bài giảng sức bền vật liệu, chương 13

Chia sẻ: Minh Anh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

0
123
lượt xem
28
download

bài giảng sức bền vật liệu, chương 13

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Một dầm chịu uốn ngang phẳng là một dầm chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của nó có hai thành phần nội lực là lực cắt và mô men uốn. Các thành phần nội lực này nằm trong mặt phẳng đối xứng của dầm. Ví dụ : Dầm có mặt cắt ngang là hình chữ nhật chịu lực như trên hình vẽ (hình 5.16). Xét một mặt cắt 1-1 nào đó của dầm, thì trên mặt cắt đó có hai thành phần nội lực là lực cắt Qy và mô men uốn Mx. Hai thành phần nội...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: bài giảng sức bền vật liệu, chương 13

  1. Chương 13: DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG Một dầm chịu uốn ngang phẳng là một dầm chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của nó có hai thành phần nội lực là lực cắt và mô men uốn. Các thành phần nội lực này nằm trong mặt phẳng đối xứng của dầm. Ví dụ : Dầm có mặt cắt ngang là hình chữ nhật chịu lực như trên hình vẽ (hình 5.16). Xét một mặt cắt 1-1 nào đó của dầm, thì trên mặt cắt đó có hai thành phần nội lực là lực cắt Qy và mô men uốn Mx. Hai thành phần nội lực này đều nằm trong mặt phẳng đối xứng của dầm là Oyz (hình 5.17). 5.6. ỨNG SUẤT PHÁP TRÊN MẶT NGANG CỦA DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG . b d x 1z 2 1 l2 P P Mx x z y P l Hình 5.17: Nội Hình 5.16: Dầm lực trên mặt cắt chịu lực có mặt ngang của dầm cắt ngang chịu uốn ngang ữ nhật phẳng Công thức tính ứng suất pháp z (5-2) được suy ra cho trường hợp Mx = const. Nếu mô men uốn Mx là một hàm số theo z thì trên mặt cắt ngang sẽ có lực cắt: dM Q y  x 1
  2. dz 2
  3. Trong trường hợp này, trên mặt cắt ngang, ngoài ứng suất pháp do mô men uốn Mx gây ra, còn có ứng suất tiếp do lực cắt Qy gây ra. Đối với trường hợp này, sau khi bị biến dạng mặt cắt ngang không còn phẳng nữa. Mặt cắt ngang không những bị xoay như trong dầm chịu uốn thuần túy phẳng mà còn bị vênh đi một ít do tác dụng của ứng suất tiếp, cho nên quá trình chứng minh ở mục 5-2 không còn phù hợp. Nhưng "Lý thuyết đàn hồi" đã chứng minh rằng, công thức (5-2) có thể dùng được trong trường hợp uốn ngang phẳng mà sai số mắc phải không lớn. Vì vậy, chúng ta thừa nhận công thức (5-2) để tính ứng suất pháp trên mặt cắt ngang trong trường hợp uốn ngang phẳng: z = M y x (5-13) Jx 5.7. ỨNG SUẤT TIẾP TRÊN MẶT CẮT NGANG CỦA DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG. Để đơn giản bài toán, ta giả thiết dầm có mặt cắt ngang hình chữ nhật. Nói chung, ứng suất tiếp z ở một điểm bất kì trên mặt cắt ngang có thể không cùng phương với lực cắt Qy. Phân tích ứng suất tiếp z ra thành hai thành phần zy và zx (hình 5.18): z =  zy2 2 Thành   zx phần ứng suất Trong đó:zy là thành phần ứng suất tiếp tiếp song song song song với lực cắt Qy (tức là song song với và cùng chiều Oy); zx là thành phần ứng suất tiếp vuông góc với lực cắt ở với lực cắt Qy (tức là song song với Ox). một điểm bất Cách xác định ứng suất tiếp z ở một điểm kì K trên mặt bất kì trên mặt cắt ngang là vấn khó khăn. Vả lại cắt ngang là nếu mặt cắt có dạng hình chữ nhật hẹp thì thành phần ứng suất tiếp zx rất phân tố đều theo đoạn bé so với zy. Nên trong thực tế, người ta thẳng đi qua thường chỉ xác định thành phần ứng suất tiếp điểm K và song song với lực cắt zy. vuông góc với Để lập công thức tính thành phần ứng suất tiếp song song lực cắt. với lực cắt, ta thừa nhận giả thuyết sau: 3
  4. suất trên mặt cắt ngang của Qy dầm chịu O  xy zx Hình 5.18: Ứng Tưởng tượng tách ra khỏi dầm một đoạn vô cùng bé dz bằng hai mặt cắt 1-1 và 2-2 (xem hình 5.19 và hình 5.20). Sau đó, cắt đoạn dầm dz bởi mặt cắt thứ ba đi qua điểm đang xét K và vuông góc với lực cắt Qy. Mặt cắt này cắt đoạn dầm làm hai phần, ta xét sự cân bằng của phần dưới ABCDEFGH (hình 5.20). Viết điều kiện cân bằng của phân tố này dưới dạng phương trình hình chiếu của các lực lên phương của trục dầm (trục Oz). - Trên mặt ABCD: Kí hiệu ứng suất pháp trên mặt này là z(1) (hình 5.20), ta có: 4
  5. M  = y z( x 1) J x b d c z Mx Qy Mx+d z( Q Mx 2) O y x 1 d 2 A z B H z( Hình 5.19: 1) D C Phân tố VCB y Hình 5.20: Xác định ứng suất tiếp Vậy hình chiếu của lực tác dụng lên mặt ABCD lên phương Oz bằng: S N1=   dF  M x Mx (a) ydF  c J x Fc J x z(1) x Fc Trong đó: Fc - Diện tích của mặt ABCD mà ta gọi là diện x tích cắt; S c - Mô men tĩnh của phần diện tích bị cắt đối với trục trung hòa Ox - Trên mặt EFGH: Ứng suất pháp trên mặt 2-2 này là z(2): M  dM z(2) = x x y J x Vậy hình chiếu của lực tác dụng lên mặt AFGH lên phương OZ bằng:  M  N2 =   dF  x dMx ydF  x dM M cx S (b) 5
  6. z ( 2) Jx Fc  Jx x Fc - Trên mặt ABEF: Theo giả thuyết về các thớ dọc, trên mặt này chỉ có ứng suất tiếp. Dựa vào định luật đối ứng, thành phần ứng suất tiếp yz song song với trục OZ bằng: yz = zy Vì chúng ta đã thừa nhận ứng suất tiếp zy phân bố đều trên đoạn AB (hình 5.20) nên thành phần ứng suất tiếp yz cũng phân bố trên toàn mặt ABEF. Do đó, hình chiếu của nội lực tác dụng lên mặt ABEF lên phương OZ bằng: T  (ABEF) = zybcdz c là bề= yzcủadiện tích (tức chiều dài đoạn AB) Trong đó b rộng mặt cắt đi qua điểm đang xét K và vuông góc với lực cắt Qy. Vậy, điều kiện cân bằng dưới dạng phương trình tổng quát hình chiếu của các lực tác dụng lên phân tố ABCDEFGH lên phương OZ: z = 0; N1 - N2 +T=0 Mx c Mx   c hay S  b dz  0 dM x c  J x J  S  x zy x x 6
  7. dM c S rút ra: zy x x = dz Jx b c dM x  Q Vì dz yy x Q nên zy c (5-14) = .S Jx b c Trong đó: - Mô men tĩnh của phần điện tích bị cắt đối với trục x Sc trung hòa; bc - Bề rộng của mặt cắt đi qua điểm đang xét và vuông góc với lực cắt. Công thức (5-14) được gọi là công thức Durápski. Dưới đây, ta lần lượt tính ứng suất tiếp đối với một số mặt cắt ngang đơn giản. a) Mặt cắt ngang hình chữ nhật (hình 5.21). Để xác định sự phân bố của thành phần ứng suất tiếp zy trên toàn bộ mặt cắt, b trước hết ta tính thành phần ứng suất tiếp zy ở điểm K Qy (hình 5.21). Bề rộng mặt cắt đi qua điểm m K bằng : bc = ax b. O Mô men tĩnh của phần điện K x tích bị cắt (phần dưới) đối với y h trục trung hòa Ox bằng: c  h  1 bh 2 y 2  h  S x  b  y  1  42    y   8 h c  2 2   y Mô men quán tính của mặt cắt Hình 5.2: Xác đối với định ứng bh suất tiếp 3 trục trung hòa Ox: J = 12 x 14) ta được: Khi thay các giá trị trên vào
  8. (5- Q  2 zy = 3 y  y  1  4  2 bh  h 2  Như vậy, quy luật phân bố của zy là một đường Parabol bậc hai. Những điểm ở trên trục trung hòa Ox là những điểm có ứng suất tiếp zy lớn nhất (y=0): 3 Qy max = (5-15) 2 bh b) Mặt cắt ngang hình chữ I (hình 5.22). Ở đây, ta chỉ xét sự phân bố của ứng suất tiếp zy trong lòng chữ I Tính ứng suất tiếp zy ở điểm K nằm trong lòng chữ I. Bề rộng của mặt cắt đi qua điểm K bằng: b b c = d ; y d y 2 xc x  (yd) S  2 Qy S S 2 x h Thay chúng vào (5-14), ta x được: O K y d max 96 y
  9.   Q  S  d y  2 y x 2  zy =    Jx d Vậy, luật phân bố của zy dọc theo chiều cao của mặt cắt ngang chữ I là một đường Parabol bậc hai. Ứng suất tiếp zy đạt tới giá trị lớn nhất ở trên trục trung hòa (y=0) : max = Qy .S x Trong đó Sx là mô men tĩnh của nửa hình chữ I lấy đối với J x trục trung hoà Ox, đại d lượng này được cho trong các sổ tay kĩ thuật. c) Mặt cắt ngang hình tròn R 4 (hình 5.23) Đối với trường hợp này : R 2  ; Jx = bc = y 2 4 3 2 R Sc   b    d    y 2    d  2 (R 2  y 2 ) 2 R x y 2 R y 3 Thay chúng vào (5-14) và chú ý diện tích mặt cắt hình tròn F là .R2 : 4 Q  y 2    zy y  1    F R2   3   Công thức này chứng tỏ Q zy biến thiên dọc theo y x đường kính của O K ma mặt cắt ngang hình tròn là y đường cong bậc hai. R x Ứng suất tiếp zy đạt d( tới giá trị lớn nhất ở những b( ) điểm nằm trên đường trung ) bc hòa (y=0):  Qy  4 max 3
  10. F (5- 17) Hình 5.23: Xác định ứng ất tiếp 5.8. ĐIỀU KIỆN BỀN CỦA DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG Như trên đã nói, trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang phẳng ngoài ứng suất pháp z do mô men uốn Mx gây ra, còn có ứng suất tiếp zy do lực cắt Qy gây ra. Trên hình 5.24 biểu diễn biểu đồ ứng suất pháp z và ứng suất tiếp zy dọc theo b Qy min A A 97m O a x B Mx O x a C C
  11. chiều cao mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang phẳng. Dựa vào biểu đồ này, chúng ta thấy rằng trạng thái ứng suất của các phân tố trên mặt cắt ngang sẽ khác nhau. Nói chung, chúng ta có ba trường hợp sau : a) Trạng thái ứng suất đơn:Vì ứng suất tiếp ở những điểm mép trên cùng và dưới cùng bằng không, nên trạng thái ứng suất của các phân tố ở những điểm này là trạng thái ứng suất đơn (tại điểm Avà D trên hình 5.24). Điều kiện bền của các phân tố : - Đối với dầm bằng vật liệu dẻo: max||  || (5- 18) - Đối với dầm bằng vật liệu giòn: max []k ; min  []n (5- 19) b) Trạng thái trượt thuần túy:Vì ứng suất pháp ở những điểm trên trục trung hòa bằng không, nên trạng thái ứng suất của các phân tố ở những điểm này là trạng thái trượt thuần túy, ví dụ ở điểm O trên hình 5.24. Ứng suất chính của phân tố có trị số: 1= -3= max ; 2 = 0 (xem ở chương 3: Trạng thái ứng suất trượt). - Nếu dầm bằng vật liệu dẻo, ta có điều kiện bền của phân tố: [ ] max  (5- 20) 2 [ - Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình ] (5-21) dạng: max  3 Nếu dầm bằng vật liệu giòn, ta có thể dùng thuyết bền Mohr để kiểm tra. c) Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt : Vì ứng suất pháp và ứng suất tiếp nằm trong khoảng giữa trục trung hòa và mép trên cùng hay mép dưới cùng đều khác không, nên trạng thái ứng suất của các phân tố ở những điểm này là trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt. Ví dụ ở điểm B, C trên hình 5.24. Ứng suất chính của phân tố này là (xem chương 3: Trạng thái ứng suất):  2 2    1    98
  12. 2  2    2   3      ; 2 = 0   2  2  2 Nếu dầm bằng vật liệu dẻo, điều kiện bền của phân tố trên là : - Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:  2  4 2  [] - Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng:  2  3 2  [] - Đối với dầm bằng vật liệu giòn, có thể dùng thuyết bền Mohr để kiểm tra bền. * Chú ý: Không phải kiểm tra bền cho cả ba loại phân tố ở trên cùng một mặt cắt ngang. Đối với phân tố ở trạng thái ứng suất đơn, ta phải chọn mặt cắt ngang có mô men uốn lớn nhất. Đối với phân tố ở trạng thái trượt thuần túy, phải chọn mặt cắt ngang có lực cắt lớn nhất. Đối với phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt, phải chọn mặt cắt có mô men uốn và lực cắt cùng lớn (thường chỉ kiểm tra ở điểm tiếp giáp giữa đế và lòng của mặt cắt ngang hình chữ I) , cũng có khí ba mặt cắt đó trùng nhau trở thành 2 hay 1 vị trí. * Ví dụ 3: Kiểm tra bền dầm có mặt cắt ngang hình chữ I số hiệu 36 chịu lực như hình vẽ (hình 5.25a). Chiều dài của dầm là l=2m, cường độ tải trọng phân bố đều là 99
  13. q=104N/m , lực tập trung P=20104N, đặt cách gối tựa một khoảng cách a= 0,2m. Ứng suất cho phép là []=150MN/m2. a P P a q d a ) ) A C D B d x h l 21. b t 10 4N d 20,8 .1 4 b 04N ) b 21. c 10 4N ) 4,18.104 4,5.1 0 4 Hình 5.25: Kiểm tra bền Bài giải :Biểu đồ lực cắt Qy và mô men uốn Mx được biểu diễn trên hình 5.25b, c. Chúng ta nhận thấy: - Mặt cắt ngang ở giữa dầm có mô men uốn lớn nhất: Mmax = 4,5.104Nm - Mặt cắt ngang ở A và B có lực cắt lớn nhất: Qmax = 21.104N - Mặt cắt ngang ở C, D có mô men uốn Mx và lực cắt Qy đều lớn: Qy = 20,8.104N; Mx = 4,2.104Nm Số liệu và kích thước của mặt cắt ngang chữ I số 36 (cho theo bảng) như sau: Jx = 13380cm4; Wx = 743cm3; Sx = 423cm3, d = 0,75cm; h = 36cm a) Kiểm tra bền đối với phân tố ở trạng thái ứng suất đơn: Phân tố này được chọn ở trên mặt cắt ngang có mô men uốn lớn nhất và ở biên trên hay biên dưới của mặt cắt ngang này. Ứng suất pháp lớn nhất bằng: M  4 max = max 4,5.10  60,57MN  150MN /  [ ] W 743.10 / m 2 m2 y 6 10 0
  14. So sánh với ứng suất cho phép, ta thấy nhỏ hơn. Vậy điều kiện bền đối với phân tố này được thỏa mãn. b) Kiểm tra bền đối với phân tố ở trạng thái trượt thuần túy: Phân tố này được chọn ở trên mặt cắt ngang có lực cắt lớn nhất và ở ngay trên trục trung hòa của mặt cắt ngang này. Ứng suất tiếp lớn nhất bằng: Q .S 21.10 4.423.106 max max =x  MN / m 2 88,5 J x d 13380.10 8.0,75.10 2 Trị số ứng suất tiếp cho phép có thể tính theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng : [] = [ 15  86,6MN / m 2 ]  0 3 1,73 2 So sánh max với [], ta thấy max lớn hơn một ít khoảng phé 2%. Điều đó có thể cho p. 10 1
  15. c) Kiểm tra bền đối với phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt: Phân tố này được chọn ở điểm tiếp giáp giữa đế và lòng của chữ I trên mặt cắt ngang có mômen uốn và lực cắt cùng lớn sát mép trái C hay sát mép phải D. Gọi K là điểm tiếp giữa lòng và đế của chữ I.  = 4,2.1 4 k Mx k  0 (0,18  0,0123)  52,6MN / m 2 y 13380.1 Jx 0 8 Q S c 20,8.1   MN / m 2 k =  y x  4 317,5.10 65,8 0 6 J x d 13380.10 8  0,75.10 2 y 16,77  317,5cm Trong đó: S x  y d  423  16,77  0,75  x c S x k23 2 Sử dụng thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng lớn nhất, ta xác đinh ứng suất tương đương là: td =  22   52,62  3(65,8) 2  125MN / m 2  150MN 3  / m 2  []
  16. k k Ứng suất nhỏ hơn ứng suất cho phép, vậy dầm đủ bền .
Đồng bộ tài khoản