Bài tập giải tích hàm ôn thi cao học

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:21

2
1.085
lượt xem
602
download

Bài tập giải tích hàm ôn thi cao học

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài tập giải tích hàm ôn thi cao học là tài liệu mang tính chất tham khảo, giúp ích cho các bạn tự học, ôn thi. Tác giả hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn. Hầu hết chúng là những bài đơn gian mà mỗi người có thể dễ dàng giải được.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài tập giải tích hàm ôn thi cao học

  1. TRƯỜNG.............................. Bài tập giải tích hàm ôn thi cao học
  2. MathVn.Com - Bài t p Gi i tích hàm qua các kỳ thi BÀI T P GI I TÍCH HÀM QUA CÁC KỲ THI Tr n M u Quý - K.16 - http://mathvn.com T p tài li u nh này ch là s tuy n ch n các bài t p v không gian đ nh chu n thư ng xuyên xu t hi n trong các đ thi c a PGS.TS. Nguy n Hoàng. H u h t chúng là nh ng bài đơn gi n mà m i h c viên d dàng gi i đư c. 1 Toán t tuy n tính liên t c Bài 1. Cho X, Y là hai không gian tuy n tính đ nh chu n và A : X −→ Y là m t toán t c ng tính, t c A(x + y) = Ax + Ay , v i m i x, y ∈ X . Ch ng minh r ng n u A liên t c t i 0 thì A liên t c trên X . Gi i. Trư c h t ta có: • A(0) = A(0 + 0) = A(0) + A(0) nên A(0) = 0. • 0 = A(0) = A(x − x) = A(x + (−x)) = A(x) + A(−x) Suy ra A(−x) = −Ax v i m i x ∈ X . • A(x − y) = A(x + (−y)) = Ax + A(−y) = Ax − Ay , v i m i x, y ∈ X . L y b t kì x ∈ X . Gi s xn −→ x. Khi đó xn − x −→ 0. Do A liên t c t i 0 nên A(xn − x) −→ A(0) = 0, hay A(xn ) − Ax −→ 0. Suy ra A(xn ) −→ Ax. V y A liên t c trên X . Bài 2. Cho X, Y là hai không gian tuy n tính đ nh chu n th c và A : X −→ Y là m t toán t c ng tính 1 . Ch ng minh r ng n u sup ||Ax|| < +∞ 2 thì A là toán t tuy n ||x||≤1 tính liên t c trên X . Gi i. Ta d dàng ch ng minh đư c r ng A(qx) = qAx, v i m i q ∈ Q, x ∈ X . Ti p theo ta ch ng minh A liên t c trên X . Cách 1 ( Gián ti p ) Gi s A không liên t c t i 0. Khi đó: 1 ∃ε0 > 0, ∀n ∈ N∗ , ∃yn ∈ X : ||yn || < và ||Ayn || ≥ ε0 n2 Đ t xn = nyn thì ||xn || = n||yn || < n n2 = 1 n ≤ 1, ∀n ∈ N∗ . Tuy nhiên ||A(xn )|| = ||A(nyn )|| = n||A(yn )|| ≥ nε0 . Suy ra sup ||Ax|| ≥ sup ||Axn || ≥ sup nε0 = +∞. Đi u này mâu thu n v i gi thi t. ||x||≤1 n∈N∗ n∈N∗ Do đó A liên t c t i 0. Theo Bài 1 thì A liên t c trên X . 1 N u X là không gian đ nh chu n ph c thì ph i gi s A tuy n tính 2 T ng quát, A bi n m i t p b ch n trong X thành m t t p b ch n trong Y 1
  3. MathVn.Com - Bài t p Gi i tích hàm qua các kỳ thi Cách 2 ( Tr c ti p 3 ) Đ t M = sup ||Ax||. L y b t kì x ∈ X . Gi s xn −→ x. ||x||≤1 V i m i ε > 0, ch n K ∈ N sao cho M < ε. K Vì Kxn −→ Kx nên có n0 ∈ N sao cho ||Kxn − Kx|| < 1, ∀n ≥ n0 . Suy ra ||A(Kxn − Kx)|| ≤ M , hay K||A(xn ) − Ax|| ≤ M . Do đó ||A(xn ) − Ax|| ≤ M < ε, ∀n ≥ n0 . V y K A(xn ) −→ Ax. Cu i cùng, v i m i r ∈ R, l y dãy (rn ) ⊂ Q sao cho rn −→ r. Khi đó: A(rx) = A( lim rn x) = lim A(rn x) = lim (rn A(x)) = ( lim rn )Ax = rAx n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ V y A tuy n tính. Bài 3. Cho X, Y là hai không gian tuy n tính đ nh chu n th c và A : X −→ Y là m t toán t c ng tính 4 . Gi s m i dãy (xn ) trong X mà xn −→ 0 thì dãy (A(xn )) b ch n trong Y 5 . Ch ng minh r ng A tuy n tính liên t c trên X . Gi i. Tương t cách 1 c a Bài 2. (Dãy (xn ) đư c ch ra là d n v 0 nhưng dãy (A(xn )) không b ch n trong Y ). Bài 4. Kí hi u X = C[0,1] là không gian các hàm s liên t c trên [0, 1] v i chu n "max". Ánh x A : X −→ X xác đ nh b i Ax(t) = x(1) − tx(t), t ∈ [0, 1], x ∈ X . Ch ng minh A tuy n tính liên t c và tính ||A||. Gi i. D dàng ch ng minh đư c A tuy n tính, liên t c và ||A|| ≤ 2. V i m i n ∈ N∗ , đ t n −1 n u 0 ≤ t ≤ n+1 xn (t) = n 2(n + 1)t − 2n − 1 n u n+1 < t ≤ 1 Khi đó xn ∈ X và ||xn || = 1, v i m i n, và ta có: ||A|| = sup ||Ax|| ≥ ||A(xn )|| = max |A(xn )(t)| ||x||=1 t∈[0,1] n n n n ≥ A(xn )( ) = |xn (1) − xn ( )| = 1 + n+1 n+1 n+1 n+1 Cho n −→ ∞ ta đư c ||A|| ≥ 2. V y ||A|| = 2. Bài 5. Kí hi u X = {x ∈ C[0,1] |x(0) = 0} v i chu n "max". Ánh x A : X −→ X xác đ nh b i Ax(t) = x(1) − tx(t), t ∈ [0, 1], x ∈ X . Ch ng minh A tuy n tính liên t c và tính ||A||. Gi i. Tương t Bài 4 v i dãy hàm − n+1 t n n n u 0 ≤ t ≤ n+1 xn (t) = n 2(n + 1)t − 2n − 1 n u n+1 < t ≤ 1 3 Nguy n Em - K16 4 N u X là không gian đ nh chu n ph c thì ph i gi s A tuy n tính 5 T ng quát, A bi n m i dãy b ch n trong X thành m t dãy b ch n trong Y 2
  4. MathVn.Com - Bài t p Gi i tích hàm qua các kỳ thi Bài 6. Kí hi u X = {x ∈ C[0,1] |x(0) = x(1) = 0} v i chu n "max". Ch ng minh các ánh x A : X −→ X sau đây là tuy n tính liên t c và tính ||A||: a) Ax(t) = x(t) + x(1 − t), t ∈ [0, 1], x ∈ X . b) Ax(t) = x(t) − x(1 − t), t ∈ [0, 1], x ∈ X . c) Ax(t) = t2 x(t), t ∈ [0, 1], x ∈ X . Gi i. a) Rõ ràng A tuy n tính, liên t c và ||A|| ≤ 2. Xét hàm s 2t n u0≤t≤ 1 2 x0 (t) = 1 −2t + 2 n u 2 < t ≤ 1 Khi đó ||x0 || = 1 và ta có: 1 1 1 ||A|| = sup ||Ax|| ≥ ||A(x0 )|| = max |A(x0 )(t)| ≥ Ax0 ( ) = x0 ( ) + x0 ( ) = 2. ||x||=1 t∈[0,1] 2 2 2 V y ||A|| = 2. b) ||A|| = 2. Tương t a) v i hàm   3t  n u0≤t≤ 1 3 x0 (t) = −6t + 3 n u 1 < t < 3 3 2 n u 2 ≤t≤1   3t − 3 3 Khi đó ||x0 || = 1 và ta có: 1 1 2 ||A(x0 )|| = max |A(x0 )(t)| ≥ Ax0 ( ) = x0 ( ) − x0 ( ) = 1 − (−1) = 2. t∈[0,1] 3 3 3 c) Rõ ràng A tuy n tính, liên t c và ||A|| ≤ 1. V i m i n ∈ N∗ , đ t n+1 n n t n u 0 ≤ t ≤ n+1 xn (t) = n −(n + 1)t + n + 1 n u n+1 < t ≤ 1 Khi đó xn ∈ X và ||xn || = 1, v i m i n. Ta có: n n 2 n n2 ||A(xn )|| = max |A(xn )(t)| ≥ Axn ( )=( ) xn ( )= . t∈[0,1] n+1 n+1 n+1 (n + 1)2 Suy ra n2 ||A|| = sup ||Ax|| ≥ ||A(xn )|| = . ||x||=1 (n + 1)2 Cho n −→ ∞ ta đư c ||A|| ≥ 1. V y ||A|| = 1. 3
  5. MathVn.Com - Bài t p Gi i tích hàm qua các kỳ thi Bài 7. Kí hi u X = C[−1,1] . Ch ng minh phi m hàm tuy n tính f : X −→ R sau đây là liên t c và tính ||f ||: 0 1 f (x) = x(t)dt − x(t)dt. −1 0 Gi i. Rõ ràng f tuy n tính, liên t c và ||f || ≤ 2. V i m i n ∈ N∗ , đ t  1  1  n u −1 ≤ t ≤ − n 1 1 xn (t) = −nt n u − n < t < n  −1 n u 1 ≤ t ≤ 1  n Khi đó xn ∈ X và ||xn || = 1, v i m i n. Ta có: 1 ||f || = sup |f (x)| ≥ |f (xn )| = 2 − ||x||=1 n Cho n −→ ∞ ta đư c ||f || ≥ 2. V y ||f || = 2. Bài 8. Cho f : X −→ K là m t phi m hàm tuy n tính khác 0. a) Ch ng minh t n t i không gian con m t chi u E sao cho X = Kerf ⊕ E . b) Ch ng minh r ng Kerf đóng ho c Kerf trù m t kh p nơi trong X . c) Đ t F = f (B (0X , 1)). Ch ng minh r ng F b ch n ho c F = K . Gi i. a) Do f = 0 nên có x0 = 0 sao cho f (x0 ) = 0. Đ t E = {x0 } thì E là không gian con 1 chi u c a X . Ta ch ng minh X = Kerf ⊕ E . V i m i x ∈ X , đ t y = x.f (x0 ) − x0 .f (x) thì f (y) = 0 nên y ∈ Kerf . Theo cách đ t trên thì 1 f (x) x= y+ x0 ∈ Kerf + E f (x0 ) f (x0 ) V y X = Kerf + E . M t khác, n u y ∈ Kerf ∩ E thì f (y) = 0 và y = k.x0 . Suy ra 0 = f (y) = f (kx0 ) = kf (x0 ) ⇒ k = 0( do f (x0 ) = 0) ⇒ y = 0 V y Kerf ∩ E = {0}. Do đó: X = Kerf ⊕ E . b) N u f liên t c trên X thì Kerf = f −1 ({0}) là t p đóng. Gi s f không liên t c trên X . Ta ch ng minh Kerf = X . Do f tuy n tính nên f không liên t c t i 0, t c t n t i ε0 > 0 sao cho 1 ∀n ∈ N, ∃xn ∈ X : ||xn || < và |f (xn )| ≥ ε0 n 4
  6. MathVn.Com - Bài t p Gi i tích hàm qua các kỳ thi V i m i x ∈ X , đ t yn = − ff(xn ) .xn + x thì f (yn ) = 0 nên yn ∈ Kerf, ∀n ∈ N. Và (x) ta có: f (x) |f (x)| |f (x)| ||yn − x|| = || − .xn || = .||xn || ≤ −→ 0, n −→ ∞ f (xn ) |f (xn )| ε0 .n V y yn −→ x. Do đó X = Kerf . c) N u f liên t c trên X thì f bi n m i t p b ch n trong X thành m t t p b ch n trong K , do đó F b ch n. Gi s f không liên t c trên X . Ta ch ng minh F = f (B (0X , 1)) = K . L y b t kì y ∈ K . N u y = 0 thì có x = 0 ∈ B (0X , 1) sao cho f (x) = y . Xét y = 0. Do f không liên t c t i 0 nên có ε0 > 0 sao cho v i ε0 ε0 δ= , ∃x1 ∈ X : ||x1 || < và |f (x1 )| ≥ ε0 |y| |y| y |y| |y| ε0 Đ t x = f (x1 ) .x1 thì ||x|| = |f (x1 )| .||x1 || ≤ ε0 |y| = 1, t c x ∈ B (0X , 1) và f (x) = y . V y F = K. Bài 9. Cho X là m t không gian đ nh chu n và f ∈ X ∗ , a ∈ K 6 . Ch ng minh f liên t c trên X khi và ch khi f −1 (a) = {x ∈ X|f (x) = a} đóng trong X . Gi i. N u f liên t c thì hi n nhiên f −1 (a) là t p đóng. Ngư c l i, gi s f −1 (a) là t p đóng và f không liên t c t i 0. Khi đó có ε0 > 0 sao cho 1 ∀n ∈ N, ∃xn ∈ X : ||xn || < và |f (xn )| ≥ ε0 n Đ t xn a f (xn ) n ua=0 yn = xn x1 f (xn ) − f (x1 ) n ua=0 Khi đó yn ∈ f −1 (a), v i m i n. Tuy nhiên dãy (yn ) h i t v y ∈ f −1 (a) 7 . Đi u này / mâu thu n v i f −1 (a) là t p đóng. V y f liên t c trên X . Bài 10. Cho X là m t không gian đ nh chu n và f ∈ X ∗ , a là m t s th c b t kì. Ch ng minh f liên t c trên X khi và ch khi f −1 ([a, +∞)) = {x ∈ X|f (x) ≥ a} đóng trong X . Gi i. N u f liên t c thì hi n nhiên f −1 ([a, +∞)) là t p đóng trong X . x1 xn Ngư c l i, l p lu n tương t Bài 9 v i dãy yn = (a − 1) f (x1 ) + f (xn ) . Ta có f (yn ) = a nên yn ∈ f −1 ([a, +∞)), v i m i n. Tuy nhiên yn −→ y = (a − 1) f (x1 ) ∈ f −1 ([a, +∞)) (vì x1 / f (y) = a − 1 ∈ [a, +∞)). / 6 K = R ho c K = C 7 x1 y = 0 khi a = 0 , y = − f (x1 ) khi a = 0 5
  7. MathVn.Com - Bài t p Gi i tích hàm qua các kỳ thi Bài 11. Cho f : X −→ K là m t phi m hàm tuy n tính th a mãn sup |f (x) − f (y)| = r x,y∈B (0,1) Ch ng minh f ∈ X ∗ và tính ||f ||. Gi i. V i m i x ∈ B (0, 1) thì −x ∈ B (0, 1) nên: 2|f (x)| = |f (x) − f (−x)| ≤ sup |f (x) − f (y)| = r x,y∈B (0,1) r8 r ⇒ |f (x)| ≤ ⇒ ||f || = sup |f (x)| ≤ 2 x∈B (0,1) 2 M t khác, v i m i x, y ∈ B (0, 1) ta có: |f (x) − f (y)| = |f (x − y)| ≤ ||f ||||x − y|| ≤ ||f ||(||x|| + ||y||) ≤ 2||f || r r Suy ra r = sup |f (x) − f (y)| ≤ 2||f ||, do đó: 2 ≤ ||f ||. V y ||f || = 2 . x,y∈B (0,1) Bài 12. Cho f ∈ X ∗ và f = 0. Đ t α = inf {||x|||x ∈ X, f (x) = 1}. Ch ng minh 1 ||f || = α . Gi i. Đ t A = {x ∈ X|f (x) = 1}. V i m i x ∈ A ta có: 1 1 = f (x) ≤ ||f ||||x|| ⇒ ≤ ||x|| ||f || 1 1 Suy ra ||f || ≤ inf ||x|| = α. Do đó α ≤ ||f ||. x∈A x x M t khác, v i m i x ∈ X mà ||x|| = 1 và f (x) = 0 ta có f ( f (x) ) = 1 nên f (x) ∈ A. Do đó x ||x|| 1 1 α ≤ || || = ⇒ |f (x)| ≤ ||x|| = 9 f (x) |f (x)| α α 1 Do v y ||f || = sup |f (x)| ≤ α . ||x||=1 |f (a)| Bài 13. Cho f ∈ X ∗ và f = 0. Ch ng minh r ng v i m i a ∈ X ta có d(a, N ) = ||f || , trong đó N = Kerf . Gi i. 10 N u a ∈ N thì đ ng th c hi n nhiên đúng. Xét a ∈ N . / V i m i y ∈ N , ta có |f (a)| = |f (a) − f (y)| = |f (a − y)| ≤ ||f ||||a − y|| |f (a)| ⇒ ≤ d(a, N ) ||f || 8 T đây suy ra f liên t c 9 Khi f (x) = 0 thì b t đ ng th c này hi n nhiên đúng 10 Bài này có khá nhi u cách gi i, m t trong s đó n m trang 111 - sách Bài t p Gi i tích hàm c a Nguy n Xuân Liêm 6
  8. MathVn.Com - Bài t p Gi i tích hàm qua các kỳ thi f (a) V i m i x ∈ X mà ||x|| = 1 và f (x) = 0 , ta đ t y = a − f (x) .x. Khi đó f (y) = 0 nên y ∈ N . Do đó f (a) |f (a)| d(a, N ) ≤ ||a − y|| = || .x|| = (do ||x|| = 1) f (x) |f (x)| |f (a)| 11 |f (a)| |f (a)| Suy ra |f (x)| ≤ d(a,N ) . T đó ||f || ≤ d(a,N ) , hay d(a, N ) ≤ ||f || . Ta còn g p m t s bi n tư ng c a bài t p này như sau Bài 14. Cho f ∈ X ∗ và f = 0, đ t N = Kerf , x ∈ N . Gi s t n t i y ∈ N sao cho / d(x, N ) = ||x − y||. Ch ng minh r ng t n t i x0 ∈ X, ||x0 || = 1 sao cho ||f || = |f (x0 )|. Gi i. Theo Bài 13 thì |f (x)| 12 |f (x) − f (y)| ||x − y|| = d(x, N ) = = ||f || ||f || x−y Suy ra |f (x − y)| = ||f ||.||x − y||. Đ t x0 = ||x−y|| ta đư c |f (x0 )| = ||f ||. Bài 15. Cho X là không gian Hilbert, a ∈ X, a = 0. Khi đó v i m i x ∈ X ta có d(x, N ) = | ||a|| | , trong đó N = {a} ⊥ . x,a Gi i. Đây là h qu tr c ti p c a Bài 13. Tuy nhiên ta có th gi i m t cách ng n g n như sau. ∀y ∈ N , ta có: | x, a | = 13 | x − y, a | ≤ ||x − y||||a|| | x,a | | x,a | Suy ra ||a|| ≤ ||x − y||. Do đó ||a|| ≤ d(x, N ). x,a M t khác, n u đ t z = x − ||a||2 a thì z ∈ N vì z, a = 0. Do đó x, a | x, a | d(x, N ) ≤ ||x − z|| = || a|| = . ||a||2 ||a|| 2 Nguyên lý b ch n đ u Bài 16. Cho X, Y là hai không gian đ nh chu n, (Aα )α∈I là m t h các toán t tuy n tính liên t c t X vào Y . Ch ng minh các kh ng đ nh sau là tương đương14 a) ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ X, ∀α ∈ I, ||x|| < δ ⇒ ||Aα (x)|| < ε b) ∃N > 0 : ∀α ∈ I, ||Aα || ≤ N 11 Do x ∈ N và N đóng nên d(x.N ) > 0 / 12 Đ ý y ∈ Kerf 13 Đ ý y ∈ N nên y, a = 0 14 Như v y hai khái ni m đ ng liên t c đ u và b ch n đ u là tương đương 7
  9. MathVn.Com - Bài t p Gi i tích hàm qua các kỳ thi Gi i. a) ⇒ b) L y c đ nh ε0 > 0. Khi đó, t n t i δ0 > 0 sao cho ||x|| < δ0 ⇒ ||Aα (x)|| < ε0 Đ t δ = min(1, δ0 ) thì δ ≤ 1 và δ ≤ δ0 . Do đó ||Aα || = 15 sup ||Aα (x)|| ≤ ε0 ||x|| 0, đ t δ = N. Khi đó, n u ||x|| < δ thì ε Aα (x)|| ≤ ||Aα ||||x|| ≤ N ||x|| < N δ = N =ε N Bài 17. Cho X, Y là hai không gian đ nh chu n, (Aα )α∈I là m t h các toán t tuy n tính liên t c t X vào Y . Ch ng minh các kh ng đ nh sau là tương đương a) ∀x ∈ X, ∀y ∗ ∈ Y ∗ : sup |y ∗ (Aα x)| < +∞ α∈I b) ∀x ∈ X : sup ||Ax|| < +∞ α∈I Gi i. a) ⇒ b) Đ ý y ∗ (Aα x) = Aα x(y ∗ ). L y b t kì x ∈ X , theo gi thi t thì dãy (Aα x)α∈I 16 là m t dãy b ch n t ng đi m. Do Y ∗ Banach 17 nên dãy (Aα x)α∈I b ch n đ u, t c sup ||Ax|| < +∞. α∈I b) ⇒ a) Hi n nhiên. (B ch n đ u suy ra b ch n t ng đi m). Bài 18. Cho X là m t không gian Banach, Y là không gian đ nh chu n, và M là m t t p con c a L(X, Y ). Ch ng minh các kh ng đ nh sau là tương đương a) ∀x ∈ X, ∀y ∗ ∈ Y ∗ : sup |y ∗ (Ax)| < +∞ A∈M b) M là t p b ch n trong L(X, Y ) Gi i. b) ⇒ a) Hi n nhiên. a) ⇒ b) Theo Bài 17, t gi thi t ta suy ra sup ||Ax|| < +∞, ∀x ∈ X. A∈M Do X Banach nên theo nguyên lý b ch n đ u ta có sup ||A|| < +∞, nghĩa là M là A∈M t p b ch n trong L(X, Y ). Bài 19. Cho X, Y là hai không gian đ nh chu n, (Aα )α∈I là m t h các toán t tuy n tính liên t c t X vào Y . V i m i n ∈ N∗ , đ t Cn = {x ∈ X| sup ||Aα x)|| < n}. Ch ng α∈I minh n u sup ||Aα || = +∞ thì int(Cn ) = ∅, ∀n ∈ N∗ . α∈I 15 Có th ch ng minh đư c r ng n u δ ≤ 1 thì ||A|| = sup ||A(x)|| ||x||
  10. MathVn.Com - Bài t p Gi i tích hàm qua các kỳ thi Gi i. Gi s có n0 ∈ N∗ sao cho int(Cn0 ) = ∅. Khi đó có hình c u m B(x0 , r) ⊂ Cn0 . rx ∀x ∈ X, x = 0, ta có x0 + 2||x|| ∈ B(x0 , r). Suy ra rx ||Aα (x0 + )|| < n0 2||x|| rx ⇒ ||Aα ( )|| < n0 + ||Aα (x0 )|| < 2n0 2||x|| 4n0 4n0 ⇒ ||Aα (x)|| < ||x|| ⇒ ||Aα || ≤ r r Do đó sup ||Aα || < +∞. Đi u này mâu thu n v i gi thi t. V y int(Cn ) = ∅, ∀n ∈ α∈I N∗ . Bài 20. Cho X, Y là hai không gian đ nh chu n và (Aα )α∈I ⊂ L(X, Y ). Đ t A = {x ∈ X| sup ||Aα x|| < 1}. Ch ng minh r ng α∈I a) N u int(A) = ∅ thì sup ||Aα || < +∞ (t c (Aα )α∈I b ch n đ u). α∈I b) N u int(A) = ∅ thì 0 ∈ int(A). Gi i. a) Hoàn toàn tương t Bài 19. b) 18 Theo câu a) ta có K = sup ||Aα || < +∞. α∈I 1 Gi s 0 ∈ int(A), khi đó có x ∈ B(0, 2K ) và x ∈ A. Suy ra / / ∃α ∈ I : ||Aα (x)|| ≥ 1 Do đó 1 1 1 ≤ ||Aα (x)|| ≤ ||Aα ||||x|| ≤ K||x|| < K = 2K 2 Đi u này mâu thu n. V y 0 ∈ int(A). Bài 21. Cho X là m t không gian Banach, F là m t t p đóng, h p th 19 ch a trong X . Ch ng minh int(F ) = ∅. Gi i. Do F h p th nên v i m i x ∈ X , ta có th ch n nx ∈ N sao cho x ∈ nx F . Suy ra X= nx F. x∈X Đ ý r ng {nx |x ∈ X} ⊂ N nên h p trên là đ m đư c. Do X là không gian Banach nên nó thu c ph m trù II, vì v y t n t i n0 sao cho int(n0 F ) = ∅. Do F đóng nên n0 F đóng, suy ra int(n0 F ) = ∅, t c có hình c u m B(x0 , r) ⊂ n0 F, r > 0. x r T đây ta có B( n0 , n0 ) ⊂ F . Vì v y int(F ) = ∅. 0 18 Đ u Anh Hùng - K16 19 T p F ⊂ X đư c g i là h p th n u v i m i x ∈ X, t n t i λ > 0 sao cho v i m i α ∈ K, |α| ≥ λ thì x ∈ αF 9
  11. MathVn.Com - Bài t p Gi i tích hàm qua các kỳ thi 3 Nguyên lý ánh x m - Đ nh lí đ th đóng Bài 22. Cho X là m t không gian Banach, f là m t phi m hàm tuy n tính lên t c khác 0. Ch ng minh f là ánh x m . Gi i. Theo nguyên lý ánh x m , ta ch c n ch ng minh f toàn ánh là đ . Do f = 0 nên có x0 ∈ X sao cho f (x0 ) = 0. r r ∀r ∈ K , đ t x = f (x0 ) .x0 thì f (x) = f (x0 ) .f (x0 ) = r. V y f là toàn ánh. Bài 23. Gi s ||.||1 và ||.||2 là hai chu n trên X sao cho v i m i chu n đó X là không gian Banach và ||.||1 ≤ K.||.||2 , v i K là m t s dương. Ch ng minh hai chu n này tương đương. 20 Gi i. Do ||.||1 ≤ K.||.||2 nên id : (X, ||.||1 ) −→ (X, ||.||2 ) liên t c trên X . M t khác, id là song ánh. Theo h qu c a nguyên lý ánh x m thì id là m t phép đ ng phôi. Do đó hai chu n này tương đương. 1 Bài 24. Kí hi u X = C[0,1] là không gian g m các hàm s kh vi liên t c trên [0, 1]. V i m i x ∈ X , ta đ t 1 ||x||1 = max |x (t)| + |x(0)|, ||x||2 = ( (|x(t)|2 + |x (t)|2 )dt)1/2 t∈[0,1] 0 Ch ng minh (X, ||.||1 ) là m t không gian Banach và hai chu n đã cho không tương đương. Suy ra (X, ||.||2 ) không ph i là m t không gian Banach. Gi i. Ta d dàng ki m tra đư c (X, ||.||1 ) là m t không gian Banach. tn V i m i n ∈ N∗ , đ t xn (t) = √n , t ∈ [0; 1] thì xn ∈ X . Và ta có √ √ ||xn ||1 = max | ntn−1 | + |0| = n −→ ∞ khi n → ∞. t∈[0;1] Tuy nhiên 1 t2n 1 n 1 ||xn ||2 = ( ( + nt2n−2 )dt)1/2 = + −→ √ khi n → ∞. n n(2n + 1) 2n − 1 2 0 V y dãy (xn )n b ch n trong (X, ||.||2 ) nhưng không b ch n trong (X, ||.||1 ). Do đó hai chu n này không tương đương. Ti p theo, áp d ng công th c s gia h u h n ta ch ng minh đư c √ ∀x ∈ X, ||x||2 ≤ 2 ||x||1 . S d ng Bài 23 ta suy ra đư c (X, ||.||2 ) không ph i là m t không gian Banach. 20 Ta hay dùng m t k t qu tương đương v i bài t p này là: N u hai chu n đó không tương đương thì (X, ||.||1 ), (X, ||.||2 ) không th cùng Banach 10
  12. MathVn.Com - Bài t p Gi i tích hàm qua các kỳ thi Bài 25. Cho X, Y là hai không gian Banach, A : X −→ Y là ánh x tuy n tính sao cho y ∗ A ∈ X ∗ , v i m i y ∗ ∈ Y ∗ 21 . Ch ng minh A liên t c. Gi i. Ta ch ng minh A có đ th GA đóng. L y dãy (xn , Axn ) −→ (x, y). Gi s y = Ax. Khi đó theo h qu c a đ nh lí Hahn- Banach, t n t i g ∈ Y ∗ sao cho g(Ax − y) = 0. M t khác ta có g(Ax − y) = g(Ax − lim Axn ) = g( lim (Ax − Axn )) = lim gA(x − xn ) = 0. n→∞ n→∞ n→∞ Đi u này mâu thu n. V y y = Ax. Suy ra GA đóng. Theo Đ nh lí đ th đóng thì A liên t c. 4 Đ nh lí Hahn - Banach Bài 26. Cho X là không gian đ nh chu n. Ch ng minh r ng Kerf = {0}. f ∈X ∗ Gi i. L y b t kì x ∈ Kerf . Khi đó ta có f (x) = 0 , v i m i f ∈ X ∗ . Theo h qu f ∈X ∗ c a Đ nh lí Hahn - Banach ta có x = 0. Bài 27. Cho x1 , x2 , ..., xn là n vectơ đ c l p tuy n tính trong không gian đ nh chu n X . Ch ng minh r ng t n t i f ∈ X ∗ sao cho f (xi ) = f (xj ) khi i = j . Gi i. V i m i i ∈ {1, 2, ..., n}, đ t Li = {xj |j = i} thì Li là không gian h u h n chi u nên là không gian con đóng c a X . Do h {x1 , x2 , ..., xn } đ c l p tuy n tính nên xi ∈ Li . Theo đ nh lí Hahn - Banach, t n t i fi ∈ X ∗ sao cho / fi (xi ) = i và fi (xj ) = 0, ∀j = i22 Đ t f = f1 + f2 + ... + fn , ta có f (xi ) = i, ∀i ∈ {1, 2, ..., n}. Do đó f (xi ) = f (xj ) khi i = j. Bài 28. Cho M là m t t p con c a X và x0 ∈ X . Ch ng t r ng x0 ∈ M khi và ch khi v i m i x∗ ∈ X ∗ th a đi u ki n x∗ (M ) = {0} thì x∗ (x0 ) = 0. Gi i. (⇒) : hi n nhiên. (⇐) : Đ t Y = M . Gi s x0 ∈ Y , khi đó d(x0 , Y ) > 0. Theo Đ nh lí Hahn - Banach, / t nt ix ∗ ∈ X ∗ sao cho x∗ (Y ) = {0} và x∗ (x ) = 1. Do M ⊂ Y nên x∗ (M ) = {0} và 0 ∗ (x ) = 1. Đi u này mâu thu n v i gi thi t. V y x ∈ Y x 0 0 5 M t s đ thi Gi i tích hàm M c này s gi i thi u các đ thi Gi i tích hàm c a PGS.TS Nguy n Hoàng dành cho sinh viên Đ i h c và h c viên Cao h c c a Đ i h c sư ph m Hu trong 10 năm qua. Có th th y r ng s trùng l p các câu h i là dày đ c. 21 Có th h n ch đi u ki n này thành: M i dãy (xn ) trong X sao cho xn −→ 0 thì y ∗ (Axn ) −→ 0, ∀y ∗ ∈ Y ∗ 22 Trong Đ nh lí Hahn - Banach ngư i ta ch n phi m hàm gi ∈ X ∗ sao cho gi (xi ) = 1. Khi đó, n u đ t fi = igi thì ta đư c phi m hàm fi như trên 11
  13. MathVn.Com - Bài t p Gi i tích hàm qua các kỳ thi 5.1 Dành cho sinh viên năm 4 Năm h c 1997-1998 Câu I. Kí hi u X = {x ∈ C[0,1] |x(0) = x(1) = 0}. V i m i x ∈ X , ta đ t ||x|| = max |x(t)| [0,1] 1. Ch ng minh (X, ||.||) là m t không gian Banach. 2. Đ t A : X −→ X là ánh x xác đ nh b i x −→ Ax, trong đó Ax(t) = x(t)+x(1−t) . 2 Ch ng minh A ∈ L(X) và tính ||A||. Câu II. Kí hi u X là không gian Banach và Y là không gian đ nh chu n. 1. Phát bi u nguyên lí b ch n đ u đ i v i dãy các toán t (An )n∈N ⊂ L(X, Y ). Ch ng minh r ng n u v i m i x ∈ X t n t i Ax = lim An x thì A ∈ L(X, Y ). n→∞ 2. Cho (xn )n∈N ⊂ X . Gi s v i m i x∗ ∈ X ∗ ta có sup |x∗ (xn )| < +∞. Ch ng minh n∈N sup ||xn || < +∞. n∈N Câu III. Cho X là m t không gian Banach. 1. Gi s f : X −→ R là m t phi m hàm tuy n tính th a mãn đi u ki n: v i m i dãy (xn )n∈N ⊂ X , xn −→ 0 thì dãy (f (xn ))n b ch n. Ch ng minh f ∈ X ∗ . 2. Cho f ∈ X ∗ và f = 0. Ch ng minh r ng n u G là t p m trong X thì f (G) là t p m trong R. Câu IV. Cho H là m t không gian Hilbert. ∞ 1. Cho {x1 , x2 , ..., xn } là m t h tr c giao trong H . Ch ng minh r ng chu i xn h i n=1 ∞ t trong H khi và ch khi chu i s ||xn ||2 h i t . n=1 ∞ 2. Cho (en )n là m t cơ s tr c chu n c a H và (ξn )n ⊂ R sao cho |ξn |2 < +∞. n=1 Ch ng minh r ng t n t i duy nh t x ∈ H nh n (ξn )n là h s Fourier đ i v i (en )n . 3. Cho (en )n là m t cơ s tr c chu n c a H và A ∈ L(H) là m t toán t compact. Ch ng minh A(en ) −→ 0 trong H khi n −→ ∞. Năm h c 1999-2000 Câu I. Kí hi u X = M[0,1] là t p các hàm s xác đ nh và b ch n trên [0, 1]. V i m i x ∈ X , ta đ t ||x|| = sup |x(t)| [0,1] 1. Ch ng minh (X, ||.||) là m t không gian Banach. 2. Đ t A : X −→ X là ánh x xác đ nh b i x −→ Ax, trong đó Ax(t) = x(0) + tx(t). Ch ng minh A ∈ L(X) và tính ||A||. Câu II. Cho X là m t không gian đ nh chu n. 1. Cho f ∈ X ∗ th a mãn đi u ki n sup |f (x) − f (y)| = r. Tính ||f ||. x,y∈B (0,1) 2. Cho x1 , x2 , ..., xn là n vectơ đ c l p tuy n tính trong không gian đ nh chu n X . 12
  14. MathVn.Com - Bài t p Gi i tích hàm qua các kỳ thi Ch ng minh r ng t n t i f ∈ X ∗ sao cho f (xi ) = f (xj ) khi i = j . Câu III. Cho X là m t không gian đ nh chu n và f ∈ X ∗ . Ch ng minh f liên t c trên X khi và ch khi {x ∈ X|f (x) = 1} là m t t p đóng trong X . Câu IV. Cho H là m t không gian Hilbert. 1. Cho A là m t t p con khác r ng c a H . Đ t M = A . Gi s x ∈ H và x, y = 0, v i m i y ∈ A. Ch ng minh x ∈ M ⊥ . 2. Cho (en )n là m t cơ s tr c chu n trong H . Ch ng minh r ng v i m i x ∈ H , chu i ∞ ∞ w x, en en h i t và ||x||2 = | x, en |2 . Suy ra en − 0. → n=1 n=1 3. Đ t A : H −→ H xác đ nh b i ∞ ∀x ∈ H, Ax = x, en en n=1 Ch ng minh A ∈ L(H), tính ||A|| và tìm toán t liên hi p c a A. Năm h c 2000-2001 Câu I. Kí hi u X = {x ∈ C[0,1] |x(0) = x(1) = 0}. V i m i x ∈ X , ta đ t ||x|| = max |x(t)| [0,1] 1. Ch ng minh (X, ||.||) là m t không gian Banach. 2. Đ t A : X −→ X là ánh x xác đ nh b i x −→ Ax, trong đó Ax(t) = x(t)+x(1−t) . 2 Ch ng minh A ∈ L(X) và tính ||A||. Câu II. Cho X, Y là hai không gian đ nh chu n, (Aα )α∈I ⊂ L(x, Y ). Ch ng minh hai m nh đ sau là tương đương a) ∀x ∈ X, ∀y ∗ ∈ Y ∗ : sup |y ∗ (Aα x)| < +∞ α∈I b) ∀x ∈ X : sup ||Ax|| < +∞ α∈I Câu III. Cho X là m t không gian Banach. 1. Gi s f : X −→ R là m t phi m hàm tuy n tính sao cho f −1 (−∞, 0) và f −1 (0, +∞) là m trong X . Ch ng minh f ∈ X ∗ . 2. Cho f ∈ X ∗ và f = 0. Ch ng minh r ng n u G là t p m trong X thì f (G) là t p m trong R. Câu IV. Cho H là m t không gian Hilbert. ∞ 1. Cho (en )n là m t cơ s tr c chu n c a H và (ξn )n ⊂ R sao cho |ξn |2 < +∞. n=1 Ch ng minh r ng t n t i duy nh t x ∈ H nh n (ξn )n là h s Fourier đ i v i (en )n . 2. Cho A ∈ L(H) là m t toán t compact và λ = 0 là m t giá tr riêng c a A. Ch ng minh r ng t p N (Aλ ) = {x ∈ H|Ax = λx} là m t không gian con h u h n chi u c a H . 3. Cho M, N là hai không gian con đóng c a H sao cho M ⊥ N . Ch ng minh M + N là không gian con đóng c a H . 13
  15. MathVn.Com - Bài t p Gi i tích hàm qua các kỳ thi Năm h c 2001-2002 Câu I. Cho (X, ||.||1 ), (Y, ||.||2 ) là hai không gian đ nh chu n. Đ t Z = X × Y . V i m i z = (x, y) ∈ Z , ta đ t ||z|| = ||x||1 + ||y||2 1. Ch ng minh ||.|| là m t chu n trên Z . 2. Ch ng minh (Z, ||.||) là m t không gian Banach khi và ch khi X và Y Banach. Câu II.Cho e1 , e2 , ..., en là n vectơ đ c l p tuy n tính trong không gian đ nh chu n X. 1. Ch ng minh r ng t n t i các phi m hàm fi ∈ X ∗ , i = 1, ..., n sao cho fi (ej ) = δij . n 2. Kí hi u M = {e1 , e2 , ..., en } và đ t A : X −→ X, Ax = fi (x)ei . Ch ng minh i=1 A ∈ L(X) và X = M ⊕ KerA. 3. Gi s f : X −→ R là phi m hàm tuy n tính th a mãn đi u ki n {x ∈ X|f (x) ≥ 1} là m t t p đóng trong X . Ch ng minh f ∈ X ∗ . Câu III. Cho H là m t không gian Hilbert. 1. Cho (en )n là m t cơ s tr c chu n c a H . Ch ng minh tr c ti p hai m nh đ sau là tương đương ∞ a) ∀x ∈ H, x = x, en en . n=1 ∞ b) ∀x ∈ H, ||x||2 = | x, en |2 . n=1 2. Cho u, v ∈ H và A : H −→ H xác đ nh b i ∞ ∀x ∈ H, Ax = x, u v n=1 Ch ng minh A ∈ L(H) và tìm toán t liên hi p c a A. ∞ 3. Cho (en )n là m t cơ s tr c chu n c a H . Cho B ∈ L(H) sao cho chu i ||Ben ||2 n=1 n h i t . V i m i n ∈ N, đ t Bn x = x, ek Bek , ∀x ∈ H . Ch ng minh Bn là toán t k=1 compact, suy ra B cũng là toán t compact. Năm h c 2002-2003 0 Câu I. Kí hi u X = M[0,1] là t p các hàm s xác đ nh và b ch n trên [0, 1] sao cho x(0) = x(1) = 0. V i m i x ∈ X , ta đ t ||x|| = sup |x(t)| [0,1] 1. Ch ng minh (X, ||.||) là m t không gian Banach. 2. Đ t A : X −→ X là ánh x xác đ nh b i x −→ Ax, trong đó Ax(t) = x(1 − t) − tx(t). Ch ng minh A ∈ L(X) và tính ||A||. Câu II. Cho X, Y là hai không gian đ nh chu n và A ∈ L(X, Y ). 14
  16. MathVn.Com - Bài t p Gi i tích hàm qua các kỳ thi 1. Xét hai phương trình Ax = y (1) và A∗ y ∗ = x∗ (2) Gi s r ng v i m i y ∈ Y , phương trình (1) ( n là x) có ít nh t m t nghi m trong X . Ch ng minh r ng v i m i x∗ ∈ X ∗ , phương trình (2) ( n là y ∗ ) có nhi u nh t m t nghi m trong Y ∗ . 2. Gi s x0 ∈ X và sup ||Ax − Ay|| = α. Tính ||A||. x,y∈B (x0 ,r) Câu III. Cho f là m t phi m hàm tuy n tính trên không gian đ nh chu n th c X . Ch ng minh r ng f liên t c khi và ch khi t p {x ∈ X|f (x) > 0} là m trong X . Câu IV. Cho H là m t không gian Hilbert. 1. Cho A là m t t p con khác r ng c a H . Đ t M = A . Gi s x ∈ H và x, y = 0, v i m i y ∈ A. Ch ng minh x ∈ M ⊥ . 2. Cho (en )n là m t cơ s tr c chu n trong H . Ch ng minh tr c ti p r ng v i m i ∞ ∞ x ∈ H , chu i x, en en h i t và ||x||2 = | x, en |2 . Suy ra n u C ∈ L(H) là toán n=1 n=1 t compact thì Cen −→ 0, n −→ ∞. 3. Đ t A : H −→ H xác đ nh b i ∞ ∀x ∈ H, Ax = x, en en+1 n=1 Ch ng minh A ∈ L(H) và tìm toán t liên hi p c a A. Năm h c 2003-2004 Câu I. Kí hi u X = M[0,1] là t p các hàm s xác đ nh và b ch n trên [0, 1]. V i m i x ∈ X , ta đ t ||x|| = sup |x(t)| [0,1] 1. Ch ng minh (X, ||.||) là m t không gian Banach. 2. Kí hi u Y = {x ∈ C[0,1] |x(0) = x(1) = 0}. Ch ng minh Y là m t không gian con đóng c a X . Câu II. Cho X là m t không gian đ nh chu n th c. 1. Cho f : X −→ K là m t phi m hàm tuy n tính th a mãn sup |f (x) − f (y)| = r x,y∈B (0,1) Ch ng minh f ∈ X ∗ và tính ||f ||. 2. Gi s (xn )n và (fn )n là hai dãy cơ b n trong X và X ∗ . Ch ng minh r ng (fn (xn ))n là m t dãy h i t . Câu III. Cho f : X −→ K là m t phi m hàm tuy n tính khác 0. a) Đ t N = Kerf . Ch ng minh r ng N = N ho c N = X . 15
  17. MathVn.Com - Bài t p Gi i tích hàm qua các kỳ thi b) Ch ng minh r ng n u dim X = ∞ thì t n t i các phi m hàm tuy n tính không liên t c xác đ nh trên X . Câu IV. Cho H là m t không gian Hilbert trên trư ng K . 1. Cho A : H −→ H là m t toán t tuy n tính. Gi s Ax, y = x, Ay v i m i x, y ∈ H . Ch ng minh A liên t c. 2. Cho {x1 , x2 , ..., xn } là m t h các vectơ tr c giao khác 0 c a H . Ch ng minh r ng v i m i x ∈ H , t n t i duy nh t các s α1 , ..., αn sao cho v i m i β1 , ..., βn , ta có n n ||x − αi xi || ≤ ||x − βi xi || i=1 i=1 3. Cho (en )n là m t cơ s tr c chu n c a H . Đ t B : H −→ H xác đ nh b i ∞ ∀x ∈ H, Bx = x, en+1 en n=1 Ch ng minh B ∈ L(H), tính ||B|| và tìm toán t liên hi p c a B . Năm h c 2004-2005 Câu I. Kí hi u X = {x ∈ C[0,1] |x(0) = x(1) = 0}. V i m i x ∈ X , ta đ t ||x|| = max |x(t)| [0,1] 1. Ch ng minh ||.|| là m t chu n trên X . 2. Ch ng minh (X, ||.||) là m t không gian Banach. 3. Đ t A : X −→ X là ánh x xác đ nh b i x −→ Ax, trong đó Ax(t) = x(t) + x(1 − t). Ch ng minh A ∈ L(X) và tính ||A||. Câu II. Cho X, Y là hai không gian đ nh chu n, (Aα )α∈I ∈ L(X, Y ). Ch ng minh các kh ng đ nh sau là tương đương a) ∀x ∈ X, ∀y ∗ ∈ Y ∗ : sup |y ∗ (Aα x)| < +∞ α∈I b) ∀x ∈ X : sup ||Ax|| < +∞ α∈I Câu III. Cho X là m t không gian Banach và A ∈ L(X). Gi s t n t i s dương r sao cho r||x|| ≤ ||Ax||, v i m i x ∈ X . Ch ng minh: 1. A(X) là m t không gian con đóng c a X . 2. A là m t phép đ ng phôi tuy n tính t X lên A(X). Câu IV. Cho H là m t không gian Hilbert. 1. Gi s E là m t t p con c a H và x0 ∈ H . Đ t M = E . Ch ng minh x0 ∈ M khi và ch khi v i m i y ∈ E ⊥ thì y, x0 = 0. 2. Cho A, B : H −→ H là hai toán t tuy n tính th a mãn đi u ki n Ax, y = x, By v i m i x, y ∈ H . Ch ng minh A, B liên t c và B = A∗ . 16
  18. MathVn.Com - Bài t p Gi i tích hàm qua các kỳ thi 3. Gi s A ∈ L(H) là m t toán t compact và λ là m t s khác 0. Ch ng minh r ng Ker(A − λI) là m t không gian con h u h n chi u c a H . Năm h c 2005-2006 Câu I. Kí hi u X = M[0,1] là t p các hàm s xác đ nh và b ch n trên [0, 1]. V i m i x ∈ X , ta đ t ||x|| = sup |x(t)| [0,1] 1. Ch ng minh (X, ||.||) là m t không gian Banach. 2. Đ t A : X −→ X là ánh x xác đ nh b i x −→ Ax, trong đó Ax(t) = x(0) − t2 x(t). Ch ng minh A ∈ L(X) và tính ||A||. Câu II. Cho X là m t không gian đ nh chu n. 1. Cho f ∈ X ∗ th a mãn đi u ki n sup |f (x) − f (y)| = r. Hãy tính ||f ||. x,y∈B (0,1) 2. Cho x1 , x2 , ..., xn là n vectơ đ c l p tuy n tính trong không gian đ nh chu n X . Ch ng minh r ng t n t i g ∈ X ∗ sao cho g(xi ) = g(xj ) khi i = j . Câu III. Cho X là m t không gian đ nh chu n và M là m t t p con c a X . Gi s v i m i f ∈ X ∗ ta có sup |f (x)| < +∞. Ch ng minh r ng M là t p b ch n trong X . x∈M Câu IV. Cho H là m t không gian Hilbert. 1. Cho A là m t t p con khác r ng c a H . Đ t M = A . Gi s x ∈ H và x, y = 0, v i m i y ∈ A. Ch ng minh x ∈ M ⊥ . 2. Cho (en )n là m t cơ s tr c chu n trong H . Đ t M = {en |n ∈ N} . Ch ng minh tr c ti p r ng hai m nh đ sau là tương đương ∞ a) ∀x ∈ H, x = x, en en . n=1 b) M ⊥ = {0}. 3. Cho u, v ∈ H là hai vectơ c đ nh và A : H −→ H xác đ nh b i ∞ ∀x ∈ H, Ax = x, u v n=1 Ch ng minh A ∈ L(H) .Tìm toán t liên hi p A∗ và tính ||A∗ ||. 5.2 Dành cho h c viên cao h c 5.2.1 Đ ki m tra gi a kì KHÓA 13 Câu I. Cho X là m t không gian Banach, Y là m t không gian đ nh chu n và M là m t t p con c a L(X, Y ). Ch ng minh r ng M là t p b ch n trong không gian L(X, Y ) khi và ch khi v i m i x ∈ X, y ∗ ∈ Y ∗ ta có sup |y ∗ (Ax)| < +∞. A∈M 17
  19. MathVn.Com - Bài t p Gi i tích hàm qua các kỳ thi Câu II. Cho X là m t không gian đ nh chu n. 1) Gi s f ∈ X ∗ , f = 0. Ch ng t r ng t n t i không gian con m t chi u E sao cho X = E ⊕ Kerf . 2) Cho M là m t t p con c a X và x0 ∈ X . Ch ng t r ng x0 ∈ M khi và ch khi v i m i x∗ ∈ X ∗ th a đi u ki n x∗ (M ) = {0} thì x∗ (x0 ) = 0. Câu III. Cho X, Y là hai không gian đ nh chu n. 1) Gi s A : X −→ Y là m t ánh x th a mãn đi u ki n A(x + y) = Ax + Ay , v i m i x, y ∈ X và sup ||Ax|| < +∞. Ch ng minh A là m t ánh x tuy n tính liên x∈B (0,1) t c. 2) Cho B : X −→ Y là m t ánh x tuy n tính. G i GB là đ th c a B . Ch ng minh r ng B(X) là t p đóng trong Y khi và ch khi t p GB + (X × {0}) là t p đóng trong X × Y . KHÓA 14 1 Câu I. Kí hi u X = C[0,1] là không gian g m các hàm s kh vi liên t c trên [0, 1]. V i m i x ∈ X , ta đ t 1 ||x||1 = max |x (t)| + |x(0)|, ||x||2 = ( (|x(t)|2 + |x (t)|2 )dt)1/2 t∈[0,1] 0 1. Ki m tra ||.||1 , ||.||2 là hai chu n trên X . 2. Ch ng minh (X, ||.||1 ) là m t không gian Banach và hai chu n đã cho không tương đương. Suy ra (X, ||.||2 ) không ph i là m t không gian Banach. Câu II. Cho X là m t không gian Banach, Y là m t không gian đ nh chu n và A ∈ L(X, Y ). Bi t r ng v i m i r > 0 ta có B (0Y , r) ⊂ A(B(0X , r)). Ch ng minh 0Y là đi m trong c a A(B(0X , r)). Câu III. Cho X là hai không gian đ nh chu n và A : X −→ X là m t ánh x tuy n tính liên t c. G i GA là đ th c a A. Ch ng minh r ng A(X) là t p đóng trong X khi và ch khi t p GA + (X × {0}) là t p đóng trong X × X . Tìm m t ví d v m t không gian đ nh chu n X và A ∈ L(X) nhưng A(X) không đóng trong X . KHÓA 15 Câu I. 1. V i p ≥ 1, ta kí hi u Lp = {f ∈ Lp (R)|suppf ⊂ [−n, n]}. Ch ng minh r ng n ∞ p L (R) = Lp n n=1 18
  20. MathVn.Com - Bài t p Gi i tích hàm qua các kỳ thi 2. Gi s (X, µ) là m t không gian đ đo, E ⊂ X sao cho µE < ∞. Cho f ∈ L∞ (E, µ). Ch ng minh f ∈ Lp (E, µ) v i m i p ≥ 1 và lim ( |f |p dµ)1/p = ess sup |f (x)| p→∞ E x∈E Câu II. Cho X là m t không gian Banach, Y là m t không gian đ nh chu n và A ∈ L(X, Y ). Bi t r ng v i m i r > 0 ta có B (0Y , r) ⊂ A(B(0X , r)). Ch ng minh 0Y là đi m trong c a A(B(0X , r)). Câu III. Cho X là m t không gian Banach, F là m t t p đóng, h p th ch a trong X. 1. Ch ng minh int(F ) = ∅. 2. B ng ví d , ch ng t r ng F không nh t thi t nh n vectơ 0 là đi m trong. KHÓA 16 - I Câu I. Kí hi u X = C[0,1] là không gian g m các hàm s liên t c trên [0, 1]. V i m i x ∈ X , ta đ t 1 ||x||∞ = max |x(t)|, ||x||p = ( |x(t)|p dt)1/p , p > 1 t∈[0,1] 0 Ch ng minh hai chu n đã cho không tương đương. Suy ra (X, ||.||p ) không ph i là m t không gian Banach. Câu II. Cho X, Y là hai không gian đ nh chu n A : X −→ Y là m t ánh x tuy n tính. 1) Ch ng minh A liên t c khi và ch khi A bi n m i t p b ch n trong X thành m t t p b ch n trong Y . 2) Gi s X, Y là hai không gian Banach, A liên t c và t n t i λ > 0 sao cho v i m i x ∈ X ta có ||Ax|| ≥ λ||x||. Ch ng minh A(X) là m t không gian Banach. Câu III. Tìm m t ví d v m t không gian đ nh chu n X có ch a m t không gian con Y mà Y không ph i là t p đóng trong X . KHÓA 16 - II Câu I. Cho f : X −→ K là m t phi m hàm tuy n tính. a) Gi s f = 0. Ch ng minh t n t i không gian con m t chi u E sao cho X = Kerf ⊕ E . b) Bi t r ng phi m hàm f không liên t c. Ch ng minh Kerf là t p trù m t kh p nơi. 19

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản