Bài 2: phương trình đẳng cấp với sin và cos

Chia sẻ: hoangyen999

Cách 3. Phân tích thành phương trình tích 2. Các bài t p m u minh h a Bài 1. Gi i phương trình: 3sin 3x − 3 cos 9 x = 1 + sin 3 3x Giải 3sin 3x − 3 cos 9 x = 1 + 4 sin 3 3 x ⇔ ( 3sin 3x − 4 sin 3 3 x ) − 3 cos 9 x = 13 ⇔ sin 9 x − 3 cos 9 x = 1 ⇔ 1 sin 9 x − cos 9 x = 1 ⇔ sin 9 x − π = 1 2 2 2 3 2 9 x − π = π + 2 k π x = π

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Bài 2: phương trình đẳng cấp với sin và cos

 

  1. Bài 1. Phương trình ng c p b c nh t, b c hai, b c ba v i sinx, cosx Bài 1. PHƯƠNG TRÌNH NG C P B C NH T V I SINX, COSX 1. Phương pháp chung: a sin x + b cos x = c ; a 2 + b 2 > 0 (1) Cách 1. (1) ⇔ c = a sin x + b cos x = cos ( x − α ) 2 2 2 2 a +b a +b a + b2 2 V i a = sin α ; b = cos α ; c = cos β ⇒ x = α ± β + 2k π 2 2 2 2 a +b a +b a + b2 2 Chú ý: (1) có nghi m ⇔ c 2 ≤ a 2 + b 2 Cách 2. Xét cos x = 0 là nghi m c a (1) ⇔ b + c = 0 2 2 Xét b + c ≠ 0 . t t = tan x thì sin x = 2t 2 ; cos x = 1 − t 2 . Khi ó 2 1+ t 1+ t (1) ⇔ f ( t ) = ( c + b ) t 2 − 2at + ( c − b ) = 0 Cách 3. Phân tích thành phương trình tích 2. Các bài t p m u minh h a Bài 1. Gi i phương trình: 3sin 3x − 3 cos 9 x = 1 + sin 3 3x Gi i 3sin 3x − 3 cos 9 x = 1 + 4 sin 3 3 x ⇔ ( 3sin 3x − 4 sin 3 3 x ) − 3 cos 9 x = 1 ⇔ sin 9 x − 3 cos 9 x = 1 ⇔ 1 sin 9 x − 2 2 3 cos 9 x = 1 ⇔ sin 9 x − π = 1 2 3 2 ( ) 9 x − π = π + 2 k π  x = π + 2k π  3 6  18 9 ( ⇔ ⇔ k ∈ ») π = 5π + 2 k π 7 π + 2k π 9 x − x =  3 6  54 9 Bài 2. Gi i phương trình: cos 7 x.cos 5 x − 3 sin 2 x = 1 − sin 7 x.sin 5 x (1) Gi i (1) ⇔ ( cos 7 x.cos 5 x + sin 7 x.sin 5 x ) − 3 sin 2 x = 1 ⇔ cos ( 7 x − 5 x ) − 3 sin 2 x ⇔ cos 2 x − 3.sin 2 x = 1 3 ⇔ 1 cos 2 x − sin 2 x = 1 ⇔ cos π cos 2 x − sin π sin 2 x = 1 2 2 2 3 3 2 ( 2 ) ⇔ cos 2 x + π = 1 ⇔ 2 x + π = ± π + 2k π ⇔ x = k π ∨ x = −π + k π ( k ∈ » ) 3 3 3 3 219
  2. Chương VII. Phương trình lư ng giác – Tr n Phương Bài 3. Gi i phương trình: 2 2 ( sin x + cos x ) cos x = 3 + cos 2 x (1) Gi i (1) ⇔ 2 sin 2 x + 2 (1 + cos 2 x ) = 3 + cos 2 x ⇔ 2 sin 2 x + ( 2 − 1) cos 2 x = 3 − 2  a 2 + b 2 = ( 2 ) 2 + ( 2 − 1) 2 = 5 − 2 2  .Ta có  2 . Ta s ch ng minh: a 2 + b 2 < c 2 c = ( 3 − 2 ) = 11 − 6 2  2 2 ⇔ 5 − 2 2 < 11 − 6 2 ⇔ ( 4 2 ) < 6 2 ⇔ 32 < 36 ( úng). V y (1) vô nghi m. ( ) ( Bài 4. Gi i phương trình: 3sin x − π + 4 sin x + π + 5 sin 5 x + π = 0 3 6 6 ) ( ) Gi i ( ) ( ) ⇔ 3sin x − π + 4 cos  π − x + π  = −5sin 5 x + π 3 2  6   6 ( ) ( 3 ) 3 ( ) 6 ( ) ⇔ 3sin x − π + 4 cos π − x = 5sin  5 x + π + π .    t sin α = 4 , cos α = 3 5 5 ⇔ cos α sin  x − π  + sin α.cos ( x − π ) = sin ( 5 x + 7 π )   3  3 6 ⇔ sin ( x − π ) + α  = sin ( 5 x + 7 π ) ⇔ x = 9π + α + k π ∨ x = π − α + k π   3   6 24 4 2 36 6 3 Bài 5. Gi i phương trình: 4 sin 3 x cos 3x + 4 cos 3 x sin 3 x + 3 3 cos 4 x = 3 (1) Gi i (1) ⇔ [3sin x − sin 3 x ] cos 3x + [ 3cos x + cos 3x ] sin 3x + 3 3 cos 4 x = 3 ⇔ 3 [sin x cos 3 x + sin 3 x cos x ] + 3 3 cos 4 x = 3 ⇔ sin 4 x + 3 cos 4 x = 1 ⇔ 1 sin 4 x + 2 2 3 cos 4 x = 1 ⇔ cos π sin 4 x + sin π cos 4 x = sin 4 x + π = 1 2 3 3 3 2 ( ) ⇔ x = −π + k π ∨ x = π + k π ( k ∈ » ) 24 2 8 2 Bài 6. Gi i phương trình: 3sin x + cos x = 1 Gi i Ta có 3sin x + cos x = 1 ⇔ 3sin x = 1 − cos x 2 2 2 2 ( 2 ) ⇔ 6 sin x cos x = 2 sin 2 x ⇔ 2 sin x 3cos x − sin x = 0 . Xét 2 kh năng 2 a. sin x = 0 ⇔ x = k π ⇔ x = 2k π 2 2 b. 3cos x − sin x = 0 ⇔ tg x = 3 ⇔ x = α + k π ⇔ x = 2α + 2k π ( k ∈ » ) 2 2 2 2 220
  3. Bài 1. Phương trình ng c p b c nh t, b c hai, b c ba v i sinx, cosx Bài 7. Gi i phương trình: sin x + 5 cos x = 1 (1) Gi i 2 ( 2 2 2 )( 2 2 ) ( (1) ⇔ 5 cos x = 1 − sin x ⇔ 5 cos x − sin x cos x + sin x = cos x − sin x 2 ) ( 2 )( 2 2 ) ⇔ cos x − sin x 4 cos x + 6 sin x = 0 ⇔ tan x = 1 ∨ tan x = − 2 = tan α 2 2 2 3 ⇔ x = π + k π ∨ x = α + k π ⇔ x = π + 2 k π ∨ x = 2α + 2 k π ( k ∈ » ) 2 4 2 2 Bài 8. Gi i phương trình: sin x + 3 cos x + sin x + 3 cos x = 2 (1) Gi i   Ta có: sin x + 3 cos x = 2  1 sin x + 2 2 3 cos x  = 2 sin x + π  3 ( ) ( ) t t = sin x + 3 cos x = 2 sin x + π ⇒ 0 ≤ t ≤ 2 , khi ó 3 (1) ⇔ t + t = 2 ⇔ t = 2 − t ⇔ t = ( 2 − t ) 2 ⇔ t 2 − 5t + 4 = 0 ⇔ t = 1∈ [ 0; 2] ( 3 ) (3 2 ) ⇔ 2 sin x + π = 1 ⇔ sin x + π = 1 ⇔ x = −π + 2k π ∨ x = π + 2k π ( k ∈ » ) 6 2 Bài 9. Gi i phương trình: (1 + 3 ) sin x + (1 − 3 ) cos x = 2 (1) Gi i Do b + c = (1 + 3 ) + 2 = 2 − 3 ≠ 0 nên cos x = 0 không là nghi m c a (1) 2 2 t t = tan x ⇒ sin x 2t 2 và cos x = 1 − t 2 , khi ó 2 1+t 1+ t 2 (1) ⇔ (1 + 3 ) 2t + (1 − 3 ) 1 − t = 2 ⇔ 2 (1 + 3 ) t + (1 − 3 ) (1 − t 2 ) = 2 (1 + t 2 ) 1+ t2 1+ t2 ⇔ ( 3 − 3 ) t 2 − 2 (1 + 3 ) t + (1 + 3 ) = 0 ⇔ 1+ 3 t = 1 ∨ t =− ⇔ tan x = tan π ∨ tan x = tan 5π ⇔ x = π + 2k π ∨ x = 5π + 2k π 3 1− 3 2 6 2 12 3 6 Bài 10. Gi i phương trình: sin 3 x + ( 3 − 2 ) cos 3 x = 1 (1) Gi i Do b + c = ( 3 − 2 ) + 1 = 3 − 1 ≠ 0 nên cos 3 x = 0 không là nghi m c a (1) 2 221
  4. Chương VII. Phương trình lư ng giác – Tr n Phương 2 t t = tan 3 x ⇒ sin 3 x = 2t 2 và cos 3 x = 1 − t 2 , khi ó 2 1+ t 1+ t (1) ⇔ 2t + ( 3 − 2 ) (1 − t 2 ) = 1 + t 2 ⇔ (1 − 3 ) t 2 + 2t + ( 3 − 3) = 0 t = 1 ⇔ ⇔ tan 3x = 1 ∨ tan 3 x = 3 ⇔ x = π + 2k π ∨ x = 2π + 2k π ( k ∈ » ) t = 3 2 2 6 3 9 3 Bài 11. Tìm m 2 sin x + m cos x = 1 − m (1) có nghi m x ∈  −π , π   2 2   Gi i Do b + c = m + (1 − m ) ≠ 0 nên cos x = 0 không là nghi m c a (1) 2 2 t t = tan x thì (1) ⇔ 2 ⋅ 2t 2 + m ⋅ 1 − t 2 = 1 − m 2 1+ t 1+ t ⇔ 4t + m (1 − t 2 ) = (1 − m ) (1 + t 2 ) ⇔ f ( t ) = t 2 − 4t + 1 − 2m = 0 Cách 1: Yêu c u bài toán ⇔ f ( t ) = t 2 − 4t + 1 − 2m = 0 có nghi m t ∈ [ −1,1] Xét f ( −1) = 0 ⇔ 6 − 2m = 0 ⇔ m = 3 th a mãn Xét f (1) = 0 ⇔ −2 − 2m = 0 ⇔ m = −1 th a mãn Xét f ( t ) = 0 có 1 nghi m t ∈ ( −1,1) và 1 nghi m t ∉ [ −1,1] ⇔ f ( −1) f (1) = ( 6 − 2m ) ( −2 − 2m ) < 0 ⇔ ( 2m − 6 ) ( 2m + 2 ) < 0 ⇔ −1 < m < 3 Xét f ( t ) = 0 có 2 nghi m t1 , t 2 th a mãn −1 < t1 ≤ t 2 < 1 { } ⇔ ∆ ′ ≥ 0; 1. f ( −1) > 0 ; 1. f (1) > 0; − 1 < S < 1 , h này vô nghi m 2 K t lu n: (1) có nghi m x ∈  −π , π  ⇔ −1 ≤ m ≤ 3 .  2 2   Cách 2: f ( t ) = t 2 − 4t + 1 − 2m = 0 có nghi m t ∈ [ −1,1] ⇔ g ( t ) = 1 t 2 − 2t + 1 = m có nghi m t ∈ [ −1,1] 2 2 Ta có: g ′ ( t ) = t − 2 < 0 ∀t ∈ [ −1,1] ⇒ g ( t ) ngh ch bi n trên [ −1,1] Suy ra t p giá tr g ( t ) là o n  g (1) , g ( −1) ≡ [ −1, 3] . T   ó (1) có nghi m x ∈  −π , π  ⇔ g ( t ) = m có nghi m t ∈ [ −1,1] ⇔ −1 ≤ m ≤ 3  2 2   222
  5. Bài 1. Phương trình ng c p b c nh t, b c hai, b c ba v i sinx, cosx II. PHƯƠNG TRÌNH NG C P B C 2 V I SINX, COSX 1. Phương pháp chung a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x + d = 0 v i a 2 + b 2 + c 2 > 0 (1) Bư c 1: Xét cos x = 0 có là nghi m c a (1) hay không ⇔ a + d = 0 Bư c 2: Xét a + d ≠ 0 ⇒ cos x = 0 không là nghi m c a (1) Chia 2 v c a (1) cho cos 2 x ≠ 0 ta nh n ư c phương trình (1) ⇔ a tan 2 x + b tan x + c + d (1 + tan 2 x ) = 0 . t t = tan x (1) ⇔ f ( t ) = ( a + d ) t 2 + bt + ( c + d ) = 0 Bư c 3: Gi i và bi n lu n f ( t ) = 0 ⇒ Nghi m t 0 = tg x ⇒ nghi m x. 2. Các bài t p m u minh h a Bài 1. a. Gi i phương trình: sin 2 x + 2 sin x cos x + 3cos 2 x − 3 = 0 b. Gi i phương trình: sin 2 x − 3sin x cos x + 1 = 0 Gi i a. sin 2 x + 2 sin x cos x + 3cos 2 x − 3 = 0 (1) cos x = 0   2 sin x = 1 N u cos x = 0 là nghi m c a (1) thì t (1) ⇒  2 ⇔ 2 sin x − 3 = 0 sin x = 3   ⇒ Vô lý. Chia 2 v c a (1) cho cos 2 x ≠ 0 ta nh n ư c (1) ⇔ tan 2 x + 2 tan x + 3 − 3 (1 + tan 2 x ) = 0 ⇔ 2 tan x − 2 tan 2 x = 0  tan x = 0 x = kπ ⇔ 2 tan x (1 − tan x ) = 0 ⇔  ⇔ (k ∈ »)  tan x = 1 x = π + kπ  4 b. sin 2 x − 3sin x cos x + 1 = 0 (2) cos x = 0  N u cos x = 0 là nghi m c a (2) thì t (2) ⇒  2 ⇒ Vô lý sin x + 1 = 0  Chia 2 v c a (2) cho cos 2 x ≠ 0 ta nh n ư c phương trình ( 2 ) ⇔ tan 2 x − 3 tan x + (1 + tan 2 x ) = 0 ⇔ 2 tan 2 x − 3 tan x + 1 = 0  tan x = 1 = tan π  π  ( tan x − 1) ( 2 tan x − 1) = 0 ⇔  4 ⇔  x = 4 + k π ( k ∈ ») ⇔ 1 x = α + kπ  tan x = = tan α   2 223
  6. Chương VII. Phương trình lư ng giác – Tr n Phương Bài 2. a. Gi i phương trình: 4 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2 sin 2 x + 5 2 (2 2) ( ) 2 ( b. GPT: 3sin 2 x ( 3π − x ) + 2 sin 5π + x cos π + x − 5sin 2 3π + x = 0 ) Gi i a. Phương trình ⇔ 2 sin 2 x − 4 3 sin x cos x − 4 cos 2 x + 5 = 0 (1) 2 N u cos x = 0 là nghi m c a (1) thì t (1) ⇒ 2 sin x + 5 = 0 ⇒ Vô lý 2 2 Chia 2 v c a (1) cho cos 2 x ≠ 0 ta nh n ư c phương trình (1) ⇔ 2 tan 2 x − 4 3 tan x − 4 + 5 (1 + tan 2 x ) = 0 ⇔ 9 tan 2 x − 8 3 tan − 3 = 0 2 − 3 ⇔ tan x = 3 = tan π ∨ tan x = = tan α ⇔ x = π + k π ∨ x = α + k π ( k ∈ » ) 3 9 3 ( 2 ) ( 2 ) 2 ( b. 3sin 2 x ( 3π − x ) + 2 sin 5π + x cos π + x − 5sin 2 3π + x = 0 ) ⇔ 3sin 2 x − 2 sin x cos x − 5 cos 2 x = 0 ( 2 ) cos x = 0 N u cos x = 0 là nghi m c a (1) thì t (2) ⇒  ⇒ Vô lý sin x = 0 Chia 2 v c a (2) cho cos 2 x ≠ 0 ta nh n ư c phương trình  tan x = −1 = tan −π  x = −π + k π  4 ( 2 ) ⇔ 3 tan x − 2 tan x − 5 = 0 ⇔  2 ⇔ 4 tan x = 5 = tan α x = α = kπ    3 Bài 3. GPT: a. 3 sin x + cos x = 1 b. 4 sin x + 6 cos x = 1 cos x cos x Gi i a. 3 sin x + cos x = 1 ⇔ 3 sin x + cos x = 1 ⇔ 3 tan x + 1 = 1 + tan 2 x cos x cos x cos 2 x  tan x = 0 ⇔ tan 2 x − 3 tan x = 0 ⇔ tan x ( tan x − 3 ) = 0 ⇔   tan x = 3 { 3 } ⇔ x ∈ k π; π + k π b. 4 sin x + 6 cos x = 1 ⇔ 4 sin x + 6 cos x = 12 ⇔ 4 tan x + 6 = 1 + tan 2 x ⇔ cos x cos x cos x tan x = −1 = tan −π  x = −π + k π tan 2 x − 4 tan x − 5 = 0 ⇔ ( tan x + 1)( tan x − 5) = 0 ⇔  4 ⇔ 4 tan x = 5 = tan α x = α + kπ   224
  7. Bài 1. Phương trình ng c p b c nh t, b c hai, b c ba v i sinx, cosx Bài 4. Gi i phương trình: 7 sin 2 x + 2 sin 2 x − 3cos 2 x − 3 3 15 = 0 (1) Gi i cos x = 0  N u cos x = 0 là nghi m c a (1) thì t (1) ⇒  2 ⇒ Vô lý 7 sin x = 3 3 15  Chia 2 v c a (1) cho cos 2 x ≠ 0 ta có (1) ⇔ 7 tan 2 x + 4 tan x − 3 − 33 15 (1 + tan 2 x ) = 0 ⇔ ( 7 − 3 3 15 ) tan 2 x + 4 tan x − ( 3 + 3 3 15 ) = 0 ( 2 ) . Ta có ∆ ′ = 25 + 12 3 15 − 9 3 15 2 t t = 3 15 ⇒ t 3 = 15 ⇒ 5 t 3 = 25 , ta s ch ng minh ∆′<0 . Th t v y, ta có: 3 3 3 ( 5 ) ∆′ = 5 t 3 − 9t 2 + 12t = 5 t ( t − 3) t − 12 . Do ( 2, 4) < 15 < 33 ⇔ 2, 4 = 12 < t = 3 15 < 3 3 5 nên suy ra: ∆ ′ < 0 ⇒ ( 2 ) vô nghi m ⇒ (1) vô nghi m. Bài 5. Tìm m : m cos 2 x − 4 sin x cos x + m − 2 = 0 có nghi m x ∈ 0, π 4 ( ) Gi i ( ) V i x ∈ 0, π thì cos x ≠ 0 nên chia 2 v phương trình cho cos 2 x ≠ 0 ta có 4 m − 4 tan x + ( m − 2 ) (1 + tan 2 x ) = 0 . t t = tan x ∈ ( 0,1) . Khi ó: ( m − 2 ) t 2 − 4t + 2m − 2 = 0 ⇔ m ( t 2 + 2 ) = 2t 2 + 4t + 2 ⇔ 2 ( t 2 + 2t + 1) −4 ( t 2 − t − 2) 4 ( 2 − t )( t + 1) g (t ) = = m . Ta có g ′ ( t ) = = > 0, ∀t ∈( 0, 1) t2 + 2 ( t 2 + 2) 2 ( t 2 + 2) 2 ⇒ g ( t ) tăng / ( 0,1) ⇒ g ( t ) = m có nghi m t ∈ ( 0,1) ⇔ m ∈ ( g ( 0 ) , g (1) ) ≡ (1, 2 ) . Bài 6. Cho phương trình: sin 2 x + ( 2m − 2 ) sin x cos x − ( m + 1) cos 2 x = m (1) a. GPT: m = −2 b. Tìm m phương trình có nghi m. Gi i N u cos x = 0 là nghi m c a phương trình (1) thì t (1) suy ra cos x = 0 sin 2 x = 1  m = 1 m = 1   m = 1   2 ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔ ⇔ π sin x = m  sin x = m  sin x = 1 cos x = 0  x = + k π   2 N u m ≠ 1 thì cos x = 0 không là nghi m c a (1), khi ó chia 2 v c a (1) cho cos 2 x ≠ 0 ta có: (1) ⇔ tan 2 x + ( 2m − 2 ) tan x − ( m + 1) = m (1 + tan 2 x ) 225
  8. Chương VII. Phương trình lư ng giác – Tr n Phương ⇔ f ( tan x ) = ( m − 1) tan 2 x − 2 ( m − 1) tan x + 2m + 1 = 0 a. N u m = −2 thì (1) ⇔ −3 ( tan x − 1) = 0 ⇔ x = π + k π 2 4 m = 1 m = 1   b. (1) có nghi m ⇔   m ≠ 1 ⇔   m ≠ 1  ⇔ −2 ≤ m ≤ 1   ∆ ′ ≥ 0  2  −m − m + 2 ≥ 0   Bài 7. Cho phương trình: cos 2 x − sin x cos x − 2 sin 2 x − m − 0 (1) a. Gi i phương trình (1) khi m = 1 b. Gi i bi n lu n theo m Gi i a. V i m = 1 ta có (1) ⇔ cos 2 x − sin x cos x − 2 sin 2 x − 1 = 0 ⇔ ( cos x + 3sin x ) sin x = 0 ⇔ sin x = 0 ∨ co tg x = −3 = cotg α ⇔ x ∈ {k π ; α + k π} b. (1) ⇔ 1 + cos 2 x − 1 sin 2 x − (1 − cos 2 x ) − m = 0 ⇔ 3cos 2 x − sin 2 x = 2m + 1 2 2 ⇔ 3 cos 2 x − 1 sin 2 x = 2m + 1 . t cos α = 3 , sin α = 1 , khi ó ta có 10 10 10 10 10 cos α cos 2 x − sin α sin 2 x = 2m + 1 ⇔ cos ( 2 x + α ) = 2m + 1 10 10  −1 − 10   −1 + 10  + N u 2m + 1 > 1 ⇔  m <  ∪ m >  thì (2) vô nghi m 10  2   2   −1 − 10 −1 + 10  + N u 2m + 1 ≤ 1 ⇔ m ∈  ,  thì t 2m + 1 = cos β 10  2 2  10 ±β − α Khi ó (1) ⇔ ( 2 ) ⇔ cos ( 2 x + α ) = cos β ⇔ x = + kπ 2 Bài 8. Gi i và bi n lu n: m sin 2 x + 4 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0 (1) Gi i cos x = 0 • m = 0 , (1) ⇔ 2 cos x ( 2sin x + cos x ) = 0 ⇔  cot x = −2 = cot α { ⇔ x ∈ π + kπ; α + kπ 2 } • m ≠ 0 thì (1) ⇔ m tan 2 x + 4 tan x + 2 = 0 v i ∆ ′ = 4 − 2m + N u m > 2 thì (1) vô nghi m; N u m = 2 thì tan x = −1 ⇔ x = −π + k π 4 −2 ± 4 − 2m + N u 0 ≠ m < 2 thì tan x = = tan β ⇔ x = β + k π . m 226
  9. Bài 1. Phương trình ng c p b c nh t, b c hai, b c ba v i sinx, cosx III. PHƯƠNG TRÌNH NG C P B C 3 V I SINX, COSX 1. Phương pháp chung a sin 3 x + b sin 2 x cos x + c sin x cos 2 x + d cos 3 x = 0 v i a 2 + b 2 + c 2 + d 2 > 0 (1) a sin 3 x + b sin 2 x cos x + c sin x cos 2 x + d cos 3 x + ( m sin x + n cos x ) = 0 Bư c 1: Xét cos x = 0 có là nghi m c a phương trình hay không Bư c 2: Xét cos x ≠ 0 không là nghi m c a phương trình. Chia 2 v c a (1) cho cos 3 x ≠ 0 và s d ng công th c 1 = 1 + tan 2 x ; sin x = tan x (1 + tan 2 x ) cos 2 x cos 3 x ta nh n ư c phương trình b c 3 n tan x . Bư c 3: Gi i và bi n lu n phương trình b c 3 n tg x . 2. Các bài t p m u minh h a Bài 1. Gi i phương trình: 4 sin 3 x + 3cos 3 x − 3sin x − sin 2 x cos x = 0 (1) Gi i N u cos x = 0 là nghi m c a (1) thì t (1) suy ra cos x = 0  sin x = 1 ∨ sin x = −1   3 ⇔ 3 ⇒ Vô lý  4 sin x − 3sin x = 0   4 sin x − 3sin x = 0  Chia 2 v c a (1) cho cos 3 x ≠ 0 ta có (1) ⇔ 4tan 3 x + 3 − 3tan x (1+ tan 2 x) − tan 2 x = 0 ⇔ tan 3 x − tan 2 x − 3 tan x (1 + tan 2 x ) − tan 2 x = 0 ⇔ ( tan x − 1) ( tan x 2 − 3) = 0 ⇔ tan x = 1 ∨ tan x = ± 3 ⇔ x = π + k π ∨ x = ± π + k π ( k ∈ » ) 4 3 Bài 2. Gi i phương trình: sin 2 x.sin 2 x + sin 3 x = 6 cos 3 x (1) Gi i (1) ⇔ sin x ( 2 sin x cos x ) + 3sin x − 4 sin 3 x = 6 cos 3 x ⇔ 4 sin 3 x − 3sin x − 2 sin 2 x cos x + 6 cos 3 x = 0 (2) N u cos x = 0 là nghi m c a (2) thì t (2) suy ra cos x = 0  sin x = 1 ∨ sin x = −1   3 ⇔ 3 ⇒ Vô lý   4 sin x − 3sin x = 0  4 sin x − 3sin x = 0  Chia 2 v c a (2) cho cos 3 x ≠ 0 ta có ( 2 ) ⇔ tan 3 x − 2 tan 2 x − 3 tan x + 6 = 0 { ⇔ ( tan x − 2) ( tan 2 x − 3) = 0 ⇔ tan x = 2 = tan α ∨ tan x = ± 3 ⇔ x ∈ α + k π ; ± π + k π 3 } 227
  10. Chương VII. Phương trình lư ng giác – Tr n Phương Bài 3. Gi i phương trình: 1 + 3sin 2 x = 2 tan x Gi i i u ki n: cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ π + k π (1) 2 1 + 3sin 2 x = 2 tan x ⇔ 1 + 6 sin x cos x = 2 tan x ⇔ 1 + 6 tan x = 2 tan x ⋅ 1 cos 2 x cos 2 x ⇔ (1 + tan 2 x ) + 6 tan x = 2 tan x (1 + tan 2 x ) ⇔ 2 tan 3 x − tan 2 x − 4 tan x − 1 = 0  tan x = −1  x = − π + nπ ⇔ ( tan x + 1) ( 2 tan x − 3 tan x − 1) = 0 ⇔  2 ⇔ 4  tan x = 3 ± 17 = tan α  x = α + nπ   4 1,2  1,2 Bài 4. Gi i phương trình: ( ) 2 sin 3 x + π = 2 sin x (1) 4 Gi i 3 ( ) 4  4   ( ) (1) ⇔ 2 2 sin 3 x + π = 4sin x ⇔  2 sin x + π  = 4sin x ⇔ ( sin x + cos x ) 3 = 4sin x  N u cos x = 0 là nghi m c a (1) thì t (1) suy ra cos x = 0  sin x = 1 ∨ sin x = −1   3 ⇔ 3 ⇒ Vô lý sin x = 4 sin x  sin x − 4 sin x = 0  Chia 2 v c a (1) cho cos 3 x ≠ 0 ta có (1) ⇔ ( tan x + 1) 3 = 4 tan x (1 + tan 2 x ) ⇔ tan 2 x + 3tan 2 x + 3tan x + 1 = 4 tan 3 x + 4 tan x ⇔ 3tan 3 x − 3tan 2 x + tan x −1 = 0 ⇔ ( tan x −1) ( 3tan 2 x +1) = 0 ⇔ tan x = 1 ⇔ x = π + k π 4 ( Bài 5. Gi i phương trình: 8 cos 3 x + π = cos 3 x 3 ) Gi i 3 ( 3 ) 8 cos 3 x + π = cos 3 x ⇔ 8  cos x.cos π − sin x sin π  = cos 3x   3 3 3 3 ⇔ ( cos x − 3 sin x ) = 4 cos 3 x − 3cos x ⇔ ( 3 sin x − cos x ) − 3cos x + 4 cos 3 x = 0 (1) N u cos x = 0 là nghi m c a (1) thì t (1) suy ra cos x = 1  ⇒ 0 = cos 2 x + sin 2 x = 1 ⇒ 0 = 1 ⇒ Vô lý sin x = 0 228
  11. Bài 1. Phương trình ng c p b c nh t, b c hai, b c ba v i sinx, cosx 3 Chia 2 v c a (1) cho cos 3 x ≠ 0 ta có (1) ⇔ ( 3. tan x − 1) − 3 (1 + tan 2 x ) + 4 = 0 2 ⇔ 3 3 tan 3 x − 3 ( 3 tan x ) + 3 3 tan x − 1 − 3 (1 + tan 2 x ) + 4 = 0 ⇔ 3 3 tan 3 x − 12 tan 2 x + 3 3 tan x = 0 ⇔ tan x ( 3 tan 2 x − 4 tan x + 3 ) = 0 3 6 3 { ⇔ tan x = 0 ∨ tan x = 1 ∨ tan x = 3 ⇔ x ∈ k π ; π + k π ; π + k π ( k ∈ » ) } ( Bài 6. Gi i phương trình: sin 3 x − π = 2 sin x (1) 4 ) Gi i 3 ( 4 )   4   ( (1) ⇔ 2 2 sin 3 x − π = 4 sin x ⇔  2 sin x − π  = 4 sin x ) ⇔ ( sin x − cos x ) = 4 sin x ⇔ ( tan x − 1) = 4 tan x (1 + tan 2 x ) 3 3 ⇔ tan 3 x − 3 tan 2 x + 3 tan x − 1 = 4 tan 3 x + 4 tan x ⇔ 3 tan 3 x + 3 tan 2 x + tan x + 1 = 0 ⇔ ( tan x + 1) ( 3 tan 2 x + 1) = 0 ⇔ tan x + 1 = 0 ⇔ tan x = −1 ⇔ x = − π + k π ( k ∈ » ) 4 Bài 7. Gi i phương trình: 6 sin x − 2 cos 3 x = 5sin 4 x cos x (1) 2 cos 2 x Gi i i u ki n: cos 2 x ≠ 0 ⇔ 2 x ≠ π + k π ⇔ x ≠ π + k π ( 2 ) 2 4 2 V i i u ki n (2) ta có (1) ⇔ 6 sin x − 2 cos 3 x = 5sin 2 x cos x ⇔ 6 sin x − 2 cos 3 x = 5 ( 2 sin x cos x ) cos x ⇔ 3sin x − cos 3 x − 5 sin x cos 2 x = 0 (3) N u cos x = 0 là nghi m c a (3) thì t (3) suy ra cos x = 0  ⇒ 0 = sin 2 x + cos 2 x = 1 ⇒ 0 = 1 ⇒ Vô lý sin x = 0 Chia 2 v c a (3) cho cos 3 x ≠ 0 ta có 3 tan x (1 + tan 2 x ) − 1 − 5 tan x = 0 ⇔ ( tan x − 1) ( 3. tan 2 x + 3 tan x + 1) = 0  2   ( ⇔ ( tan x − 1) 3 tan x + 1 2 ) + 1  = 0 ⇔ tan x = 1 ⇔ x = π + nπ 4 4 Do x = π + nπ mâu thu n v i (2): x ≠ π + k π nên phương trình (1) vô nghi m. 4 4 2 229
  12. Chương VII. Phương trình lư ng giác – Tr n Phương Bài 8. ( 4 − 6m ) sin 3 x + 3 ( 2m − 1) sin x + 2 ( m − 2 ) sin 2 x cos x − ( 4m − 3) cos x = 0 a. Gi i phương trình khi m = 2 b. Tìm m phương trình có nghi m duy nh t x ∈  0, π   4   Gi i N u cos x = 0 là nghi m c a phương trình thì t phương trình suy ra cos x = 0  sin x = 1 ∨ sin x = −1   ⇔ ⇒ Vô lý  ( 4 − 6 ) sin x + ( 6m − 3) sin x = 0 ( 4 − 6m ) sin 3 x + ( 6m − 3) sin x 3  Chia 2 v c a phương trình cho cos 3 x ≠ 0 ta có phương trình ⇔ ( 4 − 6m) tan 3 x + 3 ( 2m − 1) tan x (1 + tan 2 x ) + 2 ( m − 2) tan 2 x − ( 4m − 3) (1 + tan 2 x ) = 0 ⇔ tan 3 x − ( 2m + 1) tan 2 x + 3 ( 2m − 1) tan x − ( 4m − 3) = 0 ⇔ ( tan x − 1) [ tan 2 x − 2m tan x + ( 4m − 3)] = 0 (1) a. N u m = 2 thì (1) ⇔ ( tan x − 1) ( tan 2 x − 4 tan x + 5 ) = 0 ⇔ ( tan x − 1) ( tan x − 2 ) + 1 ⇔ tan x = 1 ⇔ x = π − k π ( k ∈ » ) 2   4 b. t t = tan x ∈ [ 0,1] ∀x ∈  0, π  , khi ó phương trình  4   t − 1 = 0 ⇔ t = 1∈ [ 0,1] (1) ⇔ ( t − 1) ( t 2 − 2mt + 4m − 3) = 0 ⇔  2 t − 2mt + 4m − 3 = 0  Xét phương trình: t 2 − 2mt + 4m − 3 = 0 v i t ∈ [ 0,1] 2 ( t − 1) ( t − 3) ⇔ t 2 − 3 = 2m ( t − 2 ) ⇔ g ( t ) = t − 3 = 2m . Ta có g ′ ( t ) = ≥ 0 ∀t ∈ [ 0, 1] t −2 ( t − 2) 2 ⇒ g (t ) ng bi n trên [ 0,1] ⇒ T p giá tr g ( t ) là [ g ( 0 ) , g (1)] =  3 ; 2  2    ( ) phương trình (1) có nghi m duy nh t x ∈ 0, π thì phương trình g ( t ) = 2m 4 ho c vô nghi m t ∈ [ 0,1] ho c có úng 1 nghi m t = 1  2m ≥ 2 m ≥ 1 ⇔ g ( t ) = 2m vô nghi m t ∈ [ 0,1) ⇔  ⇔  2m < 3 m < 3  2  4 230
  13. Bài 1. Phương trình ng c p b c nh t, b c hai, b c ba v i sinx, cosx 231
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản