Þ B ( -3; -1) . æ 1 ö pt ( AM ) : 2 x - y - 1 = 0, C = ( AM ) I (CH ) Þ C ç - ; -2 ÷ è 2 ø 2) Toạ độ giao điểm của d1 và (P): A(–2;7;5) Link download 35 đề LTĐH: http://bit.ly/c0nGIx (hoặc vào www.mathvn.com và search)
  12. MATHVN.COM - www.mathvn.com Đáp án 35 đề LTĐH 2010 Toạ độ giao điểm của d2 và (P): B(3;–1;1) x+ 2 y -7 z -5 Phương trình đường thẳng D: = = 5 -8 -4 ì 2 x - 1 + sin(2 x + y - 1) = 0 (1) Câu VII.b: PT Û í î cos(2 + y - 1) = 0 x (2) p Từ (2) Þ sin(2 x + y - 1) = ±1 . Thay vào (1) Þ x = 1 Þ y = -1 - + kp 2 Hướng dẫn giải ĐỀ SỐ 10 Câu I: 2) AB = (xA – xB) + (yA – yB)2 = 2(m2 + 12) 2 2 Þ AB ngắn nhất Û AB2 nhỏ nhất Û m = 0. Khi đó AB = 24 p Câu II: 1) PT Û (1– sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0 Û 1– sinx = 0 Û x = + k 2p 2 2) BPT Û log 2 x - log 2 x 2 - 3 > 5(log 2 x - 3) (1) 2 Đặt t = log2x. (1) Û t 2 - 2t - 3 > 5(t - 3) Û (t - 3)(t + 1) > 5(t - 3) ét £ -1 é 1 ê ét £ -1 é log 2 x £ -1 ê0 < x £ 2 Û ê ìt > 3 Ûê Ûê ÛÛ ë3 < t < 4 ë3 < log 2 x < 4 ê ê í(t + 1)(t - 3) > 5(t - 3) 2 ë8 < x < 16 ëî 3 1 3 1 Câu III: Đặt tanx = t . I = ò (t 3 + 3t + + t -3 )dt = tan 4 x + tan 2 x + 3ln tan x - +C t 4 2 2 tan 2 x Câu IV: Kẻ đường cao HK của DAA1H thì HK chính là khoảng cách giữa AA1 và B1C1. A1 H . AH a 3 Ta có AA1.HK = A1H.AH Þ HK = = AA1 4 Câu V: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2005 số 1 và 4 số a2009 ta có: 1 + 1 24 1 + a 2009 + a 2009 + a 2009 + a 2009 ³ 2009.2009 a 2009 .a 2009 .a 2009 .a 2009 = 2009.a 4 (1) 14+ ... 3 + 2005 Tương tự: 1 + 1 24 1 + b 2009 + b 2009 + b 2009 + b 2009 ³ 2009.2009 b 2009 .b 2009 .b 2009 .b 2009 = 2009.b 4 (2) 14+ ... 3 + 2005 1 + 1 24 1 + c 2009 + c 2009 + c 2009 + c 2009 ³ 2009.2009 c 2009 .c 2009 .c 2009 .c 2009 = 2009.c 4 (3) 14+ ... 3 + 2005 Từ (1), (2), (3) ta được: 6015 + 4(a 2009 + b 2009 + c 2009 ) ³ 2009(a 4 + b 4 + c 4 ) Û 6027 ³ 2009(a 4 + b 4 + c 4 ) . Từ đó suy ra P = a 4 + b 4 + c 4 £ 3 Mặt khác tại a = b = c = 1 thì P = 3 nên giá trị lớn nhất của P = 3. Câu VI.a: 1) Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d1, d2 là: x - 7 y + 17 x + y -5 é x + 3 y - 13 = 0 ( D1 ) = Ûê 12 + (-7) 2 12 + 12 ë3 x - y - 4 = 0 ( D2 ) Đường thẳng cần tìm đi qua M(0;1) và song song với D1 , D2 KL: x + 3 y - 3 = 0 và 3x - y + 1 = 0 2) Kẻ CH ^ AB’, CK ^ DC’ Þ CK ^ (ADC’B’) nên DCKH vuông tại K. 49 49 Þ CH 2 = CK 2 + HK 2 = . Vậy phương trình mặt cầu: ( x - 3) 2 + ( y - 2) 2 + z 2 = 10 10 Câu VII.a: Có tất cả C42 . C52 .4! = 1440 số. uuur ì A Î (d1 ) ì A(a; -1 - a ) ì MA = (a - 1; -1 - a ) ï Câu VI.b: 1) í Ûí Þ í uuur î B Î (d 2 ) î B (2b - 2; b) ï MB = (2b - 3; b) î Link download 35 đề LTĐH: http://bit.ly/c0nGIx (hoặc vào www.mathvn.com và search)
  13. MATHVN.COM - www.mathvn.com Đáp án 35 đề LTĐH 2010 ì æ 2 1ö ïA - ;- ì A ( 0; -1) ï Þ í ç 3 3 ÷ Þ (d ) : x - 5 y - 1 = 0 hoặc í è ø Þ (d ) : x - y - 1 = 0 ï B (-4; -1) ï B (4;3) î î 2) Phương trình mặt phẳng (a) đi qua M(0;1;1) vuông góc với (d1): 3x + 2 y + z - 3 = 0 . ì3 x + 2 y + z - 3 = 0 ì x = -1 ï ï Toạ độ giao điểm A của (d2) và (a) là nghiệm của hệ í x + 1 = 0 Û íy = 5 / 3 ïx + y - z + 2 = 0 ïz = 8 / 3 î î x y -1 z -1 Đường thẳng cần tìm là AM có phương trình: = = 3 2 5 Câu VII.b: Ta có: P = (1 + x 2 (1 - x) ) = å C8k x 2 k (1 - x) k . Mà (1 - x)k = å Cki (-1)i x i 8 8 k k =0 i =0 Để ứng với x8 ta có: 2k + i = 8;0 £ i £ k £ 8 Þ 0 £ k £ 4 . Xét lần lượt các giá trị k Þ k = 3 hoặc k = 4 thoả mãn. Do vậy hệ số của x8 là: a = C83C32 (-1) 2 + C84C40 ( -1)0 = 238 . Hướng dẫn giải ĐỀ SỐ 11 Câu I: Sử dụng điều kiện tiếp xúc Þ M(0;1) và M(0;–1) Câu II: 1) Đặt log( x 2 + 1) = y . PT Û y 2 + ( x 2 - 5) y - 5 x 2 = 0 Û y = 5 Ú y = - x 2 Nghiệm: x = ± 99999 ; x = 0 2) PT Û (cos x - 1)(cos x - sin x - sin x.cos x + 2) = 0 Û x = k 2p . Vì x - 1 < 3 Û -2 < x < 4 nên nghiệm là: x = 0 ìu = ln( x 2 + x + 1) 3 p Câu III: Đặt í Þ I= 2+ îdv = xdx 4 12 3 ab a 2 + b 2 + c 2 Câu IV: Std = 2c Câu V: Vì 0 < x < 1 Þ 1 - x 2 > 0 Áp dụng BĐT Côsi ta có: 2 2 x 2 + (1 - x 2 ) + (1 - x 2 ) 3 2 2 x 3 3 2 = ³ 2 x (1 - x 2 )2 Þ ³ x(1 - x 2 ) Þ ³ x 3 3 3 3 1- x 2 2 y 3 3 2 z 3 3 2 Tương tự: ³ y ; ³ z 1- y 2 2 1- z 2 2 3 3 2 3 3 3 3 3 3 1 Khi đó: P ³ (x + y2 + z2 ) ³ ( xy + yz + zx) = Þ Pmin = Ûx= y=z= 2 2 2 2 3 Câu VI.a: 1) Gọi A = d Ç (P) Þ A(1; -3;1) . Phương trình mp(Q) qua A và vuông góc với d: - x + 2 y + z + 6 = 0 D là giao tuyến của (P) và (Q) Þ D: { x = 1 + t ; y = -3; z = 1 + t 2) Xét hai trường hợp: d ^ (Ox) và d ^ (Ox) Þ d: 4 x + 9 y - 43 = 0 ì z - w - zw = 8 ì zw = -5 ì zw = -13 Câu VII.a: PT Û í Ûí (a) Ú í (b) î( z - w) + 2( z - w) - 15 = 0 îz - w = 3 î z - w = -5 2 ì -3 + i 11 ì -3 - i 11 ì 5 + i 27 ì 5 - i 27 ïw = ïw = ïw = ïw = ï 2 ï 2 ï 2 ï 2 (a) Û í Úí ; (b) Û í Úí ï z = 3 + i 11 ï z = 3 - i 11 ï z = -5 + i 27 ï z = -5 - i 27 ï î 2 ï î 2 ï î 2 ï î 2 Link download 35 đề LTĐH: http://bit.ly/c0nGIx (hoặc vào www.mathvn.com và search)
  14. MATHVN.COM - www.mathvn.com Đáp án 35 đề LTĐH 2010 æ 7 14 ö Câu VI.b: 1) Gọi G là trọng tâm của ABCD ta có: G ç ; ;0 ÷ . è3 3 ø Ta có: MA2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 = 4 MG 2 + GA2 + GB 2 + GC 2 + GD 2 æ 7 14 ö ³ GA2 + GB 2 + GC 2 + GD 2 . Dấu bằng xảy ra khi M º G ç ; ;0 ÷ . è3 3 ø 2) B = AB I Ox Þ B (1;0) , A Î AB Þ A ( a;3 7(a - 1) ) Þ a > 1 (do xA > 0, y A > 0 ). Gọi AH là đường cao D ABC Þ H (a;0) Þ C (2a - 1;0) Þ BC = 2(a - 1), AB = AC = 8(a - 1) . Chu vi D ABC = 18 Û a = 2 Þ C (3;0), A ( 2;3 7 ) . ìu = x - 1 ìu + u 2 + 1 = 3v ï Câu VII.b: Đặt í . Hệ PT Û í îv = y - 1 ïv + v 2 + 1 = 3u î Þ 3u + u + u 2 + 1 = 3v + v + v 2 + 1 Û f (u ) = f (v) , với f (t ) = 3t + t + t 2 + 1 t + t2 +1 Ta có: f ¢ (t ) = 3t ln 3 + > 0 Þ f(t) đồng biến t2 +1 Þ u = v Þ u + u 2 + 1 = 3u Û u - log 3 (u + u 2 + 1) = 0 (2) ( ) Xét hàm số: g (u ) = u - log3 u + u 2 + 1 Þ g '(u ) > 0 Þ g(u) đồng biến Mà g (0) = 0 Þ u = 0 là nghiệm duy nhất của (2). KL: x = y = 1 là nghiệm duy nhất của hệ PT. Hướng dẫn giải ĐỀ SỐ 12 ì y coù CÑ, CT Câu I: 2) (Cm) và Ox có đúng 2 điểm chung phân biệt Û í Û m = ±1 î yCÑ = 0 hoaëc yCT = 0 ì(2 cos x - 1)(sin x cos x + 2) = 0 ï p Câu II: 1) PT Û Û í Û x = + k 2p ï î 2sin x + 3 ¹ 0 3 2) Đặt 2 x = u > 0; 3 2 x +1 - 1 = v . éx = 0 ìu 3 + 1 = 2v ï ì 3 ïu + 1 = 2v ìu = v > 0 PT Û í Ûí Ûí 3 Û ê ê x = log -1 + 5 ïv + 1 = 2u ï(u - v)(u + uv + v + 2) = 0 îu - 2u + 1 = 0 3 2 2 î î ê ë 2 2 p p p 2 cos tdt 2 cos xdx Câu III: Đặt x = - t Þ dx = - dt Þ I = ò =ò 0 (sin t + cos t ) 0 (sin x + cos x ) 3 3 2 p p p 2 dx 12 dx 1 p 4 1 Þ 2I = ò = ò = - cot( x + ) = 1 Þ I = 0 (sin x + cos x ) 2 p 2 0 sin 2 ( x + ) 2 4 0 2 4 æ pö æ pö Câu IV: j = · Î ç 0; ÷ Þ VSABC = (sin j - sin 3 j ) . Xét hàm số y = sin x - sin 3 x trên khoảng ç 0; ÷ . a3 SCA è 2ø 6 è 2ø a3 a3 3 1 æ pö Từ BBT Þ (VSABC ) max = ymax = khi sin j = , j Î ç 0; ÷ 6 9 3 è 2ø -1 1 Câu V: Đặt t = 2 - x - 2 + x Þ t ' = -
  15. MATHVN.COM - www.mathvn.com Đáp án 35 đề LTĐH 2010 x y Câu VI.a: 1) PT đường thẳng d cắt tia Ox tại A(a;0), tia Oy tại B(0;b): + = 1 (a,b>0) a b 3 1 Cô - si 3 1 M(3; 1) Î d 1 = + ³ 2 . Þ ab ³ 12 . a b a b ì a = 3b ï ìa = 6 Mà OA + 3OB = a + 3b ³ 2 3ab = 12 Þ (OA + 3OB) min = 12 Û í 3 1 1Ûí ïa = b = 2 îb = 2 î x y Phương trình đường thẳng d là: + = 1 Û x + 3y - 6 = 0 6 2 2) Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB Þ (Q): x + y - z - 3 = 0 d là giao tuyến của (P) và (Q) Þ d: { x = 2; y = t + 1; z = t M Î d Þ M (2; t + 1; t ) Þ AM = 2t 2 - 8t + 11 . Vì AB = 12 nên D MAB đều khi MA = MB = AB 4 ± 18 æ 6 ± 18 4 ± 18 ö Û 2t 2 - 8t - 1 = 0 Û t = Þ M ç 2; ; ÷ 2 è 2 2 ø Câu VII.a: Ta có (1 - x) n = Cn0 - Cn x + Cn2 x 2 - .... + (-1) n Cnn x n = B 1 1 1 1 1 1 1 2 1 Vì ò (1 - x) n dx = , ò Bdx = C 0 - Cn + Cn + ... + (-1) n Cn Þ n + 1 = 13 Þ n = 12 n n +1 n +1 n 0 0 2 3 12 n-k 2 2 ·( + x 5 ) n = å C12 .( 3 ) k ( x 5 ) k , Tk +1 = C12 .212 - k .x8 k - 36 Þ 8k - 36 = 20 Û k = 7 k x3 k =0 x Þ Hệ số của x 20 là: C12 .25 = 25344 7 ìx = t Câu VI.b: 1) Phương trình tham số của D: í . M Î D Þ M(t; 3t – 5) î y = 3t - 5 7 7 S MAB = S MCD Û d ( M , AB ). AB = d ( M , CD ).CD Û t = -9 Ú t = Þ M (-9; -32), M ( ; 2) 3 3 2) Gọi AB là đường vuông góc chung của D1 , D2 : A(2t ; t ; 4) Î D1 , B(3 + s; - s; 0) Î D2 AB ^ D1, AB ^ D2 Þ A(2;1; 4), B(2;1;0) Þ Phương trình mặt cầu là: ( x - 2)2 + ( y - 1) 2 + ( z - 2)2 = 4 Câu VII.b: Hàm số luôn có hai điểm cực trị x1 = -m - 2, x2 = -m + 2 . Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là AB = ( y2 - y1 )2 + ( x2 - x1 )2 = 2 x1 - x2 = 4 2 (không đổi) Hướng dẫn giải ĐỀ SỐ 13 ( 2m - 1) 2 1 1 Câu I: 2) AB = + 4 ³ 2 . Dấu "=" xảy ra Û m = Þ AB ngắn nhất Û m = . 2 2 2 p p Câu II: 1) Đặt t = sin x - cos x , t ³ 0 . PT Û t – t2 = 0 Û x = + kp ; x = l , (k , l Î Z ) 4 2 ì(m - 1) x + 2(m - 3) x + 2m - 4 = 0 (1) 4 2 ï 2) Hệ PT Û í x2 + 2 . ïy = 2 î x +1 ì2 x 2 + 1 = 0 ï · Khi m = 1: Hệ PT Û í x2 + 2 (VN ) ï y= 2 î x +1 · Khi m ≠ 1. Đặt t = x2 , t ³ 0 . Xét f (t ) = (m - 1)t 2 + 2(m - 3)t + 2m - 4 = 0 (2) Hệ PT có 3 nghiệm phân biệt Û (1) có ba nghiệm x phân biệt Link download 35 đề LTĐH: http://bit.ly/c0nGIx (hoặc vào www.mathvn.com và search)
  16. MATHVN.COM - www.mathvn.com Đáp án 35 đề LTĐH 2010 ì f (0) = 0 ï Û (2) có một nghiệm t = 0 và 1 nghiệm t > 0 Û í 2 ( m - 3) Û ... Û m = 2 . ïS = > î 1- m 1 1 Đặt: t = 1 - x 2 Þ I = ò ( t 2 + t 4 ) dt = ... = 8 Câu III: · I = ò x3 1 - x 2 dx 0 0 15 e xe x + 1 e d ( e x + ln x ) e ee + 1 ·J= ò x (e 1 x + ln x ) dx = ò 1 e + ln x x = ln e x + ln x 1 = ln e Câu IV: Ta có A'M, B'B, C'N đồng quy tại S. Đặt V1 = VSBMN, V2 = VSB'A'C' , V = VMBNC'A'B'. SB a - x a (a - x) Ta có = Þ SB = , (0< x < a) SB ' a x V æa-xö 3 x 1 a4 Xét phép vị tự tâm S tỉ số k = 1- ta có: 1 = ç ÷ . Mà V2 = S D A ' B ' C ' .SB ' = . a V2 è a ø 3 6x a 4 æ æ x ö ö a3 é æ x ö æ x ö ù 3 3 2 a4 æ x ö Þ V1 = ç1 - ÷ ; Do đó: V = V2 - V1 = ç1 - ç1 - ÷ ÷ = ê1 + ç 1 - ÷ + ç1 - ÷ ú 6x è a ø 6x ç è a ø ÷ 6 ë è a ø è a ø û è ø ê ú a3 é æ x ö æ x ö ù 1 2 2 1 æ xö æ xö Theo đề bài V = a 3 Û ê1 + ç1 - ÷ + ç1 - ÷ ú = a 3 Û ç1 - ÷ + ç1 - ÷ - 1 = 0 (*) 3 6 ê è aø è aø ú 3 ë û è aø è aø æ xö 1 3- 5 Đặt t = ç 1 - ÷ , t > 0 (vì 0< x
  17. MATHVN.COM - www.mathvn.com Đáp án 35 đề LTĐH 2010 -3 Cô - si d = d1 + d2 = |x0 + 1| + |y0 - 2| = |x0 + 1| + x0 + 1 ³2 3. Dấu "=" xảy ra khi x0 = -1 ± 3 ìu + v = 1 ìu + v = 1 Câu II: 1) Đặt u = x , v = y (u ³ 0, v ³ 0) . Hệ PT Û í Ûí . îu + v = 1 - 3m îuv = 3 3 3 1 ĐS: 0 £ m £ . 4 p 2) Dùng công thức hạ bậc. ĐS: x = k (k Î Z ) 2 p 2 Câu III: I = - 2 3 1 1 a3 3 a Câu IV: V = ya(a + x) . V 2 = a 2 (a - x)(a + x)3 . Vmax = khi x = . 6 36 8 2 1 1 1 1 4 Câu V: Áp dụng BĐT Côsi: ( x + y )( + ) ³ 4 Þ + ³ . x y x y x+ y 1 1æ 1 1 ö 1 æ1 1 1 1ö Ta có: £ ç + £ + + + . 2 x + y + x 4 è x + y x + z ÷ 16 ç x y x z ÷ ø è ø Tương tự cho hai số hạng còn lại. Cộng vế với vế ta được đpcm. æ2 4 3ö æ2 4 3ö æ2 4 3ö æ2 4 3ö Câu VI.a: 1) Có hai cặp điểm A ç ; ÷, Bç ;- ÷; Aç ; - ÷, Bç ; ÷ è7 7 ø è7 7 ø è7 7 ø è7 7 ø 2) (P): y + z + 3 + 3 2 = 0 hoặc (P): y + z + 3 – 3 2 = 0 ìx = 2 Câu VII.a: í îy = 5 Câu VI.b: 1) Áp dụng công thức tính bán kính qua tiêu: FA = x1 + 2, FB = x2 + 2. AB = FA = FB = x1 + x2 + 4. 2) Gọi P là chu vi của tam giác MAB thì P = AB + AM + BM. Vì AB không đổi nên P nhỏ nhất khi và chỉ khi AM + BM nhỏ nhất. Điểm M Î D nên M ( -1 + 2t ;1 - t; 2t ) . AM + BM = (3t ) 2 + (2 5) 2 + (3t - 6) 2 + (2 5) 2 r r Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét hai vectơ u = 3t; 2 5 và v = -3t + 6; 2 5 . ( ) ( ) ìr ( 3t ) ( ) 2 ï| u |= + 2 5 2 r r r r r r ï Ta có í r ( ) Þ AM + BM =| u | + | v | và u + v = 6;4 5 Þ| u + v |= 2 29 ï| v |= ( 3t - 6 ) ( ) 2 + 2 5 2 ï î r r r r Mặt khác, ta luôn có | u | + | v |³| u + v | Như vậy AM + BM ³ 2 29 r r 3t 2 5 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u , v cùng hướng Û = Û t =1 -3t + 6 2 5 Þ M (1;0; 2 ) và min ( AM + BM ) = 2 29 . Vậy khi M(1;0;2) thì minP = 2 ( 11 + 29 ) 1 3 Câu VII.b: f ( x) = l- 3ln ( 3 - x ) ; f '( x) = -3 (3 - x ) ' = (3 - x ) 3- x p p 6 2 t 6 1 - cos t 3 p 3 Ta có: ò sin 2 dt = p ò 2 dt = p ( t - sin t )|0 = p é(p - sin p ) - ( 0 - sin 0 )ù = 3 p 0 0 ë û Link download 35 đề LTĐH: http://bit.ly/c0nGIx (hoặc vào www.mathvn.com và search)
  18. MATHVN.COM - www.mathvn.com Đáp án 35 đề LTĐH 2010 p 6 2 t ò sin 2dt ì 3 > 3 p 0 ï ì 2x -1 ï x -3 x + 2 < 0 é x < -2 Khi đó: f '( x) > Û í3 - x x + 2 Û í( )( ) Û ê1 x+2 ï x < 3; x ¹ -2 ï x < 3; x ¹ -2 ê < x 0 Þ M nằm ngoài (C). (C) có tâm I(1;–1) và R = 5. uuur uuur Mặt khác: PM /(C ) = MA.MB = 3MB 2 Þ MB = 3 Þ BH = 3 Þ IH = R 2 - BH 2 = 4 = d [ M ,(d )] Ta có: pt(d): a(x – 7) + b(y – 3) = 0 (a2 + b2 > 0). éa = 0 -6a - 4b d [ M ,(d )] = 4 Û =4Ûê . a +b 2 2 ê a = - 12 b ê ë 5 Vậy (d): y – 3 = 0 hoặc (d): 12x – 5y – 69 = 0. æ 2 1 1ö 2) Phương trình mp(ABC): 2x + y – z – 2 = 0. H ç ; ; - ÷ è 3 3 3ø Câu VII.a: Đặt t = log 2 x . PT Û t - (7 - x)t + 12 - 4 x = 0 Û t = 4; t =3 – x Û x = 16; x = 2 2 uuu r Câu VI.b: 1) Ta có: AB = ( -1; 2 ) Þ AB = 5 . Phương trình AB: 2 x + y - 2 = 0 . I Î (d ) : y = x Þ I ( t ; t ) . I là trung điểm của AC và BD nên: C (2t - 1; 2t ), D(2t ; 2t - 2) 4 Mặt khác: S ABCD = AB.CH = 4 (CH: chiều cao) Þ CH = . 5 Link download 35 đề LTĐH: http://bit.ly/c0nGIx (hoặc vào www.mathvn.com và search)
  19. MATHVN.COM - www.mathvn.com Đáp án 35 đề LTĐH 2010 é 4 æ5 8ö æ8 2ö | 6t - 4 | 4 êt = 3 Þ C ç 3 ; 3 ÷ , D ç 3 ; 3 ÷ Ngoài ra: d ( C; AB ) = CH Û = Ûê è ø è ø 5 5 êt = 0 Þ C ( -1;0 ) , D ( 0; -2 ) ë æ5 8ö æ8 2ö Vậy C ç ; ÷ , D ç ; ÷ hoặc C ( -1;0 ) , D ( 0; -2 ) è 3 3ø è 3 3ø 2) Gọi mp(P) qua C và vuông góc với AH Þ ( P) ^ d1 Þ ( P ) : x + y - 2 z + 1 = 0 B = ( P ) Ç d 2 Þ B (1;4;3) Þ phương trình BC : { x = 1 + 2t ; y = 4 - 2t ; z = 3 Gọi mp(Q) qua C, vuông góc với d2, (Q) cắt d2 và AB tại K và M. Ta có: (Q ) : x - 2 y + z - 2 = 0 Þ K (2;2;4) Þ M (1;2;5) (K là trung điểm của CM). x -1 y - 4 z - 3 1 uuu uuu r r Þ ptAB : = = , do A = AB Ç d1 Þ A(1; 2;5) Þ SD ABC = é AB, AC ù = 2 3 . ë û 0 2 -2 2 Câu VII.b: PT Û f ( x) = 2008 - 2007 x - 1 = 0 với x Î (– ¥ ; + ¥ ) f ¢ (x) = 2008 x.ln 2008 - 2007; f ¢¢ ( x) = 2008 x ln2 2008 > 0, "x Þ f ¢ ( x ) luôn luôn đồng biến. Vì f (x) liên tục và lim f ¢ ( x) = -2007; lim f ¢ ( x) = +¥ Þ $x0 để f ¢' ( x0 ) = 0 x®-¥ x®+¥ Từ BBT của f(x) Þ f(x) = 0 không có quá 2 nghiệm. Vậy PT có 2 nghiệm là x = 0; x = 1 Hướng dẫn giải ĐỀ SỐ 16 Câu I: 2) MN: x + 2y + 3 = 0. PT đường thẳng (d) ^ MN có dạng: y = 2x + m. Gọi A, B Î (C) đối xứng nhau qua MN. Hoành độ của A và B là nghiệm của PT: 2x - 4 = 2 x + m Þ 2x + mx + m + 4 = 0 2 ( x ≠ –1) (1) x +1 (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt Û (1) có D = m2 – 8m – 32 > 0 Ta có A(x1; 2x1 + m), B(x2; 2x2 + m) với x1, x2 là nghiệm của (1) æ x1 + x2 ö æ m mö Trung điểm của AB là I ç ; x1 + x2 + m ÷ º I ç - ; ÷ ( theo định lý Vi-et) è 2 ø è 4 2ø Ta có I Î MN Þ m = –4, (1) Þ 2x2 – 4x = 0 Þ A(0; –4), B(2;0) ìcos 2 x = 1 ì x = kp 3x ï ï Câu II: 1) PT Û cos2x + cos =2Û í 3x Û í m8p (k ; m Î ¢ ) Û x = 8np 4 ïcos 4 = 1 î ïx = 3 î 2x + 1 2) Nhận xét; x = ± 1 là các nghiệm của PT. PT Û 3x = . 2x - 1 Dựa vào tính đơn điệu Þ PT chỉ có các nghiệm x = ± 1. x x p p 1 + 2sin cos p 1 + sin x 1 x 2 e x dx 2 x Câu III: Ta có 1 + cos x = 2 x 2= x + tan . K = 2 ò 2x 0 + ò e x tan dx = e 2 2 2 cos 2 2 cos 2 0 2cos 2 2 2 Câu IV: Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, M là trung điểm của BC · = a . AMS Gọi I là tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp, I Î SO; N là hình chiếu của I trên SM, MI là phân giác của · = a . AMS a 3 Ta có SO = OM tana = tana ( Với a là độ dài của cạnh đáy) 6 Link download 35 đề LTĐH: http://bit.ly/c0nGIx (hoặc vào www.mathvn.com và search)
  20. MATHVN.COM - www.mathvn.com Đáp án 35 đề LTĐH 2010 a2 a2 a2 2 3 Ta có SO2 + OM2 = SB2 – BM2 Û tan 2 a + = 1- Þa= 12 12 4 4 + tan 2 a a a tan 4p tan 3 a 2 2 r = OI = OM.tan = . Vậy V = 2 4 + tan a 3 ( 4 + tan a ) 2 2 3 Câu V: Vì a + b + c = 2 nên độ dài mỗi cạnh nhỏ hơn 1. Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho ba số dương: 1 – a, 1 – b, 1 – c 1 3 – (a + b + c) ³ 3 3 (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 0 Û ³ (1 - a )(1 - b)(1 - c) > 0 27 28 56 Û ³ ab + bc + ca - abc > 1 Û 2 < 2ab + 2bc + 2ca + 2abc £ 27 27 56 52 Û 2 < ( a + b + c) 2 - (a 2 + b 2 + c 2 + 2abc) £ Û £ a 2 + b 2 + c 2 + 2abc < 2 27 27 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = . 3 Câu VI.a: 1) Giả sử AB: 5x – 2y + 6 = 0; AC: 4x + 7y – 21 = 0 Þ A(0;3) Phương trình đường cao BO: 7x – 4y = 0 Þ B(–4; –7) A nằm trên Oy, vậy đường cao AO nằm trên trục Oy Þ BC: y + 7 = 0 2a 2a 8a 2 - 24a + 36 2) Gọi A(a; 0; 0) Î Ox Þ d ( A; ( P)) = = ; d ( A; d ) = 22 + 12 + 22 3 3 2a 8a 2 - 24a + 36 d(A; (P)) = d(A; d) Û = Û 4a 2 = 8a 2 - 24a + 36 Û 4a 2 - 24a + 36 = 0 3 3 Û 4(a - 3) = 0 Û a = 3. Vậy có một điểm A(3; 0; 0). 2 1 + tan 2 x Câu VII.a: Vì cosx ≠ 0 nên chia tử và mẫu của hàm số cho cos3x ta được: y = 2 tan 2 x - tan 3 x 1+ t æ pù 2 Đặt t = tanx Þ t Î (0; 3] . Khảo sát hàm số y = 2 3 trên nửa khoảng ç 0; ú 2t - t è 3û t 4 + 3t 2 - 4t éx = 0 y’ = ; y’ = 0 Û ê (2t - t ) ëx =1 2 3 2 p Từ BBT Þ giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 2 khi x = . 4 Câu VI.b: 1) M Î (D) Þ M(3b+4; b) Þ N(2 – 3b; 2 – b) 6 N Î (C) Þ (2 – 3b)2 + (2 – b)2 – 4(2 – b) = 0 Þ b = 0; b = 5 æ 38 6 ö æ 8 4ö Vậy có hai cặp điểm: M(4;0) và N(2;2) hoặc M ç ; ÷ , N ç - ; ÷ è 5 5ø è 5 5ø uuu r 2) Ta có AB = (6; -4;4) Þ AB//(d). Gọi H là hình chiếu của A trên (d) Gọi (P) là mặt phẳng qua A và (P) ^ (d) Þ (P): 3x – 2y + 2z + 3 = 0 H = (d)Ç (P) Þ H(–1;2;2). Gọi A¢ là điểm đối xứng của A qua (d) Þ H là trung điểm của AA¢ Þ A¢(–3;2;5). Ta có A, A¢, B, (d) cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi M = A¢BÇ(d) . Lập phương trình đường thẳng A¢B Þ M(2;0;4) Câu VII.b: Gọi β = r( cosj + isinj) Þ β3 = r3( cos3j + isin3j) ìr = 3 3 ìr = 3 3 æ 2p 2p ö ï ï Ta có: r ( cos3j + isin3j) = 3 ç cos + i sin ÷ Þ í 3 2p Þí 2p k 2p è 3 3 ø ï3j = + k 2p ïj = + î 3 î 9 3 Link download 35 đề LTĐH: http://bit.ly/c0nGIx (hoặc vào www.mathvn.com và search)
Đồng bộ tài khoản