Bài tập lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Chia sẻ: thanhthanhhuyen

GIẢI TÍCH KẾT HỢP 0.1. Chứng minh C(p,p) + C(p+1,p) + … + C(n,p) = C(n+1,p+1) 0.2. Chứng minh C(n,1) + 2.C(n,2) + … + n.C(n,n) = n...

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Bài tập lý thuyết xác suất và thống kê toán học

 

  1. Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học BÀI TẬP CHƯƠNG 0 GIẢI TÍCH KẾT HỢP 0.1. Chứng minh C(p,p) + C(p+1,p) + … + C(n,p) = C(n+1,p+1) 0.2. Chứng minh n ∑ k.C (n, k ) = n.2n−1 C(n,1) + 2.C(n,2) + … + n.C(n,n) = k =1 0.3. Chứng minh ( ) n 1 1 1 1 1 ∑ k + 1 C (n, k ) = 2n +1 − 1 C(n,0) + C(n,1) + .C(n,2) + … + .C(n,n) = n +1 n +1 2 3 k =0 C(n,0) + 2.C(n,1) + 22.C(n,2) + … + 2n.C(n,n) = 3n 1. C(2n,2) + C(2n,4) + … + C(2n,2n) = 22n – 1 - 1 2.  Bài tập 1
  2. Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học CHƯƠNG 1 SỰ KIỆN VÀ XÁC SUẤT 1.1. Có n người ngồi ngẫu nhiên quanh bàn tròn. Tính xác su ất đ ể hai ng ười xác định ngồi cạnh nhau. 1.2. Có n người ngồi ngẫu nhiên trên gh ế dài. Tính xác su ất đ ể hai ng ười xác đ ịnh ngồi cạnh nhau. 1.3. Một cỗ bài gồm 52 quân có 4 chất, mỗi chất 13 quân. Từ c ỗ bài đã xóc k ỹ ta rút ngẫu nhiên 6 quân bài. a) Tính xác suất sao cho trong 6 quân rút có ít nhất m ột con Át. b) Tính xác suất sao cho trong 6 quân rút có đ ủ đ ại di ện c ủa 4 chất. 1.4. Có n đôi găng tay thuộc n loại khác nhau đ ược b ỏ l ẫn l ộn trong ngăn kéo. Rút ngẫu nhiên 2.k chiếc (4 ≤ 2k ≤ n). Tính xác suất rút được đúng 2 đôi. 1.5. Bốn sinh viên vào 5 phòng học. Giả sử mỗi người có th ể vào m ột phòng b ất kỳ với khả năng như nhau. Tính xác suất để a) Cả 4 người vào cùng phòng. b) Bồn người vào 4 phòng khác nhau.  Bài tập 2
  3. Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học BÀI GIẢI CHƯƠNG 0 GIẢI TÍCH KẾT HỢP 0.1. Chứng minh n ∑ C (k , p ) C(p,p) + C(p+1,p) + … + C(n,p) = = C(n+1,p+1) k=p CM. Sử dụng công thức Pascal C(k,p) = C(k+1,p+1) − C(k,p+1) ta có n n n ∑ C (k , p) = ∑ C (k + 1, p + 1) − ∑ C (k , p + 1) k=p k= p k= p = C(n+1,p+1) − C(p,p+1) = C(n+1,p+1) 0.2. Chứng minh n ∑ k.C (n, k ) = n.2n−1 C(n,1) + 2.C(n,2) + … + n.C(n,n) = k =1 CM. Sử dụng công thức k.C(n,k) = n.C(n−1,k−1) ta có n −1 n n ∑ k.C (n, k ) = ∑ n.C (n − 1, k − 1) = n. ∑ C (n − 1, h) = n.2n−1 k =1 k =1 h=0 0.3. Chứng minh ( ) n 1 1 1 1 1 .C(n,n) = ∑ 2n +1 − 1 C (n, k ) = C(n,0) + C(n,1) + .C(n,2) + … + k =0 k + 1 n +1 n +1 2 3 CM. Sử dụng công thức (k+1).C(n+1,k+1) = (n+1).C(n,k) ta có 1 n +1 ( ) n n 1 1 1 ∑ k +1 C (n, k ) = ∑ ∑ C (n + 1, h) = n + 1 2n +1 − 1 C (n + 1, k + 1) = k =0 n + 1 n + 1 h =1 k =0  Bài tập 3
  4. Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học C©u hái lý thuyÕt XSTK ch¬ng 2. BiÕn ngÉu nhiªn III. BiÕn ngÉu nhiªn liªn tôc LT.2.III.1. Ph¸t biÓu ®Þnh nghÜa biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc. BiÕn ngÉu nhiªn liªn tôc kh¸c biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c nh thÕ nµo ? Cho vÝ dô. LT.2.III.2. Cho X lµ biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc. H·y chøng minh P(X = x) = 0 ∀x∈R (i) b P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X < b) = ∫ f ( x) dx (ii) a (iii) Hµm ph©n phèi F(x) liªn tôc trªn R vµ kh¶ vi t¹i c¸c ®iÓm liªn tôc cña hµm mËt ®é f vµ F’(x) = f(x). LT.2.III.3. §Þnh nghÜa kú väng cña biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc. Ph¸t biÓu vµ chøng minh c¸c tÝnh chÊt cña kú väng. LT.2.III.4. §Þnh nghÜa ph¬ng sai vµ ®é lÖch qu©n ph¬ng cña biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc. Ph¸t biÓu vµ chøng minh c¸c tÝnh chÊt cña ph¬ng sai. LT.2.III.5. §Þnh nghÜa ph¬ng sai vµ ®é lÖch qu©n ph¬ng cña biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc. Chøng minh c«ng thøc Koenig-Huyghens tÝnh ph¬ng sai. LT.2.III.6. §Þnh nghÜa Mode vµ Trung vÞ biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc. T×m mode vµ trung vÞ cña biÕn ngÉu nhiªn tu©n theo luËt ph©n phèi mò E(λ). LT.2.III.7. Tr×nh bµy luËt ph©n phèi ®Òu trªn [a;b] U([a;b]): §Þnh nghÜa, hµm ph©n phèi, hµm mËt ®é, kú väng vµ ph¬ng sai, ®å thÞ.  Bài tập 4
  5. Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học LT.2.III.8. Tr×nh bµy luËt ph©n phèi mò víi tham sè λ E(λ) : §Þnh nghÜa, hµm ph©n phèi, hµm mËt ®é, kú väng vµ ph¬ng sai, ®å thÞ. LT.2.III.9. §Þnh nghÜa c¸c kh¸i niÖm Momen cÊp k cña biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc. T×m momen cÊp 3 cña biÕn ngÉu nhiªn tu©n theo luËt ph©n phèi mò E(λ). LT.2.III.10. §Þnh nghÜa kh¸i niÖm HÖ sè bÊt ®èi xøng cña biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc. T×m hÖ sè bÊt ®èi xøng cña biÕn ngÉu nhiªn tu©n theo luËt ph©n phèi mò E(λ). LT.2.III.11. §Þnh nghÜa kh¸i niÖm HÖ sè nhän cña biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc. T×m hÖ sè nhän cña biÕn ngÉu nhiªn tu©n theo luËt ph©n phèi ®Òu U([a;b]). LT.2.III.12. Tr×nh bµy luËt ph©n phèi chÝnh qui N(m,σ): §Þnh nghÜa, hµm ph©n phèi, hµm mËt ®é, kú väng vµ ph¬ng sai, ®å thÞ. LT.2.III.13. LËp c«ng thøc tÝnh x¸c suÊt P(α < X < β) cña biÕn ngÉu nhiªn X cã ph©n phèi N(m,σ) theo hµm ph©n phèi φ cña luËt ph©n phèi chÝnh qui chuÈn N(0,1). LT.2.III.14. LËp c«ng thøc tÝnh x¸c suÊt P( X - m < λ) cña biÕn ngÉu nhiªn X cã ph©n phèi N(m,σ) theo hµm ph©n phèi φ cña luËt ph©n phèi chÝnh qui chuÈn N(0,1). LT.2.III.15. Ph¸t biÓu vµ chøng minh qui t¾c 3σ vµ nªu vÝ dô øng dông. LT.2.III.16. Tr×nh bµy c¸ch sö dông b¶ng tÝnh φ (x), cho vÝ dô. LT.2.III.17. Tr×nh bµy c¸ch sö dông b¶ng tÝnh φ -1(u), cho vÝ dô.  Bài tập 5
  6. Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học LT.2.III.18. Tr×nh bµy luËt ph©n phèi mò E(λ): §Þnh nghÜa, hµm ph©n phèi, hµm mËt ®é, kú väng vµ ph¬ng sai, ®å thÞ.  Bài tập 6
  7. Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học BT II.3.01 Mét sù kiÖn A cña phÐp thö α cã x¸c suÊt P(A)=3%. Thùc hiÖn phÐp thö α 1000 lÇn. Gäi X lµ sè lÇn xuÊt hiÖn sù kiÖn A. a) X¸c ®Þnh luËt ph©n phèi cña biÕn ngÉu nhiªn X. b) XÊp xØ luËt ph©n phèi cña X b»ng luËt ph©n phèi Poisson, vµ luËt ph©n phèi chuÈn. c) Sö dông hµm ph©n phèi chuÈn, tÝnh gÇn ®óng x¸c suÊt: sù kiÖn A xuÊt hiÖn kh«ng qu¸ 20 lÇn. BT II.3.02 ë mét nót giao th«ng cø h phót cã mét xe ®i qua, x¸c suÊt pan xe lµ p. H·y tÝnh x¸c suÊt cã Ýt nhÊt 1 xe bÞ pan trong kho¶ng thêi gian tõ 7g00 ®Õn 19g00 trong: a) nh÷ng n¨m 90: h=15, p=5% b) nh÷ng n¨m 60: h=30, p=50% BT II.3.03 Trong 100 vÐ sè cã 5 vÐ cã thëng. Mét ngêi mua 4 vÐ. a) T×m x¸c suÊt ®Ó ngêi ®ã cã Ýt nhÊt 1 vÐ tróng thëng. b) Ngêi ®ã ph¶i mua Ýt nhÊt bao nhiªu vÐ ®Ó x¸c suÊt cã vÐ tróng thëng kh«ng nhá h¬n 0,5. BT II.3.04 Mét ngêi trung b×nh cã 2 ngµy bÞ èm trong n¨m (365 ngµy). TÝnh x¸c suÊt ®Ó ngêi ®ã trong 18 th¸ng cã Ýt nhÊt 3 ngµy bÞ èm. BT II.3.05  Bài tập 7
  8. Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Cho biÕn ngÉu nhiªn X tu©n theo luËt ph©n phèi mò E(λ). a) ViÕt bÊt ®¼ng thøc Trebsep víi tham sè ε >0. b) Tõ a) suy ra ∀t>0:t2.e-t ≤ e c) H·y ®¸nh gi¸ ®é chÝnh x¸c cña bÊt ®¼ng thøc trªn.  Bài tập 8
  9. Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học BT II.3.06 Mét xóc s¾c khi gieo cã x¸c suÊt xuÊt hiÖn mÆt 6 chÊm lµ p , 0<p<1. Ngêi ta gieo xóc s¾c 6.n , n≥ 1, lÇn mét c¸ch ®éc lËp. Ký hiÖu biÕn ngÉu nhiªn X n lµ sè lÇn xuÊt hiÖn mÆt 6. a) X¸c ®Þnh luËt ph©n phèi cña Xn , kú väng vµ ph¬ng sai cña nã. b) ViÕt bÊt ®¼ng thøc Trebsep ®èi víi Xn víi tham sè ε >0. c) Gi¶ thiÕt x¸c suÊt c¸c mÆt nh nhau. Sö dông bÊt ®¼ng thøc trªn, x¸c ®Þnh n nhá nhÊt sao cho x¸c suÊt cña sù kiÖn  n/n - p ≥ 10-2 kh«ng lín h¬n 1/2. X BT II.3.07 Ký hiÖu biÕn ngÉu nhiªn X vµ Y lµ sè xe ®i qua ng· ba HuÕ vµo Nam vµ ra B¾c trong mét kho¶ng thêi gian, tu©n theo luËt ph©n phèi Poisson P(λ) vµ P(µ). Gi¶ thiÕt X, Y ®éc lËp, λ=15, µ = 20. Gäi Z lµ tæng sè xe qua qua Ng· ba HuÕ a) X¸c ®Þnh luËt ph©n phèi cña Z. b) Sö dông xÊp xØ tiÖm cÇn chuÈn tÝnh x¸c suÊt cã Ýt nhÊt 40 xe ®i qua Ng· Ba HuÕ. c) TÝnh x¸c suÊt cã ®óng 35 xe ®i qua Ng· Ba HuÕ. BT II.3.08 Cã 5% sè phiÕu kh«ng hîp lÖ trong 1000 phiÕu. LÊy ngÉu nhiªn 100 phiÕu. Gäi X lµ sè phiÕu kh«ng hîp lÖ trong sè lÊy ra. a) X¸c ®Þnh luËt ph©n phèi cña X. b) XÊp xØ ph©n phèi cña X b»ng ph©n phèi nhÞ thøc, sau ®ã b»ng ph©n phèi Poisson. c) TÝnh gÇn ®óng x¸c suÊt P(X≤ 5), P(X=0). BT II.3.09.a Cho d·y biÕn ngÉu nhiªn (Xn)n≥ 1 , Xn cã ph©n phèi h×nh häc G(pn), 0< pn < 1. T×m ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ cña (pn) ®Ó d·y (Xn) héi tô theo luËt. BT II.3.09.b  Bài tập 9
  10. Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mét thïng cã n qu¶ cÊu ®¸nh sè tõ 1 ®Õn n, n ≥ 1. Mét nhãm n ngêi còng mang sè tõ 1 ®Õn n, lÇn lît rót mçi ngêi mét qu¶ cÇu, cã tr¶ l¹i. NÕu cã ngêi rót ®îc qu¶ cÇu trïng víi sè cña m×nh th× lÆp l¹i qu¸ tr×nh rót cÇu trªn. Ký hiÖu Xn lµ sè lÇn lÆp qu¸ tr×nh rót cÇu cho ®Õn khi mçi ng êi rót ®îc qu¶ cÇu kh¸c sè víi m×nh. a) X¸c ®Þnh luËt ph©n phèi cña Xn , kú väng cña nã. b) Chøng minh (Xn) héi tô theo luËt ®Õn biÕn ngÉu nhiªn Y, x¸c ®Þnh luËt ph©n phèi cña Y. c) Chøng minh: limE(Xn) = E(Y)  Bài tập 10
  11. Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học BT II.3.10 Cho d·y biÕn ngÉu nhiªn (Xk)k≥ 1 , cã kú väng vµ ph¬ng sai. §Æt mk = E(Xk)   n vµ gi¶ thiÕt r»ng D ∑ X k  = o(n ) . 2  k =1  a) Chøng minh r»ng d·y biÕn ngÉu nhiªn (Mn)n≥ 1 , ®Þnh nghÜa nh sau: X 1 + ... + X n m1 + ... + mn Mn = − n n héi tô theo luËt ®Õn 0. b) Gi¶ thiÕt Xk cã kú väng m vµ ph¬ng sai σ ∀k. Chøng minh luËt sè lín yÕu: X 1 + ... + X n XS Mn = → m n BT II.3.11a Tuæi thä mét chÊt phãng x¹ cã luËt ph©n phèi mò E(λ), λ>0. Gäi T1,..., Tn lµ tuæi thä cña n h¹t chÊt phãng x¹, ph©n r· ®éc lËp. Ký hiÖu S n lµ tuæi thä cña h¹t ®Çu tiªn ph©n r·. a) X¸c ®Þnh hµm ph©n phèi cña Sn . b) Kh¶o s¸t sù héi tô theo luËt cña d·y biÕn ngÉu nhiªn (n.Sn)n≥ 1 c) Chøng minh r»ng T1 + ... + Tn XS 1 Mn = → λ n BT II.3.11b Tuæi thä mét chÊt phãng x¹ cã luËt ph©n phèi mò E(λ), λ>0. Gäi T1,..., Tn lµ tuæi thä cña n h¹t chÊt phãng x¹, ph©n r· ®éc lËp. Ký hiÖu R n lµ tuæi thä cña h¹t cuèi cïng ph©n r·. a) X¸c ®Þnh hµm ph©n phèi cña Rn .  Rn  b) Kh¶o s¸t sù héi tô theo luËt cña d·y biÕn ngÉu nhiªn  .  n  n≥1 c) Chøng minh r»ng T1 + ... + Tn XS 1 Mn = → λ n BT II.3.12 Cho d·y biÕn ngÉu nhiªn (Tn)n≥ 0 ®Þnh nghÜa nh sau: Tn+1= g(Tn), n≥ 0, trong ®ã g:I→I lµ ¸nh x¹ co trªn kho¶ng I trong R, cã ®iÓm cè ®Þnh duy nhÊt l. a) Chøng minh r»ng d·y (Tn) héi tô theo x¸c suÊt, kÐo theo héi tô theo luËt, ®Õn l. b) Kh¶o s¸t héi tô theo x¸c suÊt vµ theo luËt cña d·y:  Bài tập 11
  12. Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Tn t 1 − ∫ e 2 dt T0 ~ U([-1,1]); Tn+1 = 2π 0  Bài tập 12
  13. Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học BT II.4.20 Cho tËp tæng thÓ gåm 1000 viªn bi. Träng lîng bi X lµ biÕn ngÉu nhiªn kú väng µ = 25g, ®é lÖch qu©n ph¬ng σ = 0.07g. XÐt mÉu lÆp cì 49 : X1 , ... , X49. a) X¸c ®Þnh ph©n phèi tiÖm cËn chuÈn cña ®¹i lîng trung b×nh X 1 + ... + X 49 M= 49 vµ tÝnh x¸c suÊt 24,98 ≤ M ≤ 25,02. b) LÊy 300 mÉu lÆp cì 49. ¦íc lîng sè mÉu cã 24,98 ≤ M ≤ 25,02 BT II.4.21a XÐt tËp rÊt nhiÒu trÎ s¬ sinh cã x¸c suÊt bÐ trai, bÐ g¸i b»ng nhau a) LÊy mÉu 200 trÎ tõ tËp trªn. TÝnh x¸c suÊt cã Ýt nhÊt 40% bÐ trai tõ tËp mÉu. b) LÊy 1000 mÉu 200 trÎ. ¦íc lîng sè mÉu cã Ýt nhÊt 40% bÐ trai. BT II.4.21b XÐt tËp rÊt nhiÒu trÎ s¬ sinh cã x¸c suÊt bÐ trai, bÐ g¸i b»ng nhau a) LÊy mÉu 200 trÎ tõ tËp trªn. TÝnh x¸c suÊt cã tõ 43% ®Õn 57% bÐ g¸i tõ tËp mÉu. b) LÊy 1000 mÉu 200 trÎ. ¦íc lîng sè mÉu cã tõ 43% ®Õn 57% bÐ g¸i. BT II.4.22 Mét thïng kÝn cã 80 qu¶ cÇu, trong ®ã cã 60% cÇu tr¾ng vµ 40% cÇu ®en. Cho 50 mÉu cã lÆp cì 20. ¦íc lîng a) sè mÉu cã sè cÇu ®en b»ng sè cÇu tr¾ng  Bài tập 13
  14. Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học b) cã 15 cÇu ®en c) cã Ýt nhÊt 10 cÇu tr¾ng BT II.4.23a Cho mÉu 100 viªn bi tõ tËp tæng thÓ v« sè bÞ. Gi¶ thiÕt ® êng kÝnh bi cã kú väng µ = 0.95 cm vµ ®é lÖch qu©n ph ¬ng σ = 0.025cm. H·y x¸c ®Þnh kho¶ng tin cËy cña ®êng kÝnh viªn bi víi ®é tin cËy 95% a) b»ng c¸ch sö dông bÊt ®¼ng thøc Trebsep b) víi gi¶ thiÕt ®êng kÝnh bi tu©n theo luËt ph©n phèi chuÈn. BT II.4.23b Cho mÉu 100 viªn bi tõ tËp tæng thÓ v« sè bÞ. Gi¶ thiÕt ® êng kÝnh bi cã kú väng µ = 0.95 cm vµ ®é lÖch qu©n ph ¬ng σ = 0.025cm. H·y x¸c ®Þnh kho¶ng tin cËy cña ®êng kÝnh viªn bi víi ®é tin cËy 99% a) trong trêng hîp sö dông bÊt ®¼ng thøc Trebsep b) trong trêng hîp gi¶ thiÕt ®êng kÝnh bi tu©n theo luËt ph©n phèi chuÈn. BT II.4.24 Thêi gian thùc hiÖn mét lo¹i ph¶n øng ho¸ häc lµ biÕn ngÉu nhiªn T ®é lÖch qu©n ph¬ng σ = 0.05 gi©y. H·y x¸c ®Þnh sè lÇn thÝ nghiÖm “Ýt nhÊt” ®Ó víi ®é tin cËy 95%, ®é lÖch cña trung b×nh céng thêi gian so víi kú väng kh«ng qu¸ 0.01 gi©y a) trong trêng hîp sö dông bÊt ®¼ng thøc Trebsep b) trong trêng hîp gi¶ thiÕt biÕn ngÉu nhiªn T tu©n theo luËt ph©n phèi chuÈn.  Bài tập 14
  15. Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học BT II.4.25 Trong mét ®ît bÇu cö ngêi ta chän ngÉu nhiªn 100 cö tri ®Ó th¨m dß kÕt qu¶ th× ® - îc biÕt cã 55% bá phiÕu cho øng cö viªn A, 45% bÇu øng cö viªn B. a) H·y x¸c ®Þnh kho¶ng tin cËy cña tØ lÖ cö tri bÇu øng cö viªn A víi ®é tin cËy 95%. b) Gi¶ thiÕt tØ lÖ phiÕu bÇu trªn lµ chung cho tÊt c¶ cö tri. CÇn ph¶i th¨m dß “Ýt nhÊt” bao nhiªu cö tri ®Ó cã thÓ ®¶m b¶o øng cö viªn A cã Ýt nhÊt 50% phiÕu bÇu víi ®é tin cËy 95%. BT II.4.26a Cã N (N rÊt lín) cö tri tham gia bÇu cö. §Ó íc lîng tØ lÖ p sè ngêi bÇu øng cö viªn A, ngêi ta chän ngÉu nhiªn n cö tri ®Ó th¨m dß kÕt qu¶. Ký hiÖu X n lµ sè cö tri chän øng cö viªn A. a) H·y x¸c ®Þnh luËt ph©n phèi cña Xn . b) Gi¶ thiÕt n/N ≤ 1/10. H·y x¸c ®Þnh luËt ph©n phèi tiÖm cËn ®¬n gi¶n nhÊt cña Xn. c) Gi¶ thiÕt 0.4 ≤ p ≤ 0.6. H·y t×m n “nhá nhÊt” ®Ó cã thÓ coi X n cã luËt ph©n phèi tiÖm cËn chuÈn. BT II.4.26b Cã N (N rÊt lín) cö tri tham gia bÇu cö. Ký hiÖu p lµ tØ lÖ sè ngêi bÇu øng cö viªn A. Ngêi ta chän ngÉu nhiªn n cö tri ®Ó th¨m dß kÕt qu¶. Ký hiÖu X n lµ sè cö tri chän øng cö viªn A. Xn − p X a) H·y x¸c ®Þnh luËt ph©n phèi cña Fn = n vµ cña Gn = . p(1 − p ) n b) T×m a > 0 nhá nhÊt tho¶ P(-a ≤ Gn ≤ a ) ≥ 0.99. c) Cho mÉu cì n=1000 , ta cã tÇn suÊt ngêi bá phiÕu cho A lµ f=0,55. T×m kho¶ng íc lîng [p1 , p2 ] cña p víi ®é tin cËy Ýt nhÊt lµ 0.99 BT II.4.28  Bài tập 15
  16. Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học XÐt tËp tæng thÓ cã N (N rÊt lín) phÇn tö, vµ biÕn ngÉu nhiªn X nhËn c¸c gi¸ trÞ t¬ng øng a1 , ... , aN . Ký hiÖu µ = E(X) vµ σ2 = D(X). Chän ngÉu nhiªn mÉu kh«ng lÆp cì n (n < N) (X1 ,..., Xn). Ký hiÖu X 1 + ... + X n M= n σ2 N −n a) Chøng minh D(M) = . n N −1 b) T×m giíi h¹n cña D(M) khi N rÊt lín so víi n.  Bài tập 16
  17. Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học bµi tËp X¸c SuÊt Thèng Kª III. BiÕn ngÉu nhiªn liªn tôc BT 2.I.5. Cho X lµ biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc víi ®å thÞ hµm mËt ®é nh sau b -a 0 a C¸c tham sè a vµ b d¬ng vµ ta nãi X tu©n theo luËt ph©n phèi Simpson tham sè a. a) BiÓu diÔn b theo a vµ biÓu diÔn têng minh hµm mËt ®é f . b) X¸c ®Þnh hµm ph©n phèi F cña X vµ vÏ ®å thÞ cña nã. c) TÝnh kú väng E(X) vµ ph¬ng sai V(X). BT 2.I.6. a) X¸c ®Þnh sè thùc a ®Ó hµm f cho bëi 0 nÕu x ≤ 1 vµ f(x) = a/(x2-1/4) nÕu x > 1 f(x) = lµ hµm mËt ®é cña biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc. b) X¸c ®Þnh hµm ph©n phèi F cña X. c) Kú väng E(X) cã tån t¹i hay kh«ng ? NÕu tån t¹i, h·y tÝnh E(X). d) Ph¬ng sai V(X) cã tån t¹i hay kh«ng ? NÕu tån t¹i, h·y tÝnh V(X). BT 2.I.7. a) Cho a∈R. X¸c ®Þnh sè thùc λ ®Ó hµm f cho bëi 0 nÕu x ≤ a vµ f(x) = λ/(x2 +1) nÕu x > a f(x) = lµ hµm mËt ®é cña biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc. b) (i) X¸c ®Þnh hµm ph©n phèi F cña X. (ii) VÏ ®å thÞ hµm mËt ®é f vµ hµm ph©n phèi F. c) X cã m«men bËc s ≥ 1 hay kh«ng ?  Bài tập 17
  18. Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học BT 2.I.8. Cho hµm F nh sau: F(x) = ex / (ex + e-x ) ∀x∈R a) (i) Chøng tá r»ng F lµ hµm ph©n phèi F cña biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc X. (ii) X¸c ®Þnh hµm mËt ®é f cña X. b) Chøng tá X lµ biÕn ngÉu nhiªn trung t©m (kú väng E(X)=0). c) Chøng minh r»ng X cã ph¬ng sai V(X) vµ +∞ V(X) = 4.∫ t.e-t/(et + e-t)dt 0 BT 2.I.9. Cho hµm f nh sau: f(x) = 0 nÕu x < 0 vµ f(x) = λ / (x3 + 1 ) nÕu x ≥ 0 a) (i) X¸c ®Þnh a, b, c ®Ó ∀x∈R: 1/(x3 + 1) = a/(x+1) + (b.x+c)/(x2 - x + 1) (ii) TÝnh tÝch ph©n +∞ ∫ 1/(t3 + 1)dt -∞ X¸c ®Þnh λ ®Ó f lµ mËt ®é cña biÕn ngÉu nhiªn. (iii) b) Cho X lµ biÕn ngÉu nhiªn cã mËt ®é f. TÝnh hµm ph©n phèi F cña X. c) Chøng tá X cã kú väng E(X). TÝnh E(X) d) X cã ph¬ng sai kh«ng ? BT 2.I.10 Cho x ≥ 0. Chøng minh sù héi tô cña tÝch ph©n a) (i) +∞ λ −t − / 2 I(x) = ∫ 2.π e dt x X¸c ®Þnh λ ®Ó hµm f ®Þnh nghÜa nh sau: (ii) f(x) = 0 nÕu x < 0 vµ f(x) = I(x) nÕu x ≥ 0 lµ mËt ®é cña biÕn ngÉu nhiªn X. b) X¸c ®Þnh hµm ph©n phèi F cña X. c) (i) Chøng minh r»ng tån t¹i K sao cho ∀x ≥ 2: f(x) ≤ K.e . -x (ii) Tõ c©u (i) suy ra X cã m«men mäi bËc k. BT 2.I.11 Cho hµm f nh sau: f(x) = λ.2-x nÕu x ≥ 0 vµ f(x) = µ.2x nÕu x < 0, trong ®ã λ vµ µ lµ c¸c sè thùc.  Bài tập 18
  19. Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học λ vµ µ ph¶i tho¶ m·n quan hÖ g× ®Ó f lµ mËt ®é cña biÕn ngÉu nhiªn. a) b) λ vµ µ ph¶i tho¶ m·n quan hÖ g× ®Ó f lµ mËt ®é cña biÕn ngÉu nhiªn trung t©m (cã kú väng b»ng 0). c) Chøng minh r»ng biÕn ngÉu nhiªn X ë c©u b) cã ph¬ng sai. H·y tÝnh ph- ¬ng sai ®ã. d) X¸c ®Þnh hµm ph©n phèi F cña X. e) Cho Y lµ biÕn ngÉu nhiªn Y = [X] ([x] lµ phÇn nguyªn cña x). X¸c ®Þnh luËt ph©n phèi cña Y vµ tÝnh E(Y). BT 2.I.12 Cho X lµ biÕn ngÉu nhiªn cã mËt ®é f liªn tôc trªn R. Gi¶ thiÕt f(x) = 0 ∀x ≤ 0. Chøng minh r»ng Y = ln(X) lµ biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc vµ x¸c ®Þnh mËt ®é cña Y. BT 2.I.13 Cho X lµ biÕn ngÉu nhiªn cã mËt ®é f liªn tôc trªn R. §Æt Y = ea.X + b , trong ®ã a > 0 vµ b ∈ R. a) Chøng minh r»ng Y lµ biÕn ngÉu nhiªn. b) X¸c ®Þnh hµm mËt ®é cña Y. BT 2.II.9 Cho X lµ biÕn ngÉu nhiªn tu©n theo luËt ph©n phèi Gama Γ(b,τ) cã mËt ®é fb,τ(x) = 0 nÕu x ≤ 0 τ x -1.e-x/b +∞ τ fb,τ(x) =   nÕu x > 0 ( Γ(τ) = ∫ u -1.e-udu )  τ b .Γ(τ) 0 a) Chøng minh r»ng m«men gèc bËc s tån t¹i ∀s≥ 1 b) TÝnh m«men gèc bËc s (s≥ 1). BT 2.II.10 a) Cho X lµ biÕn ngÉu nhiªn tu©n theo luËt ph©n phèi Pareto VP(α,a,b) cã mËt ®é fα,a,b (x) = 0 nÕu x ≤ b + a α α+1 a fb,τ(x) =    nÕu x > b + a . a x-b Cho Y lµ biÕn ngÉu nhiªn Y = λ.X + µ (λ>0, µ∈R).  Bài tập 19
  20. Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học X¸c ®Þnh luËt ph©n phèi cña Y. TÝnh kú väng vµ ph¬ng sai cña X ≈ VP(α,1,0). b) Sö dông kÕt qu¶ c©u b) tÝnh kú väng vµ ph¬ng sai cña X ≈ VP(α,a,b). c) BT 2.II.11 Cho X lµ biÕn ngÉu nhiªn tu©n theo luËt ph©n phèi mò E(λ). k a) X¸c ®Þnh luËt ph©n phèi cña biÕn ngÉu nhiªn Y = a.X ( a > 0 vµ k > 1 ). b) X¸c ®Þnh luËt ph©n phèi cña biÕn ngÉu nhiªn Y = c.X (c>0) . BT 2.II.12 Cho X lµ biÕn ngÉu nhiªn tu©n theo luËt ph©n phèi Pareto VP(α,a,0) cã mËt ®é fα,a,b (x) = 0 nÕu x ≤ a α α+1 a fb,τ(x) =    nÕu x > a . a x a) X¸c ®Þnh luËt ph©n phèi cña biÕn ngÉu nhiªn Y = log k (X/a) ( a > 0 vµ k > 1 ). c b) X¸c ®Þnh luËt ph©n phèi cña biÕn ngÉu nhiªn Y = X (c>0) . BT 2.II.13 Cho X lµ biÕn ngÉu nhiªn tu©n theo luËt ph©n phèi chÝnh qui N(0,σ) vµ a > 1. X¸c ®Þnh σ ®Ó x¸c suÊt P(X∈[a-1,a+1]) lµ lín nhÊt. BT 2.II.14 Sö dông b¶ng hµm ph©n phèi φ cña luËt ph©n phèi chÝnh qui N(0,1) tÝnh tÝch ph©n 1 ∫e-x + x dx 0 (Cho biÕt √2 = 1.42 , π = 3.14 ) BT 2.II.15 a) Cho X lµ biÕn ngÉu nhiªn tu©n theo luËt ph©n phèi ®Òu trªn [a;b]. X¸c ®Þnh luËt ph©n phèi cña biÕn ngÉu nhiªn Y = α.X + β (α ≠ 0, β ∈ R). b) Cho ϕ:R → R lµ song ¸nh kh¶ vi liªn tôc cã ®¹o hµm ϕ’(x) ≠ 0 ∀x∈R. Gi¶ thiÕt c¸c biÕn ngÉu nhiªn X vµ ϕ(X) tu©n theo luËt ph©n phèi ®Òu t¬ng øng trªn [a,b] vµ trªn [c,d]. Chøng minh r»ng ϕ lµ hµm afin.  Bài tập 20
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản