Bài giảng: Xác suất thống kê - Biến cố và Xác suất của biến cố

Chia sẻ: huuthanh_cnk7

Tham khảo bài thuyết trình 'bài giảng: xác suất thống kê - biến cố và xác suất của biến cố', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Bài giảng: Xác suất thống kê - Biến cố và Xác suất của biến cố

Bài 1
Biến cố và Xác suất của biến cố
Phép thử và biến cố
 Phép thử ngẫu nhiên
Là sự thực hiện một số điều kiện xác định (thí
nghiệm cụ thể hay quan sát hiện tượng nào
đó), có thể cho nhiều kết quả khác nhau. Các
kết quả này không thể dự báo chắc chắn
được. Một phép thử thường được lặp lại nhiều
lần.
Phép thử và biến cố
 Không gian mẫu (KG biến cố sơ cấp)
Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi
thực hiện phép thử gọi là không gian mẫu (hay
không gian biến cố sơ cấp), ký hiệu Ω.
 Mỗi kết quả của phép thử, ω , gọi là biến cố sơ
cấp.
 Một tập con của không gian mẫu gọi là biến
cố.
Phép thử và biến cố
 Các ký hiệu
- Ω: không gian mẫu.
- ω : biến cố sơ cấp
- A, B, C, …: biến cố
- |A|: số phần tử của biến cố A
Phép thử và biến cố
 Ví dụ
- Tung đồng xu
Ω ={S,N}; ω 1=“S”, ω 2=“N”
- Tung con xúc sắc
Ω ={ω 1,…, ω 6}
ω i=“Xuất hiện mặt thứ i”, i=1,…,6
- Đo chiều cao (đv: cm)
Ω = ( 0, 250 ) ⊂ ¡
Quan hệ giữa các biến cố
 Tổng 2 biến cố
Xét A và B là hai biến cố trong không gian mẫu
Ω, thì biến cố tổng của A và B, ký hiệu A+B
(hay A∪B), là tập chứa những kết quả trong Ω
thuộc về A hoặc B.


A B A+B
Quan hệ giữa các biến cố
 Tíchcủa hai biến cố
Xét A và B là hai biến cố trong không gian mẫu
Ω, thì biến cố tích của A và B, ký hiệu AB (hay
A∩B), là tập chứa những kết quả trong Ω
thuộc về A và B.


A AB B
Quan hệ giữa các biến cố
 Biến cố xung khắc
Hai biến cố A và B gọi là xung khắc với nhau
nếu AB=∅.


AB= ∅

A B
Quan hệ giữa các biến cố
 Biến cố đối lập
Biến cố không xảy ra khi biến cố A xảy ra gọi
là biến cố đối lập với biến cố A, ký hiệu A .

A
A

 Biến cố chắc chắn - Ω.
 Biến cố không thể - ∅.
Quan hệ giữa các biến cố
 Ví dụ. Tung một lần con xúc sắc cân đối và
đồng chất.
Không gian mẫu: Ω =[1,2,3,4,5,6]



Đặt A = “ Xuất hiện mặt có số điểm chẵn”
B = “ Xuất hiện mặt có số điểm ít nhất là 4”
A = [2,4,6]; B=[4,5,6]
Quan hệ giữa các biến cố

Ω = [1, 2, 3, 4, 5, 6] A = [2, 4, 6] B = [4, 5, 6]

Biến cố đối lập:
A = [1, 3, 5] B = [1, 2, 3]

Biến cố tích:
AB = [4, 6] AB = [5]
Biến cố tổng:
A + B = [2, 4, 5, 6]
A + A = [1, 2, 3, 4, 5, 6] = Ω
Xác suất của biến cố
1 Chắc
 Xác suất chắn
xảy ra
Khả năng một biến cố
sẽ xảy ra.
0 ≤ P(A) ≤ 1 với mọi biến cố A .5




0 Không thể
xảy ra
Định nghĩa theo quan điểm cổ điển

 Địnhnghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển
Xét phép thử ngẫu nhiên có không gian mẫu Ω.
Giả sử tất cả các kết quả trong Ω đều đồng khả
năng xảy ra, thì xác suất xảy ra biến cố A

A Soá c khaû ng thoû ñieà kieä cuû A
caù naê a u n a
P( A) = =
Ω Toåg soá naêg trong khoâg gian maã Ω
n khaû n n u
Định nghĩa theo quan điểm cổ điển

 Ví dụ
1. Tung 1 con xúc sắc cân đối và đồng chất,
tính xác suất xuất hiện mặt lẻ.
2. Một lớp học có 300 sinh viên trong đó có 80
sinh viên nữ. Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên, tính
xác suất chọn được sinh viên nữ.
2. Một hộp có 7 quả cầu đỏ và 4 quả cầu
xanh. Chọn ngẫu nhiên 3 quả cầu. Tính xác
suất chọn được 2 quả cầu đỏ và 1 quả cầu
xanh.
Xác suất của biến cố - Định nghĩa theo
quan điểm cổ điển

 Định nghĩa theo lối cổ điển có 2 nhược điểm
sau:
- Tất cả các kết quả phải đồng khả năng xảy
ra.
- Không gian mẫu Ω phải hữu hạn.
Định nghĩa theo quan điểm Thống kê

 Định nghĩa theo quan điểm thống kê
Xét phép thử ngẫu nhiên có không gian mẫu Ω và
A ⊂ Ω. Thực hiện phép thử n lần độc lập, thấy biến
cố A suất hiện n(A) lần. n(A) gọi là tần số suất hiện
biến cố A, và n(A)/n là tần suất xảy ra A. Khi đó xác
suất xảy ra A là
n( A) Soá khaû ng trong toåg theå a ñieà kieä cuû A
caû naê n thoû u n a
P( A) = lim =
n →∞ n Toåg soá naêg trong toåg theå
n khaû n n
Giới hạn của tần suất xảy ra biến cố A trong một số phép thử rất lớn, n.
Định nghĩa theo quan điểm Thống kê

 Ví dụ. Tung đồng xu.
Xác suất xuất hiện mặt S: P(S)=1/2
Xác suất xuất hiện mặn H: P(H)=1/2
Dùng định nghĩa theo quan điểm thống kê để kiểm
chứng.
Người thí nghiệm Số lần tung Số lần Tần suất
sấp
Buffon 4040 2048 0.5080
Pearson 12000 6019 0.5016

Pearson 24000 12012 0.5005
Định nghĩa theo quan điểm Hình học

 Định nghĩa theo quan điểm hình học
Xét một phép thử đồng khả năng, không gian mẫu có
vô hạn phần tử và được biểu diễn thành một miền
hình học Ω có độ đo xác định (độ dài, diện tích, thể
tích). Biến cố A ⊂ Ω được biểu diễn bởi miền hình
học A. Khi đó, xác suất xảy ra A

mes ( A) Ñoä mieà A
ño n
P ( A) = =
mes (Ω) Ñoä mieà Ω
ño n
Định nghĩa theo quan điểm Hình học

 Ví dụ. (Bài toán tàu cập bến)
Hai tàu thủy cập bến 1 cách độc lập nhau
trong một ngày đêm. Biết rằng thời gian tàu thứ
nhất đỗ lại ở cảng để bốc hàng là 4 giờ, của
tàu thứ hai là 6 giờ. Tìm xác suất để một trong
hai tàu phải chờ cập bến.
Định nghĩa theo quan điểm Hình học

 Ví dụ. (Bài toán tàu cập bến)
x (giờ): thời điểm tàu thứ nhất cập bến.
y (giờ): thời điểm tàu thứ hai cập bến.
A = “Một trong hai tàu phải chờ cập bến”
Nếu tàu 1 cập bến trước thì tàu 2 phải chờ
y–x≤ 4
Nếu tàu 2 cập bến trước thì tàu 1 phải chờ
x–y≤ 6
Vậy A xảy ra khi -4 ≤ x – y ≤ 6, thể hiện ở miền gạch chéo
Vậy
1 2
24 − ( 18 + 202 )
2
SA 2
P ( A) = = 2
= 0.3715
SΩ 24
Tính chất cơ bản của xác suất
1. ∀ A ⊂ Ω:
0 ≤ P ( A) ≤ 1
2. Xét A ⊂ Ω, ω i là các biến cố sơ cấp
P( A) = ∑ P ( ωi )
A


3. P (Ω) = 1, P (∅) = 0


4. P(A) = 1− P(A)
Công thức cộng xác suất

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB)
 Ví dụ.
Một bộ bài tây có 52 lá, rút ngẫu nhiên 1 lá
♥♣♦♠
Đặt:
A = “Rút được con át”
B = “Rút được lá đỏ”
Công thức cộng xác suất

P(“Đỏ” + “Át”) = P(“Đỏ”) + P(“Át”) - P(“Đỏ” ∩ “Át”)

= 26/52 + 4/52 - 2/52 = 28/52
Phần dư
khi giao 2
Màu biến cố
Loại Đỏ Đen Tổng
Át 2 2 4
Khác 24 24 48
Tổng 26 26 52
Công thức xác suất điều kiện
 Xác suất có điều kiện là xác suất xảy ra một
biến cố, cho trước một biến cố khác đã xảy ra

P(AB) Xác suất xảy ra A với
P(A|B) = điều kiện B đã xảy ra
P(B)
P(AB) Xác suất xảy ra B với
P(B|A) = điều kiện A đã xảy ra
P(A)
Công thức xác suất điều kiện
 Ví dụ. Khảo sát các xe ô-tô trong thành phố,
thấy có 70% có hệ thống điều hòa (AC) và
40% có máy chơi nhạc (CD). 20% có cả điều
hòa và máy chơi nhạc. Chọn ngẫu nhiên 1 xe
ô-tô, biết đã chọn được xe có máy điều hòa,
hỏi xác suất xe đó có máy chơi nhạc là bao
nhiêu?

Gọi:
AC = “Chọn được xe có điều hòa”
CD = “Chọn được xe có dàn CD”
Yêu cầu đề bài: Tính P(CD|AC)?
Công thức xác suất điều kiện
40% có dàn 70% có
CD điều hòa
20% có
điều hòa +
CD
CD Không CD Tổng
AC .2 .5 .7
Không AC .2 .1 .3
Tổng .4 .6 1.0

P(CD.AC) .2
P(CD|AC) = = = .2857
P(AC) .7
Công thức xác suất điều kiện
 Cho trước AC, ta chỉ cần xét 70% xe có điều hòa. Do đó,
20% số xe có dàn CD. 20% of 70% sẽ là 28.57%.

CD Không CD Tổng
AC .2 .5 .7
Không AC .2 .1 .3
Tổng .4 .6 1.0

P(CD.AC) .2
P(CD|AC) = = = .2857
P(AC) .7
Công thức nhân xác suất
 Công thức nhân xác suất cho hai biến cố A và
B

P(AB) = P(A|B)P(B)
 Ta cũng có

P(AB) = P(B|A)P(A)
Công thức nhân xác suất

 Công thức nhân xác suất cho n biến cố
A1,A2,…,An

P( A1 A2 … An ) =
P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 )… P( An | A1 A2 … An−1 )
Công thức nhân xác suất
 Ví dụ
P(“Át” ∩“Đỏ") = P(“Át”)P(“Đỏ”|“Át”)
 4  2  2
=    =
 52  4  52
Công thức nhân xác suất
 Ví dụ
Một lô hàng có 50 sản phẩm, trong đó có 6 sản
phẩm kém chất lượng. Một khách hàng trước
khi mua lô hàng chọn cách kiểm tra sau: chọn
ngẫu nhiên lần lượt không hoàn lại 4 sản
phẩm.Nếu thấy có bất kỳ sản phẩm kém chất
lượng nào thì loại lô hàng. Tính xác suất khách
hàng chấp nhận lô hàng.
Sự độc lập giữa các biến cố
 Hai biến cố A và B gọi là độc lập khi và chỉ khi:

P(AB) = P(A)P(B)
 Biến cố A độc lập với biến có B khi xác suất của
biến cố này không ảnh hưởng đến biến cố kia
 Nếu A và B độc lập, thì
P(A | B) = P(A)
P(B | A) = P(B)
Sự độc lập giữa các biến cố
 Vídụ
Trong khảo sát về nội thất xe ô-tô trong thành
phố, 70% xe có máy điều hòa (AC), 40% có máy
chơi nhạc(CD), và 20% có cả hai.
Hỏi AC và CD có độc lập hay không?
Sự độc lập giữa các biến cố
CD Không CD Tổng
AC .2 .5 .7
Không AC .2 .1 .3
Tổng .4 .6 1.0
P(AC ∩ CD) = 0.2

P(AC) = 0.7
P(AC)P(CD) = (0.7)(0.4) = 0.28
P(CD) = 0.4

P(AC ∩ CD) = 0.2 ≠ P(AC)P(CD) = 0.28
Do đó hai biến cố AC và CD không độc lập.
Sự độc lập giữa các biến cố
 Ví dụ. Tung một lần con xúc sắc cân đối và đồng
chất.
Không gian mẫu: Ω =[1,2,3,4,5,6]

Đặt A = “ Xuất hiện mặt có số điểm chẵn”
B = “ Xuất hiện mặt có số điểm bé hơn 4”
C = “ Xuất hiện mặt 1 hoặc 2 điểm”
D = “ Xuất hiện mặt 1 hoặc 6 điểm”

A = [2,4,6]; B=[1,2,3]; C=[1,2]; D=[1,6]
Hãy kiểm tra tính độc lập của các biến cố A, B, C, D.
Công thức xác suất đầy đủ
 Hệ đầy đủ các biến cố
Hệ A1,A2,…,An gọi là hệ
đầy đủ các biến cố nếu
A1
 A1 + A2 +…+ An = Ω

 A2 A4
 Ai Aj = ∅ ∀1 ≤ i ≠ j ≤ n

A3
Công thức xác suất đầy đủ
 Cho A, A là hệ đầy đủ các biến cố, và B là một
biến cố có liên quan đến hệ này. Xác suất xảy
ra B
P( B ) = P ( A) P ( B | A) + P( A) P ( B | A)
 Tổng quát, xét A1,A2,…,An là hệ đầy đủ và B là
biến cố liên quan
n
P( B) = ∑ P( Ai ) P( B | Ai ) = P( A1 ) P( B | A1 ) + … + P( An ) P( B | An )
i =1
Công thức xác suất đầy đủ




B = ( A ∩ B) + ( A ∩ B ')
⇒ P( B) = P( A ∩ B) + P( A ∩ B ')
=P( A) P( B | A) + P( A ') P( B | A ')
Công thức xác suất đầy đủ

 Ví dụ
Một nhà máy sản xuất bóng đèn có 3 phân
xưởng sx. Biết rằng tỷ lệ bóng hư do từng
phần xưởng làm ra tương ứng là 5%, 7% và
10%. Một khác hàng mua bóng đèn của nhà
máy sản xuất. Tính xác suất khách hàng mua
được bóng hư.
Công thức Bayes
 Xét A1,A2,…,An là hệ đầy đủ và B là biến cố
liên quan.
 Công thức Bayes

P( Ai ) P( B | Ai )
P ( Ai | B) = , ∀i = 1, …, n
P( B)
Công thức Bayes

 Ví dụ
Một học sinh đi học từ nhà đến trường có thể
đi bằng hai con đường khác nhau. Biết rằng
nếu học sinh đi theo con đường A thì khả năng
bị kẹt xe là 15% và bằng 20% nếu đi theo con
đường B. Học sinh chọn ngẫu nhiên một con
đường để đi. Biết rằng học sinh đã bị kẹt xe,
hỏi xác suất học sinh đã đi con đường thứ nhất
là bao nhiêu?
Công thức Bayes

 Ví dụ
Có 10 thăm, trong đó có 4 thăm có thưởng. Sinh
viên A bắt đầu tiên, B bắt sau.
a) Hỏi có công bằng không ?
b) Nếu B được thưởng, tính xác suất A được
thưởng.
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản