Bài giảng môn học cơ học lý thuyết

Chia sẻ: trongan93

Tĩnh học là phần đầu của cơ học lý thuyết khảo sát sự cân bằng của vật thể chịu tác dụng của lực Mục tiêu Hai vấn đề chính được giải quyết trong tĩnh học là: Thu gọn một hệ nhiều lực phức tạp đang tác động lên hệ thống thành một hệ ít lực hơn, đơn giản và tương đương (tối giản). Tập hợp các dạng tối giản khác nhau của các hệ lực được gọi là các dạng chuẩn của hệ lực.  Xây dựng các điều kiện cân bằng cho một hệ thống nhiều lực. ....

Nội dung Text: Bài giảng môn học cơ học lý thuyết

CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com


BÀI GIẢNG

Môn học: CƠ HỌC LÝ THUYẾT



Nguyễn Thanh Nhã
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Khoa Khoa Học Ứng Dụng – 106B4
ĐT: 08.38660568 – 0908568181
Email: thanhnhanguyendem@gmail.com




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com

Phần I
TĨNH HỌC
Tĩnh học là phần đầu của cơ học lý thuyết khảo sát sự cân
bằng của vật thể chịu tác dụng của lực
Mục tiêu

 Hai vấn đề chính được giải quyết trong tĩnh học là:
 Thu gọn một hệ nhiều lực phức tạp đang tác động lên hệ thống
thành một hệ ít lực hơn, đơn giản và tương đương (tối giản). Tập
hợp các dạng tối giản khác nhau của các hệ lực được gọi là các
dạng chuẩn của hệ lực.
 Xây dựng các điều kiện cân bằng cho một hệ thống nhiều lực.
Đối tượng

 Đối tượng của tĩnh học là vật rắn tuyệt đối
Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com

Phần I
TĨNH HỌC
Chương 1: Các khái niệm cơ bản, mô hình phản lực liên kết

Chương 2: Thu gọn hệ lực, điều kiện cân bằng

Chương 3: Các bài toán đặc biệt

Chương 4: Ma sát

Chương 5: Trọng tâm


Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học

Chương 1
Các khái niệm cơ bản tĩnh học


NỘI DUNG


1.1. Các định nghĩa của tĩnh học

1.2. Các khái niệm cơ bản về lực, moment

1.3. Các tiên đề tĩnh học

1.4. Các mô hình liên kết và phản lực liên kết



Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.1. Các định nghĩa của tĩnh học

Vật rắn tuyệt đối
Là loại vật rắn có hình dáng và thể tích không thay đổi dưới mọi
tác động từ bên ngoài.


Trạng thái cân bằng
Trạng thái cơ học của vật rắn tuyệt đối là quy luật chuyển động của

vật rắn trong không gian theo thời gian.
• Trạng thái cân bằng là một trạng thái cơ học đặc biệt của vật rắn sao
cho mọi chất điểm thuộc vật đều có gia tốc bằng không.
• Có hai dạng cân bằng của vật:
o Tịnh tiến thẳng đều.
o Vật đứng yên (có thêm tính chất vận tốc bằng 0).




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.2. Các khái niệm cơ bản về lực, moment

Lực
Lực là một đại lượng vector được dùng để đo lường sự tương tác
cơ học giữa các vật chất với nhau.
















Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.2. Các khái niệm cơ bản về lực, moment

Các đặc trưng của lực


A: Điểm đặt của lực F

Giá ab là phương của lực F, hướng

của là chiều của lực tác dụng

: Độ lớn (cường độ) của lực F



Ký hiệu của lực:




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.2. Các khái niệm cơ bản về lực, moment

Hệ lực

Là một tập hợp nhiều lực đang tác động lên đối tượng khảo sát

Ký hiệu hệ n lực: 



Hệ lực tương đương

Hai hệ lực được gọi là tương đương với nhau về cơ học nếu hai
hệ lực này cùng gây ra một kết quả cơ học trên một vật.

Ký hiệu hệ 2 lực tương đương:  ~


Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.2. Các khái niệm cơ bản về lực, moment

Hệ lực cân bằng

Là loại hệ lực không làm thay đổi trạng thái cơ học của vật rắn khi
vật chịu tác động của loại hệ lực này.

Ký hiệu hệ lực cân bằng: 




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.2. Các khái niệm cơ bản về lực, moment

Hợp lực

Nếu một hệ nhiều lực tương đương với một hệ mới chỉ có duy nhất
một lực, lực duy nhất đó được gọi là hợp lực của hệ nhiều lực.

Ký hiệu hợp lực: 

Tính chất của hợp lực: 
 Vector hợp lực được xác định bằng vector
tổng của các vector lực trong hệ.

 Hình chiếu của một vector lực lên một trục là một giá trị đại số

 Vector hợp lực của hệ lực chỉ nằm trên một đường tác dụng duy
nhất trong không gian .
 Có những hệ lực luôn có hợp lực và cũng có những hệ lực không bao
giờ có hợp lực.

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.2. Các khái niệm cơ bản về lực, moment

Hợp lực




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.2. Các khái niệm cơ bản về lực, moment

Phân loại hệ lực
Cách 1 (nội và ngoại lực):
Ngoại lực: là những lực do những Nội lực: là những lực do những
đối tượng bên ngoài hệ thống khảo đối tượng bên trong hệ thống khảo
sát sinh ra để tác động vào những vị sát sinh ra để tác động vào những
trí bên trong hệ thống đang xét. vị trí bên trong hệ thống đang xét.



Ví dụ:
 Xét hệ khảo sát gồm chỉ có vật
 là ngoại lực.


 Xét hệ khảo sát gồm vật +
người  là nội lực.


Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.2. Các khái niệm cơ bản về lực, moment

Phân loại hệ lực
Cách 2 (dạng hình học của lực):
Lực tập trung: Là loại lực chỉ tác dụng tại một điểm duy nhất trên vật.




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.2. Các khái niệm cơ bản về lực, moment

Phân loại hệ lực
Cách 2 (dạng hình học của lực):
Lực phân bố: Là loại lực tác động cùng lúc lên nhiều điểm trên vật.
- Lực phân bố trên đường: Là loại lực phân bố có các điểm tác động
lên vật tạo thành một loại đường hình học trên vật (đường thẳng,
đường tròn, ellipse, …). Đơn vị: N/m




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.2. Các khái niệm cơ bản về lực, moment

Phân loại hệ lực
Cách 2 (dạng hình học của lực):
Lực phân bố: Là loại lực tác động cùng lúc lên nhiều điểm trên vật.
- Lực phân bố trên mặt: Là loại lực phân bố
mà quỹ tích các điểm tác dụng lên vật tạo
thành một loại mặt hình học trên vật. Đơn vị:
N/m2




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.2. Các khái niệm cơ bản về lực, moment

Phân loại hệ lực
Cách 2 (dạng hình học của lực):
Lực phân bố: Là loại lực tác động cùng lúc lên nhiều điểm trên vật.
- Lực phân bố trên thể tích: Là loại lực phân bố mà quỹ tích các điểm
tác dụng lên vật tạo thành một loại thể tích hình học. Đơn vị: N/m3




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.2. Các khái niệm cơ bản về lực, moment

Quy đổi lực phân bố
Tổng quát





Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.2. Các khái niệm cơ bản về lực, moment

Quy đổi lực phân bố
Trường hợp lực phân bố đều




Trường hợp lực phân bố tam giác




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.2. Các khái niệm cơ bản về lực, moment

Moment của lực

Dưới tác động của một lực vật rắn có thể chuyển động tịnh tiến,
chuyển động quay, hoặc vừa chuyển động tịnh tiến vừa quay
đồng thời. Tác dụng của lực làm vật rắn quay sẽ được đánh giá
bởi đại lượng moment của lực 




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.2. Các khái niệm cơ bản về lực, moment

Moment của lực đối với 1 tâm
Xét moment của vector lực F đối với tâm O




Khả năng của lực F làm vật rắn quay quanh tâm O sẽ được đánh giá bởi
vector moment của lực F đối với tâm O như sau:



( : tích có hướng)
Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.2. Các khái niệm cơ bản về lực, moment

Moment của lực đối với 1 tâm
Xét moment của vector lực F đối với tâm O




Chiều




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.2. Các khái niệm cơ bản về lực, moment

Định lý
Điều kiện cần và đủ để lực F không có khả năng làm vật rắn quay
quanh tâm O là:




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.2. Các khái niệm cơ bản về lực, moment

Moment của lực đối với 1 trục
Xét moment của vector lực F làm vật có khuynh hướng quay quanh trục z




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.2. Các khái niệm cơ bản về lực, moment

Moment của lực đối với 1 trục
Quy ước:
Moment của lực F đối với trục quay z sẽ được quy ước là đại lượng
dương (+) nếu nhìn dọc theo trục quay z từ ngọn của trục ấy ta thấy lực
hình chiếu Fxy sẽ có xu hướng quay quanh tâm O ngược chiều kim đồng
hồ và ngược lại.

Định lý:
Hình chiếu vuông góc lên trục z của vector moment lực F đối với tâm
O bằng moment của lực F đối với trục z




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.2. Các khái niệm cơ bản về lực, moment

Moment của lực đối với 1 trục

Định lý:
Điều kiện cần và đủ để lực F không có khả năng làm vật rắn quay
quanh trục z là moment của lực F đối với trục z bằng 0.




Mà trục z cắt mp (OAB) tại O nên trục z  mp(OAB)

đồng phẳng.




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.2. Các khái niệm cơ bản về lực, moment

Ngẫu lực

Ngẫu lực là một hệ hai lực thỏa đồng thời các điều kiện sau đây:
Cùng phương, cùng độ lớn, ngược chiều và không cùng đường tác
dụng.

Ký hiệu ngẫu lực:




d




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.2. Các khái niệm cơ bản về lực, moment

Tính chất của ngẫu lực

 Ngẫu lực là một hệ lực không cân
bằng. Nghĩa là dưới tác động của
ngẫu lực, một vật rắn tự do hoàn
toàn, đang đứng yên sẽ thực hiện
chuyển động quay.



 Ngẫu lực là loại hệ lực không
có hợp lực. Nghĩa là ngẫu lực
là một dạng tối giản của các hệ
lực:




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.2. Các khái niệm cơ bản về lực, moment

Moment của ngẫu lực

Khả năng làm quay vật của ngẫu lực sẽ phụ thuộc vào 4 yếu tố
của ngẫu lực: mặt phẳng tác dụng (P), cánh tay đòn d, độ lớn của
các lực và chiều quay của ngẫu lực.
Để đo lường khả năng làm quay vật của ngẫu lực người ta định nghĩa
đại lượng vector moment của ngẫu lực: 




Chiều




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.2. Các khái niệm cơ bản về lực, moment

Cách ký hiện moment

Có 3 cách kí hiệu moment
Cách 1: Ký hiệu Moment bằng một vector thẳng
hai đầu. (Dùng trong bài toán không gian 3
chiều.) 

Cách 2: Ký hiệu moment bằng một ngẫu hai lực nằm trong mặt phẳng
tác dụng vuông góc với vector moment của cách 1 sao cho vector
moment của ngẫu lực bằng vector moment cần biểu diễn (dùng trong
bài toán không gian 2 chiều và 3 chiều) 


Chú ý: Chú ý rằng có rất nhiều ngẫu
có thể chọn để biểu diễn một
moment. 

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.2. Các khái niệm cơ bản về lực, moment

Cách ký hiện moment

Có 3 cách kí hiệu moment
Cách 3: Biễu diễn moment bằng một vector cong, phẳng nằm trong mặt
phẳng tác dụng của ngẫu lực. Chiều của vector cong được xác định tuân
theo quy tắc bàn tay phải so với chiều vector moment thẳng của cách 1.
Hay chiều của vector moment cong sẽ cùng chiều quay của ngẫu lực
(dùng trong bài toán không gian 2 và 3 chiều) 




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.3. Các tiên đề tĩnh học
Có 6 tiên đề tĩnh học

Tiên đề 1: Tiên đề về hai lực cân bằng

Điền kiện cần và đủ để cho hệ hai lực cân bằng là chúng có cùng
đường tác dụng, hướng ngược chiều nhau và có cùng cường độ.



A  B  A  B 




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.3. Các tiên đề tĩnh học
Có 6 tiên đề tĩnh học

Tiên đề 2: Tiên đề thêm bớt hai lực cân bằng

Tác dụng của một hệ lực không thay đổi khi thêm hoặc bớt hai lực
cân bằng




B  A 




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.3. Các tiên đề tĩnh học
Có 6 tiên đề tĩnh học

Tiên đề 2: Tiên đề thêm bớt hai lực cân bằng

Tác dụng của một hệ lực không thay đổi khi thêm hoặc bớt hai lực
cân bằng
Hệ quả: Tác dụng của lực lên vật rắn tuyệt đối không thay đổi khi trượt
lực trên đường tác dụng của nó. (Định lý trượt lực)



A  A’  A 




Chú ý: Tính chất trên chỉ đúng với vật rắn tuyệt đối
Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.3. Các tiên đề tĩnh học
Có 6 tiên đề tĩnh học

Tiên đề 3: Tiên đề hình bình hành lực

Hệ hai lực cùng đặt tại một điểm tương đương với một lực đặt tại
điểm đặt chung và có vector lực bằng vector đường chéo hình
bình hành mà hai cạnh là hai vector biểu diễn hai lực thành phần









Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.3. Các tiên đề tĩnh học
Có 6 tiên đề tĩnh học

Tiên đề 4: Tiên đề tác dụng và phản tác dụng

Lực tác dụng và lực phản tác dụng giữa hai vật có cùng đường tác
dụng, hướng ngược chiều nhau và có cùng cường độ




A  B 




Chú ý: Lực tác dụng và phản tác dụng không phải là hai lực cân bằng
vì chúng không tác dụng lên cùng một vật rắn

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.3. Các tiên đề tĩnh học
Có 6 tiên đề tĩnh học

Tiên đề 5: Tiên đề hóa rắn

Một vật biến dạng đã cân bằng dưới tác dụng của một hệ lực thì
khi hóa rắn lại nó vẫn cân bằng dưới tác động của hệ lực đó


Sợi dây
Sợi dây


Hóa rắn Hóa rắn

Thanh thép
Thanh thép

Chú ý: điều ngược lại không đúng


Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.3. Các tiên đề tĩnh học
Có 6 tiên đề tĩnh học

Tiên đề 6: Tiên đề giải phóng liên kết

Vật không tự do (tức vật chịu liên kết) cân bằng có thể được xem
là vật tự do cân bằng nếu giải phóng các liên kết, thay thế tác dụng
của các liên kết được giải phóng bằng các phản lực liên kết tương
ứng




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.4. Các mô hình liên kết và phản lực liên kết
Các khái niệm cơ bản

Vật rắn tự do hoàn toàn
Là vật rắn có thể thực hiện được mọi dạng chuyển động trong
không gian mà không có bất kỳ cản trở nào.


Bậc tự do của vật rắn
Là số chuyển động độc lập mà vật rắn ấy có thể thực hiện đồng
thời trong không gian.

Ký hiệu bậc tự do của vật rắn là “Dof” (Degree of freedom).




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.4. Các mô hình liên kết và phản lực liên kết

Cách xác định BTD của VR
Trong không gian hai chiều: 2D



①: tịnh tiến thẳng theo phương ngang.


②: tịnh tiến thẳng theo phương đứng.


③: quay.

 Có ① và ② thì vật tịnh tiến theo phương xiên.

 Có cả ➂ thì vật vừa tịnh tiến vừa quay đồng thời.



Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.4. Các mô hình liên kết và phản lực liên kết

Cách xác định BTD của VR
Trong không gian ba chiều: 3D











Chú ý: rằng một chuyển động độc lập bao gồm cả hai chiều
chuyển động theo một phương.

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.4. Các mô hình liên kết và phản lực liên kết

Liên kết
Là những đối tượng có tác dụng hạn chế khả năng chuyển động
của vật rắn trong không gian.

Ràng buộc
Là số chuyển độc lập bị mất do liên kết

Kí hiệu: Rlk
Rlk là một thông số đánh giá khả năng cản trở chuyển động của liên kết
đối với vật và nó được định nghĩa bằng số chuyển động độc lập mà vật
rắn bị mất đi do liên kết ấy.

Chú ý: Một chuyển động độc lập gồm cả hai chiều chuyển động theo
một phương. Nếu vật rắn chỉ chuyển động theo một chiều của một
phương thì vật ấy có 0,5 chuyển động độc lập. 

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.4. Các mô hình liên kết và phản lực liên kết

BTD của hệ nhiều VR liên kết nhau

Khảo sát một hệ thống cơ học gồm có n vật rắn được liên kết với nhau
bởi m liên kết.

Tổng các ràng buộc của các liên kết trong hệ là:


Trong không gian 2 chiều (2D):


Trong không gian 3 chiều (3D):

Với n là số vật rắn trong hệ.

 Dof hệ > 0: hệ không luôn cân bằng với mọi loại tải tác động.

 Dof hệ ≤ 0: hệ luôn cân bằng với mọi loại tải tác động.

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.4. Các mô hình liên kết và phản lực liên kết

Phản lực liên kết
Là những lực do các liên kết phản tác dụng lên vật
Phản lực liên kết là những lực thuộc loại lực thụ động (bị động). 




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.4. Các mô hình liên kết và phản lực liên kết

Tính chất của phản lực liên kết

Tính chất 1: Số phản lực liên kết của một loại liên kết sẽ bằng số làm
tròn của ràng buộc liên kết ấy [= round (Rlk ) ]. 
 Ví dụ: Rlk = 2,5  liên kết có 3 phản lực liên kết.

Tính chất 2: Vị trí đặt các phản lực liên kết trùng với vị trí của các liên
kết ấy (Đặt tại vị trí có liên kết).


Tính chất 3: Phương của các phản lực liên kết sẽ trùng với phương
của các chuyển động độc lập bị mất đi.


Tính chất 4: Chiều của các phản lực liên kết sẽ ngược với chiều của
các chuyển động độc lập bị mất đi.



Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.4. Các mô hình liên kết và phản lực liên kết

Các dạng liên kết cơ bản

Rdây = 0,5
1. Liên kết dây: 

 Có 1 phản lực liên kết.




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.4. Các mô hình liên kết và phản lực liên kết

Các dạng liên kết cơ bản

1. Liên kết dây: 




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.4. Các mô hình liên kết và phản lực liên kết

Các dạng liên kết cơ bản

Rtựa = 0,5
2. Liên kết tựa nhẵn (tựa trơn không ma sát): 

 Có 1 phản lực liên kết.




tiếp tuyến chung

A




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.4. Các mô hình liên kết và phản lực liên kết

Các dạng liên kết cơ bản

Rtựa = 0,5
2. Liên kết tựa nhẵn (tựa trơn không ma sát): 




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.4. Các mô hình liên kết và phản lực liên kết

Các dạng liên kết cơ bản

Rblcđ = 2
3. Liên kết khớp bản lề cố định: 

 Có 2 phản lực liên kết.




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.4. Các mô hình liên kết và phản lực liên kết

Các dạng liên kết cơ bản

Rblề = 2
3. Liên kết khớp bản lề cố định: 




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.4. Các mô hình liên kết và phản lực liên kết

Các dạng liên kết cơ bản

Rbldđ = 1
4. Liên kết khớp bản lề di động: 

 Có 1 phản lực liên kết.




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.4. Các mô hình liên kết và phản lực liên kết

Các dạng liên kết cơ bản

Phân biệt khớp bản lề “nội” và khớp bản lề “ngoại”: 





Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.4. Các mô hình liên kết và phản lực liên kết

Các dạng liên kết cơ bản

Rcầu = 3
5. Liên kết khớp cầu: 

 Có 1 phản lực liên kết.




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.4. Các mô hình liên kết và phản lực liên kết

Các dạng liên kết cơ bản

Rcầu = 3
5. Liên kết khớp cầu: 




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.4. Các mô hình liên kết và phản lực liên kết

Các dạng liên kết cơ bản

6. Liên kết ngàm phẳng:  Rngàm2D = 3
 Có 3 phản lực liên kết.




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.4. Các mô hình liên kết và phản lực liên kết

Các dạng liên kết cơ bản

7. Liên kết ngàm không gian:  Rngàm3D = 6




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.4. Các mô hình liên kết và phản lực liên kết

Các dạng liên kết cơ bản

Rthanh = 1  Có 1 phản lực liên kết.
8. Liên kết thanh: 

Khảo sát những thanh thẳng, cong, liên kết thanh xuất hiện khi:
- Thanh có trọng lượng rất bé so với các lực mà thanh phải chịu.
- Có 2 liên kết ở 2 đầu mút thanh thuộc 1 trong 3 loại liên kết sau: bản lề,
khớp cầu, tựa nhẵn.
-Thanh chỉ chịu tải ở hai đầu mút, không chịu lực ở giữa thanh.
Các phản lực nằm trên đường nối liền 2 đầu mút của thanh




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 1. Các khái niệm cơ bản tĩnh học
1.4. Các mô hình liên kết và phản lực liên kết

Các dạng liên kết cơ bản

8. Liên kết thanh: 




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com


BÀI GIẢNG

Môn học: CƠ HỌC LÝ THUYẾT



Nguyễn Thanh Nhã
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Khoa Khoa Học Ứng Dụng – 106B4
ĐT: 08.38660568 – 0908568181
Email: thanhnhanguyendem@gmail.com




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com

Phần I
TĨNH HỌC
Chương 1: Các khái niệm cơ bản, mô hình phản lực liên kết

Chương 2: Thu gọn hệ lực, điều kiện cân bằng

Chương 3: Các bài toán đặc biệt

Chương 4: Ma sát

Chương 5: Trọng tâm


Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.comhệ lực
Chương 2. Thu gọn hệ lực và Điều kiện cân bằng của

Chương 2
Thu gọn hệ lực và Điều kiện cân bằng của hệ lực


NỘI DUNG


2.1. Hai thành phần cơ bản của hệ lực

2.2. Các định lý cơ bản của tĩnh học

2.3. Điều kiện cân bằng của hệ lực

2.4. Các dạng chuẩn của hệ lực (dạng tối giản)



Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.comhệ lực
Chương 2. Thu gọn hệ lực và Điều kiện cân bằng của
2.1. Hai thành phần cơ bản của hệ lực
Khảo sát một hệ có nhiều lực

Một hệ lực luôn có 2 thành phần cơ bản là vector chính và vector
moment chính:
MO

M1
P2
P1
PO
P3
O

Pn M2


Mm



Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.comhệ lực
Chương 2. Thu gọn hệ lực và Điều kiện cân bằng của
2.1. Hai thành phần cơ bản của hệ lực

Vector chính
Vector chính của một hệ nhiều lực là vector tổng của tất cả các
vector lực trong hệ.




Tính chất:
-Đối với 1 hệ lực xác định, vector chính của hệ lực đó là vector hằng gọi là
bất biến thứ nhất với hệ lực đó.
-Vector chính của một hệ lực là một vector tự do, có thể nằm trên đường
tác dụng song song tùy ý trong không gian tồn tại của hệ lực.

Vector chính  Thành phần cơ bản thứ nhất của một hệ lực
Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.comhệ lực
Chương 2. Thu gọn hệ lực và Điều kiện cân bằng của
2.1. Hai thành phần cơ bản của hệ lực

Vector moment chính
Moment chính của hệ lực đối với tâm O là một đại lượng vector bằng
tổng các vector moment của các lực trong hệ lực lấy đối với cùng
tâm O ấy.




Tính chất:
-Tính chất 1: Moment chính của hệ lực đối với một tâm không phải là
vector hằng và sẽ phụ thuộc vào vị trí của tâm O ấy.
-Tính chất 2: Hình chiếu vuông góc của vector moment chính hệ lực đối
với một tâm O lên phương của vector chính của hệ lực ấy là một hằng số
với mọi tâm O trong không gian.
Đây được gọi là bất biến thứ hai của hệ lực
Vector moment chính  Thành phần cơ bản thứ hai của một hệ lực
Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.comhệ lực
Chương 2. Thu gọn hệ lực và Điều kiện cân bằng của
2.1. Hai thành phần cơ bản của hệ lực

Vector moment chính

Mô tả các tính chất: 




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.comhệ lực
Chương 2. Thu gọn hệ lực và Điều kiện cân bằng của
2.2. Các định lý cơ bản của tĩnh học

Định lý 3 lực

Nếu vật rắn đã cân bằng dưới tác dụng của hệ ba lực thì hệ ba lực
ấy sẽ thỏa đồng thời hai điều kiện sau: 
Đồng phẳng.

Hoặc đồng quy hoặc song song trong mặt phẳng.





Chú ý:
Đây là định lý một chiều nghĩa là nếu hệ 3 lực thỏa mãn đồng thời 2 điều
kiện như trên thì chưa chắc hệ 3 lực ấy là hệ 3 lực cân bằng 


Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.comhệ lực
Chương 2. Thu gọn hệ lực và Điều kiện cân bằng của
2.2. Các định lý cơ bản của tĩnh học

Định lý dời lực song song

Có thể di dời song song một lực đến một điểm đặt mới nằm ngoài
đường tác dụng của nó nếu trong quá trình di dời song song ấy ta
bổ sung vào lực ấy một moment bằng moment của lực trước khi di
dời lấy đối với điểm sẽ được di dời đến 




lA
l A / / lB

A
B



Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.comhệ lực
Chương 2. Thu gọn hệ lực và Điều kiện cân bằng của
2.2. Các định lý cơ bản của tĩnh học

Định lý thu gọn hệ lực về một tâm

Một hệ nhiều lực khi thu gọn về một tâm O tùy ý trong không gian
bao giờ ta cũng tương đương với một hệ mới gồm hai vector cùng
đặt tại tâm thu gọn O đã chọn. Đó là hai thành phần cơ bản của hệ
lực đối với tâm thu gọn ấy. 




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.comhệ lực
Chương 2. Thu gọn hệ lực và Điều kiện cân bằng của
2.2. Các định lý cơ bản của tĩnh học

Định lý về hai hệ lực tương đương

Điều kiện cần và đủ để hai hệ lực tương đương với nhau là khi thu
gọn về một tâm tùy ý trong không gian các thành phần thu gọn cơ
bản cùng tên của chúng phải đồng loạt bằng nhau:




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.comhệ lực
Chương 2. Thu gọn hệ lực và Điều kiện cân bằng của
2.3. Điều kiện cân bằng của hệ lực

Điều kiện tổng quát
Điều kiện cần và đủ để một hệ nhiều lực cân bằng là cả hai thành
phần cơ bản của hệ lực ấy đối với tâm thu gọn O bất kỳ trong không
gian phải đồng loạt bị triệt tiêu




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.comhệ lực
Chương 2. Thu gọn hệ lực và Điều kiện cân bằng của
2.3. Điều kiện cân bằng của hệ lực

Các trường hợp đặc biệt

Hệ lực phẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.comhệ lực
Chương 2. Thu gọn hệ lực và Điều kiện cân bằng của
2.3. Điều kiện cân bằng của hệ lực

Các trường hợp đặc biệt

Hệ lực song song với trục y trong không gian 3 chiều




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.comhệ lực
Chương 2. Thu gọn hệ lực và Điều kiện cân bằng của
2.3. Điều kiện cân bằng của hệ lực

Các trường hợp đặc biệt

Hệ lực song song với trục y, đồng phẳng trong Oxy




Hệ lực đồng trục y




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.comhệ lực
Chương 2. Thu gọn hệ lực và Điều kiện cân bằng của
2.3. Điều kiện cân bằng của hệ lực

Các trường hợp đặc biệt

Hệ lực đồng quy




Hệ lực đồng quy trong mặt phẳng Oxy




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.comhệ lực
Chương 2. Thu gọn hệ lực và Điều kiện cân bằng của
2.4. Điều kiện cân bằng của hệ lực

Các dạng tối giản của hệ lực

Dựa vào 2 thành phần cơ bản của hệ lực khi thu gọn về một tâm
người ta sẽ phân các hệ lực ra làm 4 dạng tối giản (dạng chuẩn).

Dạng chuẩn 1: Khi 2 thành phần đều = 0
 Hệ lực cân bằng, không có hợp lực


Dạng chuẩn 2:
 Hệ lực  Ngẫu, không có hợp lực,
hệ chuyển động quay thuần túy




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.comhệ lực
Chương 2. Thu gọn hệ lực và Điều kiện cân bằng của
2.4. Điều kiện cân bằng của hệ lực

Các dạng tối giản của hệ lực

Dựa vào 2 thành phần cơ bản của hệ lực khi thu gọn về một tâm
người ta sẽ phân các hệ lực ra làm 4 dạng tối giản (dạng chuẩn).
Dạng chuẩn 3:


 Hệ lực có hợp lực chính là vector chính tại O, vật
chuyển động tịnh tiến
 Hệ lực có hợp lực nhưng hợp lực này không đi qua O







O’ 
Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.comhệ lực
Chương 2. Thu gọn hệ lực và Điều kiện cân bằng của
2.4. Điều kiện cân bằng của hệ lực

Các dạng tối giản của hệ lực

Dựa vào 2 thành phần cơ bản của hệ lực khi thu gọn về một tâm
người ta sẽ phân các hệ lực ra làm 4 dạng tối giản (dạng chuẩn).

Dạng chuẩn 4:



 Hệ lực không có hợp lực mà sẽ tương đương với 1 lực và 1
vector moment  Hệ xoắn vít động








Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com

BÀI GIẢNG

Môn học: CƠ HỌC LÝ THUYẾT



Nguyễn Thanh Nhã
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Khoa Khoa Học Ứng Dụng – 106B4
ĐT: 08.38660568 – 0908568181
Email: thanhnhanguyendem@gmail.com




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Phần I
TĨNH HỌC
Tĩnh học là phần đầu của cơ học lý thuyết khảo sát sự cân
bằng của vật thể chịu tác dụng của lực
Mục tiêu

 Hai vấn đề chính được giải quyết trong tĩnh học là:
 Thu gọn một hệ nhiều lực phức tạp đang tác động lên hệ thống
thành một hệ ít lực hơn, đơn giản và tương đương (tối giản). Tập
hợp các dạng tối giản khác nhau của các hệ lực được gọi là các
dạng chuẩn của hệ lực.
 Xây dựng các điều kiện cân bằng cho một hệ thống nhiều lực.
Đối tượng

 Đối tượng của tĩnh học là vật rắn tuyệt đối
Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Phần I
TĨNH HỌC
Chương 1: Các khái niệm cơ bản, mô hình phản lực liên kết

Chương 2: Thu gọn hệ lực, điều kiện cân bằng

Chương 3: Các bài toán đặc biệt

Chương 4: Ma sát

Chương 5: Trọng tâm


Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
Chương 3. Các bài toán đặc biệt
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Chương 3
Các bài toán đặc biệt


NỘI DUNG


3.1. Bài toán giàn phẳng

3.2. Bài toán vật lật




Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
Chương 3. Các bài toán đặc biệt
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
3.1. Bài toán giàn phẳng

Khái niệm
Bài toán giàn là bài toán mà trong đó các thanh chỉ chịu lực tác
dụng ở đầu thanh (liên kết thanh).
Mục tiêu của bài toán giàn là tìm ứng lực trong các thanh.

Ứng lực trong thanh
Ứng lực là thành phần nội lực dọc trục trong thanh
T
T
T
T

C C
C C

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
Chương 3. Các bài toán đặc biệt
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
3.1. Bài toán giàn phẳng
Quy ước

Thanh chịu kéo: Ứng lực mang giá trị dương (>0)
Thanh chịu nén: Ứng lực mang giá trị âm (0, và nếu theo chiều âm thì V 0: hệ không luôn cân bằng với mọi loại tải
tác động.
 Khi Dof hệ ≤ 0: hệ luôn cân bằng với mọi loại tải tác động.
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động haughtycool
Design By Học Phần I: Tĩnh học
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com TS. Trương Tích Thiện
PGS.

1.4.1.4. Phản lực liên kết
a). Định nghĩa
Là những lực do các liên kết phản tác dụng lên vật (hình 1.26).
 Phản lực liên kết là những lực thuộc loại lực thụ động (bị
động).
 
PA , PB là các áp lực lên liên kết. RA , RB là các PLLK.


b). Tính chất
RB
V 

 Tính chất 1: Số phản lực liên kết
RA
của một loại liên kết sẽ bằng số
A
làm tròn của ràng buộc liên kết ấy
B
[= round (Rlk)].
lk = 2,5  liên kết  
 Ví dụ: R
PA PB
Hình 1.26
có 3 phản lực liên kết.
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động haughtycool
Design By Học Phần I: Tĩnh học
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com TS. Trương Tích Thiện
PGS.

 Tính chất 2: Vị trí đặt các phản lực liên kết trùng với vị trí
của các liên kết ấy (Đặt tại vị trí có liên kết).
 Tính chất 3: Phương của các phản lực liên kết sẽ trùng
với phương của các chuyển động độc lập bị mất đi.
 Tính chất 4: Chiều của các phản lực liên kết sẽ ngược
với chiều của các chuyển động độc lập bị mất đi.
1.4.2. Phản lực liên kết của 9 loại liên kết cơ bản

1.4.2.1. Liên kết dây
dây
TA
Rdây = 0,5
A

 Có 1 phản lực liên kết: Lực căng dây T A
V 
(hình 1.27).
Hình 1.27
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động haughtycool
Design By Học Phần I: Tĩnh học
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com TS. Trương Tích Thiện
PGS.

1.4.2.2. Tựa nhẵn. (Tựa trơn không ma sát)

Rtựa = 0,5

 Có 1 phản lực liên kết: đặt tại vị trí liên kết (hình 1.28a).

tA : tiếp tuyến chung.
V 

 tA NA
N A : phản lực pháp tuyến,
thẳng góc với mặt tựa (mặt
A
tiếp xúc) và hướng vào vật
khảo sát.

Hình 1.28-a


CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động haughtycool
Design By Học Phần I: Tĩnh học
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com TS. Trương Tích Thiện
PGS.

S 

 tB
NB
NA

B
tA
A
Hình 1.28-b

tA : tiếp tuyến riêng của bề mặt cố định tại điểm gẫy A.
tB : tiếp tuyến riêng của vật tại vị trí điểm B.
 
N A , N B: phản lực pháp tuyến.
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động haughtycool
Design By Học Phần I: Tĩnh học
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com TS. Trương Tích Thiện
PGS.




Tựa




Hình 1.28-c


CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động haughtycool
Design By Học Phần I: Tĩnh học
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com TS. Trương Tích Thiện
PGS.

1.4.2.3. Khớp bản lề cố định (khớp bản lề ngoại cố định, gối
cố định).
S 
Rbl = 2
VA
 Có 2 phản lực
liên kết.
HA
Chiều phản lực dự đoán

Hình 1.29 a
Loại liên kết này có chiều và độ lớn của các phản lực liên
kết chưa biết (hình 1.29).

CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động haughtycool
Design By Học Phần I: Tĩnh học
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com TS. Trương Tích Thiện
PGS.

Khớp bản lề cố định




  

Fx  Fy  F
Hình 1.29 b
Mô hình liên kết khớp bản lề trong lý thuyết
RA Ax
Ay
A A Ay 
A
Ax
A A
A
Hình 1.29 c
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động haughtycool
Design By Học Phần I: Tĩnh học
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com TS. Trương Tích Thiện
PGS.

1.1.2.4. Khớp bản lề trượt (khớp bản lề ngoại trượt, khớp bản
lề di động, gối di động)
Loại liên kết này chỉ cho phép trượt qua lại theo phương
trượt và quay trong mặt phẳng nhưng không tịnh tiến thẳng
lên, xuống theo phương vuông góc với phương trượt. Để
trượt nhẹ người ta lắp thêm con lăn (hình 1.30).

Rblt = 1 V  
NA
 Có 1 phản lực liên kết.

Chiều và độ lớn phản lực
chưa biết.


Hình 1.30 a
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động haughtycool
Design By Học Phần I: Tĩnh học
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com TS. Trương Tích Thiện
PGS.




Hình 1.30 b

Mô hình liên kết khớp bản lề di động trong lý thuyết




A

Hình 1.30 c

CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động haughtycool
Design By Học Phần I: Tĩnh học
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com TS. Trương Tích Thiện
PGS.

1.4.2.5. Khớp bản lề nội (xem hình 1.31)

① ② ②



Hình 1.31-a


Rbln = 2

 Có 2 phản lực liên kết tác động lên từng vật thỏa
tiên đề 4 của tĩnh học.


CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động haughtycool
Design By Học Phần I: Tĩnh học
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com TS. Trương Tích Thiện
PGS.

  V2
① ②
H 2   H1

 
H2
V2  V1 H1

V1
Hình 1.31-b
Khớp bản lề nội




Hình 1.31-c
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động haughtycool
Design By Học Phần I: Tĩnh học
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com TS. Trương Tích Thiện
PGS.

1.4.2.6. Ngàm phẳng (ngàm hai chiều) (xem hình 1.32).
VA
Rngàm2D = 3
HA B
A
 Có 3 phản lực
liên kết.
MA
Hình 1.32




CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động haughtycool
Design By Học Phần I: Tĩnh học
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com TS. Trương Tích Thiện
PGS.

1.4.2.7. Khớp cầu (xem hình 1.33)
z
Rcầu = 3

 Có 3 phản lực
V 
liên kết.


zA

 
xA y
yA
A
x
Hình 1.33

CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động haughtycool
Design By Học Phần I: Tĩnh học
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com TS. Trương Tích Thiện
PGS.

1.4.2.8. Ngàm không gian (ngàm 3 chiều ) (xem hình 1.34)
Rngàm3D = 6

z
 Có 6 phản lực
liên kết.





zA
Ngàm
M yA A
 A Mx

xA
y
yA
A
Mz
x
Hình 1.34
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động haughtycool
Design By Học Phần I: Tĩnh học
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com TS. Trương Tích Thiện
PGS.

1.4.2.9. Liên kết thanh
Khảo sát thanh thẳng hoặc cong thỏa đồng thời ba điều
kiện sau: (hình 1.35)

 Có trọng lượng rất bé nên
 
có thể bỏ qua được. V 
RB RD
 Có hai liên kết ở hai đầu
cuối của mỗi thanh thuộc D
B
ba loại liên kết sau đây:
khớp cầu, khớp bản lề,
tựa nhẵn.

 Các thanh không chịu tác
C
A
động của lực hoặc
moment ở giữa thanh.
Hình 1.35 a
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động haughtycool
Design By Học Phần I: Tĩnh học
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com TS. Trương Tích Thiện
PGS.

 Nếu những thanh thỏa mãn đồng thời các điều kiện như
trên được dùng làm các liên kết cho vật rắn thì chúng sẽ
được gọi là các liên kết thanh. Mỗi liên kết thanh sẽ có
một ràng buộc và sinh ra một phản lực tác động lên vật.
Phản lực của liên kết thanh luôn có tính chất nằm trên
một đường thẳng nối liền hai đầu có liên kết thanh.

A: khớp cầu; B,D: bản lề; C: tựa nhẵn.


 R  AB
B
AB, CD : 2 liên kết thanh   

RD  CD





CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động haughtycool
Design By Học Phần I: Tĩnh học
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com TS. Trương Tích Thiện
PGS.



Liên kết thanh




Liên kết thanh




Hình 1.35 b
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động haughtycool
Design By Học Phần I: Tĩnh học
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com TS. Trương Tích Thiện
PGS.

Chương 2: THU GỌN HỆ LỰC VÀ ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG
CỦA HỆ LỰC

2.1 Hai thành phần cơ bản của hệ lực


 Khảo sát hệ nhiều lực Fj ; j  1, n . Mọi hệ nhiều lực
luôn có hai thành phần cơ bản được định nghĩa như sau:

2.1.1. Vector chính của hệ lực
2.1.1.1. Định nghĩa

Vector chính của một hệ nhiều lực là vector tổng của tất cả
các vector lực trong hệ.

 Nó được ký hiệu và xác định như sau:

CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động haughtycool
Design By Học Phần I: Tĩnh học
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com TS. Trương Tích Thiện
PGS.

 n

 Rx   Fjx
j 1

 n n

R   Fj   R   Fjy
y
j 1 j 1

 n

 Rz   Fjz
 j 1


2.1.1.2. Tính chất của vector chính

 Đối với một hệ lực đã cho vector chính của hệ lực ấy là
một vector hằng. Đây được gọi là bất biến thứ nhất của
hệ lực.
  
R  const
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động haughtycool
Design By Học Phần I: Tĩnh học
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com TS. Trương Tích Thiện
PGS.

 Vector chính của hệ lực là một vector tự do. Nghĩa là
vector chính của hệ lực có thể được đặt tại một vị trí tùy ý
trong không gian.

2.1.2. Moment chính của hệ lực đối với một tâm

2.1.2.1. Định nghĩa

Moment chính của hệ lực đối với tâm O là một đại lượng
vector, bằng tổng các vector moment của các lực trong hệ
lực lấy đối với cùng tâm O ấy.

 Nó được xác định và ký hiệu như sau:




CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động haughtycool
Design By Học Phần I: Tĩnh học
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com TS. Trương Tích Thiện
PGS.


 n


 M Ox   M x Fj
 j1

 n  
 n

 
MO   MO Fj   M Oy   M y Fj

j1 j1


 n


 M Oz   M z Fj

 j1



2.1.2.2. Tính chất của moment chính

 Tính chất 1: Moment chính của hệ lực đối với một tâm
không phải là vector hằng và sẽ phụ thuộc vào vị trí của
tâm O ấy.


CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động haughtycool
Design By Học Phần I: Tĩnh học
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com TS. Trương Tích Thiện
PGS.

 Tính chất 2: Hình chiếu vuông góc của vector moment
chính hệ lực đối với một tâm O lên phương của vector
chính của hệ lực ấy là một hằng số với mọi tâm O trong
không gian. Đây được gọi là bất biến thứ hai của hệ lực
(hình 2.1).

hcR ( M O )  const , O  R3




M O1
R
hcR ( MO2 )



R
O2
 

hcR ( MO1 )  hcR ( M O2 )
 
O1 MO2
b)
a) Hình 2.1
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động haughtycool
Design By Học Phần I: Tĩnh học
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com TS. Trương Tích Thiện
PGS.

2.2. Các định lý cơ bản của tĩnh học

2.2.1. Định lý ba lực. (định lý một chiều)
 Nếu vật rắn đã cân bằng dưới tác dụng của hệ ba lực
thì hệ ba lực ấy sẽ thỏa đồng thời hai điều kiện sau:
(hình 2.2)

 Đồng phẳng.

 Hoặc đồng quy
hoặc song song
trong mặt phẳng.


Hình 2.2
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động haughtycool
Design By Học Phần I: Tĩnh học
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com TS. Trương Tích Thiện
PGS.

 Chú ý: Định lý này là định lý một chiều nghĩa là nếu hệ 3
lực thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện như trên thì chưa
chắc hệ 3 lực ấy là hệ 3 lực cân bằng.

2.2.2 Định lý dời lực song song

Có thể di dời song song một lực đến một điểm đặt mới
nằm ngoài đường tác dụng của nó nếu trong quá trình di
dời song song ấy ta bổ sung vào lực ấy một moment bằng
moment của lực trước khi di dời lấy đối với điểm sẽ được
di dời đến. (hình 2.3),

  
  
~  F B ; MB F A  , B  R3
 
F
A




CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động haughtycool
Design By Học Phần I: Tĩnh học
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com TS. Trương Tích Thiện
PGS.


l 

F
A

 
 
F F
B A


A

B
 


MB F
A



Hình 2.3

CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động haughtycool
Design By Học Phần I: Tĩnh học
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com TS. Trương Tích Thiện
PGS.

2.2.3 Định lý thu gọn hệ nhiều lực về một tâm
Một hệ nhiều lực khi thu gọn về một tâm O tùy ý trong
không gian bao giờ ta cũng tương đương với một hệ mới
gồm hai vector cùng đặt tại tâm thu gọn O đã chọn. Đó là
hai thành phần cơ bản của hệ lực đối với tâm thu gọn ấy.
 
~ ( R, M O ) , O  R3

Fj
j 1,n


2.2.4 Định lý về hai hệ lực tương đương

Điều kiện cần và đủ để hai hệ lực tương đương với nhau là
khi thu gọn về một tâm tùy ý trong không gian các thành
phần thu gọn cơ bản cùng tên của chúng phải đồng loạt
bằng nhau:
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động haughtycool
Design By Học Phần I: Tĩnh học
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com TS. Trương Tích Thiện
PGS.

 

  
 RF  RQ
 ~  Qk    F  Q
Fj
M O  M O

j 1, n k 1, m


2.3. Điều kiện cân bằng của hệ lực

2.3.1. Điều kiện tổng quát

Điều kiện cần và đủ để một hệ nhiều lực cân bằng là cả hai
thành phần cơ bản của hệ lực ấy đối với tâm thu gọn O bất
kỳ trong không gian phải đồng loạt bị triệt tiêu.

 
 ~  ~f , O  R3
R, M O
Fj
j 1, n



CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động haughtycool
Design By Học Phần I: Tĩnh học
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com TS. Trương Tích Thiện
PGS.

  n
1

 Rx   Fjx  0

j 1
 

 n n

 2
R   Fj  0   R   Fjy  0
 y
j 1 j 1


 n
  3
 Rz   Fjz  0
 
 j 1


 n

  4
 M Ox   M x Fj  0
 j 1

 
n  
n
 
 M O   M O Fj  0   M Oy   M y Fj  0  5
 j 1 j 1

 
 n
  6
  M Oz   Mz Fj  0
 
 j 1

CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động haughtycool
Design By Học Phần I: Tĩnh học
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com TS. Trương Tích Thiện
PGS.

2.3.2 Trường hợp riêng
2.3.2.1. Hệ lực phẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy

Xét trường hợp n lực Fj cùng nằm trong một mặt phẳng.
Dựng hệ trục tọa độ Oxy nằm trong mặt phẳng của hệ lực.
(hình 2.4).
y 
F2
(1), (2), (6).

F1

 Chỉ cần thỏa (1), (2), (6’)

đối với hệ lực phẳng. Fn
d1
O x
Hình 2.4

CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động haughtycool
Design By Học Phần I: Tĩnh học
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com TS. Trương Tích Thiện
PGS.
 
n n
 6   Mz     6
Fj   M O F j  0
j 1 j 1
 

M O Fj   Fj  d j


 M O Fj  0 : Nếu lực Fj quay quanh O ngược chiều
kim đồng hồ và ngược lại.
2.3.2.2. Hệ lực song song với trục Y. y 
(xem hình 2.5)
 Fn
F1 

(2), (4), (6)
F2
x
O
z
Hình 2.5
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động haughtycool
Design By Học Phần I: Tĩnh học
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com TS. Trương Tích Thiện
PGS.

 Hệ lực song song y và đồng phẳng trong Oxy:


y
(2), (6).


 Hệ lực đồng trục y. (hình 3.3)




(2)




Hình 2.6

CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động haughtycool
Design By Học Phần I: Tĩnh học
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com TS. Trương Tích Thiện
PGS.

2.3.3. Hệ lực đồng quy. (hình 3.4)
y

(1), (2), (3)
F1

Hệ lực đồng quy
F2
phẳng trong mặt
phẳng Oxy:

 x
(1), (2)
O

z Fn

Hình 2.7
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động haughtycool
Design By Học Phần I: Tĩnh học
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com TS. Trương Tích Thiện
PGS.

2.4. Các dạng chuẩn (tối giản) của hệ lực

 Dựa vào 2 thành phần cơ bản của hệ lực khi thu gọn về
một tâm người ta sẽ phân các hệ lực ra làm 4 dạng tối
giản (dạng chuẩn).
 

2.4.1. Dạng chuẩn 1: R   0, M O  0 : hệ lực không gian
cân bằng.
 

2.4.2. Dạng chuẩn 2: R   0, M O  0 : hệ lực không gian
tương đương với một ngẫu lực và sẽ không bao giờ có hợp

lực, lúc này M O  const , O  R 3


2.4.3. Dạng chuẩn 3: R   0, R .M O  0 : hệ lực không gian
tương đương với 1 lực, tức hệ lực không gian có hợp lực.


CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động haughtycool
Design By Học Phần I: Tĩnh học
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com TS. Trương Tích Thiện
PGS.

 Trong trường hợp (2.4.3) hệ lực không gian có hợp lực,
ta có định lý sau:
 Định lý Varinhông:
Trong trường hợp hệ lực không gian có hợp lực thì moment
của hợp lực đối với một tâm bất kỳ bằng tổng moment của
các lực thành phần đối với tâm ấy.

 
n
mO ( R )   mO ( Fk )
k 1




2.4.3.1. Khi M O  0 : hợp lực của hệ lực R  R  và đặt tại O.
(hình 4.1)

R  R
O Hình 2.8
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động haughtycool
Design By Học Phần I: Tĩnh học
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com TS. Trương Tích Thiện
PGS.
  
2.4.3.2. Khi R   M O : hợp lực của hệ lực R  R  và đặt tại O*.
(hình 4.2) 

MO
R
 
 R   M

OO *  O

 R 2  R  R
O
MO
 d  OO* 
R d
O*
Hình 2.9
2.4.4. Dạng chuẩn 4: Hệ lực xoắn vít động

Khi R .M O  0 : hệ lực này không bao giờ có hợp lực.

CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động haughtycool
Design By Học Phần I: Tĩnh học
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com TS. Trương Tích Thiện
PGS.

2.5. Ma sát

2.5.1. Khái niệm
Ma sát là một hiện tượng tổng hợp (cơ học, điện học, nhiệt
học, hóa học, …), phản ánh sự cản trở chuyển động trượt
tương đối giữa hai bề mặt vật chất đang tiếp xúc với nhau.

N
2.5.2 Các loại ma sát


2.5.2.1. Ma sát trượt Q
Fmst

a.) Ma sát trượt tĩnh P
Xảy ra khi giữa hai vật tiếp xúc có xu hướng trượt nhưng
chưa trượt với nhau.
 Khảo sát vật rắn (A) tựa trên mặt phẳng ngang cố định.

 Vật rắn sẽ cân bằng dưới tác động của hệ hai lực:  P, N  ~ 0
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động haughtycool
Design By Học Phần I: Tĩnh học
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com TS. Trương Tích Thiện
PGS.

Lúc này chưa xuất hiện lực ma sát.
 Tác động lên vật (A) một lực kéo Q.
 Khi lực kéo Q Qgh thì vật sẽ trượt. Lúc này lực ma sát cản
trượt trên bề mặt tiếp xúc sẽ có độ lớn được xác định theo
định luật ma sát trượt động như sau:
Fmsđ  f đ . N

 Với fđ là hệ số ma sát trượt động: f t  f đ (khi kéo vật sẽ
nhẹ hơn lúc vật tĩnh).

CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động haughtycool
Design By Học Phần I: Tĩnh học
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com TS. Trương Tích Thiện
PGS.

2.5.2.2. Ma sát lăn

Khảo sát một hình trụ
tròn đặc, đặt trên mặt

phẳng nằm ngang.
N
Hình trụ sẽ cân bằng
dưới tác dụng của 2 lực O
N và P. (hình 5.1)

R

P
Hình 2.10


CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động haughtycool
Design By Học Phần I: Tĩnh học
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com TS. Trương Tích Thiện
PGS.

 Tác động thêm lên vật này một lực đẩy Q. Lực này tác
động tại tâm của hình trụ và làm cho vật lăn về phía
trước. (hình 5.2)


 Khi Q 0 thì hệ không luôn cân bằng với mọi loại tải.
Vậy hệ luôn cân bằng với mọi loại tải tác động vì dofhệ = 0
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

b. Xác định các phản lực của các liên kết ngoại.
 Khảo sát sự cân bằng của toàn hệ (hình 2).
 Tự do hoá hệ (bỏ hết các liên kết ngoại):
y 

YD = 0
P2
YD 
 
XD
XD P1
C
D


YA

 x
B
A XA
Hình 2
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 Viết các phương trình cân bằng cho hệ lực:
 F  X  P  X  0 1
 jx A D
1

 2
 Fjy  YA  P2  0


  3
 MA Fj  P2 .  P1.  XD .  0

 Giải hệ (1), (2), (3) ta nhận được:
(2) YA = P2 > 0
(3) XD = – (P1 + P2) < 0
(1) XA = – P1 – XD = – P1 – [–(P1 + P2)] = P2 > 0
 Do XD < 0 nên chiều đúng của XD ngược chiều đã chọn.
c. Dùng phương pháp tách nút:
Để tính được ứng lực tác động lên các thanh trong hệ giàn thông
thường người ta dùng phương pháp tách nút.
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

Nghĩa là tách riêng từng nút trong hệ giàn để khảo sát sự cân
bằng của nút đó.

 Ứng lực tác dụng lên thanh CD – thanh (hình 3)
 S C ,

XD
Hình 3a
 SC, = XD  SC, = (P1 + P2)
y
P2


S,C
P1
 Khảo sát sự cân
x
bằng của nút C
450
C.(hình 3b)
 
S,C S,C
Hình 3b
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 2
Fjx  P1  S,C  S,C  0
 2
Ta có: 
F  P  S  S  2  0
,C ,C
 jy 2
 2
S,C  (P1  S,C )  2  P1  (P1  P2 )  2   2P2

 2 2
S,C  (P2  S,C  )  P2  ( 2P2 )  0
 2 2
 Ứng lực tác dụng lên  & :

SC ,


SA ,
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

 S A ,  SC,  S,C  2.P2

 Khảo sát sự cân bằng nút B (hình 4).
y

A B

S,B B
x
Hình 4
Ta có:

 Fjx  S,B  0  S,B  0

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com


Bài 2.
Cho cơ hệ như hình vẽ (hình 1). Cho: q, , .
a. Hệ đã cho có luôn cân bằng với mọi loại tải tác động hay
không? Tại sao?
b. Hãy xác định các phản lực liên kết tại A và C?


M=q2
q

C
A B


 


Hình 1
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
BÀI SỬA
2
a. dofhe  3  n   Rlk
ˆ j
 j1

 3.1   2  1  0
Vậy hệ luôn cân với mọi loại tải tác động vì dofhệ ≤ 0.
b. Xác định các pllk tại A và C.
 Khảo sát sự cân bằng của thanh ABC.
d
 Tự do hóa thanh ABC (hình 2):
 
y 
q Q NC
2
M=q

 YA 
XA
 x
B C
A XA NC

2 Hình 2
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
Q  q. d  AC.cos   2  cos 
 Viết các phương trình cân bằng cho hệ lực tác động:

1
 Fjx  X A  NC .sin   0

 2
 Fjy  YA  Q  NC .cos   0

 

  3
 MA Fj  Q  2  M  NC  d  0

 Giải hệ phương trình (1), (2), (3) ta thu được các kết quả:
 q
 3  NC  0
Các kết quả NC < 0 và XA < 0
4cos 
chứng tỏ các chiều đúng của
q 
1  X A  tg  0 2 phản lực này ngược với
4
các chiều đã chọn cho chúng.
5
 2   YA  q  0
4
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com


Bài 3
Cho cơ hệ như hình vẽ (hình 1). Cho: q, , .
a. Hệ đã cho có luôn cân bằng với mọi tải tác động không? Tại
sao?
b. Tìm điều kiện của moment M để hệ cân bằng.
c. Hãy xác định các phản lực liên kết tại A và C ứng với 2 trường
hợp của moment M như sau:
c.1 M = q2
c.2 M = 2q2


Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
P  q
D

2
B
q C


M
 

 E

A

Hình 1
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

BÀI SỬA
3
R lk
j
a. d o fh e  3 .n 
ˆ
 j1
n  2
3

R lk  3  0,5  2  5,5
 j
 j1
 dofhe  0,5  0
ˆ



Vậy hệ không luôn cân bằng với mọi loại tải vì dofhệ > 0.

b. Điều kiện để hệ cân bằng là thanh DE phải cân bằng hay thanh
DE phải tựa vào C. Nghĩa là NC > 0.

 Khảo sát sự cân bằng của thanh DE (Hình 2).
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

y

P
D K

NC
3 C
EK   H

2
 3
 M
 ME F  P.   NC .CE  M  0
 
2
YE
d

EH
Vôùi : CE  
sin  sin 
32
q  M 
E x
 NC  2 XE
CE
Hình 2
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com


 Điều kiện để hệ cân bằng là thanh DE phải cân bằng. Nghĩa là
liên kết tựa tại C phải tồn tại hay NC > 0 hay:
32 32
q  M  0  q  M (1)
2 2
c. Xác định các phản lực liên kết tại A và C ứng với 2 trường hợp của
moment M:

c.1 M = q2: điều kiện (1) thoả  NC >0  Hệ cân bằng.
1
NC  q.sin 
q2
Thay M = vào công thức tính NC, ta có:
2
 Khảo sát sự cân bằng của khung ABC (Hình 3).

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

y
N  NCx  NC .sin 
Cx
B
q
C


N N  NCy  NC .cos 
Cy
C
Q  q 

YA
MA
2


 x
A XA
XA

Hình 3

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com


 Fjx  X A  Q  NC sin   0

 Fjy  YA  NC cos   0

 


 MA Fj  MA  Q. 2  (NC sin  ).  (NC cos  ).  0

1
 X A  NC sin   Q  q sin 2   q  0
2
1
 YA  NC cos   q sin 2  0
4
q 2 q 2 1
1
(1  sin2  sin 2  )  ( sin2  cos 2  )  0
 MA 
2 2 22
Vì XA < 0 nên chiều đúng của XA ngược chiều đã chọn.

M = 2q2  Điều kiện (1) không thỏa nên hệ không cân
c.2
bằng  NC = 0 !!!Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com


Khảo sát lại sự cân bằng của khung ABC với N’C = NC = 0, ta có:

  Fjx  X A  Q  0

 Fjy  YA  0

 


 MA Fj  MA  Q. 2  0


  X A   q
Y  0
A
 2
M  q
A
 2

Vì XA < 0 nên chiều đúng của XA ngược chiều đã chọn.
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

Bài 4
OA  
(hình 1)
Cho  0
  30 ; M

a. Hệ đã cho có luôn cân bằng với mọi loại tải hay không? Tại
sao?
b. Tìm điều kiện của lực P để cho hệ cân bằng?
c. Xác định phản lực liên kết của khớp trượt B lên con trượt B,
phản lực của thanh AB lên con trượt B, phản lực của thanh AB
và khớp bản lề O lên thanh OA.


Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
A

M
 3

 
O P
B
Hình 1
BÀI SỬA
a. Tính bậc tự do:

dofhe  3n   Rlk  3  3  8  1
ˆ

n  3

Vôùi : 
Rlk  2  2  2  2  8


Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

Vậy hệ không luôn cân bằng với mọi loại tải tác động vì dofhệ > 0.

b. Dùng phương pháp tách vật.
Thanh AB là 1 liên kết thanh trong hệ.
 Khảo sát sự cân bằng của thanh OA (hình 2).
y
* Tự do hoá thanh OA.
A


* Thiết lập phương trình
 R,
cân bằng cho thanh OA. M

 d
YO
d    cos 
 O x
XO
Hình 2
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

Ta coù :

 Fx   XO  R, cos   0

 Fy  YO  R, sin   0
 

 
 MA F  M  XO    0 hay  MO Fj  M  R,  d  0


M

 XO    0

M

 R,  0
 cos 

M

 YO   tan   0



Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

 Khảo sát sự cân bằng của thanh AB (hình 3).
 Tự do hoá thanh AB.

R, A



B

 Fx  R,  R,  0
R,
M
 R,  R,  R,  0
 cos  x
Hình 3
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

 Khảo sát sự cân bằng của con trượt B.(hình 4)
 Tự do hoá con trượt B:

Ta coù :
y

 Fx  P  R, cos   0  
R,
 MB
 Fy  NB  R, sin   0

 

 MB F  MB  0 B
 
x
P


NB
MB  0

M

 NB  tan   0 Hình 4


M

P    0
 Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

c. Xác định:

 Phản lực của khớp trượt B tác dụng lên con trượt B là:
MB  0

M

NB   tan 

 Phản lực của thanh AB tác dụng lên con trượt B là:
M
R,  R,  R,

 cos 
 Phản lực của thanh AB tác dụng lên thanh OA là:

M
R,  R, 
 cos 
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com


 Phản lực của khớp bản lề cố định O tác dụng lên thanh OA là:


M

 XO  


 Y  M tan 
O 





Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com



Bài 5/

Cho 2 hệ lực cùng tác động lên 1 hình lập phương có chiều dài 1

đơn vị như hình vẽ.

a. Các hệ lực đã cho có tương đương với nhau hay không?

b. Hệ lực nào có hợp lực?

c. Tìm điểm đặt cho hợp lực của hệ lực có hợp lực?




Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

z
z  
 


F2
A
A1 2
 M1
 
F2
M1 F1

M2
O O
A1 y
y 

A 
2

x x M2
F1

Hệ lực 1 Hệ lực 2

 Định lý:
 Điều kiện cần và đủ để hệ lực 1 tương đương với hệ lực 2 là khi
thu gọn về cùng 1 tâm tuỳ ý, ta sẽ có:
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com


 Véctơ chính của hệ lực 1 bằng vợi véctơ chính của hệ lực 2.



 Véctơ mômen chính của hệ lực 1 bằng với véctơ mômen chính
của hệ lực 2.


Thu goïn :
 
  R  R

       
Fj Fk
MO  MO , O  
  3

j1,n k 1,m




Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
z
BÀI SỬA z  

 
A 
F2
A
1 2
 M1
 F2 
M1 F1

M2
O O
y
A1 y

A
 2

x x
Hệ lực 1 F1 M2
Hệ lực 2
 
 A1   0,0,1 A 2   0,1, 0 
 Thu gọn:
  
 Hệ lực 1:  F1  1,1, 1 ; F2  1,0,1
  
M1   0, 1,0  M2   0, 0, 1
 A1   0,1, 0  A 2   0,0,1
  
 F1  1, 1,1 ; F2  1,1, 0 
 Hệ lực 2:
  
M1 Design By 
  1,1,1haughtycool2  1,1, 1
M
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

 Hai thành phần thu gọn của hệ lực (1):
 2
 R   Fj   2,1,0 

j1

  2   2


 MO   MO Fj   Mk 
j1 k 1

     

F1  OA1  F1   1,1,0  
MO
 MO   0, 0, 2 
      

F2  OA 2  F2  1,0, 1
MO

 Hai thành phần thu gọn của hệ lực (2):
 2
 R   Fj   2, 0,1

j1
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

  2   2


 MO   MO Fj   Mk 
j1 k 1

      

F1  OA1  F1  1, 0, 1 
MO
 MO   0,3, 1
      

F2  OA 2  F2   1,1,0 
MO
 
không tương đương hệ 
a. Vì R  R nên hệ 



b. Hệ lực  :
 
R  0

  
R  MO  2.0  1.0  0.(2)  0


 hợp lực.
Vậy hệ lực có
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

 Hệ lực (2):
 
R  0

 
R  MO  1  0


Vậy hệ lực  không có hợp lực: vì hệ lực  là loại hệ lực xoắn vít
động. Hệ lực này không bao giờ có hợp lực.

c. Xác định điểm đặt O* cho hợp lực của hệ lực (1).

 Công thức tính toạ độ cho điểm đặt O* như sau:
 

  2, 4, 0 

R  MO  24 
OO *      ; ;0 
2
R  5  55 

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com


 24 
 O*    ; ;0 
 55 




Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

BÀI TẬP MA SÁT.

Bài 6 /
a. Cho cơ hệ như hình vẽ 1. Tìm điều kiện để cho vật không trượt
trên mặt nghiêng?

b. Cho cơ hệ như hình 2. Xác định lực căng của nhánh dây AB ứng với
2 trường hợp:

3 3
ft  ft 
0,577 0,577
b1. Cho : b2. Cho :
3 3
  30o   30o

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com


( ft : hệ số ma sát trượt tĩnh giữa vật và mặt nghiêng)



B
dây
A


 
P P
 


Hình 1 Hình 2


Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

BÀI SỬA

a. Khảo sát sự cân bằng của vật A (hình 1a).

N
y
 Fx  Fmst  P.sin   0 x

 Fy  N  P.cos   0 Fmst

Fmst  P.sin 
 
N  P cos  P
 Điều kiện để vật không trượt: Hình 1a
Fmst  Fmstgh  ft .N  P.sin   ft  P.cos 

   arctan  ft 
 tan  ft

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

3
b1.   30o  tan   tan30  Hình 2b,c 
 ft

3  TA
N
y
Thoả mãn Vậy ma sát đủ sức x
để giữ vật cân bằng.
Fmstgh
Do đó, lực căng dây: TA = 0

3
o
P
b2.   30  tan   tan30   ft
3 Hình 2a
 Ma sát không đủ sức để giữ vật cân bằng. Lực căng dây sẽ tồn
tại làm vật mất khả năng trượt. Lúc này:

F  TA  P sin   Fmstgh  0;  Fjy  N  Pcos  0
jx

N  P cos  ; TA  P sin   Fmstgh  P sin   ftN  P(sin   ft cos  )
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com


Bài 7/
Cho cơ hệ như hình vẽ (Hình 1). Biết: PA = PB = P; R = 2r; ft; . Bỏ
qua ma sát và trọng lượng con lăn. Dây mềm không dãn có khối
lượng rất bé.
a. Tìm điều kiện để con lăn không trượt trên mặt nghiêng?
b. Ứng với điều kiện đó, hãy xác định các thành phần phản lực tại
tiếp điểm I và lực căng của nhánh dây DE?




Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com


daây
E

y 
TA

RD
r
x

C NI

Fmst
I
dA
 dB


  Hình 1
PA PB
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

BÀI SỬA

a. Khảo sát sự cân bằng .
1
F  Fmst  TD  PA sin   P sin   0
x


 NI  PA  PB  .cos   0  2
Fy


 PA  r  R.sin    PB R  R sin    TD .2R  0  3
M I


P P
Töø  3  TD  1  2sin    2 1  sin      4sin   1
4 4

P 1

Töø 1  Fmst  2P sin    4sin   1  P  sin   
4 4


 2 
Töø NI  2P.cos 
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

 Điều kiện để vật không trượt là:

Fmst  Fmstgh  ft  N

1

 P  sin     ft  2P cos 
4

1
sin  
4 f
 t
2cos 

b. Các thành phần phản lực tại I:

NI  2P cos 

1
 
Fmst  P  sin   
 4


Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

 Lực căng nhánh dây DE.

P
TD   4sin   1
4
 Chú ý: Điều kiện để dây không bị chùng là:

TD  0  4sin   1  0
1
 sin  
4




Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com




Bài 8.
Cho cơ hệ như hình vẽ (hình 1). Cho: q, .
a. Hệ đã cho có luôn cân bằng với mọi tải tác động không? Tại
sao?
b. Hãy xác định các phản lực liên kết tại A, C và E.




Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com



C
B
q


M  q 2
P  q

 D


E
A


Hình 1

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

BÀI SỬA

a. Tính bậc tự do của hệ:
3
R lk
j
d o fh e  3 .n 
ˆ
 j 1

n  2
3

R lk  2  2  2  6
 j
 j1
 dofhe  3.2  6  0
ˆ


Vậy hệ luôn cân bằng với mọi loại tải vì dofhệ ≤ 0!

b. Xác định các phản lực liên kết trong hệ.
* Khảo sát sự cân bằng của khung phẳng ABC.
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
+ Tự do hóa khung phẳng ABC (hình 2a).
VC
HC H  HC
B
q C C

C

M
P  q
Q  q 
VC  VC

 D

y y
/2 VE
HA x HE x
X
A  E

VA
a) b)
Hình 2
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
+ Viết các phương trình cân bằng:

F  HA  Q  HC  0 (1)
jx

F  VA  P  VC  0 (2)
jy
 

 MA Fj  Q   P    HC    VC    0 (3)
2
* Khảo sát sự cân bằng của thanh thẳng CDE.
+ Tự do hóa thanh thẳng CDE (hình 2b).
+ Viết các phương trình cân bằng:

F  H  HE  0 (4)
jx C

F 
  VC  VE  0 (5)
jy


 ME Fj  M  H    VC    0 (6)

C


Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

* Giải hệ (1), (2), (3), (4), (5), (6) ta thu được:
 q
(3)  (6) : Q   P    M  2  VC    0  VC  0
2 4
5
(6)  HC  q  0
4
1
(1)  HA  Q  HC   q  0
4
3
(2)  VA  P  VC  q  0
4
5
(4)  HE  HC  q  0
4
1
(5)  VE  VC  q  0
4

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com



Bài 9/

Cho 1 cơ hệ như hình vẽ (hình 1).
P2
Cho biết: , P1, P2.
a. Hệ đã cho có luôn cân bằng với D 
mọi loại tải tác động không? Tại
C
sao?
b. Nếu hệ cân bằng, hãy xác định 


các phản lực liên kết của các liên

kết ngoại. P1
c. Hãy xác định các ứng lực tác B

A
động lên các thanh thẳng (1), 
(2) và (4) trong hệ.
Hình 1

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
BÀI SỬA
a. Tính bậc tự do của hệ:
Ta có 1 ngàm phẳng tại D, 1 khớp bản lề ngoại trượt tại A và 4
khớp bản lề nội. 4

lk
dofheâ  3  n   R j 
 j1


  dofheäâ  3  4  12  0
n4

 
ta coù  4 lk
 R j  1 3  11  4  2  12 

 j1 
Lý thuyết:
+ Nếu dofhệ ≤ 0 thì hệ luôn cân bằng với mọi loại tải tác động.
+ Nếu dofhệ > 0 thì hệ không luôn cân bằng với mọi loại tải.
Vậy hệ luôn cân bằng với mọi loại tải tác động vì dofhệ = 0
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
b. Xác định các phản lực của các liên kết ngoại.
Hệ đã cho không phải là giàn phẳng vì thanh ➂ có liên kết ngàm
(thanh ➂ được gọi là dầm). Đây là hệ dầm-giàn kết hợp!
* Khảo sát sự cân bằng của nhóm giàn phẳng ABC (hình 2).
 Tự do hóa nhóm giàn phẳng ABC:

 P2
YC 
y XC
C


 
XA P1
x
B
A
Design By Hình 2
haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 Viết các phương trình cân bằng cho hệ lực:
 F   X  P  X  0 1
jx A C
1


 2
 Fjy  YC  P2  0


  3
 MC Fj  P1.  X A .  0

 Giải hệ (1), (2), (3) ta nhận được:
(2) YC = P2 > 0
(3) XA = P1 > 0
(1) XC = – P1 + XA = 0
* Khảo sát sự cân bằng của dầm DC (hình 3).
 Tự do hóa dầm DC:
 Viết các phương trình cân bằng cho hệ lực:
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

y
YD
 F  X  0  4 
jx D

x
 D
 5
 Fjy  YD  YC  0


 C
 XD
 MD Fj  MD  YC .  0  6 
 MD  
 Giải hệ (4), (5), (6) ta nhận được: 
YC   YC
Hình 3
(4) XD = 0
(5) YD = YC = P2 > 0
(6) MD = YC = P2 > 0
c. Dùng phương pháp tách nút:
Để tính được ứng lực tác động lên các thanh trong hệ giàn thông
thường người ta dùng phương pháp tách nút. Nghĩa là tách riêng
từng nút trong hệ giàn để khảo sát sự cân bằng của nút đó.
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
y 
* Khảo sát sự cân bằng của nút C (hình 4). YC P2
 Tự do hóa nút C:
 Viết các phương trình cân bằng cho hệ lực: x
C
450
 2
7
 Fjx  S4,C  0

 2 
S,C
 S,C
 F  Y  P  S  S  2  0
8 
 jy C 2,C 4 ,C
2
Hình 4
 2
 Giải hệ (7), (8) ta nhận được:

(7), (8)  S2,C = S4,C = 0

 Ứng lực tác dụng lên  &  (hình 5): 

Hình 5
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

* Khảo sát sự cân bằng nút B.
 Tự do hóa nút B (hình 6).
 Viết phương trình cân bằng cho hệ lực:
9
 Fjx  P1  S1,B  0

 Giải phương trình (9) ta có: S1,B = P1 > 0.
 Ứng lực tác dụng lên ➀ (hình 7):
y
   
 S A ,  SB, SB,  S,B


S,B P1
B
Hình 7
x
Hình 6
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com


Phần II: Động Học


Bài 1/
D
Cho cơ hệ như hình vẽ. Biết: u, v,


M
, a, DM =  < a. C
 u

Hãy phân tích chuyển động phức
N
hợp của các điểm: M và N. Xác
b
định gia tốc Coriolis của các điểm:

M và N. v
A
a
B
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

BÀI SỬA

 Phân tích chuyển động phức hợp của điểm M và N:

 Chuyển động kéo theo: Quay cùng với khung quanh trục AD cố

định với vận tốc góc . Do đó:
  
 e  khung  


 Chuyển động tương đối: là chuyển động thẳng điểm M dọc
cạnh DC, và chuyển động thẳng điểm N dọc cạnh CB. Do đó:
M 
v r  u

 N 
v r  v

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

M

 Xác định gia tốc Coriolis của điểm M: aC

M  M  aM
a C  2  e  v r   2    u  C
D

  
aM  mp  , u   mp  ABCD  M C
 u
C
 M 
 
 chieàu aC : RHR
 M
aC  2 .u.sin 90o   2..u N


b

N
 Xác định gia tốc Coriolis của điểm N: aC A v
N  N  a
aC  2  e  v r   2   v 
B
N 
N
Vì aC  2..v.sin180o  0  aC  0

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com


Bài 2/
Cho một đường tròn bán kính R
B
quay quanh đường kính AB cố
M
H
định với vận tốc góc . Điểm M
 
 u
chuyển động dọc trên đường tròn
 
u
O
ấy với vận tốc . Biết R, , u, .
a.Hãy xác định vector gia tốc
Coriolis của điểm M.
A
b.Tìm vị trí điểm M trên đường
tròn để M M
Hình 1
aC aC
;
max min
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
BÀI SỬA
a.Phân tích chuyển động phức hợp điểm M.
y
 Chuyển động kéo theo: quay cùng với
đường tròn quanh đường kính cố
M
B
ac
định AB, với vận tốc góc . Do đó: e
H
  M
e   M 
= .
vr  u

O
 Chuyển động tương đối: chuyển động
x
của điểm M theo quỹ đạo là đường
tròn đường kính AB với vận tốc u. Do A
đó: vrM = u.
Hình 2
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
M
• Xác định aC :
M  M  M
a C  2  e  v r   2    u   
ac
e  
M 
aC  mp  , u 
 M
 M
 chieàu aC : RHR
 M
 aC  2 .u. sin   M 
 vr  u
b. Xác định điểm M:
  00
M
aC  sin   0 
 0
  1800
min



  90o
M
aC  2..u
  sin   1 
  270o
max


Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com


Bài 3/


Cho một cơ hệ như hình vẽ (hình1). Cho: R,  = 300.
a. Tam giác A được giữ cố định. Đĩa B lăn không trượt trên mặt

 t
6
nghiêng với phương trình chuyển động: . Hãy xác định
vector vận tốc và vector gia tốc tuyệt đối của điểm C trên vành
ngoài của đĩa (BC song song với cạnh huyền của tam giác A)?

b. Trong lúc đĩa B đang lăn thì tam giác A trượt theo phương
ngang với quy luật: x=vot (v0 = const). Hãy xác định vector vận tốc
và vector gia tốc tuyệt đối của tâm B đĩa?
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com


  t ;  rad
6
C
B
B 
va  vr
R y
A


x
x

Hình 1

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
BÀI SỬA
a)
 Bài toán vận tốc:
Vì đĩa lăn không trượt trên dốc cố định nên đĩa chuyển động song
phẳng với tâm vận tốc tức thời là tiếp điểm P (hình 2).
C
B
 1

    s  const va 
  t ; rad 
6
6


     0 s 2 
C

B
B
 v a  R.  R  const  B  BP  B
 B 

6 va  v  vr
Ta coù : v a  const
R
Vậy điểm B chuyển P
A  y
động thẳng đều. vA

B

 aa  0
x
Design By haughtycool
Hình 2
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com



v C  v C .cos  0,715R
2.  ax a
C
v a  PC.  2.R.  R  C
v ay  v C .sin  0,192 R
6 
 a

 C
C y
C
 v a  v ax . i  v ay . j C
  va
 
R 0, 715 i  0,192 j
  45    15
x
C 
 Bài toán gia tốc (hình3).
 C  CB
a a  an
• Chọn điểm B làm cực để
tính gia tốc điểm C:
 C  B  CB  CB P
aa  aa  a  a
 CB  CB  CB
 a  a n  a n 
Hình 3
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

CB
a   .BC  0 m / s 2
Vôùi : 2
 
CB
an   2 .BC    .R 0, 27.R
6
aC  aC  cos  0, 234.R
 ax a
 C
aay  aC  sin  0,135.R

 a

 C  
C
 
C
 aa  aax . i  aay . j R 0,234. i  0,135. j

b. Tam giác A chuyển động tịnh tiến thẳng theo phương ngang với
quy luật:
 

A

A
x  v o t  v a  x  v o  const  v a  v o i  const
A A 

a v 0
a a
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

 Phân tích chuyển động phức hợp của tâm B:
• Chuyển động kéo theo: tịnh tiến cùng với tam giác A.
• Chuyển động tương đối: lăn không trượt trên mặt nghiêng tam
giác A.

 Bài toán vận tốc (hình 4).
B B B
va  ve  vr
 B  B  A B
v e  v a  v a  v e  v 0  const
Vôùi   BP B
B
v r  v  v r  R.  const
 B  B  B  A  BP
 v a  v e  vr  v a  v


Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

B  A
ve  va
B


B

va
 B  BP
vr  v
P

Hình 4
B
( v a ) 2  ( v BP ) 2  2  v a  v BP  cos 
A A
va 

 ( v a ) 2  ( v BP ) 2  2  v a  v BP  cos 
A A



v o 2  R 2 2  3R   v o



Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

B 3
A BP
v ax  v a  v .cos   v o  R.
 2

vB  v BP .sin    1 R
 ay
 2

 1 
B  3
 va   vo  R  i  R. j
2 2
 
 Bài toán gia tốc.
 B  B  A 
ae  aa  aa  0
B B 
B B B B 
Vôùi ar  v r  0
a a  a e  ar  aC
 
B  B
aC  2 e  v r   0, e  0
B 
 aa  0
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com


Bài 4/

Cho cơ hệ như hình vẽ (hình 1). Biết:

O1A // O2B ; O1A= O2B =  = 0,4 m ;  = 300 ; O1AO2B là hình chữ

nhật ; 1 =1s-1 ; 1 = 1s-2

a.Hãy phân tích chuyển động của các vật rắn trong hệ.

b.Xác định vận tốc góc của vật rắn 2 và vật rắn 3.

c.Xác định gia tốc góc của vật rắn 2 và vật rắn 3.


Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com



B
O1 

1

 

1


O2
A


Hình 1


Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

BÀI SỬA
a. Phân tích:
 Tay quay O1A quay nhanh dần, theo chiều kim đồng hồ quanh
tâm O1 cố định.
y
 Thanh truyền AB chuyển B
x B
va
động song phẳng trong mặt O

1

phẳng hình vẽ.
1
 Thanh O2B chuyển

2 
1
động quay quanh

A
tâm O2 cố định. va 
b. Bài toán vận tốc. A O2
Hình 2
(Hình 2) Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

 Vận tốc điểm A thuộc
vật 1:
 s
v a  O1A.1  0, 4 m
A




 Phương của vector vận tốc điểm B phải vuông góc với bán kính
O2B.
B
v a  O 2B
 Tâm vận tốc tức thời của thanh AB: P  . Thanh AB tịnh tiến
B  A
tức thời.
v a  v a


  AB  0 s1


 Vận tốc góc của thanh O2B:
vB A
va
B
 1  1s1
 2  a 
v  O2B.2
a
O 2B 
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
c. Bài toán gia tốc. (Hình 3)
y
 BA
 Gia tốc điểm A thuộc

a 
thanh O1A:
A A A x B
aa  a  an O1 B

a
Vôùi  BA   BA
an aB a
 s
aA  O1A.1  0, 4 m n
A 3
2
an
 0, 4  m 
A
an  O1A.12 2
s
O2
A
2
 Chọn A làm cực để tính a A
Hình 3
gia tốc điểm B thuộc
thanh AB.
 B  A  BA A A  BA  BA
aa  aa  a   a  an    a  an  , (1)
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

B B B
 2
Mặt khác: aa  a  an

 Đồng nhất hai phương trình (1) và (2) ta có:
B B A A  BA  BA
a  a n   a  a n 
a an
(*)  


 


 

Phương
 O1A  AO1  AB  BA
 O2B  BO 2
chiều
2 2
2 .O 2B AB .AB

 

Độ lớn ? ?
0,4m/s2 0,4m/s2
0,4 m / s2 0



 Chiếu (*) lên trục (y):
0  0, 4   0  0, 4    a .cos  
BA


Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

0,8

 0,92 m 2  0
BA
a 

s
cos 

 Ngược chiều.
 Gia tốc góc thanh AB:
BA
a   AB .AB

O1A
AB   0,8 m
sin 
BA
a 0,92
 1,15(s 2 )
  AB  3  
AB 0,8
 Chiếu (*) lên AB:
B
a .cos   0, 4.sin    0, 4.cos   0, 4.sin    0
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com


 s 0
 a  0, 4  0,8.tan   0, 062 m
B
2


 chiều đã chọn đúng.

 Gia tốc góc thanh O2B:
B
a   2 .O2B
B
a 0,062
 0,155  s2 
 2 
O 2B 0, 4

Vì 2 nguợc chiều 2  O2B quay chậm dần.




Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com



Bài 5/

OA   ; ; 12  1
Cho một cơ hệ như hình vẽ (Hình 1). Biết:




a. Phân tích chuyển động của các vật rắn trong hệ ?

b. Xác định vận tốc góc của thanh AB và vận tốc của con trượt B?

c. Xác định gia tốc góc của thanh AB và gia tốc con trượt B?



Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com




A



 1
1



O
B
Hình 1


Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

BÀI SỬA

a. Phân tích chuyển động của các vật trong hệ:

 Tay quay OA chuyển động quay nhanh dần, ngược chiều quay
của kim đồng hồ quanh tâm O cố định.

 Thanh truyền AB chuyển động song phẳng trong mặt phẳng
hình vẽ.

 Con trượt B chuyển động tịnh tiến thẳng theo phương ngang.



b. Bài toán vận tốc (Hình 2).

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

y
A
va
A



1 


O B
x va B
Hình 2
A
 Vận tốc điểm A: v a  OA.1  .1
 Tâm vận tốc tức thời P của AB: P  
 thanh AB tịnh tiến tức thời.
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

AB  0s1
Vậy B  A
va  va

c. Bài toán gia tốc. (Hình 3)
A
a
A
A
an  AB
 BA
y  BA
an
1 a
B
 aa
B
O x aa B

Hình 3
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

 Gia tốc điểm A thuộc tay quay OA:
A A A
aa  a  an

aA  OA.1  .1
Với : A
an  OA.12  .1

 Chọn A làm cực để tính gia tốc điểm B.
 B  A  BA A A  BA  BA
a a  a a  a  a   a n   a   a n 
(1)



Phương
 OA  AO  AB  BA
//x
Chiều
2
AB.AB
. 1 .1
Độ lớn ? ? 

0


Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

 Chiếu (1) lên trục Oy:
0   0  .12   a .cos 
BA



.12
BA
a  0

cos 
BA
.12 / cos 
a
 12 .tan   1.tan 
  AB  

AB
sin 
 Chiếu (1) lên AB.

 aB .cos    .1.cos   .12 sin  
a


 aB    1  12 tan    .1 (1  tan  )
a

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com


  45o  aB  0
 Nếu a

 Con trượt B tịnh tiến thẳng, nhanh dần theo phương ngang
với chiều hướng sang trái.

 Nếu   45o  aB  0  Con trượt B tịnh tiến thẳng,
a

chậm dần theo phương ngang với chiều hướng sang trái.
B
 Chiều đã chọn cho aa sai. Chiều đúng ngược lại.


  45o  aB  0 m / s 2
 Nếu a

 Con trượt B tịnh tiến thẳng, đều theo phương ngang với chiều
hướng sang trái.
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com


Bài 6/
Cho một cơ hệ như hình vẽ: (Hình 1)
R1  2r2  R3  2r3  2r  1m
1  2  1 s1
1   2  1s2


a. Hãy phân tích chuyển động của các vật rắn trong hệ?
b. Xác định vận tốc góc của ròng rọc động 3, vận tốc của vật A?
c. Xác định gia tốc góc của ròng rọc động 3, và gia tốc của vật A?


Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
2  1
R1
r2
O2
O1 BD
1
 2  1

1
R3


E
C
r3 O3




Hình 1 A
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
BÀI SỬA
a. Phân tích:
 Ròng rọc 1 quay nhanh dần, ngược chiều quay kim đồng hồ,
quanh tâm O1 cố định.
 Ròng rọc 2 quay nhanh dần, ngược chiều quay kim đồng hồ,
quanh tâm O2 cố định.

 Ròng rọc hai tầng 3 chuyển động song phẳng.

 Vật A chuyển động tịnh tiến thẳng theo phương đứng.

b. Bài toán vận tốc.(Hình 2)
 Vận tốc điểm B:
 s
v B  R1.1  2r1.1  1 m
a

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

R1 B 1
va r
2
O2
O1 BD
1
D 1
va

1
R3
C
va
O3
E
C
r3
3 3
 O3 E
va va
Hình 2
A
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

 Vận tốc điểm C:
C B
va  va
Vì dây không dãn nên:

 Vận tốc điểm D:

 s
v D  r2 .2  0,5 m
a


 Vận tốc điểm O3:
 O3  D
Vì sợi dây không dãn nên: va  va

 Tâm vận tốc tức thời của ròng rọc hai tầng O3 là: P

Ta có:

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

C
va
v C  3 .PC
a
P O3 E
 O3
v a  3 .PO3
 C
 O3
3 va
vC
PC  O3
a
  O3 E
3 aa
PO3 v a va
E
aa
Hình 3
O
PC  PO3 v C  v a 3
 a O3

PO3 va
1 1

PO3  R3  (m) 0,33(m)

R3 1,5  3 3
  3 
PO3 0.5 PC  R3  PO3  2 0, 67(m)
 3


Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

 Vận tốc của điểm E:

2 5

E
v  PE.3  PO3  r3  .3   r  r  .3  r.3
a
3 3


v C R1.1 3
 1  1,5 (s1 )
Vôùi : 3  a 
PC 2 R 2
3
3
 Vận tốc của điểm A:
 A E
va  va
c. Bài toán gia tốc.

 Gia tốc điểm O3:

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

Quỹ đạo O3 là đường thẳng đứng.

dv O3

 a  r2 . 2  0, 5 m 2
v O3  vD  r2 .2  aO3
a a a
s
dt

Vì ròng rọc 2 quay nhanh dần nên điểm O3 chuyển động thẳng
đứng nhanh dần.
 Gia tốc góc của ròng rọc 3.

Vì ròng rọc 1 quay nhanh dần nên ròng rọc 3 cũng quay nhanh
dần.
3 3
  3   1  1,5(s2 )
3  1
2 2

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

 Gia tốc vật A:
A
dv a dE
  va 
A
aa 
dt dt
5 5
A
 a  r. 3  r.1
a
3 2


 1, 25 m 2
s




Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

Bài7/

Cho cơ hệ như hình vẽ:(hình 1)

  const
Cho:
OC  e ; R
Giả sử rằng cần A,B,C luôn tiếp xúc vào đĩa tròn.

a.Phân tích chuyển động của các vật rắn trong hệ. Phân tích

chuyển động phức hợp của điểm A thuộc cần ?

b.Xác định vận tốc của cần ?

c.Xác định gia tốc của cần ?
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

D




cần A B
A
cam y


O C x
e
R


Hình 1
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

BÀI SỬA

a. Phân tích chuyển động của các vật rắn trong hệ:
 Cam chuyển động quay đều quanh tam O cố định.

 Cần chuyển động tịnh tiến thẳng đứng.
 Phân tích chuyển động phức hợp của A thuộc cần:

 Chuyển động kéo theo: quay cùng với cam quanh tâm O cố
định.
 
 e  


 Chuyển động tương đối: trượt dọc trên bề mặt tròn của cam.

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

b. Bài toán vận tốc. (Hình 2)
A
aa

a
A
ve C
 Áp dụng định lí hợp vận va
CAx 
tốc của điểm chuyển ar
A

động phức hợp ta có thể
vr
  A
tính được véctơ vận tốc a e  an
của điểm A thuộc cần
R
như sau:
A  
va  ve  vr 
O C
e
2 2
OA  R  e
  A
 A  
ve  va  

Ta coù :   v e  v a    OA

A  cam 
Hình 2
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

 

 
 v e  mp  , OA

 Chiều v e định theo quy tắc :RHR (bàn tay phải ).
xác

v e  .OA.sin 90o  R 2  e 2 .

A  
1
va  v e  vr


Phương Chiều //y //x
 OA

R2  e 2 .
Độ lớn ? ?


Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

 Chiếu (1) lên trục (y):

R 2  e 2 .cos 
A
v a  v e .cos   .e
2 2
R e
A
 v a  e.  0

R
sin  
R2   2
Vôùi :
e
cos  
R2  e2

 Chiếu (1) lên trục (x): 0   v e .sin   v r
 v r  v e .sin 
v r  R.  0
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

c. Bài toán gia tốc.
 Áp dụng định li hợp gia tốc của điểm chuyển động phức hợp ta
có thể tính được gia tốc của điểm A thuộc cần như sau:

A   
a a  a e  ar  ac
 A*   
  A*  A*  A*  A*
 
a    OA *  0
Ta coù : ae  aa  a  an  an

Vôùi : ar / / x
  
a c  2  e  v r   2    v r 
 

ac  mp   v r   ac / / y


 Chieàu ac : RHR

 a  2..v
c r
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

A   
 2
a a  a e  ar  a c



 A *O
Phương Chiều //y //x  y

Độ lớn ? ? 2R 2
R2  e 2 . 2

 Chiếu (2) lên trục y:
R
A 2 2 2
 0  2R 2
a   R  e . .
a
R2  e2
A
 aa  R 2  0

Kết luận: Cam quay đều, cần đang tịnh tiến nhanh dần.
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

Bài 8/
Cho cơ hệ như hình vẽ (hình 1).

OA  R; OA  OB
Cho
  300 ; 12  1

a. Phân tích chuyển động của các vật rắn trong hệ.
b. Phân tích chuyển động phức hợp của điểm B thuộc thanh AC
khi lấy con lắc 3 làm hệ động. Viết biểu thức tính vận tốc, gia
tốc tuyệt đối của điểm B này?
c. Xác định vận tốc góc của thanh AC và của con lắc 3.
d. Xác định gia tốc góc của thanh AC và con lắc 3.
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

A

1 
B
O 




1
C



2  3

P Hình 1

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

BÀI SỬA
a. Phân tích chuyển động của các vật rắn trong hệ:
3
dofhe  3n   Rlk  3.3   2  2  2  2   1
ˆ j
 j 1

 Đĩa tròn O quay chậm dần, theo chiều kim đồng hồ quanh tâm
O cố định.

 Thanh truyền AC chuyển động song phẳng trong mặt phẳng
hình vẽ.
 Con lắc (3) quay quanh B cố định.

Do thanh AC và con lắc 3 luôn trùng nhau trong suốt quá trình
chuyển động nên 2 = 3 và 2 = 3!!!!
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
A
A A va
a
b. Phân tích 
 B2 A
A
1
chuyển động phức  an
an
B


của điểm B2 thuộc O  B2  B2
 B2 A
vr  va
a
thanh AC: (Hình 2)  B2
ar
 B2
 ac
1
 Chuyển động
kéo theo: quay
theo con lắc (3) 2  3

quanh tâm B.
P Hình 2
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

 Chuyển động tương đối: chuyển động thẳng dọc theo phương
 B2
 B2
v r  AC; ar  AC
đường thẳng AC. Ta có:
.
Biểu thức tính vận tốc tuyệt đối và gia tốc tuyệt đối của điểm B2
là:
  
 v B2  v B 2  v B2
a e r
  B2  B2  B2  B2
aa  ae  ar  aC

c. Bài toán vận tốc.
A
v a  OA.1  R.1

 Xác định vận tốc tuyệt đối B2
 B2  B2  B2
va  v e  vr
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

 B2  B*2  B3 
Vôùi : v e  v a  v a  0
 B2  B2
 va  vr

 Vận tốc góc của thanh AC:
 Chọn P làm cực cho bài toán vận tốc của AC.

R
Ta coù : AB 
sin 

AB R
 PA  
sin  sin 2 

AB R
 PB  
tg sin  .tg
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
A
va
A
v a  PA.2  2 
PA
R.1
 1.sin 2 
ˆ
Vay 2 
R

sin 2 

 Vận tốc của điểm B2.

R
v B2  PB.2  1.sin 2 
a
sin  .tg

 vB2  R1.cos 
a


 v B2  v B2  R1.cos 
r a



Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

 Vận tốc góc của con lắc (3).

 Vì thanh AC và con lắc (3) có liên kết tịnh tiến nội: nên chuyển
động quay của (3) giống hoàn toàn với thành phần chuyển
động quay của thanh AC , nghĩa là: 3  2
d. Bài toán gia tốc.

 Gia tốc điểm A:
A A A
aa  a  an

aA  OA.1  R.1

Vôùi :  A 2 2
an  OA.1  R.1


Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

 Chọn A làm cực để tính gia tốc điểm B2.
 B2  A  B2 A
aa  aa  a
A A  B2 A  B2 A
 (a  an )  (a  an )
 B2 A A  n
 aa   a  an    aBA  aBA  (1)
 B2
 Mặt khác ta có thể tính gia tốc aa theo định lý hợp gia tốc
trong chuyển động phức hợp:
 B2  B2  B 2  B2
a a  a e  ar  a C (2)
 B2  B*2  B3 
a e  aa  aa  0
 B2
Vôùi : ar  AC
 B2   B2   B2
  
aC  2   v r  2 3  v a
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

 Đồng nhất hai công thức (1) và (2):
     
a   
B A B A B B
A A
a a a a a , (3)
2 2 2 2
n n r C
 

 

 AB  AC
 OA //AC
 OA  BA
R12 2
23 .vB2
AB.2
R.1 ? ? a


R
2
12 .sin 4 
Vôùi : AB.  2
sin 
 R.12 .sin 3 

23 .v B2  21.sin 2  .R.1.cos 
a

 2R.12 .cos  .sin 2 

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

 Chiếu (3) lên PB:

(R1.sin   R.12 .cos  )   a  0   0  2R12 .cos  .sin 2 
BA



 a  R 1  sin   cos   2 cos  .sin 2  
BA


a

  2  BA
a  AB. 2
BA
AB

R.1  2 cos  .sin 2   sin   cos   sin 
Maø :  AB 
R

ˆ
Vay :  3   2



Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

Bài 9/
Cho cơ hệ như hình vẽ: (Hình1)

r1  2r2  2r ;

0
  30

r1
3 c
Cho 1  c
O2
1
2
O1 
3
1   c r2 A
2 OA
c



Hình 1
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com



a. Xác định bậc tự do của hệ?

 Phân tích chuyển động của các vật thuộc hệ?

b. Xác định vận tốc góc và gia tốc góc của bánh răng ➁?

c. Xác định vector vận tốc và vector gia tốc của điểm A.

d. Viết phương trình quỹ đạo của A thuộc bánh răng ➁?




Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

BÀI SỬA

a. Cơ hệ là hệ bánh răng vi sai. Bậc tự do của hệ:
dofhe  3n   Rlk  3.3   2.2  2  1  2  0
ˆ


 Cần O1O2 quay chậm dần quanh O1 cố định.

 Bánh răng trung tâm O1 quay chậm dần quanh tâm O1 cố định.

 Bánh răng (2) chuyển động song phẳng.
 j  c m rk
b. Dùng định lý Willis:  (1) .
rj
k  c
từ bánh răng thứ ➁ đến bánh răng thứ ➀, ta có (chọn chiều
quay C của cần làm Design dương):
chiều By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

m r1
2  c
  (1) .
r2
1  c
r1
 2  c  1  c  (1)
r2
3 
 c  2  c  c 
2 
 0 s1
 Gia tốc góc của bánh răng ➁:

 Đạo hàm hai vế (1) theo thời gian ta có :
r1
 2   c  .  1   c  (2)
r2
(2)  bánh răng ➁ tịnh tiến tức thời.
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com



 O2

y va
c 
 O2
an
x O2
1 O1

OA  c A
 O2
a



 CA 
C 
O2
Hình 2
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
c. Xác định vận tốc và gia tốc của điểm A
 Vì bánh răng ➁ chuyển động tịnh tiến nên quỹ đạo các điểm
thuộc bánh răng ➁ giống nhau và
 A  O2
v a  v a

  A  O2
aa  aa

 Vận tốc của điểm O2 thuộc cần O1O2:
O
v a 2  O1O2  C  3r  C
 O  
 A  O2 O2 O2
 v a  v a  v ax  i  v ay  j  v ay  j  (3rC )  j
2


 O2  O2  O2
 Gia tốc của điểm O2 thuộc cần O1O2: aa  a  an
O O 2 2
Với: a 2  O1O 2   C  3r   C ; an 2  O1O 2  C  3r  C
 O  
 A  O2 O2 2
 aa  aa  aax  i  aay2  j  3r (C  i   C  j )
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

d. Xác định phương trình quỹ đạo của điểm A

Gọi (CO2 là quỹ đạo của điểm O2 (Hình 2).
)

 (CO2 ) là đường tròn tâm O1 , bán kính: R = O1O2 =3r.

 Phương trình chính tắc của (CO2 ) :

x 2  y 2  R 2  9r 2
Gọi (C A ) quỹ đạo của điểm A (Hình 2).

 CA   tònh tieánO A  CO 

2
2



 Vị trí tâm OA của quỹ đạo (CA):
   
O1O A  O 2 A  (r2 .cos  )  i  (r2 .sin  )  j  O A (r.cos  ; r.sin  )

  

a b
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

 Vậy phương trình quỹ đạo của đường tròn (CA) là:
2 2
 9r 2
 x  r.cos     y  r.sin  




Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com


Bài 10/

Cho cơ hệ như hình vẽ (hình 1). Biết:

O1A  O1O2; {C} = AB  O1O2; O1A = O1C =  = 1m; AC = CB; AB 

O2B; 1 =2s-1; 1 = 4s-2.

a.Hãy phân tích chuyển động của các vật rắn trong hệ.

b.Xác định vận tốc góc của vật rắn 2 và vật rắn 3.

c.Xác định gia tốc góc của vật rắn 2 và vật rắn 3.


Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com


A

1


O2
 1O
1

C


B
Hình 1



Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
BÀI SỬA
a. Phân tích chuyển động của các vật trong hệ:

 Tay quay O1A quay chậm dần, theo chiều kim đồng hồ quanh tâm
O1 cố định.
 Thanh truyền AB chuyển động song phẳng trong mặt phẳng hình
vẽ.

 Thanh lắc O2B chuyển động quay quanh tâm O2 cố định.
* Các đặc trưng hình học của hệ:
 AO1C là  vuông cân tại O1 nên:
AC  CB  2.O1A  2 m và O1CA  O2CB  45
 CBO2 là  vuông cân tại B nên:
O2B  CB  2 m
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
A
va
A
1

 2
O2
1O
1
Hình 2
C

3


B
vBa




P Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
b. Bài toán vận tốc (hình 2).

v a  O1A.1  2 m
A
 Vận tốc điểm A thuộc vật 1: s
B
Vận tốc điểm B thuộc vật 3: v a  O 2B

Xác định tâm vận tốc tức thời P của thanh AB: kẻ 2 đường vuông

góc với 2 phương vận tốc của 2 điểm A và B! Vì ABP vuông cân
tại B nên ta có:
PB  AB  2.AC  2 2 m và PA  2.PB  4 m
Vận tốc điểm A thuộc vật 2 (quay quanh tâm P):

A
va 2
A
  0,5 s 1
v a  PA.2  2 
PA 4
Vận tốc điểm B thuộc vật 2 (cũng quay quanh tâm P):

vB  PB.2  2 2.0,5  2 m / s
a
 Vận tốc điểm B thuộc vật 3 (quay quanh tâm O2):
vB 2
B
 1 s 1
a
v a  O 2B.3  3  
O2B 2
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
c. Bài toán gia tốc (hình 3).
A
a A
2
A
an


O2
 1O 2
1
3
C

B  BA
a a
 BA B 
an an 3

B

Hình 3  

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
A A A
aa  a  an
 Gia tốc điểm A thuộc thanh O1A:


a A  O A.  4 m
s2
 1 1
Vôùi : 

an  O1A.12  4 m 2
A
s

 Chọn A làm cực để tính gia tốc điểm B thuộc thanh AB:
 B  A  BA A A  BA  BA
aa  aa  a   a  an    a  an  , (1)

 Nếu xem điểm B thuộc thanh O2B thì gia tốc của điểm B có thể tính
theo công thức sau:
B B B
aa   a  an  , (2)
 Đồng nhất hai công thức (1) và (2), ta có:
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
B B A A  BA  BA
  a  an    a  an 
(3) : a  an

Phương 
 
 
 

 O2B  BO 2  O1A  AO1  AB  BA
chiều
2
2 .AB
2
 .O 2B 


Độ lớn ? ?
4m/s2 4m/s2
3
2
m / s2
2 m / s2
2

 Chiếu công thức (3) lên trục Ota có:
, 2B
2 2 BA BA
)  ( a  0)  a  5 2 m / s 2  0
0  2  (4   4
2 2
 Gia tốc góc của thanh truyền AB:
BA
a 52
BA
 2,5 s2
a  AB. 2   2  
AB 2 2
 Vì 2 ngược chiều với 2 nên thanh truyền AB có thành phần
chuyển động quay chậm dần, cùng chiều kim đồng hồ.
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

 Chiếu công thức (3) lên trục AB có:
, ta
2 2 2 2
B B
m / s2  0
 a  0  ( 4  )  a 
 4 )  (0 

2 2 2 2
 Gia tốc góc của thanh lắc O2B:
2
B
a
 2  0,5 s2
B
a  O2B. 3   3 
O 2B 2
 Vì 3 ngược chiều với 3 nên thanh lắc O2B quay chậm dần, ngược
chiều kim đồng hồ, quanh tâm O2 cố định.




Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com


BÀI TẬP CƠ HỌC
Tập Hai: ĐỘNG LỰC HỌC
Hai:


• Chương I: ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐiỂM
ĐỘNG ĐiỂM



• Chương II: ĐỘNG LỰC HỌC CƠ HỆ
ĐỘNG




GVHD: PGS. TS. TRƯƠNG TÍCH THIỆN
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

Chương I: ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐiỂM



BÀI TẬP 1.2: trang 31 (SGK)

Một xe goòng có khối lượng là 700 kg đang chạy xuống dốc dọc
theo đưòng ray thẳng và nghiêng với mặt ngang một góc 150.
Để giữ cho xe chạy đều, ta dùng dây cáp song song với mặt dốc.
Vận tốc chạy đều của xe là 1,6 m/s. Xác định lực căng của dây cáp
lúc xe chạy đều và lúc nó bị hãm dừng lại trong 4 giây. Hệ số cản
chuyển động tổng cộng là f = 0,015 và lúc cản ta coi rằng xe chạy
chậm dần đều.




Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com

Copyright By Focebk.com
y N

T x
 
v
Fc
150

P
hình 1.2

 Dùng tiên đề 2 động lực học điểm:

 4 
1
m.a   Fk  P  T  N  Fc
k 1


Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 Trường hợp 1:

a0
 Xe chuyển động thẳng đều nên

 2
0  P  T  N  Fc
 Tiên đề 2 trở thành:
 Chiếu phương trình (2) lên trục y.
0   P cos   N
 N  P.cos   m.g.cos 
 Ta có:
Fc  f .N  f .m.g .cos 
 Chiếu (2) lên trục x:
0   P.sin   T  Fc
 T  P.sin   Fc  m.g.sin   f .m.g.cos 
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 T  m.g .  sin   f .cos  
 700.9,81 sin15  0,15.cos15 
 1677,8  N 
 Trường hợp 2:

 a  const 
 Xe chuyển động thẳng chậm dần đều
v1  a.t  v0
Ta có:
v1  0 m s ; t  4 s
v0  1, 6 m s
v0 1, 6
 0, 4 m s 2  0
a 
t 4
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 Chiếu (1) lên trục x,y:
 m.a   P.sin   T  Fc

 0   P.cos   N
 Fc  f .N  f .m.g .cos 
 T  m.a  P.sin   Fc
 m.  a  g  sin   f .cos   
 
 700  0, 4  9,81 sin15  0, 015.cos15  
 
 1957,8  N 



Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
Bài tập 1:
Cho: k ,  0 , m, x0Bỏ qua lực cản của không khí và khối lượng lò xo.
.
Xác định qui luật chuyển động của vật A.



k 0

t
O
A x0
P


x
hình 1

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
Bài sửa
 Chọn trục Ox gốc tại vị trí cân bằng của vật A, có phương

thẳng đứng và chiều dương hướng xuống.
 Xác định luợng giãn lò xo khi hệ cân bằng (độ giãn tĩnh)


1
F  P  Fs  0
Fs jx

 Fs  P  m.g
Fs  k . t
Mà:


Fs m.g
P
 t  
hình 1.1 k k
 Chọn t  0 lúc đó lò xo bị giãn thêm một lượng
s x0
:

 v0  0 m s   x0 


 x  t  0   x0

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 Khảo sát chuyển động của vật A tại một vị trí bất kỳ:
 Áp dụng tiên đề 2 động lực học:
 2 
 2
m.a   Fk  P  FS
k 1

 Chiếu (2) lên trục Ox:
m.  P  Fs  m.g  k .
x
 m.  m.g  k  t  x   k .x
x
 m.  k .x  0
x
   2 .x  0  3
x
k

Với:
m
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
Dạng nghiệm tổng quát:
x  A.sin  t  0 
0được m từ các điều kiện ban đầu:
A và
x  x0  A.sin 0
t 0 s:

x0  A. .cos  t  0  t  0
 A. .cos 0  0

 cos 0  0  0 
2
 A  x0


x  x0 .sin   t  
Vậy vật dao động điều hoà:
2

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
Bài 1.5 trang 31
Một ô tô chở hàng có khối lượng là 6 tấn chạy xuống một chiếc
phà với tốc độ là 21,6 km/giờ. Từ lúc xuống phà đến lúc dừng
hẳn xe phải chạy thêm một quãng đường là 10 m, cho rằng khi
ấy ôtô chuyển động chậm dần đều. Tính lực căng mỗi dây cáp
(có hai dây cáp) buộc giữ phà, coi rằng dây cáp luôn luôn căng.


v
a

2T

P

s  10 m
hình 1.5
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
Bài sửa
 Khảo sát chuyển động của xe:


v1

a1
y
N1

x


Fms
P
hình 1.5.1
 Sử dụng tiên đề 2 động lực học:
   
 
1
m1a1  P  N1  Fms
 Chiếu (1) lên x,: y

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 2
m1a1   Fms


 3
 0   P  N1

 3  N1  P
2 2
v  v  2a1s
 Ta có: 0

 0  36  2a1.10
2
 a1  1,8 m s  0
2
 2 :
a  1,8 m s vào
 Thay

 Fmst  m1a1  6000.1,8
 10800  N 
 Khảo sát sự cân bằng của phà:

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright  Focebk.com
By
y
N1

 

N Fms
2.T x



Q
hình 1.5.2
*
5
F  2T  F 0
jx mst

*
Fmst 10800
 5400  N 
T  
2 2


Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
Chương II: ĐỘNG LỰC HỌC CƠ HỆ.

Bài tập 2. Cho 1 thanh thẳng, mảnh, đồng chất tiết diện đều AB.
Khối lượng của toàn thanh là m, chiều dài . Thanh AB cắt trục z
tại điểm gốc O và hợp trục z một góc  như hình vẽ. Cho biết:
m, ,  quán  a OB  b.
Hãy xác định moment , OA tính,của thanh AB đối với trục x, y,z và
tâm O (thanh AB nằm trong mặt phẳng Oyz).

z z
B Bu
du
K
d kz

d ky
y y
O u
O
 
x x
A A
Hình II.2a Hình II.2b
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
Bài sửa
 Dựng hệ trục Oxyz sao cho thanh nằm trong Oyz. Dựng trục
Ou có phương trùng AB và có chiều như hình vẽ.

 Khối lượng riêng của thanh:
m
 , kg m

 Khảo sát một chất điểm K trên thanh:
 d kz  u.sin 
 Chiều dài: du

  d ky  u. cos 
mk   .du
 Khối lượng điểm K:
d  u
 kx
 Moment quán tính của toàn thanh đối với trục z :
b b


      .du.u .sin     sin   u du
2 2 2 2 2
Jz   mk .d kz
k 1 a a
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
3
m 2ub m
 sin 2   b3  a 3 
Jz  sin  .
 3  a 3
m
 
2
 a  b  a 2  ab  b 2 
 sin   
3
m2
 
a  ab  b 2 sin 2 

3
 Moment quán tính của toàn thanh đối với trục y:
b

J y    mk .d ky     .du.u 2 . cos2  
2

k 1 a
b
2 2
  cos   u du
a

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
3
Copyright By Focebk.com
ub
m m
 cos2   b3  a 3 
2
J y  cos  .
 3 a 3
m
  a  b   a 2  ab  b2  
2
 cos   
3
m2
  a  ab  b 2  cos2 
3
 Moment quán tính của toàn thanh đối với trục x:
b b

J x    mk .d      .du.u     u du
2 2 2
kx
k 1 a a
b
3
u  
       b  a  3  ( a  b)( a 2  ab  b2 )
3 3

 3 a 3
m2
 ( a  ab  b 2 )
3 Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

 Moment quán tính của toàn thanh đối với tâm O:

m2
1
 
J O  J x  J y  J z   a  ab  b 2 
2 3

Vậy: JO = Jx .




Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
Bài tập 3.
Cho một cơ hệ gồm 2 vật rắn có dạng hình lăng trụ tiết diện tam
giác vuông đặt chồng lên nhau với vị trí ban đầu như hình vẽ.
Tiết diện của 2 vật là 2 tam giác vuông đồng dạng. Khối lượng
của 2 vật lần lượt là mA, mB. Vật B tựa không ma sát trên mặt
nghiêng của mặt A. Vật A tựa không ma sát đối với mặt ngang cố
định. Các cạnh của 2 vật song song với bề mặt cố định là a, b (a >
b). Ban đầu toàn hệ đứng yên. Hãy xác định đoạn đường chuyển
động của vật A khi vật B trượt hết mặt nghiêng của vật A (lúc B
vừa chạm đất).




Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
b
B

A


ab
Hình II.3




Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
Bài sửa
y
b
x C0
B



0
CB
N

C0 CA CB
A


O x
xC0 PB b

A
PA 3
a
a/3
sA
x CA
x CB

Hình II.3.1
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 Dựng hệ trục Oxy như hình vẽ.

 Gọi:

 Khối tâm của vật A, vật B và toàn hệ: CA, CB, C

 Đoạn đường chuyển động của vật A khi B chạm mặt phẳng cố
định: sA

x C0 ; x C0 ; x CA ; x CB
 Tọa độ x của các khối tâm:
A B

 Ta có:
a 2
x C0 = ; x C0 = b ;
3 3
A B

a b
x CA = s A  ; x CB = s A  a 
3 3
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 Ban đầu toàn hệ đứng yên.


x 0 = 0 m


 s
 CA
v C0 =0 

 y C0 = 0 m s

A

A

= 0 m 
x 0


 s
 CB
v C0 =0 
= 0 m 

B
 y C0 s
B
 Khảo sát chuyển động toàn hệ (2 vật).

 Hệ ngoại lực tác động lên hệ:
  
PA ; PB ; N
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 Dùng định lý chuyển động khối tâm.
3  

M.aC =  Fje = PA  PB  N ; 1
j=1

 Chiếu (1) lên trục x:


 s
M.C = 0  C = 0 m
x x 2


 x C = const

 
 x C = x C0

 Theo định nghĩa khối tâm hệ, ta có:


Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
2

 mk .x k mA .x C  mB .x C
 

x C = k =1 A B
=
M mA  mB
do đó :
 
mA .x C0  mB .x C0
 
m A .x CA  mB .x CB A B
= =0
mA  mB mA  mB

 xC = 0

 x C = const = x C0

mA .x C0  mB .x C0
mA .x CA  mB .x CB A B
 =
m A  mB mA  mB
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

 m A .x CA  mB .x CB = m A .x C0  mB .x C0
A B



 
 s  a   m . s  a  b  = m . a  m . 2 b 
 mA . A B A  B 
A
 
3 3  3 3 



 

mB
b  a   0
 sA =
mA  mB


Vì sA < 0 nên vật A chuyển động về phía bên trái.


Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
Bài tập 4.
Cho con lăn O là vành tròn, đồng chất, bán kinh r lăn không trượt
lên mặt phẳng nghiêng một góc  cố định như hình vẽ. Trọng
lượng của con lăn P và hệ số trượt nh giữa con lăn O và mặt
phẳng ngang cố định là ft, bỏ qua ma sát lăn.
Cho P, = const, r, , ft. Hệ ban đầu đứng yên.
M
a. Phân tích chuyển động của vành và của tâm O vành. Thiết lập
các mối quan hệ động học giữa các đặc trưng chuyển động
của toàn vật với các đặc trưng chuyển động của tâm O vật.
b. Xác định gia tốc góc của con lăn O dưới dạng hàm của r, ,
, và P. Tìm điều kiện của moment để con lăn O lăn lên.
c. Xác định phản lực tại ếp điểm A.
d. Tìm điều kiện của ft để con lăn O lăn không M trên mặt
trượt
M
phẳng nghiêng cố định.



Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

M


r
 O



P
A



Hình II.4
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
Bài giải
y
0 
M

 v
N s0 0
r

O
 x
 a0
R
 qt




P
Fmst
A
qt
M
O


Hình II.4.1

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
a.
 Phân ch chuyển động.
 Của vành: vành lăn không trượt, nhanh dần, lên trên mặt
nghiêng cố định. Đây là 1 dạng chuyển động song phẳng với
tâm vận tốc tức thời P là điểm ếp xúc A.

 Của tâm O: chuyển động thẳng theo phương của mặt nghiêng,
nhanh dần, hướng lên.

 Quan hệ động học.

 Do vành lăn không trượt nên ta có các quan hệ sau đây:
s0 v0 a0
   0   0
r r r
Với  là góc quay,  là vận tốc góc,  là gia tốc góc của vành.

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
b. Tính động năng hệ

1 1
hê 2 2
T  m.v 0  JO .

2 2
m  P
 g

P2
 2
 do vaät laø vaønh
Vôùi JO  m.r  r
g

v 0  r.


1P 2 2 1P 2 2 P 2 2

 T  . .r .  . r .  r .

2g 2g g
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 Tính tổng công các tải
  
 A  A P  A N  A Fmst   A  M 
 
Vôùi : A N   0, ( vì N vuoâng goùc vôùi beà maët tieáp xuùc
vaø vì ñieåm A coá ñònh)

 s0
A Fmst   0 h0

A  M    M. O
Hình II.4.2

A P   P.h0   P.r.sin   . Vì h0  s0 .sin   r. .sin 
  A   M - P.r.sin .
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

 Áp dụng định lý biến thiên động năng:

T1hê  T0hê  A
 

ban ñaàu heä ñöùng yeân

 T0 = 0



P2 2
 .r .   M  P.r.sin   .
g

 Đạo hàm 2 vế theo thời gian t:

P2
.r  2..    M  P.r.sin   .
g

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com


 M - P.r.sin 
g
  2
2.P.r

 M  P.r.sin  
a0   .r  .g
2.P.r
M để vành lăn lên:
 Điều kiện của

 M  P.r.sin   0
 0
chieàu ñaõ choïn laø ñuùng

 M  P.r.sin 


Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
c.
Sử dụng nguyên lý D’Alembert.

 Tác động thêm lên vành 2 thành phần cơ bản của hệ lực quán
nh đặt tại O.
 Vector chính của hệ lực quán nh.
 
R  m.aO
qt

 
R  aO
qt

 P  M  P.r.sin  
R  m.aO  g . .g
qt
2P.r

 M  P.r.sin  
 R 
qt
2r
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 Moment chính của hệ lực quán nh đối với tâm O.

qt
MO  JO .

qt
MO  

  qt  P 2   M  P.r.sin  
MO  JO .   g .r  .   .g
2
2P.r
 



1
qt
 M   M - P.r.sin 
O
2

 Khảo sát sự cân bằng của vành:

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
  Fjx  P.sin   R  Fmst  0 1
 qt

  Fjy  N  P cos   0 2


Giải hệ (1), (2) ta thu được:

 3
N  P.cos 

Fmst  P.sin   R
qt

M  P.r.sin 
 P.sin  
2r
M + P.r.sin
 4
 Fmst 
2r
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
d. Điều kiện để vành lăn không trượt:

 5
Fmst  Fmsgh  ft .N

 Thay (3), (4) vào 2 vế của (5) ta nhận được:

M  P.r.sin 
 ft .P.cos 
2r

M  P.r.sin 
 ft 
2P.r.cos 



Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
Bài tập 5.
Cho 1 cơ hệ gồm 2 vật có khối lượng M1 và M2 có liên kết và chịu
tải như hình vẽ. Hệ số ma sát trượt nh giữa 2 vật là ft, bỏ qua
ma sát giữa vật có khối lượng M2 với sàn cố định. Ban đầu khi
chưa chịu tác dụng của hệ lực F hệ cân bằng. Tìm điều kiện của
giá trị lực F để hai vật cùng chuyển động tịnh ến thẳng theo
phương ngang như nhau (không trượt đối với nhau).



M1
ft

M2 
F
Hình II.5
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
Bài giải

 Gọi C1, C2, C lần lượt là khối tâm của vật 1, vật 2 và của toàn
hệ.
 
 Gọi aC , aC , aClần lượt là gia tốc của C1, C2, C.
1 2


 Vì vật 1 không bị trượt đối với vật 2 nên:

   
N
aC1  aC2  aC  a
c1 M1
 Khảo sát chuyển động 
ft
 a
của toàn hệ.
c
P1 
c2
 Hệ ngoại lực tác động y M2 F
lên hệ: 
  x P2
P1 , P2 , F , N O Hình II.5.1
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 Dùng định lý chuyển động khối tâm cho hệ.
4 
 e
1
M.ac   Fj  P1  P2  F  N
j 1

 Chiếu (1) lên trục x:
F F
 2
a 
M.a  F
M M1  M2
 Ta khảo sát chuyển động của vật 1 (có lợi hơn khảo sát vật 2 vì
vật 1 có ít ngoại lực tác động hơn so với vật 2).

 Hệ ngoại lực tác động lên vật 1:
N1 M1
 
y 
P1 , Fmst , N1
a
c1
 Dùng định lý chuyển động
x
khối tâm cho vật 1: 
O 
Fmst
P1
Hình II.5.2
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
3  
 e
 3
M1.aC1   Fj  P1  Fmst  N1
j1


 Chiếu (3) lên 2 trục x,y:
 4
Ox : M1.a  Fmst

5
Oy : 0  P1  N1

 Thay (2) vào (4), ta có:
M1
 6
Fmst .F

M1  M2

 Từ (5) ta nh đựơc:

7
N1  P1  M1.g

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 Điều kiện để vật (1) không trượt trên vật (2):

 8
Fmst  Fmsgh  ft .N1

 Thay (6), (7) vào (8):

M1
.F  ft .M1.g
M1  M2

 F  ft M1  M2  .g




Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
Bài tập 6. Cho một đĩa tròn,đặc, đồng chất có bán kính R và khối
lượng , bị đẩy m không trượt trên mặt nghiêng với vận tốc
lăn
ban đầu của tâm A đĩa ở chân dốc là . Biết mặt nghiêng cố
0
v 
địnhAnghiêng một góc đối với phương ngang và chiều dài
mặt nghiêng là . Cho biết: bán kính R,
0
m, động , f đĩa , .
a) Hãy phân tích chuyểnv A ,  củat , f đvà tâm A đĩa. Tìm mối
quan hệ động học giữa chuyển động của đĩa và tâm A đĩa.
b) Tính động năng cho đĩa và tổng công tác động lên đĩa.
c) Tính vận tốc và gia tốc của tâm A đĩa. Cho nhận xét hai kết
quả này.
d) Tìm điều kiện về giá trị để đĩa có thể lăn lên được hết dốc.
e) Xác định các thành phần phản lực tại điểm tiếp xúc I.
0
vA
f) Tìm điều kiện của góc nghiêng để đĩa lăn không trượt trên
mặt nghiêng.



Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
tg  3 f t
g. Cho :
g1. phân ch lại chuyển động của đĩa. Xác định và dof hê

chọn các tọa độ suy rộng.
g2. xác định các lực suy rộng tương ứng
g3. thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động cho
hệ.

sA , vA
,
R
A
I


Hình II.6
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
Bài sửa
 lA 

Rqt

y x
sA , vA


N
 A , A  Fmst (vì vật lăn không trượt)
aA A
qt
M A

I
A
P

Hình II.6.1

a).
 Phân ch chuyển động của đĩa:
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
Đĩa chuyển động lăn không trượt trên mặt nghiêng cố định. Đây
là trường hợp đặc biệt của chuyển động song phẳng với tâm vận
tốc tức thời là điểm ếp xúc I.
 Phân ch chuyển động của khối tâm A đĩa: tâm A đĩa chuyển
 A
song songvới
động thẳng với quỹ đạo là đường thẳng
mặt nghiêng cố định và cách mặt nghiêng ấy một khoảng
bằng bán kính đĩa.
 
vA   A ; aA   A 
Do đó:

 Quan hệ động học giữa chuyển động của đĩa và chuyển động
của tâm A đĩa khi đĩa lăn không trượt:

vA aA
sA
 A  A 
A 
R R
R

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
b.
 Động năng của hệ: 1 1
T hê 2 2
 m Av A  J A A

2 2
1 P 2 1  1 P 2  v2
R A
vA  

R2
2g 2 2 g 
3P 2
vA

4g
 Tổng công các tải:
  
   
 A  A P  A Fmst  A N

 
A Fmst  0 : vì vật không trượt.


A N  0 : vì vuông góc và điểm I đứng yên tức thời.

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
 Copyright By Focebk.com

 A  A P   P.hA    P.sin   s A ; độ cao hướng
lên  công âm
c. Vận tốc của tâm A:
Dùng định lý biến thiên động năng:

T1hê  T0hê  A
 

3P 2 3P 0 2

v A    P sin   s A 
vA 

4g 4g
 

const


4 
2

v0 
  g .sin   s A
 vA  A
3 
 Đạo hàm 2 vế  theo thời gian t:

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
31
2v A a A    sin   v A
4g
2.g .sin 
aA
2
 a A   g .sin   0   A   0
R 3.R
3
 Tâm A chuyển động thẳng, chậm dần và đĩa lăn chậm dần.

d. Điều kiện tối thiểu của vAO để đĩa lăn hết dốc:

v A  0 m / s tai s A  

4
02

 v A  g .sin  .  0
3
23 23
0 0
g ..sin   v A  g ..sin 
 vA 
3 3
e. Xác định các thành phần phản lực:
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Theo nguyên lý D’Alembert, ta sẽ bổ sung vào đĩa hai thành phần
Copyright By Focebk.com
cơ bản của hệ lực quán nh:

 Rqt

  qt
M A

thì đĩa sẽ ở trong trạng thái cân bằng.
 

 Rqt   m A .a A
2
 Rqt  mA .a A  .P.sin  ; (do nh độ lớn nên bỏ (-))

3
qt
 M A   J A . A
 1 P 2  aA 1 P 2 1
qt
R g .sin   P.R.sin 
MA R
  
2 g R 2g 3 3
 Viết các phương trình cân bằng:
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
F 

  P. sin   Fmst  Rqt  0
jx


F 
  P.cos   N  0
jy

 Giải hệ , :

N  P.cos 

Fmst  P.sin   Rqt
2
 P.sin   P.sin 
3
1

 Fmst  P.sin   0
3
f. Điều kiện của  để đĩa lăn không trượt:

Fmst  Fmsgh  f t .N
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
Thay ,  vào :
1
P.sin   f t .P.cos 
3
 tan   3 f t
g.
g1.
 Do tg  3 ftnên đĩa vừa lăn vừa trượt trên dốc. Đây cũng là
trường hợp đặc biệt của chuyển động song phẳng với tâm vận
tốc tức thời không phải là điểm ếp xúc I.


dof hË  2
 Bậc tự do của hệ:

x,  3.1)
 Chọn 2 tọa độ suy rộng: . (hình

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
x




AN
I


Fmsđ
P
Hình II.6.2

g2.
 Xác định lực suy rộng Q1 tương ứng với tọa độ suy rộng
Qx
q1  x
:
 Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt:
 q1   x  0,  q2    0
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
(đĩa chỉ trượt mà không lăn vì  ) 0
 Tổng công khả dĩ của các tải:
   
     
  A   A P   A Fmsđ   A N ; N 0
  P. h  Fmsđ . x
  P.sin  . x  f đ N . x
   P.sin   fđ P. cos    x
   A   P  sin   f đ .cos    x


x h
 Hình II.6.3
A
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
x0

N
  0

A
N  0 : vì khi chiếu lên
I phương trượt phương
 của lực nâng N vuông

Fmsđ
góc so với phương
P
 trượt.
Hình II.6.4
 Lực suy rộng:
  A    sin   f cos   P
Q1  Qx  đ
x
   sin   f đ cos   M .g
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
Q2 tương ứng với tọa độ suy rộng
Q
 Xác định lực suy rộng
q2  
 Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt:
 q1   x  0 ,  q2    0
(đĩa quay quanh tâm A cố định hay đĩa trượt không lăn)
 Tổng công khả dĩ của các tải:
  
   
  A   A P   A Fmsđ   A N
  Fmsđ . sI   f đ N .r.
   A   f đ .P.r.cos  .
 Lực suy rộng:
 A   f .P.r.cos 
Q2  Q  đ

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
x0

N
  0
A

 sI  r.


Fmsđ
P

Hình II.6.5
 Q2  Q   f đ .M .g .r.cos 
g3. Dùng phương trình Lagrange 2:
d  T  T
 Qi , i  1, 2


dt  qi  qi
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 Xác định động năng hệ:
1 1

T  M .v A  J A 2
2

2 2
1 11 2 2
2

 M .x   M .r  
2 22 
T T
  0 (không có x chỉ có đạo hàm của x)
q1 x
d  T  d  T 
  M .
x
 

 
dt  q1  dt  x 
T T
 0 (không có )
q2 
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
d  T  d  T  1

 M .r 2 .

  


dt  q2  dt    2
Do đó:

 M .    sin   f đ cos   M .g
x

1

2
 2 M .r .   f đ M .r.cos  .g

     sin   f đ cos   g
x

 2 f đ cos  .g

  
r




Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

Bài tập 7. Cho cơ hệ như hình vẽ. Biết bán kính r, P, = const, Q,
M
ròng rọc là vành tròn đồng chất. Dây mềm, nhẹ, không giãn,
không trượt trên ròng rọc, luôn căng. Ban đầu hệ đứng yên.
a) Hãy phân ch chuyển động của các vật rắn trong hệ. Thiết
lập quan hệ động học giữa các vật.
b) Xác định động năng cho toàn hệ và tổng công của các tải tác
động lên hệ.
c) Xác định gia tốc của vật A và gia tốc góc của ròng rọc B.
d) Tính lực căng dây nối vật A.
e) Tìm điều kiện của moment để nhánh dây nối vật A bị
chùng. Xác định lại gia tốc của A và gia tốc góc của ròng rọc
B. M



Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
M
r

B
 B , B ,  B


Q
A

sA , vA , aA

P
Hình II.7
a) Phân ch chuyển động:
 Vật A: chuyển động tịnh ến thẳng đứng, nhanh dần, có chiều
hướng xuống.
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 Ròng rọc B: chuyển động quay nhanh dần, cùng chiều kim
đồng hồ quanh trục vuông góc với mặt phẳng hình vẽ và đi
qua tâm B cố định (tâm B cố định).
 Thiết lập quan hệ động học giữa các vật:
s A  r. B
v A  r.B
a A  r. B
b).
 Động năng của hệ:
hê A B
T T T

1P 2
TA  vA
Vật A chuyển động tịnh ến:
2g
1 2
TB  J B B
Vật B chuyển động quay:
2
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
(JB là moment quán nh của vật B đối với trục cố định thẳng góc
với mặt phẳng hình vẽ qua B)
Q2
JB  r
g
1 P 2 1Q 2 2

r B
T vA 


2g 2g
1 1
 P.v A  Q.v A  
2 2 2
 P  Q  vA

2g 2g
 Tổng công các tải:

 A  A(M )  A( P )

M
Với: A( M )  M. B  sA ; A( P )  PhA  Ps A
r
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
M 
 A   r  P  sA
 
c).
 Gia tốc của A và gia tốc góc của ròng rọc B:
 Áp dụng định lý biến thiên động năng:
T1hê  T0hê   A
 


M
1 
2
 P  Q  vA    P  s A

2g r 
Đạo hàm 2 vế
M
1 
 P  Q  2vA .a A     P  vA
theo t: 
2g r 
M
P
 aA  r .g  0
PQ
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
Gia tốc góc của ròng rọc:
M
P
aA
r
B  g
r  P  Q r
d) Xác định lực căng dây.
Áp dụng nguyên lý D’Alembert khảo sát sự cân bằng của vật A:
A  A 
Rqt  m A .a A y
Rqt TA
M M
 A
 r P P
P
gP r
A
 Rqt     
g  PQ  P Q P aA
 
Hình II.7.1
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
 A Copyright By Focebk.com
Sau khi bổ sung Rqt thì vật A cân bằng.
vào
A   
Rqt  TA  PA  0
Phương trình cân bằng:

A
F  TA  R  P  0
Chiếu lên trục y: jy qt

M 
P
r
A
 TA  P  Rqt  P  P  
 PQ 
 
M

Q r 
 TA  P  
 PQ 
 
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
e) Điều kiện để dây không bị chùng (dây căng):
M
 0  M  Q.r
TA  0  Q 
r
M  Q.r
 Vậy điều kiện để dây bị chùng:
 Khi dây bị chùng:
 Gia tốc vật A:
aA  g
 Gia tốc góc ròng rọc B:
M
B  g
2
Q.r


Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
Bài tập 8. Cho cơ hệ đứng yên ở thời điểm ban đầu như hình vẽ.
Ròng rọc B là một đĩa tròn, đặc và đồng chất. Hệ số ma sát trượt
nh và động giữa vật A và mặt phẳng ngang cố định là và . Cho
, M  const, , f đ , giãn,
r , P , QDây mềm, nhẹ,f tkhông . luôn
f fđ
biết:t
căng, không trượt trên ròng rọc.
a) Tìm điều kiện của góc  để A trượt được trên mặt nghiêng.
b) Cho , dây luôn căng.
tg ch t
b1) Phân  fchuyển động các vật rắn trong hệ. Tìm mối quan
hệ về động học giữa các vật.
b2) Tính động năng cho toàn hệ và tổng công tác động lên hệ.
b3) Xác định gia tốc của A và gia tốc góc của ròng rọc B
b4) Tính lực căng dây
b5) Tìm điều kiện của để dây nối vật A bị chùng. Xác định lại
gia tốc của vật A và gia tốc góc của ròng rọc B.
M

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
M
r

B


Q A

P

Hình II.8
a)  Điều kiện để vật A không trượt (A cân bằng và dây chùng):
 Khảo sát sự cân bằng của vật A:
 Tự do hóa vật A:
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
 Copyright By Focebk.com

Fmst NA
A y


x
P
Hình II.8.1
- Viết các phương trình cân bằng:
1
F   Fmst  P.sin   0
jx


 2
F  N A  P.cos   0
jy

- Giải hệ (1), (2):

 3
Fmst  P.sin 

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 4
N A  P.cos 
 Điều kiện để vật A không trượt:

5
Fmst  Fmsgh  f t .N A
Thay (3) và (4) vào 2 vế của (5), ta có:

P.sin   f t .P.cos 
6
 tg  f t
 Điều kiện để vật A trượt:

7
tg  f t
b) Vì tg  nên vật A trượt được trên mặt nghiêng.
ft
b1.  Phân ch chuyển động của các vật rắn trong hệ:

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com




M
r
B

B
B sA 
vA 
B aA

Q A

P

Hình II.8.2

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 Vật A tịnh ến thẳng, nhanh dần theo phương của mặt
nghiêng và với chiều hướng xuống.
 Ròng rọc B quay nhanh dần, theo chiều kim đồng hồ quanh
tâm B cố định.
 Quan hệ động học:
sA vA aA
B  ; B  ;  B 
r r r
T hê  T A  T B
b2.  Động năng của hệ: 


P2
A1 2
 T  2 mAvA  2 g v A

Với: 
2
1  1 Q 2   vA  Q 2
1
T B  J . 2  r  2   vA

B B
 2  2 g   r  4g
2

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
Q 2
1

T    P   vA
2g  2
 Tổng công các tải:

 
  
 A  A P  A  M   A Fmsđ



Với: A P  P.hA   P.sin   s A

M
A  M    M. B  sA
r

 
A Fmsđ   Fmsd s A   f đ N A s A   f đ P cos  .s A

M 
 P  sin   f đ cos    s A
A
r 
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
b3. Áp dụng định lý biến thiên động năng:

T1hê  T0hê   A
 


Q 2 M
1 
 P  sin   f đ cos    s A
 P   vA  

2g  r
2 
M
Q
1 
 P  sin   f đ cos    v A
 P   2v A a A  

2g  r
2 

M 
 r  P  sin   f đ cos   
 aA   g
Q
 
P
2
 
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
M 
 P  sin   f đ cos   

aA
 r g
 B 
Q
r  
P  r

 
2

 
b4. Khảo sát chuyển động của vật A:

 aA
Ta có: TA 
NA
Fmsđ  f đ .N A 
Fmsđ A y



x
P
Hình II.8.3
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 Dùng định lý chuyển động khối tâm cho vật A:
4  
 e
8
mA .a A   Fj  P  N A  TA  Fmsđ
j 1

 Chiếu (8) lên hai phương x, y
 mA .a A  P.sin   TA  Fmsđ
9

0   P cos   N A

10 
 N A  P cos 
 TA  P.sin   Fmsđ  m A .a A
M 
 r  P  sin   f đ cos   
P g
 P sin   f đ P cos  
Q
g P
2
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
M 
P   P  sin   f đ cos   
r 
 TA  P  sin   f đ cos   
Q
P
2
M
Q
P   sin   f đ cos    
r
2
11
 TA 
Q
P
2
TA  0
b5. Điều kiện để dây căng:

M
Q
   sin   f đ cos      0
r
2
Q.r
 sin   f đ cos  
M
2
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 Điều kiện để dây chùng:
Q.r
 sin   f đ cos  
M
2
 Xác định lại avà : B
A


a A   sin   f đ cos   g

2M
B  g
2
Q.r




Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
Bài tập 9. Cho cơ hệ như hình vẽ:

q  const

B
A


Hình II.9
a). Hệ có luôn cân bằng với mọi loại tải tác động hay không? Tại
sao?
b). Dùng nguyên lý di chuyển khả dĩ để xác định các thành phần
phản lực tại ngàm A.


Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
Bài sửa
a. (Tự giải)
 Tính bậc tự do của hệ: Dofhệ

 Số vật rắn: n=1 (thanh thẳng nằm ngang)

 Tổng ràng buộc của các liên kết:

R lk  3 (ngàm phẳng)

Do đó bậc tự do của hệ:

Dof hË  3n   R lk
 3.1  3  0
Vì dofhệ ≤ 0 nên hệ luôn cân bằng với mọi loại tải tác động.

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
b). Liên kết có một ràng buộc được gọi là liên kết đơn (ví dụ:
khớp bản lề trượt, liên kết thanh). Liên kết ngàm phẳng có 3
ràng buộc sẽ được xem là tương đương với 3 liên kết đơn.
Để xác định các thành phần phản lực của liên kết ngàm ta
giải phóng lần lượt từng liên kết đơn và xem các thành phần
phản lực xuất hiện như là lực hoạt động bổ sung.

 Xác định thành phần phản lực HA :
 Giải phóng liên kết đơn cản trở chuyển động tịnh ến thẳng
theo phương ngang:
q

HA A B
x
Hình II.9.1
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
Cho hệ một di chuyển khả dĩ  x .

 Tính tổng công khả dĩ:
 

 
 A   A H A   Aq    A H A
  H A x
 Áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ:

 A  0  H 0
A

 Xác định phản lực NA :
 Giải phóng liên kết đơn cản trở chuyển động tịnh ến thẳng
theo phương đứng.


.y
 Cho hệ một di chuyển khả dĩ

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
 Copyright By Focebk.com
NA
q
y0
A B

Hình II.9.2
 Tính tổng công khả dĩ:

  A   A  N A    A  q    N A . y   ql   y
  N A  ql   y
 Áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ:

 A  0  N  ql  0  N A  ql  0
A


Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 Xác định thành phần phản lực MA :

 Giải phóng liên kết đơn cản trở chuyển động quay quanh tâm
A.
 Cho hệ một di chuyển khả dĩ .

x dx
q
A
B
MA 
 y  x.



Hình II.9.3

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 Tính tổng công khả dĩ:

 A   A M A    Aq 
Ta có:
 A  M A    M A
 

 A  q      q.dx   y   q.dx. x.
0 0

2
q 2
x 
 q.    .
 2 0 2

 q 2 
  A    M A 
2 
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 Áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ:

q 2 q 2
 A  0  2  M A  0  M A  2  0




Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
Bài tập 10. Dùng nguyên lý di chuyển khả dĩ để xác định các
thành phần phản lực sau:
q P  q

a) A
M  q 2
B C
2 

Hình II.10.1
q
M
b)
C
A B
  Hình II.10.2
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
a).  Xác định thành phần phản lực HA :
 Giải phóng liên kết đơn cản trở chuyển động tịnh ến theo
phương ngang:
x
 Cho hệ di chuyển khả dĩ :
P  q
A q
HA
M
B C
x
Hình II.10.3
 Tính tổng công khả dĩ:
  

 
  A  A H A   A  q    A( P)   A( M )   A H A
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com


Copyright By Focebk.com

   A   A H A   H A . x
+ Áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ:

 A  0  H 0
A

- Xác định thành phần phản lực NB :
P  q
q
C
M
 yB B  yC
A
 NB
Hình II.10.4

+ Cho hệ một di chuyển khả dĩ :

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 Tính tổng công khả dĩ:
  

  
  A  A N B   A  q    A P   A M
 N B .(2. )  2q 2 .  P.(3. )  M .
 (2 N B   2q 2 ).

 A  0  2 N B   2q 2  0

 
 N B  q

 Xác định thành phần phản lực NA :

 Giải phóng liên kết đơn cản trở chuyển động tịnh ến theo
phương đứng:
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
2 
u
 P  q
q
NA
 yC
M
A C
B

y
 yA
du
Hình II.10.5


 Cho hệ một di chuyển khả dĩ :

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 Tổng công khả dĩ:
  

  
 A   A N A   Aq    A P   A M 

 yA
 tg    
2
  y A  2.


  A N A   N A . y A   N A .2.

 y  u.
2 2
2 2
 u
  A  q     y  q.du    q.u. .du  q. .
2
0 0 0


Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
 Copyright2By Focebk.com
  A  q   2 q .
 yC  .


  A P   P. yC  q..  q 2 .

 A  M    M .  q 2 .

Thế vào :

 A   N A .2.  2 q 2 .  q 2  M .  0

 N A  2 q



Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
b).
 Xác định các thành phần phản lực HA :
 Giải phóng liên kết đơn cản trở chuyển động tịnh ến theo
phương ngang:
q
M
HA x
C
B
A

Hình II.10.6
: x
 Cho hệ một di chuyển khả dĩ
 

  A   A H A   A  q   H A . x
 Tổng công khả dĩ:

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 A  0  H A  0
 Giải phóng liên kết NA :

2
x
VA
M
B C

A  yB
 yA
dx

Hình II.10.7

:

 Cho hệ 1 di chuyển khả dĩ

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 Tổng công khả dĩ :
 

  A   A VA   A  q    A  M  
Ta có:

0  x  
 y  x. y

2
 
 x
  A  q     y.q.dx   q. x. x.dx  q.
2
0 0 0

q 2


2
2
 A  M    M A .   q .
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 y A  2.


  A VA  VA . y A
 VA .2

12 2
   A  VA .2.  q   q   0
2

12
2
 q  q 1
2   q
 VA 
2 4
 Giải phóng liên kết VC :

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
q
Copyright By Focebk.com
M
B C
A 

 yB VC

 yC
u
du
  u  2
Hình II.10.8
 y  u.
2 2

  A  q     y  q.du    u.q. .du
 

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
2 2
4 2 2
 u
  A  q   q.  q.  q.
2 2 2
32
 q 
2
  A  M   M .  q 2 .

  yC  2.


  A VC  VC yC
 VC .2.



   A   A  q    A  M    A VC
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
32
   A  q   VC 2.
2
3 2 
2
   q  q  VC .2 
2 
32
q  q 2 5
 VC  2  q
2 4




Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
Bài tập 11. Cho một cơ hệ gồm có hình lăng trụ A ết diện tam giác
vuông và ống trụ tròn, đồng chất, không đáy B. Vật A có khối lượng
m1 tựa không ma sát trên mặt phẳng ngang cố định. Vật B có bán
kính r, khối lượng m2 lăn không trượt trên mặt nghiêng của lăng trụ A
(hình chiếu đứng của trục ống trụ tròn là B). Lăng trụ A chịu tác động
của lực F như hình vẽ. Cho biết: m1, m2, F, , r.
a) Hãy phân ch chuyển động của các vật rắn trong hệ. Xác định bậc
tự do của hệ và chọn các tọa độ suy rộng cho hệ.
b) Viết biểu thức xác định vận tốc tuyệt đối của tâm B và nh độ lớn
của vector vận tốc tuyệt đối này.
c) Xác định động năng cho toàn hệ và các lực suy rộng tương ứng.
d) Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động cho toàn hệ. Cho
biết khả năng của mình có giải được hệ phương trình vi phân này
không? Nếu giải được hãy xác định gia tốc của lăng trụ A và gia
tốc góc của ống trụ B.

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
r
x

B
 BI
v

A

I
N
 P2

F

Đường trung tuyến
P1

Hình II.11.1

a) Phân ch chuyển động của các vật rắn trong hệ
 Vật lăn trụ A có chuyển động tịnh ến thẳng theo phương
ngang.

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 Ống trụ tròn B thực hiện đồng thời 2 chuyển động: tịnh ến
cùng với lăng trụ A và lăn không trượt trên mặt nghiêng của
lăng trụ A. Chuyển động tổng hợp của ống trụ tròn B là
chuyển động song phẳng với tâm vận tốc tức thời không phải
là điểm ếp xúc I.
 Bậc tự do của hệ:
Dof hË  2

Vì ta cần dùng 2 thông số độc lập vàx mới xác định được vị
trí của toàn hệ.
 Hai tọa độ suy rộng của hệ được chọn là:
q1  x , q2  
b).  Phân ch chuyển động phức hợp của tâm B:
 Chuyển động kéo theo: tịnh ến cùng lăng trụ A.
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 Chuyển động tương đối: lăn không trượt trên mặt nghiêng
của lăng trụ A (tâm quay tức thời là điểm I).
 Dùng định lý hợp vận tốc của điểm:
B B B
va  ve  vr
 B  B*  A
ve  va  va   B  A  BI
  va  va  v
Với:   B  BI
 vr  v 
A
va 

 Tính độ lớn vector vận tốc
B
tuyệt đối điểm B:
 BI B
v va
(khi tổng 2 góc bằng  thì cos
góc này bằng - cos góc kia).
I
Hình II.11.2
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
         
Công thức lượng trong tam giác thường:

B2 A2 2
 BI
 2vaAv BI cos 
v v v
a a

2 2
  v    v   2v v
A BI A BI
cos 
a a



A
 ; v BI  r.  r.
Mà: v  x
a

B2
  
 2  r 2 . 2  2r.cos  .x.
v x
a

c).  Động năng hệ:

T hê  T A  T B



Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
1 1
2
T  m1.  va   m1.x 2
A A

Với:
2 2
1 1
B2
T  m2  va   J B . 2
B

2 2

J B  m2 .r 2 ;   
Ta có:
1 1
 
   
B
 T  m2  x  r   2r cos  .x.   m2 .r 2  2
2 22

2 2
1
  
 x 2  2r 2 . 2  2r cos  .x. 
 m2  
2
1
 

  m1  m2  .x 2  m2 .r 2 . 2  m2 .r.cos  .x.

T 
2

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 Xác định lực suy rộng :
Q1  Qx
 Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt:
x0
  0
C2  B
 BI
rv

A
I
N
 A
P2 va

F

P1

Hình II.11.3

 q1   x  0 ;  q2    0
(đĩa không quay nên toàn hệ là một vật duy nhất: m = m1 +m2)!
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 Tổng công khả dĩ:
   
   
  A   A P1   A P2   A N   A F


 A F

   A   F . x
(P1, P2 không thay đổi độ cao; phương N vuông góc phương
chuyển động).

 A  F
Q1  Qx
 
x
 Xác định lực suy rộng :
Q2  Q

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt:

B
 q1   x  0 ;
 sB
 hB
 q2    0

 hB   sB .sin  I
  r. .sin   Hình II.11.4


 Tổng công khả dĩ:
   
   
  A   A P1   A P2   A N   A F


  A P2   m2 .g   hB
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
   A    m2 .g   hB
 m2 .g .r.sin  .

  A  m g.r.sin 
Q2  Q  2

d) Dùng phương trình Lagrange 2:

d  T  T
 Qi , i  1, 2



dt  qi  qi
T T
 0
q1 x
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
d  T  d  T 

   m1  m2     m2 .r.cos   
x
 

 
dt  q1  dt  x 
T T
 0
q2 
d  T  d  T 

  2m2 r 2
       m2 .r.cos   x


dt  q2  dt   


 m1  m2     m2 .r.cos     F
x


 

m2 .r.cos     2m2 r 2   m2 g .r.sin 
 x

 Đây là hệ phương trình vi phân cấp 2 cực kỳ dễ giải. Cách giải
được trình bày chi ết:
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

X 1   ; X 2  
x
 Đặt

Nghiệm:
m2 .r.cos 
F
g .sin  2r
X 1   
x
m2 .r.cos 
m1  m2
cos  2r
2r.F  m2 g .r.sin  .cos 

2r  m1  m2   m2 r.cos 2 
1
2 F  m2 g sin 2
2  const
 2
2  m1  m2   m2 cos 
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

m1  m2 F
cos  g .sin 

X2   
m1  m2 m2 .r. cos 
cos  2r
 m1  m2  g.sin   F .cos 

 2  m1  m2   m2 cos 2   r


 const




Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
Bài tập 12. Cho một đĩa có dạng hình quạt đồng chất, đặc, dày
điều, bán kính R, góc chắn ở tâm là 2 ,đứng yên ở thời điểm
đầu với góc nghiêng là 0 (góc hợp bởi phương thẳng đứng và
trục đối xứng của đĩa) có khối lượng m. Đĩa tựa không ma sát
với mặt phẳng ngang cố định.
a) Phân ch chuyển động của đĩa và tâm O đĩa
b) Xác định vị trí của khối tâm C đĩa.
c) Xác định phương trình quỹ đạo của khối tâm C đĩa nếu
xy
chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:
d) Tính động năng của đĩa và tổng công các tải tác động
lên đĩa.
e) Tìm vận tốc góc của đĩa và gia tốc góc của đĩa.




Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

y t
R

Cho: m, R, 0 , 
O  2
C0
0


N u
P
x
I
c 
Hình II.12
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
Bài sửa

a) Phân ch chuyển động của đĩa:
 Đĩa chuyển động song phẳng trong mặt phẳng hình vẽ với
tâm vận tốc tức thời không phải là điểm ếp xúc I.
 Phân ch chuyển động của tâm O đĩa:
 Tâm O đĩa chuyển động thẳng với quỹ đạo là đường thẳng
O 
song song đoạn thẳng cố định và cách đường thẳng cố định
một đoạn bằng bán kính của đĩa. Do đó, vận tốc và gia tốc
của tâm O nằm trên đường thẳng này.


v0    0  ;  0    0 
b).  Do đĩa hình quạt có một trục đối xứng nên khối tâm C của
đĩa sẽ nằm trên trục đối xứng này.

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
O ut liền với đĩa sao cho
 Dựng hệ trục tọa độ vuông góc mới gắn
trục trùngutrục đối xứng của đĩa.
tc  0
 Khảo sát một diện ch vi phân k thuộc đĩa như hình vẽ:
dr

r
dAk
d
O
K

uk
u
Hình II.12.1
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 A là diện ch đĩa.
Gọi:

 là khối lượng riêng đĩa.
A   R2  : rad
Ta có:

m m
  ; (vật phẳng (kg/m2); vật dày (kg/m3)
A  R2
dAk  dr  r.d 

uk  r.cos  (uk: tọa độ u của điểm K).

m
dr  rd 
mk   dAk  2
R
(mk: khối lượng của diện ch dAk ).
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 Áp dụng công thức định nghĩa của khối tâm:


m u kk
1 m2
k 1
r cos  .dr.d
uc    2
m  A   R 
m

R
1
r 2 dr  cos  .d
uc 
 R2  
0
R
3
1 r  
 sin  
 2
 R  3 0
1 R3
2sin 
 2
R 3
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
2R
sin 
 uc 
3
c).  Khảo sát chuyển động của đĩa:

P,: N
 Hệ ngoại lực tác động lên đĩa
 Dùng định lý chuyển động khối tâm:
2 
 e
1
mac   F j  P  N
j 1

 Chiếu (1) lên trục x:

 
m s2
m.c  0  c  0
x x
   m s  ; (vận tốc lúc đầu bằng 0)
 xc  const  xc  0

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 xc  const  xc  0  m 
xc  0 ;
Vậy phương trình chuyển động của khối tâm C là:
 
đường thẳng   c   y ; vc  y ; ac  y .

d).  Động năng đĩa: (đĩa là hình tròn đặc đồng chất).
1 21
T  mvc  J c . 2
2 2
à
Ta có:    : l góc hợp bởi trục u và trục Oy).
(
2
J c  J 0  m  OC   J 0  m.uc2

m
2
r.dr.d .r 2
J 0   mk  OK   
Theo định nghĩa:
 R2 
 A  
k 1

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

R
m
r 3 dr  d
 J0 
 R2  
0
R
4
m r  
  
 2
 R  4 0
m R4
2
 2
R 4
1 2
 J 0  mR (giống công thức hình quạt)
2

 R2 2
 Jc  m   uc 
2 
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
Tâm vận tốc tức thời của đĩa: P
PC  OC .sin  y 
v0
O
 uc sin 

Do đó:

vc  PC.  uc .sin  .
P C
1 1
 
 
T  m uc sin  .  mR 2 2
2 2 2

2 4 
1 2 2 1 2 2  u

 m  uc sin   R   vc
2 2
Hình II.12.2
Tổng công các tải:

 
 
A A P A N
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com

 Copyright By Focebk.com

A N   0 A P   P.hc
Với:

 mg  HC  HC0 
y
0 
O0 O H


0
C0
hc
C

P

Hình II.12.3
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
A  P   mg OC.cos   O0C0 .cos 0 
 mg .uc  cos   cos 0 
e) Dùng định lý biến thiên động năng:
hê hê
A
T T
1 0

1 2 2 1 2 2
  2
 m uc sin   R    mg .uc  cos   cos 0  ;
2 2
 Vận tốc góc của đĩa:

2 g .uc  cos   cos 0 
  3
 
12
2 2
uc sin   R
2
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 Gia tốc góc của đĩa:
Đạo hàm 2 vế (2) theo thời gian t:

12 1 2 2 1 2
   
2

uc 2 sin  cos  .    2 uc sin   2 R  2 . 
2  

 g .uc   sin  . 


uc sin  uc cos  . 2  g 
 

  
12
2 2
uc sin   R
2



Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
Bài tập 13. (Chưa sửa).
Cho một thanh thẳng mảnh, đồng chất, ết diện điều, khối
lượng m và chiều dài 2 tựa không ma sát trên mặt phẳng
ngang cố định. Ban đầu thanh đứng yên với góc nghiêng 0.
a. Hãy phân ch chuyển động của thanh AB. Tìm
phương trình quỹ đạo của điểm A, của khối tâm C và
điểm B.
b. Tính động năng của thanh và tổng công các tải tác
động lên thanh.
c. Xác định vận tốc góc của thanh và gia tốc góc của
nó.




Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
B

C0


0
A

Hình II.13

Cho : m, 2,  0




Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
Bài tập 14.
M
Cho cơ hệ như hình vẽ (Hình II.14).
r1
Cho r1, r2, P1, P2, M  const .
Dây có các nh chất sau đây:
mềm, nhẹ, không giãn, không O1 B
trượt trên các vật và luôn căng.
Bỏ qua ma sát tại khớp bản lề O1
và xem nhánh dây AB luôn có
phương thẳng đứng. Ròng rọc O1
P1
là đĩa tròn đặc, đồng chất và ròng
rọc O2 là vành tròn đồng chất. O2
A
a. Xác định bậc tự do của hệ.
r2
Chọn các hệ tọa độ suy rộng
cho hệ. P2
Hình II.14
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

b. Phân ch chuyển động cho các vật rắn trong hệ. Phân ch
chuyển động phức hợp của tâm O2. Viết biểu thức nh vận
tốc tuyệt đối cho điểm này.
c. Tính động năng cho toàn hệ.
d. Xác định các lực suy rộng tương ứng với các tọa độ suy rộng
đã chọn.
e. Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động cho hệ. Cho
biết khả năng có thể giải hệ phương trình này không? Tại sao?




Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
Bài sửa
a. M
Dofhệ = +2 r1
1
Chọn 2 tọa độ
suy rộng:
O1 B
q1  1;
q2 2


P1
y 2
O2
A
r2
Hình II.14.1 P2

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
b.
 Phân ch chuyển động các vật.
 Ròng rọc O1:
Chuyển động quay quanh tâm O1 cố định.
 Ròng rọc O2:
Chuyển động song phẳng với tâm vận tốc tức thời không phải là
điểm ếp xúc A.
 Phân ch chuyển động phức hợp của tâm O2.
 Chuyển động kéo theo:
Tịnh ến thẳng đứng cùng với dây.
 Chuyển động tương đối:
Quay quanh tâm vận tốc tức thời A đối với dây.
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 Viết biểu thức nh: (Hình II.14.2)
M
r1
 O2  O 2  O2
va  ve  vr
1
O1 B
B
va


P1
y 2
O2
A  O2
 A vr r2
va
P2
Hình II.14.2

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 O2
O  A v e  y

v e  v a   O
2
A B

v e 2  v a  v a  r1.1  r1.1
 
Vôùi :   O2
O2
  O2  O2 A  v r  AO2 hay v r  y

 v r  v   O2 
 v r  r22  r2 .2



 O2  O2  O2
O2
 
v  v a  v e  v r  r1.1  r2 .2
a
 
chæ khi 2 vector 


c.
Động năng toàn hệ:

Theä  TO1  T O2

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
P
1

JO1  m1r12  1 r12
 2g
2

Ta coù : 
J  m .r 2  P2 .r 2
 O2 22 2
g

P1 2 2
1
O1

2
Vôùi : T  JO1 .1  .r1 .1
4g
2
1 1
O2 2

O2 2
T  m2 v a  JO2 .2
2 2
1 P2 1 P2 2 2
2
  
r1.1  r2 .2   .r2 . 2

2g 2g

P2 2 2 P2 P
O2
1  .r1.r2 .1.2  2 .r22 .2
 2
T  .r1 .
2g g g

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

1  P1  2  2 P2 P2 2 2
heä
 
T    P2  .r1 .1  .r1.r2 .1.2  .r2 .2
2g  2 g g

d.
Nhận xét:

Hệ sẽ có 2 lực suy rộng Q1, Q2 ứng với 2 tọa độ suy rộng đã chọn.


 Xác định lực suy rộng Q1:

 Chọn 1 di chuyển khả dĩ đặc biệt cho hệ.

1  0 ; 2  0


Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

Ta có : v O2  r1.1  r2 .2
 
a

1 2
 r1.  r2
dt dt

 r1.1

 Tính tổng công khả dĩ:


  A   A  M    A P2
   A   M.1  P2 . sO2

 sO2 1
O2
v
Mà:  r1.

a
dt dt

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

  sO2  r1.1

 A   M  P .r .
Vaäy : 21 1


 Lực suy rộng Q1:

  A  M  P .r
Q1  21
1

 Tính lực suy rộng Q2:

 Chọn một di chuyển khả dĩ dặc biệt cho hệ:

1  0 ; 2  0

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

Ta có : v O2  r1.1  r2 . 2
 
a

1 2 2
 r1.  r2 .  r2 .
dt dt dt

 sO2
O2
Maø : v 
a
dt

  sO2  r2 . 2

 Tổng công khả dĩ:


  A   A P2
 P2 . sO2  P2 .r2 .2

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 Lực suy rộng Q2:

  A  P .r
Q2  22
2

Vaäy : Q1  M  P2 .r1
Q2  P2 .r2
e.
Dùng phương trình Lagrange 2 (đối với hệ khi mất cân bằng):


d  T  T
 Qi , i  1, 2
  
dt  qi  qi

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com


d  T  d  T  1  P1  2 .. P2 ..
          P2  .r1 .1  .r1.r2 .2
dt  q1  dt  1  g  2 g

 
 
A B
T T
(Vì Thệ không phụ thuộc 1).
 0
q1 1

d  T  d  T  P2 .. 2P2 2 ..
        .r1.r2 .1  .r2 .2
dt  q2  dt   2  g g
 

B C
T T
 0 (Vì Thệ không phụ thuộc 2).
q2 2

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
1  P1
 
A    P2  r12  const
 g 2 

P2

Ñaët : B  .r1.r2  const
g

 2.P2 2
C .r2  const

g

Thay các kết quả vào phương trình Lagrange 2, ta có:
 
 A.1  B. 2   M + P2 .r1   D

 
B.1  C. 2  P2 .r2  E
 
Ñaët : X1  1 ; X2   2
 A.X1  B.X 2  D

B.X1  C.X 2  E
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
C.D  B.E
 
 X1  1  A.C  B2  const (ròng rọc 1 quay nhanh dần đều)


 X 2   2  A.E  B.D  const
 (ròng rọc 2 quay nhanh dần đều)
A.C  B2






Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
Bài tập 15.
Cho một cơ hệ như hình vẽ (Hình II.15).




A


r C
I

Q
B

P
Hình II.15
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

A là đĩa tròn đặc, đồng chất có bán kính r và trọng lượng Q. AB là
thanh thẳng, mảnh, đồng chất, ết diện đều, dài , trọng lượng
M  const
P. Cho r, , P, Q, , đĩa A lăn không trượt trên mặt
phẳng ngang cố định.
Bỏ qua ma sát lăn của đĩa và ma sát tại khớp bản lề A.
a. Xác định bậc tự do cho hệ và các tọa độ suy rộng cho hệ.
b. Phân tích chuyển động của các vật rắn trong hệ. Phân ch
chuyển động phức hợp của khối tâm C thuộc thanh AB. Viết
biểu thức nh vector vận tốc tuyệt đối cho điểm C này.
c. Tính động năng cho toàn hệ.
d. Xác định các lực suy rộng tương ứng với các tọa độ suy rộng
đã chọn cho hệ.




Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
e. Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động cho toàn hệ.


Bài sửa
a.
Dofhệ = 2 (để biết chuyển động của hệ cần phải biết chuyển động
của 2 vật hoặc nếu ta giữ cố định cả 2 vật thì hệ mới đứng yên
được)
Chọn 2 tọa độ suy rộng: q1  1; q2 2
b.
 Phân ch chuyển động của các vật rắn trong hệ:
(Hình II.15.1)
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

x
M
1
A
 A 
va
A
C
vr C
va
r I C
ve
2 C

Q
 B
P
Hình II.15.1
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 Đĩa tròn A:

Chuyển động song phẳng trong mặt phẳng chứa vật với tâm vận
tốc tức thời (TVTTT) là điểm ếp xúc I.

 Thanh thẳng AB:

Chuyển động song phẳng trong mặt phẳng chứa vật với TVTTT là
điểm chưa xác định.
A
 A   va   A 
 Quỹ đạo tâm A là đường thẳng .

 Phân ch chuyển động phức hợp của khối tâm C của thanh
AB.
 Chuyển động kéo theo : tịnh ến cùng với tâm A.

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
C  A
Do đó: v e  va

 Chuyển động tương đối: quay quanh tâm A.
 C  CA
Do đó: v r  v  AC

 Viết biểu thức nh:
C C C
va  v e  vr
C2 A2 C2
 v   v   v   2  v a   v rC  cos  2
A
a a r

2
  
2
 
  r.1    . 2   r..cos  2 .1. 2
2 
c. Động năng toàn hệ: Theä  T A  T AB

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
1 1
A2
Vôùi : T  m A  v a   JA .A
A 2

2 2

Q A

Ta coù : mA  ; v a  r.1.
g
Q2
1 2
JA  m A .r  .r
2g
2

A  1

Q2 2 Q22
A
 
 T  r .1  r .1
2g 4g
3Q 2 2

r .1

4g

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
1 1
C2
 m AB  v a   JC .AB
AB 2
T

2 2
P

Ta coù : m AB  ; AB   2
g
P2
1 2
JC  m AB .  .
12g
12
P22 P22 P
AB
  
 r .1   . 2  r..cos  2 .1. 2
T
2g 6g 2g
3 2 2 P 2 2 P
1
heä
  
  P  Q  r .1   . 2  r..cos  2 .1. 2
Vaäy : T
2g  6g 2g
2
d.
 Tính lực suy rộng Q1 ứng với tọa độ suy rộng q1  1 .

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt: 1 > 0 ; 2 = 0

 Tổng công khả dĩ của các tải:

 A   A  M 
  M.1

 A  M
Q1
 
1

 Tính lực suy rộng Q1 ứng với tọa độ suy rộng q2  2 .

 Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt: 1 = 0 ; 2 > 0.



Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 Tổng công khả dĩ của các tải tác động:(Hình II.15.2)
 

  A   A P  P. hC  P  2  2  sin 2
A

  A    P.sin 
 Q2  2 2
2
 2 2

C
Vaäy : Q1  M  hC
 C0 
Q2   P.sin 2 2
2 
P
Hình II.15.2

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

e.
 Phương trình Lagrange 2:

d  T  T
 Q1
  
dt  1  1

d  T  T
 Q2
  
dt   2  2

 T  1  P
2 2
1  r..cos 2 .2

Vôùi :     P  Q  r .

 1  g  2g
3

d  T  1  P
2 2
1  .r..   sin  2 . 2  cos  2 . 2 
2  
  P  Q  r .
  

dt  1  g  2g
3
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

T
0
1

T P 2 P 
2   r.  cos  2 .1

 . .

 2 3g  2g 

d  T  P 2 P 
  
     . 2   r.    sin  2 .1. 2  cos  2 .1 
dt   2  3g  2g 

T P

  r..sin  2 .1. 2
2g
 2



Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com


P P
1 3 2
P  Q  r .1  r..cos  2 . 2  r.. sin  2 . 2   M
  2
Vaäy : 
g 2g 2g
2


P P
1   2 . 2   P.sin  2

r..cos 2 .
2g 3g 2




Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
Bài tập 16. Cho
m1 , m2 , m3 , mA , JO1 , JO2 , JO3 , M1 , M 2 , R 2  2r1  R 3  2r3  2r .
a. Xác định bậc tự do cho hệ và chọn tọa độ suy rộng cho hệ.
b. Phân ch chuyển động của các vật rắn trong hệ. Xác định vận
tốc góc của ròng rọc kép 3 và vận tốc tuyệt đối của vật A.
c. Tính động năng cho toàn hệ.
d. Xác định các lực suy rộng cho hệ.
e. Viết hệ phương trình vi phân chuyển động cho hệ. Giải hệ
phương trình này.




Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
M2
M1 R2
Các nhánh dây trong hệ có
r1
các nh chất: mềm, nhẹ, O1 O2
D
B
không giãn, không trượt
trên các vật và luôn căng. Bỏ
R3
qua ma sát ở các khớp bản
lề. (Hình II.16)
C E
O3 r3




A Hình II.16
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
Bài sửa
a. Dofhệ = +2. vì ta cần dùng 2 thông số độc lập 1 và 2 mới xác
định được vị trí của toàn hệ.

Chọn 2 tọa độ suy rộng q1  1 ; q2  2

b.
 Phân ch chuyển động các vật:
 Ròng rọc 1: quay quanh tâm O1 cố định.

 Ròng rọc 2: quay quanh tâm O2 cố định.

 Ròng rọc kép 3: chuyển động song phẳng.

 Vật A tịnh tiến thẳng đứng.

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
M2
M1 R2
B
va
r1
O1 O2
D
B
D
1 2
va

R3
C
va

O3
E
r3
C
E
va


Hình II.16.1 A

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

 Xác định 3:

C B
Ta có: v a  v a

E D
v a  v a


 vB  r1.1  r.1

a
Maø : D

 v a  R 2 .2  2r.2



 Xác định tâm vận tốc tức thời ròng rọc 3:
(Hình II.16.2)


Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
C
va  O3
va
P
E
C O3
E
va
Hình II.16.2

 Vận tốc góc của ròng rọc 3:

v C vE v a  v E r.1  2r. 2 1
C
 
 
 1  2 2 
a a a
3    
PC PE PC  PE 3r 3

 Xác định vận tốc vật A:


Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com

 Vận tốc tâm O3:
v O3  PO3 .3
a

vC  
r.1 31
a
PC =
Ta coù : .r
 
 
3 1   2 2  1  2 2
1

3


2 1   2 

31
 PO3  PC  O3C  r r  r
   
1  22 1  22
2
O3

 r. 1   2 
Vaäy : v a
3

Do dây không giãn nên:

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 A  O3
va  va
1
 
3  1  22 
3
2
O
A

v a  v a 3  r 1   2 
3

c.
Tính động năng hệ:


T heä  T1  T 2  T 3  T A

1 1

T  JO11  JO1 .12
1 2
Vôùi :
2 2

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
1 1
2
2 2
T  JO2 .2  JO2 . 2
2 2
1 1
O3 2

T  m3 v a  JO3 .32
3

2 2
1 42 2 1 12
 m3 r 1  2  21. 2   JO3 . 1  4. 2  41. 2 
    2 
2

2 9 2 9
1 2 2
     
  
4m3 .r  JO3 1  m3 .r  JO3 .2  JO3  2.m3 .r 2 .1. 2
2 2 2 2

18 9 9

1 1 42 2
A2
T  m A  v a   mA . r 1  2  21. 2 
A
 2 
2 2 9
2 2 4
12  mA .r 2 . 2  m A .r 2 .1. 2
2 
2
 mA .r .
9 9 9

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
1 4 1 4 2 2
heä

2
T   JO1  m3 .r  JO3  m A .r 1 
2 9 9 9
  
A
1 4 4 4  2
  JO2  m3r  JO3  m A .r 2   2 
2

2 9 9 9
  
B
2
 
 JO3  2  m3  m A  r 2  1. 2

9
 
 
C
d.
 Tính lực suy rộng Q1:

 Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt: 1 > 0 ; 2 = 0
 
 
  A   A  M1    A P3   A PA
 Tính A :

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 A  M1    M1.1
Vôùi :


 P3  P3 . h3  m3 .g. sO3
 sO3 2  
2
1   2   r  1  2 
O3

 r 
Ta coù : v   
a
dt 3  dt dt 
3
2 2
  sO3  r 1   2   r.1
3 3
 2

Do ñoù :  A P3   m3 .g.r.1
3
 2

 A PA  PA . sA  mA .g. sO3   mA .gr.1
.
3
2
 
   A   M1  gr  m3  m A  1
.
3
 

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
  A  M 2 
m3  mA  g.r 
Q1  1

1 3
 

 Tính lực suy rộng Q2:

 Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt: 1 = 0 ; 2 >0

 Tính A :
 
 
  A   A  M 2    A P3   A PA
 A  M 2    M 2 .2
Vôùi :


 A P3  P3 . h3  m3 .g. sO3

Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
 sO3 2  
2
1  2   r  1  2 
O3

 r 
Ta coù : v   
a
dt 3  dt dt 
3
2 2
  sO3  r 1   2    r.2
3 3
 2

Do ñoù :  A P3   m3gr.2
.
3
 2

 A PA  PA . s A  mA .g. sO3   mA .g.r. 2
3
2
 
   A   M 2  g.r  m3  m A   2
3
 

  A   M 2 
  m3  m A  g.r 
Q2   2
2 3
 
Design By haughtycool
CunConFC.blogspot.com
CunConFC.blogspot.com
Copyright By Focebk.com
e. Viết hệ phương trình vi phân cho hệ bằng cách dùng phương
trình Lagrange 2:
d  T  T
 Qi , i  1, 2
  
dt  i  i
d  T 
 
    2A.1  C 2
dt  1 
d  T 
 
    C1  2B 2
dt   2 
T T
 0
1  2
2
  
 2A1  C 2  M1  3  m3  m A  g.r

Vaäy : 
C.  2B.  M  2  m  m  g.r
1 2 A
2 3
 3
 Design By haughtycool
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản