Bài giảng toán cao cấp (A2) - TS. Lê Bá Long & Đỗ Phi Nga

Chia sẻ: tiemtraicay

Toán cao cấp A1, A2, A3 là chương trình toán đại cương dành cho sinh viên các nhóm ngành toán và nhóm ngành thuộc khối kỹ thuật. Nội dung của toán cao cấp A1, A3 chủ yếu là phép tính vi tích phân của hàm một hoặc nhiều biến, còn toán cao cấp A2 là các cấu trúc đại số và đại số tuyến tính.

Bạn đang xem 20 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Bài giảng toán cao cấp (A2) - TS. Lê Bá Long & Đỗ Phi Nga

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG
------- -------




BÀI GIẢNG


TOÁN CAO CẤP (A2)
Biên soạn : Ts. LÊ BÁ LONG
Ths. ĐỖ PHI NGA




Lưu hành nội bộ




HÀ NỘI - 2006
LỜI NÓI ĐẦU

Toán cao cấp A1, A2, A3 là chương trình toán đại cương dành cho sinh viên các nhóm ngành
toán và nhóm ngành thuộc khối kỹ thuật. Nội dung của toán cao cấp A1, A3 chủ yếu là phép tính
vi tích phân của hàm một hoặc nhiều biến, còn toán cao cấp A2 là các cấu trúc đại số và đại số
tuyến tính. Có khá nhiều sách giáo khoa và tài liệu tham khảo viết về các chủ đề này. Tuy nhiên
với phương thức đào tạo từ xa có những đặc thù riêng, đòi hỏi học viên làm việc độc lập nhiều
hơn, do đó cần phải có tài liệu hướng dẫn học tập thích hợp cho từng môn học. Tập tài liệu hướng
dẫn học môn toán cao cấp A2 này được biên soạn cũng nhằm mục đích trên.
Tập tài liệu này được biên soạn theo chương trình qui định năm 2001 của Học viện Công
nghệ Bưu Chính Viễn Thông. Nội dung của cuốn sách bám sát các giáo trình của các trường đại
học kỹ thuật, giáo trình dành cho hệ chính qui của Học viện Công nghệ Bưu Chính Viễn Thông
biên soạn năm 2001 và theo kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm của tác giả. Chính vì thế, giáo trình
này cũng có thể dùng làm tài liệu học tập, tài liệu tham khảo cho sinh viên của các trường, các
ngành đại học và cao đẳng.
Giáo trình được trình bày theo cách thích hợp đối với người tự học, đặc biệt phục vụ đắc lực
cho công tác đào tạo từ xa. Trước khi nghiên cứu các nội dung chi tiết, người đọc nên xem phần
giới thiệu của mỗi chương cũng như mục đích của chương (trong sách Hướng dẫn học tập Toán
A2 đi kèm) để thấy được mục đích ý nghĩa, yêu cầu chính của chương đó. Trong mỗi chương, mỗi
nội dung, người đọc có thể tự đọc và hiểu được cặn kẽ thông qua cách diễn đạt và chứng minh rõ
ràng. Đặc biệt bạn đọc nên chú ý đến các nhận xét, bình luận để hiểu sâu hơn hoặc mở rộng tổng
quát hơn các kết quả. Hầu hết các bài toán được xây dựng theo lược đồ: Đặt bài toán, chứng minh
sự tồn tại lời giải bằng lý thuyết và cuối cùng nêu thuật toán giải quyết bài toán này. Các ví dụ là
để minh hoạ trực tiếp khái niệm, định lý hoặc các thuật toán, vì vậy sẽ giúp người đọc dễ dàng
hơn khi tiếp thu bài học.
Giáo trình gồm 7 chương tương ứng với 4 đơn vị học trình (60 tiết):
Chương I: Lô gích toán học, lý thuyết tập hợp, ánh xạ và các cấu trúc đại số.
Chương II: Không gian véc tơ.
Chương III: Ma trận.
Chương IV: Định thức.
Chương V: Hệ phương trình tuyến tính
Chương VI: Ánh xạ tuyến tính.
Chương VII: Không gian véc tơ Euclide và dạng toàn phương.
Ngoài vai trò là công cụ cho các ngành khoa học khác, toán học còn được xem là một
ngành khoa học có phương pháp tư duy lập luận chính xác chặt chẽ. Vì vậy việc học toán cũng
giúp ta rèn luyện phương pháp tư duy. Các phương pháp này đã được giảng dạy và cung cấp
từng bước trong quá trình học tập ở phổ thông, nhưng trong chương I các vấn đề này được hệ
thống hoá lại. Nội dung của chương I được xem là cơ sở, ngôn ngữ của toán học hiện đại. Một
vài nội dung trong chương này đã được học ở phổ thông nhưng chỉ với mức độ đơn giản. Các
cấu trúc đại số thì hoàn toàn mới và khá trừu tượng vì vậy đòi hỏi học viên phải đọc lại nhiều
lần mới tiếp thu được.
Các chương còn lại của giáo trình là đại số tuyến tính. Kiến thức của các chương liên hệ
chặt chẽ với nhau, kết quả của chương này là công cụ của chương khác. Vì vậy học viên cần thấy
được mối liên hệ này. Đặc điểm của môn học này là tính khái quát hoá và trừu tượng cao. Các
khái niệm thường được khái quát hoá từ những kết quả của hình học giải tích ở phổ thông. Khi
học ta nên liên hệ đến các kết quả đó.
Tuy rằng tác giả đã rất cố gắng, song vì thời gian bị hạn hẹp cùng với yêu cầu cấp bách của
Học viện, vì vậy các thiếu sót còn tồn tại trong giáo trình là điều khó tránh khỏi. Tác giả rất mong
sự đóng góp ý kiến của bạn bè đồng nghiệp, học viên xa gần và xin cám ơn vì điều đó.
Cuối cùng chúng tôi bày tỏ sự cám ơn đối với Ban Giám đốc Học viện Công nghệ Bưu
Chính Viễn Thông, Trung tâm Đào tạo Bưu Chính Viễn Thông 1 và bạn bè đồng nghiệp đã
khuyến khích động viên, tạo nhiều điều kiện thuận lợi để chúng tôi hoàn thành tập tài liệi này.


Hà Nội, cuối năm 2004.
Ts. Lê Bá Long
Khoa cơ bản 1
Học Viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông
Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số




1. CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU VỀ LÔGÍC MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP
ÁNH XẠ VÀ CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ


1.1 SƠ LƯỢC VỀ LÔGÍC MỆNH ĐỀ
1.1.1 Mệnh đề
Lôgíc mệnh đề là một hệ thống lôgích đơn giản nhất, với đơn vị cơ bản là các mệnh đề
mang nội dung của các phán đoán, mỗi phán đoán được giả thiết là có một giá trị chân lý nhất
định là đúng hoặc sai.
Để chỉ các mệnh đề chưa xác định ta dùng các chữ cái p, q, r... và gọi chúng là các biến
mệnh đề. Nếu mệnh đề p đúng ta cho p nhận giá trị 1 và p sai ta cho nhận giá trị 0. Giá trị 1
hoặc 0 được gọi là thể hiện của p .

Mệnh đề phức hợp được xây dựng từ các mệnh đề đơn gián hơn bằng các phép liên kết
lôgích mệnh đề.
1.1.2 Các phép liên kết lôgíc mệnh đề
1. Phép phủ định (negation): Phủ định của mệnh đề p là mệnh đề được ký hiệu p, đọc là
không p . Mệnh đề p đúng khi p sai và p sai khi p đúng.
2. Phép hội (conjunction): Hội của hai mệnh đề p, q là mệnh đề được ký hiệu p ∧ q (đọc
là p và q ). Mệnh đề p ∧ q chỉ đúng khi p và q cùng đúng.
3. Phép tuyển (disjunction): Tuyển của hai mệnh đề p, q là mệnh đề được ký hiệu p ∨ q
(đọc là p hoặc q ). p ∨ q chỉ sai khi p và q cùng sai.
4. Phép kéo theo (implication): Mệnh đề p kéo theo q , ký hiệu p ⇒ q , là mệnh đề chỉ
sai khi p đúng q sai.
5. Phép tương đương (equivalence): Mệnh đề ( p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) được gọi là mệnh đề
p tương đương q , ký hiệu p ⇔ q .
Một công thức gồm các biến mệnh đề và các phép liên kết mệnh đề được gọi là một công
thức mệnh đề. Bảng liệt kê các thể hiện của công thức mệnh đề được gọi là bảng chân trị.
Từ định nghĩa của các phép liên kết mệnh đề ta có các bảng chân trị sau

5
Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

p q p∧q p∨q
p p 1 1 1 1
1 0 1 0 0 1
0 1 0 1 0 1
0 0 0 0
p q p⇒q p q p⇒q q⇒ p p⇔q
1 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 0 0 1 0
0 1 1 0 1 1 0 0
0 0 1 0 0 1 1 1
Như vậy p ⇔ q là một mệnh đề đúng khi cả hai mệnh đề p và q cùng đúng hoặc cùng
sai và mệnh đề p ⇔ q sai trong trường hợp ngược lại.

Một công thức mệnh đề được gọi là hằng đúng nếu nó luôn nhận giá trị 1 trong mọi thể hiện
của các biến mệnh đề có trong công thức. Ta ký hiệu mệnh đề tương đương hằng đúng là " ≡ "
thay cho " ⇔ ".
1.1.3 Các tính chất
Dùng bảng chân trị ta dễ dàng kiểm chứng các mệnh đề hằng đúng sau:

1) p≡ p luật phủ định kép.

2) ( p ⇒ q ) ≡ ( p ∨ q ) .

3) p ∧ q ≡ q ∧ p, p ∨ q ≡ q ∨ p luật giao hoán.

4) p ∧ (q ∧ r ) ≡ ( p ∧ q) ∧ r
p ∨ (q ∨ r ) ≡ ( p ∨ q) ∨ r luật kết hợp.

5) [ p ∧ (q ∨ r )] ≡ [( p ∧ q) ∨ ( p ∧ r )]

[ p ∨ (q ∧ r )] ≡ [( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r )] luật phân phối.

6) Mệnh đề p ∨ p luôn đúng luật bài chung.

p ∧ p luôn sai luật mâu thuẫn.

7) p∨q≡ p∧q

p∧q≡ p∨q luật De Morgan.

6
Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

8) p⇒q≡q ⇒ p luật phản chứng.

9) p ∨ p ≡ p; p ∧ p ≡ p luật lũy đẳng.

10) p ∨ ( p ∧ q) ≡ p ; p ∧ ( p ∨ q) ≡ p luật hấp thu.

1.2 TẬP HỢP
1.2.1 Khái niệm tập hợp
Khái niệm tập hợp và phần tử là khái niệm cơ bản của toán học, không thể định nghĩa qua
các khái niệm đã biết. Các khái niệm "tập hợp", "phần tử" xét trong mối quan hệ phân tử của tập
hợp trong lý thuyết tập hợp là giống với khái niệm "đường thẳng", "điểm" và quan hệ điểm trên
đường thẳng được xét trong hình học. Nói một cách nôm na, ta có thể xem tập hợp như một sự tụ
tập các vật, các đối tượng nào đó mà mỗi vật hay đối tượng là một phần tử của tập hợp. Có thể lấy
ví dụ về các tập hợp có nội dung toán học hoặc không toán học. Chẳng hạn: tập hợp các số tự
nhiên là tập hợp mà các phần tử của nó là các số 1,2,3..., còn tập hợp các cuốn sách trong thư viện
của Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông là tập hợp mà các phần tử của nó là các cuốn
sách.
Ta thường ký hiệu các tập hợp bởi các chữ in hoaA, B,... X ,Y ,... còn các phần tử bởi các
chữ thường x, y,... Nếu phần tử x thuộc A ta ký hiệu x ∈ A , nếu x không thuộc A ta ký hiệu
x ∉ A . Ta cũng nói tắt "tập" thay cho thuật ngữ "tập hợp".
1.2.2 Cách mô tả tập hợp
Ta thường mô tả tập hợp theo hai cách sau:
a) Liệt kê các phần tử của tập hợp
Ví dụ 1.1: Tập các số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 10 là {1, 3, 5, 7, 9 }.
Tập hợp các nghiệm của phương trình x 2 − 1 = 0 là {− 1,1}.
b) Nêu đặc trưng tính chất của các phần tử tạo thành tập hợp

Ví dụ 1.2: Tập hợp các số tự nhiên chẵn P = {n ∈ n = 2m, m ∈ }
Hàm mệnh đề trên tập hợp D là một mệnh đề S (x) phụ thuộc vào biến x ∈ D . Khi cho
biến x một giá trị cụ thể thì ta được mệnh đề lôgích (mệnh đề chỉ nhận một trong hai giá trị hoặc
đúng hoặc sai).
Nếu S (x) là một mệnh đề trên tập hợp D thì tập hợp các phần tử x ∈ D sao cho S (x )
đúng được ký hiệu {x ∈ D S (x)} và được gọi là miền đúng của hàm mệnh đề S (x) .
i) Xét hàm mệnh đề S (x) xác định trên tập các số tự nhiên : " x 2 + 1 là một số nguyên
tố" thì S (1), S ( 2) đúng và S (3), S ( 4) sai ...
7
Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

ii) Mỗi một phương trình là một hàm mệnh đề

{x∈ }
x 2 − 1 = 0 = {− 1, 1}.

Để có hình ảnh trực quan về tập hợp, người ta thường biểu diễn tập hợp như là miền phẳng
giới hạn bởi đường cong khép kín không tự cắt được gọi là giản đồ Ven.
c) Một số tập hợp số thường gặp

- Tập các số tự nhiên = { 0, 1, 2, ... }.
- Tập các số nguyên = { 0, ± 1, ± 2, ... }.

- Tập các số hữu tỉ = { p q q ≠ 0, p, q ∈ }.
- Tập các số thực .

- Tập các số phức {
= z = x + iy x, y ∈ ; i 2 = −1 . }
1.2.3 Tập con

Định nghĩa 1.1: Tập A được gọi là tập con của B nếu mọi phần tử của A đều là phần tử
của B , khi đó ta ký hiệu A ⊂ B hay B ⊃ A .

Khi A là tập con của B thì ta còn nói A bao hàm trong B hay B bao hàm A hay B
chứa A.

Ta có: ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ .

Định nghĩa 1.2: Hai tập A , B bằng nhau, ký hiệu A = B, khi và chỉ khi A ⊂ B và
B ⊂ A.
Như vậy để chứng minhA ⊂ B ta chỉ cần chứng minh x ∈ A ⇒ x ∈ B và vì vậy khi
chứng minh A = B ta chỉ cần chứng minh x ∈ A ⇔ x ∈ B .

Định nghĩa 1.3: Tập rỗng là tập không chứa phần tử nào, ký hiệu φ .

Một cách hình thức ta có thể xem tập rỗng là tập con của mọi tập hợp.

Tập hợp tất cả các tập con của X được ký hiệu A ∈ ( X ) khi và chỉ khi
P (X ) . Vậy P
A ⊂ X . Tập X là tập con của chính nó nên là phần tử lớn nhất còn φ là phần tử bé nhất trong
P (X ) .
Ví dụ 1.3: X = {a, b, c}
có P ( X ) = {φ ,{a},{b},{c},{a, b},{b, c},{c, a}, X }.
8
Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số


Ta thấy X có 3 phần tử thì P (X ) có 23 = 8 phần tử. Ta có thể chứng minh tổng quát
rằng nếu X có n phần tử thì P (X ) có 2n phần tử.
1.2.4 Các phép toán trên các tập hợp
1. Phép hợp: Hợp của hai tập A và B , ký hiệu A ∪ B , là tập gồm các phần tử thuộc ít
nhất một trong hai tập A , B .

Vậy (x ∈ A ∪ B ) ⇔ ((x ∈ A) ∨ (x ∈ B )) .
2. Phép giao: Giao của hai tập A và B , ký hiệu A ∩ B , là tập gồm các phần tử thuộc
đồng thời cả hai tập A , B .

Vậy (x ∈ A ∩ B ) ⇔ ((x ∈ A) ∧ (x ∈ B )) .
3. Hiệu của hai tập: Hiệu của hai tập A và B , ký hiệu A \ B hay A − B , là tập gồm các
phần tử thuộc A nhưng không thuộc B .

Vậy (x ∈ A \ B ) ⇔ ((x ∈ A) ∧ (x ∉ B )) .
Đặc biệt nếu B ⊂ X thì tập X \ B được gọi là phần bù của B trong X và
B
được ký hiệu là C X . Nếu tập X cố định và không sợ nhầm lẫn thì ta ký hiệu B thay cho
B
CX .
Ta có thể minh hoạ các phép toán trên bằng giản đồ Ven:




B
A∩ B A∪ B CX

Áp dụng lôgích mệnh đề ta dễ dàng kiểm chứng lại các tính chất sau:
1. A ∪ B = B ∪ A,
A∩ B = B∩ A tính giao hoán.
2. A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B) ∪ C ,
A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C tính kết hợp.

3. A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) ,
9
Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) tính phân bố.

Giả sử A, B là hai tập con của X thì:

4. A = A; A ∪ φ = A; A ∩ X = A

5. A∪ A = X; A∩ A =φ

6. A ∪ B = A ∩ B ; A ∩ B = A ∪ B luật De Morgan

7. ( )
A \ B = A ∩ B = A ∩ A ∩ B = A \ ( A ∩ B) = C A ∩ B .
A

1.2.5 Lượng từ phổ biến và lượng từ tồn tại
Giả sử S (x) là một hàm mệnh đề xác định trên tập D có miền đúng
DS ( x) = {x ∈ D S ( x)}. Khi đó:

a) Mệnh đề ∀x ∈ D , S ( x) (đọc là với mọi x ∈ D , S ( x) ) là một mệnh đề đúng nếu
DS ( x ) = D và sai trong trường hợp ngược lại.

Ký hiệu ∀ (đọc là với mọi) được gọi là lượng từ phổ biến.

Khi D đã xác định thì ta thường viết tắt ∀x , S ( x) hay (∀x ), S ( x) .
b) Mệnh đề ∃x ∈ D , S ( x) (đọc là tồn tại x ∈ D , S ( x) ) là một mệnh đề đúng nếu
DS (x ) ≠ φ và sai trong trường hợp ngược lại.

Ký hiệu ∃ (đọc là tồn tại) được gọi là lượng từ tồn tại.
Để chứng minh một mệnh đề với lượng từ phổ biến là đúng thì ta phải chứng minh đúng
trong mọi trường hợp, còn với mệnh đề tồn tại ta chỉ cần chỉ ra một trường hợp đúng.
c) Người ta mở rộng khái niệm lượng tử tồn tại với ký hiệu ∃! x ∈ D, S ( x) (đọc là tồn tại
duy nhất x ∈ D, S ( x) ) nếu DS (x ) có đúng một phần tử.
d) Phép phủ định lượng từ

(
∀x ∈ D, S ( x) ⇔ ∃x ∈ D, S ( x) )
∃x ∈ D, S ( x) ⇔ ( ∀x ∈ D, S ( x) ) (1.1)

Ví dụ 1.4: Theo định nghĩa của giới hạn

lim f ( x) = L ⇔ ∀ε > 0 , ∃δ > 0 ; ∀x : 0 < x − a < δ ⇒ f ( x) − L < ε .
x →a

10
Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

Sử dụng tính chất hằng đúng ( p ⇒ q ) ≡ ( p ∨ q ) (xem tính chất 1.3) ta có
0 < x − a < δ ⇒ f ( x) − L < ε tương đương với

(( x − a ≥ δ ) ∨ (x = a ))∨ ( f ( x) − L < ε ) .
Vậy phủ định của lim f ( x) = L là
x→a

∃ε > 0 , ∀δ > 0 ; ∃x : ( 0 < x − a < δ ) ∧ ( f ( x) − L ≥ ε ).
1.2.6 Phép hợp và giao suy rộng

Giả sử ( Ai )i∈I là một họ các tập hợp. Ta định nghĩa U Ai là tập gồm các phần tử thuộc
i∈I
ít nhất một tập Ai nào đó và I Ai là tập gồm các phần tử thuộc mọi tập Ai .
i∈I

Vậy (x ∈ Ui∈I Ai ) ⇔ (∃i0 ∈ I ; x ∈ Ai ) 0

(x ∈ Ii∈I Ai ) ⇔ (∀i ∈ I ; x ∈ Ai ). (1.2)

Ví dụ 1.5: An = {x ∈ 0 ≤ x ≤ n (n + 1)}

Bn = {x ∈ − 1 (n + 1) ≤ x < 1 + 1 (n + 1)}
∞ ∞
U A = [0 ; 1) , I B = [0 ; 1] .
n =1
n
n =1
n



1.2.7 Quan hệ
1.2.7.1 Tích Đề các của các tập hợp
Định nghĩa 1.4: Tích Đề các của hai tập X , Y là tập, ký hiệu X × Y , gồm các phần tử có
dạng ( x, y ) trong đó x ∈ X và y ∈ Y .
Vậy X × Y = {( x, y ) x ∈ X vµ y ∈ Y }. (1.3)

Ví dụ 1.6: X = {a, b, c}, Y = {1, 2}
X × Y = {( a,1), (b,1), (c,1), ( a,2), (b,2), (c,2)}
Ta dễ dàng chứng minh được rằng nếu X có n phần tử, Y có m phần tử thì X × Y có
n×m phần tử.


11
Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

Cho X 1 , X 2 , ..., X n là n tập hợp nào đó, ta định nghĩa và ký hiệu tích Đề các của n tập
hợp này như sau:

X1 × X 2 × ... × X n = { ( x1, x2 ,..., xn ) xi ∈ X i , i = 1,2,..., n}. (1.4)

Chú ý 1.1:

1. Khi X 1 = ... = X n = X thì ta ký hiệu X n thay cho 1×2×3 .
X 4... 4X
n lÇn

2. Tích Đề các X 1 × X 2 × ... × X n còn được ký hiệu ∏i∈I X i .
3. Giả sử ( x1 ,..., xn ) ∈ X 1 × ... × X n ; ( x'1 ,..., x'n ) ∈ X 1 × ... × X n thì

( x1,..., xn ) = ( x'1 ,..., x'n ) ⇔ xi = x 'i , ∀i = 1,..., n
4. Tích Đề các của các tập hợp không có tính giao hoán.

1.2.7.2 Quan hệ hai ngôi

Định nghĩa 1.5: Cho tập X ≠ φ , mỗi tập con R ⊂ X × X được gọi là một quan hệ hai
ngôi trên X . Với x, y ∈ X mà ( x, y ) ∈ R ta nói x có quan hệ với y theo quan hệ R và ta
viết xRy .

Ví dụ 1.7: Ta xét các quan hệ sau trên tập các số:

R1 : xR1 y ⇔ xM y ( x chia hết cho y ) , ∀x, y ∈

R2 : xR2 y ⇔ ( x, y ) = 1 ( x và y nguyên tố cùng nhau) ∀x, y ∈
R3 : xR3 y ⇔ x ≤ y ( x nhỏ hơn hay bằng y ) ∀x, y ∈
R4 : xR4 y ⇔ x − y Mm , ∀x, y ∈ . Ta ký hiệu x ≡ y(mod m) và đọc là
x đồng dư với y môđulô m.

Định nghĩa 1.6: Quan hệ hai ngôi R trên X được gọi là có tính:
a) Phản xạ, nếu xRx, ∀x ∈ X ;
b) Đối xứng, nếu ∀x, y ∈ X mà xRy thì cũng có yRx ;
c) Bắc cầu, nếu ∀x, y, z ∈ X mà xRy và yRz thì cũng có xRz ;

d) Phản đối xứng, nếu ∀x, y ∈ X mà xRy và yRx thì x = y .
12
Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

Ví dụ 1.8:R1 phản đối xứng, bắc cầu nhưng không đối xứng, không phản xạ (vì 0 không
chia hết cho 0). R2 đối xứng, không phản xạ, không phản xứng, không bắc cầu. R3 phản xạ,
phản đối xứng, bắc cầu. R4 phản xạ, đối xứng, bắc cầu.

1.2.7.3 Quan hệ tương đương
Định nghĩa 1.8: Quan hệ hai ngôi R trên X ≠ φ được gọi là quan hệ tương đương nếu có
ba tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu.
Với quan hệ tương đương R ta thường viết x ~ y ( R ) hoặc x ~ y thay cho xRy .
Ta định nghĩa và ký hiệu lớp tương đương của phần tử x ∈ X là tập hợp
x = {y ∈ X y ~ x}. Mỗi phần tử bất kỳ của lớp tương đương x được gọi là phần tử đại diện
của x . Người ta cũng ký hiệu lớp tương đương của x là cl (x) .

Hai lớp tương đương bất kỳ thì hoặc bằng nhau hoặc không giao nhau, nghĩa là x ∩ x'
hoặc bằng x = x' hoặc bằng φ , nói cách khác các lớp tương đương tạo thành một phân hoạch
các tập con của X .

Tập tất cả các lớp tương đương được gọi là tập hợp thương, ký hiệu X ~ . Vậy
X ~ = {x x ∈ X }.
Ví dụ 1.9: Quan hệ R4 trong ví dụ 1.7 là một quan hệ tương đương gọi là quan hệ đồng
dư môđulô m trên tập các số nguyên . Nếu x ~ y , ta viết
x ≡ y (mod m) .
Ta ký hiệu tập thương gồm m số đồng dư môđulô m:

{
m = 0 , 1, ..., m − 1 .}
r
Ví dụ 1.10: Trong tập hợp các véc tơ tự do trong không gian thì quan hệ "véc tơ u bằng
r
véc tơ v " là một quan hệ tương đương. Nếu ta chọn gốc O cố định thì mỗi lớp tương đương bất
kỳ đều có thể chọn véc tơ đại diện dạng OA .
1.2.7.4 Quan hệ thứ tự
Định nghĩa 1.8: Quan hệ hai ngôi R trên X ≠ φ được gọi là quan hệ thứ tự nếu có ba
tính chất phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu.
Ví dụ 1.11:
1) Trong , , , quan hệ " x ≤ y" là một quan hệ thứ tự.

13
Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

2) Trong quan hệ " xM y" là một quan hệ thứ tự.

3) Trong P (X ) , tập hợp tất cả các tập con của X , quan hệ "tập con" ( A ⊂ B ) là một
quan hệ thứ tự.
Khái niệm quan hệ thứ tự được khái quát hoá từ khái niệm lớn hơn (hay đứng sau) trong
các tập số, vì vậy theo thói quen người ta cũng dùng ký hiệu "≤ " cho quan hệ thứ tự bất kỳ.

Quan hệ thứ tự "≤ " trên tập X được gọi là quan hệ thứ tự toàn phần nếu hai phần tử bất
kỳ của X đều so sánh được với nhau. Nghĩa là với mọi x, y ∈ X thì x ≤ y hoặc y ≤ x . Quan
hệ thứ tự không toàn phần được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận.

Tập X với quan hệ thứ tự "≤ " được gọi là tập được sắp. Nếu "≤ " là quan hệ thứ tự
toàn phần thì X được gọi là tập được sắp toàn phần hay sắp tuyến tính.

Ví dụ 1.12: Các tập ( , ≤), ( , ≤), ( , ≤), ( , ≤) được sắp toàn phần, còn ( ,M) và
(P (X ), ⊂ ) được sắp bộ phận (nếu X có nhiều hơn 1 phần tử).
Định nghĩa 1.9: Cho tập được sắp ( X , ≤) và tập con A ⊂ X . Tập A được gọi là bị chặn
trên nếu tồn tại q ∈ X sao cho a ≤ q , với mọi a ∈ A . Khi đó q được gọi là một chặn trên của A .

Hiển nhiên rằng nếu q là một chặn trên của A thì mọi p ∈ X mà q ≤ p đều là chặn
trên của A.
q của A ( theo nghĩa q ≤ q' , với mọi chặn trên q' của A )
Phần tử chặn trên nhỏ nhất
được gọi là cận trên của A và được ký hiệu q = sup A . Rõ ràng phần tử cận trên nếu tồn tại là
duy nhất.
Tương tự tậpA được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại p ∈ X sao cho p ≤ a , với mọi
a ∈ A . Phần tử chặn dưới lớn nhất được gọi là cận dưới của A và được ký hiệu inf A . Cận
dưới nếu tồn tại cũng duy nhất.
Nói chung sup A , inf A chưa chắc là phần tử của A . Nếu q = sup A ∈ A thì q
được gọi là phần tử lớn nhất của A ký hiệu q = max A .

Tương tự nếu p = inf A ∈ A thì p được gọi là phần tử bé nhất của A ký hiệu
p = min A .
Ví dụ 1.13: Trong ( , ≤) , tập A = [0 ;1) = {x ∈ 0 ≤ x < 1} có
1 = sup A∉ A , inf A = 0 ∈ A
do đó không tồn tại max A nhưng tồn tại min A = inf A = 0 .
14
Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

1.3 ÁNH XẠ
1.3.1 Định nghĩa và ví dụ
Khái niệm ánh xạ được khái quát hoá từ khái niệm hàm số trong đó hàm số thường được
cho dưới dạng công thức tính giá trị của hàm số phụ thuộc vào biến số. Chẳng hạn, hàm số
y = 2 x với x ∈ là quy luật cho ứng
0 a 0,1 a 2, 2 a 4, 3 a 6, ...
Ta có thể định nghĩa ánh xạ một cách trực quan như sau:
Định nghĩa 1.10: Một ánh xạ từ tập X vào tập Y là một quy luật cho tương ứng mỗi một
phần tử x ∈ X với một phần tử duy nhất y = f (x) của Y .
f
Ta ký hiệu f :X ⎯ Y
⎯→ hay X⎯⎯→ Y
x a y = f (x) x a y = f (x)
X được gọi là tập nguồn, Y được gọi là tập đích.
Ví dụ 1.14:

• • • • • •
• • • • • •
• • • • • •
• • • • • •


X Y X Y X Y
Trong 3 tương ứng trên chỉ có tương ứng thứ 3 xác định một ánh xạ từ X vào Y .
Ví dụ 1.15: Mỗi hàm số y = f (x) bất kỳ có thể được xem là ánh xạ từ tập D là miền
xác định của y = f (x) vào . Chẳng hạn:

Hàm lôgarit y = ln x là ánh xạ ln : * →
+
x a y = ln x

Hàm căn bậc hai y = x là ánh xạ : +→

xa y= x.
Định nghĩa 1.11: Cho ánh xạ f : X → Y và A ⊂ X , B ⊂ Y .
f ( A) = { f ( x) x ∈ A} (1.5)

15
Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

được gọi là ảnh của A qua ánh xạ f .
Nói riêng f ( X ) = Im f được gọi là tập ảnh hay tập giá trị của f .

f −1 ( B ) = {x ∈ X f ( x) ∈ B} (1.6)

được gọi là nghịch ảnh của tập con B của Y .
Khi B là tập hợp chỉ có một phần tử {y} thì ta viết f − 1 ( y ) thay cho f −1 ({y}) . Vậy

f −1 ( y ) = {x ∈ X y = f ( x )}. (1.7)

1.3.2 Phân loại các ánh xạ
Định nghĩa 1.12:
1) Ánh xạ f : X → Y được gọi là đơn ánh nếu ảnh của hai phần tử phân biệt là hai phần
tử phân biệt.

Nghĩa là: Với mọi x1 , x2 ∈ X ; x1 ≠ x2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) hay một cách tương đương,
với mọi x1 , x2 ∈ X ; .

f ( x1 ) = f ( x2 ) ⇒ x1 = x2 (1.8)

f : X → Y được gọi là toàn ánh nếu mọi phần tử của Y là ảnh của phần tử nào
2) Ánh xạ
đó của X . Nghĩa là f ( X ) = Y hay

∀y ∈ Y , ∃x ∈ X sao cho y = f (x) . (1.9)

3) Ánh xạ f : X → Y vừa đơn ánh vừa toàn ánh được gọi là song ánh.
Chú ý 1.2: Khi ánh xạ f : X → Y được cho dưới dạng công thức xác định ảnh y = f (x)
thì ta có thể xác định tính chất đơn ánh, toàn ánh của ánh xạ f bằng cách giải phương trình:

y = f ( x), y ∈ Y (1.10)

trong đó ta xem x là ẩn và y là tham biến.
♦ Nếu với mọi y ∈ Y phương trình (1.10) luôn có nghiệm x ∈ X thì ánh xạ f là toàn
ánh.
♦ Nếu với mỗi y ∈ Y phương trình (1.10) có không quá 1 nghiệm x ∈ X thì ánh xạ f
là đơn ánh.
♦ Nếu với mọi y ∈ Y phương trình (1.10) luôn có duy nhất nghiệm x ∈ X thì ánh xạ
f là song ánh.
16
Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

Ví dụ 1.16: Cho ánh xạ f: →
x a y = f ( x ) = x ( x + 1)

Xét phương trình y = f ( x) = x( x + 1) = x 2 + x hay x 2 + x − y = 0 .
Biệt số Δ = 1 + 4 y > 0 (vì y ∈ ). Phương trình luôn có 2 nghiệm thực
( ) ( )
x1 = − 1 + 1 + 4 y 2 , x2 = − 1 − 1 + 4 y 2 . Vì x2 < 0 nên phương trình có không
quá 1 nghiệm trong . Vậy f là đơn ánh. Mặt khác tồn tại y ∈ mà nghiệm x1 ∉ (chẳng hạn
y = 1 ), nghĩa là phương trình trên vô nghiệm trong . Vậy f không toàn ánh.
Ví dụ 1.17: Các hàm số đơn điệu chặt:

• Đồng biến chặt: x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 )

• Nghịch biến chặt: x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 )

là các song ánh từ tập xác định lên miền giá trị của nó.
Ví dụ 1.18: Giả sử A là tập con của X thì ánh xạ
i: A → X
x a i ( x) = x

là một đơn ánh gọi là nhúng chính tắc.

Đặc biệt khi A = X ánh xạ i được ký hiệu Id X gọi là ánh xạ đồng nhất của X .
Ví dụ 1.19: Giả sử ~ là một quan hệ tương đương thì ánh xạ sau là một toàn ánh

p: X → X ~
x a p( x) = x

1.3.3 Ánh xạ ngược của một song ánh
f : X → Y là một song ánh khi đó với mỗi y ∈ Y tồn tại duy
Định nghĩa 1.13: Giả sử
nhất x ∈ X sao cho y = f (x) . Như vậy ta có thể xác định một ánh xạ từ Y vào X bằng cách
cho ứng mỗi phần tử y ∈ Y với phần tử duy nhất x ∈ X sao cho y = f (x) . Ánh xạ này được

gọi là ánh xạ ngược của f và được ký hiệu f −1 .

Vậy f −1 : Y → X và f −1 ( y ) = x ⇔ y = f ( x) .
(1.11)

f −1 cũng là một song ánh.

17
Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số


Ví dụ 1.20: Hàm mũ y = a x , a > 0, a ≠ 1
là một song ánh (vì hàm mũ đơn điệu chặt) có hàm ngược là hàm lôgarit

y = a x ⇔ x = log a y .
Ví dụ 1.21 Các hàm lượng giác ngược
Xét hàm
sin : [− π 2 ;π 2] → [− 1;1]
x a sin x
đơn điệu tăng chặt và toàn ánh nên nó là một song ánh. Hàm ngược được ký hiệu

arcsin : [− 1;1] → [− π 2 ;π 2]
y a arcsin y
x = arcsin y ⇔ y = sin x , ∀x ∈ [− 1;1], y ∈ [− π 2 ; π 2].
Tương tự hàm cos : [0;π ] → [− 1;1] đơn điệu giảm chặt có hàm ngược
arccos : [− 1;1] → [0;π ] ;
x = arccos y ⇔ y = cos x .
Hàm ngược arctg , arcotg được xác định như sau
x = arctg y ⇔ y = tg x , ∀x ∈ (− ∞; ∞ ), y ∈ (− π 2 ;π 2 ).
x = arc cot g y ⇔ y = cot g x , ∀x ∈ (− ∞; ∞ ), y ∈ (0;π ) .
1.3.4 Hợp (tích) của hai ánh xạ
f g
X → Y → Z thì tương ứng x a g ( f ( x)) xác định một
Định nghĩa 1.14: Với hai ánh xạ
ánh xạ từ X vào Z được gọi là hợp (hay tích) của hai ánh xạ f và g , ký hiệu g o f . Vậy
g o f : X → Z có công thức xác định ảnh
g o f ( x) = g ( f ( x)) . (1.12)

Ví dụ 1.22: Cho f : → , g: → với công thức xác định ảnh f ( x) = sin x,
g ( x) = 2 x 2 + 4 . Ta có thể thiết lập hai hàm hợp g o f và f o g từ vào .

f o g ( x) = sin( 2 x 2 + 4) , g o f ( x) = 2 sin 2 x + 4 .
Qua ví dụ trên ta thấy nói chung f o g ≠ g o f , nghĩa là phép hợp ánh xạ không có tính
giao hoán.
18
Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số


Nếu f : X → Y là một song ánh có ánh xạ ngược f −1 : Y → X , khi đó ta dễ dàng
kiểm chứng rằng f −1 o f = Id X và f o f −1 = IdY . Hơn nữa ta có thể chứng minh được
rằng ánh xạ f : X → Y là một song ánh khi và chỉ khi tồn tại ánh xạ g : Y → X sao cho

g o f = Id X và f o g = IdY , lúc đó g = f −1 .
1.3.5 Lực lượng của một tập hợp
Khái niệm lực lượng của tập hợp có thể xem như là sự mở rộng khái niệm số phần tử của
tập hợp.
Định nghĩa 1.15: Hai tập hợp X , Y được gọi là cùng lực lượng nếu tồn tại song ánh từ X
lên Y.
Tập cùng lực lượng với tập {1,2,..., n} được gọi là có lực lượng n . Vậy
X có lực lượng
n khi và chỉ khi X có n phần tử. n còn được gọi là bản số của X , ký hiệu Card X hay X .
Quy ước lực lượng của φ là 0.

Định nghĩa 1.16: Tập có lực lượng n hoặc 0 được gọi là các tập hữu hạn. Tập không hữu
hạn được gọi là tập vô hạn. Tập có cùng lực lượng với tập các số tự nhiên hay hữu hạn được gọi
là tập đếm được.
Chú ý 1.3:
1) Tập vô hạn đếm được là tập cùng lực lượng với .
2) Bản thân tập là tập vô hạn đếm được.
3) Người ta chứng minh được , là tập vô hạn đếm được, còn tập không đếm được.
4) Giả sử X , Y là hai tập hữu hạn cùng lực lượng. Khi đó ánh xạ f : X → Y là đơn ánh
khi và chỉ khi là toàn ánh, do đó là một song ánh.

1.4 GIẢI TÍCH TỔ HỢP- NHỊ THỨC NEWTON
1.4.1 Hoán vị, phép thế
Cho tập hữu hạn E = {x1 , x2 ,... xn }. Mỗi song ánh từ E lên E được gọi là một phép
thế, còn ảnh của song ánh này được gọi là một hoán vị n phần tử của E .
Nếu ta xếp các phần tử của E theo một thứ tự nào đó thì mỗi hoán vị là một sự đổi chỗ
các phần tử này.

Đặc biệt nếu E = { ,2,...n} thì mỗi phép thế được ký hiệu bởi ma trận
1
⎡ 1 2 ... n ⎤
σ =⎢ ⎥ (1.13)
⎣σ (1) σ (2) ... σ (n)⎦
19
Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

n sắp theo thứ tự tăng dần, hàng dưới là ảnh tương
trong đó hàng trên là các số từ 1 đến
ứng của nó qua song ánh σ . Còn [σ (1),σ ( 2),..., σ ( n)] là hoán vị của phép thế σ .

⎡1 2 3 4 ⎤
Ví dụ 1.23: 4 [ 2 1 3] là hoán vị từ phép thế σ = ⎢ ⎥ có σ (1) = 4 ,
⎣ 4 2 1 3⎦
σ (2) = 2 , σ (3) = 1 , σ ( 4) = 3 .
Tập hợp {1,2} có hai hoán vị là [1 2] và [2 1].
Tập hợp { ,2,3} có sáu hoán vị là [1 2 3] , [2 1 3] , [3 1 2], [1 3 2] , [2 3 1] và [3 2 1] .
1
Với tập E = {x1 , x2 ,..., xn } thì có n cách chọn giá trị σ ( x1 ) , n − 1 cách chọn giá trị
σ ( x2 ) .... cho một phép thế σ bất kỳ.

Vậy có n(n − 1)(n − 2)...1 = n! hoán vị (phép thế) của tập n phần tử.
1.4.2 Chỉnh hợp
Cho tập hợp hữu hạn có n phần tử E = {x1 , x2 ,..., xn } và tập hợp hữu hạn
B = { ,2,..., p}.
1
Định nghĩa 1.17: Một chỉnh hợp lặp chập p các phần tử của E là ảnh của một ánh xạ từ
B đến E .
Ta cũng có thể xem một chỉnh hợp lặp chậpp như một bộ gồm p thành phần là các phần
tử có thể trùng nhau của E . Nói cách khác, một chỉnh hợp lặp chập p là một phần tử của tích

Descartes E p . Vậy số các chỉnh hợp lặp chập p của n vật là n p .
Ví dụ 1.24: Cho n vật E = {x1 , x2 ,..., xn } và tiến hành bốc có hoàn lại p lần theo cách
sau: Bốc lần thứ nhất từ tập E được xi , ta trả xi lại cho E và bốc tiếp lần thứ hai ... Mỗi kết

( )
1 1
quả sau p lần bốc xi1 , xi2 , ..., xi p là một chỉnh hợp có lặp n chập p .

Định nghĩa 1.18: Một chỉnh hợp (không lặp) chập p gồm n phần tử của E ( p ≤ n) là
ảnh của một đơn ánh từ B vào E .
Hai chỉnh hợp n chập p là khác nhau nếu:

hoặc chúng có ít nhất một phần tử khác nhau,
hoặc gồm p phần tử như nhau nhưng có thứ tự khác nhau.
p thành phần gồm các phần tử khác
Như vậy ta có thể xem mỗi chỉnh hợp là một bộ có
nhau của E hay có thể xem như một cách sắp xếp n phần tử của E vào p vị trí.

20
Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

n cách chọn vào vị trí thứ nhất, n − 1 cách chọn vào vị trí thứ hai, ... và n − p + 1

cách chọn vào vị trí thứ p . Vậy số các chỉnh hợp n chập p là

p n!
An = n(n − 1)...(n − p + 1) = (1.14)
(n − p)!
1.4.3 Tổ hợp
n vật của E chập p là một cách lấy ra đồng thời p vật từ
Định nghĩa 1.19: Một tổ hợp
E có n vật. Như vậy ta có thể xem một tổ hợp n chập p là một tập con p phần tử của tập có
n phần tử E .
Nếu ta hoán vị p vật của một tổ hợp thì ta có các chỉnh hợp khác nhau của cùng p vật này.
p
Vậy ứng với một tổ hợp p vật có đúng p! chỉnh hợp của p vật này. Ký hiệu Cn là số các tổ
hợp n chập p thì

p Ap n!
Cn = n = . (1.15)
p! p! (n − p )!
Ví dụ 1.25: a) Có bao nhiêu cách bầu một lớp trưởng, một lớp phó và một bí thư chi đoàn
mà không kiêm nhiệm của một lớp có 50 học sinh.
b) Có bao nhiêu cách bầu một ban chấp hành gồm một lớp trưởng, một lớp phó và một bí
thư chi đoàn mà không kiêm nhiệm của một lớp có 50 học sinh.
Giải:
a) Mỗi kết quả bầu là một chỉnh hợp 50 chập 3.
3
Vậy có A50 = 50 × 49 × 48 = 117.600 cách bầu.
b) Mỗi kết quả bầu một ban chấp hành là một tổ hợp 50 chập 3.

3 50! 50 × 49 × 48
Vậy có C50 = = = 19.600 cách bầu.
3!47! 6
1.4.4 Nhị thức Niu-tơn

Xét đa thức bậc n : ( x + 1) n = ( x + 1)( x + 1)...( x + 1)
1444 444 2 3
n thõa sè
Khai triển đa thức này ta được:

( x + 1) n = x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + 1

21
Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số


Hệ số của x p bằng số cách chọn p thừa số trong n thừa số trên. Mỗi cách chọn là một tổ
p
hợp n chập p , do đó a p = Cn .

Vậy ( x + 1) n = Cn x n + Cn −1 x n −1 + ... + Cn x p + ... + Cn
n n p 0


Thay x = a b (nếu b ≠ 0 ) ta có:

n
(a + b) = Cn a n + Cn −1a n −1b + ... + Cn b n =
n
n n 0
∑ Cnp a p b n − p (1.16)
p =0

Công thức này được gọi là nhị thức Niu-tơn, đúng với mọi a, b ∈ (kể cả trường hợp
b = 0 ).
1.4.5 Sơ lược về phép đếm

Khi muốn đếm số phần tử của các tập hữu hạn ta có thể áp dụng các cách đếm hoán vị,
chỉnh hợp, tổ hợp và các công thức sau:

a) A∪ B + A∩ B = A + B , (công thức cộng) (1.17)

b) A× B = A ⋅ B , (công thức nhân) (1.18)


c) {f : A → B} = A
B
, (chỉnh hợp có lặp) (1.19)


d) P ( A) = 2 A , (1.20)

e) Nếu f : A → B song ánh thì A = B . (1.21)

Công thức cộng a) thường được sử dụng trong trường hợp đặc biệt khi A, B rời nhau
A ∩ B = φ , lúc đó A ∪ B = A + B .

Công thức nhân b) có thể mở rộng cho k tập bất kỳ

A1 × ... × Ak = A1 ⋅ ... ⋅ Ak (1.22)

Hoặc nếu một hành động H gồm k giai đoạn A1 ,..., Ak . Mỗi giai đoạn Ai có thể thực hiện
theo ni phương án thì cả thảy có n1 × ... × nk phương án thực hiện H.


22
Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

Ví dụ 1.26: Cho mạch điện
U3

U1 U2

A B


a) Có bao nhiêu trạng thái của mạch.
b) Có bao nhiêu trạng thái có thể của mạch để có dòng điện chạy từ A đến B
Giải:
Áp dụng công thức nhân ta có:

a) Số các trạng thái của mạch 2 2.23.2 4 = 29 = 512 .

b) Ở U1 có 2 2 trạng thái nhưng có 1 trạng thái dòng điện không qua được, do đó ở U1
3 4
có 3 trạng thái dòng điện qua được. Tương tự ở U 2 có 2 − 1 và ở U 3 có 2 − 1 trạng thái
dòng điện qua được. Vậy số các trạng thái của mạch có dòng điện chạy từ A đến B là
3 × 7 × 15 = 315 .
Ví dụ 1.27: Có bao nhiêu số tự nhiên viết dưới dạng thập phân có n chữ số ( n ≥ 3) trong
đó có đúng hai chữ số 8.

Giải: Giả sử N là số tự nhiên có n chữ số mà chữ số thứ nhất bên trái khác chữ số 0 và có
đúng hai chữ số 8.
♦Trường hợp 1: Nếu chữ số thứ nhất bên trái là chữ số 8 thì có n − 1 vị trí để đặt chữ số 8
thứ hai, có 9 cách chọn cho mỗi chữ số ở n − 2 vị trí còn lại. Vậy có đúng (n − 1)9 n − 2 số N
thuộc loại này.
2
♦Trường hợp 2: Nếu chữ số thứ nhất bên trái không phải là chữ số 8 thì có Cn −1 vị
trí để đặt 2 chữ số 8, có 8 cách chọn chữ số cho vị trí thứ nhất, có 9 cách chọn cho mỗi chữ
số ở n − 3 vị trí khác vị trí thứ nhất và hai vị trí đã chọn cho chữ số 8. Vậy có đúng
(n − 1)(n − 2)
Cn −1 ⋅ 8 ⋅ 9 n − 3 =
2
⋅ 8 ⋅ 9 n − 3 số N thuộc loại này.
2
Sử dụng công thức cộng ta suy ra số các số tự nhiên cần tìm là:

( n − 1)9 n − 2 + 4(n − 1)(n − 2)9 n − 3 = (4n + 1)(n − 1)9 n − 3
23
Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

Ví dụ 1.28: Trong mặt phẳng cho n đường thẳng đôi một cắt nhau và các giao điểm này
khác nhau ( n ≥ 4) .

a) Tìm số các giao điểm của chúng.
b) Tìm số các đường thẳng mới được tạo bởi các giao điểm trên.
Giải:




A

Dj


n=4


a) Số các giao điểm của n đường thẳng bằng số các cặp của n đường thẳng này. Vậy có
2
Cn giao điểm.

2
b) Xét tại điểm A bất kỳ trong Cn giao điểm của câu a). Tồn tại đúng hai đường trong n
đường trên đi qua A là Di , D j ; i < j .
2
Trên mỗi đường có đúng n − 1 điểm trong số Cn giao điểm của câu a).
Vậy trên Di , D j có 2(n − 1) − 1 điểm, do đó có

2 (n − 2)(n − 3)
Cn − (2(n − 1) − 1) = đường thẳng mới nối đến A . Vì mỗi đường
2
thẳng mới đều nối hai điểm ở câu a) nên số đường thẳng mới là:

1 2 (n − 2)(n − 3) 1
Cn = n(n − 1)(n − 2)(n − 3) .
2 2 8
Ví dụ 1.29: Cho tập con A có p phần tử của tập E có n phần tử. Hãy đếm số các cặp
( X , Y ) các tập con của E sao cho:

24
Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

X ∪ Y = E, X ∩ Y ⊃ A (1.23)

Giải: Ký hiệu B = E \ A.
Đặt A = {( X ,Y ) X ∪ Y = E, X ∩ Y ⊃ A }
B = {( X ',Y ') X ' ⊂ B,Y ' ⊂ B ; X '∪Y ' = B }
Tương ứng f : A → B ; f ( X , Y ) a ( X ∩ B, Y ∩ B ) là một song ánh.

Mặt khác X ' ⊂ B,Y ' ⊂ B, X '∪Y ' = B ⇔ B \ X ' ⊂ Y ' .
Vậy số các cặp ( X , Y ) thoả mãn điều kiện (1.23) cần tìm bằng bản số của tập
{( X ", Y ' ) X " ⊂ B, Y ' ⊂ B, X " ⊂ Y '}.
Với mỗi tập Y ' ⊂ B có bản số y ' thì bản số của tập {X " X " ⊂ Y '} là 2 y ' ; Số các tập
y'
con Y ' ⊂ B có y ' phần tử là C n − p . Áp dụng công thức cộng suy ra bản số cần tìm là
n− p
∑ 2 y' Cny− p = 3n − p .
'
y'= 0

1.5 CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ
1.5.1 Luật hợp thành trong
Định nghĩa 1.20: Một luật hợp thành trong trên tập X ≠ φ là ánh xạ từ X × X vào X .
Ta thường ký hiệu *: X × X → X
( x, y ) a x * y
Luật hợp thành trong kết hợp hai phần tử x, y của X thành một phần tử x ∗ y của X vì
vậy luật hợp thành trong còn được gọi là phép toán hai ngôi.
Ví dụ 1.30: Phép cộng và phép nhân là các luật hợp thành trong của các tập số , , , ,
.

Ví dụ 1.31: Phép cộng véc tơ theo quy tắc hình bình hành là phép toán trong của tập R3
các véc tơ tự do trong không gian, nhưng tích vô hướng không phải là phép toán trong vì
r r r r r r
u ⋅ v = u ⋅ v cos(u , v ) ∉ R3 .
Định nghĩa 1.21: Luật hợp thành trong * của tập X được gọi là:
1) Có tính kết hợp nếu ∀x, y, z ∈ X : x ∗ ( y ∗ z ) = ( x ∗ y ) ∗ z
25
Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

2) Có tính giao hoán nếu ∀x, y ∈ X : x ∗ y = y ∗ x
3) Có phần tử trung hoà (hay có phần tử đơn vị) là e ∈ X nếu
∀x ∈ X : x ∗ e = e ∗ x = x
4) Giả sử * có phần tử trung hoà e ∈ X . Phần tử x'∈ X được gọi là phần tử đối xứng
của x ∈ X nếu x ∗ x' = x'∗ x = e .
Ta dễ dàng thấy rằng phần tử trung hoà có phần tử đối xứng là chính nó.
Các phép hợp thành trong hai ví dụ trên đều có tính kết hợp và giao hoán. Số 0 là phần tử
r
trung hoà đối với phép cộng và 1 là phần tử trung hoà đối với phép nhân trong. Véc tơ 0 là phần
tử trung hoà của phép toán cộng véc tơ trong R3 . Đối với phép cộng thì mọi phần tử x trong ,
, , − x . Phần tử đối của x ≠ 0 ứng với phép nhân trong , ,
đều có phần tử đối là là
1 x , nhưng mọi phần tử khác 0 trong với phép + không có phần tử đối.
Tính chất 1.4:
1) Phần tử trung hoà nếu tồn tại là duy nhất.
2) Nếu * có tính kết hợp, thì phần tử đối của mỗi phần tử là duy nhất.
3) Nếu * có tính kết hợp và phần tử a có phần tử đối thì có luật giản ước:
a ∗ x = a ∗ y ⇒ x = y và phương trình a ∗ x = b có duy nhất nghiệm x = a '∗b với a' là
phần tử đối của a.
Chứng minh:

1) Giả sử e và e' là hai phần tử trung hoà thì e' = e'∗e = e (dấu "=" thứ nhất có được do
e là phần tử trung hoà, còn dấu "=" thứ hai là do e' là phần tử trung hoà).

2) Giả sử a có hai phần tử đối xứng là a' và a" , khi đó:
a ' = e ∗ a ' = (a"∗a ) ∗ a ' = a"∗(a ∗ a ' ) = a"∗e = a" .
Theo thói quen ta thường ký hiệu các luật hợp thành trong có tính giao hoán bởi dấu "+" ,
khi đó phần tử trung hoà được ký hiệu là 0 và phần tử đối của x là − x . Nếu ký hiệu luật hợp
thành bởi dấu nhân "." thì phần tử trung hoà được ký hiệu 1 và gọi là phần tử đơn vị, phần tử đối
−1
của x là x .
1.5.2 Nhóm

Định nghĩa 1.22: Giả sử G là tập khác trống với luật hợp thành *, cặp (G,*) được gọi là
một vị nhóm nếu thoả mãn hai điều kiện sau:
G1: * có tính kết hợp.
26
Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

G2: * có phần tử trung hoà e.
Vị nhóm (G,*) là một nhóm nếu thoả mãn thêm điều kiện:
G3: Mọi phần tử của G đều có phần tử đối.
Nhóm (G,*) được gọi là nhóm giao hoán hay nhóm Abel nếu :
G4: * có tính giao hoán.

Ví dụ 1.32: ( ,+ ) , ( ,+ ) , ( ,+ ) , ( ,+ ) , ( R3 ,+ ) , ( *,⋅) , ( *,⋅) , ( * ,⋅) ,
+
( * ,⋅) , ( *,⋅) là các nhóm Abel.
+
Chú ý 1.5: Một nhóm là tập khác rỗng G với luật hợp thành * thoả mãn G1, G2, G3,
nhưng nếu * đã xác định và không sợ nhầm lẫn thì ta nói tắt nhóm G thay cho nhóm (G,*) .

Định nghĩa 1.23: Đồng cấu nhóm từ nhóm (G,*) vào nhóm (G ' , ) là ánh xạ f : G → G '
sao cho

∀x, y ∈ G : f ( x ∗ y ) = f ( x) f ( y ) . (1.24)

Nếu f đơn ánh (toàn ánh, song ánh) thì f được gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu, một
cách tương ứng).

log a : * → ; 0 < a ≠ 1 là một đẳng cấu nhóm từ nhóm ( * ,⋅) lên nhóm ( ,+ ) .
+ +
1.5.3 Vành

Định nghĩa 1.24: Giả sử trên tập A ≠ φ có hai luật hợp thành trong ký hiệu bởi dấu cộng
và dấu nhân, khi đó ( A,+,⋅) được gọi là một vành nếu:
A1: ( A,+) là một nhóm Abel,
A2: Luật nhân có tính kết hợp,
A3: Luật nhân có tính phân phối hai phía đối với luật cộng, nghĩa là:

∀x, y, z ∈ A : x ⋅ ( y + z ) = x ⋅ y + x ⋅ z phân phối bên trái

∀x, y, z ∈ A : ( x + y ) ⋅ z = x ⋅ z + y ⋅ z phân phối bên phải

Nếu thoả mãn thêm điều kiện:

A4: Luật nhân có tính giao hoán thì ( A,+,⋅) là vành giao hoán.
A5: Luật nhân có phần tử đơn vị là 1 thì ( A,+,⋅) là vành có đơn vị.

27
Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

Chú ý 1.6:
1) Tồn tại vành giao hoán nhưng không có đơn vị và ngược lại.
2) Ta nói tắt vành A thay cho vành ( A,+,⋅) .
Định nghĩa 1.25:

1) Phần tử x ≠ 0 của A được gọi là ước của 0 nếu tồn tại y ∈ A, y ≠ 0 sao cho
x ⋅ y = 0 ( 0 là phần tử trung hoà của luật cộng của vành ( A,+,⋅) ).
2) Vành không có ước của 0 được gọi là vành nguyên.
Vậy vành( A,+,⋅) là vành nguyên khi và chỉ khi mọi x, y ∈ A sao cho x ⋅ y = 0 thì
x = 0 hoặc y = 0 .
Ví dụ 1.33:

1) ( ,+,⋅) là một vành nguyên.
2) Ký hiệu C[ a ;b ] là tập hợp các hàm liên tục trên đoạn [a; b] . Ta định nghĩa phép cộng
và phép nhân trong C[ a ;b ] xác định như sau:
∀f , g ∈ C[ a;b] : ( f + g )( x) = f ( x) + g ( x); fg ( x) = f ( x) g ( x)

Ta có thể kiểm chứng được rằng với hai phép toán này thì C[ a;b] là một vành giao hoán có
đơn vị và có ước của 0.

3) (K [x],+,⋅) là một vành nguyên, trong đó K[x] là tập các đa thức của biến x có hệ số
thuộc vào vành số K= , , , .
4) Tập n = mod n các số đồng dư môđulô n .
Ta có thể chứng minh được rằng nếu x ≡ x' (mod n) , y ≡ y ' (mod n) thì
x + y ≡ x'+ y ' (mod n) và xy ≡ x' y ' (mod n) . Vì vậy ta có thể định nghĩa phép cộng và phép
nhân trong n bởi:

x + y = x + y và x ⋅ y = x ⋅ y (1.25)

Chẳng hạn 5(mod 7) + 4(mod 7) = 2(mod 7)
5(mod 7) ⋅ 4(mod 7) = −1(mod 7) = 6(mod 7) .

Với hai phép toán này ( n ,+ ,⋅) là một vành giao hoán có đơn vị.

28
Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

1.5.4 Trường
Định nghĩa 1.26: Vành giao hoán có đơn vị ( K ,+,⋅) được gọi là một trường nếu mọi phần
tử x ≠ 0 của K đều khả nghịch (có phần tử đối của luật nhân). Nghĩa là:
K1: ( K ,+ ) là nhóm Abel,
K2: ( K *,⋅) là nhóm Abel, K * = K \ {0} ,
K3: Luật nhân phân phối đối với luật cộng.

Rõ ràng rằng mọi trường là vành nguyên, nhưng điều ngược lại không đúng. ( ,+,⋅) là
một ví dụ về vành giao hoán nguyên có đơn vị nhưng không phải là trường.

Ví dụ 1.34: ( ,+ ,⋅) , ( ,+,⋅) , ( ,+ ,⋅) là trường.

Ví dụ 1.35: ( n ,+,⋅) là trường khi và chỉ khi n là số nguyên tố.

Giải:

Giả sử n là số nguyên tố và m ∈ n , m ≠ 0 (mod n) thì ( m, n) = 1 do đó tồn tại hai
số nguyên u, v sao cho um + vn = 1 (Định lý Bezout) ⇒ u ⋅ m = 1 (mod n) . Vậy u là phần
tử nghịch đảo của m .

Ngược lại, nếu n là trường thì với mọi m ∈ ( 0 < m < n ) tồn tại m '∈ sao cho:

m ⋅ m ' = 1 ⇒ mm' = 1 + kn ⇒ (m, n) = 1
Vậy n là số nguyên tố.
1.6 ĐẠI SỐ BOOLE
Lý thuyết đại số Boole được George Boole (1815 - 1864) giới thiệu vào năm 1854 trong bài
báo "Các quy luật của tư duy", trong đó kỹ thuật đại số được dùng để phân tích các quy luật của
lôgích và các phương pháp suy diễn. Sau đó đại số Boole được áp dụng trong các lĩnh vực khác
nhau của toán học như đại số, giải tích, xác suất... Vào khoảng năm 1938, Claude Shannon (Clau
Sê-nôn) ( một kỹ sư viễn thông người Mỹ) là người đầu tiên đã áp dụng đại số Boole vào lĩnh vực
máy tính điện tử và lý thuyết mạng.
1.6.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của đại số Boole
Định nghĩa 1.27: Một đại số Boole ( B,∨,∧, ' ) là một tập khác trống B với hai phép toán
hai ngôi ∨, ∧ : B × B → B
và phép toán một ngôi ': B → B thoả mãn các tiên đề sau:

• B1: ∨,∧ có tính kết hợp, nghĩa là với mọi a, b, c ∈ B

29
Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c, a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c
• B2: ∨,∧ có tính giao hoán, nghĩa là với mọi a, b ∈ B
a ∨ b = b ∨ a, a ∧ b = b ∧ a
• B3: Tồn tại các phần tử không và phần tử đơn vị 0,1 ∈ B sao cho 0 ≠ 1 và với mọi
a ∈ B a ∨ 0 = a, a ∧ 1 = a
• B4: Với mọi a ∈ B thì a '∈ B là phần tử đối theo nghĩa là:
a ∨ a ' = 1, a ∧ a' = 0
• B5: Luật ∨ phân phối đối với luật ∧ và luật ∧ phân phối đối với luật ∨ , nghĩa là với
mọi a, b, c ∈ B
a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c), a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) .
Ví dụ 1.36: Giả sử X ≠ φ , xét P ( X ) là tập các tập con của X . Các luật hợp thành
∨,∧ là phép hợp, phép giao các tập con của X và phép toán một ngôi ' là phép lấy phần bù của
tập con trong X . Khi đó (P ( X ),∪,∩, ') là đại số Boole với phần tử không là φ và phần tử
đơn vị là chính tập X .

Ví dụ 1.37: Xét B2 = {0;1} tập gồm hai số 0 và 1. Ta định nghĩa:

a ∨ b = max(a, b) , a ∧ b = min(a, b) , a ' = 1 − a

thì ( B2 ,∨,∧, ' ) là một đại số Boole.

Ví dụ 1.38: Xét B4 = { 0;1; a; b }, ta định nghĩa các phép toán

∨ 0 1 a b ∧ 0 1 a b '
0 0 1 a b 0 0 0 0 0 0 1
1 1 1 1 1 1 0 1 a b 1 0
a a 1 a 1 a 0 a a 0 a b
b b 1 1 b b 0 b 0 b b a
thì ( B4 ,∨ ,∧, ' ) là đại số Boole.

Định nghĩa 1.28: Hai công thức Boole trong đại số Boole ( B,∨,∧, ' ) được gọi là đối ngẫu
nếu trong một công thức ta thay ∨,∧,0,1, bằng ∧,∨,1,0 thì ta được công thức hai.
Ví dụ 1.39: Hai công thức x ∧ ( y ∨ 1) và x ∨ ( y ∧ 0) là đối ngẫu.

30
Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

Trong mỗi tiên đề của hệ tiên đề B1-B5 của đại số Boole đều chứa từng cặp công thức đối
ngẫu nhau, vì vậy ta có nguyên lý đối ngẫu sau:
Nguyên lý đối ngẫu: Nếu một công thức của đại số Boole được chứng minh là đúng dựa
trên cơ sở hệ tiên đề B1-B5 thì công thức đối ngẫu của chúng cũng đúng.
Chẳng hạn, ta sẽ chứng minh a ∨ 1 = 1 , do đó theo nguyên lý đối ngẫu ta cũng có
a ∧0 = 0.
Tính chất 1.7: Giả sử ( B,∨,∧, ' ) là đại số Boole với phần tử không và đơn vị là 0, 1 thì
với mọi a, b ∈ B ta có:
1) a ∨ a = a, a ∧ a = a;
2) 0' = 1 , 1' = 0 ;
3) a ∨ 1 = 1, a ∧ 0 = 0 ;
4) a ∨ ( a ∧ b) = a , a ∧ ( a ∨ b) = a ; (tính hấp thu)

5) Nếu tồn tại c ∈ B sao cho a ∨ c = b ∨ c và a ∧ c = b ∧ c thì a = b ;
6) Nếu a ∨ b = 1 và a ∧ b = 0 thì b = a' ; (tính duy nhất của phần bù)
7) (a ∨ b)' = a '∧b' và (a ∧ b)' = a '∨b' . (công thức De Morgan)

Chứng minh:
Theo nguyên lý đối ngẫu ta chỉ cần chứng minh các đẳng thức thứ nhất từ 1)-7).
1) a =a∨0 theo B3
= a ∨ (a ∧ a' ) theo B4

= (a ∨ a) ∧ (a ∨ a' ) theo B5

= (a ∨ a) ∧ 1 theo B4

=a∨a theo B3

2) 0' = 0'∨0 theo B3
=1 theo B2,B4
3) a ∨ 1 = a ∨ (a ∨ a' ) theo B4

= (a ∨ a) ∨ a' theo B1

= a ∨ a' theo 1)

=1 theo B4

31
Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

4) a ∨ (a ∧ b) = (a ∧ 1) ∨ (a ∧ b) theo B3

= a ∧ (1 ∨ b) theo B5

= a ∧1 theo 1)
=a theo B3

5) a = a ∨ (a ∧ c) theo 4)

= a ∨ (b ∧ c) vì a∧c =b∧c
= ( a ∨ b) ∧ ( a ∨ c ) theo B5

= (a ∨ b) ∧ (b ∨ c) vì a∨c =b∨c
= b ∨ (a ∧ c) theo B5

= b ∨ (b ∧ c) vì a∧c =b∧c
=b theo 4)
6) Vì a ∨ b = 1 = a ∨ a ' và a ∧ b = 0 = a ∧ a ' , theo 5) suy ra b = a' .
7) Ta dễ dàng kiểm chứng (a ∨ b) ∨ (a '∧b' ) = 1 và (a ∨ b) ∧ (a '∧b' ) = 0 , áp dụng 6)
suy ra điều phải chứng minh.
Áp dụng các tính chất này cùng với hệ tiên đề B1-B5 ta có thể đơn giản hoá các công thức
Boole bất kỳ.
Ví dụ 1.40: Đơn giản hoá công thức Boole ( x ∧ y ) ∨ ( x ∧ y ' ) ∨ ( x'∨ y ) .
Giải:
Ta có ( x ∧ y) ∨ ( x ∧ y' ) = x ∧ ( y ∨ y' ) = x ∧ 1 = x .
⇒ ( x ∧ y ) ∨ ( x ∧ y ' ) ∨ ( x'∨ y )
= x ∨ ( x'∨ y ) = ( x ∨ x' ) ∨ y = 1 ∨ y = 1.
[
Ví dụ 1.41: Đơn giản hoá công thức Boole ( x ∧ y ' ) ∨ x ∧ ( y ∧ z )' ∨ z . ]
Giải:

Ta có ( x ∧ y ' ) ∨ [x ∧ ( y ∧ z )'] ∨ z
= ( x ∧ y ' ) ∨ [( x ∧ y ' ) ∨ ( x ∧ z ' )] ∨ z
= ( x ∧ y ' ) ∨ ( x ∧ z ' ) ∨ z = ( x ∧ y ' ) ∨ [( x ∨ z ) ∧ ( z '∨ z )]

32
Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

= ( x ∧ y ' ) ∨ [( x ∨ z ) ∧ 1]
= ( x ∧ y ' ) ∨ ( x ∨ z ) = [( x ∧ y ' ) ∨ x ] ∨ z = x ∨ z .
Ví dụ 1.42: Đơn giản công thức ( x ∧ y ∧ z ) ∨ ( x ∧ y ∧ z ' ) ∨ ( x'∧ y ∧ z )
Giải: Ta có ( x ∧ y ∧ z ) ∨ ( x ∧ y ∧ z ' ) ∨ ( x'∧ y ∧ z )
= [( x ∧ y ∧ z ) ∨ ( x ∧ y ∧ z ' )] ∨ [( x ∧ y ∧ z ) ∨ ( x'∧ y ∧ z )]
= [( x ∧ y ) ∧ ( z ∨ z ' )] ∨ [( y ∧ z ) ∧ ( x ∨ x ' )]
= ( x ∧ y) ∨ ( y ∧ z) = y ∧ ( x ∨ z) .


1.6.2 Ứng dụng đại số Boole vào mạng chuyển mạch (switching networks)
Ta chỉ xét các mạng gồm các chuyển mạch có hai trạng thái đóng (dòng điện đi qua được)
và mở (dòng điện không qua được). Hai mạng đơn giản nhất là mạng song song cơ bản (basic
parallel network) và mạng nối tiếp cơ bản (basic series network) được mô tả trong hình vẽ sau:



x • • •
x y
y
mạng song song cơ bản (hình 1) mạng nối tiếp cơ bản (hình 2)




Một mạng bất kỳ có thể nhận được bằng cách ghép nối tiếp hay song song các mạng cơ bản
này.
Ta ký hiệu các chuyển mạch bởi các chữ x, y, z ,... . Nếu x ở trạng thái mở ta x cho nhận
giá trị 0 và ở trạng thái đóng ta cho x nhận giá trị 1. Trong một mạng nếu hai chuyển mạch luôn
cùng trạng thái thì ta ký hiệu cùng một chữ. Hai chuyển mạch có trạng thái luôn ngược nhau, nếu
một chuyển mạch được ký hiệu là x thì chuyển mạch kia được ký hiệu là x' .
Mạng song song (hình 1) nhận giá trị 1 khi có ít nhất một trong hai chuyển mạch x, y nhận
giá trị 1, ta ký hiệu x ∨ y . Còn mạng nối tiếp (hình 2) nhận giá trị 1 khi cả hai chuyển mạch
x, y nhận giá trị 1, ta ký hiệu x ∧ y . Như vậy x' , x ∨ y, x ∧ y có thể được xem như các biến
nhận giá trị trong đại số Boole B2 (ví dụ 1.37). Bằng phương pháp này ta có thể mô tả một mạng
bất kỳ bởi một công thức Boole và ngược lại. Chẳng hạn mạng sau đây:


33
Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số


y
• z •


x y'

tương ứng với công thức ( y ∨ z ) ∨ ( x ∧ y' ) .
Còn công thức Boole ( x ∧ z ) ∨ ( y ∧ z ) ∨ ( y '∧ x) mô tả mạng:


x z

y z

y' x
Chú ý rằng trong các công thức cần xét ta thay ( x ∨ y )' bởi x'∧ y ' và ( x ∧ y )' bởi
x'∨ y ' .
Hai mạng N1 và N2 được gọi là tương đương nếu nó thực hiện cùng một chức năng, nghĩa
là với bất kỳ cách chọn các trạng thái đóng mở ở mọi vị trí chuyển mạch trong mạng thì trạng thái
đầu vào và đầu ra của N1 và N2 đều như nhau.
Ta có thể áp dụng đại số Boole để giải quyết hai vấn đề sau:
1.6.3 Với một mạng cho trước tìm mạng tương đương đơn giản hơn
Ví dụ 1.43: Tìm mạng tương đương đơn giản hơn của mạng sau


x
y
• z •

x w
y
w

[ ] [
Công thức Boole tương ứng: ( x ∨ z ) ∧ y ∨ (( x ∧ w) ∨ w ) ∧ y . ]
34
Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

Ta có ( x ∧ w) ∨ w = w (luật hấp thu), do đó công thức trên có thể biến đổi thành
[( x ∨ z ) ∧ y ] ∨ [w ∧ y ] = ( x ∨ z ∨ w) ∧ y .
Vậy ta có mạng tương đương đơn giản hơn


x
• •
z y

w

Ví dụ 1.43: Tìm mạng tương đương đơn giản hơn của mạng sau:


z x
z y
• •


y x z
x
z'

[ ]
Công thức Boole tương ứng: ( z ∧ x ) ∨ ( x ∧ ( y ∨ z ' ) ) ∧ ( z ∨ x ) ∧ ( z ∨ y ) .

[ ]
Ta có ( z ∧ x ) ∨ ( x ∧ ( y ∨ z ' ) ) ∧ ( z ∨ x ) ∧ ( z ∨ y )

= [( z ∧ x ) ∨ (( x ∧ y ) ∨ ( x ∧ z ' ) )] ∧ [z ∨ ( x ∧ y )]
= [( x ∧ ( z ∧ z ' ) ) ∨ ( x ∧ y )] ∧ [z ∨ ( x ∧ y )]
= x ∧ [ z ∨ ( x ∧ y ) ] = ( x ∧ z ) ∨ [x ∧ ( x ∧ y ) ]
= ( x ∧ z) ∨ ( x ∧ y) = x ∧ ( z ∨ y)
Vậy ta có mạng tương đương đơn giản hơn


z
• •
x
y
35
Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

1.6.4 Thiết kế một mạng thoả mãn các điều kiện cho trước
Ví dụ 1.45: Thiết kế một mạng điện cho một bóng đèn ở cầu thang mà có thể bật tắt ở cả hai
đầu cầu thang.
Giải:
x và y là hai công tắc ở hai đầu cầu thang. Theo yêu cầu đặt ra ta cần thiết kế một
Gọi
mạng điện sao cho khi thay đổi trạng thái của một trong hai vị trí x, y thì trạng thái của đầu ra
(bóng đèn) phải thay đổi.
Ta biết rằng, mỗi mệnh đề logic cũng nhận hai giá trị, vì vậy ta có thể xem mệnh đề như
một biến nhận giá trị trong B2 (ví dụ 1.37). Ta biết rằng mệnh đề x ⇔ y chứa hai mệnh đề
x, y và mệnh đề này thay đổi giá trị khi một trong hai mệnh đề x hay y thay đổi giá trị. Mặc dù
mệnh đề x ⇔ y hay ( x ⇒ y ) ∧ ( y ⇒ x ) không phải là công thức Boole nhưng nó có công
thức tương đương dưới dạng công thức Boole ( x'∨ y ) ∧ ( y '∨ x ) . Ta có:

( x'∨ y ) ∧ ( y '∨ x) = [x'∧( y '∨ x )] ∨ [ y ∧ ( y '∧ x)] = ( x'∧ y ' ) ∨ ( y ∧ x) .
Vậy mạng cần tìm là
x y


x' y'




36
Chương 2: Không gian Véc tơ




2. CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

2.1 KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VÉC TƠ
2.1.1 Định nghĩa và các ví dụ

Định nghĩa 2.1: Giả sử V là tập khác φ, K là một trường. V được gọi là không gian véc
tơ trên trường K nếu có hai phép toán:

- Phép toán trong +: V ×V → V
(u , v) a u + v

- Phép toán ngoài ⋅ : K ×V → V
(α , u ) a αu

thoả mãn các tiên đề sau với mọi u, v, w ∈V và α , β ∈ K
V1) (u + v) + w = u + (v + w)
V2) Có 0 ∈ V sao cho u + 0 = 0 + u = u
V3) Với mỗi u ∈ V có − u ∈ V sao cho u + (−u ) = (−u ) + u = 0
V4) u + v = v + u

V5) (α + β )u = αu + βu
V6) α (u + v) = αu + αv
V7) (αβ )u = α ( βu )
V8) 1u = u , trong đó 1 là phần tử đơn vị của K .

Khi K= thì V được gọi là không gian véc tơ thực.

Khi K = thì V thì được gọi là không gian véc tơ phức.

Các phần tử của V được gọi là các véc tơ, các phần tử của K được gọi là các phần tử
vô hướng.
37
Chương 2: Không gian Véc tơ

Bốn tiên đề đầu chứng tỏ (V ,+) là nhóm Abel. Tiên đề V5),V6) nói rằng phép nhân số vô
hướng với véc tơ phân phối đối với phép cộng của số vô hướng và phép cộng véc tơ. Tiên đề V7)
là tính kết hợp của tích các số vô hướng với phép nhân với véc tơ.

Ví dụ 2.1: Tập R3 các véc tơ tự do trong không gian (trong đó ta đồng nhất các véc tơ
tương đẳng: các véc tơ cùng phương, cùng hướng, cùng độ dài). Xét phép cộng hai véc tơ theo
quy tắc hình bình hành và tích một số thực với một véc tơ theo nghĩa thông thường thì R3 là
không gian véc tơ thực.
Ví dụ 2.2: Giả sử K là một trường, xét

{
K n = x = ( x1 ,..., xn ) xi ∈ K , i = 1, n }
Ta định nghĩa: ( x1,..., xn ) + ( y1,..., y n ) = ( x1 + y1 ,..., xn + y n )
α ( x1,..., xn ) = (αx1,..., αxn ) , ∀α ∈ K
Dễ dàng kiểm chứng lại hai phép toán này thoả mãn 8 tiên đề của không gian véc tơ có véc
tơ không là 0 = (0,...,0) .
123
n phÇn tö

n
Khi K= ta có không gian véc tơ thực .
n
K= ta có không gian véc tơ phức .

Ví dụ 2.3: Gọi C[a,b] là tập các hàm liên tục trên đoạn [a, b] ⊂ . Ta định nghĩa phép
toán cộng và nhân với số thực như sau:
( f + g )(t ) = f (t ) + g (t ) , (αf )(t ) = αf (t ) , ∀t ∈ [a, b]

Rõ ràng f + g , αf ∈ C[a, b] , ∀f , g ∈ C[a,b ] , ∀α ∈ .

Với hai phép toán này C[a,b] có cấu trúc không gian véc tơ thực với véc tơ không là
0 (t ) = 0, ∀t ∈ [a, b].
Ví dụ 2.4: Gọi Pn là tập các đa thức bậc ≤ n, n là số nguyên dương cho trước:

{
Pn = p p = a0 + a1t + ... + an t n ; a0 , a1,..., an ∈ }
.

Ta định nghĩa phép cộng hai đa thức và phép nhân một số với một đa thức như phép cộng
hàm số và phép nhân một số với hàm số trong Ví dụ 2.3 thì Pn là không gian véc tơ với véc tơ
không là đa thức 0.
38
Chương 2: Không gian Véc tơ

Ví dụ 2.5: Gọi P là tập các đa thức

P= U Pn = {p p = a0 + a1t + ... + ant n ; a0 , a1,..., an ∈ ,n∈ + }
n∈ +
Ta định nghĩa phép cộng là phép cộng hai đa thức và phép nhân với một số với đa thức theo
nghĩa thông thường ở Ví dụ 2.4 thì P là không gian véc tơ và Pn ⊂ P với mọi n ∈ +.
2.1.2 Tính chất
1) Vì (V ,+) là một nhóm Abel nên véc tơ 0 và véc tơ đối − u của u là duy nhất với mọi
u ∈V .
2) Có luật giản ước: u + v = u + w ⇒ v = w .

3) Với mọi u ∈ V , 0u = 0 , (−1)u = −u .
4) Với mọi α ∈ K , α 0 =0.
5) Nếu αu = 0 thì α = 0 hoặc u = 0 .
Chứng minh:
1) 2) Xem Tính chất 1.4.
3) Với mọi u ∈ V , (0 + 0)u = 0u + 0u . Mặt khác (0 + 0)u = 0u = 0u + 0 .
Theo luật giản ước ta có 0u = 0 .
Tương tự với mọi u ∈ V , u + (−u ) = 0 = 0u = (1 − 1)u = 1u + (−1)u .
Suy ra (−1)u = −u .
4) 0 + α 0 = α 0 = α (0 + 0) = α 0 + α 0 ⇒ α 0 = 0, ∀α ∈ K .

5) Nếu αu = 0 và giả sử α ≠ 0 ⇒ ∃α −1 ∈ K

0 = α −1 0 = α −1 (αu ) = (α −1α )u = 1u = u .
Từ định nghĩa của không gian véc tơ ta có thể mở rộng các khái niệm sau:
1) Ta định nghĩa u − v := u + (−v) , khi đó
u +v = w ⇔ u = w−v.
2) Do tính kết hợp của phép cộng nên ta có thể định nghĩa theo qui nạp:
n
∑ uk = u1 + ... + un = (u1 + ... + un −1) + un .
k =1
39
Chương 2: Không gian Véc tơ

n
Tương tự ∑α k uk = α1u1 + ... + α nun = (α1u1 + ... + α n −1un −1) + α nun
k =1

biểu thức này được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các véc tơ u1 ,..., u n .

Từ đây trở đi ta chỉ hạn chế xét các không gian véc tơ thực.

2.2 KHÔNG GIAN VÉC TƠ CON
2.2.1 Định nghĩa và ví dụ

(V ,+,.) là không gian véc tơ. Tập con W ≠ φ của V sao cho
Định nghĩa 2.2: Giả sử
hai phép toán từ V thu hẹp vào W trở thành không gian véc tơ (thoả mãn các tiên đề V1-V8) thì
W được gọi là không gian véc tơ con của V (hay nói tắt: không gian con của V ).
V có thể thu hẹp được vào W thì các
Định lý sau đây chỉ ra rằng nếu 2 phép toán trong
tiên đề V1-V8 luôn thoả mãn, do đó W là không gian véc tơ con của V .

Định lý 2.2: Giả sử W là tập con khác rỗng của V . Ba mệnh đề sau đây tương đương:
(i) W không gian véc tơ con của V .
(ii) Với mọi u, v ∈W , với mọi α ∈ thì u + v ∈ W , αu ∈ W
(iii) Với mọi u, v ∈W , với mọi α , β ∈ thì αu + βv ∈ W .
Chứng minh: (i) ⇒ (ii): Hiển nhiên theo định nghĩa.

(ii) ⇒ (iii): Với mọi u, v ∈W , với mọi α , β ∈ thì αu ∈ W , βv ∈ W ⇒
αu + βv ∈ W .
(iii) ⇒ (i): ∀u, v ∈W , ∀α ∈ : u + v = 1u + 1v ∈ W , αu = αu + 0u ∈ W .
Vậy phép cộng và phép nhân với số thực thu hẹp được từ V vào W . Hơn nữa W ≠ φ ⇒
∃u ∈ W ⇒ 0 = 0u + 0u ∈ W ( tiên đề V2), với mọi u ∈W , − u = 0u + (−1)u ∈ W (tiên
đề V3), các tiên đề còn lại hiển nhiên đúng. Vậy W là không gian véc tơ con của V .

Ví dụ 2.6: Từ định lý trên ta thấy rằng mọi không gian véc tơ con của V đều phải chứa véc
tơ 0 của V . Hơn nữa tập {0} chỉ gồm véc tơ không và chính V cũng là các không gian véc tơ
con của V .

Ví dụ 2.7: Tập {x = ( x1, x2 ,0) x1, x2 ∈ } ⊂ 3
là không gian con của
3
.


40
Chương 2: Không gian Véc tơ

C[a,b]0 = {f ∈ C[a,b] f (a) = 0} là không gian con của C [a, b],
Ví dụ 2.8: Tập

nhưng tập C[a,b] = {f ∈ C[a,b ] f (a ) = 1} không là không gian con của C[a, b ] .
1

Ví dụ 2.9: Pn là không gian con của Pm nếu n ≤ m , trong đó Pn là không gian các đa
thức bậc ≤ n.
2.2.2 Không gian con sinh bởi một họ véc tơ

Định lý 2.3: Nếu (Wi )i∈I là họ các không gian con của V thì IWi cũng là không gian
i∈I
con của V .
Chứng minh: Áp dụng Định lý 2.2. ta dễ dàng suy ra điều cần chứng minh.
S bất kỳ của V luôn tồn tại không gian con
Từ Định lý 2.3 suy ra rằng với mọi tập con
W bé nhất của V chứa S . W chính là giao của tất cả các không gian con của V chứa S .
W bé nhất chứa S được gọi là không gian sinh bởi hệ S , ký
Định nghĩa 2.4: Không gian
hiệu W = spanS , và S được gọi là hệ sinh của W .

Định lý 2.4: W = spanS bằng tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của S .
Chứng minh: Gọi W ' là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của S . Ta chứng minh W ' là
không gian con bé nhất chứa S .
(i) Với mọi u ∈ S thì u = 1u ∈ W ' vậy S ⊂ W ' .
(ii) u ∈ W ' , v ∈ W ' , u = α1u1 + ... + α n u n , v = β1v1 + ... + β m vm ∈ W '
với u1 ,..., u n , v1 ,..., vm ∈ S .

Do đó γu + δv = γα1u1 + ... + γα n u n + δβ1v1 + ... + δβ m vm ∈ W '
W ' là không gian con của V chứa S . Giả sử W " là không gian con của V chứa S .
Vậy
Với mọi u ∈ W ' , u = α1u1 + ... + α n u n , u1 ,..., u n ∈ S . Vì W " chứa S nên
u1 ,..., u n ∈ W " ⇒ u = α1u1 + ... + α n u n ∈ W " . Do đó W ' ⊂ W " . Nói cách khác W ' là
không gian con nhỏ nhất của V chứa S . Vậy W ' = W = spanS .
2.2.3 Tổng của một họ không gian véc tơ con
Giả sử W1 ,..., Wn là n không gian con của V . Sử dụng định lý 2.2 ta chứng minh được tập
{u1 + ... + un ∈ V ui ∈ Wi , i = 1,..., n} cũng là một không gian véc tơ con của V . Ta gọi
không gian véc tơ con này là tổng của các không gian con W1 ,..., Wn và ký hiệu W1 + ... + Wn .

41
Chương 2: Không gian Véc tơ

Vậy u ∈ W1 + ... + Wn ⇔ u = u1 + ... + u n , ui ∈ Wi ; i = 1,..., n . (2.1)
Tuy nhiên, nói chung cách viết trên không duy nhất .

Ta có thể chứng minh được W1 + ... + Wn = span (W1 ∪ ... ∪ Wn ) (2.2)

Một cách tổng quát ta định nghĩa tổng của một họ các không gian véc tơ con như sau.

Định nghĩa 2.5: Nếu (Wi )i∈I là họ các không gian con của V . Không gian con sinh bởi

UWi được gọi là tổng của các không gian Wi , ký hiệu ∑Wi .
i∈I i∈I

Vậy ∑Wi = span ( UWi ) . Theo định lý 2.4 ta có
i∈ I i∈ I

∑Wi = {ui1 + ... + uik }
ui j ∈Wi j , i j ∈ I , j = 1,..., k ; k = 1, 2, ... . (2.3)
i∈I

Định nghĩa 2.6: Nếu mọi u ∈ W1 + ... + Wn được viết một cách duy nhất dưới dạng
u = u1 + ... + u n , ui ∈ Wi , i = 1,..., n thì tổng các không gian con này được gọi là tổng trực
tiếp. Lúc đó ta ký hiệu W1 ⊕ ... ⊕ Wn .

Định lý 2.5: Giả sử W1 ,W2 là hai không gian con của V , khi đó tổng hai không gian con
này là tổng trực tiếp W1 ⊕ W2 khi và chỉ khi W1 ∩ W2 = {0} .
Chứng minh:

(⇒): Giả sử W1 ⊕ W2 , v ∈ W1 ∩ W2 thì v = 0 + v = v + 0 ∈ W1 ⊕ W2 . Do cách viết
duy nhất suy ra v = 0 . Vậy W1 ∩ W2 = {0} .

(⇐): Giả sử u = u1 + u 2 = v1 + v2 ∈ W1 + W2 thì

u1 − v1 = v 2 − u 2 ∈ W1 ∩ W2 = {0} ⇒ u1 = v1 , u 2 = v2 .

Vậy tổng của hai không gian con là tổng trực tiếp W1 ⊕ W2 .

2.3 ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH, PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH

Ta xét các hệ véc tơ có tính chất là nếu một véc tơ bất kỳ biểu diễn được thành tổ hợp tuyến
tính của hệ này thì cách viết đó là duy nhất.


42
Chương 2: Không gian Véc tơ

Định nghĩa 2.7: Cho hệ n véc tơ S = {u1 ,..., u n } của V (các véc tơ này có thể trùng nhau).
Hệ S được gọi là độc lập tuyến tính nếu từ:
α1u1 + ... + α n u n = 0 ,α1 ,..., α n ∈ thì α1 = ... = α n = 0 .
Hệ không độc lập tuyến tính được gọi là phụ thuộc tuyến tính.

Vậy hệ S = {u1,..., u n } phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi ta có thể tìm được
α1,..., α n ∈ không đồng thời bằng 0 sao cho α1u1 + ... + α n u n = 0 .

Ví dụ 2.10: Hệ {e1, e2 } e1 = (1,0), e2 = (0,1) ∈ 2 là độc lập, vì nếu
trong đó
α1e1 + α 2 e2 = (α1 , α 2 ) = (0,0) thì α1 = α 2 = 0 .
Ví dụ 2.11: • Hệ chứa véc tơ 0 là hệ phụ thuộc tuyến tính.
• Hệ hai véc tơ {u1,u 2 } là hệ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi chúng tỷ lệ, nghĩa là
u1 = αu 2 hay u 2 = αu1 .
• Trong R2 hai véc tơ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi cùng phương.
• Trong R3 ba véc tơ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi đồng phẳng.

Tính chất 2.6:
1) Hệ véc tơ chứa hệ con phụ thuộc tuyến tính là hệ phụ thuộc tuyến tính. Vì vậy, mọi hệ
con của hệ độc lập tuyến tính là hệ độc lập tuyến tính.
2) Một hệ véc tơ là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có một véc tơ là tổ hợp tuyến tính
của các véc tơ còn lại.

3) Giả sử hệ {v1 ,..., vn } độc lập tuyến tính. Khi đó hệ {v1 ,..., vn , u} phụ thuộc tuyến
tính khi và chỉ khi u là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ {v1 ,..., vn } , khi đó ta có thể biểu diễn
duy nhất u = β1v1 + ... + β n vn .
Chứng minh: Ta chứng minh 3).
(⇐): suy từ 2).

(⇒): Giả sử {v1 ,..., vn , u} phụ thuộc khi đó tồn tại các số β1 ' ,..., β n ' , α ∈ không
đồng thời bằng 0 sao cho β1 ' v1 + ... + β n ' vn + αu = 0 , vì hệ {v1,..., vn } độc lập nên
β β
α ≠ 0 , ⇒ u = − 1 v1 − ... − n vn .
α α
Hơn nữa giả sử u = β1v1 + ... + β n vn thì

43
Chương 2: Không gian Véc tơ

β ' β ' β ' β '
0 = u − u = ( β1 + 1 )v1 + ... + ( β n + n )vn ⇒ β1 + 1 = ... = β n + n = 0
α α α α
β ' β '
Do đó β1 = − 1 ,..., β n = − n . Vậy cách viết trên là duy nhất.
α α
2.4 HẠNG CỦA MỘT HỆ HỮU HẠN CÁC VÉC TƠ
2.4.1 Hệ con độc lập tuyến tính tối đại
Định nghĩa 2.8: Cho hệ S các véc tơ của không gian véc tơ V . Hệ con {v1 ,..., vn } của hệ
S được gọi là độc lập tuyến tính tối đại của S nếu nó là hệ độc lập tuyến tính và nếu thêm bất kỳ
véc tơ nào của S thì ta có hệ phụ thuộc tuyến tính.
Nói riêng hệ {v1 ,..., vn } là hệ độc lập tuyến tính tối đại của V nếu hệ {v1 ,..., vn } độc lập
và nếu thêm bất kỳ véc tơ khác của V ta có hệ mới là phụ thuộc.
Tính chất 2.7:
1) Nếu S ' là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ S thì mọi véc tơ của S là tổ hợp
tuyến tính các véc tơ của S ' và cách biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính là duy nhất (điều này suy
từ tính chất 2.6 - 3)).
2) Giả sử {v1 ,..., vn } là hệ con độc lập tuyến tính của một hệ hữu hạn S . Khi đó ta có thể
bổ sung thêm để được một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của S chứa {v1 ,..., vn } .

Thật vậy, nếu {v1 ,..., vn } không tối đại thì tồn tại một véc tơ của
S , ta ký hiệu vn +1 , sao
cho hệ {v1 ,..., vn , vn +1} độc lập tuyến tính. Lập luận tương tự và vì hệ
S hữu hạn nên quá trình
bổ sung thêm này sẽ dừng lại, cuối cùng ta được hệ {v1 ,..., vn , vn +1 ,..., vn + k } độc lập tuyến
tính tối đại của S .
2.4.2 Hạng của một hệ hữu hạn các véc tơ
Bổ đề 2.8 (Định lý thế Steinitz (Xtêi-nít)): Nếu hệ S độc lập tuyến tính có n véc tơ và mỗi
véc tơ của S là tổ hợp tuyến tính các véc tơ của hệ R có k véc tơ thì n ≤ k .
Chứng minh: Giả sử S = {v1,..., vn }, R = {u1 ,..., u k }. Ta sẽ chứng minh rằng có thể
thay dần các véc tơ của hệ R bằng các véc tơ của hệ S để có các hệ R1 , R2 ,... mà mỗi véc tơ
của hệ S vẫn còn là tổ hợp tuyến tính của R1 , R2 ,....

Thật vậy, ta có v1 = α1u1 + ... + α k u k , v1 ≠ 0 (vì S độc lập) nên α1 ,..., α k ∈
không đồng thời bằng 0, ta giả sử α1 ≠ 0 (có thể đánh lại số thứ tự của R ), suy ra
1 α α
u1 = v1 − 2 u 2 − ... − k u k .
α1 α1 α1
44
Chương 2: Không gian Véc tơ

Xét hệ R1 = {v1 , u 2 ,..., u k }. Rõ ràng mọi véc tơ của S vẫn còn là tổ hợp tuyến tính các
véc tơ của R1 .

Tương tự ta có v2 = β1v1 + β 2u 2 + ... + β k u k , vì {v1, v2 } độc lập nên β 2 ,..., β k ∈
không đồng thời bằng 0, ta giả sử β2 ≠ 0 .

1 β β β
Khi đó u2 = v2 − 1 v1 − 3 u3 − ... − k u k .
β2 β2 β2 β2
Xét hệ R2 = {v1 , v2 , u3 ,..., u k } , mọi véc tơ của S cũng là tổ hợp tuyến tính các véc tơ
của R2 .

Nếu n > k , tiếp tục quá trình này cuối cùng ta được mọi véc tơ của S là tổ hợp tuyến tính
các véc tơ của hệ Rk = {v1 , v2 ,..., vk }, là hệ con của S . Điều này mâu thuẫn với giả thiết hệ
S độc lập tuyến tính. Vậy n ≤ k .
Định lý 2.9: Mọi hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ hữu hạn S các véc tơ của V đều
có số phần tử bằng nhau.

Chứng minh: Giả sử {vi1 ,..., vik } và {v j1 ,..., v jn } là hai hệ con độc lập tuyến tính tối
đại của hệ S . Từ tính tối đại của mỗi hệ, suy ra rằng mọi véc tơ của hệ này là tổ hợp tuyến tính
các véc tơ của hệ kia. Do đó n ≤ k và k ≤ n , vậy n = k .

Định nghĩa 2.9: Số các véc tơ của một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ S được gọi
là hạng (rank) của S , ký hiệu r (S ) .

Qui ước hệ chỉ có véc tơ 0 có hạng là 0 .
2.5 CƠ SỞ, SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Định nghĩa 2.10:

1) Nếu không gian véc tơ V có một hệ sinh hữu hạn thì V được gọi là không gian hữu hạn sinh.

2) Mỗi hệ sinh độc lập tuyến tính của V được gọi là một cơ sở của V.
Giáo trình này chỉ hạn chế xét các không gian hữu hạn sinh.

Giả sử S = { v1 ,..., vn } là hệ sinh của V thì với mọi u ∈V

u = x1v1 + ... + xn vn , x1,..., xn ∈ .

45
Chương 2: Không gian Véc tơ

Định lý 2.10: Giả sử {e1,..., en } là một hệ các véc tơ của V . Các mệnh đề sau là
tương đương:

(i) Hệ { e1 ,..., en } là một cơ sở của V .

(ii) Hệ { e1 ,..., en } là hệ độc lập tuyến tính tối đại của V .

(iii) Mọi véc tơ u ∈ V tồn tại một cách viết duy nhất:
u = x1e1 + ... + xn en , x1,..., xn ∈ . (2.4)

Chứng minh: (i)⇒(ii): Hiển nhiên từ định nghĩa của cơ sở.

(ii)⇒(iii): Suy từ tính chất 3.2 - 3).

(iii)⇒(i): Rõ ràng {e1,..., en } là hệ sinh. Ngoài ra nếu x1e1 + ... + x n en = 0 , mặt khác
0 = 0e1 + ... + 0en . Do cách viết duy nhất suy ra x1 = ... = xn = 0 .

Định nghĩa 2.11: ( x1 ,..., xn ) trong (2.4) được gọi là toạ độ của véc tơ u trong cơ sở
{e1,..., en }.
Ta ký hiệu toạ độ của véc tơ u trong cơ sở B = {e1,..., en } là [u ] B .
Vậy nếu u thỏa mãn (2.4) thì
[u ] B = ( x1 ,..., xn ) (2.5)

Định lý 2.11: Giả sử V là không gian hữu hạn sinh và { v1 ,..., vk } là hệ độc lập tuyến tính
các véc tơ của V . Khi đó có thể bổ sung thêm để có được hệ {v1 ,..., vk , vk +1 ,..., vk + m } là
một cơ sở của V .

Chứng minh: Giả sử V có một hệ sinh có n véc tơ. Nếu S = { v1 ,..., vk } không phải là cơ
sở thì S không phải là hệ sinh, theo tính chất 2.6-3) tồn tại véc tơ, ta ký hiệu v k +1 , sao cho hệ
{v1,..., vk , vk +1} độc lập tuyến tính. Tiếp tục quá trình này cuối cùng ta có hệ
{v1,..., vk , vk +1 ,..., vk + m } độc lập tuyến tính và là hệ sinh, k + m ≤ n (theo Bổ đề 2.8). Vậy
{v1,..., vk , vk +1 ,..., vk + m } là một cơ sở cần tìm.
Hệ quả 2.12: Mọi không gian hữu hạn sinh đều tồn tại cơ sở.
Định lý 2.13: Số phần tử của mọi cơ sở của đều bằng nhau.

Chứng minh: Áp dụng Bổ đề 2.8 ta có hai cơ sở bất kỳ của V đều có số phần tử bằng nhau.

46
Chương 2: Không gian Véc tơ

Định nghĩa 2.12: Số véc tơ của một cơ sở của V được gọi là số chiều của V , ký hiệu
dim V . Quy ước dim{0} = 0 .

Ví dụ 2.12: Trong không gian
n
ta xét hệ B = {e1,..., en } trong đó:
e1 = (1,0,...,0) , e2 = (0,1,...,0) ,..., en = (0,0,...,1) (2.6)

n
là một cơ sở của gọi là cơ sở chính tắc. Vậy dim n = n .

Ví dụ 2.13: Hệ B = {1, t,..., t n } là một cơ sở của Pn , gọi là cơ sở chính tắc. Vậy
dim Pn = n + 1 .

Chú ý 2.14: Không gian P= U Pn là một ví dụ về không gian véc tơ không hữu hạn
n =1
sinh. Thật vậy, hệ {1, t, t 2 ,....} có vô hạn véc tơ và độc lập tuyến tính nên không thể là hữu hạn
sinh.

dim V = n và S = {v1,..., vm } là hệ m véc tơ của V . Khi đó: (i)
Định lý 2.15: Giả sử
Nếu hệ S độc lập tuyến tính thì m ≤ n .
(ii) Nếu hệ S là hệ sinh của thì m ≥ n .
(iii) Nếu m = n thì hệ S độc lập tuyến tính khi và chỉ khi S là hệ sinh.
Chứng minh: Gọi B là một cơ sở của V . Áp dụng bổ đề 2.8 cho hai hệ B và S suy ra
các điều cần chứng minh.
Định lý 2.16: Giả sử W1 ,W2 là hai không gian con của V thì

dim W1 + dim W2 = dim(W1 + W2 ) + dim(W1 I W2 ) (2.7)

Đặc biệt: dim(W1 ⊕ W2 ) = dim W1 + dim W2
(2.8)

Chứng minh: Giả sử { e1,..., el } là một cơ sở của W1 I W2 (nếu W1 I W2 = φ thì
l = 0 ). Theo định lý 2.11 ta có thể bổ sung thêm để { e1 ,..., el , u1 ,..., u m } là một cơ sở của W1
và { e1 ,..., el , v1 ,..., vk } là một cơ sở của W2 . Với mọi v ∈ W1 + W2 thì:

v = ( x1 + x '1 )e1 + ... + ( xl + x 'l )el + y1u1 + ... + y m u m + z1v1 + ... + z k vk .
Vậy {e1 ,..., el , u1 ,..., u m , v1,..., vk } là hệ sinh của W1 + W2 . Mặt khác, giả sử
x1e1 + ... + xl el + y1u1 + ... + y m u m + z1v1 + ... + z k vk = 0
47
Chương 2: Không gian Véc tơ

thì x1e1 + ... + xl el + y1u1 + ... + y m u m = − z1v1 − ... − z k vk ∈ W1 I W2 .

⇒ − z1v1 − ... − z k vk = t1e1 + ... + tl el ∈ W1 I W2
⇒ z1v1 + ... + z k vk + t1e1 + ... + tl el = 0

⇒ z1 = ... = z k = t1 = ... = tl = 0 ⇒ x1 = ... = xl = y1 = ... = y m = 0 .

Vậy {e1 ,..., el , u1 ,..., u m , v1 ,..., vk } là một cơ sở của W1 + W2 .

dim W1 + dim W2 = 2l + m + k = dim(W1 + W2 ) + dim(W1 I W2 ) .
Định lý 2.17: Giả sử S là hệ hữu hạn các véc tơ của V . Khi đó
(i) r ( S ) = dimW , với W = spanS .
(ii) Khi thực hiện một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp sau lên hệ S:
• Nhân một số khác 0 với một véc tơ của hệ S;
• Cộng vào một véc tơ của hệ S một tổ hợp tuyến tính các véc tơ khác của S ; thì hệ S
biến thành hệ S ' có r ( S ) = r ( S ' ) .

Chứng minh: (i) Giả sử S 0 là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của S thì S 0 cũng sinh ra
W , do đó S 0 là một cơ sở của W ⇒ r (S ) = số véc tơ của S 0 = dim W .

(ii) Nếu W = spanS , W ' = spanS ' thì W = W ' ⇒ r ( S ) = r ( S ' ) .
Nhận xét 2.18: Để tìm hạng của hệ véc tơ { v1 , v 2 , ... , v n } ta có thể sử dụng 2 cách sau:

1) Áp dụng định lý 2.17 bằng cách thực hiện các phép biến đổi sơ cấp lên hệ véc tơ đã cho
để đưa về hệ véc tơ mà ta dễ dàng nhận được hạng của nó.
Khi thực hành ta có thể viết tọa độ các véc tơ thành một bảng, mỗi véc tơ nằm trên một
hàng, sau đó biến đổi để bảng số này có dạng tam giác.
2) Áp dụng tính chất 2.6 theo từng bước như sau:
1. Loại các véc tơ vi = 0 ,

2. Giả sử v1 ≠ 0 , loại các véc tơ vi tỉ lệ với v1 ,

3. {1
} độc lập, khi đó {vi1 , ..., vik , v j } độc lập khi và chỉ khi
Giả sử vi , ... , vi
k

v j không biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính của { i1 , ... , vi k } .
v
Ví dụ 2.14: Tìm hạng của hệ véc tơ sau:
v1 = (1,1,1,1) , v 2 = (1,−1,1,−1) , v3 = (1,3,1,3) ,
48
Chương 2: Không gian Véc tơ

v 4 = (1,2,0,2) , v5 = (1,2,1,2) .
Giải:
• Cách1:

⎧1 1 1 1 ⎧1 1 1 1
⎪1 − 1 1 −1 ⎪0 − 2 0 − 2

⎪ ⎪

⎨1 3 1 3 → ⎨0 2 0 2
⎪1 2 0 2 ⎪0 1 − 1 1
⎪ ⎪
⎪1 2
⎩ 1 2 ⎪0 0
⎩ 1 0
(Hàng1 → hàng 1, hàng 2 - hàng1 → hàng 2, hàng 3 - hàng1 → hàng 3, hàng 4 - hàng1
→ hàng 4, hàng 5 - hàng4 → hàng 5)

⎧1 1 1 1 ⎧1 1 1 1
⎪0 − 2 0 −2 ⎪0 1 0 1

⎪ ⎪

→ ⎨0 0 0 0 → ⎨0 0 1 0
⎪0 0 0 0 ⎪0 0 0 0
⎪ ⎪
⎪0 0
⎩ 1 0 ⎪0
⎩ 0 0 0
(Hàng 3 + hàng 2 → hàng 3, hàng 4 +(1/2) hàng 2 - hàng 5 → hàng 4).
(-1/2hàng 2 → hàng 2, hàng 5 → hàng 3).
Vậy hệ véc tơ có hạng là 3.

• Cách 2: v1 , v 2 không tỉ lệ nên độc lập. Nếu v3 = xv1 + y v 2 thì

⎧x + y = 1
⎪x − y = 3

⎨ ⇒ x = 2 , y = −1 .
⎪x + y = 1
⎪x − y = 3

Vậy v3 = 2v1 − v 2 . Nghĩa là {v1 , v 2 , v3 } phụ thuộc.

⎧x + y = 1
⎪x − y = 2

Nếu v 4 = xv1 + y v 2 thì ⎨ , hệ vô nghiệm. Vậy {v1 , v 2 , v 4 } độc lập.
⎪ x+ y = 0
⎪x − y = 2

49
Chương 2: Không gian Véc tơ

Nếu v5 = xv1 + y v 2 + zv 4 thì

⎧x + y + z = 1
⎪x − y + 2 z = 2

⎨ ⇒ x = 3 / 2 , y = −1 / 2, z = 0 .
⎪x + y = 1
⎪x − y + 2 z = 2

Vậy v5 = 3 / 2v1 − 1 / 2 v 2 . Nghĩa là {v1 , v 2 , v 4 , v5 } phụ thuộc.

Vậy {v1 , v2 , v4 } là một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 }.




50
Chương 3: Ma trận




3. CHƯƠNG 3: MA TRẬN


3.1 KHÁI NIỆM MA TRẬN

Định nghĩa 3.1: Một bảng số có m hàng n cột

⎡ a11 a12 ... a1n ⎤
⎢a a22 ... a2n ⎥
A = ⎢ 21 ⎥ (3.1)
⎢ M M O M ⎥
⎢ ⎥
⎣ am1 am 2 ... amn ⎦

được gọi là một ma trận cỡ m × n . aij là phần tử ở hàng thứ i và cột j .

Khi aij ∈ , ∀ i, j thì A được gọi là ma trận nguyên, aij ∈ , ∀ i, j thì A được gọi
là ma trận phức. Nếu không chỉ rõ aij thì ta quy ước A là ma trận thực.

Ma trận A cỡ m × n có thể được viết tắt dạng

[ ] ji=1,,n
A = aij
=1 m
hay [ ]
A = aij
m× n
(3.2)


Khi m = n ta nói A là ma trận vuông cấp n .
Tập hợp tất cả các ma trận cỡ m × n được ký hiệu
Mm×n .
Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n được ký hiệu Mn .

⎡ 0 −1 π ⎤
Ví dụ 3.1: ⎢− 3 2 là ma trận cỡ 2 × 3.
⎣ 5⎥


Hai ma trận cùng cỡ A = aij[ ]m× n
, B = bij
m× n
[ ]
bằng nhau, ký hiệu A = B , khi và

chỉ khi a ij = bij với mọi i = 1, m ; j = 1, n .



51
Chương 3: Ma trận

3.2 CÁC PHÉP TOÁN MA TRẬN
3.2.1 Phép cộng

Cho hai ma trận cùng cỡ [ ]m×n , B = [bij ]m×n
A = aij

Tổng của hai ma trận A, B là ma trận cùng cỡ được ký hiệu và định nghĩa bởi

[ ]m×n
A + B = cij , cij = aij + bij với mọi i = 1, m ; j = 1, n .
(3.3)

⎡ 2 − 3 0 ⎤ ⎡ 0 8 5 ⎤ ⎡ 2 5 5⎤
Ví dụ 3.2: ⎢9 4 − 1⎥ + ⎢− 3 1 7⎥ = ⎢6 5 6⎥ .
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
3.2.2 Phép nhân ma trận với một số

Cho ma trận [ ]
A = aij
m× n
cỡ m × n , và số thực k . Ta định nghĩa và ký hiệu

[ ]m×n
kA = kaij . (3.4)

1 ⎡1 2 − 1 0 ⎤ ⎡1 4 − 1 2 0⎤
Ví dụ 3.3: = .
2 ⎢ 3 − 8 10⎥ ⎢3 2 − 4 5⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Tính chất 3.1: Các tính chất sau đây đúng đối với các ma trận cùng cỡ:
1) A + ( B + C ) = ( A + B) + C ;
2) Ma trận có các phần tử đều bằng 0 gọi là ma trận không và ký hiệu 0.
Khi đó: A + 0 = 0 + A = A;

3) [
A + (− A) = 0 , trong đó − A = − aij ]m×n ;

4) A + B = B + A.
Vậy ( Mm×n ,+ ) là một nhóm Abel.

Ta cũng kiểm chứng được các tính chất sau đúng với mọi số thực k, h với mọi ma trận
A = aij [ ]
m× n
, B = bij
m× n
[ ]
cỡ m × n :

5) k ( A + B) = kA + kB ;
6) (k + h) A = kA + hA ;

52
Chương 3: Ma trận

7) k (hA) = (kh) A ;
8) 1A = A .
Với 8 tính chất này tập Mm×n là không gian véc tơ.
Ký hiệu Eij là ma trận cỡ m × n có các phần tử đều bằng 0 ngoại trừ phần tử ở hàng i cột
j bằng 1 thì hệ các ma trận {Eij i = 1, m ; j = 1, n } là một cơ sở của Mm×n .
Vậy dim Mm× n = m × n .
3.2.3 Phép nhân ma trận

Định nghĩa 3.2: Tích hai ma trận [ ]
A = aij
m× p
và B = bij [ ]
p× n
là ma trận cỡ


m×n được ký hiệu và định nghĩa bởi AB = cij[ ]m×n , trong đó

p
cij = ∑ aik bkj với mọi i = 1, m ; j = 1, n . (3.5)
k =1
Vậy phần tử ở hàng thứ i cột thứ j của AB bằng tổng của tích các phần tử của hàng thứ i
của A với các phần tử tương ứng của cột thứ j của B .

j

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ b1 j ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ b2 j ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
i⎢ cij ⎥ = ⎢ai1 ai 2 aip ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣ ⎥ ⎢
⎦ ⎣ ⎥⎢
⎦⎣ b pj ⎥



⎡ 1 3⎤
⎡ 1 − 2 3⎤ ⎢ ⎥ ⎡9 15⎤
Ví dụ 3.4: ⎢− 1 2 5⎥ ⎢− 1 0⎥ = ⎢7 17 ⎥ .
⎣ ⎦⎢ ⎣ ⎦
⎣ 2 4⎥

⎡ 2⎤ ⎡ 2 8 − 4⎤
⎢3⎥[1 4 − 2] = ⎢3 12 − 6⎥ .
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
53
Chương 3: Ma trận

Ta thấy rằng tích của hai ma trận A và B định nghĩa được khi số cột của A bằng số hàng
của B . Vì vậy có thể định nghĩa AB nhưng không định nghĩa được BA nếu số cột của B
không bằng số hàng của A .

Khi A, B là hai ma trận vuông cùng cấp thì ta có đồng thời AB và BA . Mặc dầu vậy
chưa chắc có đẳng thức AB = BA , nói cách khác tích ma trận không có tính giao hoán. Chẳng
hạn, xét

⎡− 1 0 0 K 0⎤ ⎡1 2 0 K 0⎤
⎢2 3 0 K 0⎥ ⎢3 0 0 K 0⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
A=⎢ 0 0 0 K 0⎥ B = ⎢0 0 0 K 0⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢M M M O M⎥ ⎢M M M O M⎥
⎢0
⎣ 0 0 0 0⎥
⎦ ⎢0
⎣ 0 0 0 0⎥


⎡− 1 − 2 0 K 0⎤ ⎡3 6 0 K 0⎤
⎢ 11 4 0 K 0⎥ ⎢− 3 0 0 K 0⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
AB = ⎢ 0 0 0 K 0⎥ ≠ BA = ⎢ 0 0 0 K 0⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢M M M O M⎥ ⎢ M M M O M⎥
⎢0
⎣ 0 0 0 0⎥
⎦ ⎢0
⎣ 0 0 0 0⎥



Tính chất 3.2: Giả sử A, B, C là các ma trận với số cột số hàng thích hợp để các phép toán
sau xác định được thì ta có các đẳng thức:

1) A( BC ) = ( AB)C tính kết hợp.
2) A( B + C ) = AB + AC tính phân phối bên trái phép nhân ma trận với phép cộng.
3) ( B + C ) A = BA + CA tính phân phối bên phải phép nhân ma trận với phép cộng.
4) Với mọi k ∈ , k ( AB ) = ( kA) B = A( kB ) .
5) Với mọi số tự nhiên dương n ta xét ma trận I n vuông cấp n có các phần tử trên đường
chéo bằng 1 và các phần tử ở vị trí khác đều bằng 0.

⎡1 ⎤
In = ⎢ O ⎥
⎢ ⎥

⎣ 1⎥

54
Chương 3: Ma trận

Khi đó với mọi ma trận A cỡ m × n ta có I m A = A = AI n .
Ma trận I n được gọi là ma trận đơn vị cấp n.

Từ các tính chất trên ta thấy tập hợp các ma trận vuông cấp n ≥ 2 cùng với phép cộng và
nhân ma trận ( Mn ,+,.) là một vành không giao hoán, có đơn vị và không nguyên vì có ước của
0. Chẳng hạn

⎡1 2 0 K 0⎤ ⎡ 2 −6 0 K 0⎤
⎢2 4 0 K 0⎥ ⎢− 1 3 0 K 0⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
A = ⎢0 0 0 K 0⎥ B=⎢0 0 0 K 0⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢M M M O M⎥ ⎢M M M O M⎥
⎢0
⎣ 0 0 0 0⎥
⎦ ⎢0
⎣ 0 0 0 0⎥

A, B ≠ 0 nhưng AB = 0 .
3.2.4 Ma trận chuyển vị

Định nghĩa 3.3: Cho ma trận A cỡ m × n , nếu ta đổi các hàng của ma trận A thành các
cột (và do đó các cột thành các hàng) thì ta được ma trận mới cỡ n × m , gọi là ma trận chuyển vị

của ma trận trên A , ký hiệu At

At = cij[ ]
n× m
; cij = a ji i = 1, n j = 1, m . (3.6)

⎡− 4 1⎤
⎡ − 4 2 5⎤
Ví dụ 3.5: A = ⎢ 2 0⎥ ; At = ⎢ .
⎢ ⎥ ⎣ 1 0 9⎥⎦
⎢ 5 9⎥
⎣ ⎦
Tính chất 3.3:

1) ( A + B)t = At + B t .

2) (kA)t = kAt .

3) ( AB)t = B t At .
Định nghĩa 3.4:
t
1) Nếu A = A thì A được gọi là ma trận đối xứng ( A là ma trận vuông có các phần tử
đối xứng nhau qua đường chéo thứ nhất).

55
Chương 3: Ma trận

t
2) A = − A thì A được gọi là phản đối xứng (hay đối xứng lệch) ( A là ma trận vuông
có các phần tử đối xứng và trái dấu qua đường chéo thứ nhất, các phần tử trên đường chéo thứ
nhất bằng 0).

3.3 MA TRẬN CỦA MỘT HỆ VÉC TƠ TRONG MỘT CƠ SỞ NÀO ĐÓ
Giả sử V là không gian n chiều với một cơ sở B = {e1,.....en }.
{v1,..., vm } là một hệ véc tơ của V có toạ độ trong cơ sở B :

n
v j = ∑ aij ei , j = 1, m
i =1

Khi đó ma trận A = aij [ ]
n× m
có các cột là các toạ độ của các véc tơ { v1 ,..., vm } trong

cơ sở B được gọi là ma trận của hệ véc tơ { v1 ,..., vm } trong cơ sở B .

Ngược lại, với ma trận A cỡ n × m cho trước thì ta có hệ m véc tơ mà toạ độ của nó
trong cơ sở B là các cột của A .
V với cơ sở cố định B = { e1 ,.....en } thì có tương ứng 1 - 1
Vậy khi không gian véc tơ
giữa các ma trận cỡ n × m với các hệ m véc tơ của V .
Ma trận chuyển cơ sở

Giả sửB = {e1,.....en }, B '= {e'1 ,.....e'n } là hai cơ sở của V . Ma trận của hệ véc tơ
B ' trong cơ sở B được gọi là ma trận chuyển từ cơ sở B sang cơ sở B ' . Nghĩa là nếu
n
[ ]
e' j = ∑ tij ei , j = 1, n ... thì P = tij (3.7)
i =1

là ma trận chuyển từ cơ sở B sang B ' .
n n
Khi đó với véc tơ bất kỳ u ∈ V ; u = ∑ xi ei = ∑ x'i e'i .
i =1 i =1

Ta có: [xi ]n×1 = [tij ]n× n [x' j ]n×1 (3.8)

(3.8) được gọi là công thức đổi tọa độ

Nếu A, A' lần lượt là ma trận của { v1 ,..., vm } trong cơ sở B , B ' thì
A = PA' (3.9)

56
Chương 3: Ma trận

3.4 HẠNG CỦA MA TRẬN
Định nghĩa 3.5: Ta gọi hạng của ma trận A , ký hiệu r ( A) , là hạng của các véc tơ cột của A .
Phương pháp tìm hạng của ma trận bằng phép biến đổi sơ cấp
Hạng r (S ) của một hệ véc tơ S của không gian V là số véc tơ của một hệ con độc lập
tuyến tính tối đại của S hay là chiều của spanS (xem Định lý 2.17). Vì vậy khi ta thực hiện liên
tiếp các phép biến đổi sau, gọi là các phép biến đổi sơ cấp, thì spanS không đổi do đó hạng của
hệ không thay đổi:
1) Đổi chỗ cho nhau hai véc tơ của hệ.

2) Nhân vào một véc tơ của hệ một số khác 0.
3) Cộng vào một véc tơ của hệ một tổ hợp tuyến tính các véc tơ khác của hệ.
Vì vậy để tìm hạng của một ma trận ta thực hiện các biến đổi sơ cấp lên các cột (sau này ta
sẽ chứng minh được rằng ta cũng có thể biến đổi theo các hàng) để đưa ma trận về dạng tam giác,
từ đó suy ra hạng của ma trận.
Ví dụ 3.6:

1 2 3c + c → c
2
⎡ 1 −3 4 2 ⎤ ⎡1 0 0 0⎤
4c1 + c3 → c3 ⎢
A=⎢ 2 1 1 4⎥ 2 7 − 7 0⎥
⎢ ⎥ − 2c + c → c ⎢ ⎥
1 4 4
⎢ − 1 − 2 1 − 2⎥
⎣ ⎦ ⎢ − 1 − 5 5 0⎥
⎣ ⎦


c1 → c1
⎡1 0 0 0⎤
c2 → c2 ⎢2 7 0 0⎥
c2 + c3 → c3 ⎢ ⎥
⎢ − 1 − 5 0 0⎥
⎣ ⎦

Vậy r ( A) = 2 .
c → c1
c → c4 1
⎡− 1 2 1 −1 1 ⎤ c1 →
c5
⎡1 − 1 1 − 1 2 ⎤ c +c →c
⎢ a −1 1 − 1 − 1⎥ c3 → c1 ⎢1 − 1 − 1 a − 1⎥
2 1 2 2

B=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − c + c →c
1 3 3
⎢1 a 0 1 1⎥ c 4 → c 2 ⎢0 1 1 1 a⎥ c1 + c 4 → c 4
⎢ ⎥ c5 → c3 ⎢ ⎥ − 2c + c → c
⎣1 2 2 −1 1 ⎦ ⎣2 − 1 1 1 2 ⎦ 1 5 5

57
Chương 3: Ma trận

c →c
1 1
⎡1 0 0 0 0⎤ c →c ⎡1 0 0 0 0 ⎤
⎢1 0 − 2 a + 1 − 3⎥
2 3
⎢1 − 2 0 0 0 ⎥
c →c
⎢ ⎥ 3 2 ⎢ ⎥
⎢0 1 1 1 a⎥ − ( a + 3) c + ( a + 1) c + 2 c → c
2 3 4 4
⎢0 1 1 0 0 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣2 1 −1 3 − 2 ⎦ (3 - 2a)c -3c + 2c → c
2 3 5 5 ⎣2 − 1 1 2 − 2a 2 −2a ⎦

⎧4 nÕu a ≠ 1
Vậy r ( B) = ⎨ .
⎩3 nÕu a = 1

Xét các ma trận vuông cấp n sau:


⎡1 ⎤
⎢ λ ⎥ hµng k ⎧0 i ≠ j
R (k , λ ) = [aij ] = ⎢ ⎥ ⎪
aij = ⎨1 i = j ≠ k (3.10)
⎢ ⎥ ⎪λ i = j = k
⎢ ⎥ ⎩
⎣ 1⎦
cột k

⎡1 ⎤
⎢ 0 1 ⎥ hµng i
⎢ ⎥
P (i, j ) = [akl ] = ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ 1 0 ⎥ hµng j

⎣ 1⎥

cột i cột j

⎧1 k = l ≠ i; j
⎪0 k = l vµ b»ng i hay j


akl = ⎨1 k = i, l = j (3.11)
⎪1 k = j , l = i

⎪0 trong c¸c tr−êng hîp kh¸c

58
Chương 3: Ma trận

⎡1 ⎤
⎢ 1 ⎥
⎢ ⎥
Q(i, j , λ ) = [akl ] = ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ λ 1 ⎥ hµng i

⎣ 1⎥

cột j


⎧1 k = l

akl = ⎨λ k = i, l = j (3.12)
⎪0 trong c¸c tr−êng hîp kh¸c


Tính chất 3.5: Ta dễ dàng kiểm tra được:

a) Nếu nhân R(k , λ ) vào bên phải của ma trận A thì ma trận tích AR ( k , λ ) có được
bằng cách nhân thêm λ vào cột k của ma trận A .

⎡ a b c ⎤ ⎡1 0 0⎤ ⎡ a λb c ⎤
⎢ a ' b ' c ' ⎥ ⎢ 0 λ 0 ⎥ = ⎢ a ' λb ' c ' ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢a" b" c"⎥ ⎢0 0 1⎥ ⎢a" λb" c"⎥
⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

b) Nếu nhân P(i, j ) vào bên phải của ma trận A thì ma trận tích AP(i, j ) có được bằng
cách đổi chỗ hai cột i và j của A cho nhau.

⎡ a b c ⎤ ⎡0 1 0 ⎤ ⎡ b a c ⎤
⎢ a ' b' c' ⎥ ⎢1 0 0⎥ = ⎢ b' a' c' ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢a" b" c"⎥ ⎢0 0 1⎥ ⎢b" a" c"⎥
⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

c) Nếu nhân Q(i, j , λ ) vào bên phải của ma trận A thì ma trận tích AQ(i, j , λ ) có được
bằng cách nhân λ vào cột i và cộng vào cột j của ma trận A .

⎡ a b c ⎤ ⎡ 1 0 0⎤ ⎡ a + λc b c ⎤
⎢ a' b' c' ⎥ ⎢ 0 1 0⎥ = ⎢ a'+λc' b' c' ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢a" b" c"⎥ ⎢λ 0 1⎥ ⎢a"+λc" b" c"⎥
⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
59
Chương 3: Ma trận

d) Nếu nhân P, Q, R vào bên trái của ma trận A thì ta có các kết quả tương tự như trên,
trong đó các tác động lên hàng đổi thành tác động lên cột và ngược lại. Chẳng hạn

⎡1 0 0⎤ ⎡ a b c ⎤ ⎡ a b c⎤
⎢0 λ 0⎥ ⎢ a' b' c' ⎥ = ⎢λa' λb' λc'⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢0 0 1⎥ ⎢a" b" c"⎥ ⎢ a" b" c" ⎥
⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡1 0 0⎤ ⎡ a b c ⎤ ⎡ a b c ⎤
⎢0 1 0 ⎥ ⎢ a ' b ' c ' ⎥ = ⎢ a ' b' c' ⎥ .
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢0 λ 1⎥ ⎢a" b" c"⎥ ⎢λa'+ a" λb'+b" λc'+c"⎥
⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦




60
Chương 4: Định thức




4. CHƯƠNG 4: ĐỊNH THỨC


4.1 HOÁN VỊ VÀ PHÉP THẾ
Định nghĩa 4.1:

1) Mỗi song ánh σ : { ,2,..., n} → { ,2,..., n} được gọi là một phép thế bậc n.
1 1
Ta thường ký hiệu một phép thế bằng một ma trận có hàng thứ nhất là các số 1,2,...,n sắp
theo thứ tự tăng dần còn hàng thứ hai là ảnh của nó:

⎡ 1 2 ... n ⎤
σ =⎢ ⎥
⎣σ (1) σ (2) ... σ (n)⎦
2) Ảnh của một phép thế được gọi là hoán vị. Với phép thế σ ta có hoán vị tương ứng

[σ (1) σ (2) ... σ ( n)] .
3) Dấu của phép thế:

Cho hoán vị [σ (1) σ (2) ... σ ( n)] , nếu có cặp i < j mà σ (i) > σ ( j ) thì ta nói
có một nghịch thế của σ.
Giả sử k là số các nghịch thế của σ , ta định nghĩa và ký hiệu dấu của phép thế σ là

sgn σ = (−1) k (4.1)

Ta dễ dàng kiểm chứng được rằng tập các phép thế bậc n với luật hợp thành là phép hợp của
hai ánh xạ tạo thành một nhóm không giao hoán, gọi là nhóm đối xứng bậc n, ký hiệu Sn .
Trong chương 1 ta đã biết tập S n có đúng n! phần tử. Chẳng hạn S 2 có 2 phần tử, S 3 có
6 phần tử ...

⎡1 2 3⎤
Ví dụ 4.1: Hoán vị [1 3 2] ứng với phép thế σ = ⎢ ⎥ có một nghịch thế. Vậy
⎣1 3 2⎦
sgn σ = (−1)1 = −1 .
Để tìm số các nghịch thế k của phép thế σ ta thực hiện các bước sau:

Trong hoán vị [σ (1) σ ( 2) ... σ ( n)] có i1 là giá trị sao cho σ (i1 ) = 1 .
61
Chương 4: Định thức

♦ Gọi k1 là số các số trong [σ (1) σ (2) ... σ ( n)] đứng trước σ (i1 ) = 1;

σ (i1 ) = 1, tồn tại i2 sao cho σ (i2 ) = 2 ,
♦ Xoá số gọi k2 là số các số còn lại trong
[σ (1) σ (2) ... σ (n)] đứng trước σ (i2 ) = 2 ;
♦ Xoá số σ (i2 ) = 2 và tiếp tục đếm như thế ...

Cuối cùng số các nghịch thế của σ là:

k = k1 + k 2 + ... + k n −1
Ví dụ 4.2: Hoán vị 3 [ 4 2 1] có k1 = 3 , k 2 = 2 , k3 = 0 .

Vậy k = 5 và sgn σ = (−1)5 = −1 .
Tính chất 4.1:

1) Cặp (i, j ), i ≠ j là một nghịch thế của phép thế σ ( nghĩa là i < j và σ (i ) > σ ( j ) )
σ (i ) − σ ( j )
khi và chỉ khi dấu của bằng − 1 . Vậy
i− j
⎛ σ (i ) − σ ( j ) ⎞
sgn σ = ∏ dÊu⎜

⎝ i− j
⎟.


(4.2)
1≤ i ≠ j ≤ n

2) Chuyển vị σ = [i0 j0 ] là phép thế chỉ biến đổi hai phần tử i0 , j0 cho nhau và giữ
nguyên các phần tử còn lại:

⎡1 2 ... i0 ... j0 ... n ⎤
σ =⎢ (4.3)
⎣1 2 ... j0 ... i0 ... n ⎥

Dễ dàng tính được: k1 = ... = ki −1 = 0 , ki = j0 − i0 ,
0 0

ki0 +1 = ... = k j −1 = 1 , k j = ... = k n = 0 ⇒ k = 2( j0 − i0 ) − 1
0 0


Vậy sgn σ = (−1) k = −1 .
3) Với mọi σ , μ ∈ S n : sgn(σ o μ ) = sgn σ sgn μ . (4.4)

Thật vậy, khi (i, j ) chạy khắp tập { ,2,..., n}× { ,2,..., n} \ {(1,1),..., (n, n)} thì
1 1
( μ (i ), μ ( j )) cũng chạy khắp tập này. Do đó:


62
Chương 4: Định thức

⎛ σ (i ) − σ ( j ) ⎞ ⎛ σ ( μ (i )) − σ ( μ ( j )) ⎞
sgn σ = ∏ dÊu⎜

⎝ i− j
⎟=
⎟ ∏ dÊu⎜ μ (i) − μ ( j ) ⎟
⎠ 1≤ μ (i ) ≠ μ ( j ) ≤ n




1≤ i ≠ j ≤ n

⎛ σ ( μ (i )) − σ ( μ ( j )) ⎞
= ∏ dÊu⎜

⎝ μ (i ) − μ ( j ) ⎟
⎟.

1≤ i ≠ j ≤ n

⎛ σ ( μ (i )) − σ ( μ ( j )) ⎞ ⎛ μ (i ) − μ ( j ) ⎞
sgn σ sgn μ = ∏ dÊu⎜


⎟ ⋅ ∏ dÊu⎜

μ (i ) − μ ( j ) ⎠ 1≤ i ≠ j ≤ n ⎜ i − j ⎟



1≤ i ≠ j ≤ n

⎛ σ ( μ (i )) − σ ( μ ( j )) ⎞
= ∏ dÊu⎜

⎝ i− j
⎟ = sgn (σ o μ ) .


1≤ i ≠ j ≤ n

[ ]
4) Với mọi chuyển vị i0 j0 (xem 4.3) và phép thế σ :

sgn σ o [i0 j0 ] = − sgn σ .

4.2 ĐỊNH THỨC

⎧ ax + by = c
Khi giải hệ phương trình tuyến tính ⎨ ta tính các định thức
⎩ a ' x + b' y = c '

a b c b a c
D= = ab'−ba' , Dx = = cb'−bc' , D y = = ac'−ca' .
a ' b' c ' b' a' c'

⎡a a12 ⎤
Như vậy định thức của ma trận A = ⎢ 11 vuông cấp 2 là
⎣ a21 a22 ⎥

a a12
A = 11 = a11a22 − a12 a21 .
a21 a22

⎡1 2⎤ ⎡1 2⎤
Mặt khác nhóm đối xứng S 2 có 2 phần tử là σ1 = ⎢ ⎥ và σ 2 = ⎢ ⎥ có dấu
⎣1 2⎦ ⎣2 1 ⎦
sgnσ 1 = 1 , sgnσ 2 = −1 . Vậy

a a12
A = 11 = a11a22 − a12 a21
a21 a22


63
Chương 4: Định thức

= sgnσ 1 a1σ 1 (1) a2σ 1 ( 2) + sgnσ 2 a1σ 2 (1) a2σ 2 ( 2) = ∑ sgnσ a1σ (1) a2σ (2) .
σ ∈S 2

Ta mở rộng định nghĩa này cho ma trận vuông cấp n bất kỳ như sau.

Định nghĩa 4.2: Định thức của ma trận vuông [ ]
A = aij
n× n
được ký hiệu là

det A hay A và định nghĩa bởi biểu thức:

det A = ∑ sgn σ ⋅ a1σ (1) ...anσ (n) (4.5)
σ ∈S n

Như vậy định thức của ma trận vuông A = aij[ ]
n× n
là tổng tất cả các tích gồm n phần tử

trên n hàng mà ở trên n cột khác nhau của ma trận A và nhân với +1 hoặc -1.

Ví dụ 4.3: a) Nhóm đối xứng S 2 có 6 phần tử là (xem ví dụ 1.23 chương 1)

⎡1 2 3⎤ ⎡1 2 3⎤ ⎡1 2 3⎤
σ1 = ⎢ ⎥ , σ2 = ⎢ ⎥ , σ3 = ⎢ ⎥,
⎣1 2 3⎦ ⎣1 3 2⎦ ⎣2 1 3⎦
⎡1 2 3⎤ ⎡1 2 3⎤ ⎡1 2 3⎤
σ4 = ⎢ ⎥ , σ5 = ⎢ ⎥ , σ6 = ⎢ ⎥.
⎣2 3 1⎦ ⎣3 1 2⎦ ⎣3 2 1⎦
có dấu sgnσ 1 = sgnσ 4 = sgnσ 5 = 1 , sgnσ 2 = sgnσ 3 = sgnσ 6 = −1 . Vậy

a11 a12 a13
a21 a22 a23 = ∑ sgnσ a1σ (1) a2σ (2) a3σ (3)
a31 a32 a33 σ ∈S 3

= a11a22 a33 − a11a23a32 − a12 a21a33 (4.6)
+ a12 a23a31 + a13a21a32 − a13a22 a31 .

a11 a12 a13 ... a1n
a22 a23 ... a2n
b) Tính định thức Dn = a33 ... a3n
O M
ann


64
Chương 4: Định thức

⎡1 2 ... n ⎤
⎥ có sgn σ 0 = (− 1) = 1.
0
Xét phép thế σ0 = ⎢
⎣1 2 ... n ⎦
Với mọi σ ∈ Sn , nếu σ ≠ σ 0 thì tồn tại k sao cho σ (k ) ≠ k ⇒ tồn tại k ' sao cho
σ (k ' ) < k ' ⇒ ak 'σ ( k ') = 0 ⇒ a1σ (1) ...anσ ( n) = 0 . Vậy

Dn = ∑ sgn σ ⋅ a1σ (1) ...anσ (n) = sgn σ 0 ⋅ a11...ann = a11...ann . (4.7)
σ ∈S n

a11
a21 a22
Tương tự D ' n = a31 a32 a33 = a11... ann . (4.8)
M M M O
an1 an 2 an3 ... ann

a1n
a2, n −1 a2n
c) Tính định thức D"n = N M M
an −1,2 ... ... an −1n
an1 an 2 ... ... ann

⎡1 2 ... n⎤
Xét phép thế σ1 = ⎢ thoả mãn σ 1 ( k ) + k = n + 1, ∀ k = 1, ..., n .
⎣ n n − 1 ... 1 ⎥

Ta dễ dàng tính được

k1 = n − 1, k 2 = n − 2,..., k n −1 = 1 ⇒ k = 1 + ... + ( n − 1) = n(n − 1) 2

⇒ sgn σ 1 = (−1) n( n −1) 2 . Mặt khác với mọi σ ∈ S n , nếu σ ≠ σ 1 thì tồn tại k sao
cho σ (k ) + k < n + 1 ⇒ a kσ ( k ) = 0 ⇒ a1σ (1) ...anσ ( n) = 0 .

Vậy D"n = ∑ sgn σ ⋅ a1σ (1) ...anσ (n) = sgn σ1 ⋅ an1...ak , n − k ...a1n
σ ∈S n

= (−1) n( n −1) 2 an1...ak , n − k ...a1n (4.9)

Tương tự

65
Chương 4: Định thức

a11 a12 ... a1n −1 a1n
a21 a22 ... a2n −1
D" 'n = M M N = (−1) n( n −1) 2 an1...ak , n − k ...a1n . (4.10)
M N
an1

A = aij
Định nghĩa 4.3: Định thức của ma trận
n× n
[ ]
của hệ véc tơ { v1 ,..., vn } ứng với

cơ sở B trong không gian véc tơ V cũng được gọi là định thức của hệ véc tơ { v1 ,..., vn } và ký
hiệu D B {v1 ,..., vn } . Vậy

DB {v1 ,..., vn } = det A . (4.11)

4.3 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐỊNH THỨC
Tính chất 4.2:
1) Nếu đổi chỗ hai hàng của ma trận thì định thức đổi dấu:

⎧aij nÕu i ≠ k , m

[ ]
A = aij
n× n
, A' = a 'ij [ ]
n× n

, a 'ij = ⎨akj nÕu i = m thì det A' = − det A .

⎪amj nÕu i = k

Thật vậy: det A' = ∑ sgn σ ⋅ a'1σ (1) ...a'kσ (k ) ...a'mσ (m) ...a'nσ (n)
σ ∈S n

= ∑ sgn σ ⋅ a1σ (1) ...amσ (k ) ...akσ (m) ...anσ (n)
σ ∈S n

= ∑ sgn σ ⋅ a1σ '(1) ...akσ '(k ) ...amσ '(m) ...anσ '(n)
σ ∈S n

=− ∑ sgn σ '⋅a1σ '(1) ...amσ '(k ) ...akσ '(m) ...anσ '(n) = − det A
σ '∈S n

trong đó σ ' = σ o [k m ] .
2) Định thức có tính chất tuyến tính đối với mỗi hàng:

Cho hai ma trận A = aij [ ]
n× n
, B = bij [ ]
n× n
và ma trận C = cij
n× n
[ ]
có hàng thứ k

là tổ hợp tuyến tính của hàng thứ k của A và B .
66
Chương 4: Định thức

⎧cij = aij = bij nÕu i ≠ k

Nghĩa là ⎨
⎪ckj = α akj + β bkj ;
⎩ víi mäi j = 1,..., n.

thì det C = α det A + β det B .

Thật vậy: det C = ∑ sgn σ ⋅ c1σ (1) ...ckσ (k ) ...cnσ (n)
σ ∈S n

= ∑ sgn σ ⋅ a1σ (1) ...(α akσ (k ) + β bkσ (k ) )...anσ (n)
σ ∈S n

=α ∑ sgn σ ⋅ a1σ (1) ...akσ (k ) ...anσ (n) + β ∑ sgn σ ⋅ b1σ (1) ...bkσ (k ) ...bnσ (n)
σ ∈S n σ ∈S n
= α det A + β det B .
3) Từ 1) và 2) suy ra rằng trong một ma trận có hai hàng tỷ lệ thì định thức bằng 0.
4) Nếu ta cộng vào một hàng một tổ hợp tuyến tính các hàng khác thì định thức không
thay đổi.
5) Định thức của ma trận chuyển vị bằng định thức của ma trận đó:

Giả sử A = aij [ ]
n× n
t
, A = a 'ij
n× n
[ ]
, a 'ij = a ji , i, j = 1,..., n


thì det At = det A .

det At = ∑ sgn σ ⋅ a'1σ (1) ...a'kσ (k ) ...a'nσ (n)
σ ∈S n

= ∑ sgn σ ⋅ aσ (1)1...aσ (k )k ...aσ (n)n
σ ∈S n

= ∑ sgn σ ⋅ a
1σ −1 (1)
...a
kσ −1 ( k )
...a
nσ −1 ( n)
σ ∈S n

= ∑ sgn σ −1 ⋅ a
1σ −1 (1)
...a
kσ −1 ( k )
...a
nσ −1 ( n)
= det A
σ ∈S n

vì sgn σ = sgn σ −1 .

67
Chương 4: Định thức

6) Từ 5) suy ra rằng các tính chất của định thức đúng với hàng thì cũng đúng với cột và
ngược lại. Vì vậy ta chỉ cần chứng minh các định lý về định thức đúng với hàng. Chẳng hạn, từ 4)
suy ra nếu ta cộng vào một cột một tổ hợp tuyến tính các cột khác thì định thức không thay đổi.
Định thức của mọi hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính đều bằng 0.

a11 ... a1n
7) det( A)(mod p ) = ∑ sgn σ a1σ (1) ...anσ ( n ) = M O M (4.12)
σ ∈S n an1 ... ann


Ví dụ 4.4:

a 1 1 ... 1 a + n −1 1 1 ... 1
1 a 1 ... 1 a + n −1 a 1 ... 1
a) Dn = 1 1 a ... 1 = a + n −1 1 a ... 1 (cộng các cột vào cột 1)
M M M O M M M M O M
1 1 1 ... a a + n −1 1 1 ... a

1 1 1 ... 1 1 0 0 ... 0
1 a 1 ... 1 1 a −1 0 ... 0
= (a + n − 1) 1 1 a ... 1 = (a + n − 1) 1 0 a −1 ... 0
M M M O M M M M O M
1 1 1 ... a 1 0 0 ... a − 1

⇒ Dn = (a + n − 1)(a − 1) n −1 .

b) [ ]
A = aij
n× n
với aij = ±1

1 ... 1
det( A)(mod 2) = M O M = 0 (mod 2) ⇒ det A chẵn.
1 ... 1


4.4 CÁC CÁCH TÍNH ĐỊNH THỨC
4.4.1 Khai triển theo hàng, theo cột
Nếu ta nhóm theo cột thứ j công thức (4.5) thì ta được:

68
Chương 4: Định thức

⎛ ⎞

det A = a1 j ⎜ ∑ sgn σ ⋅ a2σ (2) a3σ (3) ...anσ (n) ⎟ +
⎜ σ ∈S ,σ (1) = j ⎟

⎝ n ⎠
⎛ ⎞

+ a2 j ⎜ ∑ sgn σ ⋅ a1σ (1) a3σ (3) ...anσ (n) ⎟ + ... +
⎜ σ ∈S ,σ ( 2) = j ⎟

⎝ n ⎠
⎛ ⎞

+ anj
⎜ ∑ sgn σ ⋅ a1σ (1) a2σ (2) ...an −1σ (n −1) ⎟ .

⎝ σ ∈S n ,σ ( n) = j ⎠


Vì vậy định thức của ma trận A được viết lại dưới dạng


det A = a1 j A1 j + ... + anj Anj (4.13)



gọi là công thức khai triển của A theo cột thứ j.
Aij được gọi là phần bù đại số của aij .

Định lý 4.3: Aij = (−1)i + j M ij (4.14)

Trong đó M ij là định thức của ma trận cấp n-1 có được bằng cách xoá hàng i cột j của ma
trận A.
Chứng minh: Trước hết ta chứng minh A11 = M 11 . Ta có:

A11 = ∑ sgn σ
σ ∈S n ,σ (1) =1
a 2σ ( 2 ) ...a nσ ( n ) = ∑ sgn σ ' a σ
σ '∈S n −1
2 '( 2 ) ...a nσ '( n ) = M 11


với σ ' = σ {2,..., n} là phép thế trong tập hợp {2,..., n} .
Trường hợp Aij bất kỳ, ta thực hiện i-1 lần đổi chỗ các hàng và j-1 lần đổi chỗ các cột để
đưa về hàng 1 cột 1.

Do đó Aij = (−1) (i −1) + ( j −1) M ij = (−1) i + j M ij .
Công thức khai triển theo hàng i được suy từ tính chất 3.7: 6)

69
Chương 4: Định thức

det A = ai1 Ai1 + ... + ain Ain (4.15)

1 3 − c + c → c3
1 2 3 4 1 2 2 2
− 2c1 + c 4 → c4
1 0 1 2 1 0 0 0
Ví dụ 4.5: D = =
3 −1 −1 0 3 −1 − 4 − 6
1 2 0 −5 1 2 −1 − 7

2 2 2 2 0 0
= (−1) 2 +1 ⋅ 1 ⋅ − 1 − 4 − 6 = − − 1 − 3 − 5
2 −1 − 7 2 −3 −9

1 5
= (−2)(−3)(−1) = −6(9 − 5) = −24 .
1 9
4.4.2 Định lý khai triển Laplace (theo k hàng k cột)

Từ ma trận [ ]n×n
A = aij ta để ý k hàng: i1 ,..., ik và k cột: j1 ,..., jk .

Giao của k hàng k cột này là một ma trận cấp k. Định thức của ma trận này được ký hiệu là
j ,..., j
M i 1 i k . Nếu từ ma trận A ta xoá đi k hàng i1 ,..., ik và k cột j1 ,..., jk thì ta có ma trận con
,...,
1 k
j ,..., j k
cấp n-k. Định thức của ma trận này được ký hiệu là M i 1,...,i và
1 k

j ,..., j k i + ...+ ik + j1 +...+ j k j ,..., j k
Ai 1 i
,...,
= (−1) 1 M i 1,...,i (4.16)
1 k 1 k

j ,..., j k
được gọi là phần bù đại số của Mi 1 i
,...,
.
1 k

⎡ a11 a12 a13 a14 ⎤
⎢a a a23 a24 ⎥
Ví dụ 4.6: A = ⎢ 21 22 ⎥
⎢ a31 a32 a33 a34 ⎥
⎢ ⎥
⎣a41 a42 a43 a44 ⎦

23 a a13 1+ 3 + 2 + 3 a21 a 24 a a24
Có M 13 = 12 23
, A13 = ( −1) = − 21 .
a32 a33 a41 a44 a41 a44

70
Chương 4: Định thức

Định lý 4.4 (Laplace):

1) Khai triển k hàng i1 ,..., ik :


det A = ∑ j ,..., j k j1 ,..., j k
Mi 1 i
,...,
1 k
Ai ,...,i
1 k
(4.17)
1≤ j1 0 , với mọi v ≠ 0 ;
Q xác định âm khi và chỉ khi Q(v) < 0 , với mọi v ≠ 0 .
Nếu η là dạng cực của dạng toàn phương Q thì:
Q xác định dương khi và chỉ khi η xác định dương;
Q xác định âm khi và chỉ khi η xác định âm;
Q không suy biến khi và chỉ khi η xác định.
Dạng toàn phương Q ở Ví dụ 7.11 có chỉ số quán tính dương là 2 và âm là 1. Q không
suy biến.

Định lý 7.19 (Sylvester): Giả sử dạng toàn phương Q có ma trận là A trong một cơ sở nào
đó của V . Khi đó:

(i) Q xác định dương khi và chỉ khi các định thức con góc trái của A luôn dương.
(ii) Q xác định âm khi và chỉ khi các định thức con góc trái cấp chẵn là dương và cấp lẻ là
âm.

Chứng minh: (i) Giả sử [ ]
A = aij là ma trận của dạng toàn phương Q trong cơ sở

B = {e1,..., en }. Xét Vk = span{e1,..., ek } thì Q Vk : Vk → có ma trận trong cơ sở
Bk = {e1,..., ek } là ma trận con Ak cấp k nằm ở góc trái của ma trận A . Nếu Q xác định
dương thì Q Vk cũng xác định dương. Mặt khác theo luật quán tính ta suy ra rằng các giá trị trên

đường chéo của ma trận dạng chính tắc của dạng toàn phương xác định dương là luôn luôn dương
nên định thức của nó cũng dương. Vây det Ak > 0 , với k = 1,..., n .

139
Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

Ngược lại, giả sử Dk = det Ak > 0 , với k = 1,..., n . Theo phương pháp Jacobi (4.3.3)
tồn tại cơ sở B ' = { f1,..., f n } sao cho biểu thức toạ độ của Q trong cơ sở B ' có dạng chính
tắc:

1 2 D1 2 D
v = y1 f1 + ... + y n f n ⇒ Q(v) = y1 + y2 + ... + n −1 yn 2 .
D1 D2 Dn
Vậy Q xác định dương.
Trường hợp (ii) được chứng minh tương tự.


7.5 ĐƯỜNG BẬC 2 TRONG MẶT PHẲNG VÀ MẶT BẬC 2 TRONG KHÔNG GIAN
7.5.1 Mặt phẳng với hệ toạ độ trực chuẩn
7.5.1.1 Hệ toạ độ trực chuẩn trong mặt phẳng

Trong mặt phẳng ta xét hai trục vuông góc x' Ox và y' Oy cắt nhau tại O theo chiều
dương, tạo nên một hệ trục Oxy gọi là hệ trục toạ độ vuông góc Đề các trong mặt phẳng. Trên

Ox , Oy ta chọn hai véc tơ đơn vị lần lượt là { }
i và j . Hệ i, j là một cơ sở trực chuẩn.


7.5.1.2 Toạ độ của một véc tơ, toạ độ của một điểm trong mặt phẳng

Cho véc tơ v trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy . Cặp (v x , v y ) được gọi là toạ độ của

véc tơ v nếu vx , v y là hình chiếu của v xuống hai trục Ox, Oy .

Theo các phép toán cộng véc tơ (theo quy tắc hình bình hành), nhân một số với một véc tơ

và tính vô hướng của hai véc tơ u v = u ⋅ v cos(u, v)

thì v = vx i + v y j = v ,i i + v , j j .

Nếu OM = xi + y j thì ( x, y ) được gọi là toạ độ của điểm M , ký hiệu M ( x, y ) . Nói
cách khác toạ độ của véc tơ OM là toạ độ của điểm M . Hai điểm A, B

có toạ độ ( x A , y A ); ( x B , y B ) thì véc tơ AB có toạ độ ( x B − x A , y B − y A ) .


140
Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

y y
vy
y M

j j

O i vx x O i x x


7.5.1.3 Các đường bậc 2 trong mặt phẳng
Trong mặt phẳng, ta xét 3 đường bậc 2 sau:
a) Đường Ellipse (Êlíp)

Cho F1 , F2 cố định. Đường ellipse nhận tiêu điểm F1 , F2 với độ dài trục lớn a là tập
hợp:

( E ) = {M MF1 + MF2 = 2a} ; a > c với F1F2 = 2c .

Nếu F1 ( −c,0) , F2 (c,0) thì phương trình của ellipse (E ) có dạng:

x2 y2
+ =1 với a2 = b2 + c2 . (7.41)
2 2
a b
a là độ dài trục lớn, b là độ dài trục bé.
Khi a = b ⇒ c = 0 : ellipse (E ) trở thành đường tròn tâm O bán kính a .
b) Hyperbol

{
( H ) = M MF1 − MF2 = 2a , a < c . }
x2 y2
Phương trình (H ) : − = 1 với b 2 = c 2 − a 2 (7.42)
2 2
a b
c) Parabol:

Cho đường thẳng (Δ) và điểm F . Parabol có tiêu điểm F , đường chuẩn (Δ) là tập hợp:

( P ) = {M MF = d ( M , Δ )}


141
Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

trong đó d ( M , Δ ) là khoảng cách từ M đến đường thẳng (Δ) .

Nếu F ( p 2 ,0) , (Δ) : x = − p 2 thì (P ) có phương trình:

y 2 = 2 px (7.43)

(7.41), (7.42), (7.43) là phương trình chính tắc của 3 đường cônic

y y (Δ) y


b F

p p
a x x − x
2 2



Ellipse Hyperbol Parabol


7.5.1.4 Phân loại đường bậc 2 trong mặt phẳng

Trong mặt phẳng cho hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxy . Một đưòng cong bậc 2 có
phương trình tổng quát:

a11x 2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a1x + 2a2 y + a0 = 0 (7.44)

trong đó a11 , a12 , a 22 không đồng thời bằng không.

Ta tìm một hệ trục toạ độ Descartes vuông góc mới để trong hệ toạ độ này đường cong
(7.44) có dạng chính tắc.

⎡a a12 ⎤
Đặt A = ⎢ 11 ⎥ , a12 = a21 .
⎣a21 a22 ⎦
Ma trận A đối xứng nên chéo hóa trực giao được, nghĩa là tồn tại ma trận trực giao T sao
t ⎡λ1 0 ⎤
cho det T = 1 và T AT = ⎢ ⎥.
⎣ 0 λ2 ⎦
⎡cosϕ − sin ϕ ⎤
Theo ví dụ 7.5 và (7.16) ta có thể chọn T =⎢ .
⎣ sin ϕ cosϕ ⎥ ⎦

142
Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

⎡ x ⎤ ⎡cosϕ − sin ϕ ⎤ ⎡ x'⎤
Đặt ⎢ y ⎥ = ⎢ sin ϕ cosϕ ⎥ ⎢ y '⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
Như vậy hệ toạ độ mới Ox' y ' có được bằng cách quay hệ trục Oxy quanh gốc O một
góc ϕ.
Phương trình đường bậc 2 (7.44) trong hệ toạ độ Ox' y ' là:

λ1x'2 +λ2 y '2 +2a'1 x'+2a'2 y '+ a0 = 0 (7.45)

(nếu a12 = 0 thì không cần bước này).

1) Nếu λ1λ 2 ≠ 0 phương trình (7.45) viết được thành

2 2
⎛ a' ⎞ ⎛ a' ⎞
λ1⎜ x'+ 1 ⎟ + λ2 ⎜ y '+ 2 ⎟ + a '0 = 0
⎜ ⎟ ⎜
⎝ λ1 ⎠ ⎝ λ2 ⎟

Tịnh tiến hệ toạ độ Ox' y ' đến hệ toạ độ ΩXY :

a' a'
X = x'+ 1 , Y = y '+ 2 , ta được:
λ1 λ2

λ1 X 2 + λ2Y 2 + a'0 = 0 . (7.46)

a) a '0 ≠ 0 , λ1λ 2 > 0 , λ1a '0 < 0 : (7.46) là phương trình một Ellipse;

b) a '0 ≠ 0 , λ1λ 2 > 0 , λ1a '0 > 0 : (7.46) là phương trình một Ellipse ảo;

c) a '0 ≠ 0 , λ1λ 2 < 0 : (7.46) là phương trình một Hyperbol;

d) a '0 = 0 , λ1λ 2 < 0 : Phương trình (7.46) có dạng λ1 X 2 − λ2 Y 2 = 0 là phương
trình cặp đường thẳng cắt nhau.

e) a '0 = 0 , λ1λ 2 > 0 : Phương trình (7.46) có dạng λ1 X 2 + λ 2 Y 2 = 0 là
phương trình một cặp đường thẳng ảo.

2) Có một trong hai giá trị λ1 , λ2 bằng 0 :
a) λ1 = 0 , λ 2 ≠ 0 , a'1 ≠ 0 : Phương trình (7.44) có thể viết lại:
143
Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

2
⎛ a' ⎞
λ2 ⎜ y '+ 2 ⎟ + 2a'1 ( x'+ a"0 ) = 0
⎜ (7.47)
⎝ λ2 ⎟

a' a
đặt X = x '+ a"0 , Y = y '+ 2 ta có: Y 2 = −2 1 X .
λ2 λ2
Vậy (7.47) là một Parabol nhận trục ΩX làm trục đối xứng.
b) λ2 = 0 , λ1 ≠ 0 , a '2 ≠ 0 : Đường cong (7. 44) là một Parabol nhận trục ΩY làm
trục đối xứng.

c) λ1 = 0 , λ2 ≠ 0 , a '1 = 0 hay λ1 ≠ 0 , λ2 = 0 , a '2 = 0 : Đường cong (7.44) là
một cặp đường thẳng thực hoặc ảo.

Ví dụ 7.12: Cho đường bậc 2 có phương trình (G ) : 5 x 2 − 4 xy + 8 y 2 = 36 .

⎡ 5 − 2⎤
Ma trận A=⎢ có giá trị riêng λ1 = 4, λ2 = 9 chéo hoá trực giao ta được:
⎣ −2 8 ⎥

⎧ 2 1 ⎧ 2 1
⎪i ' = 5 i + 5 j
⎪ ⎪x = 5 X + 5 Y
⎨ ⇒ ⎪ ⎨
⎪ j' = − 1 2 ⎪y = − 1 X + 2 Y
i+ j

⎩ 5 5 ⎪
⎩ 5 5
phương trình của (G ) trong hệ toạ độ mới:

X2 Y2
4 X 2 + 9Y 2 = 36 ⇒ + = 1.
9 4



y
Y
X
2 3

O x


144
Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

7.5.2 Hệ toạ độ trực chuẩn trong không gian
7.5.2.1 Toạ độ của một véc tơ và toạ độ của một điểm trong không gian

Trong không gian ta xét ba trục vuông góc chung gốc O : x' Ox , y' Oy , z' Oz ; Tạo
thành một hệ trục gọi là hệ trục toạ độ vuông góc Descartes trong không gian, viết tắt Oxyz .

Trên ba trục toạ độ này ta chọn các véc tơ đơn vị lần lượt là i , j , k . Ta chỉ xét hệ trục Oxyz
là hệ thuận, nghĩa là nếu đứng theo chiều véc tơ k ta sẽ thấy i quay sang j theo ngược chiều
kim đồng hồ. Với mọi véc tơ v ta có thể viết

v = vx i + v y j + vz k = v , i i + v , j j + v , k k

trong đó v x , v y , v z lần lượt là hình chiếu của v xuống các trục Ox, Oy, Oz .


(v x , v y , v z ) được gọi là toạ độ của véc tơ v , ký hiệu v = (v x , v y , v z ) . Toạ độ của véc

tơ OM = ( x, y, z ) được gọi là toạ độ của điểm M , ký hiệu M ( x, y, z ) .


7.5.2.2 Một số mặt bậc 2 thường gặp trong không gian

x2 y2 z2
a) Ellipsoid (Êlípxôít) là mặt (E ) bậc 2 có phương trình + + = 1.
a2 b2 c2
*) Nếu 2 trong 3 sốa, b, c bằng nhau thì ta có mặt ellipsoid tròn xoay. Chẳng hạn nếu
a = b thì ta có mặt tròn xoay quanh trục z' Oz . Nếu a = b = c = R thì ta có mặt cầu tâm O
bán kính R ;

*) Gốc O là tâm đối xứng, các mặt phẳng toạ độ là mặt phẳng đối xứng;
*) Giao tuyến với các mặt phẳng song song với các mặt phẳng toạ độ là các ellipse.

x2 y2 z2
b) Hyperboloid một tầng (Hyperbôlôít) có phương trình ( H1 ) : + − = 1.
2 2 2
a b c
*) Gốc O là tâm đối xứng;
*) Các trục toạ độ là trục đối xứng;
*) Các mặt phẳng tọa độ là mặt phẳng đối xứng;

*) Giao của ( H1 ) với mặt phẳng vuông góc với trục z' Oz là một ellipse;
145
Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

*) Giao của ( H1 ) với mặt phẳng chứa trục z' Oz là một Hyperbol.
Tương tự có các Hyperboloid một tầng:

x2 y2 z2 x2 y2 z2
− + =1 , − + + = 1.
2 2 2 2 2 2
a b c a b c

x2 y2 z2
c) Hyperboloid hai tầng có phương trình ( H 2 ) : + − = −1 .
2 2 2
a b c
*) Mặt phẳng vuông góc với trục z' Oz có phương trình z = h sao cho h > c cắt
( H 2 ) theo một elippse;
*) Giao của ( H 2 ) với mặt phẳng chứa z' Oz là một Hyperbol.

z z
z



y y y
x x x


Ellisoid Hyperboloid một tầng Hyperboloid hai tầng



x2 y2
d) Paraboloid elliptic (Parabôlôít êlíptíc) ( P ) :
1 + = 2z .
2 2
a b
*) Giao tuyến của ( P ) với mặt phẳng vuông góc trục
1 z' Oz nằm phía trên mặt phẳng
Oxy là một ellipse;

*) Giao tuyến của ( P ) với mặt phẳng chứa trục
1 z' Oz là Parabol.
e) Paraboloid hyperbolic (mặt yên ngựa) có phương trình

x2 y2
( P2 ) : − = 2z .
2 2
a b

146
Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

*) Giao của ( P2 ) với mặt phẳng vuông góc với trục z' Oz là một Hyperbol;
*) Giao của ( P2 ) với mặt phẳng vuông góc với trục x' Ox là một Parabol;
*) Giao của ( P2 ) với mặt phẳng vuông góc với trục y' Oy là một Parabol.

z z




x
x y
y

Paraboloid elliptic Paraboloid hyperbolic


g) Các mặt trụ bậc 2

Các mặt trụ bậc 2 đối xứng qua mặt phẳng xOy

x2 y2
*) Trụ elliptic: + = 1.
a2 b2

x2 y2
*) Trụ Hyperbolic: − = 1.
a2 b2

*) Trụ Parabolic: x 2 = 2 py .

z z
z

x

x y y
x
y
Trụ elliptic Trụ Hyperbolic Trụ Parabolic
147
Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

h) Các mặt nón

Các mặt nón đối xứng qua mặt phẳng xOy có phương trình

x2 y2 z2
+ − = 0.
2 2 2
a b c
*) Giao với mặt phẳng vuông góc với trục z' Oz là một ellipse;
*) Giao với mặt phẳng chứa trục z' Oz cặp đường thẳng.


z




y



x



7.5.3 Phân loại các mặt bậc 2

Trong hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxyz xét mặt (Q ) bậc 2 có phương trình:

a11x 2 + a22 y 2 + a33 z 2 + 2a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz
(7.48)
+ 2b1 x + 2b2 y + 2b3 z + c = 0 .

A = aij
Ma trận
i , j =1,3
[ ]
với aij = a ji là ma trận đối xứng nên tồn tại ma trận trực giao

T sao cho det T = 1 (để hệ trục toạ độ mới tạo thành tam diện thuận) và
⎡λ1 0 0⎤
T t AT = ⎢ 0 λ2 0 ⎥ . Tương ứng với ma trận chuyển cơ sở T là phép quay quanh gốc toạ
⎢ ⎥
⎢ 0 0 λ3 ⎥
⎣ ⎦
độ.
148
Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

⎡ x⎤ ⎡ x'⎤
Công thức đổi toạ độ
⎢ y ⎥ = T ⎢ y '⎥ .
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢z⎥
⎣ ⎦ ⎢ z'⎥
⎣ ⎦
Mặt bậc 2 (Q ) có phương trình trong tọa độ mới:

λ1 x'2 +λ2 y '2 +λ3 z '2 +2b'1 x'+2b'2 y '+2b'3 z '+c = 0 (7.49)

Tùy theo các giá trị của λ1 , λ2 , λ3 , b '1 , b '2 , b '3 , c mặt (Q ) có các dạng sau:
a) Các giá trị riêng λ1 , λ 2 , λ3 khác 0 ( λ1λ 2 λ3 ≠ 0 )

Bằng cách tịnh tiến hệ toạ độ ta có thể đưa phương trình (7.49) về dạng:

λ1 X 2 + λ2Y 2 + λ3 Z 2 = C ' . (7.50)

*) Nếu C' ≠ 0
• λ1, λ2 , λ3 , C ' cùng dấu: (Q ) là Ellipsoid;

• λ1, λ2 , λ3 cùng dấu, C ' trái dấu: (Q ) là Ellipsoid ảo;
• λ1, λ2 , λ3 chỉ có hai số cùng dấu: (Q ) là Hyperboloid một tầng hoặc hai tầng.
*) Nếu C' = 0
• λ1, λ2 , λ3 chỉ có hai số cùng dấu: (Q ) là nón bậc 2.
• λ1, λ2 , λ3 cùng dấu: (Q ) là nón ảo (một điểm).
Các trường hợp còn lại sau đây ta chỉ xét mỗi trường hợp một loại đại diện, các loại khác có
kết quả tương tự.

b) Có đúng một giá trị trong ba giá trị λ1, λ2 , λ3 bằng 0.
Chẳng hạn λ3 = 0 , λ1λ2 ≠ 0
2
*) b'3 ≠ 0 : Tịnh tiến hệ toạ độ ta được: λ1 X + λ2Y 2 + 2b'3 Z = 0 .
Đây là phương trình Paraboloid elliptic nếu λ1λ2 > 0 và Paraboloid hyperbolic nếu
λ1λ2 < 0 .
2
*) b'3 = 0 : Tịnh tiến toạ độ ta được: λ1 X + λ2Y 2 = C ' .

149
Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

Đây là phương trình các mặt trụ nếu C ' ≠ 0 và các cặp mặt phẳng cắt nhau nếu C ' = 0 .
c) Có đúng hai giá trị trong ba giá trị λ1, λ2 , λ3 bằng 0.
Chẳng hạn λ3 = 0 , λ2 = 0 , λ1 ≠ 0
*) b'2 , b'3 không đồng thời bằng 0. Giả sử b'2 ≠ 0 : Tịnh tiến toạ độ ta được

λ1 X 2 + b"2 Y = 0 : (Q ) là mặt trụ Parabolic.
2
*) b'2 = b'3 = 0 : Tịnh tiến hệ toạ độ ta có: λ1 X = C ' . Do đó (7.49) là phương trình
cặp mặt phẳng song song nếu C ' ≠ 0 và trùng nhau nếu C ' = 0 .

Ví dụ 7.13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt bậc 2 có phương trình

(Q) : 7 x 2 + 7 y 2 + 10 z 2 + 2 xy + 4 xz + 4 yz − 12 x + 12 y + 72 z = 24

⎡7 1 2 ⎤
⎢ ⎥
Ma trận của dạng toàn phương tương ứng A = 1 7 2 .
⎢ ⎥
⎢2 2 10⎥
⎣ ⎦

Đa thức đặc trưng A − λI = (6 − λ ) 2 (12 − λ ) .
Tìm cơ sở của các không gian riêng và trực chuẩn hoá Gram-Shmidt ta có ma trận trực giao

⎡− 1 2 −1 3 1 6⎤ ⎡6 0 0 ⎤
⎢ ⎥
T =⎢1 2 −1 3 1 6 ⎥ có det T = 1 và T AT = ⎢0 6 0 ⎥
t
⎢ ⎥
⎢ 0
⎣ 1 3 2 6⎥⎦ ⎢0 0 12⎥
⎣ ⎦

⎡ x⎤ ⎡ x'⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Đổi toạ độ y = T y ' thì phương trình của mặt (Q ) trong toạ độ mới:
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢z⎥
⎣ ⎦ ⎢ z'⎥
⎣ ⎦
⎛ 1 1 1 ⎞
6 x'2 +6 y '2 +12 z '2 −12⎜ − x'− y '+ z'⎟
⎝ 2 3 6 ⎠
⎛ 1 1 1 ⎞ ⎛ 1 2 ⎞
+ 12⎜ x'− y '− z ' ⎟ + 72⎜ y '+ z ' ⎟ = 24
⎝ 2 3 6 ⎠ ⎝ 3 6 ⎠

⇒ ( ) ( ) (
6 x'2 +2 2 x' + 6 y '2 +4 3 y ' + 12 z '2 +2 6 = 24 )
150
Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

Tịnh tiến toạ độ: X = x '+ 2 , Y = y '+2 3 , Z = z '+ 6 ,

X 2 Y2 Z2
suy ra (Q ) : + + = 1.
30 30 15
Vậy (
(Q ) là một Ellipsoid tròn xoay theo trục Z ' ΩZ , Ω có toạ độ − 2 ,−2 3,− 6 . )
Ví dụ 7.14: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt bậc 2 có phương trình
(Q) : 2 xy + 2 xz + 2 yz − 6 x − 6 y + 6 z = 0 .

⎡0 1 1 ⎤
⎢ ⎥
Ma trận của dạng toàn phương tương ứng A = 1 0 1 .
⎢ ⎥
⎢1 1 0⎥
⎣ ⎦

Đa thức đặc trưng A − λI = (λ + 1) 2 (2 − λ ) .
Tìm cơ sở của các không gian riêng và trực chuẩn hoá Gram-Shmidt ta có ma trận trực giao

⎡− 1 2 −1 6 1 3⎤ ⎡− 1 0 0⎤
⎢ ⎥
T =⎢1 2 −1 6 1 3 ⎥ có det T = 1 và T t AT = ⎢ 0 − 1 0⎥
⎢ ⎥
⎢ 0
⎣ 2 6 1 3⎥⎦ ⎢ 0 0 2⎥
⎣ ⎦

⎡ x⎤ ⎡ x'⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Đổi toạ độ y = T y ' thì phương trình của mặt (Q ) trong toạ độ mới:
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢z⎥
⎣ ⎦ ⎢ z'⎥
⎣ ⎦
⎛ 1 1 1 ⎞
− x'2 − y '2 +2 z '2 −6⎜ − x'− y '+ z'⎟
⎝ 2 6 3 ⎠
⎛ 1 1 1 ⎞ ⎛ 2 1 ⎞
− 6⎜ x'− y '+ z ' ⎟ + 6⎜ y '+ z ' ⎟ = 0.
⎝ 2 6 3 ⎠ ⎝ 6 3 ⎠

⇒ ( ) (
− x'2 − y '2 −4 6 y ' + 2 z '2 − 3z ' = 0)
Tịnh tiến toạ độ: X = x' , Y = y '−2 6 , Z = z '− 3 2 ,

2 X 2 2Y 2 4 Z 2
suy ra (Q) : + − = 1.
45 45 45
Vậy (Q ) là một Hyperboloid một tầng.
151
Tài lục
Mụcliệu tham khảo




TÀI LIỆU THAM KHẢO


1. G. M. FICHTENGÔN, Giáo trình phép tính vi tích phân, Tập 1,2,3. Nauka,
Moskva, 1969. (tiếng Nga)

2. G. M. FICHTENGÔN, Cơ sở giải tích toán học, Tập 1,2,3. NXB Đại học và Trung học
chuyên nghiệp, Hà nội, 1977.

3. K. MAURIN, Analiza, Czes , c , 1. PWN, Warszawa, 1976.
4. R. A. ADAMS, Calculus-a complete, Addison,Wesley, New York,Don Mills, 1991.

5. NGUYỄN ĐÌNH TRÍ (chủ biên), Toán học cao cấp ,Tập 1,2,3. NXB Đại học và Giáo
dục chuyên nghiệp, Hà nội, 1990.

6. JEAN-MARIE MONIER, Giáo trình toán, Tập 1,2,3,4. NXB Giáo dục, Hà nội, 1999
(dịch từ tiếng Pháp, DUNOD, Paris,1999)




152
Mục lục




môc lôc

Lời nói đầu .......................................................................................................................................3

Ch−¬ng 1: Më ®Çu vÒ l«gÝc mÖnh ®Ò, tËp hîp ¸nh x¹ vμ
c¸c cÊu tróc ®¹i sè.............................................................................................................5
1.1. S¬ l−îc vÒ l«gÝc mÖnh ®Ò......................................................................................................5
1.2. TËp hîp .................................................................................................................................7
1.3. ¸nh x¹ ................................................................................................................................15
1.4. Gi¶i tÝch tæ hîp - NhÞ thøc Newton.....................................................................................19
1.5. C¸c CÊu tróc ®¹i sè.............................................................................................................25
1.6. §¹i sè Boole .......................................................................................................................29

Ch−¬ng 2: Kh«ng gian vÐc t¬......................................................................................37
2.1. Kh¸i niÖm kh«ng gian vÐc t¬..............................................................................................37
2.2. Kh«ng gian vÐc t¬ con ........................................................................................................40
2.3. §éc lËp tuyÕn tÝnh, phô thuéc tuyÕn tÝnh............................................................................42
2.4. H¹ng cña mét hÖ h÷u h¹n c¸c vÐc t¬ ..................................................................................44
2.5. C¬ së, sè chiÒu cña kh«ng gian vÐc t¬................................................................................45

Ch−¬ng 3: Ma trËn..............................................................................................................51
3.1. Kh¸i niÖm ma trËn ..............................................................................................................51
3.2. C¸c phÐp to¸n ma trËn ........................................................................................................52
3.3. Ma trËn cña mét hÖ vÐc t¬ trong mét c¬ së nµo ®ã.............................................................56
3.4. H¹ng cña ma trËn................................................................................................................57

Ch−¬ng 4: §Þnh thøc..........................................................................................................61
4.1. Ho¸n vÞ vµ phÐp thÕ ............................................................................................................61
4.2. §Þnh thøc ............................................................................................................................63
4.3. C¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ®Þnh thøc .....................................................................................66
4.4. C¸c c¸ch tÝnh ®Þnh thøc ......................................................................................................68

153
Mục lục

4.5. øng dông ®Þnh thøc ®Ó t×m ma trËn nghÞch ®¶o..................................................................74
4.6. T×m h¹ng cña ma trËn b»ng ®Þnh møc ................................................................................77
Ch−¬ng 5: HÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh ................................................................81
5.1. Kh¸i niÖm vÒ hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh ...........................................................................81
5.2. §Þnh lý tån t¹i nghiÖm........................................................................................................82
5.3. Ph−¬ng ph¸p Cramer ..........................................................................................................82
5.4. Ph−¬ng ph¸p ma trËn nghÞch ®¶o........................................................................................84
5.5. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh b»ng ph−¬ng ph¸p khö Gauss..........................................85
5.6. HÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt ...............................................................................89

Ch−¬ng 6: ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh.......................................................................................91
6.1. Kh¸i niÖm ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh...............................................................................................91
6.2. Nh©n vµ ¶nh cña ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh.....................................................................................94
6.3. Toµn cÊu, ®¬n cÊu, ®¼ng cÊu...............................................................................................95
6.4. ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh vµ ma trËn..............................................................................................97
6.5. ChÐo hãa ma trËn..............................................................................................................102

Ch−¬ng 7: Kh«ng gian vÐc t¬ Euclide d¹ng toμn ph−¬ng.....................115
7.1. TÝch v« h−íng, kh«ng gian vÐc t¬ Euclide .......................................................................115
7.2. Ma trËn trùc giao vµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh trùc giao ..............................................................121
7.3. ChÐo hãa trùc giao ma trËn - Tù ®ång cÇu ®èi xøng.........................................................124
7.4. D¹ng toµn ph−¬ng.............................................................................................................128
7.5. §−êng bËc 2 trong mÆt ph¼ng vµ mÆt bËc 2 trong kh«ng gian .........................................140

tμi liÖu tham kh¶o .........................................................................................................152




154
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản