intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE

Bài giảng Chương 5: Chuỗi số và chuỗi lũy thừa (Phần 1)

Chia sẻ: Sung Sung | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:52

225
lượt xem
40
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Chương 5: Chuỗi số và chuỗi lũy thừa (Phần 1) giúp các bạn biết được định nghĩa; tính chất của chuỗi số; điều kiện cần của sự hội tụ; chuỗi không âm; tiêu chuẩn tích phân Maclaurin - Cauchy; chuỗi cơ bản; tiêu chuẩn D’Alembert; tiêu chuẩn Cauchy; tiêu chuẩn Rapb; chuỗi đan dấu – tiêu chuẩn Leibnitz; chuỗi có dấu tùy ý;... Mời các bạn tham khảo.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Chương 5: Chuỗi số và chuỗi lũy thừa (Phần 1)

  1. Chương 5: CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI LŨY THỪA Phần 1: CHUỖI SỐ
  2. ĐỊNH NGHĨA Cho dãy số {an}, định nghĩa dãy số mới Sn = a1 + a2 + L + an , n N {Sn} được gọi là chuỗi số, ký hiệu: an n =1 ( Nếu {an} bắt đầu từ a0 thì số hạng đầu của Sn là a0 ) • Sn : tổng riêng thứ n • an : số hạng tổng quát
  3. ĐỊNH NGHĨA {Sn} có giới hạn hữu hạn khi n an hội tụ n =1 Ngược lại ta nói chuỗi phân kỳ. Đặt: an = lim Sn : tổng chuỗi n =1 n
  4. VÍ DỤ Khảo sát sự hội tụ và tính tổng nếu có: 1 1/ n =1 n (n + 1) 1 1 1 Tổng riêng: Sn = + +L + 1.2 2.3 n (n + 1) 1 1 1 1 1 = 1− + − +L+ − 2 2 3 n (n + 1) 1 n = 1− 1 (n + 1) 1 Vậy chuỗi hội tụ và =1 n =1 n (n + 1)
  5. 1 1 1 1 2/ Sn = 1 + + +L + n =1 n 2 3 n n = n n Vậy chuỗi phân kỳ. n +1 1 1 1 (−1) n +1 1 3/ Sn = − 2 + 3 − L + (−1) n n =1 2 n 2 2 2n 2 � 1� 1− � − � 1 � 2� 1 = 2 1− � 1� 3 � − � � 2� Vậy chuỗi hội tụ và có tổng là 1/3.
  6. TÍNH CHẤT 1/ an và an có cùng bản chất (ht/pk) n =1 n=p 2/ α an , 0, và an có cùng bản chất n =1 n =1
  7. TÍNH CHẤT 3 / �an = A, �bn = B n =1 n =1 � (α an + β bn ) = α A + β B n =1 • Tổng 2 chuỗi hội tụ là hội tụ • Tổng 1 chuỗi hội tụ và 1 chuỗi phân kỳ là phân kỳ
  8. Điều kiện cần của sự hội tụ Nếu chuỗi an hội tụ thì lim an = 0 n n =1 Áp dụng: Nếu lim an 0 ( hoặc không tồn tại ) thì n an không hội tụ. n =1
  9. Ví dụ n 1/ n phân kỳ vì n =1 ( −1) n −n n lim an = lim n = −1 0 n n (−1) n −n n + 2� n�3n 2 / (−1) � � n =1 �2n − 1 � n �3n + 2 � n an = � � + �2n − 1 � an / 0 chuỗi phân kỳ
  10. Ví dụ 3/ Ks sự hội tụ và tính tổng nếu có: xn n =1 n n  khi x = 1: lim x = lim 1 = 1 chuỗi pk n n  khi x = – 1: lim x = lim ( −1) n n n n không tồn tại chuỗi pk
  11. n  khi |x| > 1: lim x = hoặc không tồn tại n chuỗi pk  khi |x| < 1: lim x n = 0 n n n k 1 2 n 1− x Sn = x = x + x +L+ x =x k =1 1− x x 1− x x Chuỗi ht và có tổng là 1− x
  12. CHUỖI KHÔNG ÂM. Cho an 0, khi đó dãy tổng riêng phần {Sn} là dãy tăng. Vậy {Sn} hội tụ {Sn} bị chận trên. Hay: an hội tụ khi và chỉ khi {Sn} bị chận trên. n =1
  13. Tiêu chuẩn tích phân Maclaurin - Cauchy Cho f(x) không âm, liên tục, giảm trên [1,+ ), khi đó f ( x )dx và f (n ) có cùng bản chất 1 n =1
  14. Chứng minh n 2 3 n �1 � 1 � f ( x )dx = f ( x )dx + f ( x )dx + L + 2 � n −1 f ( x )dx n f ( x )dx f (1) + f (2) + L + f (n − 1) = Sn − f (n ) 1 n f ( x )dx f (2) + L + f (n ) = Sn − f (1) 1
  15. Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau: 1 1 1/ 2 f (x) = , x �[2, +�) 2 n = 2 n ln n x ln x f(x) dương, ltục và giảm nên 1 � 2 = �f (n ) cùng bản chất với n = 2 n ln n n = 2 dx + dt � I = f ( x )dx = 2 � 2 x ln x 2 = ln 2 t 2 h tụ
  16. 1 2/ α n =1 n • 0 : chuỗi phân kỳ theo điều kiện cần 1 • > 0 : xét hàm số f (x) = α x f(x) > 0, liên tục, giảm trên [1, + ) 1 dx α cùng bản chất với � f ( x )dx = �α n =1 n 1 1x chuỗi hội tụ khi và chỉ khi > 1.
  17. 1 3/ n n =1 2 1 f (x) = ,     x �[1, +�) dương, ltục và giảm nên x 2 1 dx n =1 2 n � cùng bản chất với I = f ( x )dx = 1 � 2 1 x
  18. dx 2tdt I= � � 1 2 x = 1 2 t 1 Chọn: g (t ) = 2 , khi đó g (t )dt hội tụ. t 1 Đồng thời: 3 �2t 1 � 2t lim �t : 2 �= lim t = 0 t + � 2 t �t + 2 Theo tiêu chuẩn so sánh của tp suy rộng thì I hội tụ, do đó chuỗi đã cho hội tụ.
  19. Tiêu chuẩn so sánh Dạng 1: an, bn 0, an Kbn, n N0 bn hội tụ an hội tụ n =1 n =1 an phân kỳ bn phân kỳ n =1 n =1
  20. an Dạng 2: an, bn > 0, K = lim n bn •0
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2