Bài giảng toán II: Giải tích nhiều biến

Chia sẻ: Congtuan Tuan | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:46

0
839
lượt xem
323
download

Bài giảng toán II: Giải tích nhiều biến

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong hầu hết các bài toán của thực tế, đối tượng nghiên cứu thường là các hàm nhiều biến số chứ không chỉ là các hàm một biến như đã được học trong môn TOÁN I .Trong môn học TOÁN II này , chúng ta sẽ nghiên cứu các hàm nhiều biến và đặc biệt là hàm 2 biến để đơn giản cho cách trình bày mà vẫn không giảm tổng quát khi mở rộng cho nhiều hơn 2 biến. Các khái niệm khả vi , liên tục , khả tích … đều có khác hàm 1 biến và đặc biệt là các tích phân 2...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng toán II: Giải tích nhiều biến

  1. BÀI GIẢNG TOÁN II : GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN PGS . TS . NGUYỄN HỮU BẢO Trưởng Bộ môn Toán học, phó trưởng Khoa C N T T Trường ĐẠI HỌC THUỶ LỢI
  2. Trong hầu hết các bài toán của thực tế , đối tượng nghiên cứu thường là các hàm nhiều biến số chứ không chỉ là các hàm một biến như đã được học trong môn TOÁN I .Trong môn học TOÁN II này , chúng ta sẽ nghiên cứu các hàm nhiều biến và đặc biệt là hàm 2 biến để đơn giản cho cách trình bày mà vẫn không giảm tổng quát khi mở rộng cho nhiều hơn 2 biến. Các khái niệm khả vi , liên tục , khả tích … đều có khác hàm 1 biến và đặc biệt là các tích phân 2 hoặc 3 lớp , tích phân đường , tích phân mặt …là các khái niệm hoàn toàn mới so với các kiến thức được học ở trường phổ thông . Các bài toán cực trị hàm nhiều biến cùng với các vấn đề của lý thuyết trường sẽ là các kiến tức cốt lõi cho một kỹ sư trong tương lai
  3. Tuần 1 Chương 1 : KHÔNG GIAN 3 CHIỀU VÀ HÀM 3 BIẾN Hệ toạ độ trong không gian 3 chiều : Không gian R3 đã được học ở chương trình phổ thông . Ký hiệu P=( x,y,z ) để chỉ một điểm P có toạ độ ( x,y,z ) trong không gian này . Hệ 3uuu tơ trực véc r chuẩn i,j,k là một cơ sở đã biết ở phổ thông . Khi đó , véc tơ R= OP sẽ viết dưới dạng: R = x.i + y.j +z.k Các khái niệm tích vô hướng , tích hữu hướng , khoảng cách , độ dài … đều như ở phổ thông đã được học
  4. Ví dụ 1 :Tìm cosin của góc θ giữa A( 1, 2, 2 ) và B(-3, 4, 0 ) Giải : Ta có |A| = 1 + 4 + 4 = 3 , |B| = 5 , A.B = -3+8+0 = 5 do đó A.B cos θ = | A |.| B | = 1/3 Ví dụ 2: Tính diện tích tam giác có uuu là P ( 2,-1,3 ) , Q (1,2,4 ) , R (3,1,1 ) đỉnh r uuur Giải: Hai cạnh của tam giac là A= PQ = -i +3j +k , B = PR = i + 2j – 2k Vì vậy , diện tích của tam giác là độ lớn của véc tơ : A ×B = i j k -1 3 1 = -8i – j – 5k 1 2 −2
  5. tức là = 64 + 1 + 25 = 3 10 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG R 3 Đường thẳng đi qua điểm P0 = ( x0 ,y0 ,z0 ) có 2 dạng : Dạng tham số : x = x0 + at , y = y0 + bt , z = z0 + ct x − x0 y − y0 z − z0 Dạng Đề các : = = a b c Mặt phẳng đi qua điểm P0 với véc tơ pháp tuyến N = ai + bj + ck có dạng : a(x- x0 ) + b(y- y0) + c( z – z0 ) = 0
  6. CÁC MẶT TRỤ VÀ MẶT BẬC 2 TRONG R3 Mặt trụ tròn xoay : Dạng tổng quát F (x,y) = 0 x2 y2 Mặt trụ elliptic tròn xoay có trục oz : 2 + 2 = 1 , a b Mặt trụ Parabolic tròn xoay có trục oz : z = ax2 + bx + c Mặt nón tròn xoay có trục oz : f ( ± x 2 + y 2 ,z ) = 0 x2 y 2 z 2 Mặt ellípoid : 2 + 2 + 2 = 1 a b c x2 y2 z 2 Mặt nón elliptic : 2 + 2 = 2 a b c Mặt elliptic parabolid : z = ax2 + by2
  7. Và nhiều mặt cong khác , xem trong giáo trình Hệ toạ độ trụ và hệ toạ độ cầu trong R3 1.Hệ toạ độ trụ : Mối liên hệ với toạ độ Đề các trong R3 như sau : x = rcos θ , y = rsin θ , z = z , trong đó r = x2 + y2 , tan θ = y / x Ví dụ 1 : Tìm toạ độ trụ của điểm P = ( 3, 3, 7 ) trong R3 Giải: Ta có r = 9 + 9 = 2 3 , tan θ = 1 , z = 7 nên toạ độ trụ của P là ( 2 3 ,2, 5 ) Ví dụ 2 : V ẽ măt cong cho theo toạ độ trụ r( 2cos θ +5sin θ ) +3z = 0
  8. Giải: V ì x = rcos θ và y = rsin θ nên ta có phương trình của mặt cong nói trên trong R3 là 2x + 5y + 3z = 0 , đó là một mặt phẳng đi qua gốc toạ độ và có vec tơ pháp tuyến là ( 2, 5, 3 ) Hệ tọa độ cầu: Mối liên hệ với toạ độ Đề các trong R3 như sau : x = ρ sin ϕ cos θ , y = ρ sin ϕ sin θ , z = ρ cos ϕ , x2 + y 2 trong đó ρ = x + y + z , tan θ = y / x , tan ϕ = 2 2 2 2 z Ví dụ : Tìm phương trình trong tọa độ cầu của hình cầu x2 + y2 + z2 - 2az = 0 ( a>0) Giải: Vì ρ 2 = x2 + y2 + z2 và z = ρ cos ϕ nên phương trình mặt cầu có dạng : ρ 2 - 2a ρ cos ϕ =0 ⇔ ρ ( ρ -2acos ϕ ) = 0 tức là ρ =0 hoặc ρ -2acos ϕ = 0 . Nhưng ρ =0 chỉ là trường hợp riêng của ρ -2acos ϕ = 0 nên ta có thể kết luận là phương trình cần tìm là ρ -2acos ϕ = 0
  9. Chú ý : Đây chính là phương trình của một mặt cầu có bán kính a , tiếp xúc với mặt phẳng xoy tại gốc tọa độ Tuần 2 Đạo hàm riêng của hàm nhiều biến 1. Hàm n biến y = f( x1,x2, …xn ) : là một ánh xạ từ không gian Rn vào R 2. Miền xác định của y = f( x1,x2, …xn ) : T ât c ả c ác điêm trong Rn sao cho x ác định 1 giá tri y thuộc R . Để đơn giản cho cách trình bay mà không làm giảm tổng quát , ta sẽ chi xét hàm 2 biến z = f (x,y) lim f ( x, y ) 3. Giới hạn bội trong R2 : x → x0 đ ược hiểu là giới hạn của hàm 2 y → y0 biến f (x,y ) khi biến điểm (x,y) tiến dần đến điểm ( x0, y0) , tức là x → x0 và y → y0 đồng thời .
  10. 4. Tính liên tục : Hàm 2 biến f(x,y) đuợc gọi là liên tục tại điểm (x0, y0) thuộc miền xác định của nó giá trị của hàm f (x,y) đ ủ gần giá trị f(x0, y0) khi (x,y) đ ủ gần điểm ( x0, y0) Vi dụ : Hàm z = xy liên tục tại mọi điểm (x,y) trong R2 5. Đường mức : Cho một giá trị c bất kỳ , với 1 hàm số z = f(x,y) , phương trình f(x,y) = c cho ta x ác đ ịnh một đường cong trong mặt phẳng xoy . Một đường cong được gọi là đường mức nếu nó nằm trong miền xác định của hàm số và trên đó giá trị của hàm số không thay đổi 6. Mặt mức : Mở rộng khai niệm trên cho hàm 3 biến , mặt mưc là mặt cong trong miền xác định của hàm số f (x,y,z) sao cho trên nó hàm số nhận giá trị không thay đổi 7. Đạo hàm riêng : Cho hàm 2 biến z = f(x,y) . Xét giới hạn
  11. f ( x + ∆x, y ) − f ( x, y ) lim ∆x →0 ∆x nếu tồn tại thì được goi là đạo hàm riêng của hàm z theo biến x và được ký ∂z ∂f hiệu là hoặc zx , , f’x(x,y) . Hoàn toàn tương tự với đạo hàm riêng theo ∂x ∂x biến y ∂f ∂f 8. Đạo hàm riêng cấp 2 và cấp cao hơn 2 : Vì , đều là các hàm 2 ∂x ∂y biến nên ta có thể lấy các đạo hàm riêng của chúng và ta có các đạo hàm riêng ∂ ∂ ∂2 f ∂ ∂ ∂2 f câp 2 : ( ) hoặc ký hiệu là hoặc fxx , ( ) = = fxy ,tương ∂x ∂x ∂x 2 ∂x ∂y ∂x∂y tự ta có fyy và fyx và các đạo hàm riêng cấp cao hơn 2 Ví dụ : Cho f(x,y) = x3e5y + y. sin2x . Tìm các đạo hàm riêng tới cấp 2 của nó Giai: fx = 3x2e5y + 2ycos2x , fy = 5x3e5y + sin2x, fxy= 15x2e5y + 2cos2x , fyx= 15x2e5y + 2cos2x
  12. Chú ý : Nếu tồn tại các đạo hàm riêng cấp hai tồn tại v à li ên t ục trong lân cận điểm (x0,y0) thì trong lân cận này , đạo hàm cấp 2 không phụ thuộc thứ tự lấy đạo hàm 9. Vi phân toàn phần cấp 1 và cấp 2 của hàm 2 biến ∂f ∂f Vi phân toàn phần cấp 1: dz = dx + dy ∂x ∂y ∂2 f ∂2 f ∂2 f Vi phân toàn phần cấp 2: d2z = dz2 +2 dxy + 2 dy2 ∂x 2 ∂x∂y ∂y
  13. Các ví dụ luyện tập: Tuần 3 Đạo hàm hàm hợp , hàm ẩn Quy tắc dây chuyền tính đạo hàm riêng : 1. Giả sử w = f(x) , x= g(t) Khi đó dw dw dx = . dt dx dt 2. Giả sử w = f(x,y) , x = g(t) , y = h(t) Khi đó
  14. dw ∂w dx ∂w dy = . + . dt ∂x dt ∂y dt 3. Giả sử w = f( x,y,z ) , x, y, z là các hàm của một biến t Khi đó dw ∂w dx ∂w dy ∂w dz = . + . + . dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt 4. Giả sử ư = f( x,y,z ) và x,y,z là các hàm 2 biến của t và u Khi đó ∂w ∂w ∂x ∂w ∂y ∂w ∂z = . + . + . ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t ∂w ∂w ∂x ∂w ∂y ∂w ∂z = . + . + . Và khi đó vi phân toàn phần của w là: ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z ∂u
  15. ∂w ∂w ∂w dw = .dx + .dy + .dz ∂x ∂y ∂z Ví dụ ứng dụng : 2 2 dw 1. Cho w = 3x + 2xy – y , trong đó x = cost , y = sint . Tính =? dt dw ∂w dx ∂w dy Giải: Theo công thức = . + . ta có dt ∂x dt ∂y dt dw = ( 6x + 2y)(-sint) + ( 2x – 2y)( cost) = dt = ( 6cost + 2sint )( -sint) +(2cost – 2sint )(cost) = 2cos2t – 4sin2t 2. Cho w = f( x,y ) , trong đó x = r cos θ , y = r sin θ . Chứng minh rằng :
  16. ∂w 2 ∂w 2 ∂w 1 ∂w ( ) + ( ) = ( )2 + 2 ( )2 ∂x ∂y ∂r r ∂θ ∂w ∂w ∂x ∂w ∂y ∂w ∂w ∂x ∂w ∂y Giải: Dựa vào công thức = . + . ; = . + . ∂t ∂x ∂r ∂y ∂r ∂t ∂x ∂θ ∂y ∂θ Ta sẽ có điều phải chứng minh. Hai trường hợp hàm ẩn : 1 . F( x,y ) = 0 ( Không giải ra được y = f(x) ) 2. F ( x,y, z ) = c ( Không giải ra được z = f( x,y ) ) Xét trường hợp 1 Định lý về hàm ẩn : Cho F(x,y) liên tục , có các đạo hàm riêng tong lân cận của điểm (x0,y0) và giả sử F(x0,y0) = c , Fy(x0,y0) ≠ 0 thì tồn tại một hàm ẩn y = f(x) xác định và khả vi trong một lân cận của điểm x0 sao cho y0 = f(x0)thỏa mãn ;
  17. F[x, f(x)] = c . Hơn nữa , cách tính đạo hàm của hàm ẩn này trong lân cận điểm (x0,y0) như sau : dy F =− x dx Fy Ví dụ : Cho hàm ẩn y = f(x) xác định từ F(x,y) = x2y5 – 2xy + 1 = 0 Tim đạo hàm f’(x) Giải: Rõ ràng là hàm F(x,y) xác định tại điểm (1,1) và ta có Fx = 2xy5- 2y , dy 2 y − 2 xy 5 Fy = 5x2y4 – 2x , thỏa mãn định lý hàm ẩn , ta tìm được : = 2 4 dx 5 x y − 2 x Xét trường hợp 2
  18. Ta có định lý tồn tại hàm ẩn tương tự định lý ở trường hợp 1 và giả sử hàm w = ∂F F[ x,y,z ] trong đó z = f (x,y) thỏa mãn điều kiện ≠ 0 Khi đó ∂z ∂F ∂F ∂z ∂z ∂y = − ∂x =− ∂x ∂F ∂y ∂F ∂z ∂z Ví dụ : Cho z là hàm ẩn của 2 biến x và y thỏa mãn x2 z + yz5 + 2xy3 = 13 Tìm các đạo hàm riêng của z theo các biến x và y Giải: Ở đây hàm F (x,y,z) = x2 z + yz5 + 2xy3 . Ta tìm được : ∂F ∂F ∂F ∂z 2 xz + 2 y 3 = 2xz + 2y3 , = x + 5yz . Từ đó , 2 4 = − ∂x = − 2 ∂x ∂z ∂x ∂F x + 5 yz 4 ∂z
  19. Tuần 4 ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG & GRADIENT CỦA HÀM 3 BIẾN
  20. Cho f(x,y,z) là một hàm 3 biến xác định trong 1 miền nào đó cua R3 và P là 1 điểm trong miền này . Tại đó tốc độ biến thiên của hàm f sẽ như thế nào nếu ta di chuyển điểm P theo một hướng nhất định ? Theo hướng dương của các trục Ox, Oy, Oz ,tốc đọ biến thiên của hàm f được xác định bởi các đạo hàm riêng ∂f ∂f ∂f của nó , , . Làm thế nào xác định được tốc độ biến thiên của hàm ∂x ∂y ∂z f nếu P không di chuyển theo hướng các trục tọa độ ? Để trả lời các câu hỏi này , chúng ta sẽ đưa ra 1 khái niệm rất quan trọng : Gradient của một hàm số Gỉa sử điểm P = (x,y,z) và gọi R là véc tơ OP = xi + yj + zk còn Q = ( x+ ∆ x ,y + ∆ y , z + ∆ z ) . Gỉa sử khi Q dần đến P thì f thay đổi 1 lượng là ∆f và khoảng cách ∆s = | ∆R | của P và Q và dần tới 0 . Gọi u là véc tơ đơn vị của PQ . Khi đó

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản