Bài 2: phương trình đẳng cấp với sin và cos

Chia sẻ: hoangyen999

Cách 3. Phân tích thành phương trình tích 2. Các bài t p m u minh h a Bài 1. Gi i phương trình: 3sin 3x − 3 cos 9 x = 1 + sin 3 3x Giải 3sin 3x − 3 cos 9 x = 1 + 4 sin 3 3 x ⇔ ( 3sin 3x − 4 sin 3 3 x ) − 3 cos 9 x = 13 ⇔ sin 9 x − 3 cos 9 x = 1 ⇔ 1 sin 9 x − cos 9 x = 1 ⇔ sin 9 x − π = 1 2 2 2 3 2 9 x − π = π + 2 k π x = π

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Bài 2: phương trình đẳng cấp với sin và cos

Bài 1. Phương trình ng c p b c nh t, b c hai, b c ba v i sinx, cosx

Bài 1. PHƯƠNG TRÌNH NG C P B C NH T V I SINX, COSX

1. Phương pháp chung: a sin x + b cos x = c ; a 2 + b 2 > 0 (1)

Cách 1. (1) ⇔ c = a sin x + b cos x = cos ( x − α )
2 2 2 2
a +b a +b a + b2
2



V i a = sin α ; b = cos α ; c = cos β ⇒ x = α ± β + 2k π
2 2 2 2
a +b a +b a + b2
2


Chú ý: (1) có nghi m ⇔ c 2 ≤ a 2 + b 2

Cách 2. Xét cos x = 0 là nghi m c a (1) ⇔ b + c = 0
2
2
Xét b + c ≠ 0 . t t = tan x thì sin x = 2t 2 ; cos x = 1 − t 2 . Khi ó
2 1+ t 1+ t
(1) ⇔ f ( t ) = ( c + b ) t 2 − 2at + ( c − b ) = 0
Cách 3. Phân tích thành phương trình tích
2. Các bài t p m u minh h a

Bài 1. Gi i phương trình: 3sin 3x − 3 cos 9 x = 1 + sin 3 3x
Gi i
3sin 3x − 3 cos 9 x = 1 + 4 sin 3 3 x ⇔ ( 3sin 3x − 4 sin 3 3 x ) − 3 cos 9 x = 1

⇔ sin 9 x − 3 cos 9 x = 1 ⇔ 1 sin 9 x −
2 2
3
cos 9 x = 1 ⇔ sin 9 x − π = 1
2 3 2 ( )
9 x − π = π + 2 k π  x = π + 2k π
 3 6  18 9 (
⇔ ⇔ k ∈ »)
π = 5π + 2 k π 7 π + 2k π
9 x − x =
 3 6  54 9

Bài 2. Gi i phương trình: cos 7 x.cos 5 x − 3 sin 2 x = 1 − sin 7 x.sin 5 x (1)
Gi i
(1) ⇔ ( cos 7 x.cos 5 x + sin 7 x.sin 5 x ) − 3 sin 2 x = 1

⇔ cos ( 7 x − 5 x ) − 3 sin 2 x ⇔ cos 2 x − 3.sin 2 x = 1

3
⇔ 1 cos 2 x − sin 2 x = 1 ⇔ cos π cos 2 x − sin π sin 2 x = 1
2 2 2 3 3 2

( 2 )
⇔ cos 2 x + π = 1 ⇔ 2 x + π = ± π + 2k π ⇔ x = k π ∨ x = −π + k π ( k ∈ » )
3 3 3 3



219
Chương VII. Phương trình lư ng giác – Tr n Phương

Bài 3. Gi i phương trình: 2 2 ( sin x + cos x ) cos x = 3 + cos 2 x (1)
Gi i
(1) ⇔ 2 sin 2 x + 2 (1 + cos 2 x ) = 3 + cos 2 x ⇔ 2 sin 2 x + ( 2 − 1) cos 2 x = 3 − 2
 a 2 + b 2 = ( 2 ) 2 + ( 2 − 1) 2 = 5 − 2 2

.Ta có  2
. Ta s ch ng minh: a 2 + b 2 < c 2
c = ( 3 − 2 ) = 11 − 6 2

2


2
⇔ 5 − 2 2 < 11 − 6 2 ⇔ ( 4 2 ) < 6 2 ⇔ 32 < 36 ( úng). V y (1) vô nghi m.

( ) (
Bài 4. Gi i phương trình: 3sin x − π + 4 sin x + π + 5 sin 5 x + π = 0
3 6 6 ) ( )
Gi i

( ) ( )
⇔ 3sin x − π + 4 cos  π − x + π  = −5sin 5 x + π
3 2
 6 
 6 ( )
( 3 ) 3 ( ) 6 ( )
⇔ 3sin x − π + 4 cos π − x = 5sin  5 x + π + π .
 

t sin α = 4 , cos α = 3
5 5
⇔ cos α sin  x − π  + sin α.cos ( x − π ) = sin ( 5 x + 7 π )

 3
 3 6
⇔ sin ( x − π ) + α  = sin ( 5 x + 7 π ) ⇔ x = 9π + α + k π ∨ x = π − α + k π

 3 
 6 24 4 2 36 6 3

Bài 5. Gi i phương trình: 4 sin 3 x cos 3x + 4 cos 3 x sin 3 x + 3 3 cos 4 x = 3 (1)
Gi i
(1) ⇔ [3sin x − sin 3 x ] cos 3x + [ 3cos x + cos 3x ] sin 3x + 3 3 cos 4 x = 3

⇔ 3 [sin x cos 3 x + sin 3 x cos x ] + 3 3 cos 4 x = 3 ⇔ sin 4 x + 3 cos 4 x = 1

⇔ 1 sin 4 x +
2 2
3
cos 4 x = 1 ⇔ cos π sin 4 x + sin π cos 4 x = sin 4 x + π = 1
2 3 3 3 2 ( )
⇔ x = −π + k π ∨ x = π + k π ( k ∈ » )
24 2 8 2
Bài 6. Gi i phương trình: 3sin x + cos x = 1
Gi i
Ta có 3sin x + cos x = 1 ⇔ 3sin x = 1 − cos x

2 2 2 2 ( 2 )
⇔ 6 sin x cos x = 2 sin 2 x ⇔ 2 sin x 3cos x − sin x = 0 . Xét 2 kh năng
2
a. sin x = 0 ⇔ x = k π ⇔ x = 2k π
2 2
b. 3cos x − sin x = 0 ⇔ tg x = 3 ⇔ x = α + k π ⇔ x = 2α + 2k π ( k ∈ » )
2 2 2 2

220
Bài 1. Phương trình ng c p b c nh t, b c hai, b c ba v i sinx, cosx

Bài 7. Gi i phương trình: sin x + 5 cos x = 1 (1)
Gi i
2

( 2 2 2 )( 2 2 ) (
(1) ⇔ 5 cos x = 1 − sin x ⇔ 5 cos x − sin x cos x + sin x = cos x − sin x
2 )
( 2 )( 2 2 )
⇔ cos x − sin x 4 cos x + 6 sin x = 0 ⇔ tan x = 1 ∨ tan x = − 2 = tan α
2 2 2 3

⇔ x = π + k π ∨ x = α + k π ⇔ x = π + 2 k π ∨ x = 2α + 2 k π ( k ∈ » )
2 4 2 2

Bài 8. Gi i phương trình: sin x + 3 cos x + sin x + 3 cos x = 2 (1)

Gi i
 
Ta có: sin x + 3 cos x = 2  1 sin x +
2 2
3
cos x  = 2 sin x + π
 3 ( )
( )
t t = sin x + 3 cos x = 2 sin x + π ⇒ 0 ≤ t ≤ 2 , khi ó
3
(1) ⇔ t + t = 2 ⇔ t = 2 − t ⇔ t = ( 2 − t ) 2 ⇔ t 2 − 5t + 4 = 0 ⇔ t = 1∈ [ 0; 2]

( 3 ) (3 2 )
⇔ 2 sin x + π = 1 ⇔ sin x + π = 1 ⇔ x = −π + 2k π ∨ x = π + 2k π ( k ∈ » )
6 2

Bài 9. Gi i phương trình: (1 + 3 ) sin x + (1 − 3 ) cos x = 2 (1)

Gi i

Do b + c = (1 + 3 ) + 2 = 2 − 3 ≠ 0 nên cos x = 0 không là nghi m c a (1)
2
2
t t = tan x ⇒ sin x 2t 2 và cos x = 1 − t 2 , khi ó
2 1+t 1+ t
2
(1) ⇔ (1 + 3 ) 2t + (1 − 3 ) 1 − t = 2 ⇔ 2 (1 + 3 ) t + (1 − 3 ) (1 − t 2 ) = 2 (1 + t 2 )
1+ t2 1+ t2

⇔ ( 3 − 3 ) t 2 − 2 (1 + 3 ) t + (1 + 3 ) = 0 ⇔

1+ 3
t = 1 ∨ t =− ⇔ tan x = tan π ∨ tan x = tan 5π ⇔ x = π + 2k π ∨ x = 5π + 2k π
3 1− 3 2 6 2 12 3 6

Bài 10. Gi i phương trình: sin 3 x + ( 3 − 2 ) cos 3 x = 1 (1)

Gi i

Do b + c = ( 3 − 2 ) + 1 = 3 − 1 ≠ 0 nên cos 3 x = 0 không là nghi m c a (1)
2

221
Chương VII. Phương trình lư ng giác – Tr n Phương

2
t t = tan 3 x ⇒ sin 3 x = 2t 2 và cos 3 x = 1 − t 2 , khi ó
2 1+ t 1+ t
(1) ⇔ 2t + ( 3 − 2 ) (1 − t 2 ) = 1 + t 2 ⇔ (1 − 3 ) t 2 + 2t + ( 3 − 3) = 0

t = 1
⇔ ⇔ tan 3x = 1 ∨ tan 3 x = 3 ⇔ x = π + 2k π ∨ x = 2π + 2k π ( k ∈ » )
t = 3 2 2 6 3 9 3

Bài 11. Tìm m 2 sin x + m cos x = 1 − m (1) có nghi m x ∈  −π , π 
 2 2
 
Gi i

Do b + c = m + (1 − m ) ≠ 0 nên cos x = 0 không là nghi m c a (1)
2
2
t t = tan x thì (1) ⇔ 2 ⋅ 2t 2 + m ⋅ 1 − t 2 = 1 − m
2 1+ t 1+ t

⇔ 4t + m (1 − t 2 ) = (1 − m ) (1 + t 2 ) ⇔ f ( t ) = t 2 − 4t + 1 − 2m = 0

Cách 1: Yêu c u bài toán ⇔ f ( t ) = t 2 − 4t + 1 − 2m = 0 có nghi m t ∈ [ −1,1]

Xét f ( −1) = 0 ⇔ 6 − 2m = 0 ⇔ m = 3 th a mãn

Xét f (1) = 0 ⇔ −2 − 2m = 0 ⇔ m = −1 th a mãn

Xét f ( t ) = 0 có 1 nghi m t ∈ ( −1,1) và 1 nghi m t ∉ [ −1,1]

⇔ f ( −1) f (1) = ( 6 − 2m ) ( −2 − 2m ) < 0 ⇔ ( 2m − 6 ) ( 2m + 2 ) < 0 ⇔ −1 < m < 3

Xét f ( t ) = 0 có 2 nghi m t1 , t 2 th a mãn −1 < t1 ≤ t 2 < 1

{ }
⇔ ∆ ′ ≥ 0; 1. f ( −1) > 0 ; 1. f (1) > 0; − 1 < S < 1 , h này vô nghi m
2

K t lu n: (1) có nghi m x ∈  −π , π  ⇔ −1 ≤ m ≤ 3 .
 2 2
 

Cách 2: f ( t ) = t 2 − 4t + 1 − 2m = 0 có nghi m t ∈ [ −1,1]

⇔ g ( t ) = 1 t 2 − 2t + 1 = m có nghi m t ∈ [ −1,1]
2 2
Ta có: g ′ ( t ) = t − 2 < 0 ∀t ∈ [ −1,1] ⇒ g ( t ) ngh ch bi n trên [ −1,1]

Suy ra t p giá tr g ( t ) là o n  g (1) , g ( −1) ≡ [ −1, 3] . T
  ó (1) có nghi m

x ∈  −π , π  ⇔ g ( t ) = m có nghi m t ∈ [ −1,1] ⇔ −1 ≤ m ≤ 3
 2 2
 


222
Bài 1. Phương trình ng c p b c nh t, b c hai, b c ba v i sinx, cosx

II. PHƯƠNG TRÌNH NG C P B C 2 V I SINX, COSX
1. Phương pháp chung
a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x + d = 0 v i a 2 + b 2 + c 2 > 0 (1)
Bư c 1: Xét cos x = 0 có là nghi m c a (1) hay không ⇔ a + d = 0
Bư c 2: Xét a + d ≠ 0 ⇒ cos x = 0 không là nghi m c a (1)
Chia 2 v c a (1) cho cos 2 x ≠ 0 ta nh n ư c phương trình
(1) ⇔ a tan 2 x + b tan x + c + d (1 + tan 2 x ) = 0 . t t = tan x
(1) ⇔ f ( t ) = ( a + d ) t 2 + bt + ( c + d ) = 0

Bư c 3: Gi i và bi n lu n f ( t ) = 0 ⇒ Nghi m t 0 = tg x ⇒ nghi m x.
2. Các bài t p m u minh h a

Bài 1. a. Gi i phương trình: sin 2 x + 2 sin x cos x + 3cos 2 x − 3 = 0
b. Gi i phương trình: sin 2 x − 3sin x cos x + 1 = 0
Gi i
a. sin 2 x + 2 sin x cos x + 3cos 2 x − 3 = 0 (1)

cos x = 0
  2
sin x = 1
N u cos x = 0 là nghi m c a (1) thì t (1) ⇒  2 ⇔ 2
sin x − 3 = 0 sin x = 3
 
⇒ Vô lý. Chia 2 v c a (1) cho cos 2 x ≠ 0 ta nh n ư c
(1) ⇔ tan 2 x + 2 tan x + 3 − 3 (1 + tan 2 x ) = 0 ⇔ 2 tan x − 2 tan 2 x = 0

 tan x = 0 x = kπ
⇔ 2 tan x (1 − tan x ) = 0 ⇔  ⇔ (k ∈ »)
 tan x = 1 x = π + kπ
 4
b. sin 2 x − 3sin x cos x + 1 = 0 (2)
cos x = 0

N u cos x = 0 là nghi m c a (2) thì t (2) ⇒  2 ⇒ Vô lý
sin x + 1 = 0

Chia 2 v c a (2) cho cos 2 x ≠ 0 ta nh n ư c phương trình
( 2 ) ⇔ tan 2 x − 3 tan x + (1 + tan 2 x ) = 0 ⇔ 2 tan 2 x − 3 tan x + 1 = 0
 tan x = 1 = tan π  π

( tan x − 1) ( 2 tan x − 1) = 0 ⇔  4 ⇔  x = 4 + k π ( k ∈ »)

1 x = α + kπ
 tan x = = tan α 
 2


223
Chương VII. Phương trình lư ng giác – Tr n Phương


Bài 2. a. Gi i phương trình: 4 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2 sin 2 x + 5
2

(2 2) ( ) 2 (
b. GPT: 3sin 2 x ( 3π − x ) + 2 sin 5π + x cos π + x − 5sin 2 3π + x = 0 )
Gi i

a. Phương trình ⇔ 2 sin 2 x − 4 3 sin x cos x − 4 cos 2 x + 5 = 0 (1)
2
N u cos x = 0 là nghi m c a (1) thì t (1) ⇒ 2 sin x + 5 = 0 ⇒ Vô lý
2
2
Chia 2 v c a (1) cho cos 2 x ≠ 0 ta nh n ư c phương trình

(1) ⇔ 2 tan 2 x − 4 3 tan x − 4 + 5 (1 + tan 2 x ) = 0 ⇔ 9 tan 2 x − 8 3 tan − 3 = 0
2
− 3
⇔ tan x = 3 = tan π ∨ tan x = = tan α ⇔ x = π + k π ∨ x = α + k π ( k ∈ » )
3 9 3

( 2 ) ( 2 ) 2 (
b. 3sin 2 x ( 3π − x ) + 2 sin 5π + x cos π + x − 5sin 2 3π + x = 0 )
⇔ 3sin 2 x − 2 sin x cos x − 5 cos 2 x = 0 ( 2 )

cos x = 0
N u cos x = 0 là nghi m c a (1) thì t (2) ⇒  ⇒ Vô lý
sin x = 0
Chia 2 v c a (2) cho cos 2 x ≠ 0 ta nh n ư c phương trình
 tan x = −1 = tan −π  x = −π + k π
 4
( 2 ) ⇔ 3 tan x − 2 tan x − 5 = 0 ⇔ 
2
⇔ 4
tan x = 5 = tan α x = α = kπ
 
 3

Bài 3. GPT: a. 3 sin x + cos x = 1 b. 4 sin x + 6 cos x = 1
cos x cos x
Gi i

a. 3 sin x + cos x = 1 ⇔ 3 sin x + cos x = 1 ⇔ 3 tan x + 1 = 1 + tan 2 x
cos x cos x cos 2 x
 tan x = 0
⇔ tan 2 x − 3 tan x = 0 ⇔ tan x ( tan x − 3 ) = 0 ⇔ 
 tan x = 3
{ 3 }
⇔ x ∈ k π; π + k π

b. 4 sin x + 6 cos x = 1 ⇔ 4 sin x + 6 cos x = 12 ⇔ 4 tan x + 6 = 1 + tan 2 x ⇔
cos x cos x cos x
tan x = −1 = tan −π  x = −π + k π
tan 2 x − 4 tan x − 5 = 0 ⇔ ( tan x + 1)( tan x − 5) = 0 ⇔  4 ⇔ 4
tan x = 5 = tan α x = α + kπ
 

224
Bài 1. Phương trình ng c p b c nh t, b c hai, b c ba v i sinx, cosx

Bài 4. Gi i phương trình: 7 sin 2 x + 2 sin 2 x − 3cos 2 x − 3 3 15 = 0 (1)
Gi i
cos x = 0

N u cos x = 0 là nghi m c a (1) thì t (1) ⇒  2
⇒ Vô lý
7 sin x = 3 3 15


Chia 2 v c a (1) cho cos 2 x ≠ 0 ta có (1) ⇔ 7 tan 2 x + 4 tan x − 3 − 33 15 (1 + tan 2 x ) = 0

⇔ ( 7 − 3 3 15 ) tan 2 x + 4 tan x − ( 3 + 3 3 15 ) = 0 ( 2 ) . Ta có ∆ ′ = 25 + 12 3 15 − 9 3 15 2

t t = 3 15 ⇒ t 3 = 15 ⇒ 5 t 3 = 25 , ta s ch ng minh ∆′ 0, ∀t ∈( 0, 1)
t2 + 2 ( t 2 + 2) 2 ( t 2 + 2) 2
⇒ g ( t ) tăng / ( 0,1) ⇒ g ( t ) = m có nghi m t ∈ ( 0,1) ⇔ m ∈ ( g ( 0 ) , g (1) ) ≡ (1, 2 ) .

Bài 6. Cho phương trình: sin 2 x + ( 2m − 2 ) sin x cos x − ( m + 1) cos 2 x = m (1)
a. GPT: m = −2 b. Tìm m phương trình có nghi m.
Gi i
N u cos x = 0 là nghi m c a phương trình (1) thì t (1) suy ra

cos x = 0 sin 2 x = 1  m = 1 m = 1
  m = 1 
 2 ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔ ⇔ π
sin x = m
 sin x = m
 sin x = 1 cos x = 0  x = + k π
  2
N u m ≠ 1 thì cos x = 0 không là nghi m c a (1), khi ó chia 2 v c a (1) cho
cos 2 x ≠ 0 ta có: (1) ⇔ tan 2 x + ( 2m − 2 ) tan x − ( m + 1) = m (1 + tan 2 x )


225
Chương VII. Phương trình lư ng giác – Tr n Phương

⇔ f ( tan x ) = ( m − 1) tan 2 x − 2 ( m − 1) tan x + 2m + 1 = 0

a. N u m = −2 thì (1) ⇔ −3 ( tan x − 1) = 0 ⇔ x = π + k π
2
4
m = 1 m = 1
 
b. (1) có nghi m ⇔   m ≠ 1 ⇔   m ≠ 1
 ⇔ −2 ≤ m ≤ 1

 ∆ ′ ≥ 0  2
 −m − m + 2 ≥ 0
 

Bài 7. Cho phương trình: cos 2 x − sin x cos x − 2 sin 2 x − m − 0 (1)
a. Gi i phương trình (1) khi m = 1 b. Gi i bi n lu n theo m
Gi i
a. V i m = 1 ta có (1) ⇔ cos 2 x − sin x cos x − 2 sin 2 x − 1 = 0
⇔ ( cos x + 3sin x ) sin x = 0 ⇔ sin x = 0 ∨ co tg x = −3 = cotg α ⇔ x ∈ {k π ; α + k π}

b. (1) ⇔ 1 + cos 2 x − 1 sin 2 x − (1 − cos 2 x ) − m = 0 ⇔ 3cos 2 x − sin 2 x = 2m + 1
2 2

⇔ 3 cos 2 x − 1 sin 2 x = 2m + 1 . t cos α = 3 , sin α = 1 , khi ó ta có
10 10 10 10 10

cos α cos 2 x − sin α sin 2 x = 2m + 1 ⇔ cos ( 2 x + α ) = 2m + 1
10 10
 −1 − 10   −1 + 10 
+ N u 2m + 1 > 1 ⇔  m <  ∪ m >  thì (2) vô nghi m
10  2   2 

 −1 − 10 −1 + 10 
+ N u 2m + 1 ≤ 1 ⇔ m ∈  ,  thì t 2m + 1 = cos β
10  2 2  10
±β − α
Khi ó (1) ⇔ ( 2 ) ⇔ cos ( 2 x + α ) = cos β ⇔ x = + kπ
2

Bài 8. Gi i và bi n lu n: m sin 2 x + 4 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0 (1)

Gi i
cos x = 0
• m = 0 , (1) ⇔ 2 cos x ( 2sin x + cos x ) = 0 ⇔ 
cot x = −2 = cot α
{
⇔ x ∈ π + kπ; α + kπ
2 }
• m ≠ 0 thì (1) ⇔ m tan 2 x + 4 tan x + 2 = 0 v i ∆ ′ = 4 − 2m
+ N u m > 2 thì (1) vô nghi m; N u m = 2 thì tan x = −1 ⇔ x = −π + k π
4
−2 ± 4 − 2m
+ N u 0 ≠ m < 2 thì tan x = = tan β ⇔ x = β + k π .
m


226
Bài 1. Phương trình ng c p b c nh t, b c hai, b c ba v i sinx, cosx

III. PHƯƠNG TRÌNH NG C P B C 3 V I SINX, COSX
1. Phương pháp chung
a sin 3 x + b sin 2 x cos x + c sin x cos 2 x + d cos 3 x = 0 v i a 2 + b 2 + c 2 + d 2 > 0 (1)

a sin 3 x + b sin 2 x cos x + c sin x cos 2 x + d cos 3 x + ( m sin x + n cos x ) = 0
Bư c 1: Xét cos x = 0 có là nghi m c a phương trình hay không
Bư c 2: Xét cos x ≠ 0 không là nghi m c a phương trình. Chia 2 v c a (1)
cho cos 3 x ≠ 0 và s d ng công th c 1 = 1 + tan 2 x ; sin x = tan x (1 + tan 2 x )
cos 2 x cos 3 x
ta nh n ư c phương trình b c 3 n tan x .
Bư c 3: Gi i và bi n lu n phương trình b c 3 n tg x .
2. Các bài t p m u minh h a

Bài 1. Gi i phương trình: 4 sin 3 x + 3cos 3 x − 3sin x − sin 2 x cos x = 0 (1)

Gi i
N u cos x = 0 là nghi m c a (1) thì t (1) suy ra
cos x = 0
 sin x = 1 ∨ sin x = −1

 3
⇔ 3
⇒ Vô lý
 4 sin x − 3sin x = 0
  4 sin x − 3sin x = 0


Chia 2 v c a (1) cho cos 3 x ≠ 0 ta có (1) ⇔ 4tan 3 x + 3 − 3tan x (1+ tan 2 x) − tan 2 x = 0

⇔ tan 3 x − tan 2 x − 3 tan x (1 + tan 2 x ) − tan 2 x = 0 ⇔ ( tan x − 1) ( tan x 2 − 3) = 0

⇔ tan x = 1 ∨ tan x = ± 3 ⇔ x = π + k π ∨ x = ± π + k π ( k ∈ » )
4 3

Bài 2. Gi i phương trình: sin 2 x.sin 2 x + sin 3 x = 6 cos 3 x (1)

Gi i
(1) ⇔ sin x ( 2 sin x cos x ) + 3sin x − 4 sin 3 x = 6 cos 3 x

⇔ 4 sin 3 x − 3sin x − 2 sin 2 x cos x + 6 cos 3 x = 0 (2)
N u cos x = 0 là nghi m c a (2) thì t (2) suy ra
cos x = 0
 sin x = 1 ∨ sin x = −1

 3
⇔ 3
⇒ Vô lý

 4 sin x − 3sin x = 0  4 sin x − 3sin x = 0

Chia 2 v c a (2) cho cos 3 x ≠ 0 ta có ( 2 ) ⇔ tan 3 x − 2 tan 2 x − 3 tan x + 6 = 0

{
⇔ ( tan x − 2) ( tan 2 x − 3) = 0 ⇔ tan x = 2 = tan α ∨ tan x = ± 3 ⇔ x ∈ α + k π ; ± π + k π
3 }
227
Chương VII. Phương trình lư ng giác – Tr n Phương

Bài 3. Gi i phương trình: 1 + 3sin 2 x = 2 tan x
Gi i

i u ki n: cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ π + k π (1)
2

1 + 3sin 2 x = 2 tan x ⇔ 1 + 6 sin x cos x = 2 tan x ⇔ 1 + 6 tan x = 2 tan x ⋅ 1
cos 2 x cos 2 x

⇔ (1 + tan 2 x ) + 6 tan x = 2 tan x (1 + tan 2 x ) ⇔ 2 tan 3 x − tan 2 x − 4 tan x − 1 = 0

 tan x = −1  x = − π + nπ
⇔ ( tan x + 1) ( 2 tan x − 3 tan x − 1) = 0 ⇔ 
2
⇔ 4
 tan x = 3 ± 17 = tan α  x = α + nπ

 4 1,2
 1,2



Bài 4. Gi i phương trình: ( )
2 sin 3 x + π = 2 sin x (1)
4
Gi i
3

( )
4  4 
 ( )
(1) ⇔ 2 2 sin 3 x + π = 4sin x ⇔  2 sin x + π  = 4sin x ⇔ ( sin x + cos x ) 3 = 4sin x


N u cos x = 0 là nghi m c a (1) thì t (1) suy ra
cos x = 0
 sin x = 1 ∨ sin x = −1

 3 ⇔ 3 ⇒ Vô lý
sin x = 4 sin x
 sin x − 4 sin x = 0

Chia 2 v c a (1) cho cos 3 x ≠ 0 ta có
(1) ⇔ ( tan x + 1) 3 = 4 tan x (1 + tan 2 x ) ⇔ tan 2 x + 3tan 2 x + 3tan x + 1 = 4 tan 3 x + 4 tan x

⇔ 3tan 3 x − 3tan 2 x + tan x −1 = 0 ⇔ ( tan x −1) ( 3tan 2 x +1) = 0 ⇔ tan x = 1 ⇔ x = π + k π
4

(
Bài 5. Gi i phương trình: 8 cos 3 x + π = cos 3 x
3 )
Gi i
3

( 3 )
8 cos 3 x + π = cos 3 x ⇔ 8  cos x.cos π − sin x sin π  = cos 3x

 3 3
3 3
⇔ ( cos x − 3 sin x ) = 4 cos 3 x − 3cos x ⇔ ( 3 sin x − cos x ) − 3cos x + 4 cos 3 x = 0 (1)
N u cos x = 0 là nghi m c a (1) thì t (1) suy ra
cos x = 1
 ⇒ 0 = cos 2 x + sin 2 x = 1 ⇒ 0 = 1 ⇒ Vô lý
sin x = 0



228
Bài 1. Phương trình ng c p b c nh t, b c hai, b c ba v i sinx, cosx

3
Chia 2 v c a (1) cho cos 3 x ≠ 0 ta có (1) ⇔ ( 3. tan x − 1) − 3 (1 + tan 2 x ) + 4 = 0
2
⇔ 3 3 tan 3 x − 3 ( 3 tan x ) + 3 3 tan x − 1 − 3 (1 + tan 2 x ) + 4 = 0

⇔ 3 3 tan 3 x − 12 tan 2 x + 3 3 tan x = 0 ⇔ tan x ( 3 tan 2 x − 4 tan x + 3 ) = 0


3 6 3 {
⇔ tan x = 0 ∨ tan x = 1 ∨ tan x = 3 ⇔ x ∈ k π ; π + k π ; π + k π ( k ∈ » ) }
(
Bài 6. Gi i phương trình: sin 3 x − π = 2 sin x (1)
4 )
Gi i
3

( 4 ) 
 4 
 (
(1) ⇔ 2 2 sin 3 x − π = 4 sin x ⇔  2 sin x − π  = 4 sin x )
⇔ ( sin x − cos x ) = 4 sin x ⇔ ( tan x − 1) = 4 tan x (1 + tan 2 x )
3 3



⇔ tan 3 x − 3 tan 2 x + 3 tan x − 1 = 4 tan 3 x + 4 tan x ⇔ 3 tan 3 x + 3 tan 2 x + tan x + 1 = 0

⇔ ( tan x + 1) ( 3 tan 2 x + 1) = 0 ⇔ tan x + 1 = 0 ⇔ tan x = −1 ⇔ x = − π + k π ( k ∈ » )
4

Bài 7. Gi i phương trình: 6 sin x − 2 cos 3 x = 5sin 4 x cos x (1)
2 cos 2 x
Gi i

i u ki n: cos 2 x ≠ 0 ⇔ 2 x ≠ π + k π ⇔ x ≠ π + k π ( 2 )
2 4 2
V i i u ki n (2) ta có (1) ⇔ 6 sin x − 2 cos 3 x = 5sin 2 x cos x
⇔ 6 sin x − 2 cos 3 x = 5 ( 2 sin x cos x ) cos x ⇔ 3sin x − cos 3 x − 5 sin x cos 2 x = 0 (3)
N u cos x = 0 là nghi m c a (3) thì t (3) suy ra
cos x = 0
 ⇒ 0 = sin 2 x + cos 2 x = 1 ⇒ 0 = 1 ⇒ Vô lý
sin x = 0

Chia 2 v c a (3) cho cos 3 x ≠ 0 ta có

3 tan x (1 + tan 2 x ) − 1 − 5 tan x = 0 ⇔ ( tan x − 1) ( 3. tan 2 x + 3 tan x + 1) = 0

 2

 (
⇔ ( tan x − 1) 3 tan x + 1
2 ) + 1  = 0 ⇔ tan x = 1 ⇔ x = π + nπ
4 4

Do x = π + nπ mâu thu n v i (2): x ≠ π + k π nên phương trình (1) vô nghi m.
4 4 2



229
Chương VII. Phương trình lư ng giác – Tr n Phương

Bài 8. ( 4 − 6m ) sin 3 x + 3 ( 2m − 1) sin x + 2 ( m − 2 ) sin 2 x cos x − ( 4m − 3) cos x = 0
a. Gi i phương trình khi m = 2

b. Tìm m phương trình có nghi m duy nh t x ∈  0, π 
 4
 
Gi i
N u cos x = 0 là nghi m c a phương trình thì t phương trình suy ra
cos x = 0
 sin x = 1 ∨ sin x = −1

 ⇔ ⇒ Vô lý

( 4 − 6 ) sin x + ( 6m − 3) sin x = 0 ( 4 − 6m ) sin 3 x + ( 6m − 3) sin x
3

Chia 2 v c a phương trình cho cos 3 x ≠ 0 ta có phương trình

⇔ ( 4 − 6m) tan 3 x + 3 ( 2m − 1) tan x (1 + tan 2 x ) + 2 ( m − 2) tan 2 x − ( 4m − 3) (1 + tan 2 x ) = 0
⇔ tan 3 x − ( 2m + 1) tan 2 x + 3 ( 2m − 1) tan x − ( 4m − 3) = 0

⇔ ( tan x − 1) [ tan 2 x − 2m tan x + ( 4m − 3)] = 0 (1)

a. N u m = 2 thì (1) ⇔ ( tan x − 1) ( tan 2 x − 4 tan x + 5 ) = 0

⇔ ( tan x − 1) ( tan x − 2 ) + 1 ⇔ tan x = 1 ⇔ x = π − k π ( k ∈ » )
2
 
4

b. t t = tan x ∈ [ 0,1] ∀x ∈  0, π  , khi ó phương trình
 4
 
t − 1 = 0 ⇔ t = 1∈ [ 0,1]
(1) ⇔ ( t − 1) ( t 2 − 2mt + 4m − 3) = 0 ⇔ 
2
t − 2mt + 4m − 3 = 0


Xét phương trình: t 2 − 2mt + 4m − 3 = 0 v i t ∈ [ 0,1]
2 ( t − 1) ( t − 3)
⇔ t 2 − 3 = 2m ( t − 2 ) ⇔ g ( t ) = t − 3 = 2m . Ta có g ′ ( t ) = ≥ 0 ∀t ∈ [ 0, 1]
t −2 ( t − 2) 2

⇒ g (t ) ng bi n trên [ 0,1] ⇒ T p giá tr g ( t ) là [ g ( 0 ) , g (1)] =  3 ; 2 
2 
 

( )
phương trình (1) có nghi m duy nh t x ∈ 0, π thì phương trình g ( t ) = 2m
4
ho c vô nghi m t ∈ [ 0,1] ho c có úng 1 nghi m t = 1

 2m ≥ 2 m ≥ 1
⇔ g ( t ) = 2m vô nghi m t ∈ [ 0,1) ⇔  ⇔
 2m < 3 m < 3
 2  4




230
Bài 1. Phương trình ng c p b c nh t, b c hai, b c ba v i sinx, cosx




231
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản