500 bài toán bất đẳng thức chọn lọc P2

Chia sẻ: Trần Bá Trung1 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

1
623
lượt xem
283
download

500 bài toán bất đẳng thức chọn lọc P2

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

500 bài toán bất đẳng thức chọn lọc P2 sẻ giúp cho cạn bạn rất nhiều trong việc ôn thi, luyện giải bài tập, đặc biệt là về BĐT, để giải được bài tập về BĐT không phải dể, vì vậy cần phải nắm vững kiến thức sơ bản chắc chắn, vận dụng một cách linh hoạt, để giải các bài toán khó chuẩn bị cho các kỳ thi sắp tới.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: 500 bài toán bất đẳng thức chọn lọc P2

  1. 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang 224. Cho x là m t s th c b t kì. Ch ng minh r ng (16 cos4 x + 3) 4 + 768 ≥ 2048cos x . 225. [ Lê Qu c Hán ] Cho x là m t s th c b t kì. Ch ng minh r ng 8 1 (1 + x ) +16 x 4 ≤ ≤ 17 . (1+ x2 ) 4 8 226. [ Nguy n Lê Dũng ] Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2 + c2 + + ≤3 . a +b b+c c+a a +b+c 227. [ Tr n Xuân ðáng ] Cho a, b, c là các s th c dương, n ≥ 2 . Ch ng minh r ng a b c n n n +n +n > n −1 . b+c c+a a + b n −1 228. [ Tr nh B ng Giang ] Cho x, y, z là các s th c không âm th a ñi u ki n x + y + z = 1 , n ≥ 2 . Ch ng minh r ng nn xn y + y n z + z n x ≤ n +1 . (n + 1) 229. [ Nguy n Văn Ng c ] Cho x, y, z là các s th c dương. Ch ng minh r ng 4 4 4 16 xyz ( x + y + z ) ≤ 3 3 ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) . π π 230. [ Nguy n Bá ðang ] Cho x, y , z ∈  ,  . Ch ng minh r ng  6 2  sin x − sin y sin y − sin z sin z − sin x  2 1  + + ≤ 1−  . sin z sin x sin y   2  231. [ Thái Nh t Phư ng ] Cho x, y, z là các s th c dương th a mãn ñi u ki n xyz = 1 . Ch ng minh r ng x2 y2 z2 + + ≥ 3. x + y + y 3 z y + z + z 3 x z + x + x3 y 232. [ Thái Nh t Phư ng ] Cho x, y, z là các s th c dương th a mãn ñi u ki n xyz = 1 . Ch ng minh r ng x2 y 2 y2 z2 z 2 x2 + 2 2 + 2 2 ≤1 . x 2 y 2 + x7 + y 7 y z + y 7 + z 7 z x + z 7 + x7 233. [ Trương Ng c ð c ] Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a +b +c =1. Ch ng minh r ng a b abc 3 3 + + ≤ 1+ . a + bc b + ca c + ab 4 234. [ Nguy n Minh Phương ] Cho x, y, z là các s th c dương th a mãn ñi u ki n x + y + z = 2007 . Ch ng minh r ng x 20 y 20 z 20 11 + 11 + 11 ≥ 3.6699 . y z x 26
  2. 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang 235. [ Ph m Th Thanh Quỳnh ] Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng 5b3 − a 3 5c 3 − b3 5a 3 − c 3 + + ≤ a +b+c . ab + 3b 2 bc + 3c 2 ca + 3a 2 236. [ Lê Quang N m ] Cho x, y, z là các s th c th a mãn ñi u ki n x, y , z ≥ −1 và x3 + y 3 + z 3 ≥ x 2 + y 2 + z 2 . Ch ng minh r ng x5 + y 5 + z 5 ≥ x 2 + y 2 + z 2 . 237. [ Nguy n ð ] Cho α, β , γ ∈ ℝ, sin α + sin β + sin γ ≥ 2 . Ch ng minh r ng cos α + cos β + cos γ ≤ 5 . 238. [ Huỳnh T n Châu ] Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b + c = 6 . Ch ng minh r ng 1 1 1 3 17 a2 + + b2 + + c2 + ≥ . b+c c+a a +b 2 239. [ ð Thanh H i ] Cho x, y , z , t là các s th c dương th a mãn ñi u ki n xyzt = 1 . Ch ng minh r ng 1 1 1 1 4 + 3 + 3 + 3 ≥ . x ( yz + zt + ty ) y ( xz + zt + tx ) z ( xt + ty + yx) t ( xy + yz + zx ) 3 3 240. [ ð Bá Ch ] Cho a1 , a2 , ..., ak > 0, a1 + a2 + ... + ak ≥ k ; k , n ≥ 1 . Ch ng minh r ng a1n + a2 + ... + ak n n ≤1 . a1n+1 + a2 +1 + ... + ak +1 n n 241. Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n abc + a + c = b . Ch ng minh r ng 2 2 3 10 2 − 2 + 2 ≤ . a +1 b +1 c +1 3 Vietnam, 1999 242. [ ð ng Thanh H i ] Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng a +b b+c c+a  b  ≥ 2 c a + +  + + .   a +b  b+c a+c  c a b   243. Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n ab +bc +ca =1. Ch ng minh r ng 10 3 a + b + c + abc ≥ . 9 244. [ Phan Hoàng Vinh ] Cho a1 , a2 , ..., an ∈ [0,1], n ≥ 2 . Ch ng minh r ng a1 a2 an + + ... + ≤ n −1 . a2 a3 ...an +1 a1a3 ...an + 1 a1a2 ...an−1 + 1 245. [ ðào M nh Th ng ] Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ≥ a 2b 2 c 2 . Ch ng minh r ng 27
  3. 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang a 2b 2 b 2c 2 c2a2 3 + + ≥ . c (a + b 3 2 2 ) a (b + c 3 2 2 ) b (c + a 3 2 2 ) 2 246. [ ð Ng c Ánh ] Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b + c = 6 . Ch ng minh r ng  1   1   1  729   1 + 3 1 + 3 1 + 3  ≥    .  a  b  c  512  247. [ Trương Hoàng Hi u ] Cho a, b, c là các s th c không âm th a mãn ñi u ki n a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng a 2 + 1 b2 +1 c 2 + 1 7 + + ≤ . b 2 + 1 c 2 + 1 a 2 +1 2 2 248. [ Tr n Tu n Anh ] Cho a, b, c là các s th c dương và k ≥ . Ch ng minh r ng 3  k  k  k  a  + b  + c  ≥ 3 . b + c  c + a   a + b             2k 249. [ Trương Ng c ð c ] Cho x, y là các s th c dương th a mãn ñi u ki n x + y = 1 . Ch ng minh r ng 1 1 33 + ≥ 4+2 3 . x +y xy 250. [ H Quang Vinh ] Cho a, b, c, d là các s th c th a ñi u ki n a 2 + b 2 = c + d = 4 . Ch ng minh r ng ac + bd + cd ≤ 4 + 4 2 . 251. [ Trương Ng c ð c ] Cho x, y, z v i x = max { x, y, z } . Ch ng minh r ng x y z + 1+ + 3 1+ ≥ 1+ 2 + 3 2 . y x x 252. Cho a là s th c dương và x, y, z là các s th c th a mãn ñi u ki n xy + yz + zx = 1 . Ch ng minh r ng −1 + 1 + 8a a ( x2 + y 2 ) + z 2 ≥ . 2 253. [ Tri u Văn Hưng ] Cho a, b, c > 1 . Ch ng minh r ng a logb c + blogc a + c loga b ≥ 3 3 abc . 254. [ Ph m Văn Thu n ] Cho x, y là các s th c không âm th a mãn ñi u ki n x 2 + y 2 = 1 . Ch ng minh r ng 3 3 xy + max { x, y} ≤ . 4 255. Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng a6 b3 c6 1 3 3 + 3 3 + 3 3 ≥ . b +c c +a a +b 18 256. Cho x, y, z là các s th c dương th a mãn ñi u ki n x + y + z = 1 . Ch ng minh r ng 28
  4. 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang xy yz zx 3 + + ≤ . z + xy x + yz y + zx 2 257. [ Tr n Tu n Anh ] Cho x là các s th c không âm. Ch ng minh r ng 2 2 + x ≤ x + 9. x +1 258. Cho a, b là các s th c th a mãn ñi u ki n a > b ≥ 0 . Ch ng minh r ng 32 2a + 2 ≥5. (a − b)(2b + 3) 259. Cho a, b là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b = 4 . Ch ng minh r ng 6 10 2a + 3b + + ≥ 18 . a b 260. Cho a, b, c là các s th c không âm th a mãn ñi u ki n a +b+c =3 . Ch ng minh r ng 5 2a + b + 5 2b + c + 5 2c + a ≤ 3 5 3 . 261. Cho x, y, z là các s th c dương. Ch ng minh r ng 6 ( x + y + z ) ≥ 432 xy 2 z 3 . 262. Cho a ∈ [0,1] . Ch ng minh r ng 13. a 2 − a 4 + 9. a 2 + a 4 ≤ 16 . 263. Cho a, b, c, d là các s th c dương. Ch ng minh r ng  3a   3b   3c   3d  28561   2 + 2 + 2 + 2 +  ≥     .   5b  5c  5 d  5a  625 264. Cho a, b, c, d là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b + c + d ≤ 1 . Ch ng minh r ng       1 1  1 1  1 1  1 1  4 1 + + 1 + + 1 + + 1 + +  ≥ 9 .  a b  b c  c d  d a       265. Cho a, b, c, d là các s th c dương th a mãn ñi u ki n abcd ≥ 16 . Ch ng minh r ng      a + 2 + 1 b + 2 + 1 c + 2 + 1 d + 2 + 1  ≥ 2401 .        b c  c d  d a  a b  16 266. Cho a, b là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b ≤ 1 . Ch ng minh r ng 1 1 1 3 3 + 2 + 2 ≥ 20 . a +b a b ab 267. Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b + c ≤ 1 . Ch ng minh r ng 1 1 1 1 1 1 81 2 2 + 2 2 + 2 2 + + + ≥ . a +b b +c c +a ab bc ca 2 268. Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b + c = 3 . Ch ng minh r ng 5 (2a + b)(a + c) a + 5 (2b + c)(b + a) b + 5 (2c + a )(c + b) c ≤ 3 5 6 . 29
  5. 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang 269. Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n (a 2 + a + 2)(b +1) (c 2 + 3c) = 64 . 2 Ch ng minh r ng a 3b 4c 5 ≤ 1 . 3 270. [ Tr n H ng Sơn ] Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b + c ≤ . 2 Ch ng minh r ng     3 + 1 + 1 3 + 1 + 1 3 + 1 + 1  ≥ 343 .       a b  b c  c a  3 271. Cho a, b, c, m, n, p là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b + c ≤1, m + n + p ≤ . 2 Ch ng minh r ng     1 + 2 + 1 1 + 2 + 1 1 + 2 + 1  ≥ 93 .       a m   b n  c p     272. [ Phùng Văn S ] Cho x, y, z là các s th c. Ch ng minh r ng 27 ( x 2 + 3)( y 2 + 3)( z 2 + 3) ≥ 4 (3xy + 3 yz + 3zx) . 2 273. [ Tr n Anh ð c ] Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng a 3 + b3 + c 3 a 2 + b 2 b 2 + c 2 c 2 + a 2 9 + 2 + + ≥ . 2abc c + ab a 2 + bc b 2 + ac 2 274. [ Lê Thanh H i ] Cho a, b là các s th c dương th a mãn ñi u ki n ab = 1 . Ch ng minh r ng a3 b3 + ≥1. 1+ b 1+ a 275. [ Dương Châu Dinh ] Cho x, y, z là các s th c không âm th a mãn ñi u ki n x + y + z = 2 . Ch ng minh r ng 2 ( x3 + y 3 + z 3 ) ≤ 2 + ( x 4 + y 4 + z 4 ) . 276. [ Nguy n T t Thu ] Cho a, b, c , α là các s th c dương. Ch ng minh r ng  α  α  α a 2 + 1  + b 2 + 1  + c 2 + 1  ≥ 3.2α .         ab     bc     ca   277. [ Tr n Xuân ðáng ] Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n abc = 1 . Ch ng minh r ng (a + b)(b + c)(c + a ) ≥ 2 (1 + a + b + c) . 278. Cho x, y, z là các s th c dương. Ch ng minh r ng 1 1  1 x z y  ( xyz + 1) + +   + + + ≥ x + y + z + 6 .   x y z z y x 279. [ ðàm Văn Nh ] Cho a, b, c, d ∈ [0,1] . Ch ng minh r ng a b c d + + + ≤3. bcd + 1 cda + 1 dab + 1 abc + 1 30
  6. 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang 280. [ Cao Xuân Nam ] Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n ab + bc + ca =1. Ch ng minh r ng a8 b8 c8 1 + + ≥ . 2 2 2 2 2 2 (a 2 + b ) (b2 + c ) (c 2 + a ) 12 281. [ Tr n H ng Sơn ] Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b + c ≤ 3 . Ch ng minh r ng a 3 b3 c 3   1 1 1 + 2 + 2 + 27  + +  ≥ 84 . b 2 c a   ab bc ca   282. [ Dương Châu Dinh ] Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n 1 1 1 1 1 1 6 2 + 2 + 2  ≤ 1+ + + .    a  b c  a b c Ch ng minh r ng 1 1 1 1 + + ≤ . 10a + b + c a + 10b + c a + b + 10c 12 283. [ Lê Văn Quang ] Cho a, b, c, d , e, f là các s th c th a mãn ñi u ki n ab + bc + cd + de + ef = 1 . Ch ng minh r ng 1 a 2 + b2 + c 2 + d 2 + e2 + f 2 ≥ . π 2 cos 7 284. [ Cao Minh Quang ] Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng a b c 27 3 2 + 3 2 + 3 2 ≤ . a + a + 1 b + b +1 c + c +1 31 285. Cho x, y, z là các s th c dương. Ch ng minh r ng x+ y+z xy + yz + zx ≥ . 3 3 x + xy + y + y 2 + yz + z 2 + z 2 + zx + x 2 2 2 286. [ Walther Janous ] Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng 3ab +1 3 3ab +1 a 4 + b 4 + 3 ≥ a + b + 3. . . 4 4 287. [ Tr n Th Thu n ] Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng 1 1 1 3 + + ≥ . a (b + 1) b (c + 1) c (a +1) abc +1 288. Cho x, y, z là các s th c không âm. Ch ng minh r ng 8 ( x 3 + y 3 + z 3 ) ≥ 9 ( x 2 + yz )( y 2 + zx )( z 2 + xy ) . 2 289. Cho x, y, z là các s th c dương. Ch ng minh r ng x2 − z 2 y 2 − x2 z 2 − y 2 + + ≥0. y+z z+x x+ y 31
  7. 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang 290. Cho x, y là các s th c dương th a mãn ñi u ki n x + y = 1 . Tìm giá tr nh nh t c a (x x + y y ). 291. [ Nguy n H u B ng ] Cho a, b, c là ñ dài ba c nh c a m t tam giác. Ch ng minh r ng 1 1 1 3(a − b)(b − c )(c − a ) (a + b + c) + +  + a b c   ≥9.   abc 292. [ Cao Minh Quang ] Cho 10 s th c không âm ai , bi (i = 1, 2,...,5) th a mãn ñi u ki n ai2 + bi2 = 1(i = 1, 2,...,5) và a12 + a2 + ... + a5 = 1 . Hãy tìm giá tr nh nh t c a bi u th c 2 2 b1 + b2 + b3 + b4 + b5 . a1 + a2 + a3 + a4 + a5 293. Cho x, y, z là các s th c không âm. Ch ng minh r ng ( x + y )( y + z )( z + x ) 2 ≥ xyz (2 x + y + z )(2 y + z + x )(2 z + x + y )   294. [ Vedula N. Murty ] Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng 2 2 2 a + b + c 1 3 (a + b) (b + c) (c + a ) ≤ . 3 4 abc 295. [ Cao Minh Quang ] Cho x1 , x2 ,..., xn > 0, x1 + x2 + ... + xn = 2n, n ≥ 3 . Ch ng minh r ng n n xj 2n (n −1) ∑∑ 3 ≥ 3 . j =1 i=1 x +1 i i≠ j x dt 296. Cho hàm s f : [1, +∞)  ℝ , f ( x ) = ∫ → . Ch ng minh r ng v i các s 1 t + 2002t 2002 th c x1 , x2 ,..., xn ≥ 1 , ta có f ( x1 ) + f ( x2 ) + ... + f ( xn ) x + x2 + ... + xn ≤ ln 1 . n n 297. Cho các s th c a, b, c th a mãn ñi u ki n 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 3 . Ch ng minh r ng (a − b)(a 2 − 9) + (a − c )(b 2 − 9) + (b − c )(c 2 − 9) ≤ 36 . 298. Cho các s th c a1 , a2 ,..., an . Ch ng minh r ng a1 + a2 + ... + an ≤ a12 + a2 + ... + an . 3 3 3 3 2 2 Nordic, 1990 299. Cho các s th c x1 , x2 ,..., xn (n ≥ 2) th a mãn các ñi u ki n x1 + x2 + ... + xn ≥ 0 và x12 + x2 + ... + xn = 1 . ð t M = max { x1 , x2 ,..., xn } . Ch ng minh r ng 2 2 1 M≥ . n (n −1) Nordic, 1995 300. Cho a1 , a2 ,..., an (n ≥ 1) là các s th c dương. Ch ng minh r ng 1 1 1  1 1 1  1 1 1 n  + + ... +  ≥   a      1 + a + 1 + a + ... + 1 + a n + a + a + ... + a  .    1 a2 an    1 2  n  1 2  n ð ng th c x y ra khi nào? Nordic, 1999 32
  8. 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang 301. Tìm t t c các s nguyên dương n sao cho v i các s th c x1 , x2 ,..., xn , y1 , y2 ,..., yn , ta luôn có b t ñ ng th c x1 x2 ...xn + y1 y2 ... yn ≤ x12 + y12 + x2 + y2 + ... + xn + yn . 2 2 2 2 Poland, 2002 302. Cho x1 , x2 ,..., xn (n ≥ 3) là các s th c dương. Ch ng minh r ng ít nh t m t trong hai b t ñ ng th c sau là ñúng n x n n x n ∑ x +i x ≥ 2 , ∑ x +i x ≥ 2 . i=1 i +1 i+2 i =1 i−1 i −2 ( ñây ta xem xn+1 = x1 , xn+2 = x2 , x0 = xn , x−1 = xn−1 ) Poland, 2002 303. Cho a, b, c là các s th c. Ch ng minh r ng 2 (a 2 + b 2 ) + 2 (b 2 + c 2 ) + 2 (c 2 + a 2 ) ≥ 3(a + b) + 3(b + c) + 3(c + a ) . 2 2 2 Poland, 2004 304. Cho a, b là các s th c dương và các s th c xi , yi ∈ [0,1], i = 1, 2,..., n (n ≥ 1) th a mãn các ñi u ki n x1 + x2 + ... + xn ≤ a, y1 + y2 + ... + yn ≤ b . Hãy tìm giá tr l n nh t c a bi u th c x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn . Poland, 2005 305. Cho các s th c dương x1 , x2 ,..., xn và s th c c > −2 . Ch ng minh r ng n u x12 + cx1 x2 + x2 + x2 + cx2 x3 + x3 + ... + xn + cxn x1 + x12 = c + 2 ( x1 + x2 + ... + xn ) 2 2 2 2 thì c = 2 ho c x1 = x2 = ... = xn . Poland, 2005. 306. Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n ab + bc + ca = abc . Ch ng minh r ng a 4 + b4 b4 + c4 c4 + a4 + + ≥1 . ab (a 3 + b3 ) bc (b 3 + c3 ) ca (c 3 + a 3 ) Poalnd, 2006 1 307. Cho ≤ a, b, c ≤ 1 . Ch ng minh r ng 2 a +b b+c c +a 2≤ + + ≤ 3. 1+ c 1+ a 1+ b  π 308. Cho a, b ∈ 0,  và n ∈ ℕ . Ch ng minh r ng  4     sin n a + sin n b sin n 2a + sin n 2b ≥ . (sin a + sin b) (sin 2a + sin 2b) n n 309. Cho a, b, c là ñ dài ba c nh c a m t tam giác. Ch ng minh r ng (−a + b + c)(a − b + c) +(a − b + c)(a + b − c) +(a + b − c)(−a + b + c) ≤ abc ( a + b + c ) . Romania TST, 2002 310. Cho a1 , a2 ,..., an (n ≥ 3) là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a12 + a2 + ... + an = 1 . 2 2 Ch ng minh r ng 4 ( ) a1 a a 2 2 + 2 2 + ... + 2 n ≥ a1 a1 + a2 a2 + ... + an an . a2 + 1 a3 + 1 a1 + 1 5 Romania TST, 2002 33
  9. 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang 311. Cho các s th c x, y th a mãn ñi u ki n 1 ≤ x 2 − xy + y 2 ≤ 2 . Ch ng minh r ng 2 a) ≤ x 4 + y 4 ≤ 8 , 9 2 b) x 2 n + y 2 n ≥ n , n ≥ 3 . 3 312. Cho x1 , x2 ,..., xn−1 (n ≥ 3) là các s t nhiên th a mãn ñi u ki n x1 + x2 + ... + xn−1 = 2 và x1 + 2 x2 + ... + (n −1) xn−1 = 2n − 2 . Hãy tìm giá tr nh nh t c a bi u th c n−1 F ( x1 , x2 ,..., xn ) = ∑ k (2n − k ) xk . k =1  π 313. [ V. Senderov ] Cho x ∈ 0,  và m, n là các s t nhiên sao cho n > m . Ch ng minh  2     r ng 2 sin n x − cos n x ≤ 3 sin m x − cos m x . 314. [ S. Berlov ] Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng 1 1 1 2 2 2 + + ≥ + + . 1 − a 1− b 1− c 1 + a 1 + b 1 + c  π 315. Cho x ∈ 0,  . Ch ng minh r ng     2  sin x ≤ sin x . 316. [ D. Tereshin ] Cho a, b, c là các s th c không âm. Ch ng minh r ng (a + b + c) ≥ 3(a bc + b ca + c ab ) . 2 317. Cho x1 , x2 ,..., xn (n ≥ 4) là các s th c dương. Ch ng minh r ng x1 x2 xn−1 xn + + ... + + ≥2. xn + x2 x1 + x3 xn−2 + xn xn−1 + x1 Xác ñ nh ñi u ki n x y ra ñ ng th c khi n = 4 . 318. Cho a, b, c, d là các s th c dương th a mãn ñi u ki n 3(a + b + c + d ) + 4 (abc + bcd + cda + dab) = 8 . Ch ng minh r ng ab + ac + bc + ad + bd + cd ≤ 2 . 319. Cho x, y, z là các s th c th a mãn ñi u ki n x 2 ≤ y + z, y 2 ≤ z + x, z 2 ≤ x + y . Hãy tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a z . Serbia and Montenegro, 2002 320. Cho a, b, c là các s th c dương và n, k là các s t nhiên. Ch ng minh r ng a n+ k b n+ k c n + k n + n + n ≥ ak + bk + ck . b c a 321. [ R. Sanojevic ] Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n abc = 1 . Ch ng minh r ng 1 1 1 + + ≥ 2. 1 1 1 1 1 1 b+ + c+ + a+ + a 2 b 2 c 2 Serbia and Montenegro, 2004 322. Cho x, y, z là các s th c dương th a mãn ñi u ki n x + y + z = 1 . Ch ng minh r ng xy + yz + zx ≥ 4 ( x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ) + 5 xyz . Serbia and Montenegro, 2006 34
  10. 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang 323. Cho x, y, z là các s th c dương th a mãn ñi u ki n x + y + z = 1 . Ch ng minh r ng x y z 9 2 + 2 + 2 ≥ . y +z z +x x +y 4 Serbia and Montenegro, 2006 324. Ch ng minh r ng 1 44 tan10 tan 20...t an440 < t an220 30 ' < ( tan10 + tan 20 + ... + t an440 ) . 44 325. Cho a, b, c, d , e, f là các s th c dương. Ch ng minh r ng ab cd ef (a + c + e)(b + d + f ) + + ≤ . a +b c+d e+ f a +b+c+d +e+ f Yugolavia, 1985 326. Cho a ≥ 1, b ≥ 1 . Ch ng minh r ng  a 2 − b 2 2  ab a2 + b2 3  + ≥ .    8   a +b 8 Yugolavia, 1991 327. Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng 2 2 ( a − b) a 2 + b2 ( a − b) ≤ − ab ≤ . 2 ( a + b) 2 4 ab Yugolavia, 1993 328. Cho các s th c x1 , x2 , x3 , x4 , x5 . Hãy xác ñ nh giá tr l n nh t c a s th c a ñ x12 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥ a ( x1 x2 + x2 x3 + x3 x4 + x4 x5 ) . 2 2 2 2 Yugolavia, 1996 329. [ ð. Dugosija ] Cho a, b, c là các s th c th a mãn ñi u ki n abc = 1 . Ch ng minh r ng 1 1 1 ít nh t hai trong ba s 2a − , 2b − , 2c − ñ u l n hơn 1. b c a Serbia and Montenegro TST, 2004 330. Cho a, b, c, d là các s th c dương. Ch ng minh r ng a b c d + + + ≥ 2. b +c c + d d + a a +b Yugolavia TST, 1985 331. Cho a > b > 0 . Ch ng minh r ng 2 2 ( a − b) a +b ( a − b) < − ab < . 8a 2 8b Sweden, 1985  1 332. Cho x1 , x2 , x3 , x4 ∈ 0,  . Ch ng minh r ng    2  x1 x2 x3 x4 x14 + x2 + x3 + x4 4 4 4 ≤ . (1− x1 )(1− x2 )(1− x3 )(1− x4 ) (1− x1 )4 + (1− x2 )4 + (1− x3 )4 + (1− x4 )4 Taiwan, 2002 333. Cho x1 , x2 ,..., xn là các s th c dương th a mãn ñi u ki n x12 + x2 + ... + xn = 1 . Hãy tìm 2 2 giá tr nh nh t c a bi u th c n xi5 ∑ x + x + ... + x − x . i=1 1 2 n i Turkey TST, 1997 334. Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng 35
  11. 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang 1 1 1 1 1 1 −1 −1 + −1 −1 + −1 −1 ≥ 6 . a b b c c a  π 335. Cho x ∈ 0,  , n ∈ ℕ . Ch ng minh r ng      2n  s in2x s in3x s in (n+1) x cos x + + ... +
  12. 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang Ch ng minh r ng 1 1 1 n −1 a1an + a2 an+1 2 + 2 + ... + 2 ≤ . . a2 a3 an 2 a1a2 an an+1 Hong Kong, 2004 346. Cho x, y, z > 0, k > 2, a = x + ky + kz, b = kx + y + kz, c = kx + ky + z . Ch ng minh r ng x y z 3 + + ≥ . a b c 2k + 1 Greek TST, 1998 347. Cho x, y, z là các s th c. Ch ng minh r ng x2 − y2 y 2 − z 2 z 2 − x2 + + ≤0. 2 x 2 + 1 2 y 2 + 1 2 z 2 +1 Greek TST, 2005 348. Cho x, y là các s th c th a mãn ñi u ki n x 2 + xy + y 2 = 1 . Hãy tìm giá tr nh nh t và giá tr l n nh t c a bi u th c K = x 3 y + xy 3 . Greek , 2006 1− γ 2 349. Cho α, β , γ là các s th c th a mãn ñi u ki n βγ ≠ 0, ≥ 0 . Ch ng minh r ng βγ 10 (α 2 + β 2 + γ 2 − βγ 3 ) ≥ 2αβ + 5αγ . Greek , 2002 350. Cho α, β , x, y là các s th c th a mãn ñi u ki n α + β = 1 . Ch ng minh r ng α β   (α x + β y ) +  ≥ 1 .    x y   ð ng th c x y ra khi nào? Greek , 2001 351. Cho x, y là các s th c dương. Hãy xác ñ nh s k l n nh t ñ xy 1 ≤ . ( x 2 + y 2 )(3x2 + y 2 ) k Greek , 2000 352. Cho a, b, c là các s th c th a mãn ñi u ki n a < b < c, a + b + c = 6, ab + bc + ca = 9 . Ch ng minh r ng 0 < a
  13. 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang α +1 x α+1 (1− x ) a) Hãy tìm giá tr nh nh t c a f ( x ) = + , ∀x ∈ (0,1) . cα (1− c) α α +1 a α +1 bα+1 (a + b) b) Ch ng minh r ng α + α ≥ . ( p + q) α p q Bulgarian, 1984 357. Cho x1 , x2 , x3 , x4 , x5 là các s th c dương. Hãy xác ñ nh s C bé nh t ñ C ( x12005 + x2 + ... + x5 ) ≥ x1 x2 x3 x4 x5 ( x1 + x125 + ... + x5 ) . 2005 2005 125 125 16 2 Brasil, 2005 358. Cho a, x, y, z là các s th c dương. Ch ng minh r ng a+z a+x a+ y a+ y a+z a+x x +y +z ≤ x+ y+z ≤ x +y +z . a+x a+ y a+ z a+z a+x a+ y 359. Cho n ≥ 2 . Ch ng minh r ng 2 3 3 4 4... n n < 2 . Austria, 1990 360. Cho a, b, c, d là các s th c. Ch ng minh r ng a 6 + b 6 + c 6 + d 6 + 2 ≥ 6abcd . Austria, 2004 361. Cho a, b, c là các s th c. Ch ng minh r ng a2 + b2 + c2 { 2 2 min (a − b) , (b − c) , (c − a ) ≤ 2 } 2 . Italy, 1992 362. Cho a, b, c là các s th c không âm th a mãn các ñi u ki n a 2 ≤ b 2 + c 2 , b 2 ≤ c 2 + a 2 , c 2 ≤ a 2 + b 2 . Ch ng minh r ng (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 )(a3 + b3 + c3 ) ≥ 4 (a 6 + b6 + c6 ) . Japan, 2001 363. Cho n ≥ 2 . Ch ng minh r ng n−1 n 1 ∑ n − k . 2k −1 < 4 . k =1 Japan, 1992 364. Cho a, b, c là các s th c không âm th a mãn ñi u ki n a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Ch ng minh r ng 3 2 a + 2 b + 2 b +1 c +1 a + 1 4 c ( ≥ a a +b b +c c . ) Mediteranean, 2002 365. Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n ab + bc + ca + 2abc = 1 . Ch ng minh r ng 2 (a + b + c) +1 ≥ 32abc . Mediteranean, 2004 366. Cho a, b, c là các s khác 0; x, y, z là các s th c dương th a ñi u ki n x + y + z = 3 . Ch ng minh r ng 3 1 1 1 x y z 2 + 2+ 2 ≥ 2 + 2 + . 2 a b c 1+ a 1+ b 1+ c 2 Mediteranean, 1999 367. Cho a1 , a2 ,..., an là các s th c dương. Ch ng minh r ng 38
  14. 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang 1 1 1 − ≥ . 1 1 1 1 1 1 n + + ... + + + ... + 1 + a1 1 + a2 1 + an a1 a2 an 368. Cho n ≥ 2 . Ch ng minh r ng log 2 3 + log3 4 + ... + log n (n +1) < n + ln n − 0,9 .  3 369. Cho x, y ∈ 1,  . Ch ng minh r ng  2  y 3 − 2 x + x 3 − 2 y ≤ x2 + y 2 . Moldova, 2001 370. Cho a, b, c là các s th c th a mãn ñi u ki n a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng a 2 + b 2 + c 2 +1 ≥ 4 (ab + bc + ca ) . Moldova, 2002 371. Cho n là m t s t nhiên và x là m t s th c. Ch ng minh r ng n cos x + cos 2 x + cos 4 x + ... + cos 2n x ≥ . 2 2  π 372. [ V. Yasinsky ] Cho α, β , γ ∈ 0,  . Ch ng minh r ng     2  sin β sin γ sin α α+β +γ ≥α +β +γ . sin α sin β sin γ  π 373. [ V. Yasinsky ] Cho α, β , γ ∈ 0,  . Ch ng minh r ng  2     sin β + sin γ sin γ + sin α sin α + sin β α+β +γ ≥α +β +γ . 2sin α 2sin β 2sin γ 374. [ M. Kurylo ] Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng a6 b6 c6 abc (a + b + c ) 2 2 + 2 2 + 2 2 ≥ . b +c c +a a +b 2 375. [ M. Kurylo ] Cho a, b, c, x, y, z là các s th c dương. Ch ng minh r ng 3 a (b +1) yz + 3 b (c + 1) zx + 3 c (a + 1) xy ≤ 3 (a +1)(b +1)(c + 1)( x + 1)( y + 1)( z + 1) . 1 376. [ V. Brayman ] Cho 0 ≤ a, b, c < . Ch ng minh r ng 3 a +b b+c c +a a + b + c − abc + + ≤2 . 1− ab 1− bc 1− ca 1− ab − bc − ca 377. [ O. Kukush, R. Ushakov ] Cho n ≥ 1 . Ch ng minh r ng 1 + 3 + 5 + ... + 2n −1 < 2 . 378. [ V. Gavran ] Cho a, b, c là ñ dài ba c nh c a m t tam giác. Ch ng minh r ng a 3 b3 c 3 a c b 2 + 2 + 2 ≥ (a + b − c) + (c + a − b ) + (b + c − a ) . b c a c b a 379. [ R. Ushakov ] Cho n ≥ 2, p ≥ 3 . Ch ng minh r ng n  1  p ∏1− k p  > p +1 k =2      380. [ Prymak ] Cho x1 , x2 ,..., xn , y1 , y2 ,..., yn là các s th c dương. Ch ng minh r ng 39
  15. 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang 3 x13 x3 x 3 ( x + x2 + ... + xn ) + 2 + ... + n ≥ 1 . y12 y2 2 yn ( y1 + y2 + ... + yn )2 2  π 381. [ D. Mitin ] Cho x, y ∈ 0,  . Ch ng minh r ng  2  cos x cos y − 4 1  x+ y  . ≤ 1 + cos     cos x + cos y − 4 2  cos x + cos y − 4    x1 x2 x 382. [ D. Mitin ] Cho x1 , x2 ,..., xn ≠ 0 , + + ... + n = 0 . Ch ng minh r ng x2 x3 x1 ( x1 x2 + x2 x3 + ... + xn x1 ≤ max xk − min xk 1≤k ≤n 1≤k ≤n )( x + x 1 2 + ... + xn ) . 383. [ V. Yasinskyy ] Cho a, b, c là các s th c th a mãn các ñi u ki n a + b + c = 2 và ab + bc + ca = 1 . Ch ng minh r ng 4 max {a, b, c} − min {a, b, c} ≤ . 3 384. [ V. Brayman ] Cho 1 ≤ a, b, c, d ≤ 2 . Ch ng minh r ng 4 a b c d ≤ + + + ≤2. 3 b + cd c + da d + ab a + bc 385. [ O. Makarchuk ] Cho a, b, c > 1 th a mãn ñi u ki n a + b + c = abc . Ch ng minh r ng (a 2 −1)(b2 −1)(c 2 −1) ≤ 8 . 386. [ V. Yasinskyy ] Cho x, y, z là các s th c th a ñi u ki n x + y + z ≤1, x − y + z ≤1, 4x + 2 y + z ≤ 8, 4x − 2 y + z ≤ 8 . Ch ng minh r ng x +3 y + z ≤ 7. 387. [ O. Rybak ] Cho a, b, c là các s th c không âm. Ch ng minh r ng b4 c 4 c4 a4 a 4 b4 a + + + b + + + c + + ≥ a 4 + b 3 c + b 4 + c 3 a + c 4 + a 3b . 4 4 4 2 2 2 2 2 2 388. [ Cezar Lupu ] Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng a b c a 2 + bc b 2 + ca c 2 + ab + + ≥ + + . b + c c + a a + b (a + b)(a + c ) (b + a )(b + c ) (c + a )(c + b) 389. [ Daniel Campos Salas ] Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b + c + 1 = 4abc . Ch ng minh r ng 1 1 1 1 1 1 + + ≥3≥ + + . a b c ab bc ca 390. [ Bogdan Enescu ] Cho x, y, z là các s th c th a mãn các ñi u ki n cos x + cos y + cos z = 0, cos 3 x + cos 3 y + cos 3 z = 0 . Ch ng minh r ng cos 2 x.cos 2 y.cos 2 z ≤ 0 . 391. [ Ph m H u ð c ] Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng b+c c+a a +b a +b +c + + ≥ 6. 3 . a b c abc 392. [ Vasile Cartoaje ] Cho a, b, c, d là các s th c không âm th a mãn ñi u ki n a 2 + b2 + c2 + d 2 = 4 . Ch ng minh r ng 40
  16. 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang 2 (4 − ab − bc − cd − da ) ≥ ( ) 2 +1 (4 − a − b − c − d ) . 393. [ H Phú Thái ] Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng a b c a +b+c + + ≤ . 2 a + 2bc 2 b + 2ca 2 c + 2ab ab + bc + ca 394. [ Gabriel Dospinescu ] Cho a1 , a2 ,..., a5 là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a1a2 a3a4 a5 = a1 (1 + a2 ) + a2 (1 + a3 ) + ... + a5 (1 + a1 ) + 2 . Hãy tìm giá tr nh nh t c a bi u th c 1 1 1 1 1 + + + + . a1 a2 a3 a4 a5 395. Cho x1 , x2 , x3 , x4 là các s th c th a mãn các ñi u ki n x1 + x2 + x3 + x4 = 0, x12 + x2 + x3 + x4 = 1 . 2 2 2 Hãy tìm giá tr l n nh t c a bi u th c x13 + x2 + x3 + x4 . 3 3 3 396. [ Cezar Lupu ] Cho a, b, c là các s th c không âm. Ch ng minh r ng a3 + abc b3 + abc c 3 + abc + + ≥ a 2 + b2 + c2 . b+c c+a a +b 397. [ Titu Andresscu ] Cho ABC là tam giác nh n. Ch ng minh r ng 1 cos3 A + cos3 B + cos3 C + cos A cos B cos C ≥ . 2 398. [ Ph m H u ð c ] Cho a, b, c là các s th c không âm nhưng không có hai s nào trong ba s ñ ng th i b ng 0. Ch ng minh r ng a 2 + bc 3 b 2 + ca 3 c 2 + ab 9 3 abc 3 + 2 + 2 ≥ . b2 + c 2 c + a2 a + b2 a + b + c 399. [ Titu Andresscu ] Cho a, b, c là các s th c. Ch ng minh r ng 3(a 2 − ab + b 2 )(b 2 − bc + c 2 )(c 2 − ca + a 2 ) ≥ a 3b3 + b3c 3 + c3 a 3 . 400. [ Darij Grinberg ] Cho tam giác ABC . Ch ng minh r ng A A B B C C 3  cot A + cot B + cot C  . cos cot + cos cot + cos cot ≥    2 2 2 2 2 2  2  2 2 2 401. [ Marian Tetiva ] Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b + c = 3 . Ch ng minh r ng 1 1 1 1 1 1 a) N u a ≤ b ≤ 1 ≤ c thì + + ≥ + + . a + b b + c c + a a +1 b +1 c +1 1 1 1 1 1 1 b) N u a ≤ 1 ≤ b ≤ c thì + + ≤ + + . a + b b + c c + a a +1 b +1 c +1 402. [ Vasile Cartoaje ] Cho x, y, z là các s th c không âm. Ch ng minh r ng 1 5 x 4 ( y + z ) + y 4 ( z + x) + z 4 ( x + y ) ≤ ( x + y + z ) . 12 403. [ Zdravko F. Starc ] Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n abc = 1 . Ch ng minh r ng ( ) ( ) ( a b2 − b + b c 2 − c + c a 2 − a ≥ 0 . ) 404. [ Ivan Borsenco ] Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng (ab + bc + ca) ≤ 3(a 2b + b 2c + c 2 a )(ab 2 + bc 2 + ca 2 ) . 3 405. [ Nikolai Nikolov ] Cho 0 < y < x < 1, 0 < z < 1 . Ch ng minh r ng 41
  17. 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang x− y ( x z − y z )(1− x z y z ) > 1− xy . 406. [ Bogdan Enescu ] Cho a, b là hai s th c phân bi t th a mãn ñi u ki n a −1 + b +1 = a + b = a −1 + b + 1 . Hãy tìm giá tr nh nh t c a bi u th c a + b . 1 407. [ Iurie Boreico, Marcel Teleucă ] Cho x1 , x2 ,..., xn ≥ . Ch ng minh r ng 2 n  2x   4 xi n ∏1 + 3 i  ≥  3  4 ( x1 + x2 )( x2 + x3 )...( xn−1 + xn )( xn + x1 ) .    i=1          408. [ Iurie Boreico, Ivan Borsenco ] Cho a, b, c là các s th c dương phân bi t. Ch ng minh r ng a 2b + a 2 c + b 2 a + b 2 c + c 2 a + c 2b 16abc 2 2 2 ≥ 2 . a + b + c − ab − bc − ca (a + b + c) 409. [ Titu Andreescu ] Cho a, b, c là các s th c th a mãn ñi u ki n 3(a + b) ≥ 2 ab +1 . Ch ng minh r ng 9 (a 3 + b3 ) ≥ a 3b3 + 1 . 410. [ Titu Andreescu ] Cho a, b, c, d là các s th c dương. Ch ng minh r ng 3(a 2 − ab + b2 )(c 2 − cd + d 2 ) ≥ 2 (a 2 c 2 − abcd + b 2 d 2 ) . 411. [ Ivan Borsenco ] Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng a) (a 3 + b3 + c3 ) ≥ (a 4 + b 4 + c 4 )(ab + bc + ca ) . 2 b) 9 (a 4 + b 4 + c 4 ) ≥ (a 5 + b5 + c 5 )(a + b + c ) . 2 3 412. [Titu Andreescu ] Cho a, b là các s th c th a mãn ñi u ki n 9a 2 + 8ab + 7b 2 ≤ 6 . Ch ng minh r ng 7a + 5b + 12ab ≤ 9 . 413. [ Ph m H u ð c ] Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng 1  1 1 1  1 1  + + ≥  a +b + c a +b b + c c + a  ab + bc + ca + 2 a 2 + b 2 + c 2 .  ( ) 414. [ Cezar Lupu ] Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n abc = 1 . Ch ng minh r ng 1 1 1 4 (ab + bc + ca) + 3 + 3 + ≥ ab + bc + ca . a (b + c ) b (c + a ) c (a + b) (a + b)(b + c)(c + a) 3 415. [ Bin Zhao ] Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng a2 b2 c2 + + ≤1 . 4a 2 + ab + 4b2 4b 2 + bc + 4c 2 4c 2 + ca + 4a 2 416. Cho a, b, c là các s th c th a mãn ñi u ki n a ≥ 1, a + b + c = 0 . Ch ng minh r ng a 4 + b 4 + c 4 − 3abc . 417. Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n abc ≤ 8 . Ch ng minh r ng 1 1 1 2 + 2 + 2 ≥1 . a − a +1 b − b + 1 c − c + 1 n n 1 418. Cho x1 , x2 ,..., xn là các s th c dương th a mãn ñi u ki n S = ∑ xi = ∑ . Ch ng i=1 i=1 xi minh r ng 42
  18. 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang n 1 n 1 ∑ n −1 + x ≥ ∑ 1 + S − x . i=1 i i=1 i 1 1 1   419. Cho x, y, z là các s th c dương th a mãn ñi u ki n ( x + y − z ) + −  = 4 . Hãy   x y z  tìm giá tr nh nh t c a bi u th c 1 1 1 E ( x, y, z ) = ( x 4 + y 4 + z 4 ) 4 + 4 + 4  .    x  y  z  420. Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n ab + bc + ca = 1 . Ch ng minh r ng 1 + a 2b 2 1 + b 2 c 2 1 + c 2 a 2 5 2 + 2 + 2 ≥ . (a + b) (b + c) (c + a) 2 421. Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n abc = 1 . Ch ng minh r ng a +b b+c c+a + + ≥ 3. b +1 c +1 a +1 422. Cho a, b, c là ñ dài ba c nh c a m t tam giác vuông. Hãy tìm giá tr l n nh t c a s th c k ñ 3 a 3 + b3 + c3 ≥ k ( a + b + c ) . Iran, 2006 n 423. Cho x1 , x2 ,..., xn là các s th c dương th a mãn ñi u ki n ∑ x = 1 . Ch i ng minh r ng i=1  n  n  1   2  ≤ n ∑  xi ∑   .  i=1     i=1 1 + xi  n +1 China TST, 2006 424. Cho x, y, z là các s th c dương th a mãn ñi u ki n x + y + z = 1 . Ch ng minh r ng xy yz zx 2 + + ≤ . xy + yz yz + zx zx + xy 2 China TST, 2006 425. Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b + c = 3 . Ch ng minh r ng 1 1 1 2 + 2 + 2 ≥ a2 + b2 + c 2 . a b c Romania TST, 2006 426. Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng  2   a + b + c  ≥ 3a +b + b + c + c + a .     b c a    2 c a b  Junior Balkan TST, 2006 427. Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng a2 b2 c2 + + ≥ 3(a 2 + b 2 + c 2 ) . b c a Junior Balkan TST, 2006 428. Cho x, y, z là các s th c dương th a mãn ñi u ki n xy + yz + zx = 1 . Ch ng minh r ng 27 ( ) 2 ( x + y )( y + z )( z + x) ≥ x + y + y + z + z + x ≥ 6 3 . 4 Turkey TST, 2006 429. Cho a1 , a2 ,..., an (n ≥ 3) là các s th c. Gi s r ng ta có 43
  19. 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang 2 (a1 + a2 + ... + an ) ≥ 4 (a1a2 + a2 a 3 +... + an a1 ) . a) Tìm t t c các giá tr c a n ñ b t ñ ng th c trên ñúng khi a1 , a2 ,..., an là các s th c dương. b) Tìm t t c các giá tr c a n ñ b t ñ ng th c trên ñúng khi a1 , a2 ,..., an là các s th c b t kì. Italy, 2006 430. Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng  3  3  3  a + 2b  +  b + 2c  +  c + 2a  ≥ 3 .  a + 2c   b + 2a   c + 2b              MOP, 2004 + 431. Cho k ∈ ℤ , a1 , a2 ,..., an là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a1 + a2 + ... + an = 1 . Ch ng minh r ng n 1− aik ∏ a k ≥ (nk −1) . n i=1 i 432. Cho a1 , a2 ,..., an là các s th c không âm th a mãn ñi u ki n a1 + a2 + ... + an = 1 . Ch ng minh r ng 1 a1a2 + a2 a3 + ... + an−1an ≤ . 4 433. Cho a1 , a2 ,..., an (n > 1) là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a1a2 ...an = 1 . Ch ng minh r ng 1 1 1 a + a2 + ... + an + n + + ... + ≤ 1 . 1 + a1 1 + a2 1 + an 4 434. [ Aaron Pixton ] Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n abc = 1 . Ch ng minh r ng a b c 5 + + + ≥ (1 + a )(1 + b)(1 + c) . b c a 435. [ Mildorf ] Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng 4a 2 4b 2 4c 2 3 4a 3 + 4b3 + 3 4b3 + 4c 3 + 3 4c3 + 4a 3 ≤ + + . a +b b+c c +a 1 1 1 436. [ Po – Ru Loh ] Cho a, b, c > 1 th a mãn ñi u ki n 2 + 2 + 2 = 1 . Ch ng a −1 b −1 c −1 minh r ng 1 1 1 + + ≤1. a +1 b +1 c +1 437. [ Weighao Wu ] Cho x ∈ ℝ . Ch ng minh r ng sin x cos x (sin x) < (cos x ) . 438. Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng a b c 3 2 1< + + ≤ . a +b 2 2 b +c 2 c +a 2 2 2 2 439. [ Gabriel Dospinescu ] Cho a1 , a2 ,..., an (n > 1) là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a1a2 ...an = 1 . Ch ng minh r ng a12 + 1 a 2 +1 a 2 +1 + 2 + ... + n ≤ a1 + a2 + ... + an . 2 2 2 440. [ Vascile Cartoaje ] Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b + c = 3 . Ch ng minh r ng 44
  20. 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang a b c 3 + + ≥ . ab +1 bc + 1 ca + 1 2 441. Cho x1 , x2 , x3 , x4 , x5 là các s th c không âm th a mãn ñi u ki n ∑ x −x i j = 1 . Hãy i< j tìm giá tr nh nh t c a bi u th c 5 ∑x . i i=1 442. Cho x1 , x2 , x3 , x4 ∈ [−1,1] . Hãy tìm giá tr nh nh t c a bi u th c 4 4 F = ∑ xi −( x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 ) +( x1x2 x3 + x1x2 x4 + x1x3 x4 + x2 x3 x4 ) −∏xi . i=1 i=1 443. Cho a, b, c ∈ [0,1] . Ch ng minh r ng a (1− b)(1− c ) + b (1− c )(1− a ) + c (1− a )(1− b) ≤ 1 + abc . 444. [ Cao Minh Quang ] Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng a 2 b 2 c 2 3( a + b + c ) 2 2 2 + + ≥ . b c a a+b+c 445. [ Cao Minh Quang ] Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a +b +c =3 . Ch ng minh r ng a 2 (b +1) b 2 (c + 1) c 2 (a +1) + + ≥ 2. a + b + ab b + c + ca c + a + ca 446. [ Cao Minh Quang ] Cho x1 , x2 ,..., xn (n ≥ 2) là n s th c dương th a ñi u ki n n xi ∑ x + 2 ≤1 . i=1 i Ch ng minh r ng n 1 n (n −1) ∑ x +1 ≥ n +1 . i=1 i 447. [ Cao Minh Quang ] Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng ab bc ca 1 2 + 2 + 2 ≤ . 3a + 2b + 3 3b + 2c + 3 3c + 2a + 3 12 448. Cho x1 , x2 ,..., x2 n là các s th c th a mãn ñi u ki n xi+1 − xi ≤ 1, i = 1, 2,..., 2n −1 . Ch ng minh r ng x1 + x2 + ... + x2 n + x1 + x2 + ... + x2 n ≤ n (n +1) . Romania TST, 2000 449. Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng ( ) 3 a + ab + 3 abc ≤ 4 (a + b + c ) . 450. [ Rumen Kozarev ] Cho x ∈ ℝ . Ch ng minh r ng   4x2 + x + 2 x 2.3x − 2  ≥ 0 .    x + x +1  451. Cho 0 ≤ xi ≤ 1, i = 1, 2,..., n (n ≥ 2) . Ch ng minh r ng  n ( x1 + x2 + ... + xn )− ( x1 x2 + x2 x3 + ... + xn−1 xn + xn x1 ) ≤   .  2  Bulgaria, 1995 452. Cho a, b, c, d là các s th c dương. Ch ng minh r ng 45
Đồng bộ tài khoản