7 hướng biến đổi cho một bài tích phân

Chia sẻ: ttbvan

Một trong những phương pháp học toán là sau mỗi bài toán chúng ta cần tìm ra những “điểm nhấn " để có thể hiểu vấn đề một cách ...

Nội dung Text: 7 hướng biến đổi cho một bài tích phân

7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN
Nguyễn Hữu Thanh – Trường THPT Thuận Thành số I
Email: thanhthuanthanh1@gmail.com gửi cho www.mathvn.com
Một trong những phương pháp học toán là sau mỗi bài toán chúng ta cần tìm ra những
“điểm nhấn “ để có thể hiểu vấn đề một cách “ thông thái “ hơn.
Vậy để làm được điều đó, người học toán cần điều gì?
1. Suy nghĩ thật kỹ, thật thấu đáo về vấn đề được đặt ra.
2. Tìm mối liên hệ giữa các kiến thức xung quanh vấn đề đó.
3. Tự đặt câu hỏi xung quanh một vấn đề nhỏ để tìm cách tổng quát thích hợp.
Chúc các bạn thành công ! !
Xin phân tích qua một bài toán nhỏ sau:
π
2
sin x
Bài toán : Tính tích phân I =
+sin x + cos x dx
0

Nhận xét 1: Quan sát thấy được hàm số dưới dấu tích phân có dạng phân thức. Vậy kiến
thức sẽ sử dụng cho hàm phân thức là gì? Chắc chắn chúng ta nghĩ đến nguyên hàm
dx
=x = ln | x | +C

Vậy để sử dụng được công thức này chúng ta cần phải tìm mọi cách biến đổi về dạng đó !
Nhận xét 2: Ở đây chỉ xuất hiện 2 hàm số lượng giác là sinx và cosx . Vậy có cách nào
biểu diễn thông qua một yếu tố không ? Ta cùng tìm kiếm kiến thức để giải quyết.
- Hướng 1: Chia cả tử và mẫu cho cosx ta được
tgx + 1 − 1
sinx tgx 1
f ( x) = = = = 1− từ đó đặt t= tgx
sinx + cos x tgx + 1 tgx + 1 tgx + 1
Bt + C 
A
tdt
⇒I = ∫ dx − ∫ = ∫ dx −  ∫ dt + ∫ dt
1+ t2 
(1 + t )(1 + t )  t +1
2

x 2
2t 1- t
- Hướng 2: Đặt t = tan thì sin x = ; cosx=
1+ t 1+ t2
2 2

Với hướng trên ta có thể tính được tích phân có dạng tổng quát sau:
b
a sin x + b1 cos x + c1
I =+ 1 dx
a2 sin x + b2 cos x + c2
a

Các bạn hãy làm bài toán trên và tự mình nghĩ ra đề bài và giải nhé!
Nhận xét 3: Xuất phát từ quan hệ của sinx và cosx . Điều gì đặc biệt trong cận của tích
phân ?
π
πdx = −dt
=
π π
=
− t � � = 0 : t = ( đây là cách đặt ẩn phụ mà không làm thay đổi
x
- Hướng 3: Đặt x=
2 2

�π
=x = 2 : t = 0
=
cận của tích phân đã có dịp trao đổi cùng các bạn).
π π π
2 2 2
sin x co s t co s x
Khi đó : I =
� dx = � dt = � dx
sin x + cos x sin t + cos t sin x + cos x
0 0 0
π π π

π π
2 2 2
⇒ 2 I = � sin x co s x
dx + � dx = � = � I =
dx
sin x + cos x sin x + cos x 2 4
0 0 0

Thật đáng kinh ngạc !!!!!
π
n
sin m x
2
Với hướng trên ta có thể tính được tích phân tổng quát sau: I =
+n sin m x + n co s m x
0

Các bạn hãy làm bài toán trên và tự mình nghĩ ra đề bài và giải nhé!
Nhận xét 4: Nếu dùng biến đổi lượng giác thì như thế nào ?
π π

sin  x + − 
π 
4 4 1 
 = 1 − cot g  x +  và ta tính được bình
- Hướng 4: Biến đổi f(x) =
π  2
 4 

2 sin  x + 
 4
thường.
- Hướng 5: Biến đổi
 1 − cos 2 x 
1
sin 2 x −  
f(x) = sin x(cos x − sin x) 2  = 1  tg 2 x − 1 + 1
2

=  
cos x − sin x
2 2
2 cos 2 x 
cos 2 x
và ta tính với các tích phân bình thường của hàm lượng giác.
Nhận xét 6: Vì tích phân có dạng hàm phân thức nên nếu ta biến đổi tử thức để tìm cách
viết được qua mẫu số và đạo hàm của mẫu thì hay quá !
sinx + cos x + sinx − cos x 1 cos x − sinx
sinx
- Hướng 6: Biến đổi f ( x) = = =−
sinx + cos x 2( sinx + cos x) 2 2( sinx + cos x)

Nhận xét 7: Quan sát ticsh phân cần tìm ta thấy sự sai khác của tử số và mẫu số, vậy nếu
ta tìm được một tích phân khác có “họ hàng” với nó thì sao nhỉ ? Trả lời câu hỏi đó ta đi xét tích
π
2
co s x
dx ( gọi là tích phân liên kết của tích phân I) .
phân J =
+ sin x + cos x
0

+I + J =
Từ hai tích phân trên ta đi giải hệ : + sẽ tìm được I .
−I − J =
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản