Bài tập Giải tích 12 - Khảo sát hàm số

Chia sẻ: phanchithinh

Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau: – Tìm tập xác định của hàm số. – Tính y¢. Tìm các điểm mà tại đó y¢ = 0 hoặc y¢ không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y¢ (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Bạn đang xem 20 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Bài tập Giải tích 12 - Khảo sát hàm số

TRAÀN SÓ TUØNG
---- ›š & ›š ----




BAØI TAÄP GIAÛI TÍCH 12




OÂN THI TOÁT NGHIEÄP THPT & ÑAÏI HOÏC




Naêm 2009
Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá

CHÖÔNG I
ÖÙNG DUÏNG ÑAÏO HAØM ÑEÅ KHAÛO SAÙT
VAØ VEÕ ÑOÀ THÒ CUÛA HAØM SOÁ


I. TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ

1. Ñinh nghóa:
Haøm soá f ñoàng bieán treân K Û ("x1, x2 Î K, x1 < x2 Þ f(x1) < f(x2)
Haøm soá f nghòch bieán treân K Û ("x1, x2 Î K, x1 < x2 Þ f(x1) > f(x2)
2. Ñieàu kieän caàn:
Giaû söû f coù ñaïo haøm treân khoaûng I.
a) Neáu f ñoàng bieán treân khoaûng I thì f¢(x) ³ 0, "x Î I
b) Neáu f nghòch bieán treân khoaûng I thì f¢(x) £ 0, "x Î I
3. Ñieàu kieän ñuû:
Giaû söû f coù ñaïo haøm treân khoaûng I.
a) Neáu f¢ (x) ³ 0, "x Î I (f¢(x) = 0 taïi moät soá höõu haïn ñieåm) thì f ñoàng bieán treân I.
b) Neáu f¢ (x) £ 0, "x Î I (f¢(x) = 0 taïi moät soá höõu haïn ñieåm) thì f nghòch bieán treân I.
c) Neáu f¢(x) = 0, "x Î I thì f khoâng ñoåi treân I.
Chuù yù: Neáu khoaûng I ñöôïc thay bôûi ñoaïn hoaëc nöûa khoaûng thì f phaûi lieân tuïc treân ñoù.


VAÁN ÑEÀ 1: Xeùt chieàu bieán thieân cuûa haøm soá
Ñeå xeùt chieàu bieán thieân cuûa haøm soá y = f(x), ta thöïc hieän caùc böôùc nhö sau:
– Tìm taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá.
– Tính y¢. Tìm caùc ñieåm maø taïi ñoù y¢ = 0 hoaëc y¢ khoâng toàn taïi (goïi laø caùc ñieåm tôùi haïn)
– Laäp baûng xeùt daáu y¢ (baûng bieán thieân). Töø ñoù keát luaän caùc khoaûng ñoàng bieán, nghòch
bieán cuûa haøm soá.


Baøi 1. Xeùt chieàu bieán thieân cuûa caùc haøm soá sau:
x2 5
a) y = - 2 x 2 + 4 x + 5 b) y = +x- c) y = x 2 - 4 x + 3
4 4
d) y = x 3 - 2 x 2 + x - 2 e) y = (4 - x )( x - 1)2 f) y = x 3 - 3 x 2 + 4 x - 1
1 4 1 4 1 2
g) y = x - 2x2 -1 h) y = - x 4 - 2 x 2 + 3 i) y = x + x -2
4 10 10
2x -1 x -1 1
k) y = l) y = m) y = 1 -
x +5 2- x 1- x
2 x 2 + x + 26 1 4 x 2 - 15 x + 9
n) y = o) y = - x + 3 - p) y =
x+2 1- x 3x

Trang 1
Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng
Baøi 2. Xeùt chieàu bieán thieân cuûa caùc haøm soá sau:
x2 -1 x2 - x + 1
a) y = -6 x 4 + 8 x 3 - 3 x 2 - 1 b) y = c) y =
x2 - 4 x2 + x + 1
2x -1 x
d) y = e) y = f) y = x + 3 + 2 2 - x
2 2
x x - 3x + 2
g) y = 2 x - 1 - 3 - x h) y = x 2 - x 2 i) y = 2 x - x 2
æ p pö æ p pö
k) y = sin 2 x ç - 0 ê ìa < 0
ê íD £ 0
ëî ê íD £ 0
ëî
3) Ñònh lí veà daáu cuûa tam thöùc baäc hai g( x ) = ax 2 + bx + c :
· Neáu D < 0 thì g(x) luoân cuøng daáu vôùi a.
b
· Neáu D = 0 thì g(x) luoân cuøng daáu vôùi a (tröø x = - )
2a
· Neáu D > 0 thì g(x) coù hai nghieäm x1, x2 vaø trong khoaûng hai nghieäm thì g(x) khaùc daáu
vôùi a, ngoaøi khoaûng hai nghieäm thì g(x) cuøng daáu vôùi a.
4) So saùnh caùc nghieäm x1, x2 cuûa tam thöùc baäc hai g( x ) = ax 2 + bx + c vôùi soá 0:
ìD > 0 ìD > 0
ï ï
· x1 < x2 < 0 Û í P > 0 · 0 < x1 < x2 Û í P > 0 · x1 < 0 < x2 Û P < 0
ïS < 0
î ïS > 0
î
5) Ñeå haøm soá y = ax 3 + bx 2 + cx + d coù ñoä daøi khoaûng ñoàng bieán (nghòch bieán) (x1; x2) baèng
d thì ta thöïc hieän caùc böôùc sau:
· Tính y¢.
· Tìm ñieàu kieän ñeå haøm soá coù khoaûng ñoàng bieán vaø nghòch bieán:
ìa ¹ 0
íD > 0 (1)
î

Trang 2
Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá

· Bieán ñoåi x1 - x2 = d thaønh ( x1 + x2 )2 - 4 x1 x2 = d 2 (2)
· Söû duïng ñònh lí Viet ñöa (2) thaønh phöông trình theo m.
· Giaûi phöông trình, so vôùi ñieàu kieän (1) ñeå choïn nghieäm.


Baøi 1. Chöùng minh raèng caùc haøm soá sau luoân ñoàng bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh (hoaëc
taäp xaùc ñònh) cuûa noù:
x3 2x -1
a) y = x 3 + 5 x + 13 b) y = - 3x2 + 9x + 1 c) y =
3 x+2
x2 + 2x - 3 x 2 - 2 mx - 1
d) y = e) y = 3 x - sin(3 x + 1) f) y =
x +1 x-m
Baøi 2. Chöùng minh raèng caùc haøm soá sau luoân nghòch bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh (hoaëc
taäp xaùc ñònh) cuûa noù:
a) y = -5 x + cot( x - 1) b) y = cos x - x c) y = sin x - cos x - 2 2 x
Baøi 3. Tìm m ñeå caùc haøm soá sau luoân ñoàng bieán treân taäp xaùc ñònh (hoaëc töøng khoaûng xaùc
ñònh) cuûa noù:
x 3 mx 2 x+m
a) y = x 3 - 3mx 2 + (m + 2) x - m b) y = - - 2x +1 c) y =
3 2 x-m
mx + 4 x 2 - 2 mx - 1 x 2 - 2 mx + 3m 2
d) y = e) y = f) y =
x+m x-m x - 2m
Baøi 4. Tìm m ñeå haøm soá:
a) y = x 3 + 3 x 2 + mx + m nghòch bieán treân moät khoaûng coù ñoä daøi baèng 1.
1 3 1 2
b) y = x - mx + 2mx - 3m + 1 nghòch bieán treân moät khoaûng coù ñoä daøi baèng 3.
3 2
1
c) y = - x 3 + (m - 1) x 2 + (m + 3) x - 4 ñoàng bieán treân moät khoaûng coù ñoä daøi baèng 4.
3
Baøi 5. Tìm m ñeå haøm soá:
x3
a) y = + (m + 1) x 2 - (m + 1) x + 1 ñoàng bieán treân khoaûng (1; +¥).
3
b) y = x 3 - 3(2m + 1) x 2 + (12m + 5) x + 2 ñoàng bieán treân khoaûng (2; +¥).
x+4
c) y = (m ¹ ±2) ñoàng bieán treân khoaûng (1; +¥).
x+m
x+m
d) y = ñoàng bieán trong khoaûng (–1; +¥).
x-m
x 2 - 2mx + 3m 2
e) y = ñoàng bieán treân khoaûng (1; +¥).
x - 2m
-2 x 2 - 3 x + m æ 1 ö
f) y = nghòch bieán treân khoaûng ç - ; +¥ ÷ .
2x +1 è 2 ø



Trang 3
Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng
VAÁN ÑEÀ 3: ÖÙng duïng tính ñôn ñieäu ñeå chöùng minh baát ñaúng thöùc
Ñeå chöùng minh baát ñaúng thöùc ta thöïc hieän caùc böôùc sau:
· Chuyeån baát ñaúng thöùc veà daïng f(x) > 0 (hoaëc 0 b) sin x + tan x > x, vôùi 0 < x
2 x, vôùi 0 < x
1 + x , vôùi x > 0 b) ln(1 + x ) < x , vôùi x > 0

c) ln(1 + x ) - ln x >
1
, vôùi x > 0 ( )
d) 1 + x ln x + 1 + x 2 ³ 1 + x 2
1+ x
Baøi 5. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau:
1 7
a) tan 550 > 1, 4 b) < sin 20 0 < c) log2 3 > log3 4
3 20
1+ x
HD: a) tan 550 = tan(450 + 10 0 ) . Xeùt haøm soá f ( x ) = .
1- x
b) Xeùt haøm soá f ( x ) = 3 x - 4 x 3 .
æ 1 1ö 1 7 æ 1 1ö
f(x) ñoàng bieán trong khoaûng ç - ; ÷ vaø ,sin 20 0 , Î ç - ; ÷ .
è 2 2ø 3 20 è 2 2 ø
c) Xeùt haøm soá f ( x ) = log x ( x + 1) vôùi x > 1.




Trang 4
Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá
VAÁN ÑEÀ 4: Chöùng minh phöông trình coù nghieäm duy nhaát
Ñeå chöùng minh phöông trình f(x) = g(x) (*) coù nghieäm duy nhaát, ta thöïc hieän caùc böôùc sau:
· Choïn ñöôïc nghieäm x0 cuûa phöông trình.
· Xeùt caùc haøm soá y = f(x) (C1) vaø y = g(x) (C2). Ta caàn chöùng minh moät haøm soá ñoàng
bieán vaø moät haøm soá nghòch bieán. Khi ñoù (C1) vaø (C2) giao nhau taïi moät ñieåm duy nhaát
coù hoaønh ñoä x0. Ñoù chính laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông trình (*).
Chuù yù: Neáu moät trong hai haøm soá laø haøm haèng y = C thì keát luaän treân vaãn ñuùng.


Baøi 1. Giaûi caùc phöông trình sau:
a) x + x-5 = 5 b) x 5 + x 3 - 1 - 3 x + 4 = 0

c) x + x - 5 + x + 7 + x + 16 = 14 d) x 2 + 15 = 3 x - 2 + x 2 + 8
Baøi 2. Giaûi caùc phöông trình sau:
5
a) x +1 + 5 x + 2 + 5 x + 3 = 0 b) ln( x - 4) = 5 - x

c) 3 x + 4 x = 5x d) 2 x + 3 x + 5x = 38
Baøi 3. Giaûi caùc baát phöông trình sau:

a) x + 1 + 3 5 x - 7 + 4 7 x - 5 + 5 13 x - 7 < 8 b) 2 x + x + x + 7 + 2 x 2 + 7 x < 35
Baøi 4. Giaûi caùc heä phöông trình sau:
ì2 x + 1 = y 3 + y 2 + y ì x = y3 + y 2 + y - 2
ï ï
a) í2 y + 1 = z3 + z2 + z b) í y = z3 + z2 + z - 2
ï2 z + 1 = x 3 + x 2 + x ïz = x3 + x 2 + x - 2
î î
ì y 3 = 6 x 2 - 12 x + 8
ìtan x - tan y = y - x ï
ï
c) í 5p d) í z3 = 6 y 2 - 12 y + 8
ï2 x + 3 y = 4
î
ï x 3 = 6 z2 - 12 z + 8
î
HD: a, b) Xeùt haøm soá f (t ) = t 3 + t 2 + t c) Xeùt haøm soá f(t) = tant + t

d) Xeùt haøm soá f (t ) = 6t 2 - 12t + 8




Trang 5
Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng

II. CÖÏC TRÒ CUÛA HAØM SOÁ

I. Khaùi nieäm cöïc trò cuûa haøm soá
Giaû söû haøm soá f xaùc ñònh treân taäp D (D Ì R) vaø x0 Î D.
a) x0 – ñieåm cöïc ñaïi cuûa f neáu toàn taïi khoaûng (a; b) Ì D vaø x0 Î (a; b) sao cho
f(x) < f(x0), vôùi "x Î (a; b) \ {x0}.
Khi ñoù f(x0) ñgl giaù trò cöïc ñaïi (cöïc ñaïi) cuûa f.
b) x0 – ñieåm cöïc tieåu cuûa f neáu toàn taïi khoaûng (a; b) Ì D vaø x0 Î (a; b) sao cho
f(x) > f(x0), vôùi "x Î (a; b) \ {x0}.
Khi ñoù f(x0) ñgl giaù trò cöïc tieåu (cöïc tieåu) cuûa f.
c) Neáu x0 laø ñieåm cöïc trò cuûa f thì ñieåm (x0; f(x0)) ñgl ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá f.
II. Ñieàu kieän caàn ñeå haøm soá coù cöïc trò
Neáu haøm soá f coù ñaïo haøm taïi x0 vaø ñaït cöïc trò taïi ñieåm ñoù thì f¢ (x0) = 0.
Chuù yù: Haøm soá f chæ coù theå ñaït cöïc trò taïi nhöõng ñieåm maø taïi ñoù ñaïo haøm baèng 0 hoaëc
khoâng coù ñaïo haøm.
III. Ñieåu kieän ñuû ñeå haøm soá coù cöïc trò
1. Ñònh lí 1: Giaû söû haøm soá f lieân tuïc treân khoaûng (a; b) chöùa ñieåm x0 vaø coù ñaïo haøm
treân (a; b)\{x0}
a) Neáu f¢ (x) ñoåi daáu töø aâm sang döông khi x ñi qua x0 thì f ñaït cöïc tieåu taïi x0.
b) Neáu f¢ (x) ñoåi daáu töø döông sang aâm khi x ñi qua x0 thì f ñaït cöïc ñaïi taïi x0.
Ñònh lí 2: Giaû söû haøm soá f coù ñaïo haøm treân khoaûng (a; b) chöùa ñieåm x0, f¢ (x0) = 0 vaø coù
ñaïo haøm caáp hai khaùc 0 taïi ñieåm x0.
a) Neáu f¢¢ (x0) < 0 thì f ñaït cöïc ñaïi taïi x0.
b) Neáu f¢¢ (x0) > 0 thì f ñaït cöïc tieåu taïi x0.



VAÁN ÑEÀ 1: Tìm cöïc trò cuûa haøm soá
Qui taéc 1: Duøng ñònh lí 1.
· Tìm f¢ (x).
· Tìm caùc ñieåm xi (i = 1, 2, …) maø taïi ñoù ñaïo haøm baèng 0 hoaëc khoâng coù ñaïo haøm.
· Xeùt daáu f¢ (x). Neáu f¢ (x) ñoåi daáu khi x ñi qua xi thì haøm soá ñaït cöïc trò taïi xi.
Qui taéc 2: Duøng ñònh lí 2.
· Tính f¢ (x).
· Giaûi phöông trình f¢ (x) = 0 tìm caùc nghieäm xi (i = 1, 2, …).
· Tính f¢¢ (x) vaø f¢¢ (xi) (i = 1, 2, …).
Neáu f¢¢ (xi) < 0 thì haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi xi.
Neáu f¢¢ (xi) > 0 thì haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi xi.

Trang 6
Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá
Baøi 1. Tìm cöïc trò cuûa caùc haøm soá sau:
1
a) y = 3 x 2 - 2 x 3 b) y = x 3 - 2 x 2 + 2 x - 1 c) y = - x 3 + 4 x 2 - 15 x
3
x4 x4 3
d) y = - x2 + 3 e) y = x 4 - 4 x 2 + 5 f) y = - + x2 +
2 2 2
- x2 + 3x + 6 3x2 + 4 x + 5 x 2 - 2 x - 15
g) y = h) y = i) y =
x+2 x +1 x -3
Baøi 2. Tìm cöïc trò cuûa caùc haøm soá sau:
4x2 + 2 x - 1 3x2 + 4 x + 4
a) y = ( x - 2)3 ( x + 1)4 b) y = c) y =
2 x2 + x - 3 x2 + x + 1
d) y = x x 2 - 4 e) y = x 2 - 2 x + 5 f) y = x + 2 x - x 2
Baøi 3. Tìm cöïc trò cuûa caùc haøm soá sau:
3
3 x2
a) y = x 2 + 1 b) y = c) y = e x + 4e - x
2x +1
d) y = x 2 - 5 x + 5 + 2 ln x e) y = x - 4 sin 2 x f) y = x - ln(1 + x 2 )




VAÁN ÑEÀ 2: Tìm ñieàu kieän ñeå haøm soá coù cöïc trò
1. Neáu haøm soá y = f(x) ñaït cöïc trò taïi ñieåm x0 thì f¢ (x0) = 0 hoaëc taïi x0 khoâng coù ñaïo haøm.
2. Ñeå haøm soá y = f(x) ñaït cöïc trò taïi ñieåm x0 thì f¢ (x) ñoåi daáu khi x ñi qua x0.
Chuù yù:
· Haøm soá baäc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d coù cöïc trò Û Phöông trình y¢ = 0 coù hai nghieäm
phaân bieät.
Khi ñoù neáu x0 laø ñieåm cöïc trò thì ta coù theå tính giaù trò cöïc trò y(x0) baèng hai caùch:
+ y( x0 ) = ax03 + bx02 + cx 0 + d
+ y( x0 ) = Ax0 + B , trong ñoù Ax + B laø phaàn dö trong pheùp chia y cho y¢.
ax 2 + bx + c P( x )
· Haøm soá y = = (aa¢¹ 0) coù cöïc trò Û Phöông trình y¢ = 0 coù hai
a' x + b' Q( x )
b'
nghieäm phaân bieät khaùc - .
a'
Khi ñoù neáu x0 laø ñieåm cöïc trò thì ta coù theå tính giaù trò cöïc trò y(x0) baèng hai caùch:
P ( x0 ) P '( x0 )
y( x0 ) = hoaëc y( x0 ) =
Q( x 0 ) Q '( x0 )
· Khi söû duïng ñieàu kieän caàn ñeå xeùt haøm soá coù cöïc trò caàn phaûi kieåm tra laïi ñeå loaïi boû
nghieäm ngoaïi lai.
· Khi giaûi caùc baøi taäp loaïi naøy thöôøng ta coøn söû duïng caùc kieán thöùc khaùc nöõa, nhaát laø
ñònh lí Vi–et.



Trang 7
Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng
Baøi 1. Chöùng minh raèng caùc haøm soá sau luoân coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu:
a) y = x 3 - 3mx 2 + 3(m 2 - 1) x - m 3 b) y = 2 x 3 - 3(2m + 1) x 2 + 6m(m + 1) x + 1
x 2 + m(m 2 - 1) x - m 4 + 1 x 2 + mx - m + 2
c) y = d) y =
x-m x - m +1
Baøi 2. Tìm m ñeå haøm soá:
a) y = (m + 2) x 3 + 3 x 2 + mx - 5 coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu.
b) y = x 3 - 3(m - 1) x 2 + (2m 2 - 3m + 2) x - m(m - 1) coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu.
c) y = x 3 - 3mx 2 + (m 2 - 1) x + 2 ñaït cöïc ñaïi taïi x = 2.
1
d) y = -mx 4 + 2(m - 2) x 2 + m - 5 coù moät cöïc ñaïi x = .
2
x 2 - 2mx + 2
e) y = ñaït cöïc tieåu khi x = 2.
x -m
x 2 - (m + 1) x - m 2 + 4m - 2
f) y = coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu.
x -1
x2 - x + m
g) y = coù moät giaù trò cöïc ñaïi baèng 0.
x -1
Baøi 3. Tìm m ñeå caùc haøm soá sau khoâng coù cöïc trò:
a) y = x 3 - 3 x 2 + 3mx + 3m + 4 b) y = mx 3 + 3mx 2 - (m - 1) x - 1
- x 2 + mx + 5 x 2 - (m + 1) x - m 2 + 4m - 2
c) y = d) y =
x -3 x -1
Baøi 4. Tìm a, b, c, d ñeå haøm soá:
4 1
a) y = ax 3 + bx 2 + cx + d ñaït cöïc tieåu baèng 0 taïi x = 0 vaø ñaït cöïc ñaïi baèng taïi x =
27 3
b) y = ax 4 + bx 2 + c coù ñoà thò ñi qua goác toaï ñoä O vaø ñaït cöïc trò baèng –9 taïi x = 3.
x 2 + bx + c
c) y = ñaït cöïc trò baèng –6 taïi x = –1.
x -1
ax 2 + bx + ab
d) y = ñaït cöïc trò taïi x = 0 vaø x = 4.
bx + a
ax 2 + 2 x + b
e) y = ñaït cöïc ñaïi baèng 5 taïi x = 1.
x2 + 1
Baøi 5. Tìm m ñeå haøm soá :
a) y = x 3 + 2(m - 1) x 2 + (m 2 - 4m + 1) x - 2(m 2 + 1) ñaït cöïc trò taïi hai ñieåm x1, x2 sao
1 1 1
cho: + = (x + x ) .
x1 x2 2 1 2
1 3
b) y = x - mx 2 + mx - 1 ñaït cöïc trò taïi hai ñieåm x1, x2 sao cho: x1 - x2 ³ 8 .
3
1 1
c) y = mx 3 - (m - 1) x 2 + 3(m - 2) x + ñaït cöïc trò taïi hai ñieåm x1, x2 sao cho:
3 3
x1 + 2 x2 = 1 .


Trang 8
Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá
Baøi 6. Tìm m ñeå haøm soá :
x 2 + mx - m + 2
a) y = coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu vaø caùc giaù trò cöïc ñaïi, cöïc tieåu cuøng daáu.
x - m +1
x 2 - (m + 1) x - m 2 + 4m - 2
b) y = coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu vaø tích caùc giaù trò cöïc ñaïi, cöïc
x -1
tieåu ñaït giaù trò nhoû nhaát.
- x 2 + 3x + m
c) y = coù giaù trò cöïc ñaïi M vaø giaù trò cöïc tieåu m thoaû M - m = 4 .
x-4
2 x 2 + 3x + m - 2
d) y = coù yCÑ - yCT < 12 .
x+2
Baøi 7. Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá :
900m 2
a) y = - x 3 + mx 2 - 4 coù hai ñieåm cöïc trò laø A, B vaø AB 2 = .
729
b) y = x 4 - mx 2 + 4 x + m coù 3 ñieåm cöïc trò laø A, B, C vaø tam giaùc ABC nhaän goác toaï ñoä
O laøm troïng taâm.
x 2 + mx + m - 2
c) y = coù hai ñieåm cöïc trò naèm hai phía ñoái vôùi truïc tung. Chöùng minh
x-m
hai ñieåm cöïc trò luoân luoân naèm cuøng moät phía ñoái vôùi truïc hoaønh.
x 2 + mx
d) y = coù khoaûng caùch giöõa hai ñieåm cöïc trò baèng 10.
1- x
- x 2 + 2 mx + 5
e) y = coù hai ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu naèm veà hai phía ñoái vôùi ñöôøng
x -1
thaúng y = 2x.
x2 + 2x + m + 3
f) y = coù hai ñieåm cöïc trò vaø khoaûng caùch giöõa chuùng nhoû nhaát.
x-m
Baøi 8. Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá :
a) y = 2 x 3 + mx 2 - 12 x - 13 coù hai ñieåm cöïc trò caùch ñeàu truïc tung.
b) y = x 3 - 3mx 2 + 4m3 coù caùc ñieåm cöïc ñaïi, cöïc tieåu ñoái xöùng nhau qua ñöôøng phaân
giaùc thöù nhaát.
c) y = x 3 - 3mx 2 + 4m3 coù caùc ñieåm cöïc ñaïi, cöïc tieåu ôû veà moät phía ñoái vôùi ñöôøng
thaúng (d): 3 x - 2 y + 8 = 0 .
x 2 + (2m + 1) x + m 2 + 1
d) y = coù hai ñieåm cöïc trò naèm ôû hai phía ñoái vôùi ñöôøng thaúng
x +1
(d): 2 x - 3y - 1 = 0 .
Baøi 9. Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá :
x 2 - (m + 1) x + 2m - 1
a) y = coù hai ñieåm cöïc trò ôû trong goùc phaàn tö thöù nhaát cuûa maët
x-m
phaúng toaï ñoä.
2 mx 2 + (4m 2 + 1) x + 32m 2 + 2m
b) y = coù moät ñieåm cöïc trò naèm trong goùc phaàn tö thöù
x + 2m
hai vaø ñieåm kia naèm trong goùc phaàn tö thöù tö cuûa maët phaúng toaï ñoä.

Trang 9
Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng
mx 2 - (m 2 + 1) x + 4m 2 + m
c) y = coù moät ñieåm cöïc trò naèm trong goùc phaàn tö thöù nhaát
x -m
vaø ñieåm kia naèm trong goùc phaàn tö thöù ba cuûa maët phaúng toaï ñoä.
x 2 + (2m + 1) x + m 2 + 1
d) y = coù hai ñieåm cöïc trò naèm ôû hai phía cuûa truïc hoaønh (tung).
x +1

VAÁN ÑEÀ 3: Ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò
1) Haøm soá baäc ba y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d .
· Chia f(x) cho f¢ (x) ta ñöôïc: f(x) = Q(x).f¢ (x) + Ax + B.
· Khi ñoù, giaû söû (x1; y1), (x2; y2) laø caùc ñieåm cöïc trò thì:
ì y1 = f ( x1 ) = Ax1 + B
í y = f x = Ax + B
î 2 ( 2) 2
Þ Caùc ñieåm (x1; y1), (x2; y2) naèm treân ñöôøng thaúng y = Ax + B.
P( x ) ax 2 + bx + c
2) Haøm soá phaân thöùc y = f ( x ) = = .
Q( x ) dx + e
P '( x0 )
· Giaû söû (x0; y0) laø ñieåm cöïc trò thì y0 = .
Q '( x0 )
· Giaû söû haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu thì phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm
P '( x ) 2 ax + b
cöïc trò aáy laø: y= = .
Q '( x ) d


Baøi 1. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá :
a) y = x 3 - 2 x 2 - x + 1 b) y = 3 x 2 - 2 x 3 c) y = x 3 - 3 x 2 - 6 x + 8
2 x2 - x + 1 x2 - x - 1
d) y = e y=
x+3 x -2
Baøi 2. Khi haøm soá coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu, vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc
trò cuûa ñoà thò haøm soá:
x 2 + mx - 6
a) y = x 3 - 3mx 2 + 3(m 2 - 1) x - m 3 b) y =
x-m
2
x + mx - m + 2
c) y = x 3 - 3(m - 1) x 2 + (2m 2 - 3m + 2) x - m(m - 1) d) y =
x - m +1
Baøi 3. Tìm m ñeå haøm soá:
a) y = 2 x 3 + 3(m - 1) x 2 + 6(m - 2) x - 1 coù ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò song song
vôùi ñöôøng thaúng y = –4x + 1.
b) y = 2 x 3 + 3(m - 1) x 2 + 6m(1 - 2m ) x coù caùc ñieåm cöïc ñaïi, cöïc tieåu cuûa ñoà thò naèm treân
ñöôøng thaúng y = –4x.
c) y = x 3 + mx 2 + 7 x + 3 coù ñöôøng thaúng ñi qua caùc ñieåm cöïc ñaïi, cöïc tieåu vuoâng goùc
vôùi ñöôøng thaúng y = 3x – 7.
d) y = x 3 - 3 x 2 + m 2 x + m coù caùc ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu ñoái xöùng nhau qua ñöôøng
1 5
thaúng (D): y = x- .
2 2
Trang 10
Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá

III. GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT
VAØ GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM SOÁ



1. Ñònh nghóa:
Giaû söû haøm soá f xaùc ñònh treân mieàn D (D Ì R).
ì f ( x ) £ M , "x Î D
a) M = max f ( x ) Û í
D î $x 0 Î D : f ( x 0 ) = M
ì f ( x ) ³ m, "x Î D
b) m = min f ( x ) Û í
D î $x 0 Î D : f ( x 0 ) = m
2. Tính chaát:
a) Neáu haøm soá f ñoàng bieán treân [a; b] thì max f ( x ) = f (b), min f ( x ) = f (a) .
[a;b ] [ a;b ]

b) Neáu haøm soá f nghòch bieán treân [a; b] thì max f ( x ) = f (a), min f ( x ) = f (b) .
[a;b ] [ a;b ]



VAÁN ÑEÀ 1: Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá baèng caùch laäp baûng bieán thieân
Caùch 1: Thöôøng duøng khi tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá treân moät khoaûng.
· Tính f¢ (x).
· Xeùt daáu f¢ (x) vaø laäp baûng bieán thieân.
· Döïa vaøo baûng bieán thieân ñeå keát luaän.
Caùch 2: Thöôøng duøng khi tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá lieân tuïc treân moät ñoaïn [a; b].
· Tính f¢ (x).
· Giaûi phöông trình f¢ (x) = 0 tìm ñöôïc caùc nghieäm x1, x2, …, xn treân [a; b] (neáu coù).
· Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn).
· So saùnh caùc giaù trò vöøa tính vaø keát luaän.
M = max f ( x ) = max { f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( x n )}
[ a;b ]

m = min f ( x ) = min { f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn )}
[ a;b ]



Baøi 1. Tìm GTLN, GTNN cuûa caùc haøm soá sau:
a) y = x 2 + 4 x + 3 b) y = 4 x 3 - 3 x 4 c) y = x 4 + 2 x 2 - 2
x -1 2 x2 + 4 x + 5
d) y = x 2 + x - 2 e) y = f) y =
x2 - 2 x + 2 x2 + 1
1 x2 - x + 1 x4 + x2 + 1
g) y = x 2 +( x > 0) h) y = i) y = ( x > 0)
x x2 + x + 1 x3 + x
Baøi 2. Tìm GTLN, GTNN cuûa caùc haøm soá sau:
a) y = 2 x 3 + 3 x 2 - 12 x + 1 treân [–1; 5] b) y = 3 x - x 3 treân [–2; 3]
c) y = x 4 - 2 x 2 + 3 treân [–3; 2] d) y = x 4 - 2 x 2 + 5 treân [–2; 2]
3x - 1 x -1
e) y = treân [0; 2] f) y = treân [0; 4]
x -3 x +1
Trang 11
Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng
4 x2 + 7x + 7 1 - x + x2
g) y = treân [0; 2] h) y = treân [0; 1]
x+2 1 + x - x2
i) y = 100 - x 2 treân [–6; 8] k) y = 2 + x + 4 - x
Baøi 3. Tìm GTLN, GTNN cuûa caùc haøm soá sau:
2 sin x - 1 1
a) y = b) y = c) y = 2 sin 2 x - cos x + 1
sin x + 2 2
cos x + cos x + 1
x2 - 1
d) y = cos 2 x - 2 sin x - 1 e) y = sin 3 x + cos3 x f) y =
x4 - x2 + 1

g) y = 4 x 2 - 2 x + 5 + x 2 - 2 x + 3 h) y = - x 2 + 4 x + x 2 - 4 x + 3


VAÁN ÑEÀ 2: Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá baèng caùch duøng baát ñaúng thöùc
Caùch naøy döïa tröïc tieáp vaøo ñònh nghóa GTLN, GTNN cuûa haøm soá.
· Chöùng minh moät baát ñaúng thöùc.
· Tìm moät ñieåm thuoäc D sao cho öùng vôùi giaù trò aáy, baát ñaúng thöùc vöøa tìm ñöôïc trôû
thaønh ñaúng thöùc.

Baøi 1. Giaû söû D = {( x; y; z) / x > 0, y > 0, z > 0, x + y + z = 1} . Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu
x y z
thöùc: P= + + .
x +1 y +1 z +1
æ 1 1 1 ö
HD: P = 3 - ç + + ÷
è x +1 y +1 z +1 ø
æ 1 1 1 ö
Söû duïng baát ñaúng thöùc Coâ–si: [( x + 1) + ( y + 1) + ( z = 1)] ç + + ÷³9
è x +1 y +1 z +1ø
3 1 3
Þ P £ . Daáu “=” xaûy ra Û x = y = z = . Vaäy min P = .
4 3 D 4
ì 5ü
Baøi 2. Cho D = í( x; y ) / x > 0, y > 0, x + y = ý . Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc:
î 4þ
4 1
S= + .
x 4y
æ1 1 1 1 1 ö æ4 1 ö
HD: ( x + x + x + x + 4 y ) ç + + + + ÷ ³ 25 Û 4( x + y ) ç + ÷ ³ 25
è x x x x 4y ø è x 4y ø
1
Þ S ³ 5. Daáu “=” xaûy ra Û x = 1, y = . Vaäy minS = 5.
4
Baøi 3. Cho D = {( x; y ) / x > 0, y > 0, x + y < 1} . Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc:
x2 y2 1
P= + + x+y+ .
1- x 1- y x+y
x2 y2 1 1 1 1
HD: P = (1 + x ) + + (1 + y ) + + -2 = + + -2.
1- x 1- y x + y 1- x 1- y x + y
æ 1 1 1 ö
Söû duïng baát ñaúng thöùc Coâ–si: [(1 - x ) + (1 - y ) + ( x + y )] ç + + ÷³9
è1- x 1- y x + y ø

Trang 12
Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá
1 1 1 9
Û + + ³
1- x 1- y x + y 2
5 1 5
ÞP³ . Daáu “=” xaûy ra Û x = y = . Vaäy minP = .
2 3 2
Baøi 4. Cho D = {( x; y ) / x > 0, y > 0, x + y ³ 4} . Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc:
3x2 + 4 2 + y2
P= + .
4x y2
x 1 æ 1 y yö x+y
HD: P = + + 2ç + + ÷ + (1)
4 x èy
2 8 8ø 2

x 1 x 1
Theo baát ñaúng thöùc Coâ–si: + ³ 2 . =1 (2)
4 x 4 x
1 y y 1 y y 3
+ + ³ 33 . . = (3)
y2 8 8 y2 8 8 4
9 9
ÞP³ . Daáu “=” xaûy ra Û x = y = 2. Vaäy minP = .
2 2

VAÁN ÑEÀ 3: Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá baèng caùch duøng mieàn giaù trò
Xeùt baøi toaùn tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá f(x) treân moät mieàn D cho tröôùc.
Goïi y0 laø moät giaù trò tuyø yù cuûa f(x) treân D, thì heä phöông trình (aån x) sau coù nghieäm:
ì f ( x ) = y0 (1)
í
îx Î D (2)
Tuyø theo daïng cuûa heä treân maø ta coù caùc ñieàu kieän töông öùng. Thoâng thöôøng ñieàu kieän
aáy (sau khi bieán ñoåi) coù daïng: m £ y0 £ M (3)
Vì y0 laø moät giaù trò baát kì cuûa f(x) neân töø (3) ta suy ra ñöôïc:
min f ( x ) = m; max f ( x ) = M
D D


Baøi 1. Tìm giaù trò lôùn nhaát, giaù trò nhoû nhaát cuûa caùc haøm soá sau:
x2 + x + 1 2 x 2 + 7 x + 23 2 sin x + cos x + 1
a) y = b) y = c) y =
x2 - x + 1 x 2 + 2 x + 10 sin x - 2 cos x + 3
2 sin x + cos x + 3
d) y =
2 cos x - sin x + 4


VAÁN ÑEÀ 4: Söû duïng GTLN, GTNN cuûa haøm soá trong PT, HPT, BPT
Giaû söû f(x) laø moät haøm soá lieân tuïc treân mieàn D vaø coù min f ( x ) = m; max f ( x ) = M . Khi ñoù:
D D
ì f (x) = a
1) Heä phöông trình í coù nghieäm Û m £ a £ M.
îx Î D
ì f (x) ³ a
2) Heä baát phöông trình í coù nghieäm Û M ³ a.
îx Î D
ì f (x) £ b
3) Heä baát phöông trình í coù nghieäm Û m £ b.
îx Î D

Trang 13
Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng
4) Baát phöông trình f(x) ³ a ñuùng vôùi moïi x Û m ³ a.
5) Baát phöông trình f(x) £ b ñuùng vôùi moïi x Û M £ b.


Baøi 1. Giaûi caùc phöông trình sau:
1
a) 4
x -2 + 4 4- x = 2 b) 3 x + 5 x = 6 x + 2 c) x 5 + (1 - x )5 =
16
Baøi 2. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù nghieäm:
a) x + 2 x 2 + 1 = m b) 2 - x + 2 + x - (2 - x )(2 + x ) = m
c) 3 + x + 6 - x - (3 + x )(6 - x ) = m d) 7 - x + 2 + x - (7 - x )(2 + x ) = m
Baøi 3. Tìm m ñeå caùc baát phöông trình sau nghieäm ñuùng vôùi moïi x Î R:
a) x + 2 x 2 + 1 > m b) m 2 x 2 + 9 < x + m c) mx 4 - 4 x + m ³ 0
Baøi 4. Cho baát phöông trình: x 3 - 2 x 2 + x - 1 + m < 0 .
a) Tìm m ñeå baát phöông trình coù nghieäm thuoäc [0; 2].
b) Tìm m ñeå baát phöông trình thoaû moïi x thuoäc [0; 2].
Baøi 5. Tìm m ñeå caùc baát phöông trình sau:
a) mx - x - 3 £ m + 1 coù nghieäm. b) (m + 2) x - m ³ x + 1 coù nghieäm x Î [0; 2].
c) m( x 2 - x + 1) £ x 2 + x + 1 nghieäm ñuùng vôùi moïi x Î [0; 1].




Trang 14
Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá

IV. ÑIEÅM UOÁN CUÛA ÑOÀ THÒ

1. Ñònh nghóa:
Ñieåm U ( x0 ; f ( x 0 ) ) ñgl ñieåm uoán cuûa ñoà thò haøm soá y = f(x) neáu toàn taïi moät khoaûng (a;
b) chöùa ñieåm x0 sao cho treân moät trong hai khoaûng (a; x0) vaø (x0; b) tieáp tuyeán cuûa ñoà
thò taïi ñieåm U naèm phía treân ñoà thò coøn treân khoaûng kia tieáp tuyeán naèm phía döôùi ñoà thò
2. Tính chaát:
· Neáu haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm caáp hai treân moät khoaûng chöùa ñieåm x0, f¢¢(x0) = 0 vaø
f¢¢(x) ñoåi daáu khi x ñi qua x0 thì U ( x0 ; f ( x 0 ) ) laø moät ñieåm uoán cuûa ñoà thò haøm soá.

· Ñoà thò cuûa haøm soá baäc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ¹ 0) luoân coù moät ñieåm uoán vaø ñoù
laø taâm ñoái xöùng cuûa ñoà thò.

Baøi 1. Tìm ñieåm uoán cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau:
a) y = x 3 - 6 x 2 + 3 x + 2 b) y = x 3 - 3 x 2 - 9 x + 9 c) y = x 4 - 6 x 2 + 3
x4
d) y = - 2 x2 + 3 e) y = x 4 - 12 x 3 + 48 x 2 + 10 f) y = 3 x 5 - 5 x 4 + 3 x - 2
4
Baøi 2. Tìm m, n ñeå ñoà thò cuûa haøm soá sau coù ñieåm uoán ñöôïc chæ ra:
x3 8
a) y = x 3 - 3 x 2 + 3mx + 3m + 4 ; I(1; 2). b) y = - + (m - 1) x 2 + (m + 3) x - ; I(1; 3)
3 3
æ2 ö
c) y = mx 3 + nx 2 + 1 ; I(1; 4) d) y = x 3 - mx 2 + nx - 2 ; I ç ; -3 ÷
è3 ø
x3
e) y = - + 3mx 2 - 2 ; I(1; 0) f) y = mx 3 + 3mx 2 + 4 ; I(–1; 2)
m
Baøi 3. Tìm m ñeå ñoà thò cuûa caùc haøm soá sau coù 3 ñieåm uoán:
x5 4 4 x 2 + mx - 1
a) y = - x + (4m + 3) x 3 + 5 x - 1 b) y =
5 3 x2 + 1
Baøi 4. Chöùng minh ñoà thò cuûa caùc haøm soá sau coù 3 ñieåm uoán thaúng haøng:
2x +1 x +1 2 x2 - 3x
a) y = b) y = c) y =
x2 + x + 1 x2 + 1 x2 + 1
2x +1 x x2 + 2x + 5
d) y = e) y = f) y =
x2 + 1 x2 + 1 x2 - x + 1
2 x 2 - 3x x2 + 3x x3
g) y = h) y = i) y =
x 2 - 3x + 3 x2 + 1 x2 - 4x + 5
Baøi 5. Tìm m, n ñeå ñoà thò cuûa caùc haøm soá:
a) y = x 4 - 2 x 3 - 6 x 2 + mx + 2m - 1 coù hai ñieåm uoán thaúng haøng vôùi ñieåm A(1; –2).
x3 2
b) y = - - x 2 + mx + coù ñieåm uoán ôû treân ñöôøng thaúng y = x + 2 .
3 3
1
c) y = - x 4 + mx 2 + n coù ñieåm uoán ôû treân Ox.
4



Trang 15
Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng

V. ÑÖÔØNG TIEÄM CAÄN CUÛA ÑOÀ THÒ

1. Ñònh nghóa:
· Ñöôøng thaúng x = x0 ñgl ñöôøng tieäm caän ñöùng cuûa ñoà thò haøm soá y = f ( x ) neáu ít
nhaát moät trong caùc ñieàu kieän sau ñöôïc thoaû maõn:
lim + f ( x ) = +¥ ; lim + f ( x ) = -¥ ; lim - f ( x ) = +¥ ; lim f ( x ) = -¥
x ® x0 x ® x0 x ® x0 x ® x0 -

· Ñöôøng thaúng y = y0 ñgl ñöôøng tieäm caän ngang cuûa ñoà thò haøm soá y = f ( x ) neáu ít
nhaát moät trong caùc ñieàu kieän sau ñöôïc thoaû maõn:
lim f ( x ) = y0 ; lim f ( x ) = y0
x ®+¥ x ®-¥

· Ñöôøng thaúng y = ax + b, a ¹ 0 ñgl ñöôøng tieäm caän xieân cuûa ñoà thò haøm soá y = f ( x )
neáu ít nhaát moät trong caùc ñieàu kieän sau ñöôïc thoaû maõn:
lim [ f ( x ) - (ax + b)] = 0 ; lim [ f ( x ) - (ax + b)] = 0
x ®+¥ x ®-¥

2. Chuù yù:
P( x )
a) Neáu y = f ( x ) = laø haøm soá phaân thöùc höõu tyû.
Q( x )
· Neáu Q(x) = 0 coù nghieäm x0 thì ñoà thò coù tieäm caän ñöùng x = x0 .
· Neáu baäc(P(x)) £ baäc(Q(x)) thì ñoà thò coù tieäm caän ngang.
· Neáu baäc(P(x)) = baäc(Q(x)) + 1 thì ñoà thò coù tieäm caän xieân.
b) Ñeå xaùc ñònh caùc heä soá a, b trong phöông trình cuûa tieäm caän xieân, ta coù theå aùp duïng
caùc coâng thöùc sau:
f (x)
a = lim ; b = lim [ f ( x ) - ax ]
x ®+¥ x x ®+¥

f (x)
hoaëc a = lim ; b = lim [ f ( x) - ax ]
x ®-¥ x x ®-¥


Baøi 1. Tìm caùc tieäm caän cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau:
2x - 5 10 x + 3 2x + 3
a) y = b) y = c) y =
x -1 1- 2x 2-x
x2 - 4x + 3 ( x - 2)2 7x2 + 4 x + 5
d) y = e) y = f) y =
x +1 1- x 2 - 3x
Baøi 2. Tìm caùc tieäm caän cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau:
x 2+ x x2 + 4 x + 5
a) y = b) y = c) y =
x2 - 4x + 5 9 - x2 x2 - 1
2 x2 + 3x + 3 x3 + x + 1 x4 - x + 4
d) y = e) y = f) y =
x2 + x + 1 x2 + 1 x3 - 1
Baøi 3. Tìm caùc tieäm caän cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau:
4x + 2 1
a) y = x 2 - 4 x b) y = c) y =
x2 - 9 x2 - 4 x + 3

Trang 16
Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá

x -1 3 x2 - 3x + 2
d) y = x e) y = 3 x 2 - x 3 f) y =
x +1 x -2
Baøi 4. Tìm caùc tieäm caän cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau:
2x +1 e x - e- x
a) y = b) y = ln c) y = ln( x 2 - 5 x + 6)
x
2 -1 2
Baøi 5. Tìm m ñeå ñoà thò cuûa caùc haøm soá sau coù ñuùng hai tieäm caän ñöùng:
3 2 + x2 x+3
a) y = b) y = c) y =
2 x 2 + 2 mx + m - 1 3 x 2 + 2(m + 1) x + 4 x2 + x + m - 2
Baøi 6. Tìm m ñeå ñoà thò cuûa caùc haøm soá sau coù tieäm caän xieân:
x 2 + (3m + 2) x + 2m - 1 mx 2 + (2m + 1) x + m + 3
a) y = b) y =
x+5 x+2
Baøi 7. Tính dieän tích cuûa tam giaùc taïo bôûi tieäm caän xieân cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau chaén
treân hai truïc toaï ñoä:
3x2 + x + 1 -3 x 2 + x - 4 x2 + x - 7
a) y = b) y = c) y =
x -1 x+2 x -3
Baøi 8. Tìm m ñeå tieäm caän xieân cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau taïo vôùi caùc truïc toaï ñoä moät tam
giaùc coù dieän tích S ñaõ chæ ra:
x 2 + mx - 1 x 2 + (2 m - 1) x - 2m + 3
a) y = ;S=8 b) y = ;S=8
x -1 x +1
2 x 2 + 2(2m + 1) x + 4m - 5 2 x 2 + mx - 2
c) y = ; S = 16 d) y = ;S=4
x +1 x -1
Baøi 9. Chöùng minh raèng tích caùc khoaûng caùch töø moät ñieåm baát kì treân ñoà thò cuûa caùc haøm
soá ñeán hai tieäm caän baèng moät haèng soá:
x2 - x + 1 2 x2 + 5x - 4 x2 + x - 7
a) y = b) y = c) y =
x -1 x +3 x -3




Trang 17
Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng

VI. KHAÛO SAÙT SÖÏ BIEÁN THIEÂN
VAØ VEÕ ÑOÀ THÒ CUÛA HAØM SOÁ

1. Caùc böôùc khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá
· Tìm taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá.
· Xeùt söï bieán thieân cuûa haøm soá:
+ Tính y¢.
+ Tìm caùc ñieåm taïi ñoù ñaïo haøm y¢ baèng 0 hoaëc khoâng xaùc ñònh.
+ Tìm caùc giôùi haïn taïi voâ cöïc, giôùi haïn voâ cöïc vaø tìm tieäm caän (neáu coù).
+ Laäp baûng bieán thieân ghi roõ daáu cuûa ñaïo haøm, chieàu bieán thieân, cöïc trò cuûa haøm soá.
· Veõ ñoà thò cuûa haøm soá:
+ Tìm ñieåm uoán cuûa ñoà thò (ñoái vôùi haøm soá baäc ba vaø haøm soá truøng phöông).
– Tính y¢¢.
– Tìm caùc ñieåm taïi ñoù y¢¢ = 0 vaø xeùt daáu y¢¢.
+ Veõ caùc ñöôøng tieäm caän (neáu coù) cuûa ñoà thò.
+ Xaùc ñònh moät soá ñieåm ñaëc bieät cuûa ñoà thò nhö giao ñieåm cuûa ñoà thò vôùi caùc truïc
toaï ñoä (trong tröôøng hôïp ñoà thò khoâng caét caùc truïc toaï ñoä hoaëc vieäc tìm toaï ñoä giao
ñieåm phöùc taïp thì coù theå boû qua). Coù theå tìm theâm moät soá ñieåm thuoäc ñoà thò ñeå coù theå
veõ chính xaùc hôn.
+ Nhaän xeùt veà ñoà thò: Chæ ra truïc ñoái xöùng, taâm ñoái xöùng (neáu coù) cuûa ñoà thò.
2. Haøm soá baäc ba y y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ¹ 0) :
· Taäp xaùc ñònh R = R.
· Ñoà thò luoân coù moät ñieåm uoán vaø nhaän ñieåm uoán laøm taâm ñoái xöùng.
· Caùc daïng ñoà thò:
a>0 a 0 I
I
0 x 0 x



y’ = 0 coù nghieäm keùp y y
Û D’ = b2 – 3ac = 0
I

0 x 0 I x



y’ = 0 voâ nghieäm y y
Û D’ = b2 – 3ac < 0
I I


0 x 0 x


Trang 18
Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá

3. Haøm soá truøng phöông y = ax 4 + bx 2 + c ( a ¹ 0) :
· Taäp xaùc ñònh D = R.
· Ñoà thò luoân nhaän truïc tung laøm truïc ñoái xöùng.
· Caùc daïng ñoà thò:
a>0 a 0



ax + b
4. Haøm soá nhaát bieán y = (c ¹ 0, ad - bc ¹ 0) :
cx + d
ì dü
· Taäp xaùc ñònh D = R \ í- ý .
î cþ
d a
· Ñoà thò coù moät tieäm caän ñöùng laø x = - vaø moät tieäm caän ngang laø y = . Giao ñieåm
c c
cuûa hai tieäm caän laø taâm ñoái xöùng cuûa ñoà thò haøm soá.
· Caùc daïng ñoà thò:
y y




0 x 0 x



ad – bc > 0 ad – bc < 0


ax 2 + bx + c
5. Haøm soá höõu tyû y = (a.a ' ¹ 0, töû khoâng chia heát cho maãu) :
a' x + b'
ì b'ü
· Taäp xaùc ñònh D = R \ í- ý .
î a'þ
b'
· Ñoà thò coù moät tieäm caän ñöùng laø x = - vaø moät tieäm caän xieân. Giao ñieåm cuûa hai
a'
tieäm caän laø taâm ñoái xöùng cuûa ñoà thò haøm soá.
Trang 19
Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng
· Caùc daïng ñoà thò:
a.a¢ > 0 a.a¢ < 0
y y




y¢ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät
0 x 0 x




y y




y¢ = voâ nghieäm
0 x 0 x




Baøi 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa caùc haøm soá:
a) y = x 3 - 3 x 2 - 9 x + 1 b) y = x 3 + 3 x 2 + 3 x + 5 c) y = - x 3 + 3 x 2 - 2
x3 1
d) y = ( x - 1)2 (4 - x ) e) y = - x2 + f) y = - x 3 - 3 x 2 - 4 x + 2
3 3
Baøi 2. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa caùc haøm soá:
x4 5
a) y = x 4 - 2 x 2 - 1 b) y = x 4 - 4 x 2 + 1 c) y = - 3x 2 +
2 2
d) y = ( x - 1)2 ( x + 1)2 e) y = - x 4 + 2 x 2 + 2 f) y = -2 x 4 + 4 x 2 + 8
Baøi 3. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa caùc haøm soá:
x +1 2x +1 3- x
a) y = b) y = c) y =
x+2 x -1 x-4
1- 2x 3x - 1 x -2
d) y = e) y = f) y =
1+ 2x x -3 2x +1
Baøi 4. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa caùc haøm soá:
x2 + x + 1 x2 + x + 2 x2 + x - 2
a) y = b) y = c) y =
x +1 x -1 x +1
1 x2 x2 - 2 x
d) y = - x + 1 + e) y = f) y =
x -1 1- x x +1
Baøi 5. Veõ ñoà thò cuûa caùc haøm soá:
3
a) y = x - 3 x + 2 b) y = - x 3 + 3 x 2 - 2 c) y = x 4 - 2 x 2 - 3
x +1 x2 - x + 2 x2 + 3x + 3
d) y = e) y = f) y =
x -1 x -1 x+2


Trang 20
Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá

VII. MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN LIEÂN QUAN
ÑEÁN KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ

1. SÖÏ TÖÔNG GIAO CUÛA CAÙC ÑOÀ THÒ
1. Cho hai ñoà thò (C1): y = f(x) vaø (C2): y = g(x). Ñeå tìm hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C1) vaø
(C2) ta giaûi phöông trình: f(x) = g(x) (*) (goïi laø phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm).
Soá nghieäm cuûa phöông trình (*) baèng soá giao ñieåm cuûa hai ñoà thò.
2. Ñoà thò haøm soá baäc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ¹ 0) caét truïc hoaønh taïi 3 ñieåm phaân bieät
Û Phöông trình ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 coù 3 nghieäm phaân bieät.
Û Haøm soá y = ax 3 + bx 2 + cx + d coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu vaø yCÑ .yCT < 0 .


Baøi 1. Tìm toaï ñoä giao ñieåm cuûa caùc ñoà thò cuûa caùc haøm soá sau:
ì x2 3
ïy = - + 3x - ì 2x - 4
ï ïy = ì 3
a) í 2 2 b) í x -1 c) í y = 4 x - 3 x
x 1
ïy = + ïy = -x2 + 2x + 4 îy = -x + 2
ï î
î 2 2
ì 2
ìy = x4 - x2 + 1
ï ì y = x 3 - 5 x 2 + 10 x - 5
ï ïy = x
d) í 2
e) í 2
f) í x -1
ïy = 4x - 5
î ïy = x - x + 1
î ï y = -3 x + 1
î
Baøi 2. Bieän luaän theo m soá giao ñieåm cuûa caùc ñoà thò cuûa caùc haøm soá sau:
ì x3 x2
y= - 2x ì 3
ì y = x3 - 3x + 2 ï
ï 3
+
2 ïy = - x + 3x
a) í b) í c) í 3
î y = m( x - 2) ï y = m ç x + 1 ö + 13
æ ï y = m( x - 3)
÷ î
ï
î è 2 ø 12
ì 2x +1 ì x +1 ì 2
ïy = ïy = ïy = x - 6 x + 3
d) í x +2 e) í x -1 f) í x+2
ïy = 2 x + m
î ï y = -2 x + m
î ïy = x - m
î
ì 1 ì 2
ïy = -x + 3 + ïy = x - 3x + 3 ìy = 2 x3 + x + 1
ï
g) í 1- x h) í x -2 i) í 2
ï y = mx + 3 ï y = mx - 4 m - 1 ï y = m( x - 1)
î
î î
Baøi 3. Tìm m ñeå ñoà thò caùc haøm soá:
( x + 2)2 - 1
a) y = ; y = mx + 1 caét nhau taïi hai ñieåm phaân bieät.
x +2
2 x2 - 3x + m
b) y = ; y = 2 x + m caét nhau taïi hai ñieåm phaân bieät.
x -1
mx 2 + x + m
c) y = ; y = mx + 2 caét nhau taïi hai ñieåm coù hoaønh ñoä traùi daáu.
x -1
x2 + 4 x + 5
d) y = ; y = mx + 2 caét nhau taïi hai ñieåm coù hoaønh ñoä traùi daáu.
x +2
( x - 2)2
e) y = ; y = mx + 3 caét nhau taïi hai ñieåm thuoäc hai nhaùnh khaùc nhau.
1- x
Trang 21
Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng
mx 2 + x + m
f) y = caét truïc hoaønh taïi hai ñieåm phaân bieät coù hoaønh ñoä döông.
x -1
Baøi 4. Tìm m ñeå ñoà thò caùc haøm soá:
a) y = x 3 + 3 x 2 + mx + 2m; y = - x + 2 caét nhau taïi ba ñieåm phaân bieät.
b) y = mx 3 + 3mx 2 - (1 - 2m ) x - 1 caét truïc hoaønh taïi ba ñieåm phaân bieät.
c) y = ( x - 1)( x 2 - mx + m 2 - 3) caét truïc hoaønh taïi ba ñieåm phaân bieät.
d) y = x 3 + 2 x 2 - 2 x + 2m - 1; y = 2 x 2 - x + 2 caét nhau taïi ba ñieåm phaân bieät.
e) y = x 3 + 2 x 2 - m 2 x + 3m; y = 2 x 2 + 1 caét nhau taïi ba ñieåm phaân bieät.
Baøi 5. Tìm m ñeå ñoà thò caùc haøm soá:
a) y = x 4 - 2 x 2 - 1; y = m caét nhau taïi boán ñieåm phaân bieät.
b) y = x 4 - m(m + 1) x 2 + m 3 caét truïc hoaønh taïi boán ñieåm phaân bieät.
c) y = x 4 - (2m - 3) x 2 + m 2 - 3m caét truïc hoaønh taïi boán ñieåm phaân bieät.
Baøi 6. Tìm m ñeå ñoà thò cuûa caùc haøm soá:
3x + 1
a) y = ; y = x + 2 m caét nhau taïi hai ñieåm phaân bieät A, B. Khi ñoù tìm m ñeå ñoaïn
x -4
AB ngaén nhaát.
4x -1
b) y = ; y = - x + m caét nhau taïi hai ñieåm phaân bieät A, B. Khi ñoù tìm m ñeå ñoaïn
2-x
AB ngaén nhaát.
x2 - 2 x + 4
c) y = ; y = mx + 2 - 2m caét nhau taïi hai ñieåm phaân bieät A, B. Khi ñoù tính
x-2
AB theo m.
Baøi 7. Tìm m ñeå ñoà thò cuûa caùc haøm soá:
a) y = x 3 - 3mx 2 + 6mx - 8 caét truïc hoaønh taïi ba ñieåm coù hoaønh ñoä laäp thaønh moät caáp
soá coäng.
b) y = x 3 - 3 x 2 - 9 x + 1; y = 4 x + m caét nhau taïi ba ñieåm A, B, C vôùi B laø trung ñieåm
cuûa ñoaïn AC.
c) y = x 4 - (2m + 4) x 2 + m 2 caét truïc hoaønh taïi boán ñieåm coù hoaønh ñoä laäp thaønh moät caáp
soá coäng.
d) y = x 3 - (m + 1) x 2 - (m - 1) x + 2m - 1 caét truïc hoaønh taïi ba ñieåm coù hoaønh ñoä laäp
thaønh moät caáp soá nhaân.
e) y = 3 x 3 + (2m + 2) x 2 + 9mx + 192 caét truïc hoaønh taïi ba ñieåm coù hoaønh ñoä laäp thaønh
moät caáp soá nhaân.




Trang 22
Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá
2. BIEÄN LUAÄN SOÁ NGHIEÄM CUÛA PHÖÔNG TRÌNH BAÈNG ÑOÀ THÒ

· Cô sôû cuûa phöông phaùp: Xeùt phöông trình: f(x) = g(x) (1)
Soá nghieäm cuûa phöông trình (1) = Soá giao ñieåm cuûa (C1): y = f(x) vaø (C2): y = g(x)
Nghieäm cuûa phöông trình (1) laø hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C1): y = f(x) vaø (C2): y = g(x)

· Ñeå bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình F(x, m) = 0 (*) baèng ñoà thò ta bieán ñoåi (*) veà
moät trong caùc daïng sau:
Daïng 1: F(x, m) = 0 Û f(x) = m (1) y
Khi ñoù (1) coù theå xem laø phöông trình hoaønh ñoä (C)
giao ñieåm cuûa hai ñöôøng: m A c. : y = m
(d)
yCÑ c.
(C): y = f(x)
d: y = m
· d laø ñöôøng thaúng cuøng phöông vôùi truïc hoaønh. xA x
· Döïa vaøo ñoà thò (C) ta bieän luaän soá giao ñieåm yCT
cuûa (C) vaø d. Töø ñoù suy ra soá nghieäm cuûa (1)
Daïng 2: F(x, m) = 0 Û f(x) = g(m) (2)
Thöïc hieän töông töï nhö treân, coù theå ñaët g(m) = k.
Bieän luaän theo k, sau ñoù bieän luaän theo m. y d1
Daïng 3: F(x, m) = 0 Û f(x) = kx + m (3) y = kx
b1 d
(k: khoâng ñoåi) c.
d2
Khi ñoù (3) coù theå xem laø phöông trình hoaønh ñoä
giao ñieåm cuûa hai ñöôøng: M1
(C): y = f(x) O
d: y = kx + m x
M2
· Vì d coù heä soá goùc k khoâng ñoåi neân d cuøng phöông (C) m
A
vôùi ñöôøng thaúng y = kx vaø caét truïc tung taïi ñieåm A(0; m).
· Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán d1, d2, … cuûa (C)
coù heä soá goùc k. b2
· Döïa vaøo caùc tung ñoä goác b, b1, b2, … cuûa d, d1, d2, …
ñeå bieän luaän.
Daïng 4: F(x, m) = 0 Û f(x) = m(x – x0) + y0 (4)
m = +¥
Khi ñoù (4) coù theå xem laø phöông trình y
hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa hai ñöôøng: d3 m>0 I
(C): y = f(x) (C)
c. M (+) d
d: y = m(x – x0) + y0 y0 M1
d1 m=0
· d quay quanh ñieåm coá ñònh M0(x0; y0).
· Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán d1, d2, … 0 M2
(–)
IV m < 0
cuûa (C) ñi qua M0. x0 x
· Cho d quay quanh ñieåm M0 ñeå bieän luaän.

d2
m = –¥
Chuù yù:
· Neáu F(x, m) = 0 coù nghieäm thoaû ñieàu kieän: a £ x £ b thì ta chæ veõ ñoà thò (C): y = f(x)
vôùi a £ x £ b.
· Neáu coù ñaët aån soá phuï thì ta tìm ñieàu kieän cuûa aån soá phuï, sau ñoù bieän luaän theo m.


Trang 23
Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng
VAÁN ÑEÀ 1: Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình baèng ñoà thò
Ñeå bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình F(x, m) = 0 (*) ta bieán ñoåi (*) veà moät trong caùc
daïng nhö treân, trong ñoù löu yù y = f(x) laø haøm soá ñaõ khaûo saùt vaø veõ ñoà thò.

Baøi 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. Duøng ñoà thò (C) bieän luaän theo
m soá nghieäm cuûa phöông trình:
a) y = x 3 - 3 x + 1; x 3 - 3 x + 1 - m = 0 b) y = - x 3 + 3 x - 1; x 3 - 3 x + m + 1 = 0
c) y = x 3 - 3 x + 1; x 3 - 3 x - m 2 - 2m - 2 = 0 d) y = - x 3 + 3 x - 1; x 3 - 3 x + m + 4 = 0
x4
e) y = - + 2 x 2 + 2; x 4 - 4 x 2 - 4 + 2 m = 0 f) y = x 4 - 2 x 2 + 2; x 4 - 2 x 2 - m + 2 = 0
2
Baøi 2. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. Duøng ñoà thò (C) bieän luaän theo
m soá nghieäm cuûa phöông trình:
x2 - 5x + 7
a) y = ; x 2 - (m + 5) x + 3m + 7 = 0
x -3
2 x2 - 4 x + 2
b) y = ; 2 x 2 - 2(m + 2) x - 3m + 2 = 0
2x + 3
x2 + 1
c) y = ; (m - 1) x 2 + 2 x - 1 = 0
x
x2 - 2 x + 4
d) y = ; x 2 - 2(m + 1) x + 4(m + 1) = 0
2x - 4
Baøi 3. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. Duøng ñoà thò (C) bieän luaän theo
m soá nghieäm cuûa phöông trình:
2 x2
a) y = ; 2sin 2 a + 2 m cos a - m - 2 = 0 (0 £ a £ p )
2x -1
2 x2 - 3x
b) y = ; cos 2a - (m + 3) cos a + 2m + 1 = 0 (0 £ a £ p )
x-2
x2 + 3x + 3
c) y = ; cos2 a + (3 - m) cos a + 3 - 2m = 0 (0 £ a £ p )
x+2
d) y = x 3 - 3 x 2 + 6; cos3 x - 3 cos2 x + 6 - m = 0
Baøi 4. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. Duøng ñoà thò (C) bieän luaän theo
m soá nghieäm cuûa phöông trình:
x2 - 5x + 7
a) y = ; 2 t + (3m + 7)2-t = m + 5
x -3
x2 + x -1
b) y = ; 2 t + (m - 1)2 -t = m - 1
x -1
2 x2 - 5x + 4
c) y = ; 2e2t - (5 + m)et + 4 + m = 0
x -1
x2 - 5x + 4
d) y = ; e2 t - (5 + m)et + 4 = 0
x
Baøi 5. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. Töø ñoà thò (C) haõy suy ra ñoà thò
(T). Duøng ñoà thò (T) bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình:
x2 - 3x + 6 x 2 - 3x + 6 x 2 - 3x + 6
a) (C ) : y = ; (T ) : y = ; - 2m = 0
x -1 x -1 x -1
Trang 24
Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá

x2 - 5x + 4 x 2 - 5x + 4 x 2 - 5x + 4
b) (C ) : y = ; (T ) : y = ; -m+2= 0
x x x
c) (C ) : y = x 3 - 3 x 2 + 6; (T ) : y = x 3 - 3 x 2 + 6 ; x 3 - 3 x 2 + 6 - m + 3 = 0
3 3
d) (C ) : y = 2 x 3 - 9 x 2 + 12 x - 4; (T ) : y = 2 x - 9 x 2 + 12 x - 4; 2 x - 9 x 2 + 12 x + m = 0
e) (C ) : y = ( x + 1)2 (2 - x ); (T ) : y = ( x + 1)2 2 - x ;( x + 1)2 2 - x = (m + 1)2 (2 - m )
x2 + 1 x2 + 1
f) (C ) : y = ; (T ) : y = ; (m - 1) x 2 + 2 x - 1 = 0
x x
x+2
Baøi 6. Cho haøm soá y = f ( x ) = .
x -1
a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá.
b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng x - 3 y = 0 .
c) Duøng ñoà thò (C), bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình:
3 x 2 - (m + 2) x + m + 2 = 0
x +1
Baøi 7. Cho haøm soá y = f ( x ) = .
x -1
a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá.
b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng x - 2 y = 0 .
c) Duøng ñoà thò (C), bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình:
2 x 2 - (m + 1) x + m + 1 = 0
x2
Baøi 8. Cho haøm soá y = f ( x ) = .
x -1
a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá.
b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) ñi qua ñieåm A(0; 1).
c) Duøng ñoà thò (C), bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình:
(1 - m) x 2 - (1 - m ) x + 1 = 0



VAÁN ÑEÀ 2: Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình baäc ba baèng ñoà thò
Cô sôû cuûa phöông phaùp: Xeùt phöông trình baäc ba: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (a ¹ 0) (1)
Goïi (C) laø ñoà thò cuûa haøm soá baäc ba: y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d
Soá nghieäm cuûa (1) = Soá giao ñieåm cuûa (C) vôùi truïc hoaønh
Daïng 1: Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình baäc 3
· Tröôøng hôïp 1: (1) chæ coù 1 nghieäm Û (C) vaø Ox coù 1 ñieåm chung
é f khoâng coù cöïc trò ( h.1a)
Û ê ì f coù 2 cöïc trò
êí (h.1b)
ê î yCÑ .yCT < 0
ë
y y
(C) (C)

yCÑ

A A yCT
x0 O (h.1a) x x0 x1 o x2 (h.1b) x




Trang 25
Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng
· Tröôøng hôïp 2: (1) coù ñuùng 2 nghieäm Û (C) tieáp xuùc vôùi Ox
ì f coù 2 cöïc trò
Ûí (h.2)
î yCÑ .yCT = 0

y
y
(C)
(C)
yCÑ (H.2) yCÑ
A B x2 C
A B x0 x1 x'0 o x"0 x
x0 o x1 x'0 x yCÑ
(H.3)
(yCT = f(x0) = 0)


· Tröôøng hôïp 3: (1) coù 3 nghieäm phaân bieät Û (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät
ì f coù 2 cöïc trò
Ûí (h.3)
î yCÑ .yCT < 0

Daïng 2: Phöông trình baäc ba coù 3 nghieäm cuøng daáu
· Tröôøng hôïp 1: (1) coù 3 nghieäm döông phaân bieät
Û (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät coù hoaønh ñoä döông
ì f coù 2 cöïc trò
ï y .y < 0
ï
Û í CÑ CT
ï xCÑ > 0, xCT > 0
ïa. f (0) < 0 (hay ad < 0)
î

y y
a>0 a 0 (hay ad > 0)
î

y y
a>0 (C) a 0. b) (m - 1)4 x + 2 x +1 + m + 1 > 0 , "x.
c) m.9 x - ( 2m + 1) 6 x + m.4 x £ 0 , "x Î [0; 1]. d) m.9 x + (m - 1).3 x +2 + m - 1 > 0 , "x.
e) 4 cos x
+ 2 ( 2 m + 1) 2 cos x
+ 4m2 - 3 < 0 , "x. f) 4 x - 3.2 x +1 - m ³ 0 , "x.
g) 4 x - 2 x - m ³ 0 , "x Î (0; 1) h) 3 x + 3 + 5 - 3 x £ m , "x.
i) 2.25 x - (2m + 1).10 x + (m + 2).4 x ³ 0 , "x ³ 0. k) 4 x -1 - m.(2 x + 1) > 0 , "x.
Baøi 6. Tìm m ñeå moïi nghieäm cuûa (1) ñeàu laø nghieäm cuûa baát phöông trình (2):
ì 2 1
+1
ïæ 1 ö x æ 1 öx ì 2 1
ïç ÷ + 3 ç ÷ > 12 (1) ï2 x - 2 x +1 > 8 (1)
a) íè 3 ø è3ø b) í
ï 2 2 ï4 x 2 - 2 mx - (m - 1)2 < 0
î (2)
ï( m - 2 ) x - 3 ( m - 6 ) x - m - 1 < 0 (2)
î
ì 2 1
+2
ì22 x +1 - 9.2 x + 4 £ 0 ïæ 1 ö x
ïç ÷ + 9. æ 1 ö
x
ï (1) ç ÷ > 12 (1)
c) í 2 d) í 3
ï(m + 1) x + m( x + 3) + 1 > 0 (2) è ø è3ø
î ï 2
ï2 x + ( m + 2 ) x + 2 - 3m < 0
î (2)




Trang 71
Haøm soá luyõ thöøa – muõ –logarit Traàn Só Tuøng

VIII. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT

· Khi giaûi caùc baát phöông trình logarit ta caàn chuù yù tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá logarit.
é ìa > 1
ê í f ( x ) > g( x ) > 0
log a f ( x ) > log a g( x ) Û ê î
ê ì0 < a < 1
ê í 0 < f ( x ) < g( x )
ëî
· Ta cuõng thöôøng söû duïng caùc phöông phaùp giaûi töông töï nhö ñoái vôùi phöông trình
logarit:
– Ñöa veà cuøng cô soá.
– Ñaët aån phuï.
– ….
Chuù yù: Trong tröôøng hôïp cô soá a coù chöùa aån soá thì:
log a A
log a B > 0 Û ( a - 1)( B - 1) > 0 ; > 0 Û ( A - 1)(B - 1) > 0
log a B


Baøi 1. Giaûi caùc baát phöông trình sau (ñöa veà cuøng cô soá):
a) log 5 (1 - 2 x) < 1 + log 5 ( x + 1) b) log2 (1 - 2 log9 x ) < 1

c) log 1 5 - x < log 1 ( 3 - x ) d) log2 log 1 log 5 x > 0
3 3 3
1 + 2x
e) log 1 (log 2 )>0 f) ( x 2 - 4 ) log 1 x > 0
3
1+ x
2

g) log 1 ë log 4 ( x - 5 ) ù > 0
é 2 log2 x log6 x
û h) 6 6
+x £ 12
3

k) 2( 2 ) + x 2
2

i) log2 ( x + 3 ) ³ 1 + log 2 ( x - 1)
log x log x


2
l) log3 æ log 1 x ö ³ 0 m) 2 log8 ( x - 2) + log 1 ( x - 3) >
ç ÷ 3
è 2 ø 8
é ( ù ) é
n) log 1 ë log5 x 2 + 1 + x û > log3 ê log 1 ( ù
x2 + 1 - x ú)
3 ê 5
ë ú
û
Baøi 2. Giaûi caùc baát phöông trình sau:

lg ( x 2 - 1)
2 3
log2 ( x + 1) - log3 ( x + 1)
a) 0
lg (1 - x ) x2 - 3x - 4
lg ( x 2 - 3 x + 2 ) log2 x 5log x 2- log2 x
c) >2 d) x +x - 18 < 0
lg x + lg 2
3x - 1 x
e) log x >0 f) log3 x.log 2 x < log3 x 2 + log 2
x2 +1 4
g) log x (log 4 (2 x - 4)) £ 1 h) log3 x - x 2 (3 - x ) > 1

i) log x ( x 2 - 8 x + 16 ) ³ 0 k) log2 x ( x 2 - 5 x + 6 ) < 1
5


Trang 72
Traàn Só Tuøng Haøm soá luyõ thöøa – muõ –logarit
æ x -1 ö
l) log x +6 ç log2 ÷>0 m) log x -1 ( x + 1) > log x 2 -1 ( x + 1)
è x+2ø
3

n) (4 x 2 - 16 x + 7).log3 ( x - 3) > 0 o) (4 x - 12.2 x + 32).log2 (2 x - 1) £ 0
Baøi 3. Giaûi caùc baát phöông trình sau (ñaët aån phuï):
a) log2 x + 2 log x 4 - 3 £ 0 b) log5 (1 - 2 x ) < 1 + log ( x + 1)
5
c) 2 log 5 x - log x 125 < 1 d) log2 x 64 + log x 2 16 ³ 3

e) log x 2.log2 x 2.log 2 4 x > 1 f) log2 x + log 1 x 2 < 0
1
2 4
2 log 4 x log 2 x 1 2
g) + > h) + £1
1 - log 2 x 1 + log 2 x 1 - log 2 x
2
4 + log 2 x 2 - log 2 x
2
i) log 2 x - 6 log 2 x + 8 £ 0
1 k) log3 x - 4 log3 x + 9 ³ 2 log3 x - 3
2

1 2
l) log 9 (3 x 2 + 4 x + 2) + 1 > log 3 (3 x 2 + 4 x + 2) m) + 1 - 4 log 1 x
1 o) log x 100 - log100 x > 0
2
8 8
2
1 + log3 x 1
p) >1 q) log x 2.log x 2 >
1 + log3 x log2 x - 6
16
Baøi 4. Giaûi caùc baát phöông trình sau (söû duïng tính ñôn ñieäu):
a) ( x + 1)log2 x + (2 x + 5) log 0,5 x + 6 ³ 0
0,5 b) log 2 (2 x + 1) + log 3 (4 x + 2) £ 2
5+ x
lg
3 2 5- x < 0
c) > d)
log 2 ( x + 1) log3 ( x + 1) x
2 - 3x + 1
Baøi 5. Tìm m ñeå caùc baát phöông trình sau coù nghieäm:
1
a) log1/2 ( x 2 - 2 x + m ) > -3 b) log x 100 - log m 100 > 0
2
2
1 2 1 + log m x
c) + 1
5 - logm x 1 + logm x 1 + log m x
e) log 2 x + m > log 2 x f) log x -m ( x 2 - 1) > log x -m ( x 2 + x - 2)
Baøi 6. Tìm m ñeå caùc baát phöông trình sau nghieäm ñuùng vôùi:
a) log2 ( 7 x 2 + 7 ) ³ log 2 ( mx 2 + 4 x + m ) , "x
b) log 2 (x 2
) ( )
- 2 x + m + 4 log 2 x 2 - 2 x + m £ 5 , "x Î[0; 2]
c) 1 + log 5 ( x 2 + 1) ³ log5 (mx 2 + 4 x + m ) , "x.
æ m ö 2 æ m ö æ m ö
d) ç 2 - log 1 ÷ x - 2 ç 1 + log 1 ÷ x - 2 ç1 + log 1 ÷ > 0 , "x
ç 1+ m ÷ ç 1+ m ÷ ç 1+ m ÷
è 2 ø è 2 ø è 2 ø
Baøi 7. Giaûi baát phöông trình, bieát x = a laø moät nghieäm cuûa baát phöông trình:
a) log m ( x 2 - x - 2 ) > log m ( - x 2 + 2 x + 3 ) ; a = 9/ 4.
b). log m (2 x 2 + x + 3) £ log m (3 x 2 - x ); a =1

Trang 73
Haøm soá luyõ thöøa – muõ –logarit Traàn Só Tuøng
Baøi 8. Tìm m ñeå moïi nghieäm cuûa (1) ñeàu laø nghieäm cuûa baát phöông trình (2):
ìlog2 x + log x 2 < 0 (1)
ï 1 1 ìlog (5 x 2 - 8 x + 3) > 2
ï (1)
a) í 2 4 b) í x
2 4
ï x 2 + mx + m 2 + 6m < 0 (2) ïx - 2x +1- m > 0
î (2)
î
Baøi 9. Giaûi caùc heä baát phöông trình sau:
ì
ï
x2 + 4
a) í x 2 - 16 x + 64
>0 ( ) (
ì( x - 1) lg 2 + lg 2 x +1 + 1 < lg 7.2 x + 12
ï
b) í
)
ïlg x + 7 > lg( x - 5) - 2 lg 2 ïlog x ( x + 2 ) > 2
î
î
ïlog ( 2 - y ) > 0
ì ìlog ( y + 5) < 0
ï
c) í 2 - x d) í x -1
ïlog 4 - y ( 2 x - 2 ) > 0
î ïlog y +2 (4 - x ) < 0
î




Trang 74
Traàn Só Tuøng Haøm soá luyõ thöøa – muõ –logarit

IX. OÂN TAÄP HAØM SOÁ
LUYÕ THÖØA – MUÕ – LOGARIT

Baøi 1. Giaûi caùc phöông trình sau:
2 2 x -1.4 x +1
a) = 64 b) 9 3 x -1 = 38 x - 2
x -1
8
x +1 x 2 +2 x -11 9
0,2 x + 0,5 (0, 04) x æ5ö æ 9 ö æ5ö
c) = d) ç ÷ .ç ÷ =ç ÷
5 25 è3ø è 25 ø è3ø
1
e) 7 x +2 - .7 x +1 - 14.7 x -1 + 2.7 x = 48 (
f) 3 x
2
-7,2 x +3,9 )
- 9 3 lg(7 - x ) = 0
7
2
æ 1 ö x -1
ç
g) è 2(2 x +3 2 x
) ÷ =4
x
h) 5 x . 8 x-1 = 500
ø
1
1- lg x 2 1
i) x 3 = k) x lg x = 1000 x 2
3
100
lg x +5
l) x 3 = 105+ lg x m) ( x )log x -1 = 3
3



Baøi 2. Giaûi caùc phöông trình sau:
2 2
+2 +2 x 2 -5 x 2 -5
a) 4 x - 9.2 x +8 = 0 b) 4 x - - 12.2 x -1- +8 = 0
1 3
3+
c) 64.9 x - 84.12 x + 27.16 x = 0 d) 64 x -2 x + 12 = 0
2 2
-1 -3
e) 9 x - 36.3 x +3 = 0 f) 34 x +8 - 4.32 x + 5 + 28 = 2 log2 2

( ) +( )
x x
g) 32 x +1 = 3 x + 2 + 1 - 6.3 x + 32( x +1) h) 5 + 24 5 - 24 = 10
2
1+ log3 x 1+ log3 x
i) 9 -3 - 210 = 0 k) 4 lg x +1 - 6 lg x - 2.3lg x +2
=0
2 2
l) 2sin x + 4.2 cos x = 6 m) 3lg(tan x ) - 2.3lg(cot x )+1 = 1
Baøi 3. Giaûi caùc baát phöông trình sau:
6-5 x
æ 2 ö 2 +5 x 25 2 x -1 - 1
a) ç ÷ < b) 1000
x
4x + 2x - 4 3 x -2 æ2ö
e) £2 f) 8. > 1+ ç ÷
x -1 x
3 -2 x è3ø
log 2 ( x 2 -1)
æ1ö
g) 2 x +2 - 2 x +3 - 2 x + 4 > 5 x +1 - 5x + 2 h) ç ÷ >1
è2ø
x +2 1 2
x+ -
æ 1 ö 2- x æ1ö 2 x 1
i) ç ÷ >9 k) ç ÷ >
è3ø è3ø 27
2 x +1
-3 x x
æ 1 ö 1- x æ1ö æ1ö æ1ö
72
l) ç ÷ >ç ÷ m) 3 . ç ÷ . ç ÷ >1
è5ø è5ø è3ø è3ø

Trang 75
Haøm soá luyõ thöøa – muõ –logarit Traàn Só Tuøng
Baøi 4. Giaûi caùc baát phöông trình sau:
a) 4 x - 2.52 x - 10 x > 0 b) 25- x - 5- x +1 ³ 50
1 1 1
- - - 2
c) 9.4 x + 5.6 x < 4.9 x d) 3lg x +2 < 3lg x +5
-2
2 x +3
æ1ö
e) 4 x +1 - 16 x < 2 log 4 8 f) 22 x +1 - 21. ç ÷ +2³ 0
è2ø
2( x -2) 2 -3 x
x 2( x -1) 4 -3 x æ1ö
g) 4 - 2 +8 3 > 52 h) 3 - 35. ç ÷ +6³ 0
è3ø
i) 9 x - 3 x +2 > 3x - 9 k) 9 x + 3x - 2 ³ 9 - 3x
Baøi 5. Giaûi caùc phöông trình sau:
a) log3 (3 x - 8) = 2 - x b) log5- x ( x 2 - 2 x + 65) = 2
c) log7 (2 x - 1) + log 7 (2 x - 7) = 1 d) log3 (1 + log3 (2 x - 7)) = 1
log3 lg x log3 (1-2 x )
e) 3 - lg x + lg2 x - 3 = 0 f) 9 = 5x 2 - 5
log 5 x -1
g) x1+ lg x = 10 x h) ( x) =5
2 2
lg x + lg x -2 lg x + 7
æ lg x ö
i) ç ÷ = lg x k) x 4 = 10 lg x +1
è 2 ø
æ 1 ö x -3 x -3
l) log3 ç log 9 x + + 9 x ÷ = 2 x m) 2 log3 + 1 = log3
è 2 ø x -7 x -1
Baøi 6. Giaûi caùc phöông trình sau:

( )
2
a) 2 log x 5 - 3 log x 5 + 1 = 0 b) log1/3 x - 3 log1/3 x + 2 = 0

c) log2 x + 2 log2 x - 2 = 0
2 d) 3 + 2 log x +1 3 = 2 log3 ( x + 1)
e) log x ( 9 x 2 ) .log3 x = 4
2 2
(
f) log3 log1/2 x - 3 log1/2 x + 5 = 2 )
9
g) lg 2 (100 x ) - lg 2 (10 x ) + lg2 x = 6 h) log2 (2 x 2 ).log2 (16 x ) = log2 x
2
2
i) log3 (9 x + 9) = x + log3 (28 - 2.3 x ) k) log2 (4 x + 4) = log2 2 x + log 2 (2 x+1 - 3)
l) log2 (25 x +3 - 1) = 2 + log 2 (5x +3 + 1) m) lg(6.5 x + 25.20 x ) = x + lg 25
Baøi 7. Giaûi caùc baát phöông trình sau:
2x - 6
a) log 0,5 ( x 2 - 5 x + 6) > -1 b) log7 >0
2x -1
2 - 3x
c) log3 x - log3 x - 3 < 0 d) log1/3 ³ -1
x
2
e) log1/4 (2 - x ) > log1/4 f) log1/3 é log 4 ( x 2 - 5) ù > 0
ë û
x +1
x2 - 4 log2 ( x + 1)
g) 0
log1/2 ( x - 1) 2 x -1

i) log x é log9 (3 x - 9) ù < 1
ë û k) log2 x +3 x 2 < 1
x +5
log1/ 3
log2 - x ( x 2 + 8 x +15) x 2 +3
l) 2 1

Trang 76
Traàn Só Tuøng Haøm soá luyõ thöøa – muõ –logarit
Baøi 8. Giaûi caùc heä phöông trình sau:
ì4( x - y )2 -1 = 1
ï ì
ï 4 x + y = 128 ì x y
a) í b) í 3 x -2 y -3 c) í2 + 2 = 12
ï
î 5 x + y = 125 ï5
î =1 î x+y=5
ì3.2 x + 2.3 x = 2,75
ï ì7 x - 16 y = 0
ï ì
ï 3 x .2 y = 972
d) í e) í x f) í
ï
î 2 x - 3y = -0,75 ï4 - 49 y = 0
î ïlog
î 3
( x - y) = 2
ì x 5y-x
ï y
g) í4 - 3.4 y = 16 h)
ì32 x - 2 y = 77
ï
i) í
( )
ì x 2 + y 2 y- x2 = 1
ï
í x
ï
î x - 2 y = 12 - 8 î
y /2
ï3 - 2 = 7 ï
î ( )2
9 x 2 + y = 6 x -y
Baøi 9. Giaûi caùc heä phöông trình sau:
ìlog ( x - y ) = 2
ìlog x - log 2 y = 0 ï 3 ì lg y
a) í 42 2
b) í 7 c) í x = 2
î x - 5y + 4 = 0 ïlog 4 x - log x y = î xy = 20
î 6
ì1 1 2 ì3log x 2 = y log5 y
ìlog x + 2 log2 y = 3 ï - = ï
d) í 2 e) í x y 15 f) í log 3
î x 2 + y 4 = 16 ïlog x + log y = 1 + log 5 ï2 y = x 7
î
log x
î 3 3 3
ìx y 9
ì lg( x 2 + y 2 ) - 1 = lg13 ï 2+ 2 =8 ì
ï xy = 8
g) í h) í y x i) í
îlg( x + y ) - lg( x - y ) = 3 lg 2 ïlog x + log y =3 î (
ï2 log y x + log x y = 5 )
î 2 2

ì2 log x - 3y = 15 ì x y
ì
ï ï +
y x ï 3 x .2 y = 576
k) í y 2 l) í 4 = 32 m) í
ïlog 2 ( y - x ) = 4
y +1
ï3 .log2 x = 2 log2 x + 3
î ïlog3 ( x - y ) = 1 - log3 ( x + y )
î î




Trang 77
TRAÀN SÓ TUØNG
---- ›š & ›š ----




BAØI TAÄP GIAÛI TÍCH 12


TAÄP 3




OÂN THI TOÁT NGHIEÄP THPT & ÑAÏI HOÏC




Naêm 2009
Nguyeân haøm – Tích phaân Traàn Só Tuøng

CHÖÔNG III
NGUYEÂN HAØM, TÍCH PHAÂN VAØ ÖÙNG DUÏNG



I. NGUYEÂN HAØM

1. Khaùi nieäm nguyeân haøm
· Cho haøm soá f xaùc ñònh treân K. Haøm soá F ñgl nguyeân haøm cuûa f treân K neáu:
F '( x ) = f ( x ) , "x Î K
· Neáu F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) treân K thì hoï nguyeân haøm cuûa f(x) treân K laø:
ò f ( x )dx = F ( x ) + C , C Î R.
· Moïi haøm soá f(x) lieân tuïc treân K ñeàu coù nguyeân haøm treân K.
2. Tính chaát
· ò f '( x )dx = f ( x ) + C · ò [ f ( x ) ± g( x )]dx = ò f ( x )dx ± ò g( x )dx
· ò kf ( x )dx = k ò f ( x )dx (k ¹ 0)
3. Nguyeân haøm cuûa moät soá haøm soá thöôøng gaëp
· ò 0dx = C ax
· ò a x dx = + C (0 < a ¹ 1)
· ò dx = x + C ln a
· ò cos xdx = sin x + C
xa +1
· ò xa dx = + C, (a ¹ -1) · ò sin xdx = - cos x + C
a +1
1 1
· ò x dx = ln x + C · ò dx = tan x + C
cos2 x
· ò e x dx = e x + C 1
· ò dx = - cot x + C
sin 2 x
1 1
· ò cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C (a ¹ 0) · ò eax + b dx = eax +b + C , (a ¹ 0)
a a
1 1 1
· ò sin(ax + b)dx = - cos(ax + b) + C (a ¹ 0) · ò dx = ln ax + b + C
a ax + b a

4. Phöông phaùp tính nguyeân haøm
a) Phöông phaùp ñoåi bieán soá
Neáu ò f (u)du = F (u) + C vaø u = u( x ) coù ñaïo haøm lieân tuïc thì:

ò f [u( x )] .u '( x )dx = F [ u( x )] + C
b) Phöông phaùp tính nguyeân haøm töøng phaàn
Neáu u, v laø hai haøm soá coù ñaïo haøm lieân tuïc treân K thì:
ò udv = uv - ò vdu



Trang 78
Traàn Só Tuøng Nguyeân haøm – Tích phaân
VAÁN ÑEÀ 1: Tính nguyeân haøm baèng caùch söû duïng baûng nguyeân haøm
Bieán ñoåi bieåu thöùc haøm soá ñeå söû duïng ñöôïc baûng caùc nguyeân haøm cô baûn.
Chuù yù: Ñeå söû duïng phöông phaùp naøy caàn phaûi:
– Naém vöõng baûng caùc nguyeân haøm.
– Naém vöõng pheùp tính vi phaân.


Baøi 1. Tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau:
2 1 2x4 + 3 x -1
a) f ( x ) = x – 3 x + b) f ( x ) = c) f ( x ) =
x x 2
x2
( x 2 - 1)2 1 2
d) f ( x ) = e) f ( x ) = x + 3 x + 4 x f) f ( x ) = -
2 3
x x x
x
g) f ( x ) = 2 sin 2 h) f ( x ) = tan 2 x i) f ( x ) = cos2 x
2
1 cos 2 x
k) f ( x ) = l) f ( x ) = m) f ( x ) = 2sin 3 x cos 2 x
sin 2 x.cos2 x sin 2 x.cos2 x
x( x
æ e- x ö
n) f ( x ) = e e – 1) x
o) f ( x ) = e ç 2 +
ç ÷ p) f ( x ) = e3 x +1
2 ÷
è cos x ø
Baøi 2. Tìm nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x) thoaû ñieàu kieän cho tröôùc:
a) f ( x ) = x 3 - 4 x + 5; F (1) = 3 b) f ( x ) = 3 - 5 cos x; F (p ) = 2
3 - 5x2 x2 + 1 3
c) f ( x ) = ; F ( e) = 1 d) f ( x ) = ; F (1) =
x x 2
x3 - 1 1
e) f (x )= ; F (-2) = 0 f) f ( x ) = x x + ; F (1) = -2
x2 x
æp ö 3x 4 - 2 x 3 + 5
g) f ( x ) = sin 2 x.cos x; F 'ç ÷ = 0 h) f ( x ) = ; F (1) = 2
è3ø x2
x3 + 3x 3 + 3x - 7 x æp ö p
i) f ( x ) = ; F (0) = 8 k) f ( x ) == sin 2 ; Fç ÷ =
( x + 1) 2 2 è2ø 4
Baøi 3. Cho haøm soá g(x). Tìm nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x) thoaû ñieàu kieän cho tröôùc:
æp ö
a) g( x ) = x cos x + x 2 ; f ( x ) = x sin x; Fç ÷ = 3
è2ø
b) g( x ) = x sin x + x 2 ; f ( x ) = x cos x; F (p ) = 0
c) g( x ) = x ln x + x 2 ; f ( x ) = ln x; F (2) = -2
Baøi 4. Chöùng minh F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x):
ì
ï F ( x ) = (4 x - 5)e x ì
ï F ( x ) = tan 4 x + 3 x - 5
a) í x
b) í 5 3
ï f ( x ) = (4 x - 1)e
î ï f ( x ) = 4 tan x + 4 tan x + 3
î
ì æ x2 + 4 ö ì x2 - x 2 + 1
ï F ( x ) = ln çç 2 ÷
÷ ï F ( x ) = ln
ï
c) í è x +3ø ï
d) í x2 + x 2 + 1
-2 x 2
ï f (x) = ï f ( x ) = 2 2( x - 1)
ï
î ( x 2 + 4)( x 2 + 3) ï
î x4 +1


Trang 79
Nguyeân haøm – Tích phaân Traàn Só Tuøng
Baøi 5. Tìm ñieàu kieän ñeå F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x):
ì F ( x ) = ln x 2 - mx + 5
ì F ( x ) = mx 3 + (3m + 2) x 2 - 4 x + 3
ï ï
a) í 2
. Tìm m. b) í 2x + 3 . Tìm m.
ï f ( x ) = 3 x + 10 x - 4
î ï f (x) = 2
î x + 3x + 5
ì F ( x ) = (ax 2 + bx + c) x 2 - 4 x
ï ì F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e x
ï
c) í . Tìm a, b, c. d) í x
. Tìm a, b, c.
ï f ( x ) = ( x - 2) x 2 - 4 x
î ï f ( x ) = ( x - 3)e
î
ì F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e-2 x
ï ì F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e- x
ï
e) í 2 -2 x
. Tìm a, b, c. f) í 2 -x
. Tìm a, b, c.
ï f ( x ) = -(2 x - 8x + 7)e
î ï f ( x ) = ( x - 3 x + 2)e
î
ì b c
ï
g) í F ( x ) = (a + 1)sin x + 2 sin 2 x + 3 sin 3 x . Tìm a, b, c.
ï f ( x ) = cos x
î
ì F ( x ) = (ax 2 + bx + c) 2 x - 3
ï
h) í 20 x 2 - 30 x + 7 . Tìm a, b, c.
ï f (x) =
î 2x - 3

VAÁN ÑEÀ 2: Tính nguyeân haøm ò f ( x )dx baèng phöông phaùp ñoåi bieán soá
· Daïng 1: Neáu f(x) coù daïng: f(x) = g [ u( x )] .u '( x ) thì ta ñaët t = u( x ) Þ dt = u '( x )dx .
Khi ñoù: ò f ( x )dx = ò g(t )dt , trong ñoù ò g(t )dt deã daøng tìm ñöôïc.

Chuù yù: Sau khi tính ò g(t )dt theo t, ta phaûi thay laïi t = u(x).

· Daïng 2: Thöôøng gaëp ôû caùc tröôøng hôïp sau:
f(x) coù chöùa Caùch ñoåi bieán
p p
x = a sin t, - £t£
a2 - x 2 2 2
hoaëc x = a cos t , 0£t £p
p p
x = a tan t, -
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản