Bài giảng môn toán cao cấp A2 - Đàm Thanh Phương & Ngô Mạnh Tưởng

Chia sẻ: Nguyen Trong Nam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:90

0
501
lượt xem
187
download

Bài giảng môn toán cao cấp A2 - Đàm Thanh Phương & Ngô Mạnh Tưởng

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong chương này trình bày những khái niệm cơ bản và kể quả về phép tính vi phân của hàm số nhiều biến số, định nghĩa hàm số nhiều biến số, miền xác định, cách biểu diễn hình học. giới hạn và tính liên tục của hàm số nhiều biến..

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng môn toán cao cấp A2 - Đàm Thanh Phương & Ngô Mạnh Tưởng

  1. TRƯỜNG………………….. Khoa…………………. ----- ----- Bài giảng Toán cao cấp A2
  2. BÀI GI NG MÔN TOÁN CAO C P 2 Đàm Thanh Phương, Ngô M nh Tư ng Tháng 12 năm 2009
  3. M cl c 1 Hàm s nhi u bi n s 2 1.1 Hàm s nhi u bi n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 T p h p trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Đ nh nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Gi i h n và liên t c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Đ o hàm riêng và vi phân c a hàm nhi u bi n . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Đ o hàm riêng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Đ o hàm riêng c p cao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.3 Vi phân toàn ph n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.4 Áp d ng vi phân toàn ph n vào tính g n đúng và đánh giá sai s . . 8 1.2.5 Đ o hàm c a hàm s h p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 C c tr c a hàm nhi u bi n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1 Đ nh nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2 Đi u ki n c n c a c c tr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.3 Đi u ki n đ c a c c tr hàm hai bi n. . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Bài t p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Tích phân kép 13 2.1 Bài toán tính th tích v t th hình tr cong . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Đ nh nghĩa tích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Các tính ch t c a tích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4 Cách tính tích phân kép trong to đ Đ -Các . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.5 Cách tính tích phân kép trong h t a đ c c . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.6 ng d ng hình h c c a tích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.6.1 Th tích v t th . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.6.2 Di n tích hình ph ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.7 BÀI T P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 i
  4. B môn Khoa h c Cơ B n Bài gi ng TOÁN CAO C P 2 3 Tích phân đư ng 31 3.1 Bài toán d n đ n khái ni m tích phân đư ng: Công c a m t l c bi n đ i . 31 3.2 Đ nh nghĩa tích phân đư ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.3 Cách tính tích phân đư ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.4 Công th c Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.5 Đi u ki n đ tích phân đư ng không ph thu c đư ng l y tích phân . . . . 38 3.6 ng d ng c a tích phân đư ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.6.1 Công c a m t l c bi n đ i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.6.2 Di n tích hình ph ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.7 BÀI T P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4 Lý thuy t chu i 45 4.1 Đ i cương v chu i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.1.1 Đ nh nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.1.2 Tiêu chu n Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.1.3 Tính ch t c a chu i s h i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2 Chu i s dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2.1 Đ nh nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2.2 Các đ nh lý so sánh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2.3 Các quy t c kh o sát s h i t c a chu i s . . . . . . . . . . . . . . 49 4.3 Chu i s có s h ng v i d u b t kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.3.1 H i t tuy t đ i. Bán h i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.3.2 Chu i s đan d u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.3.3 Các tính ch t c a chu i s h i t tuy t đ i. . . . . . . . . . . . . . 51 4.4 Chu i hàm s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.4.1 H i t và h i t đ u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.4.2 Tiêu chu n h i t đ u c a chu i hàm s . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.4.3 Tính ch t c a chu i hàm s h i t đ u. . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.5 Chu i lũy th a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.5.1 Đ nh nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.5.2 Quy t c tìm bán kính h i t c a chu i lũy th a. . . . . . . . . . . . 56 4.5.3 Tính ch t c a chu i lũy th a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.5.4 Khai tri n m t hàm s thành chu i lũy th a. . . . . . . . . . . . . 59 4.5.5 Khai tri n m t s hàm s sơ c p thành chu i lũy th a. . . . . . . . 60 4.5.6 Công th c Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.5.7 ng d ng chu i lũy th a đ tính g n đúng . . . . . . . . . . . . . . 62 Đàm Thanh Phương - Ngô M nh Tư ng ii
  5. B môn Khoa h c Cơ B n Bài gi ng TOÁN CAO C P 2 4.6 Chu i Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.6.1 Chu i lư ng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.6.2 Chu i Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.6.3 Đi u ki n đ đ hàm s khai tri n đư c thành chu i Fourier . . . . 65 4.6.4 Khai tri n m t hàm s b t kỳ thành chu i Fourier . . . . . . . . . . 69 4.6.5 D ng ph c c a chu i Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.7 Bài t p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5 Phương trình vi phân 73 5.1 Đ i cương v phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.1.1 Đ nh nhĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.1.2 Ý nghĩa cơ h c và v t lý c a phương trình vi phân. . . . . . . . . . 74 5.1.3 C p c a phương trình vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.1.4 Nghi m c a phương trình vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.1.5 Phương trình vi phân c p m t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.2 Phương trình vi phân tuy n tính c p 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.2.1 Đ nh nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.2.2 Cách gi i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.3 M t s phương trình vi phân phi tuy n tính c p 1 . . . . . . . . . . . . . . 78 5.3.1 Phương trình bi n s phân ly. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.3.2 Phương trình đ ng c p (hay phương trình thu n nh t). . . . . . . . 79 5.3.3 Phương trình Becnuly. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.3.4 Phương trình vi phân toàn ph n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.4 Bài t p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Đàm Thanh Phương - Ngô M nh Tư ng 1
  6. Chương 1 Hàm s nhi u bi n s M c đích yêu c u - Trong chương trình bày nh ng khái ni m cơ b n và k t qu cơ b n v phép tính vi phân c a hàm s nhi u bi n s ; đ nh nghĩa hàm s nhi u bi n s , mi n xác đ nh, cách bi u di n hình h c, gi i h n và tính liên t c c a hàm s nhi u bi n s , đ o hàm riêng và vi phân toàn ph n, đ o hàm c p cao, đ o hàm theo hư ng, c c tr c a hàm s nhi u bi n s và m t s ng d ng c a phép tính vi phân vào hình h c. - Sinh viên c n hi u rõ các khái ni m trên, n m v ng các k t qu trên, hi u đư c ý nghĩa c a đ o hàm riêng và vi phân toàn ph n, c n lưu ý đ n s khác bi t gi a hàm s m t bi n và hàm s nhi u bi n s . 1.1 Hàm s nhi u bi n s 1.1.1 T p h p trong Rn . - Gi s M (x1 , x2 , ..., xn ) , N (y1 , y2 , ..., yn ) là hai đi m trong Rn . Kho ng cách gi a hai đi m ký hi u là d(M, N ) đư c cho b i công th c: n d (M, N ) = (xi − yi )2 i=1 V i ba đi m A, B, C b t kỳ trong Rn ta luôn có d (A, C) ≤ d (A, B) + d (B, C) - Cho M0 ∈ Rn . Ngư i ta g i ε - lân c n c a M0 là t p h p nh ng đi m M ∈ Rn sao cho d (M, M0 ) < ε. Lân c n c a M0 là m i t p h p ch a m t ε - lân c n nào đó c a M0 . - Đi m M ∈ E ⊂ Rn đư c g i là đi m trong c a E n u t n t i m t ε - lân c n nào đó c a M n m hoàn toàn trong E. T p E đư c g i là t p m n u m i đi m c a nó đ u là đi m trong. - Đi m N ∈ Rn đư c g i là đi m biên c a t p h p E n u m i ε - lân c n c a N đ u
  7. B môn Khoa h c Cơ B n Bài gi ng TOÁN CAO C P 2 v a ch a nh ng đi m thu c E, v a ch a nh ng đi m không thu c E. Đi m biên c a t p h p E có th thu c E có th không thu c E. T p h p nh ng đi m biên c a E đư c g i là biên c a nó. - T p E đư c g i là t p đóng n u nó ch a m i đi m biên c a nó (t c là biên c a E là m t b ph n c a E). - T p h p E g m nh ng đi m M sao cho d (M0 , M ) < r, trong đó M0 là m t đi m c đ nh, r là m t s dương, đư c g i là m t qu c u m tâm M0 , bán kính r. T p h p nh ng đi m M sao cho d (M0 , M ) ≤ r là m t t p h p đóng và đư c g i là qu c u đóng tâm M0 , bán kính r. - T p E đư c g i là t p b ch n n u t n t i m t qu c u nào đó ch a E. T p E đư c g i là liên thông n u có th n i hai đi m b t kỳ M1 , M2 b t kỳ c a E b i m t đư ng th ng liên t c n m hoàn toàn trong E; t p h p liên thông đư c g i là đơn liên n u nó b gi i h n b i m t m t kín, là đa liên n u nó b gi i h n b i nhi u m t kín r i nhau t ng đôi m t(xem hình Hình 1.1: Mi n đơn liên và mi n đa liên bên). 1.1.2 Đ nh nghĩa. Đ nh nghĩa 1. M t hàm s n bi n s th c là m t ánh x t t p h p Rn (t p h p các b n s th c) vào t p s th c R. Nói cách khác, v i m i b n s th c (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn ta có tương ng m t s th c u ∈ R theo m t quy t c f nào đó. Ph n t u ∈ R là nh c a ph n t (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn qua ánh x f đư c kí hi u là u = f (u1 , u2 , ..., un ). Đ cho ti n ta dùng kí hi u trên đ ch hàm n bi n và c n hi u hàm n bi n u: f : Rn → R u = f (x1 , x2 , ..., xn ) V i n = 2 hay n = 3 , ngư i ta thư ng dùng ký hi u z = f (x, y) hay u = f (x, y, z). Thí d 1. Cho hàm hai bi n f : R2 → R, z= a2 − x 2 − y 2 (1.1) Ta th y đ có z tương ng v i (x, y) theo hàm trên thì các s (x, y) ph i th a mãn đi u ki n a2 − x2 − y 2 0 ⇔ x2 + y 2 a2 Đàm Thanh Phương - Ngô M nh Tư ng 3
  8. B môn Khoa h c Cơ B n Bài gi ng TOÁN CAO C P 2 Mi n ch a đi m (x, y) th a mãn đi u ki n trên cũng đư c g i là mi n xác đ nh c a hàm, đây là mi n hình tròn tâm O, bán kính a (k c đư ng biên). Hàm (1.1) có hình nh hình h c là n a m t c u tâm O bán kính a n m phía trên m t ph ng xOy. Thí d 2. Hàm hai bi n f : R2 → R, z = ax + by + c là hàm b c nh t đ i v i hai bi n x và y. Nó xác đ nh v i m i (x, y) và có hình nh hình h c là m t m t ph ng trong không gian. Chú ý 1. N u cho m t s bi n c a hàm nhi u bi n các giá tr không đ i thì ta s có hàm v i s bi n ít hơn. Ch ng h n v i hàm hai bi n z = f (x, y), n u y = y0 không đ i trong su t quá trình kh o sát thì ta có hàm c a m t bi n x: z = f (x, y0 ) . Chú ý 2. N u trong hàm hai bi n z = f (x, y) ta cho z giá tr không đ i C thì phương trình f (x, y) = C bi u di n m t đư ng cong(là giao tuy n c a m t ph ng z = C v i m t cong z = f (x, y)). Trên đư ng cong này, các giá tr c a hàm là như nhau. Ta g i nó là đư ng đ ng m c c a hàm f (v i m c C). Bi u di n m t s đư ng đ ng m c trên cùng m t hình v ta có m t hình nh v hàm đang xét. Thí d , trên m t b n đ đ a lý, các đi m có cùng m t đ sâu đư c n i v i nhau b ng các đư ng đ ng m c. V i hàm ba bi n f (x, y, z), các m t f (x, y, z) = C là các m t đ ng m c. Thí d trong v t lý h c, n u hàm f là m t hàm th , cho giá tr c a th năng t i các đi m trong không gian thì m t đ ng m c chính là các m t đ ng th . 1.1.3 Gi i h n và liên t c Ta coi m t b n s th c (x1 , x2 , .., xn ) như m t đi m M trong không gian n chi u Rn . Như v y hàm n bi n u = f (x1 , x2 , .., xn ) s đư c coi như hàm c a đi m M : u = f (M ). Ta có kho ng cách gi a hai đi m A (a1 , a2 , .., an ) và M (x1 , x2 , .., xn ) là s : (x1 − a1 )2 + (x2 − a2 )2 + ... + (xn − an )2 d (A, M ) =  x 1 → a1     x → a  2 2 Đi m M d n t i M0 : M → M0 khi và ch khi  ...     x n → an  Đ nh nghĩa 2. 1. Hàm u = f (M ) có gi i h n là l khi đi m M d n t i đi m A n u v i m i ε > 0 cho trư c ta tìm đư c m t s δ > 0 sao cho : khi 0 = d (A, M ) < δ thì |f (M ) − l| < ε và ta vi t lim f (M ) = l. M →A 2. Hàm u = f (M ) đư c g i là liên t c t i đi m A n u: a. Nó xác đ nh t i A. b. lim f (M ) = f (A). M →A Đàm Thanh Phương - Ngô M nh Tư ng 4
  9. B môn Khoa h c Cơ B n Bài gi ng TOÁN CAO C P 2 1.2 Đ o hàm riêng và vi phân c a hàm nhi u bi n 1.2.1 Đ o hàm riêng. Gi s f là m t hàm n bi n xác đ nh trong m t mi n xác đ nh ch a đi m (x1 , x2 , .., xn ). Ta cho s xi m t s gia ∆xi còn gi nguyên các bi n khác (coi như hàm ch ch a bi n xi ). Xét t s ∆f f (x1 , ..., xi + ∆xi , ..., xn ) − f (x1 , ..., xi , ..., xn ) = ∆xi ∆xi N u ∆xi → 0 mà t s trên có gi i h n thì gi i h n c a nó đư c g i là đ o hàm riêng l y theo bi n xi t i đi m (x1 , x2 , .., xn ) c a hàm f . Kí hi u đ o hàm riêng c a hàm f l y ∂f theo bi n xi là , i = 1, 2, ..., n hay fxi (x1 , x2 , .., xn ). ∂xi Như v y mu n tính đ o hàm riêng c a m t hàm f theo m t bi n nào đó ta ch vi c tính đ o hàm c a hàm đó theo bi n đang xét (coi như hàm m t bi n), còn các bi n khác coi như h ng s . y Thí d 1 : Tính các đ o hàm riêng c a hàm hai bi n f (x, y) = . x Ta có ∂f 1 y ∂f 1 1 =y =− ; = (y)y = ∂x x x x2 ∂y x x y Thí d 2 : f (x, y) = x . Khi l y đ o hàm riêng theo x, coi như h ng s nên áp d ng ∂f quy t c đ o hàm hàm lu th a: = yxy−1 . Khi l y đ o hàm riêng theo y, coi x như ∂x ∂f h ng s nên áp d ng quy t c đ o hàm hàm mũ: = xy ln x. ∂x Thí d 3 : Cho f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 . Tính các đ o hàm riêng c p m t. ∂f x ∂f y ∂f z = ; = ; = ∂x x2 + y 2 + z 2 ∂y x2 + y 2 + z 2 ∂z x2 + y 2 + z 2 −→ − N uđ tr= x2 + y 2 + z 2 thì r là đ dài c a véc tơ OM v i M (x, y, z); g i α, β, γ là −→ − các góc t o b i véc tơ OM v i các tr c Ox, Oy, Oz thì: ∂f x ∂f y ∂f z = = cos α; = = cos β; = = cos γ ∂x r ∂y r ∂z r 1.2.2 Đ o hàm riêng c p cao. Cho hàm s hai bi n s z = f (x, y). Các đ o hàm riêng fx , fy là nh ng đ o hàm riêng c p m t. Các đ o hàm riêng c a các đ o hàm riêng c p m t (n u có) đư c g i là nh ng đ o hàm riêng c p hai. Ta có b n đ o hàm riêng c p hai đư c kí hi u như sau: ∂ ∂f ∂ 2f ∂ ∂f ∂ 2f = 2 = fx2 (x, y) , = = fxy (x, y) ∂x ∂x ∂x ∂y ∂x ∂x∂y 2 ∂ ∂f ∂ f ∂ ∂f ∂ 2f = = fy2 (x, y) , = = fyx (x, y) ∂y ∂y ∂y 2 ∂x ∂y ∂y∂x Đàm Thanh Phương - Ngô M nh Tư ng 5
  10. B môn Khoa h c Cơ B n Bài gi ng TOÁN CAO C P 2 Thí d : V i hàm hai bi n z = x3 y 2 − 3xy 3 − xy + 1 ta có: ∂z ∂z Các đ o hàm riêng c p 1: = 3x2 y 2 − 3y 3 − y, = 2x3 y − 9xy 2 − x. ∂x ∂y Các đ o hàm riêng c p 2: ∂ 2z ∂ 2z = 6xy 2 ; 2 = 2x3 − 18xy ∂x2 ∂y ∂ 2z ∂ 2z = 6x2 y − 9y 2 − 1; = 6x2 y − 9y 2 − 1 ∂y∂x ∂x∂y N u các đ o hàm h n h p c p hai c a hàm z = f (x, y) là liên t c thì chúng b ng nhau; fxy (x, y) = fyx (x, y). Các đ o hàm riêng c a các hàm đ o hàm riêng c p hai (n u có) đư c g i là các đ o hàm riêng c p ba,... N u các đ o hàm riêng là liên t c thì chúng không ph thu c th t l y đ o hàm. 1.2.3 Vi phân toàn ph n. Cho hàm hai bi n z = f (x, y) xác đ nh trong m t mi n D ch a đi m (x0 , y0 ). Xét s gia toàn ph n c a hàm t i đi m (x0 , y0 ): ∆f = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 ) Ta có có th bi u di n s gia ∆f dư i d ng: ∆f = A∆x + B∆y + α (ρ) , ρ= ∆x2 + ∆y 2 (1.2) Trong đó A, B đ c l p đ i v i ∆x, ∆y, nó ch ph thu c vào x0 và y0 , α (ρ) là m t vô α (ρ) cùng bé c p cao hơn ρ, t c là → 0 khi ρ → 0 (c ∆x và ∆y đ u d n đ n 0), thì ta ρ nói r ng hàm s z kh vi t i (x0 , y0 ) và bi u th c A∆x + B∆y đư c g i là vi phân toàn ph n c a hàm z = f (x, y) t i đi m (x0 , y0 ). Kí hi u là df (x0 , y0 ) hay dz. Thí d : Tìm vi phân toàn ph n c a hàm z = f (x, y) = x2 + y 2 Ta có ∆f = (x0 + ∆x)2 + (y0 + ∆y)2 − x2 + y0 = 2x0 ∆x + 2y0 ∆y + ∆x2 + ∆y 2 0 2 đây α (ρ) = ∆x2 + ∆y 2 vì α (ρ) ∆x2 + ∆y 2 = = ∆x2 + ∆y 2 → 0 ρ ∆x2 + ∆y 2 khi ρ → 0 (∆x → 0, ∆y → 0) , α (ρ) là vô cùng bé có c p cao hơn ρ V y df (x0 , y0 ) = 2x0 ∆x + 2y0 ∆y. Đàm Thanh Phương - Ngô M nh Tư ng 6
  11. B môn Khoa h c Cơ B n Bài gi ng TOÁN CAO C P 2 Đ nh lý 1. N u hàm z = f (x, y) có vi phân t i (x0 , y0 ) thì nó cũng có các đ o hàm riêng t i (x0 , y0 ) và ∂f (x0 , y0 ) ∂f (x0 , y0 ) = A, =B ∂x ∂y Ch ng minh. Th c v y, t (1.2) ta có ∆y = 0 : f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 ) = A∆x + α (|∆x|) f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 ) α (|∆x|) lim = A + lim ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x Khi ∆x → 0 thì gi i h n cu i cùng b ng không vì α (|∆x|) là vô cùng bé c p cao hơn ∆x. V y ∂f (x0 , y0 ) =A ∂x ∂f (x0 , y0 ) Ch ng minh tương t ta có =B ∂y Đ nh lý 2. N u hàm z = f (x, y) có các đ o hàm riêng liên t c t i (x0 , y0 ) thì nó có vi phân t i đi m đó và ∂f (x0 , y0 ) ∂f (x0 , y0 ) df (x0 , y0 ) = ∆x + ∆y (1.3) ∂x ∂y (Ch ng minh xem [2] t p 3). Sau này đ tính vi phân toàn ph n c a hàm hai bi n ta s dùng công th c (1.3) và vi t nó dư i d ng thu g n: ∂z ∂z dz = ∆x + ∆y ∂x ∂y N u các bi n s x, y c a hàm hai bi n z = f (x, y) đ c l p thì ta cũng có dx = ∆x và dy = ∆y, khi đó vi phân toàn ph n c a hàm hai bi n còn đư c vi t dư i d ng: ∂z ∂z dz = dx + dy ∂x ∂y Ta cũng có k t qu tương t cho hàm s nhi u bi n hơn, ch ng h n v i hàm c a ba bi n s đ c l p u = f (x, y, z) ta có vi phân toàn ph n c a nó: ∂u ∂u ∂u du = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z Thí d : Tìm vi phân toàn ph n c a hàm u = xyz t i đi m (x, y, z). Ta có ∂u ∂u ∂u = yz; = xz; = xy ∂x ∂y ∂z T đó: du = yzdx + zxdy + xydz. Đàm Thanh Phương - Ngô M nh Tư ng 7
  12. B môn Khoa h c Cơ B n Bài gi ng TOÁN CAO C P 2 1.2.4 Áp d ng vi phân toàn ph n vào tính g n đúng và đánh giá sai s . T công th c (1.2) ta th y r ng khi ρ khá bé t c là |∆x| , |∆y| khá bé ta có công th c tính g n đúng ∂f (x0 , y0 ) ∂f (x0 , y0 ) f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) ∼ f (x0 , y0 ) + = ∆x + ∆y ∂x ∂y Thí d : Tính g n đúng 1, 024,05 Xét hàm z = xy và áp d ng công th c g n đúng trên: (x0 + ∆x)y0 +∆y ∼ xy0 + y0 xy0 −1 ∆x + xy0 ln x0 ∆y = 0 0 0 Cho x0 = 1, ∆x = 0, 02, y0 = 4, ∆y = 0, 05 ta có 1, 024,05 ∼ 14 + 4.13 0, 02 + 14 ln 0, 05 = 1, 08 = Áp d ng c a vi phân toàn ph n vào vi c đánh giá sai s : Gi s ta ph i tính giá tr c a hàm cho trư c z = f (x, y) t i các giá tr c a x và y mà ta ch bi t chúng m t cách x p x . Nói cách khác v i giá tr x ta m c ph i sai s ∆x, v i y ta m c ph i sai s ∆y, như v y khi tính z theo các giá tr x + ∆x, y + ∆y ta s m c ph i sai s , sai s đó chính là ∆z. Do ∆x, ∆y khá bé nên ta có th thay ∆z b i dz. Thông thư ng sai s ∆x c a giá tr x, v tr tuy t đ i không vư t quá m t s dương ∆x nào đó, s ∆x này đư c g i là sai s tuy t đ i c a x: |∆x| ∆x . Tương t |∆y| ∆y , v i ∆y là sai s tuy t đ i c c đ i c a y. ∂z ∂z T đó, |∆z| ∼ |dz| = ∆x + ∆y ∂x ∂y ∂z ∂z V y sai s tuy t đ i c c đ i c a z là: ∆z = ∆x + ∆y . ∂x ∂y ∆z Chú ý : Nhi u khi ngư i ta dùng sai s tương đ i c c đ i c a z, đó là t s : δz = . Như |z| v y, ∂z/∂x ∂z/∂y ∂ ln |z| ∂ ln |z| δz = ∆x + ∆y = ∆x + ∆y z z ∂x ∂y Sai s tương đ i c c đ i c a z b ng sai s tuy t đ i c a ln |z|. 1.2.5 Đ o hàm c a hàm s h p. Cho hàm s z = f (x, y) có vi phân (kh vi đ i v i x và y). Gi s x và y không ph i là bi n s đ c l p mà là hàm c a m t bi n t nào đó: x = x (t) , y = (t) v i gi thi t chúng là các hàm kh vi đ i v i t. Như v y, z = f (x, y) là hàm c a bi n s t, và ta c n Đàm Thanh Phương - Ngô M nh Tư ng 8
  13. B môn Khoa h c Cơ B n Bài gi ng TOÁN CAO C P 2 tính đ o hàm c a nó theo t. Vì hàm f có vi phân nên ∆f = A∆x + B∆y + α (ρ), do đó ∆f ∆x ∆y α (ρ) =A +B + ∆t ∆t ∆t ∆t trong đó A, B đ c l p v i ∆x, ∆y nên cũng đ c l p v i ∆t nên khi ∆t → 0 thì: ∆x dx ∆y dy A →A , B →B ∆t dt ∆t dt M t khác, 2 2 ∆ (ρ) α (ρ) ∆x2 + ∆y 2 α (ρ) ∆x ∆y = · = · + ∆t ρ ∆t ρ ∆t ∆t Các hàm x(t), y(t) kh vi nên liên t c, vì v y, khi ∆t → 0 thì c ∆x, ∆y → 0 t c là α (ρ) ρ → 0. Theo đ nh nghĩa c a vi phân → 0 khi ρ → 0. Do đó khi ∆t → 0 thì ρ 2 2 α (ρ) dx dy →0· + =0 ρ dt dt Vy ∆f dx dy df ∂f dx ∂f dy lim =A +B hay = + ∆t→0 ∆t dt dt dt ∂x dt ∂y dt Ta có th m r ng k t qu trên cho trư ng h p hàm h p c a hai bi n:z = f (x, y) v i x = x (u, v) , y = y (u, v). Khi đó n u hàm z là kh vi đ i v i x, y; các hàm x, y kh vi đ i v i u, v thì hàm h p z = f [x (u, v) , y = y (u, v)] cũng kh vi đ i v i u, v và ta có: df ∂f dx ∂f dy = · + · du ∂x du ∂y du df ∂f dx ∂f dy = · + · dv ∂x dv ∂y dv 2 +y 2 Thí d 1 : Cho hàm s z = ex trong đó x = a cos t, y = b sin t Ta có: ∂z 2 2 ∂z 2 2 dx dy = 2xex + y ; = 2yex + y ; = −a sin t; = bcost ∂x ∂y dt dt do đó dz 2 2 2 2 = 2ex + y (−ax sin t + bycost) = ex + y sin 2t(b2 − a2 ) dt Thí d 2 : Cho hàm s z = x2 + y 2 trong đó x = u + v, y = u − v Khi đó: dz ∂z dx ∂z dy = · + · = 2x + 2y = 4u du ∂x du ∂y du dz ∂z dx ∂z dy = · + · = 2x − 2y = 4v dv ∂x dv ∂y dv Đàm Thanh Phương - Ngô M nh Tư ng 9
  14. B môn Khoa h c Cơ B n Bài gi ng TOÁN CAO C P 2 1.3 C c tr c a hàm nhi u bi n 1.3.1 Đ nh nghĩa. Hàm n bi n z = f (x1 , x2 , ..., xn ) có c c đ i t i (x0 , x0 , ..., x0 ) trong m t mi n D n u 1 2 n v i m i đi m (x1 , x2 , ..., xn ) thu c m t lân c n đ nh c a đi m (x0 , x0 , ..., x0 )(∗) ta có: 1 2 n f (x1 , x2 , ..., xn ) f (x0 , x0 , ..., x0 ) 1 2 n Hàm n bi n z = f (x1 , x2 , ..., xn ) có c c ti u t i (x0 , x0 , ..., x0 ) trong m t mi n D n u 1 2 n v i m i đi m (x1 , x2 , ..., xn ) thu c m t lân c n đ nh c a đi m (x0 , x0 , ..., x0 )(∗) ta có: 1 2 n f (x1 , x2 , ..., xn ) f (x0 , x0 , ..., x0 ) 1 2 n Thí d : Hàm z = f (x, y) = x2 + y 2 có c c ti u t i (0, 0) vì v i m i x, y ta luôn có f (x, y) = x2 + y 2 0 = f (0, 0) 1.3.2 Đi u ki n c n c a c c tr . Đ nh lý 3. N u hàm kh vi z = f (x1 , x2 , ..., xn ) có c c tr t i đi m (x0 , x0 , ..., x0 ) thì các 1 2 n đ o hàm riêng c a hàm t i đi m đó tri t tiêu zxi = fxi (x0 , x0 , ..., x0 ) = 0, i = 1, ..., n và 1 2 n đi m (x0 , x0 , ..., x0 ) đư c g i là đi m d ng c a hàm s z = f (x1 , x2 , ..., xn ). 1 2 n Ch ng minh. Ta ch ng minh cho trư ng h p hàm hai bi n z = f (x, y). Gi s nó có c c tr t i đi m (x0 , y0 ). Xét hàm m t bi n z = f (x, y0 ), do gi thi t nó có c c tr t i ∂z đi m x = x0 , theo đi u ki n c n c a c c tr hàm m t bi n ta có = 0 t i đi m (x0 , y0 ). ∂x ∂z Tương t ta có = 0 t i đi m (x0 , y0 ). ∂y Trong thí d trên ta đã ch ng t hàm z = x2 + y 2 có c c ti u t i (0,0). Ta có ∂z ∂z = 2x = 0; = 2y = 0 ∂x ∂y t c là các đ o hàm riêng t i đi m c c tr (0, 0) tri t tiêu. Chú ý: Đi u ki n các đ o hàm riêng b tri t tiêu ch là đi u ki n c n ch không ph i là đ . Th t v y, hàm s z = x2 − y 2 có các đ o hàm riêng tri t tiêu t i (0, 0), nhưng ta có f (0, 0) = 0, n u l y các đi m (x, y) thu c lân c n đi m (0, 0) mà x > y thì f (x, y) > 0, còn n u l y các đi m mà x < y thì f (x, y) < 0, nên theo đ nh nghĩa c c tr thì hàm s không có c c tr t i (0, 0). Đàm Thanh Phương - Ngô M nh Tư ng 10
  15. B môn Khoa h c Cơ B n Bài gi ng TOÁN CAO C P 2 1.3.3 Đi u ki n đ c a c c tr hàm hai bi n. Đ nh lý 4. Gi s hàm z = f (x, y) liên t c cùng v i các đ o hàm riêng c p m t và c p hai c a nó trong m t mi n ch a đi m (x0 , y0 ). T i (x0 , y0 ) các đ o hàm riêng c p m t tri t tiêu. Đ t ∂ 2z ∂ 2z ∂ 2z A= (x0 , y0 ) ; B= (x0 , y0 ) ; C= (x0 , y0 ) ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 • N u AC − B 2 > 0 thì f (x, y) có c c tr t i đi m (x0 , y0 ), f (x, y) đ t c c đ i n u A < 0; đ t c c ti u n u A > 0. • N u AC − B 2 < 0 thì f (x, y) không có c c tr t i đi m (x0 , y0 ). • N u AC − B 2 = 0 thì f (x, y) có th đ t c c tr t i đi m (x0 , y0 ), cũng có th không đ t c c tr t i (x0 , y0 ) (trư ng h p nghi ng ). (Ch ng minh xem [2] t p 3). Thí d : Tìm các đi m c c tr c a hàm z = 2x3 + xy 2 + 5x2 + y 2 Ta có zx = 6x2 + y 2 + 10x zx = 0 6x2 + y 2 + 10x = 0 ⇒ ⇔ zy = 2xy + 2y zy = 0 2xy + 2y = 0 Gi i h ta tìm đư c b n đi m d ng là 5 M1 (0, 0) , M2 − , 0 , M3 (−1, 2) , M4 (−1, −2) 3 M t khác ta có ∂ 2z ∂ 2z ∂ 2z = 12x + 10; = 2y; = 2x + 2 ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 T i M1 : A = 10; B = 0; C = 2, AC − B 2 > 0, A > 0 do đó hàm s có c c ti u. 4 T i M2 : A = −20; B = 0; C = − , AC − B 2 > 0, A < 0 do đó hàm s có c c đ i. 3 T i M3 : A = −2; B = 4; C = 0, AC − B 2 < 0 do đó hàm s không có c c tr . T i M4 : A = −2; B = −4; C = 0, AC − B 2 < 0 do đó hàm s không có c c tr . 1.4 Bài t p 1.1. Tìm mi n xác đ nh c a các hàm sau: 1 x z= ; z = arcsin a2 − x 2 − y 2 y2 x √ z = ln − ; u= x+y+z y Đàm Thanh Phương - Ngô M nh Tư ng 11
  16. B môn Khoa h c Cơ B n Bài gi ng TOÁN CAO C P 2 1.2. Tìm các đư ng đ ng m c c a các hàm √ x x 1) z = 2x + y; 2) z = ; 3) z = y y 1.3. Cho hàm s x 1, f (x, y) = xy + . Tính fx (2, 1) fy (2, 1). y x2 + y2 2, z = e . Tính zx , zy . 1.4. Ch ng t r ng hàm s z = y ln(x2 − y 2 ) th a mãn phương trình 1 ∂z 1 ∂z z + = 2 x ∂x y ∂y y ∂x ∂x 1.5. Cho x = rcosϕ, y = rsinϕ. Tìm ∂y∂r ∂ϕ ∂y ∂r ∂ϕ 1.6. Tìm vi phân toàn ph n c a các hàm s sau: 1) z = ln(x + x2 + y 2 ) 2) u = ex (cosy + xsiny) 2z 3) u = xy 1.7. Tính g n đúng: 1,02 1) arctg ; 2) 3 1, 022 + 0, 052 ; 3) sin2 1, 55 + 8e0,015 0,95 1.8. 1) Cho hàm z = y ln x. Tìm zxx , zxy , zyy . y 2) Cho hàm z = ln tg . Tìm zxy . x 1.9. Cho hàm 1 u 1) z = ln v i u = tg 2 x, v = cot g 2 x. Tìm zx . 2 v x2 − y dz 2) z = 2 v i y = 3x + 1. Tìm . x +y dx 1 1.10. Cho hàm u = v i r = x2 + y 2 + z 2 . Ch ng t r ng: r ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + =0 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 1.11. Tìm các c c tr c a các hàm 1) z = x2 + xy + y 2 − 3x − 6y 1 x y 2) z = xy + (47 − x − y) + 2 3 4 Đàm Thanh Phương - Ngô M nh Tư ng 12
  17. Chương 2 Tích phân kép M c đích yêu c u: - Chương này nghiên c u v tích phân kép. Đó là s m r ng c a tích phân xác đ nh c a hàm s m t bi n s sang tích phân c a hàm s hai bi n s , do đó có r t nhi u đi m tương t v i tích phân xác đ nh. - Khi h c, sinh viên c n n m v ng đ nh nghĩa, các tính ch t và cách tính tích phân kép trong h t a đ Đ -các và trong h t a đ c c, cũng như các ng d ng c a tích phân kép. 2.1 Bài toán tính th tích v t th hình tr cong Gi s c n tính th tích c a v t th hình tr cong, đáy dư i là mi n h u h n D trong m t ph ng Oxy, đáy trên là m t cong có phương trình z = f (x, y) và các đư ng sinh song song v i Oz. Hàm s z = f (x, y) liên t c và không âm trong mi n D. Chia mi n D m t cách tuỳ ý thành n mi n con d0 , d1 , ..., dn−1 có các di n tích tương ng là ∆s0 , ∆s1 , ..., ∆sn−1 và qua biên c a các mi n nh y d ng các m t tr đư ng sinh song song v i Oz. Như v y hình tr cong đã cho đư c chia thành n hình tr cong nh . Đ tính th tích c a hình tr cong nh th i, l y trong mi n nh di m t đi m tuỳ ý Mi (ξi , ηi ). Theo gi thi t, hàm s f (x, y) liên t c trong mi n D nên trên mi n nh di giá tr c a nó khác f (Mi ) r t ít. V y th tích hình tr cong th i có th xem g n đúng b ng hình tr th ng, có di n tích đáy là ∆si chi u cao là f (Mi ) và th tích c a v t th hình tr cong đã cho g n đúng b ng: n−1 Vn = f (Mi ) ∆si Hình 2.1: Th tích v t th hình tr i=0 D th y r ng khi tăng s ph n chia n lên sao cho các m nh nh di có đư ng kính λi
  18. B môn Khoa h c Cơ B n Bài gi ng TOÁN CAO C P 2 nh l i thì s khác nhau gi a V và Vn càng ít. Do đó th tích V c a v t th hình tr cong đã cho đư c xem là gi i h n c a Vn khi n → ∞ sao cho đư ng kính l n nh t trong các đư ng kính λi c a các mi n nh di ti n đ n không. V y: n−1 V = lim Vn = lim f (Mi ) ∆si (2.1) max λi →0 max λi →0 (n→+∞) (n→+∞) i=0 2.2 Đ nh nghĩa tích phân kép Cho hàm s hai bi n z = f (x, y) xác đ nh trong mi n h u h n D thu c m t ph ng Oxy. Th c hi n các bư c sau: 1. Chia tuỳ ý mi n D thành n mi n nh d0 , d1 , ..., dn−1 có các di n tích tương ng là: ∆s0 , ∆s1 , ..., ∆sn−1 . 2. Trong m i mi n nh di , l y m t đi m tuỳ ý Mi (ξi , ηi ) và tính f (Mi )∆si = f (ξi , ηi )∆si n−1 3. L p t ng In = f (Mi ) ∆si i=0 T ng In đư c g i là t ng tích phân c a hàm f (x, y) trong mi n D 4. Tìm gi i h n In khi n → ∞ sao cho maxλi → 0. N u t ng In ti n đ n m t gi i h n xác đ nh I không ph thu c vào cách chia mi n D và cách ch n đi m Mi trong m i mi n nh di thì gi i h n I đư c g i là tích phân kép c a hàm s f (x, y) trong mi n D, ký hi u là f (x, y) ds. D V y: n−1 f (x, y) ds = lim f (Mi ) ∆si (2.2) max λi →0 D (n→+∞) i=0 f (x, y) g i là hàm dư i d u tích phân, ds g i là y u t di n tích, D g i là mi n l y tích phân, x, y g i là các bi n s tích phân. N u f (x, y) ds t n t i thì ta nói r ng hàm D f (x, y) kh tích trong mi n D. Ngư i ta ch ng minh đư c r ng: N u hàm s f (x, y) liên t c trong mi n h u h n D thì kh tích trong mi n D. Tr l i bài toán d n đ n khái ni m tích phân kép và d a vào đ nh nghĩa tích phân kép v a nêu ta có: n−1 V = lim f (Mi ) ∆si = f (x, y) ds max λi →0 (n→+∞) i=0 D C n lưu ý là bài toán tính th tích c a v t th hình tr cong ch là m t trong r t nhi u bài toán th c t d n đ n khái ni m tích phân kép, do đó không nên hi u tích phân kép ch là th tích, mà ph i hi u r ng tích phân kép là m t con s , con s y ch ph thu c vào hàm s dư i d u tích phân f (x, y) và mi n l y tích phân D mà không ph thu c vào Đàm Thanh Phương - Ngô M nh Tư ng 14
  19. B môn Khoa h c Cơ B n Bài gi ng TOÁN CAO C P 2 ký hi u c a bi n s l y tích phân, nghĩa là: f (x, y) ds = f (u, v) ds D D 2.3 Các tính ch t c a tích phân kép D a vào đ nh nghĩa, ta th y cách xây d ng tích phân kép và tích phân xác đ nh hoàn toàn gi ng nhau, do đó các tính ch t c a tích phân kép, cũng như cách ch ng minh các tính ch t y đ u hoàn toàn tương t tích phân xác đ nh. đây ta ch phát bi u tính ch t mà không ch ng minh. Tính ch t 1: kf (x, y)ds = k f (x, y)ds, (k = const) D D Tính ch t 2: [f1 (x, y) + f2 (x, y) − f3 (x, y)] ds = f1 (x, y) ds+ f2 (x, y) ds− f3 (x, y) ds D D D D Tính ch t 3: N u mi n l y tích phân D chia thành hai mi n D1 , D2 r i nhau thì: f (x, y) ds = f (x, y) ds + f (x, y) ds D D1 D2 Tính ch t 4: N u t i m i đi m thu c mi n D ta luôn có f (x, y) ≥ 0 thì f (x, y) ds 0 D còn n u f (x, y) ≤ 0 thì ta có f (x, y) ds 0 D Tính ch t 5: N u t i m i đi m thu c mi n D ta luôn có f (x, y) ≥ g(x, y) thì f (x, y) ds g (x, y) ds D D Tính ch t 6: N u m, M là các giá tr nh nh t và l n nh t c a hàm s f (x, y) trong mi n D, nghĩa là m ≤ f (x, y) ≤ M t i m i đi m (x, y) ∈ D thì: mSD f (x, y) ds M SD D Trong đó SD là di n tích c a mi n D Tính ch t 7: (Đ nh lý giá tr trung bình). N u f (x, y) liên t c trong mi n D thì trong mi n đó tìm đư c ít nh t m t đi m Mi (ξi , ηi ) sao cho: f (x, y) ds = f (ξi , ηi ) SD D Giá tr c a hàm s f (x, y) t i đi m Mi (ξi , ηi ) g i là giá tr trung bình c a hàm s f (x, y) trong mi n D 2.4 Cách tính tích phân kép trong to đ Đ -Các Đàm Thanh Phương - Ngô M nh Tư ng 15
  20. B môn Khoa h c Cơ B n Bài gi ng TOÁN CAO C P 2 Như đã bi t trong đ nh nghĩa tích phân kép, gi i h n I không ph thu c vào cách chia mi n D thành nh ng mi n nh nên trong h to đ đ - các, đ cho ti n ngư i ta chia mi n D thành các mi n nh b i các đư ng th ng song song v i các tr c to đ Ox, Oy. Khi đó, m i mi n nh di nói chung là m t hình ch nh t, có các c nh song song v i các tr c to đ và có chi u dài là dx, dy. B i v y, y u t di n tích ds = dxdy và ký hi u Hình 2.2: Chia mi n D tích phân kép thư ng vi t dư i d ng: f (x, y) dxdy D Đ tính tích phân kép, chú ý r ng trư ng h p f (x, y) ≥ 0 trong mi n D, f (x, y) dxdy D b ng s đo th tích V c a v t th hình tr cong, đáy dư i là mi n D trong m t ph ng , đáy trên là m t cong z = f (x, y) và các đư ng sinh song song v i Oz. Do đó mu n tính tích phân kép trong trư ng h p f (x, y) ≥ 0 ch c n tính th tích c a v t th hình tr cong. Th tích y đư c tính b ng công th c: b V = S (x) dx (2.3) a trong đó S(x) là di n tích c a thi t di n t o nên b i giao di n c a m t ph ng th ng góc v i tr c hoành t i đi m x và v t th , còn x = a, x = b là phương trình c a nh ng m t ph ng gi i h n hai đ u c a v t th . Gi s mi n D tho mãn đi u ki n sau: m i đư ng th ng song song v i tr c Oy c t biên c a mi n D không quá hai đi m. Trong m t ph ng, v hai đư ng th ng song song v i tr c Oy và ti p xúc v i biên c a mi n D t i các đi m A, B, có hoành đ l n lư t là a, b. Hai đi m này chia biên c a mi n thành hai đư ng cong AP B và ARB, có phương trình l n lư t là y = ϕ1 (x) và y = ϕ2 (x). C t v t th hình tr cong đã cho b ng m t ph ng th ng góc v i tr c hoành t i đi m x v i x ∈ (a, b). Thi t di n nh n đư c là hình thang cong P M N R; phía trên gi i h n b i đư ng cong M N có phương trình là z = f (x, y), xem như hàm s m t bi n s y (vì đư ng cong M N là giao tuy n c a m t ph ng th ng góc v i tr c hoành t i đi m x và m t cong S có phương trình là z = f (x, y); phía dư i là đo n th ng P R song song v i tr c Oy và hai c nh bên là P M và RN . Ta có IP = ϕ1 (x) và IR = ϕ2 (x). Theo công th c tính di n tích Đàm Thanh Phương - Ngô M nh Tư ng 16
Đồng bộ tài khoản