Bài giảng Không gian tuyến tính

Chia sẻ: Nguyễn Quốc Thắng | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:31

Thêm vào BST

Báo xấu

120
lượt xem 28
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong không gian xét tập V các véc tơ với gốc tại O. Hiển nhiên V là tập khác trống chứa véc tơ không, ký hiệu  là véc tơ không. Chúng ta xét hai phép toán sau: (i) Phép cộng hai véc tơ trên V Nếu , là hai véc tơ bất kỳ thuộc V, khi đó véc tơ tổng xác định theo quy tắc hình bình hành là véc tơ có gốc trùng với gốc của và nên cũng...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Không gian tuyến tính

1 Ch¬ng 3 Kh«ng gian tuyÕn tÝnh 3.1 Kh¸i niÖm vÒ kh«ng gian tuyÕn tÝnh 1. Kh«ng gian vÐc t¬ a. C¸c phÐp to¸n vµ tÝnh chÊt Trong kh«ng gian xÐt tËp V c¸c vÐc t¬ víi gèc t¹i O. HiÓn nhiªn V lµ tËp kh¸c trèng chøa vÐc t¬ kh«ng, ký hiÖu θ lµ vÐc t¬ kh«ng. Chóng ta xÐt hai phÐp to¸n sau: (i) PhÐp céng hai vÐc t¬ trªn V → → → → → NÕu a , b lµ hai vÐc t¬ bÊt kú thuéc V, khi ®ã vÐc t¬ tæng c = a + b x¸c ®Þnh theo quy → → → t¾c h×nh b×nh hµnh lµ vÐc t¬ cã gèc trïng víi gèc cña a vµ b nªn c còng cã gèc t¹i O. VËy phÐp céng hai vÐc t¬ trªn V cho ta mét vÐc t¬ thuéc V. (ii) PhÐp nh©n v« híng mét sè víi mét vÐc t¬ → → → NÕu a lµ vÐc t¬ thuéc V, vµ λ lµ mét sè thùc tuú ý, khi ®ã vÐc t¬ tÝch u =λ a lµ mét → vÐc t¬ cã chung ®iÓm gèc víi a nªn thuéc V. VËy phÐp nh©n mét sè víi mét vÐc t¬ trªn V cho ta mét vÐc t¬ thuéc V . Hai phÐp to¸n trªn c¸c vÐc t¬ cã 8 tÝnh chÊt sau: → → → → 1. TÝnh giao ho¸n: a + b = b + a → → → → → → 2. TÝnh kÕt hîp: ( a + b )+ c = a +( b + c ) → → → → 3. (∀ a ∈ V) a +θ=θ + a = a → → → 4. Víi mäi vÐc t¬ a ∈ V, tån t¹i vÐc t¬ ®èi - a =(-1). a vµ: → → a +(- a ) =θ → → → 5. Víi mäi a ∈V: 1. a = a Víi mäi sè λ,µ ∈R : → → 6. λ(µ. a )=(λ.µ). a → → → 7. (λ+µ). a = λ. a +µ. a → → → → 8. λ.( a + b )= λ. a +λ. b b. To¹ ®é cña vÐc t¬ trong hÖ to¹ ®é §Òc¸c Trong kh«ng gian xÐt hÖ trôc to¹ ®é vu«ng gãc Oxyz víi c¸c vÐc t¬ ®¬n vÞ t¬ng øng lµ: → → → i , j , k vµ gäi lµ mét c¬ së trùc chuÈn cña V. → → Cho a thuéc V. Gäi h×nh chiÕu cña a trªn c¸c trôc to¹ ®é lµ: → → → xa=chox a , ya=choy a , za=choz a (3_1) z za O ya y xa x H×nh 1
2 → Khi ®ã a ®îc biÓu diÔn duy nhÊt díi d¹ng: → → → → a = xa. i +ya. j +za. k (3_2)  xa    → → → → Gäi (xa,ya,za) hay  y a  lµ to¹ ®é cña a trong hÖ c¬ së { i , j , k }, ký hiÖu: z   a → a =(xa,ya,za) (3_3) → Ngîc l¹i víi mçi cÆp 3 sè (xa,ya,za) x¸c ®Þnh duy nhÊt mét vÐc t¬ a mµ: → → → → a =xa. i +ya. j +za. k → Nh vËy mçi vÐc t¬ a ∈V t¬ng øng víi mét phÇn tö (xa,ya,za) ∈R3, vµ ngîc l¹i mçi phÇn tö → (xa,ya,za)∈R3 t¬ng øng víi mét vÐc t¬ a ∈V, hay tån t¹i mét song ¸nh gi÷a V vµ R3 øng → a ↔ (xa,ya,za) (3_4) → → → To¹ ®é cña i , j , k khi ®ã lµ: → → → i =(1,0,0), j =(0,1,0), k =(0,0,1) Khi ®ã díi d¹ng to¹ ®é ta cã, víi: → → a =(xa,ya,za), b =(xb,yb,zb) Ta cã: → → → a + b =(xa+xb,ya+yb,za+zb) (3_5) λ. a =(λxa,λya,λza) (3_6) 3 c. Kh«ng gian R Trªn R3={x=(x1,x2,x3)xi∈R} xÐt c¸c phÐp to¸n: + x=(x1,x2,x3), y=(y1,y2,y3)∈R3: x+y=(x1+y1,x2+y2, x3+y3) + λ∈R: λx =(λx1,λx2,λx3) Do (3_5) vµ (3_6) dÔ dµng kiÓm tra ®îc hai phÐp to¸n trªn R3 còng tho¶ m·n 8 tÝnh chÊt ®· nªu. HiÓn nhiªn mäi x=(x1,x2,x3)∈R3 cã biÓu diÔn duy nhÊt: 1  0 0       x=x1  0  +x2 1  +x3  0   0 0 1        Nªn ta còng gäi: 1   0 0   2   3   e 1=  0  , e =  1  , e =  0  0  0 1        lµ c¬ së cña R3 → Song ¸nh (3_4) øng mçi vÐc t¬ a ( xa,ya,za )∈V víi phÇn tö (xa,ya,za)∈R3 vµ sù t¬ng øng cña c¸c phÐp to¸n (3_5) vµ (3_6) ®· ®ång nhÊt kh«ng gian c¸c vÐc t¬ V víi tËp R 3 do ®ã ta còng gäi R3 lµ kh«ng gian vÐc t¬ 3 chiÒu, vµ mçi phÇn tö cña R 3 còng ®îc gäi lµ mét vÐc t¬ trong R3. 2. Kh«ng gian Rn XÐt tËp hîp: Rn={x=(x1,x2,...,xn): xi∈R} Cho x=(x1,x2,...,xn), y=(y1,y2,...,yn) ∈Rn xÐt c¸c phÐp to¸n nh sau: PhÐp céng: x+y=(x1+y1,x2+y2,...,xn+yn) (3_7) 2
3 PhÐp nh©n víi mét sè: t.x=(tx1,tx2,...,txn) (3_8) n 3 V× R chØ lµ më réng cña R tõ phÇn tö lµ bé cã thø tù gåm 3 sè sang phÇn tö lµ bé cã thø tù gåm n sè, nªn dÔ dµng kiÓm tra hai phÐp to¸n céng vµ nh©n víi mét sè trªn R n còng tho¶ m·n 8 tÝnh chÊt nh phÐp céng c¸c vÐc t¬ vµ nh©n vÐc t¬ víi mét sè, trong ®ã phÇn tö ®èi cña x lµ: -x=(-x1,-x2,...,-xn) PhÇn tö kh«ng lµ: θ=(0,0,...,0) Gäi e1=(1,0,...,0) e2=(0,1,...,0)... en=(0,0,...,1) (3_9) Khi ®ã víi mäi x=(x1,x2,...,xn)∈Rn ta ®Òu cã: x=x1e1+x2e2+...+xnen So s¸nh biÓu diÔn cña c¸c phÇn tö trong R n qua {e1,e2,...,en} víi biÓu diÔn cña c¸c phÇn tö trong R3 qua {e1,e2,e3} ta thÊy {e1,e2,...,en} t¬ng øng nh c¬ së {e1,e2,e3} trong R3, cßn (x1,x2,...,xn) t¬ng øng lµ c¸c to¹ ®é cña x trong Rn trªn c¬ së {e1,e2,...,en}. Nh vËy víi c¸c phÐp to¸n céng vµ nh©n ®îc ®Þnh nghÜa nh trªn ta thÊy R3 vµ Rn cã cïng mét cÊu tróc, chóng chØ kh¸c nhau bëi sè to¹ ®é cña mçi phÇn tö v× vËy ta còng gäi R n lµ kh«ng gian vÐc t¬ n chiÒu, vµ mçi phÇn tö cña Rn còng ®îc gäi lµ mét vÐc t¬. Trong to¸n häc ngoµi tËp R n cßn cã nhiÒu tËp hîp kh¸c khi cã phÐp céng hai phÇn tö cña tËp vµ phÐp nh©n mét sè cña trêng K víi phÇn tö cña tËp, còng cã cÊu tróc gièng nh tËp c¸c vÐc t¬ V. V× vËy tæng qu¸t ngêi ta ®a ra ®Þnh nghÜa chung cho mét kh«ng gian vÐc t¬ hay cßn gäi lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh dùa trªn phÐp céng hai phÇn tö cña kh«ng gian vµ phÐp nh©n mét phÇn tö cña kh«ng gian víi mét sè cña mét trêng K tho¶ m·n 8 tÝnh chÊt chung cho ë trªn. 3.2. Kh«ng gian tuyÕn tÝnh 1. §Þnh nghÜa §Þnh nghÜa 3.1: Cho mét tËp E ≠∅ vµ mét trêng K. E ®îc gäi lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh trªn K nÕu tho¶ m·n 3 yªu cÇu sau: (i) Cã mét phÐp hîp thµnh, mµ ta sÏ gäi lµ phÐp céng, øng hai phÇn tö x,y ∈E víi mét phÇn tö x¸c ®Þnh z∈E; z ®îc gäi lµ tæng cña x vµ y, ký hiÖu: z=x+y (3_10) (ii) Mét phÐp hîp thµnh, mµ ta sÏ gäi lµ phÐp nh©n mét phÇn tö víi mét sè, øng mét phÇn tö x∈E vµ mét sè λ∈K víi mét phÇn tö x¸c ®Þnh u∈E, gäi lµ tÝch cña λ víi x, ký hiÖu: u=λ.x (3_11) (iii) Hai phÐp to¸n trªn tho¶ m·n 8 tiªn ®Ò sau: 1. TÝnh giao ho¸n: x+y=y+x 2. TÝnh kÕt hîp: (x+y)+z=x+(y+z) 3. Tån t¹i phÇn tö θ∈E, mµ ta gäi lµ phÇn tö trung hoµ hay phÇn tö kh«ng, tho¶ m·n: ∀x∈E: x+θ=θ+x=x 4. Víi mçi phÇn tö x∈E, tån t¹i phÇn tö x’∈E sao cho: x+x’=x’+x=θ x’ gäi lµ phÇn tö ®èi cña x vµ ký hiÖu lµ x’=-x. 5. Víi mäi x ta ®Òu cã: 1.x=x. Víi mäi sè λ,µ∈K, vµ x,y∈E: 6. λ(µ.x)=(λµ).x 7. (λ+µ).x=λ.x+µx 8. λ(x+y)=λx+λy Chó ý: Ta gäi mét phÐp to¸n lµ ®ãng trªn E nÕu kÕt qu¶ thùc hiÖn phÐp to¸n ®îc phÇn tö thuéc E. Khi ®ã mét tËp E víi hai phÐp hîp thµnh kh«ng ph¶i lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh nÕu: 1. HoÆc mét trong hai phÐp to¸n kh«ng ®ãng trªn E.
4 2. HoÆc mét trong 8 tiªn ®Ò kh«ng tho¶ m·n. 2. Mét sè vÝ dô vÒ kh«ng gian tuyÕn tÝnh VÝ dô 3.1: Kh«ng gian Rn XÐt tËp Rn víi hai phÐp to¸n x+y=(x1+y1,x2+y2,...,xn+yn) t.x=(tx1,tx2,...,txn) Víi phÇn tö trung hoµ θ=(0,0,...,0) vµ phÇn tö ®èi cña x=(x1,x2,...,xn) lµ -x=(-x1,-x2,...,-xn) tho¶ m·n 8 tiªn ®Ò , vËy nã lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh. VÝ dô 3.2: Kh«ng gian c¸c ma trËn cÊp mxn Gäi Mmxn={A=(aij)m× n}, víi phÐp céng hai ma trËn vµ phÐp nh©n mét sè víi mét ma trËn: A+B=(aij+bij)m× n t.A=(t.aij)m× n KiÓm tra 8 tiªn ®Ò: 1. Do tÝnh giao ho¸n cña phÐp céng hai ma trËn. 2. Do tÝnh kÕt hîp cña phÐp céng hai ma trËn. 3. PhÇn tö θ cña Mmxn lµ ma trËn kh«ng cÊp mxn ta cã: A+θ=θ+A=A 4. Chän -A=(-aij)m× n ta cã: A+(-A)=θ 5. 1.A=(1.aij)m× n=(aij)m× n 6. λ(µA)=λ(µaij)m× n=µλ(aij)m× n=(λµ)A 7 (λ+µ)A=((λ+µ)aij)m× n=(λaij)m× n+(µaij)m× n=λA+µA 8. λ(A+B)=λ(aij+bij)m× n=λ(aij)m× n+λ(bij)m× n=λA+λB VËy 8 tiªn ®Ò ®Òu tho¶ m·n, hay Mmxn lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh. VÝ dô 3.3: Kh«ng gian c¸c ®a thøc hÖ sè thùc Trªn tËp c¸c ®a thøc víi c¸c hÖ sè thùc bËc tuú ý P(t)={x(t)=a0+a1t+...+amtm} Cho: x(t)=a0+a1t+...+amtm, y(t)=b0+b1t+...+bktk Víi phÐp céng ®a thøc vµ phÐp nh©n mét sè víi mét ®a thøc, ta cã: x(t)+y(t)=(a0+b0)+(a1+b1)t+...+(ai+bi)ti+... λx(t)=λa0+λa1t+...+λamtm V× tæng cña hai ®a thøc lµ mét ®a thøc vµ tÝch cña mét sè víi mét ®a thøc lµ mét ®a thøc nªn hai phÐp to¸n trªn ®ãng trªn P(t). Víi phÇn tö θ lµ ®a thøc ®ång nhÊt kh«ng, phÇn tö ®èi cña x(t) lµ -x(t) vµ do phÐp céng hai ®a thøc lµ phÐp céng c¸c hÖ sè t¬ng øng, phÐp nh©n mét sè víi mét ®a thøc lµ nh©n sè ®ã víi c¸c hÖ sè cña ®a thøc nªn chóng tho¶ m·n 8 tiªn ®Ò. VËy P(t) lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh. VÝ dô 3.4: Kh«ng gian c¸c ®a thøc bËc kh«ng qu¸ n XÐt tËp c¸c ®a thøc víi c¸c hÖ sè thùc bËc kh«ng qu¸ n Pn(t)={x(t)=a0+a1t+...+antn} víi c¸c phÐp to¸n céng hai ®a thøc vµ phÐp nh©n mét sè víi mét ®a thøc. V× tæng cña hai ®a thøc bËc kh«ng qu¸ n vµ tÝch cña mét sè víi mét ®a thøc bËc kh«ng qu¸ n lµ mét ®a thøc bËc kh«ng qu¸ n nªn Pn(t) lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh. VÝ dô 3.5: Kh«ng gian C[a,b] c¸c hµm liªn tôc trªn [a,b] XÐt c¸c hµm f(x) liªn tôc trªn [a,b]⊂R, víi c¸c phÐp to¸n (f+g)(x)=f(x)+g(x) (λf)(x)=λ.f(x) Khi ®ã hai phÐp to¸n ®ãng trªn C([a,b]); víi phÇn tö θ lµ hµm ®ång nhÊt kh«ng, phÇn tö ®èi cña f(x) lµ -f(x), dÔ dµng kiÓm tra 8 tiªn ®Ò tho¶ m·n, vËy C([a,b]) lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh. VÝ dô 3.6: Kh«ng gian vÐc t¬ c¸c sè phøc C Trªn tËp C c¸c sè phøc, cho: u=a+bi vµ v=c+di lµ hai sè phøc bÊt kú vµ t lµ sè thùc tuú ý, víi c¸c phÐp to¸n 4
5 u+v=(a+c)+(b+d)i t(a+bi)=(ta)+(tb)i dÔ dµng thÊy 8 tiªn ®Ò tho¶ m·n nªn C lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh trªn trêng R. Do trªn mÆt ph¼ng phøc mçi sè phøc a+bi ®îc biÓu diÔn bëi mét vÐc t¬ cã gèc t¹i O nªn ta gäi C lµ kh«ng gian c¸c vÐc t¬ phøc. VÝ dô 3.7: TËp E ={x=(x1,x2,...,xn)∈Rn : x1+x2+...+xn=1} kh«ng lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh v×: 0.x= (0x1,0x2,...,0xn) =(0,0,...,0) Do 0+...+0=0≠ 1 nªn phÐp nh©n víi mét sè kh«ng ®ãng trªn E. VÝ dô 3.8: Cho E={A,B,C,O} víi c¸c phÐp hîp thµnh nh sau: A+B=B+A=C, B+C=C+B=A, C+A=A+C=B A+A=B+B=C+C=O+O=O A+O=O+A=A, B+O=O+B=B, C+O=O+C=C t.A=A, t.B=B, t.C=C, t.O=O t≠ 0 0.A=0.B=0.C=0.O=O Hai phÐp to¸n ®ãng trªn E, nhng tiªn ®Ò 7 kh«ng tho¶ m·n. ThËt vËy: (λ+µ).A=A, λ.A+µ.A=A+A=O VËy E kh«ng ph¶i lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh. 3. C¸c tÝnh chÊt a. C¸c tÝnh chÊt Trong mçi kh«ng gian tuyÕn tÝnh E: 1. PhÇn tö trung hoµ θ lµ duy nhÊt. 2. Víi mçi x phÇn tö ®èi -x lµ duy nhÊt. 3. Víi mäi x ®Òu cã: 0.x=θ 4. Víi mäi x th× (-1).x lµ phÇn tö ®èi cña x Chøng minh: 1. Gi¶ sö cã θ1,θ2 lµ hai phÇn tö trung hoµ, khi ®ã: θ1=θ1+θ2=θ2 Chøng tá hai phÇn tö trung hoµ lµ mét. 2. Gi¶ sö x cã hai phÇn tö ®èi x1,x2, khi ®ã: x1=x1+(x+x2)=(x+x1)+x2=θ+x2=x2 Hay x1=x2. 3. Ta cã: 0.x=0.x+θ=0x+{x+(-x)}=0.x+1.x+(-x) =(0+1)x+(-x)= x+(-x)=θ 4. XÐt: x+(-1).x=1.x+(-1).x=(1-1)x=0.x=θ b. HiÖu cña hai phÇn tö HiÖu cña hai phÇn tö x vµ y lµ phÇn tö: z=x+(-y), ký hiÖu: z=x-y HÖ qu¶ 1: Quy t¾c chuyÓn vÕ: NÕu x+y=z th× x=z-y HÖ qu¶ 2: Quy t¾c gi¶n íc: Tõ x+z=y+z suy ra x=y HÖ qu¶ 3: Tõ t.x=θ suy ra hoÆc t=0, hoÆc x=θ. ThËt vËy, nÕu t≠ 0 ta cã: x=1.x=(t-1.t)x=t-1(tx)=t-1.θ=θ 3.3 C¬ së vµ chiÒu cña kh«ng gian tuyÕn tÝnh 1. HÖ vÐc t¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh vµ phô thuéc tuyÕn tÝnh
6 a. §Þnh nghÜa Cho E lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh trªn trêng K. §Þnh nghÜa 3.2: VÐc t¬ x ®îc gäi lµ mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña hÖ n vÐc t¬ {a 1,a2,...,an} nÕu tån t¹i c¸c sè x1,x2,...,xn ∈K ®Ó n 1 2 x=x1a +x2a +...+xna = n ∑x a i =1 i i (3_12) VÝ dô 3.9: Trong R3 cho:  2  1  1     2   b=  − 1 , a1=  − 1 , a =  − 2   3  2  3       Ta cã:  2  1   1         − 1 = 3 − 1 −  − 2   3   2  3        Hay b=3a1-a2, vËy b lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña {a1,a2}. §Þnh nghÜa 3.3: HÖ n vÐc t¬ {a1,a2,...,an } gäi lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh nÕu tõ: x1a1+x2a2+...+xnan=θ (3_13) kÐo theo x1=x2=...=xn=0. HÖ gäi lµ phô thuéc tuyÕn tÝnh nÕu nã kh«ng ®éc lËp tuyÕn tÝnh. Nh vËy hÖ {a1,a2,...,an } phô thuéc tuyÕn tÝnh nÕu tån t¹i c¸c sè x1,x2,...,xn∈K kh«ng ®ång thêi b»ng kh«ng ®Ó (3_13) tho¶ m·n. VÝ dô 3.10: Trong P3(t)={x(t)=a0+a1t+a2t2+a3t3} a. XÐt hÖ {e0=1, e1= t, e2= t2, e3= t3} do biÓu thøc: a0.1+a1.t+a2t2+a3t3=θ Trong ®ã θ lµ ®a thøc ®ång nhÊt kh«ng, chØ xÈy ra khi a 0=a1=a2=a3=0, nªn hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh. b. XÐt hÖ {u0=1+t+t3, u1=1-t2+2t3, u2=-1+t+2t2-3t3} Víi a0=1, a1=-2, a2=-1 ta cã: a0u +a1u1+a2u2=1(1+t+t3)-2(1-t2+2t3)-1(-1+t+2t2-3t3) 0 =(1-2+1).1+(1-1)t+(2-2)t2+(1-4+3)t3 = 0.1+ 0.t+0.t2+0.t3=θ VËy hÖ phô thuéc tuyÕn tÝnh. b. §iÒu kiÖn phô thuéc tuyÕn tÝnh §Þnh lý 3.1: HÖ {a1,a2,...,an} phô thuéc tuyÕn tÝnh khi vµ chØ khi cã mét vÐc t¬ cña hÖ lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c vÐc t¬ cßn l¹i. Chøng minh: §iÒu kiÖn cÇn: Gi¶ sö hÖ phô thuéc tuyÕn tÝnh, tõ biÓu thøc: x1a1+ x2a2+...+xnan =θ` (3_14) cã Ýt nhÊt mét xi≠ 0. Gi¶ sö x1≠ 0, tõ (3_14) ta cã: x 2 2 x3 3 xn n a1= − a − a − ... − a x1 x1 x1 1 Nh vËy a lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c phÇn tö cßn l¹i cña hÖ. §iÒu kiÖn ®ñ: Gi¶ sö a1 lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c phÇn tö cßn l¹i cña hÖ: a 1= x2a2+... +xnan chuyÓn vÕ ta ®îc: a1- x2a2-...-xnan =θ (3_15) Chøng tá hÖ phô thuéc tuyÕn tÝnh. HÖ qu¶ 4: (HÖ phô thuéc tuyÕn tÝnh) 1. HÖ cã mét hÖ con phô thuéc tuyÕn tÝnh lµ mét hÖ phô thuéc tuyÕn tÝnh. 2. Mäi hÖ chøa vÐc t¬ θ ®Òu lµ hÖ phô thuéc tuyÕn tÝnh. 6
7 3. HÖ cã hai phÇn tö tû lÖ (a=λb) th× phô thuéc tuyÕn tÝnh HÖ qu¶ 5: (HÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh) 1. Mét hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh nÕu kh«ng cã vÐc t¬ nµo cña hÖ lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c vÐc t¬ cßn l¹i trong hÖ. 2. Mäi hÖ con cña hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh ®Òu ®éc lËp tuyÕn tÝnh. 2. HÖ con ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i Cho E lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh trªn trêng K. §Þnh nghÜa 3.4: Cho U={u1,u2,...,un} lµ hÖ gåm n vÐc t¬ cña E. HÖ con V={u j1,...,ujr}⊂ U gäi lµ hÖ con ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i cña U nÕu {u j1,...,ujr}®éc lËp tuyÕn tÝnh, vµ thªm bÊt kú vÐc t¬ uk∈ U vµo hÖ con ®ã th× ®Òu ®îc mét hÖ phô thuéc tuyÕn tÝnh. VÝ dô 3.11: Trong R3 xÐt c¸c vÐc t¬:  1 − 3   4  2       4   a1=  2 a2=  1  a3=  1 a =  4           − 1 − 2   1  − 2 1 2 Ta cã {a ,a }®éc lËp tuyÕn tÝnh v× x1a1+x2 a2=θ chØ khi x1=x2=0. MÆt kh¸c ta l¹i cã: a3= a1- a2 vµ a4= 2 a1+0. a2 hay c¸c hÖ con { a1, a2, a3}, { a1, a2, a4} phô thuéc tuyÕn tÝnh. VËy {a 1, a2} lµ mét hÖ con ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i. §Þnh lý 3.2: NÕu V={uj1,...,ujr}lµ mét hÖ con ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i cña hÖ U={u1,u2,...,un} th× mäi x∈U ®Òu biÓu diÔn tuyÕn tÝnh duy nhÊt qua hÖ con ®ã. Chøng minh: Theo ®Þnh nghÜa hÖ {u j1,...,ujr,x} phô thuéc tuyÕn tÝnh nªn x biÓu diÔn tuyÕn tÝnh qua hÖ V. Gi¶ sö x cã hai biÓu diÔn: x= x1uj1+x2uj2+...+xrujr x= x1’uj1+x2’uj2+...+xr’ujr Trõ c¸c vÕ t¬ng øng ®îc: θ=(x1-x1’)uj1+(x2-x2’)uj2+...+(xr-xr’)ujr Do V lµ hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh nªn kÐo theo: x1-x1’=x2-x2’=...=xr-xr’=0 Hay hai biÓu diÔn cña x lµ mét, vËy x cã biÓu diÔn duy nhÊt. §Þnh lý 3.3: Víi hÖ h÷u h¹n c¸c vÐc t¬ U={u 1,u2,...,un} th× sè phÇn tö cña mäi hÖ con ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i cña U ®Òu b»ng nhau. Khi ®ã ta gäi sè vÐc t¬ trong hÖ con ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i lµ h¹ng cña hÖ vµ ký hiÖu r(U). Chøng minh: Gi¶ sö U cã hai hÖ con ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i lµ: V1={a1,...,ar} V2={b1,...,bs} V× V1 lµ hÖ con ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i nªn mäi b i∈V2 ®Õu biÓu diÔn tuyÕn tÝnh qua c¸c vÐc t¬ cña hÖ V1: b1=t11a1+t12a2+...+t1rar (3_16) Do b ≠θ nªn c¸c t1k kh«ng ®ång thêi b»ng 0, gi¶ sö t11≠ 0 th×: 1 1 t 12 2 t 1r r a 1= b 1- a - ...- a (3_17) t 11 t11 t11 LËp hÖ: {b1,a2,...,ar} (3_18) T¬ng tù cã: b2=t21a1+t22a2+...+t2rar (3_19) 1 Thay a bëi biÓu thøc (3_17) ®îc: b2=t’21b1+t’22a2+....+t’2rar (3_20)
8 Nh vËy b2 biÓu diÔn tuyÕn tÝnh ®îc qua hÖ (3_18). Hoµn toµn t¬ng tù ta thÊy mäi vÐc t¬ cña V2 biÓu diÔn tuyÕn tÝnh ®îc qua hÖ (3_18). Do V2 ®éc lËp tuyÕn tÝnh nªn trong (3_20) ph¶i cã Ýt nhÊt mét hÖ sè cña t’ 2k ≠ 0 (k>1), gi¶ sö t’22≠ 0, nªn khi ®ã: 1 2 t ' 21 1 t ' 23 3 t '2r r a2= b- b- a -...- a (3_21) t '11 t ' 22 t ' 22 t ' 22 LËp hÖ { b1, b2, a3,..., ar} (3_22) V× mäi vÐc t¬ cña V2 biÓu diÔn tuyÕn tÝnh qua ®îc V1 nªn mäi vÐc t¬ cña hÖ V2 biÓu diÔn tuyÕn tÝnh ®îc qua hÖ (3_22). TiÕp tôc qu¸ tr×nh trªn, nÕu s>r th× sau r lÇn thay thÕ c¸c vÐc t¬ cña hÖ V2 ph¶i biÓu diÔn tuyÕn tÝnh ®îc qua hÖ {b1,...,br}. §iÒu nµy v« lý, v× hÖ V2={b 1,...,bs}lµ mét hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh, vËy s≤ r. Thay ®æi vai trß cña hÖ V1 vµ V2 trong phÐp thay thÕ trªn ta cã r ≤ s. §iÒu ®ã chøng tá s=r, hay sè phÇn tö cña mäi hÖ con ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i cña mét hÖ vÐc t¬ lµ b»ng nhau. VÝ dô 3.12: H¹ng cña hÖ U={a1,a2,a3,a4} víi  1 − 3   4  2 1   2   3   4   a =  2 a =  1  a =  1 a =  4           − 1 − 2   1  − 2 DÔ dµng kiÓm tra ®îc c¸c hÖ{a ,a }, {a ,a }, {a2,a3}, {a2,a4}, {a3,a4} ®Òu lµ c¸c hÖ con ®éc 1 2 1 3 lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i. C¸c biÓu diÔn: a3= a1- a2 vµ a4= 2 a1+0. a2 lµ duy nhÊt vµ r(U)=2. 3. C¬ së vµ chiÒu cña kh«ng gian tuyÕn tÝnh a. §Þnh nghÜa §Þnh nghÜa 3.4: Cho E lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh trªn trêng K 1. Mét hÖ vÐc t¬ trong E ®îc gäi lµ mét hÖ sinh nÕu mäi vÐc t¬ cña E ®Òu biÓu diÔn tuyÕn tÝnh ®îc qua hÖ ®ã. NÕu {u1,u2,...,un} lµ hÖ sinh cña E ký hiÖu: E=L{u1,u2,...,un} 2. Mét hÖ sinh ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn E gäi lµ c¬ së cña E. Nh vËy nÕu I={ e1,e2,...,en} lµ mét c¬ së cña E th× nã lµ hÖ con ®«c lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i cña E, nªn khi ®ã: (i) Mäi hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh gåm nhiÒu nhÊt lµ n phÇn tö. (ii) Mäi hÖ n vÐc t¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh ®Òu lµ c¬ së cña E. (iv) Mäi hÖ cã nhiÒu h¬n n phÇn tö ®Òu phô thuéc tuyÕn tÝnh. Sè n nh vËy ®îc gäi lµ chiÒu cña kh«ng gian E. §Þnh nghÜa 3.5: 1. NÕu E cã mét hÖ c¬ së gåm h÷u h¹n n phÇn tö th× ta nãi E lµ kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu, vµ n gäi lµ sè chiÒu cña E, ký hiÖu dim(E)=n. NÕu E={θ} chØ gåm duy nhÊt mét phÇn tö θ th× ta nãi dim(E)=0. 2. NÕu víi mäi sè tù nhiªn n trong kh«ng gian tuyÕn tÝnh E ®Òu cã mét hÖ n vÐc t¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh, nhng hÖ ®ã kh«ng ph¶i lµ hÖ sinh th× ta nãi E lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh v« h¹n chiÒu. Chóng ta chØ xÐt c¸c kh«ng gian tuyÕn tÝnh h÷u h¹n chiÒu. Chó ý: Tõ ®Þnh nghÜa, muèn chøng tá mét hÖ vÐc t¬ lµ c¬ së ta ph¶i chøng minh: a. HÖ lµ hÖ sinh, hay mäi vÐc t¬ cña E ®Òu lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c vÐc t¬ trong hÖ. b. HÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh. 8
9 VÝ dô 3.13: Trong Rn xÐt hÖ c¸c vÐc t¬  1  0  0        0 e2=  1 ... en=  0 e 1=    ..  .. ..        0  0  1 BiÓu thøc  x1   0      x2  0 x1e +x2 e +...+xne =   =θ=   1 2 n  .. ..     x   0  n kÐo theo x1=x2=...=xn=0 vËy hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh. Víi mäi x=(x1,x2,...,xn)∈Rn ta ®Òu cã: x= x1e1+ x2 e2+...+ xn en VËy {e ,e ,...,en} lµ c¬ së cña Rn vµ dim(Rn)=n. 1 2 VÝ dô 3.14: Trong Pn(t)={x(t)=a0+a1t+...+antn}lµ tËp c¸c ®a thøc bËc kh«ng qu¸ n xÐt hÖ c¸c vÐc t¬: I={1,t,...,tn} BiÓu thøc: a0+a1t+...+antn ≡ 0 kÐo theo a0=a1=...=an=0 vËy hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh. Víi mäi x(t) ta ®Òu cã: x(t)=a0+a1t+...+antn VËy {1,t,...,tn} lµ hÖ c¬ së cña Pn(t) vµ dim(Pn(t))=n+1. VÝ dô 3.15: a. TËp P(t) c¸c ®a thøc bËc tuú ý, v× víi mäi n hÖ {1,t,...,t n} ®Òu lµ hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh nhng kh«ng ph¶i lµ c¬ së nªn dim(E)=∞. b. C[0,1]={tËp c¸c hµm liªn tôc trªn [0,1]}. V× C[0,1]⊃ P(t) nªn dim(C[0,1])=∞ b. Täa ®é cña vÐc t¬ trong mét hÖ c¬ së §Ó chøng tá mét hÖ vÐc t¬ lµ c¬ së cña kh«ng gian tuyÕn tÝnh n chiÒu E, ta thêng sö dông ®Þnh lý sau: §Þnh lý 3.4: §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hÖ I={e1, e2,..., en} lËp thµnh mét c¬ së cña kh«ng gian tuyÕn tÝnh E trªn trêng K lµ víi mäi x∈E tån t¹i duy nhÊt c¸c sè x1, x2,..., xn ∈K sao cho: x= x1e1+ x2 e2+...+ xn en (3_23) Bé n sè (x1,x2,...,xn) gäi lµ to¹ ®é cña x trªn c¬ së I, cßn x i gäi lµ to¹ ®é thø i cña x trong c¬ së I hay lµ chiÕu cña x trªn ei (i= 1, n ) vµ ký hiÖu:  x1    x2 x=    ...  (3_24)    xn  Hay xT=( x1,x2,..., xn) (3_25) Chøng minh: §iÒu kiªn cÇn: V× I={ e1, e2,..., en } lµ c¬ së cña E nªn I lµ hÖ con ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i trªn E, do ®ã ∀x∈E ,∃ x1,x2,...,xn ∈K sao cho x cã biÓu diÔn duy nhÊt: x= x1e1+ x2 e2+...+ xn en §iÒu kiÖn ®ñ: V× mäi x∈E ®Òu biÓu diÔn duy nhÊt qua hÖ I nªn I lµ hÖ sinh vµ θ còng biÓu diÔn duy nhÊt qua I: θ=0.e1+0.e2+...+0.en Nªn tõ biÓu thøc:
10 θ=t1e1+t2e2+...+tnen ph¶i kÐo theo t1=t2=...=tn=0, chøng tá I lµ hÖ sinh ®éc lËp tuyÕn tÝnh. VËy I={ e 1, e2,..., en } lµ c¬ së. Ta thÊy to¹ ®é cña x trªn I lµ mét phÇn tö cña K n. Cho mét phÇn tö (x1,x2,..., xn) ∈Kn lËp biÓu thøc: x= x1 e1+x2 e2+...+xn en x lµ mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c phÇn tö trong I nªn x∈E. Do mçi phÇn tö chØ cã mét biÓu diÔn duy nhÊt qua c¬ së nªn x lµ duy nhÊt. VËy ta cã t¬ng øng gi÷a x∈E vµ (x1,x2,..., xn)∈Kn lµ t¬ng øng 1_1. 1_1 x ↔ (x1,x2,..., xn ) (3_26) VÝ dô 3.16: Gäi M2x2 lµ kh«ng gian c¸c ma trËn cÊp 2x2. a. T×m c¬ së vµ chiÒu cña M2x2. b. T×m to¹ ®é cña c¸c phÇn tö trong M2x2 qua c¬ së ®ã. a b  Víi mäi A=   c d  ∈M2x2, ta cã:     a b  1 0   0 1  0 0   0 0  A=   c d  =a  0 0  +b  0 0  +c 1 0  +d  0 1                     Gi¶ sö A cã biÓu diÔn kh¸c: a b  1 0   0 1  0 0 0 0 A=   c d  =a’  0 0  +b’  0 0  +c’ 1 0  +d’  0 1                     Trõ hai vÕ cho nhau ta ®îc: 0 0  1 0  0 1  0 0 0 0   0 0  =(a-a’)  0 0  +(b-b’)  0 0  +(c-c’) 1 0  +(d-d’)  0 1                    Tõ ®ã a=a’, b=b’, c=c’, d=d’, hay A cã biÓu diÔn duy nhÊt qua hÖ: 1 0  2  0 1 3  0 0  4  0 0  e1=   0 0  , e =  0 0  , e = 1 0  , e =  0 1                 VËy hÖ {e ,e ,e ,e } lµ mét c¬ së vµ dim(M2x2)=4. HiÓn nhiªn trªn c¬ së {e 1,e2,e3,e4}, A cã täa 1 2 3 4 ®é: a    b  A=   c   d    c. BiÓu thøc c¸c phÐp to¸n qua to¹ ®é Gi¶ sö I={ e1, e2,..., en } lµ mét cë së cña E. NÕu x,y∈E, trªn cë së I cã täa ®é:  x1   y1       x2  , y=  y2  x=    ...  ...      xn   yn  Khi ®ã: x+y=( x1 e1+x2 e2+...+xn en )+( y1e1+y2 e2+...+yn en ) =( x1+ y1)e1+(x2+ y2)e2+...+(xn+ yn)en tx= t x1e1+t x2 e2+...+t xnen Do ®ã trªn c¬ së I, x+y vµ tx cã täa ®é: 10
11  x1 + y1   tx1       x2 + y2   tx2  x+y=   tx=   (3_27) ... ...      xn + yn   txn  Nh vËy muèn céng hai vÐc t¬ ta céng c¸c to¹ ®é t¬ng øng cña chóng, muèn nh©n mét vÐc t¬ víi mét sè ta nh©n sè ®ã víi mäi to¹ ®é cña vÐc t¬. §ã còng lµ phÐp céng c¸c phÇn tö vµ phÐp nh©n mét phÇn tö víi mét sè cña Kn. Do phÐp t¬ng øng mét-mét (3_26) vµ c¸c phÐp to¸n (3_27) ta ®a ®îc c¸c phÐp to¸n trªn E vÒ c¸c phÐp to¸n t¬ng øng trªn Kn. 4. Ma trËn cña mét hÖ vÐc t¬ a. §Þnh nghÜa §Þnh nghÜa 3.6: Gi¶ sö hÖ p vÐc t¬ { a1, a2,..., ap } trong c¬ së I={ e1, e2,..., en } cã to¹ ®é:  a11   a12   a1 p        a21  2  a22   a2 p  a1=   a =   ... ap=    ... (3_28) ... ...        an1   an 2  a   np  LËp ma trËn A=(aij)n× p mµ cét thø j (j= 1, p ) cña A lµ to¹ ®é cña vÐc t¬ aj trong c¬ së I:  a11 a12 ... a1 p     a21 a22 ... a2 p  A=   (3_29) ...    a a ... a   n1 n 2 np  Khi ®ã A gäi lµ ma trËn cña hÖ vÐc t¬ {a1,a2,...,ap} trong c¬ së I. HiÓn nhiªn to¹ ®é cña c¸c ei trªn c¬ së I={ e1, e2,..., en } t¬ng øng lµ:  1  0  0       0 1 0 e =   e =   ... e =   1   2   n  .. (3_30) .. ..        0  0 1 Nh vËy ma trËn cña mét hÖ c¬ së trªn chÝnh nã lµ mét ma trËn ®¬n vÞ cÊp n. Trong mçi kh«ng gian tuyÕn tÝnh thêng chän mét c¬ së ban ®Çu ®Ó biÓu diÔn to¹ ®é cña c¸c vÐc t¬ trong kh«ng gian qua c¬ së ®ã, khi ®ã ma trËn cña c¬ së ®ã lµ ma trËn ®¬n vÞ. Mét hÖ c¬ së mµ ma trËn cña nã lµ ma trËn ®¬n vÞ gäi lµ hÖ c¬ së chÝnh t¾c. VÝ dô 3.17: Trong kh«ng gian P3(t), hÖ: a1=1+t+t3 a2=1-t2+2t3 a3=-1+t+2t2-3t3 a4=2+5t+t2-t3 trªn c¬ së I={1,t,t2,t3} cã ma trËn lµ:  1 1 − 1 2    1 0 1 5 A=  0 − 1 2 1    1 2 − 3 − 1 VÝ dô 3.18: Trong kh«ng gian c¸c ma trËn cÊp 2× 2 t×m ma trËn cña hÖ c¸c ma trËn: 1 − 2  0 3   4 − 1 A1= 3 0   A2=   A3=  8 5  2       1  trªn c¬ së:
12 1 0 2  0 1 3  0 0  4  0 0  e 1=  0  , e =  , e = 1 0  , e =  0 1   0  0  0         Do: A1= e1-2e2+3e3+0e4 A2=0e1+3e2+8e3+5e4 A3=4e1- e2+2e3+e4 Nªn ma trËn cña hÖ {A1,A2,A3} lµ  1 0 4    − 2 3 − 1  3 8 2    0 5 1   b. BiÓu thøc cña tæ hîp tuyÕn tÝnh díi d¹ng to¹ ®é Cho hÖ p vÐc t¬ A={a1,a2,...,ap} cã ma trËn A vµ vÐc t¬ b:  a11 a12 ... a1 p   b1       a21 a22 ... a2 p   b2  A=   b=  ...  ...      a a ... a   bn   n1 n 2 np  Víi b lµ mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña hÖ A. b= x1a1+x2a2+...+xpap (3_31) Díi d¹ng to¹ ®é biÓu thøc (3_31) lµ:  b1   a11   a12   a1 p           b2  =x  a21  +x  a22  + ... +x  a2 p  p  ...  1  ...  2  ...  ...           bn   an1   an 2  a   np  Hay:  b1   a11 a12 ... a1 p   x1        b2  =  a21 a22 ... a2 p   x 2   ...   ...   ...  (3_32)        bn   an1 an 2 ... anp   x p     §Þnh lý 3.5: H¹ng cña hÖ vÐc t¬ b»ng h¹ng ma trËn cña hÖ. Chøng minh: Cho hÖ {a1,a2,...,ap} trªn c¬ së I={ e 1, e2,..., en} cã ma trËn A=(aij)n× p. Gi¶ sö hÖ {a1,a2,...,ap}cã h¹ng b»ng r, vµ {a1,a2,...,ar} lµ hÖ con ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i . Khi ®ã c¸c vÐc t¬ ar+1,ar+2,...,ap ®Òu lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña a1,a2,...,ar : ak= tk1a1+tk2a2+...+tkrar (k=r+1,...,p) Hay c¸c cét r+1,...,p cña ma trËn A ®Òu lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña r cét ®Çu, do ®ã mäi ®Þnh thøc con cÊp >r cña A ®Òu b»ng kh«ng. MÆt kh¸c ma trËn lËp tõ r cét ®Çu cña A ph¶i cã h¹ng b»ng r, v× nÕu kh«ng sÏ cã mét cét lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña r-1 cét cßn l¹i tøc lµ cã mét vÐc t¬ lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña r-1 vÐc t¬ kh¸c, m©u thuÉn víi hÖ { a1,a2,...,ar } ®éc lËp tuyÕn tÝnh. VËy r(A)=r. Ngîc l¹i nÕu r(A)=r, kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta cã thÓ xem ®Þnh thøc con cÊp r ë gãc trªn bªn tr¸i kh¸c kh«ng vµ mäi ®Þnh thøc con cÊp r+1 b»ng kh«ng. Khi ®ã c¸c cét r+1,..,p ®Òu lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña r cét ®Çu.V× cét thø j (j=r+1,...,p) lµ to¹ ®é cña vÐc t¬ a j nªn aj lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña r vÐc t¬ a1,a2,...,ar . MÆt kh¸c { a1,a2,...,ar } ph¶i ®éc lËp tuyÕn tÝnh, v× nÕu kh«ng sÏ cã mét vÐc t¬ trong nã lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c vÐc t¬ cßn l¹i, nh vËy cã mét trong r cét ®Çu cña A lµ tæ hîp 12
13 tuyÕn tÝnh cña r-1 cét cßn l¹i cña r cét ®ã, tr¸i víi gi¶ thiÕt ®Þnh thøc con cÊp r kh¸c kh«ng. VËy h¹ng cña { a1,a2,...,ap} b»ng r. HÖ qu¶ 6: a. NÕu A lµ ma trËn cña hÖ c¸c vÐc t¬ {a 1,a2,...,an} vµ r(A)=r th× hÖ con ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i cña hÖ gåm r phÇn tö vµ c¸c cét c¬ së cña A tu¬ng øng víi c¸c vÐc t¬ cña hÖ con ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i cña hÖ. b. Trong kh«ng gian tuyÕn tÝnh n chiÒu E, A lµ ma trËn cña hÖ n vÐc t¬ {a 1,a2,...,an}, khi ®ã nÕu r(A)=n hay det(A)≠ 0 th× hÖ lµ mét c¬ së cña E. VÝ dô 3.19: Trong R3 cho hÖ c¸c vÐc t¬:  1 − 3   4  2 1   2   3   4   a =  2 a =  1  a =  1 a =  4           − 1 − 2   1  − 2 1 2 3 4 Ma trËn cña hÖ {a ,a ,a ,a } lµ:  1 − 3 4 2   A=  2 1 1 4    − 1 − 2 1 − 2 Dïng c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp ta ®îc:  1 − 3 4 2  1 − 3 4 2      0 7 − 7 0 ⇒ 0 1 − 1 0       0 − 5 5 0  0 0 0 0  VËy h¹ng cña hÖ b»ng 2, c¸c hÖ con ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i lµ: {a1,a2},{a1,a3},{a2,a3},{a2,a4},{a3,a4} VÝ dô 3.20: Trªn kh«ng gian c¸c ®a thøc bËc ba P2(t)={x(t)=a0+a1t+a2t2+a3t3} a. Chøng tá hÖ W={1,1+t,(1+t) 2,(1+t) 3} lµ mét c¬ së. b. T×m ma trËn cña hÖ sau trªn c¬ së W. a1=1+t+t3 a2=1-t2+2t3 a3=-1+t+2t2-3t3 a4=2+5t+t2-t3 Gi¶i: a. Ta cã ma trËn cña hÖ W trªn c¬ së I={1,t,t 2,t3} lµ:  1 1 1 1    0 1 2 3 T=  0 0 1 3    0 0 0 1 Do det(T)=1 nªn W lµ mét c¬ së. b. Ta cã: a1=-1+4(1+t)-3(1+t) 2+(1+t) 3 a2=-2+8(1+t)-7(1+t) 2+2(1+t) 3 a3=3-12(1+t)+11(1+t)2-3(1+t) 3 a4=-1+4(1+t)2-(1+t)3 Nªn ma trËn cña hÖ trong W lµ:  − 1 − 2 3 − 1    4 8 − 12 0  A=  − 3 − 7 11 4     1 2 − 3 −1    d. Bæ sung hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh thµnh c¬ së §Þnh lý 3.6: NÕu A={ a1,a2,...,ap } lµ mét hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh
14 vµ I={ e1, e2,..., en } lµ c¬ së cña E. Khi ®ã lu«n bæ sung ®îc n-p vÐc t¬ tõ c¬ së I vµo A ®Ó hÖ míi nhËn ®îc lµ mét c¬ së cña E. Chøng minh: NÕu p=n th× A ®· lµ c¬ së cña E. NÕu p
15 x=x1e1+x2e2+...+xnen= x’1ξ1+x’2ξ2+...+x’nξn Thay c¸c täa ®é t¬ng øng cña c¸c vÐc t¬ e i(i= 1, n ) vµ c¸c vÐc t¬ ξj (j= 1, n ) trªn c¬ së I={e1,e2,...,en} ta ®îc:  1  0  0  t11   t12   t1n               0 +x  1 +...+x  0 = x’  t 21  +x’  t 22  +...+x’  t 2 n  x1   2   1  .. ...   ...   ...  n 2 n .. ..              0  0  1 t   tn 2   t nn   n1  Hay  x1   t11 t12 ... t1n   x '1   x '1          x2  =  t 21 t 22 ... t 2 n   x '2  =T  x '2   ...   ...   ...   ...  (3_36)         xn   t n1 t n 2 ... t nn   x 'n   x 'n  §ã lµ lµ biÓu thøc chuyÓn to¹ ®é cña mét vÐc t¬ tõ c¬ së W sang c¬ së I. V× W ®éc lËp tuyÕn tÝnh nªn det(T)≠ 0 do ®ã ∃ T-1 lµ ma trËn ®¶o cña T, khi ®ã tõ (3_36) ta cã:  x '1   x1       x '2  =T-1  x2   ...   ...  (3_37)      x 'n   xn  Trong ®ã T lµ ma trËn cña hÖ I trong c¬ së W, nh vËy T-1 chÝnh lµ ma trËn chuyÓn c¬ -1 së tõ c¬ së W sang c¬ së I, cßn biÓu thøc (3_37) lµ biÓu thøc chuyÓn to¹ ®é cña mét vÐc t¬ tõ c¬ së I sang c¬ së W. Gi¶ sö trªn cïng mét c¬ së U nµo ®ã hÖ c¬ së I cã ma trËn A, hÖ c¬ së W cã ma trËn B. Gäi T lµ ma trËn chuyÓn c¬ së tõ c¬ së I sang c¬ së W, víi x∈E, gi¶ sö trªn I vµ W x cã täa ®é t¬ng øng:  x1   x '1       x2  vµ x=  x '2  x=    ...  ...      xn   x 'n  Khi ®ã theo c«ng thøc chuyÓn c¬ së:  x1   x '1       x2  =T  x '2   ...   ...       xn   x 'n  MÆt kh¸c tõ biÓu diÔn duy nhÊt cña x qua I vµ W: x=x’1ξ1+x’2ξ2+…+x’nξn=x1e1+x2e2+…+xne1 Thay täa ®é cña c¸c ξi trªn U vµ ei (i= 1, n ) trªn U ta ®îc:  x '1   x1   x '1         x '2  =A  x2  =A T  x '2  B   ...   ...  (3_38) ...        x 'n   xn   x 'n  Tõ ®ã: B=A.T (3_39) Hay T= A-1B (3_40)
16 HiÓn nhiªn ma trËn chuyÓn c¬ së tõ W sang I lµ T-1=B-1A (3_41) VÝ dô 3.22: Trong R3 cho hai c¬ së I={ e1,e2,e3}vµ W={ξ1,ξ2,ξ3} víi:  1  0  0  2  1  0   2   3     2   3   e =  0 e =  1 e =  0 vµ ξ =  − 1 ξ =  0 ξ =  − 1 1 1              0  0  1  3  1  2 a Khi ®ã ma trËn chuyÓn c¬ së tõ I sang W lµ:  2 1 0   T=  − 1 0 − 1    3 1 2 b. Ma trËn chuyÓn tõ c¬ së W sang c¬ së I, hay ma trËn cña hÖ I trong c¬ së W lµ:  1 − 2 − 1   T-1=  − 1 4 2     − 1 1 1 HiÓn nhiªn to¹ ®é cña e1,e2,e3 trong W lµ:  1  − 2  − 1       e =  − 1 e =  4  1 2 3 e =  2        − 1  1  1  3   c. Trong c¬ së I cho x cã to¹ ®é lµ: x=  − 1    0 Khi ®ã trong c¬ së W, x cã to¹ ®é:  1 − 2 − 1  3  5        − 1 4 2   − 1 =  − 7        − 1 1 1  0  − 4 d. Trªn c¬ së I={ e1,e2,e3 } hÖ I*={ e2,e3,e1 } cã ma trËn  0 0 1    1 0 0    0 1 0 ®ã còng lµ ma trËn chuyÓn tõ c¬ së I sang c¬ së I*. VÐc t¬ x trong c¬ së I cã to¹ ®é (x1,x2,x3) trong c¬ së I* cã to¹ ®é (x2,x3,x1). Chó ý 1: §Ó t×m to¹ ®é cña x trong c¬ së míi W ta cã thÓ gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh (3_36). Trong vÝ dô trªn ta cã hÖ: 2 x'1 + x' 2 =3 (1)  − x'1 − x '3 = −1 (2) 3 x' + x' +2 x' = 0 (3)  1 2 3 Nh©n ph¬ng tr×nh (1) víi -1 céng hai ph¬ng tr×nh ®Çu vµo ph¬ng tr×nh (3) ta ®îc: x’3=-4; thay x’3 vµo ph¬ng tr×nh (2) ta ®îc x’1=5 thay vµo ph¬ng tr×nh (1) ta ®îc x’2=-7. 2: §Ó tÝnh ma trËn ®¶o T-1 ta còng cã thÓ gi¶i hÖ (3_36). Trong vÝ dô trªn ta cã hÖ: 16
17 2 x'1 + x' 2 = x1 (1)  − x'1 − x'3 = x 2 (2) 3 x' + x ' +2 x' = x (3)  1 2 3 3 Nh©n ph¬ng tr×nh (1) víi -1 råi céng hai ph¬ng tr×nh ®Çu vµo ph¬ng tr×nh (3) ta ®îc : x’3=- x1 + x2 + x3 Thay vµo ph¬ng tr×nh (2) ta ®îc: x’1 = -x2 - x’3 = x1 -2 x2 - x3 Thay vµo ph¬ng tr×nh (1) ®îc: x’2 = x1 - 2 x’1 =- x1 +4 x2 +2 x3 Khi ®ã díi d¹ng ma trËn ta cã nghiÖm cña hÖ lµ:  x '1   x1 − 2 x2 − x3   1 − 2 − 1  x1           x '2  =  − x1 + 4 x2 + 2 x3  =  − 1 4 2   x2           x '3   − x1 + x2 + x3   − 1 1 1  x3  Do ®ã ma trËn ®¶o T-1 lµ :  1 − 2 − 1   T =− 1 4 2 -1    − 1 1 1 VÝ dô 3.23: Trong R3 t×m ma trËn chuyÓn c¬ së tõ W={ξ1,ξ2,ξ 3} sang V={τ1,τ2,τ3} víi:  2  1  0  1  3  1   2   3     2   3   ξ1=  − 1 ξ =  0 ξ =  − 1 vµ τ1=  2 τ =  3 τ =  7              3  1  2  1  2  3 Gäi ma trËn chuyÓn tõ W sang V lµ T ta cã  1 3 1   2 1 0      2 3 7 =  − 1 0 − 1 T      1 2 3  3 1 2  VËy: −1  2 1 0  1 3 1   − 4 − 5 − 16       T=  − 1 0 − 1  2 3 7  =  9 13 33        3 1 2   1 2 3  2 2 9 VÝ dô 3.24: BiÓu diÔn ®a thøc 1+t+t2+t3 díi d¹ng ®a thøc víi c¸c luü thõa cña 1+t: 1+t+t2+t3=a0+a1(1+t)+a2 (1+t)2+a3 (1+t) 3 XÐt hai c¬ së cña P4 (t): I={1,t,t2,t3} vµ W={1,1+t,(1+t)2,(1+t) 3} ma trËn cña hÖ W trong I vµ ma trËn cña I trong W lµ:  1 1 1 1  1 − 1 1 − 1      0 1 2 3 vµ T-1=  0 1 − 2 3 T=  0 0 1 3  0 0 1 − 3      0 0 0 1  0 0 0 1 Khi ®ã ta cã
18  a0   1 − 1 1 − 1  1  0           a1  =  0 1 − 2 3  1 =  2   a2   0 0 1 − 3  1  − 2          a3   0 0 0 1  1  1 VËy ta cã: 1+t+t2+t3=2(1+t)-2(1+t) 2+(1+t)3 Ta thÊy trong c¬ së kh¸c nhau to¹ ®é cña mçi vÐc t¬ sÏ kh¸c nhau, do ®ã ma trËn cña mét hÖ vÐc t¬ sÏ thay ®æi khi ®æi c¬ së. 3.4 Kh«ng gian con 1. §Þnh nghÜa Cho E lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh trªn trõ¬ng K. Ta gäi tËp con kh¸c rçng F⊆E lµ mét kh«ng gian con cña E nÕu: (i) ∀x,y∈F: x+y∈F (ii) ∀x∈F,∀t∈K: tx∈F DÔ dµng kiÓm tra hai phÐp to¸n (i) vµ (ii) tháa m·n 8 tiªn ®Ò. Nh vËy, nÕu F lµ mét tËp con cña kh«ng gian tuyÕn tÝnh E, ®Ó chøng tá F còng lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh víi c¸c phÐp to¸n cña E, ta chØ cÇn kiÓm tra c¸c ®iÒu kiÖn (i) vµ (ii). MÖnh ®Ò: NÕu F lµ kh«ng gian con cña E th×: 1. PhÇn tö θ∈F v× x∈F th× 0.x=θ. 2. x∈F th× phÇn tö ®èi: -x=(-1).x=-x∈F Chó ý: C¸c ®iÒu kiÖn (i) vµ (ii) kÕt hîp l¹i thµnh: ∀x,y∈E’,∀t,s∈K: tx+sy∈F (3_43) Ta còng cã thÓ nãi F⊆E lµ kh«ng gian con nÕu mäi phÐp to¸n cña E ®ãng trªn F. TËp c¸c kh«ng gian con cña E lµ tËp kh¸c trèng v× {θ} vµ E lµ c¸c kh«ng gian con cña E. VÝ dô 3.25: Chøng tá tËp D2x2 c¸c ma trËn ®èi xøng cÊp hai: a b  A= b c     víi phÐp céng hai ma trËn vµ phÐp nh©n mét sè víi ma trËn chøng tá r»ng: a. D2x2 lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh. b. T×m mét c¬ së vµ chiÒu cña D2x2. 2 1 c. T×m täa ®é cña  1 − 3  trong c¬ së ®ã.    Gi¶i: a. Ta thÊy D2x2 lµ tËp con cña kh«ng gian tuyÕn tÝnh M2x2. XÐt  a b1   a 2 b2  A1 =  1  b c  , A2 =  b c  ∈ D2x2     1 1   2 2  Ta cã:  a1 b1   a 2 b2   a1 + a 2 b1 + b2  A1+A2=   b c  +  b c  =  b + b c + c  ∈ D2x2       1 1   2 2   1 2 1 2   a1 b1   λa1 λb1  λA= λ  b c  =  λb λc  ∈ D2x2     1 1   1 1  VËy D2x2 lµ kh«ng gian con cña M2x2 hay nã lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh. b. XÐt biÓu diÔn:  a b  1 0   0 1   0 0  A=  b c  =a  0 0  +b 1 0  +c  0 1                 18
19 DÔ dµng chøng tá ®ã lµ biÓu diÔn duy nhÊt cña A qua hÖ 1 0  2  0 1  3  0 0  e 1=   0 0  , e = 1 0  , e =  0 1             nªn {e1,e2,e3} lµ mét c¬ së cña D2x2 vµ dim(D2x2)=3. c. Ta cã:  2 1  1 0   0 1   0 0   1 − 3  =2  0 0  +1 1 0  -3  0 1                  2 2 1   Nªn trong c¬ së {e ,e ,e },  1 2 3 1 − 3  cã täa ®é   1.    − 3   VÝ dô 3.26: Chøng tá: P’3(t)={x’(t)=(t-1)(b0+b1t+b2t2):bi∈R} lµ kh«ng gian con cña: P3(t)={x=a0+a1t+a 2t2+a 3t3 :a i∈R} T×m c¬ së vµ chiÒu P’3(t). Gi¶i: HiÓn nhiªn P’3(t) ⊂P3(t). Víi x’= (t-1) (b0+b1t+b2t2 ), y’= (t-1)(c0+c1t+c2t2) Ta cã: x’+y’=(t-1)[(b0+c0)+(b1+c1)t+(b2+c2)t2] ∈P’3(t) λx’=λ (t-1)(b0+b1t+b2t2)=(t-1)( λ b0+λ b1t+λ b2t2) ∈ P’3(t) VËy P’3(t) lµ mét kh«ng gian con cña P3(t). XÐt hÖ c¸c vÐc t¬ sau thuéc P’3(t): e1= t-1, e2=(t-1)t, e3=(t-1)t2 HÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh v× biÓu thøc b0(t-1)+b1(t-1)t+b2(t-1)t2=(t-1)(b0+b1t+b2t2)=0 kÐo theo b0=b1=b2=0 HÖ lµ hÖ sinh v× víi mäi: y’= (t-1)(c0+c1t+c2t2) ∈ P’3(t) ta cã: y’=c0(t-1)+c1(t-1)t+c2(t-1)t2 ®Òu biÓu diÔn qua hÖ{e1,e2,e3}.VËy{e1,e2,e3} lµ mét c¬ së cña P’3(t) vµ dim(P’3 (t))=3. VÝ dô 3.27: Cho E={x=( x1,...,x1, xp+1,..., xn)∈Rn} a. Chøng minh r»ng víi phÐp céng vµ phÐp nh©n víi mét sè trong R n, E lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh. b. T×m c¬ së vµ chiÒu cña E. Gi¶i: a. HiÓn nhiªn E⊂ Rn. Víi x=( x1,...,x1,xp+1,...,xn), y=( y1,...,y1,yp+1,...,yn) Ta cã: λx+βy= (λx1+βy1,..., λx1+βy1, λxp+1+βyp+1,..., λxn+βyn) Nªn E lµ kh«ng gian con cña Rn. b. Ta cã biÓu diÔn duy nhÊt:
20 1  0  0         x1   ...   ...   ...    1  0  0   ...        x  0  1  0   1   ...   ...   ...   x p +1         x= ...  =x1  0  +xp+1  0  +…+xn 1          x   n  Nªn hÖ 1  0  0         ...   ...   ...  1  0  0        0  1  0   ...   ...   ...          1 0    2 0    n-p+1 1  e= , e= , …,e = lµ c¬ së cña E; vµ dim(E)=n-p+1. VÝ dô 3.28: Chøng tá E={f(x)=acos x+bsin x+c} Víi phÐp céng c¸c hµm sè vµ phÐp nh©n mét sè víi mét hµm sè lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh, t×m mét c¬ së vµ chiÒu cña E. HiÓn nhiªn E lµ tËp con cña kh«ng gian tuyÕn tÝnh C[a,b]. víi: g(x)=a1cos x+b1sin x+c1, h(x)= a2cos x+b2sin x+c2 Ta cã: g(x)+h(x)= (a1+a2)cos x+(b1+b2)sin x+(c1+c2) ∈ E λ g(x)= λ a1cos x+ λ b1sin x+ λ c1 ∈E Nªn E lµ kh«ng gian con cña C[a,b]. MÆt kh¸c ta cã biÓu diÔn duy nhÊt: f(x)=a.cos x+b.sin x+c.1 Nªn hÖ {e1=cos x, e2=sin x, e3=1} lµ mét c¬ së cña E vµ din(E)=3. VÝ dô 3.29: { } F= x = ( x1 , x 2 , x3 ) ∈ R x1 + x 2 + x3 = 1 3 Kh«ng lµ kh«ng gian con cña R3 v× phÇn tö θ (0,0,0) cã: 0+0+0≠ 1 Hay θ∉R3 2. Kh«ng gian con sinh bëi mét tËp a. §Þnh nghÜa Cho X={u1,u2,…,up} lµ mét tËp con kh¸c rçng h÷u h¹n phÇn tö cña kh«ng gian tuyÕn tÝnh E trªn trêng K. Gäi L{X} lµ mäi tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c phÇn tö trªn X. L{X}={u=t1u1+t2u2+...+tpupt1,t2,…,tp∈K} §Þnh lý 3.7: L{X} lµ kh«ng gian con cña E, h¬n n÷a L{X} lµ kh«ng gian con nhá nhÊt cña E chøa X. Chøng minh: Gi¶ sö x,y lµ hai vÐc t¬ bÊt kú thuéc L{X} vµ t lµ mét sè thuéc K. Khi ®ã x,y lµ nh÷ng tæ hîp tuyÕn tÝnh cña X vµ do ®ã x+y vµ tx còng lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña X, hay x+y vµ tx thuéc L{X}. VËy L{X} lµ kh«ng gian con cña E. V× víi mäi x thuéc X th× x=1.x thuéc L{X} vËy L{X} chøa X. Gi¶ sö L’{X} lµ mét kh«ng gian con cña E chøa X, lÊy u∈L{X}, u cã d¹ng u=t 1u1+t2u2+... +tpup. V× X⊂L’{X} nªn u1,u2,...,up∈L’{X} do ®ã u∈L’{X},vËy L{X}⊂L’{X}. Nh vËy mäi kh«ng gian con cña E chøa X ®Òu chøa L{X}. Ta gäi X lµ tËp sinh cña L{X}, vµ L{X} lµ kh«ng gian con sinh bëi tËp X hay bao tuyÕn tÝnh cña tËp X. 20