Bài giảng toán II: Giải tích nhiều biến

Chia sẻ: luongcongtuan

Trong hầu hết các bài toán của thực tế, đối tượng nghiên cứu thường là các hàm nhiều biến số chứ không chỉ là các hàm một biến như đã được học trong môn TOÁN I .Trong môn học TOÁN II này , chúng ta sẽ nghiên cứu các hàm nhiều biến và đặc biệt là hàm 2 biến để đơn giản cho cách trình bày mà vẫn không giảm tổng quát khi mở rộng cho nhiều hơn 2 biến. Các khái niệm khả vi , liên tục , khả tích … đều có khác hàm 1 biến và đặc biệt là các tích phân 2...

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Bài giảng toán II: Giải tích nhiều biến

BÀI GIẢNG TOÁN II :

GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN


PGS . TS . NGUYỄN HỮU BẢO
Trưởng Bộ môn Toán học, phó trưởng Khoa C N T T
Trường ĐẠI HỌC THUỶ LỢI
Trong hầu hết các bài toán của thực tế , đối tượng nghiên cứu thường là các
hàm nhiều biến số chứ không chỉ là các hàm một biến như đã được
học trong môn
TOÁN I .Trong môn học TOÁN II này , chúng ta sẽ nghiên cứu các hàm nhiều
biến và đặc biệt là hàm 2 biến để đơn giản cho cách trình bày mà vẫn không
giảm tổng quát khi mở rộng cho nhiều hơn 2 biến. Các khái niệm khả vi , liên
tục , khả tích … đều có khác hàm 1 biến và đặc biệt là các tích phân 2 hoặc 3
lớp , tích phân đường , tích phân mặt …là các khái niệm hoàn toàn mới so với
các kiến thức được học ở trường phổ thông . Các bài toán cực trị hàm nhiều
biến cùng với các vấn đề của lý thuyết trường sẽ là các kiến tức cốt lõi cho
một kỹ sư trong tương lai
Tuần 1

Chương 1 : KHÔNG GIAN 3 CHIỀU VÀ HÀM 3 BIẾN
Hệ toạ độ trong không gian 3 chiều :

Không gian R3 đã được học ở chương trình phổ thông . Ký hiệu P=( x,y,z )
để chỉ một điểm P có toạ độ ( x,y,z ) trong không gian này . Hệ 3uuu tơ trực
véc
r
chuẩn i,j,k là một cơ sở đã biết ở phổ thông . Khi đó , véc tơ R= OP sẽ viết
dưới dạng:
R = x.i + y.j +z.k
Các khái niệm tích vô hướng , tích hữu hướng , khoảng cách , độ dài … đều
như ở phổ thông đã được học
Ví dụ 1 :Tìm cosin của góc θ giữa A( 1, 2, 2 ) và B(-3, 4, 0 )
Giải : Ta có |A| = 1 + 4 + 4 = 3 , |B| = 5 , A.B = -3+8+0 = 5 do đó
A.B
cos θ =
| A |.| B |
= 1/3
Ví dụ 2: Tính diện tích tam giác có uuu là P ( 2,-1,3 ) , Q (1,2,4 ) , R (3,1,1 )
đỉnh
r uuur
Giải: Hai cạnh của tam giac là A= PQ = -i +3j +k , B = PR = i + 2j – 2k
Vì vậy , diện tích của tam giác là độ lớn của véc tơ :
A ×B =
i j k
-1 3 1 = -8i – j – 5k
1 2 −2
tức là = 64 + 1 + 25 = 3 10



ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG R 3


Đường thẳng đi qua điểm P0 = ( x0 ,y0 ,z0 ) có 2 dạng :
Dạng tham số : x = x0 + at , y = y0 + bt , z = z0 + ct
x − x0 y − y0 z − z0
Dạng Đề các : = =
a b c




Mặt phẳng đi qua điểm P0 với véc tơ pháp tuyến N = ai + bj + ck có
dạng :
a(x- x0 ) + b(y- y0) + c( z – z0 ) = 0
CÁC MẶT TRỤ VÀ MẶT BẬC 2 TRONG R3

Mặt trụ tròn xoay : Dạng tổng quát F (x,y) = 0
x2 y2
Mặt trụ elliptic tròn xoay có trục oz : 2 + 2 = 1 ,
a b
Mặt trụ Parabolic tròn xoay có trục oz : z = ax2 + bx + c
Mặt nón tròn xoay có trục oz : f ( ± x 2 + y 2 ,z ) = 0
x2 y 2 z 2
Mặt ellípoid : 2 + 2 + 2 = 1
a b c
x2 y2 z 2
Mặt nón elliptic : 2 + 2 = 2
a b c

Mặt elliptic parabolid : z = ax2 + by2
Và nhiều mặt cong khác , xem trong giáo trình



Hệ toạ độ trụ và hệ toạ độ cầu trong R3


1.Hệ toạ độ trụ : Mối liên hệ với toạ độ Đề các trong R3 như sau :
x = rcos θ , y = rsin θ , z = z , trong đó r = x2 + y2 , tan θ = y / x

Ví dụ 1 : Tìm toạ độ trụ của điểm P = ( 3, 3, 7 ) trong R3
Giải: Ta có r = 9 + 9 = 2 3 , tan θ = 1 , z = 7 nên toạ độ trụ của P là ( 2 3 ,2, 5
)

Ví dụ 2 : V ẽ măt cong cho theo toạ độ trụ r( 2cos θ +5sin θ ) +3z = 0
Giải: V ì x = rcos θ và y = rsin θ nên ta có phương trình của mặt cong nói
trên trong R3 là 2x + 5y + 3z = 0 , đó là một mặt phẳng đi qua gốc toạ độ và
có vec tơ pháp tuyến là ( 2, 5, 3 )


Hệ tọa độ cầu: Mối liên hệ với toạ độ Đề các trong R3 như sau :
x = ρ sin ϕ cos θ , y = ρ sin ϕ sin θ , z = ρ cos ϕ ,
x2 + y 2
trong đó ρ = x + y + z , tan θ = y / x , tan ϕ =
2 2 2 2
z

Ví dụ : Tìm phương trình trong tọa độ cầu của hình cầu x2 + y2 + z2 - 2az = 0
( a>0)

Giải: Vì ρ 2 = x2 + y2 + z2 và z = ρ cos ϕ nên phương trình mặt cầu có dạng :
ρ 2 - 2a ρ cos ϕ =0 ⇔ ρ ( ρ -2acos ϕ ) = 0 tức là ρ =0 hoặc
ρ -2acos ϕ = 0 . Nhưng ρ =0 chỉ là trường hợp riêng của ρ -2acos ϕ = 0 nên ta có thể
kết luận là phương trình cần tìm là ρ -2acos ϕ = 0
Chú ý : Đây chính là phương trình của một mặt cầu có bán kính a , tiếp xúc với mặt
phẳng xoy tại gốc tọa độ




Tuần 2
Đạo hàm riêng của hàm nhiều biến
1. Hàm n biến y = f( x1,x2, …xn ) : là một ánh xạ từ không gian Rn vào R
2. Miền xác định của y = f( x1,x2, …xn ) : T ât c ả c ác điêm trong Rn sao cho
x ác định 1 giá tri y thuộc R . Để đơn giản cho cách trình bay mà không
làm giảm tổng quát , ta sẽ chi xét hàm 2 biến z = f (x,y)
lim f ( x, y )
3. Giới hạn bội trong R2 : x → x0 đ ược hiểu là giới hạn của hàm 2
y → y0

biến f (x,y ) khi biến điểm (x,y) tiến dần đến điểm ( x0, y0) , tức là x →

x0 và y → y0 đồng thời .
4. Tính liên tục : Hàm 2 biến f(x,y) đuợc gọi là liên tục tại điểm (x0, y0)
thuộc miền xác định của nó giá trị của hàm f (x,y) đ ủ gần giá trị f(x0, y0) khi
(x,y) đ ủ gần điểm ( x0, y0)
Vi dụ : Hàm z = xy liên tục tại mọi điểm (x,y) trong R2




5. Đường mức : Cho một giá trị c bất kỳ , với 1 hàm số z = f(x,y) ,
phương trình f(x,y) = c cho ta x ác đ ịnh một đường cong trong mặt phẳng
xoy . Một đường cong được gọi là đường mức nếu nó nằm trong miền xác
định của hàm số và trên đó giá trị của hàm số không thay đổi

6. Mặt mức : Mở rộng khai niệm trên cho hàm 3 biến , mặt mưc là mặt
cong trong miền xác định của hàm số f (x,y,z) sao cho trên nó hàm số nhận giá
trị không thay đổi

7. Đạo hàm riêng : Cho hàm 2 biến z = f(x,y) . Xét giới hạn
f ( x + ∆x, y ) − f ( x, y )
lim
∆x →0 ∆x
nếu tồn tại thì được goi là đạo hàm riêng của hàm z theo biến x và được ký
∂z ∂f
hiệu là hoặc zx , , f’x(x,y) . Hoàn toàn tương tự với đạo hàm riêng theo
∂x ∂x
biến y
∂f ∂f
8. Đạo hàm riêng cấp 2 và cấp cao hơn 2 : Vì , đều là các hàm 2
∂x ∂y
biến nên ta có thể lấy các đạo hàm riêng của chúng và ta có các đạo hàm riêng
∂ ∂ ∂2 f ∂ ∂ ∂2 f
câp 2 : ( ) hoặc ký hiệu là hoặc fxx , ( ) = = fxy ,tương
∂x ∂x ∂x 2
∂x ∂y ∂x∂y
tự ta có fyy và fyx và các đạo hàm riêng cấp cao hơn 2

Ví dụ : Cho f(x,y) = x3e5y + y. sin2x . Tìm các đạo hàm riêng tới cấp 2 của

Giai: fx = 3x2e5y + 2ycos2x , fy = 5x3e5y + sin2x,
fxy= 15x2e5y + 2cos2x , fyx= 15x2e5y + 2cos2x
Chú ý : Nếu tồn tại các đạo hàm riêng cấp hai tồn tại v à li ên t ục trong lân
cận điểm (x0,y0) thì trong lân cận này , đạo hàm cấp 2 không phụ thuộc thứ
tự lấy đạo hàm




9. Vi phân toàn phần cấp 1 và cấp 2 của hàm 2 biến


∂f ∂f
Vi phân toàn phần cấp 1: dz = dx + dy
∂x ∂y

∂2 f ∂2 f ∂2 f
Vi phân toàn phần cấp 2: d2z = dz2 +2 dxy + 2 dy2
∂x 2
∂x∂y ∂y
Các ví dụ luyện tập:




Tuần 3 Đạo hàm hàm hợp , hàm ẩn

Quy tắc dây chuyền tính đạo hàm riêng :

1. Giả sử w = f(x) , x= g(t) Khi đó

dw dw dx
= .
dt dx dt
2. Giả sử w = f(x,y) , x = g(t) , y = h(t) Khi đó
dw ∂w dx ∂w dy
= . + .
dt ∂x dt ∂y dt

3. Giả sử w = f( x,y,z ) , x, y, z là các hàm của một biến t Khi đó

dw ∂w dx ∂w dy ∂w dz
= . + . + .
dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt

4. Giả sử ư = f( x,y,z ) và x,y,z là các hàm 2 biến của t và u Khi đó


∂w ∂w ∂x ∂w ∂y ∂w ∂z
= . + . + .
∂t ∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t

∂w ∂w ∂x ∂w ∂y ∂w ∂z
= . + . + . Và khi đó vi phân toàn phần của w là:
∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z ∂u
∂w ∂w ∂w
dw = .dx + .dy + .dz
∂x ∂y ∂z




Ví dụ ứng dụng :

2 2
dw
1. Cho w = 3x + 2xy – y , trong đó x = cost , y = sint . Tính =?
dt
dw ∂w dx ∂w dy
Giải: Theo công thức = . + . ta có
dt ∂x dt ∂y dt

dw
= ( 6x + 2y)(-sint) + ( 2x – 2y)( cost) =
dt
= ( 6cost + 2sint )( -sint) +(2cost – 2sint )(cost) = 2cos2t – 4sin2t


2. Cho w = f( x,y ) , trong đó x = r cos θ , y = r sin θ . Chứng minh rằng :
∂w 2 ∂w 2 ∂w 1 ∂w
( ) + ( ) = ( )2 + 2 ( )2
∂x ∂y ∂r r ∂θ


∂w ∂w ∂x ∂w ∂y ∂w ∂w ∂x ∂w ∂y
Giải: Dựa vào công thức = . + . ; = . + .
∂t ∂x ∂r ∂y ∂r ∂t ∂x ∂θ ∂y ∂θ
Ta sẽ có điều phải chứng minh.


Hai trường hợp hàm ẩn :
1 . F( x,y ) = 0 ( Không giải ra được y = f(x) )
2. F ( x,y, z ) = c ( Không giải ra được z = f( x,y ) )

Xét trường hợp 1


Định lý về hàm ẩn : Cho F(x,y) liên tục , có các đạo hàm riêng tong lân cận của
điểm (x0,y0) và giả sử F(x0,y0) = c , Fy(x0,y0) ≠ 0 thì tồn tại một hàm ẩn y = f(x) xác
định và khả vi trong một lân cận của điểm x0 sao cho y0 = f(x0)thỏa mãn ;
F[x, f(x)] = c . Hơn nữa , cách tính đạo hàm của hàm ẩn này trong lân cận điểm
(x0,y0) như sau :
dy F
=− x
dx Fy



Ví dụ : Cho hàm ẩn y = f(x) xác định từ
F(x,y) = x2y5 – 2xy + 1 = 0
Tim đạo hàm f’(x)

Giải: Rõ ràng là hàm F(x,y) xác định tại điểm (1,1) và ta có Fx = 2xy5- 2y ,
dy 2 y − 2 xy 5
Fy = 5x2y4 – 2x , thỏa mãn định lý hàm ẩn , ta tìm được : = 2 4
dx 5 x y − 2 x

Xét trường hợp 2
Ta có định lý tồn tại hàm ẩn tương tự định lý ở trường hợp 1 và giả sử hàm w =
∂F
F[ x,y,z ] trong đó z = f (x,y) thỏa mãn điều kiện ≠ 0 Khi đó
∂z
∂F ∂F
∂z ∂z ∂y
= − ∂x =−
∂x ∂F ∂y ∂F
∂z ∂z

Ví dụ : Cho z là hàm ẩn của 2 biến x và y thỏa mãn
x2 z + yz5 + 2xy3 = 13
Tìm các đạo hàm riêng của z theo các biến x và y

Giải: Ở đây hàm F (x,y,z) = x2 z + yz5 + 2xy3 . Ta tìm được :
∂F
∂F ∂F ∂z 2 xz + 2 y 3
= 2xz + 2y3 , = x + 5yz . Từ đó ,
2 4
= − ∂x = − 2
∂x ∂z ∂x ∂F x + 5 yz 4
∂z
Tuần 4 ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG & GRADIENT
CỦA HÀM 3 BIẾN
Cho f(x,y,z) là một hàm 3 biến xác định trong 1 miền nào đó cua R3 và P là 1
điểm trong miền này . Tại đó tốc độ biến thiên của hàm f sẽ như thế nào
nếu ta di chuyển điểm P theo một hướng nhất định ? Theo hướng dương
của các trục
Ox, Oy, Oz ,tốc đọ biến thiên của hàm f được xác định bởi các đạo hàm riêng
∂f ∂f ∂f
của nó , , . Làm thế nào xác định được tốc độ biến thiên của hàm
∂x ∂y ∂z
f nếu P không di chuyển theo hướng các trục tọa độ ?
Để trả lời các câu hỏi này , chúng ta sẽ đưa ra 1 khái niệm rất quan trọng :
Gradient của một hàm số



Gỉa sử điểm P = (x,y,z) và gọi R là véc tơ OP = xi + yj + zk
còn Q = ( x+ ∆ x ,y + ∆ y , z + ∆ z ) . Gỉa sử khi Q dần đến P thì f thay đổi 1 lượng là ∆f và
khoảng cách ∆s = | ∆R | của P và Q và dần tới 0 . Gọi u là véc tơ đơn vị của PQ . Khi
đó
df ∆f
= lim
ds ∆s →0 ∆s
Được gọi là đạo hàm của hàm f theo hướng u tại điểm P của hay gọi đơn giản là đạo
hàm theo hướng u của hàm f

df ∂f dy ∂f dy ∂f dz
Chú ý: Trong giáo trình đã chứng minh : ds = ∂x ds + ∂y ds + ∂z ds và
df ∂f ∂f ∂f
=( i+ j + k ).u
ds ∂x ∂y ∂z

Định nghĩa: Gradient của hàm f là một véc tơ được xác định như sau :
∂f ∂f ∂f
gradf = ( ∂x i + ∂y j + ∂z k )

Chú ý: Từ định nghĩa véc tơ grad f ta có đạo hàm theo hương u của f có thể tính theo
df
công thức : = ( gradf ).u
ds
Tính chất của đạo hàm theo hướng:
Tính chất 1: Đạo hàm theo 1 hướng đã cho là tích vô hướng của véc tơ gradf với véc
tơ đơn vị của hướng lấy đạo hàm

Tính chất 2:Hướng của véc tơ trùng với hướng mà theo đó hàm f tăng nhanh nhất

Tính chất 3: Độ dài của gradf chính là tốc độ tăng nhanh nhất của f

Tính chất 4: Gradient của hàm f (x,y,z ) tại điểm P0 chính là véc tơ pháp của mặt
mức của f tại điểm P0 . Từ đó phương trình mặt phẳng tiếp diện tại điểm P0 là:
∂f ∂f ∂f
( ) P0 ( x − x0 ) + ( ) P0 ( y − y0 ) + ( ) P0 ( z − z0 ) = 0
∂x ∂y ∂z




Ví dụ ứng dụng các tính chất trên:
Ví dụ 1: Cho f( x,y,z ) = x2 – y + z . Tính đạo hàm theo hướng véc tơ 4i – 2j + 4k tại
điểm ( 1,2,1 )

Giải: Tại điểm ( 1,2,1 ) ta tìm được véc tơ gradf là 2i – j + 2k . véc tơ đơn vị của véc

4i – 2j + 4k là 2/3i + 1/3j + 2/3k và vì vậy đạo hàm cần tìm là :
df
= ( gradf ).u = ( 2i – j + 2k )(2/3i – 1/3j + 2/3k) = 3
ds
df
( chú ý là ở đây hương của gradf trùng với hướng của u nên = ( gradf ).u =| gradf| và
ds
df
lúc này đạt giá trị lớn nhất và cũng là tăng lớn nhất , thêm 3 đơn vị độ dài của nó )
ds

Ví dụ 2: Tìm phương trình tiếp diện cua mặt cong xy2z3 = 12 taị điểm ( 3,-2,1 )

Giải: Ta tìm được gradf = 4(I – 3j + 9k ) . Từ đó , phương trình tiếp diện cần tìm là
:
( x-3) – 3( y + 2 ) + 9( z - 1) = x – 3y + 9z = 18
Một vài chú ý quan trọng :

1. Khái niệm gradient và đạo hàm theo hướng còn được định nghĩa trong
không gian 2 chiều

2. Gradient của một hàm số còn được viết dưới dạng toán tử như sau
∂ ∂ ∂
gradf = ( ∂x i + ∂y j + ∂z k ) f
Nếu ký hiệu toán tử nay là del ∇

∂ ∂ ∂
∇ = ( i+
∂x ∂y
j + k)
∂z
df
Thì có thể viết: gradf = ∇ f , = ∇ f.u
ds




Tuần 5: CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN
1. CỰC TRỊ TỰ DO CỦA HÀM 2 BIẾN


Đặt vấn đề :
Bài toán khảo sát cực trị hàm nhiều biến là một trong các bài toán quan trong
nhất trong các nhiên cứu kỹ thuật và vì vậy , đây là kiến thức cơ bản nhất mà
một kỹ sư tương lai cần phải có . Để gọn nhẹ cho các trình bày , chúng tôi chỉ
xét tới hàm 2 biến , việc mở rộng cho hàm nhiều biến hơn là không có gì khó
khăn và hoàn toàn có thể tự tìm hiểu.

Giả sử z = f(x,y) xác định trong một miền D nào đó . Điểm ( x0,y0) được gọi là
điểm cực đại nểu f(x,y) đạt giá trị cực đại tại điểm đó , tức là f(x,y) ≤ f ( x0,y0),
với mọi điểm (x,y)thuộc miền D . Cách định nghĩa hoàn toàn tương tự với
điểm cực tiểu
Sau đây chúng ta sẽ đưa ra qui trình tìm các điểm cực trị của một hàm 2 biến
z = f(x,y) đã cho . Lý giải về mặt toán học của cách làm , các bạn hãy tìm hiểu
trong giáo trinh giải tích nhiều biến số
Quy tắc tìm cực trị tự do của hàm 2 biến :

Bài toán :
Tìm các điểm cực trị của hàm z = f(x,y) trong miền xác định của nó
QUY TẮC:
1. Tìm các điểm dừng bằng cách giải hệ :
∂z ∂z
=0 , =0
∂x ∂y
2. Giả sử tìm được các điểm dừng là M0 (x0,y0) , M1(x1,y1) …Tính các đạo hàm
riêng cấp hai : fxx , fxy , fyy tại các điểm dừng nói trên và gọi
A = fxx(x0,y0) , B = fxy(x0,y0) , C = fyy(x0,y0) ( tại mỗi điểm dừng đều
có một bộ số A , B , C nói trên )
Nếu : B2 – AC < 0 thì * Nếu A < 0 , điểm (x0,y0) là điểm cực
đại
* Nếu A > 0 , điểm (x0,y0) là điểm cực
tiểu
Nếu B2 – AC > 0 thì (x0,y0) không phải là điểm cực trị , tức là
tại
đó hàm z = f(x,y) không có cực trị
Nếu B2 – AC = 0 thì phải xét tiếp , chưa thể có kết luận gì


Ví dụ áp dụng :

Tìm kích thước của một hình hộp chữ nhật có thể tích bằng 4 đơn vị sao cho diện tích
mặt ngoài ( không có mặt trên ) là nhỏ nhất

Giải: Nếu gọi các cạnh đáy là x và y , chiều cao là z thì diện tích mặt ngoài không kể
mặt trên của khôi hộp sẽ là :
z = xy + 2xz + 2yz
Nhưng vì thể tích = 4 nên z = 4 / xy . từ đó ,
z = xy + 8/y + 8/x
Giải hệ zx = 0 và zy = 0 ta tìm được điểm dừng là (2,2) . Tại đó , B2 – AC 0
tức là đó là điểm cực tiểu và tại đó , z = 1 . Tức là , hình hộp cần tìm có mặt đáy là
một hình vuông và chiều cao băng một nửa cạnh đáy.
Một số ví dụ luyện tập tại lớp


Tuần 6
2. Cực trị trên miền đóng ( cực trị tuyệt đối )


Chú ý là cực trị tự do chỉ là cực trị tương đối , tức là trong miền D hàm z =
f(x,y) có thể có một vài điểm cực tiểu và một vài điểm cực đại . Tuy nhiên ,
bài toán tìm cực trị của hàm z = f(x,y) trên một miền D là một miền đóng thì
kết quả là trên miền D chí có duy nhất một điểm cực đại và một điểm cực
tiểu mà ta gọi giá trị của hàm z tại đó là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
nó . Đây còn được gọi là các giá trị cực trị tuyệt đối của hàm 2 biến z = f(x,y)
Quy tắc tìm cực trị tuyệt đối của hàm 2 biến


Bài toán :
Tìm giá trị cực trị của hàm z = f(x,y) với (x,y) thuộc một miền D là một miền
đóng ( có biên ) nào đó thuộc miền xác định của nó

QUY TẮC:

1. Tìm các điểm dừng thuộc miền D bằng cách giải hệ zx(x,y) = 0 và zy(x,y) =
0 và loại các điểm dừng không thuộc miền D
2. Tìm các điểm dừng trên biên D
3. So sánh các giá trị của hàm z = f(x,y) tại các điểm dừng trong miền D và
trên biên D để từ đó tìm được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của nó
Các ví dụ luyện tập tại lớp

3. Cực trị có điều kiện


Trong phần này chúng ta sẽ xét tính cực trị của hàm z = f(x,y) nhưng chỉ với các
biến (x,y) thỏa mãn điều kiện nào đó , ví dụ (x,y) phải thỏa mãn một phương
trình g(x,y) = 0 chẳng hạn .
Đây mới là bài toán cực trị thông dụng nhất trong các ứng dụng kỹ thuật .
Hàm g(x,y) được gọi là hàm ràng buộc và hàm z = f(x,y) được gọi là hàm mục
tiêu (nếu ta muốn nó đạt cực đại) hoặc gọi là hàm giá (nếu ta muốn nó đạt cức
tiểu) .
Bài toán tối ưu kinh điển của kỹ thuật là : Hãy tìm điểm ( x*,y*) sao cho
f( x*,y*) đạt cực trị và thỏa mãn điều kiện g( x*,y*) = 0 . Điểm ( x*,y*) được gọi là
điêm tối ưu và f( x*,y*) được gọi là giá trị tối ưu .
Qui tắc tìm cực trị có điều kiện cho phép ta tìm được điểm tối ưu ( x*,y*) nói
trên
Quy tắc tìm cực trị có điều kiện với phương pháp nhân tử
Lagrange


Trường hợp 1 : Nếu từ hàm ràng buộc g(x,y) = 0 có thể giải được ra y =
y(x) thì ta sẽ thay y = y(x) vào hàm z và ta được z = f(x,y(x)) = z(x) tức là z là hàm
của 1 biến x . Từ đó cách tìm cực trị của hàm 1 biến đã được học ở Toán I

Trường hợp 2 : Nếu từ hàm ràng buộc g(x,y) = 0 không thể giải được ra y
= y(x) thì ta sẽ tìm cực trị tự do của phiến hàm Lagrange :
L(x,y, λ ) = f(x,y) - λ g(x,y) (Ở đây λ được gọi là nhân tử Lagrange )
Giải hệ Lx(x,y, λ ) = 0
Ly(x,y, λ ) = 0
g(x,y) = 0 ta tìm được λ ,x,y nhưng ta chỉ quan tâm tới các
(x,y) tìm được . Đó là các điểm dừng và từ đó tìm được cực trị của hàm z =
f(x,y)




Ví dụ ứng dụng: Tìm các cạnh của một hình chữ nhật nội tiêp trong nửa hình
tròn có bán kinh a sao cho nó có diện tích lớn nhất
Giải: Nếu gọi các cạnh của hình chữ nhật cần tìm là 2x và y và diện tích của nó
là A thì ta có : A = 2xy . Bài toán cực trị ở đây là : Tìm x , y sao cho A cực đại với
điều kiện x + y2 = a2 . Phiến hàm Lagrange có dang :
2

L(x,y, λ ) = f(x,y) - λ g(x,y) = 2xy - λ ( x2 + y2 - a2 )
∂L
Giải hệ tìm điểm dừng : = 2y - 2 λ x = 0
∂x
∂L
= 2x - 2 λ y = 0
∂y
x2 + y2 - a2 = 0
Giaỉ ra λ = ± 1 nhưng nếu λ = -1 thì kéo theo y = -x , bị loại . nếu λ = 1 thì x=y
tức là hình chữ nhật cần tìm có một chiều gấp đôi chiều kia . Thay vào điều kiện x2 +
y2 = a2
Ta tìm được x = y = a /2 . Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật cần tìm là
a/2


Chú ý : Phương pháp nhân tử Lagrange để tìm cực trị hàm 2 biến hoàn toàn có
thể mở rộng cho bài toán tìm cực trị của hàm 3 hoặc nhiều hơn 3 biến

Tuần 7 TÍCH PHÂN BỘI ( TÍCH PHÂN 2 -3 LỚP )

1. TÍCH PHÂN 2 LỚP ( TÍCH PHÂN BỘI 2 )


Một hàm liên tục 2 biến f(x,y) có thể được lấy tích phân 2 lớp trên một
miền D thuộc R2 bằng việc tính thể tích hình trụ cong có đáy là miền D và
chiều cao là
z = f(x,y) tương tự như lấy tích phân 1 lớp của 1 hàm liên tục 1 biến f(x) khi
muốn tính diện tích hình thang cong có cạnh trên là y = f(x) và x thuộc đoạn
[a,b] . Tích phân 2 lớp được ký hiệu là :
∫∫ f ( x, y)dxdy
D
Việc tính thể tích hàm trụ cong dựa vào công thức đả có trong Toán 1
b y2

V = ∫ A( x)dx trong đó A(x) là diện tích thiết diện A( x) = ∫ f ( x, y)dy
a y1




Cách tính tích phân 2 lớp:


Gỉa sử miền D tạo bởi D = { a ≤ x ≤ b ; y1 (x) ≤ y ≤ y2(x) } hoặc
D = { c ≤ y ≤ d ; x1 (y) ≤ x ≤ x2(y) } .
Từ cách tính thể tích hình trụ cong ta có 2 công thức tính tich phân 2 lớp như
sau :
b y2 d x2 ( x )

∫∫ f ( x, y)dxdy
D
= ∫ dx ∫ f ( x, y)dy hoặc = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx
a y1 c x1 ( y )

Các tích phân sau gọi là các tích phân lặp .Cách tính như sau : Ví dụ công thức 1
:

b y2 b y2

∫ dx ∫ f ( x, y)dy = ∫ [ ∫ f ( x, y)dy]dx
a y1 a y1
tức là đầu tiên ta tính tích phân 1 lớp theo dy :
y2

∫ f ( x, y)dy và sau đó lần thứ 2 ta lấy tích phân của kết quả tìm được theo dx :
y1
b y2

∫ [ ∫ f ( x, y)dy]dx
a y1
. Với công thức thứ 2 ta cũng làm tương tự

Ví dụ 1 : Tính tích phân 2 lớp I = ∫∫ 2 ydxdy
D
trong đó miền D tạo bởi các đường cong
:
{ y = x2 và y = x }
Giải: Với miền D này ta nên dùng công thức 1 , ta đưa tích phân cần tìm về dang tích
phân lặp :
b y2 b y2 1 x 1 x

∫ dx ∫ f ( x, y)dy = ∫ [ ∫ f ( x, y)dy]dx = ∫ dx ∫ 2 ydy = ∫ [ ∫ 2 ydy]dx
a y1 a y1 0 x2 0 x2

Tính
1 x 1 1
x 2
∫ 2
[ ∫ 2 ydy ]dx = ∫ ( y | 2 ) dx = ∫ ( x 2 − x) dx =
2
và vì vậy I = 2/15
0 x 0
x 0
15


Ví dụ 2 : Tính tích phân 2 lớp I = ∫∫ x
D
1 − y 3 dxdy Trong đó D là tam giác OAB với

O(0;0) , A(-1;0) , B(1;1)
Giải: Ơ trương hợp này ta nên dùng công thức 2 I=
1 y 1 1
1 1
∫ 0
dy ∫ 1 − y xdx = ∫ [ y (1 − y ) ]dy =
3 2 3 2

0
20 9



Các tính chất của tích phân 2 lớp:

1. Cũng giống như tích phân 1 lớp , tích phân 2 lớp là 1 toán tử tuyến tính của
hàm lấy tích phân :
∫∫ α f ( x, y) ± β g ( x, y)dxdy = α ∫∫ f ( x, y)dxdy ± β ∫∫ g ( x, y)dxdy
D D D


2. Tích phân 2 lớp là 1 toán tử bảo toàn thứ tự:
∫∫ f ( x, y)dxdy ≤ ∫∫ g ( x, y)dxdy
D D
Với mọi hàm f(x) ≤ g(x) với mọi x trên miền
D

3. Nếu D = D1 ∪ D2 trong đó D1 và D2 là 2 miền không giao nhau thì

∫∫
D1 ∪ D2
f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( x, y )dxdy + ∫∫ f ( x, y )dxdy
D1 D2




Một số ví dụ luyện tập vẽ miền D và cách lấy cận tích phân tại lớp
Tuần 8 TÍNH TÍCH PHÂN 2 LỚP
1.TÍNH TÍCH PHÂN 2 LỚP BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ TÍCH PHÂN LẶP

Dựa vào kết quả đã có của truần trước , ta sẽ tính tích phân 2 lớp bằng một
trong 2 công thức sau :

b y2 d x2 ( x )

∫∫ f ( x, y)dxdy
D
= ∫ dx ∫ f ( x, y)dy hoặc = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx
a y1 c x1 ( y )




Ví dụ luyện tập :

1. Đổi thứ tự trong tính tích phân 2 lớp
3 x 1 3− y 2

a/ ∫ dx ∫ f ( x, y )dy d/ ∫ dy ∫ f ( x, y )dx
2
0 ( x −1) −1 0 y2 / 2



a a2 − x2 1 1− y

b/ ∫ dx ∫ f ( x, y )dy e/ ∫ dy ∫
0
f ( x, y ) dx
0 ( a2 − x2 ) / 2 1− y 2




2a 4 ax 3 y +2

c/ ∫ dx ∫ f ( x, y )dy f/ ∫ dy ∫
−2
f ( x, y )dx
0 2 ax − x 2 y2 −4




a/ Dựa vào công thức 1
b y2

∫∫ f ( x, y)dxdy
D
= ∫ dx ∫ f ( x, y)dy
a y1




1/ ∫∫ xdxdy
D
Trong đó D là tam giác OAB với O(0;0) , A(1;1) , B(1;0)

x2
2/ ∫∫ 2
dxdy Trong đó D là miền giới hạn bởi các đường cong : x =2 , y = x , xy =
D
y
1



3/ ∫∫ ( x 3 + xy )dxdy Trong đó D là miền tạo bởi các đường cong y = x2 và x = y2
D


x
4/ ∫∫ x 2 + y 2 dxdy Trong đó D là miền tạo bởi các đường y = x , y = xtanx , x ≥ 0 ,y ≥
D
0
b/ Dựa vào công thức 2

d x2 ( x )

∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫ dy ∫
D
f ( x, y )dx
c x1 ( y )




1/ ∫∫ x 1 − y 3 dxdy Trong đó D là miền tam giác OAB với O(0;0) , A(0;1) , B(1;1)
D



2/ ∫∫ ydxdy Trong đó D là miền tạo bởi y = x-4 , y2 = 2x
D




Đổi biến sang tọa độ cực trong tính tích phân 2 lớp
1. Nhắc lại về tọa độ cực
Tọa độ cực trên mặt phẳng R2 gồm chỉ có 1 cực ( vì vậy còn gọi là tọa độ độc
cực ) . Mỗi biến điểm M gồm 2 tọa độ ρ và θ trong đó ρ là khoảng cách từ M
tới gốc cực còn θ là góc hợp bởi véc tơ OM với chiều dương của trục cực.

2. Mối quan hệ giữa tọa độ Đề các và tọa độ độc cực của cùng 1 biến
điểm :
x = ρ cos θ , y = sin θ , ρ 2 = x2 + y2 , θ = arctan x/y
3. Phép đổi biến sang tọa độ cực : x = ρ cos θ , y = sin θ Đổi biến
sang tọa độ cực không làm thay đổi hình dạng đường cong .

4. Công thức đổi tích phân :
β ρ2 (θ )

∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫ dθ ∫
D
f ( ρ cosθ , ρ sin θ ) ρ d ρ Ở đây miền D trong tọa
α ρ1 (θ )

độ cực có dạng : α ≤ θ ≤β , ρ 1( θ ) ≤ ρ ≤ ρ 2( θ )


Chú ý : Khi nào sẽ đổi biến sang tọa độ cực ?
- Khi hàm dưới dấu tích phân là hàm đẳng cấp của x và y
- Khi miền lấy tích phân là hình tròn hoăc có liên quan đến hình tròn
- Khi miền lấy tích phân được tạo bởi các đường cong chỉ có trong tọa độ
cực.

y2
Ví dụ : Tính tích phân 2 lớp : ∫∫
D
x 2
dxdy Trong đó D = { 1 ≤ x2 + y2 ≤ 2x }


Giải: Đổi biến sang tọa độ cực , miền D được tạo bởi 2 đương tròn có cung bán
kính = 1 , có phương trình là ρ = 1 và ρ = 2cos θ nên giao điểm của nó là nghiệm
π π
phương trình cos θ = ½ tức là θ = - và . Vì vậy ta có :
3 3
π /3 2cosθ π /3
y2 ρ 2 cos 2θ 1 3 3
∫∫
D
x 2
dxdy = = ∫ dθ ∫ 2 2 ρ d ρ =
−π / 3 1
ρ sin θ ∫
0
(4sin 2 θ −
cos 2θ
+ 1)dθ = π −
2


Một vài ví dụ luyện tập tai lớp
CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 2 LỚP


1. Tính thể tích hình trụ cong : Từ ý nghĩa của tích phân 2 lớp , tích phân 2 lớp
trên miền D của hàm z = f(x,y) chính là thể tích hình trụ cong có đáy là miền D
và mặt trên là mặt cong z = f(x,y)

2. Tính khối lượng : Nếu δ (x,y) là tỷ trọng của một bản mỏng thì δ (x,y)dA là
khối lượng của yếu tố diện tích và khi đó , khối lương toàn phần của bản là
M= ∫∫ δ ( x, y)dxdy
D

Tính Mômen :Mômen của δ (x,y)dA , khối lượng của yếu tố diện tích đối với
trục Ox là :
Mx = ∫∫ yδ ( x, y)dxdy
D

và với trục Oy là : My = ∫∫ xδ ( x, y)dxdy
D
Tuần 9 : TÍCH PHÂN 3 LỚP ( TÍCH PHÂN BỘI 3 )

Tích phân 3 lớp xuất phát từ việc tính thể tích của một vật thể V trong R3 , có
mặt đáy là một miền D trong mặt phẳng xoy (a ≤ x ≤ b , y1(x) ≤ y ≤ y2(x) ) và
mặt trên là z2(x,y) , mặt dưới là z1(x,y)
b y2 ( x ) z 2 ( x , y )

∫∫∫ dxdydz = ∫ [ ∫
V
( ∫ dz )dy ]dz
a y1 ( x ) z1 ( x , y )


Tích phân 3 lớp của một hàm 3 biến f(x,y,z) trên miền V nói trên được tính
b y2 ( x ) z2 ( x , y )

như sau : ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫ [ ∫
V
( ∫ f ( x, y, z )dz )dy ]dz
a y1 ( x ) z1 ( x , y )

trong đó cách tính tích phân lặp 3 lớp tương tự như tích phân lặp trong tính tích
phân 2 lớp : Khi tính tich phân với dz thì x và y được coi là các hằng số , khi
tính tích phân với dy thì coi x là hằng số và vì thế ta được tích phân cuối cung là
tích phân 1 lớp của biến x
Ví dụ : Dùng tích phân 3 lớp để tính thể tích vật thể V là một hình cầu
x2 + y2 + z2 = a2

Giaỉ: Vì tể tích hình cầu đã cho là 8 lần thể tích phần nằm trong góc phần tư
thứ nhất của nó nên ta có

a a 2 − x2 a 2 − x2 − y 2 a a 2 − x2
∫∫∫ dxdydz = 8 ∫ [ ∫
V
( ∫ dz )dy ]dz = 8∫ [ ∫ ( a 2 − x 2 − y 2 )dydx
0 0 0 0 0




Và như vậy ta đã đưa về tích phân 2 lớp và để tính tích phân này ta sẽ đổi biến
sang tọa độ cực
π /2 a
4
=8 ∫ dθ ∫ a 2 − ρ 2 ρ d ρ = π a 3
0 o 3

Một số bài tập vẽ miền V và chọn cận trong tính tích phân 3 lớp
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản