bài giảng sức bền vật liệu, chương 16

Chia sẻ: Minh Anh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:26

0
128
lượt xem
26
download

bài giảng sức bền vật liệu, chương 16

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Để tính thế năng biến dạng đàn hồi của dầm chịu uốn ngang phẳng, ta dùng công thức tính thế năng riêng biến dạng đàn hồi của một phân tố trong trạng thái ứng suất phức Trong trường hợp dầm chịu uốn ngang phẳng, trạng thái ứng suất của phân tố là trạng thái ứng suất phẳng, do đó công thức trên sẽ có dạng:   

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: bài giảng sức bền vật liệu, chương 16

  1. THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN Chương 16: HỒI CỦA DẦM CHỊU UỐN NGANG THẲNG Để tính thế năng biến dạng đàn hồi của dầm chịu uốn ngang phẳng, ta dùng công thức tính thế năng riêng biến dạng đàn hồi của một phân tố trong trạng thái ứng suất phức tạp u        2      3 1  2 3 1 2  : 2 1 2 2 1 2 2 3 E 1
  2. Trong trường hợp dầm chịu uốn ngang phẳng, trạng thái ứng suất của phân tố là trạng thái ứng suất phẳng, do đó công thức trên sẽ có dạng:  u  1   2   2   (a) 2E 1 3 2 1 3      Nhưn   ( /  , (b) g:  1 2 2) 2  2    22 2 2 2  3   22(1 ) Cho u   2E 2 E nên 2(1   )  1 Nếu kể E G đến: 2   Thì: 2 (c) u   2E 2G Công thức (c) cho ta thế năng riêng biến dạng đàn hồi trong phẳn dầm chịu uốn ngang g. Thay biểu thức của ứng suất pháp  và ứng suất tiếp của dầm chịu uốn ngang M2 c 2 2 . Q S  y x phẳng vào đây, ta u 2 2 y 2  2 2 được: 2  2EJx 2G  J x  b Thế năng biến dạng đàn hồi trong một đoạn thanh dz: d U  F u dz  dF Thay trị số của u vào và chú ý dz là hằng số đối với biểu thức tích phân, ta có:   2 2 c 2  Mx U  dz   y y x 2Q  S  dF   2EJ 2 F x 2Q J 2 (b c )  x  2 Nếu  F Sc dF   x 2  c 2 J x b đặt: 2
  3. Và chú ý rằng  y dF  J x 2 F Thì thế năng biến dạng đàn hồi trong một đoạn dz của thanh: M 2 dz dU  x  Qy2 dz 2EJ x 2GF Vậy, thế năng biến dạng đàn hồi trong cả thanh với chiều dài l: 1 M 2 x dz 1 Qy2 dz  0 U   2EJ  0 2GF x Nếu dầm có độ cứng hay mô men uốn và lực cắt thay đổi trong từng đoạn thì: n M2dz n Q 2 dz y U   li x   li i 1 2EJx  2GF 1  1 Trong đó li là chiều dài của đoạn thứ i và n là số đoạn. Đối với mỗi dạng mặt cắt ngang, ta có hệ số  khác nhau. Hệ số này được gọi là hệ số điều chỉnh sự phân bố không đều của ứng suất tiếp. Mặt cắt ngang hình chữ nhật : = 1,20 3
  4. Mặt cắt ngang hình tròn:  = 1,11 Mặt cắt ngang hình I: = F F 1 Trong đó: F - diện tích cũa chữ I ; F1 - diện tích của lòng chữ I. C. CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN. 5.13. KHÁI NIỆM ĐƯỜNG ĐÀN HỒI. Khi dầm bị uốn, trục của dầm bị uốn cong. Đường cong của trục dầm sau khi bị uốn gọi là đường đàn hồi, (hình 5.32). Xét một điểm K nào đó trên trục dầm trước khi biến dạng. Sau khi dầm bị biến dạng, điểm K sẽ di chuyển đến vị trí mới K'. Khoảng cách KK' được gọi là chuyển vị dài của điểm K. Ta sẽ phân tích chuyển vị này làm hai thành phần: - Thành phần v vuông góc với trục dầm (song song với trục y). - Thành phần u song song với trục dầm (song song với trục z). Trong điều kiện biến dạng của dầm là bé, ta có thể bỏ qua thành  z phần chuyển  K Pv = vị u và xem KK' là bằng v, nghĩa K y là vị trí O đường đàn ’ u hồi t của K sau biến dạng là nằm z trên đường vuông góc với trục thanh (hình 5.32). Chuyển vị v được gọi là độ võng tại K của dầm và nó là hàm số đối với hoành độ z của mặt cắt ngang. Vậy phương trình của y đường đàn hồi có thể viết : y(z Hình 5.32:Đường đàn = v(z) (a) ) hội của Trong kỹ thuật, khi tính dầm chịu uốn, người ta thường khống 4
  5. chế không cho độ võng lớn nhất của dầm vượt quá một giới hạn nhất định, điều kiện đó được gọi là điều kiện cứng. Nếu gọi f là độ võng lớn nhất của dầm: f = vmax (b ) Thì điều kiện cứng thường chọn là: f 1  l   100 1 (c)   100 0 Trong đó: l- là chiều dài của nhịp dầm; tùy loại công trình mà người ta quy định cụ thể trị số f l . Sau khi trục dầm bị biến dạng, mặt cắt ngang ở K bị xoay đi một góc , ta gọi góc xoay này là chuyển vị góc của mặt cắt ngang ở điểm K (còn gọi là góc xoay). Dễ dàng thấy rằng góc xoay  chính bằng góc giữa đường tiếp tuyến ở điểm K của đường đàn hồi và trục dầm khi chưa biến dạng (trục z). Do tg    đó: d y dz Vậy: đạo hàm của đường đàn hồi là góc xoay của mặt cắt khi dầm bị biến dạng. 5.14. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA ĐƯỜNG ĐÀN HỒI. Trong chương 5 này ta đã thành lập được liên hệ giữa độ cong của trục dầm sau khi biến dạng và mômen uốn như sau [xem công thức (5-1)]: 5
  6. 1  Mx  EJ x (a) Mặc khác, vì đường đàn hồi được biểu diễn bằng hàm số y(z), nên độ cong của đường đàn hồi được tính theo công thức: 1   y   (b)  1  3 y 2 2  Từ (a) và (b), ta có được buểu  thức (c):  (c) Mx y 3 (1  y' 2 ) 2 EJ x Đó là phương trình vi phân tổng quát của đường đàn hồi. Ta phải chọn dấu sao cho hai vế của đẳng thức trên đều thỏa mãn. Các mẫu số EJx và (1 + y'1)3/2 đều là những số dương, nên sự liên hệ về dấu giữa vế phải và vế trái của phương trình (c) phụ thuộc vào sự liên hệ về dấu giữa Mx và y". Để xét sự liên hệ về dấu, ta khảo sát một đoạn dầm bị uốn cong trong hai trường hợp như trên hình 5.33. a A x b A x ) ) Mx M Mx Mx x Mx< y 0 Mx>0 y’’ y y’’< > 0 0 Từ hìnH ì n h ta5t. 3 3: X áM x đ ịn h h vẽ, h ấy giữ a c và y " lu ôấ uluc ủa đợ cờd ấ u, d ào nê n phương trình vi d n ôn ngư ư n g ch n h ồi phân của đường đàn hồi sẽ có dạng: y   M x (d) 1  y 2 2 EJ x 3 Trong thực tế , không cho phép các công trình hay chi tiết máy có chuyển vị lớn, nên góc xoay cũng bé và ta có thể bỏ qua y’2 so với 1. Phương trình vi phân có dạng gần đúng như sau: M EJ x y   x T 6
  7. rong đó, tích EJx là độ cứng của dầm khi uốn. (5-24) 5.15. THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐÀN HỒI BẰNG TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH. Để có được phương trình của góc xoay và đường đàn hồi ta phải tích phân phương trình vi phân (5.24). Vế phải của phương trình (5.24) chỉ là một hàm số của biến số z, nên phương trình vi phân đó là một phương trình vi phân thường. Lấy tích phân lần thứ nhất phương trình (5.24) ta được phương trình góc xoay: M   y'  x dz  (5-25) x C EJ Trong đó C là hằng số tích phân. 7
  8. Lấy tích phân lần thứ hai phương trình (5-25) ta được phương trình của đường    đàn M dz  C  dx y  x  D (5- hồi: E  Jx 26) Trong đó D là hằng số tích phân. Như vậy để có  và y ta phải lập được biểu thức của mô men uốn Mx và của độ cứng EJx. Các hằng số tích phân C và D được xác định theo các điều kiện biên. Ví dụ 6: Viết phương trình góc xoay và độ võng của một dầm bị ngàm và chịu lực tập trung ở đầu tự do. Dầm có độ cứng không đổi. q P B A z A z r c B l C l l / / 2 2 y y Hình 5.34:Tính độ Hình 5.35 Tính độ võng võng và Bài giải: Phương trình mô men uốn tại mặt cắt ngangócó hoành độ z là: Mx = - P (l-z) (a) Thay biểu thức đó vào (5-24), ta có phương trình vi phân của đường đàn hồi như sau: y  P (l  z) EJ x Vì EJx là hằng, nên lấy tích phân lần thứ nhất ta được phương trình của góc xoay: Pl E J x 2  = y = z  P z 8
  9.  C EJx 2 (b) Tích phân lần thứ hai ta được phương trình của đường đàn hồi: y = Pl   P   Cz  (c) 2E J x 6EJ z2 x z3 D Với dầm như đã cho, các điều kiện biên của dầm được xác định như sau: Khi z=0, thì độ võng và góc xoay bằng không y =0; y= 0. Với điều kiện biên đó, ta tìm được C=0 và D=0. Như vậy phương trình góc xoay và độ võng có dạng: 2 Plz   3  z    y  Pl Pz ; 2  z  y    EJ x 2EJ 6EJ  l  x Nhìn trên hình (hình 5.34), ta thấy ngay độ võng và góc xoay có giá trị lớn nhất là Pl 3 ; Pl 2 ở đầu tự do của dầm f  (tại z=1): 3EJ max 2EJ x x  9
  10. Các giá trị này đều dương, điều đó chứng tỏ rằng độ võng hướng theo chiều dương của trục y (hướng xuống dưới) và mặt cắt ngang tại đó có góc xoay thuận chiều kim đồng hồ. Ví dụ 7: Một dầm chịu lực như hình 5-35.Biết độ cứng chống uốn EJ không đổi. Tìm độ võng fc tại C và góc xoay  tại A, B ?. Giải: Phương trình mô men uốn tại mặt cắt ngang có hoành độ z là: q M  x lz  z 2  2 (a) Thay biểu thức đó vào (5-24), ta có phương trình của đường đàn hồi như sau: 2 y  q z  lz 2EJ x Vì EJx là hằng số, nên lấy tích phân lần thứ nhất ta được phương trình của góc xoa  q 3 z  2   (b) y: y   lz C 2EJ x  3 2  Tích phân lần thư 2 ta được phương trình của đường đàn hồi:  3  y  q 4 z    Cz (c)  lz  D 2EJ x  12 6  Với dầm như đã cho, các điều kiện biên của dầm được xác định như sau: Khi z = 0, y = 0 (*) ; z=l , y = 0 (**) Thay lần lượt (*) và (**) vào (b) và (c), ta ql 3 có: D=0 ; C   24EJ Như vậy, phương trình góc xoay và độ x võng có dạng:  2  = y' = q 3 z lz  ql 3     2EJ x  3 2  24EJ x 3 10
  11.   3 y  q 4 z lz  ql  z (d)    2EJ x  12 6  24EJ x 4 3 3    0 ;   ql  0;  ql  0 f c  y  5 ql 1 24EJ 24EJ x   38 EJ A x B  4 2 x     Chú ý: fc >0 chứng tỏ độ võng đi xuống theo chiều dương của y; A>0 chứng tỏ góc xoay theo chiều thuận kim y đồng hồ; B< 0 chứng tỏ theo > >0 chiều ngược kim đông hồ. Sở dỉ 0 như vậy là hệ trục ozy đã chọn khác với hệ trục toạ độ toán học O z O z mà ta thường gặp , hình 5.36. y 5.16. XÁC ĐỊNH ĐỘ Hình 5.36: Thay đổi hệ toạ VÕNG VÀ GÓC độ XOAY BẰNG PHƯƠNG PHÁP TẢI TRỌNG GIẢ TẠO (PHƯƠNG PHÁP ĐỒ TOÁN). Ở trên ta đã thiết lập sự liên hệ vi phân giữa nội lực và ngoại lự: 11
  12. dQ  q; dM  Q dz dz d2M Rút ra  (a) : q dz 2 Còn đối với đường đàn hồi ta có phương trình vi phân: d2  M y dz ) EJ (b 2 Đối chiếu hai phương trình (a) và (b), chúng ta thấy có sự tương tự nhau: y M dy  dM  Q dz y' dz 2 2 d d y  (y' )   d M d (Q)  q M  2 dz 2 dz EJ dz dz Chúng ta nhận thấy muốn tính góc xoay y' và độ võng y thì phải lấy tích phân M , cũng như muốn có lực cắt Q và mô liên tiếp 1 lần và 2 lần hàm số men uốn M thì EJ phải lấy tích phân liên tiếp 1 lần và 2 lần hàm số tải trọng q (tức là vẽ biểu đồ). Vậy nếu đặt q  (5-27) M thì chúng ta có sự tương gt E đương : J M q d2 y   EJ gt dz 2 y '  gt Q y M gt Trong đó: qgt - Tải trọng giả tạo. Qgt - Lực cắt giả tạo. 12
  13. Mgt - Mô men uốn giả tạo. Tóm lại, chúng ta thấy rằng muốn tính góc xoay y' và độ võng y thì chỉ cần vẽ biểu đồ lực cắt giả tạo Qgt và mô men uốn giả tạo Mgt do tải trọng phân bố giả tạo qgt tác dụng trên một dầm giả tạo nào đó gây ra. Điều kiện: y' = Qgt ; y = Mgt phải được thỏa mãn ở mọi điểm trong cả hai dầm thực đã cho và dầm giả tạo hay nói cách khác, biểu đồ độ võng và góc xoay trong dầm thực phải hoàn toàn trùng với biểu đồ mô men uốn giả tạo và lực cắt giả tạo trong dầm giả tạo. Tức là: - Ở một mặt cắt ngang nào đó trong dầm thực, góc xoay và độ võng (do tác dụng của tải trọng đã cho) phải bằng lực cắt giả tạo và mô men uốn giả tạo ở mặt cắt ngang tương ứng của dầm giả tạo (do tác dụng của tải trọng phân bố giả tạo). Muốn các điều kiện trên được thỏa mãn thì bắt buộc phải có sự tương đương giữa dầm thực và dầm giả tạo về điều kiện biên. Để làm sáng tỏ vấn đề chọn dầm giả tạo, chúng ta xét một ví dụ sau. 13
  14. Trên hình 5.36 biểu diễn một dầm thực AB, đầu mút A được tự do và đầu mút B bị ngàm. Đối với dầm thực này, độ võng và góc xoay ở đầu mút A đều khác không, nhưng ở đầu mút B đều bằng không (vì bị ngàm). Do đó, mô men uốn giả tạo Mgt và lực cắt giả tạo Qgt ở dầm thự y= đầu mút A tương ứng của A y0 c 0 B dầm giả tạo phải khác không y’ và ở đầu mút B phải bằng y’ = a không. Tức là dầm giả tạo 0 ) 0 phải là một dầm bị ngàm ở đầu mút A và tự do ở đầu Mgt Mgt 0 =0 mút B. B Mỗi dầm thực sẽ có một dầm A giả tạo tương ứng. Trong bảng 5.1 biểu Qgt0 Qgt= diễn các dầm thực và dầm giả P 0 tạo tương ứng. * Nhận xét: Theo Hình 5.36: Dầm thực và (5.27) thì qgt dầm giả luôn luôn ngược dấu với tạo mômen uốn M, như vậy nếu tung độ của biểu đồ mômen uốn nằm ở phía dưới đường chuẩn thì tải trọng phân bố giả tạo qgt phải hướng xuống dưới, và ngược lại. Hay nói cách khác, tải trọng phân bố giả tạo luôn luôn hướng về phía các thớ căng của dầm thực (hay hướng theo tung độ của biểu đồ mômen uốn M). Dầm thực và dầm giả tạo tương ứng Bảng 5.1 Dầm thực Dầm giả tạo y=0 y= Mgt Mgt= = 0 0 y’ 0 y’ 0 Q  0 0 gt y = y  0 0 Mg Mgt t= y’= 0 y’  0 0 Q = 0  Q  y= 0  ’ y  0 0
  15. gt  g t 0   0  Mg Mgt y= 0 t = M g t 0 gt  = 0 gt  y’0 y’ Q Q 0gt Q  0 0 0 0 y 0 Mg Mg Mg Mgt y’ y= y= t t= 0g t= 0g 0 gt Q 0 0g Q Q Q 0 0 0 t t t y’  0 0 0 y’ 0 0 Mgt= Mgt= y y = 0 gt= Q 0 gt= Q = Bảng y0 0 0 ’= Diện tích 5.2 0 ’= y Z Hình 0 c Đường f cong z ậc 2 111 c Đường cong
  16. 2 1 fl 3 2 2 fl 3l 3 8 fl 1 n n 1 2 Khi xác định lực cắt giả tạo và mô men uốn giả tạo, chúng ta cần biết diện tích và trọng tâm của một số biểu đồ dạng đường cong bậc hai và bậc cao. Trên bảng 5.2 có ghi diện tích và trọng tâm của một số biểu đồ đó. Ví dụ 8: Tính độ võng và góc xoay ở đầu mút tự do của dầm chịu lực như trên hình 5.37. Bài giải: Trên hình 5.37b biểu diễn biểu đồ A a) mô men uốn M trong dầm thực. l Theo (5-27) và bảng 5.1, tải trọng giả tạo và dầm giả tạo được biểu diễn như P trên hình 5.37c. Pl Biểu đồ Để tính góc xoay và độ võng ở đầu M b) mút tự do A của dầm thực, chúng ta sẽ tính Pl lực cắt giả tạo Qgt và mô men uốn giả tạo EJ Mgt ở ngàm A trong dầm giả tạo: c) 1 Pl 2 Hình 5.37: Xác định  A    Pl độ Q gt ( A )  l  2EJ 2 võng và góc xoay EJ 3 bằng 1  Pl  l  2 .l  Pl ồ toán y   M gt A ) (A 2 EJ 3 3EJ Ví dụ 9: Xác định độ võng và góc xoay ở đầu mút tự do A 112
  17. của một trục chịu lực như hình 5.38. Bài giải: Biểu đồ mô men uốn M trong dầm thực được biểu diễn trên hình 5.38b. Dựa (5-27) và bảng 5.1 chúng ta sẽ tính tải trọng phân bố giả tạo và chọn dầm giả tạo như hình 5.38c. Để tính lực cắt giả tạo và mô men uốn giả tạo ở A, chúng ta sẽ chia dầm giả tạo thành ba đoạn như trên hình 5.38d. Phản lực ở B và C của dầm giả tạo giữa bằng: Vgt(B)=Vgt(C) Pa  a  2 Pa  2   1 3Pa a  2  4EJ 2EJ  EJ  113
  18. Góc xoay và độ võng ở A trong dầm thực là lực cắt giả tạo và mô men uốn giả tạo ở A trên dầm giả tạo:  Q V 1 Pa Pa Pa2 2 2  Pa A gt(A) gt a  =  (B 2 EJ ) EJ 2E 2E 2Pa 3 1 pa 2 J J Pa Pa 3 3 y(A) = Mgt(A) = . .a. a    = -Vgt(B).a + 2 3 EJ  3EJ EJ 3E J 3 P M0=2P EJ M0=2P P a 4 a A D E B C E a a a a a P a P a ) a P b P a a ) p  Pa  Pa a EJ 2E EJ J 3Pa 3 c pa 4EJ V ) g P 4E Pa t a B 2E J EJ J Vgt P a C E J B C A D C D 114
  19. Vgt 3P Vgt a 3P C a B Kết quả góc xoay m ang d4 E J cộng, nghĩa là mặt cắt ấu 4n g ang ở A xoay thuận theo chiều kim đồng hồ và độ võng ở A EJ mang dấu trd ) tức là võng lên trên. ừ, Hình 5.38: Xác định độ võng và 5.17. PHƯƠNG PHÁP T H Ô N G SỐ Bn g góc x o ay bằ A N pĐh ư ơ.ng pháp đồ toán ẦU Phương pháp tích phân không định hạn để tìm độ võng từ phương trình vi phân (5- 24) sẽ trở nên cồng kềnh, khó khăn khi phải lập biểu thức mômen uốn cho nhiều đoạn. Bài toán sẽ được giải quyết dễ dàng hơn nếu ta dùng phương pháp thông số ban đầu, một phương pháp được sử dụng rộng rãi trong cơ học công trình.Trong điều kiện xuất hiện các phép tính, thông qua sự phát triển của công nghệ thông tin, thì phương pháp này rất thuận lợi. Xét dầm nằm ngang có n đoạn, gọi tên các đoạn bắt đầu từ 1 theo chiều trục z từ trái sang phải. Xét đoạn thứ nhất có gốc tọa độ nằm ở mút bên trái (hình 5.39). Trong trường hợp tổng quát, ở mút này có: - Độ võng y0. 115
  20. - Góc xoay 0 = y'0 . - Mô men tập trung M0 với chiều dương thuận chiều kim đồng hồ. - Lực tập trung P0 với chiều dương hướng lên trên. - Lực ngang phân bố cường độ q0 với chiều dương hướng lên trên, các đạo hàm của cường độ lực phân bố là q0', q0"... P Dấu dương của các lực phù hợp với 0 dấu quy ước dấu trong các quan hệ vi phân và q bước nhảy đã biết: M0 d 2 M  dQ  y q dz 0=y (z) dz 2 yi’ M  M 0 ’0 Q  P0 z Khai triển Mác-Laurin đối với hàm độ võng y1 tại z = 0: Hình 5.39: Xác định y1 = y(0) + y'(0)z + độ võng và góc xoay y"(0) bàng phương pháp thông số ban đầu z  2 3  y IV 4  y V  ... 5 y'"(0) z (0) z (0) z 2! 3! 4! 5! (5- 28) y   y"'   y Thay IV   y V  M; Q; q ;  thế : EJ EJ q' EJ EJ y 0  M(0 M y  Q(0) P Ta )  có:  0 ;   0 EJ  EJ EJ EJ y IV 0   q(0)   q0 EJ EJ y V (0)   q' (0)   q'0 116
Đồng bộ tài khoản