Bài tập lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Chia sẻ: Thanhhuyen Huyen | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:21

0
707
lượt xem
144
download

Bài tập lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

GIẢI TÍCH KẾT HỢP 0.1. Chứng minh C(p,p) + C(p+1,p) + … + C(n,p) = C(n+1,p+1) 0.2. Chứng minh C(n,1) + 2.C(n,2) + … + n.C(n,n) = n...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài tập lý thuyết xác suất và thống kê toán học

  1. Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học BÀI TẬP CHƯƠNG 0 GIẢI TÍCH KẾT HỢP 0.1. Chứng minh C(p,p) + C(p+1,p) + … + C(n,p) = C(n+1,p+1) 0.2. Chứng minh n ∑ k.C (n, k ) = n.2n−1 C(n,1) + 2.C(n,2) + … + n.C(n,n) = k =1 0.3. Chứng minh ( ) n 1 1 1 1 1 ∑ k + 1 C (n, k ) = 2n +1 − 1 C(n,0) + C(n,1) + .C(n,2) + … + .C(n,n) = n +1 n +1 2 3 k =0 C(n,0) + 2.C(n,1) + 22.C(n,2) + … + 2n.C(n,n) = 3n 1. C(2n,2) + C(2n,4) + … + C(2n,2n) = 22n – 1 - 1 2.  Bài tập 1
  2. Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học CHƯƠNG 1 SỰ KIỆN VÀ XÁC SUẤT 1.1. Có n người ngồi ngẫu nhiên quanh bàn tròn. Tính xác su ất đ ể hai ng ười xác định ngồi cạnh nhau. 1.2. Có n người ngồi ngẫu nhiên trên gh ế dài. Tính xác su ất đ ể hai ng ười xác đ ịnh ngồi cạnh nhau. 1.3. Một cỗ bài gồm 52 quân có 4 chất, mỗi chất 13 quân. Từ c ỗ bài đã xóc k ỹ ta rút ngẫu nhiên 6 quân bài. a) Tính xác suất sao cho trong 6 quân rút có ít nhất m ột con Át. b) Tính xác suất sao cho trong 6 quân rút có đ ủ đ ại di ện c ủa 4 chất. 1.4. Có n đôi găng tay thuộc n loại khác nhau đ ược b ỏ l ẫn l ộn trong ngăn kéo. Rút ngẫu nhiên 2.k chiếc (4 ≤ 2k ≤ n). Tính xác suất rút được đúng 2 đôi. 1.5. Bốn sinh viên vào 5 phòng học. Giả sử mỗi người có th ể vào m ột phòng b ất kỳ với khả năng như nhau. Tính xác suất để a) Cả 4 người vào cùng phòng. b) Bồn người vào 4 phòng khác nhau.  Bài tập 2
  3. Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học BÀI GIẢI CHƯƠNG 0 GIẢI TÍCH KẾT HỢP 0.1. Chứng minh n ∑ C (k , p ) C(p,p) + C(p+1,p) + … + C(n,p) = = C(n+1,p+1) k=p CM. Sử dụng công thức Pascal C(k,p) = C(k+1,p+1) − C(k,p+1) ta có n n n ∑ C (k , p) = ∑ C (k + 1, p + 1) − ∑ C (k , p + 1) k=p k= p k= p = C(n+1,p+1) − C(p,p+1) = C(n+1,p+1) 0.2. Chứng minh n ∑ k.C (n, k ) = n.2n−1 C(n,1) + 2.C(n,2) + … + n.C(n,n) = k =1 CM. Sử dụng công thức k.C(n,k) = n.C(n−1,k−1) ta có n −1 n n ∑ k.C (n, k ) = ∑ n.C (n − 1, k − 1) = n. ∑ C (n − 1, h) = n.2n−1 k =1 k =1 h=0 0.3. Chứng minh ( ) n 1 1 1 1 1 .C(n,n) = ∑ 2n +1 − 1 C (n, k ) = C(n,0) + C(n,1) + .C(n,2) + … + k =0 k + 1 n +1 n +1 2 3 CM. Sử dụng công thức (k+1).C(n+1,k+1) = (n+1).C(n,k) ta có 1 n +1 ( ) n n 1 1 1 ∑ k +1 C (n, k ) = ∑ ∑ C (n + 1, h) = n + 1 2n +1 − 1 C (n + 1, k + 1) = k =0 n + 1 n + 1 h =1 k =0  Bài tập 3
  4. Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học C©u hái lý thuyÕt XSTK ch¬ng 2. BiÕn ngÉu nhiªn III. BiÕn ngÉu nhiªn liªn tôc LT.2.III.1. Ph¸t biÓu ®Þnh nghÜa biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc. BiÕn ngÉu nhiªn liªn tôc kh¸c biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c nh thÕ nµo ? Cho vÝ dô. LT.2.III.2. Cho X lµ biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc. H·y chøng minh P(X = x) = 0 ∀x∈R (i) b P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X < b) = ∫ f ( x) dx (ii) a (iii) Hµm ph©n phèi F(x) liªn tôc trªn R vµ kh¶ vi t¹i c¸c ®iÓm liªn tôc cña hµm mËt ®é f vµ F’(x) = f(x). LT.2.III.3. §Þnh nghÜa kú väng cña biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc. Ph¸t biÓu vµ chøng minh c¸c tÝnh chÊt cña kú väng. LT.2.III.4. §Þnh nghÜa ph¬ng sai vµ ®é lÖch qu©n ph¬ng cña biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc. Ph¸t biÓu vµ chøng minh c¸c tÝnh chÊt cña ph¬ng sai. LT.2.III.5. §Þnh nghÜa ph¬ng sai vµ ®é lÖch qu©n ph¬ng cña biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc. Chøng minh c«ng thøc Koenig-Huyghens tÝnh ph¬ng sai. LT.2.III.6. §Þnh nghÜa Mode vµ Trung vÞ biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc. T×m mode vµ trung vÞ cña biÕn ngÉu nhiªn tu©n theo luËt ph©n phèi mò E(λ). LT.2.III.7. Tr×nh bµy luËt ph©n phèi ®Òu trªn [a;b] U([a;b]): §Þnh nghÜa, hµm ph©n phèi, hµm mËt ®é, kú väng vµ ph¬ng sai, ®å thÞ.  Bài tập 4
  5. Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học LT.2.III.8. Tr×nh bµy luËt ph©n phèi mò víi tham sè λ E(λ) : §Þnh nghÜa, hµm ph©n phèi, hµm mËt ®é, kú väng vµ ph¬ng sai, ®å thÞ. LT.2.III.9. §Þnh nghÜa c¸c kh¸i niÖm Momen cÊp k cña biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc. T×m momen cÊp 3 cña biÕn ngÉu nhiªn tu©n theo luËt ph©n phèi mò E(λ). LT.2.III.10. §Þnh nghÜa kh¸i niÖm HÖ sè bÊt ®èi xøng cña biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc. T×m hÖ sè bÊt ®èi xøng cña biÕn ngÉu nhiªn tu©n theo luËt ph©n phèi mò E(λ). LT.2.III.11. §Þnh nghÜa kh¸i niÖm HÖ sè nhän cña biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc. T×m hÖ sè nhän cña biÕn ngÉu nhiªn tu©n theo luËt ph©n phèi ®Òu U([a;b]). LT.2.III.12. Tr×nh bµy luËt ph©n phèi chÝnh qui N(m,σ): §Þnh nghÜa, hµm ph©n phèi, hµm mËt ®é, kú väng vµ ph¬ng sai, ®å thÞ. LT.2.III.13. LËp c«ng thøc tÝnh x¸c suÊt P(α < X < β) cña biÕn ngÉu nhiªn X cã ph©n phèi N(m,σ) theo hµm ph©n phèi φ cña luËt ph©n phèi chÝnh qui chuÈn N(0,1). LT.2.III.14. LËp c«ng thøc tÝnh x¸c suÊt P( X - m < λ) cña biÕn ngÉu nhiªn X cã ph©n phèi N(m,σ) theo hµm ph©n phèi φ cña luËt ph©n phèi chÝnh qui chuÈn N(0,1). LT.2.III.15. Ph¸t biÓu vµ chøng minh qui t¾c 3σ vµ nªu vÝ dô øng dông. LT.2.III.16. Tr×nh bµy c¸ch sö dông b¶ng tÝnh φ (x), cho vÝ dô. LT.2.III.17. Tr×nh bµy c¸ch sö dông b¶ng tÝnh φ -1(u), cho vÝ dô.  Bài tập 5
  6. Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học LT.2.III.18. Tr×nh bµy luËt ph©n phèi mò E(λ): §Þnh nghÜa, hµm ph©n phèi, hµm mËt ®é, kú väng vµ ph¬ng sai, ®å thÞ.  Bài tập 6
  7. Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học BT II.3.01 Mét sù kiÖn A cña phÐp thö α cã x¸c suÊt P(A)=3%. Thùc hiÖn phÐp thö α 1000 lÇn. Gäi X lµ sè lÇn xuÊt hiÖn sù kiÖn A. a) X¸c ®Þnh luËt ph©n phèi cña biÕn ngÉu nhiªn X. b) XÊp xØ luËt ph©n phèi cña X b»ng luËt ph©n phèi Poisson, vµ luËt ph©n phèi chuÈn. c) Sö dông hµm ph©n phèi chuÈn, tÝnh gÇn ®óng x¸c suÊt: sù kiÖn A xuÊt hiÖn kh«ng qu¸ 20 lÇn. BT II.3.02 ë mét nót giao th«ng cø h phót cã mét xe ®i qua, x¸c suÊt pan xe lµ p. H·y tÝnh x¸c suÊt cã Ýt nhÊt 1 xe bÞ pan trong kho¶ng thêi gian tõ 7g00 ®Õn 19g00 trong: a) nh÷ng n¨m 90: h=15, p=5% b) nh÷ng n¨m 60: h=30, p=50% BT II.3.03 Trong 100 vÐ sè cã 5 vÐ cã thëng. Mét ngêi mua 4 vÐ. a) T×m x¸c suÊt ®Ó ngêi ®ã cã Ýt nhÊt 1 vÐ tróng thëng. b) Ngêi ®ã ph¶i mua Ýt nhÊt bao nhiªu vÐ ®Ó x¸c suÊt cã vÐ tróng thëng kh«ng nhá h¬n 0,5. BT II.3.04 Mét ngêi trung b×nh cã 2 ngµy bÞ èm trong n¨m (365 ngµy). TÝnh x¸c suÊt ®Ó ngêi ®ã trong 18 th¸ng cã Ýt nhÊt 3 ngµy bÞ èm. BT II.3.05  Bài tập 7
  8. Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Cho biÕn ngÉu nhiªn X tu©n theo luËt ph©n phèi mò E(λ). a) ViÕt bÊt ®¼ng thøc Trebsep víi tham sè ε >0. b) Tõ a) suy ra ∀t>0:t2.e-t ≤ e c) H·y ®¸nh gi¸ ®é chÝnh x¸c cña bÊt ®¼ng thøc trªn.  Bài tập 8
  9. Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học BT II.3.06 Mét xóc s¾c khi gieo cã x¸c suÊt xuÊt hiÖn mÆt 6 chÊm lµ p , 0<p<1. Ngêi ta gieo xóc s¾c 6.n , n≥ 1, lÇn mét c¸ch ®éc lËp. Ký hiÖu biÕn ngÉu nhiªn X n lµ sè lÇn xuÊt hiÖn mÆt 6. a) X¸c ®Þnh luËt ph©n phèi cña Xn , kú väng vµ ph¬ng sai cña nã. b) ViÕt bÊt ®¼ng thøc Trebsep ®èi víi Xn víi tham sè ε >0. c) Gi¶ thiÕt x¸c suÊt c¸c mÆt nh nhau. Sö dông bÊt ®¼ng thøc trªn, x¸c ®Þnh n nhá nhÊt sao cho x¸c suÊt cña sù kiÖn  n/n - p ≥ 10-2 kh«ng lín h¬n 1/2. X BT II.3.07 Ký hiÖu biÕn ngÉu nhiªn X vµ Y lµ sè xe ®i qua ng· ba HuÕ vµo Nam vµ ra B¾c trong mét kho¶ng thêi gian, tu©n theo luËt ph©n phèi Poisson P(λ) vµ P(µ). Gi¶ thiÕt X, Y ®éc lËp, λ=15, µ = 20. Gäi Z lµ tæng sè xe qua qua Ng· ba HuÕ a) X¸c ®Þnh luËt ph©n phèi cña Z. b) Sö dông xÊp xØ tiÖm cÇn chuÈn tÝnh x¸c suÊt cã Ýt nhÊt 40 xe ®i qua Ng· Ba HuÕ. c) TÝnh x¸c suÊt cã ®óng 35 xe ®i qua Ng· Ba HuÕ. BT II.3.08 Cã 5% sè phiÕu kh«ng hîp lÖ trong 1000 phiÕu. LÊy ngÉu nhiªn 100 phiÕu. Gäi X lµ sè phiÕu kh«ng hîp lÖ trong sè lÊy ra. a) X¸c ®Þnh luËt ph©n phèi cña X. b) XÊp xØ ph©n phèi cña X b»ng ph©n phèi nhÞ thøc, sau ®ã b»ng ph©n phèi Poisson. c) TÝnh gÇn ®óng x¸c suÊt P(X≤ 5), P(X=0). BT II.3.09.a Cho d·y biÕn ngÉu nhiªn (Xn)n≥ 1 , Xn cã ph©n phèi h×nh häc G(pn), 0< pn < 1. T×m ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ cña (pn) ®Ó d·y (Xn) héi tô theo luËt. BT II.3.09.b  Bài tập 9
  10. Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mét thïng cã n qu¶ cÊu ®¸nh sè tõ 1 ®Õn n, n ≥ 1. Mét nhãm n ngêi còng mang sè tõ 1 ®Õn n, lÇn lît rót mçi ngêi mét qu¶ cÇu, cã tr¶ l¹i. NÕu cã ngêi rót ®îc qu¶ cÇu trïng víi sè cña m×nh th× lÆp l¹i qu¸ tr×nh rót cÇu trªn. Ký hiÖu Xn lµ sè lÇn lÆp qu¸ tr×nh rót cÇu cho ®Õn khi mçi ng êi rót ®îc qu¶ cÇu kh¸c sè víi m×nh. a) X¸c ®Þnh luËt ph©n phèi cña Xn , kú väng cña nã. b) Chøng minh (Xn) héi tô theo luËt ®Õn biÕn ngÉu nhiªn Y, x¸c ®Þnh luËt ph©n phèi cña Y. c) Chøng minh: limE(Xn) = E(Y)  Bài tập 10
  11. Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học BT II.3.10 Cho d·y biÕn ngÉu nhiªn (Xk)k≥ 1 , cã kú väng vµ ph¬ng sai. §Æt mk = E(Xk)   n vµ gi¶ thiÕt r»ng D ∑ X k  = o(n ) . 2  k =1  a) Chøng minh r»ng d·y biÕn ngÉu nhiªn (Mn)n≥ 1 , ®Þnh nghÜa nh sau: X 1 + ... + X n m1 + ... + mn Mn = − n n héi tô theo luËt ®Õn 0. b) Gi¶ thiÕt Xk cã kú väng m vµ ph¬ng sai σ ∀k. Chøng minh luËt sè lín yÕu: X 1 + ... + X n XS Mn = → m n BT II.3.11a Tuæi thä mét chÊt phãng x¹ cã luËt ph©n phèi mò E(λ), λ>0. Gäi T1,..., Tn lµ tuæi thä cña n h¹t chÊt phãng x¹, ph©n r· ®éc lËp. Ký hiÖu S n lµ tuæi thä cña h¹t ®Çu tiªn ph©n r·. a) X¸c ®Þnh hµm ph©n phèi cña Sn . b) Kh¶o s¸t sù héi tô theo luËt cña d·y biÕn ngÉu nhiªn (n.Sn)n≥ 1 c) Chøng minh r»ng T1 + ... + Tn XS 1 Mn = → λ n BT II.3.11b Tuæi thä mét chÊt phãng x¹ cã luËt ph©n phèi mò E(λ), λ>0. Gäi T1,..., Tn lµ tuæi thä cña n h¹t chÊt phãng x¹, ph©n r· ®éc lËp. Ký hiÖu R n lµ tuæi thä cña h¹t cuèi cïng ph©n r·. a) X¸c ®Þnh hµm ph©n phèi cña Rn .  Rn  b) Kh¶o s¸t sù héi tô theo luËt cña d·y biÕn ngÉu nhiªn  .  n  n≥1 c) Chøng minh r»ng T1 + ... + Tn XS 1 Mn = → λ n BT II.3.12 Cho d·y biÕn ngÉu nhiªn (Tn)n≥ 0 ®Þnh nghÜa nh sau: Tn+1= g(Tn), n≥ 0, trong ®ã g:I→I lµ ¸nh x¹ co trªn kho¶ng I trong R, cã ®iÓm cè ®Þnh duy nhÊt l. a) Chøng minh r»ng d·y (Tn) héi tô theo x¸c suÊt, kÐo theo héi tô theo luËt, ®Õn l. b) Kh¶o s¸t héi tô theo x¸c suÊt vµ theo luËt cña d·y:  Bài tập 11
  12. Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Tn t 1 − ∫ e 2 dt T0 ~ U([-1,1]); Tn+1 = 2π 0  Bài tập 12
  13. Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học BT II.4.20 Cho tËp tæng thÓ gåm 1000 viªn bi. Träng lîng bi X lµ biÕn ngÉu nhiªn kú väng µ = 25g, ®é lÖch qu©n ph¬ng σ = 0.07g. XÐt mÉu lÆp cì 49 : X1 , ... , X49. a) X¸c ®Þnh ph©n phèi tiÖm cËn chuÈn cña ®¹i lîng trung b×nh X 1 + ... + X 49 M= 49 vµ tÝnh x¸c suÊt 24,98 ≤ M ≤ 25,02. b) LÊy 300 mÉu lÆp cì 49. ¦íc lîng sè mÉu cã 24,98 ≤ M ≤ 25,02 BT II.4.21a XÐt tËp rÊt nhiÒu trÎ s¬ sinh cã x¸c suÊt bÐ trai, bÐ g¸i b»ng nhau a) LÊy mÉu 200 trÎ tõ tËp trªn. TÝnh x¸c suÊt cã Ýt nhÊt 40% bÐ trai tõ tËp mÉu. b) LÊy 1000 mÉu 200 trÎ. ¦íc lîng sè mÉu cã Ýt nhÊt 40% bÐ trai. BT II.4.21b XÐt tËp rÊt nhiÒu trÎ s¬ sinh cã x¸c suÊt bÐ trai, bÐ g¸i b»ng nhau a) LÊy mÉu 200 trÎ tõ tËp trªn. TÝnh x¸c suÊt cã tõ 43% ®Õn 57% bÐ g¸i tõ tËp mÉu. b) LÊy 1000 mÉu 200 trÎ. ¦íc lîng sè mÉu cã tõ 43% ®Õn 57% bÐ g¸i. BT II.4.22 Mét thïng kÝn cã 80 qu¶ cÇu, trong ®ã cã 60% cÇu tr¾ng vµ 40% cÇu ®en. Cho 50 mÉu cã lÆp cì 20. ¦íc lîng a) sè mÉu cã sè cÇu ®en b»ng sè cÇu tr¾ng  Bài tập 13
  14. Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học b) cã 15 cÇu ®en c) cã Ýt nhÊt 10 cÇu tr¾ng BT II.4.23a Cho mÉu 100 viªn bi tõ tËp tæng thÓ v« sè bÞ. Gi¶ thiÕt ® êng kÝnh bi cã kú väng µ = 0.95 cm vµ ®é lÖch qu©n ph ¬ng σ = 0.025cm. H·y x¸c ®Þnh kho¶ng tin cËy cña ®êng kÝnh viªn bi víi ®é tin cËy 95% a) b»ng c¸ch sö dông bÊt ®¼ng thøc Trebsep b) víi gi¶ thiÕt ®êng kÝnh bi tu©n theo luËt ph©n phèi chuÈn. BT II.4.23b Cho mÉu 100 viªn bi tõ tËp tæng thÓ v« sè bÞ. Gi¶ thiÕt ® êng kÝnh bi cã kú väng µ = 0.95 cm vµ ®é lÖch qu©n ph ¬ng σ = 0.025cm. H·y x¸c ®Þnh kho¶ng tin cËy cña ®êng kÝnh viªn bi víi ®é tin cËy 99% a) trong trêng hîp sö dông bÊt ®¼ng thøc Trebsep b) trong trêng hîp gi¶ thiÕt ®êng kÝnh bi tu©n theo luËt ph©n phèi chuÈn. BT II.4.24 Thêi gian thùc hiÖn mét lo¹i ph¶n øng ho¸ häc lµ biÕn ngÉu nhiªn T ®é lÖch qu©n ph¬ng σ = 0.05 gi©y. H·y x¸c ®Þnh sè lÇn thÝ nghiÖm “Ýt nhÊt” ®Ó víi ®é tin cËy 95%, ®é lÖch cña trung b×nh céng thêi gian so víi kú väng kh«ng qu¸ 0.01 gi©y a) trong trêng hîp sö dông bÊt ®¼ng thøc Trebsep b) trong trêng hîp gi¶ thiÕt biÕn ngÉu nhiªn T tu©n theo luËt ph©n phèi chuÈn.  Bài tập 14
  15. Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học BT II.4.25 Trong mét ®ît bÇu cö ngêi ta chän ngÉu nhiªn 100 cö tri ®Ó th¨m dß kÕt qu¶ th× ® - îc biÕt cã 55% bá phiÕu cho øng cö viªn A, 45% bÇu øng cö viªn B. a) H·y x¸c ®Þnh kho¶ng tin cËy cña tØ lÖ cö tri bÇu øng cö viªn A víi ®é tin cËy 95%. b) Gi¶ thiÕt tØ lÖ phiÕu bÇu trªn lµ chung cho tÊt c¶ cö tri. CÇn ph¶i th¨m dß “Ýt nhÊt” bao nhiªu cö tri ®Ó cã thÓ ®¶m b¶o øng cö viªn A cã Ýt nhÊt 50% phiÕu bÇu víi ®é tin cËy 95%. BT II.4.26a Cã N (N rÊt lín) cö tri tham gia bÇu cö. §Ó íc lîng tØ lÖ p sè ngêi bÇu øng cö viªn A, ngêi ta chän ngÉu nhiªn n cö tri ®Ó th¨m dß kÕt qu¶. Ký hiÖu X n lµ sè cö tri chän øng cö viªn A. a) H·y x¸c ®Þnh luËt ph©n phèi cña Xn . b) Gi¶ thiÕt n/N ≤ 1/10. H·y x¸c ®Þnh luËt ph©n phèi tiÖm cËn ®¬n gi¶n nhÊt cña Xn. c) Gi¶ thiÕt 0.4 ≤ p ≤ 0.6. H·y t×m n “nhá nhÊt” ®Ó cã thÓ coi X n cã luËt ph©n phèi tiÖm cËn chuÈn. BT II.4.26b Cã N (N rÊt lín) cö tri tham gia bÇu cö. Ký hiÖu p lµ tØ lÖ sè ngêi bÇu øng cö viªn A. Ngêi ta chän ngÉu nhiªn n cö tri ®Ó th¨m dß kÕt qu¶. Ký hiÖu X n lµ sè cö tri chän øng cö viªn A. Xn − p X a) H·y x¸c ®Þnh luËt ph©n phèi cña Fn = n vµ cña Gn = . p(1 − p ) n b) T×m a > 0 nhá nhÊt tho¶ P(-a ≤ Gn ≤ a ) ≥ 0.99. c) Cho mÉu cì n=1000 , ta cã tÇn suÊt ngêi bá phiÕu cho A lµ f=0,55. T×m kho¶ng íc lîng [p1 , p2 ] cña p víi ®é tin cËy Ýt nhÊt lµ 0.99 BT II.4.28  Bài tập 15
  16. Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học XÐt tËp tæng thÓ cã N (N rÊt lín) phÇn tö, vµ biÕn ngÉu nhiªn X nhËn c¸c gi¸ trÞ t¬ng øng a1 , ... , aN . Ký hiÖu µ = E(X) vµ σ2 = D(X). Chän ngÉu nhiªn mÉu kh«ng lÆp cì n (n < N) (X1 ,..., Xn). Ký hiÖu X 1 + ... + X n M= n σ2 N −n a) Chøng minh D(M) = . n N −1 b) T×m giíi h¹n cña D(M) khi N rÊt lín so víi n.  Bài tập 16
  17. Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học bµi tËp X¸c SuÊt Thèng Kª III. BiÕn ngÉu nhiªn liªn tôc BT 2.I.5. Cho X lµ biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc víi ®å thÞ hµm mËt ®é nh sau b -a 0 a C¸c tham sè a vµ b d¬ng vµ ta nãi X tu©n theo luËt ph©n phèi Simpson tham sè a. a) BiÓu diÔn b theo a vµ biÓu diÔn têng minh hµm mËt ®é f . b) X¸c ®Þnh hµm ph©n phèi F cña X vµ vÏ ®å thÞ cña nã. c) TÝnh kú väng E(X) vµ ph¬ng sai V(X). BT 2.I.6. a) X¸c ®Þnh sè thùc a ®Ó hµm f cho bëi 0 nÕu x ≤ 1 vµ f(x) = a/(x2-1/4) nÕu x > 1 f(x) = lµ hµm mËt ®é cña biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc. b) X¸c ®Þnh hµm ph©n phèi F cña X. c) Kú väng E(X) cã tån t¹i hay kh«ng ? NÕu tån t¹i, h·y tÝnh E(X). d) Ph¬ng sai V(X) cã tån t¹i hay kh«ng ? NÕu tån t¹i, h·y tÝnh V(X). BT 2.I.7. a) Cho a∈R. X¸c ®Þnh sè thùc λ ®Ó hµm f cho bëi 0 nÕu x ≤ a vµ f(x) = λ/(x2 +1) nÕu x > a f(x) = lµ hµm mËt ®é cña biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc. b) (i) X¸c ®Þnh hµm ph©n phèi F cña X. (ii) VÏ ®å thÞ hµm mËt ®é f vµ hµm ph©n phèi F. c) X cã m«men bËc s ≥ 1 hay kh«ng ?  Bài tập 17
  18. Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học BT 2.I.8. Cho hµm F nh sau: F(x) = ex / (ex + e-x ) ∀x∈R a) (i) Chøng tá r»ng F lµ hµm ph©n phèi F cña biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc X. (ii) X¸c ®Þnh hµm mËt ®é f cña X. b) Chøng tá X lµ biÕn ngÉu nhiªn trung t©m (kú väng E(X)=0). c) Chøng minh r»ng X cã ph¬ng sai V(X) vµ +∞ V(X) = 4.∫ t.e-t/(et + e-t)dt 0 BT 2.I.9. Cho hµm f nh sau: f(x) = 0 nÕu x < 0 vµ f(x) = λ / (x3 + 1 ) nÕu x ≥ 0 a) (i) X¸c ®Þnh a, b, c ®Ó ∀x∈R: 1/(x3 + 1) = a/(x+1) + (b.x+c)/(x2 - x + 1) (ii) TÝnh tÝch ph©n +∞ ∫ 1/(t3 + 1)dt -∞ X¸c ®Þnh λ ®Ó f lµ mËt ®é cña biÕn ngÉu nhiªn. (iii) b) Cho X lµ biÕn ngÉu nhiªn cã mËt ®é f. TÝnh hµm ph©n phèi F cña X. c) Chøng tá X cã kú väng E(X). TÝnh E(X) d) X cã ph¬ng sai kh«ng ? BT 2.I.10 Cho x ≥ 0. Chøng minh sù héi tô cña tÝch ph©n a) (i) +∞ λ −t − / 2 I(x) = ∫ 2.π e dt x X¸c ®Þnh λ ®Ó hµm f ®Þnh nghÜa nh sau: (ii) f(x) = 0 nÕu x < 0 vµ f(x) = I(x) nÕu x ≥ 0 lµ mËt ®é cña biÕn ngÉu nhiªn X. b) X¸c ®Þnh hµm ph©n phèi F cña X. c) (i) Chøng minh r»ng tån t¹i K sao cho ∀x ≥ 2: f(x) ≤ K.e . -x (ii) Tõ c©u (i) suy ra X cã m«men mäi bËc k. BT 2.I.11 Cho hµm f nh sau: f(x) = λ.2-x nÕu x ≥ 0 vµ f(x) = µ.2x nÕu x < 0, trong ®ã λ vµ µ lµ c¸c sè thùc.  Bài tập 18
  19. Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học λ vµ µ ph¶i tho¶ m·n quan hÖ g× ®Ó f lµ mËt ®é cña biÕn ngÉu nhiªn. a) b) λ vµ µ ph¶i tho¶ m·n quan hÖ g× ®Ó f lµ mËt ®é cña biÕn ngÉu nhiªn trung t©m (cã kú väng b»ng 0). c) Chøng minh r»ng biÕn ngÉu nhiªn X ë c©u b) cã ph¬ng sai. H·y tÝnh ph- ¬ng sai ®ã. d) X¸c ®Þnh hµm ph©n phèi F cña X. e) Cho Y lµ biÕn ngÉu nhiªn Y = [X] ([x] lµ phÇn nguyªn cña x). X¸c ®Þnh luËt ph©n phèi cña Y vµ tÝnh E(Y). BT 2.I.12 Cho X lµ biÕn ngÉu nhiªn cã mËt ®é f liªn tôc trªn R. Gi¶ thiÕt f(x) = 0 ∀x ≤ 0. Chøng minh r»ng Y = ln(X) lµ biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc vµ x¸c ®Þnh mËt ®é cña Y. BT 2.I.13 Cho X lµ biÕn ngÉu nhiªn cã mËt ®é f liªn tôc trªn R. §Æt Y = ea.X + b , trong ®ã a > 0 vµ b ∈ R. a) Chøng minh r»ng Y lµ biÕn ngÉu nhiªn. b) X¸c ®Þnh hµm mËt ®é cña Y. BT 2.II.9 Cho X lµ biÕn ngÉu nhiªn tu©n theo luËt ph©n phèi Gama Γ(b,τ) cã mËt ®é fb,τ(x) = 0 nÕu x ≤ 0 τ x -1.e-x/b +∞ τ fb,τ(x) =   nÕu x > 0 ( Γ(τ) = ∫ u -1.e-udu )  τ b .Γ(τ) 0 a) Chøng minh r»ng m«men gèc bËc s tån t¹i ∀s≥ 1 b) TÝnh m«men gèc bËc s (s≥ 1). BT 2.II.10 a) Cho X lµ biÕn ngÉu nhiªn tu©n theo luËt ph©n phèi Pareto VP(α,a,b) cã mËt ®é fα,a,b (x) = 0 nÕu x ≤ b + a α α+1 a fb,τ(x) =    nÕu x > b + a . a x-b Cho Y lµ biÕn ngÉu nhiªn Y = λ.X + µ (λ>0, µ∈R).  Bài tập 19
  20. Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học X¸c ®Þnh luËt ph©n phèi cña Y. TÝnh kú väng vµ ph¬ng sai cña X ≈ VP(α,1,0). b) Sö dông kÕt qu¶ c©u b) tÝnh kú väng vµ ph¬ng sai cña X ≈ VP(α,a,b). c) BT 2.II.11 Cho X lµ biÕn ngÉu nhiªn tu©n theo luËt ph©n phèi mò E(λ). k a) X¸c ®Þnh luËt ph©n phèi cña biÕn ngÉu nhiªn Y = a.X ( a > 0 vµ k > 1 ). b) X¸c ®Þnh luËt ph©n phèi cña biÕn ngÉu nhiªn Y = c.X (c>0) . BT 2.II.12 Cho X lµ biÕn ngÉu nhiªn tu©n theo luËt ph©n phèi Pareto VP(α,a,0) cã mËt ®é fα,a,b (x) = 0 nÕu x ≤ a α α+1 a fb,τ(x) =    nÕu x > a . a x a) X¸c ®Þnh luËt ph©n phèi cña biÕn ngÉu nhiªn Y = log k (X/a) ( a > 0 vµ k > 1 ). c b) X¸c ®Þnh luËt ph©n phèi cña biÕn ngÉu nhiªn Y = X (c>0) . BT 2.II.13 Cho X lµ biÕn ngÉu nhiªn tu©n theo luËt ph©n phèi chÝnh qui N(0,σ) vµ a > 1. X¸c ®Þnh σ ®Ó x¸c suÊt P(X∈[a-1,a+1]) lµ lín nhÊt. BT 2.II.14 Sö dông b¶ng hµm ph©n phèi φ cña luËt ph©n phèi chÝnh qui N(0,1) tÝnh tÝch ph©n 1 ∫e-x + x dx 0 (Cho biÕt √2 = 1.42 , π = 3.14 ) BT 2.II.15 a) Cho X lµ biÕn ngÉu nhiªn tu©n theo luËt ph©n phèi ®Òu trªn [a;b]. X¸c ®Þnh luËt ph©n phèi cña biÕn ngÉu nhiªn Y = α.X + β (α ≠ 0, β ∈ R). b) Cho ϕ:R → R lµ song ¸nh kh¶ vi liªn tôc cã ®¹o hµm ϕ’(x) ≠ 0 ∀x∈R. Gi¶ thiÕt c¸c biÕn ngÉu nhiªn X vµ ϕ(X) tu©n theo luËt ph©n phèi ®Òu t¬ng øng trªn [a,b] vµ trªn [c,d]. Chøng minh r»ng ϕ lµ hµm afin.  Bài tập 20
Đồng bộ tài khoản