Bài giảng về cấp số cộng - Lớp 11

Chia sẻ: vanhoangbank

Trong bài giảng toán học giải tích 11 bài cấp số cộng là một trong những bài quan trọng, đến với bài giảng này học sinh nắm được kiến thức về cấp số cộng một cách nhanh nhất.

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Bài giảng về cấp số cộng - Lớp 11

KIỂM TRA BÀI CŨ


Biết bốn số hạng đầu tiên của một dãy số là 3,7,11,15 .Hãy chỉ
ra quy luật của dãy số trên và viết tiếp năm số hạng của dãy số
đã cho ?


BÀI GIẢI


•Quy luật của dãy số trên là : 7=3+4;11=7+4;15=11+4 .
•Năm số hạng tiếp theo của dãy số đã cho là :19,23,27,31,35
§3 CẤP SỐ CỘNG
I/ ĐỊNH NGHĨA

ĐỊNH NGHĨA

Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hoặc vô hạn ), trong đó kể từ
số hạng thứ hai ,mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó
cộng với một số không đổi d.
Số d gọi là công sai

*
Công thức truy hồi : un1  un  d (n  )


Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi
VD : 5,5,5,5,5,5,5 với U1=5 và d = 0
§3 CẤP SỐ CỘNG
I/ ĐỊNH NGHĨA
*
ĐỊNH NGHĨA un1  un  d (n  )

HOẠT ĐỘNG 1
Mỗi nhóm hãy cho một ví dụ cấp số cộng

Một số ví dụ về cấp số cộng

Cấp số cộng U1 d
1,-3,-7,-11,-15 1 -4
5,10,15,20,… 5 5
2,7 ;2,7 ;2,7 ;2,7 2,7 0
§3 CẤP SỐ CỘNG
HOẠT ĐỘNG KHÁM PHÁ

Bạn An chơi trò xếp que diêm thành hình tháp ,cách xếp thể hiện như
sau:
Tầng 1 1 que

Tầng 2 3 que

Tầng 3 5 que

Tầng 4 7 que

-------------
Tầng 100 (tầng đáy)
? Có bao nhiêu que ?


Hỏi nếu có 100 tầng thì tầng đáy có bao nhiêu que diêm ?
§3 CẤP SỐ CỘNG

II/SỐ HẠNG TỔNG QUÁT
ĐỊNH LÝ 1
Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng
quát un, được xác định bởi công thức :

un  u1  (n  1)d với n  2 (*)
§3 CẤP SỐ CỘNG
II/SỐ HẠNG TỔNG QUÁT
ĐỊNH LÝ 1
Nếu cấp số cộng (Un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng
quát un, được xác định bởi công thức :
un  u1  (n  1)d với n  2 (*)
CHỨNG MINH
Sử dụng phương pháp quy nạp :
Khi n = 2 thì u2=u1+d (đúng).
Giả sử công thức ( * ) đúng với n = k ,tức là uk = u1 + (k-1)d.
Ta chứng minh ( * ) đúng với n = k+1,tức ta chứng minh :uk+1 = u1+ kd.
ta có : uk+1 =uk+d ( định nghĩa cấp số cộng )
uk+1 = u1 + (k-1)d + d ( theo gt quy nạp )
uk+1 = u1 + kd -d + d uk+1 = u1 + kd ( điều phải chứng minh )
Vậy : uk = u1 +(n-1)d với n  2
Qua định lý 1 vừa học ta trở lại bài toán tính số que diêm của tầng đế
( tức là tính u100 ).
Tóm tắt :Với u1=1,d = 2 .Tính u100

HOẠT ĐỘNG 2
Bạn An chơi trò xếp que diêm thành hình tháp ,cách xếp thể hiện
như sau:
Tầng 1 1 que

Tầng 2 3 que

Tầng 3 5 que

Tầng 4 7 que
-------------
?

Tầng 100 (tầng đáy) Có bao nhiêu que ?

Hỏi nếu có 100 tầng thì tầng đáy có bao nhiêu que diêm ?

Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát:
BÀI GIẢI u100 = 1+(100-1).2 = 199
Vậy tầng đế có 199 que diêm
§3 CẤP SỐ CỘNG
II/SỐ HẠNG TỔNG QUÁT
ĐỊNH LÝ 1 un  u1  (n  1)d với n  2
VÍ DỤ :
Cho cấp số cộng (un) biết u1= -5,d = 3.
a/ Tính u15.
b/ Số 100 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng ?
c/ Biểu diễn các số hạng u1,u2,u3,u4,u5 trên cùng trục số .Nhận xét vị
trí của mỗi điểm u2,u3,u4 so với hai điểm liền kề
GIẢI a/ u15 = -5 +(15-1).3 = 37
b/ un = -5 +(n-1).3 100 = -5 +(n-1).3 100 = -5 +3n -3 108 = 3n
. n = 36
u1 u2 u3 u4 u5
c/
-5 -2 1 4 7
u3  u5
u4 là trung điểm của đoạn u3u5 hay u4  tương tự với u3 và u2
2
§3 CẤP SỐ CỘNG
III/ TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG :

ĐỊNH LÝ 2 :
Trong cấp số cộng , mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối ) đều là trung
bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó ,nghĩa là
uk 1  uk 1
uk  .(k  2)
2

CHỨNG MINH : giả sử (un) là cấp số cộng với d là công sai
Theo định nghĩa cấp số cộng :
uk-1 = uk – d (1)
uk+1 = uk+ d (2)
uk 1  uk 1
Cộng (1) với (2): uk-1+ uk+1 = 2uk uk  .(k  2)
2
§3 CẤP SỐ CỘNG
III/ TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG :

ĐỊNH LÝ 2 :
Trong cấp số cộng , mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối ) đếu là trung
bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó ,nghĩa là
uk 1  uk 1
uk  .(k  2)
2

Câu hỏi :
Cho cấp số cộng hữu hạn gồm 4 số hạng :3 ; x ; -5 ;-9 Áp dụng định lý 2, tìm x

GIẢI Áp dụng định lý 2 : x = [3 + (-5)]:2 = -1.Vậy x = -1
Ngoài ra ta có thể giải bằng cách khác :
d = -9 – (-5) = -4 => x = 3 + (-4) = -1
§3 CẤP SỐ CỘNG
IV/ TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG :

ĐẶT VẤN ĐỀ: cho cấp số cộng 1;2;3;4;5;...;98;99;100. tính :
Sn= 1+2+3+4+5+...+98+99+100
NHẬN XÉT: 1+2+3+4+5+...+96+97+98+99+100



5+96=101

4+97=101
3+98=101

2+99=101

1+100=101
KẾT LUẬN : từ 1 đến 100 có 50 cặp ,mà mỗi cặp có tổng bằng 101 nên:
100
Sn  50.101  1  100 
2
=> Tổng quát :Sn = ?
n số hạng cuối :un
số cặp:
2 số hạng đầu:u1
§3 CẤP SỐ CỘNG
IV/ TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG :
ĐỊNH LÝ 3
Cho cấp cộng (un) . Đặt Sn = u1 + u2 +u3 +...+un.Khi đó :

n(u1  un )
Sn  (1)
2


CHÚ Ý : thay un = u1 +(n-1)d vào (1) ta có :

n[2u1  (n  1)d]
Sn  (2)
2

Lưu ý : công thức (1) sử dụng khi biết n,u 1,un
công thức (2) sử dụng khi biết n,u 1,d
Tuỳ theo điều kiện đề bài mà ta sử dụng hợp lý
§3 CẤP SỐ CỘNG
IV/ TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG :

n(u1  un )
Sn  (1)
2

n[2u1  (n  1)d]
Sn  (2)
2

VÍ DỤ : cho cấp số cộng có 10 số hạng ,biết u 1 = 3 và d = 5 .Tính S10

GIẢI Áp dụng công thức (2)

n[2.u1  (n  1)d] 10[2.3  (10  1).5]
Sn    5.51  255
2 2
§3 CẤP SỐ CỘNG
CỦNG CỐ :

1/ Bạn Lan phát biểu :” theo định nghĩa cấp số cộng kể từ số
hạng thứ hai , mỗi số hạng bằng số liền trước cộng với một số
không đổi .Vậy cấp số cộng luôn là một dãy số tăng”. Theo
em phát biểu trên đúng hay sai ? Vì sao ?

2/ Cho cấp số cộng có u1 = 1011 , d = 200.Tính u6 ?.Kết
quả bài toán này có liên quan đến ngày kỉ niệm nào trong
năm ?
+HỌC THUỘC CÁC CÔNGTHỨC
+LÀM CÁC BÀI TẬP 1 ĐẾN 6 TRANG 97
VÀ 98
TIẾT HỌC HÔM NAY ĐÃ HẾT
CHÚC SỨC KHOẺ
CÁC EM HỌC SINH
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản