Bài giảng điện tử môn Xác suất và thống kê

Chia sẻ: danganhnam

Tính toán xác suất thống kê là một vấn đề nhiều khi hết sức tế nhị. Kể cả trong những bài toán tưởng chừng như rất đơn giản, cũng có thể tính ra kết quả sai mà khó phát hiện sai ở đâu. Những nghịch lý này cho thấy chúng ta cần hết sức cẩn thận trong lúc lập mô hình tính toán xác suất, đặc biệt là xác suất có điều kiện, kiểm tra lại những điều tưởng chừng như hiển nhiên, để tránh sai lầm....

Bạn đang xem 20 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Bài giảng điện tử môn Xác suất và thống kê

Bài Giảng

Xác suất thống kê
TR N AN H I



BÀI GI NG

XÁC SU T & TH NG KÊ


HÀ N I - 2009
TÀI LI U THAM KH O


[1] Tr n M nh Tu n, Xác su t & Th ng kê, Lí thuy t và th c
hành tính toán, Nhà xu t b n i h c Qu c gia Hà N i, 2004
[2] ng Hùng Th ng, M u v lí thuy t xác su t và các ng
d ng, Nhà xu t b n Giáo d c, 2005
[3] ng Hùng Th ng, Th ng kê và ng d ng, Nhà xu t b n
Giáo d c, 2005
[4] Nguy n Cao Văn - Trương Giêu, Bài t p Lý thuy t xác su t
& Th ng kê toán, Nhà xu t b n KHKT, 2006
N I DUNG
Chương 1 Các nh nghĩa xác su t
Chương 2 Bi n ng u nhiên
Chương 3 Lu t s l n
Chương 4 Th ng kê mô t
Chương 5 Ư c lư ng tham s
Chương 6 Ki m nh gi thuy t th ng kê
Sau khi h c h t chương 3 ki m tra l n 1
Sau khi h c h t chương 6 ki m tra l n 2
 TU N 1
Chương 1
CÁC NH NGHĨA XÁC SU T

_________________________________________________


'1 PHÉP TH VÀ CÁC LO I BI N C
Khi cho cu n dây quay u trong t trư ng c a m t
thanh nam châm, k t qu là ch c ch n xu t hi n
dòng i n trong cu n dây




ây là m t phép th không ng u nhiên.
Khi gieo 1 con xúc x c cân i và ng ch t, ta
không oán ch c ch n ư c k t qu . Ch bi t ư c
k t qu là xu t hi n s ch m trong {1, …, 6}.




ây là m t phép th ng u nhiên.
Ta còn g p r t nhi u phép th ng u nhiên khác
như: quan sát th trư ng ch ng khoán, chơi x s
và các trò may r i, th ng kê tai n n và b o hi m,
th ng kê khách hàng n các máy rút ti n ATM,
êm s l n g i n các t ng ài, xét ch t lư ng s n
ph m, quan sát th i ti t, xét kh năng phòng th
trong quân s ,…
Vào năm 1651 nhà quý t c Pháp De Méré nh nhà toán h c
Blaise Pascal gi i áp m t s v n r c r i n y sinh trong
các trò c b c. Pascal ã “toán h c hóa” các trò chơi này,
nâng lên thành nh ng bài toán ph c t p hơn và trao i v n
này v i nhà toán h c Pierre de Fermat, ngư i ư c
m nh danh là “quái ki t” trong gi i toán h c ương th i.
Nh ng cu c trao i ó ã khai sinh ra Lý thuy t xác su t,
m t ngành toán h c nghiên c u các phép th ng u nhiên.




Blaise Pascal (1623-1662)
Ngày nay Lý thuy t xác su t ã tr thành m t
ngành toán h c quan tr ng, ư c ng d ng trong
r t nhi u lĩnh v c c a khoa h c t nhiên, khoa h c
xã h i, công ngh , kinh t , y h c, sinh h c,… Ch ng
h n như nó cho phép xác nh r i ro trong buôn bán
hàng hóa. Chính ph cũng áp d ng các phương
pháp xác su t i u ti t môi trư ng hay còn g i là
phân tích ư ng l i. Nhi u s n ph m tiêu dùng như
xe hơi, i n t áp d ng lý thuy t xác su t trong
thi t k gi m thi u s h ng hóc.
Do bài gi ng này ch xét các phép th ng u nhiên,
nên ta g i t t chúng là phép th .

• Phép th ng u nhiên ư c ký hi u b i ch T .
M i k t qu c a T ư c g i là m t bi n c s
c p. T p h p t t c các k t qu có th x y ra
c a T ư c g i là không gian m u c a T và
ư c ký hi u b i ch Ω.
Ví d
T = gieo m t con xúc x c và i = s ch m xu t hi n.
Không gian m u c a T là
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
'2 BI N C VÀ M I QUAN H GI A CHÚNG


Khi gieo m t con xúc x c, s ra s ch m l n u k t
qu là ra m t có s ch m ∈ {1, 3, 5}. Như v y, các
k t qu này thu n l i cho s ki n ra s ch m l .
• M t bi n c liên quan n phép th T là m t s
ki n mà vi c nó x y ra hay không x y ra tùy
thu c vào k t qu c a T. K t qu ω c a T ư c
g i là m t k t qu thu n l i cho bi n c A n u
A x y ra khi k t qu c a T là ω. T p h p các k t
qu thu n l i cho A ư c ký hi u là ΩA.
Ví d
A là bi n c “ra s ch m ch n” khi gieo m t con xúc
x c , thì ΩA = {2, 4, 6}.

Chú ý
• M i bi n c A tương ng v i m t và ch m t t p
con ΩA ⊂ Ω.
• M i bi n c sơ c p ω cũng là m t bi n c , và ó
là bi n c mà Ωω = {ω}.
• Bi n c không th là bi n c không bao gi x y
ra khi th c hi n T. Nó tương ng v i t p ∅⊂ Ω
nên cũng ư c ký hi u là ∅.

• Bi n c ch c ch n là bi n c luôn luôn x y ra
khi th c hi n T. Nó tương ng v i chính Ω nên
cũng ư c ký hi u là Ω.
a) Quan h gi a các bi n c

• Bi n c A ư c g i là kéo theo bi n c B n u
A x y ra thì B cũng x y ra. Ta có ΩA ⊂ ΩB.


• Bi n c A ư c g i là tưng ưng v i bi n
c B, ký hi u A = B, n u A x y ra thì B x y ra
và ngư c l i. Ta có ΩA = ΩB.
• Bi n c i c a bi n c A, ký hi u A, là bi n
c x y ra khi và ch khi A không x y ra. Ta có
Ω A = Ω \ ΩA.


Ví d
A là bi n c “ra s ch m ch n” khi gieo m t con xúc
x c , thì A = “ra s ch m l ” và
Ω A = {1, 3, 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} \ {2, 4, 6} = Ω \ ΩA .
b) H p c a các bi n c

• N u A1, A2, …, An là các bi n c liên quan n
cùng m t phép th , thì h p (hay t ng) c a
chúng, ký hi u là A1∪A2∪ …∪An, là bi n c x y
ra n u có ít nh t m t bi n c nào ó trong các
bi n c A1, A2, …, An x y ra. Ta có
Ω A1 ∪A2 ∪...An = Ω A1 ∪ Ω A2 ∪ K ∪ Ω An .
c) Giao c a các bi n c

• N u A1, A2, …, An là các bi n c liên quan n
cùng m t phép th , thì giao (hay tích) c a
chúng, ký hi u là A1A2 …An, là bi n c x y ra
n u t t c các bi n c A1, A2, …, An u x y ra.
Ta có
Ω A1A2 ...An = Ω A1 ∩ Ω A2 ∩ K ∩ Ω An .
• Hai bi n c A và B ư c g i là xung kh c n u
AB = ∅.
Ví d
T = gieo m t con xúc x c và
Ai = "xu t hi n i ch m",
A = "xu t hi n s ch m ch n",
B = "xu t hi n s ch m chia h t cho 3".
Ta có
A = A2∪A4∪A6, B = A3∪A6,
AB = A6.
A1, A2, …, A6 ôi m t xung kh c.
Chú ý
• A∪B =B∪A, AB =BA
• A∪A = A, AA = A
• A∪Ω = Ω, AΩ = A
• A∪∅ = A, A∅ = ∅
•A=A
• A1 ∪ A2 ∪ L ∪ An = A1 A2 L An
• A1A2 L An = A1 ∪ A2 ∪ L ∪ An
Ngôn ng xác su t Ngôn ng t ph p
Bi n c sơ c p ω
Không gian m u Ω
Bi n c A ΩA
B.c A kéo theo b.c B ΩA ⊂ ΩB
B.c A, B tương ương ΩA = ΩB
Bi n c h p A∪B ΩA ∪ ΩB
Bi n c giao A∩B ΩA ∩ ΩB
Các bi n c A, B xung kh c ΩA ∩ ΩB = ∅
'3 XÁC SU T C A M T BI N C
Trong cu c s ng hàng ngày có nh ng câu nói ki u
như “Chi u nay có th mưa”, “Giá vàng ngày mai có
th gi m”, “Mua lo i c phi u này có th th ng l i”.
ây chính là kh ng nh v kh năng x y ra c a
bi n c . Toán h c ã nh lư ng hóa các kh năng
này b ng cách gán cho m i bi n c m t con s
thu c [0; 1], g i là xác su t c a bi n c ó. Ký
hi u xác su t c a bi n c A là P(A).
a) nh nghĩa xác su t c i n

• Gi s m t phép th T có t t c n k t qu
ng kh năng, trong ó m k t qu thu n l i
cho bi n c A (t c là |Ω| = n, |ΩA| = m). Khi ó
m
P(A) = .
n

Nói cách khác, P(A) b ng t s c a s k t qu thu n
l i cho A trên s k t qu có th x y ra.
Ví d
T = gieo m t con xúc x c cân i.
A = “ra s ch m ch n”,
B = “ra s ch m chia h t cho 3”.
3 2
Ta có P(A) = và P(B) = .
6 6
Chú ý
T tính i x ng c a phép th ( ng ti n cân i,
con xúc x c cân i,…) ta suy ra các k t qu c a
nó ng kh năng.
b) nh nghĩa xác su t theo hình h c

Bài toán Hai ngư i h n g p nhau t i m t a i m
ã nh trư c trong kho ng th i gian t 19 n 20
gi . M i ngư i có th n i m h n m t cách ng u
nhiên t i m t th i i m trong kho ng th i gian nói
trên và h qui ư c r ng ngư i n trư c s ch i
ngư i n sau trong vòng 10 phút. Tính xác su t
hai ngư i này có th g p nhau.
Phân tích G i x và y l n lư t là th i i m (tính
b ng phút) ngư i th nh t và ngư i th hai n
i m h n. x và y thu c [0; 60].
ây phép th là hành ng hai ngư i g p nhau,
còn m i c p th i i m (x; y) là m t k t qu . Trong
m t ph ng (Oxy) t p h p các c p th i i m này là
hình vuông Ω có c nh b ng 60.
Bi n c A = “hai ngư i g p nhau” x y ra khi và ch
khi |x – y| ≤ 10 hay x – 10 ≤ y ≤ x + 10.
T p h p các k t qu thu n l i cho A ư c bi u
di n b i mi n hình h c ΩA g ch chéo.

Xác su t c a bi n c A ư c tính theo nh nghĩa
sau ây.
• Gi s m t phép th T có vô h n bi n c sơ
c p ng kh năng có th bi u di n như các
i m c a m t mi n hình h c Ω nào ó, các
bi n c sơ c p thu n l i cho bi n c A ư c
bi u di n như các i m c a mi n hình h c ΩA.
Khi ó
P(A) = o c a ΩA/ o c a Ω.
o s là dài, di n tích hay th tích tùy theo
Ω là o n th ng, mi n ph ng hay kh i không gian.

Trong bài toán trên
60 2 − 50 2 11
P(A) = 2
= .
60 36
c) nh nghĩa xác su t b ng t n su t
Vi c tính: kh năng m t máy nào ó s n xu t
ra m t ph ph m, kh năng doanh nghi p t
ư c doanh s t i thi u 50 tri u /tháng,…rõ ràng
ph i d a vào quan sát th c t gi i quy t nên
không th dùng hai nh nghĩa trên.
• Gi s phép th T có th ư c th c hi n l p l i
r t nhi u l n trong nh ng i u ki n gi ng h t
nhau. N u trong n l n th c hi n T, bi n c A
m ( A)
xu t hi n m(A) l n thì t s fn(A) = ư c
n
g i là t n su t xu t hi n c a bi n c A trong n
phép th . Khi s phép th n tăng ra vô h n,
n u fn(A) d n t i m t con s p thì
P(A) = p.
Ví d




ngư i gieo s l n gieo s l ns p t n su t s p

Buffon 4040 2048 0.5069
Pearson 12000 6019 0.5016
Pearson 24000 12012 0.5005


T n su t d n t i s 0.5
Ví d
Th ng kê c a acnon t i Pháp

năm 1806 1816 1836 1856 1903 1920
t n su t sinh con gái 0.485 0.484 0.485 0.487 0.488 0.489
Trên th c t l y P(A) ≈ fn(A) v i n l n.

Ví d
Mu n xác nh xác su t m t máy s n xu t ra
m t ph ph m, ngư i ta theo dõi 100000 s n
ph m do nó s n xu t và th y có 138 ph ph m.
V y xác su t c n tìm x p x b ng
138
.
100000
Trong 3 nh nghĩa trên:
• 0 ≤ P(A) ≤ 1 ;
• P(∅) = 0, P(Ω) = 1 ;
• N u P(A) > P(B) thì kh năng xu t hi n
c a A cao hơn kh năng xu t hi n c a B.
d) Nguyên lý xác su t nh
Qua th c nghi m và quan sát th c t , ngư i ta
th y r ng các bi n c có xác su t bé s khó x y ra
khi ch th c hi n m t hay m t vài phép th . Ch ng
h n vi c m t vé s trúng gi i c c là r t hi m.
T ó ngư i ta th a nh n nguyên lý sau ây
Nguyên lý xác su t nh : N u m t bi n c có xác
su t r t nh thì th c t có th cho r ng trong m t
phép th bi n c ó s không x y ra.


Tương t như v y, ta có
Nguyên lý xác su t l n: N u m t bi n c có xác
su t g n b ng 1 thì th c t có th cho r ng bi n c
ó s x y ra trong m t phép th .
Hai nguyên lý này ư c ng d ng r ng rãi trong i
s ng khi xét s tin c y c a kh ng nh nào ó.


Ví d
Trong m t l p có 50 ngư i, nh t nh có các b n
sinh nh t trùng nhau, b i vì bi n c "không có 2
ngư i nào có ngày sinh gi ng nhau" có xác su t r t
bé (x p x 0,0295).
'4 CÁC QUY T C TÍNH XÁC SU T


a) Quy t c c ng xác su t:
N u các bi n c A1, A2, …, An liên quan n phép
th T và xung kh c t ng ôi m t, thì
n
P (
∪n=1
i )
Ai = ∑ P ( Ai ) .
i =1
Ví d
Trong m t l p g m 100 sinh viên có 60 em t nh X
còn 12 em t nh Y. Ch n ng u nhiên m t em. Tính
xác su t em này t nh X ho c t nh Y.
Gi i
A = “Em ó t nh X”, B = “Em ó t nh Y”.
A và B xung kh c, nên
60 12
P(A∪B) = P(A) + P(B) = + = 0, 72. ☺
100 100
b) Quy t c c ng xác su t t ng quát:
N u các bi n c A1, A2, …, An liên quan n phép
th T, thì
n
P ( n
∪i =1 )
Ai = ∑ P ( Ai ) −
i =1

− ∑ P (Ai A j ) + ∑ P (Ai A j Ak ) + L + (− 1)
n −1
P ( A1A2 L An ).
i< j i < j 0 thì xác su t có i u ki n c a A2
khi A1 ã x y ra, ký hi u là P ( A2 / A1 ), ư c cho
b i
P ( A1A2 )
P ( A2 / A1 ) = .
P ( A1 )
Chú ý Xác su t có i u ki n có th tính tr c ti p t
b i c nh bài toán mà không c n thông qua công
th c trên.
Ví d
Gieo ng th i 2 con xúc x c cân i. Tính xác su t
t ng s n t trên 2 con là 7, bi t r ng có ít nh t
m t con ra m t 5.
Gi i
Cách 1
Không gian m u thu g n bao g m 11 bi n c sơ
c p có ít nh t m t con ra m t 5 là:
(i, 5) v i i∈{1, 2, 3, 4, 5, 6} và
(5, j) v i j∈{1, 2, 3, 4, 6}.
Trong t p này có 2 trư ng h p mà t ng b ng 7.
2
⇒P= .
11
Cách 2
A = “ít nh t m t con ra 5”,
B = “t ng s ch m trên hai con b ng 7”.
|Ω| = 62, Ω A = {(i, j)| i và j ∈ {1, 2, 3, 4, 6}}.

ΩAB = {(2, 5), (5, 2)}
2
 5  = 11 và P(AB) = 2
⇒P(A) = 1 − P (A ) = 1 −  
 6  36 36
P ( AB ) 2
⇒ P (B / A ) = = .☺
P ( A ) 11
e) Quy t c nhân xác su t
T nh nghĩa Xác su t có i u ki n c a A2 khi A1
(P(A1) > 0) ã x y ra:
P ( A1A2 )
P ( A2 / A1 ) = ,
P ( A1 )
ta suy ra

Quy t c nhân xác su t
N u P(A1) > 0, thì P(A1A2) = P(A1)P(A2/A1).
M r ng công th c P(A1A2) = P(A1)P(A2/A1) cho n
bi n c , ta có

Quy t c nhân xác su t t ng quát
N u P(A1A2⋅⋅⋅An-1) > 0 (n>1), thì
P(A1A2⋅⋅⋅An) =
P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)⋅⋅⋅P(An/A1A2⋅⋅⋅An-1).
Ch ng minh
Do 0 < P ( A1A2 L An −1 ) ≤ P ( A1A2 L An −2 ) ≤ K ≤ P ( A1 )
nên ta có th áp d ng công th c tính xác su t có
i u ki n có:
P(A2/A1) = P(A1A2) / P(A1)
P(A3/A1A2) = P(A1A2A3) / P(A1A2)
……………………………………..
P(An-1/A1A2⋅⋅⋅An-2) = P(A1A2⋅⋅⋅An-1) / P(A1A2⋅⋅⋅An-2)
P(An/A1A2⋅⋅⋅An-1) = P(A1A2⋅⋅⋅An) / P(A1A2⋅⋅⋅An-1)
T ây ta suy ra
P(A2/A1)P(A3/A1A2)⋅⋅⋅P(An/A1A2⋅⋅⋅An-1)
= P(A1A2⋅⋅⋅An) / P(A1).
Nhân hai v v i P(A1) ta có Công th c nhân xác
su t t ng quát. ☺

Ví d
M t lô hàng g m 100 s n ph m, trong ó có 10 ph
ph m. Rút ng u nhiên l n lư t 4 s n ph m theo
ki u m i l n rút không hoàn l i và ki m tra. N u t t
c 4 s n ph m này u t t thì lô hàng ư c nh n.
Tìm xác su t lô hàng này ư c nh n.
Gi i
H = “lô hàng ư c nh n”,
Ai = “s n ph m rút l n th i là t t”, (i = 1, 2, 3, 4)
H = A1A2A3A4 ⇒
P(H) = P(A1A2A3A4)
= P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)P(A4/A1A2A3)
90 89 88 87
= ⋅ ⋅ ⋅ ≈ 0,6516. ☺
100 99 98 97
f) Các bi n c cl p
• Hai bi n c A và B liên quan n m t phép th
T ư c g i là c l p n u P ( AB ) = P ( A )P (B ).
Cơ s c a nh nghĩa này: Khi P(B)>0, thì
P ( AB )
P ( AB ) = P ( A )P (B ) ⇔ P ( A ) =
P (B )
⇔ P ( A ) = P ( A / B ).
Như v y, vi c x y ra c a bi n c B không làm
thay i xác su t c a bi n c A.
• N u A và B c l p thì hai bi n c trong m i c p
sau cũng c l p : A và B ; A và B; A và B .
nh nghĩa Các bi n c A1, A2, …, An liên quan
n phép th T là c l p toàn ph n n u v i m i
t h p1 ≤ i < j < k < K ≤ n , ta có các ng th c
sau:
P (Ai A j ) = P ( Ai )P (A j ), P (Ai A j Ak ) = P ( Ai )P (A j )P ( Ak ),
…, P ( A1A2 L An ) = P ( A1 )P ( A2 )LP ( An ).
Ví d
M t lô hàng g m 100 s n ph m, trong ó có 10 ph
ph m. Rút ng u nhiên l n lư t 4 s n ph m theo
ki u m i l n rút thì ki m tra xong và hoàn l i. N u
t t c 4 s n ph m này u t t thì lô hàng ư c
nh n. Tìm xác su t lô hàng này ư c nh n.
Gi i
H = “lô hàng ư c nh n”,
Ai = “s n ph m rút l n th i là t t”, (i = 1, 2, 3, 4)
H = A1A2A3A4 và A1, A2, A3, A4 c l p nên
P(H) = P(A1A2A3A4) = P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)
4
= 90  = 0,6561.
 ☺
 100 

Chú ý
A1, A2, …, An c l p toàn ph n ⇒ c l p t ng
ôi m t. Nhưng i u ngư c l i có th không úng.
Ví d
Gieo m t kh i t di n u có m t th nh t sơn ,
m t th hai sơn xanh, m t th ba sơn vàng, m t
th tư sơn 3 màu: , xanh, vàng. Ký hi u , X,
V tương ng là bi n c xu t hi n m t có màu ,
xanh, vàng. Ta có:
2 1
P( ) = P(X) = P(V) = = .
4 2
P( /X) = P(V/X) = P(X/V)
1
= P( /V) =P(X/ ) = P(V/ ) =
2
⇒ , X, V c l p t ng ôi.
P( /XV) = 1 ≠ P( ) ⇒ , X, V không c l p toàn
ph n. ☺
g) Công th c xác su t y

• Các bi n c H1, H2, … , Hn được gọi là một

nhóm y các bi n c nếu thỏa hai điều

kiện sau:

HiHj = ∅ với mọi i ≠ j ;

∪n=1 Hi = Ω .
i
nh lí Gi s H1, H2, … , Hn là m t nhóm y
các bi n c có xác su t khác 0 và A là m t bi n c
nào ó trong cùng m t phép th . Ta có
n
P ( A ) = ∑ P (Hi )P ( A / Hi ) (công th c Xác su t y )
i =1
Ch ng minh
H2
H3
H1 H4




A


Hn
Hk




(AHi)(AHj) = (AA)(HiHj) = A∅ = ∅ và
n n
∪i =1 AHi = A ∪i =1 Hi = AΩ = A
n
⇒ P ( A ) = ∑ P ( AH i ) theo Quy tắc cộng xác suất.
i =1
Do Công th c nhân xác su t:
P(AHi) = P(Hi)P(A/Hi) (i = 1,…, n),
ta có
n
P ( A ) = ∑ P (Hi )P ( A / Hi ). ☺
i =1
Ví d
6 chính ph m 10 chính ph m
4 ph ph m 5 ph ph m
H P1 H P2
15 chính ph m
5 ph ph m
H P3
L y ng u nhiên m t h p và t ó l y ng u nhiên
m t s n ph m. Tìm xác su t l y ư c chính
ph m.
Gi i
A = “l y ư c chính ph m”.
Hi = “s n ph m l y ra thu c h p th i” (i = 1, 2, 3) là
nhóm y các bi n c

P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3.
6 chính ph m
H P 1: 4 ph ph m ⇒ P(A/H1) = 6/10


10 chính ph m
H P 2: 5 ph ph m ⇒ P(A/H2) = 10/15



15 chính ph m
H P 3: 5 ph ph m ⇒ P(A/H3) = 15/20
Do ó, theo Công th c Xác su t y

P(A) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) + P(H3)P(A/H3)

1 6 1 10 1 15
= ⋅ + ⋅ + ⋅ = 121/180 ☺
3 10 3 15 3 20
Nh n xét mang tính kinh nghi m:
N u phép th g m 2 giai o n, bi n c A liên quan
n giai o n sau, thì các k t qu có th có c a giai
o n u chính là m t nhóm y .

Trong ví d trên, giai o n u c a phép th là l y
ra 1 trong 3 h p, giai o n hai là l y ra m t s n
ph m t 1 h p ã ư c l y ra.
h) Công th c Bayes
nh lí Gi s H1, H2, … , Hn là m t nhóm y
các bi n c có xác su t khác 0 và A là m t bi n c
nào ó trong cùng m t phép th , P(A) ≠ 0. V i m i i
= 1, 2, … , n, ta có công th c sau
P (Hi )P ( A / Hi )
P(Hi/A) = n (công th c Bayes).
∑ P (Hi )P ( A / Hi )
i =1
Ch ng minh
Theo Công th c nhân xác su t
P(A)P(Hi/A) = P(AHi) = P(Hi)P(A/Hi)
ta có
P (Hi )P ( A / Hi ) P (Hi )P ( A / Hi )
P(Hi/A) = =n .☺
P (A)
∑ P (H )P ( A / H )
i i
i =1
Nh n xét
Theo Công th c Xác su t y , bi u th c
P(H1)P(A/H1) + ⋅⋅⋅ + P(Hn)P(A/Hn)
chính là P(A), nên Công th c Bayes hay ư c dùng
cùng v i Công th c Xác su t y .
Ví d
6 chính ph m 10 chính ph m
4 ph ph m 5 ph ph m
H P1 H P2
15 chính ph m
5 ph ph m
H P3
L y ng u nhiên m t h p và t ó l y ng u nhiên
m t s n ph m, th y ó là chính ph m. Tìm xác su t
s n ph m ó thu c h p 1.
Gi i
A = “ l y ư c chính ph m”.
Hi = “s n ph m l y ra thu c h p th i” (i = 1, 2, 3) là
nhóm y các bi n c
Theo Ví d trên
P(H1) = 1/3, P(A/H1) = 6/10, P(A) = 121/180.
Theo công th c Bayes
P(H1/A) = [P(H1)P(A/H1)]/P(A) = 36/121 ☺
• Công th c Bayes có ng d ng a d ng và
phong phú trong nhi u lĩnh v c khác nhau vì ó
là công th c cho phép n n l i phán oán, c p
nh t thông tin, tính l i xác su t P(Hi) khi ã có
thêm thông tin v bi n c A xu t hi n.

Trong ví d trên, trư c khi phép th ư c ti n hành
P(H1) = 1/3. Còn sau khi ã bi t k t qu c a phép
th , thì xác su t c a H1 b ng 36/121.
Ví d
Trư c khi ưa m t s n ph m ra th trư ng ngư i ta
ã ph ng v n ng u nhiên 200 khách hàng v s n
ph m ó và th y có:
• 34 ngư i tr l i “S mua”,
• 96 ngư i tr l i “Có th s mua”
• 70 ngư i tr l i “Không mua”.
Kinh nghi m cho th y t l khách hàng th c s mua
s n ph m tương ng v i nh ng cách tr l i trên là
40%, 20% và 1%.
1) Hãy ánh giá th trư ng ti m năng c a s n ph m
ó (hay t l ngư i th c s mua s n ph m ó).

2) Trong s khách hàng th c s mua s n ph m thì
có bao nhiêu ph n trăm ã tr l i “S mua”?
Gi i
A = “L y ng u nhiên m t khách hàng thì ngư i ó
th c s mua s n ph m”
T l khách hàng th c s mua s n ph m = P(A)
H1 = “Ngư i ó tr l i S mua”,
H2 = “Ngư i ó tr l i Có th s mua”,
H3 = “Ngư i ó tr l i Không mua”.
H1, H2, H3 là nhóm y các bi n c .
P(H1) = P(“Ngư i ó tr l i S mua”)
34
= = 0,17
200
P(H2) = P(“Ngư i ó tr l i Có th s mua”)
96
= = 0,48
200
P(H3) = P(“Ngư i ó tr l i “Không mua””)
70
= = 0,35
200
P(A/H1) = 40/100 = 0,4
P(A/H2) = 20/100 = 0,2
P(A/H3) = 1/100 = 0,01
1) Theo Công th c xác su t y
P(A) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) + P(H3)P(A/H3)
34 96 70
= ⋅ 0,4 + ⋅ 0,2 + ⋅ 0,01 = 0,1675.
200 200 200
V y th trư ng ti m năng c a s n ph m ó là
16,75%.

2) Theo Công th c Bayes
P (H1 )P ( A / H1 ) 0,17 × 0,4
P(H1/A) = =
P (A) 0,1675
≈ 0,40597 = 40,597%. ☺
Chương 2
BI N NG U NHIÊN
_________________________________________________


'1 KHÁI NI M BI N NG U NHIÊN
Nh ng i lư ng như: lư ng khách vào 1c a hàng
trong ngày, s khuy t t t c a 1 s n ph m v a làm
ra, nhi t 1 th i i m trong ngày, con s mũi
tên tr t i trong trò chơi Chi c nón kỳ di u… có c
i m chung là ta không th oán trư c ư c giá tr
nó s nh n. Nh ng i lư ng ki u này ư c g i là
bi n ng u nhiên (bnn). Ta dùng nh ng ch cái
hoa như X, Y, Z … ký hi u bi n ng u nhiên.
Nhu c u d báo d n n ta ph i nghiên c u bnn.
Bi n ng u nhiên ư c chia làm 2 lo i:
M t bnn ư c g i là r i r c n u ta có th li t
kê t t c các giá tr có th c a nó thành m t
dãy s h u h n ho c vô h n.


Ví d S khuy t t t c a 1 s n ph m v a làm ra.
M t bnn X ư c g i là liên t c n u:
• Các giá tr có th c a X l p y m t hay m t
s kho ng c a tr c s , th m chí l p y c
tr c s .
• V i m i s th c a, P{X = a} = 0.


Ví d Nhi t m t th i i m trong ngày.
'2 QUY LU T PHÂN PH I XÁC SU T C A
BI N NG U NHIÊN


Ch bi t t p các giá tr có th c a m t bnn là chưa
xác nh nó. Ch ng h n, g i X := s l n xu t
hi n m t s p khi gieo m t ng xu 3 l n, Y := s
l n ra 1 ch m khi gieo m t con xúc x c 3 l n. T p
giá tr có th c a X, Y trùng nhau, là {0, 1, 2, 3}.
Nhưng nói chung P{X = i} ≠ P{Y = i}. Vì v y, m t
bnn ư c xác nh khi ta bi t xác su t nó nh n
giá tr b t kỳ, hay nh n giá tr trong m t kho ng
b t kỳ. M t hình th c cho phép làm i u ó ư c
g i là quy lu t phân ph i xác su t c a bnn.


Nh ng hình th c cho quy lu t ppxs: công th c,
b ng ppxs, hàm ppxs, hàm m t .
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản