bài tập hình học sơ cấp

Chia sẻ: anhkhoa_lpt

Tham khảo tài liệu 'bài tập hình học sơ cấp', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: bài tập hình học sơ cấp

BÀI T P HÌNH H C SƠ C P

sưu t m: Huỳnh Văn Thơ


Ph n I
GÓC Đ NH HƯ NG
1. Cho D, E, F l n lư t n m trên các c nh BC, CA, AB c a ABC .
(a) CMR: ba đư ng tròn (AEF ), (BF D), (CDE ) có m t đi m chung
g i là M
(b) Tìm qu tích c a M khi D, E, F th ng hàng.
2. Cho t giác ABCD n i ti p. L y 4 đi m A , B , C , D sao cho các t giác
AA B B , BB C C , DD AA n i ti p. CMR: t giác A B C D n i ti p.
3. Cho ABC và đi m P . CMR ba đư ng tròn đ i x ng c a các đư ng
tròn (P CB ), (P CA), (P AB ) theo th t qua BC, CA, AB có m t đi m
chung.
4. Đư ng tròn Euler c a m t tam giác là đư ng tròn đi qua trung đi m các
c nh c a tam giác. CMR trong m t t giác ABCD , các đư ng tròn Euler
c a các tam giác ABC, BCD, CDA, DAB có m t đi m chung.

5. Cho t giác ABCD và m t đi m M lưu đ ng trên đư ng th ng BC .
Các đư ng tròn (ABM ), (CDM ) c t nhau t i đi m th hai P . Tìm qu
tích đi m P .
6. Cho ba đư ng tròn c đ nh (DAB ), (DAC ), (DBC ) và đi m M thay đ i
trên đư ng tròn (DBC ) . M B c t (DAB ) t i N và M C c t (DAC )
t i P . CMR: N P đi qua m t đi m c đ nh.
7. Cho M1 , M2 là hai đi m thu c đư ng tròn ngo i ti p ABC và 1, là
2
hai đư ng th ng Simson ng v i M1 , M2 .

(a) Tính góc gi a 1, theo AM1 , AM2
2

(b) Suy ra v trí c a M1 , M2 đ và vuông góc v i nhau
1 2

8. Cho đi m M n m trên đư ng tròn ngo i ti p ABC . A , B , C l n lư t
là các đi m đ i x ng c a M qua c nh BC, CA, AB . CMR: A , B , C n m
trên m t đư ng th ng đi qua tr c tâm c a ABC .


Ph n II
CÁT TUY N
1. CMR chân ba đư ng phân giác ngoài c a tam giác th ng hàng.



1
2. Cho ba đi m M, N, P l n lư t trên c nh BC, CA, AB c a ABC sao
cho AM, BN, CP đ ng quy. G i M , N , P l n lư t là giao đi m th hai
c a đư ng tròn (M N P ) v i các c nh BC, CA, AB c a ABC . CMR
AM , BN , CP đ ng quy.
3. Cho ABC và hai cát tuy n M N P và M N P sao cho M N //AB ,
M P //AC (M, M ∈ BC ; N, N ∈ CA ; P, P ∈ AB ). CMR: N P //BC .
4. Cho hình bình hành ABCD và đi m M trên AC . G i E là đi m đ i
x ng c a B qua M . Trên DC và AD l n lư t l y P và Q sao cho
EP//AD, EQ//CD. CMR: P, Q, M th ng hàng.
5. Trên các c nh c a ABC vuông t i A d ng các hình vuông ABDE và
ACF G v phía ngoài. CMR: CD và BF c t nhau trên đư ng cao h t
A c a ABC .
6. Cho ABC và ba đi m P, Q, R l n lư t trên ba c nh BC, CA, AB sao
P O QO RO
cho AP, BQ, CR đ ng quy t i O. CMR: + + =1
P A QB RC
7. Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành. M t ph ng α c t SA, SB ,
MA PC NB QD
SC, SD l n lư t t i M, N, P, Q. CMR: + = +
MS PS NS QS


Ph n III
HÀNG ĐI M ĐI U HÒA
1. Cho A, B, C, D th ng hàng. M, N l n lư t là trung đi m c a AB, CD.
CMR (ABCD) = −1 ⇔ M N 2 = M A2 + N C 2
2. Cho hình vuông và m t đư ng tròn n i ti p hình vuông. M t ti p tuy n
b t kỳ c a đư ng tròn c t các c p c nh đ i c a hình vuông t i A, B và
C, D. CMR: (ABCD) = −1
3. Cho đư ng tròn đư ng kính CD tâm O. Trên CD l y A1 , A2 sao cho
(A1 A2 CD) = −1. Qua A1 , A2 l n lư t k các đư ng th ng d1 , d2 vuông
góc v i CD. M t ti p tuy n thay đ i c a đư ng tròn c t d1 , d2 l n lư t
OM1
t i M1 , M2 . CMR: = const
OM2
4. Trên đư ng tròn (O) cho hai đi m B, C c đ nh và A thay đ i. EF là
đư ng kính vuông góc BC . AB, AC c t EF l n lư t t i G, H . CMR:
OH.OG = const
5. Cho ABC cân t i A, d là đư ng th ng song song v i BC và c t tam
giác. M là đi m thay đ i trên d nhưng trong tam giác. BM c t AC t i
1 1
E , CM c t AB t i F . CMR: + = const
BF CE
6. Cho ABC . Qua đi m M trên BC sao cho M B = k M C ngư i ta k các
đư ng th ng song song v i AC và AB c t AB t i P và AC t i Q. BC l n
lư t c t P Q t i R và đư ng th ng Ax song song P Q t i N .


2
(a) CMR: RM 2 = RB.RC
RB
(b) Tính theo k
RC
7. Cho hai đư ng th ng c đ nh đ ng quy Ox, Oy và đi m A không n m trên
Ox, Oy và phân giác góc xOy . Hai đư ng th ng di đ ng qua A, đ i x ng
qua OA m t đư ng c t Ox t i M đư ng kia c t Oy t i N . CMR: M N đi
qua đi m c đ nh
8. Cho ABC có tr ng tâm G. M t đư ng th ng d thay đ i qua G c t
1 1 1
BC, CA, AB theo th t M, N, P . CMR: + + =0
GM GN GP


Ph n IV
PHƯƠNG TÍCH
1. Cho đư ng tròn (O) và đi m A c đ nh. (K ) là m t đư ng tròn thay đ i
qua A và có tâm n m trên đư ng tròn (C ) đ ng tâm v i (O). CMR: tr c
đ ng phương c a (O) và (K ) ti p xúc v i m t đư ng tròn c đ nh.
2. G i R, r; O, I l n lư t là bán kính và tâm c a đư ng tròn ngo i ti p và
n i ti p m t tam giác. CMR: OI 2 = R2 − 2Rr

3. Cho ABC có tr c tâm H . CMR: các đư ng tròn đư ng kính AH và BC
tr c giao.
4. M t cát tuy n thay đ i song song v i BC c a ABC c t AB và AC l n
lư t t i D và E . Tìm tr c đ ng phương c a đư ng tròn đư ng kính BE
và CD

5. Qua đi m P c đ nh v ba đư ng tròn đôi m t c t nhau t i A, B, C . Đư ng
tròn th tư qua P c t (P AB ), (P BC ), (P CA) l n lư t t i C , A , B . G i
E là giao đi m c a AB và P C ’, F là giao đi m c a BC và P A , G là giao
đi m c a CA và P B . CMR: E, F, G th ng hàng.
6. Cho t giác ABCD, AC c t BD t i O. G i I, J l n lư t là trung đi m c a
AB, CD. G i H, K l n lư t là tr c tâm c a OAD và OBC . CMR:
IJ ⊥ HK .
7. Cho ba đư ng tròn (O1 ), (O2 ), (O3 ) thu c m t chùm và O2 là trung đi m
1
c a O1 O3 . CMR: PM/(O2 ) = PM/(O1 ) + PM/(O3 )
2


Ph n V
C C VÀ Đ I C C
1. CMR: đi u ki n và đ đ hai đi m M và N liên hi p v i nhau đ i v i
đư ng tròn (O) là PM/(O) + PM/(O) = M N 2


3
2. Cho ABC n i ti p đư ng tròn (O). G i D và D là chân đư ng phân
giác trong c a góc A, P là giao đi m c a hai ti p tuy n c a (O) t i B và
C . CMR: c c c a AP đ i v i (O) là trung đi m DD .

3. Cho đư ng tròn (O) đư ng kính AB và đư ng th ng d vuông góc v i AB
t i I . Đi m M thay đ i trên (O), M A, M B c t d l n lư t t i P, Q.QA c t
(O) t i N . CMR: M N đi qua đi m c đ nh.
4. T trung đi m I c a dây cung AB c a đư ng tròn (O) k hai dây cung
M N và P Q.M P và N Q l n lư t c t AB t i J và K . CMR: I là trung
đi m c a JK
5. Ba c nh BC, CA, AB c a ABC ti p xúc v i đư ng tròn n i ti p t i
M, N, P . Đư ng kính qua M c t N P t i Q. CMR: AQ qua trung đi m
c a BC .

6. Hai cát tuy n thay đ i đi qua đi m M c đ nh và c t đư ng tròn c đ nh
(O) l n lư t t i A, A v B, B . CMR: n u AB đi qua m t đi m c đ nh thì
A B cũng đi qua m t đi m c đ nh.
7. T đi m P n m ngoài đư ng tròn ta v cát tuy n P A và P B v i đư ng
tròn y. T B h đư ng vuông góc BD v i đư ng kính AC . CMR: P C đi
qua trung đi m BD.
8. Cho ABC và đi m O. Các đư ng th ng qua O và vuông góc v i OA.
OB, OC theo th t c t BC, CA, AB t i M, N, P . CMR: M, N, P th ng
hàng.


Ph n VI
T NH TI N VÀ Đ I X NG
1. D ng đư ng th ng có phương cho trư c và b hai đư ng tròn cho trư c
ch n thành hai dây cung b ng nhau.
2. Trên hai đư ng tròn b ng nhau (O) và (O ) l n lư t l y hai cung AM và
A M b ng nhau nhưng khác hư ng. A, A c đ nh còn M, M thay đ i.
Tìm qu tích trung đo n c a M M .
3. Hình vuông ABCD, E là đi m trong hình vuông sao cho C DE cân t i
E và góc đáy là 150 . Ch ng mimh ABE đ u.
4. Cho tam giác ABC. G i Bx, Cy l n lư t là các tia đ i c a các tia BA, CA.D
và E là các đi m chuy n đ ng l n lư t trên hai tia Bx, Cy sao cho
BD = CE . Tìm qu tích trung đi m M c a DE .
5. Cho ABC c đ nh có tr c tâm H . D ng hình thoi BCDE thay đ i. T
D và E k các đư ng th ng l n lư t vuông góc v i AB, AC chúng c t
nhau t i M . Tìm qu tích M

6. D ng đư ng g p khúc g m năm đo n khép kín. Bi t trung đi m c a năm
đo n đó.


4
7. Cho A, B v cùng phía đ i v i đư ng th ng xy . Tìm M trên xy th a
AM x = 2B M y .
8. D ng hình vuông ABCD bi t A, C thu c đư ng th ng d1 cho trư c và
B, C l n lư t thu c hai đư ng th ng d2 và d3 cho trư c
9. Cho ABC có các góc nh n. L y đi m D, E, F l n lư t n m trên BC, CA, AB .
Tìm v trí D, E, F đ chu vi DEF nh nh t.


Ph n VII
PHÉP QUAY
1. T đi m M trên c nh BC c a ABC cân t i A k các đư ng th ng l n
lư t song song v i AB, AC c t AC t i D và AB t i E .
−→ −−

(a) Xác đ nh phép quay bi n AC thành BA
(b) CMR: trung tr c DE đi qua m t đi m c đ nh và các đư ng tròn
(ADE ) đi qua m t đi m c đ nh khác A.
2. Cho ABC đ u và đi m M n m trên cung nh BC c a đư ng tròn ngo i
ti p tam giác. CMR: M A = M B + M C .
3. Cho ABC và v v phía ngoài các tam giác đ u B CA1 , C AB1 , ABC1
có tâm l n lư t là A , B , C . CMR: A B C đ u.
4. Trên các c nh c a m t hình bình hành d ng v phía ngoài các hình vuông.
Ch ng minh tâm các hình vuông này t o thành m t hình vuông.
5. Cho cung tròn AB và đi m C lưu đ ng trên đó. Trên AC l y đo n AD =
BC . Tìm qu tích D.
6. D ng v phía ngoài ABC các tam giác ABD và ACE l n lư t vuông
t i B và C . M là trung đi m c a DE . Xác đ nh d ng c a B M C .
7. D ng trên c nh AB, BC, CD, DA và bên ngoài t giác ABCD nh ng
hình vuông có tâm l n lư t là O1 , O2 , O3 , O4 . G i I, J, H, K l n lư t là
trung đi m các đo n AC, BD, O1 O3 , O2 O4 .
(a) Ch ng minh r ng O1 O3 = O2 O4 và O1 O3 ⊥O2 O4 , xét hình d ng t
giác IKJH
(b) Tìm đi u ki n c n và đ đ t giác O1 O2 O3 O4 là hình vuông.
8. Cho ABC nh n. Tìm đi m M bên trong tam giác sao cho:

(M A + M B + M C )min

9. Cho ABC , d ng v phía ngoài tam giác hai tam giác ABD và ACE
vuông cân t i A. G iM, N, P, Q, I, J l n lư t là trung đi m c a BC, CE, ED,
DB, CD, BE . CMR:
(a) T giác M N P Q là hình vuông.

5
(b) CD = BE và AIJ vuông cân.
10. Cho ABC . D ng v phía ngoài tam giác hai hình vuông ABEF và
ACGH có tâm l n lư t là M, N . G i P, Q l n lư t là trung đi m c a
BC, F H . CMR: M P N Q là hình vuông.
11. Cho ABC . D ng v phía ngoài tam giác này các tam giác ABP, BCM ,
CAN vuông cân l n lư t t i B, M, C . I là trung đi m c a P N .
(a) Ch ng minh IBM C là hình vuông
(b) Ch ng minh P N ⊥AM và P N = 2AM
12. Cho ABC . D ng v phía ngoài tam giác này các hình vuông ABM N, BCEF ,
ACP Q có tâm l n lư t là K, G, H . G i D là trung đi m c a BC . CMR:
(a) N C = P Q và N C ⊥P Q
(b) Tam giác KDH vuông cân
(c) AG, BQ, CN đ ng quy.
13. Cho ABC v theo chi u dương. D ng v phía ngoài tam giác này M AB
và N AC cân t i C v i góc đ nh b ng 1200 . G i I là trung đi m c a
M N và J là đi m đ i x ng c a I qua BC .

(a) Tính các góc c a B IC
(b) Ch ng minh M N = 2AJ .
14. Cho ABC . D ng v phía ngoài tam giác này các tam giác đ u ABM, BCN, CAP .
I là trung đi m BC, G là tr ng tâm c a tam giác ABM. CMR:

(a) Tam giác GIP là n a tam giác đ u.

(b) N P ⊥CG và N P = 3CG
15. Cho ABC v theo chi u dương. D ng v phía ngoài tam giác này ba
tam giác M AB, N BC, P AC l n lư t cân t i M, N, P v i các góc nh n
đ nh tương ng là α, β, γ th a α + β + γ = π . G i tâm đư ng tròn ngo i
ti p c a ba tam giác này là I, J, K .
(a) Cho α = β = γ . Ch ng t AN = BP = CM
(b) Cho bi t I JK đ u, hãy tính các góc α, β, γ

16. Cho ABC . D ng v phía ngoài tam giác này các tam giác đ u A B C, AB C ,
ABC có tâm l n lư t là A1 , B1 , C1 . CMR:
(a) Tam giác A1 B1 C1 đ u.
(b) AA = BB = CC và AA , BB , CC đ ng quy.
17. Cho hình vuông ABCD và E là đi m trong đo n BC . Đư ng phân giác
trong c a DAE c t CD F . CMR: BE + DF = AE .




6
Ph n VIII
PHÉP V T
1. Cho đư ng tròn (O) đư ng kính AB và đi m C c đ nh trên AB . M N là
đư ng kính lưu đ ng, AN c t CM t i P . Tìm qu tích đi m P
2. Cho đư ng tròn (O) và ba dây cung M A, M B, BC . CMR: giao đi m c a
BA đư ng tròn đư ng kính M A, M B, M C khác M l y t ng đôi m t th ng
hàng.

3. Cho ABC . M, N, P l n lư t là trung đi m c a BC, CA, AB . S là đi m
thay đ i trên đư ng tròn (ABC ). G i I, J, K l n lư t là điêm đ i x ng
c a S qua M, N, P .
(a) CMR: AI, BJ, CK đ ng quy t i đi m S
(b) Tìm qu tích S’

4. Cho hai đư ng tròn (O) và (O ) ti p xúc trong t i A. Đư ng kính qua A
c t (O) và (O ) l n lư t t i B và C . T A v đư ng th ng c t (O) và (O )
l n lư t t i M và N . Tìm qu tích giao đi m I c a BN và CM .
5. Dùng phép v t đ ch ng minh l i ph n thu n c a đ nh lý Menelayus

6. Cho hai đư ng tròn (O) và (O ) ti p xúc ngoài t i A và m t đư ng th ng
d. M là m t đi m thay đ i trên d. T M k hai ti p tuy n M N và M P
đ n đương tròn (O). AN và AP l n lư t c t (O) và (O ) t i N và P .
CMR: N P đi qua m t đi m c đ nh.

7. Ch ng minh r ng trong m t tam giác ba trung đi m c a ba c nh, ba chân
đư ng cao và ba trung đi m c a ba đo n n i t đ nh đ n tr c tâm n m
trên m t đư ng tròn (đư ng tròn Ueler)
8. D ng hình vuông n i ti p m t tam giác đã cho. (có hai đ nh liên ti p n m
trên m t c nh c a tam giác còn hai đ nh kia n m trên hai c nh còn l i).

9. Cho hai đư ng tròn ti p xúc nhau t i A l n lư t có đư ng kính l n lư t
là AB và AC . T đi m A ngư i ta v m t cát tuy n c t hai đư ng tròn
trên l n lư t t i B và C . Tìm qu tích giao đi m c a B C và BC .
10. Cho hai đư ng tròn b ng nhau (O) và (O ) c t nhau t i A, B . M t đư ng
th ng thay đ i qua A c t hai đư ng tròn t i P, Q. Tìm qu tích nh ng
−→
− −→− →
đi m M th a AM = 2 AP + AQ

11. Cho hai đư ng tròn đ ng tâm (O; R) và (O; 2R) và A là m t đi m n m
ngoài hai đư ng tròn này. M là đi m thay đ i trên (O; 2R). T M k
hai ti p tuy n M B và M C đ n (O; R) (B, C thu c (O; R)). Ch ng minh
r ng :

(a) BC = 3R
(b) Tr ng tâm G c a tam giác ABC thu c m t đư ng tròn c đ nh.



7
12. Cho hai đư ng tròn (O) và (O ) b ng nhau và c t nhau t i A, B . C là m t
đi m c đ nh ngoài (O). M t đư ng th ng thay đ i qua C c t (O) t i
M, N . BM và BN l n lư t c t (O ) t i M , N . Ch ng minh r ng:

(a) Tam giác AM M cân.
(b) Tr ng tâm tam giác AM M thu c m t đư ng tròn c đ nh
(c) Đư ng th ng M N đi qua m t đi m c đ nh.
13. Cho hai đi m M, A c đ nh n m ngoài đư ng tròn (O) c đ nh. M t đư ng
th ng thay đ i qua M và c t (O) t i B, C . Ch ng minh r ng.
(a) Trung đi m I c a BC thu c m t đư ng tròn c đ nh
(b) Tr ng tâm G c a ABC thu c m t đư ng tròn c đ nh.
14. Cho t giác ABCD v i M, N, P, Q l n lư t là trung đi m c a AB, BC, CD,
DA. I là đi m thay đ i trên m t đư ng tròn (O) c đ nh. M , N , P , Q
l n lư t là đ i x ng c a I qua M, N, P, Q. Ch ng minh r ng.
(a) M P và N Q có cùng trung đi m.
(b) M P , N Q , P M và QN đ ng quy t i m t đi m J .
(c) J thu c m t đư ng tròn c đ nh.

15. Cho tam giác ABC n i ti p đư ng tròn (O, R). D là đi m xuyên tâm c a
A trên (O). H là đi m đ i x ng c a D qua trung đi m BC .
(a) CMR: H là tr c tâm c a tam giác ABC .
(b) Cho A, (O) c đ nh; B, C thay đ i trên (O) sao cho B AC = 600 .
Ch ng minh H thu c m t đư ng tròn c đ nh.
(c) CMR: HBDC là hình bình hành.
(d) Cho (O), H c đ nh còn A, B, C thay đ i. ch ng minh trung đi m M
c a BC ch y trên m t đư ng tròn c đ nh.
16. Cho ABC có tr c tâm H và n i ti p đư ng tròn (O) có tâm O. D là
đi m xuyên tâm c a A trên (O).

(a) Ch ng minh HBDC là hình bình hành.
(b) Cho A, (O) c đ nh; B, C thay đ i trên (O) sao cho B AC = 450 .
Ch ng minh H thu c m t đư ng tròn c đ nh.
17. Cho hai đư ng tròn (O) và (O ) b ng nhau và c t nhau t i A, B . M t
đư ng th ng thay đ i qua B c t (O) và (O ) l n lư t t i M, N . D ng hình
bình hành AM CN . Ch ng minh r ng:

(a) Góc M CN có s đo không đ i
(b) C thu c m t đư ng tròn c đ nh.
18. Trong m t ph ng, góc nh n xOy và m t đi m P n m trong góc này. Hãy
tìm trên c nh Ox đi m M sao cho kho ng cách M P b ng kho ng cách t
M t i c nh Oy



8
19. Cho đư ng tròn (O, R) và (O , R ) c t nhau t i A, B th a OAO = 1350
. M đi m thay đ i trên (O), M A và M B l n lư t c t l i (O ) t i C, D.
CMR.

(a) Hai tamg giác M AD và OAO đ ng d ng và CD = const
(b) Tr ng tâm G c a tam giác ACD thu c m t đư ng tròn c đ nh.
20. Cho O là tr ng tâm c a đư ng tròn ngo i ti p ABC . G i O1 , O2 , O3
l n lư t là các đi m đ i x ng c a O qua các c nh BC, CA, AB . CMR: các
đư ng th ng AO1 , BO2 , CO3 đ ng quy.
21. G i M, N, P l n lư t là các đi m đ i x ng c a tâm đư ng tròn n i ti p
ABC qua trung đi m c a các c nh BC, CA, AB . CMR: AM, BN, CP
đ ng quy và ABC = M N P b ng nhau.


Ph n IX
PHÉP Đ NG D NG
1. Cho t giác ABCD. Trên các c nh AB, CD và v phía ngoài t giác ta
d ng các tam giác M AB, N CD vuông cân l n lư t t i M, N . Trên các
c nh BC, DA và v phía trong t giác ta d ng các tam giác P BC, QAD
vuông cân t i P, Q. Ch ng minh M P N Q là hình bình hành.

2. Cho hai đư ng tròn (O) và (O ) c t nhau t i A, B . M t đư ng th ng thay
đ i qua B c t (O) và (O ) l n lư t t i M và M . G i I là trung đi m c a
M M . Tìm qu tích c a I .
3. Cho hình thang ABCD vuông cân t i A và D có AB = 2AD = 2CD. M
là đi m thay đ i trên c nh CD. Đư ng th ng vuông góc AM t i M c t
BC t i N . Ch ng minh trung đi m I c a M N thu c m t đư ng th ng c
đ nh.
4. Trên ba c nh c a ABC v ba tam giác BCD, CAE và ABF đ n d ng
thu n v i nhau.
−→ −→ −
− − →
(a) Tính t ng BD + CE + AF
(b) Suy ra hai tam giác ABC và BEF có cùng tr ng tâm.
5. Cho b n tam giác đ ng d ng thu n ABM, CDN, ADP và CBQ.

(a) Ch ng minh t giác M P N Q là hình bình hành.
(b) D ng hai hình bình hành AM BR và CN DS . CMR:
−→ −→ −
− → −→−
AR + BQ + CS + DP = 0

6. Cho đi m A thay đ i trên n a đư ng tròn đư ng kính BC . G i H là hình
chi u c a A lên BC . I và J là tâm đư ng tròn n i ti p c a tam giác ABH
và ACH . CMR: đư ng th ng qua A và vuông góc v i IJ đi qua m t đi m
c đ nh.


9
7. D ng t giác ABCD bi t đ dài b n c nh và t ng s đo c a hai góc B
và D

8. Cho ABC . D ng v phía ngoài tam giác này các tam giác đ u ABM và
CAN . G i I, J l n lư t là trung đi m c a AM, CN . L y K thu c c nh
BC th a KB = 3KC . Tính các góc c a I JK


Ph n X
PHÉP NGH CH Đ O
1. Cho đư ng tròn (O) và dây AB c đ nh. P là đi m thay đ i trên (O). g i
(C ), (C ) là hai đư ng tròn qua P , l n lư t ti p xúc v i AB t i A và B .
Tìm qu tích giao đi m th hai c a hai đư ng tròn này.
2. Cho đư ng tròn (O) và đi m S n m ngoài (O). Hai cát tuy n lưu đ ng
qua S l n lư t c t (O) t i A, A và B, B . G i M là giao đi m th hai c a
hai đư ng tròn (SAB ) và (SBA ). Tìm qu tích M .
3. Cho đư ng tròn (O) và đi m S n m ngoài (O), AB là đư ng kính thay
đ i.
(a) CMR: đư ng tròn (SAB ) đi qua đi m c đ nh khác S .
(b) SA, SB l n lư t c t (O) t i M, N . CMR: M N đi qua đi m c đ nh.
4. Cho đư ng tròn (O) và đư ng th ng d ti p xúc v i nhau t i A. G i (ω )
là đư ng tròn thay đ i ti p xúc v i (O) và d t i đi m khác A. CMR: (ω )
tr c giao v i đư ng tròn c đ nh.
5. Tìm qu tích giao đi m th hai B c a hai đư ng tròn thay đ i (O) và
(O ) cùng qua A c đ nh, cùng ti p xúc v i đư ng tròn (C ) c đ nh và
tr c giao v i nhau. (A n m trong (C ) và khác tâm c a nó)
6. Cho hai đư ng tròn (O) và (O ) ti p xúc ngoài A và M ch y trên ti p
tuy n t i A. Ch ng minh r ng thư ng có haid đư ng tròn qua M và ti p
xúc v i (O) và (O ). Hãy tìm qu tích giao đi m th hai c a hai đư ng
tròn này.
7. Cho hai đư ng tròn (O) và (O ) ti p xúc ngoài A và M ch y trên ti p
tuy n t i A. CMR: thư ng có hai đư ng tròn qua M và ti p xúc v i (O)
và (O ). Hãy tìm qu tích giao đi m th hai c a hai đư ng tròn này.
8. Cho đư ng tròn (O) và hai đư ng th ng Ox, Oy vuông góc nhau. Ti p
tuy n t i M thay đ i trên (O) c t Ox, Oy l n lư t t i A, B . Tr c đ ng
phương c a (O) và (OAB ) c t Ox, Oy l n lư t t i C, D. Tìm qu tích
trung đi m CD.
9. Cho hai đư ng tròn (O) và (O ) ti p xúc ngoài t i A. M t ti p tuy n chung
ngoài c a (O) và (O ) là BC (B, C là ti p đi m). D là đi m c đ nh trên
(O), M là đi m thay đ i trên (O ). tìm qu tích giao đi m th hai c a hai
đư ng tròn (M BC ) và (M AD)


10
10. D ng đư ng tròn qua hai đi m cho trư c và ti p xúc v i m t đư ng tròn
cho trư c.

11. Cho hai đư ng tròn (ω ) và (ω ) ti p xúc nhau t i O. T đi m A trên (ω )
v ti p tuy n c t (ω ) t i B, C . CMR: OA là phân giác c a B OC .
12. Cho hai đư ng tròn (O) và (O ) ngoài nhau. (ω ) là đư ng tròn thay đ i
ti p xúc (O) và tr c giao (O ). CMR: (ω ) ti p xúc v i m t đư ng tròn th
hai c đ nh khác (O).
13. Cho t giác ABCD. CMR:

ABCD n i ti p ⇔ AB.CD + AD.BC = AC.BD

14. (O) là m t đư ng tròn n i ti p tam giác thư ng ABC và ti p xúc v i ba
c nh BC, CA, AB l n lư t t i a, b, c. (O) c t aA, bB, cC l n lư t t i α, β, γ
. G i m, n, p lân lư t là trung đi m bc, ca, ab. CMR:
(a) Các đư ng tròn (aαm), (bβn), (cγp) đi qua O.
(b) Ba đư ng tròn trên còn có đi m chung th hai.
15. G i (O, R) và (I, r) l n lư t là hai đư ng tròn ngo i ti p và n i ti p c a
ABC v i OI = d. CMR: d2 = R2 − 2Rr
16. Cho đư ng tròn (O) và hai dây cung AB, CD thay đ i qua đi m P . Các
đư ng tròn (P AD) và (P BC ) c t nhau t i đi m th hai M , các đư ng
tròn (P AC ) và (P BD) c t nhau t i đi m th hai N .
(a) Tìm qu tích M, N
(b) CMR: M N qua đi m c đ nh.
17. Cho đư ng tròn (O) và đi m A n m ngoài đư ng tròn. M t ti p tuy n
thay đ i c a (O) c t hai ti p tuy n k t A t i B, C . CMR: đư ng tròn
(ABC ) ti p xúc v i m t đư ng tròn c đ nh.
18. Cho đư ng tròn (O) và hai dây cung thay đ i AA , BB vuông góc v i
nhau t i P c đ nh trong đư ng tròn. M là chân đư ng vuông góc k t
P đ n AB .

(a) CMR: P H đi qua trung đi m c a A B và P H.P I = const
(b) Đư ng tròn (ω ) qua A, P và ti p xúc (O) c t đư ng tròn (ω ) qua
A , P và ti p xúc (O) t i đi m th hai M . Tìm qu tích M .
19. Cho t giác ABCD. CMR:

(ABC )⊥(ABD) ⇔ AB 2 .CD2 = BC 2 .AD2 + BD2 .AC 2

20. Cho hai đư ng th ng Ox, Oy vuông góc nhau. Đư ng tròn (ω ) ti p xúc
v i Oy t i O và c t Ox t i A. Đư ng tròn (ω ) ti p xúc v i Oy t i B , ti p
xúc (ω ) t i C và c t Ox t i D, D . CMR: ti p tuy n c a (ω ) t i A, BD,
đư ng tròn đư ng kính OD. Hai đư ng tròn (OBC ) và (ACD) có m t
đi m chung.


11
21. Cho ba đi m A, B, C th ng hàng theo th t đó và BA n a đư ng tròn
đư ng kính AB, AC, BC n m v m t phía c a đư ng th ng AB . D ng
đư ng tròn ti p xúc v i ba đư ng tròn trên.

22. Cho đư ng tròn (O) và đư ng th ng c đ nh d c t (O) t i A, B . M là
đi m ch y trên d. (ω ) và (ω ) là hai đư ng tròn thay đ i qua M và l n
lư t ti p xúc v i (O) t i A, B . Hai đư ng tròn này còn c t nhau t i đi m
th hai là P . Tìm qu tích P .

23. Cho đư ng th ng d và đi m O c đ nh không thu c d. Hai đư ng th ng
thay đ i t o v i nhau m t góc α không đ i, quay quanh O và l n lư t c t
d t i A, B . CMR: (OAB ) ti p xúc v i m t đư ng tròn c đ nh
24. Cho phép ngh ch đ o c c I , phương tích k bi n đư ng (O) thành đư ng
tròn (O ). CMR: đi m O bi n thành chân đư ng đ i c c c a I đ i v i (O )

25. Cho hai đi m A, B trên đư ng th ng d. Hai đư ng tròn (ω ), (omega ) l n
lư t ti p xúc v i d t i A, B và tr c giao nhau t i M, N . Tìm qu tích M
và N .
26. Cho hai đư ng tròn (O ) và (O”) cùng ti p xúc v i đư ng tròn (O) và c t
nhau t i A, B . (ω ) là đư ng tròn thay đ i ti p xúc v i (O ), (O ) và c t
(O) t i M, N . CMR: tâm c a đư ng tròn (AM N ) ch y trên m t đư ng
tròn c đ nh.
27. Cho hai đư ng tròn (O) và (O ) ti p xúc ngoài t i A. M t ti p tuy n chung
ngoài c a (O) và (O ) là BC (B, C là ti p đi m). D là đi m c đ nh trên
(O), M là đi m thay đ i trên (O ). Tìm qu tích giao đi m th hai c a
hai đư ng tròn (M BC ) và (M AD)
28. Cho đư ng tròn (O; R) và đi m A ngoài (O). M t ti p tuy n thay đ i
c a (O) (không qua A) c t hai ti p tuy n c a (O) k t A t i B, C .
(a) Tìm nh c a (O), A, B, C qua phép ngh ch đ o c c O, phương tích
ngh ch đ o R2
(b) CMR: đư ng tròn (ABC ) luôn ti p xúc v i m t đư ng tròn c đ nh.

29. Cho đư ng tròn (O; R) và đi m S th a OS = 2R. Hai đư ng tròn (α), (β )
cùng qua S , cùng ti p xúc v i (O) t i B, C và tr c giao nhau. (α), (β ) c t
nhau t i S và A. CMR:

(a) Đư ng tròn (ABC ) đi qua m t điêm c đ nh.
(b) A ch y trên m t đư ng th ng c đ nh
(c) Đư ng tròn (SBC ) ti p xúc v i m t đư ng tròn c đ nh
30. Cho đư ng tròn tâm O đư ng kính AB . M t đi m M ch y trên đư ng
th ng d vuông góc v i AB t i H . M A và M B l n lư t c t đư ng tròn t i
P và Q.
(a) CMR: P Q đi qua đi m c đ nh.
(b) Tìm qu tích giao đi m th hai c a hai đư ng tròn (M AB ) và
(M P Q).


12
31. Cho đi m S n m ngoài đư ng tròn (O), khác đi m O và m t đư ng th ng
không c t (O). T m t đi m M thay đ i trên k hai ti p tuy n
M P, M Q đ n (O) v i P, Q là hai ti p đi m và P Q không qua S . P S, QS
c t (O) l n lư t P , Q . D ng hai đư ng tròn (α), (β ) qua S và ti p xúc
v i (O) l n lư t t i P và Q . (α), (β ) c t nhau t i đi m th hai N . CMR:
(a) N ch y trên m t đư ng tròn c đ nh
(b) Đư ng tròn (SP Q ) đi qua m t đi m c đ nh
(c) Đư ng th ng P Q đi qua m t đi m c đ nh.
32. Cho đư ng tròn (O) và đi m A c đ nh ngoài (O) và đi m B thay đ i
trên (O). Hai đư ng tròn (α), (β ) tr c giao nhau t i A, B và c t (O) t i
C, D. CMR:
(a) Đư ng tròn (ACD) và (O) tr c giao nhau
(b) Đư ng th ng CD đi qua m t đi m c đ nh

33. Cho đư ng tròn (O; R) và đi m A c đ nh sao cho OA = R 2 . (ω ), (ω )
là hai đư ng tròn hay đ i tr c giao nhau t i A, B và ti p xúc v i (O) l n
lư t t i C, D. CMR:

(a) Đi m B ch y trên m t đư ng th ng c đ nh
(b) Hai đư ng tròn (ACD) và (BCD) tr c giao nhau
(c) Đư ng tròn (ACD) ti p xúc v i m t đư ng tròn c đ nh.
34. Cho đư ng th ng ti p xúc v i đư ng tròn (O) t i A. B là m t đi m
thu c và khác A. CMR:

(a) T n t i duy nh t m t đư ng tròn (ω ) ti p xúc t i B và tr c giao
v i (O)
(b) (ω ) c t (O) t i M, N . CMR: hai đư ng tròn (ABM ) và (ABN ) tr c
giao và có bán kính b ng nhau.
(c) Khi B thay đ i trên . CMR: (ω ) ti p xúc v i m t đư ng tròn c
đinh.
35. Cho đi m S n m ngoài đư ng tròn (O). M là m t đi m thay đ i trên (O).
D ng hai đư ng tròn (α), (β ) qua S, M tr c giao nhau và c t (O) l n lư t
t i A, B . CMR:

(a) Đư ng tròn (SAB ) luôn đi qua m t đi m c đ nh khác S
(b) Đư ng th ng AB luôn đi qua m t đi m c đ nh.
36. Cho đư ng th ng d và hai đi m A, B thu c d. Trong m t n a m t ph ng
có b là d cho hai đư ng tròn thay đ i (O), (O ) l n lư t ti p xúc v i d
t i A, B và ti p xúc nhau t i C . Đư ng tròn (ω ) ti p xúc v i (O), (O ) và
d l n lư t t i M, N, P . CMR:
(a) Hai đư ng tròn (AN P ) và (AN M ) tr c giao nhau
(b) M, N thu c m t đư ng tròn c đ nh.



13
37. Trong m t ph ng cho đư ng tròn (O) và hai đi m A, B phân bi t trên
(O). M là m t đi m trên (O) và M khác A, B . (ω1 ) là đư ng tròn qua M
và ti p xúc v i đư ng th ng AB t i A, (ω2 ) là đư ng tròn qua M và ti p
xúc v i đư ng th ng AB t i B . G i N là giao đi m th hai c a (ω1 ) và
(ω2 ) . CMR: khi M thay đ i trên (O) thì đi m N ch y trên m t đư ng
tròn c đ nh. Hãy d ng đư ng tròn đó.
38. Cho đư ng tròn (O : R) và đi m A c đ nh th a OA = 2R. M t đư ng
th ng d thay đ i qua A. Hai đư ng tròn (α), (β ) cùng ti p xúc v i d t i
A và ti p xúc v i (O) l n lư t t i M, N . CMR:
(a) Đư ng tròn (AM N ) tr c giao v i (O)
(b) Đư ng th ng M N đi qua m t đi m c đ nh
(c) (γ ) là đư ng tròn ti p xúc v i (α), (β ) và (O). CMR: (γ ) ti p xúc v i
m t đư ng tròn c đ nh khác (O)
39. Trong m t ph ng, cho đư ng tròn (O) có tâm O, đư ng kính AB . (ω ) là
đư ng tròn đư ng kính AO. (γ ) là m t đư ng tròn thay đ i luôn ti p xúc
v i c (O) và (ω ) ( không qua A). CMR: đư ng tròn (γ ) luôn tr c giao v i
m t đư ng tròn c đ nh. (g i ý: dùng PNĐ c c A, phương tích OA.OB )


M cl c

I GÓC Đ NH HƯ NG 1


II CÁT TUY N 1


III HÀNG ĐI M ĐI U HÒA 2


IV PHƯƠNG TÍCH 3


V C C VÀ Đ I C C 3


VI T NH TI N VÀ Đ I X NG 4


VII PHÉP QUAY 5


VIII PHÉP V T 7



14
A
IX PHÉP Đ NG D NG 9


X PHÉP NGH CH Đ O 10




15
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản