Bài giảng cơ học lý thuyết 1

Chia sẻ: giauphan89

Theo những quan điểm hiện nay, CHLT là khoa học nghiên cứu về sự cân bằng và chuyển động của các vật và sự tương tác giữa chúng

Bạn đang xem 20 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Bài giảng cơ học lý thuyết 1

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn



C¬ häc lý thuyÕt
Ch­¬ng I: C¬ häc chÊt ®iÓm


Bµi 1: Nh÷ng kh¸i niÖm më ®Çu:

A. Më §Çu:
1. C¬ häc lÝ thuyÕt:
Theo quan ®iÓm hiÖn nay, CHLT lµ khoa häc nghiªn cøu vÒ sù c©n b»ng vµ
chuyÓn ®éng cña c¸c vËt vµ sù t­¬ng t¸c gi÷a chóng. ChuyÓn ®éng vµ sù t­¬ng
t¸c c¬ häc lµ mét trong nh÷ng hiÖn t­îng phæ biÕn nhÊt cña tù nhiªn, lµ ®èi
t­îng nghiªn cøu cña nhiÒu KH kh¸c nhau cã cïng mét tªn chung lµ c¬ häc nh­
c¬ häc m¸y – nghiªn cøu chuyÓn ®éng vµ t­¬ng t¸c chi tiÕt trong c¬ cÊu m¸y, c¬
häc thiªn thÓ – nghiªn cøu chuyÓn ®éng vµ sù t­¬ng t¸c gi÷a c¸c hµnh tinh, c¬
häc chÊt láng – nghiªn cøu vÒ chuyÓn ®éng cña c¸c chÊt láng vµ sù t­¬ng t¸c
víi c¸c vËt ë trong chÊt láng v.v.. C¬ häc lÝ thuyÕt kh¸c c¸c bé m«n c¬ häc cô
thÓ võa kÓ trªn ë chç chuyªn nghiªn cøu nh÷ng quy luËt vÒ chuyÓn ®éng vµ
t­¬ng t¸c tæng qu¸t, chung cho mäi vËt thÓ b»ng m« h×nh c¸c vËt ®· ®­îc trõu
t­îng ho¸ ®Õn møc lÝ t­ëng, nh­ng vÉn lµ h×nh ¶nh cña c¸c vËt thËt kh¶o s¸t
trong nh÷ng khoa häc c¬ häc cô thÓ kh¸c nhau. Do ®ã ¸p dông c¸c ®Þnh lÝ c¬
häc lÝ thuyÕt, ta cã thÓ tÝnh to¸n mét c¸ch kh¸ chÝnh x¸c tham sè chuyÓn ®éng
vµ sù t­¬ng t¸c c¬ häc cña c¶ c¸c vËt thÓ r¾n, vËt thÓ láng. Cho nªn CHLT lµ néi
dung c¬ b¶n cña nhiÒu lÜnh vùc khoa häc vÒ chuyÓn ®éng, lµ c¬ së cña nhiÒu
ngµnh kü thuËt c«ng nghiÖp, n«ng nghiÖp, x©y dùng, giao th«ng vËn t¶i v.v..
Dùa theo c¸c quy luËt chuyÓn ®éng c¬ häc ng­êi ta cã thÓ gi¶i thÝch ®­îc nhiÒu
hiÖn t­îng x¶y ra trong vËt lÝ, ho¸ häc, sinh häc... §iÒu ®ã gi¶i thÝch v× sao c¬
häc lÝ thuyÕt ®­îc gi¶ng d¹y hÇu hÕt c¸c tr­êng ®¹i häc
2. §èi t­îng nghiªn cøu cña c¬ häc lý thuyÕt

1
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

- CHLT kh«ng nghiªn cøu C§ vµ t­¬ng t¸c gi÷a c¸c vËt thÓ nãi chung, mµ chØ
kh¶o s¸t chuyÓn ®éng, sù t­¬ng t¸c gi÷a nh÷ng vËt thÓ lµ nh÷ng khèi vËt chÊt cã
thÓ ®Þnh l­îng ®­îc b»ng c¸i gäi lµ khèi l­îng tØ lÖ víi mÆt ®é vµ thÓ tÝch cña
khèi vËt chÊt ®ã.
Nh÷ng vËt cã thÓ tÝch v« cïng nhá cã thÓ xem nh­ nh÷ng ®iÓm h×nh häc cã
khèi l­îng vµ chuyÓn ®éng ®­îc gäi lµ chÊt ®iÓm hay vËt ®iÓm. ChÊt ®iÓm trong
CHLT lµ h×nh ¶nh cña vËt thÓ cã chuyÓn ®éng ®¬n gi¶n nhÊt theo nghÜa lµ tÊt c¶
c¸c ph©n bè cña vËt thÓ ®Òu chuyÓn ®éng nh­ nhau. Nh÷ng vËt thÓ lín bao giê
còng cã thÓ ph©n bè thµnh v« sè c¸c chÊt ®iÓm cã quan hÖ lÉn nhau, nªn cã thÓ
xem nh­ hÖ c¸c chÊt ®iÓm. HÖ c¸c chÊt ®iÓm cã kho¶ng c¸ch víi nhau kh«ng
®æi trong qu¸ tr×nh chuyÓn ®éng gäi lµ vËt r¾n hay cè thÓ. §Êy lµ ba ®èi t­îng
nghiªn cøu chÝnh cña c¬ häc lÝ thuyÕt, trong ®ã chÊt ®iÓm lµ m« h×nh vËt thÓ c¬
b¶n nhÊt, nh­ng vËt r¾n vµ hÖ chÊt ®iÓm l¹i lµ m« h×nh cña nhiÒu vËt thÓ thùc
cã nhiÒu ý nghÜa thùc tÕ nhÊt
3. Ba bé phËn cña c¬ häc lý thuyÕt
4. Qu¸ tr×nh ph¸t triÓn cña c¬ häc lý thuyÕt
B. Cac kh¸i niÖm më §Çu
1.ChÊt ®iÓm
- ChuyÓn ®éng c¬ häc: ChuyÓn ®éng c¬ häc cña vËt thÓ lµ sù dÞch chuyÓn
cña vËt thÓ nµy ®èi víi vËt thÓ kh¸c trong kh«ng gian vµ theo thêi gian.
- ChÊt ®iÓm: VËt thÓ cã kÝch th­íc bá qua so víi kÝch th­íc ®Æc tr­ng cho
chuyÓn ®éng cña nã gäi lµ chÊt ®iÓm hay lµ h¹t.
Mét vËt thÓ ®­îc coi lµ chÊt ®iÓm kh«ng ph¶i do kÝch th­íc tuyÖt ®èi cña
nã x¸c ®Þnh, mµ do tØ sè gi÷a kÝch th­íc cña nã vµ ®é dµi ®Æc tr­ng cho chuyÓn
®éng cña nã x¸c ®Þnh.
- ChÊt ®iÓm c« lËp: ChÊt ®iÓm mçi vËt thÓ ®­îc coi nh­ chÊt ®iÓm th× tËp hîp
®ã gäi lµ hÖ chÊt ®iÓm hay hÖ c¬ ë xa c¸c vËt thÓ kh¸c sao cho t­¬ng t¸c gi÷a


2
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


nã víi vËt thÓ bªn ngoµi cã thÓ bá qua gäi lµ chÊt ®iÓm chuyÓn ®éng tù do hay
cßn gäi lµ chÊt ®iÓm c« lËp.
2. HÖ chÊt ®iÓm vµ vËt r¾n:
- HÖ chÊt ®iÓm: Mét tËp hîp c¸c vËt thÓ mµ mỗi vật thể là một chất điểm
được gọi là hệ chất điểm.
- HÖ kÝn: HÖ chÊt ®iÓm mµ t­¬ng t¸c gi÷a hÖ víi c¸c vËt thÓ bªn ngoµi hÖ cã
thÓ bá qua gäi lµ hÖ c« lËp hay hÖ kÝn.
- Kh¸i niÖm vÒ vËt r¾n: VËt r¾n lµ mét hÖ chÊt ®iÓm mµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai
chÊt ®iÓm bÊt kú cña hÖ kh«ng thay ®æi trong suèt qu¸ tr×nh chuyÓn ®éng cña
hÖ. VËt r¾n c« lËp lµ vËt r¾n chuyÓn ®éng tù do.
3. HÖ quy chiÕu - HÖ quy chiÕu qu¸n tÝnh
3.1: HÖ quy chiÕu:
HÖ to¹ ®é g¾n liÒn víi nh÷ng vËt lµm mèc, mµ ta quy ­íc lµ ®øng yªn, ®Ó
x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña h¹t trong kh«ng gian, vµ chiÕc ®ång hå g¾n víi hÖ nµy ®Ó chØ
thêi gian gäi lµ hÖ quy chiÕu.

HÖ quy chiÕu = HÖ to¹ ®é g¾n víi vËt mèc + mét chiÕc ®ång hå ®o thêi gian


HÖ quy chiÕu ®­îc chän ®Ó nghiªn cøu chuyÓn ®éng cña vËt thÓ lµ hoµn
toµn tuú ý. Chän hÖ quy chiÕu kh¸c nhau, nãi chung chóng ta sÏ nh×n thÊy
chuyÓn ®éng cña cïng mét vËt diÔn ra ®¬n gi¶n hay phøc t¹p kh¸c nhau. Nªn
chän hÖ quy chiÕu nµo ®ã ®Ó chuyÓn ®éng diÔn ra ®¬n gi¶n nhÊt.
3.2: HÖ quy chiÕu qu¸n tÝnh:
HÖ quy chiÕu mµ trong ®ã chÊt ®iÓm c« lËp ®øng yªn hoÆc chuyÓn ®éng
th¼ng ®Òu gäi lµ hÖ quy chiÕu qu¸n tÝnh.
Mäi hÖ quy chiÕu chuyÓn ®éng th¼ng ®Òu ®èi víi mét hÖ quy chiÕu qu¸n tÝnh
còng lµ nh÷ng hÖ quy chiÕu qu¸n tÝnh.
4. Kh«ng gian vµ thêi gian trong c¬ häc cæ ®iÓn:

3
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

C¬ häc cæ ®iÓn nghiªn cøu chuyÓn ®éng cña c¸c vËt trong kh«ng gian vµ
theo thêi gian víi vËn tèc rÊt bÐ so víi vËn tèc ¸nh s¸ng trong ch©n kh«ng.
Kh«ng gian vµ thêi gian lµ nh÷ng kh¸i niÖm c¬ b¶n kh«ng nh÷ng trong c¬ häc
cæ ®iÓn mµ c¶ trong vËt lý nãi chung. Ta h·y xÐt kh«ng gian vµ thêi gian trong
c¬ häc cæ ®iÓn.
4.1: TÝnh chÊt cña thêi gian trong c¬ häc cæ ®iÓn:
Ta xÐt mét qu¸ tr×nh vËt lý bÊt kú x¶y ra trong tù nhiªn.
+ §èi víi hÖ quy chiÕu K kho¶ng thêi gian tr«i qua cña qu¸ tr×nh lµ (t 2 – t 1)
+ §èi víi hÖ quy chiÕu K’ chuyÓn ®éng bÊt kú t­¬ng ®èi ®èi víi hÖ quy chiÕu
K th× kho¶ng thêi gian tr«i qua cña qu¸ tr×nh vËt lý nãi trªn lµ (t’2 – t’1). CHC§
thõa nhËn:: kho¶ng thêi gian tr«i qua cña mét qu¸ tr×nh vËt lý bÊt kú trong mäi
hÖ quy chiÕu chuyÓn ®éng t­¬ng ®èi ®èi víi nhau mét c¸ch tuú ý lµ nh­ nhau.
§ã lµ tiªn ®Ò vÒ tÝnh chÊt tuyÖt ®èi cña thêi gian
NghÜa lµ: t2  t1  t   t1

2


trong c¬ häc cæ ®iÓn.
Khi t1= t’1 = 0 ; t2 = t ; t’2 = t’ th× ta cã t =
z/
t’. Tiªn ®Ò nµy kh¼ng ®Þnh kú chu cña c¸c
z M
  y/
®ång hå kh«ng thay ®æi khi chuyÓn tõ hÖ quy r
 k
r
 / 

chiÕu nµy sang hÖ quy chiªó kh¸c. Tiªn ®Ò
i o j 
k
nµy chØ ®óng khi vËn tèc chuyÓn ®éng cña o 
 y
j x/
i
vËt bÐ so víi vËn tèc ¸nh s¸ng trong ch©n
x
kh«ng.
4.2: TÝnh chÊt cña kh«ng gian trong c¬
z/
z
häc cæ ®iÓn :
M1 M2


- VÞ trÝ cña chÊt ®iÓm M ë thêi ®iÓm t trong r2
r1 
  y/

 k
r2 r 1
hÖ quy chiÕu K ®­îc x¸c ®Þnh bëi vÐc t¬ r kÎ k
/ 

o  i o j 

tõ gèc O ®Õn ®iÓm M. y
j
i

 

r  x.i  y. j  z.k , trong ®ã x, y, z lµ h×nh chiÕu x x/


4
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


cña r trªn c¸c trôc to¹ ®é Ox, Oy, Oz).
- VÞ trÝ cña chÊt ®iÓm M nãi trªn ë thêi ®iÓm t’ = t ®èi víi hÖ quy chiÕu K’
chuyÓn ®éng bÊt kú ®èi víi hÖ quy chiÕu K ®­îc x¸c ®Þnh b»ng b¸n kÝnh vÐc t¬

r  , kÎ tõ gèc O’ ®Õn M.

 

r   x.i   y. j   z .k  .

- XÐt chuyÓn ®éng cña hai chÊt ®iÓm M1 vµ M2.
+ K: VÞ trÝ t­¬ng ®èi cña M1 ®èi víi M2 ë thêi ®iÓm t ®­îc x¸c:

 
 
r12  r2  r1  ( x2  x1 ).i  ( y2  y1 ). j  ( z 2  z1 ).k

+ K/ : VÞ trÝ t­¬ng ®èi cña M1 ®èi víi M2 ë thêi ®iÓm t’ = t:

 
  
r12  r2  r1  ( x  x1 ).i   ( y  y1 ). j   ( z   z1 ).k  .
  
2 2 2


CHC§ thõa nhËn: kho¶ng c¸ch gi÷a hai vÞ trÝ cña hai chÊt ®iÓm bÊt kú ë cïng
 
mét thêi ®iÓm cho lµ nh­ nhau trong tÊt c¶ mäi hÖ quy chiÕu. NghÜa lµ r12  r12
hay:
(x2 + y2 + z2)1/2 = (x’ 2 + y’ 2 + z’ 2 )1/2.
§ã lµ tiªn ®Ò vÒ tÝnh chÊt kh«ng gian trong c¬ häc cæ ®iÓn. Tiªn ®Ò
nµy chØ ®óng khi chuyÓn ®éng cña vËt cã vËn tèc rÊt bÐ so víi vËn tèc ¸nh s¸ng.
Khi M1 rÊt gÇn M2 th× kho¶ng c¸ch
z/
dr gi÷a hai ®iÓm ®­îc x¸c ®Þnh:
z M
1/ 2
dr   dx 2  dy 2  dz 2  
(1.5)  y/
r
 k
r


Kh«ng gian víi ®Æc tÝnh cña o/ j 

r

k
o 




i
o
nã ®­îc x¸c ®Þnh b»ng (1.5) gäi lµ 
 y
j
x/
i
kh«ng gian ¬clÝt (Euclid) ba chiÒu.
x
Kh«ng gian trong c¬ häc cæ ®iÓn lµ
kh«ng gian ba chiÒu.
   
Tõ hÖ thøc r2  r1  r2  r1 ta suy ra mét hÖ thøc ®¬n gi¶n nh­ng rÊt quan träng
®èi víi c¸c b¸n kÝnh vÐct¬ cña cïng mét ®iÓm trong c¸c hÖ quy chiÕu kh¸c
nhau.
5
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


KÝ hiÖu:

+ r0 : lµ b¸n kÝnh vÐc t¬ x¸c ®inh vÞ trÝ cña gèc O/ cña K chuyÓn ®éng ®èi víi
K /.

+ r : lµ b¸n kÝnh vÐc t¬ x¸c ®Þh vÞ trÝ cña M ®èi víi K

+ r  : lµ b¸n kÝnh vÐc t¬ x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®èi víi K/
     
§Æt: r2  r , r1  r0 , r2  r & r1  0 , th× ta cã : r  ro  r 



Bµi 2 : C¸c ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng
c¸c vec t¬ vËn tèc vµ gia tèc


I. Ph­¬ng ph¸p vÐc t¬:
1.1: QuÜ ®¹o- ph­¬ng tr×nh quü ®¹o cña chÊt ®iÓm
1.1.1: Quü ®¹o cña chÊt ®iÓm: XÐt chuyÓn ®éng z
B
cña chÊt ®iÓm M ®èi víi hÖ quy chiÕu K ®­îc quy A 

r
r (t )

­íc lµ ®øng yªn. Gi¶ sö chÊt ®iÓm M chuyÓn ®éng 
r (t )   r
theo mét ®­êng cong AB. §­êng cong do chÊt ®iÓm
o y
chuyÓn ®éng v¹ch ra trong kh«ng gian gäi lµ quü
x
®¹o cña nã.
1.1.2: Ph­¬ng tr×nh quü ®¹o cña chÊt ®iÓm.

VÞ trÝ cña chÊt ®iÓm M ®èi víi HQC K ®­îc x¸c ®Þnh r kÎ tõ gèc to¹ ®é O

®Õn chÊt ®iÓm M. Khi chÊt ®iÓm M chuyÓn ®éng th× b¸n kÝnh vÐc t¬ r thay

®æi c¶ ®é lín vµ ph­¬ng. V× vËy, b¸n kÝnh vÐc t¬ r lµ hµm cña thêi gian t:

(1)
r  r (t )

Ph­¬ng tr×nh (2.1) x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña chÊt ®iÓm M trong kh«ng gian ë thêi
®iÓm t bÊt kú vµ ®­îc gäi lµ ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm cho d­íi
d¹ng vÐc t¬. Ph­¬ng tr×nh nµy còng ®­îc kh¶o s¸t nh­ ph­¬ng tr×nh quü ®¹o cña
chÊt ®iÓm cho d­íi d¹ng th«ng sè t.
6
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


1.2: VÐc t¬ vËn tèc cña chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm.

§Ó ®Æc tr­ng cho thay ®æi b¸n kÝnh vÐct¬ r theo thêi gian ta ®­a vµo kh¸i

niÖm vÐc t¬ vËn tèc. Gi¶ sö ë thêi ®iÓm t chÊt ®iÓm ë vÞ trÝ r (t), ë thêi ®iÓm (t +
 
t) chÊt ®iÓm ë vÞ trÝ ( r + r ). §¹i l­îng
 
 r dr   (2)
v  lim r

t  0  t dt

Gäi lµ vÐct¬ vËn tèc cña chÊt ®iÓm ë thêi ®iÓm t: VËn tèc v cña chÊt ®iÓm lµ

®¹i l­îng ®Æc tr­ng cho sù thay ®æi theo thêi gian cña b¸n kÝnh vÐc t¬ r vµ

b»ng ®¹o hµm bËc nhÊt theo thêi gian cña r(t )
Khi chÊt ®iÓm chuyÓn ®éng, vÐc t¬ vËn tèc cã thÓ thay ®æi cã thÓ thay ®æi c¶
vÒ h­íng vµ ®é lín.
1.3: VÐc t¬ gia tèc cña chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm
§Ó ®Æc tr­ng cho sù thay ®æi cña vÐc t¬ vËn tèc theo thêi gian, ta ®­a vµo

kh¸i niÖm gia tèc. Gi¶ sö ë thêi ®iÓm t vÐc t¬ vËn tèc cña chÊt ®iÓm lµ v (t ) vµ ë


thêi ®iÓm  t  t  vÐc t¬ vËn tèc cña chÊt ®iÓm lµ  v (t )  v  . §¹i l­îng:
  
v dv d 2 r 
 
(3)
w  lim t  0  2 r

t dt dt

Gäi lµ vÐc t¬ gia tèc ë thêi ®iÓm t. VÐc t¬ gia tèc w cña chÊt ®iÓm ®Æc tr­ng
cho sù thay theo thêi gian cña vÐc t¬ vËn tèc vµ b»ng ®¹o hµm bËc nhÊt theo
thêi gian cña vÐc t¬ vËn tèc, hay b»ng ®¹o hµm bËc hai theo thêi gian cña b¸n
kÝnh vÐc t¬.
II. Ph­¬ng ph¸p to¹ ®é tù nhiªn O1

- Trong ph­¬ng ph¸p nµy quü ®¹o chuyÓn ®éng s
M
cña chÊt ®iÓm cho biÕt tr­íc. Ta chän mét ®iÓm O1

 dr

trªn quü ®¹o lµm ®iÓm gèc ®Ó tÝnh to¹ ®é cung s  ds
r  r ( s)
cña chÊt ®iÓm. VÞ trÝ cña chÊt ®iÓm M trªn quü ®¹o
O
®· cho ®­îc x¸c ®Þnh bëi to¹ ®é cung s. Khi chÊt
®iÓm M chuyÓn ®éng th× ta cã:
7
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


(4)
r  r ( s ) ; s  s (t )

+ s = s(t) gäi lµ ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm theo quü ®¹o cña
nã.
 
+ v & w cña chÊt ®iÓm cã thÓ biÓu diÔn d­íi d¹ng:
 
 dr dr ds 

 .   .s
v
(5)
dt ds dt

   
 dv   d ds  d
d
( s)2
  .  s    
 s    
  (6)
w s s s
dt dt ds dt ds

  (t ) 
 dr d
Víi   lµ vÐct¬ ®¬n vÞ, tiÕp tuyÕn víi quü d 
M
M/  (t  dt )
ds
®¹o vµ h­íng theo chiÒu chuyÓn ®éng cña chÊt
   
V×   1  d ( . )  d ( ) 2  2. .d  0 
®iÓm.


d   . VÐc t¬ d h­íng vÒ phÝa lâm cña quü
d

®¹o vµ n»m trong mÆt ph¼ng ®i qua tiÕp tuyÕn 
vµ ®iÓm M' khi ®iÓm M' tiÕn dÇn v« h¹n ®Õn O
®iÓm M ( mÆt ph¼ng mËt tiÕp).
 
- Gäi n lµ vÐc t¬ ®¬n vÞ h­íng theo chiÒu cña vÐct¬ d vµ ®Æt t¹i ®iÓm M th×

d 
d
.n .

ds ds

Theo h×nh vÏ ta thÊy d =1.d & ds = Rd
d 1
.

ds R

VÐct¬ gia tèc toµn phÇn cña chÊt ®iÓm cã thÓ viÕt:
 ( s)2 


w    (7)
s n
R
 
+ w   tiÕp tuyÕn víi quü ®¹o gäi lµ gia tèc tiÕp tuyÕn
s

( s)2 


+ wn  n vu«ng gãc víi tiÕp tuyÕn cña quü ®¹o vµ h­íng vÒ t©m chÝnh
R
khóc cña ®­êng cong gäi lµ gia tèc ph¸p tuyÕn.

8
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

§Ó nghiªn cøu chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm khi quü ®¹o cña nã ®· biÕt, thuËn
tiÖn h¬n c¶ ta dïng hÖ to¹ ®é vu«ng gãc t¹o thµnh bëi c¸c vÐc t¬ ®¬n vÞ

  
 , n & b    n  . HÖ to¹ ®é nµy gäi lµ hÖ to¹ ®é tù nhiªn hay tam diÖn tù nhiªn.
 
H×nh chiÕu cña v & w trªn c¸c trôc to¹ ®é tù nhiªn cã d¹ng ®¬n gi¶n:
 (8)
v  s , vn  0, vb  0
2

 s
w  , wn  (9)
s , vb  0
R

BiÕt c¸c thµnh phÇn v , w ta sÏ x¸c ®Þnh ®­îc ®é lín vµ h­íng cña nã:
2

v  v 2   s (10)
2

s
2
2 2
  (11)
w  w  wn  s 
R2
2

  s

 s
(12)
cos( w, )  , cos(w, n ) 
w R.w

III. Ph­¬ng ph¸p to¹ ®é.

3.1. Ph­¬ng ph¸p to¹ ®é §Ò c¸c Trong hÖ to¹ ®é §Ò c¸c b¸n kÝnh vÐct¬ r (t )
x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña chÊt ®iÓm ®­îc biÓu diÔn d­íi d¹ng:

 

(13)
r (t )  x(t )i  y (t ) j  z (t ) k

Trong ®ã x,y,z lµ c¸c thµnh phÇn cña r (t ) trªn c¸c trôc to¹ ®é. HQC K ®­îc


quy ­íc lµ ®øng yªn nªn c¸c vÐct¬ ®¬n vÞ i , j vµ k kh«ng thay ®æi theo thêi
gian.
Khi chÊt ®iÓm M chuyÓn ®éng th× c¸c to¹ ®é x, y, z ®Òu biÕn ®æi theo thêi
gian t, nghÜa lµ :
 x  x (t )

(14)
 y  y (t )
 x  z (t )
z

M
(14) gäi lµ c¸c PTC§ cña chÊt ®iÓm cho d­íi d¹ng to¹


®é §Òc¸c. §ã còng chÝnh lµ ph­¬ng tr×nh quü ®¹o cña chÊt r
k
o
 y
j
9
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
i
x
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

®iÓm viÕt d­íi d¹ng th«ng sè trong to¹ ®é §Òc¸c. Khö th«ng sè t trong c¸c
ph­¬ng tr×nh trªn ta nhËn ®­îc hai ph­¬ng tr×nh biÓu diÔn hai mÆt cã d¹ng:
 f1 ( x , y )  0
(15)

 f 2 ( x, z )  0
Giao tuyÕn cña hai mÆt nµy x¸c ®Þnh quü ®¹o cña chÊt ®iÓm trong kh«ng
gian.
VÐct¬ vËn tèc vµ gia tèc cña chÊt ®iÓm:
 

 dr
 
v  xi  yj  zk
dt
(16)
 

 dv
 i  j  k
w x yz
dt
   (17)
vx  x , v y  y , vz  z
z
wx  , wy  , wz   (18)
x y z
  
§é lín vµ h­íng cña v & w chóng theo c¸c c«ng thøc k
O1 / 
n
M
sau ®©y:

n
 
v  v 2 x  v y 2  vz 2  x 2  y 2  z 2 (19)

r

 x 
  
y z
cos(v , i )  ; cos(v , j )  ; cos(v , k ) 
v v v 
k
(20) 
y
j
O

i
w  w2 x  wy 2  wz 2  2  2  2
xyz

M
x
(21)

 
  
x y z
cos( w, i )  , ; cos( w, j )  ; cos( w, k ) 
w w w
(22)
3.2: Ph­¬ng ph¸p to¹ ®é trô

Trong hÖ to¹ ®é trô, vÞ trÝ cña M  M (  ,  , z ) khi ®ã vÐc t¬ r (t ) x¸c ®Þnh vÞ trÝ
chÊt ®iÓm M ®­îc viÕt d­íi d¹ng:

 
(23).
r   (t ).n  z (t ) k


10
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

Nh÷ng to¹ ®é trô  ; ; z liªn hÖ víi c¸c to¹ ®é §Òc¸c cña nã b»ng c¸c hÖ thøc
sau:
 x   cos 

(24)
 y   sin 
z  z


 
C¸c vÐc t¬ ®¬n vÞ k , n ; n liªn hÖ víi i , j , k :


 
Khi M C§ th× n & n thay ®æi chiÒu nªn:

   
dn
 

 n   (i sin   j cos  )   n 
(26)
dt


  
dn 
 
 (27)
 n   (i cos   j sin  )   n
dt
* Ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng:
(28)
   (t ),    (t ), z  z (t )

* Ph­¬ng tr×nh vËn tèc:

   

  dr     
  
  
  n   n  zk   n   n  zk  v n  v n  vz k
v
 dt

  
v   , v   , vz  z
(29)

2 2
2 2 2 2
v  v  v  vz    (  )  z



* Ph­¬ng tr×nh gia tèc:
 
  dv  
w  dt  w n  w n  wz k

w     2 , w 1 d (  2 ), w  
  zz
  dt

(30)
 2 2 2
w  w   w   wz
 1/ 2
2
 
1 d 2 
  
2 2 
(   )   2 
 (    )   z
 dt
 
 
 
11
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


- Khi z = 0 th× hÖ to¹ ®é trô chuyÓn thµnh hÖ to¹ ®é cùc. Lóc ®ã z  0,   0 .
z

Ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng, vËn tèc, gia tèc cã d¹ng:
*    (t );   (t ) (31)
*
  
 
v   n   n

 2
2 
2 2
v  v   v      


(32)

nr
*
 
 w n  w n 
n
  M
 2 1/ 2
 1 d 2  
w   r
  
2 2 22
 w  w  w  (    )   (   )  y
O
  dt 

  


x
(33)
- Khi chÊt ®iÓm M chuyÓn ®éng trªn ®­êng trßn
cã b¸n kÝnh  cã t©m O1 th×
  const , z = OO1 = const, trong tr­êng hîp nµy ta cã:
 
  0,   0, z  0,   0
 z
   
dr  
 
 v   n    k  n           r  (34)
 
dt
  
d 2 r dv      dr 

 w    r      
  
dt 2 dt dt  (35)
  

   r        r  
 


  d 
 

Víi:    k ,    , lµ vÐc t¬ vËn tèc vµ vÐc t¬ gia tèc trong chuyÓn ®éng
dt
quay xung quanh trôc Oz.
3.3: To¹ ®é cÇu




12
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


- VÞ trÝ M  M (r , ,  ). Mèi liªn hÖ gi÷a c¸c täa ®é §Òc¸c vµ to¹ ®é cÇu ®­îc x¸c
 x  r sin  cos 

(36)
®Þnh b»ng c¸c c«ng thøc:  y  r sin  sin 
 z  r cos 


(0    ; 0   2; 0  r   ).


 
- nr , n & n liªn hÖ víi i , j & k :
  
 r 1   
nr  r  r ( xi  yj  zk )  i sin  cos   j sin  sin   k cos
 


(37)
n  i sin   j cos 

 
 
n   n  nr   i cos  cos   j cos  sin   k sin 
 


  
 
nr   n   sin  .n
  
   (38)
n   sin  nr   cos  n

   
n   nr   cos  .n
 
- Ph­¬ng tr×nh C§, v & w , cña chÊt ®iÓm trong hÖ to¹ ®é cÇu ®­îc biÓu
diÔn:
r  r (t ),   (t ),    (t )
(39)
* 
r  r (t ) nr (t )

  dr     

 rnr  rnr  rnr  rn  r sin  n

 
v 
* (40)
dt

v  r 2  r 2 ( 2   2 sin 2  )

2



  dv   
w   wr nr  w n  w n
dt


wr    r ( 2   2 sin 2  )

r

1 d 2
* w  
(r  )  r 2 sin  cos  (41)

r dt

1d2

2
w  r sin  dt (r  sin  )

w  wr 2  w 2  w 2


- Khi   th× hÖ to¹ ®é cÇu chuyÓn thµnh hÖ to¹ ®é cùc.
2

13
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


Khi ®ã   0 vµ   0  chÊt ®iÓm C§ trong mÆt ph¼ng xOy ta cã:


1d 2
  
wr  r  r 2 , w  (r  ) . (42)
r dt
§Ó m« t¶ C§ cña chÊt ®iÓm trong mÆt ph¼ng ta ®­a vµo kh¸i niÖm vËn tèc

diÖn tÝch. VÞ trÝ cña chÊt ®iÓm M ë thêi ®iÓm t lµ r , ë thêi ®iÓm (t + dt) lµ
  
 r  dr  . Trong kho¶ng thêi gian dt b¸n kÝnh r quÐt ®­îc mét diÖn tÝch b»ng ®é

lín cña vÐc t¬ 
v
 1   1 
dS   r  (r  dr )   r  dr  
 
2 2 M
r
 r  dr 
§¹i l­îng: 
r (t )

 dS 1  
 r  v  (43)

dt 2 O

Gäi lµ vËn tèc diÖn tÝch. Trong to¹ ®é cùc ta cã:
   1 
 
r  rnr , v  rnr  r n ,   r 2  nr  n 
 
2
C¸c thÝ dô: (SGK)




Bµi 3: VÐc t¬ vËn tèc vµ vÐc t¬ gia tèc

cña chÊt ®iÓm trong nh÷ng hÖ quy chiÕu kh¸c nhau.
§Þnh lý céng vËn tèc vµ gia tèc.
I). VÐc t¬ vËn tèc vµ vÐc t¬ gia tèc cña chÊt ®iÓm trong nhøng hÖ quy chiÕu
kh¸c nhau.




14
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

.- XÐt chÊt ®iÓm M ®èi víi HQC K ®øng z/
yªn vµ HQC K' chuyÓn ®éng bÊt kú ®èi z M
  y/
víi K. Gäi r
 k
r 
 
 ro
+ r bk vÐc t¬ cña M ®èi víi K o/ j 
k i

+ r ' bk vÐc t¬ cña M ®èi víi K' o 
 y
j
x/
 i
+ ro ' bk vÐc t¬ cña O'(K') ®èi víi K.
x
XuÊt ph¸t tõ tiªn ®Ò vÒ kh«ng gian vµ
thêi gian trong CHC§ ta cã:

r  ro  r 
(1)

t  t '



 r  xi  yj  zk

 


Víi: (2)
 ro  xo i  yo j  zo k
  

 

 r   xi  yj  z k 

Ký hiÖu:
 
+ v & w cña M trong hÖ QC g¾n víi K
 
+ v  & w cña M trong hÖ QC g¾n víi K'
 
+ vo & wo cña O'K' trong hÖ QC g¾n víi K.


- VËn tèc vµ gia tèc cña M ®èi víi hÖ quy chiÕu K, ®èi hÖ quy chiÕu K/ vµ


cña gèc O/ ®èi víi hÖ quy chiÕu K (khi i, j & k  kh«ng thay ®ái h­íng theo thêi
gian)lµ:




15
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

 
  dr   

v  xi  yj  zk

 dt

 

w  dv      
xi yj zk
 dt

 
 
  d r 
  
v   xi  yj  z k

 dt
(3)

 
 

w  d v  i  j  k
x y z
 dt

 
 
  dr0
  

vo   xo i  yo j  zo k
 o
 dt

 
 
 
w  dvo   i   j   k
xo yo zo
 o dt

II). VÐc t¬ vËn tèc vµ vÐc t¬ gia tèc khi chuyÓn tõ hÖ quy chiÕu nµy sang hÖ
quy chiÕu kh¸c.
- Tr­íc hÕt ta quy ­íc:
  
i  co nst
  

+ K ®øng yªn  j  const
  
k  const

 
i  const
 

+ K/ C§ bÊt kú  j   const
  
k   const

 
2.1: §Ó t×m v & a cña chÊt ®iÓm khi chuyÓn tõ hÖ quy chiÕu nµy sang hÖ


di  dj  dk 
:
quy chiÕu kh¸c, tr­íc hÕt ta ®i t×m c¸c biÓu thøc cô thÓ cña ,&
dt dt dt
 
  di  di  
 dt  i
2i. dt  0

i.i  1  

 dj  
  dj 
 
2 j .  0    j
+ Tõ:  j. j   1 
  dt  dt
 

k .k   1  dk  
  dk 

2k .  k
0 
 dt
dt





16
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn



di  dj  dk 
Do ®ã h×nh chiÕu cña: xuèng Ox, Oy & Oz cã thÓ viÕt d­íi d¹ng:
,&
dt dt dt



 di
 a12 j  a13 k 
 dt

 
 dj 
  a23 k   a21i
 dt

 
 dk 
 a31i  a32 j 

 dt (*)
C¸c hÖ sè amn kh«ng ®éc lËp mµ phô thuéc vµo nhau. ThËt vËy tõ:
 
  dj   di
i dt   j  dt

 
i. j   0  
 dj
    dk 


(**)
  j  k 
 j.k   0
  dt dt
 


k .i  0   di
  dk 
k    i
 dt dt


Thay (*) vµo (**) ta ®­îc:
a12   a21   z

 


vµ ®Æt    x i   y j    z k 
a23   a32   x
a  a  
 31 13 y


 

  dj    dk 
di
   k  
Ta ®­îc: (4)
   i  ;    j   ;
dt   dt   dt  

ë ®©y  lµ vËn tèc gãc gãc cña hÖ quy chiÕu K/ quay xung quanh mét trôc
nµo ®ã ®i qua O/
2.2: VËn tèc vµ gia tèc cña chÊt ®iÓm khi chuyÓn tõ hÖ quy chiÕu nµy
sang hÖ quy chiÕu kh¸c.
2.2.1. §Þnh lÝ céng vËn tèc




 

r   xi  y j   z k 


 

  
v  xi  y j   z k 
Tõ: 

17
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

 
  

d r  d
 
xi  y j   z k   v    r   (5)

dt dt
 
  

dv d
 
 
xi  y j   z k   w     v 
 (6)


dt dt
  
d 2 r  dv  
  r      dr   
 
  dt 
dt 
dt 2   (7)
    

   r        r     2   v  w
 

LÊy ®¹o hµm theo thêi gian cña (1) vµ kÕt hîp víi (3) vµ (5) ta ®­îc §L céng
vËn tèc (hay c«ng thøc céng vËn tèc)
  

v  vo    r   v  vkt  v (8)

  
+ vkt  v0    r  lµ VTKT cña chÊt ®iÓm

+ v lµ vËn tèc t­¬ng ®èi

  

+ Khi v  0  vkt  v0    r  ( M ®øng yªn víi K/ t¹i vÞ trÝ r/)
VËy: VËn tèc kÐo theo lµ vËn tèc cña chÊt ®iÓm g¾n chÆt víi hÖ quy chiÕu K/ vµ
t¹i thêi ®iÓm ®ang xÐt ®iÓm nµy trïng víi chÊt ®iÓm M
2.2.2. §Þnh lý céng gia tèc
LÊy ®¹o hµm bËc hai theo thêi gian PT (1) vµ chó ý tíi (3) & (7) ta ®­îc c«ng
thøc x¸c ®Þnh gia tèc cña chÊt ®iÓm khi chuyÓn tõ hÖ quy chiÕu nµy sang hÖ quy
chiÕu kh¸c.
       

w  wo    r         r     2   v  w  wkt  wc  w (9)
 



  
   wc  2   v
wkt  wo    r       r   ;
Víi: (10)
 


v  0 
/ /
+ Khi M ®øng yªn n ®èi víi K t¹i vÞ trÝ r th×: 
 w  wkt
 w  0

+ wkt : …gia tèc kÐo theo cña chÊt ®iÓm

+ wc : .. gia tèc C«ri«lit (Coriolis). Gia tèc nµy xuÊt hiÖn do K/ quay ®èi víi

K vµ do chÊt ®iÓm M chuyÓn ®éng t­¬ng ®èi víi vËn tèc v kh«ng song song víi

.


18
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


Chó ý: C«ng thøc (1) vµ c¸c c«ng thøc céng vËn tèc vµ céng gia tèc ®­îc suy
 
ra tõ c«ng thøc (1) chØ ®óng khi vËt chuyÓn ®éngvíi vËn tèc: v  c
2.3: Mét vµi tr­êng hîp ®¬n gi¶n

 
v  vkt  v0    r 

Khi M ®øng yªn ®èi víi K/.        

w  wkt  w0    r     (  r )
 


§©y chÝnh lµ vËn tèc vµ gia tèc cña chÊt ®iÓm M ®­îc g¾n chÆt víi K/. B©y
giê ta sÏ xÐt c¸c tr­êng hîp:
2.3.1: Khi K/ chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn ®èi víi K.

v  v0

(11)
 0   
w  w0
Mäi chÊt ®iÓm M bÊt kú ®øng yªn ®èi víi K/ ®Òu cã vËn tèc vµ gia tèc nh­ nhau.
2.3.2: Khi K chuyÓn ®éng quanh ®iÓm cè ®Þnh O/.


 v    r 
v0  0
Khi ®ã: (12)

   

w    r        r   
w0  0  



2.3.3: Khi K/ chuyÓn ®éng th¼ng ®Òu ®èi víi K víi vËn tèc V  const .
 

v0  V  const 
 r  r0  r  Vt  r 

Khi ®ã (13)
  0 
t  t 

0  0(t  0)



NÕu t = 0 ta cã O  O vµ K/ C§ däc trôc Ox víi V  const th×:
 x  Vt  x
 y  y

(14)

 z  z
t  t 

VËn tèc vµ gia tèc cña chÊt ®iÓm M trong hÖ quy chiÕu K vµ K/ liªn hÖ víi
nhau b»ng hÖ thøc:

v  V  v
(15)
 
 w  w



19
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn



  

Khi w  0  w  0  khi v  const th× v  const . §iÒu nµy cã nghÜa: Mét chÊt
®iÓm c« lËp chuyÓn ®éng th¼ng ®Òu ®èi víi K th× còng chuyÓn ®éng th¼ng ®Òu
®èi víi K/.
VËy: Mäi hÖ quy chiÕu K/ chuyÓn ®éng th¼ng ®Òu ®èi víi hÖ quy chiÕu qu¸n
tÝnh K ®Òu lµ nh÷ng hÖ quy chiÕu qu¸n tÝnh.
Tõ (13) vµ (15) ta thÊy mÆc dï to¹ ®é vµ vËn tèc cña chÊt ®iÓm trong c¸c hÖ
quy chiÕu qu¸n tÝnh kh¸c nhau lµ kh¸c nhau, nh­ng vÞ trÝ t­¬ng ®èi, vËn tèc
t­¬ng ®èi cña hai chÊt ®iÓm M1 vµ M2, gia tèc cña chÊt ®iÓm vµ kho¶ng kh«ng
gian lµ nh÷ng ®¹i l­îng nh­ nhau trong mäi hÖ quy chiÕuqu¸n tÝnh.§ã lµ nh÷ng
®¹i l­îng bÊt biÕn trong CHC§.
 
r12  r2  r1  r2  r1  r12

 
(16)

v12  v2  v1  v2  v1  v12

w  w; t  t 

§ã lµ nh÷ng ®¹i l­îng bÊt biÕn trong c¬ häc cæ ®iÓn


III). Mét vµi thÝ dô: (SGK).




Bµi 4: Nguyªn lý t­¬ng ®èi galilª
Ba ®Þnh luËt niut¬n
I. §Þnh luËt I Niut¬n:
Khi nghiªn cøu chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm, ®Çu tiªn ng­êi ta nghiªn cøu
chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm c« lËp. ChuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm c« lËp trong
nh÷ng hÖ quy chiÕu kh¸c nhau lµ kh¸c nhau.
1. HÖ quy chiÕu qu¸n tÝnh. HÖ quy chiÕu mµ trong ®ã chÊt ®iÓm c« lËp
hoÆc ®øng yªn hoÆc chuyÓn ®éng th¼ng ®Òu tõ mét vÞ trÝ ban ®Çu bÊt kú víi mét

20
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


h­íng bÊt kú cña vÐct¬ vËn tèc. HÖ quy chiÕu nh­ thÕ gäi lµ hÖ quy chiÕu qu¸n
tÝnh.
2. §Þnh luËt I Newton (haytiªn ®Ò thø nhÊt) Trong hÖ quy chiÕu qu¸n tÝnh
chÊt ®iÓm c« lËp gi÷ nguyªn tr¹ng th¸i ®øng yªn hoÆc chuyÓn ®éng th¼ng ®Òu.
3. TÝnh chÊt cña kh«ng gian vµ thêi gian trong hÖ quy chiÕu qu¸n tÝnh
- Kh«ng gian lµ ®ång nhÊt vµ ®¼ng h­íng, nghÜa lµ mäi ®iÓm vµ mäi h­íng
cña kh«ng gian ®Òu t­¬ng ®­¬ng nhau vÒ mÆt vËt lý.
- Thêi gian trong hÖ quy chiÕu qu¸n tÝnh lµ ®ång nhÊt, nghÜa lµ mäi thêi
®iÓm ®Òu tt­¬ng ®­¬ng víi nhau vÒ mÆt vËt lý. C¸c hÖ quy chiÕu K vµ K'
chuyÓn ®éng th¼ng ®Òu t­¬ng ®èi víi nhau ®Òu lµ nh÷ng hÖ quy chiÕu qu¸n tÝnh.
Mèi liªn hÖ gi÷a c¸c to¹ ®é vµ thêi gian trong c¸c hÖ quy chiÕu qu¸n tÝnh K vµ
K' ®­îc x¸c ®Þnh bëi c¸c c«ng thøc gäi lµ c¸c phÐp biÕn ®æi Galilª.
4. Nguyªn lý t­¬ng ®èi - Nguyªn lý t­¬ng ®èi Galilª:
4.1: Nguyªn lý t­¬ng ®èi: MÆc dï to¹ ®é vµ vËn tèc cña chÊt ®iÓm c« lËp
trong nh÷ng HQCQT lµ kh¸c nhau nh­ng gia tèc cña nã trong hÖ K vµ K' lµ
b»ng kh«ng:
 
d 2r d 2r  
(1)
 2  w  w  0
dt 2 dt
Nªn ng­êi ta cho r»ng mäi hÖ quy chiÕu qu¸n tÝnh lµ t­¬ng ®­¬ng víi nhau ®èi
víi ®Þnh luËt chuyÓn ®éng th¼ng ®Òu cña chÊt ®iÓm c« lËp.
Nguyªn lÝ t­¬ng ®èi: (thùc nghiÖm, thÊy r»ng): tÊt c¶ c¸c ®Þnh luËt cña tù
nhiªn ®Òu gièng nhau ®èi víi mäi hÖ quy chiÕu qu¸n tÝnh. Nãi c¸ch kh¸c:
Nh÷ng ph­¬ng tr×nh m« t¶ nh÷ng ®Þnh luËt cña tù nhiªn ®­îc biÓu diÔn qua to¹
®é vµ thêi gian trong c¸c hÖ quy chiÕu kh¸c nhau cã d¹ng gièng hÖt nhau.
4.2: Nguyªn lÝ t­¬ng ®èi Galilª: Dùa theo nguyªn lý t­¬ng ®èi kÕt hîp víi
tiªn ®Ò vÒ kho¶ng thêi gian t = t/ Galilª cho r»ng:
TÊt c¶ c¸c ®Þnh luËt c¬ häc ®Òu gièng nhau trong mäi hÖ quy chiÕu qu¸n
tÝnh Hay vÒ mÆt to¸n häc: C¸c ph­¬ng tr×nh m« t¶ c¸c ®Þnh luËt cña c¬ häc cæ
21
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


®iÓn sÏ kh«ng thay ®æi d¹ng ®èi víi phÐp biÕn ®æi cña to¹ ®é vµ thêi gian khi
chuyÓn tõ hÖ quy chiÕu qu¸n tÝnh nµy sang hÖ quy chiÕu qu¸n tÝnh kh¸c theo c¸c
c«ng thøc biÕn ®æi Galilª.
Nãi kh¸c ®i, tÊt c¶ c¸c ®Þnh luËt C¬ häc cæ ®iÓn ®Òu bÊt biÕn ®èi víi c¸c
phÐp biÕn ®æi Galilª..
II .Khèi l­îng vµ lùc. §Þnh luËt II Niut¬n:
4.1. Qu¸n tÝnh:
- §Æc tÝnh b¶o toµn tr¹ng th¸i ®øng yªn hay chuyÓn ®éng th¼ng ®Òu cña
chÊt ®iÓm c« lËp gäi lµ qu¸n tÝnh cña nã.
- Khi t­¬ng t¸c víi c¸c vËt thÓ kh¸c, chÊt ®iÓm cã qu¸n tÝnh cµng lín th× thu
®­îc gia tèc cµng bÐ vµ ng­îc l¹.
4.2. Khèi l­îng: XÐt mét hÖ c« lËp gåm hai chÊt ®iÓm t­¬ng t¸c víi nhau,
 
thùc nghiÖm chøng tá r»ng khi vËn tèc cña chóng v  c th× gia tèc mµ chóng
thu ®­îc sau t­¬ng t¸c liªn hÖ víi nhau:
 
w12    w21 . (2)
Trong ®ã:
-   const  0 kh«ng ®¬n vÞ.

 dvik
- wik  (i  1, 2) lµ gia tèc cña Mi thu ®­îc do Mk t¸c dông lªn nã.
dt
 
+   1 :  w12  w21 møc QT cña M1 < møc QT cña M2.
 
+   1 :  w12  w21 ng­îc l¹i
 
+   1 :  w12  w21 møc QT cña M1 = møc QT cña M2.
NÕu ta ®­a vµo c¸c ®¹i l­îng m1 vµ m2 x¸c ®Þnh sè ®o møc qu¸n tÝnh cña M1 vµ
m2
M2 th× trÞ  liªn hÖ víi møc qu¸n tÝnh cña hai chÊt ®ã b»ng hÖ thøc:  
m1

 m  
(3)
 w12   2 w21 hay m1w12   m2 w21
m1



22
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


§¹i l­îng mi gäi lµ khèi l­îng cña chÊt ®iÓm Mi, nã x¸c ®Þnh sè ®o møc qu¸n
tÝnh cña chÊt ®iÓm Mi ( Khèi l­îng qu¸n tÝnh)
4.3. Xung l­îng cña chÊt ®iÓm- Lùc:
 
4.3.1: Xung l­îng: §¹i l­îng p  mv gäi lµ vÐct¬ xung l­îng cña chÊt
®iÓm. TrongHQCQTxung l­îng cña chÊt ®iÓm tù do lµ mét ®¹i l­îng b¶o toµn.
4.3.2: Lùc: Khi chÊt ®iÓm t­¬ng t¸c víi c¸c vËt thÓ kh¸c th× xung l­îng
cña nã kh«ng ngõng biÕn ®æi theo th¬× gian.
§é biÕn thiªn xung l­îng cña chÊt ®iÓm trong mét ®¬n vÞ thêi gian lµ ®¹i
l­îng vÐct¬ ®Æc tr­ng cho t¸c dông cña vËt ngoµi lªn chÊt ®iÓm gäi lµ lùc.
 
 dp 
dv
 mw .
F m
dt dt

Lùc t¸c dông lªn chÊt ®iÓm b»ng tÝch gi÷a khèi l­îng m vµ gia tèc w cña nã.
Khèi l­îng ngoµi viÖc ®Æc tr­ng cho møc qu¸n tÝnh cña chÊt ®iÓm cßn ®Æc
tr­ng víi møc hÊp dÉn cña chÊt ®iÓm. ThËt vËy: Lùc do tr¸i ®Êt t¸c dông lªn
hai chÊt ®iÓm M1 vµ M2 ë cïng mét vÞ trÝ trªn tr¸i ®Êt:
 
 P  m1w1
1
 

 NÕu m1 > m2 th× P1 > P2 vµ ng­îc l¹i.
 P2  m2 w2
  
w  w  g
 1 2

§¹i l­îng vËt lý ®Æc tr­ng cho møc hÊp dÉn cña chÊt ®iÓm gäi lµ khèi l­îng
hÊp dÉn cña nã. Thùc nghiÖm víi ®é chÝnh x¸c rÊt cao ®· kh¶ng ®Þnh r»ng:
Khèi l­îng qu¸n tÝnh b»ng khèi l­îng hÊp dÉn cña nã.
4.3.3: §Þnh nghÜa khèi l­îng Khèi l­îng cña chÊt ®iÓm lµ ®¹i l­îng vËt lý
®Æc tr­ng cho møc hÊp dÉn vµ møc qu¸n tÝnh cña nã.

4.4: §Þnh luËt II Newton V× m vµ w cña chÊt ®iÓm lµ c¸c ®¹i l­îng bÊt biÕn
 
®èi víi c¸c phÐp biÕn ®æi Galilª. Do ®ã lùc ( F  mw ) t¸c dông lªn chÊt ®iÓm xÐt
trong HQCQT còng lµ ®¹i l­îng bÊt biÕn ®èi c¸c phÐp biÕn ®èi Galilª. Tõ ®ã
suy ra lùc lµ hµm cña c¸c ®¹i l­îng vËt lÝ kh¸c mµ nh÷ng ®¹i l­îng nµy bÊt biÕn
®èi phÐp biÕn ®æi Galilª. C¸c ®¹i l­îng vËt lÝ nµy cã thÓ lµ: vÞ trÝ t­¬ng ®èi gi÷a
23
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


c¸c chÊt ®iÓm, vËn tèc t­¬ng ®èi gi÷a c¸c chÊt ®iÓm ,thêi gian, ®iÖn tÝch, khèi
l­îng cña chÊt ®iÓm,...NÕu kÝ hiÖu mét tËp hîp c¸c ®¹i l­îng bÊt biÕn ®èi víi
phÐp biÕn ®æi Galilª võa kÓ trªn b»ng ch÷ x, lùc t¸c dông lªn chÊt ®iÓm b»ng
  
ch÷ F , th×: lùc lµ hµm cña x, nghÜa lµ: F  F ( x) . KÕt hîp víi nh÷ng ®iÒu võa
tr×nh bµy ë trªn ta cã:

  F ( x)
(4)
mw  F ( x ) hay w
m
(4) lµ PT c¬ b¶n cña ®éng lùc häc chÊt ®iÓm vµ chÝnh lµ ®Þnh luËt Niut¬n thø
hai:
§Þnh luËt: D­íi t¸c dông cña lùc, chÊt ®iÓm chuyÓn ®éng víi gia tèc cïng
h­íng víi h­íng cña lùc vµ cã ®é lín tØ lÖ thuËn víi ®é lín cña lùc vµ tØ lÖ
nghÞch víi khèi l­îng cña nã.
Trong CHC§ thõa nhËn nguyªn lý vÒ tÝnh ®éc lËp t¸c dông cña c¸c lùc:


C¸c gia tèc wi cña chÊt ®iÓm do c¸c lùc Fi g©y nªn lµ kh«ng phô thuéc lÉn

nhau vµ gia tèc toµn phÇn w cña nã b»ng tæng h×nh häc cña c¸c gia tèc thµnh

phÇn wi . NghÜa lµ:

n

F i
 
n
F
w   wi  i 1
(5)

m m
i 1


V©y.: Gia tèc toµn phÇn cña chÊt ®iÓm ®èi víi hÖ quy chiÕu qu¸n tÝnh cã
chiÒu cïng víi chiÒu cña lùc tæng hîp t¸c dông lªn nã, cã ®é lín tØ lÖ víi ®é lín
cña lùc vµ tØ lÖ nghÞch víi khèi l­îng cña nã
4.5: §Þnh luËt 3 Newt¬n
ë trªn ta chØ nghiªn cøu chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm d­íi t¸c dông cña c¸c vËt
thÓ bªn ngoµi, nh­ng thùc ra khi c¸c vËt bªn ngoµi t¸c dông lªn chÊt ®iÓm th×
chÊt ®iÓm còng t¸c dông lªn c¸c vËt thÓ bªn ngoµi. Khi t­¬ng t¸c lÉn nhau
nh÷ng chÊt ®iÓm cã khèi l­îng kh¸c nhau sÏ thu ®­îc nh÷ng gia tèc kh¸c nhau.
Theo nguyªn lý vÒ tÝnh ®éc lËp t¸c dông cña c¸c lùc th× t­¬ng t¸c gi÷a hai chÊt

24
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

®iÓm Mi vµ Mk kh«ng phô thuéc vµo sù cã mÆt cña c¸c chÊt ®iÓm cßn l¹i nªn dï
hai chÊt ®iÓm Mi vµ Mk cã lµm thµnh mét hÖ kÝn hay kh«ng bao giê còng cã:
 
 
mi wik   mk wki hay Fik   Fki

§Þnh luËt : Nh­ vËy, lùc do chÊt ®iÓm Mk t¸c dông lªn chÊt ®iÓm Mi vµ lùc
do chÊt ®iÓm Mi t¸c dông lªn chÊt ®iÓm Mk bao giê còng b»ng nhau vÒ ®é lín,
ng­îc nhau vÒ chiÒu vµ cã cïng gi¸ lµ ®­êng th¼ng nèi hai chÊt ®iÓm Mi vµ Mk.
§ã lµ néi dung ®Þnh luËt III Niut¬n vÒ sù b»ng nhau cña t¸c dông vµ ph¶n t¸c
dông. Lùc vµ gia tèc trong CHC§ lµ nh÷ng ®¹i l­îng bÊt biÕn ®èi víi phÐp biÕn
®æi Galilª cho nªn khi chuyÓn tõ K sang K' th× c¸c §L Newton ®Òu BB ®èi
víi phÐp biÕn ®æi nµy.




Bµi 5: hai bµi to¸n c¬ b¶n
cña ®éng lùc häc chÊt ®iÓm
I. Bµi to¸n thuËn.

m
T×m F  ?
1. Néi dung bµi to¸n: Cho   
r  r (t )
2. Ph­¬ng ph¸p gi¶i:

Theo ®Þnh luËt II Newton lùc tæng hîp F t¸c dông lªn chÊt ®iÓm ®­îc t×m
theo c«ng thøc:

 n
d 2r 
F   Fi  m 2  mw (1)
dt
i 1

n


Fx   Fix  mx

i 1

n


  Fy   Fiy  my (2)
 i 1
 n

Fz   Fiz  mz

 i 1




25
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


Khi chÊt ®iÓm ®øng yªn hay chuyÓn ®éng th¼ng ®Òu ( w = 0) th×:
n

Fx   Fix  0

i 1

n

Fy   Fiy  0 (3)

 i 1
 n
 Fz   Fiz  0
 i 1


§ã lµ ®iÒu kiÖn c©n b»ng cña chÊt ®iÓm. HÖ lùc t¸c dông lªn chÊt ®iÓm tho¶
m·n ®iÒu kiÖn (3) gäi lµ hÖ lùc c©n b»ng.
NÕu chÊt ®iÓm chuyÓn ®éng trong mÆt ph¼ng cho tr­íc th× c¸c h×nh chiÕu cña

vÐct¬ lùc F trªn c¸c trôc cña hÖ to¹ ®é cùc cã d¹ng:

 Fr  mwr  m(  r 2 )
r

(4)
 1d 2

(r  )
 F  mw  m
r dt

3. Mét vµi thÝ dô:
ThÝ dô 1: ChÊt ®iÓm cã khèi l­îng m chuyÓn ®éng dao ®éng theo ph­¬ng
tr×nh:
x  A cos t    , trong ®ã A,  &  lµ nh÷ng h»ng sè. TÝnh lùc t¸c dông lªn chÊt

®iÓm
Bµi gi¶i:
Theo ®Þnh luËt II Newton, lùc t¸c dông lªn chÊt ®iÓm cã d¹ng:
F  mw  mx   m 2 x( N )
 B P
M
ThÝ dô 2: Dùa vµo ba ®Þnh luËt Kªple b r
a
A C
(Kepler), ta cã thÓ t×m ®­îc ®Þnh luËt v¹n vËt O1
O2 O

hÊp dÉn cña Newton.
§Þnh luËt 1: C¸c hµnh tinh chuyÓn ®éng theo O1 P  p, OO1  ea
quü ®¹o ªlÝp mµ MÆt trêi lµ mét trong hai tiªu 1 p
 rmin  rmax   2
a  OA 
2 1 e
®iÓm cña elÝp quü ®¹o.
p
b  OB  1  e2 
BiÓu thøc to¸n häc m« t¶ ®Þnh luËt cã d¹ng: 1  e2

26
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

1 1  e cos 
(5)

r p
 
p & e lµ th«ng sè vµ t©m sai cña elÝp,   (r , O1C )


r : b¸n kÝnh vÐc t¬ cña hµnh tinh, O1M : b¸n kÝnh

vÐc t¬ cña cËn ®iÓm
§Þnh luËt 2: B¸n kÝnh vÐc t¬ cña hµnh tinh quÐt ®­îc
nh÷ng diÖn tÝch b»ng nhau trong nh÷ng kho¶ng thêi gian b»ng nhau bÊt kú,
nghÜa lµ:
d
1

  r 2  const hay (6)
0
dt
2
§Þnh luËt 3: TØ sè gi÷a b×nh ph­¬ng chu kú chuyÓn ®éng T cña hµnh tinh
quanh mÆt trêi víi lËp ph­¬ng cña b¸n trôc lín a cña quü ®¹o elÝp lµ nh­
nhau ®èi víi mäi hµnh tinh chuyÓn ®éng quanh mÆt trêi, nghÜa lµ:
T 2 4 2
(7)
 const

a3 
Bµi gi¶i:
Gäi + M, m lµ khèi l­îng mÆt trêi vµ cña hµnh tinh.
+ r lµ kho¶ng c¸ch tõ t©m MT ®Õn t©m mÆt trêi ®Õn t©m HT
+ Chän t©m O1 cña mÆt trêi lµm gèc cùc
Lùc do mÆt trêi t¸c dông lªn hµnh tinh cã d¹ng:
  
F  mw  m  wr nr  w n  (8)

1d 2
 r    2 ddt
  
wr  r  r 2 , w 
Trong ®ã: (9)
r dt r

d
Theo §L II Kªple:  0  w  0 . Do ®ã ®Ó x¸c ®Þnh F , ta chØ cÇn x¸c ®Þnh
dt
2 dr d dr dr 2 dr
 

wr . Chó ý r»ng tõ:  
r  
2
d r 2 d
dt dt d
r




27
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

d dr d
d dr
  
wr    r 2   r 2   r 2
r
dt d dt
dt dt
Tõ ®ã ta cã:
d dr d d
 r 2   (r )  r 2
   
wr 
d dt dt d


Thay  & r vµo wr :
2  d 2 dr 2 r 
wr  (2 ) 2 
2
r  d r d r

d2 1  4 2 1 d 2 1 
 2
2
(10)
 2
wr   ( )   2   2 ( )

r2 d 2 r   r d r 
r r

4 2
(11)
Thay (5) vµo (10) ta ®­îc: wr   2
pr

Chu kú chuyÓn ®éng T cña hµnh tinh liªn hÖ víi diÖn tÝch cña elÝp:
(12)
 ab   T
T 2 4 2 2
p p
MÆt kh¸c tõ: a  .
 4
,b  , 3
1  e2 
1  e2 a p


(13)
wr  

r2
Lùc hÊp dÉn do mÆt trêi t¸c dông lªn hµnh tinh:
 m  m 
(14)
F   2 nr   3 r3
r r

DÊu ( -) chØ r»ng lùc F ®Æt ë hµnh tinh vµ h­êng tõ t©m hµnh tinh vÒ mÆt trêi.

Theo ®Þnh luËt III Newton, lùc do mÆt trêi t¸c dông lªn hµnh tinh F ph¨i b»ng
  
vµ ng­îc chiÒu víi lùc do hµnh tinh t¸c dông lªn mÆt trêi F  . Tøc F = - F  .


Suy ra:  m   M hay  G  const    GM .

M m
Lùc do hµnh tinh t¸c dông lªn mÆt trêi b©y giê cã d¹ng:
 Mm  Mm 
(15)
F  G 2 nr  G 3 r
r r
§ã chÝnh lµ §LVVHD. §Þnh luËt nµy cã thÓ viÕt d­íi d¹ng:
 
(16)
F  mg


28
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


F M
(17)
g   G 3 r  
m r
GM
(18)
  C.(C  const )
r


* g : lµ c­êng ®é cña tr­êng HD do khèi l­îng M g©y ra t¹i ®iÓm r
*  : lµ thÕ HD t¹i ®iÓm nµy. Chän   0 khi r   th× C = 0.. LHD ®­îc
viÕt l¹i:

(19)
F   U
GMm
Víi: U  m   gäi lµ thÕ hÊp dÉn.
r
II.Bµi to¸n ng­îc. TÝch ph©n cña chuyÓn ®éng vµ c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu:
1. Néi dung bµi to¸n:
 
m, r0 , v0 r  r (t )  ?

Cho     TÝnh   
v  v (t )  ?
 F  F ( x)  F (r , v , t ,.)


2. Ph­¬ng ph¸p gi¶i: Dùa vµo ®Þnh luËt II Newton
§Ó t×m vÞ trÝ vµ vËn tèc cña chÊt ®iÓm ta ®i gi¶i hÖ ba ph­¬ng tr×nh ph©n h¹ng
hai th­êng. Bµi to¸n ®­îc gi¶ theo c¸c b­íc sau:
B­íc 1: LËp hÖ ba ph­¬ng tr×nhvi ph©n h¹ng hai th­êng cho phÐp ta x¸c ®Þnh
vÞ trÝ vµ vËn tèc cña chÊt ®iÓm:
m   Fx ( x, y, z , x, y, z , t )

x

m   Fy ( x, y, z , x, y, z , t )
 (20)
y
 
m   Fz ( x, y, z , x, y, z , t )
z

B­íc 2: ViÕt biÓu thøc nghiÖm tæng qu¸t cña hÖ. NghiÖm nµy phô thuéc vµo 6
h»ng sè tÝch ph©n tuú ý C1, …,C6 vµ cã thÓ viÕt d­íi d¹ng
 x  x(t , C1 , C2 ,...C6 )

(21)
 y  y (t , C1 , C2 ,...C6 )
 z  z (t , C , C ,...C )
 1 2 6


B­íc 3: §¹o hµm bËc nhÊt theo thêi gian cña nghiÖm tæng qu¸t.


29
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


 x  x (t , C1 , C2 ,..., C6 )

 (22)
 y  y (t , C1 , C2 ,..., C6 )
 z  z (t , C , C ,..., C )
  1 2 6


B­íc 4: X¸c ®Þnh c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu ( r0 , v0 ) dùa vµo nghiÖm tæng qu¸t vµ
c¸c biÓu thøc ®¹o hµm bËc nhÊt cña nghiÖm tæng qu¸t.

VÞ trÝ x0, y0, z0 vµ vËn tèc x0 , y0 , z0 cña chÊt ®iÓm ë thêi ®iÓm t = t0 ®­îc x¸c
®Þnh tõ c¸c hÖ thøc:
 x0  x (t0 , C1 , C2 ,..., C6 )
 y  y (t , C , C ,..., C )
0 0 1 2 6

 z0  z (t0 , C1 , C2 ,..., C6 )

(23)

 
 x0  x (t0 , C1 , C2 ,..., C6 )
 y0  y (t0 , C1 , C2 ,..., C6 )
 


 z0  z (t0 , C1 , C2 ,..., C6 )

B­íc 5: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh trªn ®èi víi c¸c h»ng sè tÝch ph©n C1, C2, …,
C6, ta nhËn ®­îc:

C1  C1 (t0 , x0 , y0 , z0 , x0 , y0 , z0 )
C  C (t , x , y , z , x , y , z )
0 0 0
2 20 0 0 0


C3  C3 (t0 , x0 , y0 , z0 , x0 , y0 , z0 )

(24)


C4  C4 (t0 , x0 , y0 , z0 , x0 , y0 , z0 )
C5  C5 (t0 , x0 , y0 , z0 , x0 , y0 , z0 )



C6  C6 (t0 , x0 , y0 , z0 , x0 , y0 , z0 )


B­íc 6: Thay c¸c h»ng sè nµy vµo (20) ta nhËn ®­îc nghiÖm tæng qu¸t cña

 x  x (t , t0 , x0 , y0 , z0 , x0 , y0 , z0 )


(19) d­íi d¹ng: (25)
 y  y (t , t0 , x0 , y0 , z0 , x0 , y0 , z0 )
 z  z (t , t , x , y , z , x , y , z )
0  0 0
 0 0 0 0

 
(26)
Hay: r  r (t , t0 , r0 , v0 )
 
(27)
 v  v (t , t0 , r0 , v0 )
 
Nh­ vËy, nÕu biÕt m cña chÊt ®iÓm, lùc t¸c dông lªn chÊt ®iÓm F  F ( x) ®ång

thêi cho biÕt c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu; t0 , r0 , v0 cña chÊt ®iÓm th× ta x¸c ®Þnh ®­îc


30
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


vÞ trÝ vµ vËn tèc t¹i thêi ®iÓm bÊt kú. Tr¹ng th¸i cña chÊt ®iÓm trong c¬ häc cæ
®iÓn ®­îc x¸c ®Þng b»ng vÞ trÝ vµ vËn tèc cña nã.
Bµi 6: C¸c tr­êng hîp riªng cña bµi to¸n ng­îc
vµ nh÷ng ®Æc tr­ng cña lùc.

1. Tr­êng hîp lùc kh«ng ®æi F = const

 dv F
V× gia tèc cña C§ (1)
w  const    const
dt m
 

  F F
(2)
 v   dv   dt  t  C1
m m

r x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña chÊt ®iÓm:

   F
r   dr   vdt    t  C1 dt
m 
(3)

1F 2  
 t  C1t  C2
2m
 
  1F 2  
F
  
Khi: t  t0  v  v0 , r  r0 ta cã: v0  t0  C1; r0  t0  C1t0  C2
m 2m
  
F   1F 2  F
Hay: C1  v0  t0 , C2  r0  t 0  ( v0  t 0 ) t 0
m 2m m
  
Thay C1 vµo (2) C1 & C2 vµo (3) ta ®­îc:

F
(4)
v  v0  (t  t0 )
m

 1F
(t  t0 ) 2
r  r0  v0  t  t0   (5)
2m

Ph­¬ng tr×nh (5) ch ta biÕt quy luËt chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm khi F  const.
Tõ:
d
 dt (mvx )  Fx
 
mx  Fx ( x, y , z , x, y , z , t ) 
d

  (6)
my  Fy ( x, y, z , x, y, z , t )  (mv y )  Fy

 dt
  
mz  Fz ( x, y , z , x, y , z , t ) d
 dt (mvz )  Fz


31
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


+ cßn lai hai thµnh phÇn:
Fx  0  Px  mv x  const

Py  mv y  const ; Pz  mv z  const .

+ Fx  Fy  Fz  0 th× xung l­îng cña chÊt ®iÓm lµ tÝch ph©n ®Çu cña chuyÓn

  
®éng, nghÜa lµ: P  mv  mv0  const (§ã lµ ®Þnh luËt b¶o toµn xung l­îng cña
chÊt ®iÓm)
m

T×m  y  y ( x)
 
cho   
ThÝ dô 1:
 P  F  mg  const


Bµi gi¶i: y
 

Ta cã: F  mg  mgj

v0
VÐc t¬ vËn tèc vµ PTC§ cã d¹ng: 
j

)
 v  v0  g ( t  t 0 )
 
Oi
   1 x
r  r0  v0 (t  t0 )  g (t  t0 ) 2

 2
 

v  mÆt ph¼ng t¹o bëi v0 & g . Gäi mÆt ph¼ng nµy lµ Oxy.

t0  0, r0  0
§Ó ®¬n gi¶n ta chän:   .

 j  g , i  g

 x  (v0 cos  )t
Khi ®ã PTC§ cã d¹ng: 
 12
 y   v0 sin   t  2 gt

g
PTQ§ cña chÊt ®iÓm: y  xtg  x
2v0 cos 2 
2


 
2. Tr­êng hîp lùc phô thuéc vµo thêi gian F = F (t).

dv F (t )
PTC§ cã d¹ng: (7)

dt m
  
Víi c¸c ®iÒu kiÖn: r (t0 )  r0 , v (t0 )  v0 .

VËn tèc vµ vÞ trÝ (PTC§) cña chÊt ®iÓm ®­îc x¸c ®Þnh:
 
  
t t
F (t ) 
 t F (t )
  
dt  C1 ;
v   dv   r   vdt     dt dt  C1t  C2
m m
t0  t0 

t0



32
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

 
C¸c h»ng sè C1 & C2 ®­îc x¸c ®Þnh tõ c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu khi t = t0.
  
C1  v0 , C2  r0  v0t

  t F (t )
v  v0   dt
m
t0
(8)

 t t
F (t ) 

r  r0  v0 (t  t0 )     dt dt
 t0 m 
t0  
VÝ dô 2: Kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm tÝch ®iÖn trong ®iÖn tr­êng biÕn
  
®æi: E  E0 cos(t ) (  & E0 lµ nh÷ng ®¹i l­îng kh«ng ®æi).

Bµi gi¶i:
§iÖn tÝch chÞu t¸c dông cña mét lùc:
  
F  eE  eE0 cos  t  (9)

dv F (t )
PTC§ cña h¹t mang ®iÖn cã d¹ng: . Thay (9) vµo (8) ta ®­îc:

dt m
 
  eE0 eE 0
sin t0 )  (cos t  cos t0 )
r  r0  (t  t0 )(v0 
m 2
m
 
3. Tr­êng hîp lùc phô thuéc vµo vËn tèc F = F ( v ).
- Nh÷ng lùc nµy th­êng gÆp khi vËt chuyÓn ®éng trong mét m«i tr­êng nµo ®ã,
n­íc hay kh«ng khÝ ch¼ng h¹n.
- Nh÷ng lùc nµy cã ®Æc ®iÓm:
 
+ F lµ hµm cña vËn tèc v
 
+ F  ( v , b¶n chÊt m«i tr­êng, h×nh d¹ng, kÝch th­íc vËt)
- Thùc nghiÖm chøng tá r»ng
 
+ Khi vËt C§ víi vËn tèc nhá th× lùc c¶n cña m«i tr­êng: F   v
 
+ Khi vËt C§ víi vËn tèc lín th× lùc c¶n cña m«i tr­êng: F   k v .v

(  , k  b¶n chÊt m«i tr­êng, h×nh d¹ng vµ kÝch th­íc v©t)

XÐt C§ cña chÊt ®iÓm d­íi t¸c dông cña lùc c¶n phô thuéc x, y, z nh­ sau:
  
Fx  F ( x), Fy  F ( y ), Fz  F ( z )

33
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


Cã hai c¸ch ®Ó t×m ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm:
C¸ch 1: Khi ®ã hÖ ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm cã d¹ng:

dx
  
mx  m dt  F ( x )


dy

  (10)
my  m  F ( y )
dt


dz

 
mz  m dt  F ( z )


md ( x)
Ph­¬ng tr×nh thø nhÊt cña (10) cã thÓ viÕt: dt 

F ( x)

x

md ( x)
t  C1  


 F ( x)
x0


   
Tõ §KB§: t  t0  x(t0 )  x0 ; d ( x )  d ( x0 )  0  C1  t0 vµ PT diÔn t¶ sù phô thuéc
cña x vµo thêi gian t ®­îc viÕt l¹i nh­ sau:

x

md ( x )
(11)
t  t0  

 F ( x)
x0


 
NÕu tõ (11) ta rót ®­îc x lµ hµm cña t, t0 vµ x0 th× ta cã:
dx
 
x  f (t , t0 , x0 )
dt
t

 x   f (t , t0 , x0 )dt  C2 .
t0




Khi t = t0 th× x = x0  C2  x0 (12)
 x  x0   f (t , t0 , x0 )dt.

T­¬ng tù ®èi víi c¸c PT thø 2 vµ thø 3 cña (10) ta còng thu ®­îc:
t


 y  y0   f (t , t0 , y0 )dt
 t0
 t
 z  z  f (t , t , z )dt
 0 0
 0
 t0



C¸ch 2: Cã thÓ biÓu diÔn x qua x b»ng c¸ch sau ®©y. Tõ PTC§ cña chÊt ®iÓm
däc theo trôc Ox ta cã thÓ viÕt:

34
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

  
d ( x) dx d ( x ) xdx
 
mx  m m . m  F ( x)
dt dt dx dx

mxdx
 dx 

F ( x)

x

mxdx
 x  C2

F ( x)

x0


 
Khi t = t0 th× x = x0 vµ x(t0 )  x0  C2  x0

x

mxdx
(13)
 x  F ( x)  x 0


x0


C¸c ph­¬ng tr×nh (11) & (13) cã thÓ coi lµ ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng th«ng sè

cña chÊt ®iÓm. Lo¹i khái ph­¬ng tr×nh ®ã th«ng sè x ta ®­îc ph­¬ng tr×nh

x  x(t , t0 , x0 , x0 ) .T­¬ng tù ®èi víi hai ph­¬ng tr×nh cuèi cña (10) ta còng cã:

y

 mydy
y    y0

 F ( y)
 y0
 
z

 z  mzdz  z
 F ( z) 0
 
 
z0


VÝ dô 3: Kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm d­íi t¸c dông cña

lùc: Fx  mg  kmx . Trong ®ã k lµ h»ng sè d­¬ng. c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu lµ:

t0  0, x(0)  x0 , x(0)  x0

Bµi gi¶i:

x

md ( x )
Thay Fx vµo t  t0   ta ®­¬c:

 F ( x)
x0


x
 
dx g  kx
1
t  g  kx   k ln( g  kx ); (t  C1  0)
0
 
 0
x0



g  kx
 kt
 ln

g  kx0

n  log b  b  a n ta suy ra:
¸p dông c«ng thøc: a


 
g  kx  kt g  kx dx 1
 e  kt    g  ( g  kx0 )e  kt 
 
e x
dt k  
 
g  kx0 g  kx0

35
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

PTC§ cña chÊt ®iÓm cã d¹ng:
t
1t
x   xdt  x0    g  ( g  kx0 )e  kt dt.
 
k0 
0


g g  kx0
(1  e kt )
 x0  t 2
k k
Víi nh÷ng gi¸ trÞ lín cña t th× e  kt  0 khi ®ã chÊt ®iÓm chuyÓn ®éng gÇn nh­ cã
g
 .
vËn tèc kh«ng ®æi: v  x 
k
 
4. Tr­êng hîp lùc chØ phô thuéc vµo vÞ trÝ cña chÊt ®iÓm F  F (r ) :

4.1: Lùc xuyªn t©m: C¸c lùc th­êng gÆp trong thùc tÕ ®ã lµ c¸c lùc;lùc ®µn
håi, lùc hÊp dÉn, lùc tÜnh ®iÖn. §ã lµ nh÷ng lùc phô thuéc vµo vÞ trÝ cña chÊt
®iÓm.
a). Lùc ®µn håi: XuÊt hiÖn khi c¸c vËt bÞ biÕn d¹ng vµ tu©n theo ®Þnh luËt
Hooke.
Mét lß xo h×nh trô víi ®é biÕn d¹ng cña lß xo lµ x th× lùc ®µn håi sÏ lµ: Fx = -
kx.
Trong tr­êg hîp 3 chiÒu, lùc ®µn håi cã d¹ng:
 
(14)
F   kr


Trong ®ã:

+ r : lµ b¸n kÝnh vÐc t¬ x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña chÊt ®iÓm
 
+( - ) chØ r»ng: F  r
 Fx   kx

ChiÕu (14) lªn oxyz: (15)
 Fy   ky

 Fz  kz

b). Lùc hÊp dÉn: Lùc hÊp dÉn gi÷a chÊt thø nhÊt m1 ë gèc to¹ ®é O víi chÊt

®iÓm thø hai ë vÞ trÝ ®­îc x¸c ®Þnh bëi r kÎ tõ chÊt ®iÓm m1 ®Õn chÊt ®iÓm m2.
 mm 
(16)
F  G 1 3 2 r
r

36
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


 m1m2 x
 Fx  G ( x 2  y 2  z 2 )3/ 2

 m1m2 y
ChiÕu Oxyz: (17)
 Fy  G 2
( x  y 2  z 2 )3/ 2

 m1m2 z
 Fz  G 2
( x  y 2  z 2 )3/ 2

 ee 
c). Lùc tÜnh ®iÖn: (18)
F  k 1 32 r
r
+ k  0 phô thuéc hÖ ®¬n vÞ

+ r : e1  e2 .
+ e1.e2  0  ®Èy nhau e1.e2  0  hót nhau.
d). C¸c lùc kÓ trªn ®Òu cã chung mét tÝnh chÊt §­êng t¸c dông cña lùc


lu«n lu«n ®i qua gèc O cña b¸n kÝnh vÐc t¬ r . Lùc F cã ®­êng t¸c dông lu«n ®i
qua mét ®iÓm cè ®Þnh O gäi lµ lùc xuyªn t©m. §iÓm O gäi lµ t©m cña lùc.
4.2: PTBD sù phô thuéc cña x vµo t khi chÊt ®iÓm chÞu t¸c dông cña lùc
XT
XÐt tr­êng hîp ®¬n gi¶n khi chÊt ®iÓm C§ däc trôc Ox vµ lùc t¸c dông lªn
chÊt ®iÓm chØ phô thuéc vµo täa ®é x.

dx
PTC§ cña chÊt ®iÓm: m  F ( x )  Fx
dt
mx 2
 
dx

Nh©n ph¶i 2 vÒ víi dx: m .dx  Fx dx  mxdx  d ( )  Fx dx
dt 2
x
 
mx 2 mx0
(19)
  F ( x)dx
 
2 2 x0

1/ 2
2 2x 
dx  
 
x    x 0   F ( x )dx 

dt m x0
 
 
Ph©n li biÕn sè vµ tÝnh tÝch ph©n ta nhËn ®­îc:
x
dx
t   C
1/ 2
x0  
x
2 2 

x 0   F ( x)dx 

m x0
 
 
37
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


Khi: t  t0  x  x0  dx  dx0  C  t0 . Ph­¬ng tr×nh x¸c ®Þnh sù phô thuéc cña
x vµo thêi gian t ®­îc cho d­íi d¹ng:
x
dx
(20)
t  t0   1/ 2
2 2x 
 
x0

 x 0   F ( x )dx 
m x0
 
 
VÝ dô 4: NÕu F(x) = - kx víi k = const > 0, th× tõ (20) ta cã:
x  A sin  (t  t0 )   
1/ 2
2
 2 x0  k x 
Trong ®ã: ,   arcsin  0 
A   x0  2  ,  
 m  A

 
VÝ dô 5: Mét chÊt ®iÓm chuyÓn ®éng d­íi t¸c dung cña lùc ®Çn håi F   kr .
T×m ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng vµ ph­¬ng tr×nh quü ®¹o cña chÊt ®iÓm
Bµi gi¶i
Ph­¬ng tr×nh ®éng lùc häc cña chÊt ®iÓm cã d¹ng:
 
d 2r d 2r
  k
  r  0. (  2  )
m 2  kr hay 2
m
dt dt
 
NghiÖm cña PT: r  C1 cos t  C2 sin t.(*)
   
C1  const & C2  const ®­îc x¸c ®Þnh tõ c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu.
  
+ t  0  r  r0  C1.1  C2 .0  C1  r0
  
  dr 
 v     C1 sin t  C2 cos t
 dt 

   v0

t  0  v  v0  C2 cos t  C2  C2 

Khi ®ã ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm cã d¹ng:

 v
r  r0 cos t  0 sin t

Suy ra chÊt ®iÓm chuyÓn ®éng trong mÆt ph¼ng P ®­îc t¹o thµnh bëi c¸c vÐc t¬

r0 & v0 . ChiÕu ph­¬ng tr×nh nµy xuèng c¸c trôc Ox vµ Oy cña to¹ ®é §Òc¸c

trong mÆt ph¼ng P ta ®­îc:

38
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


x0
x  x0 cos t  sin t  A sin(t   )


y0
y  y0 cos t  sin t  B sin(t   )


x2
0 x0
A  x0 2  , tg 
2

 x0
Víi:
y2
0 y0
y0 2  , tg  
B 2

 y0

x2
x
 sin(t   ),  1  2  cos(t   )
A A
§Æt:      
y
 sin(t   ) cos   sin  cos(t   ).
B
Tõ ®©y suy ra ph­¬ng tr×nh quü ®¹o cña chÊt ®iÓm:
x 2 y 2 2 xy
cos   sin 2  .
 2
2
A B AB
§ã lµ ph­¬ng tr×nh cña ®­êng ªlÝp.




Bµi 7: chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm
Trong tr­êng lùc thÕ
I. Lùc thÕ vµ thÕ n¨ng
1.1. Tr­êng lùc: Tr­êng lùc lµ kho¶ng kh«ng gian vËt lý mµ chÊt ®iÓm ®Æt
t¹i mçi ®iÓm cña nã chÞu t¸c dông cña lùc chØ phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm Êy.
 
VÐc t¬ lùc cña tr­êng F  F (r ) kh«ng phô thuéc vµo vËn tèc vµ gia tèc cña chÊt
®iÓm.
1.2. Tr­êng lùc thÕ: Tr­êng lùc mµ vÐc t¬ lùc cña nã ®­îc biÓu diÔn d­íi
d¹ng:

39
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


  U  U  U 
  U
F (r )   gradU (r )      i
 x  j y  k z 
 (1)
r  


Trong ®ã U (r ) lµ hµm v« h­íng chØ phô thuéc vµo vÞ trÝ chÊt ®iÓm, gäi lµ

tr­êng lùc thÕ. Lùc cña tr­êng lùc thÕ gäi lµ lùc thÕ vµ ®¹i l­îng v« h­íng U (r )

gäi lµ thÕ n¨ng cña chÊt ®iÓm ë vÞ trÝ r .
1.3. Tr­êng lùc dõng: TLD lµ tr­êng lùc trong ®ã vÐc t¬ lùc cña tr­êng tho¶
m·n:

 
F r
   F  F (r )
F t 

1.4. Tr­êng lùc kh«ng dõng: TLKD lµ TL trong ®ã vÐc t¬ lùc cña tr­êng
tho¶ m·n:

 
F r 

   F  F (r , t )
F t 

§èi víi tr­êng lùc kh«ng dõng th× vÐct¬ lùc cña nã ®­îc biÓu diÔn d­íi d¹ng:
 
(2)
F ( r , t )   gradU ( r , t )

ChiÕu hai vÕ cña (1) trªn c¸c trôc to¹ ®é, ta ®­îc:
 U
 Fx   x

U

(3)
 Fy  
y

 U
 Fz  
z


Fx Fy
 y  x  0


 Fy Fz
Tõ (3) ta cã ®­îc: (4)
 0

z y

 Fz Fx
 0

 x z




40
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

C¸c thµnh phÇn cña lùc ®µn håi, lùc hÊp dÉn vµ lùc tÜnh ®iÖn tho¶ m·n ®iÒu
kiÖn (4). VËy c¸c lùc nµy lµ nh÷ng lùc thÕ.


Cho thÕ n¨ng U (r ) ta x¸c ®Þnh ®­îc lùc thÕ F theo (1) hay (3) vµ ng­îc l¹i


ta cã thÓ tÝnh thÕ n¨ng U (r ) khi biÕt lùc thÕ F . §èi víi tr­êng lùc thÕ dõng, ta
cã:
U U U
dU  dx  dy  dz   ( Fx dx  Fy dy  Fz dz )
x y z

(6)
 dU   Fdr


(7)
 U ( r )    Fd r  C

Trong ®ã C lµ h»ng sè tÝch ph©n ®­îc x¸c ®Þnh tuú vµo chän gèc thÕ n¨ng.
II. C«ng cña lùc thÕ vµ thÕ n¨ng

2.1. C«ng cña lùc thÕ: §¹i l­îng b»ng tÝch v« h­íng gi÷a vÐct¬ lùc F t¸c

dông lªn chÊt ®iÓm vµ vÐct¬ dÞch chuyÓn dr cña nã gäi lµ c«ng nguyªn tè cña


lùc trªn dÞch chuyÓn dr . (8)
 A  F .dr  Fx dx  Fy dy  Fz dz

 
(r )

(9)
A  F (r )dr


( r0 )


A gäi lµ c«ng cña lùc trªn mét qu·ng ®­êng h÷u h¹n tõ vÞ trÝ ®Çu r0 ®Õn vÞ trÝ

cuèi r .
- Nãi chung:  A  dA  A  vµo ®­êng cong quü ®¹o cña chÊt ®iÓm nèi tõ


®iÓm ®Çu r0 ®Õn ®iÓm cuèi r .

- NÕu F lµ lùc thÕ th× A = - dU nghÜa lµ c«ng nguyªn tè lµ mét vi ph©n toµn

phÇn vµ c«ng A  ®­êng cong quü ®¹o mµ chØ phô thuéc vµo vÞ trÝ ®Çu r0 vµ vÞ

trÝ cuèi r cña chÊt ®iÓm. C«ng A cña lùc thÕ cã thÓ viÕt d­íi d¹ng:
 
r  r 
  
(10)
A Fdr    dU  U (r0 )  U (r )
 
( ro ) ( r0 )




41
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


VËy : C«ng cña lùc thÕ ®Æt lªn chÊt ®iÓm trªn mét qu·ng ®­êng h÷u h¹n nµo
®ã b»ng hiÖu thÕ n¨ng cña chÊt ®iÓm t¹i vÞ trÝ ®Çu vµ vÞ trÝ cuèi cña nã. NÕu
 
chän gèc tÝnh thÕ n¨ng t¹i vÞ trÝ ®Çu r0 , nghÜa lµ ®Æt U (r0 )  0 , ta cã :


  ( r0 )  
(r )

(11)
U (r )    Fdr   Fdr
 
( r0 ) (r )


2.2. ThÕ n¨ng: Tõ (11): ThÕ n¨ng cña chÊt ®iÓm t¹i vÞ trÝ r b»ng c«ng cña
 
lùc thÕ ®Æt lªn chÊt ®iÓm, khi nã dÞch chuyÓn tõ vÞ trÝ r ®Õn vÞ trÝ r0 mµ t¹i ®ã


thÕ n¨ng cña nã b»ng kh«ng ( U( r0 ) = 0 ). BiÕt ®­îc sù phô thuéc cña lùc thÕ F
 
vµo r ta x¸c ®Þnh ®­îc thÕ n¨ng U( r ).
2.2.1. ThÕ n¨ng cña lùc ®µn håi: ThÕ n¨ng cña lùc ®µn håi b»ng:
r r
   k
1 1
U ( r )    (  kr ) dr  C  k  d  ( r ) 2   C   d ( r 2 )  C  k  rdr  C  kr 2  C
 
2 20 2
0


NÕu chän t¹i r  0 , U(0) = 0 th× C = 0. khi ®ã thÕ n¨ng cña lùc ®µn håi cã d¹ng:
kr 2
(12)
U (r ) 
2
2.2.2. ThÕ n¨ng cña lùc hÊp dÉn:
m1m2   mm
r ) dr  C  G 1 2  C
U ( r )    (G 3
r r
m1m2
Chän r   ta cã U   0  C = 0  U (r )  G (13)
r
III. §Þnh lý biÕn thiªn §N vµ ®Þnh luËt b¶o toµn thÕ c¬ n¨ng cña chÊt ®iÓm.
§Þnh lÝ biÕn thiªn ®éng n¨ng.
3.1. §inh lÝ biÓn thiªn ®éng n¨ng:
3.1.1 D¹ng vi ph©n.
  
d 1
(mv ).dr  vd (mv )  d ( mv 2 )  dT (14)
Tõ:  A  Fdr 
dt 2
1
§¹i l­îng T  mv 2 gäi lµ ®éng n¨ng cña chÊt ®iÓm.
2



42
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


§Þnh lý: Vi ph©n ®éng n¨ng cña chÊt ®iÓm b»ng c«ng nguyªn tè cña lùc trªn

dÞch chuyÓn dr .
3.1.2:D¹ng tÝch ph©n.
 
Gi¶ sö ë thêi ®iÓm t0 chÊt ®iÓm ë vÞ trÝ r0 vµ cã vËn tèc v0 , ë thêi ®iÓm t chÊt
 
®iÓm ë vÞ trÝ r vµ cã vËn tèc v . TÝch ph©n hai vÕ cña ®¼ng thøc (14) ta ®­îc:
 
  v  mv 2  mv 2 mv0 2
r
(15)
A   Fdr   d   
2 2 2
 
r0 vo


VËy: BiÕn thiªn ®éng n¨ng cña chÊt ®iÓm trªn mét qu·ng ®­êng h÷u h¹n nµo ®ã
b»ng c«ng cña lùc t¸c dông lªn chÊt ®iÓm trªn cïng qu·ng ®­êng ®ã.
3.2. §Þnh luËt b¶o toµn c¬ n¨ng.

NÕu lùc F t¸c dông lªn chÊt ®iÓm lµ lùc thÕ dõng th× ta cã:
 mv2   mv 2 
(16)
A   dU  d   Hay d   U (r )   0
2 2 
Tõ (16) hay tõ (10) vµ tõ (15) ta cã:
mv 2  mv 2 
(17)
 U ( r )  0  U ( r0 )  E  const
2 2
. VËy: ChÊt ®iÓm chuyÓn ®éng trong tr­êng lùc thÕ dõng th× c¬ n¨ng cña nã lµ
mét tÝch ph©n ®Çu cña chuyÓn ®éng hay nãi c¸ch kh¸c c¬ n¨ng cña chÊt ®iÓm lµ
mét ®¹i l­îng b¶o toµn.
IV. §Þnh lý biÕn thiªn vµ ®Þnh luËt b¶o toµn m«men xung l­îng cña chÊt
®iÓm.
4.1. §Þnh lÝ biÕn thiªn m« men xung l­îng cña chÊt ®iÓm.

  d
C«ng cña lùc F lµm chÊt ®iÓm C§ quay XQ mét trôc nµo ®ã víi:  
dt
   
 
A   F dr   F ( dt  r )   F ( d  r )   (r  d ).F


A   (r  F ) d    M d 
(18)

 

 
( v    r   dr   dt  r  )

43
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

   

Trong ®ã M   r  F  . §¹i l­îng M b»ng tÝch h÷u h­íng gi÷a b¸n kÝnh vÐct¬ r
 
 
kÎ tõ gèc O cña hÖ to¹ ®é ®Õn ®iÓm ®Æt cña lùc F vµ vÐct¬ lùc F gäi lµ m«men

cña lùc F ®èi víi ®iÓm O.

MÆt kh¸c M cã thÓ viÕt:


    d (mv )  d   dL
  r  mv  
M   r  F   r  (19)
dt  dt
  dt

 
§¹i l­îng L   r  mv  gäi lµ m«men xung l­îng cña chÊt ®iÓm ®èi víi ®iÓm O.
§Þnh lÝ: §¹o hµm theo thêi gian cña m«men xung l­îng cña chÊt ®iÓm ®èi víi
®iÓm O b»ng m«men lùc ®èi víi ®iÓm Êy.

   
NÕu M  0  L   r  mv   const .
4.2. M« men xung l­îng cña lùc thÕ
 U  U  U
 U
Lùc thÕ t¸c dông lªn chÊt ®iÓm M cã d¹ng: F      (i j k ).
r x y z

Víi:

 

+ r  ix  jy  kz , r 2  x 2  y 2  z 2
r x r y r z
+ ; ; 
x r y r z r

U r dU x dU U y dU U z dU
+   ;  ; 
x x dr r dr y r dr z r dz

 dU r
( 20)
 F  .
dr r
 
ë ®©y ( U  U (r ); r  r ( x, y, z )

Tõ (20) ta thÊy ®­êng t¸c dông cña lùc F lu«n lu«n ®i qua mét ®iÓm O cè ®Þnh


lµ gèc cña vÐc t¬ r . §iÓm O gäi lµ t©m cña lùc vµ lùc F gäi lµ lùc xuyªn t©m.

Tõ ®ã suy ra m« men cña lùc F
 
  
M   r  F   0  L   r  mv   const (21)
 




44
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


§Þnh luËt: M« men xung l­îng cña chÊt ®iÓm chuyÓn ®éng trong tr­êng lùc
thÕ xuyªn t©m ®èi víi t©m O cña tr­êng lùc lµ mét ®¹i l­îng b¶o toµn (hay lµ
tÝch ph©n ®Çu cña chuyÓn ®éng).

B¸n kÝnh vÐc t¬ r x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña chÊt ®iÓm lu«n n»m trong mÆt ph¼ng  ®i

 
qua t©m O cña tr­êng lùc vµ vu«ng gãc víi L . Theo (21) th× L  const  mp ( )
lµ mÆt ph¼ng cè ®Þnh.
VËy quü ®¹o cña chÊt ®iÓm chuyÓn ®éng trong tr­êng lùc xuyªn t©m lµ mét
®­êng cong n»m trong mÆt ph¨ng cè ®Þnh.




Bµi 8: ChuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm trong

hÖ quy chiÕu kh«ng qu¸n tÝnh. C¸c lùc qu¸n tÝnh.


I. Ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm ®èi víi hÖ
quy chiÕu kh«ng qu¸n tÝnh. C¸c lùc qu¸n tÝnh.
1. §Æt vÊn ®Ò:
- C¸c §L Newton chØ ®óng trong nh÷ng hÖ QCQT. Nh­ng trong thùc tÕ ta
th­êng gÆp c¶ nh÷ng hÖ QCKQT. Trong hÖ QCKQT c¸c §L Newton kh«ng cßn
®óng n÷a
- HQC chuyÓn ®éng kh«ng th¼ng vµ kh«ng ®Òu ®èi víi HQCQT lµ hÖ QCKQT
- VËy trong hÖ QCKQTph­¬ng tr×nh C§ cña chÊt ®iÓm ®­îc biÓu diÔn nh­ thÕ
nµo?
2. Ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm:
- Gi¶ sö ta biÕt ®­îc quy luËt C§ cña hÖ QCKQT - K/ ®èi víi hÖ QCQT - K.
Ta h·y x¸c ®Þnh ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm ®èi víi hÖ QCKQT
K/.
- §èi víi hÖ QCQT - K , chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm tu©n theo ph­¬ng tr×nh:
45
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


(1)
mw  F

+ w : lµ gia tèc cña chÊt ®iÓm ®èi víi hÖ qui chiÕu K.

+ F : Lµ lùc do vËt ngoµi t¸c dông lªn chÊt ®iÓm
            

Thay: w  wo    r       r    2   v  w  wkt  wc  w vµo (1) ta ®­îc:
 

   

m( wkt  wc  w)  F
 
mw  F  Fkt  Fc
Hay: (2)
 

* Fc   mwc  2m   v
Trong ®ã: (3)


 
   
 
 
  
Fkt   mwkt   m wo    r        r      mwo    r    Flt
 

  
Flt   m     r    (4)
 

+ Fc gäi lµ lùc C«ri«lÝt.

+ Fkt gäi lµ lùc qu¸n tÝnh kÐo theo
  

+ Flt gäi lµ lùc QTLT Flt   & Flt cã chiÒu h­íng tõ trôc quay cña K/ ®i ra
ngoµi.
Sù xuÊt hiÖn c¸c lùc qu¸n tÝnh ®Æt lªn chÊt ®iÓm chuyÓn ®éng trong hÖ quy
chiÕu kh«ng qu¸n tÝnh K/ lµ do hÖ K/ chuyÓn ®éng kh«ng th¼ng vµ kh«ng ®Òu
®èi víi hÖ quy chiÕu qu¸n tÝnh K. §èi víi lùc qu¸n tÝnh, ta kh«ng thÓ chØ ®­îc
mét vËt x¸c ®Þnh nµo ®ã t¸c dông lªn chÊt ®iÓm víi lùc qu¸n tÝnh ®· cho. Do ®ã,
lùc qu¸n tÝnh cho tr­íc, kh«ng cã ph¶n lùc t­¬ng øng víi nã, hay nãi c¸ch kh¸c,

lùc qu¸n tÝnh kh¸c víi lùc t­¬ng t¸c F ë chç lµ kh«ng tu©n theo ®Þnh luËt III
Newton. V× quy luËt chuyÓn ®éng cña hÖ K/ ®èi víi hÖ K ®· cho tr­íc cã nghÜa

  
lµ: r0 , v0 , w0 ,  ,  lµ nh÷ng hµm cña thêi gian t ®· biÕt vµ khi chuyÓn ®éng tõ hÖ
K sang hÖ K/ ta cã:
t  t

r  r0  r ,
  
v  v0    r   v

46
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

   
VËyta lu«n cã thÓ biÓu diÔn ( F  Fkt  Fc ) nh­ hµm cña r, v, &t  . Ph­¬ng tr×nh
(2) gäi lµ ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm trong hÖ quy chiÕu kh«ng
qu¸n tÝnh K/.
II. Ph­¬ng tr×nh c§ cña chÊt ®iÓm ®èi víi tr¸i ®Êt.
Ta g¾n hÖ quy chiÕu K/ víi Tr¸i §Êt cã gèc O/ ë t©m Tr¸i §Êt. HÖ quy chiÕu
K/ lµ hÖ quy chiÕu kh«ng qu¸n tÝnh bëi vÝ Tr¸i §Êt quay xunh quanh trôc cña nã
 2
 7, 3.105 s 1 ) vµ t©m O/ cña
víi vËn tèc gãc  hÇu nh­ kh«ng ®æi (  
24.3600

Tr¸i §Êt chuyÓn ®éng xung quanh MÆt Trêi víi gia tèc w0 . NÕu bá qua t­¬ng
t¸c cña c¸c hµnh tinh thuéc hÖ MÆt Trêi lªn chuyÓn ®éng cña MÆt Trêi th× ta cã
thÓ xem hÖ quy chiÕu K g¾n víi MÆt Trêi cã gèc O ë t©m MÆt Trêi lµ hÖ quy
chiÕu qu¸n tÝnh.

Gäi M® lµ khèi l­îng cña Tr¸i §Êt, Mt lµ khèi l­îng cña MÆt Trêi, r00 lµ b¸n

kÝnh vÐc t¬ kÎ tõ t©m O cña MÆt Trêi ®Õn t©m O/ cña Tr¸i §Êt, f lµ lùc hót cña
MÆt Trêi lªn Tr¸i §Êt, ta cã:
 
 Md Mt 
f M t r00
(5)
w0   G r00  G 3
3
Md M d r00 r00

Ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm ®èi víi hÖ quy chiÕu K/ g¾n liÒn víi
Tr¸i §Êt cã d¹ng:
 

mw  F  Fkt  Fc

Bëi v×   0 nªn c¸c lùc qu¸n tÝnh kÐo theo b»ng:
  

Fkt  m w0    (  r )

Lùc F t¸c dông lªn chÊt ®iÓm lµ tæng hîp c¸c lùc sau ®©y:

+ Lùc hót tõ phÝa Tr¸i §Êt Fd

+ Lùc hót tõ phÝa MÆt Trêi Ft

+ Lùc do c¸c vËt kh¸c t¸c dông lªn chÊt ®iÓm 


47
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

 
Gäi r lµ b¸n kÝnh vÐc t¬ kÎ tõ t©m O cña Tr¸i §Êt ®Õn chÊt ®iÓm r lµ b¸n kÝnh
vÐc t¬ kÎ tõ t©m O cña MÆt Trêi ®Õn chÊt ®iÓm, ta cã:
mM 
  mM 
Fd  G 3 d r ; Ft  G 3 t r
r r
PTC§ cña chÊt ®iÓm ®èi víi hÖ quy chiÕu K/ g¾n liÒn víi Tr¸i §Êt cã thÓ
viÕt:
   

mw    Fd  Ft  mw0  m   (  r )  2m(  v) (6)
NÕu kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm ë gÇn bÒ MÆt Tr¸i §Êt th×:
  
r  , r00 , r  r00 vµ

 mM 
(7)
mw0  G 3 t r00  Ft
r00

Tõ (6) vµ (7) ta cã:
   
mw    Fd  m   (  r )  2m(  v) (8)
§ã lµ ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm ë gÇn bÒ mÆt Tr¸i §Êt
®èi víi hÖ quy chiÕu K/ g¾n liÒn víi Tr¸i §Êt.
Cã thÓ ®¸nh gi¸ ¶nh h­ëng cña c¸c lùc qu¸n tÝnh lªn chuyÓn ®éng cña chÊt
®iÓm, nÕu ta so s¸nh c¸c gia tèc li t©m vµ gia tèc C«ri«lit víi gia tèc hÊp dÉn
trªn bÒ mÆt Tr¸i §Êt.
- VÒ ®é lín gia tèc hÊp dÉn trªn bÒ mÆt Tr¸i §Êt:
Fd Md
 9,8m / s 2
G 2
m R
r  R


- C¸c tØ sè gi÷a gi¸ trÞ cùc ®¹i cña gia tèc li t©m vµ gia tèc C«ri«lit víi gia tèc
hÊp dÉn b»ng:
 2R 2 v
 1, 5.105 v
 0, 003 ; (9)
M
M
G 2d G 2d
R
R
m3
ë ®©y lÊy: R  6, 4.106 G  6, 4.106 m, G  6, 7.1011 ; Md  6.1024 kg & v(m / s )
2
kgs



48
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

Tõ (9) ta thÊy r»ng ¶nh h­ëng cña lùc C«ri«lit so víi lùc qu¸n tÝnh li t©m lµ rÊt
R
 2,3.102 m / s. Trong khi lùc qu¸n tÝnh li t©m l¹i rÊt nhá so
nhá, nÕu nh­ v 
2
víi lùc v¹n vËt hÊp dÉn. MÆc dï c¸c lùc qu¸n tÝnh ®èi hÖ qui chiÕu g¾n liÒn víi
Tr¸i §Êt lµ rÊt nhá nh­ thÕ, nh­ng trong mét sè bµi to¸n ta vÉn ph¶i chó ý ®Õn
c¸c lùc ®ã.
  
Lùc P  ( Fd  Flt ) gäi lµ träng lùc ®Æt lªn chÊt ®iÓm. Ta cã thÓ viÕt träng lùc t¸c
dông lªn chÊt ®iÓm d­íi d¹ng:
 
(10)
P  mg

Trong ®ã:
 
 GM 
g   3 d r     (  r )  (11)
r

Gäi lµ gia tèc träng tr­êng. §­êng t¸c dông cña P lµ ®­ëng th¼ng ®øng. §é

lín cña P ë ®é cao h vÜ ®é  ®­îc x¸c ®Þnh nh­ sau:
 
P  ( Fd  Flt ) 2  Fd2  Flt2  2 Fd Flt cos   mg

Trong ®ã:
G2M d 2
2GM d  2
4 2 2
cos 2  (12)
  ( R  h) cos  
g 4
( R  h) ( R  h)



( R lµ b¸n kÝnh Tr¸i §Êt vµ h tÝnh tõ mÆt Tr¸i §Êt ®Õn chÊt ®iÓm). C«ng thøc
(12) cho ta biÕt gia tèc cña träng tr­êng g phô thuéc vµo vÜ ®é  vµ ®é cao h.
NÕu bá qua sè h¹ng bÐ tØ lÖ víi  4 trong biÓu thøc c¨n sè cña g vµ xÐt tr­êng
hîp khi h = 0, ta nhËn ®­îc:
g  9,826  0, 034 cos 2  (13)
VËy chÊt ®iÓm ë gÇn bÒ mÆt Tr¸i §Êt cã thÓ coi träng lùc t¸c dông lªn nã lµ lùc
kh«ng ®æi.




49
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

 
B©y giê ta xÐt tr­êng hîp chÊt ®iÓm ®øng yªn ®èi víi Tr¸i §Êt ( v  0; w  0 ) vµ


ph¶n lùc cña gi¸ ®ì hay d©y treo t¸c dông lªn chÊt
 

hM Flt
®iÓm. Khi ®ã ta cã:

 
Fd
(14)
P   0 P

Do lùc v¹n vËt hÊp dÉn vµ lùc qu¸n tÝnh kÐo theo t¸c
dông lªn vËt ®øng yªn mµ vËt ®øng yªn Ðp lªn gi¸ ®ì

hay kÐo c¨ng d©y treo mét lùc T . Lùc nµy goi lµ träng
lùc cña vËt ®èi víi hÖ qui chiÕu mµ trong ®ã mµ trong ®ã vËt ®øng yªn. Nãi
kh¸c ®i, lµ lùc mµ vËt ®øng yªn t¸c dông lªn gi¸
z


®ì hay kÐo c¨ng d©y treo do kÕt qu¶ t¸c dông lªn
nã bëi c¸c lùc v¹n vËt hÊp dÉn vµ lùc qu¸n tÝnh
y
 0
kÐo theo. Râ rµng r»ng träng lùc T cña vËt ®èi 
víi hÖ quy chiÕu g¾n liÒn víi Tr¸i §Êt lµ lùc trùc 
x
  

®èi víi lùc  , nghÜa lµ T    P . Khi T  0 ta

nãi r»ng vËt ë tr¹ng th¸i mÊt träng l­îng. F
III. S­ lÖch khái ®­êng ®øng vÒ
h­íng ®«ng cña vËt r¬i.
Ta h·y xÐt chuyÓn ®éng r¬i tù do cña chÊt ®iÓm ®èi víi Tr¸i §Êt tõ ®é cao h
víi vËn tèc ban ®Çu b»ng kh«ng ë b¾c b¸n cÇu
Gi¶ sö r»ng chÊt ®iÓm chuyÓn ®éng ë vÜ ®é ®Þa lÝ  vµ lùc c¶n cña kh«ng khÝ
t¸c dông lªn nã cã thÓ bá qua. §Ó nghiªn cøu chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm, ta
chän trôc to¹ ®é g¾n liÒn víi Tr¸i §Êt nh­ sau: trôc Oz h­íng lªn trªn theo
®­êng th¼ng ®øng trôc Ox h­íng däc theo tiÕp tuyÕn víi kinh tuyÕn , tõ b¾c


xuèng nam vµ trôc Oy h­íng tõ t©y sang ®«ng (h×nh vÏ). Gäi i , j & k lµ c¸c vÐc
t¬ ®¬n vÞ chØ ph­¬ng ®Æt trªn c¸c trôc Ox, Oy vµ Oz. Ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng
cña chÊt ®iÓm r¬i tù do cã d¹ng:
  
 

m(      )   mgk  2m   ( xi  yj  zk ) 
   (15)
xi yj zk 
50
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn




Trong ®ã   i  cos  k  sin
ChiÕu (15) lªn c¸c trôc to¹ ®é Ox, Oy, Oz ta nhËn ®­îc:
   2 y sin

x

   2 ( x sin  z cos )
  (16)
y
   g  2 y cos

z

LÊy tÝch ph©n hai vÕ ta ®­îc:

 x  2 y sin  C1

 (17)
 y  2 ( x sin  z cos )  C2
 z   gt  2 y cos  C
 3


Trong ®ã C1, C2, C3 lµ c¸c h»ng sè tÝch ph©n, chóng ®­îc x¸c ®Þnh tõ c¸c ®iÒu
kiÖn ban ®Çu khi t = t0 = 0:
 x0  y0  0; z0  h
(18)

  
 x0  y0  z0  0
Tõ ®iÒu kiÖn nµy suy ra C1 = C3 = 0 vµ C3  2 h cos . Thay C1; C2; C3 vµo (17)
ta ®­îc:

 x  2 y sin

 (19)
 y  2 x sin  2 (h  z ) cos
 z   gt  2 y cos


Tõ ph­¬ng tr×nh ®Çu cña (19) ta suy ra:

x
(20)
y
2 sin

Thay y vµo ph­¬ng tr×nh thø ba cña (19) ta nhËn ®­îc:

x
 (21)
z   gt 
tg

TÝch ph©n hai vÕ ph­¬ng tr×nh (21) vµ sö dông c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu ta nhËn
®­îc:
x
12
(22)
z  h gt 
tg
2

Tõ (22) vµ (19) suy ra:


51
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

x
1

y  2 x sin  2 ( gt 2  (23)
) cos
tg
2

§Æt (23) vµo ph­¬ng tr×nh ®Çu (16) ta nhËn ®­îc:
  4 2 x  2 2 gt 2 sin cos (24)
x

§©y lµ ph­¬ng tr×nh vi ph©n h¹ng hai kh«ng thuÇn nhÊt. NghiÖm tæng qu¸t
cña nã cã d¹ng: x  x1  x2

Trong ®ã x1 lµ nghiÖm tæng qu¸t cña ph­¬ng tr×nh vi ph©n h¹ng hai thuÇn nhÊt:
  4 2 x  0
x
cßn x2 lµ nghiÖm riªng nµo ®ã cña ph­¬ng tr×nh vi ph©n h¹ng hai kh«ng thuÇn
nhÊt. NghiÖm x1 ®­îc t×m d­íi d¹ng:
(25)
x1  C  sin(2t )  C  cos(2t )

Trong ®ã C/ vµ C// lµ nh÷ng h»ng sè tÝch ph©n ®­îc x¸c ®Þnhtõ c¸c ®iÒu kiÖn
ban ®Çu.
Ta sÏ t×m nghiÖm x2 d­íi d¹ng:
x2  A  bt  Ct 2 (26)
Trong ®ã A, B vµ C lµ c¸c h»ng sè ch­a x¸c ®Þnh. Thay (26) vµo (24) ta cã:
2C  4 2 ( A  Bt  Ct 2 )  2 2 gt 2 sin cos

So s¸nh hÖ sè cña c¸c luü thõa cïng bËc cña t ë vÕ ph¶i vµ vÕ tr¸i cña ®¼ng thøc
nµy ta ®­îc:
B  0; C  2 2 A  0; 4 2C  2 2 g sin cos

Tõ ®ã suy ra:
1 1
g sin(2 ), A   2 g sin(2 );
C
8
4
t2
1
x2   2 g sin(2 )  g sin(2 )
8 4
NghiÖm tæng qu¸t cña ph­¬ng tr×nh (24) b©y giê cã thÓ viÕt:
g sin(2 )
(1  2 2 t 2 )
x  x1  x2  C  sin(2t )  C  cos(2t )  2
8
Tõ c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu (18) ta x¸c ®Þnh ®­îc C/ vµ C//:

52
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

1
C   0 & C   g sin(2 )
8 2
Nh­ vËy, ®èi víi x ta nhËn ®­îc kÕt qu¶:
sin 2 t
1
g (1  2 2 )t 2 sin(2 ) (27)
x
t
4
Thay (27) vµo (22), ta cã:
sin 2 t.cos2 
12
gt (sin 2   (28)
z  h )
 2t 2
2

BiÕt x lµ hµm cña thêi gian t ta tÝnh ®­îc x vµ tõ ph­¬ng tr×nh (20) ta x¸c ®inh
®­îc y:
 sin(2t ) 
1
(29)
cos
y gt 1 
2t 
2  
C¸c ph­¬ng tr×nh (27), (28), (29) lµ c¸c ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña chÊt
®iÓm r¬i tù do tõ ®é cao h víi vËn tèc ban ®Çu b»ng kh«ng ë vÜ ®é ®Þa lÝ  ë b¾c
b¸n cÇu.
sin 2 t sin(2t )
V×:  1& 1
22
t 2t
Nªn ta cã:
- x > 0: NghÜa lµ do t¸c dông cña lùc qu¸n tÝnh C«ri«lit, chÊt ®iÓm r¬i lÖch vÒ
phÝa nam.
- y > 0: NghÜa lµ chÊt ®iÓm r¬i lÖch vÒ phÝa ®«ng còng do t¸c dông cña lùc
sin 2  t
qu¸n tÝnh C«ri«lit. Ngoµi ra, v× (sin 2   ) cos2   1 nªn chÊt ®iÓm r¬i theo
 2t 2
ph­¬ng z chËm ®i mét chót.
 12
- T¹i cùc (  ) th× x = 0, y = 0 vµ to¹ ®é Nh­ vËy t¹i cùc do
z  h gt .
2 2
 
lùc C«ri«lit triÖt tiªu (  v ) nªn vËt r¬i hoµn toµn th¼ng ®øng.
- T¹i xÝch ®¹o (  0 ) th× x = 0 vµ y  0 . Trong tr­êng hîp nµy lùc C«r«lit
 
h­íng th¼ng ®øng tõ t©y sang ®«ng (   v ) vµ chØ cã sù lÖch vÒ ph­¬ng ®«ng.


53
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


§Ó ®¸nh gi¸ nh÷ng ®é lÖch thu ®­îc, ta khai triÓn sin(2t ) & sin 2 t thµnh cÊp sè
vµ gi¸ trÞ t nhá, ta ®­îc:
4 3t 3
sin(2 t )  2t   ....
3
 4t 4
sin 2  t   2t 2   ...
3
Tõ ®ã ta cã:
 gt 2
(t ) 2 sin(2 )
x 
12

 gt 2

(30)
(t ) cos( ),
y

3

 gt 2  (t )2 
cos 2  
z  h 1 

2 3
 


Tõ c¸c biÓu thøc nµy ta thÊy r»ng ®é lÖch vÒ ph­¬ng nam (x) chøa sè h¹ng bÐ
( t ) bËc cao h¬n ®é lÖch vÒ ph­¬ng ®«ng (y). NÕu bá qua c¸c luü thõa bËc cao
cña ( t ) th× ta cã:

x  0

g t 3

(31)
cos ,
y 
3

12

 z  h  2 gt

B©y giê ta tÝnh ®é lÖch vÒ ph­¬ng ®«ng y phô thuéc vµo ®é cao h nh­ thÕ nµo.
Khi z = 0 ta cã:
1/ 2
 2h 
t  
g
Thay gi¸ trÞ t nµy vµo biÓu thøc cña y trong (31), ta nhËn ®­îc:
g 2h 3 / 2
(32)
( ) cos
y
3g




54
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


Khi h = 100 m,   550 th× y  12, 55mm. §é lÖch nµy ®ñ lín ®Ó cã thÓ kiÓm tra
®­îc b»ng thùc nghiÖm. V× thÕ thÝ nghiÖm nµy cã thÓ dïng ®Ó chøng tá sù quay
cña Tr¸i §Êt.




Ch­¬ng ii: c¸c ®Þnh LÝ tæng qu¸t
cña ®éng lùc häc vµ c¸c ®Þnh luËt b¶o toµn


Bµi 9: C¸c ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña hÖ chÊt ®iÓm.


1. HÖ chÊt ®iÓm: Mét tËp hîp c¸c vËt thÓ mµ mçi vËt thÓ ®­îc xem nh­ mét
chÊt ®iÓm ®­îc gäi lµ hÖ chÊt ®iÓm.
2. Néi lùc vµ ngo¹i lùc: XÐt mét hÖ chÊt ®iÓm gåm N chÊt ®iÓm M1, M2, …
Mn. Lùc t¸c dông lªn chÊt ®iÓm cña hÖ kh«ng kÝn chia thµnh néi lùc vµ ngo¹i
lùc.
a). Néi lùc lµ lùc do c¸c chÊt ®iÓm cña hÖ t­¬ng t¸c víi nhau.

KÝ hiÖu: Fkl lµ néi lùc do chÊt ®iÓm Ml t¸c dông lªn chÊt ®iÓm Mk cña hÖ.
Néi lùc do (N -1) chÊt ®iÓm cßn l¹i t¸c dông lªn chÊt ®iÓm k cña hÖ b»ng
 
Fki   Fkl víi l  k.
l



55
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


b). Ngo¹i lùc lµ lùc do c¸c vËt thÓ ë ngoµi hÖ t¸c dông lªn c¸c chÊt ®iÓm ë
trong hÖ.

KÝ hiÖu: Fke lµ ngo¹i lùc t¸c dông lªn chÊt ®iÓm Mk cña hÖ.
3. C¸c ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña hÖ chÊt ®iÓm:
ChuyÓn ®éng cña hÖ gåm N chÊt ®iÓm ®èi víi hÖ quy chiÕu qu¸n tÝnh ®­îc
x¸c ®Þnh bëi N ph­¬ng tr×nh vi ph©n h¹ng hai sau ®©y:
  
d 2 rk
 Fke  Fki (1)
mk ( k  1, 2, ... N )
dt 2
 

d
( m k v k )  Fke   Fkl
Hay (2)
dt l


( l  k; k = 1, 2, … N)
 
Víi p k  m k v k lµ xung l­îng cña chÊt ®iÓm mk.
T×m nghiÖm cña hÖ N ph­¬ng tr×nh vi ph©n h¹ng hai lµ v« cïng phøc t¹p. V×
vËy ta cÇn t×m c¸c ®Þnh lý vµ ®Þnh luËt tæng qu¸t mµ hÖ ph¶i tu©n theo lµ rÊt
quan träng. Nhê c¸c ®Þnh lÝ tæng qu¸t nµy mµ ta cã thÓ biÕt ®­îc nh÷ng tÝnh
chÊt quan träng cña chuyÓn ®éng mµ kh«ng cÇn biÕt chi tiÕt chuyÓn ®éng mµ
kh«ng cÇn biÕt chi tiÕt chuyÓn ®éng Êy.




Bµi 10: . ®Þnh lÝ biÕn thiªn vµ ®Þnh luËt b¶o toµn xung
l­îng cña hÖ.
XÐt mét hÖ gåm N chÊt ®iÓm. Néi lùc t¸c dông lªn chÊt ®iÓm Mk cã thÓ viÕt
d­íi d¹ng:
   
d
Fki   Fkl   Fke  ( mk v k ) (1)
dt
l

 
Theo ®Þnh luËt 3 Newton Fkl   Flk  tæng néi lùc t¸c dông lªn mäi chÊt
®iÓm cña hÖ b»ng kh«ng. NghÜa lµ:


56
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

i 
N
(2)
 F   F 0 kl
k kl
k 1 k l


ThËt vËy, cã thÓ biÓu diÔn (2) d­íi d¹ng:


i   
N
(3)
 F   F   F   F
k kl kl kl
k 1 k l k l k l
k l k l k l


§èi víi chØ sè lÊy tæng (thay k cho l vµ l cho k) trong sè h¹ng thø hai cña (3) vµ
 
chó ý r»ng (  Fkl  Flk   0 , ta cã:
i  
N

 F    F 
 Flk  0
k kl
k 1 k l


k l

Nh­ vËy ®¼ng thøc (2) ®· ®­îc chøng minh. §Æt Fki tõ (1) vµo (2) ta nhËn ®­îc:

dP  e
 
N
dN
  Fke    mk v k   0 hay F
dt
dt  k 1 
k 1


Trong ®ã:
N  N

F e   Fke (4)
P   mk vk
k 1 k 1


§Þnh lý: §¹o hµm vÐc t¬ xung l­îng cña hÖ theo thêi gian b»ng tæng ngo¹i lùc
t¸c dông lªn c¸c chÊt ®iÓm cña hÖ.
ChiÕu (4) lªn Oxyz:
 dPx e
 dt  Fx

 dPy
 Fye (5)

 dt
 dPz e
 dt  Fz


  
 Px   mk xk ; Py   mk yk ; Pz   mk zk
 k k k
Trong ®ã: e e e e e e
 Fx   Fkx ; Fy   Fky ; Fz   Fkz
 k k k


NÕu Fze  0  Pz  Pz 0  const. Pzo lµ thµnh phÇn Pz ë thêi ®iÓm ban ®Çu.

57
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn




  
e  e dP
Víi hÖ kÝn: (6)
F 0 F   0  P  P0  const
dt
§Þnh luËt b¶o toµn xung l­îng: §èi víi hÖ kÝn th× xung l­îng cña hÖ ®­îc b¶o
toµn. §©y lµ mét trong nh÷ng ®Þnh luËt tæng qu¸t nhÊt cña vËt lÝ.




Bµi 11: khèi t©m cña hÖ.
®Þnh lý chuyÓn ®éng cña khèi t©m


I. Khèi t©m. Ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña khèi t©m.
XÐt C§ cña hÖ chÊt ®iÓm ®èi víi hai hÖ QCQT K vµ K'. NÕu gèc O' cña K'
  
chuyÓn ®éng ®èi víi K víi vËn tèc Vo ' th× c¸c vÐct¬ vËn tèc vk vµ v k, cña Mk cña
  ,
hÖ ®èi víi K vµ K' cã hÖ thøc: vk  Vo '  v k

Xung l­îng cña hÖ chÊt ®iÓm ®èi víi K vµ K/:
 
 
P   m k vk vµ P   mk vk

k k


C¸c ®¹i l­îng nµy liªn hÖ víi nhau theo biÓu thøc:
   
 
 
P    mk v k   m k v k  Vo  P  mVo (1)
k k


Víi m   mk :tæng khèi l­îng cña c¶ hÖ.
k
 
 dr0
 drk
vµo (1) ta ®­îc:
Thay: vk  & V0 
dt dt
    
d
P    mk rk  ro   P  mVo (2)
dt  k 
 
 m r  rC   0 th× ta cã:
NÕu cã gèc O'  C tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: k k
k

  
(3)
P  0; P  mVc


58
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

1 
rc   mk rk (4)
mk



 drc
Trong ®ã Vc  lµ vËn tèc ®iÓm C.
dt

§iÓm C mµ vÞ trÝ cña nã ®­îc x¸c ®Þnh bëi b¸n kÝnh vÐct¬ rc theo c«ng thøc
(4) gäi lµ khèi t©m hay t©m qu¸n tÝnh cña hÖ chÊt ®iÓm.
HÖ K' cã gèc g¾n víi khèi t©m C cña hÖ gäi lµ hÖ quy chiÕu khèi t©m hay hÖ
t©m qu¸n tÝnh.
Tõ (3) ta thÊy r»ng:

+ XL cña hÖ ®èi víi hÖ quy chiÕu qu¸n tÝnh K/ g¾n liÒn víi khèi t©m) P  0
+ XL cña hÖ ®èi víi hÖ qui chiÕu qu¸n tÝnh K: b»ng tÝch cña khèi l­îng toµn
 
bé cña hÖ víi vËn tèc khèi t©m cña nã P  mVc . Mèi liªn hÖ gi÷a XL cña hÖ
gièng nh­ mèi liªn hÖ gi÷a c¸c ®¹i l­îng t­¬ng øng ®èi víi mét chÊt ®iÓm. V×
thÕ cho nªn ta cã thÓ xem XL cña hÖ nh­ XL cña mét ®iÓm n»m ë khèi t©m vµ
®iÓm ®ã cã khèi l­îng b»ng khèi l­îng cña hÖ.
Thay (3) vµo (4) ta suy ra ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña khèi t©m cña hÖ:



dVC
dP
 Fe (5)
m
dt dt
 

NÕu F e  0  Vc  const , nghÜa lµ khèi t©m cña hÖ sÏ ®øng yªn hoÆc chuyÓn
®éng th¼ng ®Òu. ChiÕu (5) lªn Oxyz:

mxc  Fxe

 e
(6)
myc  Fy 
 e

mzc  Fz


C¸c PT (5) vµ (6) lµ nh÷ng PTC§ cña khèi t©m ®èi víi hÖ QCQT
II. Mét sè thÝ dô.



59
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


ThÝ dô 1: Kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña xe « t« hay ®Çu m¸y xe löa trªn ®­êng
th¼ng n»m ngang khi khëi ®éng.
Bµi gi¶i:
Khi « t« hay ®Çu m¸y xe löa khëi
P3
®éng th× b¸nh xe chñ ®éng t¸c dông lªn
P2
mÆt ®­êng hay ®­êng ray mét lùc
P1
h­íng tõ tr­íc ra sau vµ tiÕp tuyÕn víi
mÆt ®­êng t¹i ®iÓm tiÕp xóc. Theo ®Þnh y
luËt III Newton, mÆt ®­êng hay ®­êng
x0
ray sÏ t¸c dông lªn b¸nh xe mét lùc trùc
  t
®èi. Lùc nµy lµ ngo¹i lùc t¸c dông lªn
P3
P2
khèi t©m cña « t« hay xe löa cã h­íng
P1
tõ sau vÒ tr­íc. Khi lùc nµy ®ñ th¾ng
lùc c¶n t¸c dông lªn c¸c b¸nh xe bÞ y
®éng th× khèi t©m cña « t« hay xe löa sÏ
x x
di chuyÓn vÒ phÝa tr­íc. l sin  l cos 
ThÝ dô 2: Mét ®éng c¬ cã träng l­îng
P1 ®Æt trªn mét mÆt nh½n n»m ngang. Mét thanh ®ång chÊt cã ®é dµi 2l vµ cã
träng l­îng P2, mét ®Çu thanh ®­îc g¾n vu«ng gãc víi trôc ®éng c¬ vµ ®Çu kia
g¾n liÒn mét qu¶ nÆng cã träng l­îng P3. Gi¶ sö trôc ®éng c¬ quay ®Òu víi vËn
tèc gãc  . H·y x¸c ®Þnh:
1. Ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña vá ®éng c¬ vµ ph¶n lùc cña bÖ khi ®éng c¬
®Æt tù do trªn bÒ mÆt nh½n.
2. ¸p lùc n»m ngang lín nhÊt lªn bul«ng khi ®éng c¬ ®­îc b¾t chÆt vµo bÖ.
Bµi gi¶i:
Ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña khèi t©m cña c¬ hÖ cã d¹ng:




60
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

P  P2  P3
.c  Rx
1
x
g
 P3 
P P2
1
 m1  , m2  , m3  
g g g

P  P2  P3
.c  R y  P  P2  P3
1
y 1
g

Trong ®ã: Rx, Ry lµ h×nh chiÕu cña ph¶n lùc cña mÆt n»m ngang lªn c¬ hÖ. Tõ
h×nh vÏ ta cã:
x1  x, x2  x  l sin t , x3  x  2l sin t

y1  y, y2  y  l cos t , y3  y  2l cos t , y  const

( P  2 P3 )l sin t
m1 x1  m2 x2  m3 x3
 x 2
xc 
 P1  P2  P3 
m1  m2  m3
 P  2 P3  l cos t
m1 y1  m2 y2  m3 y3
 y 2
yc 
m1  m2  m3 P  p2  P3
1


( P2  2 P3 )l 2 sin t
c   
xx
P  P2  P3
1

 P2  2 P3  l 2 cos t
( P2  2 P3 )l 2 cos t
c   
yy 
P  P2  P3 P  P2  P3
1 1


NÕu ®Æt ®éng c¬ tù do trªn bÒ mÆt n»m ngang nh½n th× Rx = 0. Khi ®ã ta cã
c  0 hay xc = const vµ ph­¬ng tr×nh cña vá ®éng c¬ cã d¹ng:
x

 P2  2P3  l sin t , x
x  xc   const , y  const
c
P  P2  P3
1


Ph¶n lùc do mÆt n»m ngang t¸c dông lªn ®éng c¬ trong tr­êng hîp nµy ®­îc
x¸c ®Þnh:
2
 P  2 P3  l cos t
P  P2  P3
c  P  P2  P3  2
1
R  Rx  P  P2  P3  y
1 1
g g

 P2  2P3  l 2
Rmax  P  P2  P3 
 1
g




61
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


 P2  P3  l 2
Rmin  P  P2 P  0
1 3
g
 P1  P2  P3  g

 P 2 2 P3  l
NÕu ®éng c¬ ®­îc g¾n chÆt víi mÆt ph¼ng n»m bëi nh÷ng chèt th×: x = const,
y = const hay   0,   0 . Trong tr­êng hîp nµy ta cã:
x y

l 2 ( P2  2 P3 )
P  P2  P3
c  
1
sin t
Rx  x
g g
l 2 ( P2  2 P3 )
cos t
Ry  P  P2  P3 
1
g

C¸c h×nh chiÕu Rx, Ry thay ®æi theo thêi gian mét c¸ch tuÇn hoµn.


Bµi 12: chuyÓn ®éng cña vËt cã khèi l­îng biÕn ®æi.

bµi to¸n xi«nkèpxki (tsionkovski)
I. §Æt vÊn ®Ò
Trong thùc tÕ ta th­êng gÆp nh÷ng hÖ cã khèi l­îng biÕn ®æi theo thêi gian.
Ch¼ng h¹n khèi l­îng cña tªn löa ®ang chuyÓn ®éng, khèi l­îng cña thiªn thÓ
khi tiÕp nhËn c¸c thiªn th¹ch v.v..B©y giê chóng ta h·y t×m c¸ch thiÕt lËp
ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña nh÷ng vËt cã khèi l­îng biÕn ®æi nµy.
II. ThiÕt lËp ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng
   
+ ë thêi ®iÓm t vËt cã: m(t), vK  v , pK  p  mv .
 
+ ë thêi ®iÓm (t+dt) vËt cã: (m + dm), ( v  dv ).
NÕu khèi l­îng cña vËt t¨ng th× dm > 0. NÕu khèi l­îng cña vËt gi¶m th× dm
0 vµ dm < 0). §­îc gäi lµ ph­¬ng tr×nh Mesexki, ®­îc viÕt d­íi d¹ng:

dv  
(4)
m FR
dt
  dm  
Víi R  u0 ; u0  u  v
dt
 
R cã thø nguyªn cña lùc gäi lµ ph¶n lùc, cßn u0 lµ vËn tèc cña h¹t bÞ b¾n ra

(hay nhËn vµo) ®èi víi vËt cã khèi l­îng biÕn ®æi vÝ dô vËn tèc cña khÝ phôt ra
®èi víi tªn löa.
Trong KH du hµnh vò trô, ng­êi ta th­êng kh¶o s¸t tr­êng hîp ®¬n gi¶n sau:
  
(5)
u0  u0 , u 0  u  v  const


63
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


 : lµ vÐc t¬ ®¬n vÞ cña ph¸p tuyÕn quü ®¹o chuyÓn ®éng. Nh÷ng ®iÒu kiÖn (5)
gäi lµ ®iÒu kiÖn Xi«nk«pxki. Bµi to¸n vÒ chuyÓn ®éng cña vËt cã khèi l­îng
biÕn ®æi theo (4) víi ®iÒu kiÖn (5) gäi lµ bµi to¸n Xi«nk«pxki.
III. Mét sè bµi to¸n.
3.1: Bµi to¸n1 ChÊt ®iÓm cã khèi l­îng biÕn ®æi chuyÓn ®éng theo ®­êng

th¼ng víi ngo¹i lùc F  0 hoÆc cã thÓ bá qua. T×m ®Þnh luËt chuyÓn ®éng cña
chÊt ®iÓm khi biÕt quy luËt thay ®æi khèi l­îng cña nã.
Bµi gi¶i:
ë bµi to¸n nµy ta ®· bá qua lùc hÊp dÉn vµ lùc ma s¸t cña m«i tr­êng t¸c dông
lªn tªn löa. Ph­¬ng tr×nh Mesexki vµ tõ ®iÒu kiÖn Xi«nk«pxki ta cã:

dv   dm
(6)
 F  u0
m
dt dt
 
§Æt F  0 vµ chiÕu (5) lªn ph­¬ng  ta ®­îc:
dv dm
(7)
m  u0 ; u0  const
dt dt
dm dv
HoÆc lµ: (8)

m u0

v
TÝch ph©n hai vÕ ta ®­îc: ln( m)  (9)
 const
u0

Khi t = 0 th× v = v0 vµ m = m0 suy ra:
v0
(10)
const  ln( m0 ) 
u0

Tõ (8) & (9) suy ra vËn tèc cña tªn löa theo vËn tèc t­¬ng ®èi cña khÝ phôt ra u0
vµ ®é biÕn thiªn khèi l­îng cña nã:
m0
(11)
v  v0  u0 ln( )
m
Gi¶ sö sau mét kho¶ng thêi gian nµo ®ã chÊt ®iÓm cã khèi l­îng m1 vµ cã vËn
tèc lµ v1. Khi ®ã ta cã:
m 
(12)
v1  v0  u0 ln  0 
m

64
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


Nh­ vËy: VËn tèc giíi néi v1:
m0
+  (v0 ; u0 & )
m1

+  vµo ®Þnh luËt thay ®æi cña khèi l­îng theo thêi gian tõ trÞ m0 vÒ trÞ m.
Gi¶ sö chÊt ®iÓm chuyÓn ®éng theo chiÒu d­¬ng cña trôc x vµ ë thêi ®iÓm
ban ®Çu t = 0 chÊt ®iÓm ë gèc to¹ ®é. Khi ®ã ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña chÊt
®iÓm cã d¹ng:
t t
m0
(13)
x   v (t ) dt  v0 t  u0  ln dt
m (t )
0 0


BiÕt ®­îc ®Þnh luËt thay ®æi khèi l­îng cña chÊt ®iÓm theo thêi gian th× ta x¸c
®Þnh ®­îc x = x(t).
Ta th­êng kh¶o s¸t hai ®Þnh luËt gi¶m khèi l­îng cña chÊt ®iÓm sau ®©y:
a). m(t )  m0 (1  kt ), k  const  0 (14)
b). m(t )  m0 e  kt ,   const  0 (15)
Thay (14) vµo (13) ta nhËn ®­îc:
u0
 (1  kt )(ln(1  kt )  kt  (16)
x  v0 t 
k
T­¬ng tù thay (15) vµo (13) ta ®­îc:
 u0
t2 (17)
x  v0t 
2
Tõ (16) vµ (17) ta nhËn thÊy quy luËt chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm cã khèi biÕn
®æi phô thuéc vµo quy luËt thay ®æi cña khèi l­îng theo thêi gian.
3.2: Bµi to¸n 2 ( SGK).


Bµi 13. ®Þnh lý biÕn thiªn vµ ®Þnh luËt
b¶o toµn m« men xung l­îng cña hÖ chÊt ®iÓm.


1. §Þnh lÝ biÕn thiªn m« men xung l­îng cña hÖ chÊt ®iÓm:

65
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

XÐt hÖ gåm N chÊt ®iÓm. Chän O lµm gèc
k
 to¹ ®é, vÞ trÝ cña hai chÊt ®iÓm Mk vµ Ml
 Fkl
rk  
®­îc x¸c ®Þnh b¸n kÝnh vÐct¬ lµ rk vµ rl . VÞ
 trÝ t­¬ng ®èi gi÷a hai chÊt ®iÓm nµy lµ:
0
Flk
 
rl rkl  rk  rl .
l

V× rkl // Fkl nªn:
 
 
 rkl  Fkl    (rk  rl )  Fkl  
  
  
  
  rk  Fkl  rl  Fkl    (rk  Fkl )  (rl  Flk )   0


+  rk  Fkl  gäi lµ m« men cña lùc Fkl ®èi víi ®iÓm 0.
 


+  rl  Flk  gäi lµ m« men cña lùc Flk ®èi víi ®iÓm 0.
 
Tæng m« men cña c¸c néi lùc t¸c dông lªn c¸c chÊt ®iÓm cña hÖ ®èi víi ®iÓm
O bÊt kú:
  
M   M k    rk  Fki 
 
k k

 
Trong ®ã: M k  rk  Fki lµ tæng m« men cña c¸c n«i lùc t¸c dông lªn chÊt ®iÓm
Mk ®èi víi ®iÓm O.
Tõ ®ã ta cã:
  

M    rk  Fki     rk   Fkl  
 
k 
k l
 
   rk  Fkl     rk  Fkl  
   
k ,l k ,l
k l k l
(1)
 
   rk  Fkl     rl  Flk 
   
k ,l k ,l
k l k l
  

 
   rk  Fkl    rl  Flk     rkl  Flk   0
    
k ,l k ,l
k l k l


VËy: Tæng m«men cña c¸c néi lùc t¸c dông lªn c¸c chÊt ®iÓm cña hÖ ®èi víi
®iÓm O bÊt kú b»ng kh«ng.
  
d
Tõ: Fk   Fke  (mk vk ) ,nªn:
dt
66
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


   d 
   rk  Fki     rk  Fke     rk  ( mk vk )   0 (2)
    dt
k 
k k


  
 drk
V×:   mk vk    vk  mk vk   0 , nªn (2) cã thÓ viÕt:

 dt 


dL
(3)
M
dt
  
 
L    rk  mk vk ; M    rk  Fke 
Trong ®ã:  
k k
  
- §¹i l­îng: lk   rk  mk vk  lµ MMXL cña Mk ®èi víi O.
  
- §¹i l­îng L    rk  mk vk  lµ MMXL cña hÖ ®èi víi O. M« men xung l­îng
k


cña hÖ ®èi víi ®iÓm O b»ng tæng h×nh häc m« men xung l­îng cña tÊt c¶ c¸c
chÊt ®iÓm cña hÖ ®èi víi ®iÓm O.



- §¹i l­îng  rk  Fke  lµ MM cña ngo¹i lùc Fke t¸c dông lªn Mk ®èi víi O
 

- §¹i l­îng M gäi lµ MM cña ngo¹i lùc t¸c dông lªn hÖ ®èi víi O. MM cña
ngo¹i lùc t¸c dông lªn hÖ ®èi víi ®iÓm O b»ng tæng h×nh häc MM cña c¸c ngo¹i
lùc t¸c dông lªn chÊt ®iÓm cña hÖ ®èi víi ®iÓm O.
§Þnh lÝ: §¹o hµm vÐc t¬ m« men xung l­îng cña hÖ ®èi víi mét ®iÓm theo
thêi gian b»ng tæng m« men ngo¹i lùc t¸c dông lªn c¸c chÊt ®iÓm cña hÖ ®èi víi
cïng ®iÓm Êy.
ChiÕu (3) lªn c¸c trôc oxyz:
 
 Lx   mk ( yk zk  zk yk )
 k
 L  m ( z x x z )
 
y  k kk kk
 dLx
 dt  M x k

 
 Lz   mk ( xk yk  yk xk )

 dLy  k
(4) Trong ®ã: (5)
 My
  e e
 M x   ( yk Fkz  zk Fky )
 dt
 dLz  k

 dt  M z e e
 M y   ( zk Fkx  xk Fkz )
  k
 e e
 M z   ( xk Fky  yk Fkx )
 k


2. §Þnh luËt b¶o toµn m« men xung l­îng:
67
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


- Tõ (3) ta thÊy: NÕu thµnh phÇn cña tæng m«men ngo¹i lùc trªn mét trôc cè
®Þnh nµo ®ã b»ng kh«ng t¹i mäi thêi ®iÓm th× thµnh phÇn cña m«men xung
l­îng cña hÖ trªn trôc ®ã ®­îc b¶o toµn.
ThÝ dô:
 
+ NÕu Mz = 0 th× Lz   mk ( xk yk  yk xk )  const .
k

  
+ NÕu hÖ kÝn Fke  0(k  1,2....N ) th× M  0  L  L0  const
VËy: M« men xung l­îng cña hÖ kÝn lµ ®¹i l­îng b¶o toµn
   
+ NÕu Fke  0 nh­ng M  0  L  L0  const
§Þnh luËt: NÕu tæng m« men cña c¸c ngo¹i lùc t¸c dông lªn hÖ ®èi víi mét
®iÓm lu«n b»ng kh«ng th× m« men xung l­îng cña hÖ ®èi víi ®iÓm Êy sÏ kh«ng
®æi.
Chó ý: §Þnh lÝ biÕn thiªn m« men xung l­îng cña hÖ kh«ng nh÷ng ®óng víi
®iÓm O cè ®Þnh mµ cßn ®óng víi ®iÓm lµ khèi t©m cña hÖ (SGK)
- NÕu tÊt c¶ c¸c chÊt ®iÓm Mk cña c¬ hÖ ®Òu quay quanh mét trôc Oz cè ®Þnh
víi c¸c vËn tèc k kh¸c nhau th× ta cã:
   
L    rk  mk vk   Lz   d k mk vk   mk d k2k ; (rk  vk )
k k k


dk lµ kho¶ng c¸ch tõ chÊt ®iÓm Mk ®Õn trôc Oz. tõ (4) suy ra:
Khi Mz = 0 th× Lz = const
- NÕu tÊt c¶ c¸c chÊt ®iÓm Mk cña hÖ ®Òu quay trôc oz cè ®Þnh cïng vËn tèc 
(nghÜa lµ hÖ quay nh­ vËt r¾n) th× biÓu thøc Lz cã
z
d¹ng ®¬n gi¶n:
dk 
J z   M k d k2
L z  J z
vk
Mk k


Jz gäi lµ m« men qu¸n tÝnh cña hÖ ®èi víi trôc Oz..
rk
Trong tr­êng hîp vËt chÊt ph©n bè liªn tôc víi mËt
®é khèi l­îng  t¹i thÓ tÝch dV th× ta cã:


68
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


J z    d 2 dV

VÝ dô 1: Mét d©y treo vËt nÆng cã träng l­îng P1 quÊn trªn mét t¨ng quay lµ
mét h×nh trô trßn ®ång chÊt cã träng l­îng P2 vµ b¸n kÝnh R. Bá qua
khèi l­îng cña d©y vµ ma s¸t, H·y x¸c ®Þnh vËn tèc cña vËt nÆng khi
o
r¬i xuèng.
Bµi gi¶i
C¬ hÖ gåm t¨ng quay, vËt nÆng vµ d©y. C¸c ngo¹i lùc t¸c dông lªn c¬
 
hÖ lµ c¸c träng lùc P1 , P2 vµ ph¶n lùc R cña æ ®ì.
Chon trôc quay lµ trôc Oz h­íng ra phÝa sau cña trang giÊy vµ vu«ng gãc víi
t¨ng quay.
¸p dông ®Þnh lÝ biÕn thiªn m« men xung l­îng cña c¬ hÖ ®èi víi trôc
Oz, ta cã:
  
dLz
 M z  M z ( P )  M z ( P2 )  M z ( P3 )
1
dt
P v P J P
Trong ®ã: 1
v  J z  R 1 v  v( z  1 R)
Lz  J z  R.
g R g Rg
   
M z ( P )  R.P , M z ( P2 )  0, M z ( R)  0 v× R & P2 ®i qua O. DÔ dµng thÊy r»ng:
1 1


dv R.P1
w  
dt  J z R1 
 R  g R
 
RPt
1
NÕu v0 = 0 th× tõ ®©y ta suy ra: v 
 Jz P 1
 R  g R
 
B©y giê ta h·y x¸c ®Þnh m« men qu¸n tÝnh Jz cña h×nh trô ®ång chÊt cã mËt ®é
 , cã bÒ dµy h vµ b¸n kÝnh R ®èi víi trôc Oz vu«ng gãc víi ®Üa vµ ®i qua t©m
cña nã.
Gäi r lµ kho¶ng c¸ch tõ mét ®iÓm cña h×nh trô ®Õn trôc Oz, m lµ khèi l­îng
cña ®Üa trßn, dm lµ khèi l­îng cña phÇn ®Üa n»m gi÷a hai mÆt trô cã b¸n kÝnh r
vµ r + dr. Khi ®ã ta cã:
69
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

dm  2 rdr .h
R R
R 4  R 2 h R 2 mR 2
2 2
J z   r dm   r 2 rdr .h  2 h   
4 2 2
0 0


mR 2 P2 R 2
vµo biÓu thøc v ta ®­îc:
§Æt J z  
2g
2
2 gPt
1
v
1
2 P  P2 

VÝ dô 2: Trong mét dông cô (h×nh vÏ), cho biÕt khèi l­îng cña h×nh trô ®Æc
®ång chÊt lµ m, b¸n kÝnh cña h×nh trô lµ R, m« men c¶n ®Æt lªn h×nh trô lµ MC
vµ khèi l­îng cña c¸c vËt lµ m1 vµ m2. Coi sîi d©y kh«ng d·n vµ cã khèi l­îng
bá qua. T×m gia tèc gãc cña h×nh trô vµ søc c¨ng hai nh¸nh 1 vµ 2 cña d©y.
Bµi gi¶i:
Trôc quay cña h×nh trô lµ trôc Oz h­íng ra phÝa sau cña
mÆt giÊy. ¸p dông ®Þnh lÝ biÕn thiªn m« men xung l­îng
cña hÖ ®èi víi trôc Oz, ta cã:
oR
dLz
 Mz
1 2
dt  
 P T2
2
T1
Lz  J z  Rm1v  Rm2v    J z  R (m1  m2 )  
  m2
Trong ®ã: m1 

R 2  m  2(m1  m2 )
  P2
2 P1

mR 2
V× J z 
2
   
M z  M z ( P )  M z ( P2 )  M z ( P)  M z ( R)  Mc
1

    
M z ( P )   Rm1 g , M z ( P2 )  Rm2 g , M z ( P)  0, M z ( R)  0 v× trong lùc P vµ ph¶n lùc cña
1

æ ®ì R ®i qua trôc quay Oz. BiÕt L vµ MZ dÔ dµng tÝnh ®­îc gia tèc  cña h×nh
trô
d 2  Rg ( m2  m1 )  M c 
 
R  m  2( m1  m2 ) 
dt

Gia tèc cña m1 vµ m2 cã gi¸ trÞ:

70
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


2  Rg ( m2  m1 )  M c 
w1  w2  w  R 
R  m  2( m1  m2 ) 

Trong ®ã T1 vµ T2 ®­îc x¸c ®Þnh tõ c¸c ph­¬ng tr×nh:
T1  m1 g  m1w1  m1w; m2 g  T2  m2 w2  m2 w
 T1  m1 ( g  w), T2  m2 ( g  w)

VÝ dô 3: Mét bµn trßn n»m ngang cã thÓ quay kh«ng ma s¸t xung quanh trôc
th¼ng ®øng Oz ®i qua t©m cña nã. Mét ng­êi cã
khèi l­îng m ®i trªn bµn lu«n c¸ch trôc Oz mét
kho¶ng r víi vËn tèc t­¬ng ®èi víi bµn lµ u kh«ng
R
r
®æi. Hái khi ®ã bµn sÏ quay quanh trôc Oz víi vËn
U
tèc  b»ng bao nhiªu. Cho biÕt bµn trßn ®ång chÊt
cã khèi l­îng m1 vµ cã b¸n kÝnh R.
Bµi gi¶i:

V× c¸c träng lùc cña ng­êi vµ cña bµn song song víi trôc Oz, ph¶n lùc R cña
dLz
æ ®ì ®i qua trôc Oz nªn Mz = 0. tõ ph­¬ng tr×nh  Mz  0 
dt
Lz = const. V× ë thêi ®iÓm ban ®Çu hÖ ®øng yªn nªn Lz = 0.
1
m1R 2
Lz  J z  m( r  u )r  0, J z 
2
2mur
 
m1R 2  2mr 2




Bµi 14: §Þnh lý biÕn thiªn ®éng n¨ng
vµ ®Þnh luËt b¶o toµn c¬ n¨ng cña hÖ chÊt ®iÓm


I. §Þnh lý biÕn thiªn ®éng n¨ng d¹ng vi ph©n



71
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

* Lùc t¸c dông lªn chÊt ®iÓm Mk cña hÖ gåm tæng néi lùc vµ ngo¹i lùc. Trong

®ã néi lùc Fki phô thuéc vµo vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña chÊt ®iÓm Mk víi c¸c chÊt ®iÓm
cßn l¹i cña hÖ vµ ®­îc biÓu diÔn:
 U i   
 
Fki   gradU i (r1 , r2 ,...rN )    (r1 , r2 ,..rN ) (1) (k = 1,2, .. N).
rk

Trong ®ã:
 
+ U i (r1 , r2 ,... rN ) : hµm v« h­íng chØ phô thuéc vµo vÞ trÝ c¸c b¸n kÝnh vÐc t¬
 
r1 , r2 ,...rN x¸c ®Þnh vÞ trÝ c¸c chÊt ®iÓm cña hÖ gäi lµ néi thÕ n¨ng cña hÖ.

+ Fki tho¶ m·n (1) gäi lµ néi lùc thÕ
 
* LÊy vi ph©n hµm U i (r1 , r2 , ... rN ) ta cã
N
U i  
N
dU i    drk   Fki drk . (2)
k 1 rk k 1

  
+  Aki  Fki drk gäi lµ c«ng nguyªn tè cña lùc Fki trªn dÞch chuyÓn drk

N
 Ai    Aki   Fki drk (3)
+
k 1


lµ c«ng nguyªn tè cña tÊt c¶ c¸c néi lùc t¸c dông lªn c¸c chÊt ®iÓm cña hÖ.

i  e dmk v k
* Thay Fk =  Fk  vµo (3) ta cã
dt
 
e  dm k v k   drk
i e
 A   Fk drk   drk   A   d (m k v k )
dt dt
k k k
2
mv
  A e   d k k   A e  dT (4)
2
k

 dT   A e   Ai

Trong ®ã:
mk vk2
N
T  lµ ®éng n¨ng cña hÖ
2
k 1


 Ae    Ake   Fke drk c«ng nguyªn tè cña tÊt c¶ c¸c ngo¹i lùc t¸c dông lªn
k k


c¸c chÊt ®iÓm cña hÖ.

72
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


§Þnh lý: Vi ph©n ®éng n¨ng cña hÖ b»ng c«ng nguyªn tè cña tÊt c¶ c¸c néi lùc
vµ ngo¹i lùc t¸c dông lªn c¸c chÊt ®iÓm cña hÖ.
II. §Þnh luËt b¶o toµn c¬ n¨ng cña hÖ:
2.1: §èi víi hÖ kÝn.

- V× néi lùc Fki lµ lùc thÕ nªn:  Ai  dT   Ae  dU i suy ra:

d(T + Ui) =  Ae. (5)
 
- Víi hÖ kÝn th× Fke  0   Ae    Ake   Fke drk  0 , suy ra:
k k


T + Ui = c¬ n¨ng cña hÖ = const. (6)
§Þnh luËt: §èi víi hÖ kÝn c¬ n¨ng cña hÖ lµ mét ®¹i l­îng b¶o toµn.
Tr­êng hîp hÖ chuyÓn ®éng trong tr­êng lùc thÕ .
2.2.1: BiÓu diÔn néi thÕ n¨ng cña hÖ qua thÕ n¨ng t­¬ng t¸c cña mçi cÆp Mk
& Ml
 
Néi thÕ n¨ng U i (r1 , r2 ,....rN ) cña hÖ cã thÓ biÓu diÔn qua thÕ n¨ng t­¬ng t¸c cña
 
mçi cÆp chÊt ®iÓm Mk vµ Ml bÊt kú ®­îc x¸c ®Þnh bëi: U kl ( rk  rl ) . ThËt vËy, lùc
thÕ do chÊt ®iÓm Ml t¸c dông lªn chÊt ®iÓm Mk vµ do chÊt ®iÓm Mk t¸c dông lªn
chÊt ®iÓm Ml cã d¹ng:
 
 U kl ( rk  rl  U lk ( rk  rl )
(7)
Fkl   , Flk  
 
rk rl

LÊy vi ph©n hµm Ukl ta ®­îc:
 
U kl  U kl 
(6)
dU kl   drk   drl  ( Fkl drk  Flk drl )
rk rl

Vi ph©n néi n¨ng Ui cã thÓ viÕt:
  
  
1 
dU i   Fki drk   Fkl drk     Fkl drk   Fkl drk  (9)
2 k l 
k kl kl
 k l 
k l k l


§æi chØ sè lÊy tæng cã nghÜa lµ thay k cho l vµ l cho k trong sè h¹ng thø hai cña
(9) ta nhËn ®­îc:

73
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


 
    
1 1 1
  ( Fkl drk  Flk drl )   d   U kl ( rk  rl ) 
i
dU    ( Fkl drk  Flk drl )     2 k l 
2kl 2k l
 
 
k l k l


(10)
  
1
U i (r1 , r2 ,...rN )  U kl ( rk  rl ) (11)

2kl
k l


2.2.2: C«ng nguyªn tè cña ngo¹i lùc t¸c dông lªn c¸c chÊt ®iÓm cña hÖ.
 
- NÕu ngo¹i lùc Fke lµ lùc thÕ vµ U ke ( rk ) lµ thÕ n¨ng cña chÊt ®iÓm trong tr­êng
ngoµi, ta cã:

e 
U ke (rk )
 dU ke   Fke drk
Fk   
rk

- C«ng nguyªn tè cña ngo¹i lùc t¸c dông lªn c¸c chÊt ®iÓm cña hÖ:
   
N

 A   Fke drk  d  U ke (rk )    dU e (r1 , r2 ,...rN )
e
(12)
 
k 1 k


  
N
Víi U e (r1 , r2 ,...rN )   U ke (rk ) lµ thÕ n¨ng cña hÖ trong tr­êng ngoµi. Thay
k 1


d(T + Ui + Ue) = 0
(12) vµo (5) ta ®­îc:
E = T + Ui +Ue = const. (13)
2.2.3: §Þnh luËt HÖ chuyÓn ®éng trong tr­êng lùc thÕ th× c¬ n¨ng cña hÖ ®­îc
b¶o toµn.
III. §Þnh lý biÕn thiªn ®éng n¨ng d­íi d¹ng tÝch ph©n.
Gi¶ sö:
 
+ t0 chÊt ®iÓm Mk cã b¸n kÝnh vÐc t¬ rok vµ vËn tèc vok
 
+ t chÊt ®iÓm Mk cã b¸n kÝnh vÐc t¬ rk vËn tèc v k .
Tõ (4) suy ra: dT = Ai + Ae.

rk
T
i e
 Ai  Ae (14)
 ( A   A )  T  T
  dT  0

T0 r0 k


1N 1N N
mk vk2 , T0   mk v0 k , Ai   Aki
2
Trong ®ã: 
T
2 k 1 2 k 1 k 1

74
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

 
 
rk rk
N
Ae   Ake , Aki  Fki drk & Ake  Fke drk
 
 
k 1 rok rok


+ Aki lµ c«ng cña néi lùc Fki

+ Ake lµ c«ng cña ngo¹i lùc Fke trªn mét qu·ng ®­êng h÷u h¹n däc theo quü ®¹o
 
cña chÊt ®iÓm Mk tõ vÞ trÝ ®Çu rok tíi vÞ trÝ cuèi rk .
Tõ (14) ta cã ®Þnh lý:
§Þnh lÝ: BiÕn thiªn ®éng n¨ng cña hÖ trªn mét chuyÓn dêi nµo ®ã b»ng tæng
c«ng cña c¸c néi lùc vµ ngo¹i lùc ®Æt lªn c¸c chÊt ®iÓm trªn chuyÓn dêi ®ã.
+ Víi hÖ kÝn: Ae  0( Ai  dU )
i    
 Ai    dU i  U o ( ro1 , ro 2 ,...roN )  U i ( r1 , r2 ,...rN ) (15)

U o & U i lµ néi thÕ n¨ng cña hÖ ë vÞ trÝ ®Çu vµ vÞ trÝ cuèi.
i



Thay (14) vµo (15) ta ®­îc: T  To  U oi  U i  E  T  U i  To  U oi  const

1N 1
 mk (vk ) 2  2 U kl ( rk  rl )
Hay E  (16)
2 k 1 kl
k l


Cã thÓ biÓu diÔn ®éng n¨ng cña hÖ kÝn thµnh hai sè h¹ng dùa vµo kh¸i niÖm vÒ
khèi t©m:
+ §éng n¨ng cña chuyÕn ®éng tÞnh tiÕn cña hÖ cïng víi khèi t©m
+ §éng n¨ng chuyÓn ®éng cña nh÷ng chÊt ®iÓm t­¬ng ®èi víi khèi t©m.

CM: ThËt vËy, vËn tèc cña chÊt ®iÓm Mk ®èi víi hÖ QCQT K lµ vk , ®èi víi hÖ


QCQT K/ lµ vk , ®èi víi hÖ QCQT K/ g¾n liÒn víi khèi t©m C lµ Vc . Gi÷a c¸c vËn



tèc nµy cã mèi liªn hÖ: vk  vk  Vc .

 2 1 N  1N
1N 1N
2
  Vc )  mVc 2  Vc  mk vk   mk (vk ) 2
 T   mk  vk    mk (vk  
2 k 1 2 k 1 2 2 k 1
k 1


Trong ®ã:
N
+ m   mk lµ khèi l­îng cña toµn hÖ
k 1




75
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

 
N
+ P    mk vk  0 lµ xung l­îng cña hÖ ®èi víi hÖ quy chiÕu qu¸n tÝnh

k 1


K/ g¾n liÒn víi khèi t©m. Suy ra:
1N
1
mVc2   mk ( vk ) 2 (17)

T
2 2 k 1

§ã chÝnh lµ biÓu thøc ®éng n¨ng cÇn t×m cña hÖ. C¬ n¨ng cña hÖ b©y giê cã thÓ
viÕt:
1
mVc2  E0
E
2
Víi E0 lµ n¨ng l­îng riªng hay néi n¨ng cña hÖ cã d¹ng:

1N 1N N
mk (vk )2   U kl ( rk  rl )
 (18)

E0 
2 k 1 2 k 1 l 1
k l


Kh¸i niÖm néi n¨ng cña hÖ kÝn lµ mét trong nh÷ng kh¸i niÖm quan träng khi ta
kh¶o s¸t hÖ kÝn gåm c¸c nguyªn tö, ph©n tö hay c¸c h¹t nh©n nguyªn tö. Trong
c¬ häc l­îng tö, phÇn néi n¨ng cña hÖ kÝn nµy cã ®­îc l­îng ho¸.
 
Tr­êng hîp ®Æc biÖt khi c¬ hÖ lµ vËt r¾n lÝ t­ëng th× rk  rl  const vµ do ®ã Ui =
const   Ai   dU i  0 & Ai  0
IV. Mét sè thÝ dô.
VÝ dô 1: T×m biÓu thøc thÕ n¨ng cña vËt r¾n cã khèi l­îng m ®Æt trong tr­êng
träng lùc.
Bµi gi¶i:
Néi n¨ng cña vËt r¾n: U i  0 .
ThÕ n¨ng cña vËt r¾n ®Æt trong tr­êng träng lùc:

U  U e    Pk drk    ( Pkx dxk  Pky dyk  Pkz dzk )
k k


Chän trôc Oz h­íng theo ph­¬ng th¼ng ®øng tõ d­íi lªn trªn. Khi ®ã ta cã:
U   g  mk zk  const
k


m z kk
k
Chó ý r»ng: zc 
m
76
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

U = - mgzc + const
Trong ®ã zc lµ to¹ ®é khèi t©m cña vËt r¾n tÝnh theo trôc Oz. NÕu chän gèc thÕ
n¨ng t¹i gèc to¹ ®é th× biÓu thøc thÕ n¨ng cña vËt r¾n trong tr­êng träng lùc cã
d¹ng:
U = - mgzc
C
VÝ dô 2: C¸c vËt A vµ B ®­îc nèi víi O
B
nhau b»ng mét sîi d©y kh«ng d·n v¾t 
 P2
qua rßng räc C. Khi vËt nÆng A cã träng
A
l­îng P1 h¹ xuèng d­íi, rßng räc C cã

träng l­îng P3 quay xung quanh trôc
P1
n»m ngang cè ®Þnh cña nã, cßn vËt nÆng
B cã träng l­îng P2 ®­îc n©ng lªn theo mÆt ph¼ng nghiªng víi ph­¬ng ngang
mét gãc  . Cho biÕt rßng räc C lµ mét ®Üa trßn ®ång chÊt cã b¸n kÝnh R, cã m«
men c¶n ®Æt lªn nã MC, hÖ sè ma s¸t tr­ît gi÷a B vµ mÆt ph¼ng nghiªng lµ f. Bá
qua khèi l­îng cña d©y. Dïng ®Þnh lÝ biÕn thiªn ®éng n¨ng cña c¬ hÖ h·y x¸c
®Þnh gia tèc cña vËt A.
Bµi gi¶i:
Gi¶ sö ban ®Çu ®Üa ®øng yªn vµ sau kho¶ng thêi gian t vËt di chuyÓn ®­îc qu·ng
s
®­êng s, rßng räc quay ®­îc mét gãc   . VËn tèc cña A vµ cña B cã gi¸ trÞ
R
b»ng nhau: vA = vB = v. Do sîi d©y kh«ng d·n vµ rßng räc lµ vËt r¾n cho nªn
c«ng cña néi lùc b»ng kh«ng. C«ng cña ngo¹i lùc t¸c dông lªn hÖ b»ng:
s
A  (sin   f cos  ) P2 .s  Ps  M c
1
R
§éng n¨ng cña rßng räc ®­îc tÝnh theo c«ng thøc:
1 v2
1 1 1
2 22 2
Tc   mk vk   mk  rk  J   J . 2
2R
2k 2k 2
1 P3 2
Trong ®ã: J  R v× rßng räc C lµ ®Üa trßn ®ång chÊt.
2g


77
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

1P 2 1 P2 2
§éng n¨ng cña A vµ B : 1
TA  v ; TB  v
2g 2g

1 v2
§éng n¨ng cña c¬ hÖ: T  TA T B TC  ( P  P2  P3 )
1
2g

M

g  P  P2 (sin   f cos  )  c 
1
dT dA dv R

Tõ :   w
P3
dt dt dt ( P  P2  )
1
2




Ch­¬ng 3: ChuyÓn ®éng xuyªn t©m


Bµi 15 : bµi to¸n hai vËt

I. Néi dung bµi toµn hai vËt
1. ThÕ nµo lµ bµi to¸n hai vËt
Bµi to¸n hai vËt lµ bµi to¸n vÒ chuyÓn ®éng cña mét hÖ kÝn gåm hai chÊt
®iÓm víi thÕ n¨ng t­¬ng t¸c chØ phô thuéc vµo kho¶ng c¸ch t­¬ng ®èi gi÷a hai
chÊt ®iÓm ®ã, gäi lµ bµi to¸n xuyªn t©m vµ chuyÓn ®éng t­¬ng øng gäi lµ
2.ý nghÜa cña bµi to¸n hai vËt
chuyÓn ®éng xuyªn t©m.
NghiÖm cña bµi to¸n lµ c¬ së cña nhiÒu lÜnh vùc kh¸c nhau nh­ c¬ häc thiªn
thÓ, lý thuyÕt chuyÓn ®éng tù do cña c¸c hµnh tinh, lý thuyÕt va ch¹m, lý thuyÕt
t¸n x¹ cña c¸c h¹t...
3. Néi dung bµi to¸n



78
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

Kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña mét hÖ kÝn gåm hai chÊt ®iÓm cã khèi l­îng m1 vµ
 
m2 chuyÓn ®éng t­¬ng ®èi ®èi víi hÖ quy chiÕu qu¸n tÝnh K. Gäi r1 & r2 lµ b¸n
  
kÝnh x¸c ®Þnh vÞ trÝ hai chÊt ®iÓm M1 vµ M2. VÐc t¬ r  r2  r1 x¸c ®Þnh vÞ trÝ
  
t­¬ng ®èi gi÷a hai chÊt ®iÓm. §¹i l­îng r  r  r2  r1 lµ kho¶ng c¸ch t­¬ng ®èi
hai chÊt ®iÓm. ThÕ n¨ng t­¬ng t¸c gi÷a hai chÊt ®iÓm chØ phô thuéc kho¶ng c¸ch
r gi÷a hai chÊt ®iÓm.

Tøc lµ: U (r )  U ( r2  r 1 ) (1)
  
Cho biÕt c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu cña hai chÊt ®iÓm: r01; r02 & v01 ; v02 , vµ d¹ng cña
U(r). CÇn x¸c ®Þnh ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng vµ vËn tèc cña hai chÊt ®iÓm ë
thêi ®iÓm bÊt kú ®èi víi hÖ quy chiÕu qu¸n tÝnh K.




79
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


II. Gi¶i bµi to¸n trong hÖ t©m qu¸n tÝnh


 
dVc  e
dP
Tõ:  F  0  Vc  const V
m
dt dt
 
(2)
PTC§ cña khèi t©m cã d¹ng: rC  VC .t  r0C


N

m r k 0k

: b¸n kÝnh vÐct¬ x¸c ®Þnh vÞ trÝ ban ®Çu cña khèi t©m.
k 1
+ r0 c  N

m k
k 1


+ VC : vËn tèc cña khèi t©m ®èi víi hÖ K. K cã O  C cña hÖ kÝn còng lµ
HQCQT.
 
+ ri  ; vi cña chÊt ®iÓm M i ( i = 1, 2..N) ) ®èi víi K’.

+ ri , vi cña chÊt ®iÓm M i (i =1,2..N) ®èi víi K. VÞ trÝ vµ vËn tèc cña chÊt
®iÓm M i ®èi víi hÖ K vµ K/ liªn hÖ víi nhau bëi:

ri  rC  ri

   . (3)
vi  VC  vi; (i  1, 2)



 
Do ®ã biÕt ®­îc: ri & vi  ri & vi v× rC & Vc ®· biÕt tõ c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu.
NÕu kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña hÖ kÝn hai chÊt ®iÓm ®èi víi K/ th× chuyÓn
®éng toµn bé cña hÖ sÏ ®­îc lo¹i trõ vµ chØ cßn l¹i chuyÓn ®éng t­¬ng ®èi cña
hai chÊt ®iÓm víi nhau. V× vËy, ®Ó ®¬n gi¶n ®Çu tiªn ta KSC§ cña hai chÊt ®iÓm
®èi víi K/ sau ®ã dïng phÐp biÕn ®æi to¹ ®é vµ vËn tèc (3) ta sÏ thu ®­îc c¸c kÕt
qu¶ trong hÖ K.

Tõ (3) suy ra: (4)
r  r2  r1  r2  r1

Tõ (4) suy ra: (5)

v  v2  v1  v2  v1

PTC§ cña M1 & M2 ®èi víi hÖ quy chiÕu khèi t©m:

 U ( r2  r1 )
 (6)
m1r1  F12 ( r2  r1 )   
r1


  F ( r   r )   U ( r2  r1 ) (7)
m2r2 
21 2 1
r2

80
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


 
B©y giê ta h·y biÓu diÔn r1 & r2 qua r .
 
 m1r1  m2 r2
/
VÞ trÝ khèi t©m C cña hÖ ®èi víi K : rc 
m1  m2
  
V× gèc O  C nªn rc  0  (8)
m1r1  m2 r2  0
 
Tõ (8) suy ra: (9)
 
m1v1  m2 v2  0

 m2   m1 
Tõ (4) vµ (8): (10)
r1   r , r2  r
m1  m2 m1  m2

 m2   m1 
(11)
Tõ (10) suy ra:  
v1   v , v2  v
m1  m2 m1  m2
 
Thay r1 & r2 tõ (10) vµo (6) vµ (7):
 
m1m2     U ( r2  r1 )
  U ( r2  r1 )  U r
r  F12 ( r2  r1 )  
     
 
r1
m1  m2 r  r

 
m1m2     U ( r2  r1 )  U ( r2  r1 ) 
 U r
r  F21 ( r2  r1 )      
 
r2
m1  m2 r r
 
U ( r ) U U
 (6) vµ (7) chuyÓn thµnh mét ph­¬ng tr×nh:
     
r2 r1
r
 U  U  U

 U ( r )
   F   (*)
r    (i j k )
r x y z
r x r y r z
Tõ: - r 2  x 2  y 2  z 2  ; ; 
x r y r z r
U r dU x dU U y dU U z dU
- U = U(r); r = r (x,y,z)    ....;  ...; 
x x dr r dr y r dr r r dr
U U U
Thay vµo (*( ta ®­îc:
; ;
x y z


   U r )   dU . r
(
r
r dr r (12)
m1m2
lµ khèi l­îng rót gän cña hÖ hai chÊt ®iÓm. Ph­¬ng tr×nh (12)
Víi:  
m1  m2

®­îc kh¶o s¸t nh­ ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña mét chÊt ®iÓm cã khèi l­îng
 d­íi t¸c dông cña tr­êng lùc ngoµi cã t©m cña lùc cè ®Þnh ®Æt ë gèc to¹ ®é vµ

81
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

cã thÕ n¨ng U(r). MMXL cña hÖ kÝn hai chÊt ®iÓm ®èi víi khèi t©m C cña hÖ vµ
c¬ n¨ng E cña nã ®èi K/:

   
L   r1  m1v1    r2  m2v2   const
 
m1v12 m2v2 2 
 
 U ( r2  r1 )  co nst
E 
2 2
  
V×: m2 v2   m1v1   v & r2  r1  r nªn suy ra:
 
 

L   r   v   const (13)

12
(14)
 v  U (r )  const
E
2
Tõ (13) vµ (14) ta thÊy r»ng bµi to¸n hai vËt ®­îc ®­a vÒ bµi to¸n chuyÓn ®éng
cña mét chÊt ®iÓm cã khèi l­îng  chuyÓn ®éng trong tr­êng lùc xuyªn t©m
víi t©m cña tr­êng ®Æt ë khèi t©m C cña hÖ.
     
Tõ (12) biÕt r  r (t ) cña chÊt ®iÓm  ta x¸c ®Þnh ®­îc: r1  r1(t ); r2  r2(t ) cña M1
   
vµ M2 ®èi víi K/ vµ x¸c ®Þnh ®­îc: r1  r1 (t ); r2  r2 (t ) cña M1 vµ M2 ®èi víi K.




82
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


Bµi 16: ChuyÓn ®éng trong tr­êng xuyªn t©m


I. M« men xung l­îng vµ c¬ n¨ng cña chÊt ®iÓm trong tr­êng xuyªn t©m
Trong phÇn nµy chóng ta t×m ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng vµ ph­¬ng tr×nh
quü ®¹o cña chÊt ®iÓm  chuyÓn ®éng trong tr­êng xuyªn t©m víi thÕ n¨ng chØ
phô thuéc vµo kho¶ng c¸ch r tõ chÊt ®iÓm ®Õn ®iÓm cè ®Þnh C lµ t©m cña tr­êng

 U (r ) dU r
lùc. Lùc t¸c dông lªn chÊt ®iÓm  cã ®é lín chØ phô
F  
r dr r
thuéc vµo r vµ cã ®­êng t¸c dông lu«n lu«n ®i qua t©m C cña tr­êng lùc nªn :

 
    
dv  d  
 
M  r  F  r     r  v   0 Hay L   r   v   const (1)
dt  dt

   
V× r  L  const  Q§ cña  lµ ®­êng cong
L

n»m trong mÆt ph¼ng  cè ®Þnh vu«ng gãc víi L
vµ ®i qua t©m C. §Ó thuËn tiÖn khi nghiªn cøu

O
v

chuyÓn ®éng cña  ta dïng hÖ to¹ ®é cùc n»m  r 

trong mÆt ph¼ng  vµ cã gèc O trïng víi t©m C
cña tr­êng. Kh¸i niÖm MMXL cña chÊt ®iÓm
 1 
r  v  cña nã b»ng hÖ thøc ®¬n
 liªn hÖ víi kh¸i niÖm vec t¬ vËn tèc diÖn tÝch  
2
  
L   r   v   2. . (2)
gi¶n:

Tõ (1) vµ (2) ta thÊy: ®èi víi chÊt ®iÓm  chuyÓn ®éng trong tr­êng lùc xuyªn
t©m th× vÐct¬ vËn tèc diÖn tÝch cña nã lµ ®¹i l­îng b¶o toµn. (Kªple II).
 
L  2    r.v sin(r , v )   rv   r 2  const

§é lín cña L : (3)
ChÊt ®iÓm  chuyÓn ®éng trong tr­êng lùc thÕ cho nªn:
.v 2 
 r 

2
 r 2 2  U (r )  const (4)
E  U (r ) 
2 2




83
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


v    r

   
(Chó ý: Trong to¹ ®é cùc ta cã: v    r  v   2  (  )2  z 2 )

 
v z  z  0

II. Ph­¬ng tr×nh C§ vµ PTQ§ cña chÊt ®iÓm trong tr­êng lùc xuyªn t©m.
2.1: Ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm
Tõ (3) vµ (4) ta ®i t×m quy luËt chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm .
L


Tõ (3)    , thay  vµo (4) ta sÏ nhËn ®­îc ph­¬ng tr×nh:
.r 2

L2
 
r2 
 (5)
  U (r )  E

2 .r 2
2 

L2
(V(r) ThÕ n¨ng HD)
§Æt: (6)
V (r )  U (r ) 
2 r 2




2
  E  V (r ) 
r2 
th× PT (5) vÒ d¹ng: (7)

1
2 2
dr
     E  V (r )  (8)
Hay: r

dt 

+ Khi: r  (8) lÊy (+)
 V (r )

+ Khi: r  (8) lÊy (-)
 V (r )

Ph©n ly biÕn sè r, t trong ph­¬ng tr×nh (8) vµ tÝch ph©n hai vÕ , ta ®­îc :
dr
(9)
t    t0
1
2  2
  E  V (r )
 

Trong ®ã t0 = const. Tõ (9)  r(t) thay r(t) vµo (3) ta t×m ®­îc hµm (t). ThËt
Ldt
vËy tõ (3) ta cã: (10)
d 
.r 2 (t )




84
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

L dt
  0 , (  0 = const)
Tõ (10)  (11).
 (t ) 
r 2
(t )

C¸c PT (9), (11) lµ nh÷ng ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm 
2.2: Ph­¬ng tr×nh quü ®¹o cña chÊt ®iÓm
Rót dt tõ (8) thay vµo (11) ta ®­îc PTQ§ cña chÊt ®iÓm .
Ldr
.r 2
(12)
    0
1
2  2
  E  V (r )
 

V× r 2 0 nªn tõ (7) ta thÊy chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm trong tr­êng xuyªn
E - V(r)  0
t©m chØ cã thÓ x¶y ra khi: (13)
C¸c gi¸ trÞ cña r tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh:
E - V(r) = 0 (14)




85
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

x¸c ®Þnh c¸c ®iÓm giíi h¹n cña miÒn chuyÓn ®éng theo kho¶ng c¸ch tõ t©m cña
tr­êng lùc. C¸c ®iÓm giíi h¹n nµy gäi lµ c¸c ®iÓm lïi cña quü ®¹o. T¹i c¸c ®iÓm

lïi cña quü ®¹o, th× r  0 . §¼ng thøc nµy chØ r»ng t¹i c¸c ®iÓm lïi cña quü ®¹o,
hµm r(t) biÕn thiªn tõ t¨ng ®Õn gi¶m hay ng­îc l¹i chø kh«ng ph¶i chÊt ®iÓm 
®øng yªn bëi v× khi ®ã  vÉn kh¸c kh«ng.
- NÕu miÒn biÕn thiªn cña r chØ bÞ h¹n chÕ bëi mét ®iÒu kiÖn r  rmin th× chuyÓn
®éng cña chÊt ®iÓm  lµ v« h¹n. Quü ®¹o cña nã tõ v« cïng ®Õn ®iÓm r = rmin råi
nã l¹i ®i xa v« cïng.
- NÕu miÒn biÕn thiªn cña r n»m gi÷a rmin vµ rmax , th× chuyÓn ®éng cña chÊt
®iÓm lµ h÷u h¹n. Quü ®¹o cña nã lµ ®­êng cong mµ toµn bé ®­êng cong n»m
bªn trong h×nh vµnh kh¨n giíi h¹n bëi hai ®­êng trßn ®ång t©m cã b¸n kÝnh lµ r
= rmin vµ rmax. Quü ®¹o cña nã cã thÓ lµ ®­êng cong kÝn hoÆc còng cã thÓ lµ
®­êng cong kh«ng kÝn.


+ §iÒu kiÖn ®Ó quü ®¹o cña chÊt ®iÓm  lµ ®­êng cong kÝn: (SGK)

Bµi 17: bµi to¸n kªple.


I. Bµi to¸n Kªple vµ c¸c tÝnh chÊt C§ cña chÊt ®iÓm.
* Bµi to¸n Kªple: lµ bµi to¸n C§ cña chÊt ®iÓm trong tr­êng lùc xuyªn t©m

(1)
víi thÕ n¨ng cã d¹ng : U (r )  
r

Víi  = const
-  > 0 ta cã bµi to¸n hai vËt hót nhau
-  < 0 ta cã bµi to¸n hai vËt ®Èy nhau.
- Víi tr­êng hÊp dÉn th×  = Gm1m2  0
- Víi tr­êng tÜnh ®iÖn:
+  = - q1. q2 > 0: hai vËt hót nhau

86
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


+  = - q1. q2 < 0: hai vËt ®Èy nhau.
* C¸c tÝnh chÊt cña chuyÓn
V(r) ®éng. Ta chØ xÐt tr­êng hîp hai vËt hót
nhau, nh»m gi¶i quyÕt bµi to¸n chuyÓn
E> 0
A
®éng cña c¸c hµnh tinh vµ bµi toµn
chuyÓn ®éng cña c¸c ªlectron trong
r
B FD tr­êng lùc Coulomb cña h¹t nh©n
0
nguyªn tö theo quan ®iÓm CHC§. §å
E 0 th× e1. Q§ cña  lµ ®­êng hyperbol vµ C§ cña nã lµ VH.
2). E = 0 th× e =1. Q§ cña  lµ ®­êng parabol vµ C§ cña nã lµ VH.
3). (V)min E  0 th× e  1. Q§ cña  lµ ®­êng ªlÝp vµ C§ cña nã lµ giíi néi.
. 2
4). E =(V)min=- th× e = 0 vµ chÊt ®iÓm C§ theo ®­êng trßn.
2 L2
III. XÐt tr­êng hîp chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm theo quü ®¹o enlÝp
Tõ ph­¬ng tr×nh (5) ta suy ra r»ng :


88
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

p p
; rmax  (7)
rmin 
1 e 1 e
p
p
MÆt kh¸c: ; (8)
b
a
1 e2 1  e2
 L
Thay p vµ e tõ (6) vµo (8): ; (9)
a b
2E 2. E

Tõ (9)  a  E & a  L
Ph­¬ng trt×nh (5) diÕn t¶ ®Þnh luËt Kªple I:
§Þnh luËt Kªple I: Mçi hµnh tinh chuyÓn ®éng theo quü ®¹o ªlip mµ mÆt trêi
lµ mét trong c¸c tiªu ®iÓm cña nã

Tõ §LBTMMXL: L  2    r.v sin(r , v )   rv   r 2  const ta cã:


 dS 
(10)
2 dS  Ldt ,   
 dt 

Trong ®ã: L = const vµ dS lµ diÖn tÝch do b¸n kÝnh vÐc t¬ r cña chÊt ®iÓm 
v¹ch nªn trong kho¶ng thêi gian dt.
§Þnh luËt Kªple II: VËn tèc diÖn tÝch cña mçi hµnh tinh ®èi víi MÆt Trêi lµ
mét ®¹i l­îng kh«ng ®æi.
S T
Tõ (10)  (11)
2 ab  LT
 2 dS   Ldt 
0 0


Tõ (9) vµ (11) suy ra:
 2  2  a3
T2   4 2 (12)
2 E3 




89
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


T  E , hay (a).


T  L, hay(b).


IV. Ph­¬ng tr×nh C§ cña chÊt ®iÓm  theo quü ®¹o d­íi d¹ng tham sè.

 dr
Thay: E   E & U (r )   (víi   0 ) vµo t     t0 ta ®­îc:
1/ 2
r 2 
  E  V ( r ) 
 
dr
  t  t0    1/ 2
L2  
2  
E 
 
 r 2 r 2  
  

 rdr
Dïng (9) vµ biÕn ®æi    t  t0  
2 E  (r  2ar  b 2 )1/ 2
2




a rdr
V× b 2  a 2 (1  e2 ) nªn:   t  t0    a 2e2  (r  a)2 1/ 2
 
§Æt biÕn sè míi: r  a  ae cos 

 a3
  t  t0   (1  e cos  )d 



 a3 T
  t  t0  
Tõ (12) (  e sin  )  (  e sin  )

 2
T lµ chu kú C§ cña chÊt ®iÓm theo ªlip. NÕu chän th«ng sè  ®Ó khi nã t¨ng
thêi gian t còng t¨ng vµ chó ý c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu:
Tõ: r  a  ae cos  r0  a(1  e)  rmin , t  0khi  0


Th× ta sÏ nhËn ®­îc PTC§ cña chÊt ®iÓm theo Q§ ªlip d­íi d¹ng tham sè (t0 =
0):
r  a (1  e cos  )

(13)
T

t  2 (  e sin  )

§Ó cã thÓ t­ëng t­îng c¸c chÊt ®iÓm thùc M1 vµ M2 C§ nh­ thÕ nµo ®èi víi hÖ
khèi t©m K/ ta h·y xÐt C§ cña chóng theo c¸c quü ®¹o ªlip trong c¸c tr­êng
hîp:
90
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


4.1: Trong tr­êng hîp m1 >> m2: cã thÓ biÓu diÔn c¸c b¸n kÝnh vÐc t¬ cña
  
c¸c chÊt ®iÓm thùc r1 & r2 qua b¸n kÝnh vÐc t¬ cña chÊt ®iÓm t­ëng t­îng  lµ r
b»ng c¸c hÖ thøc gÇn ®óng sau ®©y:
 m
 m2 
Tõ:  r1   2 r
r1   r
m1
m1  m2

 m
 m1 
 r2  (1  2 )r
r2  r
m1
m1  m2
 
 r r
4.2: Tr­êng hîp m1 = m2    , r2 
r1
2 2
Nh­ vËy: NÕu  C§ theo ªlip th× c¸c chÊt ®iÓm M1 vµ M2 còng v¹ch nªn


y/ y/

r

 r
r2 
r2

 0/ x/
r1
x/
r1


m1 m2 m1  m2
c¸c quü ®¹o ªlip (h×nh vÏ)

4.3: §Þnh luËt Keple III: B©y giê ta t×m hÖ thøc gi÷a chu kú chuyÓn ®éng
cña chÊt ®iÓm M1 vµ M2 theo c¸c quü ®¹o ªlÝp víi c¸c b¸n trôc lín a1 vµ a2 cña
chóng. §èi víi tr­êng HD th×  = Gm1m2 vµ chu kú C§ theo Q§ ªlÝp cña chÊt
1
1
 .a 3  2 a3
 2
®iÓm  b»ng : T  2  (14)
  2 
 G(m  m ) 
 
   2
1


 
 m2   m1 
r ta thÊy r»ng khi r cña  quÐt mét vßng th× r1
Tõ r1   r , r2 
m1  m2 m1  m2

& r2 cña M1 vµ M2 còng quÐt ®­îc mét vßng.  T1  T2  T


91
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

§Ó t×m mèi liªn hÖ gi÷a T vµ a1 hoÆc gi÷a T vµ a2 ta biÓu diÔn a1 vµ a2 qua a.


Tõ mèi liªn hÖ trªn suy ra r»ng ®é lín c¸c r1, r2 liªn hÖ víi ®é lín cña r b»ng:
m2 m1

vµ r2  (15)
r1  r r
m1  m2 m1  m2

m2 m2
Chó ý r»ng : 2a1  r1min  r1max  (rmin  rmax )  2a
m1  m2 m1  m2

m1 m1
2a 2  r2min  r2max  (rmin  rmax )  2a
m1  m2 m1  m2

m1  m2 m  m2
a1  1 (16)
a a2
m2 m1

4 2 ( m1  m2 ) 2 4 2 (m1  m 2 ) 2
T2 T2
Tõ (13) & (15)  : & (17)
 
3 3 3 3
a1 Gm 2 a2 Gm1

Theo c«ng thøc trªn ta thÊy r»ng c¸c tû sè nµy phô thuéc vµo khèi l­îng cña
 m2   m1 
m2 mm
 0 th×  = 1 2  m2 vµ tõ r1  
c¸c chÊt ®iÓm. Khi r ; r2  r
m1 m1  m2 m1  m2
m1  m2
 
 r1  0 & r2  r . Trong tr­êng hîp nµy coi chÊt ®iÓm M1 ®øng yªn vµ chÊt

T 2 4 2
®iÓm M2 C§ t­¬ng ®èi ®èi víi nã. Khi ®ã ta cã:  m2 .

a23 Gm1

Bëi v× khèi l­îng cña c¸c HT bÊt kú lµ rÊt bÐ so víi khèi l­îng cña MÆt Trêi
cho nªn víi ®é chÝnh x¸c kh¸ lín tû sè nµy ®èi víi hai hµnh tinh bÊt kú lµ nh­
nhau.
2 3
 T1  a 
  1 (18)
 
T  a 
2  2 

§Þnh luËt Kªple III: TØ sè gi÷a b×nh ph­¬ng chu kú quay cña c¸c hµnh tinh
vµ lËp ph­¬ng b¸n trôc lín cña c¸c quü ®¹o ªlÝp lµ mét ®¹i l­îng kh«ng ®æi vµ
®èi víi mäi hµnh tinh ®Òu cã gi¸ trÞ gièng nhau
Chó ý: §Þnh luËt I vµ ®Þnh luËt II cña Kªple lµ nh÷ng ®Þnh luËt chÝnh x¸c,
cßn ®Þnh luËt III lµ ®Þnh luËt gÇn ®óng víi ®é chÝnh x¸c cao. Nh­ vËy biÕt c¸c


92
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

®Þnh luËt Kªple ta t×m ®­îc ®Þnh luËt v¹n vËt hÊp dÉn. Ng­îc l¹i biÕt lùc hÊp dÉn
hay thÕ n¨ng hÊp dÉn ta t×m l¹i ®­îc ®Þnh luËt Kªple.
- Khi E > 0 th× e > 1
y
vµ quü ®¹o cña chÊt
y
®iÓm lµ ®­êng

p
hyperbol bao quanh
p
t©m cña tr­êng lùc. rmin =a(e-1)
0 x
0p x
Kho¶ng c¸ch tõ t©m
2
cña tr­êng lùc ®Õn E = 0, e =1
®iÓm gÇn nhÊt cña E > 0, e>1
quü ®¹o:
p
rmin   a(e  1)
1 e

p
Víi a  
2
e 1 E
- Khi E = 0 th× e = 1vµ quü ®¹o cña  lµ ®­êng
p y
parabol víi rmin  . Quü ®¹o cña  trong c¸c
2
b p
tr­êng hîp kh¸c nhau ®­îc biÓu diÔn ë h×nh vÏ.
rmin
rmax
* Tr­êng hîp hai vËt ®Èy nhau: Tøc   0 . x
ae
a
(VÝ dô bµi to¸n dïng h¹t nh©n He ®Ó b¾n ph¸ h¹t
(V)min < E < 0, e < 1
nh©n nguyªn tö ®Òu mang ®iÖn d­¬ng vµ do ®ã
chóng ®Èy nhau). Thùc hiÖn c¸c tÝnh to¸n t­¬ng tù nh­ tr­êng hîp bµi to¸n hai
vËt hót nhau chØ cÇn thay     vµ B   B ta ®­îc:




93
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


L2

(19)
V (r )   0
2 r 2
r


r 2
(20)
E  V (r )  0
2
u B
(21a)
(  0 )  arccos  
A
p
Tõ (21) suy ra: (21b)
r
1  e cos(  0 )

Trong ®ã tham sè P vµ t©m sai e cã d¹ng:
1
L2 A  2 EL2  2
1
; e   1  (22)
p  
B  . 2 
B .



Tõ (20) vµ (21b) ta thÊy r»ng n¨ng l­îng cña
chÊt ®iÓm lu«n d­¬ng vµ quü ®¹o cña nã lµ
®­êng cong hypebol (h×nh vÏ) víi:
0 x
p a(1 + e)
rmin   a (e  1)
e 1
NÕu chän trôc d­¬ng h­íng tõ t©m cña
tr­êng lùc ®Õn ®iÓm gÇn nhÊt cña quü ®¹o th×
0 . Khi ®ã ph­¬ng tr×nh (21b) ®­îc viÕt l¹i nh­ sau:
p
(23)
r
1  e cos 




Bµi 18: chuyÓn ®éng cña vÖ tinh nh©n t¹o cña tr¸i

®Êt vµ c¸c tr¹m vò trô


I. §Æt vÊn ®Ò
Ta biÕt r»ng thÕ n¨ng hÊp dÉn gi÷a c¸c chÊt ®iÓm m vµ M cã d¹ng: U = - /r.
94
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

 
Trong ®ã  = GmM & r = r2  r1 . Dùa trªn d¹ng cña thÕ n¨ng nµy ta ®· gi¶i

bµi to¸n hai vËt ®Õn kÕt qu¶ cuèi cïng vµ ta ®· thÊy r»ng c¸c quü ®¹o chuyÓn
®éng cña   E cña nã, tøc lµ phô thuéc vµo vÞ trÝ vµ vËn tèc ban ®Çu r0 vµ v0 cña
nã. Khi m 0 th× v0  vËt m C§ theo ®­êng hyperbol.
r0

mgR 2
+ Khi Vmin    E  0 vËt C§ theo ®­êng ªlip, ta ®­îc:
2r0

gR 2 2 gR 2
( 8)
 v0 
r0 r0

Tõ (6) vµ (8) ta suy ra ®iÒu kiÖn ®Ó vËt m trë thµnh vÖ tinh nh©n t¹o cña T§ lµ:
gR 2 2 gR 2
(9)
 v0 
r0 r0

Trong ®ã r0 = R + h víi h lµ ®é cao tÝnh tõ mÆt ®Êt cña ®iÓm phãng.
2.3: TÝnh vËn tèc cña vò trô cÊp 3 Tõ ®Þnh luËt b¶o toµn c¬ n¨ng (1) ta cã:
11
v2  vo  2 gR 2 (  )
2
(10)
r r0

Gi¶ sö khi r   th× lùc hót cña T§ lªn m rÊt yÕu cã thÓ bá qua. Khi ®ã nÕu
vËn tèc cña vËt m b»ng kh«ng th× nã sÏ bÞ hót vÒ phÝa MT. B¸n kÝnh r   gäi lµ
b¸n kÝnh h×nh cÇu t¸c dông cña T§. §Ó vËt m cã thÓ C§ theo ®­êng parabol ®èi
víi MT th× t¹i r   vËn tèc cña vËt m ®èi víi T§ lµ v ph¶i cã mét gi¸ trÞ nµo
®ã kh¸c kh«ng. Gi¸ trÞ nµy phô thuéc vµo vËn tèc ban ®Çu v0 khi phãng vËt m:
2 gR 2
11
v  v0  2 gR 2 (  ) . V× r  r0
2 2 2 2
(11)
v  v 
 0
r r0 r0

T¹i vÞ trÝ r   vËt m C§ t­¬ng ®èi ®èi víi T§ víi vËn tèc v vµ cïng víi T§

chuyÓn ®éng ®èi víi MT víi vËn tèc VD . VËn tèc cña vËt m ®èi víi MT ë vÞ trÝ

r   , , theo ®Þnh lÝ céng vËn tèc, ta cã: (12)
V  VD  v
 
 
Ta h·y xÐt tr­êng hîp : v VD ) . Khi ®ã chiÕu ph­¬ng tr×nh
VD hay(v

(12) lªn trôc h­íng theo chiÒu cña v , ta ®­îc:


(13)
+ V  VD  v ; (v VD )

97
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Bµi gi¶ng c¬ häc lý thuyªt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn



+ V  VD  v ; (v (14)
VD )

§Ó vËt m C§ theo quü ®¹o parabol ®èi víi MT khi r   th× V = VP, VP lµ
vËn tèc cña vËt m C§ theo quü ®¹o parabol ®èi víi MT. NÕu m ®øng yªn ®èi víi
T§ th× nã sÏ cïng T§ chuyÓn ®éng quanh MT víi vËn tèc VD . Tr¸i §Êt chuyÓn
®éng theo quü ®¹o ªlip víi t©m sai rÊt bÐ nªn cã thÓ coi T§C§ theo Q§ trßn víi
chu kú T = 365,25 ngµy vµ b¸n kÝnh r = 149.000.000 km. Khi ®ã vËn tèc chuyÓn
®éng trßn cña Tr¸i §Êt V§ = 29,8 km/s. Mèi liªn hÖ gi÷a vËn tèc cña vËt m khi
nã C§ theo quü ®¹o parabol VP vµ khi nã C§ trßn VT ®èi víi MÆt Trêi, theo (7)
cã d¹ng:
(15)
V  VP  2VT  2VD  42,1km / s


Khi v (  ) VD , th× tõ (11), (13) & (15) ta cã:

2 gR 2
2
V  VD  (16)
v 0 
r0

NÕu vËt m phãng t¹i mÆt ®Êt th× r0 = R vµ gi¸ trÞ cña v0 b»ng:
2
 2 gR  12, 32  11, 2 2  16, 6km / s.
VP  VD 
v0  v3 


Khi v (  ) VD , th× tõ (11), (14) vµ (15) ta nhËn ®­îc:

2 gR 2
2
VP  VD   (17)
v0 
r0

Tõ (16) vµ (17) ta thÊy r»ng vËn tèc ban ®Çu cÇn thiÕt cña mét tr¹m vò trô (®­îc
phãng tõ vÞ trÝ r0) ®Ó tho¸t li khái hÖ MT, phô thuéc râ rÖt ®Õn chiÒu C§ cña
tr¹m khi v­ît ra khái h×nh cÇu t¸c dông cña T§. Khi r0 = R nã n»m trong giíi
h¹n: 16, 6km / s  v0  72,8km / s.

VËn tèc bÐ nhÊt b»ng v3 = 16,6 km/s gäi lµ vËn tèc vò trô cÊp ba ®èi víi Tr¸i
§Êt.
(SGK)




98
GV: Trương Văn Thanh Bé m«n: VËt lý
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản