Bài giảng tuyến tính A2

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

0
105
lượt xem
64
download

Bài giảng tuyến tính A2

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Side bài giảng tuyến tính a2 cung cấp kiến thức, tài liệu cung cấp kiến thức giúp các bạn ôn thi , kiến thức và bài tập cơ bản cực hay, và một số gợi ý giải các bài toán liên quan.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng tuyến tính A2

  1. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH TOÁN CAO C P A2 ð I H C Tài li u tham kh o 1. Giáo trình Toán cao c p A2 – Nguy n Phú Vinh – ðHCN TP. HCM. 2. Ngân hàng câu h i Toán cao c p – ðHCN TP.HCM. 3. Toán cao c p A2 – ð Công Khanh – NXBðHQG TP. HCM. 4. Toán cao c p A2 – Nguy n ðình Trí – NXB Giáo d c. 5. Toán cao c p A2 – Nguy n Vi t ðông – NXB Giáo d c. 6. Toán cao c p ð i s Tuy n tính – Lê Sĩ ð ng – NXB Giáo d c. 7. Bài t p Toán cao c p ð i s Tuy n tính – Hoàng Xuân Sính – NXB Giáo d c. 8. ð i s tuy n tính – Bùi Xuân H i (ch biên) – ðHKHTN TP. HCM. Chương 1. MA TR N – ð NH TH C – H PHƯƠNG TRÌNH TUY N TÍNH §1. MA TR N 1.1. ð nh nghĩa • Khi m = 1, A = (a11 a12 … a1n) là ma tr n dòng; n = 1, a) Ma tr n A c p m × n trên ℝ là 1 h th ng g m m.n s  a11  ( ) aij ∈ ℝ i = 1, m; j = 1, n và ñư c s p x p thành b ng: A =  ...  là ma tr n c t; m = n = 1, A = (a11) (1 ph n t ).   a   a11 a12 ... a1n   m1  a  • T p h p các ma tr n A là M m ,n (ℝ ) , ñ cho g n ta vi t A=  21 a22 ... a2 n  (g m m dòng và n c t).  ... ... ... ...  A = ( aij )m×n .    am1 am 2 ... amn  • aij là các ph n t c a A dòng th i và c t th j. b) Hai ma tr n A và B b ng nhau, ký hi u A = B khi và ch • C p s (m, n) là kích thư c c a A. khi chúng cùng kích thư c và aij = bij. VD 1. Các ma tr n vuông ñ c bi t: 1 x y   1 0 −1  • ðư ng chéo ch a a11, a22, …, ann là ñư ng chéo chính c a z 2 =  ⇔ x = 0; y = −1; z = 2; u = 2; t = 3 . A, ñư ng chéo còn l i là ñư ng chéo ph .  t  2 u 3  • Ma tr n vuông có t t c các ph n t n m ngoài ñư ng chéo chính ñ u b ng 0 là ma tr n chéo. c) Ma tr n Ο = (0ij )m×n g m t t c các ph n t ñ u b ng 0 là • Ma tr n chéo c p n g m t t c các ph n t trên ñư ng ma tr n không. chéo chính ñ u b ng 1 là ma tr n ñơn v c p n, ký hi u In.  1 0 0 d) Khi m = n: A là ma tr n vuông c p n, ký hi u A = ( aij ) n . 1 0   VD 2. I 2 =   , I3 =  0 1 0  . 0 1 0 0 1   • Ma tr n tam giác trên (dư i) c p n là ma tr n có các ph n • Ma tr n ph n ñ i x ng c p n là ma tr n có các ph n t ñ i t n m phía dư i (trên) ñư ng chéo chính ñ u b ng 0. x ng qua ñư ng chéo chính ñ i nhau (aij = –aji) và t t c các  1 0 −2  ph n t trên ñư ng chéo chính ñ u b ng 0. VD 3. A =  0 −1 1  là ma tr n tam giác trên;   0 0 0  3 4 −1    VD 4. A =  4  1 0  là ma tr n ñ i x ng;   3 0 0  −1   0 2 B =  4 1 0  là ma tr n tam giác dư i.    −1 5 2  0 −4 1    B= 4  0 0  là ma tr n ph n ñ i x ng.  • Ma tr n ñ i x ng c p n là ma tr n có các ph n t ñ i x ng  −1  qua ñư ng chéo chính b ng nhau (aij = aji).  0 0 1.2. Các phép toán trên ma tr n b) Nhân vô hư ng a) Phép c ng và tr Cho A = ( aij )m×n , λ ∈ ℝ ta có: Cho A = ( aij )m×n , B = (bij ) m×n ta có: λ A = (λ aij ) m×n . A ± B = ( aij ± bij )m×n .  −1 1 0   3 −3 0  VD 6. −3  = ;  −1 0 2  2 0 2 1 0 4  −2 0 −4   6 0 12  VD 5.  + = 3 −4   5 −3 1   7 ; 0 −3  2  2 6 4  1 3 2  −1 0 2   2 0 2   −3 0 0  −4 0 8  = 2  −2 0 4  . 2 − = .      3 −4   5 −3 1   −3 6 −5  • Phép nhân vô hư ng có tính phân ph i ñ i v i phép c ng ma tr n. • Phép c ng ma tr n có tính giao hoán và k t h p. • Ma tr n –A là ma tr n ñ i c a A. Trang 1
  2. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH c) Nhân hai ma tr n • Phép nhân ma tr n có các tính ch t: • Cho A = ( aij )m×n , B = (b jk )n× p ta có: 1) (AB)C = A(BC); ( ) n AB = ( cik )m× p , cik = ∑ aij b jk i = 1, m; k = 1, p . 2) A(B + C) = AB + AC; j =1 3) (A + B)C = AC + BC; 4) λ(AB) = (λA)B = A(λB);  −1   1 0 0 0 5) AI n = A = I m A , v i A ∈ M m ,n (ℝ ) . VD 7. Tính a) (1 2 3)  2  ; b)     ;  −5   4 0   −3 2    VD 8. Tính 2 0 1  1 −1 2   0 1 3   2 −1 2   −1   1 1 −1    2 −3 0   −1 −2 1   1 0 −2   1  ; c)   1 −1 2  . −2 0 3   a)        −1 3 −2   −1 1 4   2 −1 −3   3 1 0   −2          1 0 −1   −1 −2 1   1 −1 VD 9. a) Cho A =  2009  , tính A ; b)  2 −2 0   0 −3 1  và     0 1  3 0 −3   2 −1 0      2 0 b) Cho B =  2009  , tính (I2 – B) .  −1 −2 1   1 0 −1   1 2  0 −3 1   2 −2 0  . VD 10. Cho A = (aij) là ma tr n vuông c p 100 có các ph n    dòng th i là (–1)i. Tìm ph n t a36 c a A2.  2 −1 0   3 0 −3  t    d) Phép chuy n v • Phép nhân ma tr n không có tính giao hoán. • Cho A = ( aij )m×n , ma tr n chuy n v c a A là: • ð c bi t, khi A = ( aij ) n và p ∈ ℕ* ta có: AT = (a ji )n ×m (chuy n t t c dòng thành c t). A0 = In; Ap = Ap–1A (lũy th a ma tr n). • Tính ch t: – (e1): Hoán v hai dòng cho nhau A  A′ . di ↔ d k → 1) (A + B)T = AT + BT; di → λ di 2) (λA)T = λAT; – (e2): Nhân 1 dòng v i s λ ≠ 0 , A → A′′ . 3) (AT)T = A; – (e3): Thay 1 dòng b i t ng c a dòng ñó v i tích λ dòng di → di + λ d k 4) (AB)T = BTAT; khác A → A′′′ . 5) AT = A ⇔ A ñ i x ng; Chú ý 6) AT = − A ⇔ A ph n x ng. di → µ d i + λ d k 1) Trong th c hành ta thư ng làm A  B . → 1.3. Phép bi n ñ i sơ c p trên dòng c a ma tr n 2) Sau 1 s h u h n các PBðSC dòng ta ñư c ma tr n a) ð nh nghĩa B tương ñương v i A, ký hi u B ∼ A . • Cho A = ( aij )m×n (m ≥ 2) . Các phép bi n ñ i sơ c p dòng 3) Tương t , ta cũng có các phép bi n ñ i sơ c p trên c t c a ma tr n. e trên A là:  1 −2 3   1 −2 3  1.4. Ma tr n b c thang và ma tr n b c thang rút g n VD 11. Cho A =  2 1 −1 và B =  0 1 −7 / 5  .    a) Ma tr n b c thang  3 −1 2  0 0 0      • Hàng có t t c các ph n t ñ u b ng 0 ñư c g i là hàng Ch ng t A ∼ B . b ng 0. b) Ma tr n sơ c p • Ph n t khác 0 ñ u tiên tính t trái sang c a 1 hàng ñư c • Ma tr n thu ñư c t In b i ñúng 1 phép bi n ñ i sơ c p g i là ph n t cơ s c a hàng ñó. dòng (c t) là ma tr n sơ c p. 0 0 1 1 0 0  1 0 0 • Ma tr n b c thang là ma tr n khác 0 c p m × n (m, n ≥ 2) VD 12.   0 1 0  ,  0 −5 0  và  2 1 0  là các ma th a:      1) Các hàng b ng 0 dư i các hàng khác 0; 1 0 0 0 0 1 0 0 1       2) Ph n t cơ s c a 1 hàng b t kỳ n m bên ph i tr n sơ c p. ph n t cơ s c a hàng trên nó. Trang 2
  3. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH VD 13. b) Ma tr n b c thang rút g n 1 0 2 0 1 2 3 +  0 0 3 ,  0 0 4 5  và In là các ma tr n b c thang; • Ma tr n b c thang rút g n là ma tr n b c thang có ph n t     cơ s c a m t dòng b t kỳ ñ u b ng 1 và là ph n t khác 0 0 0 0 0 0 0 1     duy nh t c a c t ch a nó. 0 2 7 2 3 5 + 0 3 4  và  0 0 0  không là ma tr n b c thang. VD 14.    1 3 0 0  0 1 0 3 0 0 5 0  I n,  0 0  và  0 0 1 2  là các ma tr n b c    1 3  1 0   0 0  0 1 0 0 0 0 ð nh lý    • M i ma tr n ñ u có th ñưa v b c thang b ng h u h n thang rút g n. phép bi n ñ i sơ c p trên dòng. 1.5. Ma tr n kh ngh ch VD 15.  2 5  3 −5  a) ð nh nghĩa A=  và B =  −1 2  là ngh ch ñ o c a nhau vì  1 3   • Ma tr n A ∈ M n (ℝ ) ñư c g i là kh ngh ch n u t n t i AB = BA = I2. B ∈ M n ( ℝ ) sao cho AB = BA = In. Nh n xét Ma tr n B là duy nh t và ñư c g i là ma tr n ngh ch ñ o 1) N u ma tr n vuông A có 1 dòng (ho c 1 c t) c a A, ký hi u A–1. Khi ñó: b ng 0 thì không kh ngh ch. A–1A = AA–1 = In; (A–1)–1 = A. 2) M i ma tr n sơ c p ñ u kh ngh ch và ma tr n ngh ch ñ o cũng là ma tr n sơ c p. • N u B là ma tr n ngh ch ñ o c a A thì A cũng là ma tr n 3) (AB)–1 = B–1A–1. ngh ch ñ o c a B. b) Tìm ma tr n ngh ch ñ o b ng phép bi n ñ i sơ c p 1) N u A′ có 1 dòng (c t) b ng 0 ho c A′ ≠ I n thì A dòng không kh ngh ch. • Cho A ∈ M n (ℝ ) , ta tìm A–1 như sau: 2) N u A′ = I n thì A kh ngh ch và A–1 = B. Bư c 1. L p ma tr n ( A I n ) (ma tr n chia kh i) b ng cách ghép In VD 16. Tìm ma tr n ngh ch ñ o (n u có) c a: vào bên ph i A.  1 −1 0 1   0 −1 1 0   1 1 −1  Bư c 2. A=  và B =  1 0 1  . Dùng phép bi n ñ i sơ c p dòng ñ ñưa ( A I n ) v d ng 0 0 1 1   2 1 0      ( A′ B ) ( A′ là ma tr n b c thang dòng rút g n). 0 0 0 1 §2. ð NH TH C 2.1. ð nh nghĩa b) ð nh th c a) Ma tr n con c p k • ð nh th c c p n c a ma tr n vuông A = ( aij ) ∈ M n ( ℝ ) , n • Cho ma tr n vuông A = ( aij ) ∈ M n ( ℝ ) . Ma tr n vuông ký hi u detA hay A , là 1 s th c ñư c ñ nh nghĩa: n c p k ñư c l p t các ph n t n m trên giao k dòng và k c t 1) A c p 1: A = ( a11 ) ⇒ det A = a11 ; c a A ñư c g i là ma tr n con c p k c a A. a a12  2) A c p 2: A =  11  ⇒ det A = a11a22 − a12 a21 ; • Ma tr n Mij c p n–1 thu ñư c t A b ng cách b ñi dòng  a21 a22  th i và c t th j là ma tr n con c a A ng v i ph n t aij. 3) A c p n: det A = a11A11 + a12A12 + … + a1nA1n, trong ñó Aij = (–1)i+jdet(Mij) là ph n bù ñ i s c a ph n t aij. Trang 3
  4. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH Chú ý 2.2. Các tính ch t cơ b n c a ñ nh th c a11 a12 a13 • Cho ma tr n vuông A = ( aij ) ∈ M n ( ℝ ) , ta có các tính n • a21 a22 a23 = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a21a32 a13 ch t cơ b n sau: a31 a32 a33 Tính ch t 1 −a31a22 a13 − a12 a21a33 − a23a32 a11 (quy t c 6 ñư ng chéo). det ( AT ) = det A . ð c bi t. 1 3 2 1 2 −1 det In = 1, det 0n = 0. VD 2. 2 −2 1 = 3 −2 1 ; VD 1. Tính các ñ nh th c c a: 1 0 2 0  −1 1 1 2 1 1  1 2 −1   4 1 2 −1   3 −2  1 3 2 1 0 0 A=  , B =  3 −2 1  và C =    . 1 4  2 1 1  3 1 0 2  0 −2 1 = 3 −2 0 .     0 0 1 2 1 1 2 3 3 5  Tính ch t 2. Hoán v hai dòng (c t) cho nhau thì ñ nh th c Tính ch t 3. Nhân 1 dòng (c t) v i s th c λ thì ñ nh th c ñ i d u. tăng lên λ l n. VD 3. 3 0 −3 1 0 −1 1 3 2 −1 1 1 1 −1 1 VD 5. 2 1 −2 = 3 2 1 −2 ; 2 −2 1 = − 2 −2 1 = −2 2 1 . 3 1 7 3 1 7 −1 1 1 1 3 2 3 1 2 1 x x 3 x +1 x x3 H qu ( x + 1) 1 y y3 = x +1 y y3 . • ð nh th c có ít nh t 2 dòng (c t) gi ng nhau thì b ng 0. VD 4. 1 z z3 x +1 z z3 3 3 1 x x2 x3 1 y2 y5 H qu 2 2 1 =0; 1 y 2 y =0; 1 y 5 2 y =0. 5 1) ð nh th c có ít nh t 1 dòng (c t) b ng 0 thì b ng 0. 2) ð nh th c có 2 dòng (c t) t l v i nhau thì ñ nh th c 1 1 7 1 y2 y5 1 y2 y5 b ng 0. Tính ch t 4 Chú ý • N u ñ nh th c có 1 dòng (c t) mà m i ph n t là t ng c a 1 5 d1 →d 2 − 2 d1 0 −7 2 s h ng thì có th tách thành t ng 2 ñ nh th c. • Phép bi n ñ i = là sai do dòng 1 ñã 2 3 1 3 x + 1 x x3 x x x3 1 x x3 nhân v i s –2. VD 6. x + 1 y y3 = x y y3 + 1 y y3 . x −1 z z3 x z z3 −1 z z3 2.3. ð nh lý Laplace Tính ch t 5 • Cho ma tr n vuông A = ( aij ) ∈ M n ( ℝ ) , ta có các khai n • ð nh th c s không ñ i n u ta c ng vào 1 dòng (c t) v i λ tri n det A sau: l n dòng (c t) khác. a) Khai tri n theo dòng th i 1 2 3 x 1 1 det A = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ... + ain Ain VD 7. Tính các ñ nh th c: −1 2 −1 ; 1 x 1 . n . = ∑ aij Aij , Aij = ( −1)i + j det( M ij ) 2 3 4 1 1 x j =1 b) Khai tri n theo c t th j VD 9. Áp d ng tính ch t và ñ nh lý Laplace, tính ñ nh th c: det A = a1 j A1 j + a2 j A2 j + ... + anj Anj 1 1 1 2 n . 2 −1 1 3 = ∑ aij Aij , Aij = ( −1)i + j det( M ij ) . i =1 1 2 −1 2 3 3 2 1 1 0 0 2 Các k t qu ñ c bi t: 2 1 1 2 VD 8. Tính ñ nh th c a11 a12 ... a1n a11 0 ... 0 1 2 2 3 3 0 2 1 0 a22 ... a2 n a21 a22 ... 0 1) = = a11a22 ...ann b ng cách khai tri n theo dòng 1; c t 2. ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 ... ann an1 an 2 ... ann (d ng tam giác). Trang 4
  5. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH 2) det(AB) = detA.detB (ñ nh th c c a tích hai ma tr n).  1 1 −1   2 1 4   −3 1 4  T c)  2 0 3   2 1 3   0 1 2  = A B 3) = det A.det C , v i A, B, C ∈ M n ( ℝ)     0n C  1 2 −3   1 2 1   1 2 1  (ñ nh th c chia kh i).     1 2 3 4 1 1 −1 2 1 4 −3 1 4 0 −2 7 19 1 2 3 0 =2 0 3 2 1 3 0 1 2 . VD 10. a) = ; 0 0 3 0 0 −2 0 −1 1 2 −3 1 2 1 1 2 1 0 0 0 −1 2.4. ng d ng ñ nh th c tìm ma tr n ngh ch ñ o  1 1 −1   2 1 4  1 1 −1 2 1 4 a) ð nh lý b)  2 0 3   2 1 3  = 2 0 3 2 1 3 ;    • Ma tr n vuông A kh ngh ch khi và ch khi det A khác 0.  1 2 −3   1 2 1  1 2 −3 1 2 1    b) Thu t toán tìm A–1 VD 11. Tìm ma tr n ngh ch ñ o (n u có) c a: 1 2 1 1 2 1 • Bư c 1 A=  1 1 2  và B =  0 1 1 . Tính det A. N u det A = 0 thì k t lu n A không kh ngh ch,    3 5 4 1 2 3 ngư c l i làm ti p bư c 2.    • Bư c 2 Nh n xét L p ma tr n ( Aij ) ⇒ A = ( Aij ) (ma tr n ph h p c a A). T T n n • N u ac − bd ≠ 0 thì: −1  a b 1  c −b  d c = • Bư c 3. Ma tr n ngh ch ñ o là:  −d .   ac − bd  a  1 T A−1 = .A . det A 2.5. H ng c a ma tr n c) Phương pháp tìm h ng c a ma tr n a) ð nh th c con c p k ð nh lý • Cho ma tr n A = ( aij ) . ð nh th c c a ma tr n con c p • H ng c a ma tr n b c thang (dòng) b ng s dòng khác 0 m×n c a ma tr n ñó. k c a A ñư c g i là ñ nh th c con c p k c a A. • Cho A là ma vuông c p n, r ( A) = n ⇔ det A ≠ 0 . ð nh lý Phương pháp • N u trong ma tr n A t t c các ñ nh th c con c p k ñ u • Bư c 1. Dùng PBðSC dòng ñưa ma tr n A v b c thang. b ng 0 thì các ñ nh th c con c p k + 1 cũng b ng 0. • Bư c 2. S dòng khác 0 c a A sau bi n ñ i là r(A). b) H ng c a ma tr n  2 1 −1 3   0 −1 0 0  • H ng c a ma tr n A là c p cao nh t c a ñ nh th c con VD 12. Tìm h ng c a ma tr n A =  . khác 0 c a A, ký hi u r(A). Ta có: 0 1 2 0  1 ≤ r ( A) ≤ min{m, n} .    0 −1 1 −4  • N u A là ma tr n không thì ta quy ư c r(A) = 0. VD 13. Tìm h ng c a ma tr n 1 −3 4 2  A = 2  −5 1 4  .  3  −8 5 6   VD 14. Tùy theo giá tr m, tìm h ng c a ma tr n  −1 2 1 −1 1   m −1 1 −1 −1 A= . 1 m 0 1 1   1 2 2 −1 1  Trang 5
  6. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH §3. H PHƯƠNG TRÌNH TUY N TÍNH 3.1. ð nh nghĩa  b1  B =  ...  = ( b1 ... bm ) (ma tr n c t t do) • H phương trình tuy n tính g m n n và m phương trình T có d ng:   b  a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1  m a x + a x + ... + a x = b  x1   21 1 22 2 và X =  ...  = ( x1 ... xn ) là ma tr n c t n. 2n n 2  (1). T .................................................   x  am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bm   n Khi ñó, h (1) tr thành AX = B .  a11 ... a1n  ð t A =  ... ... ...  = ( aij ) (ma tr n h s ),   • B s α = (α1 ... α n ) ñư c g i là nghi m c a (1) n u T m×n a   m1 ... amn  Aα = B .  x1 − x2 + 2 x3 + 4 x4 = 4 3.2. ð nh lý Crocneker – Capelli  VD 1. Cho h phương trình: 2 x1 + x2 + 4 x3 = −3 • Cho h phương trình tuy n tính AX = B. Xét ma tr n m 2 x − 7 x = 5  2 3  a11 a12 ... a1n b1    r ng A = ( A B ) =  ... ðưa h v d ng ma tr n: ... ... ... ...  .  x1  a   1 −1 2 4     4   m1 am 2 ... amn bm   2 1 4 0   x2  =  − 3  .    0 2 −7 0   x3   5    ( ) H có nghi m khi và ch khi r A = r ( A) = r .   x     4 Khi ñó: Khi ñó, (1; –1; –1; 1) là 1 nghi m c a h . 1) r = n: H phương trình tuy n tính có nghi m duy nh t; 2) r < n: H phương trình tuy n tính có vô s nghi m ph thu c vào n – r tham s . 3.3. Phương pháp gi i h phương trình tuy n tính a11 ... b j ... a1n a) Phương pháp ma tr n ngh ch ñ o • Cho h pttt AX = B, A là ma tr n vuông c p n kh ngh ch. ∆ j = ... ... ... ... ... , j = 1, n (thay c t j trong A b i Ta có AX = B ⇔ X = A−1 B . an1 ... b j ... ann 2 x + y − z = 1 c t t do).  VD 2. Gi i h phương trình  y + 3z = 3 . Khi ñó, ta có các trư ng h p:   2 x + y + z = −1 ∆j b) Phương pháp ñ nh th c (Cramer) 1) N u ∆ ≠ 0 thì h có nghi m duy nh t x j = , ∀j = 1, n . ∆ • Cho h pttt AX = B, A là ma tr n vuông c p n. 2) N u ∆ = ∆ j = 0, ∀j = 1, n thì h có vô s nghi m (thay a11 ... a1 j ... a1n tham s vào h và tính tr c ti p). ð t ∆ = det A = ... ... ... ... ... , 3) N u ∆ = 0 và ∃∆ j ≠ 0, j = 1, n thì h vô nghi m. an1 ... anj ... ann c) Phương pháp Gauss VD 3. Gi i h phương trình sau b ng ñ nh th c: • Bư c 1. ðưa ma tr n m r ng ( A B ) v d ng b c thang 2 x + y − z = 1 b i PBðSC trên dòng.   y + 3z = 3 . • Bư c 2. Gi i ngư c t dòng cu i cùng lên trên.  2 x + y + z = −1  Chú ý Trong quá trình th c hi n bư c 1, n u: VD 4. Tùy theo tham s m, gi i và bi n lu n h phương trình: 1) Có 2 dòng t l thì xóa ñi 1 dòng; 2) Có dòng nào b ng 0 thì xóa dòng ñó; mx + y + z = 1  3) Có 1 dòng d ng ( 0 ... 0 b ) , b ≠ 0 thì k t lu n h vô  x + my + z = m .  x + y + mz = m 2 nghi m.  4) G p h gi i ngay ñư c thì không c n ph i ñưa ( A B ) v b c thang. Trang 6
  7. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH 3.4. H phương trình tuy n tính thu n nh t VD 5. Gi i h phương trình: a) ð nh nghĩa  x1 + 6 x2 + 2 x3 − 5 x4 − 2 x5 = −4 • H pttt thu n nh t là h pttt có d ng:  a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0 2 x1 + 12 x2 + 6 x3 − 18 x4 − 5 x5 = −5 . 3x + 18 x + 8 x − 23x − 6 x = −2 a x + a x + ... + a x = 0  1  21 1 22 2 2 3 4 5  2n n ⇔ AX = θ (2). ............................................. VD 6. Gi i h phương trình: am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = 0  5x1 − 2 x2 + 5 x3 − 3x4 = 3 Nh n xét  4 x1 + x2 + 3x3 − 2 x4 = 1 . 2 x + 7 x − x ( ) • Do r A = r ( A) nên h pttt thu n nh t luôn có nghi m.  1 2 3 = −1 Nghi m (0; 0;…; 0) ñư c g i là nghi m t m thư ng. b) ð nh lý • H (2) ch có nghi m t m thư ng ⇔ r ( A) = n ⇔ det A ≠ 0 . c) Liên h v i h pttt t ng quát ð nh lý • Xét h pttt t ng quát AX = B (1) và h pttt thu n nh t AX = θ (2). Khi ñó: 1) Hi u hai nghi m b t kỳ c a (1) là nghi m c a (2); 2) T ng 1 nghi m b t kỳ c a (1) và 1 nghi m b t kỳ c a (2) là nghi m c a (1). Chương 2. KHÔNG GIAN VECTOR §1. KHÁI NI M KHÔNG GIAN VECTOR VD 1. T p nghi m c a h phương trình tuy n tính thu n 1.1. ð nh nghĩa nh t là không gian vector. • Không gian vector V trên ℝ là c p (V, ℝ ) trang b hai T p V = { A ∈ M n (ℝ )} các ma tr n vuông c p n là kgvt. phép toán V ×V → V ℝ ×V → V th a 8 tính ch t sau: { } V = u = ( x1 , x2 ,..., xn ) xi ∈ ℝ, ∀i ∈1, n là kgvt Euclide ℝ n . ( x, y ) ֏ x + y (λ , y ) ֏ λ x 1.2. Không gian con c a kgvt 1) x + y = y + x; • Cho kgvt V, t p W ⊂ V là kgvt con c a V n u (W, ℝ ) 2) (x + y) + z = x + (y + z); cũng là m t kgvt. 3) ∃!θ ∈V : x + θ = θ + x = x ; • Cho kgvt V, t p W ⊂ V là kgvt con c a V n u: 4) ∃( − x ) ∈V : ( − x ) + x = x + ( − x ) = θ ; ( x + λ y ) ∈ W , ∀x , y ∈ W , ∀λ ∈ ℝ . 5) (λ1λ2 ) x = λ1 (λ2 x ) ; 6) λ ( x + y ) = λ x + λ y ; VD 2. T p W = {θ } là kgvt con c a m i kgvt V. 7) (λ1 + λ2 )x = λ1 x + λ2 x ; 8) 1.x = x. Trong ℝ n , t p W = {u = ( x1 ,0,...,0) x1 ∈ ℝ} là kgvt con. §2. S ð C L P TUY N TÍNH VÀ PH THU C TUY N TÍNH 2.1. ð nh nghĩa ð nh lý Trong kgvt V, cho n vector ui (i = 1, 2,…, n). • H n vector ph thu c tuy n tính ⇔ ∃ 1 vector là t h p n tuy n tính c a n – 1 vector còn l i. • T ng ∑λ u ,λ ∈ℝ i =1 i i i ñư c g i là m t t h p tuy n tính c a VD 2. N u x1 = 2x2 – 3x3 thì h {x1, x2, x3} là ph thu c tuy n tính. n vector ui. • H n vector {u1, u2,…, un} ñư c g i là ñ c l p tuy n tính H qu n • H có 1 vector không thì ph thu c tuy n tính. n u có ∑λ u i i = θ thì λi = 0, ∀i = 1, n . • N u có 1 b ph n c a h ph thu c tuy n tính thì h ph i =1 thu c tuy n tính. • H n vector {u1, u2,…, un} không là ñ c l p tuy n tính thì ñư c g i là ph thu c tuy n tính. 2.2. H vector trong ℝ n VD 1. Trong ℝ 2 , h {u1 = (1;–1), u2 = (2; 3)} là ñltt. ð nh nghĩa Trong ℝ n , h {ui = (0; 0;…; 1; 0;…; 0)} (v trí th i là 1) • Trong ℝ n cho m vector ui = ( ai1 , ai 2 ,..., ain ), i = 1, m . Ta g i A = ( aij ) là ñltt. là ma tr n dòng c a m vector ui. Trong ℝ3 , h {u1=(–1;3;2), u2=(2;0;1), u3=(0;6;5)} là pttt. m×n Trang 7
  8. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH §3. CƠ S – S CHI U – T A ð ð nh lý 3.1. Cơ s c a kgvt • Trong ℝ n , h {u1 , u2 ,..., um } ñ c l p tuy n tính khi và ch ð nh nghĩa khi r(A) = m (b ng s ph n t c a h ). • Trong kgvt V, h B = {u1, u2,…, un} ñư c g i là m t cơ s • Trong ℝ n , h {u1 , u2 ,..., um } ph thu c tuy n tính khi và c a V n u h B ñltt và m i vector c a V ñ u bi u di n tuy n ch khi r(A) < m. tính qua B. VD 3. Xét s ñltt hay pttt c a các h : B1 = {(–1;2;0), (1;5;3), (2;3;3)}, B2 = {(–1; 2; 0), (2; 1; 1)}. VD 1. – Trong ℝ n , h H qu E = {e1 = (1; 0;…; 0), e2 = (0; 1;…; 0), …, en = (0;…; 0; 1)} • Trong ℝ n , h có nhi u hơn n vector thì ph thu c tuy n là cơ s chính t c. tính. – Trong ℝ 2 , h B = {u1 = (1;–1), u2 = (2; 3)} là cơ s . • Trong ℝ n , h n vector ñ c l p tuy n tính ⇔ det A ≠ 0 . 3.2. S chi u c a kgvt 3.3. T a ñ a) ð nh nghĩa ð nh nghĩa • Trong kgvt V cho cơ s B = {u1, u2,…, un}. Khi ñó, m i • Kgvt V ñư c g i là có n chi u, ký hi u dimV = n, n u x ∈V có bi u di n tuy n tính duy nh t x = x1u1+…+xnun. trong V có ít nh t 1 h g m n vector ñltt và m i h g m n+1 Ta nói x có t a ñ ñ i v i B là (x1,…, xn). vector ñ u pttt.  x1  Ký hi u [ x ]B =  ...  .   ð nh lý x  • dimV = n khi và ch khi trong V t n t i 1 cơ s g m n  n vector. • ð c bi t, t a ñ c a vector x ñ i v i cơ s chính t c E là [x]E = [x] (t a ñ c t thông thư ng c a x). H qu VD 2. Trong ℝ 2 cho cơ s B = {u1 = (2;–1), u2 = (1; 1)} và • Trong ℝ n , m i h g m n vector ñltt ñ u là cơ s . x = (3;–5). Tìm [x]B. b) ð i cơ s VD 3. Trong ℝ 2 cho 2 cơ s B1 = {u1 = (1; 0), u2 = (0;–1)}, • Ma tr n chuy n cơ s 1 – Trong kgvt V cho 2 cơ s B2 = {v1 = (2;–1), v2 = (1; 1)} và [ x ]B =   . B1 = {u1, u2,…, un} và B2 = {v1, v2,…, vn}. 2  2 Ma tr n ([ v ] 1 B1 [v2 ]B ... [vn ]B ) 1 1 ñư c g i là ma tr n chuy n a) Tìm PB1 → B2 ; b) Tìm [ x ]B . 1 cơ s t B1 sang B2. Ký hi u PB1 → B2 . ð nh lý Trong kgvt ℝ n cho 3 cơ s B1, B2 và B3. Khi ñó: – ð c bi t, n u E là cơ s chính t c thì: 1) PBi → Bi = I n (i = 1, 2, 3); PE → B1 = ([u1 ][u2 ] ... [un ]) . 2) PB1 → B3 = PB1 → B2 .PB2 → B3 ; ( ) −1 • Công th c ñ i t a ñ 3) PB1 → B2 = PB2 → B1 . [ x ]B1 = PB1 → B2 [ x ]B2 . H qu • Trong kgvt ℝ n , ta có: ( ) u1 , u2 ,..., um = {x ∈ ℝ n : x = λ1u1 + λ2 u2 + ... + λm um , λi ∈ ℝ} . −1 PB1 → B2 = PB1 → E PE → B2 = PE → B1 PE → B2 . VD 4. Gi i l i VD 3. Khi ñó: 1) dim = r(S) (h ng ma tr n dòng m vector c a S); 3.4. Không gian con sinh b i 1 h vector 2) N u dim = r thì m i h con g m r vector ñltt c a S ñ u là cơ s c a spanS. • Trong kgvt V cho h m vector S = {u1,…, um}. T p t t c các t h p tuy n tính c a S ñư c g i là không gian con sinh VD 5. b i S trên ℝ . Ký hi u spanS ho c . Trong ℝ 4 cho h vector S = {u1 =(–2; 4;–2;–4), u2 = (2;–5;–3; 1), u3 = (–1; 3; 4; 1)}. Tìm 1 cơ s và dimspanS. Trang 8
  9. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH §4. ÁNH X TUY N TÍNH 4.1. ð nh nghĩa f(x1; x2) = (x1 – x2; 2 + 3x2) không là PBðTT t ℝ 2 → ℝ 2 . • Ánh x f : ℝ n → ℝ m th a  f ( x + y) = f ( x) + f ( y) Chú ý  ∀x , y ∈ ℝ n , ∀λ ∈ ℝ  f ( x + y) = f ( x) + f ( y)  f (λ x ) = λ f ( x ) ði u ki n  ñư c g i là ánh x tuy n tính.  f (λ x ) = λ f ( x ) • Ánh x f : ℝ n → ℝ n th a ⇔ f ( x + λ y ) = f ( x ) + λ f ( y ) ∀x , y ∈ ℝ n , ∀λ ∈ ℝ .  f ( x + y) = f ( x) + f ( y) VD 2. Các PBðTT thư ng g p trong m t ph ng:  ∀x , y ∈ ℝ n , ∀λ ∈ ℝ 1) Phép chi u vuông góc xu ng tr c Ox, Oy:  f (λ x ) = λ f ( x ) f(x; y) = (x; 0), f(x; y) = (0; y). ñư c g i là phép bi n ñ i tuy n tính. 2) Phép ñ i x ng qua Ox, Oy: VD 1. f(x; y) = (x;–y), f(x; y) = (–x; y). f(x1; x2; x3) = (x1–x2 +x3; 2x1 +3x2) là AXTT t ℝ 3 → ℝ 2 . 3) Phép quay góc φ quanh g c t a ñ O: f(x1; x2) = (x1 – x2; 2x1 + 3x2) là PBðTT t ℝ 2 → ℝ 2 . f(x; y) = (xcosφ – ysinφ; xsinφ + ycosφ). 4.2. Ma tr n c a ánh x tuy n tính  a11 a12 ...an 1  a) ð nh nghĩa a a22 ... an 2  • Cho AXTT f : ℝ n → ℝ m và hai cơ s l n lư t là [ f ]B12 =  21 . B  ... ... ... ...  B1 = {u1, u2,…, un} và B2 = {v1, v2,…, vm}.   ([ f (u ) ] ) ñư c  a m1 am 2 ... amn  Ma tr n c p m × n [ f (u2 )]B ... [ f (un )]B • Cho PBðTT f : ℝ → ℝ n 1 B2 n 2 2 và cơ s B = {u1, u2,…, un}. g i là ma tr n c a AXTT f trong c p cơ s B1, B2. Ký hi u [ f ]B12 ho c A. B Ma tr n vuông c p n ([ f (u )] [ f (u )] ... [ f (u )] ) 1 B 2 B n B ñư c g i là ma tr n c a PBðTT f trong cơ s B.  f ( u1 ) = a11v1 + a21v2 + a31v3 + ... + am1vm  Ký hi u [ f ]B ho c [f] ho c A.  f ( u2 ) = a12 v1 + a22 v2 + a32 v3 + ... + am 2 vm Chú ý C th , n u  thì .................................................................... • N u A là ma tr n c a AXTT f trong c p cơ s B1, B2 thì  f ( u ) = a v + a v + a v + ... + a v f ( x1 , x2 ,..., xn ) = A( x1 x2 ... xn )T .  n 1n 1 2n 2 3n 3 mn m VD 3. a) Cho AXTT b) Ma tr n ñ ng d ng f(x, y, z, t) = (3x + y – z; x – 2y + t; y + 3z – 2t). Tìm [ f ]E3 . E4 ð nh nghĩa E3 • Hai ma tr n vuông A, B c p n ñư c g i là ñ ng d ng v i b) Cho AXTT f(x, y) = (3x; x – 2y; –5y). Tìm [ f ] . E2 nhau n u t n t i ma tr n kh ngh ch P th a B = P–1AP. c) Cho PBðTT f(x, y, z) = (3x + y – z; x – 2y; y + 3z). Tìm [ f ]E3 . ð nh lý • N u AXTT f : ℝ n → ℝ m có ma tr n trong các c p cơ s VD 4. Cho AXTT f : ℝ 2 → ℝ 3 có ma tr n c a f trong hai  1 −3  (B , B ) , (B , B ) 1 / 1 2 / 2 tương ng là A1, A2 và P = PB1 → B2 , cơ s chính t c E2 và E3 là A =  0 2  . P′ = PB / → B / thì A2 = ( P ′) A1 P . −1   1 2 4 3    • ð c bi t, n u PBðTT f : ℝ n → ℝ n có ma tr n trong hai Tìm ma tr n f trong hai cơ s B1 = {u1 = (1; 1), u2 = (1; 2)} cơ s B1, B2 l n lư t là A, B và P = PB1 → B2 thì B = P–1AP. và B2 = {v1 = (1; 0; 1), v2 = (1; 1; 1), v3 = (1; 0; 0)}. c) Thu t toán tìm ma tr n c a AXTT VD 5. • Cho AXTT f : ℝ n → ℝ m và hai cơ s l n lư t là Cho PBðTT f(x, y) = (x + y; x – 2y). Tìm ma tr n c a f B1 = {u1, u2,…, un} và B2 = {v1, v2,…, vm}. trong cơ s chính t c E và trong B={u1=(2;1),u2=(1;–1)}. – Ký hi u: VD 6. Cho AXTT f(x, y, z) = (x + y – z; x – y + z). Tìm ma tr n S = ([ v1 ][ v2 ] ... [vm ]) (ma tr n c t các vector c a B2), c a f trong c p cơ s : Q = ([ f (u1 ) ][ f (u2 ) ] ... [ f (un )]) . B = {u1 = (1;1;0), u2 = (0;1;1), u3 = (1;0;1)} và B′ = {u1/ = (2;1), u2 = (1;1)} . ( ) / – Dùng PBðSC dòng ñưa ma tr n ( S Q ) → I [ f ]B2 . B 1 VD 7. Tìm l i các ma tr n f trong VD 4 và VD 6. Trang 9
  10. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH §5. CHÉO HÓA MA TR N 5.1. Giá tr riêng, vector riêng c a PBðTT Cách tìm giá tr riêng và vector riêng: a) ð nh nghĩa Cho PBðTT f : ℝ n → ℝ n có ma tr n trong cơ s • Bư c 1. Gi i phương trình ñ c trưng A − λ I = 0 ñ tìm B = {u1, u2,…, un} là A. giá tr riêng λ. • S λ ∈ ℝ ñư c g i là giá tr riêng c a A (hay f) n u: • Bư c 2. Gi i h phương trình ( A − λ I ) x = θ , nghi m ∃x ∈ ℝ n , x ≠ θ : Ax = λ x . không t m thư ng là vector riêng.  0 0 1 VD 1. Cho A =  0 1 0  . • Vector x ñư c g i là vector riêng c a A (hay f) ng v i giá tr riêng λ .   1 0 0 • ða th c PA(λ) = det(A – λI) ñư c g i là ña th c ñ c trưng   c a A (hay f) và λ là nghi m c a pt ñ c trưng PA(λ) = 0. Tìm giá tr riêng và vector riêng c a A. 1 3 3 5.2. Chéo hóa ma tr n VD 2. Cho B =  −3 −5 −3  .   a) ð nh nghĩa  3 3 1   Tìm giá tr riêng và vector riêng c a B. • Cho PBðTT f : ℝ n → ℝ n , n u có m t cơ s sao cho ma tr n c a f là ma tr n ñư ng chéo thì ta nói f chéo hóa ñư c. b) Tính ch t • Các vector riêng ng v i giá tr riêng λ cùng v i vector • Ma tr n vuông A là chéo hóa ñư c n u nó ñ ng d ng v i không t o thành 1 không gian vector con riêng E(λ) c a ma tr n ñư ng chéo D, nghĩa là P–1AP = D. ℝn . Khi ñó, ta nói P làm chéo hóa A. • Các vector riêng ng v i giá tr riêng khác nhau thì ñ c l p tuy n tính.  0 0 0 b) ði u ki n chéo hóa ñư c VD 3. Cho A =  0 1 0  , xét ma tr n: ð nh lý   • N u A có n giá tr riêng ñôi phân bi t thì A chéo hóa ñư c. 1 0 1   • A chéo hóa ñư c khi và ch khi A có n giá tr riêng k c  1 0 0 1 0 0 b i và s chi u c a t t c không gian con riêng b ng s b i P=  0 1 0  ⇒ P −1 =  0 1 0  . c a giá tr riêng tương ng.     −1 0 1      1 0 1 c) Thu t toán chéo hóa ma tr n  0 0 0  0 0 0 • Bư c 1. Gi i phương trình ñ c trưng ñ tìm các giá tr riêng c a A. Khi ñó: P −1 AP =  0 1 0  ⇒ A = P  0 1 0  P −1 .     1) N u A không có giá tr riêng nào thì A không chéo  0 0 1 0 0 1     hóa ñư c. • Bư c 3. L p ma tr n P có các c t là các vector cơ s c a 2) Gi s A có k giá tr riêng phân bi t λ1, λ2,…, λk v i s E(λi). Khi ñó, P–1AP = D v i D là ma tr n ñư ng chéo có b i tương ng n1, n2,…, nk. Khi ñó: các ph n t trên ñư ng chéo chính l n lư t là λi (xu t hi n a) n1 + n2 +…+ nk < n thì A không chéo hóa ñư c. liên ti p ni l n). b) n1 + n2 +…+ nk = n thì ta làm ti p bư c 2. VD 4. Chéo hóa các ma tr n: 3 0  1 0  • Bư c 2. V i m i λi tính r(A – λiI) = ri. A=  , B =  6 −1  .  8 −1    Khi ñó dimE(λi) = n – ri. 1) N u có m t λi mà dimE(λi) < ni thì A không chéo hóa VD 5. Chéo hóa các ma tr n : ñư c.  0 0 0 1 3 3 2) N u dimE(λi) = ni v i m i λi thì k t lu n A chéo hóa A=  0 1 0  , B =  −3 −5 −3  .    ñư c. Ta làm ti p bư c 3. 1 0 1  3 3 1     Trang 10
  11. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH Chương 3. D NG TOÀN PHƯƠNG §1. KHÁI NI M D NG TOÀN PHƯƠNG 1.1. D ng toàn phương t ng quát VD 1. Tìm d ng toàn phương Q(x) hai bi n x1, x2. ð nh nghĩa  1 −1  • Hàm s n bi n s x = (x1, x2,…, xn) Bi t ma tr n c a Q(x) là A =  .  −1 2  Q : ℝ n → ℝ cho b i bi u th c n n Q ( x ) = [ x ] A [ x ] = ∑∑ aij xi x j (A là ma tr n ñ i x ng) T i =1 j =1 VD 2. Cho d ng toàn phương 3 bi n ñư c g i là d ng toàn phương trong ℝ . n Q ( x ) = 2 x12 + 3x2 − x3 − x1 x2 + 6 x2 x3 . 2 2 Tìm ma tr n A. • Ma tr n A và r(A) ñư c g i là ma tr n và h ng c a d ng toàn phương Q. 1.2. D ng chính t c c a d ng toàn phương 1.3. D ng toàn phương xác ñ nh d u ð nh nghĩa • D ng chính t c là d ng toàn phương trong ℝ n ch ch a a) ð nh nghĩa n • D ng toàn phương Q(x) là xác ñ nh dương n u: bình phương c a các bi n Q ( x ) = ∑ aii xi2 . Q ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ n ( x ≠ θ ) . i =1 • Ma tr n A c a d ng chính t c là ma tr n ñư ng chéo. • D ng toàn phương Q(x) là xác ñ nh âm n u: VD 3. Tìm d ng chính t c Q(x) hai bi n x1, x2. Q ( x ) < 0, ∀x ∈ ℝ n ( x ≠ θ ) . 1 0  • D ng toàn phương Q(x) là n a xác ñ nh dương (âm) n u: Bi t ma tr n c a Q(x) là A =  .  0 −2  Q ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ n (Q ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ ℝ n ) . VD 4. Cho d ng chính t c 3 bi n Q ( x ) = x12 − 5 x2 − 3x3 . 2 2 • D ng toàn phương Q(x) là không xác ñ nh n u nó nh n c Tìm ma tr n A. giá tr dương l n âm. b) các tiêu chu n xác ñ nh d u ð nh lý 2 (Sylvester) ð nh lý 1 Cho ma tr n vuông c p n A = ( aij ) . ð nh th c: n n • D ng toàn phương Q(x) c a ℝ xác ñ nh dương khi và a11 ... a1k ch khi t t c các h s d ng chính t c c a nó ñ u dương. Dk = ... ... ... (1 ≤ k ≤ n ) ñư c g i là ñ nh th c con ak 1 ... akk • D ng toàn phương Q(x) c a ℝ n xác ñ nh âm khi và ch chính c a A (A có n ñ nh th c con chính). khi t t c các h s d ng chính t c c a nó ñ u âm. • D ng toàn phương Q(x) c a ℝ n xác ñ nh dương khi và ch khi t t c các ñ nh th c con chính Dk > 0. • D ng toàn phương Q(x) c a ℝ n xác ñ nh âm khi và ch khi các ñ nh th c con chính c p ch n dương, c p l âm. §2. ðƯA D NG TOÀN PHƯƠNG V D NG CHÍNH T C Phương pháp chung a) Trư ng h p 1 (có 1 h s aii ≠ 0) ð i bi n x ∈ ℝ n b ng bi n • Bư c 1. Gi s a11 ≠ 0 , ta tách t t c các s h ng ch a x1 y ∈ ℝ n : [ x ] = P [ y ] ⇔ [ y ] = P −1 [ x ] trong Q(x) và thêm (b t) ñ có d ng: 1 (P là ma tr n vuông không suy bi n, det P ≠ 0 ) sao cho Q( x) = ( a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn ) + Q1 ( x2 , x3 ,..., xn ) , 2 D = PTAP có d ng chéo. Khi ñó: a11 Q ( x ) = [ x ] A [ x ] = [ y ] D [ y ] (d ng chính t c theo bi n y). Q1 ( x2 , x3 ,..., xn ) có n – 1 bi n. T T ( ð i bi n y1 = a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn , yi = xi i = 2, n . ) 2.1. Thu t toán Lagrange 1 Cho d ng toàn phương ð i bi n ngư c x1 = ( y1 − a12 y2 − ... − a1n yn ) , n n n a11 Q ( x ) = ∑∑ aij xi x j = ∑ aii xi2 + 2 ∑ ( ) aij xi x j (aij = aji). i =1 j =1 i =1 1≤ i < j ≤ n xi = yi i = 2, n . 1 2 V i bi n m i thì Q ( y ) = y1 + Q1 ( y2 ,..., yn ) . a11 Trang 11
  12. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH • Bư c 2. Ti p t c làm như bư c 1 cho Q1(y2,…, yn), sau 1 2.2. Thu t toán Jacobi s h u h n bư c thì Q(x) có d ng chính t c. Cho d ng toàn phương Q ( x ) có ma tr n A = ( aij ) th a n b) Trư ng h p 2 (các h s aii = 0)  x1 = y1 + y2 Dk ≠ 0, ∀k ∈1, n . V i j > i, ta ñ t Dj–1,i là ñ nh th c c a ma  Gi s a12 ≠ 0 , ta ñ i bi n  x2 = y1 − y2 . Khi ñó, tr n có các ph n t n m trên giao c a các dòng 1, 2,…, j–1  x = y (i = 3,..., n ) và các c t 1, 2, …, i–1, i+1,…, j (b c t i) c a A.  i i Q = 2a12 y1 − 2a12 y2 + ... có h s c a y12 là a12 ≠ 0 . 2 2 • ð i bi n theo công th c: Tr l i trư ng h p 1.  x1 = y1 + b21 y2 + b31 y3 + b41 y4 + ... + bn1 yn VD 1. ðưa d ng toàn phương x = y2 + b32 y3 + b42 y4 + ... + bn 2 yn  2 Q = − x2 + 4 x3 + 2 x1 x2 + 4 x1 x3 v d ng chính t c. Tìm P. 2 2  , ............................................................ VD 2. ðưa d ng toàn phương Q = 2 x1 x2 + 2 x1 x3 − 6 x2 x3 v  xn = yn  d ng chính t c. Tìm P. D j −1,i 2.3. Thu t toán chéo hóa tr c giao v i b ji = ( −1)i + j . D j −1 a) ð nh nghĩa • Ma tr n vuông P ñư c g i là ma tr n tr c giao n u: D2 2 D3 2 D PT = P–1 hay PTP = In. • Khi ñó, Q = D1 y12 + y2 + y3 + ... + n yn . 2 D1 D2 Dn −1 • N u có ma tr n tr c giao P làm chéo hóa ma tr n A thì ta g i P chéo hóa tr c giao ma tr n A. VD 3. ðưa d ng toàn phương Chú ý Q = 2 x12 + x2 + x3 + 3x1 x2 + 4 x1 x3 v d ng chính t c. Tìm P. 2 2 – N u P = ( aij ) là ma tr n tr c giao thì : n n ∑a i =1 2 ij = 1 (t ng bình phương c t). b) ð nh lý u3 v1 u3 v2 • M i d ng toàn phương Q(x) c a ℝ n ñ u ñưa ñư c v v3 = u3 − v1 − v2 ,… v1 v1 v2 v2 d ng chính t c Q = λ1 y12 + λ2 y2 + ... + λn yn b ng phép ñ i 2 2 bi n [x] = P[y], v i P là ma tr n làm chéo hóa tr c giao A (ký hi u u v là tích vô hư ng c a u và v). và các λi là các giá tr riêng c a A. vi 2) Chu n hóa wi = , v i vi là ñ dài vector vi. vi c) Thu t toán • Bư c 3. • Bư c 1. Ma tr n P = ([w1] [w2] … [wn]). Tìm các giá tr riêng λi và vector riêng ui (i = 1,…,n). • Bư c 2. Tr c chu n hóa ui như sau: VD 4. ðưa d ng toàn phương 1) ð t Q = 6 x12 + 6 x2 + 5 x3 − 4 x1 x2 − 2 x1 x3 − 2 x2 x3 v d ng chính 2 2 v1 = u1 , v2 = u2 − u2 v1 v1 , t c. Tìm P. Cho bi t A có λ1 = 3, u1 = (1;1;1); v1 v1 λ2 = 6, u2 = ( −1; −1; 2); λ3 = 8, u3 = ( −1;1;0) . §3. RÚT G N QUADRIC 2.4. Thu t toán bi n ñ i sơ c p ma tr n ñ i x ng 3.1. ðư ng b c hai trên m t ph ng t a ñ Oxy • Bư c 1. Bi n ñ i sơ c p dòng ( A I ) và ñ ng th i l p l i a) ð nh nghĩa • Trên mpOxy, ñư ng b c hai là t p h p t t c các ñi m các bi n ñ i cùng ki u trên các c t c a ( A I ) ñ ñưa A v M(x; y) có t a ñ th a phương trình: d ng chéo. Khi ñó, I s tr thành PT và Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 (1). Trong ñó, A2 + B2 + C2 > 0.  λ1 0 ... 0   0 λ ... 0  • Các d ng chính t c c a ñư ng b c hai: P AP =  T 2 . x2 y2 1) 2 + 2 = 1 (ñư ng elip);  ... ... ... ...    a b  0 0 0 λn  x2 y2 • Bư c 2. ð i bi n [x] = P[y] ta có 2) 2 − 2 = 1 (ñư ng hyperbol); a b Q = λ1 y12 + λ2 y2 + ... + λn yn . 2 2 3) y 2 = 2 px (parabol); VD 5. ðưa d ng toàn phương Q = 2 x1 x2 − 4 x1 x3 + 6 x2 x3 v 4) x 2 − y 2 = 0 (c p ñư ng th ng c t nhau); d ng chính t c. Tìm P. Trang 12
  13. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH 5) y 2 = a , a > 0 (c p ñư ng th ng song song); • Cho (C) là ñư ng b c hai không suy bi n (Conic) có phương trình (1). 6) y = 0 (c p ñư ng th ng trùng nhau). 2  A B • Các ñư ng b c hai có phương trình d ng 1), 2) và 3) ñư c ð t Q=  , khi ñó: g i là không suy bi n. B C 1) (C) là ñư ng elip ⇔ det Q > 0 ; b) Nh n bi t các ñư ng Conic 2) (C) là ñư ng hyperbol ⇔ det Q < 0 ; • Cho (C) là ñư ng b c hai có phương trình (1). 3) (C) là ñư ng parabol ⇔ det Q = 0 ;  A B D 4) (C) là ñư ng tròn ⇔ A = C ≠ 0, B = 0 . ð t Q =  B C E  , khi ñó:   c) Phương pháp l p phương trình chính t c c a ñư ng D E F   b c hai ( ) • Gi s ñư ng b c hai (C) có phương trình (1) trong Oxy. (C) không suy bi n ⇔ det Q ≠ 0 ⇔ r Q = 3 . Xét d ng toàn phương: Q(x, y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2 xác ñ nh b i ph n ñ ng c p trong (1). • Bư c 1. Chính t c hóa tr c giao Q(x, y) nh phép quay VD 2. L p phương trình chính t c c a thích h p trong h t a ñ ñang xét. (C): 5x2 + 4xy + 8y2 – 32x – 56y + 80 = 0 trong Oxy. • Bư c 2. T nh ti n h t a ñ m t cách thích h p ñ phương Gi i. Xét d ng toàn phương Q(x, y) = 5x2 + 4xy + 8y2. trình (C) có d ng chính t c. 5 2 VD 1. Xác ñ nh d ng c a ñư ng b c hai Ta có Q =   (C): x2 – 4xy + 4y2 + 4x – 3y – 7 = 0. 2 8  1 −2 2   2 1  − Ta có Q =  −2 4 −3 / 2  ⇒ r Q = 3 ( ) 5 5   ⇒P=  là ma tr n tr c giao chéo hóa Q.  −3 / 2 E −7   1  2    ⇒ (C) không suy bi n.  5  5  1 −2   cos ϕ sin ϕ  Q= Quay quanh O m t góc ϕ sao cho P =  ,  ⇒ det Q = 0 ⇒ (C) là ñư ng parabol.  − sin ϕ cos ϕ   −2 4   1 2  x = 5 x′ −  5 y′  8   2 1  2 nghĩa là ta ñ i t a ñ :  .  x′ −   y′ +   y = 2 x′ + 1 ⇔  5  + 5 =1. y′   5 5 4 9 Khi ñó, (C) có phương trình:  8 144 8  X = x′ −  5 9 x ′2 + 4 y ′2 − x′ + y ′ + 80 = 0 Dùng phép t nh ti n h t a ñ :  thì 5 5 Y = y ′ + 1 2 2   5  8   1  ⇔ 9  x′ −  + 4  y′ +  = 36 2 2  5  5 X Y (C ) : + = 1 (elip). 4 9 3.2. M t b c hai trong không gian t a ñ Oxyz x2 y 2 z2 a) ð nh nghĩa 4) + − = 0 (nón eliptic); a2 b2 c 2 • Trong không gian Oxyz, m t b c hai là t p h p t t c các x2 y2 ñi m M(x; y; z) có t a ñ th a phương trình: 5) + 2 = 2 z (parabolit eliptic); Ax2 + 2Bxy + 2Cxz + Dy2 + 2Eyz + Fz2 + 2Gx + 2Hy + a2 b 2Kz + L = 0(2). x2 y2 Trong ñó A, B, C, D, E, F không ñ ng th i b ng 0. 6) − 2 = 2 z (parabolit hyperbolic – yên ng a); a2 b • Các d ng chính t c c a m t b c hai: x2 y2 x2 y2 z2 7) + 2 = 1 (m t tr eliptic); 1) 2 + 2 + 2 = 1 (m t elipxoit); a2 b a b c x2 y2 x 2 y 2 z2 8) − 2 = 1 (m t tr hyperbolic); 2) 2 + 2 − 2 = 1 (hyperboloit 1 t ng); a2 b a b c 2 2 9) y2 = 2 px (m t tr parabolic). x y z2 3) 2 + 2 − 2 = −1 (hyperboloit 2 t ng); a b c Trang 13
  14. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH b) Nh n bi t các m t b c hai 22x2 + 8xy + 28y2 + 15z2 – 112x – 184y – 30z + 343 = 0. • Cho (S) là m t b c hai có phương trình (2). Gi i. A B C G Ta có  A B C B D E H  22 4 0 −56  ð t Q =  B D E  và Q =     , ta có:  22 4 0   4 28 0 −92  C E F  C E F K  Q =  4 28 0  và Q =    .      0 0 15 −15  G H K L   0 0 15       −56 −92 −15 343  ( ) (S) không suy bi n ⇔ det Q ≠ 0 ⇔ r Q = 4 . Khi ñó: 1) (S) là m t elipxoit ⇔ Q xác ñ nh dương ho c xác ñ nh ( ) Do r Q = 4 nên (S) không suy bi n. âm. 2) (S) là m t parabolic ⇔ det Q = 0 . Theo ñ nh lý Sylvester, Q có D1 = 22 > 0; D2 = 600 > 0; D3 = 9000 > 0 nên Q xác ñ nh VD 3. Xác ñ nh d ng c a m t b c hai sau ñây r i l p dương. V y (S) là m t elipxoit. phương trình chính t c (S):  1 2  480 40 − 0 30 x ′2 + 20 y ′2 + 15z ′2 − x′ − y ′ − 30 z ′ + 343 = 0  5 5 5 5  22 4 0    2 2 Ta có: Q =   4 28 0  ⇒ P =  2 1   8   1   0  là ma  x′ −   y′ −   5  ( z ′ − 1) 2  0 0 15   5 5  ⇔  5  + + =1.    0 0 1 2 3 4      8 tr n tr c giao chéo hóa Q.  X = x′ − 5   1 2  1  x = 5 x′ − 5 y ′ Dùng phép t nh ti n h t a ñ : Y = y ′ −   5  2 1 Z = z′ − 1 ð i t a ñ : y = x′ + y′ .   5 5   z = z′ X 2 Y 2 Z2  thì ( S ) : + + = 1 (m t elipxoit).  2 3 4 Khi ñó, (S) có phương trình: ……………………………H t……………………………. Trang 14
Đồng bộ tài khoản