bài tập hình học sơ cấp

Chia sẻ: anhkhoa_lpt

Tham khảo tài liệu 'bài tập hình học sơ cấp', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: bài tập hình học sơ cấp

 

  1. BÀI T P HÌNH H C SƠ C P sưu t m: Huỳnh Văn Thơ Ph n I GÓC Đ NH HƯ NG 1. Cho D, E, F l n lư t n m trên các c nh BC, CA, AB c a ABC . (a) CMR: ba đư ng tròn (AEF ), (BF D), (CDE ) có m t đi m chung g i là M (b) Tìm qu tích c a M khi D, E, F th ng hàng. 2. Cho t giác ABCD n i ti p. L y 4 đi m A , B , C , D sao cho các t giác AA B B , BB C C , DD AA n i ti p. CMR: t giác A B C D n i ti p. 3. Cho ABC và đi m P . CMR ba đư ng tròn đ i x ng c a các đư ng tròn (P CB ), (P CA), (P AB ) theo th t qua BC, CA, AB có m t đi m chung. 4. Đư ng tròn Euler c a m t tam giác là đư ng tròn đi qua trung đi m các c nh c a tam giác. CMR trong m t t giác ABCD , các đư ng tròn Euler c a các tam giác ABC, BCD, CDA, DAB có m t đi m chung. 5. Cho t giác ABCD và m t đi m M lưu đ ng trên đư ng th ng BC . Các đư ng tròn (ABM ), (CDM ) c t nhau t i đi m th hai P . Tìm qu tích đi m P . 6. Cho ba đư ng tròn c đ nh (DAB ), (DAC ), (DBC ) và đi m M thay đ i trên đư ng tròn (DBC ) . M B c t (DAB ) t i N và M C c t (DAC ) t i P . CMR: N P đi qua m t đi m c đ nh. 7. Cho M1 , M2 là hai đi m thu c đư ng tròn ngo i ti p ABC và 1, là 2 hai đư ng th ng Simson ng v i M1 , M2 . (a) Tính góc gi a 1, theo AM1 , AM2 2 (b) Suy ra v trí c a M1 , M2 đ và vuông góc v i nhau 1 2 8. Cho đi m M n m trên đư ng tròn ngo i ti p ABC . A , B , C l n lư t là các đi m đ i x ng c a M qua c nh BC, CA, AB . CMR: A , B , C n m trên m t đư ng th ng đi qua tr c tâm c a ABC . Ph n II CÁT TUY N 1. CMR chân ba đư ng phân giác ngoài c a tam giác th ng hàng. 1
  2. 2. Cho ba đi m M, N, P l n lư t trên c nh BC, CA, AB c a ABC sao cho AM, BN, CP đ ng quy. G i M , N , P l n lư t là giao đi m th hai c a đư ng tròn (M N P ) v i các c nh BC, CA, AB c a ABC . CMR AM , BN , CP đ ng quy. 3. Cho ABC và hai cát tuy n M N P và M N P sao cho M N //AB , M P //AC (M, M ∈ BC ; N, N ∈ CA ; P, P ∈ AB ). CMR: N P //BC . 4. Cho hình bình hành ABCD và đi m M trên AC . G i E là đi m đ i x ng c a B qua M . Trên DC và AD l n lư t l y P và Q sao cho EP//AD, EQ//CD. CMR: P, Q, M th ng hàng. 5. Trên các c nh c a ABC vuông t i A d ng các hình vuông ABDE và ACF G v phía ngoài. CMR: CD và BF c t nhau trên đư ng cao h t A c a ABC . 6. Cho ABC và ba đi m P, Q, R l n lư t trên ba c nh BC, CA, AB sao P O QO RO cho AP, BQ, CR đ ng quy t i O. CMR: + + =1 P A QB RC 7. Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành. M t ph ng α c t SA, SB , MA PC NB QD SC, SD l n lư t t i M, N, P, Q. CMR: + = + MS PS NS QS Ph n III HÀNG ĐI M ĐI U HÒA 1. Cho A, B, C, D th ng hàng. M, N l n lư t là trung đi m c a AB, CD. CMR (ABCD) = −1 ⇔ M N 2 = M A2 + N C 2 2. Cho hình vuông và m t đư ng tròn n i ti p hình vuông. M t ti p tuy n b t kỳ c a đư ng tròn c t các c p c nh đ i c a hình vuông t i A, B và C, D. CMR: (ABCD) = −1 3. Cho đư ng tròn đư ng kính CD tâm O. Trên CD l y A1 , A2 sao cho (A1 A2 CD) = −1. Qua A1 , A2 l n lư t k các đư ng th ng d1 , d2 vuông góc v i CD. M t ti p tuy n thay đ i c a đư ng tròn c t d1 , d2 l n lư t OM1 t i M1 , M2 . CMR: = const OM2 4. Trên đư ng tròn (O) cho hai đi m B, C c đ nh và A thay đ i. EF là đư ng kính vuông góc BC . AB, AC c t EF l n lư t t i G, H . CMR: OH.OG = const 5. Cho ABC cân t i A, d là đư ng th ng song song v i BC và c t tam giác. M là đi m thay đ i trên d nhưng trong tam giác. BM c t AC t i 1 1 E , CM c t AB t i F . CMR: + = const BF CE 6. Cho ABC . Qua đi m M trên BC sao cho M B = k M C ngư i ta k các đư ng th ng song song v i AC và AB c t AB t i P và AC t i Q. BC l n lư t c t P Q t i R và đư ng th ng Ax song song P Q t i N . 2
  3. (a) CMR: RM 2 = RB.RC RB (b) Tính theo k RC 7. Cho hai đư ng th ng c đ nh đ ng quy Ox, Oy và đi m A không n m trên Ox, Oy và phân giác góc xOy . Hai đư ng th ng di đ ng qua A, đ i x ng qua OA m t đư ng c t Ox t i M đư ng kia c t Oy t i N . CMR: M N đi qua đi m c đ nh 8. Cho ABC có tr ng tâm G. M t đư ng th ng d thay đ i qua G c t 1 1 1 BC, CA, AB theo th t M, N, P . CMR: + + =0 GM GN GP Ph n IV PHƯƠNG TÍCH 1. Cho đư ng tròn (O) và đi m A c đ nh. (K ) là m t đư ng tròn thay đ i qua A và có tâm n m trên đư ng tròn (C ) đ ng tâm v i (O). CMR: tr c đ ng phương c a (O) và (K ) ti p xúc v i m t đư ng tròn c đ nh. 2. G i R, r; O, I l n lư t là bán kính và tâm c a đư ng tròn ngo i ti p và n i ti p m t tam giác. CMR: OI 2 = R2 − 2Rr 3. Cho ABC có tr c tâm H . CMR: các đư ng tròn đư ng kính AH và BC tr c giao. 4. M t cát tuy n thay đ i song song v i BC c a ABC c t AB và AC l n lư t t i D và E . Tìm tr c đ ng phương c a đư ng tròn đư ng kính BE và CD 5. Qua đi m P c đ nh v ba đư ng tròn đôi m t c t nhau t i A, B, C . Đư ng tròn th tư qua P c t (P AB ), (P BC ), (P CA) l n lư t t i C , A , B . G i E là giao đi m c a AB và P C ’, F là giao đi m c a BC và P A , G là giao đi m c a CA và P B . CMR: E, F, G th ng hàng. 6. Cho t giác ABCD, AC c t BD t i O. G i I, J l n lư t là trung đi m c a AB, CD. G i H, K l n lư t là tr c tâm c a OAD và OBC . CMR: IJ ⊥ HK . 7. Cho ba đư ng tròn (O1 ), (O2 ), (O3 ) thu c m t chùm và O2 là trung đi m 1 c a O1 O3 . CMR: PM/(O2 ) = PM/(O1 ) + PM/(O3 ) 2 Ph n V C C VÀ Đ I C C 1. CMR: đi u ki n và đ đ hai đi m M và N liên hi p v i nhau đ i v i đư ng tròn (O) là PM/(O) + PM/(O) = M N 2 3
  4. 2. Cho ABC n i ti p đư ng tròn (O). G i D và D là chân đư ng phân giác trong c a góc A, P là giao đi m c a hai ti p tuy n c a (O) t i B và C . CMR: c c c a AP đ i v i (O) là trung đi m DD . 3. Cho đư ng tròn (O) đư ng kính AB và đư ng th ng d vuông góc v i AB t i I . Đi m M thay đ i trên (O), M A, M B c t d l n lư t t i P, Q.QA c t (O) t i N . CMR: M N đi qua đi m c đ nh. 4. T trung đi m I c a dây cung AB c a đư ng tròn (O) k hai dây cung M N và P Q.M P và N Q l n lư t c t AB t i J và K . CMR: I là trung đi m c a JK 5. Ba c nh BC, CA, AB c a ABC ti p xúc v i đư ng tròn n i ti p t i M, N, P . Đư ng kính qua M c t N P t i Q. CMR: AQ qua trung đi m c a BC . 6. Hai cát tuy n thay đ i đi qua đi m M c đ nh và c t đư ng tròn c đ nh (O) l n lư t t i A, A v B, B . CMR: n u AB đi qua m t đi m c đ nh thì A B cũng đi qua m t đi m c đ nh. 7. T đi m P n m ngoài đư ng tròn ta v cát tuy n P A và P B v i đư ng tròn y. T B h đư ng vuông góc BD v i đư ng kính AC . CMR: P C đi qua trung đi m BD. 8. Cho ABC và đi m O. Các đư ng th ng qua O và vuông góc v i OA. OB, OC theo th t c t BC, CA, AB t i M, N, P . CMR: M, N, P th ng hàng. Ph n VI T NH TI N VÀ Đ I X NG 1. D ng đư ng th ng có phương cho trư c và b hai đư ng tròn cho trư c ch n thành hai dây cung b ng nhau. 2. Trên hai đư ng tròn b ng nhau (O) và (O ) l n lư t l y hai cung AM và A M b ng nhau nhưng khác hư ng. A, A c đ nh còn M, M thay đ i. Tìm qu tích trung đo n c a M M . 3. Hình vuông ABCD, E là đi m trong hình vuông sao cho C DE cân t i E và góc đáy là 150 . Ch ng mimh ABE đ u. 4. Cho tam giác ABC. G i Bx, Cy l n lư t là các tia đ i c a các tia BA, CA.D và E là các đi m chuy n đ ng l n lư t trên hai tia Bx, Cy sao cho BD = CE . Tìm qu tích trung đi m M c a DE . 5. Cho ABC c đ nh có tr c tâm H . D ng hình thoi BCDE thay đ i. T D và E k các đư ng th ng l n lư t vuông góc v i AB, AC chúng c t nhau t i M . Tìm qu tích M 6. D ng đư ng g p khúc g m năm đo n khép kín. Bi t trung đi m c a năm đo n đó. 4
  5. 7. Cho A, B v cùng phía đ i v i đư ng th ng xy . Tìm M trên xy th a AM x = 2B M y . 8. D ng hình vuông ABCD bi t A, C thu c đư ng th ng d1 cho trư c và B, C l n lư t thu c hai đư ng th ng d2 và d3 cho trư c 9. Cho ABC có các góc nh n. L y đi m D, E, F l n lư t n m trên BC, CA, AB . Tìm v trí D, E, F đ chu vi DEF nh nh t. Ph n VII PHÉP QUAY 1. T đi m M trên c nh BC c a ABC cân t i A k các đư ng th ng l n lư t song song v i AB, AC c t AC t i D và AB t i E . −→ −− → (a) Xác đ nh phép quay bi n AC thành BA (b) CMR: trung tr c DE đi qua m t đi m c đ nh và các đư ng tròn (ADE ) đi qua m t đi m c đ nh khác A. 2. Cho ABC đ u và đi m M n m trên cung nh BC c a đư ng tròn ngo i ti p tam giác. CMR: M A = M B + M C . 3. Cho ABC và v v phía ngoài các tam giác đ u B CA1 , C AB1 , ABC1 có tâm l n lư t là A , B , C . CMR: A B C đ u. 4. Trên các c nh c a m t hình bình hành d ng v phía ngoài các hình vuông. Ch ng minh tâm các hình vuông này t o thành m t hình vuông. 5. Cho cung tròn AB và đi m C lưu đ ng trên đó. Trên AC l y đo n AD = BC . Tìm qu tích D. 6. D ng v phía ngoài ABC các tam giác ABD và ACE l n lư t vuông t i B và C . M là trung đi m c a DE . Xác đ nh d ng c a B M C . 7. D ng trên c nh AB, BC, CD, DA và bên ngoài t giác ABCD nh ng hình vuông có tâm l n lư t là O1 , O2 , O3 , O4 . G i I, J, H, K l n lư t là trung đi m các đo n AC, BD, O1 O3 , O2 O4 . (a) Ch ng minh r ng O1 O3 = O2 O4 và O1 O3 ⊥O2 O4 , xét hình d ng t giác IKJH (b) Tìm đi u ki n c n và đ đ t giác O1 O2 O3 O4 là hình vuông. 8. Cho ABC nh n. Tìm đi m M bên trong tam giác sao cho: (M A + M B + M C )min 9. Cho ABC , d ng v phía ngoài tam giác hai tam giác ABD và ACE vuông cân t i A. G iM, N, P, Q, I, J l n lư t là trung đi m c a BC, CE, ED, DB, CD, BE . CMR: (a) T giác M N P Q là hình vuông. 5
  6. (b) CD = BE và AIJ vuông cân. 10. Cho ABC . D ng v phía ngoài tam giác hai hình vuông ABEF và ACGH có tâm l n lư t là M, N . G i P, Q l n lư t là trung đi m c a BC, F H . CMR: M P N Q là hình vuông. 11. Cho ABC . D ng v phía ngoài tam giác này các tam giác ABP, BCM , CAN vuông cân l n lư t t i B, M, C . I là trung đi m c a P N . (a) Ch ng minh IBM C là hình vuông (b) Ch ng minh P N ⊥AM và P N = 2AM 12. Cho ABC . D ng v phía ngoài tam giác này các hình vuông ABM N, BCEF , ACP Q có tâm l n lư t là K, G, H . G i D là trung đi m c a BC . CMR: (a) N C = P Q và N C ⊥P Q (b) Tam giác KDH vuông cân (c) AG, BQ, CN đ ng quy. 13. Cho ABC v theo chi u dương. D ng v phía ngoài tam giác này M AB và N AC cân t i C v i góc đ nh b ng 1200 . G i I là trung đi m c a M N và J là đi m đ i x ng c a I qua BC . (a) Tính các góc c a B IC (b) Ch ng minh M N = 2AJ . 14. Cho ABC . D ng v phía ngoài tam giác này các tam giác đ u ABM, BCN, CAP . I là trung đi m BC, G là tr ng tâm c a tam giác ABM. CMR: (a) Tam giác GIP là n a tam giác đ u. √ (b) N P ⊥CG và N P = 3CG 15. Cho ABC v theo chi u dương. D ng v phía ngoài tam giác này ba tam giác M AB, N BC, P AC l n lư t cân t i M, N, P v i các góc nh n đ nh tương ng là α, β, γ th a α + β + γ = π . G i tâm đư ng tròn ngo i ti p c a ba tam giác này là I, J, K . (a) Cho α = β = γ . Ch ng t AN = BP = CM (b) Cho bi t I JK đ u, hãy tính các góc α, β, γ 16. Cho ABC . D ng v phía ngoài tam giác này các tam giác đ u A B C, AB C , ABC có tâm l n lư t là A1 , B1 , C1 . CMR: (a) Tam giác A1 B1 C1 đ u. (b) AA = BB = CC và AA , BB , CC đ ng quy. 17. Cho hình vuông ABCD và E là đi m trong đo n BC . Đư ng phân giác trong c a DAE c t CD F . CMR: BE + DF = AE . 6
  7. Ph n VIII PHÉP V T 1. Cho đư ng tròn (O) đư ng kính AB và đi m C c đ nh trên AB . M N là đư ng kính lưu đ ng, AN c t CM t i P . Tìm qu tích đi m P 2. Cho đư ng tròn (O) và ba dây cung M A, M B, BC . CMR: giao đi m c a BA đư ng tròn đư ng kính M A, M B, M C khác M l y t ng đôi m t th ng hàng. 3. Cho ABC . M, N, P l n lư t là trung đi m c a BC, CA, AB . S là đi m thay đ i trên đư ng tròn (ABC ). G i I, J, K l n lư t là điêm đ i x ng c a S qua M, N, P . (a) CMR: AI, BJ, CK đ ng quy t i đi m S (b) Tìm qu tích S’ 4. Cho hai đư ng tròn (O) và (O ) ti p xúc trong t i A. Đư ng kính qua A c t (O) và (O ) l n lư t t i B và C . T A v đư ng th ng c t (O) và (O ) l n lư t t i M và N . Tìm qu tích giao đi m I c a BN và CM . 5. Dùng phép v t đ ch ng minh l i ph n thu n c a đ nh lý Menelayus 6. Cho hai đư ng tròn (O) và (O ) ti p xúc ngoài t i A và m t đư ng th ng d. M là m t đi m thay đ i trên d. T M k hai ti p tuy n M N và M P đ n đương tròn (O). AN và AP l n lư t c t (O) và (O ) t i N và P . CMR: N P đi qua m t đi m c đ nh. 7. Ch ng minh r ng trong m t tam giác ba trung đi m c a ba c nh, ba chân đư ng cao và ba trung đi m c a ba đo n n i t đ nh đ n tr c tâm n m trên m t đư ng tròn (đư ng tròn Ueler) 8. D ng hình vuông n i ti p m t tam giác đã cho. (có hai đ nh liên ti p n m trên m t c nh c a tam giác còn hai đ nh kia n m trên hai c nh còn l i). 9. Cho hai đư ng tròn ti p xúc nhau t i A l n lư t có đư ng kính l n lư t là AB và AC . T đi m A ngư i ta v m t cát tuy n c t hai đư ng tròn trên l n lư t t i B và C . Tìm qu tích giao đi m c a B C và BC . 10. Cho hai đư ng tròn b ng nhau (O) và (O ) c t nhau t i A, B . M t đư ng th ng thay đ i qua A c t hai đư ng tròn t i P, Q. Tìm qu tích nh ng −→ − −→− → đi m M th a AM = 2 AP + AQ 11. Cho hai đư ng tròn đ ng tâm (O; R) và (O; 2R) và A là m t đi m n m ngoài hai đư ng tròn này. M là đi m thay đ i trên (O; 2R). T M k hai ti p tuy n M B và M C đ n (O; R) (B, C thu c (O; R)). Ch ng minh r ng : √ (a) BC = 3R (b) Tr ng tâm G c a tam giác ABC thu c m t đư ng tròn c đ nh. 7
  8. 12. Cho hai đư ng tròn (O) và (O ) b ng nhau và c t nhau t i A, B . C là m t đi m c đ nh ngoài (O). M t đư ng th ng thay đ i qua C c t (O) t i M, N . BM và BN l n lư t c t (O ) t i M , N . Ch ng minh r ng: (a) Tam giác AM M cân. (b) Tr ng tâm tam giác AM M thu c m t đư ng tròn c đ nh (c) Đư ng th ng M N đi qua m t đi m c đ nh. 13. Cho hai đi m M, A c đ nh n m ngoài đư ng tròn (O) c đ nh. M t đư ng th ng thay đ i qua M và c t (O) t i B, C . Ch ng minh r ng. (a) Trung đi m I c a BC thu c m t đư ng tròn c đ nh (b) Tr ng tâm G c a ABC thu c m t đư ng tròn c đ nh. 14. Cho t giác ABCD v i M, N, P, Q l n lư t là trung đi m c a AB, BC, CD, DA. I là đi m thay đ i trên m t đư ng tròn (O) c đ nh. M , N , P , Q l n lư t là đ i x ng c a I qua M, N, P, Q. Ch ng minh r ng. (a) M P và N Q có cùng trung đi m. (b) M P , N Q , P M và QN đ ng quy t i m t đi m J . (c) J thu c m t đư ng tròn c đ nh. 15. Cho tam giác ABC n i ti p đư ng tròn (O, R). D là đi m xuyên tâm c a A trên (O). H là đi m đ i x ng c a D qua trung đi m BC . (a) CMR: H là tr c tâm c a tam giác ABC . (b) Cho A, (O) c đ nh; B, C thay đ i trên (O) sao cho B AC = 600 . Ch ng minh H thu c m t đư ng tròn c đ nh. (c) CMR: HBDC là hình bình hành. (d) Cho (O), H c đ nh còn A, B, C thay đ i. ch ng minh trung đi m M c a BC ch y trên m t đư ng tròn c đ nh. 16. Cho ABC có tr c tâm H và n i ti p đư ng tròn (O) có tâm O. D là đi m xuyên tâm c a A trên (O). (a) Ch ng minh HBDC là hình bình hành. (b) Cho A, (O) c đ nh; B, C thay đ i trên (O) sao cho B AC = 450 . Ch ng minh H thu c m t đư ng tròn c đ nh. 17. Cho hai đư ng tròn (O) và (O ) b ng nhau và c t nhau t i A, B . M t đư ng th ng thay đ i qua B c t (O) và (O ) l n lư t t i M, N . D ng hình bình hành AM CN . Ch ng minh r ng: (a) Góc M CN có s đo không đ i (b) C thu c m t đư ng tròn c đ nh. 18. Trong m t ph ng, góc nh n xOy và m t đi m P n m trong góc này. Hãy tìm trên c nh Ox đi m M sao cho kho ng cách M P b ng kho ng cách t M t i c nh Oy 8
  9. 19. Cho đư ng tròn (O, R) và (O , R ) c t nhau t i A, B th a OAO = 1350 . M đi m thay đ i trên (O), M A và M B l n lư t c t l i (O ) t i C, D. CMR. (a) Hai tamg giác M AD và OAO đ ng d ng và CD = const (b) Tr ng tâm G c a tam giác ACD thu c m t đư ng tròn c đ nh. 20. Cho O là tr ng tâm c a đư ng tròn ngo i ti p ABC . G i O1 , O2 , O3 l n lư t là các đi m đ i x ng c a O qua các c nh BC, CA, AB . CMR: các đư ng th ng AO1 , BO2 , CO3 đ ng quy. 21. G i M, N, P l n lư t là các đi m đ i x ng c a tâm đư ng tròn n i ti p ABC qua trung đi m c a các c nh BC, CA, AB . CMR: AM, BN, CP đ ng quy và ABC = M N P b ng nhau. Ph n IX PHÉP Đ NG D NG 1. Cho t giác ABCD. Trên các c nh AB, CD và v phía ngoài t giác ta d ng các tam giác M AB, N CD vuông cân l n lư t t i M, N . Trên các c nh BC, DA và v phía trong t giác ta d ng các tam giác P BC, QAD vuông cân t i P, Q. Ch ng minh M P N Q là hình bình hành. 2. Cho hai đư ng tròn (O) và (O ) c t nhau t i A, B . M t đư ng th ng thay đ i qua B c t (O) và (O ) l n lư t t i M và M . G i I là trung đi m c a M M . Tìm qu tích c a I . 3. Cho hình thang ABCD vuông cân t i A và D có AB = 2AD = 2CD. M là đi m thay đ i trên c nh CD. Đư ng th ng vuông góc AM t i M c t BC t i N . Ch ng minh trung đi m I c a M N thu c m t đư ng th ng c đ nh. 4. Trên ba c nh c a ABC v ba tam giác BCD, CAE và ABF đ n d ng thu n v i nhau. −→ −→ − − − → (a) Tính t ng BD + CE + AF (b) Suy ra hai tam giác ABC và BEF có cùng tr ng tâm. 5. Cho b n tam giác đ ng d ng thu n ABM, CDN, ADP và CBQ. (a) Ch ng minh t giác M P N Q là hình bình hành. (b) D ng hai hình bình hành AM BR và CN DS . CMR: −→ −→ − − → −→− AR + BQ + CS + DP = 0 6. Cho đi m A thay đ i trên n a đư ng tròn đư ng kính BC . G i H là hình chi u c a A lên BC . I và J là tâm đư ng tròn n i ti p c a tam giác ABH và ACH . CMR: đư ng th ng qua A và vuông góc v i IJ đi qua m t đi m c đ nh. 9
  10. 7. D ng t giác ABCD bi t đ dài b n c nh và t ng s đo c a hai góc B và D 8. Cho ABC . D ng v phía ngoài tam giác này các tam giác đ u ABM và CAN . G i I, J l n lư t là trung đi m c a AM, CN . L y K thu c c nh BC th a KB = 3KC . Tính các góc c a I JK Ph n X PHÉP NGH CH Đ O 1. Cho đư ng tròn (O) và dây AB c đ nh. P là đi m thay đ i trên (O). g i (C ), (C ) là hai đư ng tròn qua P , l n lư t ti p xúc v i AB t i A và B . Tìm qu tích giao đi m th hai c a hai đư ng tròn này. 2. Cho đư ng tròn (O) và đi m S n m ngoài (O). Hai cát tuy n lưu đ ng qua S l n lư t c t (O) t i A, A và B, B . G i M là giao đi m th hai c a hai đư ng tròn (SAB ) và (SBA ). Tìm qu tích M . 3. Cho đư ng tròn (O) và đi m S n m ngoài (O), AB là đư ng kính thay đ i. (a) CMR: đư ng tròn (SAB ) đi qua đi m c đ nh khác S . (b) SA, SB l n lư t c t (O) t i M, N . CMR: M N đi qua đi m c đ nh. 4. Cho đư ng tròn (O) và đư ng th ng d ti p xúc v i nhau t i A. G i (ω ) là đư ng tròn thay đ i ti p xúc v i (O) và d t i đi m khác A. CMR: (ω ) tr c giao v i đư ng tròn c đ nh. 5. Tìm qu tích giao đi m th hai B c a hai đư ng tròn thay đ i (O) và (O ) cùng qua A c đ nh, cùng ti p xúc v i đư ng tròn (C ) c đ nh và tr c giao v i nhau. (A n m trong (C ) và khác tâm c a nó) 6. Cho hai đư ng tròn (O) và (O ) ti p xúc ngoài A và M ch y trên ti p tuy n t i A. Ch ng minh r ng thư ng có haid đư ng tròn qua M và ti p xúc v i (O) và (O ). Hãy tìm qu tích giao đi m th hai c a hai đư ng tròn này. 7. Cho hai đư ng tròn (O) và (O ) ti p xúc ngoài A và M ch y trên ti p tuy n t i A. CMR: thư ng có hai đư ng tròn qua M và ti p xúc v i (O) và (O ). Hãy tìm qu tích giao đi m th hai c a hai đư ng tròn này. 8. Cho đư ng tròn (O) và hai đư ng th ng Ox, Oy vuông góc nhau. Ti p tuy n t i M thay đ i trên (O) c t Ox, Oy l n lư t t i A, B . Tr c đ ng phương c a (O) và (OAB ) c t Ox, Oy l n lư t t i C, D. Tìm qu tích trung đi m CD. 9. Cho hai đư ng tròn (O) và (O ) ti p xúc ngoài t i A. M t ti p tuy n chung ngoài c a (O) và (O ) là BC (B, C là ti p đi m). D là đi m c đ nh trên (O), M là đi m thay đ i trên (O ). tìm qu tích giao đi m th hai c a hai đư ng tròn (M BC ) và (M AD) 10
  11. 10. D ng đư ng tròn qua hai đi m cho trư c và ti p xúc v i m t đư ng tròn cho trư c. 11. Cho hai đư ng tròn (ω ) và (ω ) ti p xúc nhau t i O. T đi m A trên (ω ) v ti p tuy n c t (ω ) t i B, C . CMR: OA là phân giác c a B OC . 12. Cho hai đư ng tròn (O) và (O ) ngoài nhau. (ω ) là đư ng tròn thay đ i ti p xúc (O) và tr c giao (O ). CMR: (ω ) ti p xúc v i m t đư ng tròn th hai c đ nh khác (O). 13. Cho t giác ABCD. CMR: ABCD n i ti p ⇔ AB.CD + AD.BC = AC.BD 14. (O) là m t đư ng tròn n i ti p tam giác thư ng ABC và ti p xúc v i ba c nh BC, CA, AB l n lư t t i a, b, c. (O) c t aA, bB, cC l n lư t t i α, β, γ . G i m, n, p lân lư t là trung đi m bc, ca, ab. CMR: (a) Các đư ng tròn (aαm), (bβn), (cγp) đi qua O. (b) Ba đư ng tròn trên còn có đi m chung th hai. 15. G i (O, R) và (I, r) l n lư t là hai đư ng tròn ngo i ti p và n i ti p c a ABC v i OI = d. CMR: d2 = R2 − 2Rr 16. Cho đư ng tròn (O) và hai dây cung AB, CD thay đ i qua đi m P . Các đư ng tròn (P AD) và (P BC ) c t nhau t i đi m th hai M , các đư ng tròn (P AC ) và (P BD) c t nhau t i đi m th hai N . (a) Tìm qu tích M, N (b) CMR: M N qua đi m c đ nh. 17. Cho đư ng tròn (O) và đi m A n m ngoài đư ng tròn. M t ti p tuy n thay đ i c a (O) c t hai ti p tuy n k t A t i B, C . CMR: đư ng tròn (ABC ) ti p xúc v i m t đư ng tròn c đ nh. 18. Cho đư ng tròn (O) và hai dây cung thay đ i AA , BB vuông góc v i nhau t i P c đ nh trong đư ng tròn. M là chân đư ng vuông góc k t P đ n AB . (a) CMR: P H đi qua trung đi m c a A B và P H.P I = const (b) Đư ng tròn (ω ) qua A, P và ti p xúc (O) c t đư ng tròn (ω ) qua A , P và ti p xúc (O) t i đi m th hai M . Tìm qu tích M . 19. Cho t giác ABCD. CMR: (ABC )⊥(ABD) ⇔ AB 2 .CD2 = BC 2 .AD2 + BD2 .AC 2 20. Cho hai đư ng th ng Ox, Oy vuông góc nhau. Đư ng tròn (ω ) ti p xúc v i Oy t i O và c t Ox t i A. Đư ng tròn (ω ) ti p xúc v i Oy t i B , ti p xúc (ω ) t i C và c t Ox t i D, D . CMR: ti p tuy n c a (ω ) t i A, BD, đư ng tròn đư ng kính OD. Hai đư ng tròn (OBC ) và (ACD) có m t đi m chung. 11
  12. 21. Cho ba đi m A, B, C th ng hàng theo th t đó và BA n a đư ng tròn đư ng kính AB, AC, BC n m v m t phía c a đư ng th ng AB . D ng đư ng tròn ti p xúc v i ba đư ng tròn trên. 22. Cho đư ng tròn (O) và đư ng th ng c đ nh d c t (O) t i A, B . M là đi m ch y trên d. (ω ) và (ω ) là hai đư ng tròn thay đ i qua M và l n lư t ti p xúc v i (O) t i A, B . Hai đư ng tròn này còn c t nhau t i đi m th hai là P . Tìm qu tích P . 23. Cho đư ng th ng d và đi m O c đ nh không thu c d. Hai đư ng th ng thay đ i t o v i nhau m t góc α không đ i, quay quanh O và l n lư t c t d t i A, B . CMR: (OAB ) ti p xúc v i m t đư ng tròn c đ nh 24. Cho phép ngh ch đ o c c I , phương tích k bi n đư ng (O) thành đư ng tròn (O ). CMR: đi m O bi n thành chân đư ng đ i c c c a I đ i v i (O ) 25. Cho hai đi m A, B trên đư ng th ng d. Hai đư ng tròn (ω ), (omega ) l n lư t ti p xúc v i d t i A, B và tr c giao nhau t i M, N . Tìm qu tích M và N . 26. Cho hai đư ng tròn (O ) và (O”) cùng ti p xúc v i đư ng tròn (O) và c t nhau t i A, B . (ω ) là đư ng tròn thay đ i ti p xúc v i (O ), (O ) và c t (O) t i M, N . CMR: tâm c a đư ng tròn (AM N ) ch y trên m t đư ng tròn c đ nh. 27. Cho hai đư ng tròn (O) và (O ) ti p xúc ngoài t i A. M t ti p tuy n chung ngoài c a (O) và (O ) là BC (B, C là ti p đi m). D là đi m c đ nh trên (O), M là đi m thay đ i trên (O ). Tìm qu tích giao đi m th hai c a hai đư ng tròn (M BC ) và (M AD) 28. Cho đư ng tròn (O; R) và đi m A ngoài (O). M t ti p tuy n thay đ i c a (O) (không qua A) c t hai ti p tuy n c a (O) k t A t i B, C . (a) Tìm nh c a (O), A, B, C qua phép ngh ch đ o c c O, phương tích ngh ch đ o R2 (b) CMR: đư ng tròn (ABC ) luôn ti p xúc v i m t đư ng tròn c đ nh. √ 29. Cho đư ng tròn (O; R) và đi m S th a OS = 2R. Hai đư ng tròn (α), (β ) cùng qua S , cùng ti p xúc v i (O) t i B, C và tr c giao nhau. (α), (β ) c t nhau t i S và A. CMR: (a) Đư ng tròn (ABC ) đi qua m t điêm c đ nh. (b) A ch y trên m t đư ng th ng c đ nh (c) Đư ng tròn (SBC ) ti p xúc v i m t đư ng tròn c đ nh 30. Cho đư ng tròn tâm O đư ng kính AB . M t đi m M ch y trên đư ng th ng d vuông góc v i AB t i H . M A và M B l n lư t c t đư ng tròn t i P và Q. (a) CMR: P Q đi qua đi m c đ nh. (b) Tìm qu tích giao đi m th hai c a hai đư ng tròn (M AB ) và (M P Q). 12
  13. 31. Cho đi m S n m ngoài đư ng tròn (O), khác đi m O và m t đư ng th ng không c t (O). T m t đi m M thay đ i trên k hai ti p tuy n M P, M Q đ n (O) v i P, Q là hai ti p đi m và P Q không qua S . P S, QS c t (O) l n lư t P , Q . D ng hai đư ng tròn (α), (β ) qua S và ti p xúc v i (O) l n lư t t i P và Q . (α), (β ) c t nhau t i đi m th hai N . CMR: (a) N ch y trên m t đư ng tròn c đ nh (b) Đư ng tròn (SP Q ) đi qua m t đi m c đ nh (c) Đư ng th ng P Q đi qua m t đi m c đ nh. 32. Cho đư ng tròn (O) và đi m A c đ nh ngoài (O) và đi m B thay đ i trên (O). Hai đư ng tròn (α), (β ) tr c giao nhau t i A, B và c t (O) t i C, D. CMR: (a) Đư ng tròn (ACD) và (O) tr c giao nhau (b) Đư ng th ng CD đi qua m t đi m c đ nh √ 33. Cho đư ng tròn (O; R) và đi m A c đ nh sao cho OA = R 2 . (ω ), (ω ) là hai đư ng tròn hay đ i tr c giao nhau t i A, B và ti p xúc v i (O) l n lư t t i C, D. CMR: (a) Đi m B ch y trên m t đư ng th ng c đ nh (b) Hai đư ng tròn (ACD) và (BCD) tr c giao nhau (c) Đư ng tròn (ACD) ti p xúc v i m t đư ng tròn c đ nh. 34. Cho đư ng th ng ti p xúc v i đư ng tròn (O) t i A. B là m t đi m thu c và khác A. CMR: (a) T n t i duy nh t m t đư ng tròn (ω ) ti p xúc t i B và tr c giao v i (O) (b) (ω ) c t (O) t i M, N . CMR: hai đư ng tròn (ABM ) và (ABN ) tr c giao và có bán kính b ng nhau. (c) Khi B thay đ i trên . CMR: (ω ) ti p xúc v i m t đư ng tròn c đinh. 35. Cho đi m S n m ngoài đư ng tròn (O). M là m t đi m thay đ i trên (O). D ng hai đư ng tròn (α), (β ) qua S, M tr c giao nhau và c t (O) l n lư t t i A, B . CMR: (a) Đư ng tròn (SAB ) luôn đi qua m t đi m c đ nh khác S (b) Đư ng th ng AB luôn đi qua m t đi m c đ nh. 36. Cho đư ng th ng d và hai đi m A, B thu c d. Trong m t n a m t ph ng có b là d cho hai đư ng tròn thay đ i (O), (O ) l n lư t ti p xúc v i d t i A, B và ti p xúc nhau t i C . Đư ng tròn (ω ) ti p xúc v i (O), (O ) và d l n lư t t i M, N, P . CMR: (a) Hai đư ng tròn (AN P ) và (AN M ) tr c giao nhau (b) M, N thu c m t đư ng tròn c đ nh. 13
  14. 37. Trong m t ph ng cho đư ng tròn (O) và hai đi m A, B phân bi t trên (O). M là m t đi m trên (O) và M khác A, B . (ω1 ) là đư ng tròn qua M và ti p xúc v i đư ng th ng AB t i A, (ω2 ) là đư ng tròn qua M và ti p xúc v i đư ng th ng AB t i B . G i N là giao đi m th hai c a (ω1 ) và (ω2 ) . CMR: khi M thay đ i trên (O) thì đi m N ch y trên m t đư ng tròn c đ nh. Hãy d ng đư ng tròn đó. 38. Cho đư ng tròn (O : R) và đi m A c đ nh th a OA = 2R. M t đư ng th ng d thay đ i qua A. Hai đư ng tròn (α), (β ) cùng ti p xúc v i d t i A và ti p xúc v i (O) l n lư t t i M, N . CMR: (a) Đư ng tròn (AM N ) tr c giao v i (O) (b) Đư ng th ng M N đi qua m t đi m c đ nh (c) (γ ) là đư ng tròn ti p xúc v i (α), (β ) và (O). CMR: (γ ) ti p xúc v i m t đư ng tròn c đ nh khác (O) 39. Trong m t ph ng, cho đư ng tròn (O) có tâm O, đư ng kính AB . (ω ) là đư ng tròn đư ng kính AO. (γ ) là m t đư ng tròn thay đ i luôn ti p xúc v i c (O) và (ω ) ( không qua A). CMR: đư ng tròn (γ ) luôn tr c giao v i m t đư ng tròn c đ nh. (g i ý: dùng PNĐ c c A, phương tích OA.OB ) M cl c I GÓC Đ NH HƯ NG 1 II CÁT TUY N 1 III HÀNG ĐI M ĐI U HÒA 2 IV PHƯƠNG TÍCH 3 V C C VÀ Đ I C C 3 VI T NH TI N VÀ Đ I X NG 4 VII PHÉP QUAY 5 VIII PHÉP V T 7 14
  15. A IX PHÉP Đ NG D NG 9 X PHÉP NGH CH Đ O 10 15
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản