Bài tập hình học 12 - Phương pháp toạ độ trong không gian

Chia sẻ: Phạm Dũng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:61

4
1.362
lượt xem
700
download

Bài tập hình học 12 - Phương pháp toạ độ trong không gian

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT & đại học - Bài tập hình học 12 - Phương pháp toạ độ trong không gian

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài tập hình học 12 - Phương pháp toạ độ trong không gian

  1. TRAÀN SÓ TUØNG ---- ›š & ›š ---- BAØI TAÄP HÌNH HOÏC 12 TAÄP 3 OÂN THI TOÁT NGHIEÄP THPT & ÑAÏI HOÏC Naêm 2009
  2. PP Toaï ñoä trong khoâng gian Traàn Só Tuøng CHÖÔNG III PHÖÔNG PHAÙP TOAÏ ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN I. VECTÔ TRONG KHOÂNG GIAN 1. Ñònh nghóa vaø caùc pheùp toaùn · Ñònh nghóa, tính chaát, caùc pheùp toaùn veà vectô trong khoâng gian ñöôïc xaây döïng hoaøn toaøn töông töï nhö trong maët phaúng. · Löu yù: uuu uuu uuu r r r + Qui taéc ba ñieåm: Cho ba ñieåm A, B, C baát kyø, ta coù: AB + BC = AC uuu uuu uuu r r r + Qui taéc hình bình haønh: Cho hình bình haønh ABCD, ta coù: AB + AD = AC uuu uuu uuur uuuu r r r + Qui taéc hình hoäp: Cho hình hoäp ABCD.A¢B¢C¢D¢, ta coù: AB + AD + AA ' = AC ' + Heâï thöùc trung ñieåm ñoaïnuu ng: Cho I laø trung ñieåm cuûarñoaïn thaúng AB, O tuyø yù. uu thaú r rr uuu uuu r uur Ta coù: IA + IB = 0 ; OA + OB = 2OI + Heä thöùc troïng taâm tamrgiaùc: Cho r laø troïng taâm cuûa tam r uuu uuu uuu uuuG r uuu uuugiaùc ABC, O tuyø yù. r r r uuur Ta coù: GA + GB + GC = 0; OA + OB + OC = 3OG + Heä thöùc troïng taâm töùuuu nuuu houuu laø uuurng taâm cuûuuu dieär ABCD, O tuyø uuu dieä : C G troï a töù uuun uuu uuu yù.r r r r r r r r Ta coù: GA + GB + GC + GD = 0; OA + OB + OC + OD = 4OG rr r r r r + Ñieàu kieän hai vectô cuøng phöông: a vaø b cuøng phöông (a ¹ 0) Û $! k Î R : b = ka + Ñieåm M chia ñoaïn thaúng AB theo tæ soá k (k ¹ 1), O tuyø yù. uuu r uuu r uuur uuur uuur OA - kOB Ta coù: MA = k MB; OM = 1- k 2. Söï ñoàng phaúng cuûa ba vectô · Ba vectô ñöôïc goïi laø ñoàng phaúng neáu caùc giaù cuûa chuùng cuøng song song vôùi moät maët phaúng. rrr r r · Ñieàu kieän ñeå ba vectô ñoàng phaúng: Cho ba vectô a, b , c , trong ñoù a vaø b khoâng cuøng rrr r r r phöông. Khi ñoù: a, b , c ñoàng phaúng Û $! m, n Î R: c = ma + nb rrr r · Cho ba vectô a, b , c khoâng ñoàng phaúng, x tuyø yù. r r r r Khi ñoù: $! m, n, p Î R: x = ma + nb + pc 3. Tích voâ höôùng cuûa hai vectô · Goùc giöõa hai vectô trong khoâng gian: uuu r uuu r r r rr AB = u , AC = v Þ (u , v ) = · (00 £ · £ 1800 ) BAC BAC · Tích voâ höôùng cuûa hai vectô trong khoâng gian: rr r rr r r rr + Cho u , v ¹ 0 . Khi ñoù: u.v = u . v .cos(u , v ) rr rr rr + Vôùi u = 0 hoaëc v = 0 . Qui öôùc: u.v = 0 rr rr + u ^ v Û u.v = 0 r r + u = u2 Trang 26
  3. Traàn Só Tuøng PP Toaï ñoä trong khoâng gian II. HEÄ TOAÏ ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN 1. Heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc trong khoâng gian: Cho ba truïc Ox, Oy, Oz vuoâng goùc vôùi nhau töøng ñoâi moät vaø chung moät ñieåm goác O. Goïi rrr i, j, k laø caùc vectô ñôn vò, töông öùng treân caùc truïc Ox, Oy, Oz. Heä ba truïc nhö vaäy goïi laø heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz hoaëc ñôn giaûn laø heä toïa ñoä Oxyz. r2 r 2 r 2 rr rr r r Chuù yù: i = j = k = 1 vaø i. j = i.k = k . j = 0 . 2. Toïa ñoä cuûa vectô:r r rrr a) Ñònh nghóa: u = ( x; y; z ) Û u = xi + y j + zk r r b) Tính chaát: Cho a = (a1; a2 ; a3 ), b = (b1; b2 ; b3 ), k Î R rr · a ± b = (a1 ± b1; a2 ± b2 ; a3 ± b3 ) r · ka = (ka1; ka2 ; ka3 ) ìa1 = b1 rr ï · a = b Û ía2 = b2 ïa = b î3 3 r r r r · 0 = (0; 0; 0), i = (1; 0; 0), j = (0;1; 0), k = (0; 0;1) rr r r r r · a cuøng phöông b (b ¹ 0) Û a = kb (k Î R) ìa1 = kb1 aa a ï Û 1 = 2 = 3 , (b1 , b2 , b3 ¹ 0) Û ía2 = kb2 b1 b2 b3 ïa = kb î3 3 rr rr · a.b = a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3 · a ^ b Û a1b1 + a2 b2 + a3b3 = 0 r r · a 2 = a1 + a2 + a3 2 2 2 2 2 2 · a = a1 + a2 + a2 rr rr r rr a1b1 + a2 b2 + a3b3 a.b · cos(a , b ) = r r = (vôùi a, b ¹ 0 ) a.b a 2 + a 2 + a2 . b 2 + b2 + b 2 1 2 3 1 2 3 3. Toïa ñoä cuûa ñieåm: uuur a) Ñònh nghóa: M ( x; y; z) Û OM = ( x; y; z) (x : hoaønh ñoä, y : tung ñoä, z : cao ñoä) Chuù yù: · M Î (Oxy) Û z = 0; M Î (Oyz) Û x = 0; M Î (Oxz) Û y = 0 · M Î Ox Û y = z = 0; M Î Oy Û x = z = 0; M Î Oz Û x = y = 0 b) Tính chaát: Cho A( x A ; y A ; zA ), B( x B ; yB ; zB ) uuu r · AB = ( xB - x A ; yB - y A ; zB - zA ) · AB = ( x B - x A )2 + ( yB - y A )2 + ( zB - zA )2 æ x - kxB yA - kyB zA - kzB ö · Toaï ñoä ñieåm M chia ñoaïn AB theo tæ soá k (k≠1): M ç A ; ; ÷ è 1- k 1- k 1- k ø æ x + x B y A + y B zA + zB ö · Toaï ñoä trung ñieåm M cuûa ñoaïn thaúng AB: M ç A ; ; ÷ è 2ø 2 2 · Toaï ñoä troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC: æ x + xB + xC y A + yB + yC zA + zB + zC ö Gç A ; ; ÷ è ø 3 3 3 Trang 27
  4. PP Toaï ñoä trong khoâng gian Traàn Só Tuøng · Toaï ñoä troïng taâm G cuûa töù dieän ABCD: æ x + xB + xC + x D y A + y B + yC + yD zA + zB + zC + zC ö Gç A ; ; ÷ è ø 4 4 4 4. Tích coù höôùng cuûa hai vectô: (Chöông trình naâng cao) r r a) Ñònh nghóa: Cho a = (a1, a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) . r r æ a2 a1 a2 ö a3 a3 a1 r r [a, b ] = a Ù b = ç ÷ = ( a2 b3 - a3b2 ; a3b1 - a1b3 ; a1b2 - a2 b1 ) ; ; çb b b3 b1 b1 b2 ÷ è2 ø 3 Chuù yù: Tích coù höôùng cuûa hai vectô laø moät vectô, tích voâ höôùng cuûa hai vectô laø moät soá. b) Tính chaát: rr r rr r r rr rr r rr r [k , i ] = j é j,k ù = i ; · éi , j ù = k ; · [a, b] ^ a; [a, b] ^ b ëû ë û rr rr r rr rr rr · [a, b] = a . b .sin ( a, b ) · a, b cuøng phöông Û [a, b] = 0 c) ÖÙng duïng cuûa tích coù höôùng: rr rrr r · Ñieàu kieän ñoàng phaúng cuûa ba vectô: a, b vaø c ñoàng phaúng Û [a, b].c = 0 uuu uuu rr SY ABCD = é AB, AD ù · Dieän tích hình bình haønh ABCD: ë û uuu uuu rr 1 SD ABC = é AB, AC ù · Dieän tích tam giaùc ABC: ë û 2 uuu uuu uuu r rr · Theå tích khoái hoäp ABCD.A¢B¢C¢D¢: VABCD . A ' B ' C ' D ' = [ AB, AD ]. AA ' 1 uuu uuu uuu rr r · Theå tích töù dieän ABCD: [ AB, AC ]. AD VABCD = 6 Chuù yù: – Tích voâ höôùng cuûa hai vectô thöôøng söû duïng ñeå chöùng minh hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc, tính goùc giöõa hai ñöôøng thaúng. – Tích coù höôùng cuûa hai vectô thöôøng söû duïng ñeå tính dieän tích tam giaùc; tính theå tích khoái töù dieän, theå tích hình hoäp; chöùng minh caùc vectô ñoàng phaúng – khoâng ñoàng phaúng, chöùng minh caùc vectô cuøng phöông. rr rr a ^ brÛ a.b = 0 rr r r a vaø b cuøng phöông Û [ a , b ] = 0 rrr rr r a, b , c ñoàng phaúng Û [ a , b ] .c = 0 5. Phöông trình maët caàu: · Phöông trình maët caàu (S) taâm I(a; b; c), baùn kính R: ( x - a )2 + ( y - b )2 + ( z - c )2 = R 2 · Phöông trình x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 vôùi a2 + b 2 + c 2 - d > 0 laø phöông trình a2 + b2 + c2 - d . maët caàu taâm I(–a; –b; –c) vaø baùn kính R = Trang 28
  5. Traàn Só Tuøng PP Toaï ñoä trong khoâng gian VAÁN ÑEÀ 1: Caùc pheùp toaùn veà toaï ñoä cuûa vectô vaø cuûa ñieåm – Söû duïng caùc coâng thöùc veà toaï ñoä cuûa vectô vaø cuûa ñieåm trong khoâng gian. – Söû duïng caùc pheùp toaùn veà vectô trong khoâng gian. Baøi 1. Vieát toïa ñoä cuûa caùc vectô sau ñaây: r rr r r r rr r r r r a = -2i + j ; b = 7i - 8k ; c = -9k ; d = 3i - 4 j + 5k rrr Baøi 2. Vieát döôùi daïng xi + yj + zk moãi vectô sau ñaây: r r æ 1 1ö ræ 1 ö r æ4 1ö a = ç 0; ; 2 ÷ ; b = (4; -5; 0) ; c = ç ; 0; ; d = çp; ; ÷ ÷ è3 è 3 5ø è 2ø 3ø r r r r Baøi 3. Cho: a = ( 2; -5; 3) , b = ( 0; 2; -1) , c = (1; 7; 2 ) . Tìm toaï ñoä cuûa caùc vectô u vôùi: r 1r r rr r 2r r r rr a) u = 4a - b + 3c b) u = a - 4b - 2c c) u = -4b + c 2 3 rr r r 1r 4r r r r 3r 2r r d) u = 3a - b + 5c e) u = a - b - 2c f) u = a - b - c 2 3 4 3 r Baøi 4. Tìm toïa ñoä cuûa vectô x , bieát raèng: rrr r r rr r a) a + x = 0 vôùi a = (1; -2;1) b) a + x = 4a vôùi a = ( 0; -2;1) r rr r r c) a + 2 x = b vôùi a = ( 5; 4; -1) , b = ( 2; -5; 3) r Baøi 5. Cho a = (1; -3; 4) . r r a) Tìm y vaø z ñeå b = (2; y; z) cuøng phöông vôùi a . r r r r r b) Tìm toaï ñoä cuûa vectô c , bieát raèng a vaø c ngöôïc höôùng vaø c = 2 a . r r r Baøi 6. Cho ba vectô a = (1; -1;1) , b = ( 4; 0; -1) , c = ( 3; 2; -1) . Tìm: rr r r rr rr rr rr a) ( a.b ) c b) a 2 ( b .c ) c) a 2 b + b 2 c + c 2 a rr r r r rr r r r d) 3a - 2 ( a.b ) b + c 2 b e) 4a.c + b 2 - 5c 2 r r Baøi 7. Tính goùc giöõa hai vectô a vaø b : r r r r a) a = ( 4; 3;1) , b = ( -1; 2; 3) b) a = ( 2; 5; 4 ) , b = ( 6; 0; -3) r r r r c) a = (2;1; -2), b = (0; - 2 ; 2 ) d) a = (3; 2; 2 3 ), b = ( 3; 2 3; -1) r r r r e) a = (-4; 2; 4), b = (2 2; -2 2; 0) f) a = (3; -2;1), b = (2;1; -1) r Baøi 8. Tìm vectô u , bieát raèng: r r r r r r ìa = (2; -1; 3), b = (1; -3; 2), c = (3; 2; -4) ìa = (2; 3; -1), b = (1; r 2; 3), c = (2; -1;1) - r a) í r r b) í r r r rr r rr îa.u = -5, u.b = -11, u.c = 20 îu ^ a , u ^ b, u .c = -6 r r r r r r ìa = (2; 3;1), b = (r ; -2; -1), c = (-2; 4; 3) ìa = (5; -3; 2), b = (1; 4; -3), c = (-3; 2; 4) 1 rr c) í r r d) í r r r rr rr îa.u = 3, b .u = 4, c .u = 2 îa.u = 16, b .u = 9, c .u = -4 r r r ìa = (7; 2; 3), b = r4; 3; -5), c = (1;1; -1) ( e) í r r r rr îa.u = -5, b .u = -7, c ^u rr Baøi 9. Cho hai vectô a , b . Tìm m ñeå: r r r r ìa = (2;1; -2), b = (0; - 2 ; 2 ) ìa = (3; -2;1r b = (2;1; -1) r ), r rr a) í r b) í r r r r r r îu = ma - 3b vaø v = 3a + 2mb vuoâng goùc îu = 2a + 3mb vaø v = ma - b vuoâng goùc r r ìa = (3; -2;1), b = (2;1; -1) r rr c) í r r r îu = ma - 3b vaø v = 3a + 2mb cuøng phöông Trang 29
  6. PP Toaï ñoä trong khoâng gian Traàn Só Tuøng rr Baøi 10. Cho hai vectô a , b . Tính X, Y khi bieát: r r rr r r ì a = 4, b = 6 ìa = (2; -1; -2), b = 6, a - b = 4 rr rr a) í b) í îX = a - b îY = a + b r r r r ìr ( r, ) = 0 ìr (r ) 0 c) í a = 4, br = 6, ar b r 120 d) ía = (2; -1; -2), br = 6, a, b = 60 r r r r îX = a - b , Y = a + b îX = a - b ,Y = a + b rrr r rr Baøi 11. Cho ba vectô a, b , c . Tìm m, n ñeå c = [ a, b ] : r r r a) a = ( 3; -1; -2 ) , b = (1; 2; m ) , c = ( 5;1; 7 ) r r r b) a = ( 6; -2; m ) , b = ( 5; n; -3) , c = ( 6; 33;10 ) r r r c) a = ( 2; 3;1) , b = ( 5; 6; 4 ) , c = ( m; n;1) rrr Baøi 12. Xeùt söï ñoàng phaúng cuûa ba vectô a, b , c trong moãi tröôøng hôïp sau ñaây: r r r r r r a) a = (1; -1;1) , b = ( 0;1; 2 ) , c = ( 4; 2; 3) b) a = ( 4; 3; 4 ) , b = ( 2; -1; 2 ) , c = (1; 2;1) r r r r r r c) a = ( -3;1; -2 ) , b = (1;1;1) , c = ( -2; 2;1) d) a = ( 4; 2; 5 ) , b = ( 3;1; 3) , c = ( 2; 0;1) r r r r r r e) a = (2; 3;1), b = (1; -2; 0), c = (3; -2; 4) f) a = (5; 4; -8), b = (-2; 3; 0), c = (1; 7; -7) r r r r r r g) a = (2; -4; 3), b = (1; 2; -2), c = (3; -2;1) h) a = (2; -4; 3), b = (-1; 3; -2), c = (3; -2;1) rrr Baøi 13. Tìm m ñeå 3 vectô a, b , c ñoàng phaúng: r r r a) a = (1; m; 2 ) , b = ( m + 1; 2;1) , c = ( 0; m - 2; 2 ) r r r b) a = (2m + 1;1; 2m - 1); b = (m + 1; 2; m + 2), c = (2m; m + 1; 2) r r r c) a = ( m + 1; m; m - 2 ) , b = ( m - 1; m + 2; m ) , c = (1; 2; 2 ) r r r d) a = (1; -3; 2 ) , b = ( m + 1; m - 2;1 - m ) , c = ( 0; m - 2; 2 ) rrrr rrr Baøi 14. Cho caùc vectô a, b , c , u . Chöùng minh ba vectô a, b , c khoâng ñoàng phaúng. Bieåu dieãn rrr r vectô u theo caùc vectô a, b , c : r r r r r r ìa = ( 2;1; 0 ) , b = (1; -1; 2 ) , c = ( 2; 2; -1) ìa = (1; -7; 9 ) , b = ( 3; -6;1) , c = ( 2;1; -7 ) a) í r b) í r îu = (3; 7; -7) îu = (-4;13; -6) r r r r r r ìa = (1; 0;1) , b = ( 0; -1;1) , c = (1;1; 0 ) ìa = (1; 0; 2 ) , b = ( 2; -3; 0 ) , c = ( 0; -3; 4 ) c) í r d) í r îu = (8; 9; -1) îu = (-1; -6; 22) r r r r r r ìa = ( 2; -3;1) , b = ( -1; 2; 5 ) , c = ( 2; -2; 6 ) ìa = ( 2; -1;1) , b = (1; -3; 2 ) , c = ( -3; 2; -2 ) e) í r f) í r îu = (3;1; 2) îu = (4; 3; -5) rrr r Baøi 15. Chöùng toû boán vectô a, b , c , d ñoàng phaúng: r r r r a) a = ( -2; -6;1) , b = ( 4; -3; -2 ) , c = ( -4; -2; 2 ) , d = (-2; -11;1) r r r r b) a = ( 2; 6; -1) , b = ( 2;1; -1) , c = ( -4; 3; 2 ) , d = (2;11; -1) rrr r Baøi 16. Cho ba vectô a, b , c khoâng ñoàng phaúng vaø vectô d . Chöùng minh boä ba vectô sau khoâng ñoàng phaúng: rrr r rrr r r r a) b , c , d = ma + nb (vôùi m, n ≠ 0) b) a , c , d = ma + nb (vôùi m, n ≠ 0) rrr r rrr r r r r r c) a , b , d = ma + nb + pc , (vôùi m, n, p ≠ 0) d) b , c , d = ma + nb + pc , (vôùi m, n, p ≠ 0) rrr r r r e) a , c , d = ma + nb + pc , (vôùi m, n, p ≠ 0) Trang 30
  7. Traàn Só Tuøng PP Toaï ñoä trong khoâng gian VAÁN ÑEÀ 2: Xaùc ñònh ñieåm trong khoâng gian. Chöùng minh tính chaát hình hoïc. Dieän tích – Theå tích. – Söû duïng caùc coâng thöùc veà toaï ñoä cuûa vectô vaø cuûa ñieåm trong khoâng gian. – Söû duïng caùc pheùp toaùn veà vectô trong khoâng gian. – Coâng thöùc xaùc ñònh toaï ñoä cuûa caùc ñieåm ñaëc bieät. – Tính chaát hình hoïc cuûa caùc ñieåm ñaëc bieät: uuu uuu rr uuu r uuur uuu uuu rr r · A, B, C thaúng haøng Û AB, AC cuøng phöông Û AB = k AC Û é AB, AC ù = 0 ë û uuu uuur r · ABCD laø hình bình haønh Û AB = DC · Cho DABC coù caùc chaân E, F cuûa caùc ñöôøng phaân giaùc trong vaø ngoaøi cuûa goùc A cuûa DABC uuur AB uuu r uuu AB uuu r r .EC , .FC treân BC. Ta coù: EB = - FB = AC AC uuu uuu uuu rr r uuu uuu uuu rrr · A, B, C, D khoâng ñoàng phaúng Û AB, AC , AD khoâng ñoàng phaúng Û é AB, AC ù . AD ¹ 0 ë û Baøi 1. Cho ñieåm M. Tìm toïa ñoä hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñieåm M: · Treân caùc maët phaúng toïa ñoä: Oxy, Oxz, Oyz · Treân caùc truïc toïa ñoä: Ox, Oy, Oz a) M (1; 2; 3) b) M (3; -1; 2) c) M (-1;1; -3) d) M (1; 2; -1) e) M (2; -5; 7) f) M (22; -15; 7) g) M (11; -9;10) h) M (3; 6; 7) Baøi 2. Cho ñieåm M. Tìm toïa ñoä cuûa ñieåm M¢ ñoái xöùng vôùi ñieåm M: · Qua goác toaï ñoä · Qua mp(Oxy) · Qua truïc Oy a) M (1; 2; 3) b) M (3; -1; 2) c) M (-1;1; -3) d) M (1; 2; -1) e) M (2; -5; 7) f) M (22; -15; 7) g) M (11; -9;10) h) M (3; 6; 7) Baøi 3. Xeùt tính thaúng haøng cuûa caùc boä ba ñieåm sau: a) A(1; 3;1), B(0;1; 2), C (0; 0;1) b) A(1;1;1), B(-4; 3;1), C (-9; 5;1) c) A(10; 9;12), B(-20; 3; 4), C (-50; -3; -4) d) A(-1; 5; -10), B(5; -7; 8), C(2; 2; -7) Baøi 4. Cho ba ñieåm A, B, C. · Chöùng toû ba ñieåm A, B, C taïo thaønh moät tam giaùc. · Tìm toaï ñoä troïng taâm G cuûa DABC. · Xaùc ñònh ñieåm D sao cho ABCD laø hình bình haønh. · Xaùc ñònh toaï ñoä caùc chaân E, F cuûa caùc ñöôøng phaân giaùc trong vaø ngoaøi cuûa goùc A cuûa DABC treân BC. Tính ñoä daøi caùc ñoaïn phaân giaùc ñoù. · Tính soá ño caùc goùc trong DABC. · Tính dieän tích DABC. Töø ñoù suy ra ñoä daøi ñöôøng cao AH cuûa DABC. a) A(1; 2; -3), B(0; 3; 7), C (12; 5; 0) b) A(0;13; 21), B(11; -23;17), C (1; 0;19) c) A(3; -4; 7), B(-5; 3; -2), C (1; 2; -3) d) A(4; 2; 3), B(-2;1; -1), C (3; 8; 7) e) A(3; -1; 2), B(1; 2; -1), C (-1;1; -3) f) A(4;1; 4), B(0; 7; -4), C (3;1; -2) g) A (1; 0; 0 ) , B ( 0; 0;1) , C ( 2;1;1) h) A(1; -2; 6), B(2; 5;1), C (-1; 8; 4) Baøi 5. Treân truïc Oy (Ox), tìm ñieåm caùch ñeàu hai ñieåm: a) A(3;1; 0) , B(-2; 4;1) b) A(1; -2;1), B(11; 0; 7) c) A(4;1; 4), B(0; 7; -4) d) A(3; -1; 2), B(1; 2; -1) e) A(3; -4; 7), B(-5; 3; -2) f) A(4; 2; 3), B(-2;1; -1) Baøi 6. Treân maët phaúng Oxy (Oxz, Oyz), tìm ñieåm caùch ñeàu ba ñieåm: a) A(1;1;1), B(-1;1; 0), C (3;1; -1) b) A(-3; 2; 4), B(0; 0; 7), C (-5; 3; 3) c) A(3; -1; 2), B(1; 2; -1), C (-1;1; -3) d) A(0;13; 21), B(11; -23;17), C (1; 0;19) e) A(1; 0; 2), B(-2;1;1), C (1; -3; -2) f) A(1; -2; 6), B(2; 5;1), C (-1; 8; 4) Trang 31
  8. PP Toaï ñoä trong khoâng gian Traàn Só Tuøng Baøi 7. Cho hai ñieåm A, B. Ñöôøng thaúng AB caét maët phaúng Oyz (Oxz, Oxy) taïi ñieåm M. · Ñieåm M chia ñoaïn thaúng AB theo tæ soá naøo ? · Tìm toïa ñoä ñieåm M. a) A ( 2; -1; 7 ) , B ( 4; 5; -2 ) b) A(4; 3; -2), B(2; -1;1) c) A(10; 9;12), B(-20; 3; 4) d) A(3; -1; 2), B(1; 2; -1) e) A(3; -4; 7), B(-5; 3; -2) f) A(4; 2; 3), B(-2;1; -1) Baøi 8. Cho boán ñieåm A, B, C, D. · Chöùng minh A, B, C, D laø boán ñænh cuûa moät töù dieän. · Tìm toïa ñoä troïng taâm G cuûa töù dieän ABCD. · Tính goùc taïo bôûi caùc caïnh ñoái dieän cuûa töù dieän ABCD. · Tính theå tích cuûa khoái töù dieän ABCD. · Tính dieän tích tam giaùc BCD, töø ñoù suy ra ñoä daøi ñöôøng cao cuûa töù dieän veõ töø A. a) A(2; 5; -3), B(1; 0; 0), C (3; 0; -2), D (-3; -1; 2) b) A (1; 0; 0 ) , B ( 0;1; 0 ) , C ( 0; 0;1) , D ( -2;1; -1) c) A (1;1; 0 ) , B ( 0; 2;1) , C (1; 0; 2 ) , D (1;1;1) A ( 2; 0; 0 ) , B ( 0; 4; 0 ) , C ( 0; 0; 6 ) , D ( 2; 4; 6 ) d) e) A(2; 3;1), B(4;1; -2), C (6; 3; 7), D (-5; -4; 8) f) A(5; 7; -2), B(3;1; -1), C (9; 4; -4), D(1; 5; 0) g) A(2; 4;1), B(-1; 0;1), C (-1; 4; 2), D(1; -2;1) h) A(-3; 2; 4), B(2; 5; -2), C (1; -2; 2), D(4; 2; 3) i) A(3; 4; 8), B(-1; 2;1), C (5; 2; 6), D (-7; 4; 3) k) A(-3; -2; 6), B(-2; 4; 4), C (9; 9; -1), D (0; 0;1) Baøi 9. Cho hình hoäp ABCD.A'B'C'D'. · Tìm toaï ñoä caùc ñænh coøn laïi. · Tính theå tích khoái hoäp. a) A (1; 0;1) , B ( 2;1; 2 ) , D (1; -1;1) , C ' ( 4; 5; -5 ) b) A(2; 5; -3), B(1; 0; 0), C (3; 0; -2), A '(-3; -1; 2) c) A(0; 2;1), B(1; -1;1), D (0; 0; 0;), A '(-1;1; 0) d) A(0; 2; 2), B(0;1; 2), C (-1;1;1), C '(1; -2; -1) Baøi 10. Cho boán ñieåm S(3; 1; –2), A(5; 3; 1), B(2; 3; –4), C(1; 2; 0). a) Chöùng minh SA ^ (SBC), SB ^ (SAC), SC ^ (SAB). b) Chöùng minh S.ABC laø moät hình choùp ñeàu. c) Xaùc ñònh toaï ñoä chaân ñöôøng cao H cuûa hình choùp. Suy ra ñoä daøi ñöôøng cao SH. Baøi 11. Cho boán ñieåm S(1; 2; 3), A(2; 2; 3), B(1; 3; 3), C(1; 2; 4). a) Chöùng minh SA ^ (SBC), SB ^ (SAC), SC ^ (SAB). b) Goïi M, N, P laàn löôït laø trung ñieåm cuûa BC, CA, AB. Chöùng minh SMNP laø töù dieän ñeàu. c) Veõ SH ^ (ABC). Goïi S¢ laø ñieåm ñoái xöùng cuûa H qua S. Chöùng minh S¢ABC laø töù dieän ñeàu. Baøi 12. Cho hình hoäp chöõ nhaät uuu uur OABC.DEFG. Goïi I laø taâm uuua hình hoäp. uuu uuu cuûr r rr a) Phaân tích caùc vectô OI , AG theo caùc vectô OA, OC , OD . uur uuu uuu uu r rr b) Phaân tích vectô BI theo caùc vectô FE , FG , FI . Baøi 13. Cho hình laäp phöông ABCD.EFGH. r uuu uuur uuu r uuu r a) Phaân tích vectô AE theo caùc vectô AC , AF , AH . uuu uuu uuur rr uuur b) Phaân tích vectô AG theo caùc vectô AC , AF , AH . Baøi 14. Cho hình hoäp ABCD.A'B'C'D'. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AD vaø BB¢. Chöùng minh raèng MN ^ A¢C. Baøi 15. Cho hình laäp phöông ABCD.A'B'C'D' vôùi caïnh baèng 1. Treân caùc caïnh BB¢, CD, A¢D¢ laàn löôït laáy caùc ñieåm M, N, P sao cho B¢M = CN = D¢P = x (0 < x < 1). Chöùng minh AC¢ vuoâng goùc vôùi maët phaúng (MNP). Trang 32
  9. Traàn Só Tuøng PP Toaï ñoä trong khoâng gian VAÁN ÑEÀ 3: Phöông trình maët caàu Ñeå vieát phöông trình maët caàu (S), ta caàn xaùc ñònh taâm I vaø baùn kính R cuûa maët caàu. Daïng 1: (S) coù taâm I(a; b; c) vaø baùn kính R: (S): ( x - a)2 + ( y - b)2 + ( z - c )2 = R 2 Daïng 2: (S) coù taâm I(a; b; c) vaø ñi qua ñieåm A: Khi ñoù baùn kính R = IA. Daïng 3: (S) nhaän ñoaïn thaúng AB cho tröôùc laøm ñöôøng kính: x + xB y +y z +z – Taâm I laø trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng AB: xI = A ; yI = A B ; zI = A B . 2 2 2 AB – Baùn kính R = IA = . 2 Daïng 4: (S) ñi qua boán ñieåm A, B, C, D (maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD): – Giaû söû phöông trình maët caàu (S) coù daïng: x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 (*). – Thay laàn löôït toaï ñoä cuûa caùc ñieåm A, B, C, D vaøo (*), ta ñöôïc 4 phöông trình. – Giaûi heä phöông trình ñoù, ta tìm ñöôïc a, b, c, d Þ Phöông trình maët caàu (S). Daïng 5: (S) ñi qua ba ñieåm A, B, C vaø coù taâm I naèm treân maët phaúng (P) cho tröôùc: Giaûi töông töï nhö daïng 4. Daïng 6: (S) coù taâm I vaø tieáp xuùc vôùi maët caàu (T) cho tröôùc: – Xaùc ñònh taâm J vaø baùn kính R¢ cuûa maët caàu (T). – Söû duïng ñieàu kieän tieáp xuùc cuûa hai maët caàu ñeå tính baùn kính R cuûa maët caàu (S). (Xeùt hai tröôøng hôïp tieáp xuùc trong vaø tieáp xuùc ngoaøi) Chuù yù: Vôùi phöông trình maët caàu (S): x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 vôùi a2 + b 2 + c 2 - d > 0 a2 + b2 + c2 - d . thì (S) coù taâm I(–a; –b; –c) vaø baùn kính R = Baøi 1. Tìm taâm vaø baùn kính cuûa caùc maët caàu sau: a) x 2 + y 2 + z 2 - 8 x + 2 y + 1 = 0 b) x 2 + y 2 + z 2 + 4 x + 8y - 2 z - 4 = 0 c) x 2 + y 2 + z2 - 2 x - 4 y + 4 z = 0 d) x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + 4 y - 2z - 86 = 0 e) x 2 + y 2 + z2 - 12 x + 4 y - 6 z + 24 = 0 f) x 2 + y 2 + z2 - 6 x - 12 y + 12 z + 72 = 0 g) x 2 + y 2 + z 2 - 8 x + 4 y + 2 z - 4 = 0 h) x 2 + y 2 + z2 - 3 x + 4 y = 0 i) 3 x 2 + 3y 2 + 3z2 + 6 x - 3y + 15z - 2 = 0 k) x 2 + y 2 + z2 - 6 x + 2 y - 2z + 10 = 0 Baøi 2. Xaùc ñònh m, t, a, … ñeå phöông trình sau xaùc ñònh moät maët caàu, tìm taâm vaø baùn kính cuûa caùc maët caàu ñoù: a) x 2 + y 2 + z2 - 2(m + 2) x + 4my - 2mz + 5m 2 + 9 = 0 b) x 2 + y 2 + z2 - 2(3 - m) x - 2(m + 1) y - 2mz + 2m 2 + 7 = 0 c) x 2 + y 2 + z2 + 2(cos a + 1) x - 4 y - 2 cos a .z + cos 2a + 7 = 0 d) x 2 + y 2 + z2 + 2(3 - 2 cos 2 a ) x + 4(sin 2 a - 1) y + 2 z + cos 4a + 8 = 0 e) x 2 + y 2 + z2 - 2 ln t.x + 2 y - 6 z + 3 ln t + 8 = 0 f) x 2 + y 2 + z2 + 2(2 - ln t ) x + 4 ln t.y + 2(ln t + 1)z + 5 ln 2 t + 8 = 0 Trang 33
  10. PP Toaï ñoä trong khoâng gian Traàn Só Tuøng Baøi 3. Vieát phöông trình maët caàu coù taâm I vaø baùn kính R: a) I (1; -3; 5), R = 3 b) I (5; -3; 7), R = 2 c) I (1; -3; 2), R = 5 d) I (2; 4; -3), R = 3 Baøi 4. Vieát phöông trình maët caàu coù taâm I vaø ñi qua ñieåm A: a) I (2; 4; -1), A(5; 2; 3) b) I (0; 3; -2), A(0; 0; 0) c) I (3; -2;1), A(2;1; -3) d) I (4; -4; -2), A(0; 0; 0) e) I (4; -1; 2), A(1; -2; -4) Baøi 5. Vieát phöông trình maët caàu coù ñöôøng kính AB, vôùi: a) A(2; 4; -1), B(5; 2; 3) b) A(0; 3; -2), B(2; 4; -1) c) A(3; -2;1), B(2;1; -3) d) A(4; -3; -3), B(2;1; 5) e) A(2; -3; 5), B(4;1; -3) f) A(6; 2; -5), B(-4; 0; 7) Baøi 6. Vieát phöông trình maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD, vôùi: A (1;1; 0 ) , B ( 0; 2;1) , C (1; 0; 2 ) , D (1;1;1) b) A ( 2; 0; 0 ) , B ( 0; 4; 0 ) , C ( 0; 0; 6 ) , D ( 2; 4; 6 ) a) c) A(2; 3;1), B(4;1; -2), C (6; 3; 7), D (-5; -4; 8) d) A(5; 7; -2), B(3;1; -1), C (9; 4; -4), D(1; 5; 0) e) A(6; -2; 3), B(0;1; 6), C (2; 0; -1), D(4;1; 0) f) A(0;1; 0), B(2; 3;1), C (-2; 2; 2), D(1; -1; 2) Baøi 7. Vieát phöông trình maët caàu ñi qua ba ñieåm A, B, C vaø coù taâm naèm trong maët phaúng (P) cho tröôùc, vôùi: ì A(1; 2; 0), B(-1;1; 3), C (2; 0; -1) ì A(2; 0;1), B(1; 3; 2), C (3; 2; 0) a) í b) í ( P ) º (Oxz) î( P ) º (Oxy ) î Baøi 8. Vieát phöông trình maët caàu (S) coù taâm I vaø tieáp xuùc vôùi maët caàu (T), vôùi: ìI (-5;1;1) ìI (-3; 2; 2) a) í b) í 2 2 2 2 2 2 î(T ) : x + y + z - 2 x + 4 y - 6 z + 5 = 0 î(T ) : x + y + z - 2 x + 4 y - 8z + 5 = 0 VAÁN ÑEÀ 4: Vò trí töông ñoái giöõa hai maët caàu maët caàu Cho hai maët caàu S1(I1, R1) vaø S2(I2, R2). · I1I 2 < R1 - R2 Û (S1), (S2) trong nhau · I1I 2 > R1 + R2 Û (S1), (S2) ngoaøi nhau · I1I 2 = R1 - R2 Û (S1), (S2) tieáp xuùc trong · I1I 2 = R1 + R2 Û (S1), (S2) tieáp xuùc ngoaøi · R1 - R2 < I1I 2 < R1 + R2 Û (S1), (S2) caét nhau theo moät ñöôøng troøn. Baøi 1. Xeùt vò trí töông ñoái cuûa hai maët caàu: ì ì( x + 1)2 + ( y - 2)2 + ( z - 3)2 = 9 ï x 2 + y 2 + z2 - 8 x + 4 y - 2 z - 4 = 0 ï a) í 2 b) í 2 2 2 2 2 ï x + y + z + 4 x - 2 y - 4z + 5 = 0 ï x + y + z - 6 x - 10 y - 6z - 21 = 0 î î ì x 2 + y 2 + z2 - 2 x + 4 y - 10 z + 5 = 0 ì x 2 + y 2 + z2 - 8 x + 4 y - 2z - 15 = 0 ï ï c) í 2 d) í 2 2 2 2 2 ï x + y + z - 4 x - 6 y + 2z - 2 = 0 ï x + y + z + 4 x - 12 y - 2 z + 25 = 0 î î ì x 2 + y 2 + z2 - 2 x - 6 y + 4z + 5 = 0 ì x 2 + y 2 + z2 + 4 x - 2 y + 2 z - 3 = 0 ï ï e) í 2 f) í 2 2 2 2 2 ï x + y + z - 6 x + 2 y - 4z - 2 = 0 ï x + y + z - 6 x + 4 y - 2z - 2 = 0 î î Baøi 2. Bieän luaän theo m vò trí töông ñoái cuûa hai maët caàu: ì ì( x - 3)2 + ( y + 2)2 + ( z + 1)2 = 81 ï( x - 2)2 + ( y - 1)2 + ( z + 3)2 = 64 ï a) í b) í 2 2 2 2 2 2 2 2 ï( x - 4) + ( y + 2) + ( z - 3) = (m + 2) ï( x - 1) + ( y - 2) + ( z - 3) = (m - 3) î î ì( x + 2)2 + ( y - 2)2 + ( z - 1)2 = 25 ì( x + 3)2 + ( y + 2)2 + (z + 1)2 = 16 ï ï c) í d) í 2 2 2 2 2 2 2 2 ï( x + 1) + ( y + 2) + ( z + 3) = (m - 1) ï( x - 1) + ( y - 2) + ( z - 3) = (m + 3) î î Trang 34
  11. Traàn Só Tuøng PP Toaï ñoä trong khoâng gian VAÁN ÑEÀ 5: Taäp hôïp ñieåm laø maët caàu – Taäp hôïp taâm maët caàu 1. Taäp hôïp ñieåm laø maët caàu Giaû söû tìm taäp hôïp ñieåm M thoaû tính chaát (P) naøo ñoù. – Tìm heä thöùc giöõa caùc toaï ñoä x, y, z cuûa ñieåm M. Chaúng haïn coù daïng: ( x - a )2 + ( y - b )2 + ( z - c )2 = R 2 hoaëc: x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 – Tìm giôùi haïn quó tích (neáu coù). 2. Tìm taäp hôïp taâm maët caàu ì x = f (t ) ï – Tìm toaï ñoä cuûa taâm I, chaúng haïn: í y = g(t ) (*) ïz = h(t ) î – Khöû t trong (*) ta coù phöông trình taäp hôïp ñieåm. – Tìm giôùi haïn quó tích (neáu coù). Baøi 1. Cho hai ñieåm A(1; 2; 1), B(3; 1; –2). Tìm taäp hôïp caùc ñieåm M(x; y; z) sao cho: MA c) MA 2 + MB 2 = k 2 (k > 0) a) MA 2 + MB 2 = 30 b) =2 MB Baøi 2. Cho hai ñieåm A(2; –3; –1), B(–4; 5; –3). Tìm taäp hôïp caùc ñieåm M(x; y; z) sao cho: MA c) · = 900 3 a) MA 2 + MB 2 = 124 b) AMB = MB 2 e) MA 2 + MB 2 = 2(k 2 + 1) (k > 0) d) MA = MB Baøi 3. Tìm taäp hôïp caùc taâm I cuûa maët caàu sau khi m thay ñoåi: a) x 2 + y 2 + z2 - 4 x - 6 y + 2(m - 3)z + 19 - 2m = 0 b) x 2 + y 2 + z 2 + 2(m - 2) x + 4 y - 2 z + 2m + 4 = 0 c) x 2 + y 2 + z2 + 2 x - 4 y + 2(m + 1)z + 2m 2 + 6 = 0 d) x 2 + y 2 + z2 - 4(2 + cos m) x - 2(5 + 2 sin m )y - 6 z + cos 2m + 1 = 0 e) x 2 + y 2 + z2 + 2(3 - 4 cos m) x - 2(4 sin m + 1)y - 4 z - 5 - 2 sin 2 m = 0 Trang 35
  12. PP Toaï ñoä trong khoâng gian Traàn Só Tuøng III. PHÖÔNG TRÌNH MAËT PHAÚNG 1. Vectô phaùp tuyeán – Caëp vectô chæ phöông cuûa maët phaúng rr r · Vectô n ¹ 0 laø VTPT cuûa (a) neáu giaù cuûa n vuoâng goùc vôùi (a). rr · Hai vectô a , b khoâng cuøng phöông laø caëp VTCP cuûa (a) neáu caùc giaù cuûa chuùng song song hoaëc naèm treân (a). r r Chuù yù: · Neáu n laø moät VTPT cuûa (a) thì kn (k ≠ 0) cuõng laø VTPT cuûa (a). rr r rr · Neáu a , b laø moät caëp VTCP cuûa (a) thì n = [ a , b ] laø moät VTPT cuûa (a). 2. Phöông trình toång quaùt cuûa maët phaúng Ax + By + Cz + D = 0 vôùi A2 + B 2 + C 2 > 0 r · Neáu (a) coù phöông trình Ax + By + Cz + D = 0 thì n = ( A; B; C ) laø moät VTPT cuûa (a). r · Phöông trình maët phaúng ñi qua M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) vaø coù moät VTPT n = ( A; B; C ) laø: A( x - x0 ) + B( y - y0 ) + C ( z - z0 ) = 0 3. Caùc tröôøng hôïp rieâng Caùc heä soá Phöông trình maët phaúng (a) Tính chaát maët phaúng (a) Ax + By + Cz = 0 D=0 (a) ñi qua goác toaï ñoä O By + Cz + D = 0 A=0 (a) // Ox hoaëc (a) É Ox Ax + Cz + D = 0 B=0 (a) // Oy hoaëc (a) É Oy Ax + By + D = 0 C=0 (a) // Oz hoaëc (a) É Oz Cz + D = 0 A=B=0 (a) // (Oxy) hoaëc (a) º (Oxy) By + D = 0 A=C=0 (a) // (Oxz) hoaëc (a) º (Oxz) Ax + D = 0 B=C=0 (a) // (Oyz) hoaëc (a) º (Oyz) Chuù yù: · Neáu trong phöông trình cuûa (a) khoâng chöùa aån naøo thì (a) song song hoaëc chöùa truïc töông öùng. xyz · Phöông trình maët phaúng theo ñoaïn chaén: + + =1 abc (a) caét caùc truïc toaï ñoä taïi caùc ñieåm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c) 4. Vò trí töông ñoái cuûa hai maët phaúng Cho hai maët phaúng (a), (b) coù phöông trình: (a): A1 x + B1y + C1z + D1 = 0 (b): A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 · (a), (b) caét nhau Û A1 : B1 : C1 ¹ A2 : B2 : C2 A1 B1 C1 D1 A1 B1 C1 D1 · (a) // (b) Û · (a) º (b) Û = = ¹ = = = A2 B2 C2 D2 A2 B2 C2 D2 · (a) ^ (b) Û A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0 5. Khoaûng caùch töø ñieåm M0(x0; y0; z0) ñeán maët phaúng (a): Ax + By + Cz + D = 0 Ax0 + By0 + Cz0 + D d ( M0 ,(a ) ) = A2 + B 2 + C 2 Trang 36
  13. Traàn Só Tuøng PP Toaï ñoä trong khoâng gian VAÁN ÑEÀ 1: Vieát phöông trình maët phaúng Ñeå laäp phöông trình maët phaúng (a) ta caàn xaùc ñònh moät ñieåm thuoäc (a) vaø moät VTPT cuûa noù. r Daïng 1: (a) ñi qua ñieåm M ( x0 ; y0 ; z0 ) coù VTPT n = ( A; B;C ) : (a): A ( x - x0 ) + B ( y - y0 ) + C ( z - z0 ) = 0 rr Daïng 2: (a) ñi qua ñieåm M ( x0 ; y0 ; z0 ) coù caëp VTCP a , b : r rr Khi ñoù moät VTPT cuûa (a) laø n = [ a , b ] . Daïng 3: (a) ñi qua ñieåm M ( x0 ; y0 ; z0 ) vaø song song vôùi maët phaúng (b): Ax + By + Cz + D = 0: (a): A ( x - x0 ) + B ( y - y0 ) + C ( z - z0 ) = 0 Daïng 4: (a) ñi qua 3 ñieåm khoâng thaúng haøng A, B, C: r uuu uuu rr Khi ñoù ta coù theå xaùc ñònh moät VTPT cuûa (a) laø: n = é AB, AC ù ë û Daïng 5: (a) ñi qua moät ñieåm M vaø moät ñöôøng thaúng (d) khoâng chöùa M: r – Treân (d) laáy ñieåm A vaø VTCP u . uuur r r – Moät VTPT cuûa (a) laø: n = é AM , u ù ë û Daïng 6: (a) ñi qua moät ñieåm M vaø vuoâng goùc vôùi moät ñöôøng thaúng (d): r VTCP u cuûa ñöôøng thaúng (d) laø moät VTPT cuûa (a). Daïng 7: (a) ñi qua 2 ñöôøng thaúng caét nhau d1, d2: rr – Xaùc ñònh caùc VTCP a , b cuûa caùc ñöôøng thaúng d1, d2. r rr – Moät VTPT cuûa (a) laø: n = [ a , b ] . – Laáy moät ñieåm M thuoäc d1 hoaëc d2 Þ M Î (a). Daïng 8: (a) chöùa ñöôøng thaúng d1 vaø song song vôùi ñöôøng thaúng d2 (d1, d2 cheùo nhau): rr – Xaùc ñònh caùc VTCP a , b cuûa caùc ñöôøng thaúng d1, d2. r rr – Moät VTPT cuûa (a) laø: n = [ a , b ] . – Laáy moät ñieåm M thuoäc d1 Þ M Î (a). Daïng 9: (a) ñi qua ñieåm M vaø song song vôùi hai ñöôøng thaúng cheùo nhau d1, d2: rr – Xaùc ñònh caùc VTCP a , b cuûa caùc ñöôøng thaúng d1, d2. r rr – Moät VTPT cuûa (a) laø: n = [ a , b ] . Daïng 10: (a) ñi qua moät ñöôøng thaúng (d) vaø vuoâng goùc vôùi moät maët phaúng (b): r r – Xaùc ñònh VTCP u cuûa (d) vaø VTPT nb cuûa (b). r rr – Moät VTPT cuûa (a) laø: n = é u , nb ù . ë û – Laáy moät ñieåm M thuoäc d Þ M Î (a). Daïng 11: (a) ñi qua ñieåm M vaø vuoâng goùc vôùi hai maët phaúng caét nhau (b), (g): rr – Xaùc ñònh caùc VTPT nb , ng cuûa (b) vaø (g). r rr – Moät VTPT cuûa (a) laø: n = éub , ng ù . ë û Daïng 12: (a) ñi qua ñöôøng thaúng (d) cho tröôùc vaø caùch ñieåm M cho tröôùc moät khoaûng k cho tröôùc: – Giaû söû (a) coù phöông trình: Ax + By + Cz+D = 0 ( A2 + B 2 + C 2 ¹ 0 ) . – Laáy 2 ñieåm A, B Î (d) Þ A, B Î (a) (ta ñöôïc hai phöông trình (1), (2)). – Töø ñieàu kieän khoaûng caùch d ( M ,(a )) = k , ta ñöôïc phöông trình (3). – Giaûi heä phöông trình (1), (2), (3) (baèng caùch cho giaù trò moät aån, tìm caùc aån coøn laïi). Daïng 13: (a) laø tieáp xuùc vôùi maët caàu (S) taïi ñieåm H: – Giaû söû maët caåu (S) coù taâm I vaø baùn kính R. Trang 37
  14. PP Toaï ñoä trong khoâng gian Traàn Só Tuøng uur r – Moät VTPT cuûa (a) laø: n = IH Chuù yù: Ñeå vieát phöông trình maët phaúng caàn naém vöõng caùc caùch xaùc ñònh maët phaúng ñaõ hoïc ôû lôùp 11. r Baøi 1. Vieát phöông trình maët phaúng (P) ñi qua ñieåm M vaø coù VTPT n cho tröôùc: r r r a) M ( 3;1;1) , n = ( -1;1;2 ) b) M ( -2;7; 0 ) , n = ( 3; 0;1) c) M ( 4; -1; -2 ) , n = ( 0;1;3 ) r r r d) M ( 2;1; -2 ) , n = (1; 0; 0 ) e) M ( 3;4;5 ) , n = (1; -3; -7 ) f) M (10;1;9 ) , n = ( -7;10;1) Baøi 2. Vieát phöông trình maët phaúng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng AB cho tröôùc, vôùi: a) A(2;1;1), B(2; -1; -1) b) A(1; -1; -4), B(2; 0; 5) c) A(2; 3; -4), B(4; -1; 0) æ1 ö æ 1ö æ 2 1ö æ 1ö d) A ç ; -1; 0 ÷ , B ç 1; - ;5 ÷ e) A ç 1; ; ÷ , B ç -3; ;1 ÷ f) A(2; -5; 6), B(-1; -3; 2) è2 2ø è 3 2ø 3ø ø è è rr Baøi 3. Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua ñieåm M vaø coù caëp VTCP a , b cho tröôùc, vôùi: r r r r a) M (1; 2; -3), a = (2;1; 2), b = (3; 2; -1) b) M (1; -2; 3), a = 3; -1; -2), b = (0; 3; 4) r r r r c) M (-1; 3; 4), a = (2; 7; 2), b = (3; 2; 4) d) M (-4; 0; 5), a = (6; -1; 3); b = (3; 2;1) Baøi 4. Vieát phöông trình maët phaúng (a) ñi qua ñieåm M vaø song song vôùi maët phaúng (b ) cho tröôùc, vôùi: a) M ( 2;1; 5 ) , ( b ) = (Oxy ) b) M (1; -2;1) , ( b ) : 2 x - y + 3 = 0 c) M ( -1;1; 0 ) , ( b ) : x - 2 y + z - 10 = 0 d) M ( 3; 6; -5) , ( b ) : - x + z - 1 = 0 e) M (2; -3; 5), ( b ) : x + 2 y - z + 5 = 0 f) M (1;1;1), ( b ) : 10 x - 10 y + 20z - 40 = 0 Baøi 5. Vieát phöông trình maët phaúng (a) ñi qua ñieåm M vaø laàn löôït song song vôùi caùc maët phaúng toaï ñoä, vôùi: a) M ( 2;1; 5 ) b) M (1; -2;1) c) M ( -1;1; 0 ) d) M ( 3; 6; -5 ) e) M (2; -3; 5) f) M (1;1;1) g) M (-1;1; 0) h) M (3; 6; -5) Baøi 6. Vieát phöông trình maët phaúng (a) ñi qua ba ñieåm A, B, C khoâng thaúng haøng cho tröôùc, vôùi: a) A(1; -2; 4), B(3; 2; -1), C (-2;1; -3) b) A(0; 0; 0), B(-2; -1; 3), C (4; -2;1) c) A(-1; 2; 3), B(2; -4; 3), C (4; 5; 6) d) A(3; -5; 2), B(1; -2; 0), C (0; -3; 7) e) A(2; -4; 0), B(5;1; 7), C (-1; -1; -1) f) A(3; 0; 0), B(0; -5; 0), C (0; 0; -7) Baøi 7. Vieát phöông trình maët phaúng (a) ñi qua ñieåm A vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm B, C cho tröôùc, vôùi: a) A(1; -2; 4), B(3; 2; -1), C (-2;1; -3) b) A(0; 0; 0), B(-2; -1; 3), C (4; -2;1) c) A(-1; 2; 3), B(2; -4; 3), C (4; 5; 6) d) A(3; -5; 2), B(1; -2; 0), C (0; -3; 7) e) A(2; -4; 0), B(5;1; 7), C (-1; -1; -1) f) A(3; 0; 0), B(0; -5; 0), C (0; 0; -7) Baøi 8. Vieát phöông trình maët phaúng (a) ñi qua hai ñieåm A, B vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng (b) cho tröôùc, vôùi: ì A(3;1; -1), B(2; -1; 4) ì A(-2; -1; 3), B(4; -2;1) ì A(2; -1; 3), B(-4; 7; -9) a) í b) í c) í î( b ) : 2 x - y + 3z - 1 = 0 î( b ) : 2 x + 3y - 2 z + 5 = 0 î( b ) : 3x + 4 y - 8z - 5 = 0 ì A(3; -1; -2), B(-3;1; 2) d) í î( b ) : 2 x - 2 y - 2 z + 5 = 0 Baøi 9. Vieát phöông trình maët phaúng (a) ñi qua ñieåm M vaø vuoâng goùc vôùi hai maët phaúng (b), (g) cho tröôùc, vôùi: a) M (-1; -2; 5), ( b ) : x + 2 y - 3z + 1 = 0, (g ) : 2 x - 3y + z + 1 = 0 Trang 38
  15. Traàn Só Tuøng PP Toaï ñoä trong khoâng gian b) M (1; 0; -2), ( b ) : 2 x + y - z - 2 = 0, ( g ) : x - y - z - 3 = 0 c) M (2; -4; 0), ( b ) : 2 x + 3y - 2z + 5 = 0, (g ) : 3 x + 4 y - 8z - 5 = 0 d) M (5;1; 7), ( b ) : 3x - 4 y + 3z + 6 = 0, (g ) : 3x - 2 y + 5z - 3 = 0 Baøi 10. Vieát phöông trình maët phaúng (a) ñi qua ñieåm M vaø giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (P), (Q) cho tröôùc, vôùi: a) M (1; 2; -3) , ( P ) : 2 x - 3y + z - 5 = 0, ( Q ) : 3 x - 2 y + 5z - 1 = 0 b) M ( 2;1; -1) , ( P ) : x - y + z - 4 = 0, (Q ) : 3x - y + z - 1 = 0 c) M ( 3; 4;1) , ( P ) : 19 x - 6 y - 4z + 27 = 0, ( Q ) :42 x - 8y + 3z + 11 = 0 d) M ( 0; 0;1) , ( P ) : 5 x - 3y + 2 z - 5 = 0, (Q ) : 2 x - y - z - 1 = 0 Baøi 11. Vieát phöông trình maët phaúng (a) qua giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (P), (Q), ñoàng thôøi song song vôùi maët phaúng (R) cho tröôùc, vôùi: a) ( P ) : y + 2z - 4 = 0, (Q ) : x + y - z - 3 = 0, ( R) : x + y + z - 2 = 0 b) ( P ) : x - 4 y + 2z - 5 = 0, (Q) : y + 4 z - 5 = 0, ( R) : 2 x - y + 19 = 0 c) ( P ) : 3x - y + z - 2 = 0, (Q ) : x + 4 y - 5 = 0, ( R) : 2 x - z + 7 = 0 Baøi 12. Vieát phöông trình maët phaúng (a) qua giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (P), (Q), ñoàng thôøi vuoâng goùc vôùi maët phaúng (R) cho tröôùc, vôùi: a) ( P ) : 2 x + 3y - 4 = 0, (Q ) : 2 y - 3z - 5 = 0, ( R) : 2 x + y - 3z - 2 = 0 b) ( P ) : y + 2z - 4 = 0, (Q ) : x + y - z + 3 = 0, ( R) : x + y + z - 2 = 0 c) ( P ) : x + 2 y - z - 4 = 0, (Q ) : 2 x + y + z + 5 = 0, ( R) : x - 2 y - 3z + 6 = 0 d) ( P ) : 3x - y + z - 2 = 0, (Q ) : x + 4 y - 5 = 0, ( R) : 2 x - z + 7 = 0 Baøi 13. Vieát phöông trình maët phaúng (a) qua giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (P), (Q), ñoàng thôøi caùch ñieåm M cho tröôùc moät khoaûng baèng k, vôùi: a) ( P ): x - y - 2 = 0, (Q ) : 5 x - 13y + 2 z = 0, M (1; 2; 3), k = 2 VAÁN ÑEÀ 2: Vò trí töông ñoái cuûa hai maët phaúng Baøi 1. Xeùt vò trí töông ñoái cuûa caùc caëp maët phaúng sau: ì2 x + 3y - 2z + 5 = 0 ì3 x - 4 y + 3z + 6 = 0 ì5 x + 5 y - 5z - 1 = 0 a) í b) í c) í î3 x + 4 y - 8z - 5 = 0 î3 x - 2 y + 5z - 3 = 0 î3 x + 3y - 3z + 7 = 0 ì2 x - 2 y - 4z + 5 = 0 ì 6 x - 4 y - 6z + 5 = 0 ì3 x - 2 y - 6 z - 23 = 0 ï d) í e) í f) í 25 î12 x - 8y - 12z - 5 = 0 î3 x - 2 y - 6 z + 33 = 0 ï5 x - 5y - 10z + 2 = 0 î Baøi 2. Xaùc ñònh m, n ñeå caùc caëp maët phaúng sau: · song song · caét nhau · truøng nhau ì3 x + my - 2 z - 7 = 0 ì5 x - 2 y + mz - 11 = 0 ì2 x + my + 3z - 5 = 0 a) í b) í c) í î nx + 7 y - 6 z + 4 = 0 î 3x + ny + z - 5 = 0 înx - 6 y - 6 z + 2 = 0 ì3 x - y + mz - 9 = 0 ì 2 x + y + 3z - 5 = 0 ì3 x - 5y + mz - 3 = 0 d) í e) í f) í î2 x + ny + 2 z - 3 = 0 îmx - 6 y - 6 z - 2 = 0 î 2 x + y - 3z + 1 = 0 ì3 x - (m - 3) y + 2z - 5 = 0 ì x + my - z + 2 = 0 ì2 x - ny + 2z - 1 = 0 g) í h) í i) í î(m + 2) x - 2 y + mz - 10 = 0 î2 x + y + 4nz - 3 = 0 î3 x - y + mz - 2 = 0 Baøi 3. Xaùc ñònh m ñeå caùc caëp maët phaúng sau vuoâng goùc vôùi nhau ì(2m - 1) x - 3my + 2 z + 3 = 0 ì2 x - 7 y + mz + 2 = 0 a) í b) í î mx + (m - 1)y + 4 z - 5 = 0 î 3x + y - 2 z + 15 = 0 Trang 39
  16. PP Toaï ñoä trong khoâng gian Traàn Só Tuøng ì3 x - (m - 3) y + 2z - 5 = 0 ìmx + 2 y + mz - 12 = 0 c) í d) í î(m + 2) x - 2 y + mz - 10 = 0 x + my + z + 7 = 0 î 4 x - 3y - 3z = 0 ì3 x - 5y + mz - 3 = 0 ì e) í f) í mx + 2 y - 7 z - 1 = 0 î x + 3y + 2 z + 5 = 0 î VAÁN ÑEÀ 3: Khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán moät maët phaúng. Khoaûng caùch giöõa hai maët phaúng song song. Hình chieáu cuûa moät ñieåm treân maët phaúng . Ñieåm ñoái xöùng cuûa moät ñieåm qua maët phaúng. · Khoaûng caùch töø ñieåm M0(x0; y0; z0) ñeán maët phaúng (a): Ax + By + Cz + D = 0 Ax0 + By0 + Cz0 + D d ( M0 ,(a ) ) = A2 + B 2 + C 2 · Khoaûng caùch giöõa hai maët phaúng song song baèng khoaûng caùch töø moät ñieåm baát kì treân maët phaúng naøy ñeán maët phaúng kia. Chuù yù: Neáu hai maët phaúng khoâng song song thì khoaûng caùch giöõa chuùng baèng 0. uuuu r r ì MH , n cuøng phöông · Ñieåm H laø hình chieáu cuûa ñieåm M treân (P) Û í H Î (P) uuuuuî uuuu r r · Ñieåm M¢ ñoái xöùng vôùi ñieåm M qua (P) Û MM ¢ = 2 MH Baøi 1. Cho maët phaúng (P) vaø ñieåm M. · Tính khoaûng caùch töø M ñeán (P). · Tìm toaï ñoä hình chieáu H cuûa M treân (P). · Tìm toaï ñoä ñieåm M¢ ñoái xöùng vôùi M qua (P). a) ( P ) : 2 x - y + 2z - 6 = 0, M (2; -3; 5) b) ( P ) : x + y + 5z - 14 = 0, M (1; -4; -2) c) ( P ) : 6 x - 2 y + 3z + 12 = 0, M (3;1; -2) d) ( P ) : 2 x - 4 y + 4z + 3 = 0, M (2; -3; 4) e) ( P ) : x - y + z - 4 = 0, M (2;1; -1) f) ( P ) : 3x - y + z - 2 = 0, M (1; 2; 4) Baøi 2. Tìm khoaûng caùch giöõa hai maët phaúng: ì x - 2 y + 3z + 1 = 0 ì6 x - 2 y + z + 1 = 0 ì 2 x - y + 4z + 5 = 0 a) í b) í c) í î2 x - y + 3z + 5 = 0 î6 x - 2 y + z - 3 = 0 î3 x + 5y - z - 1 = 0 ì4 x - y + 8z + 1 = 0 ì 2 x - y + 4z + 5 = 0 ì3 x + 6 y - 3z + 7 = 0 d) í e) í f) í 4 x - y + 8z + 5 = 0 3 x + 5y - z - 1 = 0 î x + 2y - z + 1 = 0 î î Baøi 3. Tìm taäp hôïp caùc ñieåm caùch maët phaúng moät khoaûng baèng k cho tröôùc: a) 6 x - 3y + 2z - 7 = 0, k = 3 b) 3 x - 2 y - 6z + 5 = 0, k = 4 c) 6 x - 2 y + 3z + 12 = 0, k = 2 d) 2 x - 4 y + 4z - 14 = 0, k = 3 Baøi 4. Tìm taäp hôïp caùc ñieåm caùch ñeàu hai maët phaúng: ì x - 2 y + 3z + 1 = 0 ì6 x - 2 y + z + 1 = 0 ì 2 x - y + 4z + 5 = 0 a) í b) í c) í î2 x - y + 3z + 5 = 0 î6 x - 2 y + z - 3 = 0 î3 x + 5y - z - 1 = 0 ì4 x - y + 8z + 1 = 0 ì 2 x - y + 4z + 5 = 0 ì3 x + 6 y - 3z + 7 = 0 d) e) í f) í í4 x - y + 8z + 5 = 0 3 x + 5y - z - 1 = 0 î x + 2y - z + 1 = 0 î î Baøi 5. Tìm taäp hôïp caùc ñieåm coù tyû soá caùc khoaûng caùch ñeán hai maët phaúng baèng k cho tröôùc: ì x + 2 y - 2z - 10 = 0 ì6 x - 2 y + z + 1 = 0 ì6 x + 3 y - 2 z - 1 = 0 ï2 x + 4 y - 4z + 3 = 0 ï6 x - 2 y + z - 3 = 0 c) ï2 x + 2 y - z + 6 = 0 a) b) ï ï ï í í í 2 1 ïk = 4 ïk = ïk = ï ï ï î î î 3 2 7 Baøi 6. Tìm ñieåm M treân truïc Ox (Oy, Oz) caùch ñeàu ñieåm N vaø maët phaúng (P): Trang 40
  17. Traàn Só Tuøng PP Toaï ñoä trong khoâng gian a) ( P ) : 2 x + 2 y + z - 5 = 0, N (1; 2; -2) b) ( P ) : x + y + 5z - 14 = 0, N (1; -4; -2) c) ( P ) : 6 x - 2 y + 3z + 12 = 0, N (3;1; -2) d) ( P ) : 2 x - 4 y + 4 z + 3 = 0, N (2; -3; 4) e) ( P ) : x - y + z - 4 = 0, N (2;1; -1) f) ( P ) : 3 x - y + z - 2 = 0, N (1; 2; 4) Baøi 7. Tìm ñieåm M treân truïc Ox (Oy, Oz) caùch ñeàu hai maët phaúng: ìx + y - z +1 = 0 ì x + 2 y - 2z + 1 = 0 ì 2 x - y + 4z + 5 = 0 a) í b) í c) í4 x + 2 y - z - 1 = 0 îx - y + z - 5 = 0 î2 x + 2 y + z - 5 = 0 î ì4 x - y + 8z + 1 = 0 ì 2 x - y + 4z + 5 = 0 ì3 x + 6 y - 3z + 7 = 0 d) í e) í f) í x + 2y - z + 1 = 0 î4 x - y + 8z + 5 = 0 î3 x + 5y - z - 1 = 0 î Baøi 8. Tìm phöông trình toång quaùt cuûa maët phaúng (P) ñi qua ñieåm A vaø song song vôùi maët phaúng (Q) cho tröôùc. Tính khoaûng caùch giöõa (P) vaø (Q): a) A (1; 2; –3) , (Q) : 2 x - 4 y - z + 4 = 0 . b) A ( 3; 1; –2 ) , (Q ) : 6 x - 2 y + 3z + 12 = 0 . Baøi 9. Tìm phöông trình toång quaùt cuûa maët phaúng (P) song song vôùi maët phaúng (Q) vaø caùch ñieåm A moät khoaûng k cho tröôùc: a) (Q) : x + 2 y - 2 z + 5 = 0, A(2; -1; 4), k = 4 b) (Q) : 2 x - 4 y + 4 z + 3 = 0, A(2; -3; 4), k = 3 Baøi 10. Tìm phöông trình toång quaùt cuûa maët phaúng (P) caùch maët phaúng (Q) moät khoaûng k: a) (Q) : 3 x - y + 2 z - 3 = 0, k = 14 b) (Q) : 4 x + 3y - 2z + 5 = 0, k = 29 VAÁN ÑEÀ 4: Goùc giöõa hai maët phaúng Cho hai maët phaúng (a), (b) coù phöông trình: (a): A1x + B1y + C1z + D1 = 0 (b): A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 rr Goùc giöõa (a), (b) baèng hoaëc buø vôùi goùc giöõa hai VTPT n1 , n2 . rr n1.n2 A1 A2 + B1B2 + C1C2 cos ( (a ),( b ) ) = r r = n1 . n2 2 2 2 2 2 2 A1 + B1 + C1 . A2 + B2 + C2 ( ) · 00 £ · ) £ 900 . Chuù yù: (a ),( b · (a ) ^ ( b ) Û A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0 Baøi 1. Tính goùc giöõa hai maët phaúng: ìx + y - z +1 = 0 ì x + 2 y - 2z + 1 = 0 ì 2 x - y + 4z + 5 = 0 a) í b) í c) í x - y + z-5 = 0 2x + 2y + z - 5 = 0 î4 x + 2 y - z - 1 = 0 î î ì2 x - y - 2 z + 3 = 0 ì ì4 x + 4 y - 2z + 7 = 0 f ) í 3 x - 3y + 3z + 2 = 0 d) í e) í î2 x + 4 z - 5 = 0 î 2 y + 2z + 12 = 0 î4 x + 2 y + 4z - 9 = 0 Baøi 2. Tìm m ñeå goùc giöõa hai maët phaúng sau baèng a cho tröôùc: ì(2m - 1) x - 3my + 2 z + 3 = 0 ì(m + 2) x + 2my - mz + 5 = 0 ìmx + 2 y + mz - 12 = 0 ï ï ï a) ímx + (m - 1) y + 4z - 5 = 0 b) í x + my + z + 7 = 0 c) ímx + (m - 3) y + 2z - 3 = 0 ïa = 900 ïa = 450 ïa = 900 î î î ìmx - y + mz + 3 = 0 ï d) í(2m + 1) x + (m - 1) y + (m - 1)z - 6 = 0 ïa = 300 î Baøi 3. Cho töù dieän OABC coù caùc caïnh OA, OB, OC vuoâng goùc vôùi nhau töøng ñoâi moät. Goïi a , b , g laàn löôït laø caùc goùc hôïp bôûi caùc maët phaúng (OAB), (OBC), (OCA) vôùi maët phaúng (ABC). Baèng phöông phaùp toaï ñoä, chöùng minh raèng: a) Tam giaùc ABC coù ba goùc nhoïn b) cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1 Trang 41
  18. PP Toaï ñoä trong khoâng gian Traàn Só Tuøng VAÁN ÑEÀ 5: Vò trí töông ñoái giöõa maët phaúng vaø maët caàu. Phöông trình maët phaúng tieáp xuùc vôùi maët caàu Cho maët phaúng (a): Ax + By + Cz + D = 0 vaø maët caàu (S): ( x - a)2 + ( y - b)2 + ( z - c )2 = R 2 Û d ( I ,(a )) > R · (a) vaø (S) khoâng coù ñieåm chung Û d ( I ,(a )) = R · (a) tieáp xuùc vôùi (S) (a) laø tieáp dieän Ñeå tìm toaï ñoä tieáp ñieåm ta coù theå thöïc hieän nhö sau: – Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d ñi qua taâm I cuûa (S) vaø vuoâng goùc vôùi (a). – Tìm toaï ñoä giao ñieåm H cuûa d vaø (a). H laø tieáp ñieåm cuûa (S) vôùi (a). Û d ( I ,(a )) < R · (a) caét (S) theo moät ñöôøng troøn Ñeå xaùc ñònh taâm H vaø baùn kính r cuûa ñöôøng troøn giao tuyeán ta coù theå thöïc hieän nhö sau: – Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d ñi qua taâm I cuûa (S) vaø vuoâng goùc vôùi (a). – Tìm toaï ñoä giao ñieåm H cuûa d vaø (a). H laø taâm cuûa ñöôøng troøn giao tuyeán cuûa (S) vôùi (a). Baùn kính r cuûa ñöôøng troøn giao tuyeán: r = R 2 - IH 2 Baøi 1. Xeùt vò trí töông ñoái giöõa maët phaúng (P) vaø maët caàu (S): ì( P ) : 2 x + 2 y + z - 1 = 0 ì( P ) : 2 x - 3y + 6 z - 9 = 0 a) í b) í 2 2 2 2 2 2 î(S ) : x + y + z - 6 x - 2 y + 4z + 5 = 0 î(S ) : ( x - 1) + ( y - 3) + ( z + 2) = 16 ì( P ) : x + y - 2 z - 11 = 0 ì( P ) : x - 2 y + 2z + 5 = 0 c) í d) í 2 2 2 2 2 2 î(S ) : x + y + z + 2 x - 4 y - 2 z + 2 = 0 î(S ) : x + y + z - 6 x - 4 y - 8z + 13 = 0 ì( P ) : x + 2 y + 2 z = 0 ì( P ) : z - 3 = 0 e) í f) í 2 2 2 2 2 2 î(S ) : x + y + z - 6 x + 2 y - 2 z + 10 = 0 î(S ) : x + y + z - 6 x + 2 y - 16 z + 22 = 0 Baøi 2. Bieän luaän theo m, vò trí töông ñoái giöõa maët phaúng (P) vaø maët caàu (S): (S ) : x 2 + y 2 + z2 - 2(m - 1) x + 4my + 4z + 8m = 0 a) ( P ) : 2 x - 2 y - z - 4 = 0; (S ) : ( x - 1)2 + ( y + 2)2 + (z - 3)2 = (m - 1)2 b) ( P ) : 4 x - 2 y + 4 z - 5 = 0; (S ) : ( x - 2)2 + ( y - 1)2 + (z + 1)2 = (m + 2)2 c) ( P ) : 3x + 2 y - 6z + 7 = 0; (S ) : x 2 + y 2 + z2 + 4mx - 2(m + 1) y - 2z + +3m 2 + 5m - 4 = 0 d) ( P ) : 2 x - 3y + 6z - 10 = 0; Baøi 3. Vieát phöông trình maët caàu (S) coù taâm I vaø tieáp xuùc vôùi maët phaúng (P) cho tröôùc: a) I (3; -5; -2), (P ) : 2 x - y - 3z + 1 = 0 b) I (1; 4; 7), ( P ) : 6 x + 6 y - 7 z + 42 = 0 c) I (1;1; 2), ( P ) : x + 2 y + 2z + 3 = 0 d) I (-2;1;1), ( P ) : x + 2 y - 2 z + 5 = 0 Baøi 4. Vieát phöông trình maët phaúng (P) tieáp xuùc vôùi maët caàu (S) cho tröôùc: a) (S ) : ( x - 3)2 + ( y - 1)2 + ( z + 2)2 = 24 taïi M (-1; 3; 0) b) (S ) : x 2 + y 2 + z2 - 6 x - 2 y + 4 z + 5 = 0 taïi M (4; 3; 0) c) (S ) : ( x - 1)2 + ( y + 3)2 + (z - 2)2 = 49 taïi M (7; -1; 5) d) (S ) : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 2 y - 2z - 22 = 0 vaø song song vôùi maët phaúng 3 x - 2 y + 6z + 14 = 0 . e) (S ) : x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + 4 y + 2z - 11 = 0 vaø song song vôùi maët phaúng 4 x + 3z - 17 = 0 . f) (S ) : x 2 + y 2 + z2 - 2 x - 4 y + 4 z = 0 vaø song song vôùi maët phaúng x + 2 y + 2z + 5 = 0 . g) (S ) : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 6 y + 2 z + 8 = 0 vaø chöùa ñöôøng thaúng d : x = 4t + 4, y = 3t + 1, z = t + 1 Trang 42
  19. Traàn Só Tuøng PP Toaï ñoä trong khoâng gian h) Tieáp xuùc vôùi maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD taïi A vôùi A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; – 1), D(4; 1; 0). i) Tieáp xuùc vôùi maët caàu: x 2 + y 2 + z 2 - 10 x + 2 y + 26 z - 113 = 0 vaø song song vôùi 2 ñöôøng x + 5 y - 1 z + 13 x + 7 y +1 z - 8 thaúng: d1 : , d1 : . = = = = -3 -2 2 2 3 0 Baøi taäp oân: Phöông trình maët phaúng Baøi 1. Cho töù dieän ABCD. · Vieát phöông trình caùc maët cuûa töù dieän. · Vieát phöông trình maët phaúng chöùa moät caïnh vaø song song vôùi caïnh ñoái dieän. · Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua moät ñænh vaø song song vôùi maët ñoái dieän. · Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua caïnh AB vaø vuoâng goùc vôùi (BCD). · Vieát phöông trình maët phaúng trung tröïc cuûa caùc caïnh töù dieän. · Tìm toaï ñoä caùc ñieåm A¢, B¢, C¢, D¢ laàn löôït laø caùc ñieåm ñoái xöùng vôùi caùc ñieåm A, B, C, D qua caùc maët ñoái dieän. · Tính khoaûng caùch töø moät ñænh cuûa töù dieän ñeán maët ñoái dieän. · Vieát phöông trình maët caàu (S) ngoaïi tieáp töù dieän ABCD. Xaùc ñònh taâm I vaø baùn kính R cuûa (S). · Vieát phöông trình caùc tieáp dieän cuûa (S) taïi caùc ñænh A, B, C, D cuûa töù dieän. · Vieát phöông trình caùc tieáp dieän cuûa (S) song song vôùi caùc maët cuûa töù dieän. a) A ( 5;1; 3) , B (1; 6; 2 ) , C ( 5; 0; 4 ) , D ( 4; 0; 6 ) b) A (1;1; 0 ) , B ( 0; 2;1) , C (1; 0; 2 ) , D (1;1;1) c) A ( 2; 0; 0 ) , B ( 0; 4; 0 ) , C ( 0; 0; 6 ) , D ( 2; 4; 6 ) d) A(2; 3;1), B(4;1; -2), C (6; 3; 7), D (-5; -4; 8) e) A(5; 7; -2), B(3;1; -1), C (9; 4; -4), D(1; 5; 0) f) A(0;1; 0), B(2; 3;1), C (-2; 2; 2), D(1; -1; 2) Baøi 2. Cho hai maët phaúng (P), (Q) laàn löôït caét ba truïc toaï ñoä taïi caùc ñieåm: A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; –3) vaø E(–2; 0; 0), F(0; 1; 0), G(0; 0; 1). a) Tìm phöông trình toång quaùt cuûa (P) vaø (Q). b) Tính ñoä daøi ñöôøng cao cuûa hình choùp O.ABC. c) Tính goùc giöõa hai maët phaúng (P), (Q). Baøi 3. Cho boán ñieåm: A(1; 1; 1), B(3; 3; 1), C(3; 1; 3) vaø D(1; 3; 3). a) Chöùng minh ABCD laø moät töù dieän ñeàu. b) Chöùng minh töù dieän ABCD coù caùc caëp caïnh ñoái ñoâi moät vuoâng goùc. c) Tìm phöông trình toång quaùt cuûa caùc maët phaúng (ABC), (ABD), (ACD), (BCD). d) Tính goùc giöõa caùc caëp maët phaúng: (ABC) vaø (ABD), (BCD) vaø (ACD). Trang 43
  20. PP Toaï ñoä trong khoâng gian Traàn Só Tuøng IV. PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG 1. Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng · Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng d ñi qua ñieåm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) vaø coù VTCP r a = (a1; a2 ; a3 ) : ì x = xo + a1t ï (d ) : í y = yo + a2 t ( t Î R) ïz = z + a t î o 3 x - x0 y - y0 z - z0 · Neáu a1a2 a3 ¹ 0 thì (d ) : ñgl phöông trình chính taéc cuûa d. = = a1 a2 a3 2. Vò trí töông ñoái giöõa hai ñöôøng thaúng Cho hai ñöôøng thaúng d, d¢ coù phöông trình tham soá laàn löôït laø: ì x = x0 + ta1 ì x = x0 + t ¢a1 ¢ ¢ ï ï d : í y = y0 + ta2 vaø d ¢ : í y = y0 + t ¢a2 ¢ ¢ ï z = z + ta ï z = z¢ + t ¢a¢ î î 0 3 0 3 rr ìa, a¢ cuøng phöông ï ï ì x + ta1 = x0 + t ¢a1¢ ¢ · d // d¢ Û í ï 0 heä y + ta2 = y0 + t ¢a2 (aån t , t ¢) voâ nghieäm ¢ ¢ ï í0 ïï î î z0 + ta3 = z0 + t ¢a3 ¢ ¢ r rr rr rr ì[ a, a¢] = 0 ìa, a¢ cuøng phöông ìa, a¢ cuøng phöông ï uuuuuur uuuuuur r Û ír Ûí r Ûí é ¢ù î M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) Ï d ¢ a, M0 M0 khoâng cuøng phöông ¢ ïë a , M0 M0 û ¹ 0 î î ì x0 + ta1 = x0 + t ¢a1 ¢ ¢ ï · d º d¢ Û heä í y0 + ta2 = y0 + t ¢a¢ (aån t, t ¢) coù voâ soá nghieäm ¢ 2 ï z + ta = z¢ + t¢a¢ î0 3 0 3 rr r r uuuuuur ìa, a¢ cuøng phöông Û a, a¢, M0 M0 ñoâi moät cuøng phöông ¢ Ûí î M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) Î d ¢ uuuuuur r rr ér Û [ a , a¢] = ë a , M0 M0 û = 0 ¢ù ì x0 + ta1 = x0 + t ¢a1 ¢ ¢ ï · d, d¢ caét nhau Û heä í y0 + ta2 = y0 + t ¢a2 (aån t, t¢) coù ñuùng moät nghieäm ¢ ¢ ïz + ta = z¢ + t ¢a¢ î0 3 0 3 r rr rr ì[ a , a¢] ¹ 0 ìa, a¢ khoâng cuøng phöông ï Û í r r uuuuuur Û í r r uuuuuur ï[ a , a¢] .M0 M0 = 0 a, a¢, M0 M0 ñoàng phaúng ¢ ¢ î î rr ìa, a¢ khoâng cuøng phöông ï ï ì x + ta1 = x0 + t ¢a1 ¢ ¢ · d, d¢ cheùo nhau Û í ï 0 heä y + ta2 = y0 + t ¢a2 (aån t , t ¢) voâ nghieäm ¢ ¢ ï í0 ï z + ta = z¢ + t ¢a¢ ï î î0 3 0 3 r r uuuuuur r r uuuuuur Û a, a¢, M0 M0 khoâng ñoàng phaúng Û [ a , a¢] .M0 M0 ¹ 0 ¢ ¢ rr rr · d ^ d¢ Û a ^ a¢ Û a.a¢ = 0 Trang 44
Đồng bộ tài khoản