Bải giải xác suất thống kê - Kiểm định giả thiết

Chia sẻ: chicken_baby

Trọng lượng của một sản phẩm có phân phối chuẩn với trọng lượng trung bình là 500g. Sau một thời gian sản xuất, người ta nghi ngờ trọng lượng trung bình của loại sản phẩm này có xu hướng giảm nên tiến hành kiểm tra 25 sản phẩm và thu được kết quả sau:

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Bải giải xác suất thống kê - Kiểm định giả thiết

BAØI GIAÛI Baøi 4.2. Troïng löôïng cuûa moät saûn phaåm coù phaân phoái chuaån vôùi troïng
löôïng trung bình laø 500g. Sau moät thôøi gian saûn xuaát, ngöôøi ta nghi ngôø
XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ troïng löôïng trung bình cuûa loaïi saûn phaåm naøy coù xu höôùng giaûm neân tieán
(GV: Traàn Ngoïc Hoäi – 2009) haønh kieåm tra 25 saûn phaåm vaø thu ñöôïc keát quaû sau:
Troïng löôïng (g) 480 485 490 495 500 510
CHÖÔNG 4 Soá saûn phaåm 2 3 8 5 3 4
Vôùi möùc yù nghóa 3%, haõy keát luaän ñieàu nghi ngôø treân coù ñuùng hay khoâng.

KIEÅM ÑÒNH GIAÛ THIEÁT Lôøi giaûi

Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh giaû thieát veà kyø voïng μ = M(X) vôùi möùc yù
Baøi 4.1. Troïng löôïng cuûa moät saûn phaåm theo qui ñònh laø 6kg. Sau moät nghóa α = 3% = 0,03:
thôøi gian saûn xuaát, ngöôøi ta tieán haønh kieåm tra 121 saûn phaåm vaø tính H0: μ = 500 vôùi giaû thieát ñoái H1: μ < 500.
ñöôïc trung bình maãu laø 5,975kg vaø phöông sai maãu hieäu chænh 5,7596kg2. Ta coù:
Saûn xuaát ñöôïc xem laø bình thöôøng neáu caùc saûn phaåm coù troïng löôïng Xi 480 485 490 495 500 510
trung bình baèng troïng löôïng qui ñònh. Vôùi möùc yù nghóa 5%, haõy keát luaän ni 2 3 8 5 3 4
veà tình hình saûn xuaát.
Lôøi giaûi n = 25; ∑X n i i =12350; ∑X i
2
n i = 6102800.
• Kyø voïng maãu cuûa X laø
Goïi X laø troïng löôïng cuûa moät saûn phaåm. Giaû thieát cho ta: 1
• Côõ maãu n = 121.
X=
n
∑ X in i = 494(g).
• Kyø voïng maãu cuûa X laø X = 5,975 (kg) . • Phöông sai maãu cuûa X laø:
• Phöông sai maãu hieäu chænh cuûa X laø S2 = 5,7596(kg2). 2 1
• Ñoä leäch maãu hieäu chænh cuûa X laø S = 2,3999(kg).
S =
n
∑ X i2ni − X 2 =(8, 7178)2 (g 2 ).
Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh giaû thieát veà kyø voïng μ = M(X) vôùi möùc yù • Phöông sai maãu hieäu chænh cuûa X laø:
nghóa α = 5% = 0,05: n 2
S2 = S = (8, 8976) 2 (g 2 ).
n −1
H0: μ = 6 vôùi giaû thieát ñoái H1: μ ≠ 6.
Vì n ≥ 30; σ2 = D(X) chöa bieát, neân ta kieåm ñònh nhö sau: Vì n < 30; σ2 = D(X) chöa bieát, neân ta kieåm ñònh nhö sau:
Böôùc 1: Ta coù Böôùc 1: Ta coù
(X − μ 0 ) n (5, 975 − 6) 121 (X − μ 0 ) n (494 − 500) 25
z= = = −0.1146. z= = = −3, 3717.
S 2, 3999 S 8, 8976
Böôùc 2: Tra baûng giaù trò haøm Laplace ñeå tìm zα thoaû Böôùc 2: Ñaët k = n - 1 = 24. Tra baûng phaân phoái Student öùng vôùi k =
ϕ(zα) = (1- α)/2 = 0,95/2 = 0,475 24 vaø 2α = 0,06 ta ñöôïc t 2α = 1,974.
ta ñöôïc zα = 1,96. Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì -z = 3,3717 > 1,974 = t 2α neân ta baùc boû giaû
Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì |z|= 0,1146 < 1,96 = zα neân ta chaáp nhaän thieát H0: μ = 500, nghóa laø chaáp nhaän H1: μ < 500.
giaû thieát H0: μ = 6. Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 3%, ñieàu nghi ngôø troïng löôïng trung bình
Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 5%, tình hình saûn xuaát ñöôïc xem laø bình cuûa loaïi saûn phaåm naøy coù xu höôùng giaûm laø ñuùng.
thöôøng.
Baøi 4.3. Naêng suaát luùa trung bình cuûa nhöõng vuï tröôùc laø 5,5taán/ha. Vuï
luùa naêm nay ngöôøi ta aùp duïng moät phöông phaùp kyõ thuaät môùi cho toaøn boä

1 2




Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
dieän tích troàng luùa trong vuøng. Ñieàu tra naêng suaát 100ha luùa, ta coù baûng haønh ñieàu tra veà thu nhaäp cuûa 100 hoä trong khu vöïc vaø coù baûng soá lieäu
soá lieäu sau: sau:
Naêngsuaát (taï/ha) 40-45 45-50 50-55 55-60 60-65 65-70 70-75 75-80 Thu nhaäp bình quaân 150 200 250 300 350
Dieän tích (ha) 7 12 18 27 20 8 5 3 (ngaøn/ngöôøi/thaùng)
Vôùi möùc yù nghóa 1%, haõy keát luaän xem phöông phaùp kyõ thuaät môùi coù laøm Soá hoä 8 15 38 22 17
taêng naêng suaát luùa trung bình cuûa vuøng naøy hay khoâng? Theo boä phaän tieáp thò thì sieâu thò chæ hoaït ñoäng coù hieäu quaû taïi khu vöïc
naøy khi thu nhaäp bình quaân haøng thaùng cuûa caùc hoä toái thieåu laø vaøo
Lôøi giaûi khoaûng 250ngaøn/ngöôøi/thaùng. Vaäy theo keát quaû ñieàu tra treân, coâng ty coù
neân quyeát ñònh môû sieâu thò taïi khu vöïc naøy hay khoâng vôùi möùc yù nghóa
Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh giaû thieát veà kyø voïng μ = M(X) vôùi möùc yù 5%?
nghóa α = 1% = 0,01: Lôøi giaûi
H0: μ = 55 vôùi giaû thieát ñoái H1: μ > 55.
(5,5taán = 55taï). Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh giaû thieát veà kyø voïng μ = M(X) vôùi möùc yù
Ta coù: nghóa α = 5% = 0,05:
Xi 42,5 47,5 52,5 57,5 62,5 67,5 72,5 77,5 H0: μ = 250 vôùi giaû thieát ñoái H1: μ > 250.
ni 7 12 18 27 20 8 5 3 Ta coù:
Xi 150 200 250 300 350
n = 100; ∑X n i i =5750; ∑X i
2
n i =337475. ni 8 15 38 22 17

• Kyø voïng maãu cuûa X laø
1 n = 100; ∑X ni i =26250; ∑X i
2
n i =7217500.
X = ∑ X in i = 57, 5(taï ).
n • Kyø voïng maãu cuûa X laø
• Phöông sai maãu cuûa X laø: 1
X = ∑ X in i = 262, 5.
2 1 n
S = ∑ X i 2n i − X 2 =(8, 2765)2 (taï 2 ).
n • Phöông sai maãu cuûa X laø:
• Phöông sai maãu hieäu chænh cuûa X laø: 2 1
S = ∑ X i 2n i − X 2 =(57,1730)2 .
n 2 n
S2 = S = (8, 3182)2 (taï 2 ).
n −1 • Phöông sai maãu hieäu chænh cuûa X laø:
Vì n ≥ 30; σ2 = D(X) chöa bieát, neân ta kieåm ñònh nhö sau: n 2
S2 = S = (57, 4610)2 .
Böôùc 1: Ta coù n −1
(X − μ 0 ) n (57, 5 − 55) 100 Vì n ≥ 30; σ2 = D(X) chöa bieát, neân ta kieåm ñònh nhö sau:
z= = = 3, 0055. Böôùc 1: Ta coù
S 8, 3182
Böôùc 2: Tra baûng giaù trò haøm Laplace ñeå tìm z2α thoaû (X − μ 0 ) n (262, 5 − 250) 100
z= = = 2,1754.
ϕ(z2α) = (1- 2α)/2 = 0,98/2 = 0,49 S 57, 4610
ta ñöôïc z2α = 2,33. Böôùc 2: Tra baûng giaù trò haøm Laplace ñeå tìm z2α thoaû
Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì z = 3,0055 > 2,33 = z2α neân ta baùc boû giaû thieát ϕ(z2α) = (1- 2α)/2 = 0,90/2 = 0,45
H0: μ = 55, nghóa laø chaáp nhaän H1: μ > 55. ta ñöôïc z2α = 1,65.
Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 1%, phöông phaùp kyõ thuaät môùi laøm taêng Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì z = 2,1754 > 1,65 = z2α neân ta baùc boû giaû thieát
naêng suaát luùa trung bình cuûa vuøng naøy. H0: μ = 250, chaáp nhaän giaû thieát H1: μ > 250, nghóa laø thu nhaäp bình
quaân cuûa caùc hoä cao hôn 250ngaøn/ngöôøi/thaùng.
Baøi 4.4. Moät coâng ty döï ñònh môû moät sieâu thò taïi moät khu daân cö. Ñeå Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 5%, coâng ty neân quyeát ñònh môû sieâu thò taïi
ñaùnh giaù khaû naêng mua haøng cuûa daân cö trong khu vöïc, ngöôøi ta tieán khu vöïc naøy.

3 4




Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 5%, khoâng theå cho raèng nhu caàu trung bình
Baøi 4.5. Ñeå nghieân cöùu nhu caàu cuûa moät loaïi haøng, ngöôøi ta tieán haønh veà maët haøng naøy cuûa toaøn khu vöïc laø 14taán/thaùng.
khaûo saùt nhu caàu cuûa maët haøng naøy ôû 400 hoä. Keát quaû nhö sau:
Nhu caàu (kgï/thaùng) 0 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 Baøi 4.6. Troïng löôïng cuûa moät loaïi gaøø coâng nghieäp ôû moät traïi chaên nuoâi coù
Soá hoä 10 35 86 132 78 31 18 10 phaân phoái chuaån. Troïng löôïng trung bình khi xuaát chuoàng naêm tröôùc laø
Giaû söû khu vöïc ñoù coù 4000 hoä. Neáu cho raèng nhu caàu trung bình veà maët 2,8kg/con. Naêm nay, ngöôøi ta söû duïng moät loaïi thöùc aên môùi. Caân thöû 25
haøng naøy cuûa toaøn khu vöïc laø 14taán/thaùng thì coù chaáp nhaän ñöôïc khoâng con khi xuaát chuoàng ngöôøi ta tính ñöôïc trung bình maãu laø 3,2kg vaø
vôùi möùc yù nghóa 2%? phöông sai maãu hieäu chænh 0,25kg2.
Lôøi giaûi a) Vôùi möùc yù nghóa 5%, haõy keát luaän xem loaïi thöùc aên môùi coù thöïc söï
laøm taêng troïng löôïng trung bình cuûa ñaøn gaø hay khoâng?
Khi cho raèng nhu caàu trung bình veà maët haøng naøy cuûa toaøn khu vöïc laø b) Neáu traïi chaên nuoâi baùo caùo troïng löôïng trung bình khi xuaát chuoàng
14taán/thaùng, nghóa laø nhu caàu trung bình veà maët haøng naøy cuûa moät hoä laø 3,3kg/con thì coù chaáp nhaän ñöôïc khoâng vôùi möùc yù nghóa 5%?
trong moät thaùng laø
14taán 14000kg Lôøi giaûi
= = 3,5kg.
4000 4000
Do ñoù ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh giaû thieát veà kyø voïng μ = M(X) vôùi
Goïi X laø troïng löôïng cuûa moät con gaø sau khi söû duïng loaïi thöùc aên môùi.
möùc yù nghóa α = 2% = 0,02:
Giaû thieát cho ta:
H0: μ = 3,5 vôùi giaû thieát ñoái H1: μ ≠ 3,5. • X coù phaân phoái chuaån.
Ta coù: • Côõ maãu n = 25.
Xi 0 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5
• Kyø voïng maãu cuûa X laø X = 3,2(kg) .
ni 10 35 86 132 78 31 18 10
• Phöông sai maãu hieäu chænh cuûa X laø S2 = 0,25(kg2).
• Ñoä leäch maãu hieäu chænh cuûa X laø S = 0,5(kg).
n = 400; ∑X n i i =1053; ∑X i
2
n i =3577, 5.
• Kyø voïng maãu cuûa X laø
a) Vôùi möùc yù nghóa 5%, haõy keát luaän xem loaïi thöùc aên môùi coù thöïc söï laøm
1
X = ∑ X i n i = 2, 6325. taêng troïng löôïng trung bình cuûa ñaøn gaø hay khoâng?
n
Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh giaû thieát veà kyø voïng μ = M(X) vôùi möùc yù
• Phöông sai maãu cuûa X laø:
2 1 nghóa α = 5% = 0,05:
S = ∑ X i 2n i − X 2 =(1, 4190)2 . H0: μ = 2,8 vôùi giaû thieát ñoái H1: μ > 2,8.
n
• Phöông sai maãu hieäu chænh cuûa X laø: Vì n < 30; X coù phaân phoái chuaån; σ2 = D(X) chöa bieát, neân ta kieåm ñònh
n 2 nhö sau:
S2 = S = (1, 4208)2 .
n −1 Böôùc 1: Ta coù
Vì n ≥ 30; σ2 = D(X) chöa bieát, neân ta kieåm ñònh nhö sau: (X − μ 0 ) n (3, 2 − 2, 8) 25
z= = = 4.
Böôùc 1: Ta coù S 0, 5
(X − μ 0 ) n (2, 6325 − 3, 5) 400 Böôùc 2: Ñaët k = n -1 = 24. Tra baûng phaân phoái Student öùng vôùi k =
z= = = −12, 2114.
S 1, 4208 k
24 vaø 2α = 0,1 ta ñöôïc t 2α = t 2α = 1,711.
Böôùc 2: Tra baûng giaù trò haøm Laplace ñeå tìm zα thoaû Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì z = 4 > 1,711 = t2α neân ta baùc boû giaû thieát
ϕ(zα) = (1- α)/2 = 0,98/2 = 0,49 H0: μ = 2,8, ghóa laø chaáp nhaän giaû thieát H1: μ > 2,8.
ta ñöôïc zα = 2,33. Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 5%, loaïi thöùc aên môùi thöïc söï laøm taêng
Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì |z| = 12,2114 > 2,33 = zα neân ta baùc boû giaû troïng löôïng trung bình cuûa ñaøn gaø.
thieát H0: μ = 3,5, chaáp nhaän giaû thieát H1: μ ≠ 3,5.

5 6




Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
b) Neáu traïi chaên nuoâi baùo caùo troïng löôïng trung bình khi xuaát chuoàng laø Vì nX > 30; nY > 30 neân ta kieåm ñònh nhö sau:
3,3kg/con thì coù chaáp nhaän ñöôïc khoâng vôùi möùc yù nghóa 5%? Böôùc 1: Ta coù:
Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh giaû thieát veà kyø voïng μ = M(X) vôùi möùc yù X−Y 168 − 164
z= = = 5,3059.
nghóa α = 5% = 0,05: S2
X S2 62 52
+ Y +
H0: μ = 3,3 vôùi giaû thieát ñoái H1: μ ≠ 3,3. nX nY 100 120
Vì n < 30; X coù phaân phoái chuaån; σ2 = D(X) chöa bieát, neân ta kieåm ñònh Böôùc 2: Tra baûng giaù trò haøm Laplace ñeå tìm z2α thoaû
nhö sau: ϕ(z2α) = (1 - 2α)/2 = 0,98/2 = 0,49
Böôùc 1: Ta coù ta ñöôïc z2α = 2,33.
(X − μ 0 ) n (3, 2 − 3, 3) 25 Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì z = 5,3059 > 2,33 = z2α neân ta baùc boû giaû
z= = = −1.
S 0, 5 thieát H0: μX = μY, nghóa laø chaáp nhaän H1: μX > μY.
Böôùc 2: Ñaët k = n -1 = 24. Tra baûng phaân phoái Student öùng vôùi k = Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 1%, coù theå keát luaän raèng nam sinh noäi
k
24 vaø α = 0,05 ta ñöôïc t α = t α = 2, 064. thaønh thöïc söï cao hôn nam sinh ngoaïi thaønh.
Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì |z| = 1 < 2,064 = tα neân ta chaáp nhaän giaû thieát
H0: μ = 3,3. Baøi 4.8. Moät hôïp taùc xaõ troàng thöû hai gioáng luùa, moãi gioáng treân 30 thöûa
Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 5%, baùo caùo troïng löôïng trung bình khi ruoäng vaø ñöôïc chaêm soùc nhö nhau. Cuoái vuï thu hoaïch ta ñöôïc soá lieäu nhö
xuaát chuoàng laø 3,3kg/con laø chaáp nhaän ñöôïc. sau:
Naêng suaát trung bình (taï/ha) Ñoä leäch maãu hieäu chænh
Gioáng luùa 1 45 2,5
Baøi 4.7. Chieàu cao trung bình cuûa 100 nam sinh lôùp 12 ôû moät tröôøng
Gioáng luùa 2 46,5 4,0
trung hoïc noäi thaønh laø 1,68m vôùi ñoä leäch maãu hieäu chænh 6cm. Trong khi
a) Vôùi möùc yù nghóa 2%, coù theå xem naêng suaát cuûa hai gioáng luùa treân
kieåm tra 120 nam sinh lôùp 12 ôû moät huyeän ngoaïi thaønh thì chieàu cao
laø nhö nhau hay khoâng?
trung bình laø 1,64m vôùi ñoä leäch maãu hieäu chænh 5cm. Vôùi möùc yù nghóa 1%,
b) Vôùi möùc yù nghóa 2%, coù theå xem naêng suaát cuûa gioáng luùa 2 cao
coù theå keát luaän raèng nam sinh noäi thaønh thöïc söï cao hôn nam sinh ngoaïi
hôn cuûa gioáng luùa 1 hay khoâng?
thaønh hay khoâng?
Lôøi giaûi
Goïi X, Y (taï/ha) laàn löôït laø naêng suaát cuûa gioáng luùa 1 vaø 2. Khi ñoù:
Lôøi giaûi
1) Ñoái vôùi X, giaû thieát cho ta:
• Côõ maãu nX = 30.
Goïi X, Y (cm) laàn löôït laø chiều cao cuûa nam sinh noäi thaønh vaø nam
• Kyø voïng maãu cuûa X laø X = 45.
sinh ngoaïi thaønh. Baøi toaùn treân chính laø baøi toaùn kieåm ñònh so saùnh hai
• Ñoä leäch maãu hieäu chænh cuûa X laø SX = 2,5.
kyø voïng vôùi möùc yù nghóa α = 1% = 0,01:
2) Ñoái vôùi Y, giaû thieát cho ta:
H0: μX = μY vôùi giaû thieát ñoái H1: μX > μY.
• Côõ maãu nY = 30.
• Kyø voïng maãu cuûa Y laø Y = 46,5.
1) Ñoái vôùi X, giaû thieát cho ta:
• Ñoä leäch maãu hieäu chænh cuûa Y laø SY = 4.
• Côõ maãu nX = 100.
• Kyø voïng maãu cuûa X laø X = 168(cm) .
a) Vôùi möùc yù nghóa 2%, coù theå xem naêng suaát cuûa hai gioáng luùa treân laø
• Ñoä leäch maãu hieäu chænh cuûa X laø SX = 6(cm). nhö nhau hay khoâng?
2) Ñoái vôùi Y, giaû thieát cho ta: Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh so saùnh hai kyø voïng vôùi möùc yù nghóa
• Côõ maãu nY = 120 2% = 0,02:
• Kyø voïng maãu cuûa Y laø Y = 164(cm) .
H0: μX = μY vôùi giaû thieát ñoái H1: μX ≠ μY.
• Ñoä leäch maãu hieäu chænh cuûa Y laø SY = 5(cm). Vì nX = nY = 30 neân ta kieåm ñònh nhö sau:
Böôùc 1: Ta coù:
7 8




Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
X−Y 45 − 46, 5 Ta ñöa baøi toaùn veà baøi toaùn kieåm ñònh giaû thieát veà tæ leä p caùc saûn
z= = = −1,7418.
S2
X S2 2, 52 42 phaåm loaïi A vôùi möùc yù nghóa α = 5% = 0,05:
+ Y +
nX nY 30 30 H0: p = 45% = 0,45 vôùi giaû thieát ñoái H1: p > 0,45.
Böôùc 2: Tra baûng giaù trò haøm Laplace ñeå tìm zα thoaû Ta kieåm ñònh nhö sau:
ϕ(zα) = (1 - α)/2 = 0,98/2 = 0,49 Böôùc 1: Ta coù
ta ñöôïc zα = 2,33. (F − p 0 ) n (0, 5375 − 0, 45) 400
z= n = = 3,5176.
Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì |z| = 1,7418 < 2,33 = zα neân ta chaáp nhaänû p0 (1 − p0 ) 0, 45(1 − 0, 45)
giaû thieát H0: μX = μY. Böôùc 2: Tra baûng giaù trò haøm Laplace ñeå tìm z2α thoaû
Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 2%, coù theå xem naêng suaát cuûa hai gioáng ϕ(z2α) = (1 - 2α)/2 = 0,90/2 = 0,45
luùa treân laø nhö nhau. ta ñöôïc z2α = 1,65.
Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì z = 3,5176 > 1,65= z2α neân ta baùc boû giaû thieát
b) Vôùi möùc yù nghóa 2%, coù theå xem naêng suaát cuûa gioáng luùa 2 cao hôn H0: p = 0,45, nghóa laø chaáp nhaän H1: p > 0,45.
cuûa gioáng luùa 1 hay khoâng? Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 5%, phöông phaùp môùi thöïc söï laøm taêng tæ leä
Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh so saùnh hai kyø voïng vôùi möùc yù nghóa α = saûn phaåm loaïi A.
2% = 0,02:
H0: μX = μY vôùi giaû thieát ñoái H1: μX < μY. Baøi 4.10. Thoáng keâ 10650 treû sô sinh ôû moät ñòa phöông ngöôøi ta thaáy coù
Vì nX = nY = 30 neân ta kieåm ñònh nhö sau: 5410 beù trai.
Böôùc 1: Töông töï caâu a), ta coù: a) Vôùi möùc yù nghóa 3%, hoûi coù söï khaùc bieät veà tæ leä sinh beù trai vaø beù
X−Y gaùi hay khoâng?
z= = −1,7418.
S2
X S2 b) Vôùi möùc yù nghóa 1%, hoûi tæ leä sinh beù trai coù thöïc söï cao hôn tæ leä
+ Y
nX nY sinh beù gaùi hay khoâng?
Böôùc 2: Tra baûng giaù trò haøm Laplace ñeå tìm z2α thoaû
ϕ(z2α) = (1 - 2α)/2 = 0,96/2 = 0,48 Lôøi giaûi
ta ñöôïc z2α = 2,06.
Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì -z = 1,7418 < 2,06 = z2α neân ta chaáp nhaänû Töø caùc giaû thieát cuûa baøi toaùn ta suy ra:
giaû thieát H0: μX = μY. 1) Khi khaûo saùt tæ leä beù trai p1:
Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 2%, chöa theå xem naêng suaát cuûa gioáng • Côõ maãu n1 = 10650.
luùa 2 cao hôn cuûa gioáng luùa 1. • Soá beù trai laø m1 = 5410.
• Tæ leä beù trai Fn1 = 5410/10650.
Baøi 4.9. Moät maùy saûn xuaát töï ñoäng, luùc ñaàu tæ leä saûn phaåm loaïi A laø 45%. 2) Khi khaûo saùt tæ leä beù gaùi p2:
Sau khi aùp duïng moät phöông phaùp saûn xuaát môùi, ngöôøi ta laáy ra 400 saûn • Côõ maãu n2 = 10650.
phaåm ñeå kieåm tra thì thaáy coù 215 saûn phaåm loaïi A. Vôùi möùc yù nghóa 5%, • Soá beù gaùi laø m2 = 10650 – 5410 = 5240.
haõy keát luaän xem phöông phaùp môùi coù thöïc söï laøm taêng tæ leä saûn phaåm • Tæ leä beù gaùi Fn2 = 5240/10650.
loaïi A hay khoâng? 3) p0 = 0,5.
Lôøi giaûi
Töø giaû thieát ta suy ra: a) Vôùi möùc yù nghóa 3%, hoûi coù söï khaùc bieät veà tæ leä sinh beù trai vaø beù gaùi
• Côõ maãu n = 400. hay khoâng?
• Soá saûn phaåm loaïi A coù trong maãu laø m = 215. Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh giaû thieát so saùnh hai tæ leä vôùi möùc yù nghóa
• Tæ leä maãu saûn phaåm loaïi A laø Fn = m/n = 215/400 = 0,5375. α = 3% = 0,03:
H0: p1 = p2 (= p0) vôùi giaû thieát ñoái H1: p1 ≠ p2

9 10




Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Ta kieåm ñònh nhö sau:
Böôùc 1: Ta coù: Lôøi giaûi
5410 5240

Fn1 − Fn2 10650 10650
z= = = 2, 3296. Töø caùc giaû thieát cuûa baøi toaùn ta suy ra:
⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞
p 0 (1 − p 0 ) ⎜ + ⎟ 0, 5(1 − 0, 5) ⎜ + ⎟ 1) Ñoái vôùi loaïi thuoác H:
⎝ n1 n2 ⎠ ⎝ 10650 10650 ⎠
• Côõ maãu n1 = 250.
Böôùc 2: Tra baûng giaù trò haøm Laplace ñeå tìm zα thoaû • Soá beänh nhaân khoûi beänh: 210.
ϕ(zα) = (1 - α)/2 = 0,97/2 = 0,485 • Tæ leä maãu beänh nhaân khoûi beänh Fn1 = 210/250 = 0,84.
ta ñöôïc zα = 2,17. 2) Ñoái vôùi loaïi thuoác K:
Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì |z| = 2,3296 > 2,17 = zα neân ta baùc boû giaû • Côõ maãu n2 = 200.
thieát H0: p1 = p2, nghóa laø chaáp nhaän H1: p1 ≠ p2. • Soá beänh nhaân khoûi beänh: 175.
Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 3%, coù söï khaùc bieät veà tæ leä sinh beù trai vaø • Tæ leä maãu beänh nhaân khoûi beänh Fn2 = 175/200 = 0,875.
beù gaùi. n F + n2Fn2 250.0, 84 + 200.0, 875 385
3) p0 = 1 n1 = = .
n1 + n2 250 + 200 450
b) Vôùi möùc yù nghóa 1%, hoûi tæ leä sinh beù trai coù thöïc söï cao hôn tæ leä sinh
a) Vôùi möùc yù nghóa 1% coù theå keát luaän thuoác K coù khaû naêng chöõa beänh A
beù gaùi hay khoâng?
toát hôn thuoác H hay khoâng?
Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh giaû thieát so saùnh hai tæ leä vôùi möùc yù nghóa
Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh giaû thieát so saùnh hai tæ leä vôùi möùc yù nghóa
α = 1% = 0,01:
α = 1% = 0,01:
H0: p1 = p2 vôùi giaû thieát ñoái H1: p1 > p2
H0: p1 = p2 vôùi giaû thieát ñoái H1: p1 < p2
Ta kieåm ñònh nhö sau:
Böôùc 1: Töông töï caâu a), ta coù:
Ta kieåm ñònh nhö sau:
Fn1 − Fn2
z= = 2, 3296. Böôùc 1: Ta coù:
⎛ 1 1 ⎞
p 0 (1 − p 0 ) ⎜ + ⎟ Fn1 − Fn2 0, 84 − 0, 875
z= = = −1, 0495.
⎝ n1 n2 ⎠ ⎛ 1 385 ⎛ 385 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞
1 ⎞
Böôùc 2: Tra baûng giaù trò haøm Laplace ñeå tìm z2α thoaû p 0 (1 − p 0 ) ⎜ + ⎟ ⎜1 − ⎟⎜ + ⎟
⎝ n1 n2 ⎠ 450 ⎝ 450 ⎠ ⎝ 250 200 ⎠
ϕ(z2α) = (1 - 2α)/2 = 0,98/2 = 0,49
Böôùc 2: Tra baûng giaù trò haøm Laplace ñeå tìm z2α thoaû
ta ñöôïc z2α = 2,33.
ϕ(z2α) = (1 - 2α)/2 = 0,98/2 = 0,49
Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì z = 2,3296 < 2,33 = z2α neân ta chaáp nhaän giaû
ta ñöôïc z2α = 2,33.
thieát H0: p1 = p2.
Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì -z = 1,0495 < 2,33 = z2α neân ta chaáp nhaän giaû
Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 1%, chöa theå noùi tæ leä sinh beù trai thöïc söï
thieát H0: p1 = p2.
cao hôn tæ leä sinh beù gaùi.
Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 1%, khoâng theå keát luaän thuoác K coù khaû
naêng chöõa beänh A toát hôn thuoác H.
Baøi 4.11. Beänh A coù theå chöõa baèng hai loaïi thuoác H vaø K. Coâng ty saûn
xuaát thuoác H tuyeân boá tæ leä beänh nhaân khoûi beänh do duøng thuoác cuûa hoï laø
b) Xeùt xem hieäu quaû chöõa beänh cuûa thuoác H coù ñuùng nhö coâng ty quaûng
85%. Ngöôøi ta duøng thöû thuoác H chöõa cho 250 beänh nhaân thì thaáy coù 210
caùo vôùi möùc yù nghóa 5% hay khoâng.
ngöôøi khoûi beänh, duøng thöû thuoác K cho 200 beänh nhaân thì thaáy coù 175
Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh giaû thieát veà tæ leä p1 caùc beänh nhaân khoûi
ngöôøi khoûi beänh.
beänh A khi ñöôïc ñieàu trò baèng thuoác H vôùi möùc yù nghóa α = 5% = 0,05:
a) Vôùi möùc yù nghóa 1% coù theå keát luaän thuoác K coù khaû naêng chöõa beänh
H0: p1 = 85% = 0,85 vôùi giaû thieát ñoái H1: p1 < 0,85.
A toát hôn thuoác H hay khoâng?
Ta kieåm ñònh nhö sau:
b) Xeùt xem hieäu quaû chöõa beänh cuûa thuoác H coù ñuùng nhö coâng ty
Böôùc 1: Ta coù
quaûng caùo vôùi möùc yù nghóa 5% hay khoâng.
11 12




Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
(Fn1 − p01 ) n1 n
(0, 84 − 0, 85) 250
2
S2 = S = (7, 4827)2 (cm2 ).
z= = = −0, 4428. n −1
p01q 01 0, 85(1 − 0, 85) a) Giaû söû trung bình tieâu chuaån cuûa chæ tieâu X laø 29cm. Haõy cho nhaän
Böôùc 2: Tra baûng giaù trò haøm Laplace ñeå tìm z2α thoaû xeùt veà tình hình saûn xuaát vôùi möùc yù nghóa 2%.
ϕ(z2α) = (1 - 2α)/2 = 0,90/2 = 0,45 Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh giaû thieát veà kyø voïng μ = M(X) vôùi möùc yù
ta ñöôïc z2α = 1,65. nghóa α = 2% = 0,02:
Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì - z = 0,4428 < 1,65 = z2α neân ta chaáp nhaän H0: μ = 29 vôùi giaû thieát ñoái H1: μ ≠ 29.
giaû thieát H0: p1 = 0,85. Vì n ≥ 30; σ2 = D(X) chöa bieát, neân ta kieåm ñònh nhö sau:
Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 5%, hieäu quaû chöõa beänh cuûa thuoác H ñuùng Böôùc 1: Ta coù
nhö coâng ty quaûng caùo.
(X − μ 0 ) n (26, 36 − 29) 100
z= = = −3, 5281.
S 7, 4827
Baøi 4.12. Ñeå khaûo saùt chæ tieâu X cuûa moät loaïi saûn phaåm, ngöôøi ta quan
saùt moät maãu vaø coù keát quûa sau: Böôùc 2: Tra baûng giaù trò haøm Laplace ñeå tìm zα thoaû
ϕ(zα) = (1- α)/2 = 0,98/2 = 0,49
X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39
ta ñöôïc zα = 2,33.
Soásaûn phaåm 8 9 20 16 16 13 18
Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì |z|= 3,5281 > 2,33 = zα neân ta baùc boû giaû thieát
Nhöõng saûn phaåm coù chæ tieâu X töø 19cm trôû xuoáng ñöôïc goïi laø nhöõng saûn
H0: μ=29, nghóa laø chaáp nhaän H1: μ ≠ 29.
phaåm loaïi B.
Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 1%, tình hình saûn xuaát khoâng bình thöôøng
a) Giaû söû trung bình tieâu chuaån cuûa chæ tieâu X laø 29cm. Haõy cho nhaän xeùt
vì giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu X khoâng ñuùng tieâu chuaån.
veà tình hình saûn xuaát vôùi möùc yù nghóa 2%.
b) Baèng phöông phaùp saûn xuaát môùi, sau moät thôøi gian ngöôøi ta thaáy giaù
b) Baèng phöông phaùp saûn xuaát môùi, sau moät thôøi gian ngöôøi ta thaáy giaù
trò trung bình cuûa chæ tieâu X cuûa nhöõng saûn phaåm loaïi B laø 16cm. Haõy
trò trung bình cuûa chæ tieâu X cuûa nhöõng saûn phaåm loaïi B laø 16cm. Haõy
cho keát luaän veà phöông phaùp saûn xuaát môùi vôùi möùc yù nghóa 1% (GS X
cho keát luaän veà phöông phaùp saûn xuaát môùi vôùi möùc yù nghóa 1% (GS X
coù phaân phoái chuaån).
coù phaân phoái chuaån).
c) Moät taøi lieäu thoáng keâ cuõ cho raèng tæ leä nhöõng saûn phaåm loaïi B laø
Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh giaû thieát veà kyø voïng μB = M(XB) cuûa chæ tieâu
12%. Haõy nhaän ñònh veà taøi lieäu naøy vôùi möùc yù nghóa 5%.
X = XB cuûa nhöõng saûn phaåm loaïi B vôùi möùc yù nghóa α = 1% = 0,01:
H0: μB = 16 vôùi giaû thieát ñoái H1: μB ≠ 16.
Lôøi giaûi
Ta laäp baûng soá lieäu cuûa XB:
Laäp baûng:
XBi 13 17
Xi 13 17 21 25 29 33 37 nBi 8 9
ni 8 9 20 16 16 13 18 Töø baûng treân ta tính ñöôïc:
Ta coù: nB = 17; ∑ X Bi nBi =257; ∑ X Bi
2
n Bi =3, 953.
n = 100; ∑ X ini =2636; ∑ X i2ni =75028. • Kyø voïng maãu cuûa XB laø
1
• Kyø voïng maãu cuûa X laø XB =
n
∑ X Bi nBi = 15,1176 (cm).
1
X=
n
∑ X in i = 26, 36(cm). • Phöông sai maãu cuûa XB laø:
• Phöông sai maãu cuûa X laø:
2 1
SB =
n
∑ X Bi2nBi − X B2 =(1, 9965)2 (cm 2 ).
2 1
S = ∑ X i 2n i − X 2 =(7, 4452) 2 (cm 2 ).
n • Phöông sai maãu ñaõ hieäu chænh cuûa XB laø:
• Phöông sai maãu ñaõ hieäu chænh cuûa X laø: nB 2
SB 2 = SB = (2, 0580) 2 (cm 2 ).
nB − 1

13 14




Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Vì nB < 30, XB coù phaân phoái chuaån, σ2B = D(XB) chöa bieát, neân ta kieåm c) Nhöõng caây troàng coù chieàu cao töø 105cm ñeán 125cm ñöôïc goïi laø nhöõng
ñònh nhö sau: caây loaïi A. Baèng phöông phaùp môùi, sau moät thôøi gian ngöôøi ta thaáy
Böôùc 1: Ta coù chieàu cao trung bình cuûa nhöõng caây loaïi A laø 119,5cm. Haõy cho keát
(X B − μ 0 ) n B (15,1176 − 16) 17 luaän veà phöông phaùp môùi vôùi möùc yù nghóa 1% (GS X coù phaân phoái
z= = = −1,7678.
SB 2, 0580 chuaån).
Böôùc 2: Ñaët k = nB -1 = 16. Tra baûng phaân phoái Student öùng vôùi k = Lôøi giaûi
16 vaø α = 0,01 ta ñöôïc t α = 2,921.
Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì |z| = 1,7678 < 2,921= t α neân ta chaáp nhaän giaû Xi 100 110 120 130 140 150 160
thieát H0: μB = 16. ni 10 10 15 30 10 10 15

Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 2%, phöông phaùp môùi khoâng coù taùc duïng Ta coù:
laøm thay ñoåi giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu XB cuûa caùc saûn phaåm loaïi B. n = 100; ∑ X in i =13100; ∑X i
2
n i =1749000.
• Kyø voïng maãu cuûa X laø
c) Moät taøi lieäu thoáng keâ cuõ cho raèng tæ leä saûn phaåm loaïi B laø 12%. Haõy 1
nhaän ñònh veà taøi lieäu naøy vôùi möùc yù nghóa 5%.
X=
n
∑ X ini = 131(cm).
Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh giaû thieát veà tæ leä p caùc saûn phaåm loaïi B • Phöông sai maãu cuûa X laø:
vôùi möùc yù nghóa α = 5% = 0,05: 2 1
H0: p = 12% = 0,12 vôùi giaû thieát ñoái H1: p ≠ 0,12.
S =
n
∑ X i2ni − X 2 =(18,1384)2 (cm2 ).
Ta coù qui taéc kieåm ñònh nhö sau: • Phöông sai maãu hieäu chænh cuûa X laø:
Böôùc 1: Ta coù n 2
S2 = S = (18, 2297)2 (cm 2 ).
n −1
(Fn − p0 ) n (0,17 − 0,12) 100
z= = = 1, 5386. a) Moät taøi lieäu thoáng keâ cuõ cho raèng chieàu cao trung bình cuûa gioáng caây
p 0q 0 0,12(1 − 0,12)
troàng treân laø 127cm. Haõy cho keát luaän veà taøi lieäu ñoù vôùi möùc yù nghóa
Böôùc 2: Tra baûng giaù trò haøm Laplace ñeå tìm zα thoaû
1%.
ϕ(zα) = (1- α)/2 = 0,95/2 = 0,475
Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh giaû thieát veà kyø voïng μ = M(X) vôùi möùc yù
ta ñöôïc zα = 1,96.
nghóa α = 1% = 0,01:
Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì |z| = 1,5386 < 1,96 = zα neân ta chaáp nhaän giaû
H0: μ = 127 vôùi giaû thieát ñoái H1: μ ≠ 127
thieát H0: p = 0,12.
Vì n ≥ 30; σ2 chöa bieát, neân ta coù qui taéc kieåm ñònh nhö sau:
Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 5%, taøi lieäu cuõ veà tæ leä saûn phaåm loaïi B coøn
Böôùc 1: Ta coù
phuø hôïp.
(X − μ 0 ) n (131 − 127) 100
z= = = 2,1942.
S 18, 2297
Baøi 4.13. Ñeå khaûo saùt chieàu cao X cuûa moät gioáng caây troàng, ngöôøi ta quan
Böôùc 2: Tra baûng giaù trò haøm Laplace ñeå tìm zα thoaû
saùt moät maãu vaø coù keát quûa sau:
X(cm) 95-105 105-115 115-125 125-135 135-145 145-155 155-165
ϕ(zα) = (1 - α)/2 = 0,99/2 = 0,495
Soá caây 10 10 15 30 10 10 15 ta ñöôïc zα = 2,58.
a) Moät taøi lieäu thoáng keâ cuõ cho raèng chieàu cao trung bình cuûa gioáng caây Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì |z| = 2,1942 < 2,58 = zα neân ta chaáp nhaän
troàng treân laø 127cm. Haõy cho keát luaän veà taøi lieäu ñoù vôùi möùc yù nghóa H0: μ = 127.
1%. Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 1%, taøi lieäu cuõ veà chieàu cao trung bình cuûa
b) Nhöõng caây troàng coù chieàu cao töø 135cm trôû leân ñöôïc goïi laø nhöõng caây gioáng caây troàng treân coøn phuø hôïp vôùi thöïc teá.
“cao”. Tröôùc ñaây, tæ leä nhöõng caây “cao” cuûa loaïi caây troàng treân laø 40%.
Caùc soá lieäu treân thu thaäp ñöôïc sau khi ñaõ aùp duïng moät kyõ thuaät môùi. b) Nhöõng caây troàng coù chieàu cao töø 135cm trôû leân ñöôïc goïi laø nhöõng caây
Haõy cho keát luaän veà kyõ thuaät môùi vôùi möùc yù nghóa 5%. “cao”. Tröôùc ñaây, tæ leä nhöõng caây “cao” cuûa loaïi caây troàng treân laø 40%.

15 16




Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Caùc soá lieäu treân thu thaäp ñöôïc sau khi ñaõ aùp duïng moät kyõ thuaät môùi. Vì nA = 25 < 30, XA coù phaân phoái chuaån, σ2A= D(XA) chöa bieát, neân ta
Haõy cho keát luaän veà kyõ thuaät môùi vôùi möùc yù nghóa 5%. kieåm ñònh nhö sau:
Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh giaû thieát veà tæ leä p caùc caây cao vôùi möùc yù Böôùc 1: Ta coù
nghóa α = 5% = 0,05: (X A − μ0 ) n A (116 − 119, 5) 25
H0: p = 40% = 0,4 vôùi giaû thieát ñoái H1: p ≠ 0,4 z= = = −3, 5.
SA 5
Ta coù qui taéc kieåm ñònh nhö sau:
Böôùc 2: Ñaët k = nA - 1 = 24. Tra baûng phaân phoái Student öùng vôùi k =
Böôùc 1: Ta coù k
24 vaø α = 0,01 ta ñöôïc t α = t α = 2,797.
(Fn − p 0 ) n (0, 35 − 0, 4) 100
z= = = −1, 0206. Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì |z| = 3,5 > 2,797 = t α neân ta baùc boû giaû thieát
p 0q 0 0, 4(1 − 0, 4)
H0: μA = 119,5, nghóa laø chaáp nhaän H1: μA ≠ 119,5. Cuï theå, ta nhaän ñònh
Böôùc 2: Tra baûng giaù trò haøm Laplace ñeå tìm zα thoaû
μA < 119,5 (vì X A = 116 < 119, 5 ).
ϕ( zα) = (1 - α)/2 = 0,95/2 = 0,475
Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 1%, phöông phaùp môùi coù taùc duïng laøm thay
ta ñöôïc zα = 1,96.
ñoåi chieàu cao trung bình cuûa caùc caây loaïi A, theo höôùng laøm taêng chieàu
Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì|z| = 1,0206 < 1,96 = zα neân ta chaáp nhaän giaû
cao trung bình cuûa caùc caây loaïi naøy.
thieát H0: p = 0,4.
Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 5%, phöông phaùp môùi khoâng coù taùc duïng
Baøi 4.14. Cho caùc soá lieäu nhö Baøi 4.13.
laøm thay ñoåi tæ leä caùc caây cao.
a) Giaû söû trung bình tieâu chuaån cuûa chieàu cao X laø 125cm. Coù theå khaúng
ñònh raèng vieäc canh taùc laøm taêng chieàu cao trung bình cuûa gioáng caây
c) Nhöõng caây troàng coù chieàu cao töø 105cm ñeán 125cm ñöôïc goïi laø nhöõng
troàng treân vôùi möùc yù nghóa 1% hay khoâng?
caây loaïi A. Baèng phöông phaùp môùi, sau moät thôøi gian ngöôøi ta thaáy
b) Giaû söû trung bình tieâu chuaån cuûa chieàu cao X laø 134cm. Coù theå khaúng
chieàu cao trung bình cuûa nhöõng caây loaïi A laø 119,5cm. Haõy cho keát
ñònh raèng vieäc canh taùc laøm giaûm chieàu cao trung bình cuûa gioáng caây
luaän veà phöông phaùp môùi vôùi möùc yù nghóa 1% (GS X coù phaân phoái
troàng treân vôùi möùc yù nghóa 2% hay khoâng?
chuaån).
c) Sau khi aùp duïng phöông phaùp canh taùc môùi, ngöôøi ta thaáy chieàu cao
Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh giaû thieát veà kyø voïng μA = M(XA) cuûa chieàu
trung bình cuûa caùc caây loaïi A laø 114cm. Haõy keát luaän xem phöông phaùp
cao X = XA cuûa caùc caây loaïi A vôùi möùc yù nghóa α = 1% = 0,01:
môùi coù laøm giaûm chieàu cao trung bình cuûa caùc caây loaïi A hay khoâng
H0: μA = 119,5 vôùi giaû thieát ñoái H1: μA ≠ 119,5.
vôùi möùc yù nghóa 3% (Giaû söû X coù phaân phoái chuaån).
Ta laäp baûng soá lieäu cuûa XA:
d) Tröôùc ñaây, chieàu cao trung bình cuûa caùc caây loaïi A laø 120cm. Caùc soá
XAi 110 120
lieäu treân thu thaäp ñöôïc sau khi ñaõ aùp duïng moät kyõ thuaät môùi. Haõy keát
NAi 10 15
luaän xem kyõ thuaät môùi coù laøm giaûm chieàu cao trung bình cuûa caùc caây
Töø baûng treân ta tính ñöôïc:
loaïi A hay khoâng vôùi möùc yù nghóa 2% (Giaû söû X coù phaân phoái chuaån).
n A = 25; ∑X Ai n Ai =2900; ∑X Ai
2
n Ai =337000. e) Sau khi aùp duïng moät phöông phaùp saûn xuaát, ngöôøi ta thaáy tæ leä caây loaïi
- Kyø voïng maãu cuûa XA laø A laø 35%. Haõy keát luaän xem phöông phaùp môùi coù laøm taêng tæ leä caây
1 loaïi A leân hay khoâng vôùi möùc yù nghóa 2% .
XA =
n
∑ X Ain Ai = 116(cm). f) Moät taøi lieäu thoáng keâ cuõ cho raèng tæ leä caây loaïi A laø 20%. Haõy xeùt xem
- Phöông sai maãu cuûa XA laø: vieäc canh taùc coù laøm taêng tæ leä caây loaïi A hay khoâng vôùi möùc yù nghóa
2 1 5%?
SA =
n
∑ X Ai2n Ai − X A 2 =(4, 8990)2 (cm2 ). Lôøi giaûi
- Phöông sai maãu hieäu chænh cuûa XA laø: Ta coù:
nA 2
SA 2
= S A = 52 (cm 2 ). • Côõ maãu laø n = 100.
nA − 1
• Kyø voïng maãu cuûa X laø

17 18




Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
1 Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 2%, khoâng theå keát luaän raèng vieäc canh taùc
X=
n
∑ X ini = 131(cm).
laøm giaûm chieàu cao trung bình cuûa gioáng caây troàng treân.
• Phöông sai maãu cuûa X laø
2 1
S = ∑ X i 2n i − X 2 =(18,1384)2 (cm2 ). c) Sau khi aùp duïng phöông phaùp canh taùc môùi, ngöôøi ta thaáy chieàu cao
n trung bình cuûa caùc caây loaïi A laø 114cm. Haõy keát luaän xem phöông
• Phöông sai maãu hieäu chænh cuûa X laø
phaùp môùi coù laøm giaûm chieàu cao trung bình cuûa caùc caây loaïi A hay
n 2
S2 = S = (18, 2297)2 (cm 2 ). khoâng vôùi möùc yù nghóa 3% (Giaû söû X coù phaân phoái chuaån).
n −1
a) Giaû söû trung bình tieâu chuaån cuûa chieàu cao X laø 125cm. Coù theå khaúng Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh giaû thieát veà kyø voïng μA = M(XA) cuûa chæ
ñònh raèng vieäc canh taùc laøm taêng chieàu cao trung bình cuûa gioáng caây tieâu X = XA cuûa caùc caây loaïi A vôùi möùc yù nghóa α = 3% = 0,03:
troàng treân vôùi möùc yù nghóa 1% hay khoâng? H0: μA = 114 vôùi giaû thieát ñoái H1: μA > 114.
Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh giaû thieát veà kyø voïng μ = M(X) vôùi möùc yù Ta laäp baûng soá lieäu cuûa XA:
nghóa α = 1% = 0,01:
H0: μ = 125 vôùi giaû thieát ñoái H1: μ > 125. XAi 110 120
Vì n ≥ 30; σ2 = D(X) chöa bieát, neân ta kieåm ñònh nhö sau: NAi 10 15
Böôùc 1: Ta coù Töø baûng treân ta tính ñöôïc:
(X − μ 0 ) n (131 − 125) 100 n A = 25; ∑X Ai n Ai =2900; ∑X Ai
2
n Ai = 337000.
z= = = 3, 2913. - Kyø voïng maãu cuûa XA laø
S 18, 2297
1
Böôùc 2: Tra baûng giaù trò haøm Laplace ñeå tìm z2α thoaû ϕ(z2α) = (1- 2α)/2 XA =
n
∑ X Ain Ai = 116(cm).
= 0,98/2 = 0,49 ta ñöôïc z2α = 2,33.
Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì z = 3,2913 > 2,33 = z2α neân ta baùc boû giaû thieát - Phöông sai maãu cuûa XA laø:
2 1
H0: μ=125, nghóa laø chaáp nhaän H1: μ > 125. SA =
n
∑ X Ai2n Ai − X A 2 =(4, 8990)2 (cm2 ).
Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 1%, coù theå keát luaän raèng vieäc canh taùc laøm
taêng chieàu cao trung bình cuûa gioáng caây troàng treân. - Phöông sai maãu hieäu chænh cuûa XA laø:
nA 2
SA 2 = S A = 52 (cm 2 ).
b) Giaû söû trung bình tieâu chuaån cuûa chieàu cao X laø 134cm. Coù theå khaúng nA − 1
ñònh raèng vieäc canh taùc laøm giaûm chieàu cao trung bình cuûa gioáng caây Vì nA < 30, XA coù phaân phoái chuaån, σ2A= D(XA) chöa bieát, neân ta kieåm
troàng treân vôùi möùc yù nghóa 2% hay khoâng? ñònh nhö sau:
Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh giaû thieát veà kyø voïng μ = M(X) vôùi möùc yù Böôùc 1: Ta coù
nghóa α = 2% = 0,02: (X A − μ 0 ) n A (116 − 114) 25
z= = = 2.
H0: μ = 134 vôùi giaû thieát ñoái H1: μ < 134. SA 5
Vì n ≥ 30; σ2 = D(X) chöa bieát, neân ta kieåm ñònh nhö sau: Böôùc 2: Ñaët k = nA - 1 = 24. Tra baûng phaân phoái Student öùng vôùi k =
Böôùc 1: Ta coù 24 vaø 2α = 0,06 ta ñöôïc t 2α = 1,974.
(X − μ 0 ) n (131 − 134) 100
z= = = −1, 6457. Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì z = 2 > 1,974 = t 2α neân ta baùc boû giaû thieát
S 18, 2297
H0: μA = 114, nghóa laø chaáp nhaän H1: μA > 114.
Böôùc 2: Tra baûng giaù trò haøm Laplace ñeå tìm z2α thoaû ϕ(z2α) = (1- 2α)/2
Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 3%, phöông phaùp môùi laøm giaûm chieàu cao
= 0,96/2 = 0,48 ta ñöôïc z2α = 2,06.
trung bình cuûa caùc caây loaïi A.
Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì –z = 1,6457 < 2,06 = z2α neân ta chaáp nhaän
giaû thieát H0: μ = 134.
d) Tröôùc ñaây, chieàu cao trung bình cuûa caùc caây loaïi A laø 120cm. Caùc soá
lieäu treân thu thaäp ñöôïc sau khi ñaõ aùp duïng moät kyõ thuaät môùi. Haõy keát

19 20




Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
luaän xem kyõ thuaät môùi coù laøm giaûm chieàu cao trung bình cuûa caùc caây H0: p = 20% = 0,20 vôùi giaû thieát ñoái H1: p > 0,20.
loaïi A hay khoâng vôùi möùc yù nghóa 2% (Giaû söû X coù phaân phoái chuaån). Ta kieåm ñònh nhö sau:
Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh giaû thieát veà kyø voïng μA = M(XA) cuûa chæ Böôùc 1: Ta coù
tieâu X = XA cuûa caùc caây loaïi A vôùi möùc yù nghóa α = 2% = 0,02: (F − p 0 ) n (0, 25 − 0, 20) 100
z= n = = 1, 25.
H0: μA = 120 vôùi giaû thieát ñoái H1: μA < 120. p 0q 0 0, 20(1 − 0, 20)
Vì nA < 30, XA coù phaân phoái chuaån, σ2A= D(XA) chöa bieát, neân ta kieåm Böôùc 2: Tra baûng giaù trò haøm Laplace ñeå tìm z2α thoaû
ñònh nhö sau: ϕ(z2α) = (1 - 2α)/2 = 0,90/2 = 0,45
(X A − μ 0 ) n A (116 − 120) 25 ta ñöôïc z2α = 1,65.
Böôùc 1: Ta coù z= = = −4.
SA 5 Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì z = 1,25 < 1,65 = z2α neân ta chaáp nhaän giaû
Böôùc 2: Ñaët k = nA - 1 = 24. Tra baûng phaân phoái Student öùng vôùi k = thieát H0: p = 0,20.
24 vaø 2α = 0,04 ta ñöôïc t 2α = 2,1715. Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 5%, vieäc canh taùc khoâng laøm taêng tæ leä caùc
Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì - z = 4 > 2,1715 = t 2α neân ta baùc boû giaû thieát caây loaïi A.
H0: μA = 120, nghóa laø chaáp nhaän H1: μA < 120.
Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 2%, kyõ thuaät môùi laøm giaûm chieàu cao Baøi 4.15. Ñeå khaûo saùt ñöôøng kính cuûa moät chi tieát maùy ngöôøi ta kieåm tra
trung bình cuûa caùc caây loaïi A. moät soá saûn phaåm cuûa hai nhaø maùy. Trong keát quaû sau ñaây, X laø ñöôøng
kính cuûa chi tieát maùy do nhaø maùy 1 saûn xuaát coøn Y laø ñöôøng kính cuûa chi
e) Sau khi aùp duïng moät phöông phaùp saûn xuaát, ngöôøi ta thaáy tæ leä caây tieát maùy do nhaø maùy 2 saûn xuaát. Nhöõng saûn phaåm coù chi tieát maùy nhoû
loaïi A laø 35%. Haõy keát luaän xem phöông phaùp môùi coù laøm taêng tæ leä hôn 19cm ñöôïc xeáp vaøo loaïi C.
caây loaïi A leân hay khoâng vôùi möùc yù nghóa 2% .
Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh giaû thieát veà tæ leä p caùc saûn phaåm loaïi A X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39
vôùi möùc yù nghóa α = 2% = 0,02: Soá saûn phaåm 9 19 20 26 16 13 18
H0: p = 35% = 0,35 vôùi giaû thieát ñoái H1: p < 0,35.
Y(cm) 13-16 16-19 19-22 22-25 25-28 28-31 31-34
Ta coù tæ leä maãu caùc caây loaïi A laø Fn = 25/100 = 0,25. Ta kieåm ñònh
Soá saûn phaåm 7 9 25 26 18 15 11
nhö sau:
Böôùc 1: Ta coù
a) Coù theå keát luaän raèng ñöôøng kính trung bình cuûa moät chi tieát maùy do
(F − p0 ) n (0, 25 − 0, 35) 100
z= n = = −2, 0966. hai nhaø maùy saûn xuaát baèng nhau hay khoâng vôùi möùc yù nghóa 1%?
p 0q 0 0, 35(1 − 0, 35)
b) Coù theå cho raèng ñöôøng kính trung bình cuûa moät chi tieát maùy do nhaø
Böôùc 2: Tra baûng giaù trò haøm Laplace ñeå tìm z2α thoaû maùy thöù 1 saûn xuaát lôùn hôn ñöôøng kính trung bình cuûa moät chi tieát
ϕ(z2α) = (1 - 2α)/2 = 0,96/2 = 0,48 maùy do nhaø maùy thöù 2 saûn xuaát hay khoâng vôùi möùc yù nghóa 5%?
ta ñöôïc z2α = 2,06. c) Xeùt xem ñöôøng kính trung bình cuûa moät chi tieát maùy do nhaø maùy
Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì -z= 2,0966 > 2,06 = z2α neân ta baùc boû giaû thieát thöù 2 saûn xuaát coù nhoû hôn ñöôøng kính trung bình cuûa moät chi tieát
H0: p = 0,35, nghóa laø chaáp nhaän H1: p < 0,35. maùy do nhaø maùy thöù 1 saûn xuaát hay khoâng vôùi möùc yù nghóa 2%?
Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 2%, phöông phaùp môùi laøm taêng tæ leä caây d) Vôùi möùc yù nghóa 4%, tæ leä saûn phaåm loaïi C do hai nhaø maùy saûn xuaát
loaïi A. coù nhö nhau khoâng?
e) Vôùi möùc yù nghóa 3%, coù theå cho raèng tæ leä saûn phaåm loaïi C do nhaø
f) Moät taøi lieäu thoáng keâ cuõ cho raèng tæ leä caây loaïi A laø 20%. Haõy xeùt xem maùy thöù 1 saûn xuaát lôùn hôn tæ leä saûn phaåm loaïi C do nhaø maùy thöù 2
vieäc canh taùc coù laøm taêng tæ leä caây loaïi A hay khoâng vôùi möùc yù nghóa saûn xuaát hay khoâng?
5%?
Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh giaû thieát veà tæ leä p caùc saûn phaåm loaïi A vôùi
möùc yù nghóa α = 5% = 0,05:

21 22




Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
f) Haõy nhaän xeùt veà yù kieán cho raèng tæ leä saûn phaåm loaïi C do nhaø maùy mY 7 + 9
FYn = = = 0,1441.
thöù 2 saûn xuaát nhoû hôn tæ leä saûn phaåm loaïi C do nhaø maùy thöù 1 nY 111
saûn xuaát vôùi möùc yù nghóa 5%? a) Coù theå keát luaän raèng ñöôøng kính trung bình cuûa moät chi tieát maùy do
hai nhaø maùy saûn xuaát baèng nhau hay khoâng vôùi möùc yù nghóa 1%?
Lôøi giaûi Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh so saùnh hai kyø voïng vôùi möùc yù nghóa
α = 1% = 0,01:
1) Ñoái vôùi X ta coù baûng soá lieäu: H0: μX = μY vôùi giaû thieát ñoái H1: μX ≠ μY.
Vì nX > 30; nY > 30 neân ta kieåm ñònh nhö sau:
Xi 13 17 21 25 29 33 37 Böôùc 1: Ta coù:
ni 9 19 20 26 16 13 18 X−Y 25, 3636 − 23, 9595
z= = = 1,7188.
Ta coù: S2
X S2 (7, 3575)2 (4, 9411)2
+ Y +
n X = 121; ∑X n
i Xi =3069; ∑X i
2
n Xi =84337. nX nY 121 111
• Kyø voïng maãu cuûa X laø Böôùc 2: Tra baûng giaù trò haøm Laplace ñeå tìm zα thoaû
1 ϕ(zα) = (1 - α)/2 = 0,99/2 = 0,495
X=
nX
∑ X in Xi = 25, 3636(cm).
ta ñöôïc zα = 2,58.
• Phöông sai maãu cuûa X laø Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì |z| = 1,7188 < 2,58 = zα neân ta chaáp nhaänû
2 1 giaû thieát H0: μX = μY.
SX =
nX
∑X i
2
n Xi − X 2 =(7, 3271)2 (cm 2 ).
Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 1%, coù theå xem ñöôøng kính trung bình cuûa
• Phöông sai maãu hieäu chænh cuûa X laø moät chi tieát maùy do hai nhaø maùy saûn xuaát laø baèng nhau.
nX 2
S2 =
X S X = (7, 3575)2 (cm 2 ).
nX − 1
b) Coù theå cho raèng ñöôøng kính trung bình cuûa moät chi tieát maùy do nhaø
• Tæ leä saûn phaåm loaïi C laø maùy thöù 1 saûn xuaát lôùn hôn ñöôøng kính trung bình cuûa moät chi tieát
m X 9 + 19
FXn = = = 0, 2314. maùy do nhaø maùy thöù 2 saûn xuaát hay khoâng vôùi möùc yù nghóa 5%?
nX 121
Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh so saùnh hai kyø voïng vôùi möùc yù nghóa
α = 5% = 0,05:
2) Ñoái vôùi Y ta coù baûng soá lieäu: H0: μX = μY vôùi giaû thieát ñoái H1: μX > μY.
Vì nX > 30; nY > 30 neân ta kieåm ñònh nhö sau:
Yi 14,5 17,5 20,5 23,5 26,5 29,5 32,5
Böôùc 1: Töông töï caâu a), ta coù:
ni 7 9 25 26 18 15 11
X−Y
Ta coù: z= = 1,7188.
S2 S2
n Y = 111; ∑ Yin Yi =2659, 5; ∑ Yi n Yi =66405,75.
2 X
+ Y
nX nY
• Kyø voïng maãu cuûa Y laø
Böôùc 2: Tra baûng giaù trò haøm Laplace ñeå tìm z2α thoaû
1
Y=
nY
∑ Yin Yi = 23, 9595(cm). ϕ(z2α) = (1 - 2α)/2 = 0,90/2 = 0,45
ta ñöôïc z2α = 1,65.
• Phöông sai maãu cuûa Y laø
2 1 2
Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì z = 1,7188 > 1,65 = z2α neân ta baùc boûû giaû thieát
SY =
nY
∑Y i
2
n Yi − Y =(4, 9188)2 (cm 2 ). H0: μX = μY, nghóa laø chaáp nhaän H1: μX > μY.
• Phöông sai maãu hieäu chænh cuûa Y laø Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 5%, coù theå xem ñöôøng kính trung bình cuûa
nY 2 moät chi tieát maùy do nhaø maùy thöù 1 saûn xuaát lôùn hôn ñöôøng kính trung
S2 = S Y = (4, 9411) 2 (cm 2 ).
Y
nY − 1 bình cuûa moät chi tieát maùy do nhaø maùy thöù 2 saûn xuaát.
• Tæ leä saûn phaåm loaïi C laø

23 24




Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
c) Xeùt xem ñöôøng kính trung bình cuûa moät chi tieát maùy do nhaø maùy thöù e) Vôùi möùc yù nghóa 3%, coù theå cho raèng tæ leä saûn phaåm loaïi C do nhaø
2 saûn xuaát coù nhoû hôn ñöôøng kính trung bình cuûa moät chi tieát maùy do maùy thöù 1 saûn xuaát lôùn hôn tæ leä saûn phaåm loaïi C do nhaø maùy thöù 2
nhaø maùy thöù 1 saûn xuaát hay khoâng vôùi möùc yù nghóa 2%? saûn xuaát hay khoâng?
Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh so saùnh hai kyø voïng vôùi möùc yù nghóa Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh giaû thieát so saùnh hai tæ leä vôùi möùc yù nghóa
α = 2% = 0,02: α = 3% = 0,03:
H0: μX = μY vôùi giaû thieát ñoái H1: μX > μY. H0: p1 = p2 vôùi giaû thieát ñoái H1: p1 > p2
Vì nX > 30; nY > 30 neân ta kieåm ñònh nhö sau: Ta kieåm ñònh nhö sau:
Böôùc 1: Töông töï caâu a), ta coù: Böôùc 1: Töông töï caâu d), ta coù:
X−Y Fn1 − Fn2
z= = 1,7188. z= = 1, 6942.
S2 S2 ⎛ 1 1 ⎞
X
+ Y p0 (1 − p0 ) ⎜ + ⎟
nX nY ⎝ n1 n2 ⎠
Böôùc 2: Tra baûng giaù trò haøm Laplace ñeå tìm z2α thoaû Böôùc 2: Tra baûng giaù trò haøm Laplace ñeå tìm z2α thoaû
ϕ(z2α) = (1 - 2α)/2 = 0,96/2 = 0,48 ϕ(z2α) = (1 - 2α)/2 = 0,94/2 = 0,47
ta ñöôïc z2α = 2,06. ta ñöôïc z2α = 1,88.
Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì z = 1,7188 < 2,06 = z2α neân ta chaáp nhaän giaû Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì z = 1,6942 < 1,88 = z2α neân ta chaáp nhaän giaû
thieát H0: μX = μY. thieát H0: p1 = p2.
Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 2%, chöa theå xem ñöôøng kính trung bình Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 3%, chöa theå cho raèng tæ leä saûn phaåm loaïi
cuûa moät chi tieát maùy do nhaø maùy thöù 2 saûn xuaát nhoû hôn ñöôøng kính C do nhaø maùy thöù 1 saûn xuaát lôùn hôn tæ leä saûn phaåm loaïi C do nhaø maùy
trung bình cuûa moät chi tieát maùy do nhaø maùy thöù 1 saûn xuaát. thöù 2 saûn xuaát.

d) Vôùi möùc yù nghóa 4%, tæ leä saûn phaåm loaïi C do hai nhaø maùy saûn xuaát coù f) Haõy nhaän xeùt veà yù kieán cho raèng tæ leä saûn phaåm loaïi C do nhaø maùy
nhö nhau khoâng? thöù 2 saûn xuaát nhoû hôn tæ leä saûn phaåm loaïi C do nhaø maùy thöù 1 saûn
Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh giaû thieát so saùnh hai tæ leä vôùi möùc yù nghóa xuaát vôùi möùc yù nghóa 5%?
α = 4% = 0,04: Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh giaû thieát so saùnh hai tæ leä vôùi möùc yù nghóa
H0: p1 = p2 vôùi giaû thieát ñoái H1: p1 ≠ p2 α = 5% = 0,05:
Ta kieåm ñònh nhö sau: H0: p1 = p2 vôùi giaû thieát ñoái H1: p1 > p2
Böôùc 1: Ta coù: Ta kieåm ñònh nhö sau:
n F + n 2Fn2 28 + 16 Böôùc 1: Töông töï caâu d), ta coù:
p0 = 1 n1 = = 0,1897. Fn1 − Fn2
n1 + n2 121 + 111 z= = 1, 6942.
Fn1 − Fn2 0, 2314 − 0,1441 ⎛ 1 1 ⎞
z= = = 1, 6942. p0 (1 − p0 ) ⎜ + ⎟
⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎝ n1 n2 ⎠
p 0 (1 − p 0 ) ⎜ + ⎟ 0,1897(1 − 0,1897) ⎜ + ⎟
⎝ n1 n2 ⎠ ⎝ 121 111 ⎠ Böôùc 2: Tra baûng giaù trò haøm Laplace ñeå tìm z2α thoaû
ϕ(z2α) = (1 - 2α)/2 = 0,90/2 = 0,45
Böôùc 2: Tra baûng giaù trò haøm Laplace ñeå tìm zα thoaû
ta ñöôïc z2α = 1,65.
ϕ(zα) = (1 - α)/2 = 0,96/2 = 0,48
Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì z = 1,6942 > 1,65 = z2α neân ta baùc boû giaû thieát
ta ñöôïc zα = 2,06.
H0: p1 = p2, nghóa laø chaáp nhaän H1: p1 > p2 .
Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì |z| = 1,6942 < 2,06 = zα neân ta chaáp nhaän giaû
Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 5%, coù theå chaáp nhaän yù kieán cho raèng tæ leä
thieát H0: p1 = p2.
saûn phaåm loaïi C do nhaø maùy thöù 2 saûn xuaát nhoû hôn tæ leä saûn phaåm loaïi
Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 4%, coù theå xem tæ leä saûn phaåm loaïi C do hai
C do nhaø maùy thöù 1 saûn xuaát.
nhaø maùy saûn xuaát laø nhö nhau.
------------------------------------------------------------------



25 26




Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản