Bài tập Giải Tích 2 -TS Lê Hoàng

Chia sẻ: Nguyễn Quốc Nhật | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:16

0
99
lượt xem
23
download

Bài tập Giải Tích 2 -TS Lê Hoàng

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bài tập giải tích 2_dùng cho các trường đại học', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài tập Giải Tích 2 -TS Lê Hoàng

  1. Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2 CHƯƠNG I: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ TÍCH PHÂN SUY RỘNG 0 , nếu f (x) là hàm lẻ a  a , nếu f (x) là hàm lẻ ∫a f ( x)dx = 2∫ f ( x)dx, nếu f (x) là hàm chẵn −  0  Bài 1: Tính các tích phân sau e2 1 dx a/ I = ∫ b/ I = ∫ 1 − x dx 2 e x ln x 0 e π /2 c/ I = ∫ ln xdx d/ I n = ∫ sin n xdx 1 0 1 π /3 dx x sin x e/ I = ∫ 2 f/ I = ∫ dx 0 4x + 4x + 5 − π /3 cos 2 x 2 2 2π x tg 2 x g/ I = ∫2 1 + x 4 dx h/ I = ∫ 1 − cos 2 x dx − 0 π 6 x sin xdx dx i/ I = ∫ j/ I = ∫ 0 1 + cos 2 x 1 1 + 3x − 2 2 1 dx arcsin x k/ I = ∫ l/ I = ∫ dx 0 3 + 2 cos x 0 1+ x ln 8 3 dx m/ I = ln 3 ∫ ex +1 n/ I = ∫ xarctgxdx 0 e π /2 dx o/ I = ∫ ln 2 xdx p/ I = ∫ 1 + 2 sin 0 2 x 1 e π /2 q/ I n = ∫ ln n xdx r/ I n = ∫ cos x cos nxdx n 1 0 π /4 1 s/ I n = ∫ tg xdx t/ I n = ∫ x e dx 2n n −x 0 0 Bài 2: Tính các tích phân suy rộng +∞ 1 dx dx a/ I = ∫ 1+ x2 0 b/ I = ∫ 0 1− x2 +∞ +∞ dx dx c/ I = ∫∞(1 + x 2 ) 2 d/ I = ∫1+ x 3 − 0 +∞ +∞  dx  e/ I = ∫ x e dx f/ I = ∫   n −x   2 x x − 1  2 0 Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT 1 Trang
  2. Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn e b dx xdx g/ I = ∫ h/ I = ∫ 1 x ln x a ( x − a )(b − x) 3 +∞ dx i/ I = ∫ j/ I = ∫ xe dx 2 −x 1 4x − x2 − 3 0 2 +∞ 2+ x arctgx k/ I = ∫ 2− x dx l/ I = ∫ (1 + x ) 0 2 3/ 2 dx 0 Bài 3: Khảo sát sự hội tụ (hay phân kỳ) của tích phân suy rộng ∞ ∞ dx cos 2 x a/ I = ∫ , với α > 0 b/ I = ∫ dx a xα 0 1+ x2 ∞ ∞ dx x3/ 2 c/ I = ∫ d/ I = ∫ dx 1 x 1+ x2 1 1+ x2 b 1 dx dx e/ I = ∫ , với α ∈ R f/ I = ∫ 4 a (b − x )α 0 1 − x4 1 ∞ ln x ln x g/ I = ∫ dx h/ I = ∫ dx 0 1+ x2 0 1+ x2 1 +∞ arctgx dx i/ I = ∫ x dx j/ I = ∫ 1+ x 2 0 +∞ +∞ dx ln(1 + x) k/ I = ∫ 2 l/ I = ∫ dx −∞ ( x + x + 1) 2 1 x +∞ +∞ xarctgx dx m/ I = ∫ 1 1 + x3 dx n/ I = ∫x 1+α ln β x , với α >0 1 +∞ +∞ dx dx o/ I = 1 ∫x 1−α ln β x , với α > 0 p/ I = ∫ x ln β x 2 +∞ +∞ sin x q/ I = ∫ cos xdx r/ I = ∫ dx 0 1 x2 +∞ 1 cos x dx s/ I = ∫ dx t/ I = ∫ 1 x 0 e x −1 1 2 dx dx u/ I = ∫ v/ I = ∫ 0 x −1 1 ln x 1 1 dx dx w/ I = ∫ x/ I = ∫ 0 e − cos x x 0 x − x2 +∞ +∞ xdx 1 − 4 sin 3 x y/ I = ∫ x 3 + 2x + 1 z/ I = ∫ dx 1 x + 3 3 0 x Bài 4: Tính diện tích hình phẳng bị giới hạn bởi các đường cong 2 a/ y = 2 x và x = 2 y 2 2 b/ S = ∫ | 1 − x | dx 0 Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT 2 Trang
  3. Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn  x = a (t − sin t ) c/ y = 2 − x 2 và y 3 = x 2 d/  và trục Ox  y = a(1 − cos t ) e/ x = t 2 − 1 và y = 4t − t 3 f/ r = a(1 + cos ϕ ) và r = a x2 y 2 g/ + = 1 , với a > 0, b > 0 h/ y = ( x + 1) 2 và x = sin(πy ) a2 b2 i/ x 2 + y 2 = 4 và x 2 + y 2 + 2 x = 0 j/ y = x và y = x + sin 2 x , với 0 ≤ x ≤ π k/ x = 0, y = 0 và x = y 2 ( y − 1) l/ y 2 = x 2 (a 2 − x 2 ) , với a > 0 Bài 5: Tính thể tích  x = a (t − sin t ) a/  ; 0 ≤ t ≤ 2π và y = 0 xoay quanh Ox  y = a(1 − cos t )  y = 2x − x 2 b/  xoay quanh Ox và Oy y = 0 c/ vật bị giới hạn bởi mặt z = 4 − y 2 và x = a (với a > 0 ), x > 0, z > 0 d/ vật bị giới hạn bởi 2 mặt trụ x 2 + y 2 = a 2 và y 2 + z 2 = a 2 e/ vật tròn xoay khi quay hình phẳng bị giới hạn bởi y = sin x ( 0 ≤ x ≤ π ) và trục Ox khi quay quanh Ox và quay quanh Oy f/ vật tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi y = x 2 và y = 4 quay quanh Oy và quay quanh đường thẳng x = 2 g/ y = ( x + 4) 3 , x = 0 xoay quanh trục Oy 2 h/ y = e −2 x − 1, y = e − x + 1, x = 0 quay quanh trục Ox Bài 6: Tính diện tích mặt tròn xoay a/ y = x 2 ; 0 ≤ x ≤ 1 xoay quanh Oy  x = a (t − sin t ) b/  ; và y = 0 xoay quanh Ox  y = a(1 − cos t ) c/ 9 y 2 = x(3 − x) 2 ; 0 ≤ x ≤ 3 quay quanh Ox d/ 3 y = x 3 ; 0 ≤ x ≤ a quay quanh Ox  x = a 2 cos 3 t e/  ; 0 ≤ t ≤ 2π quay quanh Ox  y = a sin t 3 Bài 7: Tính độ dài đường cong a/ y 2 = x 3 từ gốc toạ độ đến điểm A(4,8)  x = a cos 3 t b/  ; 0 ≤ t ≤ 2π  y = a sin t 3 ϕ c/ r = sin 3 với 0 ≤ ϕ ≤ π / 2 3 1 d/ y = (3 − x ) x ; 0 ≤ x ≤ 3 3 1 1 e/ y = x 2 − ln x ; 1 ≤ x ≤ e 4 2 Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT 3 Trang
  4. Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn CHƯƠNG II: TÍCH PHÂN BỘI Bài 1: Tính các tích phân bội hai I = ∫ ∫x − 2 xy 2 )dxdy , với D :  y = 3 − x 2 a/ (   y = 2x 2 D I = ∫ ∫ xy + 3 x) dxdy , với D : 2 y = x 2 b/ (  D  y = 2x + 1  y = x2 −1 c/ I = ∫ ∫x + 5 xy )dxdy ( 2 , với D :  D  y = 1− x x = y  d/ I = ∫ ∫ xydxdy , với D :  x = 2 y D y =1  I = ∫ ∫ x − 4 y )dxdy , với D : 1 ≤ x + y ≤ 4 2 2 e/ (  D  x ≤ y ≤ 3x x 2 + y 2 = 2x f/ I = ∫ ∫ 4 − x 2 − y 2 dxdy , với D :  D y ≤ 0 1  2 dxdy , với D :  x + y ≤ 2 y 2 g/ I = ∫ ∫ D x2 + y2 y ≤ x x 2 + y 2 ≤ 4  h/ I = ∫ ∫ x + 2 y )dxdy , với D :  y ≥ − x ( D y ≤ 0   y ≤ 2 − x2  i/ I = ∫ ∫2 x − 7 y )dxdy , với D :  y ≥ 0 ( D  y ≥ −x  2 y ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 y  j/ I = ∫ ∫ xdxdy 3 , với D :  y ≥ x D x ≥ 0   y = ln x  k/ I = ∫ ∫ x − 6 y ) dxdy , với ( D : y = 0 D x = e2  Bài 2: Tính các tích phân bội ba x 2 + z 2 = 4 a/ I = ∫ ∫ ∫x + z dxdydz , với Ω :  y = 0 2 2  Ω y = 2   x − y + z = 0; x − y + z = 2  b/ I = ∫ ∫( x + y − z )dxdydz , với Ω : − x + y + z = 1;− x + y + z = 3 ∫ Ω  x + y − z = −1; x + y − z = 4  Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT 4 Trang
  5. Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn 1 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 c/ I = ∫ ∫ x∫2 + y 2 + z 2 dxdydz , với Ω :  Ω y ≥ 0 I = ∫ ∫ xdxdydz , với Ω :  z = x + y 2 2 d/ ∫  Ω z + y = 2 I = ∫ ∫ zdxdydz , với Ω : 1 ≤ x + y + z ≤ 4 2 2 2 e/ ∫  2  x + y +z≤0 2 Ω zdxdydz , với Ω :  x + y + z ≤ 2 y 2 2 2 f/ I = ∫ ∫2∫  Ω z ≤ 0 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 g/ I = ∫ ∫3∫ zdxdydz , với Ω :  2  x +y ≤z 2 Ω  x2 y2  x2 y2 2  + + z2 ≤1 h/ I = ∫ ∫ ∫ + + z dxdydz , với Ω :  9 4  9  Ω  4  z ≥ 0  x + y ≤ 4 2 2  i/ I = ∫ ∫( x − 4 y )dxdydz , với Ω :  x ≥ 0 ∫ Ω 0 ≤ z ≤ 5  y2 + z2 = 4  j/ I = ∫ ∫ ∫y + z dxdydz 2 2 , với Ω :  y + x = 2 Ω y − x = 2   2 I = ∫ ∫ z∫ x 2 + y 2 dxdydz , với Ω :  x + y ≤ 2 x 2 k/ Ω 0 ≤ z ≤ y x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4z l/ I = ∫ ∫ xdxdydz , với Ω :  2 ∫ x + y ≥ z 2 2 Ω Bài 3: Tính thể tích các khối vật thể Ω sau x 2 + y 2 = 1 z = x 2 + 2 y 2  a/ Ω: b/ Ω :  z = x + y 2 2 z = 1 x 2 + y 2 = 4 − z   x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0  2 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 c/ Ω :  x + y ≤ 1 d/ Ω :  2 z ≥ x + y 2 2 z = 2 + x 2  Bài 4: Tính các tích phân sau  y = x, y = 2 x a/ I = ∫ ∫( x + z )dxdydz , với Ω :  y = 1, z = 0 ∫  Ω z = x 2 + y 2  Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT 5 Trang
  6. Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn  y = x2 , y = x  b/ I = ∫ ∫ xdxdydz , với Ω :  z = 0 ∫ Ω z = 1 + y 2  x 2 + y 2 = 4 c/ I = ∫ ∫ ∫x + y dxdydz , với Ω :  z = x 2 + y 2 2 2  Ω z = x 2 + 2 y 2  x 2 + y 2 + z 2 = 2 x d/ I = ∫ ∫ zdxdydz , với Ω :  ∫ Ω z ≤ 0 I = ∫ ∫ ydxdydz , với Ω :  x + y + z = 4 2 2 2 e/ ∫  z ≥ x + y 2 2 Ω x 2 + y 2 ≤ 1  f/ I = ∫ ∫( x + 2)dxdydz , với Ω :  x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 ∫ Ω z = 1 + x 2 + y 2  x = y 2 + z 2 + 1  g/ I = ∫ ∫2∫xdxdydz , với Ω :  x = 0  Ω y2 + z2 = 1   z = x 2 + y 2 h/ I = ∫ ∫ zdxdydz , với Ω :  ∫ Ω z + x = 2 I = ∫ ∫ ydxdydz , với Ω :  x + y + z = 4 z 2 2 2 i/ ∫  z ≥ x + y 2 2 Ω  y = 2 − x2  j/ I = ∫ ∫( ∫ + z )dxdydz , với Ω :  y = 1, z ≥ 0 y Ω z = 2x  x 2 + y 2 = 2x dxdydz , với Ω :  x + z = 4 k/ I = ∫ ∫3∫  Ω x − z = 4  x 2 + y 2 + z 2 = 4 dxdydz , với Ω :  x 2 + y 2 ≤ 1 l/ I = ∫ ∫2∫  Ω z ≥ 0  z = x 2 + y 2 m/ I = ∫ ∫−∫4dxdydz , với Ω :  z = 2 − x − y 2 2 Ω ydxdydz , với Ω :  x + y + z ≤ 2 y 2 2 2 n/ I = ∫ ∫2∫  Ω y ≤1 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 o/ I = ∫ ∫ zdxdydz , với Ω :  ∫ Ω z ≤ 0 Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT 6 Trang
  7. Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn z ≥ 1 p/ I = ∫ ∫( x + z )dxdydz , với Ω :  ∫ z ≤ 4 − x + y 2 2 Ω I = ∫ ∫( x 2 + y 2 + z 2 )dxdydz , với Ω : 1 ≤ x + y + z ≤ 4 2 2 2 q/ ∫  z ≤ x + y 2 2 Ω 0 ≤ x ≤ 1  r/ I = ∫ ∫( x + yz )dxdydz , với Ω : 0 ≤ y ≤ 1 ∫ Ω 1 ≤ z ≤ 4  x 2 + y 2 ≤ 2x  s/ I = ∫ ∫dxdydz , với Ω :  z ≥ 0 ∫ Ω z ≤ x 2 + y 2  Bài 5: Biểu diễn các miền D sau dưới dạng đơn giản, tính diện tích D và tính tích phân I = ∫ ∫f ( x, y )dxdy , với D a/ D là hình chữ nhật bị giới hạn bởi x = 2, x = 3, y = 4, y = 6 và f ( x, y ) = x + y b/ D bị giới hạn bởi y = 2 x, x = 0, y = 4 và f ( x, y ) = x c/ D bị giới hạn bởi x = 4 − y 2 , x = 0,−1 ≤ y ≤ 1 và f ( x, y ) = xy 2 d/ D là hình thang bị giới hạn bởi x = 0, y = 0, x + y = 2, x + y = 1 và f ( x, y ) = x e/ D là tam giác bị giới hạn bởi x = 0, y = 0, x + y = 3 và f ( x, y ) = x( x − 1)e xy f/ D là hình tròn x 2 + y 2 = 4 nằm trong phần tư thứ nhất, và f ( x, y ) = x 2 + 2 y g/ D là miền | x | + | y |≤ 1 và f ( x, y ) = x 1 h/ D là miền nằm phía trên đường y = ; nằm trong vòng tròn x 2 + y 2 = 1 và 2 f ( x, y ) = x y 2 + 1 i/ D bị giới hạn bởi y = 5 + x, y = − x + 7, x = 10 và f ( x, y ) = 3 x − 5 j/ D là hình tròn x 2 + y 2 ≤ 16 nằm trong phần tư thứ hai, và f ( x, y ) = x k/ D là hình chữ nhật [−2,2] × [0,1] và f ( x, y ) = x − y l/ D là hình chữ nhật [0,4] × [1,3] và f ( x, y ) = xy Bài 6: Hãy tính tích phân I = ∫ ∫ ydxdy trên miền D cho bởi các hình vẽ sau x2 D a/ b/ c/ d/ Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT 7 Trang
  8. Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn e/ f/ Bài 7: Tính các tích phân sau 1 x 1 0 a/ I = ∫ ∫ dydx b/ I = ∫ ∫ dydx 0 0 0 x 3 1 x 2 4− x 2 c/ I = ∫ ∫ (1 + y )dydx d/ I = ∫ ∫ (4 − x 6 2 3/ 2 ) dxdy 0 x 0 0 4 y π /2 y3 cos y e/ I = ∫ ∫ x3 dxdy f/ I = ∫∫ 0 0 ydxdy 2 1 Bài 8: Tính thể tích của các khối Ω sau x y a/ Ω có đáy là (0,0), (a,0), (0, b) , với a, b > 0 và nằm dưới mặt phẳng z = 2 −  +  a b b/ Ω nằm phía trên mặt phẳng Oxy và dưới mặt z = 1 − x 2 − 2 y 2 c/ Ω nằm trong hình trụ x 2 + 2 y 2 = 8 , trên z = y − 4 và dưới z = 8 − x d/ Ω là tứ diện nằm trong góc x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 , tạo ra bởi các mặt tọa độ và mặt 3 x + 4 y + 2 z = 12 e/ Ω là tứ diện có các đỉnh (0,0,0), (3,0,0), (2,1,0), (3,0,5) f/ Ω là nửa mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 , z ≥ 0, a ≥ 0 g/ Ω là tứ diện với các mặt x = 0, z = 0, x + y = 5,8 x − 12 y + 15 z = 0 Bài 9: Tính tích phân I = ∫ ∫ xdydz + ydzdx + zdxdy , với S là phía trên của phần mặt phẳng S x + z − 1 = 0 , nằm giữa 2 mặt phẳng y = 0, y = 4 và thuộc góc phần tám thứ nhất. Bài 10: Tính tích phân I = ∫ ∫ dxdy + ydxdz − xzdydz , với 2 S là phía ngoài ellipsoid S 4 x 2 + y 2 + 4 z 2 = 4 và thuộc góc phần tám thứ nhất. Bài 11: Tính tích phân I = ∫ ∫ xydS , với S là mặt z = 2 x,0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 2 S Bài 12: Tính tích phân I = ∫ ∫ xy + y + yz )dS , với S là mặt x + y + z = 1,0 ≤ y ≤ 1,0 ≤ z ≤ 2 2 ( S CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG – TÍCH PHÂN MẶT Bài 1: Tính các tích phân đường (trên mặt phẳng Oxy ) Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT 8 Trang
  9. Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn I = ∫ y 2 dx − xdy a/ , với (C ) : y 2 = 4 x từ (0,0) đến (1,2) (C ) b/ I = ∫ x y dx + xy dy , với (C ) là đường x = 1,2 ≤ y ≤ 4 2 2 2 (C ) x y c/ I = ∫ dx + 2 dy , với (C ) là 1 vòng tròn bán kính 1, từ (1,0) đến (0,1) . (C ) x +y 2 2 x +y 2 4 d/ I = ∫ − ydx + xdy , với (C ) là y 2 = 4 x từ (1,2) đến (0,0) (C ) e/ I = ∫ (3x − 2 y )dx , với (C ) là y = 8 x − 2 x 2 từ (4,0) đến (0,0) (C ) f/ I = ∫ xydx , với (C ) là đường thẳng nối (0,1) tới (1,0) (C ) g/ I = ∫ ( x − y )dx + xdy , với (C ) là vòng tròn x 2 + y 2 = 4 , từ (0,2) đến (2,0) 2 2 (C ) Bài 2: Tính các tích phân sau a/ I = ∫ x y dx + xy dy , với (C ) là đường cong kín, ngược chiều kim đồng hồ, tạo ra bởi 2 2 2 (C ) đường x = 1 và parabol x = y 2 b/ I = ∫ − xdy + ydx , với (C ) là tam giác tạo bởi 3 đỉnh (0,0), (0, a ), (b,0) ngược chiều kim (C ) đồng hồ. c/ I = ∫ xdy , với (C ) là ellipse 2 + 2 = 1 thuận chiều kim đồng hồ. x2 y 2 (C ) a b d/ I = ∫ ydx , với (C ) (C ) là đường cong tạo bởi x 2 + y 2 = 1, y = 0 trong nửa mặt phẳng trên theo chiều ngược chiều kim đồng hồ. e/ I = ∫ ( x − y )dx + 2 xy dy , với (C ) là đường ngược chiều kim đồng hồ, xung quanh 3 2 2 (C ) hình vuông tạo bởi x = 0, x = 2, y = 0, y = 2 f/ I = ∫ xy dx , với (C ) là đường tròn x 2 + y 2 = a 2 thuận chiều kim đồng hồ. 2 (C ) g/ I = ∫ x y dx + x ydy , với (C ) là hình vuông tạo bởi x = 0, x = 1, y = 0, y = 1 ngược chiều 2 2 3 (C ) kim đồng hồ. Bài 3: Chứng minh các tích phân sau không phụ thuộc vào đường cong lấy tích phân, và tính các tích phân a/ I = ∫ (e + y )dx + ( x + 2 y )dy , với (C ) là đường cong bất kỳ khả vi từng khúc, nối (0,1) x (C ) đến (2,4). b/ I = ∫ (2 xy + 1)dx + ( 2 x y )dy , với (C ) là đường cong bất kỳ nối từ (−1,2) đến (2,3) . 2 2 (C ) I = ∫ ( y + 2 xe y )dx + ( x + x 2 e y )dy  x(t ) = t 1 / 2 c/ , với (C ) là đường  , nối từ (1,0) đến (2, ln 2) . (C )  y (t ) = ln t Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT 9 Trang
  10. Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn  1 2 d/ I = ∫  x 2 + y dx + (2 xy) dy , với (C ) là đường cong bất kỳ nối từ (1,4) đến (3,2) trong (C )   miền x, y > 0 e/ I = ∫ ( x cos( x + y ) + sin( x + y)) dx + ( x cos( x + y)) dy , với (C ) (C ) là đường cong bất kỳ, nối từ π π  (0,0) đến  ,  6 3 I = ∫ (2 xy )dx + ( x 2 + 1) dy f/ , với (C ) là đường cong tạo bởi bốn cạnh của hình vuông (C ) x = 0, x = 2, y = 0, y = 2 g/ I = ∫ (2 xy )dx + ( x + 1) dy , với (C ) là đường cong bất kỳ, nối từ (0,1) đến (2,3) 2 (C ) h/ I = ∫ (4 x − 4 y ) dx + (ln y − 8 xy )dy , với (C ) là đường cong bất kỳ, nối từ (−1,1) đến 2 2 (C ) (4, e) trong miền y > 0 Bài 4: Hãy tính tích phân đường bằng định lý Green a/ I = ∫ ydx + xdy , với (C ) là đường cong kín bao quanh miền D : 0 ≤ x ≤ 1  (C ) 0 ≤ y ≤ 1 b/ I = ∫ e cos ydx + e sin ydy , với (C ) là tam giác có 3 đỉnh (0,0), (0,1), (1,0) x x (C ) c/ I = ∫ ydx , với (C ) (C ) là đường cong kín bao quanh miền D là phần hình tròn nằm trong góc phần tư thứ nhất. d/ I = ∫ xydx + ( x + y )dy , với (C ) là đường cong kín, bao quanh miền D là hình vuông 3/ 2 3/ 2 (C ) [0,1] × [0,1] e/ I = ∫ y cos xdx + x sin ydy , với (C ) là biên của tam giác có 3 đỉnh (0,0),  π ,0 ,  0, π  .    (C ) 2   2 f/ Tính tích phân I trong câu b/ với (C ) là biên của tam giác có 3 đỉnh (0,0), (1,1), (1,0) g/ Tính tích phân I trong câu b/ với (C ) là đường cong kín bao quanh miền D : [0,2] × [0,1] . Bài 5: Chứng minh rằng với miền D thỏa định lý Green thì ta có thể tính diện tích D bằng các công thức 1 ∫ xdy (C ) , − ∫ ydx (C ) , ∫ − ydx + xdy 2 (C ) với (C ) là đường cong kín bao quanh miền D . Sau đó áp dụng để tính các diện tích sau a/ Tính diện tích hình tam giác D có các đỉnh (0,0), (5,2), (−3,8) b/ Diện tích tứ giác với các đỉnh (0,0), (2,1), (−1,3), (4,4) . c/ Diện tích tam giác với 3 đỉnh (a1 , b1 ), (a 2 , b2 ), (a3 , b3 ) , với giả thiết 3 điểm này không thẳng hàng. Bài 6: Cho Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT 10 Trang
  11. Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn −y x P ( x, y ) = và Q( x, y ) = x + y2 2 x + y2 2 ∂Q ∂P a/ Chứng minh rằng = ∂x ∂y  ∂Q ∂P  b/ Chứng minh rằng ∫ Pdx + Qdy ≠ ∫ ∫ ∂x − ∂y dxdy , (C )    D   với (C ) là đường cong kín bao quanh D : x 2 + y 2 ≤ 1 c/ Giải thích vì sao định lý Green không thỏa ở câu b/ Bài 7: Tính các tích phân đường sau x 2 + y 2 = 2x I= ∫ xydx + y dy 2 a/ , với (C ) là nửa đường tròn  ngược chiều kim đồng hồ. (C ) x ≥ 1 b/ I = ∫ e −( x 2 + y2 ) [( x + 2 y)dx + ( x 2 ] − y )dy , với (C ) là đường tròn x 2 + y 2 = 4 theo chiều (C ) dương lượng giác. ( x − y )dx ( x + y )dy c/ I = ∫ (C ) x2 + y2 + 2 x + y 2 , trong đó TH1: (C ) là đường tròn x 2 + y 2 = a 2 theo chiều dương lượng giác TH2: (C ) là đường cong tùy ý không bao quanh gốc tọa độ O , ngược chiều kim đồng hồ. ( 3, 4 ) d/ I = ∫ (e + y )dx + ( x − y 3 )dy x (1, −1) e/ I = ∫ ( x + y )dx + 2 xdy , với (C ) là đường ellipse x 2 + 4 y 2 = 1 , phần y ≥ 0 , theo chiều 2 1 (C ) 4 kim đồng hồ. f/ I = ∫ ( xy + 2)dx + y xdy , với (C ) là chu vi tam giác OAB , trong đó O(0,0), A(1,1), B(0,2) 2 (C ) ngược chiều kim đồng hồ. g/ I = ∫ xydx + 2 y dy , với (C ) là 1 / 2 đường tròn x 2 + y 2 = 4 cùng chiều kim đồng hồ. 2 (C ) h/ I = ∫ ( x − y )dx + 2 xydy , với (C ) là 1 / 2 đường tròn x 2 + y 2 = 4 x , y ≥ 0 ngược chiều 2 2 (C ) kim đồng hồ ( x + 2 y )dx ( y − 3 x)dy i/ I = ∫ (C ) x2 + y2 + 2 x + y 2 , với (C ) là đường tròn x 2 + y 2 = 9 ngược chiều kim đồng hồ 2x + 3y x − 5y j/ I = ∫ (C ) x + 4y 2 2 dx + 2 dy x + 4 y 2 , với (C ) là phần tư ellipse x 2 + 4 y 2 = 1 ở góc phần tư thứ nhất, ngược chiều kim đồng hồ. k/ I = ∫ e −x −y [(2 xy + 1)dx + (3 y 2 − x 2 )dy] , với (C ) là đường tròn x 2 + y 2 = 1 cùng chiều kim 2 2 (C ) đồng hồ. Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT 11 Trang
  12. Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn I = ∫ xydx + (2 x + 3 y )dy l/ , với (C ) là chu tuyến (biên của chu vi) dương của miền (C )  y = x2 D: y = 2 − x I = ∫ ( x 3 + 2 y )dx + (e y + 2 x)dy m/ , với (C ) là đường cong tùy ý, nối từ A(1,1) đến B(3,2) (C ) ( 3, 2 ) xdx + ydy n/ I = ∫ (1,1) x2 + y2 theo đường cong tùy ý không chứa gốc O . o/ I = ∫ ( xy + 1)dx + ( x − y )dy , với (C ) là nửa đường tròn x 2 + y 2 = 4 y , y ≥ 1 ngược 2 2 2 (C ) chiều kim đồng hồ. p/ I = ∫ 2 xdx + ( y + z )dy + zdz , trong đó (C ) TH1: (C ) là đoạn thẳng nối từ A(2,1,−1) đến B (3,3,2) (chiều từ A → B ) TH2: (C ) là giao của x 2 + y 2 = 1 và z = 2 − x 2 + y 2 theo chiều kim đồng hồ, nhìn từ hướng dương Oz . q/ I = ∫ xydx + xzdy + yzdz , với (C ) là giao của y = x 2 và z = x từ (0,0,0) đến (1,1,1) . (C ) Bài 8: Cho P( x, y ) = (1 + x + y )e − y và Q( x, y ) = (1 − x − y )e − y a/ Tìm h = h(x) , với h(0) = 1 để I= ∫ h( x) P( x, y)dx + h( x)Q( x, y)dy (C ) không phụ thuộc vào đường đi. b/ Với h(x) ở câu a/ hãy tính I , với (C ) là 1 / 2 đường tròn x 2 + y 2 = 9 bên phải trục tung, ngược chiều kim đồng hồ. Bài 9: Tìm hàm h( x 2 − y 2 ) , với h(1) = 1 để tích phân sau không phụ thuộc vào đường đi I= ∫ h( x 2 [ − y 2 ) ( x 3 + xy 2 )dy − ( x 2 y + y 2 ) dx ] (C ) Bài 9: Tính các tích phân mặt (loại 1) sau a/ I = ∫ ∫ x + 2 z )dS , với (S ) là phần mặt phẳng x + y + z = 1 ở góc phần 8 thứ nhất. ( S b/ I = ∫ ∫ , với (S ) là phần mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 4 nằm trên hình nón z = x 2 + y 2 zdS S c/ I = ∫ ∫ x + y )dS , với (S ) là phần mặt nón z = x 2 + y 2 nằm trong hình trụ x 2 + y 2 = 2 x ( S d/ I = ∫ ∫ , với (S ) là phần mặt paraboloic z = x 2 + y 2 nằm trong hình trụ x 2 + y 2 = 4 ở dS S góc phần 8 thứ nhất. z = 0 e/ I = ∫ ∫ dS , với (S ) là phần mặt trụ x 2 + y 2 = 4 nằm giữa 2 mặt phẳng  x2 S z =1 Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT 12 Trang
  13. Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn y y =1 f/ I = ∫ ∫ 2 dS , với (S ) là phần mặt z = x 2 + y 2 giới hạn bởi  z  y = 1+ 1− x 2 S g/ I = ∫ ∫ , với (S ) là phần mặt nón z = x 2 + y 2 nằm dưới mặt phẳng z = 2 zdS S x h/ I = ∫ ∫ 2 + y 2 dS , với (S ) là phần 8 mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 trong góc x ≤ 0, y ≤ 0, z ≤ 0 x S i/ I = ∫ ∫ , với (S ) là phần mặt trụ x 2 + y 2 = 1 nằm giữa 2 mặt phẳng z = 0, z = 4 xdS S j/ I = ∫ ∫ , với (S ) là phần mặt trụ x 2 + z 2 = 4 z bị cắt bởi mặt nón z = x 2 + y 2 zdS S Bài 10: Tính các tích phân mặt (loại 2) sau a/ I = ∫ ∫2 x + y )dydz + (3z + x ) dxdy , với (S ) là phần của mặt z = x 2 + y 2 nằm trong hình 2 2 ( S trụ x 2 + y 2 = 1 , phía dưới nhìn từ hướng dương Oz . z = x 2 + y 2 b/ I = ∫ ∫ , với (S ) là mặt phía dưới  z = 0 xdydz  S z = 6  c/ I = ∫ ∫ x + 2 y )dydz + ( y + z )dxdz + (2 x − z )dxdy , với (S ) là phần mặt nón z = x 2 + y 2 nằm ( S trong hình trụ x 2 + y 2 = 4 , phía dưới. d/ I = ∫ ∫ x + z )dxdy , với (S ) là biên của vật thể bị giới hạn bởi z = x 2 + y 2 , z = 4 , phía ( S ngoài. e/ I = ∫ ∫ x + 2 y )dydz + ( y + 2 z )dxdz + ( z + 2 x)dxdy , với (S ) là phần mặt nón z = x 2 + y 2 bị ( S cắt bởi mặt phẳng z = 2 , phía dưới, nhìn từ hướng dương Oz . f/ I = ∫ ∫ xdydz + ydxdz + ( z 2 + 1)dxdy , với (S ) là nửa trên mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 2 x (phần S z ≥ 0 ), phía trong. g/ I = ∫ ∫xdydz + ydxdz + ( z + 1)dxdy , với (S ) là phần mặt paraboloic z = x 2 + y 2 nằm dưới S mặt phẳng x + z = 2 , phía dưới, nhìn từ hướng dương Oz . h/ I = ∫ ∫ x + z )dydz + 2 ydxdz + z dxdy , với (S ) là phần mặt trụ x 2 + y 2 = 4 nằm giữa 2 mặt 2 ( S phẳng z = 0, z = 1 , phía ngoài. i/ I = ∫ ∫ z + x + 2)dxdy , với (S ) là phần hình cầu x 2 + y 2 + z 2 = 1 ở góc phần 8 thứ nhất, ( S phía trong. j/ I = ∫ ∫ x + 2 y )dydz + ( y + 2 z )dxdz + z dxdy , với (S ) là phần mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 4 nằm 2 ( S trên mặt nón z = x 2 + y 2 , phía ngoài. Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT 13 Trang
  14. Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn I = ∫ 2 ydx + 3 xdy + xdz k/ , với (C ) là giao của x 2 + y 2 = 2 x và mặt phẳng x + z = 2 theo (C ) chiều ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ hướng dương Oz . l/ I = ∫ ( y − z )dx + ( z − x )dy + ( x − y )dz , trong đó 2 2 2 2 2 2 (C ) TH1: (C ) là giao giữa paraboloic z = x 2 + y 2 và hình trụ x 2 + y 2 = 1 chiều ngược chiều kim đồng hồ, nhìn từ hướng dương Oz TH2: (C ) là giao của x 2 + y 2 + z 2 = 4 và x + y + z = 1 , chiều ngược chiều kim đồng hồ, nhìn từ hướng dương Oz . m/ I = ∫ ∫2 x + y )dydz + ( y + x ) dxdz + ( z + y )dxdy , với (S ) là phần mặt phẳng x + y + z = 2 2 2 ( S ở góc phần 8 thứ nhất, phía dưới nhìn từ hướng dương Oz . CHƯƠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài 1: giải các phương trình vi phân cấp 1 sau a/ y '+2 y = 4 x b/ y '+ y = cos x  1 − 2x  d/ y '+ y = 1 2 c/ y '+2 xy = xe − x 2  x  y e/ xy'+ y − e x = 0, y (a ) = b f/ xy'− = x, y (1) = 0 x +1 y g/ (1 + x 2 ) y '−2 xy = (1 + x 2 ) 2 h/ y ' = 2x 3y −1 i/ y ' = j/ y '+2e x y = e x x Bài 2: giải các phương trình vi phân sau x2 a/ y ' = 2 b/ x' = e x sin t với x = x(t ) y c/ y ' = x 2 y 2 d/ y ' = 1 − y 2 với y = y (x) e/ (1 + x) ydx + (1 − y ) xdy = 0 f/ y ' = cos( x − y ) g/ ( x 2 − yx 2 ) y '+ y 2 + xy 2 = 0 h/ y ' cos 2 y − sin y = 0 i/ y ' = y 2 (1 − y ) với y = y (x) j/ y '+ sin( x + y ) = sin( x − y ) Bài 3: giải các phương trình a/ (2 x 3 − xy 2 ) dx + (2 y 3 − x 2 y )dy = 0 xdy  y  b/ = 2 x +y − 1dx  x +y 2 2  2  c/ e dx + ( xe − 2 y )dy = 0 y y xdx + (2 x + y )dy d/ =0 ( x + y) 2 e/ ( x + y + 1)dx + ( x − y 2 + 3)dy = 0 Bài 4: Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT 14 Trang
  15. Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn Khi gặp phương trình dạng y '+ a ( x) y = b( x) y α ta có thể đặt z = y 1−α Lúc này, hãy chứng minh z thỏa z '+(1 − α )a ( x) z = (1 − α )b( x) Tìm được z ta sẽ tìm được y. Dùng lý luận trên để giải các phương trình sau y y a/ y '− = 5x 2 y 5 b/ y '+ + y2 = 0 2x x +1 c/ y '+2 xy = 2 x 3 y 3 d/ xy'+ y = y 2 ln x e/ y '− ytgx + y 2 cos x = 0 Bài 5:  y y y = ux . Hãy chứng Khi gặp phương trình dạng y' = f   ta đặt u= , khi đó  x x minh rằng dx du = x f (u ) − u Áp dụng để giải các phương trình sau a/ ( y − x)dx + ( y + x)dy = 0 b/ xyy'+ x 2 − 2 y 2 = 0 x y c/ y ' = + d/ (3 y 2 + 3 xy + x 2 )dx = ( x 2 + 2 xy )dy y x e/ xdy − ( y − x 2 + y 2 )dx = 0 f/ (3x 2 + y 2 ) y + ( y 2 − x 2 ) xy' = 0 y 2 xy g/ xy' = y ln h/ y ' = x x − y2 2 y y i/ y ' = e x + x Bài 6: giải các phương trình vi phân sau a/ 2 y"+ y '− y = 2e x b/ y"−6 y '+9 y = 2 x 2 − x + 3 c/ y"+ a 2 y = e x d/ y"−3 y '+2 y = e − x e/ y"−7 y '+6 y = sin x f/ y"+ y '−2 y = 0 g/ y"−4 y ' = 0 h/ y"−9 y = 0 i/ y"+ y = 0 j/ y"+6 y '+13 y = 0 d 2x dx k/ 4 2 − 20 + 25 x = 0 l/ x"+ x '+7 x = 0 với x = x(t ) dt dt 2 d x m/ 2 + 4 x = 0 với x = x(t ) n/ y"+6 y '+12 y = 0 dt o/ y"+2 y '+5 y = 0 p/ y"−2 y '+ y = 0 Bài 7: giải các phương trình sau  y (0) = 6  y (0) = 0 a/ y"−4 y '+3 y = 0 với  b/ y"+4 y '+29 y = 0 với   y ' (0) = 10  y ' (0) = 15  y (0) = 2 c/ 4 y"+4 y '+ y = 0 với   y ' (0) = 0 Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT 15 Trang
  16. Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn Bài 8: giải các phương trình vi phân sau a/ y"−5 y '+6 y = 0 b/ y"−4 y '+4 y = 0 c/ y"+4 y = 0 d/ y ' ' '−4 y"+3 y ' = 0 e/ y ' ' ' '+ y = 0 f/ 4 y ' ' ' '+4 y"+ y = 0 g/ y ' ' ' ' '−6 y ' ' ' '+9 y ' ' ' = 0 h/ y"−3 y '+2 y = 2 x 3 − 30 i/ y"−2 y '+2 y = x 2 j/ y"+2 y '−3 y = 4e − x 9 x sin 2 x k/ y"−6 y '+9 y = 4e 3 x l/ y"+ y = −3 cos 2 x + 4 m/ y"+ y = x cos x n/ y"−2 y '+2 y = e sin x x o/ y ' ' '+ y"−2 y ' = x − e x p/ y"−4 y '+4 y = sin x cos 2 x q/ y"+4 y '+4 y = e −2 x ln x r/ y"− y ' = x s/ y"+ y = xe x + 3e − x Bài 9: giải các phương trình vi phân sau (bằng cách đặt x = e t ) a/ x 2 y"+4 xy '+12 y = ln x b/ x 2 y"−5 xy '+8 y = 0 c/ x 3 y ' ' '−6 x 2 y"+18 xy '−24 y = 0 d/ ( x + 2) 2 y"+3( x + 2) y '−3 y = 0 e/ x 2 y"−3xy '+5 y = 3 x 2 f/ x 2 y"−2 xy '+2 y = x 2 g/ x 2 y"+4 xy '+12 y = ln x Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT 16 Trang
Đồng bộ tài khoản