Bài tập đại số 10

Chia sẻ: fairytale

Tài liệu tham khảo môn toán đại số 10

Bạn đang xem 20 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Bài tập đại số 10

Bài T p ð i S 10 GV: Nguy n T t Thu

§ 1. M NH ð
I. Lý thuy t
1.ð nh nghĩa :
* M nh ñ là m t câu kh ng ñ nh ñúng ho c sai .
* M t m nh ñ không th v a ñúng ho c v a sai
* M nh ñ ch a bi n không ph i là m t m nh ñ tuy nhiên khi cho các bi n nh n m t
giá tr nào ñó ta ñư c m t m nh ñ .
Ví d : *Câu “ 2 x + 1 > 3 ” là m t Mð ch a bi n vì ta chưa kh ng ñ nh ñư c tính ñúng
sai c a nó. Tuy nhiên khi ta cho x nh n m t giá tr c th thì ta ñư c m t Mð , ch ng
h n x=1 ta ñư c Mð sai, x=2 ta ñư c Mð ñúng
* Câu “ x 2 ≥ 0 ” không ph i là m nh ñ ch a bi n vì nó là m t Mð ñúng.
2.M nh ñ ph ñ nh:
Cho m nh ñ P.m nh ñ “không ph i P ” g i là m nh ñ ph ñ nh c a P. Kí hi u là P .
N u P ñúng thì P sai, n u P sai thì P ñúng
Ví d : P: “ 3 > 5 ” thì P : “ 3 ≤ 5 ”
3. M nh ñ kéo theo
*Cho 2 m nh ñ P và Q. M nh ñ “n u P thì Q” g i là m nh ñ kéo theo . Kí hi u là P
⇒ Q. M nh ñ P ⇒ Q ch sai khi P ñúng Q sai
* M t ñ nh lí toán h c thư ng ñư c phát bi u dư i d ng m t Mð kéo theo P ⇒ Q . Khi
ñó P g i là gi thi t, Q g i là k t lu n
P là ñi u ki n ñ ñ có Q và Q là ñi u ki n c n ñ có P.
4. M nh ñ ñ o – M nh ñ tương ñương
* Cho m nh ñ P ⇒ Q. Khi ñó m nh ñ Q ⇒ P g i là m nh ñ ñ o c a P ⇒ Q
* Cho 2 m nh ñ P và Q. N u hai m nh ñ P ⇒ Q và Q ⇒ P ñ u ñúng thì P và Q g i
là m nh ñ tương ñương , kí hi u P ⇔ Q.M nh ñ P ⇔ Q ñúng khi c P và Q cùng
ñúng
M nh ñ P ⇔ Q ta ñ c là: “P tương ñương Q” ho c “P là ñi u ki n c n và ñ ñ có Q”
ho c “P khi và ch khi Q”
5. Kí hi u ∃ và ∀
* ∃ : T n t i, có m t ( ti ng anh: Exist)
* ∀ : V i m i (All)
Ph ñ nh c a m nh ñ “ ∀x∈ x, P(x) ” là m nh ñ “∃x∈x, P(x) ”
ph ñ nh c a m nh ñ “ ∃x∈ x, P(x) ” là m nh ñ “∀x∈x, P(x) ”

II. Bài t p:
Ph n 1: T lu n
Bài 1: Các câu sau ñây, câu nào là m nh ñ , và m nh ñ ñó ñúng hay sai :
a) ñây là nơi nào ?
b) phương trình x2 + x – 1 = 0 vô nghi m

Năm H c 2008 – 2009 Trang 1
Bài T p ð i S 10 GV: Nguy n T t Thu
c) x + 3 = 5
d) 16 không là s nguyên t
Bài 2: Nêu m nh ñ ph ñ nh c a các m nh ñ sau :
a) “phương trình x2 –x – 4 = 0 vô nghi m ”
b) “ 6 là s nguyên t ”
c) “∀n∈n ; n2 – 1 là s l ”
Bài 3: Phát bi u m nh ñ P ⇒ Q và xét tính ñúng sai c a nó và phát bi u m nh ñ ñ o :
a) P: “ ABCD là hình ch nh t ” và Q:“ AC và BD c t nhau t i trung ñi m m i
ñư ng”
b) P: “ 3 > 5” và Q : “7 > 10”
c) P: “tam giác ABC là tam giác vuông cân t i A” và Q :“ góc B = 450 ”
Bài 4: Cho các m nh ñ sau
a) P: “ hình thoi ABCD có 2 ñư ng cho AC vuông góc v i BD”
b) Q: “ tam giác cân có 1 góc = 600 là tam giác ñ u”
c) R : “13 chia h t cho 2 nên 13 chia h t cho 10 ”
* Xét tính ñúng sai c a các m nh ñ và phát bi u m nh ñ ñ o :
* Bi u di n các m nh ñ trên dư i d ng Mð kéo theo
Bài 5: Phát bi u m nh ñ A ⇒ B và A ⇔ B c a các c p m nh ñ sau và xét tính ñúng
sai
a) A : “T giác T là hình bình hành ”
B: “Hai c nh ñ i di n b ng nhau”

b) A: “T giác ABCD là hình vuông ”
B: “ t giác có 3 góc vuông”

c) A: “ x > y ”
B: “ x2 > y2” ( V i x y là s th c )

d) A: “ði m M cách ñ u 2 c nh c a góc xOy ”
B: “ði m M n m trên ñư ng phân giác góc xOy”

Ph n 2: Tr c nghi m
Câu 1: Trong các m nh ñ , m nh ñ nào ñúng
I. “ 3 và 5 là s chính phương” II. Các ñư ng cao c a tam giác ñ u b ng nhau
III. Các ñư ng trung tuy n c a tam giác cân b ng nhau IV. “33 là s nguyên t ”
Câu 2: Phát bi u nào sau ñây là m nh ñ ñúng:
I. 2.5=10 ⇒ Luân ðôn là th ñô c a Hà Lan II. 7 là s l ⇒ 7 chia h t cho 2
III. 81 là s chính phương ⇒ 81 là s nguyên IV. 141⋮3 ⇒ 141⋮9
Câu 3: M nh ñ nào sau ñây sai ?
I. ABCD là hình ch nh t ⇒ t giác ABCD có ba góc vuông
II. ABC là tam giác ñ u ⇔ A = 600

Năm H c 2008 – 2009 Trang 2
Bài T p ð i S 10 GV: Nguy n T t Thu
III. Tam giác ABC cân t i A ⇒ AB = AC
IV.T giác ABCD n i ti p ñư ng tròn tâm O ⇒ OA=OB=OC=OD
Câu 4: Tìm m nh ñ ñúng:
I. ðư ng tròn có m t tâm ñ i x ng và có m t tr c ñ i x ng
II. Hình ch nh t có hai tr c ñ i x ng
III. Tam giác ABC vuông cân ⇔ A = 450
IV. Hai ∆ vuông ABC và A’B’C’ có di n tích b ng nhau ⇔ ∆ABC = ∆A ' B ' C '
Câu 5: Tìm m nh ñ sai:
I. a chia h t cho 5 ⇒ a(a+1) chia h t cho 5
II. Tam giác ABC vuông t i C ⇔ AB2 = CA2 + CB2
III. Hình thang ABCD nôi ti p ñư ng tròn (O) ⇔ ABCD là hình thang cân
IV. 63 chia h t cho 7 ⇒ Hình bình hành có hai ñư ng chéo vuông góc nhau
Câu 6: Ph ñ nh c a m nh ñ “ Có ít nh t m t s vô t là s th p phân vô h n tu n hoàn
” là m nh ñ nào sau ñây:
I. M i s vô t ñ u là s th p phân vô h n tu n hoàn
II. Có ít nh t m t s vô t là s th p phân vô h n không tu n hoàn
III. M i s vô t ñ u là s th p phân vô h n không tu n hoàn
IV. M i s vô t ñ u là s th p phân tu n hoàn
Câu 7: Bi t A là m nh ñ sai, còn B là m nh ñ ñúng. M nh ñ nào sau ñây ñúng ?
II. B ⇔ A
I. B ⇒ A III. A ⇒ B IV. B ⇒ A
Câu 8: Cho ba m nh ñ :
• P : “ s 20 chia h t cho 5 và chia h t cho 2 ”
• Q : “ S 35 chia h t cho 9 ”
• R : “ S 17 là s nguyên t ”
Hãy tìm m nh ñ sai trong các m nh ñ ñã cho dư i ñây:
IV. ( Q ⇒ R ) ⇒ P
III. ( R ⇒ P ) ⇒ Q
I. P ⇔ ( Q ⇒ R ) , II. R ⇔ Q
Câu 9: Cho các câu sau:
a) Hu là m t thành ph c a mi n Nam Vi t Nam.
b) Sông Hương ch y ngang qua thành ph Hu .
c) Hãy tr l i câu h i này !
d) 5 + 19 = 24
e) 6 + 81 = 25
f) B n có r i t i nay không ?
g) x + 2 = 11
S câu là m nh ñ trong các câu trên là:
I. 1 II. 2 III. 3 IV. 4
Câu 10: M nh ñ ph ñ nh c a m nh ñ P: " x + 3x + 1 > 0" v i m i x là :
2

I. T n t i x sao cho x 2 + 3x + 1 > 0 II. T n t i x sao cho x 2 + 3x + 1 ≤ 0
III. T n t i x sao cho x 2 + 3x + 1 = 0 IV. T n t i x sao cho x 2 + 3x + 1 ≥ 0
Câu 11: M nh ñ ph ñ nh c a m nh ñ P: “ ∃x : x 2 + 2 x + 5 là s nguyên t ” là

Năm H c 2008 – 2009 Trang 3
Bài T p ð i S 10 GV: Nguy n T t Thu

I. ∀x : x 2 + 2 x + 5 là s nguyên t II. ∃x : x 2 + 2 x + 5 là h p s
III. ∀x : x 2 + 2 x + 5 là h p s IV. ∃x : x 2 + 2 x + 5 là s th c
Câu 11: Cho x là s th c m nh ñ nào sau ñây ñúng ?
I. ∀x, x 2 > 5 ⇒ x > 5 ∨ x < − 5 II. ∀x, x 2 > 5 ⇒ − 5 < x < 5
III. ∀x, x 2 > 5 ⇒ x > ± 5 IV. ∀x, x 2 > 5 ⇒ x ≥ 5 ∨ x ≤ − 5
Câu 12: Ch n m nh ñ ñúng:
I. ∀x ∈ N * , n 2 -1 là b i s c a 3 II. ∃x ∈ Q : x 2 = 3
III. ∀n ∈ N : 2n+1 là s nguyên t IV. ∀n ∈ N ,2n ≥ n + 2
Câu 13: Cho m nh ñ ch a bi n P(x) : " x + 15 ≤ x 2 " v i x là s th c. M nh ñ ñúng là
m nh ñ nào sau ñây
I. P(0) II. P(3) III. P(4) IV. P(5)
Câu 14: Trong các m nh ñ sau m nh ñ nào sai:
I. ∀n ∈ N , n 2 ⋮ 2 ⇒ n⋮ 2 II. ∀n ∈ N , n2 ⋮ 6 ⇒ n⋮ 6
III. ∀n ∈ N , n 2 ⋮3 ⇒ n⋮3 IV. ∀n ∈ N , n 2 ⋮9 ⇒ n⋮9
Câu 15: Cho n là s t nhiên , m nh ñ nào sau ñây ñúng.
I. ∀ n: n(n+1) là s chính phương II. ∀ n: n(n+1) là s l
III. ∃ n: n(n+1)(n+2) là s l IV. ∀ n: n(n+1)(n+2) là s chia h t cho 6
Câu 16: Ph ñ nh c a m nh ñ " ∃x ∈ R,5 x − 3x 2 = 1" là:
I. " ∃x ∈ R,5 x − 3 x 2 ≠ 1" II. "∀x ∈ R,5 x − 3 x 2 = 1"
III."∀x ∈ R,5 x − 3 x 2 ≠ 1" IV. " ∃x ∈ R,5 x − 3x 2 ≥ 1"
Câu 17:Cho m nh ñ P(x) "∀x ∈ R : x 2 + x + 1 > 0" . M nh ñ ph ñ nh c a m nh ñ
P(x) là:
I. "∀x ∈ R : x 2 + x + 1 < 0" II. "∀x ∈ R : x 2 + x + 1 ≤ 0"
III. " ∃x ∈ R : x 2 + x + 1 ≤ 0" IV. " ∃ x ∈ R : x 2 + x + 1 > 0"
Câu 18: Ch n phương án ñúng trong các phương án sau: m nh ñ " ∃x ∈ R : x 2 = 3"
kh ng ñ nh:
I. Bình phương c a m i s th c b ng 3 II. Ch có 1 s th c có bình phương b ng 3
III. Có ít nh t 1 s th c có bình phương b ng 3 IV. N u x là s th c thì x2=3
Câu 19: Kí hi u X là t p h p các c u th x trong ñ i tuy n bóng r , P(x) là m nh ñ
ch a bi n “ x cao trên 180cm”. Ch n phương án tr l i ñúng trong các phương án sau:
M nh ñ “ "∀x ∈ R : P ( x)" kh ng ñ nh r ng:
I. M i c u th trong ñ i tuy n bóng r ñ u cao trên 180cm.
II. Trong s các c u th c a ñ i tuy n bóng r có m t s c u th cao trên 180cm.
III. B t c ai cao trên 180cm ñ u là c u th c a ñ i tuy n bóng r .
IV. Có m t s ngư i cao trên 180cm là c u th c a ñ i tuy n bóng r .



Năm H c 2008 – 2009 Trang 4
Bài T p ð i S 10 GV: Nguy n T t Thu

§ 2. T P H P VÀ CÁC PHÉP TOÁN
I. Lý thuy t
1. T p h p là khái ni m cơ b n c a toán h c . Có 2 cách cho t p h p
* Li t kê các ph n t :
VD : A = {a; 1; 3; 4; b} ho c N = { 0 ; 1; 2; . . . . ; n ; . . . . }
* Ch rõ tính ch t ñ c trưng c a các ph n t trong t p h p ; d ng A = {x | P ( x)}
VD : A = {x ∈ ℕ | x l và x < 10} ⇒ A = {1,3,5,7,9}
* T p con : A ⊂ B ⇔ (∀x ∈ A ⇒ x ∈ B )
* T p không có ph n t nào g i là t p r ng, kí hi u: ∅
* Cho A ≠ ∅ có ít nh t 2 t p con là ∅ và A
2. Các phép toán trên t p h p :

Phép giao Phép h p Hi u c a 2 t p h p




A∩B = {x /x∈A và x∈B} A∪B = {x /x∈A ho c x∈B} A\ B = {x /x∈A và x∉B}

Chú ý: N u B ⊂ A thì A \ B = C A B g i là ph n bù c a B trong A.

3. Các t p con c a t p h p s th c
Tên g i, ký hi u T ph p Hình bi u di n
{x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
ðo n [a ; b] //////////// [ ] ////////
{x ∈ R | a < x < b}
Kho ng (a ; b ) ////////////( ) /////////
Kho ng (-∞ ; a) {x ∈ R | x < a} )/////////////////////
Kho ng(a ; + ∞) {x ∈ R | a < x} ///////////////////(

{∈R/ a ≤ x < b}
N a kho ng [a ; b) ////////////[ ) /////////
{x∈R/ a < x ≤ b}
N a kho ng (a ; b] ////////////( ] /////////
N a kho ng (-∞ ; a] {x∈R/ x ≤ a} ]/////////////////////

N a kho ng [a ; ∞ ) ///////////////////[
{x∈R/ a ≤ x }




Năm H c 2008 – 2009 Trang 5
Bài T p ð i S 10 GV: Nguy n T t Thu
II. Bài t p
Ph n 1 : T lu n
Bài 1: Hãy li t kê các ph n t c a các t p h p sau
a) A = {x ∈ Z | 2 | x |< 7} b) B = {x ∈ R | 2 x 2 − x − 1 = 0}
c) C = { ư c c a 18 và 15} d) D = { B i c a 2 và 5}
Bài 2: Tìm A ∩ B; A ∪ B, A \ B trong các trư ng h p sau
a) A = {1,2,3,4,5}; B = {2,3,5,7,11}
b) A = {x ∈ R | ( x − 1)(3 x 2 − 5 x + 2 = 0}; B = {x ∈ R | x3 − 4 x 2 + 3 x = 0}
c) A = [−10;11); B = (−2; +∞)
d) A = (−∞;12]; B = (−7;12)
Bài 3: Cho t p h p A g m 10 ph n t . H i A có bao nhiêu t p con g m hai ph n t ?. T
ñó hay cho bi t t 10 ñi m phân bi t ta có th l p ñư c bao nhiêu véc tơ mà ñi m ñâu và
ñi m cu i là các ñi m trong 10 ñi m trên.
Bài 4: Cho A = {x ∈ N | x < 7} và B = {1 ; 2 ;3 ; 6; 7; 8}
a) Xác ñ nh AUB ; A ∩ B ; A \ B ; B \ A
b) CMR : ( A ∪ B ) \ ( A ∩ B ) = ( A \ B ) ∪ ( B \ A)
Bài 5: Cho A = {2;5}; B = {5; x}, C = {x; y;5} . Tìm các c p s (x ; y) ñ A = B = C .
Bài 6: Cho Tv = t p h p t t c các tam giác vuông
T = t p h p t t c các tam giác
Tc = t p h p t t c các tam giác cân
Tñ = t p h p t t c các tam giác ñ u
Tvc= t p h p t t c các tam giác vuông cân
Xác ñ nh t t c các quan h bao hàm gi a các t p h p trên

Ph n 2: Tr c nghi m
{ }
Câu 1: Hãy li t kê các ph n t c a t p h p: X = x ∈ ℝ | 2 x 2 − 5 x + 3 = 0
3 3
I. X = {0} II. X = {1} III. X = { } IV. X = {1; }
2 2
{ }
Câu 2: Hãy li t kê các ph n t c a t p h p: X = x ∈ ℝ | x + x + 1 = 0
2

I. X = {0} IV. X = {∅}
II. X = 0 III. X = ∅
Câu 3: Trong các m nh ñ sau, tìm m nh ñ sai:
IV. A ∈{ A}
II. ∅ ⊂ A
I. A ∈ A III. A ⊂ A
Câu 4: T p h p X có bao nhiêu t p h p con, bi t t p h p X có ba ph n t :
I. 2 II. 4 III. 6 IV. 8
Câu 5: T p h p A = {1, 2,3, 4,5,6} có bao nhiêu t p h p con g m 2 ph n t
I. 30 II. 15 III. 10 IV. 3
Câu 6: Trong các t p h p sau, t p h p nào là t p h p r ng:

Năm H c 2008 – 2009 Trang 6
Bài T p ð i S 10 GV: Nguy n T t Thu

{ }
{x ∈ Z/ x < 1} II. x ∈ Z| 6 x 2 − 7 x + 1 = 0
I.

{ } IV. { x ∈ R | x − 4 x + 3 = 0}
III. x ∈ Q | x 2 − 4 x + 2 = 0 2

Câu 7: Cho bi t x là m t ph n t c a t p h p A, xét các m nh ñ sau:
(4) { x} ⊂ A
(1) x ∈ A (3) x ⊂ A
(2) {x} ∈ A
Trong các m nh ñ trên, m nh ñ nào ñúng.
I. 1 & 2 II. 1 & 3 III. 1 & 4 IV. 2 & 4
{ }
Câu 8: S ph n t c a t p h p A = x 2 | x ∈ Z, x ≤ 2 là :
IV. Năm
I. M t II. Hai III. Ba
Câu 9: Các kí hi u nào sau ñây dùng ñ vi t ñúng m nh ñ “7 là m t s t nhiên”
I. 7 ⊂ N II. 7∈ N III. 7 < N IV. 7 ≤ N .
Câu 10: Trong các t p h p sau ñây, t p h p nào có ñúng m t t p h p con:
IV. {∅;1}
III. {∅} ,
I. ∅ II. {1}
Câu 11: Cho A={0;1;2;3;4}; B={2;3;4;5;6}. T p h p A\B b ng:
I. {0} II. {0;1} III. {1;2} IV. {1;5}.
Câu 12: Cho A={0;1;2;3;4}; B={2;3;4;5;6}. T p h p B\A b ng:
I. {5 }. II. {0;1} III. {2;3;4 } IV. {5;6 }.
4
Câu 13: Cho s th c a < 0 . ði u ki n c n và ñ ñ hai kho ng (−∞;9a ) và ( ; +∞)
a
có giao khác t p r ng là:
II. –2/3 ≤ a 2 ⇒ >0
x1 − x2
V y hàm ñ ng bi n trên (1; +∞) .
Ví d 3: Xét tính ch n, l c a các hàm s sau
a ) f ( x) =| x | ( x 2 − 2) b) f ( x) =| 2 x + 1| − | 2 x − 1| c) f ( x) = x − 1
Gi i:
a) TXð: D = R nên ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D .
Ta có: f (− x) =| − x |[(− x) 2 − 2] =| x | ( x 2 − 2) = f ( x) ⇒ f ( x) là hàm s ch n.
b) TXð: D = R nên ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D .
Ta có: f (− x) =| −2 x + 1| − | −2 x − 1|=| 2 x − 1| − | 2 x + 1|= − f ( x) ⇒ f ( x) là hàm s l
c)TXð: D = [1; +∞)
Ta có: 2 ∈ D nhưng −2 ∉ D nên f(x) là hàm không ch n cũng không l .
Ví d 4: Cho hàm s f(x) có t p xác ñ nh là t p ñ i x ng. Ch ng minh r ng f(x) luôn
phân tích ñư c thành t ng c a m t hàm s ch n và m t hàm s l .
Gi i:
f ( x) + f ( − x) f ( x) − f (− x )
Ta có: f ( x ) = + = g ( x ) + h( x )
2 2
Ta d dàng ch ng minh ñư c g(x) là hàm s ch n, h(x) là hàm s l




Năm H c 2008 – 2009 Trang 9
Bài T p ð i S 10 GV: Nguy n T t Thu
II. BÀI T P
Ph n 1 : T lu n
Bài 1: Tìm t p xác ñ nh c a các hàm s sau:
x −1 2x + 1
a) y = 2 b) y = 2 .
x −1 2x − x − 1
3x + 4 1
d) y = x + 8 + 2 x + 7 +
c) y =
1− x
( x − 2) x + 4
Bài 2: Cho hàm s y = 5 − x + 2 x + 3a . ð nh a ñ t p xác ñ nh c a hàm s là ño n
th ng có ñ dài = 1 ñơn v
x
khi x > 0
x +1

f ( x) =  3
Bài 3:Cho hàm s
 x + 1 khi − 1 ≤ x ≤ 0
 x −1

a) Tìm t p xác ñ nh c a hàm s y = f ( x) .
b) Tính f (0), f (2), f (−3), f (−1) .
Bài 4: Cho hàm s f ( x ) = x + x − 1
2

a) Tìm t p xác ñ nh c a hàm s .
b) Dùng b ng s ho c máy tính b túi, tính giá tr g n ñúng c a f(4), f ( 2), f (π )
chính xác ñ n hàng ph n trăm.
f ( x2 ) − f ( x1 )
Bài 5: B ng cách xét t s , hãy nêu s bi n thiên c a các hàm s sau
x2 − x1
(không yêu c u l p b ng bi n thiên c a nó) trên các kh ang ñã cho:
x
a) y = trên m i kh ang (−∞, −1) và (−1, +∞)
x +1
2x + 3
b) y = trên m i kh ang (−∞;3) và (3; +∞)
−x + 3
Bài 6: Xét tính ch n l c a các hàm s sau:
c) y = x x
a) y = 3x 4 + 3x 2 − 2 b) y = 2 x3 − 5 x d)
y = 1+ x + 1− x
x+2 + x−2
f) y =
e) y = 1 + x − 1 − x
x +1 − x −1
Bài 7: Tìm m ñ ñi m A(1;2) thu c ñ th hàm s y = 2 x3 + mx 2 + (2m + 1) x + 3m
Bài 8: Xác ñ nh a,b bi t ñ th hàm s y = ax 2 + bx + 1ñi qua A(1;3), B(−2; −1)




Năm H c 2008 – 2009 Trang 10
Bài T p ð i S 10 GV: Nguy n T t Thu
Ph n 2: Tr c nghi m
x2 + 1
Câu 1: Cho hàm s y = . Hàm s ñã cho có t p xác ñ nh là:
( x + 1) x − 2
I. [ 2; +∞ ) III. ( −2; +∞ ) \ {−1} IV. [ −2; +∞ )
II. ( 2; +∞ )
2+ x
Câu 2: Trong các t p sau, ñâu là t p xác ñ nh c u hàm s y = 1 − 2 x +
x−3
1 1
I. [ − ∞; ) III. [ ; +∞) \ {3}
II. (3; +∞) IV. ðáp án khác
2 2
Câu 3: T p xác ñ nh c a hàm s y = 2 x − 4 + 6 − x là :
I. ∅ III. (- ∞ ; 2]∪ [ 6 ; +∞ ) IV. [ 6 ; +∞ )
II. [ 2; 6 ]
3 + 2x − 1
Câu 4: Giá tr nào sau ñây không thu c t p xác ñ nh h/s: y = + x2 − 9
x − 4x + 3
2

15 17
II. x = III. x = IV. x = 21
I. x = 4
2 6
Câu 5: T p D = (1; +∞) là t p xác ñ nh c a hàm s nào sau ñây?
3x + 1
1 1
I. y = 3x − 3 II. y = IV. y = + 2x − 3
III. y =
1− x x −1
( x − 1)( x 2 + 10)
 x +1
 x − 1 khi x < 0

Câu 6: Cho hàm s y =  phát bi u nào sau ñây là ñúng
2x
 khi x ≥ 0
x + 2

I. Hàm s không xác ñ nh khi x = 1 II. Hàm s không xác ñ nh khi x = - 2
III. T p xác ñ nh c a hàm s là R IV. Hàm s không xñ khi x = 1 ho c x = - 2
x−2
Câu 7: Hàm s y = thì ñi m nào thuôc ñ th c a hàm s
( x − 2)( x − 1)
I. M( 2 ;1) II. M(0 ; -1) III. M( 2 ; 0) IV. M(1 ; 1)
x − 2
 x − 3 khi x < 1

Câu 8: ði m nào sau ñây thu c ñ th hàm s y = f ( x) =  .
2x
 khi x ≥ 1
 x +1

2
I. A( 2;0) II. A (0;0) III. A(1 ; 1) IV. A(1; )
3
x − 2x + m
2
Câu 9: V i giá tr nào c a m thì ñ th hàm s y = ñi qua A(2;1)
x−m


Năm H c 2008 – 2009 Trang 11
Bài T p ð i S 10 GV: Nguy n T t Thu
3
I. m = 1 II. m = 2 III. m = 0 IV. m =
2
Câu 10: Trong các hàm s sau, hàm s nào ch n
x2 − 1
III. y = IV. y = x3 − | x |
I. y =| x | ( x + 2 x ) II. y = 2 x + x + 1
3 4
2 | x | +1
1 − x2
y=
Câu 11: Hàm s là hàm s :
x3 + x
I. ch n II. l III. V a ch n, v a l IV. Không có tính ch n l
Câu 12: V i f ( x) = x(| x | −2) thì f(x) là:
I. f(x) là hàm s ch n II. f(x) không là hàm s l
III. f(x) v a là hàm s ch n và l IV. f(x) là hàm s l
Câu 13: Cho hàm s y = 2 x + 3 khi ñó ñ th c a hàm s ñó:
2

I. C t tr c hoành t i 2 ñi m II. C t tr c hoành t i 1 ñi m
III. Không c t tr c tung IV. Không c t tr c hoành
Câu 14: Cho b n ñ th sau
y

y
y
y


x




x

x
(4)
(3)
(2)
x
(1)
a) ðâu là ñ th hàm s ch n
I. (1) II. (1) và (2) III. (3) IV. (3) và (4)
b) ðâu là ñ th hàm s l
I. (2) và (3) II. (1) và (2) III. (4) IV. (3)
Câu 15: Cho hàm s y=f(x) có ñ th như sau
Kh ng ñ nh nào sau ñây là ñúng?
y
I. Hàm s luôn ñ ng bi n
II. Hàm s luôn ngh ch bi n
III. Phương trình f(x)=0 có ba nghi m phân bi t
IV. f ( x) ≥ 0 ∀x x




Năm H c 2008 – 2009 Trang 12
Bài T p ð i S 10 GV: Nguy n T t Thu

§ 2. HÀM S B C NH T
I. LÝ THUY T
* Là hàm s có d ng: y = ax + b (a ≠ 0)
* Hàm s ñ ng bi n khi a > 0 và ngh ch bi n khi a < 0
b
* ð th là m t ñư ng th ng c t hai tr c t a ñ t i A(0; b) và B (− ;0)
a
* Hàm s y = b g i là hàm h ng. ð th c a nó là ñư ng th ng song song v i tr c Ox,
c t Oy t i A(0; b) . M i ñi m thu c ñ th luôn có d ng: M ( x; b)

Ví d 1: Tìm a,b bi t ñư ng th ng d: y = ax + b
a) ði qua A(1;2), B (−2; −1)
b) ði qua M (3;2) và song song v i tr c hoành
1
c) ði qua C (2;4) và vuông góc v i ñư ng th ng d’: y = x + 1
3
Gi i:
a + b = 2 a = 1
a) Vì ñư ng th ng d ñi qua A(1;2), B (−2; −1) nên:  ⇔
 −2a + b = −1 b = 1
b) Vì ñư ng th ng d song song v i Ox nên a = 0 ⇒ d có d ng: y = b
M (3;2) ∈ d ⇒ b = 2
1
c) d ⊥ d ' ⇒ a. = −1 ⇒ a = −3 . Vì C (2;4) ∈ d ⇒ 4 = −3.2 + b ⇒ b = 10
3
Ví d 2: Tìm m ñ ba ñư ng th ng
d1 : y = 2 x + 1, d 2 : y = −3 x + 6, d3 : y = (2m + 1) x + 2m − 1 ñ ng quy t i m t ñi m.
Gi i:
G i A là giao ñi m c a d1 và d 2 ⇒ A(1;3) . ð ba ñư ng th ng d1 , d 2 , d3 ñ ng quy thì A
3
ph i thu c d3 : 3 = 2m + 1 + 2m − 1 ⇒ m = .
4
II. BÀI T P
Ph n 1 : T lu n
Bài 1: V trên cùng m t h tr c ñ th các hàm s sau:
x +1 1 1
a) y = 2 x − 3 b) y = c) y = − x + 1 d ) y = −3 x +
2 2
3
Timg giao ñi m c a các ñư ng th ng trên.
Bài 2: Tìm ñư ng th ng ∆ bi t:
a) ∆ ñi qua A(2; −3), B (−1;2)
b) ði qua M (2;1) và song song v i ñư ng th ng d : 2 x + y − 1 = 0
c) ði qua N (4;3) và vuông góc v i tr c Oy

Năm H c 2008 – 2009 Trang 13
Bài T p ð i S 10 GV: Nguy n T t Thu
Bài 3:Tìm m ñ ba ñ/t sau ñ ng quy: d1 : x + y − 1 = 0, d 2 : y = 5 x + 1 , d3 : y = 5 x + 2m − 1
Bài 4: Cho ba ñư ng th ng d1 : y = x − 1 ; d 2 : y = − x + 1 ; d3 : y + 2 = 0 . G i A, B, C là
các giao ñi m c a các c p ñư ng th ng trong ba ñư ng th ng trên. Tính di n tích tam
giác ABC
Bài 5: Cho 2 ñư ng th ng ∆1 : y = (2m − 1) x + 4m − 5 ; ∆2 : y = (m − 2) x + m + 4
a) Tìm 2 ñi m c ñ nh c a 2 ñư ng th ng
b) ð nh m ñ ñ th ∆1 song song v i ∆2

Ph n 2: Tr c nghi m
Câu 1: Trong các hàm s sau, hàm s nào ñ ng bi n
3
II. y = (1 − 3) x + 2 III. y = (m 2 + 1) x IV. y = ( − 2) x
I. y = −2 x + 1
2
Câu 2: Hàm s y = (m3 − 2m 2 ) x + 1 ñ ng bi n khi
I. m = 0 II. m ≥ 2 III. m < 2 IV. m > 2
Câu 3: Trong các ñư ng th ng sau, ñư ng th ng nào ñi qua A(2;1), B (4;3)
I. y = 3x + 1 II. y = − x + 1 III. y − x + 1 = 0 IV. y = 2 x − 1
Câu 4: Giao ñi m c a hai ñư ng th ng y = 3 x − 1 và y = 5 x − 3 là
IV. A(−1; −4)
I. A(2;5) II. A(2;7) III. A(1;2)
Câu 5: Trong các ñư ng th ng sau, ñư ng th ng nào song song v i 2 x − y + 1 = 0
1 1
III. − x + y + 1 = 0 IV. y = x
I. x + 2 y + 1 = 0 II. −4 x + 2 y − 2 = 0
2 2
3
Câu 6: ðư ng th ng song song v i ñư ng th ng y = 6 − x là:
3
1
3
III. y + x −1= 0
I. y = 3x + 8 IV. y + 3x = 0
II. y − x=7
3 3
Câu 7: Cho 3 ñư ng th ng ∆1 : y = 2 x − 1 ; ∆2 : y = 8 − x và ∆3 : y = (3 − 2m) x + 2 ð nh
m ñ 3 ñư ng th ng trên ñ ng quy
1 3
I. m = −1 III. m = 1
II. m = IV. m = −
2 2
Câu 8: V i m i m ñư ng th ng y = mx + 2m + 3 qua ñi m c ñ nh A nào
II. A(−2; −3) III. A(−2;3)
I. A(2;3) IV. K t qu khác
Câu 9: Cho 3 dư ng th ng ∆1: y = − x + 5 ;∆2: y = 2 x − 7 và ∆3 : y = (m − 2) x + m 2 + 4
.ð nh m ñ 3 ñư ng th ng trên ñ ng quy
I. m = −1 II. m = −5 III. m = 1 IV. m = 4
Câu 10: V i giá tr nào c a m thì hàm s y = (4 − m ) x + 5m ñ ng bi n trên R
2

I. −2 < m < 2 II. m < −2 V m > 2 III. m ≠ ±2 IV. m = ±2

Năm H c 2008 – 2009 Trang 14
Bài T p ð i S 10 GV: Nguy n T t Thu

§ 3. HÀM S B C HAI
I. LÝ THUY T
1.ð nh nghĩa: Là hàm s có d ng: y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) .
2.S bi n thiên và ñ th :
a>0 a 0 và c < 0
Ch c ch n (P) có ñ nh n m 3) n u a < 0 và c > 0
phía trên tr c hoành 4) n u a > 0 và c > 0
3) Xét parabol (P) : y = ax 2 + bx + c v i a < 0, ∆ = b 2 − 4ac
1) n u ∆ > 0 ,b < 0 và c < 0
a) Ch c ch n (P) c t tr c hòanh
2) n u ∆ > 0 ,b > 0 và c > 0
t i 2 ñi m có hòanh ñ dương
3) n u ∆ > 0 , b < 0 và c >0
b) Ch c ch n (P) c t tr c hòanh
4) n u ∆ > 0 , b > 0 và c< 0
t i 2 ñi m có hòanh ñ âm


Năm H c 2008 – 2009 Trang 20
Bài T p ð i S 10 GV: Nguy n T t Thu

CHUYÊN ð NÂNG CAO
M TS
Chuyên ñ 1: ð th hàm s y=f(x) trên ño n [a;b]:
ð v ñ th hàm s y=f(x) trên ño n [a;b] ta v ñ th trên TXð c a hàm s r i l y
ph n ñ th mà x ∈ [a;b]
Ví d : V ñ th các hàm s sau:
1) y = x + 1 − 2 x − 2 2) y = x − 1 − x 2 − 3x + 2
Gi i: y

1) * V i x < −1 ta có: y = − x − 1 + 2 x − 2 = x − 3
* V i −1 ≤ x < 1 ta có: y = x + 1 + 2 x − 2 = 3x − 1 2

-1

*V i x ≥ 1 ta có: y = x + 1 − 2 x + 2 = − x + 3 1 x


 x − 3 khi x < −1 -4


V y y = 3x − 1 khi − 1 ≤ x < 1 .
− x + 3 khi x ≥ 1

B ng bi n thiên:
Ta có cách v như sau
B1: v ñư ng th ng y = x − 3 trên (−∞; −1) . x -∞ +∞
1
-1
Cách v : ta v ñư ng th ng y = x − 3 r i b ph n 2
ñư ng th ng n m v phía trái c a ñư ng th ng x = −1 . y -4
B2: V ñư ng th ng y = 3 x − 1 trên [ − 1;1)
B3: v ñư ng th ng y = − x + 3 trên [1; +∞)
2) D a vào ñ th hàm s y = x 2 − 3x + 2 ta th y: x 2 − 3 x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 V x ≥ 2
và x 2 − 3x + 2 < 0 ⇔ 1 < x < 2 . T ñây ta có:
− x 2 + 4 x − 3 khi x ≥ 2


y =  x 2 − 2 x + 1 khi 1 < x < 2 . y

2
− x + 2 x − 1 khi x ≤ 1
1

 -1
12 x
B ng bi n thiên
-4
x -∞ +∞
2
1
2
y -4




Năm H c 2008 – 2009 Trang 21
Bài T p ð i S 10 GV: Nguy n T t Thu
ng d ng 1: Tìm gtnn và gtln c a hàm s
Nh n xét:Cho hàm s y=f(x) xác ñ nh trên D.Khi ñó ñi n có tung ñ th p nh t (cao
nh t)trên ñ th là ñi m mà hàm s ñ t gtnn (gtln) và tung ñ c a ñi m ñó là
gtnn(gtln)
Ví d : Tìm gtnn ho c gtln c a các hàm s sau:
1) y = x + 1 − 2 x − 2 3) y = 3x 2 − 5 x + 7 trên [-1;2]
2) y = x − 1 − x 2 − 3x + 2
Gi i:
1) D a vào ñ th ñã v trên ta th y ñi m có tung ñ l n nh t là y
15

A(1;2) . V y gtln c a hàm s là 2 ñ y ñư c khi x = 1 . Hàm không
có gtnn.
9
2) Tương t ta có gtln y=1 ñ t ñư c khi x=2. Hàm không có gtnn.
3) V ñ th hàm s y = 3x 2 − 5 x + 7 trên [-1;2]. 59/12



D a vào ñ th ta có: -1
Gtln y=15 ñ t ñư c khi x = −1 5/6 2 x

59 5
Gtnn y = ñ t ñư c khi x = .
12 6

ng d ng 2: Bi n lu n s no c a pt:
ð nh lí: S nghi m c a pt:f(x)=g(x) chính là
s giao ñi m c a hai ñ th y=f(x) và y=g(x). y


ð bi n lu n s no c a pt f(x)=a ta v ñ th hs
y=f(x) r i bi n lu n s giao ñi m c a ñt y=a 2

v i ñ th -1
1 x
Ví d :Bi n lu n s no c a phương trình:
x + 1 − 2 x − 2 = 3m + 2 -4


Gi i:
1) D a vào ñ th ta có
* N u 3m + 2 > 2 ⇔ m > 0 ⇒ pt vô nghi m
* N u m = 0 ⇒ Pt có nghi m duy nh t
*N u m > 0 ⇒ Pt có hai nghi m phân bi t
ng d ng 3: B t pt tho mãn v i m i x ∈ D
*Bpt : f(x) ≥ a (a là h ng s ) ñúng ∀x ∈ D ⇔ a ≤ min f ( x) ∀x ∈ D
*Bpt : f(x) ≤ a (a là h ng s ) ñúng ∀x ∈ D ⇔ a ≥ max f ( x) ∀x ∈ D
Ví d : Tìm m ñ bpt: ( x + 1)( x + 3)( x 2 + 4 x + 6) ≥ m ∀x ∈ R
Gi i:
Ta có ( x + 1)( x + 3)( x 2 + 4 x + 6) ≥ m ⇔ ( x 2 + 4 x + 3)( x 2 + 4 x + 6) ≥ m
ð t t = x 2 + 4 x + 3 = ( x + 2) 2 − 1 ≥ −1

Năm H c 2008 – 2009 Trang 22
Bài T p ð i S 10 GV: Nguy n T t Thu

Bpt tr thành: t (t + 3) ≥ m ⇔ t 2 + 3t ≥ m ⇔ f (t ) ≥ 3 , v i y



f (t ) = t 2 = 3t , t ∈ [−1; +∞)
Bài toán tr thành: Tìm m ñ bpt:
f (t ) ≥ m ∀t ≥ −1 ⇔ m ≤ min f (t ) ∀t ≥ −1
V ñ th f(t) trên [ − 1; +∞) . -1


D a vào ñ th ta th y min f (t ) = −2 , ñ t ñư c khi t=-1
x
-2



V y m ≤ −2 là nh ng giá tr c n tìm.
Bài t p:
Bài 1: V ñ th các hàm s sau:
1) y = 3 x + 2 − 2 x − 1 − 2 x − 3 2) y = x − 1 ( x − 2) 3) y = x 2 − 4 x − 5 ;
4) y = x + 1 − x 2 + 3x − 5
Bài 2: Tìm gtnn và gtln
1) y = 3 x + 2 − 2 x − 1 − 2 x − 3 2) y = x − 1 ( x − 2) 3) y = x 2 − 4 x − 5 ;
4) y = x + 1 − x 2 + 3x − 5
Bài 3: Bi n lu n s nghi m c a pt:
1) 3x + 2 − 2 x − 1 − 2 x − 3 = −3m + 1 2) x − 1 ( x − 2) = 2m − 3
Bài 4:Tìm m ñ các Bpt sau ñúng
1) 3x + 2 − 2 x − 1 − 2 x − 3 ≥ 5m + 7 ∀x 2) x − 1 ≤ x 2 − 3x + 2 + m − 3
∀x ∈ [ 0;7]
3)( x + 1)2 + m ≤ x( x + 2) + 4 ∀x ∈ [0;1]
4) (4 + x)(6 − x) ≤ x 2 − 2 x + m ∀x ∈ [−4;6]
5) − 4 (2 + x)(4 − x) ≤ x 2 − 2 x + m − 18 ∀x ∈ [−2;4]

Chuyên ñ 2: S d ng tính ñơn ñi u c a hàm b c nh t
ð nh lí: Hàm s y = ax + b ñ ng bi n khi a > 0 và ngh ch bi n khi a < 0 .
V m t n i dung cũng như hình th c thì ñây là m t ñ nh lí ñơn gi n và ch c có l là h c
sinh nào cũng n m ñư c. Vì s ñơn gi n ñó nên chúng ta ít tìm cách khai thác nó và
thông thư ng chúng ta ch v n d ng nó vào các bài toán xét tính ñơn ñi u c a hàm b c
nh t. Tuy nhiên n u chúng ta bi t cách nh n xét nh ng ñ c trưng c a nó ta s tìm ñư c
nhi u k t qu thú v .
Nh n xét 1: T ñ nh lí trên ta suy ra ñư c tính ñ ng bi n, ngh ch bi n c a hàm s
y = n ax + b + m a ' x + b ' c th :
* N u a > 0, a ' > 0 thì hàm s y = n ax + b + m a ' x + b ' là hàm ñ ng bi n.
* N u a < 0, a ' < 0 thì hàm s y = n ax + b + m a ' x + b ' là hàm ngh ch bi n.

Năm H c 2008 – 2009 Trang 23
Bài T p ð i S 10 GV: Nguy n T t Thu
Ta lưu ý r ng hàm ñ ng bi n có nghĩa là x1 > x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) . V y t nh n xét trên
ta suy ra ñư c: n ax1 + b + m a ' x1 + b ' = n ax2 + b + m a ' x2 + b ' ⇔ x1 = x2 , k t qu này
g i ý cho chúng ta suy nghĩ ñ n các bài toán phương trình.
Ví d 1: Gi i phương trình: x + 2 + 2 x + 5 = 5 (1) .
Gi i: ðk: x ≥ −2
ð t f ( x ) = x + 2 + 2 x + 5 , theo nh n xét 1 ta có f ( x) là hàm ñ ng bi n và f (2) = 5
* V i x > 2 ⇒ f ( x) > f (2) = 5 ⇒ (1) vô nghi m
* V i −2 ≤ x < 2 ⇒ f ( x) < f (2) = 5 ⇒ (1) vô nghi m
V y phương trình ñã cho có nghi m duy nh t.
Ví d 2: Gi i b t phương trình: 1 + 2 9 x + 7 + 3 2 x − 1 ≥ 6 − 2 x (2).
7
Gi i: ðk: x ≥ − .
9
G i f ( x) và g ( x) l n lư t là v trái và v ph i c a b t phương trình (2)
Ta có f ( x) là m t hàm ñ ng bi n và g ( x ) là hàm ngh ch bi n, ñ ng th i f (1) = g (1) .
*V i x > 1 ⇒ f ( x) > f (1) = g (1) > g ( x) ⇒ (2) nghi m ñúng.
7
*V i − ≤ x < 1 ⇒ f ( x) < f (1) = g (1) < g ( x) ⇒ (2) vô nghi m.
9
V y nghi m c a b t phương trình ñã cho là: x ≥ 1 .
Tùy thu c vào trình ñ c a h c trò mà ta có th ra nhưng bài m c ñ khó khác nhau.

Ví d 3: Gi i phương trình:
18 x2 + 12 x + 5 + 36 x2 + 24 x + 2 = 8 x2 − 24 x + 21 + 16 x2 − 48 x + 34 (3).
Gi i:
Ta có: (3) ⇔ 2(3x + 1)2 + 3 + 4(3x + 1)2 − 2 = 2(2 x − 3)2 + 3 + 4(2 x − 3)2 − 2
1
ð t a = (3x + 1)2 , b = (2 x − 3)2 , v i ñi u ki n a, b ≥ . Khi ñó ta có
2
2a + 3 + 4a − 2 = 2b + 3 + 4b − 2 ⇔ f (a) = f (b) (*).
V i f (t ) = 2t + 3 + 4t − 2 , d th y f (t ) là hàm ñ ng bi n
* N u a > b ⇒ f (a) > f (b)
* N u a < b ⇒ f (a) < f (b)
 x = −4
a = b (3x + 1)2 = (2 x − 3)2
 
⇔
Do v y (*) ⇔  1⇔ 2.
1 x =
a≥ (2 x − 3) ≥
2
 
 
 5
2 2
2
V y phương trình ñã cho có hai nghi m x = −4, x = .
5

Năm H c 2008 – 2009 Trang 24
Bài T p ð i S 10 GV: Nguy n T t Thu
V i cách làm tương t ta có th t sáng tác ñư c nhi u bài toán m i hay và khó.
Nh n xét 2: T ñ nh lí ta có th tìm ñư c giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s
b c nh t trên ño n, c th .
Cho hàm s f ( x ) = ax + b (a ≠ 0) .
• N u a > 0 thì max f ( x) = f ( β ) và min f ( x) = f (α )
[α ; β ]
[α ; β ]
• N u a < 0 thì max f ( x ) = f (α ) và min f ( x) = f ( β )
[α ; β ]
[α ; β ]
Tóm l i: max f ( x ) = max{f (α ), f ( β )} và min f ( x) = min{f (α ), f ( β )} .
[α ;β ]
[α ; β ]
V n d ng nh n xét này ta có th gi i quy t ñư c các bài toán c c tr và b t ñ ng th c
Ví d 4: Tìm m ñ f ( x ) = 1 − 2mx ≥ 0 ∀x ∈ [−1;2] .
Gi i:
Ta có f ( x ) ≥ 0 ∀x ∈ [−1;2] ⇔ min f ( x) ≥ 0 ⇔ min{ f (−1), f (2)} ≥ 0
[ −1;2]
 f (−1) ≥ 0 1 + 2m ≥ 0 1 1
⇔ ⇔ ⇔− ≤m≤ .
 f (2) ≥ 0 1 − 4m ≥ 0 2 4
V i h c sinh l p 12 ta có th thay ñ i cách phát bi u bài toán, ch ng h n “Tìm m ñ
hàm s y = 2 x + m − 2m sin 2 x ñ ng bi n v i m i x”…
Ví d 5: Tìm giá tr nh nh t c a f ( x) =| x2 − 2 x + m − 2 | trên [−2;3] .
Gi i:
ð t t = x2 − 2 x = ( x − 1)2 − 1 ⇒ x ∈ [−2;3] ⇔ t ∈ [−1;8] . Khi ñó ta ñư c g (t ) =| t + m − 2 |
⇔ max f ( x) = max g (t ) = max{g (−1), g (8)} = max{| m − 3 |,| m + 6 | } .
[-2;3] [-1;8]
a+b
Chú ý: N u v n d ng hai tính ch t max{a, b} ≥ và | a | + | b |≥| a + b | thì ta có ñư c.
2
|3− m|+|m + 6| |3− m + m + 6| 9
max{| m − 3 |,| m + 6 |} ≥ ≥ = . Do ñó ta có th làm cho
2 2 2
bài toán trên tr thành khó hơn b ng cách thay ñ i câu h i như sau.
“ Tìm m ñ giá tr l n nh t c a hàm s f ( x) =| x2 − 2 x + m − 2 | trên [−2;3] nh nh t”
V i cách làm tương t trên ta có th ra thêm nh ng bài toán có d ng
“Tìm m ñ giá tr l n nh t c a hàm s y =| f ( x, m) | trên ño n [α ; β ] nh nh t” v i ñi u
ki n ta có th ñ t n ph t = u ( x) và t p giá tr c a t là m t ño n ñ ng th i f ( x) tr
thành m t hàm b c nh t theo n t.
Bây gi ta xét các bài toán c tr
Ví d 6: Cho các s th c không âm a, b, c th a mãn a + b + c = 1 . Tìm giá tr l n nh t và
giá tr nh nh t c a bi u th c: P = ab + bc + ca − 2abc .(M r ng bài toán thi IMO năm
1984)



Năm H c 2008 – 2009 Trang 25
Bài T p ð i S 10 GV: Nguy n T t Thu
Gi i: Không m t tính t ng quát ta gi s
1
c = min{a, b, c} ⇒ 3c ≤ a + b + c = 1 ⇒ 0 ≤ c ≤ .
3
Ta có: P = ab(1 − 2c) + c(1 − c)
a + b 2 (1 − c)2
ð t t = ab ⇒ 0 ≤ t ≤ ( )= và P = (1 − 2c)t + c(1 − c) = f (t ) ,
2 4
(1 − c)2
1
Vì 0 ≤ c ≤ ⇒ 1 − 2c > 0 ⇒ f (t ) là hàm ñ ng bi n trên [0; ]
4
3
f (t ) ≥ f (0) = c (1 − c ) ≥ 0 (ð ng th c x y ra khi a = 0, b = 1, c = 0 và các hoán v )
(1 − c)2 (1 − 2c)(1 − c)2 −2c3 + c2 + 1
Và f (t ) ≤ f [ ]= + c(1 − c) =
4 4 4
1 7 1 7
=− (54c3 − 27c2 + 1) + =− (3c − 1)2 (6c + 1) +
108 27 108 27
7 1
⇒ f (t ) ≤ . ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c = .
27 3
7
V y min P = 0 và max P = .
27
Ví d 7: Cho a, b, c là các s th c không âm và có t ng b ng 3. Ch ng minh r ng
13 ≤ 3(a2 + b2 + c2 ) + 4abc ≤ 27 (M r ng bài thi ðH Vinh năm 2000).
Gi i:
ð t P = 3(a2 + b2 + c2 ) + 4abc .
Gi s c = min{a, b, c} ⇒ 3 = a + b + c ≥ 3c ⇒ c ≤ 1.
Ta có ñ ng th c: a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 − 2(ab + bc + ca ) = 9 − 2(ab + bc + ca)
Nên P = 27 − 6(ab + bc + ca ) + 4abc = 2(2c − 3)ab − 6c(3 − c) + 27 .
2 2
a +b 3−c
Xét hàm s f (t ) = 2(2c − 3)t − 6c(3 − c) + 27 v i t = ab ⇒ 0 ≤ t ≤   = .
2 2
 (3 − c)2 
Vì c ≤ 1 ⇒ f (t ) là m t hàm ngh ch bi n trên 0;  do v y:
4

(3 − c ) 2
1 1
f (t ) ≥ f [ ] = (2c3 − 3c2 + 1) + 13 = (c − 1)2 (2c + 1) + 13 ≥ 13 .
4 2 2
ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c = 1.
Và f (t ) ≤ f (0) = 6c(c − 3) + 27 ≤ 27 . ð ng th c x y ra ⇔ a = c = 0, b = 3 và các hoán
v.




Năm H c 2008 – 2009 Trang 26
Bài T p ð i S 10 GV: Nguy n T t Thu
CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH – H PHƯƠNG TRÌNH

§ 1. ð I CƯƠNG V PHƯƠNG TRÌNH
I. LÝ THUY T
1. ð nh nghĩa: * Là m nh ñ ch a bi n có d ng: f ( x) = g ( x)
* D = D f ∩ Dg g i là ñi u ki n c a phương trình
* x0 ∈ D : f ( x0 ) = g ( x0 ) thì x = x0 g i là nghi m c a phương trình

2. Các phép bi n ñ i phương trình
Các phép bi n ñ i tương ñương c a phương trình:
* Th c hi n các phép bi n ñ i trong t ng v nhưng không làm thay ñ i t p xác ñ nh c a
phương trình
* Dùng quy t c chuy n v
* Nhân hai v c a phương trình v i cùng m t bi u th c xác ñ nh và khác 0 v i m i giá
tr
c a n thu c t p xác ñ nh c a phương trình
* Bình phương hai v c a phương trình có hai v luôn luôn cùng d u khi n l y m i giá
tr
thu c t p xác ñ nh c a phương trình
Phép bi n ñ i cho phương trình h qu :
* Bình phương hai v c a m t phương trình ta ñi ñ n phương trình h qu

Chú ý: * Trư c khi gi i phương trình ta ph i tìm ñi u ki n ñ phương trình xác ñ nh
* Khi s d ng phép bi n ñ i h qu , sau khi gi i ta ph i th l i các nghi m

II. BÀI T P
Ph n 1 : T lu n
Bài 1: Tìm ñi u ki n c a các phương trình sau r i gi i chúng
1) x − 3 + x = 3 − 3 − x 2) − x 2 + 2 x − 1 + 3x − 2 = x 2 − 3x + 1
2x + 1
3) 2 2 − x + x = 3x − 7 + x= 2− x
4)
2x − 4
Bài 2: Gi i các phương trình sau
1 1
2x − 1 = x − 2
+ x2 = 4x − 3 + 2)
1)
x−3 x−3
2x 2
x2 − 4 + x2 + x = 2 + x2 − 4 + x+2= + 3x
3) 4)
x −1 x −1
Bài 3:.Tìm nghi m nguyên c a m i phương trình sau b ng cách xét ñi u ki n
1) 4 − x − 2 = x − x 2)3 x + 2 = 2 − x + 2 2
Bài 4: Gi i các phương trình sau

Năm H c 2008 – 2009 Trang 27
Bài T p ð i S 10 GV: Nguy n T t Thu

1) | 3 x − 1|= 2 4x − 1 = 3
2)
3) | 3x − 2 |= 2 x − 3 x 2 − 3x + 2 = x − 4
4)
Bài 5: Tìm m ñ phương trình 2 x + 1 + x − m = 0 nh n x = 1 là nghi m. V i m v a tìm
ñư c hãy gi i phương trình ñó

Ph n 2: Tr c nghi m
Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghi m
I. 5 x 2 + 7 = − x − 1 II. x 2 − 3 x + 4 = 0
III. 2 x 2 + 2 = x + 4 IV. 2 x 2 + 1 + 3 − x = 2 x − 7
Câu 2: Phương trình x + − x = 0 có bao nhiêu nghi m
I. 1 II. 2 III. 3 IV. Vô nghi m
Câu 3:Cho các phương trình f1 ( x ) = g1 ( x) (1) ; f 2 ( x) = g 2 ( x) (2) và
f1 ( x ) + f 2 ( x ) = g1 ( x ) + g 2 ( x ) (3). Tìm m nh ñ ñúng
I. (3) tương ñư ng v i (1) ho c (2) II. (3) là h qu c a (1)
IV. c a,b,c ñ u có th sai
III. (2) là h qu c a (3)
Câu 4: x = 1 là nghi m c a phương trình nào sau ñây
x 2 − 3x − 1 = x − 2
I. 2 x 2 − 3x − 2 + 1 = x3 II.
III. 4 x + x 2 − 2 x + 2 = 3 x 2 + 2 IV. x − 2 + x 2 − 4 = 0
Câu 5: V i giá tr n nào c a m thì phương trình 2 x − 3 + m4 x + 2m3 + 1 = 0 có nghi m
x =1
3
II. m =
I. m = 1 III. m = −2 IV. C I,II,III ñ u sai
2
Câu 6: Phương trình x 2 − 4 x + 3 + x − 1 = 0 có m t nghi m là
I. x = 2 II. x = 3 III. x = 4 IV. x = 1
Câu 7: Trên ño n [ − 3;2] s nghi m c a phương trình x 2 + x − 6 = 2 3 x − 6 là
I. M t II. Hai III. Vô nghi m IV. Vô s nghi m
Câu 8: Trên (−1;7) phương trình x + 1 = x + 2 x − 10 có bao nhiêu nghi m nguyên
2

I. M t II. Hai III. Vô nghi m IV. Vô s nghi m




Năm H c 2008 – 2009 Trang 28
Bài T p ð i S 10 GV: Nguy n T t Thu
§ 2. PHƯƠNG TRÌNH QUY V PHƯƠNG TRÌNH B C NH T
VÀ PHƯƠNG TRÌNH B C HAI

I. LÝ THUY T
1. Phương trình: ax + b = 0 (1):
b
* N u a ≠ 0 thì (1) có nghi m duy nh t x = −
a
* N u a = b = 0 thì (1) nghi m ñúng v i ∀x ∈ R
*N u a = 0 ≠ b thì (1) vô nghi m
2. Phương trình : ax 2 + bx + c = 0 (2)
* N u a = 0 thì (2) tr thành (1)
* N u a ≠ 0 , ta có ∆ = b 2 − 4ac
• ∆ < 0 ⇒ (2) vô nghi m
b
• ∆ = 0 ⇒ (2) có nghi m kép x1 = x2 = −
2a
−b ± ∆
• ∆ > 0 ⇒ (2) có hai nghi m phân bi t x1 =
2a
Chú ý: N u a,c trái d u thì (2) có hai nghi m phân bi t và hai nghi m này trái d u nhau
3. ð nh lí Viet
ð nh lí Viet: N u phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghi m x1 , x2 thì t ng
b c
và tích hai nghi m là: S = x1 + x2 = − ; P = x1 x2 = .
a a
ð nh lí ñ o: N u a, b là hai s có t ng S , tích P thì a,b là nghi m c a phương trình
X 2 − SX + P = 0
4. Phương trình ch a tr tuy t ñ i : | ax + b |= cx + d (3)
 A khi A ≥ 0
C1: Dùng ñ nh nghĩa tr tuy t ñ i | A |= 
− A khi A < 0
C2: Bình phương hai v ta ñư c phương trình h qu , gi i phương trình h qu ta ñư c
nghi m r i thay vào phương trình ban ñ u ñ ki m tra.
5. Phương trình ch a căn th c: ax + b = cx + d (4)
* ð t ñi u ki n c a phương trình
* Bình phương hai v ta ñư c phương trình h qu

Ví d 1: Gi i và bi n lu n các phương trình sau
1) (m 2 − 1) x + 2 = 2m 2) mx 2 − 2mx + m + 1 = 0
Gi i:
1) Pt ⇔ (m 2 − 1) x = 2(m − 1)

Năm H c 2008 – 2009 Trang 29
Bài T p ð i S 10 GV: Nguy n T t Thu
2
* m 2 − 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±1 ⇒ phương trình có nghi m duy nh t: x =
m +1
* m 2 − 1 = 0 ⇔ m = ±1
+) m = 1 ⇒ Pt ⇔ 0 x = 0 ⇒ phương trình nghi m ñúng v i ∀x ∈ R
+) m = −1 ⇒ Pt ⇔ 0 x = −4 ⇒ phương trình vô nghi m
2) * m = 0 ⇒ Pt ⇔ 1 = 0 ⇒ phương trình vô nghi m
* m ≠ 0 ⇒ ∆ ' = m 2 − m(m + 1) = − m ≠ 0
+) m > 0 ⇒ ∆ < 0 ⇒ phương trình vô nghi m
m ± −m
+) m < 0 ⇒ ∆ > 0 ⇒ phương trình có hai nghi m phân bi t: x =
m
Ví d 2: G i x1 , x2 là hai nghi m c a phương trình: x − 5 x − 1 = 0 . Tính
2

A = x1 + x2 , B = x1 + x2 , C = x1 + x2 , E =| x1 − x2 |
2 2 3 3 4 4

Gi i:
Ta có: ∆ = 29 > 0 ⇒ phương trình có hai nghi m phân bi t
Theo Viet ta có: S = x1 + x2 = 5, P = x1 x2 = −1
A = ( x1 + x2 )2 − 2 x1 x2 = 25 + 2 = 27
B = ( x1 + x2 )( x1 + x2 − x1 x2 ) = 5(27 + 1) = 140
2 2

C = ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2 = 27 2 − 2 = 727
2 2 22

Ta có: E 2 = ( x1 − x2 )2 = ( x1 + x2 )2 − 4 x1 x2 = 25 + 4 = 29 . Vì E ≥ 0 ⇒ E = 29
Ví d 3: Gi i các phương trình sau
1) | 3x + 1|= x − 3 2) 2 x + 3 = 3 x − 1
Gi i:
 1
3 x + 1 khi x ≥ − 3

1) Cách 1: Ta có: | 3x + 1|= 
−3x − 1 khi x < − 1

 3
1 1
* N u x ≥ − ⇒ Pt ⇔ 3x + 1 = x − 3 ⇔ x = −2 (lo i vì −2 < − )
3 3
1 1 1 1
*N u x < − ⇒ Pt ⇔ −3x − 1 = x − 3 ⇔ x = (lo i vì > − )
3 2 2 3
V y phương trình vô nghi m.
Cách 2: Vì x < 3 ⇒ VP < 0 ⇒ Pt vô nghi m (Do VP ≥ 0) . Do ñó ta ch xét phương trình
khi x ≥ 3 , khi ñó c hai v c a phương trình ñ u không âm nên bình phương hai v ta
ñư c:



Năm H c 2008 – 2009 Trang 30
Bài T p ð i S 10 GV: Nguy n T t Thu
1
(3x + 1) 2 = ( x − 3) 2 ⇔ 2 x 2 + 3 x − 2 = 0 ⇔ x = −2, x = c hai nghi m này ñ u lo i vì
2
ñ u nh hơn 3. V y phương trình vô nghi m.
3
2) ðK: x ≥ −
2
1 1
Ta th y n u x < ⇒ VP < 0 ⇒ Pt vô nghi m. Do ñó ta ch gi i pt khi x ≥ . Khi ñó c
3 3
hai v pt ñ u không âm, bình phương hai v ta ñư c:
4 ± 34
2 x + 3 = (3x − 1)2 ⇔ 9 x 2 − 8 x − 2 = 0 ⇔ x = .
9
4 + 34
1
Vì x ≥ nên phương trình có nghi m là: x =
9
3
II. BÀI T P
Ph n 1 : T lu n
Bài 1: Gi i và bi n lu n các phương trình sau
1) 2mx + 1 = m(4 x + 2m − 3) 2) m 2 x + 2m = ( x + 2m)m
3) (m − 1) x 2 − 2(m + 1) x + m + 3 = 0 4)(m 2 − 3m + 2) x 2 + 2(m + 3) x + 1 = 0
Bài 2: Tìm m ñ các phương trình sau có nghi m
1) x( x + m) − ( x + 2)2 = m 2) (m 2 − 9) x − m2 + 4m = 3
3) mx 2 + 2mx + m − 4 = 0 4) (m − 2) x 2 + 2(m − 1) x + m + 4 = 0
Bài 3: Tìm hai s a và b bi t
1) t ng S=2, tích P=-1 2) T ng S=5, tích P=-3
Bài 4: G i x1 , x2 là nghi m c u phương trình: 3 x 2 − x − 1 = 0 . Tính
A = x1 + x2 , B = x1 + x2 , C = x1 ( x2 − 1) + x2 ( x1 − 1), D =| x1 − x2 |
2 2 3 3 2 2 2 2

Bài 4: Ch ng minh r ng n u a,b,c là ñ dài ba c nh tam giác thi phương trình sau vô
nghi m
a 2 x 2 + (a 2 + b 2 − c 2 ) x + c 2 = 0 .
Bài 5: Tìm m ñ pt:
1) (m − 1) x 2 + 2(m + 1) x + m = 0 có 1 no
2) (m + 2) x 2 − 2(m − 1) x + m − 2 = 0 có no
3) (2m + 1) x 2 − 2(2m − 3) x + 2m + 2 = 0 có 2 no pb
Bài 6: Gi i các phương trình sau
1) 3x + 4 − x = 3 3) 5 x + 2 = 3x + 1
x2 − 2x + 1 = 2 2
2)
5) 2 x 2 + 4 x − 1 = x + 1 6) | x − 1|= x 2 + 4 x + 3
4) x − 2 x − 5 = 4
Bài 7: V i giá tr nào c a m thì phương trình

Năm H c 2008 – 2009 Trang 31
Bài T p ð i S 10 GV: Nguy n T t Thu

1) 2 x3 + 2 x 2 − x + 1+ | 3m − 2 | +m = 0 có nghi m x = 1 .
2 x 2 − 3x + 4 + x + m + 2m − 1 = 0 có nghi m x = −1 .
2)

Ph n 2: Tr c nghi m
Câu 1: Phương trình mx + 1 = m + x có nghi m khi và ch khi:
I. m ≠ 1 II. m > 1 III. m = 1 IV. ∀m
Câu 2: K t lu n nào v phương trình m x − 2m = 1 − x sau ñây là ñúng
2

I. Phương trình luôn có nghi m v i m i m
II. Phương trình có nghi m duy nh t ⇔ m ≠ ±1
III. Phương trình vô nghi m ⇔ m = ±1
IV. C ba k t lu n trên ñ u sai
x +1
+ 1 = 2 x có nghi m là
Câu 3: Phương trình
2
I. x = −1 II. x = 0 III. x = −1 IV. Vô nghi m
Câu 4: Phương trình 2008 x − x − 2007 = 0 có t p nghi m là
2

2007 2007 2007
II. { − 1; III. {1; − IV. {1; −1}
I. {1; } } }
2008 2008 2008
Câu 5: Phương trình mx 2 + 2(m + 1) x + m = 0 có nghi m duy nh t khi và ch khi
1 1
II. m = 0, m = −1 III. m = 0, m = − IV. m = −
I. m = 0
2 2
Câu 6: Phương trình 2 x − m + 1 = 0 có nghi m khi và ch khi
2

I. m < 1 II. m ≥ 1 III. m ≥ 0 IV. ∀m
Câu 7: T p nghi m c a phương trình : 2 x − 3 = x − 3 là :
I. T = {6,2} II. T = {2} III. T = {6} IV. T = ∅
Câu 8: Cho phương trình : 3x − 8 = 2( x − 12) + x + 16
I. Phương trình vô nghi m II. Phương trình vô s nghi m
III. Phương trình có nghi m x > 0 IV. Phương trình có 1 nghi m
Câu 9: Phương trình mx − mx + 1 = 0 có nghi m khi và ch khi:
2


I. m < 0 V m ≥ 4 II. 0 ≤ m ≤ 4 III. m ≤ 0 V m ≥ 4 IV. 0 < m ≤ 4
4
2−x + = 2 là:
Câu 10: T p h p nghi m c a phương trình
2−x +3
IV. ∅
I. {0;2} II. {0} III. {1}
Câu 11 : Tìm m ñ phương trình sau vô nghi m : (m 2 − 4) x = 3m + 6
I. m = 1 II. m = 2 III. m = −1 IV. m = −2
2
Câu 12:Hãy tìm nghi m kép c a phương trình: x − 2(m + 2) x + m + 2 = 0 khi nó có
nghi m kép .


Năm H c 2008 – 2009 Trang 32
Bài T p ð i S 10 GV: Nguy n T t Thu
2 2
I. x = −1 III. x = 1
II. x = IV. x = −
3 3
Câu 13 : Khi phương trình : x 2 − 4 x + m + 1 = 0 có 1 nghi m b ng 3 thì nghi m còn l i
b ng :
I. 2 II. 1 III. 4 IV. M t k t qu khác .
2
Câu 14: G i x1 , x2 là hai nghi m c a phương trình: x − 2 x − 4 = 0
2 2
a) Giá tr c a A = x1 + x2 là
II. A = 9 IV. −7
I. A = 12 III. A = −4
2 2
b) Giá tr B = x1 x2 + x2 x1 là
II. B = −8 III. B = 8
I. B = −4 IV. B = 4
c) Giá tr C =| x1 − x2 | là
II. −2 5
I. C = 20 III. 2 5 IV. K t qu khác
Câu 15: Phương trình: | x − 1|= x + 1 có t p nghi m là
III. {0; − 1}
I. {0} II. {0;1} IV. {0;2}
Câu 16: N u hai s u và v có t ng S = 10 và có tích P = 24 thì chúng là nghi m c a
phương trình :
I. x 2 − 10 x + 24 = 0 II. x 2 + 10 x − 24 = 0
III. x 2 + 10 x + 24 = 0 IV. x 2 − 10 x − 24 = 0
Câu 17: Tìm m ñ phương trình (m 2 + m) x = m + 1 có 1 nghi m duy nh t x = 0 :
I. m = −1 II. m ≠ 0 III. m = 0 IV. ðáp s khác
Câu 18: Xét các kh ng ñ nh sau ñây:
1) x − 2 = 1 ⇔ x − 2 = 1 2) x + 2 = x ⇔ x 2 − x − 2 = 0
3) ( x )2 = 1 + 2 x ⇔ x = 1 + 2 x 4) x 2 = 1 + 2 x ⇔ x = 1 + 2 x
Ta có s kh ng ñ nh ñúng là :
I. không II. M t III. Hai IV. Ba V. B n
Câu 19: Hình ch nh t có di n tích 15, chu vi 16 thì có chi u dài, chi u r ng là:
I. Chi u dài là -5, chi u r ng là -3 II. Chi u dài là 12, chi u r ng là 4
III. Chi u dài là 8, chi u r ng là 7 IV. Chi u dài là 5, chi u r ng là 3
Câu 20: Nghi m c a phương trình 3x + 5 = 2 x − 3 là:
2 2
II. x = − III. x = −8 và x = −
I. x = −8 IV. Phương án khác.
5 5




Năm H c 2008 – 2009 Trang 33
Bài T p ð i S 10 GV: Nguy n T t Thu
§ 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ H PHƯƠNG TRÌNH
B C NH T NHI U N
I. LÝ THUY T
1. Phương trình b c nh t hai n: Có d ng : ax + by + c = 0
2. H phương trình b c nh t hai n
 ax + by = c
V i a2 + b2 ≠ 0, a’2 + b’2 ≠ 0
Là h có d ng: 
a ' x + b ' y = c '
a b c b a c
Tính D = = ab '− a ' b ; Dx = = cb '− c ' b ; Dy = = ac '− a ' c
a' b' c' b' a' c'
 Dx
x =
 D
*N u D ≠ 0 thì h có nghi m duy nh t (x; y) v i 
Dy
y =

 D
 Dx ≠ 0
*N u D = 0 và  : H vô nghi m
Dy ≠ 0

−by + c

x =
: H có vô s nghi m (x; y) tính theo công th c 
* N u D = Dx = Dy = 0 a
 y∈R

 x∈R

(a ≠ 0) ho c  − ax + c (n u b ≠ 0)
y=

 b

3. Phương pháp gi h phương trìnhb c nh t ba n :

 a1 x + b1 y + c1 z = d1

H có d ng:  a2 x + b2 y + c2 z = d 2
a x + b y + c z = d
3 3 3 3
* Ch n m t phương trình, bi u di n m t n theo hai n còn l i
* Th n ñó vao hai phương trình còn l i ta ñư c h hai phương trình b c
nh t hai n. Gi i h này tìm giá tr hai n t ñó tìm ñươc giá tr n còn l i

 mx + y = 2
Ví d 1: Cho h phương trình : 
 x + my = m + 1
a) Gi i h khi m = −3
b) Gi i và bi n lu n h
c) Tìm m ñ h có nghi m nguyên
Năm H c 2008 – 2009 Trang 34
Bài T p ð i S 10 GV: Nguy n T t Thu
d) Tìm m nguyên ñ h có nghi m (x;y) th a mãn x0
Gi i:
Ta có: D = m2 − 1, Dx = m − 1, Dy = m2 + m − 2 = (m − 1)(m + 2)
a) V i m=-3 ta có: D = 8, Dx = −4, D y = 4
 Dx 1
x = D = − 2

V y h có nghi m duy nh t:  .
Dy 1
y = =

 D2
 1
x=
 m +1

b) * N u m ≠ ±1 ⇒ D ≠ 0 ⇒ h có nghi m duy nh t:  .
m+2
y =
 m +1

x ∈ R
* N u m = 1 ⇒ D = Dx = D y = 0 ⇒ h có vô s nghi m:  .
y=2− x

* N u m = −1 ⇒ D = 0 ≠ Dx ⇒ h vô nghi m
c) * N u m = 1 ⇒ h có vô s nghi m nguyên
*V i m ≠ ±1 h có nghi m nguyên ⇔ x, y ∈ ℤ ⇔ 1⋮(m + 1) ⇔ m = 0 V m = −2
V y m = −2, m = 0, m = 1 là nh ng giá tr c n tìm.
d) * N u m = 1 ⇒ h có vô s nghi m x < 0, y > 0
m + 1 < 0

*V i m ≠ ±1 h có nghi m x < 0, y > 0 ⇔  m + 2 ⇔ −2 < m < −1
>0
 m +1

x + y − z = 1 (1)

Ví d 2: Gi i h phương trình:  2 x + y + z = 3 (2)
3x − 2 y + 4 z = 5 (3)

 5
x=

3x + 2 y = 4  4
Gi i: T (1) ⇒ z = x + y − 1 thay vào (2) và (3) ta ñư c:  ⇔
7 x + 2 y = 9  y = 1

 8
3 513
⇒ z = . V y nghi m c a h là: ( x; y; z ) = ( ; ; ) .
8 488




Năm H c 2008 – 2009 Trang 35
Bài T p ð i S 10 GV: Nguy n T t Thu
II. BÀI T P
Ph n 1 : T lu n
Bài 1: Gi i các h phương trình sau:
1 3
 x − y + 2x + y = 5
 3x − ( 2 − 1) y = 1
2 x + y = −1 

3) 
2) 
1) 
x + 3y + 2 = 0 2 2 x + y = 5  4 − 5 =1

 x − y 2x + y

 x + my = 2
Bài 2: Cho h phương trình: 
 mx + y = 3m − 1
1) Gi i và bi n lu n h :
2) Gi s h có nghi m (x;y). Tính P = x 2 + 2 y 2
3) Tìm m ñ h có nghi m (x;y) th a mãn x ≥ 3 .
 ax + by = c

Bài 3*: Gi s h phương trình bx + cy = a có nghi m. Cmr: a 3 + b3 + c3 = 3abc .
cx + ay = b

x + 2 y = 4 − m

Bài 4: Cho h
2 x − y = 3m + 3
1) Gi i h phương trình
2)Tìm t t c các giá tr c a m ñ x 2 + y 2 ñ t giá tr nh nh t.
(m + 1) x − 2 y = m − 1

Bài 5: ð nh m nguyên ñ h có nghi m duy nh t là nguyên:  2 .
 m x − y = m + 2m
2

Bài 6: Gi i các h sau
 x + y + z = 28  x − 3 y + 2 z = −2  −x + 5y + z = 2
  
a) 5 x + 3 y + 3z = 100 b)  −2 x + 5 y + z = 5 c)  2 x − 9 y + 2 z = 8
 2 x + 4 y + 5 z = 107  3x − 7 y + 4 z = 8  3x − 4 y + z = 5
  
Bài 7: Tìm m, a, b sau cho h phương trình sau vô nghi m
m 1
 x + y = 2m
 ax + y = 2  x + my = 1 
c) 
a)  b) 
 6 x + by = 4  mx − 3my = 2m + 3 1 + m = m +1
x y

Ph n 2: Tr c nghi m
 2 x + y = −1
Câu 1: Nghi m c a h :  là
x + y = −3

I. (−2;5) II. (2; −5) IV. (3; −1)
III. (1;3)

Năm H c 2008 – 2009 Trang 36
Bài T p ð i S 10 GV: Nguy n T t Thu
15
Câu 2: C p ( x; y ) = ( ; ) là nghi m c a h nào sau ñây
33
2 x + y = 1  2 x + y = −1  x + y = −2 x + y − 2 = 0
I.  II.  III.  IV. 
3x + 6 y = 9  x + 2 y = −3 5 x + 2 y = −5 x − 2 y + 3 = 0
3 2
 x −1 y +1 = 4
+

Câu 3: H  có nghi m là
2 3
 + =5
 x −1 y +1

27 72 27
I. ( ; − ) II. ( ; − ) III. (− ; ) IV. K t qu khác
55 27 72
mx + y + m = 0
Câu 4: Tìm ñi u ki n c a m ñ h phương trình  vô nghi m.
x + my + m = 0

I. m = 1 II. m = −1 III. m = 0 IV. m ≠ 1
3x − my = 1
Câu 5: H  có nghi m duy nh t là :
2x − 5 y = 3

−4 m −1 1− m
  
x= x= x=
  
3+ m 3+ m 3+ m
  
I.  II.  III.  V. K t qu khác
y = 1− m −4
4
y = y =
  
3+ m 3+ m 3+ m
  
2 x − 3 y − z = 2

Câu 6: H phương trình 3x − 2 y + 3z = 5 có bao nhiêu nghi m
 4 x − 6 y − 2 z = −1

I. 0 II. 1 III. 2 IV. 3
x + y + z = 2

Câu 7: H PT  2 x − y − z = 1 có nghi m
− x + y − z = 0

I. (−1; −1; 0) II. (1; 1; 0) III. (3; 2; 0) IV. (2; 1; 0)
Câu 8: Cho PT 2 x + 3 y = 5 . M t nghi m c a PT là:
I. (0; -1) II. (1; 1) III. (1; 0) IV. (-1; 1)
 mx + y = m + 1
Câu 9: H phương trình:  có nghi m duy nh t khi ch khi
 x + my = 2
I. m ≠ −1 II. m ≠ 1 III. m ≠ ±1 IV. m ≠ ±2



Năm H c 2008 – 2009 Trang 37
Bài T p ð i S 10 GV: Nguy n T t Thu

 mx + y = m + 1
Câu 10: Cho phương trình:  . Khi h có nghi m duy nh t (x; y), ta có h
x + my = 2

th c gi a x và y ñ c l p ñ i v i m là:
I. x = 1 + y II. x = 1 − y III. x − y − 1 = 0 IV. C (I) và (III)




Năm H c 2008 – 2009 Trang 38
Bài T p ð i S 10 GV: Nguy n T t Thu

CHUYÊN ð NÂNG CAO
M TS
Chuyên ñ 1: Phương trình quy v b c nh t – b c hai
1. Phương trình b c cao:
 f ( x) = 0
PP1: ðưa v d ng tích: f ( x).g ( x) = 0 ⇔  .
 g ( x) = 0
ð ñưa v m t phương trình tích ta thư ng dùng các cách sau:
* S d ng các h ng ñ ng th c ñưa v d ng a 2 − b 2 = 0, a3 − b3 = 0,...
* Nh m nghi m r i chia ña th c: N u x = a là m t nghi m c a phương trình
f ( x) = 0 thì ta luôn có s phân thích: f ( x ) = ( x − a ) g ( x) . ð d ñoán nghi m ta d a
vào ñ nh lí sau:
ð nh lí: N u ña th c f ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 có nghi m nguyên thì
nghi m ñó ph i là ư c c a a0
* S d ng phương pháp h s b t ñ nh
Ví d 1: Gi i các pt sau:
1) x 4 − 4 x 2 + 12 x − 9 = 0 2) x 4 − 4 x = 1 3) x3 − 3x 2 − 6 x + 8 = 0
Gi i:
1) Ta có Pt ⇔ x 4 − (2 x − 3)2 = 0 ⇔ ( x 2 + 2 x − 3)( x 2 − 2 x + 3) = 0 ⇔ x = 1, x = −3
2) ta có Pt ⇔ x 4 − 2 x 2 + 1 − 2( x 2 − 2 x + 1) = 0 ⇔ ( x 2 − 1)2 − [ 2( x − 1)]2 = 0
− 2± 2 +3 2 ± 3− 2
⇔ ( x 2 + 2 x − 2 − 1)( x 2 − 2 x + 2 − 1) = 0 ⇔ x ∈{ ; }
2 2
3) Pt ⇔ x3 + 8 − 3 x( x + 2) = 0 ⇔ ( x + 2)( x 2 − 5 x + 4) = 0 ⇔ x = −2, x = 1, x = 4
PP2: ð t n ph
D ng 1: Phương trình ñ i x ng:Là pt có d ng: a x 4 ± b x 3 + c x 2 ± b x + a = 0
1 1
Cách gi i: Chia hai v pt cho x2 ( x ≠ 0) ta có pt: a ( x 2 + 2 ) ± b( x + ) + c = 0
x
x
1 1
1
ð t t = x + v i t ≥ 2 ta có x 2 + 2 = ( x + ) 2 − 2 = t 2 − 2 thay vào phương trình
x x
x
Ta có: a (t − 2) ± bt + c = 0
2

D ng 2: ( x + a )( x + b)( x + c )( x + d ) = e trong ñó a + b = c + d
Cách gi i: ð t t = x 2 + (a + b) x ta có pt: (t + ab)(t + cd ) = e
a+b
D ng 3: ( x + a )4 + ( x + b) 4 = c . ð t x = t − ta ñưa v phương trình trùng
2
phương
a−b 4
Chú ý: pt có no ⇔ c ≥ 2( )
2
Năm H c 2008 – 2009 Trang 39
Bài T p ð i S 10 GV: Nguy n T t Thu
Ví d :Gi i các phương trình:
1) 2 x 4 − 5 x3 + 6 x 2 − 5 x + 2 = 0 2) ( x + 1)4 + ( x + 3) 4 = 2
3) x( x + 1)( x + 2)( x + 3) = 24 4) 3( x 2 − x + 1)2 − 2( x + 1)2 = 5( x3 + 1)
Gi i:
1) ta th y x = 0 không ph i là nghi m c a phương trình nên chia hai v phương trình
1 1
cho x 2 ta ñư c: 2( x 2 + 2 ) − 5( x + ) + 6 = 0 .
x
x
1 1
1
ð t t = x + , (| t |≥ 2) ⇒ x 2 + 2 = ( x + )2 − 2 = t 2 − 2
x x
x
1
Ta có phương trình: 2(t 2 − 2) − 5t + 6 = 0 ⇔ 2t 2 − 5t + 2 = 0 ⇔ t = 2, t = (lo i)
2
1
* t = 2 ⇔ x + = 2 ⇔ x 2 − 2 x + 1 = 0 ⇔ x = 1 là nghi m duy nh t c a phương trình.
x
2) ð t x = t − 2 ta ñư c: (t − 1)4 + (t + 1)4 = 2 ⇔ t 4 + 6t 2 = 0 ⇔ t = 0 ⇔ x = −2
V y phương trình có nghi m duy nh t x = −2 .
3) ta có Pt ⇔ ( x 2 + 3 x)( x 2 + 3x + 2) = 24 . ð t t = x 2 + 3 x ta ñư c
t (t + 2) = 24 ⇔ t 2 + 2t − 24 = 0 ⇔ t = −6, t = 4
* t = −6 ⇔ x 2 + 3x + 6 = 0 ⇒ Phương trình vô nghi m
* t = 4 ⇔ x 2 + 3 x − 4 = 0 ⇔ x = 1, x = −4 .
4) Vì x = −1 không là nghi m c a phương tình nên chia hai v cho x3 + 1 ta ñư c:
x2 − x + 1 x +1
−2 2 = 5.
3
x +1 x − x +1
x2 − x + 1 2 1
ð tt= ⇒ 3t − = 5 ⇔ 3t 2 − 5t − 2 = 0 ⇔ t = 2, t = −
x +1 t 3
3 ± 13
* t = 2 ⇔ x 2 − 3x − 1 = 0 ⇔ x =
2
1
* t = − ⇔ 3x 2 − 2 x + 4 = 0 phương trình vô nghi m.
3
Chú ý: V i bài 2 ta có th gi i b ng cách khác như sau
a 4 + b4 a+b 2
≥( ) v i a + b ≥ 0.
Trư c h t ta có BðT:
2 2
Áp d ng BðT này v i a = − x − 1, b = x + 3 ⇒ VT ≥ VP . ð ng th c x y ra khi x=-2.

Bài t p
Bài 1: Gi i các phương trình sau
1)x4 − 4x3 + 8x = 5 2) ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) = 3 3) ( x + 4)4 + ( x + 6)4 = 82

Năm H c 2008 – 2009 Trang 40
Bài T p ð i S 10 GV: Nguy n T t Thu

4)( x 2 + x + 1) 2 − 3x 2 − 3x − 1 = 0 5) x 4 + 4 x = 1 6) x 4 − 2 x3 + 4 x − 4 = 0
Bài 2: Tìm m ñ pt sau có 4 no pb
2)( x 2 − 1)( x + 3)( x + 5) = m
1) x 4 − 4 x 3 + 8 x = m
3)( x + 1)( x + 3)( x + 5)( x + 7) = m
4) x 4 − x 2 + 2mx − m2 = 0 5) x 4 − m 2 x 2 + 2mx − 1 = 0
Bài 3:Gi i và bi n lu n các pt sau
1) x 4 + 4 x3 + (m + 4) x 2 + 2mx + 2m = 0 2) x 4 − 2 x 3 + x = m
Bài 4:Tìm m ñ pt: x 4 + 2 x 2 + 2mx + m 2 + 2m + 1 = 0
1)Có no l n nh t 2)Có no nh nh t

2. Phương trình ch a n trong d u giá tr tuy t ñ i
a khi a ≥ 0
Cách 1: Dùng ñ nh nghĩa: | a |= 
−a khi a < 0
Cách 2: Bình phương hai v k t h p v i tính ch t | a |2 = a 2
Cách 3: ð t n ph

Ví d 1: Gi i phương trình: | 3x − 2 |= x 2 + 2 x + 3 (1)
 2
3x − 2 khi x ≥ 3

Gi i: Ta có: | 3x − 2 |= 
−3 x + 2 khi x < 2

 3
2
* N u x ≥ ⇒(1)⇔ 3x − 2 = x 2 + 2 x + 3 ⇔ x 2 − x + 5 = 0 pt vô nghi m
3
−5 ± 21
2
* N u x < ⇒(1)⇔ −3x + 2 = x 2 + 2 x + 3 ⇔ x 2 + 5 x + 1 = 0 ⇔ x = hai
2
3
2
nghi m này ñ u th a mãn x
0
2
 m + 4m + 1 > 0

⇔
 c m 2 − 4m + 1 (*) .
m 2 − 4m + 1 ≠ 0
= ≠0 

a 3
4(1 − m) m 2 − 4m + 1
Khi ñó theo ñ nh lí Viet ta có: S = x1 + x2 = ; P = x1 x2 =
3 3
x + x2 1
1 11
+ = ( x1 + x2 ) ⇔ 1 = ( x1 + x2 ) ⇔ ( x1 + x2 )( x1 x2 − 2) = 0 (Do
Ta có:
x1 x2 2 x1 x2 2
x1 x2 ≠ 0 )



Năm H c 2008 – 2009 Trang 45
Bài T p ð i S 10 GV: Nguy n T t Thu

m = 1
 x1 + x2 = 0
⇔ ⇔ 2 ⇔ m = 1, m = −1, m = 5 . Thay vào (*) ta th y
 x1 x2 − 2 = 0  m − 4m − 5 = 0
m = −1 không th a mãn
V y m = 1, m = 5 là giá tr c n tìm.

Bài t p:
Bài 1: Gi s phương trình : x 2 − mx + (m − 2)2 = 0 có hai nghi m x1 , x2 và tìm
Min,Max c a P = x1 x2 + x1 + x2 .
Bài 2: Tìm m ñ phương trình: x 2 − 2 x + m − 1 = 0 có hai nghi m x1 , x2 th a mãn:
x1 + x2 = 82 .
4 4



Chuyên ñ 3: H PHƯƠNG TRÌNH B C HAI, HAI N

1. H g m m t phương trình b c hai, m t phương trình b c nh t

Phương pháp: T phương trình b c nh t, rút m t n theo n còn l i r i th vào phương
trình b c hai .

2 x + y = 5 (1)

Ví d 1: Gi i h phương trình :  2 .

4 x + y 2 = 17 (2)


Gi i: T (1) ⇒ y = 5 − 2 x th vào (2) ta ñư c:
x = 2 ⇒ y =1

4 x 2 + (5 − 2 x )2 = 17 ⇔ 2 x 2 − 5 x + 2 = 0 ⇔  .
1
x = ⇒ y = 4
 2
1
V y nghi m c a h là: ( x; y ) = (2;1),( ;4) .
2
x + y = m (3)

Ví d 2: Tìm m ñ h phương trình:  2 có nghi m.

2 x − 3 y 2 = 1 (4)


Gi i:
T (3) ⇒ x = m − y thay vào (4) ta ñư c:
2(m − y )2 − 3 y 2 = 1 ⇔ y 2 + 4my + 1 − 2m 2 = 0 (*)
1
H có nghi m ⇔ (*) có nghi m ⇔ ∆ ' = 4m2 − (1 − 2m2 ) ≥ 0 ⇔| m |≥
6
1
V y | m |≥ là nh ng giái tr c n tìm.
6

Năm H c 2008 – 2009 Trang 46
Bài T p ð i S 10 GV: Nguy n T t Thu
2. H ñ i x ng lo i I:
 f ( x; y ) = a
a. ð nh nghĩa: Là h có d ng  (I) trong ñó f(x;y),g(x;y) là các bi u th c ñ i
g ( x; y ) = b

x ng, t c là f ( x; y ) = f ( y; x), g ( x; y ) = g ( y; x) .
b. Cách gi i: ð t S = x + y , P = xy . Bi u di n f ( x; y ), g ( x; y ) qua S và P ta có h
 F (S ; P) = 0
gi i h này ta tìm ñư c S,P. Khi ñó x,y là no c a pt: X 2 − SX + P = 0 (1) .

G ( S ; P ) = 0
c. M t s bi u di n bi u th c ñ i x ng qua S và P
x + y 2 = ( x + y )2 − 2 xy = S 2 − 2 P
2


x3 + y 3 = ( x + y )( x 2 + y 2 − xy ) = S 3 − 3SP
x 2 y + y 2 x = xy ( x + y ) = SP
x 4 + y 4 = ( x 2 + y 2 )2 − 2 x 2 y 2 = ( S 2 − 2 P) 2 − 2 P 2
d. Chú ý: *N u (x;y) là nghi m c a h (I) thì (y;x) cũng là nghi m c a h
* H có nghi m khi (1) có nghi m hay S 2 − 4 P ≥ 0 .
Ví d 1: Gi i các h phương trình sau
 2( x + y ) = 3( 3 x 2 y + 3 xy 2 )
 x + y + 2 xy = 2
 
1)  3 2) 
x + y = 8
3
3 x + 3 y = 6
 
 x + y − xy = 3  x( x + 2)(2 x + y ) = 9
 
3)  4)  2
x + 4x + y = 6
 x +1 + y +1 = 4 

Gi i:
1) ð t S = x + y , P = xy . Khi ñó h tr thành:
 2−S

P =

S + 2 P = 2
  2
 ⇔

 S ( S − 3P ) = 8 
2
S ( S 2 − 6 − 3S ) = 8

 

 2

⇒ 2 S 3 + 3S 2 − 6S − 16 = 0 ⇔ ( S − 2)(2 S 2 + 7 S + 8) = 0 ⇔ S = 2 ⇒ P = 0
⇒ x, y là nghi m phương trình: X 2 − 2 X = 0 ⇔ X = 0, X = 2 .
x = 0 x = 2
 
V y nghi m c a h là:  V .
 
y = 2 y = 0
 
 
2) ð t a = 3 x , b = 3 y . Khi ñó h tr thành:
2(a3 + b3 ) = 3(a 2b + b 2 a)

 . ð t S = a + b, P = ab , ta ñư c :

a + b = 6



Năm H c 2008 – 2009 Trang 47
Bài T p ð i S 10 GV: Nguy n T t Thu
2( S 3 − 3SP) = 3SP 2(36 − 3P ) = 3P S = 6
  
 ⇔ ⇔ ⇒ a, b là nghi m c a phương trình.
  
 S = 6 P = 8
S = 6  
 

X 2 − 6 X + 8 = 0 ⇔ X1 = 2; X 2 = 4
a = 2 ⇒ x = 8 a = 4 ⇒ x = 64
 
⇒ ; .
 
b = 4 ⇒ y = 64 b = 2 ⇒ y = 8
 
 
V y nghi m c a h ñã cho là: ( x; y ) = (8;64), (64;8) .

Chú ý: N u g p căn th c thì ta có th ñ t n ph ñ làm ñơn gi i hình th c bài toán
 xy ≥ 0

3) ðK:  .

 x, y ≥ −1


ð t S = x + y , P = xy ta có:
 2
 
S ≥ 3; P = ( S − 3)

S − P = 3 
⇔

S + 2 + 2 S + P + 1 = 16 2 S + ( S − 3)2 + 1 = 14 − S
 
 

3 ≤ S ≤ 14; P = ( S − 3) 3 ≤ S ≤ 14; P = ( S − 3)2
2
 
 ⇔
⇔ 2
 
2 2
4( S + 8S + 10) = 196 − 28S + S S + 30S − 52 = 0
 
S = 6

⇔ ⇒ x = y = 3 . V y nghi m c a h là: ( x; y ) = (3;3) .

P = 9


Chú ý: V i bài toán trên ta có th gi i các cách khác như sau
Cách 2: T phương trình th nh t ⇒ x + y = 3 + xy > 0 ⇒ x, y > 0 ( do xy ≥ 0 )
x+ y x+ y
Ta có: xy ≤ ⇒ x + y = 3 + xy ≤ 3 + ⇒ x + y ≤ 6 . ð ng th c x y ra
2 2
⇔ x = y = 3 . M t khác ta luôn có BðT a + b ≤ 2(a 2 + b 2 ) .
Áp d ng BðT này v i a = x + 1, b = y + 1 ta có:
x + 1 + y + 1 ≤ 2( x + y + 2) ≤ 4 . ð ng th c có khi x=y=3.
V y h có nghi m ( x; y ) = (3;3) .
( x 2 + 2 x )(2 x + y ) = 9  x2 + 2 x = 3  x = 1 ⇒ y = 1
 
  ⇔
4) H ⇔  ⇔ .
 x = −3 ⇒ y = 9
( x 2 + 2 x ) + (2 x + y ) = 6 2 x + y = 3

 

V y nghi m c a h là: ( x; y ) = (1;1), (−3;9) .
x + y = m

Ví d 2: Tìm m ñ h :  2 có nghi m.
 x + y = 2m + 1
2



Năm H c 2008 – 2009 Trang 48
Bài T p ð i S 10 GV: Nguy n T t Thu
S = m


S = m 
 
Gi i: ð t S = x + y, P = xy , ta có:  2 ⇔
S − 2 P = 2m + 1  P = 1 (m2 − 2m − 1)
 
  2

H có nghi m ⇔ S 2 − 4 P ≥ 0 ⇔ m2 − 2(m 2 − 2m − 1) = −m 2 + 4m + 2 ≥ 0
⇔ 2− 2 ≤m≤2+ 2.
Ví d 3: Cho x + y = 1 . Tìm GTNN c a A = x3 + y 3
S = 1

x + y = 1 S = 1 
 
  ⇔
⇔
Gi i : Xét h phương trình:  3  1− A
 x + y 3 = A S ( S 2 − 3P ) = A  P =
  
   3

1− A 1
x, y t n t i ⇔ h có nghi m ⇔ S 2 − 4 P ≥ 0 ⇔ 1 − 4 ≥0 ⇔ A≥ .
3 4
1
V y GTNN c a A = .
4

Bài t p:
Bài 1: Gi i các h phương trình sau
x + y = 2  x y + y x = 30
 x + xy + y = 2
 
1)  3 2)  2 3) 
 x + xy + y = 4
 x + y = 26
3
 x x + y y = 35
2
 
 11
x+ y + + =5
 x y 13 
+=  x 4 + y 4 = 34
 
xy
4)  y x 6 5)  6) 
x + y = 2
 x2 + y 2 + 1 + 1 = 9 
x + y = 5
  x2 y 2


Bài 2: Tìm m ñ h pt sau có nghi m
 x + y =1
 x + y + xy = m  x +1 + y −1 = m
  
1)  2 2)  3) 
 x y + y x = 3m − 8
2
 x x + y y = 1 − 3m  x + y = m − 4m + 6
2
 

 x + y = 2m − 1

4)  2 và xác ñ nh Min c a xy .
 x + y = m + 2m − 3
2 2

Bài 3: Cho x,y th a mãn x − 3 y + 2 = 3 x + 1 − y. Tìm gtln và gtnn c a x + y .




Năm H c 2008 – 2009 Trang 49
Bài T p ð i S 10 GV: Nguy n T t Thu
3. H ñ i x ng lo i II
 f ( x; y ) = a
a. ð nh nghĩa: Là h có d ng  (II)
f ( y; x ) = a

b. Cách gi i: Tr hai pt c a h cho nhau ta ñư c :
x = y
f ( x; y ) − f ( y; x) = 0 ⇔ ( x − y ) g ( x; y ) = 0 ⇔  .
 g ( x; y ) = 0
c. Chú ý: N u h (II) có nghi m ( x0 ; y0 ) thì ( y0 ; x0 ) cũng là nghi m c a h nên h (II)
có nghi m duy nh t thì ñi u ki n c n là x0 = y0 .

Ví d 1: Gi i các h phương trình sau
3
 x2 = 2 x + y  x+9 + y−7 =4
 x = 3x + 2 y
2
 

2)  3) 
1) 
 y+9 + x−7 =4
 3 = 2y + x
 y = 3y + 2x
2
 
y 2

Gi i:
1) Tr v v i v c a hai phương trình trên ta ñư c:
x = y
x 2 − y 2 = x − y ⇔ ( x − y )( x + y − 1) = 0 ⇔  .
x =1 − y
* V i x = y ⇒ x 2 = 3 x ⇔ x = 0, x = 3
 y = −1 ⇒ x = 2
* V i x = 1 − y ⇒ y 2 = 3 y + 2(1 − y ) ⇔ y 2 − y − 2 = 0 ⇔ 
 y = 2 ⇒ x = −1
V y nghi m c a h : ( x; y ) = (0;0), (3;3), (−1;2), (2; −1) .
2) ðK: x, y ≠ 0
2 x3 + x 2 y = 3

H ⇔ ⇒ 2( x 2 − y 3 ) + xy ( x − y ) = 0 ⇔ ( x − y )(2 x 2 + 3xy + 2 y 2 ) = 0
2 y + y x = 3
3 2

3 7
⇔ x = y (Do 2 x 2 + 3xy + 2 y 2 = 2( x + y ) 2 + y 2 > 0 ) Thay vào h ta ñư c:
4 8
3x = 3 ⇔ x = 1 = y . V y h có nghi m: x = y = 1 .
3

3)ðK: x, y ≥ 7
x+9 + y−7 = y+9 + x−7
Tr hai phương trình c a h ta ñư c:
⇔ ( x + 9)( y − 7) = ( y + 9)( x − 7) ⇔ x = y . Thay vào h ta ñư c
 x+9 + x−7 =4  x+9 =4
 
x+9 + x−7 =4⇔ ⇔ ⇔ x=7
x+9 − x−7 =4  x−7 =0

 

Năm H c 2008 – 2009 Trang 50
Bài T p ð i S 10 GV: Nguy n T t Thu
V y h có nghi m: x = y = 7 .
2 x + y − 1 = m

Ví d 2: Tìm m ñ h pt sau có nghi m:  .
2y + x −1 = m


 2a 2 + b = m − 2

Gi i: ðK: x, y ≥ 1. ð t a = x − 1, b = y − 1 ⇒ a, b ≥ 0 , ta có: 
 2b + a = m − 2
2

a = b
Tr hai v : 2(a − b)(a + b) + b − a = 0 ⇔ (a − b)(2a + 2b − 1) = 0 ⇔  1 − 2b
a =
 2
* a = b ⇒ 2a 2 + a = m − 2 ⇒ pt có nghi m a ≥ 0 ⇔ m − 2 ≥ 0 ⇔ m ≥ 2 .
 1
1 − 2b 0 ≤ b ≤
* a= ⇒ ⇒ Phương trình có nghi m
2
2  4b − 2b = 2m − 5
2

5
1 19
⇔ − ≤ 2m − 5 ≤ 0 ⇔ ≤ m ≤ .
4 8 2
V y h ñã cho có nghi m ⇔ m ≥ 2 .

Ví d 3: Tìm m ñ h pt sau có nghi m duy nh t
 x = y2 − y + m 3x 2 = y 3 − 2 y 2 + my

1)  2)  2
3 y = x − 2 x + mx
y = x − x + m
3 2
2

Gi i:
1) ði u ki n c n: Gi s h có nghi m ( x0 ; y0 ) thì ( y0 ; x0 ) cũng là nghi m c a h nên
ñ h có nghi m duy nh t thì trư c h t x0 = y0 . Thay vào h ta ñư c:
x0 − 2 x0 + m = 0 (*)
2

(*) có nghi m duy nh t ⇔ ∆ ' = 1 − m = 0 ⇔ m = 1
x = y2 − y + 1

⇒ x2 + y 2 − 2 x − 2 y + 2 = 0
ði u ki n ñ : V i m = 1 h tr thành: 
y = x − x +1
2

⇔ ( x − 1)2 + ( y − 1) 2 = 0 ⇔ x = y = 1 .
V y m = 1 là giá tr c n tìm.
2) ði u ki n c n: Gi s h có nghi m ( x0 ; y0 ) thì ( y0 ; x0 ) cũng là nghi m c a h nên
ñ h có nghi m duy nh t thì trư c h t x0 = y0 .
 x0 = 0
Thay vào h ta ñư c: x0 − 5 x0 + mx0 = 0 (1) ⇔  2
3 2

 x0 − 5 x0 + m = 0 (*)

(1) có nghi m duy nh t thì (*) ph i vô nghi m ho c có nghi m kép x = 0
Năm H c 2008 – 2009 Trang 51
Bài T p ð i S 10 GV: Nguy n T t Thu

 ∆ = 25 − 4 m < 0
 25
⇔  ∆ = 25 − 4m = 0 ⇔ m > .

4
 5 = 0
3x 2 = y ( y 2 − 2 y + m) = y[( y − 1) 2 + m − 1]

25
ði u ki n ñ : V i m > ⇒ x, y ≥ 0
2
ta có:
3 y = x( x 2 − 2 x + m) = x[( x − 1)2 + m − 1]
4 

C ng hai phương trình c a h v i nhau ta ñư c:
5 25 5 25
x( x 2 − 5 x + m) + y ( y 2 − 5 y + m) = 0 ⇔ x[( x − )2 + m − ] + y[( y − ) 2 + m − ] = 0
2 4 2 4
⇔ x = y = 0.
25
V y m> là nh ng giá tr c n tìm.
4
Bài t p
Bài 1: Gi i các h phương trình sau

 x3 = 2 x + y  x2 − 2 y 2 = 2x + y  x3 + 1 = 2 y

1)  2)  2 3)  3
 y − 2x = 2 y + x  y + 1 = 2x
y = 2y + x
2
3

21
2 x = y + y  x + 2− y = 2 
 x+4−2 y =2
 
4)  5)  6) 
 y + 2−x = 2  y+4−2 x =2
2 y 2 = 1 + x  

 x

Bài 2: Tìm m ñ h pt sau có nghi m

 x +1 + y − 2 = m
x + y − 3 = m
 
(m ≥ 0)
1)  2) 
y +1 + x − 2 = m
y+ x−3=m
 
 
Bài 3:Tìm m ñ h pt sau có nghi m duy nh t
2 m2
2 x = y + y ( x + 1)2 = y + m
 y 2 = x3 − 4 x 2 + mx
 

1)  3) 
2) 
 x = y − 4 y + my ( y + 1) = x + m
2 3 2 2
2
2 y 2 = x + m
 

 x




Năm H c 2008 – 2009 Trang 52
Bài t p ð i S 10
4. H ñ ng c p
a.ð nh nghĩa:
*Bi u th c f(x;y) g i là ñ ng c p b c k n u f (mx; my ) = m k f ( x; y )
 f ( x; y ) = a
*H :  trong ñó f(x;y) và g(x;y) ñ ng c p g i là h ñ ng c p
g ( x; y ) = b

b. Cách gi i:
*Xét x=0 thay vào h ki m tra
 x k f (1; t ) = a
 f ( x; tx) = a 
* v i x ≠ 0 ñ t y = tx thay vào h ta có:  ⇔
 g ( x; tx) = b  x g (1; t ) = b
k

a
⇒ f (1; t ) = g (1; t ) ⇒ t ⇒ x, y .
b

Ví d 1: Gi i các h pt sau
 x 2 + 2 xy + y 2 = 4 ( x − y ) 2 y = 2  x 2 − 4 xy + y 2 = 1
  
1)  2)  3) 
− x + xy + 2 y = 4  x − y = 19  y − 3xy = 4
2 2 3 3 2
  
Gi i:
1)Ta th y x = 0 không ph i là nghi m c a h ⇒ x ≠ 0 . ð t y = tx thay vào h ta ñư c:
 x 2 (1 + 2t + t 2 ) = 4 t +1

=1⇔ t = 2

2
2t − 1
 x (−1 + t + 2t ) = 4
2

2
* t = 2 ⇔ y = 2 x thay vào h : 9 x 2 = 4 ⇔ x = ±
3
24
V y nghi m c a h là: ( x; y ) = (± ; ± ) .
33
2) Vì x = 0 không là nghi m c a h nên ta ñ t y = tx . Khi ñó h tr thành
 x3 (1 − t )2 t = 2 1 − t3 t 2 + t + 1 19
 19 2 1
=⇔ = ⇔ 21t 2 − 17t + 2 = 0 ⇔ t = , t =

3
t (1 − t )
 x (1 − t ) = 19 t (1 − t )
2
3 2 2 3 7

2 2 19
* t = ⇔ y = x thay vào h : x3 = 19 ⇔ x = 3 ⇒ y = 2
3 3 27
342 3 7 1
1 1
x = 19 ⇔ x = 3 ⇒ y = 3
* t = ⇔ y = x thay vào h :
343
7 7 18 18
1 7
V y nghi m c a h là: ( x; y ) = (3;2), ( 3 ; 3 ) .
18 18
3) Vì x = 0 không là nghi m c a h nên ta ñ t y = tx . Khi ñó h tr thành


GV: Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong
Bài t p ð i S 10
2
 x (1 − 4t + t ) = 1
2
t 2 − 3t 1
= 4 ⇔ 3t 2 − 13t + 4 = 0 ⇔ t = 4, t =
⇒2
2 2
t − 4t + 1
 x (t − 3t ) = 4 3


* t = 4 ⇔ y = 4 x thay vào h : 4 x 2 = 4 ⇔ x = ±1 ⇒ y = ±4
1
* t = ⇔ x = 3 y thay vào h : −8 y 2 = 4 vô nghi m
3
V y nghi m c a h là: ( x; y ) = (±1; ±4) .
Bài t p: Gi i các h pt sau
3x 2 + 5 xy − 4 y 2 = 38  x 2 − 3xy + y 2 = −1 ( x − y )( x 2 − y 2 ) = 3
  
1)  2)  3) 
5 x − 9 xy − 3 y = 15 3 x − xy + y = 13 ( x + y )( x + y ) = 15
2 2 2 2 2 2
  

5. M t s h khác
ð gi i nh ng h này chúng ta s d ng các phép bi n ñ i ñ i s ñưa v các h quen
thu c

Ví d 1: Gi i các h phương trình sau

( )
 y (1 + x 2 ) = x 1 + y 2
 x+ y =3 x+ y 1 + x3 y 3 = 19 x3
 

1)  3) 
2) 
 x − y = 3 x − y − 12  y + xy = −6 x
2 2
 x2 + 3 y2 = 1 
 

Gi i:
x + y ≥ 0
. ð t a = x + y, b = x − y ⇒ a, b ≥ 0 ta có
1) ðK: 
x− y≥0

3
 a=3a a = a a = 0 V a = 1
2

⇔ ⇔

b = 4
 b = 3 b − 12 b = (b − 12)
3 2
 
a = 0  x + y = 0  x = 2
⇔ ⇔
*V i 
b = 4  x − y = 4  y = −2
 5
x = 2
a = 1 x + y = 1 
⇔ ⇔
*V i 
b = 4  x − y = 4  y = − 3

 2
53
V y nghi m c a h là: ( x; y ) = (2; −2), ( ; − ) .
22
2) Ta có: x(1 + y ) = y (1 + x ) ⇔ x − y + xy ( y − x) = 0 ⇔ ( x − y )(1 − xy ) = 0
2 2


GV: Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong
Bài t p ð i S 10
1
* x = y ⇒ 4x2 = 1 ⇔ x = ± .
2
1
* x = ⇒ 3 y 4 − y 2 + 1 = 0 phương trình vô nghi m.
y
1
V y nghi m c a h là: x = y = ± .
2
Chú ý: N u trong h xu t hi n phương trình d ng f ( x; y ) = f ( y; x) thì ta bi n ñ i
phương trình này v d ng ( x − y ) g ( x; y ) = 0 .
4)Vì x = 0 không là nghi m c a h nên ta có
1
 x3 + y = 19
3
3
a + y = 19
3
 1
H ⇔ ⇔ V i a = . ð t S = a + y, P = ay
 y 1 + y 2 1 = −6 a y + y a = −6
2 2 x

 x2
 x
 S ( S 2 − 3P ) = 19  S = 1 a = 3  a = −2

⇔
⇒ ⇒ V .
P = −6  y = −2  y = 3
SP = −6
 

1 1
V y nghi m c a h là: ( x; y ) = ( ; −2), (− ;3) .
3 2
Bài t p: Gi i các h pt sau
3 x − y = x − y 3 x − y = x − y 
 2x + y + 1 − x + y = 1
 
1)  2)  3) 
3 x + 2 y = 4
x + y = x + y + 2  x + 4 − 1 − y = 1 − 2x 
 
 1 1
x − x = y − y
3
 x + 3 y = y + 3x  x3 y = 16
3

5) 
4)  6) 
3 x + y = 8
x2 + y2 = 1
  2 y = x3 + 1


x2 x
 x+ y − x− y =2 ( ) + ( )3 = 12
 y + xy 2 = 6 x 2
  
9)  y y
8) 
7) 
1 + x y = 5 x
22 2
 x + y + x − y =4
2 2 2 2
( xy ) 2 + xy = 6

 
2 1 x
x + 2 + =3
 2x 

2y
 x+ y + x− y =2
+ =3 
 y
y
11)  12) 
10)  y x
x1  y + x − y − x =1
x + + = 3
 x − y + xy = 3 
 
 yy




GV: Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản