Bài giảng học môn đại số tuyến tính

Chia sẻ: Lâm Hoài Việt | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:78

3
1.113
lượt xem
372
download

Bài giảng học môn đại số tuyến tính

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đại số tuyến tính được sử dụng nhiều trong toán học, như trong đại số đại cương, giải tích hàm, hình học giải tích... để giải các bài toán như phép quay trong không gian, nội suy bình phương nhỏ nhất, nghiệm của hệ phương trình vi phân, tìm đường tròn qua ba điểm... Nó cũng có vô vàn ứng dụng trong khoa học tự nhiên (vật lý, công nghệ...) và khoa học xã hội (kinh tế...), vì các mô hình phi tuyến tính hay gặp trong tự nhiên và xã hội thường có thể xấp xỉ bằng mô hình...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng học môn đại số tuyến tính

  1. Bài giảng đại số tuyến tính
  2. MUC LUC . . 1 Ma trˆn - Dinh th´.c a . -. u 3 1.1 Ma trˆn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. . . . . . . . . . . . 3 -. ˜ ` ´ 1.1.1 Dinh nghı a va ca c kha i niˆm . . . . ´ e . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Ca c phe p toa n trˆn ma trˆn . . . . ´ ´ ´ e a . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Ma trˆn d o i x´ a ¯ˆ u ´ .ng va ma trˆn phan ` a ’ x´.ng. u . . . . . . . 8 . . 1.1.4 Da th´.c ma trˆn. . . . . . . . . . . - u a . . . . . . . . . . . . 9 - inh th´ 1.2 D. u .c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 ´ e . ´ 1.2.1 Phe p thˆ - Nghich thˆ . . . . . . . . ´ e . . . . . . . . . . . 10 -. 1.2.2 Dinh th´ u .c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 . ’ 1.3 Ma trˆn kha nghich. . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . 20 . ˙ ’ 1.4 Hang cua ma trˆn . . . . . . . . . . . . . . a. . . . . . . . . . . . 28 2 Hˆ phu.o.ng trı e . ´ `nh tuyˆ n tı e ´nh 31 2.1 Hˆ phu e .o.ng trı tuyˆ n tı tˆ’ng qua t. . . . . . . . . . . . . `nh ´ e ´nh o ´ 31 . -. ˜ 2.1.1 Dinh nghı a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.2 Giai hˆ phu.o.ng trı tuyˆ n tı ’ e. `nh ´ e ´nh. . . . . . . . . . . . . 33 2.2 Hˆ phu.o.ng trı tuyˆ n tı thuˆn nhˆ t. . . . . . . . . . . . . e . `nh ´ e ´nh ` a ´ a 40 -. ˜ ` ´nh chˆ t. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Dinh nghı a va tı ´ a 40 2.2.2 Hˆ nghiˆm co. ban cua hˆ phu.o.ng trı tuyˆ n tı thuˆn e . e . ’ ’ e . `nh ´ e ´nh ` a ´ nhˆ t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 41 2.2.3 Cˆ u tru c nghiˆm cua hˆ phu.o.ng trı tuyˆ n tı tˆ’ng ´ a ´ e. ’ e . `nh ´ e ´nh o qua t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 42 3 Khˆng gian vector o 47 ´ e ` 3.1 Kha i niˆm vˆ khˆng gian vector . . . . . . . . . . . e o . . . . . . . 47 -. ˜ 3.1.1 Dinh nghı a khˆng gian vector . . . . . . . o . . . . . . . 47 3.1.2 V`i v´ du. . . . . . . . . . . . . . . . . . . a ı . . . . . . . . 48 o o ´nh chˆ t d .n gian cua khˆng gian . ´ 3.1.3 Mˆt sˆ tı ´ a ¯o ’ ’ o vector. . . . 49 3.2 Khˆng gian vector con. . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . 50 3.3 Su . phu thuˆc tuyˆn t´ v` d oc lˆp tuyˆn t´ o ´ e ınh a ¯ˆ a ´ e ınh. . . . . . . . 51 . . . . . 1
  3. MUC LUC . . 2 3.3.1 Tˆ’ ho.p tuyˆ n tı va biˆ u thi tuyˆ n tı o . e ´nh ` e’ ´ . ´ e ´nh. . . . . . . . 51 3.3.2 -ˆ a . . ´ Doc lˆp tuyˆn t´ v` phu thuˆc tuyˆn t´ e ınh a . o. ´ e ınh. . . . . . . 52 3.3.3 a ınh a ` e ´ e . . o . ´ V`i t´ chˆ t vˆ hˆ phu thuˆc tuyˆn t´ v` hˆ d oc lˆp e ınh a e ¯ˆ a . . . e´n t´ tuyˆ ınh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.4 . ˙ ’ Hang cua mˆt hˆ vector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e . . 55 . ¯ˆ a . . ´ e ınh o ¯a´ 3.4.1 Hˆ con d oc lˆp tuyˆn t´ tˆi d . i. . . . . . . . . . . . . e 55 . ˙ ’ 3.4.2 Hang cua mˆt hˆ vector. . . . . . . . . . . . . . . . . . o e . . 56 3.4.3 C´c hˆ vector trong Kn . . . . . . . . . . . . . . . . . . a e . 56 . so. - Sˆ chiˆu - Toa d o cua khˆng gian vector. . . . . . . . Co ˙ ’ o ` ´ e 3.5 . ¯ˆ ˙ . ’ o 57 3.5.1 Co ˙ ˙ . so. cua khˆng gian vector. . . . . . . . . . . . . . . ’ ’ o 57 . ˙ ’ 3.5.2 Hˆ sinh cua mˆt khˆng gian vector. . . . . . . . . . . . e o. o 58 3.5.3 Sˆ chiˆu. Khˆng gian h˜.u han v` vˆ han chiˆu. . . . . o ` ´ e o u . a o . ` e 59 . ¯ˆ ˙ . ’ 3.5.4 Toa d o cua mˆt vector trong khˆng gian n chiˆu. . . . o. o ` e 60 4 Dang to`n phu.o.ng . a 66 ´ . ´ 4.1 Anh xa song tuyˆn t´ . ´ e ınh, dang song tuyˆn t´ e ınh. . . . . . . . . 66 -. 4.1.1 Dinh ngh˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa. . . . . . . . 66 a ˙ . ’ 4.1.2 Ma trˆn cua dang song tuyˆn t´ . ´ e ınh. . . . . . . . . . . . 67 4.2 Dang to`n phu.o.ng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . 68 -. 4.2.1 Dinh ngh˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa. . . . . . . . 68 4.2.2 Du.a dang to`n phu.o.ng vˆ dang ch´ tˇ c. - . a ` . e ınh a ´ . . . . . . . 69 4.2.3 Dang chuˆ˙n tˇ c cua dang to`n phu.o.ng. . . a’ a ˙ ´ ’ . a . . . . . . . 76 4.2.4 Dang to`n phu.o.ng x´c d .nh am, x´c d .nh . a a ¯i ˆ a ¯i du.o.ng, luˆt a . qu´n t´ a ınh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 ’ng - . o ´ ´ Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh
  4. Chu.o.ng 1 Ma trˆn - Dinh th´.c a . -. u 1.1 Ma trˆn a . 1.1.1 -. ˜ ` ´ Dinh nghı a va ca c kha i niˆm ´ e . Cho K la mˆt tru.o.ng. ` o. ` Dinh nghı a 1.1. Cho m, n la hai sˆ nguyˆn du.o.ng. Ta goi mˆt ma trˆn A -. ˜ ` o´ e . o . a . ´p m × n la mˆt bang gˆm m.n phˆn tu ij cˆ a ` o ’ `o `a ’ . a ∈ K (i = 1, m; j = 1, n) d .o.c ¯u . . ´ ´ s˘ p xˆ p thanh m dong va n cˆt nhu a e ` ` ` o . sau: .   a11 a12 . . . a1n a a22 . . . a2n  A =  21 · · ·  ··· ··· ··· am1 am2 . . . amn Kı hiˆu: A = (aij )m×n . ´ e . Ca c phˆn tu. o. dong th´. i va cˆt th´. j d .o.c goi la phˆn tu. aij . Ca c phˆn ´ `a ’ ’ ` u ` o . u ¯u . . ` ` a ’ ´ ` a ’ . a , a , . . . , a d .o.c goi la ca c phˆn tu. thuˆc dong th´. i. Ca c phˆn tu. tu i1 i2 ` a ’ ` a ’ in ¯u . . ` ´ o ` . u ´ .o.c goi la ca c phˆn tu. thuˆc cˆt th´. j. a1j , a2j , . . . , amj d . . ` ´ ¯u ` a ’ o o u . . Vı du: ´ .   −1 3 6 0 ` a a . ´  6 −2 1 8 la ma trˆn cˆ p 3 × 4 (3 hang, 4 cˆt) ` o . 2 2 5 1 Ca c kha i niˆm kha c: ´ ´ e . ´ 1. Ma trˆn khˆng. Mˆt ma trˆn cˆ p m × n d .o.c goi la ma trˆn khˆng nˆ u a . o o . . ´ a a ¯u . . ` a . o ´ e ` . d` u b˘ ng 0. a ’ e ` moi phˆn tu ¯ˆ a . 2. Ma trˆn vuˆng. Mˆt ma trˆn A = (aij )m×n d .o.c goi la ma trˆn vuˆng a . o o. a . ¯u . . ` a . o ´ e ´ ¯o . ` a . o ´ nˆ u m = n. Lu c d´ ta goi A la ma trˆn vuˆng cˆ p n, kı hiˆu A = (aij )n . a ´ e . 3
  5. 4 1. Ma trˆn - D.nh th´.c a . -i u 3. Cho ma trˆn vuˆng a . o   a11 a12 ... a1n a a22 ... a2n  A = (aij )n =  21 · · ·  ··· ··· · · · an1 an2 ... ann Ca c phˆn tu. a11 , a22, . . . , ann goi la ca c phˆn tu. thuˆc d .o.ng che o chı ´ ` a ’ . ` ´ ` a ’ o ¯u ` . ´ ´nh. ` a ’ . a ,a Ca c phˆn tu 1n 2n−1 , . . . , an1 goi la ca c phˆn tu a ´ a ’ ` ` . n˘ m trˆn d .o.ng che o . ` ´ e ¯u ` ´ phu. . 4. Ma trˆn d o.n vi. Cho ma trˆn vuˆng A = (aij )n . A d .o.c goi la ma trˆn a ¯ . . a. o ¯u . . ` a . d .n vi nˆ u moi phˆn tu. n˘ m trˆn d .o.ng che o chı d` u b˘ ng 1 con ca c phˆn ¯o . e ´ ` ’ a a ` e ¯u ` ´ e ` ´nh ¯ˆ a ` ´ ` a . ’ . kha c d` u b˘ ng 0. Lu c d´ A d .o.c kı hiˆu la I : ma trˆn d .n vi cˆ p n. tu ´ ¯ˆ a e ` ´ ¯o ¯u . ´ e ` n a ¯o . a ´ . . Vı du. ´ .   1 0 0 1 0 I2 = I 3 = 0 1 0  0 1 0 0 1 5. Ma trˆn che o. Cho A = (aij )n . A d .o.c goi la ma trˆn che o nˆ u moi a . ´ ¯u . . ` a . ´ ´ e . `a ’ phˆn tu o . khˆng thuˆc d .o.ng che o chı o ¯u ` ´ ´nh d` u b˘ ¯ˆ a e ` ng 0. . Vı du. ´ .   1 0 0 A = 0 −2 0 la ma trˆn che o. ` a. ´ 0 0 5 6. Ma trˆn tam gia c. Cho A = (aij )n . A la ma trˆn tam gia c trˆn nˆ u a . ´ ` a. ´ e e ´ ` ’ ` moi phˆn tu a a . n˘ m du.o.i d .o.ng che o chı d` u b˘ ng 0. A la ma trˆn tam gia c ´ ¯u ` ´ ´nh ¯ˆ a e ` ` a ´ . . .o.i nˆ u moi phˆn tu. n˘ m trˆn d .o.ng che o chı d` u b˘ ng 0. A la mˆt ma du ´ e ´ ` a ’ a ` e ¯u ` ´ e ` ´nh ¯ˆ a ` o . . ´ e ´u no la ma trˆn tam gia c trˆn ho˘c du ´ trˆn tam gia c nˆ ´ ` a a ´ e a .o.i. . . .   a11 a12 . . . a1n−1 a1n  0 a22 . . . a2n−1 a2n    A = · · · · · · · · ·  ··· · · ·  la ma trˆn tam gia c trˆn.  ` a . ´ e  0 0 . . . an−1n−1 an−1n  0 0 ... 0 ann   a11 0 ... 0 0  a21 a22 . . . 0 0    B =  ···  ··· ··· ··· · · ·  la ma trˆn tam gia c du.o.i.  ` a. ´ ´ an−11 an−11 . . . an−1n−1 0  an1 an2 . . . an−1n ann ’ng - . o ´ ´ Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh
  6. 1.1. Ma trˆn a . 5 7. Ma trˆn A = (aij )1×n = [a11 , a12 , . . . , a1n] d .o.c goi la ma trˆn dong. a . ¯u . . ` a ` .   a11 a  Ma trˆn B = (bij )m×1 =  21  d .o.c goi la ma trˆn cˆt. a .  · · ·  ¯u . . ` a o . . am1 a . a . a a . ´ 8. Ma trˆn bˆc thang. Ma trˆn cˆ p m × n co aij = 0 ; ∀i, j , i > j goi la ´ . ` ma trˆn bˆc thang. a a . . Vı du: ´ .   3 4 5 6 7 8 0 0 7 6 9 4  A= 0 0 0 0 1 2 la ma trˆn bˆc thang.  ` a a . . 0 0 0 0 0 0 9. Hai ma trˆn A = (aij )m×n va B = (bij )m×n d .o.c goi la b˘ ng nhau nˆ u a . ` ¯u . . ` a ` ´ e aij = bij , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n. 1.1.2 Ca c phe p toa n trˆn ma trˆn ´ ´ ´ e a . a. Cˆng ma trˆn. o . a . -. ˜ a ` . ´ Dinh nghı a 1.2. Cho hai ma trˆn cung cˆ p A = (aij )m×n va B = (bij )m×n . a ` Tˆ’ng cua hai ma trˆn A, B la mˆt ma trˆn C = (cij )m×n v´.i cij = aij + o ’ a . ` o . a. o bij , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n. Kı hiˆu: A + B = C. ´ e . Vı du. ´ .       1 2 2 6 3 −8 1+6 2+3 2 + (−8) 4 −2 5 + 2 −2 1  = 4 + 2 −2 + (−2) 5 + 1  7 −3 4 0 0 5 7 + 0 −3 + 0 4+5   7 5 −6 = 6 0 6  7 −3 9 Tı ´ ` ´ a ` . ´ ´nh chˆ t 1.1. Cho A, B, C, 0 la ca c ma trˆn cung cˆ p, khi d´ ta co : a a ¯o ´ (i) (A + B) + C = A + (B + C) (tı kˆ t ho.p) ´ ´nh e . (ii) A + B = B + A(tı giao hoa n) ´nh ´ (iii) A + 0 = 0 + A = A ’ng - . o ´ ´ Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh
  7. 6 1. Ma trˆn - D.nh th´.c a . -i u (iv) A + (−A) = (−A) + A = 0 b. Nhˆn mˆt phˆn tu. cua tru.o.ng K v´.i ma trˆn. a o. `a ’ ’ ` o a . Dinh nghı a 1.3. Cho A = (aij )m×n , k ∈ K. Phe p nhˆn mˆt phˆn tu. cua -. ˜ ´ a o . `a ’ ’ .o.ng K v´.i ma trˆn A cho ta mˆt ma trˆn B = (b ) tru ` o a o a .i b = k.a , ∀i = . . . ij m×n v´ ij o ij 1, m, ∀j = 1, n. Kı hiˆu: kA. ´ e .   ka11 . . . ka1n kA = B = (bij )m×n =  . . . . . . . . .  kam1 . . . kamn -˘ . e . ˜ e ´ Dat biˆt, khi k = −1 ∈ K, thay cho (−1)A, ta se viˆ t −A va goi no la ma ` . ´ ` ´ a ¯ˆ ’ . vˆy: (−a ) trˆn d o i cu a A. Nhu a . . ij m×n = −(aij )m×n ∀i = 1, m, ∀j = 1, n. Vı du. ´ .     1 2 2 2 4 4 2. 4 −2 5 =  8 −4 10 7 −3 4 14 −6 8 ´ ` ´ a ` . ´ ´nh chˆ t 1.2. Cho A, B la ca c ma trˆn cung cˆ p, α, β ∈ K. Khi d´ ta co : Tı a a ¯o ´ (i) α(A + B) = αA + αB (ii) (α + β)A = αA + βA (iii) α(βA) = (αβ)A = β(αA) (iv) 1.A = A c. Phe p nhˆn hai ma trˆn. ´ a a. -. ˜ ` a a . ´ Dinh nghı a 1.4. Cho A = (aij )m×n la ma trˆn cˆ p m × n trˆn K va B = e ` .i B, kı hiˆu AB, . ´ a a e . ` ´ch ’ (bjk )n×p la ma trˆn cˆ p n × p trˆn K. Ta goi la tı cu a A v´ ` o ´ e . a a´ e ` ´ ` ’ a . cua no d .o.c xa c mˆt ma trˆn C = (cik )m×p cˆ p m × p trˆn K ma ca c phˆn tu ’ ´ ¯u . ´ o . . d ¯inh nhu . sau: n cik = aij bjk ; ∀i = 1, m, ∀k = 1, p. j=1 Minh hoa: . Vı du. Cho ca c ma trˆn: ´ . ´ a .   1 3 1 2 −1 2 −1 A= , B = 2 1  , C = 3 1 2 1 0 3 −1 ’ng - . o ´ ´ Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh
  8. 1.1. Ma trˆn a . 7 Khi d´ : ¯o   1 3 1 2 −1  AB = 2 1  3 1 2 3 −1 1.1 + 2.2 + (−1).3 1.3 + 2.1 + (−1).(−1) 2 6 = = 3.1 + 1.2 + 2.3 3.3 + 1.1 + 2.(−1) 11 8     1 3 10 5 5 1 2 −1 BA = 2 1  =5 5 0  3 1 2 3 −1 0 0 −5 AC va CB khˆng xa c d .nh. ` o ´ ¯i Nhˆn xe t: a ´ . 1 Diˆu kiˆn de’ phe p nhˆn hai ma trˆn thu.c hiˆn d .o.c la sˆ cˆt cua ma - ` e e ¯ˆ ´ . a a. . e ¯u . ` o o ’ . ´ . . ` a ´ o ` ’ trˆn 1 b˘ ng sˆ dong cua ma trˆn 2. a a . 2 AB = BA. Phe p nhˆn hai ma trˆn khˆng co tı giao hoa n. ´ a a . o ´ ´nh ´ Ta kı hiˆu Mm,n(K) la tˆp tˆ t ca nh˜.ng ma trˆn cˆ p m × n trˆn tru.o.ng K, ´ e . . ´ ` a a ’ u a a . ´ e ` .ng ma trˆn vuˆng cˆ p n trˆn tru.o.ng K. . ´ ` a a ’ Mn (K) la tˆp tˆ t ca nh˜ u a . o ´ a e ` ´nh chˆ t 1.3. V´.i phe p nhˆn hai ma trˆn ta co ca c tı chˆ t sau: Tı ´ a o ´ a a . ´ ´ ´nh a ´ (i) (AB)C = A(BC); A ∈ Mm,n(K), B ∈ Mn,p(K), C ∈ Mp,q (K). (ii) A(B + C) = AB + AC; A ∈ Mm,n (K), B, C ∈ Mn,p(K). (A + B)C = AC + BC; A, B ∈ Mm,n(K), C ∈ Mn,p(K). (iii) α(AB) = (αA)B = A(αB); A ∈ Mm,n(K), B ∈ Mn,p(K), α ∈ K. (iv) AIn = A = Im A; A ∈ Mm,n (K), Im , In la ca c ma trˆn d o.n vi cˆ p lˆn ` ´ a ¯ . . a ` ´ a lu.o.t la m, n. . ` ’ d. Chuyˆ n vi ma trˆn. e . a . -. ˜ e’ . ’ Dinh nghı a 1.5. Cho A = (aij )m×n . Chuyˆ n vi cua ma trˆn A la ma trˆn B a ` a . ´ a´ ` ´ ` a ’ . d .o.c xa c d nh nhu. sau: co cˆ p n × m va ca c phˆn tu ¯u . ´ ¯i . bij = aji , i = 1, m, j = 1, n. ´ e . a . e’ . ’ a ` ´ o ´ . ´ e’ Ta kı hiˆu ma trˆn chuyˆ n vi cua ma trˆn A la At . No i mˆt ca ch kha c chuyˆ n vi cua ma trˆn A la ma trˆn B d .o.c suy ra b˘ ng ca ch d o’i dong thanh cˆt va . ’ a . ` a . ¯u . ` a ´ ¯ˆ ` ` o ` . cˆt thanh dong. o . ` ` ’ng - . o ´ ´ Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh
  9. 8 1. Ma trˆn - D.nh th´.c a . -i u     1 2 1 1 −1 0 2 −1 3 0 Vı du. ´ . A= 2 3 −5 0 At =    0 −5 3 1 0 3 4 3×4 2 0 4 4×3 ´nh chˆ t 1.4. Phe p chuyˆ n vi ma trˆn co nh˜.ng tı chˆ t sau: Tı ´ a ´ ’ e . a ´ u . ´nh a´ 1. (A ± B)t = At ± B t , A, B ∈ Mm,n(K). 2. (αA)t = αAt , A ∈ Mm,n (K), α ∈ K. 3. (AB)t = B t At , A ∈ Mm,n(K), B ∈ Mn,p(K). 4. (In )t = In , In la ma trˆn d o.n vi cˆ p n. ` a ¯ . . a´ 5. A la ma trˆn che o thı At = A. ` a . ´ ` 1.1.3 Ma trˆn d o i x´.ng va ma trˆn phan x´.ng. . ´ a ¯ˆ u ` a . ’ u -. ˜ ` a . o ´ Dinh nghı a 1.6. Cho A la ma trˆn vuˆng cˆ p n . a +) A goi la ma trˆn d o i x´.ng nˆ u At = A. . ` ´ a ¯ˆ u . ´ e +) A goi la ma trˆn pha n x´.ng nˆ u At = −A. . ` a . ’ u ´ e Vı du. ´ .     1 −2 1 1 −2 1 Cho A = −2 3 1 . Ta co At = −2 3 1  = A. Vˆy A la ma ´ a . ` 0 1 −1 0 1 −1 ´ trˆn d o i x´ a ¯ˆ u .ng. .     0 −2 1 0 2 −1 Cho B =  2 0 3. Ta co B t = −2 0 −3 = −B. Vˆy B la ma ´ a . ` −1 −3 0 1 3 0 ’ u trˆn phan x´ a .ng. . Nhˆn xe t. Nˆ u A la mˆt ma trˆn phan x´.ng thı ca c phˆn tu. trˆn d .o.ng a. ´ e´ ` o. a. ’ u ` ´ ` a ’ e ¯u ` che o chı ´ ’ ´ a ` ´nh cua no b˘ ng 0. ’ng - . o ´ ´ Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh
  10. 1.1. Ma trˆn a . 9 1.1.4 Da th´.c ma trˆn. - u a . -. ˜ Dinh nghı a 1.7. Cho A la mˆt ma trˆn vuˆng trˆn K va p(x) = a0 + a1 x + ` o . a. o e ` · · · + an xn ∈ K[x] la mˆt d th´.c cua biˆ n x v´.i hˆ sˆ trˆn K. Khi d´ ma ` o ¯a u ’ . ´ e . ´ o e o e ¯o trˆn a. a 0 I + a 1 A + · · · + a n An , trong d´ , I la ma trˆn d .n vi cung cˆ p v´.i A, d .o.c goi la gia tri cua d th´.c ¯o ` a ¯o . ` . ´ a o ¯u . . ` ´ . ’ ¯a u ´ e ´ ˜ ¯u.o.c goi la d th´.c ma trˆn. p(x) tai x = A, kı hiˆu p(A). No cu ng d . . ` ¯a u a . . ’ ¯a u A goi la mˆt nghiˆm ma trˆn cua d th´ .c p(x) nˆ u d th´.c ma trˆn ´ . ` o . e . a . e ¯a u a . a o ` ´ o p(A) = 0 (ma trˆn khˆng cung cˆ p v´ a .i A). . Bai tˆp. ` a . 1.1.1 Cho ca c ma trˆn: ´ a .         1 2 1 3 2 5 1 4 A = −1 0 ; B =  2 1  ; C = 0 3 ; D = 2 5 . 2 1 −3 −2 4 2 3 6 ´nh: a) 5A − 3B + 2C + 4D; b) A + 2B − 3C − 5D. Tı 1.1.2 Cho ma trˆn: a .   1 −2 6 A = 4 3 −8 . 2 −2 5 Tı ma trˆn X sao cho: a) 3A + 2X = I3 ; b) 5A − 3X = I3 . `m a . ´ e . ` o . . ´ 1.1.3 Kı hiˆu (r × s) la mˆt ma trˆn cˆ p r × s trˆn K. Tı m, n ∈ N\{0} a a e `m .o.ng ho.p sau: trong ca c tru ` ´ . a) (3 × 4) × (4 × 5) = (m × n); b) (2 × 3) × (m × n) = (2 × 6); c) (2 × m) × (4 × 3) = (2 × n). 1.1.4 Tı ´nh:    1  4 1 1 0 2  5 n 1 2 −3  2 1 3 2 1 1 a) 0 1 1 0  ; b) ; c) ; 3 0 4 3 2 −4 −2 0 1 1 0 2 1 4 3 n n λ 1 cos ϕ − sin ϕ d) ; e) ; (n ∈ N, 0 ≤ ϕ < 2π). 0 λ sin ϕ cos ϕ ’ng - . o ´ ´ Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh
  11. 10 1. Ma trˆn - D.nh th´.c a . -i u 1.1.5 Cho ma trˆn: a .   0 1 0 0 0 0 1 0 A= 0 . 0 0 1 0 0 0 0 ´nh ca c ma trˆn: AAt va At A. Tı ´ a . ` 1.1.6 Ch´.ng minh ca c tı chˆ t 1.1, 1.2, 1.3, 1.4. u ´ ´nh a ´ 1.1.7 Cho d th´.c p(x) = x2 − 3x + 1. Tı ¯a u ´nh ca c d th´.c ma trˆn p(A), p(B) ´ ¯a u a . ´t biˆ e   1 2 −3 1 2 A= ; B = 3 0 4  . 0 4 0 −1 0 1.1.8 Ch´.ng minh r˘ ng: u  ` a  2 0 0 a) A = 0 2 0  la mˆt nghiˆm cua p(x) = x3 − 3x2 + 4; ` o . e . ’ 0 0 −1 a b b) B = ∈ M2 (K) la nghiˆm cua q(x) = x2 − (a + d)x + ` e . ’ c d +(ad − bc) ∈ K[x]. 1.1.9* V´.i mˆ i ma trˆn vuˆng A = (aij )n ∈ Mn(K), ta goi tˆ’ng ca c phˆn tu. o ˜ o a. o . o ´ `a ’ .o.ng che o chı trˆn d ` e ¯u ´ ’ ´ ` e ’ ´ ´ e .c la: ´nh cua A la vˆ t cua no , kı hiˆu tr(A). T´ ` u . tr(A) = a11 + a22 + · · · + ann . Ch´.ng minh r˘ ng u ` a v´.i o moi . A, B ∈ Mn (K) ta d` u ¯ˆ e co : ´ tr(AB) = tr(BA). 1.1.10* Ch´.ng minh r˘ ng khˆng tˆn tai ca c ma trˆn vuˆng A, B ∈ Mn(K) sao u ` a o ` . ´ o a . o cho AB − BA = In . 1.2 Dinh th´.c -. u 1.2.1 ´ ´ e . ´ Phe p thˆ - Nghich thˆ . e Dinh nghı a 1.8. Cho n la mˆt sˆ nguyˆn du.o.ng va X la mˆt tˆp ho.p co n -. ˜ . ´ ` o o e ` ` o a . . . ´ ` a ’ phˆn tu.. Mˆt phe p thˆ bˆc n la mˆt song ´ nh σ t`. X lˆn chı o ´ ´ . e a ` o a u e ´nh no . Khˆng ´ o . . ’ng - . o ´ ´ Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh
  12. 1.2. D.nh th´.c -i u 11 a ´nh tˆ’ng qua t, ta thu.o.ng lˆ y X = {1, 2, ..., n}. Khi d´ mˆ i phe p thˆ ´ mˆ t tı o ´ ` ´ a ¯o o˜ ´ ´ e bˆc n thu.o.ng d .o.c kı hiˆu: a . ` ¯u . ´ e . 1 2 ··· n σ= σ(1) σ(2) · · · σ(n) Kı hiˆu Sn ´ e . la tˆp ho.p tˆ t ca ca c phe p thˆ bˆc n thı Sn la tˆp ho.p gˆm ` a . . ´ a ’ ´ ´ ´ . e a ` ` a . . ` o n! = 1.2...n ` a ’ phˆn tu .. Khi n > 1, c˘p sˆ (khˆng th´. tu.) phˆn biˆt {i, j} ⊂ {1, 2, ..., n} goi la mˆt a o . ´ o u . a e . . ` o . i−j . ´ ´ nghich thˆ nˆ u e e < 0. σ(i) − σ(j) ´ e . ´ ` o ´ . ´ e ’ ´ ´ Kı hiˆu N (σ) la sˆ ca c nghich thˆ cua phe p thˆ σ. e ´ . `m a ’ ´ ´ ´ ´ . e a ’ Vı du. Tı tˆ t ca ca c phe p thˆ bˆc 3 cua I = {1, 2, 3}. ´ . a a ´ ` a ’ .. vˆy S se co 6 phˆn tu. : Ta thˆ y tˆp I co 3 phˆn tu a 3 ˜ ´ ` a ’ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 σ0 = , σ1 = , σ2 = , σ3 = , 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 1 2 3 1 2 3 σ4 = , σ5 = . 3 1 2 3 2 1 ´ ´ e ’ ˜ ´ Tı sˆ ca c nghich thˆ cua mˆ i phe p thˆ trˆn. `m o ´ . o ´ e e N (σ0 ) = 0, . ´ N (σ1 ) = 1 (nghich thˆ (2,3)), e . ´ N (σ2 ) = 1 (nghich thˆ (1,2)), e . ´ N (σ3 ) = 2 ( nghich thˆ (1,3) va (2,3)), e ` . ´ N (σ4 ) = 3 (nghich thˆ (1,2), (2,3) va (1,3)), e ` . ´ N (σ5 ) = 2 (nghich thˆ (1,2) va (1,3)). e ` 1.2.2 Dinh th´.c. -. u -. ˜ a. Dinh nghı a. Dinh nghı a 1.9. Cho A = (aij )n la mˆt ma trˆn vuˆng cˆ p n trˆn tru.o.ng -. ˜ ` o . a . o ´ a e ` K (n ∈ N, n > 0). D. - inh th´.c cua ma trˆn A la mˆt sˆ thuˆc K, kı hiˆu detA, u ’ a . . ´ ` o o o . ´ e . .o.c cho bo.i biˆ u th´.c: d . ¯u ’ e’ u detA = (−1)N (σ) a1σ(1)a2σ(2) ...anσ(n) σ∈Sn ’ng - . o ´ ´ Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh
  13. 12 1. Ma trˆn - D.nh th´.c a . -i u Dinh th´.c cua ma trˆn A con d .o.c kı hiˆu la: -. u ’ a . ` ¯u . ´ e ` . a11 a12 . . . a1n a a22 . . . a2n |A| ho˘c A = 21 a . ··· ··· ··· ··· am1 am2 . . . amn a11 a12 Vı du 1. ´ . A= , n = 2, I = {1, 2}, a21 a22 1 2 1 2 σ0 = , σ1 = , N (σ0 ) = 0, N (σ1 ) = 1, 1 2 2 1 detA = (−1)0 a11a22 + (−1)1 a12 a21 = a11a22 − a12 a21.   a11 a12 a13 Vı du 2. ´ . B = a21 a22 a23, su. dung nh˜.ng kˆ t qua cua vı du o. muc ’ . u ´ e ’ ’ ´ . ’ . a31 a32 a33 1.2.1 ta tı .o.c: ´nh d . ¯u detB = a11a22 a33 + a12a23 a31 + a13 a21a32 − a11a23 a32 − a12a21 a33 − a13a22 a31. ´ Quy t˘ c Sarrus d ˆ tı a ¯e ´nh d inh th´.c cˆ p 3. ’ ¯. u a ´ ´ u. tu. cˆt mˆt va cˆt va cˆt hai sau cˆt th´. ba. + Viˆ t theo th´ . o e o ` o ` o o u . . . . . ´ ´ . + Ba sˆ hang mang dˆ u cˆng trong d .nh th´ ` ´ch ’ ´ o . a o ¯i u.c la tı cua ca c phˆn tu. n˘ m ` a ’ a ` trˆn 3 d ` e ¯u .o.ng song song v´.i d .o.ng che o chı o ¯u ` ´ ´nh. ´ + Ba sˆ hang mang dˆ u tr` o . ´ a u. trong d nh th´.c la tı cua ca c phˆn tu. n˘ m ¯i u ` ´ch ’ ´ ` a ’ a ` . trˆn 3 d ` e ¯u .o.ng song song v´.i d .o.ng che o phu. o ¯u ` ´ . u. d´ ta tı d .o.c d nh th´.c cˆ p 3 nhu. vı du 2. Minh hoa: T` ¯o ´nh ¯u . ¯i u a ´ ´ . . . 1 2 1 ´ . ´nh: 2 3 4 = 1.3.2 + 2.3.4 + 1.2.5 − 1.3.3 − 2.2.2 − 1.4.5 = 3 Vı du. Tı 3 5 2 ´nh chˆ t cua d inh th´.c. b. Tı ´ ’ ¯. a u -. ´ ` ` a . ’ Dinh ly 1.1. Cho A = (aij )n ∈ Mn (K) va At la ma trˆn chuyˆ n vi cu a A. e . ’ Khi d´ det(At ) = det(A). No i ca ch kha c d. nh th´.c cu a ma trˆn khˆng thay ¯o ´ ´ ´ ¯i u ’ a . o ¯ˆ ’ ´ ’ d o i qua phe p chuyˆ n vi. e . Ch´.ng minh. Gia su. At = (aij )n . Khi d´ aij = aji (i = 1, n, j = 1, n). u ’ ’ ¯o Ta co : detA = ´ (−1)N (σ) a1σ(1) a2σ(2) ...anσ(n) σ∈Sn −1 detA = t (−1)N (σ ) a1σ−1(1) a2σ−1(2) ...anσ−1 (n) σ−1 ∈Sn ’ng - . o ´ ´ Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh
  14. 1.2. D.nh th´.c -i u 13 = (−1)N (σ) aσ−1(1)1 aσ−1(2)2 ...aσ−1 (n)n σ−1∈Sn vı N (σ −1 ) = N (σ) va aij = aji , i, j = 1, n. ` ` - e’ y a 1 2 ··· n σ −1 (1) σ −1 (2) · · · σ −1 (n) ` Dˆ ´ r˘ ng: σ = = σ(1) σ(2) · · · σ(n) 1 2 ··· n Do do v´.i moi σ ∈ Sn ta d` u co : ´ o . ¯ˆ ´ e (−1)N (σ) a1σ(1) a2σ(2) ...anσ(n) = (−1)N (σ) aσ−1 (1)1aσ−1 (2)2 ...aσ−1 (n)n . Vˆy detAt=detA. a . T`. tı chˆ t trˆn ta suy ra r˘ ng vai tro cu a ca c dong va ca c cˆt trong ma u ´nh a ´ e ` a ` ’ ´ ` ` ´ o . a ` `nh ¯˘ ’ ˜ . o e ¯ˆ ` ¯i e e u.c nˆ u d˜ d´ ng cho dong thı cu ng trˆn la bı d a ng. Mˆ i mˆnh d` vˆ d. nh th´ e ¯a ¯u ´ ` ` ˜ . ¯u .i cˆt va ngu.o.c lai. d´ ng v´ o ` o . . . Dinh ly 1.2. Nˆ u d o i chˆ hai dong bˆ t kı cu a mˆt ma trˆn thı d. nh th´.c -. ´ ´ e ¯ˆ’ ˜ o ` ´ a ` ’ o . a . ` ¯i u ’ ´ ¯ˆ a ’ ´ cu a no d o i dˆ u. Ch´.ng minh. Gia su. A = (aij )n (n ≥ 2) va B = (bij )n la ma trˆn nhˆn d .o.c u ’ ’ ` ` a . a ¯u . . t` u. A b˘ ng ca ch d o’i chˆ hai dong th´. k va th´. l nao d´ (1 ≤ k < l ≤ n) cho ` a ´ ¯ˆ ˜ o ` u ` u ` ¯o ˜ ` nhau, nghı a la:  aij , khi i ∈ {1, 2, ..., n}\{k, l},  bij = alj , khi i = k, (j = 1, n)   akj , khi i = l, Ta cˆn ch´.ng to detB=-detA. ` a u ’ Ta co : detB = ´ (−1)N (f) b1f(1) b2f(2) ...bnf(n) . f∈Sn ´ ´ ´ . Xe t phe p thˆ bˆc n: e a 1 2 ... k ... l ... n f: f (1) f (2) ... f (k) ... f (l) ... f (n) -˘ 1 2 ... k ... l ... n Dat . g: f (1) f (2) ... f (l) ... f (k) ... f (n) Ta co g(i) = f (i), i = 1, n, i = k, i = l, g(k) = f (l), g(l) = f (k). Theo ´ d .nh nghı a nghich thˆ , ta suy ra N (g) va N (f ) sai ke m nhau mˆt d .n vi. ¯i ˜ . ´ e ` ´ o ¯o . . ¯o N N Do d´ (−1) (f ) = −(−1) (g), khi f chay kh˘ . ´p Sn thı g cu ng chay kh˘ p Sn . a ` ˜ . ´ a Vˆy: a . detB = (−1)N (f) b1f(1) b2f(2) ...bkf(k) ...blf(l) ...bnf(n) f∈Sn ’ng - . o ´ ´ Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh
  15. 14 1. Ma trˆn - D.nh th´.c a . -i u = (−1)N (f) a1f(1) a2f(2) ...akf(l) ...alf(k) ...anf(n) f∈Sn = −(−1)N (g) a1g(1) a2g(2) ...akg(k) ...alg(l) ...ang(n) = −det(A) g∈Sn Dinh ly 1.3. Cho A la mˆt ma trˆn vuˆng cˆ p n trˆn K va gia su. dong th´. i -. ´ ` o . a . o ´ a e ` ’ ’ ` u ` ¯o ’ nao d´ (1 ≤ i ≤ n) cu a A co tı ´ ´ ´nh chˆ t aij = λaij + µaij ; a j = 1, n. Khi d´ ta co : ¯o ´ ··· ··· ··· ··· detA = λai1 + µai1 λai2 + µai2 · · · λain + µain ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· = λ ai1 ai2 · · · ain + µ ai1 ai2 · · · ain ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· Trong d´ , ca c dong con lai cu a ba d. nh th´.c o. hai vˆ la hoan toan nhu. nhau ¯o ´ ` ` . ’ ¯i u ’ ´ e ` ` ` ` ´nh ` ` ` . ’ va chı la n − 1 dong con lai cu a A. Ch´.ng minh. Kı hiˆu ba d .nh th´.c trˆn t`. tra i sang phai lˆn lu.o.t la D, D , D . u ´ e. ¯i u e u ´ ’ ` a . ` ` Ta cˆn ch´ a u.ng minh D = λD + µD . Ta co ´ N D= (−1) (σ)a1σ(1) a2σ(2) ...anσ(n) σ∈Sn = (−1)N (σ)a1σ(1) a2σ(2) ...(λaiσ(i) + µaiσ(i) )...anσ(n) σ∈Sn =λ (−1)N (σ)a1σ(1) a2σ(2) ...aiσ(i) ...anσ(n) + σ∈Sn +µ (−1)N (σ)a1σ(1)a2σ(2) ...aiσ(i) ...anσ(n) σ∈Sn = λD + µD T`. ca c d .nh ly 1.2 va 1.3 ta dˆ dang suy ra hˆ qua sau u ´ ¯i ´ ` ˜ ` e e . ’ e . ’ ` o. a . o ´ Hˆ qua 1.1. Cho A la mˆt ma trˆn vuˆng cˆ p n trˆn K. a e (1) Nˆ u nhˆn mˆt dong nao d´ cu a A v´.i mˆt sˆ λ ∈ K thı d. nh th´.c cu a e´ a o ` . ` ¯o ’ o . ´ o o ` ¯i u ’ ´ ˜ .o.c nhˆn v´.i λ. no cu ng d u . ¯ a o (2) det(λA) = λn detA, λ ∈ K. (3) Nˆ u A co mˆt dong khˆng thı d. nh th´.c cu a no b˘ ng khˆng. ´ e ´ o ` . o ` ¯i u ’ ´ a ` o (4) Nˆ u A co hai dong b˘ ng nhau hay tı lˆ v´.i nhau thı d. nh th´.c cu a no ´ e ´ ` ` a ’ e o . ` ¯i u ’ ´ ` b˘ ng khˆng. a o ’ng - . o ´ ´ Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh
  16. 1.2. D.nh th´.c -i u 15 (5) Nˆ u ta cˆng vao mˆt dong nao d´ cu a ma trˆn A mˆt dong kha c d˜ nhˆn ´ e o . ` o ` . ` ¯o ’ a . o ` . ´ ¯a a v´.i mˆt sˆ bˆ t ky thuˆc tru.o.ng K thı ta d u.o.c mˆt ma trˆn B co cung o . ´ ´ o o a ` o . ` ` ¯ . o . a . ´ ` ¯i u.c v´.i ma trˆn A. d. nh th´ o a . Dinh ly 1.4. D. nh th´.c cu a ma trˆn che o A b˘ ng tı ca c phˆn tu. n˘ m trˆn -. ´ -i u ’ a . ´ a` ´ch ´ ` ’ a a ` e d u.o.ng che o chı ¯ ` ´ ´nh. Viˆc ch´.ng minh d .nh ly nay tu.o.ng d o i dˆ, ngu.o.i d . c tu. ch´.ng minh. e . u ¯i ´ ` ¯ˆ ˜ ´ e ` ¯o . u Hˆ qua 1.2. D. nh th´.c cu a ma trˆn tam gia c A b˘ ng tı ca c phˆn tu. n˘ m e . ’ -i u ’ a . ´ ` a ´ch ´ ` ’ a a ` trˆn d u.o.ng che o chı e ¯ ` ´ ´nh. Vı du. Dung ca c tı chˆ t cua d .nh th´.c tı ca c d .nh th´.c sau: ´ . ` ´ ´ ´nh a ’ ¯i u ´nh ´ ¯i u 5 1 2 7 2 −3 4 1 a+x x x 3 0 0 2 4 −2 3 2 1) 2) x b+x x 3) 1 3 4 5 a b c d x x c+x 2 0 0 3 3 −1 4 3 -. c. Dinh ly Laplace. ´ -. .c con va phˆn bu d i sˆ . ` ` Dinh th´ u a ` ¯a o . ´ -. ˜ Dinh nghı a 1.10. Cho A = (aij )n la mˆt ma trˆn vuˆng cˆ p n trˆn K ` o . a . o a´ e (n ≤ 2), D = detA va k la mˆt sˆ nguyˆn du.o.ng nho ho.n n. Xe t k dong th´. ` ` o o . ´ e ’ ´ ` u i1 , i2 , ..., ik (1 ≤ i1 < i2 < ... < ik ≤ n) va k cˆt th´ 1 2 ` o u . j , j , ..., j (1 ≤ j < j < . k 1 2 ... < jk ≤ n) nao d´ cua A. Ca c phˆn tu ’ ` ¯o ’ ´ `a ’ . cua A n˘ m o. giao cua ca c dong va ` a ’ ’ ´ ` ` ca c cˆt trˆn tao nˆn mˆt ma trˆn vuˆng Si1 i2 ...ik j1j2 ...jk cˆ p k sau d ay: ´ o e . e. o . a . o ´ a ¯ˆ   ai1 j1 ai1 j2 ... ai1 jk a a ... ai2 jk  Si1 i2 ...ikj1 j2 ...jk =  i2 j1 i2 j2  ...  ... ... ...  aik j1 aik j2 ... aik jk Si1 i2 ...ikj1 j2 ...jk goi la mˆt ma trˆn vuˆng con cˆ p k cua ma trˆn A. D.nh th´.c . ` o . a . o ´ a ’ a . -i u detSi1i2 ...ikj1 j2 ...jk goi la mˆt d. nh th´ .c con cˆ p k cua D, kı hiˆu D ´ ’ . ` o ¯i . u a ´ e . i1 i2 ...ikj1 j2 ...jk . a´ Ma trˆn con cˆ p n − k cua A co d . a ’ ´ ¯u .o.c b˘ ng ca ch xo a d k dong, k cˆt ` a ´ ´ ¯i ` o . . ch´ u .a S ` ’ i1 i2 ...ikj1 j2 ...jk goi la ma trˆn con bu cua Si1 i2...ik j1j2 ...jk (trong A) va d .nh . ` a . ` ¯i th´ u .c con cˆ p n − k cua no d .o.c goi la d inh th´.c con bu cua d nh th´.c con a´ ’ ´ ¯u . ` ’ ¯i . ` ¯. u . u Di1 i2...ik j1j2 ...jk (trong D), kı hiˆu Mi1 i2 ...ikj1 j2...jk ´ e . Dinh nghı a 1.11. Phˆn phu d . i sˆ cua d .nh th´.c con Di1i2 ...ik j1j2 ...jk kı hiˆu -. ˜ ` a . ¯a o ’ ¯i ´ u ´ e . Ai1 i2 ...ikj1 j2...jk , d . ¯i ¯u .o.c d nh nghı a bo.i˜ ’ . Ai1 i2 ...ikj1 j2 ...jk = (−1)s Mi1 i2 ...ikj1 j2 ...jk ’ng - . o ´ ´ Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh
  17. 16 1. Ma trˆn - D.nh th´.c a . -i u trong d´ s = i1 + i2 + · · · + ik + j1 + j2 + · · · + jk la tˆ’ng ca c chı sˆ dong va ¯o ` o ´ ´ ’ o ` ` ´ . ’ o o . e chı sˆ cˆt tao nˆn Di1 i2 ...ikj1 j2...jk . -˘ Dac biˆt, khi k = 1, i = i1 , j = j1 (1 ≤ i, j ≤ n) thı Sij = [aij ] ≡ aij = . e . ` det[aij ] = Dij , d .nh th´.c con bu cua Dij la d .nh th´.c con Mij cˆ p n − 1 nhˆn ¯i u ` ’ ` ¯i u ´ a a . ¯u .o.c t`. D b˘ ng ca ch xo a d dong i va cˆt j; con phˆn bu d i sˆ cua D d . u ` a ´ ´ ¯i ` ` o ` ` a ` ¯a o ’ ´ . . ij i+j chı la Aij = (−1) Mij . ´nh ` Vı du. Xe t d .nh th´.c cˆ p n = 4 sau: ´ . ´ ¯i u a ´ 5 1 2 7 3 0 −3 2 D= 1 3 4 5 2 1 0 3 Lu c d´ : ´ ¯o 5 7 D1314 = la d .nh th´.c con cˆ p 2 cua D v´.i phˆn bu d . i sˆ la: ` ¯i u ´ a ’ o ` a ` ¯a o ` ´ 1 5 0 −3 0 −3 A1314 = (−1)1+3+1+4 =− . 1 0 1 0 3 0 −3 D234123 = 1 3 4 la d .nh th´.c con cˆ p 3 cua D v´.i phˆn bu d . i sˆ la: ` ¯i u ´ a ’ o ` a ` ¯a o ` ´ 2 1 0 A234123 = (−1)2+3+4+1+2+3 a14 = −7. D13 = a13 = 2 la d .nh th´.c con cˆ p 1 cua D v´.i phˆn bu d . i sˆ la: ` ¯i u ´ a ’ o ` a ` ¯a o ` ´ 3 0 2 1+3 A13 = (−1) 1 3 5 . 2 1 3 -. . a . o ´ Dinh ly 1.5. Cho A = (aij )n la mˆt ma trˆn vuˆng cˆ p n trˆn K (n ≥ 2), ´ ` o a e ` ` ` ¯. o ’ a ´ Aij la phˆn bu d ai sˆ cu a aij , i, j = 1, n. Khi d´ ta co : ¯o ´ n (1) detA = aij Aij = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + · · · + ain Ain , i = 1, n; j=1 n (2) detA = aij Aij = a1j A1j + a2j A2j + · · · + anj Anj , j = 1, n; i=1 ’ng - . o ´ ´ Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh
  18. 1.2. D.nh th´.c -i u 17 Cˆng th´.c (1) (tu.o.ng u.ng (2)) d .o.c goi la phe p khai triˆ n detA theo dong o u ´ ¯u . . ` ´ e’ ` th´. i (tu.o.ng u.ng theo cˆt th´. j); no quy viˆc tı u ´ o . u ´ e ´nh d .nh th´.c cˆ p n vˆ viˆc . ¯i u a ´ ` e e . tı d .nh th´ a ´nh ¯i .c cˆ p n − 1. u ´ ´ . ´nh d .nh th´.c cˆ p 3 sau d ay: Vı du. Tı ¯i u a ´ ¯ˆ 1 1 −1 D = −1 1 1 . 1 −1 1 ´ ` ¯i ˜ Ca ch 1. Dung d .nh nghı a. D = 1.1.1 + 1.1.1 + (−1).(−1).(−1) − 1.1.(−1) − (−1).1.1 − 1.(−1).1 = 4. ´ e’ Ca ch 2. Khai triˆ n D theo dong 1. ` 1 1 −1 1 −1 1 D = 1.(−1)1+1 + 1.(−1)1+2 + (−1).(−1)1+3 −1 1 1 1 1 −1 =2+2+0 =4 ´ e’ Ca ch 2. Khai triˆ n D theo cˆt 3. o. −1 1 1 1 1 1 D = (−1).(−1)1+3 + 1.(−1)2+3 + 1.(−1)3+3 1 −1 1 −1 −1 1 =0+2+2 =4 Dinh ly 1.6 (Laplace). Cho A la ma trˆn vuˆng cˆ p n trˆn tru.o.ng K. T`. -. ´ ` a . o ´ a e ` u A ta chon k hang (ho˘c k cˆt) tuy ´ (1 ≤ k ≤ n). Khi d´ d. nh th´ ` a o ` y ¯o ¯i u.c cu a ma ’ . . . ` ’ ’ ´ ´ch ’ a ’ ´ ¯i ´ trˆn A b˘ ng tˆ ng cu a ca c tı cu a tˆ t ca ca c d. nh th´ a a o u.c con cˆ p k lˆp d u.o.c ´ a a ¯ . . . trˆn k hang (cˆt) d´ v´ e ` o ¯o o .i phˆn bu d ai sˆ cu a chu ng. ` ` ¯. o ’ a ´ ´ . Dinh ly trˆn con d .o.c goi la d .nh ly khai triˆ n d .nh th´.c cua ma trˆn A -. ´ e ` ¯u . . ` ¯i ´ e’ ¯i u ’ a . theo k dong (tu ` .o.ng u.ng theo k cˆt). ´ o . Vı du. Tı ´ . ´nh d .nh th´ ¯i u .c sau d ay: ¯ˆ 1 2 0 −1 3 0 −3 2 D= 0 0 2 1 2 1 0 3 Ta se khai triˆ n D theo 2 dong 2 va 3. Ta co 6 d .nh th´.c con d .o.c lˆp t`. 2 ˜ e’ ` ` ´ ¯i u ¯u . a u . dong nay: ` ` 3 0 3 −3 3 2 D2312 = = 0, D2313 = = 6, D2314 = = 3, 0 0 0 2 0 1 0 −3 0 2 −3 2 D2323 = = 0, D2324 = = 0, D2334 = = −7, 0 2 0 1 2 1 ’ ` ´nh: Ta chı cˆn tı a ’ng - . o ´ ´ Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh
  19. 18 1. Ma trˆn - D.nh th´.c a . -i u 2 −1 2 0 A2313 = (−1)2+3+1+3 = −7, A2314 = (−1)2+3+1+4 = 0, 1 3 1 0 1 2 A2334 = (−1)2+3+3+4 = −3, 2 1 Vˆy D = 6.(−7) + 3.0 + (−7).(−3) = −21. a . Chu ´ . Sˆ ca c d .nh th´.c con lˆp d .o.c trˆn k dong (tu.o.ng u.ng k cˆt) cua ´ ´ y o ´ ¯i u a ¯u . . e ` ´ o . ’ . a . o ´ a ` k mˆt ma trˆn vuˆng cˆ p n la Cn . o Nhˆn xe t. Do i v´.i bai toa n tı d .nh th´.c: a ´ - ˆ o ` ´ ´nh ¯i . ´ u (1) Khi thˆ y mˆt dong (hay cˆt) cua d .nh th´.c co nhiˆu sˆ khˆng thı nˆn ´ a o ` . o. ’ ¯i u ´ ` o e ´ o ` e e’ ¯i khai triˆ n d .nh th´ u.c theo dong (hay cˆt) d´ . ` o ¯o . (2) Dung ca c phe p biˆ n d o i so. cˆ p ta co thˆ lam cho d .nh th´.c tro. nˆn d .n ` ´ ´ ´ e ¯ˆ ’ ´ a ´ e’ ` ¯i u ’ e ¯o ’ gian, dˆ tı e .n. Dac biˆt, moi d nh th´.c d` u d .a d .o.c vˆ dang tam ˜ ´nh ho - ˘ e u ¯ˆ ¯u ¯u . ` . . . . ¯i. e e .u han phe p biˆ n d o i so. cˆ p. ’ . ´ gia c sau mˆt sˆ h˜ ´ o o u . ´ ´ e ¯ˆ ´ a T`. d .nh ly Laplace va ca c tı u ¯i ´ ` ´ ´nh chˆ t cua d .nh th´.c ta co d .nh ly sau: ´ a ’ ¯i u ´ ¯i ´ Dinh ly 1.7 (Dinh ly nhˆn d inh th´.c). Gia su. A = (aij )n va B = (bij )n -. ´ -. ´ a ¯. u ’ ’ ` ` a . o ` ´ la hai ma trˆn vuˆng cung cˆ p n, khi d´ ta co : det(AB) =detA.detB. a ¯o ´ Nhˆn xe t. Dung d .nh ly 1.7 ta co thˆ tı a . ´ ` ¯i ´ ´ e’ ´nh d .o.c mˆt sˆ d .nh th´.c b˘ ng ¯u . . ´ o o ¯i u a ` ca ch ta ch thanh tı cua hai d .nh th´.c d .n gian ho.n. ´ ´ ` ´ch ’ ¯i u ¯o ’ Vı du. Tı ´ . ´nh d .nh th´ ¯i u .c D = detA cua ma trˆn vuˆng A cˆ p n sau: ’ a o ´ a .   1 + x 1 y1 1 + x 1 y2 · · · 1 + x 1 yn  1 + x 2 y1 1 + x 2 y2 · · · 1 + x 2 yn  A=  ···  ··· ··· ···  1 + x n y1 1 + x n y2 · · · 1 + x n yn a . ´ ` Nhˆn thˆ y r˘ ng: a a     1 1 ··· 1 1 x1 0 ··· 0  y y2 · · · yn   1 x2 0 ··· 0  1  A= · · · · · · · · ·  0 0 ··· 0  ··· · · ·  · · · · · ·  · · · · · · 1 xn 0 ··· 0 0 0 ··· 0 Do d´ ¯o ’ng - . o ´ ´ Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh
  20. 1.2. D.nh th´.c -i u 19 1 1 ··· 1 1 x1 0 ··· 0 y1 y2 · · · yn 1 x2 0 ··· 0 D = detA = 0 0 ··· 0 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· 1 xn 0 ··· 0 0 0 ··· 0 0 , khi n > 2, = (x2 − x1 )(y2 − y1 ) , khi n = 2. Bai tˆp. ` a . ´ ´ e ’ ´ ´ 1.2.1 Tı sˆ nghich thˆ cua ca c phe p thˆ sau: `m o . ´ e 1 2 3 4 1 2 3 4 5 a) b) 2 4 1 3 3 5 4 1 2 1 2 3 4 5 6 7 c) 6 4 5 3 7 1 2 a−x b 1.2.2 Ch´.ng minh v´.i a, b, c ∈ R phu.o.ng trı u o `nh = 0 luˆn co o ´ b c−x nghiˆm thu.c. e . . 1.2.3 Khˆng khai triˆ n d .nh th´.c ch´.ng minh r˘ ng: o e’ ¯i u u ` a 1 a bc 1 a a2 a) 1 b ca = 1 b b2 1 c ab 1 c c2 1 a a3 1 a a2 b) 1 b b3 = (a + b + c) 1 b b2 1 c c3 1 c c2 1 a a2 c) 1 b b2 = (b − a)(c − a)(c − b) 1 c c2 ´nh ca c d .nh th´.c sau: 1.2.5 Tı ´ ¯i u 2 −3 4 1 a 3 0 5 x 1 1 1 4 −2 3 2 0 b 0 2 1 x 1 1 a) b) c) a b c d 1 2 c 3 1 1 x 1 3 −1 4 3 0 0 0 d 1 1 1 x ’ng - . o ´ ´ Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản