Bài giảng toán cao cấp A3

Chia sẻ: vquyetcdt

Có khá nhiều sách giáo khoa và tài liệu tham khảo viết về các chủ đề này. Tuy nhiên với phương thức đào tạo từ xa có những đặc thù riêng, đòi hỏi học viên làm việc độc lập nhiều hơn, do đó cần phải có tài liệu hướng dẫn học tập thích hợp cho từng môn học. Tập tài liệu hướng dẫn học môn toán cao cấp A3

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Bài giảng toán cao cấp A3

ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 26, 2011
dvntailieu.wordpress.com



3. Nguyễn Đình Trí – Phép tính Giải tích
TOÁN CAO C P A3 Đ I H C
A3 hàm nhiều biến – NXB Giáo dục.
4. Phan Quốc Khánh – Phép tính Vi tích phân (tập 2)
PHÂN PH I CHƯƠNG TRÌNH
PHÂN CH
– NXB Giáo dục.
S ti t: 45
ti 5. Đặng Văn Vinh – Slide bài giảng Toán A 3
----- – ĐH Bách khoa Tp.HCM.
Chương 1. Hàm số nhiều biến số 6. Nguyễn Thừa Hợp – Giải tích (tập 1, 2)
Chương 2. Tích phân bội – NXB ĐHQG Hà Nội.
7. Nguyễn Thủy Thanh – Bài tập Giải tích (tập 2)
Chương 3. Tích phân đường – Tích phân mặt
– NXB Giáo dục.
Chương 4. Phương trình vi phân
8. James Stewart – Calculus concepts and contexts.
Tài liệu tham khảo
Biên so n: ThS. Đoàn Vương Nguyên
Biên
1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp A3
Download Slide bài gi ng Toán A3 t i
Download ng A3
– ĐHCN TP. HCM.
2. Đỗ Công Khanh – Giải tích hàm nhiều biến dvntailieu.wordpress.com
(tập 3, 4) – NXB ĐHQG TP. HCM.




Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s
Ch 1. nhi Ch 1. nhi
§1. Khái niệm cơ bản • Miền phẳng D kể cả biên ∂D được gọi là miền đóng,
§2. Đạo hàm riêng – Vi phân miền phẳng D không kể biên ∂D là miền mở.
§3. Khai triển Taylor của hàm hai biến số
• Miền phẳng D được gọi là miền liên thông nếu có 1
§4. Cực trị của hàm hai biến số
đường cong nằm trong D nối 2 điểm bất kỳ thuộc D .
…………………………………………………………..
Miền liên thông có biên là 1 đường cong kín được gọi
§1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN là miền đơn liên (hình a); có biên là nhiều đường cong
kín rời nhau là miền đa liên (hình b).
1.1. Các định nghĩa
a) Miền phẳng
• Trong mặt phẳng Oxy , hình phẳng D giới hạn bởi các
đường cong kín được gọi là miền phẳng. Tập hợp các
đường cong kín giới hạn D được gọi là biên của D , ký
hiệu ∂D hay Γ . Đặc biệt, mặt phẳng Oxy được xem là
miền phẳng với biên ở vô cùng.




Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s
Ch 1. nhi Ch 1. nhi
b) Lân cận của một điểm c) Hàm số hai biến số
• Trong mặt phẳng Oxy cho tập D ⊂ ℝ2 .
• Khoảng cách giữa 2 điểm M1 (x1, y1 ), M 2 (x 2 , y2 ) là:
Tương ứng f : D → ℝ cho tương ứng mỗi (x , y ) ∈ D
( ) (x1 − x 2 ) + (y1 − y2 ) .
2 2
với một giá trị z = f (x , y ) ∈ ℝ duy nhất được gọi là
d M 1 , M 2 = M 1M 2 =
hàm số hai biến số x , y .
• Tập D ⊂ ℝ2 được gọi là miền xác định (MXĐ) của hàm
• Hình tròn S (M , ε) mở có tâm
ε số f (x , y ), ký hiệu là Df . Miền giá trị của hàm f (x , y ) là:
M (x , y ), bán kính ε > 0 được •
{ }
G = z = f (x , y ) ∈ ℝ (x , y ) ∈ Df .
M
gọi là một lân cận của điểm M .
Chú ý
Nghĩa là:
• Trong trường hợp xét hàm số f (x , y ) mà không nói gì
M 0 (x 0 , y 0 ) ∈ S (M , ε) ⇔ (x − x 0 )2 + (y − y0 )2 < ε . thêm thì ta hiểu MXĐ của hàm số là tập tất cả các điểm
M (x , y ) ∈ ℝ2 sao cho f (x , y ) có nghĩa.




Toán cao c p A3 Đ i h c 1
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 26, 2011
dvntailieu.wordpress.com



Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s
Ch 1. nhi Ch 1. nhi
1.2. Giới hạn của hàm số hai biến số
• Hàm có nhiều hơn hai biến được định nghĩa tương tự.
a) Điểm tụ
• Trong mpOxy cho dãy điểm M n (x n , yn ), n = 1, 2, ...
VD 1.
• Hàm số f (x , y ) = 3x 2y − cos xy có Df = ℝ2 . Điểm M 0 (x 0 , y 0 ) được gọi là điểm tụ của dãy trên nếu
mọi lân cận của M 0 đều chứa vô số phần tử của dãy.
• Hàm số z = 4 − x 2 − y 2 có MXĐ là hình tròn đóng
• Điểm M 0 (x 0 , y 0 ) được gọi là điểm tụ của tập D ⊂ ℝ 2
tâm O(0; 0), bán kính R = 2 .
nếu mọi lân cận của điểm M 0 đều chứa vô số điểm
• Hàm số z = ln(4 − x 2 − y 2 ) có MXĐ là hình tròn mở thuộc D .
b) Định nghĩa giới hạn (giới hạn bội)
tâm O(0; 0), bán kính R = 2 .
• Điểm M 0 (x 0 , y 0 ) được gọi là giới hạn của dãy điểm
• Hàm số z = f (x , y ) = ln(2x + y − 3) có MXĐ là nửa
M n (x n , yn ), n = 1, 2,... nếu M 0 (x 0 , y 0 ) là điểm tụ duy
mp mở có biên d : 2x + y − 3 = 0 , không chứa O .
nhất của dãy.




Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s
Ch 1. nhi Ch 1. nhi
x →0
n →∞
Ký hiệu là: lim M n = M 0 hay M n   M 0 .
→ xy xy y →0
Giải. 0 ≤ f (x , y ) = ≤ = x   → 0 .
n →∞
x2 + y2 y2
• Hàm số f (x, y ) có giới hạn là L ∈ ℝ ∪ {±∞} khi Mn
f (x , y ) = 0 .
lim
Vậy
dần đến M 0 nếu lim f (xn , yn ) = L . Ký hiệu: (x ,y )→(0,0)
n →∞
lim f (x , y ) = f (x , y ) = lim f (M ) = L.
lim Nhận xét
x →x 0 (x ,y )→(x 0 ,y0 ) M →M 0
• Nếu đặt x = x 0 + r cos ϕ, y = y 0 + r sin ϕ thì:
y →y0

(x , y ) → (x 0 , y0 ) ⇔ r → 0 .
2x 2y − 3x − 1 3
=− .
lim
VD 2.
sin(x 2 + y 2 )
xy 2 + 3 2
(x , y )→(1,−1)
lim
VD 4. Tìm .
x 2 + y2
(x ,y )→(0,0)
xy
f (x , y ), với f (x , y ) =
lim
VD 3. Tìm .
Giải. Đặt x = r cos ϕ, y = r sin ϕ , ta có:
(x ,y )→(0,0)
x 2 + y2




Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s
Ch 1. nhi Ch 1. nhi
c) Giới hạn lặp
sin(x 2 + y 2 ) sin r 2
= lim = 1.
lim • Giới hạn theo từng biến khi M n dần đến M 0 của hàm số
x 2 + y2 r2
(x ,y )→(0,0) r →0
f (x , y ) được gọi là giới hạn lặp.
2xy
VD 5. Cho hàm số f (x , y ) = . Khi x → x 0 trước, y → y 0 sau thì ta viết:
x + y2 2
lim lim f (x , y ).
lim f (x , y ) không tồn tại.
Chứng tỏ rằng y →y 0 x →x 0
(x ,y )→(0,0)
Khi y → y 0 trước, x → x 0 sau thì ta viết:
Giải. Đặt x = r cos ϕ, y = r sin ϕ , ta có: lim lim f (x , y ).
x →x 0 y →y 0
r 2 sin 2ϕ
sin x 2 − sin y 2
f (x , y ) = lim = sin 2ϕ.
lim
VD 6. Xét hàm số f (x , y ) = . Ta có:
r2
(x ,y )→(0,0) r →0
x 2 + y2
Do giới hạn phụ thuộc vào ϕ nên không duy nhất. − sin y 2
lim lim f (x , y ) = lim = −1 ,
Vậy lim f (x , y ) không tồn tại.
y2
y →0 x → 0 y →0
(x ,y )→(0,0)




Toán cao c p A3 Đ i h c 2
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 26, 2011
dvntailieu.wordpress.com



Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s
Ch 1. nhi Ch 1. nhi
sin x 2 Nhận xét
lim lim f (x , y ) = lim = 1. • Nếu lim lim f (x , y ) ≠ lim lim f (x , y ) thì không tồn
x2
x →0 y → 0 x →0 y →y0 x →x 0 x →x 0 y →y 0
Vậy lim lim f (x , y ) ≠ lim lim f (x , y ). lim f (x , y ).
tại
y →0 x →0 x →0 y →0 (x ,y )→(x 0 ,y0 )
• Sự tồn tại giới hạn lặp không kéo theo sự tồn tại giới
• Định lý
hạn bội và ngược lại.
Trong ℝ2 cho hình vuông H có 1 đỉnh là M 0 (x 0 , y 0 )
1.3. Hàm số liên tục
và hàm số f (x , y ) xác định trong H .
• Hàm số f (x , y ) liên tục tại M 0 (x 0 , y0 ) ∈ D ⊂ ℝ2 nếu
f (x , y ) = L ∈ ℝ và mỗi y ∈ Y
lim
Nếu tồn tại
(x ,y )→(x 0 ,y 0 )
f (x , y ) = f (x 0 , y 0 ).
lim
tồn tại ϕ(y ) = lim f (x , y ) ∈ ℝ thì: (x ,y )→(x 0 ,y0 )
x →x 0
• Hàm số f (x , y ) liên tục trên tập D ⊂ ℝ2 nếu nó liên tục
lim lim f (x , y ) = lim ϕ(y ) = L .
y →y 0 x →x 0 y →y 0 tại mọi điểm thuộc D .




Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s
Ch 1. nhi Ch 1. nhi
Chú ý §2. ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN
Hàm số f (x , y ) liên tục trên miền đóng giới nội D thì nó 2.1. Đạo hàm riêng
a) Đạo hàm riêng cấp 1
đạt giá trị lớn nhất (max) và nhỏ nhất (min) trên D .
• Cho hàm số f (x , y ) xác định trên miền mở D ⊂ ℝ 2
sin x 2 − sin y 2
VD 7. Xét sự liên tục của f (x , y ) = chứa điểm M 0 (x 0 , y 0 ). Cố định y0 , nếu hàm số f (x , y 0 )
.
x 2 + y2
có đạo hàm tại x 0 thì ta gọi đạo hàm đó là đạo hàm riêng
Giải. Với (x , y ) ≠ (0, 0) thì hàm số f (x , y ) xác định nên
theo biến x của hàm số f (x , y ) tại (x 0 , y 0 ).
liên tục.
∂f
Ký hiệu: fx (x 0 , y 0 ) hay fx/ (x 0 , y 0 ) hay (x , y ).
Tại (0, 0) thì lim f (x , y ) không tồn tại (VD 6). ∂x 0 0
(x ,y )→(0,0)
f (x , y0 ) − f (x 0 , y0 )
Vậy hàm số f (x , y ) liên tục trên ℝ2 \ {(0, 0)}. /
Vậy fx (x 0 , y0 ) = lim .
x − x0
x →x 0
……………………………………………………………




Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s
Ch 1. nhi Ch 1. nhi
x2 + 1
• Tương tự, đạo hàm riêng theo biến y tại (x 0 , y 0 ) là:
VD 2. Tính các đạo hàm riêng của z = ln .
x 2 + y2 + 1
f (x 0 , y ) − f (x 0 , y0 )
fy/ (x 0 , y0 ) = lim .
y − y0 x
y →y 0
VD 3. Tính các đạo hàm riêng của z = cos tại (π; 4).
y
Chú ý
∂f df 2
VD 4. Tính các đạo hàm riêng của f (x , y, z ) = e x y sin z .
• Nếu f (x ) là hàm số một biến x thì fx/ = = .
∂x dx
• Hàm số nhiều hơn hai biến có định nghĩa tương tự.
b) Đạo hàm riêng cấp cao
• Đạo hàm riêng (nếu có) của hàm số fx/ (x , y ), fy/ (x , y )
VD 1. Tính các đạo hàm riêng của hàm số:
f (x , y ) = x 4 − 3x 3y 2 + 2y 3 − 3xy tại (−1; 2). được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai của f (x , y ).




Toán cao c p A3 Đ i h c 3
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 26, 2011
dvntailieu.wordpress.com



Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s
Ch 1. nhi Ch 1. nhi
Ký hiệu: VD 5. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số:

∂  ∂f  ∂ 2 f f (x , y ) = x 3ey + x 2y 3 − y 4 tại (−1; 1).
f // = fxx = ( fx ) =  = ,
 ∂x  ∂ x 2
∂x  
2

x x
VD 6. Cho hàm số f (x , y ) = x 5 + y 4 − x 4y 5 .
∂  ∂f  ∂ 2 f

( )y  =
//
= fyy = fy = 
f , Giá trị của đạo hàm riêng cấp năm f (5)2 (1; −1) là:

∂y  ∂ y  ∂y 2
y2 3
xy

∂  ∂f  A. f (5)2 (1; −1) = 480 ; B. f (5)2 (1; −1) = −480 ;
2
 = ∂ f ,
fxy = fxy = ( fx )
//
=  3 3
 xy xy

∂y  ∂ x  ∂y ∂x
y
C. f (5)2 (1; −1) = 120 ; D. f (5)2 (1; −1) = −120 .
3 3
∂  ∂f   xy xy
2
 = ∂ f .
( )x
//
fyx = fyx = fy = 
∂x  ∂ y  ∂x ∂y • Định lý Schwarz

Nếu hàm số f (x , y ) có các đạo hàm riêng fxy/ , fyx liên
/ //
• Hàm số nhiều hơn 2 biến và đạo hàm riêng cấp cao hơn
tục trong miền mở D ⊂ ℝ 2 thì fxy/ = fyx .
/ //
2 có định nghĩa tương tự.




Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s
Ch 1. nhi Ch 1. nhi
+) 2x −y b) Định nghĩa
Đạo hàm riêng z (m−2n n 2 (m ≥ 2) của z = e
VD 7. là:
xm y x
• Nếu trong lân cận S (M 0 , ε) với số gia ∆x , ∆y mà số
n m +n 2x −y
B. (−1)m 2m +n e 2x −y ;
A. (−1) 2 e ; gia ∆f tương ứng có thể viết được dưới dạng:
C. (−1)m 2m e 2x −y ; D. (−1)n 2m e 2x −y .
∆f = A.∆x + B.∆y + O (r ), r = (∆x )2 + (∆y )2 ,
2.2. Vi phân trong đó A, B là những số chỉ phụ thuộc vào điểm
2.2.1. Vi phân cấp 1 M 0 (x 0 , y 0 ) và hàm f (x , y ), không phụ thuộc ∆x , ∆y
a) Số gia của hàm số
thì đại lượng A.∆x + B.∆y được gọi là vi phân của
• Cho hàm số f (x , y ) xác định trong lân cận S (M 0 , ε)
hàm số f (x , y ) tại điểm M 0 (x 0 , y 0 ).
của điểm M 0 (x 0 , y0 ). Cho x một số gia ∆x và y một
• Khi đó, f (x , y ) được gọi là khả vi tại điểm M 0 (x 0 , y 0 ).
số gia ∆y , khi đó hàm f (x , y ) có tương ứng số gia:
Ký hiệu là: df (x 0 , y 0 ) = A.∆x + B.∆y.
∆f = f (x 0 + ∆x , y0 + ∆y ) − f (x 0 , y0 ).




Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s
Ch 1. nhi Ch 1. nhi
c) Định lý
Nhận xét
• Xét những điểm M (x 0 + ∆ x , y 0 + ∆ y ) dịch chuyển • Nếu hàm số f (x , y ) có các đạo hàm riêng trong lân cận
trên đường đi qua M 0 song song O x . Khi đó ∆ y = 0 : nào đó của (x 0 , y 0 ) và các đạo hàm riêng này liên tục
∆ f = f (x 0 + ∆ x , y 0 ) − f (x 0 , y 0 ) = A.∆ x + O (∆ x )
tại (x 0 , y 0 ) thì f (x , y ) khả vi tại (x 0 , y 0 ).
∆f
= A ⇒ A = fx/ (x 0 , y 0 ) .
⇒ lim
VD 8. Cho hàm f (x , y ) = x 2e x −y − y 5 . Tính df (1; −1).
∆x → 0 ∆ x
∆f 2
−y
= B ⇒ B = fy/ (x 0 , y 0 ) . sin(xy 2 ).
VD 9. Tính vi phân cấp 1 của hàm z = e x
Tương tự, lim
∆y → 0 ∆ y

Suy ra df (x , y ) = fx/ (x , y ).∆ x + fy/ (x , y ).∆ y . 2.2.2. VI PHÂN CẤP CAO
a) Vi phân cấp 2
• Xét f (x , y ) = x ⇒ df (x , y ) = ∆x ⇒ dx = ∆x .
• Giả sử f (x , y ) là hàm khả vi với x , y là các biến độc
Tương tự, dy = ∆y . Vậy:
lập. Các số gia dx = ∆x , dy = ∆y tùy ý độc lập với
df (x , y ) = fx/ (x , y )dx + fy/ (x , y )dy.
x , y nên được xem là hằng số đối với x , y .




Toán cao c p A3 Đ i h c 4
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 26, 2011
dvntailieu.wordpress.com



Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s
Ch 1. nhi Ch 1. nhi
• Vi phân của df (x , y ) được gọi là vi phân cấp 2 của b) Vi phân cấp n
f (x , y ). Ký hiệu và công thức: n
( ) ∑C
d n f = d d n −1 f = dx k dy n −k .
k (n )
f
d f = d (df ) = fx′′dx + 2 fxydxdy + fy′′dy .
n x k y n −k
′′
2 2 2
k =0
2 2
(n ) (n )
f (0 )n = f (nn ) ,
n
=f
f
Trong đó ,
Chú ý x ny 0 xn xy y
• Nếu x , y là các biến không độc lập (biến trung gian) 0 0n
dx dy = dx , dx dy = dy n .
n n
x = x (ϕ, ψ ), y = y(ϕ, ψ ) thì công thức trên không còn
đúng nữa. Sau đây ta chỉ xét trường hợp x , y độc lập.
VD 12. Tính vi phân cấp 3 của hàm số f (x , y ) = x 3y 2 .
VD 10. Cho hàm số f (x , y ) = x 2y 3 + xy 2 − 3x 3y 5 .
Tính vi phân cấp hai df 2 (2; −1). VD 13. Tính vi phân d 3z của hàm số z = e 2x cos 3y .
VD 11. Tính vi phân cấp 2 của hàm f (x , y ) = ln(xy 2 ).




Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s
Ch 1. nhi Ch 1. nhi
2.3. Đạo hàm của hàm số hợp Tính trực tiếp như sau:
a) Hàm hợp với một biến độc lập ω(t ) = (3t 2 − t )2 sin t
• Cho f (x , y ) là hàm khả vi đối với x , y và x , y là những
⇒ ω ′(t ) = 2(3t 2 − t )(6t − 1)sin t + (3t 2 − t )2 cos t
hàm khả vi đối với biến độc lập t . Khi đó, hàm hợp của
= 2xy(6t − 1) + x 2 cos t .
biến t là ω(t ) = f (x (t ), y(t )) khả vi. Ta có:
df
dx dy VD 15. Cho f (x, y ) = ln(x 2 + y 2 ), y = sin2 x . Tính .
ω′(t ) = fx/+ fy/ . dx
dt dt
Giải
VD 14. Tính ω ′(t ) với hàm số f (x , y ) = x 2y và / /
= ln(x 2 + y 2 ) + ln(x 2 + y 2 ) (sin 2 x )/
df
x = 3t 2 − t, y = sin t .  x  y x
dx
dx dy
Giải. ω ′(t ) = fx/ . + fy/ . 2x + 2y sin 2x
2x 2y sin 2x
= + =
dt dt .
2 2 2 2
x 2 + y2
x +y x +y
= 2xy(3t 2 − t )t + x 2 (sin t )t = 2xy(6t − 1) + x 2 cos t .
/ /




Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s
Ch 1. nhi Ch 1. nhi
b) Hàm hợp với hai biến độc lập Giả sử các hàm trên đều khả vi, đạo hàm 2 vế (*) ta được:
• Cho f (x , y ) là hàm khả vi đối với x , y và x , y là những
Fx/ + Fz/ .z x = 0, Fy/ + Fz/ .zy = 0 .
/ /
hàm khả vi đối với hai biến độc lập ϕ, ψ . Khi đó, hàm
Fy/
Fx/
(F )
hợp của 2 biến ϕ, ψ là ω(ϕ, ψ) = f (x (ϕ, ψ), y(ϕ, ψ)) / / /
Vậy z x = − , zy = − ≠0 .
z
Fz/ Fz/
khả vi. Ta có:
ω/ = fx/ .x ϕ + fy/ .y ϕ , ω/ = fx/ .x ψ + fy/ .y ψ .
/ / / /
ϕ ψ
VD 16. Cho hàm ẩn z (x , y ) thỏa phương trình:
2.4. Đạo hàm của hàm số ẩn (hai biến) / /
xyz = cos(x + y + z ). Tính z x , zy .
• Hàm z(x , y ) xác định trên Dz ⊂ ℝ2 thỏa phương trình
VD 17. Cho hàm ẩn z(x , y ) thỏa phương trình mặt cầu:
F (x , y, z (x , y )) = 0, ∀(x , y ) ∈ D ⊂ Dz (*) được gọi là
/
x 2 + y 2 + z 2 − 2x + 4y − 6z − 2 = 0 . Tính zy .
hàm số ẩn hai biến xác định bởi (*).
……………………………………………………




Toán cao c p A3 Đ i h c 5
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 26, 2011
dvntailieu.wordpress.com



Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s
Ch 1. nhi Ch 1. nhi
Khai triển Maclaurin
§3. KHAI TRIỂN TAYLOR HÀM HAI BIẾN
3.1. Công thức Taylor Tại lân cận O(0; 0), khai triển Maclaurin f (x , y ) là:
Cho hàm số f (x , y ) có đạo hàm riêng đến cấp n + 1 d n f (0; 0)
df (0; 0)
f (x , y ) = f (0; 0) + + ... + + O(ρ n ).
trong miền mở D chứa điểm M 0 (x 0 ; y 0 ). 1! n!
Giả sử N (x 0 + ∆x ; y 0 + ∆y ) ∈ D và MN ⊂ D . Trong đó, dx = x , dy = y , ρ = x 2 + y 2 .
Đặt dx = ∆x = x − x 0 , dy = ∆y = y − y 0 .
Các khai triển Maclaurin hàm 1 biến cần nhớ
Khai triển Taylor hàm f (x , y ) ở lân cận điểm M 0 là:
1
= 1 + x + x 2 + ... + x n + O(x n ).
d n f (M 0 ) 1)
df (M 0 )
1−x
f (x , y ) = f (M 0 ) + + ... + + O(ρ n ).
1! n! x2 xn
x
2) e x = 1 + + + O(x n ) .
+ ... +
Trong đó, ρ = (x − x 0 )2 + (y − y 0 )2 . 1! 2! n!




Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s
Ch 1. nhi Ch 1. nhi

• df (x , y ) = fx′(x , y )dx + fy′(x , y )dy
2 3 4
xx x x
+ ... + O(x n ).
3) ln(1 + x ) = − + −
1 2 3 4
= y x ln ydx + xy x −1dy ⇒ df (1;1) = dy = y − 1;
x2 x4 x6
+ ... + O(x n ).
4) cos x = 1 − + −
2! 4 ! 6!
• d 2 f (x , y ) = fx′′dx 2 + 2 fxydxdy + fy′′dy 2
′′
x x3 x5 x7 2 2

5) sin x = − + − + ... + O(x n ).
1! 3! 5! 7 !
= y x ln2 ydx 2 + 2y x −1(x ln y +1)dxdy + x (x − 1)y x −2dy 2
3.2. Các ví dụ
⇒ d 2 f (1;1) = 2dxdy = 2(x − 1)(y − 1).
VD 1. Khai triển Taylor ở lân cận điểm (1; 1) của hàm số
f (x , y ) = y x đến số hạng bậc hai. Vậy y x = 1 + (y − 1) + (x − 1)(y − 1) + O(ρ 2 ),
Giải. Ta có:
ρ = (x − 1)2 + (y − 1)2 .
• f (1;1) = 1;




Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s
Ch 1. nhi Ch 1. nhi
§4. CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ
VD 2. Khai triển Maclaurin của hàm số
4.1. Định nghĩa (cực trị địa phương)
f (x , y ) = cos(x 2 + y 2 ) đến số hạng bậc 4.
• Hàm số z = f (x , y ) đạt cực trị địa phương (gọi tắt là
cực trị) tại M 0 (x 0 , y 0 ) nếu với mọi điểm M (x , y ) khá
2
VD 3. Khai triển Maclaurin của hàm số z = e x sin y đến
gần nhưng khác M 0 thì hiệu ∆ f = f (x , y ) − f (x 0 , y 0 )
số hạng bậc 5.
có dấu không đổi.
• Nếu ∆ f > 0 thì f ( x 0 , y 0 ) được gọi là giá trị cực tiểu
2
VD 4. Khai triển Maclaurin của hàm số z = (1 + y )x đến và M 0 là điểm cực tiểu của z = f ( x , y ) .
số hạng bậc 6. • Nếu ∆ f < 0 thì f ( x 0 , y 0 ) được gọi là giá trị cực đại và
M 0 là điểm cực đại của z = f ( x , y ) .
x3
2
 y 3y 2
VD 5. Cho hàm f (x , y ) = e y +1 . Tính vi phân d 7 f (0; 0)? VD 1. Hàm số f (x , y ) = x 2 + y 2 − xy = x −  +

 
 2
  4
……………………………………………………………

⇒ f (x , y ) ≥ 0, ∀ (x , y ) ∈ ℝ 2 nên đạt cực tiểu tại O ( 0; 0) .




Toán cao c p A3 Đ i h c 6
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 26, 2011
dvntailieu.wordpress.com



Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s
Ch 1. nhi Ch 1. nhi
Khi đó:
4.2. ĐỊNH LÝ
AC − B 2 > 0

a) Điều kiện cần
• Nếu  ⇒ f (x , y ) đạt cực tiểu tại M 0 .

• Nếu hàm số z = f (x , y ) đạt cực trị tại M 0 (x 0 , y0 ) và  A>0


tại đó hàm số có đạo hàm riêng thì: AC − B 2 > 0

• Nếu 
fx′(x 0, y 0 ) = fy′(x 0, y 0 ) = 0. ⇒ f (x , y ) đạt cực đại tại M 0 .

 A 0, y > 0).
x y
• Để tìm cực trị có điều kiện của hàm số f (x , y ) ta dùng
Khẳng định đúng là:
A. z đạt cực tiểu tại M (2; 5) và giá trị cực tiểu z = 39 . phương pháp khử hoặc nhân tử Lagrange.
B. z đạt cực tiểu tại M (5; 2) và giá trị cực tiểu z = 30 . a) Phương pháp khử
C. z đạt cực đại tại M (2; 5) và giá trị cực đại z = 39 . • Từ phương trình ϕ(x , y ) = 0 ta rút x hoặc y thế vào
D. z đạt cực đại tại M (5; 2) và giá trị cực đại z = 30 . f (x , y ), sau đó tìm cực trị của hàm một biến.




Toán cao c p A3 Đ i h c 7
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 26, 2011
dvntailieu.wordpress.com



Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s
Ch 1. nhi Ch 1. nhi
VD 7. Tìm điểm cực trị của hàm z = x 2y thỏa điều kiện: • Bước 3. Tính vi phân cấp 2 tại M 0 (x 0 , y 0 ) ứng với λ 0 :
x − y + 3 = 0.
′′ ′′ ′′
d 2L(M 0 ) = Lx 2dx 2 + 2Lxydxdy + Ly 2dy 2 .
b) Phương pháp nhân tử Lagrange Các vi phân dx , dy phụ thuộc vào điều kiện ràng buộc:
fy/
fx/ d ϕ(x , y ) = ϕ ′ (x , y )dx + ϕ ′ (x , y )dy = 0 (1)

Tại điểm cực trị (x , y ) của f , gọi λ = − =− 
là 00 x00 y00

ϕ/ /
ϕy  (dx )2 + (dy )2 > 0 (2).
x



nhân tử Lagrange. Để tìm cực trị ta thực hiện các bước:
• Bước 4. Từ điều kiện ràng buộc (1) và (2), ta có:
• Bước 1. Lập hàm phụ (hàm Lagrange):
Nếu d 2L(M 0 ) > 0 thì f (x , y ) đạt cực tiểu tại M 0 .
L(x , y, λ ) = f (x , y ) + λϕ(x , y ).
Nếu d 2L(M 0 ) < 0 thì f (x , y ) đạt cực đại tại M 0 .
′ ′ ′
• Bước 2. Giải hệ: Lx = 0, Ly = 0, Lλ = 0
Nếu d 2L(M 0 ) = 0 thì M 0 không là điểm cực trị.
Suy ra điểm dừng M 0 (x 0 , y0 ) ứng với λ 0 .




Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s
Ch 1. nhi Ch 1. nhi
VD 8. Tìm điểm cực trị của hàm số f (x , y ) = 2x + y 4.6. Giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm hai biến
trên miền đóng, bị chặn (cực trị toàn cục)
2 2
với điều kiện x + y = 5 .
Cho miền D ⊂ ℝ 2 đóng có biên ∂D : ϕ(x , y ) = 0 và
VD 9. Tìm giá trị cực trị của hàm số z = x 2 + y 2 thỏa f (x , y ) là hàm liên tục trên D , khả vi trong D mở (có
điều kiện x 2 + y 2 = 3x + 4y . thể không khả vi tại m điểm M 1 ,..., M m ). Giả sử biên
∂D trơn, nghĩa là hàm ϕ khả vi. Để tìm giá trị lớn nhất
VD 10. Tìm điểm cực trị của hàm z = xy thỏa điều kiện:
– nhỏ nhất của f trên D , ta thực hiện các bước sau:
2 2
x y
+ = 1.
• Bước 1. Tìm các điểm cực trị tự do N 1 ,..., N n trong D
8 2
(chỉ cần tìm điểm dừng).
VD 11. Tìm cực trị của hàm số f (x , y ) = 10x + 40y thỏa
• Bước 2. Tìm các điểm cực trị P1 ,..., Pp trên biên ∂D
điều kiện xy = 20 và x , y > 0 .
thỏa điều kiện ϕ(x , y ) = 0 (chỉ cần tìm điểm dừng).




Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 2. Tích phân b i
Ch 1. nhi Ch 2.
§1. Tích phân bội hai (tích phân kép)
• Bước 3. Giá trị max f (x , y ), min f (x , y ) tương ứng là
§2. Tích phân bội ba
D D
§3. Ứng dụng của tích phân bội
giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong tất cả các giá trị sau:
…………………………..
f (M 1 ), ..., f (M m ), f (N 1 ),..., f (N n ), f (P1 ),..., f (Pp ).
§1. TÍCH PHÂN BỘI HAI
VD 12. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 1.1. Bài toán mở đầu (thể tích khối trụ cong)
3 • Xét hàm số z = f (x , y )
f (x , y ) = x 2 + y 2 trong miền D : x 2 − x + y 2 ≤ .
4 liên tục, không âm và
VD 13. Cho hàm số f (x , y ) = x 2 + y 2 − xy + x + y .
một mặt trụ có các
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f (x , y ) trong miền đường sinh song song
D : x ≤ 0, y ≤ 0, x + y ≥ −3 . với Oz , đáy là miền
VD 14. Tìm max, min của z = sin x + sin y + sin(x +y ) phẳng đóng D trong
π π mpOxy .
trong miền D : 0 ≤ x ≤ , 0 ≤ y ≤ .
2 2
………………………………………………………




Toán cao c p A3 Đ i h c 8
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 26, 2011
dvntailieu.wordpress.com



Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i
Ch 2. Ch 2.
1.2. Tích phân bội hai
• Để tính thể tích khối trụ, ta chia miền D thành n phần
không dẫm lên nhau ∆Si , i = 1; n . Diện tích mỗi phần a) Định nghĩa
• Cho hàm số f (x , y ) xác định trên miền D đóng và bị
cũng ký hiệu là ∆Si . Khi đó, khối trụ cong được chia
thành n khối trụ nhỏ. Trong mỗi phần ∆Si ta lấy điểm chặn trong mặt phẳng Oxy .
Chia miền D một cách tùy ý thành n phần không dẫm
M i (xi ; yi ) tùy ý và thể tích V của khối trụ là:
lên nhau, diện tích mỗi phần là ∆Si , i = 1; n .
n
V ≈ ∑ f (xi ; yi )∆Si . Lấy n điểm tùy ý M i (x i ; yi ) ∈ ∆Si , i = 1; n . Khi đó,
i =1

{ }
n
• Gọi di = max d (A, B ) A, B ∈ ∆Si là đường kính của I n = ∑ f (x i ; yi )∆Si được gọi là tổng tích phân của
i =1
n
∑ f (xi ; yi )∆Si .
∆Si . Ta có: V = f (x , y ) trên D (ứng với phân hoạch ∆Si và các điểm
lim
max d →0
i =1
i
chọn M i ).




Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i
Ch 2. Ch 2.
n
∫∫ f (x, y )dxdy , ta nói hàm số
∑ f (xi , yi )∆Si • Nếu tồn tại tích phân
• Nếu giới hạn I = lim tồn tại hữu
max di →0
i =1 D
hạn, không phụ thuộc vào phân hoạch ∆Si và cách chọn f (x , y ) khả tích trên miền D ; f (x , y ) là hàm dưới dấu
tích phân; x và y là các biến tích phân.
điểm M i thì số thực I được gọi là tích phân bội hai của
hàm số f (x , y ) trên miền D .
Nhận xét
∫∫ f (x , y )dS .
Ký hiệu là: I = S (D ) = ∫∫ dxdy (diện tích của miền D ).
D
D
Nếu f (x , y ) > 0 , liên tục trên D thì thể tích hình trụ có
• Chia miền D bởi các đường thẳng song song với Ox ,
Oy ta được ∆Si = ∆x i .∆yi hay dS = dxdy . các đường sinh song song với Oz , hai đáy giới hạn bởi
các mặt z = 0 , z = f (x , y ) là V = ∫∫ f (x , y )dxdy .
∫∫ f (x, y)dS = ∫∫ f (x , y )dxdy.
Vậy I =
D
D D




Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i
Ch 2. Ch 2.
b) Định lý • Tính chất 3
Hàm f (x , y ) liên tục trong miền D đóng và bị chặn thì Nếu chia miền D thành D1, D2 bởi đường cong có diện
khả tích trong D . tích bằng 0 thì:
∫∫ f (x, y )dxdy = ∫∫ f (x, y )dxdy + ∫∫ f (x, y )dxdy .
1.3. Tính chất của tích phân bội hai
Giả thiết rằng các tích phân dưới đây đều tồn tại. D D1 D2


∫∫ f (x, y )dxdy = ∫∫ f (u, v )dudv .
• Tính chất 1.
1.4. PHƯƠNG PHÁP TÍNH
D D
1.4.1. Đưa về tích phân lặp
• Tính chất 2 a) Định lý (Fubini)
∫∫ [ f (x, y ) ± g(x, y )]dxdy = ∫∫ fdxdy ± ∫∫ gdxdy ; Giả sử tích phân I = ∫∫ f (x , y )dxdy tồn tại, trong đó
D D D
D
∫∫ kf (x , y )dxdy = k ∫∫ f (x , y )dxdy, k ∈ ℝ . D = {(x , y ) : a ≤ x ≤ b, y1(x ) ≤ y ≤ y2 (x )},
D D




Toán cao c p A3 Đ i h c 9
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 26, 2011
dvntailieu.wordpress.com



Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i
Ch 2. Ch 2.
y 2 (x ) Chú ý

và với mỗi x ∈ [a ; b ] cố định, f (x , y )dy tồn tại.
1) Nếu miền D là hình chữ nhật,
D = {(x , y ) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d } = [a ; b ] × [c; d ] thì:
y1 (x )
y2 (x )
b
b d d b
∫ dx ∫
I= f (x , y )dy.
∫∫ ∫ dx ∫ f (x, y )dy=∫ dy ∫ f (x , y )dx .
Khi đó: f (x , y )dxdy =
y1 (x )
a
D a c c a

2) Nếu D = {(x , y ) : a ≤ x ≤ b, y1(x ) ≤ y ≤ y2 (x )}
Tương tự, nếu miền D là:
và f (x , y ) = u(x ).v(y ) thì:
D = {(x , y ) : x1(y ) ≤ x ≤ x 2 (y ), c ≤ y ≤ d }
y2 (x )
b
x 2 (y )
d
∫∫ ∫ ∫
f (x , y )dxdy = u(x )dx v(y )dy.
∫ dy ∫
I= f (x , y )dx .
thì
y1(x )
D a
x1 (y )
c




Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i
Ch 2. Ch 2.
3) Nếu D = {(x , y ) : x1(y ) ≤ x ≤ x 2 (y ), c ≤ y ≤ d }
và f (x , y ) = u(x ).v(y ) thì:
x 2 (y )
d

∫∫ ∫ ∫
f (x , y )dxdy = v(y )dy u(x )dx .
x1 (y )
D c


4) Nếu D là miền phức tạp thì ta chia D ra thành những
miền đơn giản.

∫∫ 6xy dxdy .
∫∫ f (x, y )dxdy . Xác định cận tích phân
2
VD 2. Tính tích phân I =
VD 1. Cho I =
D
D
Trong đó, D = [0; 2]× [−1; 1].
lặp với miền D giới hạn bởi y = 0, y = 2x , x = a > 0 .




Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i
Ch 2. Ch 2.

∫∫ ∫∫ ydxdy , trong đó miền D
VD 3. Tính tích phân I = (2x + y )dxdy . VD 5. Tính tích phân I =
D D
Trong đó, D = {y ≤ x ≤ 1 − y, − 2 ≤ y ≤ 0}. giới hạn bởi các đường y = x − 4, y 2 = 2x .

VD 4. Tính tích phân
I = ∫∫ ydxdy ,
D
trong đó miền D
giới hạn bởi các đường
y = x + 2, y = x 2 .




Toán cao c p A3 Đ i h c 10
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 26, 2011
dvntailieu.wordpress.com



Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i
Ch 2. Ch 2.
VD 6. Đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân sau:
b) Đổi thứ tự lấy tích phân 2y
3

∫ dy ∫ f (x , y )dx .
I=
1 0




x 2 (y )
d
y 2 (x )
b
∫ ∫
I=
∫ dx ∫ f (x , y )dx
dy
I= f (x , y )dy
x1 (y )
c
y1 (x )
a




Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i
Ch 2. Ch 2.
VD 7. Đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân sau: VD 8. Đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân sau:
2−x 2 1 3 1
x
1

∫ dx ∫ f (x , y )dy + ∫ dx ∫ f (x , y )dy .
∫ dx ∫ I=
I= f (x , y )dy .
x2 x2
0 1
0 x
9 9




Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i
Ch 2. Ch 2.
′ ′
1.4.2. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN ∂(x , y ) x u xv 1 1
Chú ý. J = = = = .
a) Công thức đổi biến tổng quát ′ ′ ′ ′
∂(u, v ) yu ∂(u, v )
yv ux uy
Giả sử x = x (u, v ), y = y(u, v ) là hai hàm số có các đạo
∂(x , y ) ′ ′
vx vy
hàm riêng liên tục trên miền đóng bị chặn Duv trong
∫∫ (x
2
− y 2 )dxdy , với miền D là hình
VD 9. Tính I =
mpOuv . Gọi Dxy là miền xác định bởi:
D
Dxy = {(x , y ) : x = x (u, v ), y = y(u, v ), (u, v ) ∈ Duv }. chữ nhật giới hạn bởi các đường thẳng:
x + y = 1, x + y = 3, x − y = 2, x − y = 5 .
Nếu hàm f (x , y ) khả tích trên Dxy và Jacobien
′ ′
∂(x , y ) x u xv
J= = ≠ 0 trong Duv
′ ′
∂(u, v ) yu yv

∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (x (u, v), y(u, v )). J dudv.
thì
Dxy Duv




Toán cao c p A3 Đ i h c 11
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 26, 2011
dvntailieu.wordpress.com



Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i
Ch 2. Ch 2.
b) Đổi biến trong tọa độ cực
VD 10. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 4 parapol:
y = x 2 , 2y = x 2 , x = y 2 , 3x = y 2 .
Trong mpOxy , xét miền D .
Vẽ 2 tia OA, OB tiếp xúc với
miền D và
(Ox,OA) = α, (Ox,OB ) = β .
Khi đó:
OM ≤ OM ≤ OM


M ∈D ⇔
1 2

( )

α ≤ Ox , OM ≤ β.







Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i
Ch 2. Ch 2.
x = r cos ϕ Chú ý

( )
Đặt  với r = OM , ϕ = Ox , OM .
 1) Đổi biến trong tọa độ cực thường dùng khi biên của D
y = r sin ϕ

 là đường tròn hoặc elip.
Khi đó, miền D trở thành:
Dr ϕ = {(r , ϕ) : r1(ϕ) ≤ r ≤ r2 (ϕ), α ≤ ϕ ≤ β}. 2) Để tìm r1(ϕ), r2 (ϕ) ta thay x = r cos ϕ, y = r sin ϕ
vào phương trình của biên D .
∂(x , y ) x r′ ′ cos ϕ −r sin ϕ

Ta có J = = = = r.
′ ′ sin ϕ r cos ϕ 3) Nếu cực O nằm trong D và mỗi tia từ O chỉ cắt biên
∂(r, ϕ) yr yϕ
D tại 1 điểm thì:
Vậy: r (ϕ )

r2 ( ϕ )
∫ ∫
β I= dϕ f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdr .
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫ d ϕ ∫ f (r cos ϕ, r sin ϕ).rdr . 0 0
α r1 (ϕ )
Dxy




Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i
Ch 2. Ch 2.

∫∫ f (x , y )dxdy
VD 11. Hãy biểu diễn tích phân I =
4) Nếu cực O nằm trên biên của D thì:
r (ϕ)
β
D
∫ dϕ ∫
I= f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdr . trong tọa độ cực. Biết miền D nằm ngoài đường tròn
(C 1 ) : x 2 + y 2 = 2x và nằm trong (C 2 ) : x 2 + y 2 = 4x .
α 0
x2 y2
+
= 1 thì ta đặt:
5) Nếu biên của D là elip
a 2 b2
x = ra cos ϕ, y = rb sin ϕ .
Khi đó, D trở thành hình tròn:
Dr ϕ = {(r , ϕ) : 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1} .
Ta có Jacobien J = abr và:
2π 1
I = ab ∫ d ϕ ∫ f (ra cos ϕ, rb sin ϕ)rdr .
0 0




Toán cao c p A3 Đ i h c 12
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 26, 2011
dvntailieu.wordpress.com



Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i
Ch 2. Ch 2.
VD 14. Tính diện tích miền D (cắt tia Oy ) giới hạn bởi:
2 2
−(x +y )
∫∫ e
VD 12. Tính tích phân I = dxdy , trong đó
y = −x , y = 0 và x 2 + y 2 = 3 x 2 + y 2 − 3x .
D
2 2 2
D là hình tròn x + y ≤ R .


 x 2  y 2
4 −   −   dxdy ,
 
∫∫
VD 13. Tính tích phân I =
 
a   b 
 
D
D giới hạn bởi 2 elip nằm trong góc phần tư thứ nhất:
 x 2  y 2  x 2  y 2
(E1 ) :   +   = 1, (E 2 ) :   +   = 1 .
   
a  b   
   
   2a   2b 




Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i
Ch 2. Ch 2.
 (n − 1)!!

Công thức Walliss  2. n leû
,

π  n !!

 (n − 1)!! 2) ∫ sin xdx = 
 n
π π  , n leû  (n − 1)!!
 π. n chaün.
 n !!
2 2 ,

0
 
∫ sin ∫
n n
xdx = cos xdx =  n !!
1) 

 π (n − 1)!!
. , n chaün.  n leû
 
0 0
0,
2 
π
n !!
 
  (n − 1)!!
∫ cos xdx = π.
n
n chaün.
 ,

 n !!
Trong đó, n ! ! đọc là n Walliss, định nghĩa như sau: 0


0 !! = 1!! = 1; 2!! = 2; 3!! = 1.3; 4 !! = 2.4;  0, n leû


2π 2π

 (n − 1)!!
∫ sin ∫
n n
xdx = cos xdx = 
5 !! = 1.3.5; 6!! = 2.4.6; 7 !! = 1.3.5.7; 8!! = 2.4.6.8; ... 3)
, n chaün.
2π.

 n !!
0 0






Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i
Ch 2. Ch 2.
π π §2. TÍCH PHÂN BỘI BA
2 2
π 1!! π 4 !! 8 2.1. Bài toán mở đầu (khối lượng vật thể)
∫ sin ∫ cos
2 5
xdx = =, xdx = =,
.
VD.
2 2 !! 4 5!! 15 • Giả sử ta cần tính khối lượng của vật thể V không đồng
0 0
chất, biết mật độ (khối lượng riêng) tại điểm P(x , y, z ) là
π π ρ = ρ(P ) = ρ(x , y, z ).
5!! 15π
∫ ∫ sin
cos5 xdx = 0 , 6
xdx = π. = ,
• Ta chia V thành n phần tùy ý không dẫm lên nhau, thể
6!! 48
0 0
tích mỗi phần là ∆Vi , i = 1, n . Trong mỗi ∆Vi ta lấy
2π 2π
điểm Pi (xi , yi , zi ) và ký hiệu đường kính của ∆Vi là di .
5!! 15π
∫ ∫ cos
sin7 xdx = 0 , 6
xdx = 2π. = . n
Khi đó, khối lượng của V xấp xỉ: m ≈ ∑ ρ(Pi ).∆Vi .
6!! 24
0 0
i =1
n

∑ ρ(P ).∆V
• Vậy m = lim
………………………………………………………………………
(nếu giới hạn hữu hạn).
i i
max di → 0
i =1




Toán cao c p A3 Đ i h c 13
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 26, 2011
dvntailieu.wordpress.com



Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i
Ch 2. Ch 2.
2.2. Định nghĩa tích phân bội ba • Nếu tồn tại tích phân, ta nói f (x , y, z ) khả tích; f (x , y, z )
• Cho hàm số f (x , y, z ) xác định trong miền đo được V là hàm dưới dấu tích phân; x , y, z là các biến tích phân.
trong không gian Oxyz . Chia miền V như bài toán • Hàm số f (x , y, z ) liên tục trong miền V bị chặn và đóng
n
mở đầu và lập tổng tích phân I n := ∑ f (x i , yi , z i )∆Vi . thì khả tích trong V .
i =1
n
Nhận xét
∑ f (xi , yi , zi )∆Vi
• Nếu I = lim tồn tại hữu hạn,
∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz là khối
Nếu f ≥ 0 trên V thì I =
max di → 0
i =1
không phụ thuộc vào cách chia miền V và cách chọn V
lượng vật thể V , với khối lượng riêng vật chất chiếm
điểm Pi thì số thực I được gọi là tích phân bội ba của
thể tích V là f (x , y, z ).
hàm số f (x , y, z ) trên V .
Đặc biệt, nếu f (x , y, z ) ≡ 1 thì I là thể tích của V .
∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz.
I=
Ký hiệu:
Tích phân bội ba có các tính chất như tích phân kép.
V




Chương 2. M t s m t b c hai Chương 2. M t s m t b c hai
Ch 2. Ch 2.
M TC U M T TR TRÒN
TR TRÒN




(x − a )2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R 2 (x − a )2 + (y − b)2 = R2




Chương 2. M t s m t b c hai Chương 2. M t s m t b c hai
Ch 2. Ch 2.
M T TR ELIP M T TR PARABOL
TR ELIP TR PARABOL



x 2 y2
y = ax 2
+ =1
a 2 b2




Toán cao c p A3 Đ i h c 14
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 26, 2011
dvntailieu.wordpress.com



Chương 2. M t s m t b c hai Chương 2. M t s m t b c hai
Ch 2. Ch 2.
M T N ÓN M T PARABOLIC
PARABOLIC




z = x 2 + y2

z = x 2 + y2




Chương 2. M t s m t b c hai Chương 2. M t s m t b c hai
Ch 2. Ch 2.
M T PARABOLIC M T ELIPSOID
PARABOLIC ELIPSOID


x 2 y2 z 2
++ =1
a 2 b2 c2

z = a − x 2 − y2




Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i
Ch 2. Ch 2.

2.3. PHƯƠNG PHÁP TÍNH Đặc biệt
• Nếu Dxy = {(x , y ) : a ≤ x ≤ b, y1(x ) ≤ y ≤ y2 (x )} thì:
2.3.1. Đưa về tích phân lặp
a) Chiếu miền V lên mpOxy y2 (x ) z 2 (x ,y )
b
Giả sử miền V có giới hạn trên bởi mặt z = z 2 (x , y ),
∫∫∫ f (x , y, z )dxdydz = ∫ dx ∫ ∫ f (x , y, z )dz .
dy
giới hạn dưới bởi z = z1 (x, y ), giới hạn xung quanh bởi y1 (x ) z1 (x ,y )
V a
mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz .
• Nếu Dxy = {(x , y ) : x 1(y ) ≤ x ≤ x 2 (y ), c ≤ y ≤ d } thì:
Gọi Dxy là hình chiếu của V trên mpOxy .
Khi đó: x 2 (y ) z 2 (x ,y )
d

∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz = ∫ dy ∫ ∫
z 2 (x ,y )
f (x , y, z )dz .
dx
∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz = ∫∫ dxdy ∫ f (x , y, z )dz . x1 (y ) z1 (x ,y )
V c
z1 (x ,y )
V Dxy




Toán cao c p A3 Đ i h c 15
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 26, 2011
dvntailieu.wordpress.com



Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i
Ch 2. Ch 2.
c) Chiếu miền V lên mpOyz
b) Chiếu miền V lên mpOxz Giả sử miền V có giới hạn (theo chiều ngược với tia Ox )
bởi hai mặt x = x 2 (y, z ) và x = x1 (y, z ), giới hạn xung
Giả sử miền V có giới hạn (theo chiều ngược với tia Oy )
bởi hai mặt y = y2 (x , z ) và y = y1(x , z ), giới hạn xung quanh bởi mặt trụ có đường sinh song song với trục Ox .
quanh bởi mặt trụ có đường sinh song song với trục Oy . Gọi Dyz là hình chiếu của V trên mpOyz . Khi đó:
Gọi Dxz là hình chiếu của V trên mpOxz . x 2 (y ,z )

∫∫∫ ∫∫ ∫
f (x , y, z )dxdydz =
Khi đó: f (x , y, z )dx .
dydz
x1 (y ,z )
y2 (x ,z ) V Dyz

∫∫∫ ∫∫ ∫
f (x , y, z )dxdydz = f (x , y, z )dy.
dxdz Đặc biệt. Nếu miền V = [a; b ]×[c; d ]× [e; f ]
y1 (x ,z )
V Dxz f
b d

∫∫∫ ∫ dx ∫ dy ∫ f (x , y, z )dz .
f (x , y, z )dxdydz =
thì
V a c e




Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i
Ch 2. Ch 2.

∫∫∫ ydxdydz với miền V
VD 3. Tính tích phân I =
∫∫∫ 8xyzdxdydz với miền V
VD 1. Tính tích phân I =
V
V
giới hạn bởi x + y + z = 1 và 3 mặt phẳng tọa độ.
là hình hộp chữ nhật V = [1; 2] × [−1; 3] × [0; 2].
A. I = 12; B. I = 24 ; C. I = 48 ; D. I = 96 .


VD 2. Tính tích phân lặp
1 1 2

∫ dx ∫ dy ∫ (1 + 2z )dz
I=
−1 x2 0
và dựng miền lấy tích phân V .




Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i
Ch 2. Ch 2.
2.3.2. CÔNG THỨC ĐỔI BIẾN TỔNG QUÁT VD 4. Tính thể tích vật thể V xác định bởi:
Giả sử x = x (u, v, w ), y = y(u, v, w ), z = z(u, v, w ) có −x + y + z + x − y + z + x + y − z ≤ 2 .
đạo hàm riêng liên tục trong miền Vuvw đóng bị chặn
trong không gian Ouvw .
′ ′ ′
xu xv xw VD 5. Tính thể tích của khối elipsoid
∂(x , y, z )
′ ′ ′
Nếu Jacobien J = = yu yv yw ≠ 0 thì x 2 y2 z 2
∂(u, v, w ) ≤ R2
+ +
V:
′ z v zw
′ ′
zu 2 2 2
a b c
(a, b, c, R > 0).
∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz
V

∫∫∫ f (x (u, v, w ), y(u, v, w ), z(u, v, w )). J .dudvdw.
=
Vuvw




Toán cao c p A3 Đ i h c 16
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 26, 2011
dvntailieu.wordpress.com



Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i
Ch 2. Ch 2.
Khi đó ta có:
2.3.3. Đổi biến trong tọa độ trụ
∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz
x = r cos ϕ


 V
Đặt y = r sin ϕ , r ≥ 0 , ∫∫∫ f (r cos ϕ, r sin ϕ, z ).r .drd ϕdz.
 =

z = z
 Vr ϕz


ϕ ∈ [0; 2π] hoặc ϕ ∈ [−π; π]. VD 6. Tính tích phân:

∫∫∫ z x 2 + y 2dxdydz ,
I=
x r′ ′ ′
xϕ xz
′ ′ ′
Jacobien J = yr yz = r . V

với V là khối hình trụ
z r′ ′ ′
zϕ zz giới hạn bởi:
ϕ x 2 + y 2 = 2y ,
z = 0 và z = 1 .




Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i
Ch 2. Ch 2.
2.3.3. Đổi biến trong tọa độ cầu
∫∫∫ (x
2 2 2
VD 7. Tính I = + y + z )dxdydz với V là
x = r sin θ cos ϕ,
 θ
V


2 2 2
khối hình nón giới hạn bởi x + y = z và z = 1 . Đặt y = r sin θ sin ϕ,


z = r cos θ,



r ≥ 0, ϕ ∈ [0; 2π], θ ∈ [0; π]
∂(x , y, z )
Jacobien J =
∂(r , ϕ, θ)
′ ′ ′
xr xϕ xθ
′ ′ ′
y θ = r 2 sin θ.
= yr ϕ

′ ′ ′
zr zϕ zθ




Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i
Ch 2. Ch 2.
Khi đó ta có:
∫∫∫ (x
2
+ y 2 )dxdydz với V
VD 9. Tính tích phân I =
∫∫∫ ∫∫∫ f .r 2 sin θ.drd ϕd θ.
f (x , y, z )dxdydz =
V
V Vr ϕθ
là miền giới hạn bởi: x + y + z 2 ≤ 4, y ≥ 0 và z ≥ 0 .
2 2
Với f ≡ f (x , y, z ) = f (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ).

VD 8. Tính tích phân:
dxdydz
I = ∫∫∫ .
x 2 + y2 + z2
V
Trong đó
V : 1 ≤ x2 + y2 + z 2 ≤ 4.




Toán cao c p A3 Đ i h c 17
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 26, 2011
dvntailieu.wordpress.com



Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i
Ch 2. Ch 2.

∫∫∫
2 2 2
VD 10. Tính tích phân I = x + y + z dxdydz , §3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI
3.1. Tính thể tích V của vật thể
V
trong đó V là miền giới hạn bởi: x 2 + y 2 + z 2 − z ≤ 0 .
Thể tích V của vật thể có đường sinh song song với Oz
và hình chiếu trên Oxy là D , hai đáy giới hạn bởi các
mặt z = f1(x , y ) ≤ z = f2 (x , y ) là:
V = ∫∫  f2 (x , y ) − f1(x , y ) dxdy.
D


Thể tích của vật thể là:
V ( ) = ∫∫∫ dxdydz .
……………………………………………………………




Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i
Ch 2. Ch 2.
VD 2. Tính thể tích vật thể V giới hạn bởi
VD 1. Tính thể tích V của vật thể giới hạn bởi
phần hình trụ x 2 + y 2 = 1 và hai mặt phẳng phần hình trụ x 2 + y 2 − 2y = 0 nằm trong
x + y + z − 5 = 0, z = 2 . hình cầu x 2 + y 2 + z 2 = 4 ứng với z ≥ 0 .




V




Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i
Ch 2. Ch 2.
3.2. Giá trị trung bình của hàm trên miền đóng
VD 3. Tính thể tích V của vật thể giới hạn bởi các mặt:
Giá trị trung bình của hàm f (x , y ) trên miền D ⊂ ℝ2
x 2 + y 2 = 4 − z , x 2 + y 2 ≥ 2 và z = 0 .
đóng và bị chặn là:
1
S (D ) ∫∫
f= f (x , y )dxdy.
D

⊂ ℝ3
Giá trị trung bình của hàm f (x , y, z ) trên miền
đóng và bị chặn là:
1
V ( ) ∫∫∫
f= f (x , y, z )dxdydz .


VD 4. Tính giá trị trung bình của f (x , y ) = x cos xy trong
hình chữ nhật D : 0 ≤ x ≤ π , 0 ≤ y ≤ 1.




Toán cao c p A3 Đ i h c 18
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 26, 2011
dvntailieu.wordpress.com



Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i
Ch 2. Ch 2.
VD 5. Tính giá trị trung bình của f (x , y, z ) = xyz trong
Xét vật thể chiếm miền V ⊂ ℝ 3 (đóng và bị chặn) có
hình lập phương = [0; 2]×[0; 2]×[0; 2].
khối lượng riêng là hàm ρ(x , y, z ) liên tục trên V .
3.3. Khối lượng m của vật thể Khi đó, khối lượng của vật thể là:
Xét bản phẳng chiếm miền D ⊂ ℝ2 (đóng và bị chặn) m = ∫∫∫ ρ(x , y, z )dxdydz .
có khối lượng riêng (mật độ khối lượng hay tỉ khối) tại V
điểm M (x , y ) ∈ D là hàm ρ(x , y ) liên tục trên D .
Khi đó, khối lượng của bản phẳng là:
m = ∫∫ ρ(x , y )dxdy. VD 7. Tính khối lượng của vật thể chiếm miền V giới
hạn bởi các mặt:
D
z = x + y , x + y = 1 và 3 mặt phẳng tọa độ.
VD 6. Tính khối lượng của bản phẳng chiếm miền D
Biết khối lượng riêng là hàm ρ(x , y, z ) = x .
giới hạn bởi x 2 + y 2 ≤ 4 , x ≥ 0 và y ≥ 0 .
Biết tỉ khối phẳng là hàm ρ(x , y ) = xy .




Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i
Ch 2. Ch 2.
3.4. Trọng tâm của vật thể VD 8. Tìm tọa độ trọng tâm hình phẳng D giới hạn bởi
Tọa độ trọng tâm G của bản phẳng D có khối lượng
x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1. Biết ρ(x , y ) = 2x + y .
riêng ρ(x , y ) liên tục trên D là:
1 1
xG = ∫∫ x ρ(x , y )dxdy, yG = ∫∫ y ρ(x , y )dxdy. VD 9. Tìm tọa độ trọng tâm của vật thể đồng chất V
mD mD giới hạn bởi z = 0, z = 2 − x 2 − y 2 và x 2 + y 2 = 1.
Giải. Vật thể đồng chất nên ρ(x , y, z ) = k ∈ ℝ .
Tương tự, tọa độ trọng tâm G của vật thể V là:
• Ta có: m = k ∫∫∫ dxdydz ⇒ m = kV
1
xG = ∫∫∫ x ρ(x , y, z )dxdyz ,
mV V
1
k
1
∫∫∫ xdxdyz = V ∫∫∫ xdxdyz .
⇒ xG =
yG = ∫∫∫ y ρ(x , y, z )dxdyz ,
m
mV V V
1
zG = ∫∫∫ z ρ(x , y, z )dxdyz .
…………………………………………………………..

mV




Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t
Ch 3. ng Ch 3. ng
§1. Tích phân đường loại 1 y
• Gọi độ dài cung thứ i là ∆si .
§2. Tích phân đường loại 2
L
§3. Tích phân mặt loại 1 Trên cung thứ i lấy điểm •
§4. Tích phân mặt loại 2 M i (x (ti ), y(ti )) tùy ý. ∆si •
………………………………………………………

§1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I • •
n
Mi
∑ f (M i )∆si
Tổng I n =
1.1. Định nghĩa
i =1 O x t0 x
xt xt xt
• Giả sử đường cong L trong mặt phẳng Oxy có phương i −1 i n


trình tham số x = x (t ), y = y(t ) với t ∈ [a; b ] và f (x , y ) được gọi là tổng tích phân đường loại 1 của hàm số
f (x , y ) trên đường cong L .
là hàm số xác định trên L .
n
∑ f (M i )∆si
Chia L thành n cung không dẫm lên nhau bởi các điểm lim
• Giới hạn tồn tại hữu hạn
max ∆s →0
chia ứng với a = t0 < t1 < ... < tn = b . i =1
i

được gọi là tích phân đường loại 1 của f (x , y ) trên L .




Toán cao c p A3 Đ i h c 19
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 26, 2011
dvntailieu.wordpress.com



Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t
Ch 3. ng Ch 3. ng
1.2. Sự tồn tại tích phân đường loại 1
∫ f (x , y )ds hay ∫ f (x, y )dl .
Ký hiệu là
a) Khái niệm đường cong trơn
L L
Đường cong L có phương
trình x = x (t ), y = y(t ) được
• Tích phân đường loại 1 của hàm số f (x , y, z ) trên đường
cong L trong không gian, ký hiệu là ∫ f (x , y, z )ds , gọi là trơn nếu các đạo hàm
x ′(t ), y ′(t ) tồn tại và không
L
được định nghĩa tương tự.
đồng thời bằng 0.
Nhận xét Nói cách khác, đường cong L được gọi là trơn nếu tại
mọi điểm M ∈ L đều vẽ được tiếp tuyến với L .
Tích phân đường loại 1 có tất cả các tính chất của tích
phân xác định.
b) Định lý
Tích phân đường loại 1 không phụ thuộc vào chiều của
Nếu đường cong L trơn từng khúc (hay từng đoạn) và
cung AB , nghĩa là: ∫ fds = ∫ fds.
hàm số f liên tục trên L thì tích phân ∫ fds tồn tại.
AB BA
L




Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t
Ch 3. ng Ch 3. ng

∫ xds .
VD 1. Tính tích phân I =
1.3. PHƯƠNG PHÁP TÍNH
a) Đường cong L có phương trình tham số L
• Nếu đường cong L trong mặt phẳng có phương trình Trong đó, L là cung tròn có phương trình tham số:
x = x (t ), y = y(t ), với a ≤ t ≤ b thì: π π
x = cos t , y = sin t , ≤ t ≤ .
b
6 3
∫ f (x (t ), y(t )) (xt′ ) + (yt′ ) dt.
2 2
∫ f (x , y )ds =
∫ (x − y )dl . Trong đó, L
VD 2. Tính tích phân I = là
L a
L
• Nếu đường cong L trong không gian có phương trình
đoạn thẳng nối điểm A(0; 2) và điểm B(−2; −3).
x = x (t ), y = y(t ), z = z(t ) với a ≤ t ≤ b thì:
b

∫ f . (xt′ ) + (yt′ ) + (zt′ ) dt.
2 2 2
∫ (1 − 2x
2
VD 3. Tính tích phân I =
∫ f (x , y, z )ds = )2ydl . Trong đó, L
L
L a
là đoạn thẳng nối điểm A(1; −3) và điểm B(1; −7).
Trong đó, f ≡ f (x (t ), y(t ), z (t )).




Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t
Ch 3. ng Ch 3. ng

∫ (2xy + z )ds . Trong đó, L là b) Đường cong L có phương trình tổng quát
VD 4. Tính tích phân I =
L
• Nếu L có phương trình y = y(x ) với a ≤ x ≤ b thì:
đường xoắn ốc trụ tròn xoay có phương trình tham số:
x = a cos t , y = a sin t , z = bt , 0 ≤ t ≤ 2π . b
1 + (yx ) dx .
2
∫ ∫ f (x, y(x )). ′
f (x , y )ds =
yds

L a
VD 5*. Tính tích phân I = .
1 + 4x 2 − 4x 4
• Nếu L có phương trình x = x (y ) với a ≤ y ≤ b thì:
L
Trong đó, L là phần giao tuyến giữa 2 mặt:
z = 2 − x 2 − 2y 2 , z = x 2 b

∫ f (x (y ), y). (xy′ )
2
∫ f (x , y )ds = + 1 dy.
và nằm trong góc phần 8 thứ nhất nối từ điểm A(0; 1; 0)
L a
đến điểm B(1; 0; 1).




Toán cao c p A3 Đ i h c 20
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 26, 2011
dvntailieu.wordpress.com



Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t
Ch 3. ng Ch 3. ng

∫ (x + y )ds với L là ∆OAB
VD 6. Tính tích phân I =
Đặc biệt
L
• Nếu L có phương trình y = α ∈ ℝ với a ≤ x ≤ b thì: có các đỉnh O(0; 0), A(1; 0), B(1; 2).
b
VD 7. Tính tích phân
∫ f (x, y )ds = ∫ f (x, α)dx .
81 − 9x 2
L a
∫ 2x
I= ds .
81 − 8x 2
• Nếu L có phương trình x = α ∈ ℝ với a ≤ y ≤ b thì: C
Trong đó, C là cung
x2
b
+ y2 = 1
∫ ∫ f (α, y )dy.
f (x , y )ds =
9
L a nằm trong góc phần tư thứ ba.




Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t
Ch 3. ng Ch 3. ng

∫ x 2 + y 2 ds . Trong đó, L
VD 8. Tính tích phân I =
c) Đường cong L trong tọa độ cực
L
• Nếu phương trình của đường cong L được cho trong tọa
là đường tròn có phương trình (C ) : x 2 + y 2 − 4y = 0 .
độ cực r = r (ϕ) với α ≤ ϕ ≤ β thì ta xem ϕ là tham số.
Khi đó, phương trình của L là:
x = r cos ϕ

x = r (ϕ)cos ϕ, y = r (ϕ)sin ϕ, α ≤ ϕ ≤ β. 

y = r sin ϕ


• Đặt f ≡ f (r (ϕ)cos ϕ, r (ϕ)sin ϕ), ta có công thức:
β

()
2
∫ ∫ f. ′
r 2 + rϕ
f (x , y )ds = d ϕ.
α
L




Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t
Ch 3. ng Ch 3. ng
1.4. Ứng dụng của tích phân đường loại 1 VD 11. Tính độ dài cung tròn
(C ) : x 2 + y 2 − 2x = 0 nối
a) Tính độ dài của cung
3 
3
từ điểm A  ;
∫ ds.  đến
Độ dài l của cung L là l =  
2 2 


 
L
1 
3

VD 9. Tính độ dài l của cung
B  ; −  và không đi qua O .

2
 
  
2
x = t 2 + 1 
  3 .
, t ∈ 1;
L :  
y = ln t + t 2 + 1 b) Tính khối lượng m và trọng tâm G của cung
 

  

 Nếu cung L có hàm mật độ khối lượng ρ phụ thuộc vào
điểm M ∈ L thì khối lượng của cung là:
VD 10. Tính độ dài l của cung
m = ∫ ρds.
L : r = a(1 + cos ϕ), ϕ ∈ [0; π].
L




Toán cao c p A3 Đ i h c 21
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 26, 2011
dvntailieu.wordpress.com



Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t
Ch 3. ng Ch 3. ng
Trọng tâm G của cung L ứng với ρ = ρ(x , y ) là: §2. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI II
2.1. Bài toán mở đầu
1 1
xG = ∫ x ρ(x , y )ds, yG = ∫ y ρ(x , y )ds.
Tính công sinh ra do lực F = F (M ) tác dụng lên chất
mL mL
điểm M (x , y ) di chuyển dọc theo đường cong L .
Trọng tâm G của cung L ứng với ρ = ρ(x , y, z ) là:
• Nếu L là đoạn thẳng AB thì công sinh ra là:
( )
1 1 1
xG = ∫ x ρds, yG = ∫ y ρds, zG = ∫ z ρds. W = F .AB = F AB cos F , AB .
mL mL mL
• Nếu L là cung AB thì ta chia L thành n cung nhỏ bởi
các điểm chia A = A0 , A1 ,..., An = B . Trên mỗi cung
VD 12. Cho một dây thép có dạng nửa đường tròn trong
mpOyz với phương trình y 2 + z 2 = 1, z ≥ 0 . Ai −1Ai ta lấy điểm M i (x i , yi ) tùy ý.
Biết hàm mật độ khối lượng ρ(x , y, z ) = 2z .
Tìm khối lượng và trọng tâm của dây thép. Chiếu F (M i ), Ai −1Ai lần lượt lên trục Ox , Oy ta được:
………………………………………………………………




Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t
Ch 3. ng Ch 3. ng
2.2. Định nghĩa (tích phân đường theo tọa độ)
F (M i ) = P (M i ).i + Q(M i ).j
• Cho hai hàm số P(x , y ), Q(x , y ) xác định trên đường
và Ai −1Ai = ∆xi .i + ∆yi .j .
cong L . Chia L như bài toán mở đầu. Khi đó:
n
I n = ∑ P (M i )∆xi + Q(M i )∆yi  được gọi là tổng tích
Khi đó, công W sinh ra là:
i =1
n n
W ≈ ∑Wi = ∑ F (M i )Ai−1Ai phân đường loại 2 của P(x , y ), Q(x , y ) trên L .
i =1 i =1
lim I n tồn tại hữu hạn được gọi là
• Giới hạn
n
=∑ P(M i )∆xi + Q(M i )∆yi . max Ai −1Ai →0
i =1 tích phân đường loại 2 của P(x , y ), Q(x , y ) trên L .
n
∑ P(M i )∆xi + Q(M i )∆yi  .
Vậy W = lim
∫ P(x , y )dx + Q(x, y )dy.
Ký hiệu là:
max A A → 0 i =1
i −1 i
L




Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t
Ch 3. ng Ch 3. ng
Tích phân đường loại 2 phụ thuộc vào chiều của L .
• Định nghĩa tương tự trong không gian Oxyz :
Do đó, khi viết tích phân ta cần ghi rõ điểm đầu và cuối:
∫ P(x, y, z )dx + Q(x , y, z )dy + R(x, y, z )dz . ∫ P (x, y)dx + Q(x, y )dy = −∫ P(x , y )dx + Q(x, y )dy.
L
AB BA
Nhận xét • Định lý
Nếu hai hàm số P (x , y ), Q(x , y ) liên tục trong miền mở
Tích phân đường loại 2 có tất cả các tính chất như tích
phân xác định. chứa đường cong L trơn từng khúc thì tồn tại tích phân
đường loại 2 của P(x , y ), Q(x , y ) dọc theo L .
Từ định nghĩa tổng tích phân, ta có thể viết:
∫ P (x, y)dx + Q(x, y )dy = ∫ P(x, y )dx + ∫ Q(x, y )dy. Chú ý
Nếu L là đường cong phẳng và kín lấy theo chiều dương
AB AB AB
thì ta dùng ký hiệu: ∫ P (x , y )dx + Q(x , y )dy.
L




Toán cao c p A3 Đ i h c 22
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 26, 2011
dvntailieu.wordpress.com



Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t
Ch 3. ng Ch 3. ng
2.3. PHƯƠNG PHÁP TÍNH b) Đường cong L có phương trình tổng quát
a) Đường cong L có phương trình tham số Xét đường cong L chứa cung AB .
Xét đường cong L chứa cung AB .
• Nếu L có phương trình y = y(x ) thì:
• Nếu L có phương trình x = x (t ), y = y(t ) thì:
xB

∫ Pdx + Qdy = ∫ P (x, y(x )) + Q(x , y(x )).yx′  dx .
tB

Pdx + Qdy = ∫ P (x (t ), y(t ))xt′ + Q(x (t ), y(t ))yt′  dt.
∫ xA
AB
tA
AB
• Nếu L có phương trình x = x (y ) thì:
• Nếu L có phương trình x = x (t ), y = y(t ), z = z (t ) thì:
yB
tB

∫ Pdx + Qdy = ∫ P(x (y ), y).xy′ + Q(x (y ), y ) dy.
∫ Pdx + Qdy + Rdz = ∫ (P.xt′ + Q.yt′ + R.zt′ )dt. yA
AB
tA
AB




Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t
Ch 3. ng Ch 3. ng

∫ dx + xdy . Trong đó AB có
VD 1. Tính tích phân I =
Đặc biệt
• Nếu L có phương trình y = α ∈ ℝ thì: AB
phương trình x = 2t 2 , y = 2 − 3t với A(0; 2) và B(2; 5).
xB

∫ ∫ P(x, α)dx .
P (x , y )dx + Q(x , y )dy =
∫ 2xdx − dy . Trong đó, L là
VD 2. Tính tích phân I =
xA
AB L
x2 y2
+ = 1 lấy theo chiều dương.
• Nếu L có phương trình x = α ∈ ℝ thì: elip
a2 b2
yB
∫ (x − y )dx + (x + y )dy , với
VD 3. Tính tích phân I =
∫ P (x , y )dx + Q(x , y )dy = ∫ Q(α, y )dy.
L
yA
L là đường nối điểm O(0; 0) với điểm A(1; 1) trong các
AB

trường hợp:




Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t
Ch 3. ng Ch 3. ng
2.4. Công thức Green (liên hệ với tích phân kép)
1) L là đường thẳng y = x ;
a) Xác định chiều trên biên
2) L là đường cong y = x 2 .
của miền đa liên
Đường cong L được gọi là
∫ dx + 4xydy , với
VD 4. Tính tích phân I = B A có
Jordan nếu nó không tự cắt.
BA
Cho miền D là miền đa liên,
phương trình y = x và điểm A(1; 1), B(4; 2).
liên thông, bị chặn có biên
∂D Jordan kín trơn từng
∫ dx − ydy + dz .
VD 5. Tính tích phân I = khúc.
Chiều dương của ∂D là chiều
L
Trong đó, L là đường cong trong Oxyz có phương trình: mà khi di chuyển dọc theo
x = cos t , y = sin t , z = 2t biên ta thấy miền D nằm về
nối từ điểm A(0; 1; π) đến B(1; 0; 0). phía bên tay trái.




Toán cao c p A3 Đ i h c 23
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 26, 2011
dvntailieu.wordpress.com



Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t
Ch 3. ng Ch 3. ng
x2 y2
b) Công thức Green
+ ≤ 1.
VD 6. Tính diện tích hình elip
Cho miền D (xác định như mục a). a2 b2
Nếu P(x , y ), Q(x , y ) và các đạo hàm riêng liên tục trên
VD 7. Tính diện tích hình tròn x 2 + y 2 − 2y ≤ 0 .
miền mở chứa D thì:

∫ P(x , y )dx + Q(x, y )dy = ∫∫ (Qx′ − Py′)dxdy.
VD 8. Tính tích phân:
I = ∫ (x arctan x + y 2 )dx + (x + 2xy + y 2e −y )dy .
∂D D
C
Trong đó, C là đường tròn x 2 + y 2 − 2y = 0 .
Hệ quả
Diện tích của miền D được tính theo công thức: xdy − ydx

VD 9. Tính I = trong các trường hợp:
x 2 + y2
1 1
∫ ∫r
2
S (D ) = xdy − ydx hay S (D ) = (ϕ)d ϕ. L
2 2 1) L là đường cong kín không bao quanh gốc tọa độ O ;
∂D ∂D
2) L là đường cong kín bao quanh gốc tọa độ O .




Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t
Ch 3. ng Ch 3. ng
Giải Khi đó, phương trình tham số của L là:
−y x = r (ϕ)cos ϕ, y = r (ϕ)sin ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ 2π .
x
,Q =
1) Do P = và các đạo hàm riêng
dx = x ′dr + x ′ d ϕ = cos ϕdr − r sin ϕd ϕ

x 2 + y2
x + y2
2
Do  ϕ
r
 nên:
′ ′
dy = yrdr + y ϕd ϕ = sin ϕdr + r cos ϕd ϕ
liên tục trên ℝ2 \ {(0; 0)} nên áp dụng Green, ta có: 

xdy − ydx
( ) xdy − ydx = r 2 cos2 ϕd ϕ + r 2 sin2 ϕd ϕ = r 2d ϕ
∫ = ∫∫ Qx − Py′ dxdy = 0 .

I=
x 2 + y2 xdy − ydx
⇒I =∫
L D
2 2
L x +y
−y x
2) Hàm P = và Q = 2π
không liên tục tại
r 2d ϕ
2 2
x + y2 2
x +y =∫ = 2π .
r2
O(0; 0) nên ta không áp dụng được công thức Green. 0
Giả sử L có phương trình trong tọa độ cực là r = r (ϕ).
Cách khác




Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t
Ch 3. ng Ch 3. ng

∫ P (x, y )dx + Q(x , y )dy, AB ⊂ D , chỉ phụ
2.5. Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc 3) Tích phân
vào đường lấy tích phân
AB
a) Định lý thuộc vào hai đầu mút A, B mà không phụ thuộc vào
Giả sử các hàm số P , Q và các đạo hàm riêng cấp một đường nối giữa A với B .
4) Biểu thức P(x , y )dx + Q(x , y )dy là vi phân toàn phần
của chúng liên tục trong miền mở đơn liên D .
của hàm u(x , y ) nào đó trong miền D . Nghĩa là:
Khi đó, bốn mệnh đề sau tương đương:
∃u(x , y ) : du(x , y ) = P (x , y )dx + Q(x , y )dy .
1) Py′ = Qx , ∀(x , y ) ∈ D .
′ b) Hệ quả
Nếu P(x , y )dx + Q(x , y )dy là vi phân toàn phần của hàm
∫ P(x, y )dx + Q(x , y )dy = 0 dọc theo mọi đường
2) u(x , y ) nào đó trong miền mở đơn liên D thì:
∫ P(x, y )dx + Q(x, y )dy = u(B) − u(A).
L
cong kín L nằm trong D .
AB




Toán cao c p A3 Đ i h c 24
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 26, 2011
dvntailieu.wordpress.com



Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t
Ch 3. ng Ch 3. ng
x −y x +y
∫ x 2 + y 2 dx + x 2 + y 2 dy . Biết L là
VD 10. Tích phân đường nào sau đây không phụ thuộc VD 11. Tính I =
vào các đường trơn từng khúc nối hai điểm A, B ?
L
đường trơn từng khúc nối điểm A(−1; −1) và B(−2; −2)
∫ (4xy 3 + 2x )dx + (y 4 + 2y − x )dy .
A. I =
nằm trong miền D không chứa gốc tọa độ O .
AB

∫ (4xy
3
+ 2x − 1)dx + (y 4 + 6x 2y 2 − 1)dy .
B. I = VD 12. Cho biết hàm u(x , y ) = xe y − ye x + 2x + 1 có vi
phân toàn phần: du = (e y − ye x + 2)dx + (xe y − e x )dy .
AB

∫ (4xy
3 4
C. I = + 2x )dx − (y + 2y − x )dy . (1; 0)

∫ (e y − ye x + 2)dx + (xe y − e x )dy ?
Hãy tính I =
AB

∫ (4xy
3
+ 2x − 1)dx − (y 4 + 6x 2y 2 − 1)dy .
D. I = (1; 1)
(5; 12)
xdx + ydy
AB

VD 13. Tính tích phân I = .
x 2 + y2
(3; 4)




Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t
Ch 3. ng Ch 3. ng
§3. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I
Chú ý
Giả sử hai hàm số P, Q thỏa định lý. Khi tính tích phân 3.1. Định nghĩa
(x 2 ; y2 )
• Cho hàm số f (x , y, z ) xác định trên mặt S . Chia mặt S

I= Pdx + Qdy , người ta một cách tùy ý thành n phần không dẫm lên nhau, diện
tích mỗi phần là ∆Si (i = 1, 2,..., n ). Trong mỗi ∆Si ta
(x1 ; y1 )
n
lấy điểm M i và lập tổng tích phân I n = ∑ f (M i )∆Si .
thường tính theo đường
gấp khúc song song với i =1
các trục tọa độ. n
∑ f (M i )∆Si
• Nếu giới hạn I = lim tồn tại hữu
(3; 2)
(x + 2y )dx + ydy max d (∆Si )→0
∫ i =1
VD 14. Tính tích phân I = theo
hạn, không phụ thuộc vào cách chia S và cách chọn
(x + y )2
(1; 1)
điểm M i thì số thực I được gọi là tích phân mặt loại 1
một đường trơn từng khúc không cắt (d ) : x + y = 0 .
của hàm f (x , y, z ) trên S .
…………………………………………………………….




Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t
Ch 3. ng Ch 3. ng
b) Chiếu S lên mpOxz
∫∫ f (x, y, z )dS .
Ký hiệu là: I = Nếu S có phương trình y = y(x , z ) và S có hình chiếu
trên mpOxz là D thì:
S

f (x , y (x , z ), z ) 1 + (y x ) + (y z ) dxdz .
2 2
∫∫ ′ ′
I=
3.2. PHƯƠNG PHÁP TÍNH D
c) Chiếu S lên mpOyz
a) Chiếu S lên mpOxy
Nếu S có phương trình x = x (y, z ) và S có hình chiếu
Nếu S có phương trình z = z(x , y ) và S có hình chiếu trên mpOyz là D thì:
trên mpOxy là D thì:
( ) + (x z′ )
2 2
∫∫ ′
I= f (x (y, z ), y, z ) 1 + x y dydz .
()
2
1 + (z x ) + z y
2
∫∫ f (x, y, z (x, y )) ′ ′ D
I= dxdy.
Chú ý
D
Nếu hình chiếu của S trên mặt phẳng tọa độ nào đó chỉ
là một đường cong thì phải chiếu S lên mặt phẳng khác.




Toán cao c p A3 Đ i h c 25
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 26, 2011
dvntailieu.wordpress.com



Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t
Ch 3. ng Ch 3. ng

∫∫ (x
2 2
VD 1. Tính tích phân I = + y )dS .
S
Trong đó S là phần mặt nón z 2 = x 2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ 1 .




∫∫ xyzdS .
VD 3. Tính tích phân I =
S
Trong đó S là 6 mặt của
hình hộp chữ nhật
∫∫ zdS , trong đó S là phần
VD 2. Tính tích phân I =
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 ,
S
0 ≤ z ≤ 3.
mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 4 với x ≥ 0 , y ≥ 0 .




Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t
Ch 3. ng Ch 3. ng
3.3. Ứng dụng của tích phân mặt loại 1 §4. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II
∫∫ dS . 4.1. Các định nghĩa
Diện tích mặt S là
4.1.1. Mặt định hướng
S
Cho mặt S có biên là đường cong kín C .
Khối lượng của mặt S có hàm mật độ ρ(x , y, z ) là
• Di chuyển pháp vector của S từ điểm M ∈ S theo một
∫∫ ρ(x, y, z )dS .
m= đường cong tùy ý (không cắt C ). Nếu khi quay trở lại
điểm M mà pháp vector không đổi chiều thì S được gọi
S
Khi đó, tọa độ trọng tâm G của mặt S là: là mặt hai phía; nếu pháp vector đổi chiều thì S được
1 1 gọi là mặt một phía.
xG = ∫∫ x ρ(x , y, z )dS , yG = ∫∫ y ρ(x , y, z )dS ,
mS mS
1
zG = ∫∫ z ρ(x , y, z )dS .
mS
………………………………………………………………….




Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t
Ch 3. ng Ch 3. ng
z
• Khi mặt S không kín, ta gọi • Nếu mặt S được ghép bởi hữu hạn mặt trơn (với biên
phía trên là phía mà pháp giữa các mặt đó là các đường cong) thì S được gọi là
n
vector lập với tia Oz góc nhọn, mặt trơn từng mảnh.
S
ngược lại là phía dưới.
M. 4.1.3. Tích phân mặt loại 2
• Khi mặt S kín, ta gọi phía trong
• Cho 3 hàm số P (x , y, z ), Q(x , y, z ), R(x , y, z ) xác định
và phía ngoài.
C
• Hướng dương của biên C là trên mặt định hướng trơn từng mảnh S .
hướng ngược chiều kim đồng hồ • Gọi α, β, γ lần lượt là góc hợp bởi pháp vector đơn vị
n
khi nhìn từ ngọn của pháp vector. n n = (cos α; cos β; cos γ ) với các tia Ox , Oy, Oz .
C
4.1.2. Mặt trơn • Khi đó, tích phân mặt loại một:
• Mặt S được gọi là mặt trơn
I = ∫∫ (P cos α + Q cos β + R cos γ )dS
nếu pháp vector xác định tại
mọi điểm M ∈ S (có thể trừ S
S được gọi là tích phân mặt loại 2 của P, Q, R trên mặt S .
biên C ) biến đổi liên tục khi M chạy trên S .




Toán cao c p A3 Đ i h c 26
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 26, 2011
dvntailieu.wordpress.com



Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t
Ch 3. ng Ch 3. ng
Ký hiệu là: VD 1. Tìm pháp vector đơn vị của mặt nón
( )
∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy.
I= z = x 2 + y 2 tại điểm M 1; 3; 2 .
S
Biết mặt nón được định hướng phía dưới nhìn theo
Chú ý
hướng của trục Oz .
Nếu đổi hướng của mặt S thì tích phân đổi dấu.
Nếu mặt S kín, hướng lấy tích phân ra phía ngoài S ,
4.2. Phương pháp tính tích phân mặt loại 2
thì tích phân được ký hiệu là:
4.2.1. Đưa về tích phân mặt loại 1
I = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy.
Nếu mặt S có pháp vector đơn vị là n = (a; b; c) thì:
S
Nếu mặt S có phương trình F (x , y, z ) = 0 thì: ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
1 S
(Fx′; Fy′; Fz′).
n= = ∫∫ (P .a + Q.b + R.c)dS .
(Fx′) + (Fy′)2 + (Fz′)2
2
S




Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t
Ch 3. ng Ch 3. ng

∫∫ dydz + dzdx + dxdy .
VD 2. Tính tích phân I = 4.2.2. Đưa về tích phân kép
Khi tính tích phân I = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy ,
S
Trong đó, S là tam giác giao của mặt phẳng S
x + y + z = 1 với 3 mặt phẳng tọa độ (lấy phía trên). người ta thường tách riêng thành 3 tích phân:
I = ∫∫ Pdydz + ∫∫ Qdzdx + ∫∫ Rdxdy.
S S S


Nếu mặt S có hình chiếu đơn trị lên Oxy là miền Dxy
và S có phương trình z = z (x , y ) thì:
∫∫ R(x, y, z )dxdy = ±∫∫ R(x, y, z (x, y ))dxdy.
S Dxy

(dấu “+” hay “–” tùy thuộc vào S ở phía trên hay dưới).




Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t
Ch 3. ng Ch 3. ng
Chú ý
Nếu mặt S có hình chiếu đơn trị lên Oxz là miền Dxz
Nếu hình chiếu của S xuống mặt phẳng tọa độ nào đó
và S có phương trình y = y(x , z ) thì:
chỉ là một đường cong thì tích phân tương ứng bằng 0.
∫∫ Q(x, y, z )dzdx = ±∫∫ Q(x, y(x, z ), z )dzdx .
∫∫ zdxdy ,
VD 3. Tính tích phân I =
S Dxz

(dấu “+” khi S hướng về phía ngọn của tia Oy ). S
với S là phía ngoài của mặt cầu:
Nếu mặt S có hình chiếu đơn trị lên Oyz là miền Dyz x 2 + y 2 + z 2 = R2 .
và S có phương trình x = x (y, z ) thì:
∫∫ P(x, y, z )dydz = ±∫∫ P(x (y, z ), y, z )dydz .
S Dyz

(dấu “+” khi S hướng về phía ngọn của tia Ox ).




Toán cao c p A3 Đ i h c 27
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 26, 2011
dvntailieu.wordpress.com



Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t
Ch 3. ng Ch 3. ng
4.3. Công thức Gauss – Ostrogradski 4.4. Công thức Stokes
(mối liên hệ giữa tích phân mặt và bội ba) (mối liên hệ giữa tích phân đường và mặt loại 2)
Cho S là mặt định hướng, trơn từng mảnh có biên ∂S
Cho V là một khối bị chặn với biên S kín, trơn từng
mảnh hướng ra phía ngoài. Giả sử P, Q, R là các hàm Jordan trơn từng khúc. Giả sử P, Q, R là các hàm số
có đạo hàm riêng liên tục trong miền mở chứa V . có đạo hàm riêng liên tục trong miền mở chứa S .
Khi đó: Khi đó:
( )
∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy ∫ Pdx + Qdy + Rdz = ∫∫ Ry′ − Qz′ dydz
∂S
S S
( ) + ∫∫ (Pz′ − Rx )dzdx
= ∫∫∫ Px′ + Qy + Rz′ dxdydz .
′ ′
V S
( )
+ ∫∫ Qx − Py′ dxdy.

∫∫ x 3dydz + y 3dzdx + z 3dxdy , với S
VD 4. Tính I =
S
S
(Hướng ∂S là hướng dương phù hợp với hướng của S ).
là mặt phía ngoài của mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = R 2 .




Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t
Ch 3. ng Ch 3. ng

∫ ydx + zdy + xdz . Trong đó C là 4.5. Các ví dụ trắc nghiệm tích phân mặt loại 2
VD 5. Tính tích phân

∫∫ dxdy , với S
C
VD 6. Tính tích phân I = là mặt dưới
đường tròn giao của mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = R 2 và mặt
S
phẳng x + y + z = 0 , hướng tích phân trên C là hướng
y2
của mặt x 2 + ≤ 1, z = 2 .
dương khi nhìn từ ngọn của tia Oz .
9
z A. I = −3π; B. I = 3π ;
C. I = −9π ; D. I = 9π .
R
n
OS
y
x C




Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t Chương 3. Tích phân đư ng – Tích phân m t
Ch 3. ng Ch 3. ng

∫∫
VD 7. Tính I =
∫∫ xdydz + 2zdzdx + dxdy với S là
VD 9. Tính I =
zdxdy , với S là mặt trên của mặt
S S
z = 2 được giới hạn bởi x + y ≤ 1, x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 1.
mặt ngoài của mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 − 2z = 0, z ≤ 1.
A. I = 1 ; B. I = 2 ; C. I = 3 ; D. I = 4 .

z3 A. I = − ;
VD 8. Tính tích phân 3
I = ∫∫ 3xdxdy + 2xdydz − ydzdx 2π
B. I = − ;
3
S
với S là mặt biên ngoài của elipsoid π
2
O C. I = ;
y2 z 2 3
: x2 + + ≤ 1. y
1 π
4 9
D. I = − .
x
A. I = 144π ; B. I = 32π ; 3
C. I = 8π ; D. I = 36π . …………………………………………………………………




Toán cao c p A3 Đ i h c 28
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 26, 2011
dvntailieu.wordpress.com



Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân
Ch 4. Ph vi phân Ch 4. Ph vi phân
§1. Khái niệm cơ bản về phương trình vi phân Giải. Giả sử I (x , y ) ∈ (C ), hệ số góc tiếp tuyến tại I là:
§2. Phương trình vi phân cấp 1
PI PI y
§3. Phương trình vi phân cấp cao
y ′(x ) = tan α = − ⇒ y ′(x ) = − (*).
=−
……………………………
PA OP x
§1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ
C
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Nhận thấy hàm y = , C ∈ ℝ thỏa (*).
1.1. Bài toán mở đầu x
6
C
a) Bài toán 1
Thay tọa độ của M vào y = ta được y = .
• Tìm phương trình đường x x
cong (C ) : y = f (x ) đi qua
b) Bài toán 2
điểm M (2; 3) sao cho mọi
Tìm vận tốc nhỏ nhất để khi phóng một vật theo phương
đoạn của tiếp tuyến với (C )
thẳng đứng sao cho vật không rơi trở lại trái đất ? Cho
nằm giữa hai trục tọa độ
biết lực cản của không khí là không đáng kể.
đều bị tiếp điểm chia thành
hai phần bằng nhau ?




Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân
Ch 4. Ph vi phân Ch 4. Ph vi phân
dv M kM
Giải. Gọi khối lượng của trái đất và vật phóng là M , m . (1) ⇔ v = −k . ⇔ vdv = − dr
2
r2
dr r
Khoảng cách từ tâm trái đất đến trọng tâm của vật phóng
v2
kM kM
là r , R là bán kính của trái đất.
∫ vdv = −∫ 2 dr ⇒
⇒ = + C 1 (2).
Theo định luật hấp dẫn Newton, lực hút tác dụng lên vật 2 r
r
Mm
là f = k . Tại thời điểm t = 0 thì r = R và v = v0 nên:
(k là hằng số hấp dẫn).
r2
2 
v 2 kM v2 kM  v0 kM 
Phương trình chuyển động của vật là:  (3).
+ −
(2) ⇒ C 1 = 0 − ⇒ = 
2 R

d 2r d 2r 
2 2
R r
Mm M  
= −k . ⇔ = −k .
m. (1).
dt 2 r2 dt 2 r2 2
v2
v0 2kM
kM
≥ 0 ⇒ v0 ≥
− =
Khi r → +∞ thì .
Mặt khác
2 2 R
R
d 2r dv dv dr dv
= = . =v . Thay các giá trị k , M , R ta được v0 ≈ 11, 2 km / s .
2 dt dr dt dr
dt




Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân
Ch 4. Ph vi phân Ch 4. Ph vi phân
• Nghiệm của (*) trên khoảng D nào đó là hàm y = ϕ(x )
1.2. Khái niệm cơ bản về phương trình vi phân (ptvp)
xác định trên D sao cho khi thay y = ϕ(x ) vào (*) ta
• Phương trình chứa đạo hàm hoặc vi phân của một hoặc
được đồng nhất thức trên D .
vài hàm cần tìm được gọi là phương trình vi phân.
• Phương trình vi phân nếu có nghiệm thì sẽ có vô số
• Cấp cao nhất của đạo hàm có trong phương trình vi nghiệm sai khác nhau một hằng số C .
phân được gọi là cấp của phương trình vi phân đó.
• Giải phương trình vi phân là đi tìm tất cả các nghiệm
của phương trình vi phân đó.
• Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp n là:
• Đồ thị nghiệm y = ϕ(x ) của một phương trình vi phân
F (x , y, y ′,..., y (n ) ) = 0 (*).
được gọi là đường cong tích phân.
Nếu từ (*) ta giải được theo y (n ) thì ptvp có dạng:
Chú ý
y (n ) = f (x , y, y ′,..., y (n −1) ). • Nghiệm của một phương trình vi phân thường được
biểu diễn dưới dạng hàm ẩn.




Toán cao c p A3 Đ i h c 29
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 26, 2011
dvntailieu.wordpress.com



Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân
Ch 4. Ph vi phân Ch 4. Ph vi phân
VD 1. Tìm hàm y = y(x ) thỏa y ′ − x = 0 .
§2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I
Biết đường cong tích phân đi qua điểm M (2; 1).
2.1. Khái niệm cơ bản về phương trình vi phân cấp 1
x2
• Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng
Giải. Ta có: y ′ − x = 0 ⇔ y ′ = x ⇒ y = + C (1).
tổng quát F (x , y, y ′) = 0 (*). Nếu từ (*) ta giải được 2
x2
theo y ′ thì (*) trở thành y ′ = f (x , y ).
Thế M (2; 1) vào (1) ta được C = −1 ⇒ y = − 1.
2
• Nghiệm của (*) có dạng y = y(x ) chứa hằng số C được
VD 2. Tìm nghiệm kỳ dị của ptvp y ′ = 1 − y 2 .
gọi là nghiệm tổng quát. Khi thế điều kiện y 0 = y(x 0 )
cho trước (thường gọi là điều kiện đầu) vào nghiệm Giải. Với điều kiện −1 ≤ y ≤ 1, ta có:
tổng quát ta được giá trị C 0 cụ thể và nghiệm lúc này dy
y′ = 1 − y2 ⇒ = 1 − y2
được gọi là nghiệm riêng của (*). dx
dy
• Nghiệm thu được trực tiếp từ (*) và không thỏa nghiệm
⇒∫ = ∫ dx , −1 < y < 1.
tổng quát được gọi là nghiệm kỳ dị của (*).
1 − y2




Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân
Ch 4. Ph vi phân Ch 4. Ph vi phân
⇒ arcsin y = x + C ⇒ y = sin(x + C ) (2). 2.2. Một số phương trình vi phân cấp 1 cơ bản
Nhận thấy y = ±1 thỏa ptvp nhưng không thỏa (2). 2.2.1. Phương trình vi phân cấp 1 với biến phân ly
Vậy y = ±1 là nghiệm kỳ dị. Phương trình vi phân với biến phân ly có dạng:
f (x )dx + g(y )dy = 0 (1).
Từ đây về sau, ta không xét đến nghiệm kỳ dị.

VD 3. Tìm ptvp của họ đường cong y = Cx 2 . Phương pháp giải
Lấy tích phân hai vế của (1) ta được nghiệm tổng quát:
Giải. Ta có:
∫ f (x )dx + ∫ g(y )dy = C .
y′ y′ 2
y = Cx 2 ⇒ y ′ = 2Cx ⇒ C = ⇒y = x
2x 2x
xdx ydy
2y + = 0.
VD 4. Giải phương trình vi phân
Vậy y ′ = , x ≠ 0. 2
1 + y2
1+x
x




Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân
Ch 4. Ph vi phân Ch 4. Ph vi phân

VD 5. Giải phương trình vi phân y ′ = xy(y + 2). 2.2.2. Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1
a) Hàm đẳng cấp hai biến số
• Hàm hai biến f (x , y ) được gọi là đẳng cấp bậc n nếu
với mọi k > 0 thì f (kx , ky ) = k n f (x , y ).
VD 6. Giải ptvp x 2(y + 1)dx + (x 3 − 1)(y − 1)dy = 0 . Chẳng hạn, hàm số:
x −y
f (x , y ) = là đẳng cấp bậc 0,
2x + 3y
4x 2 + 3xy
f (x , y ) =
1 là đẳng cấp bậc 1,
VD 7. Giải ptvp xy ′ + y = y thỏa điều kiện y(1) = .
2
5x − y
2
f (x , y ) = 3x 2 − 2xy là đẳng cấp bậc 2.




Toán cao c p A3 Đ i h c 30
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 26, 2011
dvntailieu.wordpress.com



Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân
Ch 4. Ph vi phân Ch 4. Ph vi phân
b) Phương trình vi phân đẳng cấp
x 2 − xy + y 2
VD 8. Giải phương trình vi phân y ′ =
• Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 có dạng: .
xy
y ′ = f (x , y ) (2).
x +y
Trong đó, f (x , y ) là hàm số đẳng cấp bậc 0.
VD 9. Giải phương trình vi phân y ′ =
x −y
Phương pháp giải
với điều kiện đầu y(1) = 0 .
y 
Bước 1. Biến đổi (2) ⇔ y ′ = ϕ  .

x 
 
y
Bước 2. Đặt u = ⇒ y ′ = u + xu ′ . VD 10. Giải phương trình vi phân:
x y y
xy ′ ln = y ln + x (x , y > 0).
du dx
Bước 3. (2) ⇒ u + xu ′ = ϕ(u ) ⇒ = x x
ϕ(u ) − u x
( ϕ(u ) − u ≠ 0 ≠ x ) (đây là ptvp có biến phân ly).




Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân
Ch 4. Ph vi phân Ch 4. Ph vi phân
2.2.3. Phương trình vi phân toàn phần Phương pháp giải
• Cho hai hàm số P (x , y ), Q(x , y ) và các đạo hàm riêng ′ ′
Bước 1. Từ (3) ta có ux = P (3a) và uy = Q (3b).
của chúng liên tục trong miền mở D , thỏa điều kiện
Qx = Py′, ∀(x , y ) ∈ D . Nếu tồn tại hàm u(x , y ) sao cho
′ Bước 2. Lấy tích phân (3a) theo biến x ta được:
u(x , y ) = ∫ P (x , y )dx = ϕ(x , y ) + C (y ) (3c).
du(x , y ) = P (x , y )dx + Q(x , y )dy
thì phương trình vi phân có dạng: Trong đó, C (y ) là hàm theo biến y .
P (x , y )dx + Q(x , y )dy = 0 (3)
Bước 3. Đạo hàm (3c) theo biến y ta được:
được gọi là phương trình vi phân toàn phần.
uy = ϕy + C ′(y ) (3d).
′ ′
• Nghiệm tổng quát của (3) là u(x , y ) = C .
Bước 4. So sánh (3b) và (3d) ta tìm được C (y ).
Nhận xét
′ ′ Thay C (y ) vào (3c) ta được u(x , y ).
ux (x, y ) = P (x , y ), uy (x, y ) = Q(x, y ).




Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân
Ch 4. Ph vi phân Ch 4. Ph vi phân
2.2.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
VD 11. Cho phương trình vi phân:
• Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng:
(3y 2 + 2xy + 2x )dx + (x 2 + 6xy + 3)dy = 0 (*). y ′ + p(x )y = q(x ) (4).
1) Chứng tỏ (*) là phương trình vi phân toàn phần.
• Khi q(x ) = 0 thì (4) được gọi là phương trình vi phân
2) Giải phương trình (*).
tuyến tính cấp 1 thuần nhất.
Phương pháp giải
VD 12. Giải ptvp (x + y − 1)dx + (ey + x )dy = 0 .
(phương pháp biến thiên hằng số Lagrange)

Bước 1. Tìm biểu thức A(x ) = e ∫
− p(x )dx
.
VD 13. Giải phương trình vi phân: ∫ p(x )dxdx .
∫ q(x ).e
Bước 2. Tìm biểu thức B(x ) =
[(x + y + 1)e x + e y ]dx + (e x + xe y )dy = 0 .
Bước 3. Nghiệm tổng quát là y = A(x ) B(x ) + C  .




Toán cao c p A3 Đ i h c 31
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 26, 2011
dvntailieu.wordpress.com



Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân
Ch 4. Ph vi phân Ch 4. Ph vi phân

q(x ).e ∫
q(x )
p(x )dx
∫ ∫
Nhận xét. B(x ) = dx = VD 15. Giải phương trình vi phân y ′ − x 2y = 0
dx .
A(x )
= −e 9 .
Chú ý thỏa điều kiện đầu y
x =3
• Khi tính các tích phân trên, ta chọn hằng số là 0.
• Phương pháp biến thiên hằng số là đi tìm nghiệm
−∫ p(x )dx
tổng quát của (4) dưới dạng: y = C (x )e .
VD 16. Giải phương trình y ′ + y cos x = e − sin x .
VD 14. Trong phương pháp biến thiên hằng số, ta đi tìm
y
nghiệm tổng quát của y ′ + 2 = 4x ln x dưới dạng:
x
C (x ) C (x )
A. y = B. y =
; ; VD 17. Giải phương trình y ′ − 2y tan 2x = sin 4x .
2
x3
x
C (x ) C (x )
C. y = D. y = −
; .
x x




Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân
Ch 4. Ph vi phân Ch 4. Ph vi phân
2.2.5. Phương trình vi phân Bernoulli Bước 2. Đặt z = y 1−α ⇒ z ′ = (1 − α)y ′y −α , ta được:
• Phương trình vi phân Bernoulli có dạng: (5) ⇒ z ′ + (1 − α )p(x )z = (1 − α )q(x )
y ′ + p(x )y = q(x )y α (5). (đây là phương trình tuyến tính cấp 1).

• Khi α = 0 hoặc α = 1 thì (5) là tuyến tính cấp 1.
• Khi p(x ) = q(x ) = 1 thì (5) là pt có biến phân ly. y
VD 18. Giải phương trình vi phân y ′ + = xy 2
x
Phương pháp giải (với α khác 0 và 1)
với điều kiện đầu x = 1, y = 1 .
Bước 1. Với y ≠ 0 , ta chia hai vế cho y α :
y′ y
(5) ⇒ + p(x ) = q(x ) VD 19. Giải phương trình vi phân y ′ − 2xy = x 3y 4 .
α

y
⇒ y ′y −α + p(x )y 1−α = q(x ). ……………………………………………………………………




Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân
Ch 4. Ph vi phân Ch 4. Ph vi phân
7 3
§3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO
VD 2. Giải ptvp y ′′ = e 2x với y(0) = − , y ′(0) = .
4 2
3.1. Các dạng phương trình vi phân cấp 2 khuyết
3.1.2. Phương trình khuyết y
3.1.1. Phương trình khuyết y và y’
• Phương trình vi phân khuyết y và y ′ có dạng: • Phương trình vi phân khuyết y có dạng:
y ′′ = f (x , y ′) (2).
y ′′ = f (x ) (1).
Phương pháp giải
Phương pháp giải
• Đặt z = y ′ đưa (2) về phương trình tuyến tính cấp 1.
• Lấy tích phân hai vế (1) hai lần:
y′
y ′′ = f (x ) ⇒ y ′ = ∫ f (x )dx = ϕ(x ) + C 1 VD 3. Giải phương trình vi phân y ′′ = x − .
x
∫ ϕ(x )dx + C1x = ψ(x ) + C1x + C 2 .
⇒y = y′
VD 4. Giải pt vi phân y ′′ − − x (x − 1) = 0
x −1
VD 1. Giải phương trình vi phân y ′′ = x 2 .
với điều kiện y(2) = 1, y ′(2) = −1.




Toán cao c p A3 Đ i h c 32
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 26, 2011
dvntailieu.wordpress.com



Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân
Ch 4. Ph vi phân Ch 4. Ph vi phân
3.1.3. Phương trình khuyết x 3.2. Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính
với hệ số hằng
• Phương trình vi phân khuyết x có dạng:
y ′′ = f (y, y ′) (3). 3.2.1. Phương trình thuần nhất
• Phương trình thuần nhất có dạng:
Phương pháp giải
y ′′ + a1y ′ + a2y = 0, (a1 , a 2 ∈ ℝ ) (4).
dz dz dy dz
• Đặt z = y ′ ta có: y ′′ = z ′ = = =z .
.
dx dy dx dy Phương pháp giải. Xét phương trình đặc trưng của (4):
• Khi đó, (3) trở thành ptvp với biến số phân ly.
k 2 + a1k + a 2 = 0 (5).
VD 5. Giải phương trình vi phân (1 − y )y ′′ + 2(y ′)2 = 0 .
Trường hợp 1
VD 6. Giải phương trình vi phân y ′′ + 2y ′(1 − 2y ) = 0 Phương trình (5) có hai nghiệm thực phân biệt k1 , k2 .
1 k1x k2x
Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng y1 = e , y2 = e
với điều kiện y(0) = 0, y ′(0) = .
2 k1x k 2x
VD 7. Giải phương trình vi phân 2yy ′′ = (y ′) + 1 . và nghiệm tổng quát là y = C 1e + C 2e
2
.




Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân
Ch 4. Ph vi phân Ch 4. Ph vi phân
Trường hợp 2
VD 8. Giải phương trình vi phân y ′′ + 2y ′ − 3y = 0 .
Phương trình (5) có nghiệm kép thực k .
Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng y1 = e kx , y2 = xe kx
VD 9. Giải phương trình vi phân y ′′ − 6y ′ + 9y = 0 .
và nghiệm tổng quát là y = C 1e + C 2xe .
kx kx


VD 10. Giải phương trình vi phân y ′′ + 16y = 0 .
Trường hợp 3
Phương trình (5) có hai nghiệm phức liên hợp
k = α ± iβ. VD 11. Giải phương trình vi phân y ′′ + 2y ′ + 7y = 0 .
Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng:
y1 = e αx cos βx , y2 = e αx sin βx
VD 12. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình:
và nghiệm tổng quát là:
y ′′ − y ′ + y = 0 .
y = e αx (C 1 cos βx + C 2 sin βx ) .




Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân
Ch 4. Ph vi phân Ch 4. Ph vi phân
VD 13. Giải phương trình vi phân y ′′ − 2y ′ + y = x (a).
3.2.2. Phương trình không thuần nhất
Giải. Xét phương trình thuần nhất:
• Phương trình không thuần nhất có dạng:
y ′′ − 2y ′ + y = 0 (b).
y ′′ + a1y ′ + a2y = f (x ), (a1, a2 ∈ ℝ ) (6).
Ta có: k 2 − 2k + 1 = 0 ⇔ k = 1
a) Phương pháp giải tổng quát
⇒ y1 = e x , y2 = xe x là 2 nghiệm riêng của (b).
• Nếu (4) có hai nghiệm riêng y1(x ), y2 (x ) thì (6) có
Suy ra, nghiệm tổng quát của (a) có dạng:
nghiệm tổng quát là y = C 1(x )y1(x ) + C 2 (x )y2 (x ).
y = C 1(x ).e x + C 2 (x ).xe x .
• Để tìm C 1(x ) và C 2 (x ), ta giải hệ Wronsky: Ta có hệ Wronsky:
C ′(x )y (x ) + C ′(x )y (x ) = 0 e x .C ′(x ) + xe x .C ′ (x )
1  =0
 
1 2 2
′ 1 2
x
′ ′ ′
C 1(x )y1(x ) + C 2 (x )y2 (x ) = f (x ). e .C ′(x ) + (x + 1)e .C ′ (x ) = x
x

 

 1 2




Toán cao c p A3 Đ i h c 33
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 26, 2011
dvntailieu.wordpress.com



Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân
Ch 4. Ph vi phân Ch 4. Ph vi phân
b) CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐẶC BIỆT
Giải hệ bằng định thức Crammer, ta được:
′ Phương pháp cộng nghiệm
 2 −x
C 1(x ) = −x e • Định lý

C ′ (x ) = xe−x
2 Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất


(6) bằng tổng nghiệm tổng quát của phương trình thuần
nhất (4) với 1 nghiệm riêng của (6).

 −x 2
C 1(x ) = ∫ C 1(x )dx = e (x + 2x + 2) + C 1

⇒
VD 14. Cho phương trình vi phân:

C (x ) = C ′ (x )dx = −e −x (x + 1) + C .
∫2 y ′′ − 2y ′ + 2y = (2 + x 2 )e x (*).
2

 2
1) Chứng tỏ (*) có 1 nghiệm riêng là y = x 2e x .
2) Tìm nghiệm tổng quát của (*).
Vậy phương trình (a) có nghiệm tổng quát là:
y = C 1e x + C 2xe x + x + 2 . VD 15. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân:
y ′′ + y ′ = 2 sin 2x + 4 cos 2x ,
biết 1 nghiệm riêng là y = − cos 2x .




Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân
Ch 4. Ph vi phân Ch 4. Ph vi phân
Phương pháp chồng chất nghiệm Phương pháp tìm nghiệm riêng của phương trình
• Định lý vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng
Cho phương trình y ′′ + a1y ′ + a2y = f1(x ) + f2 (x ) (7).
Xét phương trình y ′′ + a1y ′ + a2y = f (x ) (6)
Nếu y1(x ) và y2 (x ) lần lượt là nghiệm riêng của
và y ′′ + a1y ′ + a2y = 0 (4).
y ′′ + a1y ′ + a2y = f1(x ), y ′′ + a1y ′ + a2y = f2 (x )
• Trường hợp 1: f(x) có dạng eαxPn(x)
thì nghiệm riêng của (7) là:
y = y1(x ) + y2 (x ). ( Pn (x ) là đa thức bậc n ).

Bước 1. Nghiệm riêng của (6) có dạng:
VD 16. Tìm nghiệm tổng quát của y ′′ − y ′ = 2 cos2 x (*).
Cho biết y ′′ − y ′ = 1 và y ′′ − y ′ = cos 2x lần lượt có y = x m .e αxQn (x )
2 1
nghiệm riêng y1 = −x , y2 = − cos 2x − sin 2x . (Qn (x ) là đa thức đầy đủ bậc n ).
10 10




Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân
Ch 4. Ph vi phân Ch 4. Ph vi phân
Giải. Ta có f (x ) = e 3x (x 2 + 1), α = 3, P2 (x ) = x 2 + 1.
Bước 2. Xác định m :
1) Nếu α không là nghiệm của phương trình đặc trưng
Suy ra nghiệm riêng có dạng:
của (4) thì m = 0 .
y = x me 3x (Ax 2 + Bx + C ) .
2) Nếu α là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng
của (4) thì m = 1. Do α = 3 là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng
3) Nếu α là nghiệm kép của phương trình đặc trưng k 2 − 2k − 3 = 0 nên m = 1.
của (4) thì m = 2 .
Suy ra nghiệm riêng có dạng y = xe 3x (Ax 2 + Bx + C ).
Bước 3. Thế y = x m .e αxQn (x ) vào (6) và đồng nhất thức
Thế y = xe 3x (Ax 2 + Bx + C ) vào phương trình đã cho,
ta được nghiệm riêng cần tìm.
đồng nhất thức ta được:
VD 17. Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân: 1 1 9
A= , B =− ,C = .
y ′′ − 2y ′ − 3y = e 3x (x 2 + 1). 12 16 32




Toán cao c p A3 Đ i h c 34
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 26, 2011
dvntailieu.wordpress.com



Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân
Ch 4. Ph vi phân Ch 4. Ph vi phân
1 9
1 Bước 2. Xác định s :
Vậy nghiệm riêng là y = xe 3x  x 2 − x + .

32 
12 1) Nếu α ± i β không là nghiệm của phương trình đặc

 
16
trưng của (4) thì s = 0 .
2) Nếu α ± i β là nghiệm của phương trình đặc trưng
VD 18. Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình vi phân:
y ′′ + 2y ′ + y = xe x + 2e −x . của (4) thì s = 1.
Bước 3. Thế y = x se αx [Rk (x )cos βx + H k (x )sin βx ]
• Trường hợp 2 vào (6) và đồng nhất thức ta được nghiệm riêng.
f(x) có dạng eαx[Pn(x)cosβx + Qm(x)sinβx]
VD 19. Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình vi phân:
( Pn (x ) là đa thức bậc n , Qm (x ) là đa thức bậc m ).
y ′′ + 2y ′ − 3y = e x cos x + 3xe x sin x .
Bước 1. Nghiệm riêng có dạng:
Giải. Ta có f (x ) = e x (cos x + 3x sin x )
y = x se αx [Rk (x )cos β x + H k (x ) sin βx ]
⇒ α = 1, β = 1, n = 0, m = 1, k = 1.
( Rk (x ), H k (x ) là đa thức đầy đủ bậc k = max{n, m} ).




Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân
Ch 4. Ph vi phân Ch 4. Ph vi phân
Suy ra nghiệm riêng có dạng: Vậy dạng nghiệm riêng cần tìm là:
y = x se x [(Ax + B )cos x + (Cx + D )sin x ]. y = xe x [(Ax 2 + Bx + C )cos x + (Dx 2 + Ex + F )sin x ].
Do α ± i β = 1 ± i không là nghiệm của phương trình
VD 21. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân:
đặc trưng k 2 + 2k − 3 = 0 nên s = 0 .
y ′′ + y = 3 sin x (*).
Vậy dạng nghiệm riêng là:
y = e x [(Ax + B )cos x + (Cx + D )sin x ].
3.3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO
tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng
VD 20. Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình vi phân:
• Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n có dạng:
y ′′ − 2y ′ + 2y = e x [(x 2 + 1)cos x + x sin x ].
y (n ) +a1y (n −1) +a2y (n −2) +...+an −1y ′+an y = 0 (8).
Giải. Ta có α = 1, β = 1, k = 2 .
Trong đó, ai ∈ ℝ, i = 1, 2,..., n .
1 ± i là nghiệm của k 2 − 2k + 2 = 0 ⇒ s = 1.




Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân
Ch 4. Ph vi phân Ch 4. Ph vi phân
VD 22. Giải phương trình y ′′′ − 2y ′′ − y ′ + 2y = 0 .
• Định lý
Nếu phương trình đặc trưng của (8) Giải. Phương trình đặc trưng:
k n + a1k n −1 + a2k n −2 + ... + an −1k + an = 0 k 3 − 2k 2 − k + 2 = 0 ⇔ k = ±1, k = 2 .
Vậy phương trình có 3 nghiệm riêng:
có n nghiệm thực đơn k1, k2 ,..., kn −1 , kn
y1 = e−x , y2 = e x , y3 = e 2x
thì phương trình (8) có n nghiệm riêng
và nghiệm tổng quát là y = C 1e−x + C 2e x + C 3e 2x .
k1x k 2x kn −1x kn x
y1 = e , y2 = e ,..., yn −1 = e , yn = e

VD 23. Giải phương trình vi phân y (4) − 5y ′′ + 4y = 0 .
và nghiệm tổng quát là:
k1x k2x kn −1x kn x
y = C 1e + C 2e + ... + C n −1e + C ne ………………H t………………
.
Trong đó, C i ∈ ℝ, i = 1, 2,..., n .




Toán cao c p A3 Đ i h c 35
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản