Bài tập môn cơ sở đại số

Chia sẻ: Kieu Dinh Tuan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

0
253
lượt xem
43
download

Bài tập môn cơ sở đại số

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bài tập môn cơ sở đại số', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài tập môn cơ sở đại số

  1. Tr n M u Quý - Cao h c Toán 16 (2007-2009) 1 BÀI T P MÔN CƠ S Đ IS DÀNH CHO CAO H C TOÁN 16 Ngày 16 tháng 1 năm 2008 Câu 1. Cho f : M −→ N là đ ng c u R-môđun. a) Ch ng minh r ng S là m t h sinh c a M thì đ ng c u f đư c xác đ nh b i giá tr c a f trên S . b) Tìm ví d ch ng t n u S không ph i là h sinh c a M thì có ánh x g : S −→ N không th m r ng thành đ ng c u môđun t M vào N . c) Ch ng minh r ng n u S là m t cơ s c a M thì m i ánh x h : S −→ N đ u có th m r ng thành đ ng c u môđun t M vàN . Câu 2. R-môđun M đư c g i là n a đơn n u m i môđun con c a M đ u là m t h ng t tr c ti p. Cho M là m t R-môđun khác 0. Ch ng minh các phát bi u sau là tương đương: a) M là n a đơn. b) M là t ng tr c ti p các môđun con đơn c a M . c) M là t ng các môđun con đơn c a M . Câu 3. Ch ng minh r ng m i môđun t do X trên mi n nguyên R là không xo n (t c là không có x ∈ X \ {0}, λ ∈ R \ {0} sao cho λx = 0). N u X là R-môđun không xo n v i R là m t mi n nguyên thì có th k t lu n đư c X là R-môđun t do không? Câu 4. Cho M là R-môđun t do, R là mi n nguyên chính. Ch ng minh m i môđun con c a M đ u là R-môđun t do. Câu 5. Cho bi u đ : Y β  X α / A α / X /0 β  Y  0 trong đó các dòng và c t đ u kh p. Ch ng minh β α là toàn c u khi và ch khi α β toàn c u. Câu 6. Cho X1 , X2 là các môđun con c a X . Ch ng minh dãy sau là kh p: ϕ ψ 0 −→ X2 /(X1 ∩ X2 ) − X/X1 − X/(X1 + X2 ) −→ 0 → → A L TEX - http://esnips.com/web/chyputy
  2. Tr n M u Quý - Cao h c Toán 16 (2007-2009) 2 v i ϕ(x + X1 ∩ X2 ) = x + X1 và ψ(x + X1 ) = x + (X1 + X2 ) . Câu 7. Cho U, V là các không gian vectơ h u h n chi u trên trư ng K . Ch ng minh: a) U ⊗K V là không gian vectơ trên trư ng K . b) dim(U ⊗K V ) = dimK U . dimK V . Câu 8. Cho I, J là các iđêan c a vành R. Ch ng minh các đ ng c u R-môđun sau: a) (R/I) ⊗R M ∼ M/(IM ). = b) (R/I) ⊗R (R/J) ∼ R/(I + J). = Câu 9. Cho A là R-môđun. Ch ng minh n u đ ng c u λ : Hom(A, R) ⊗ A −→ Hom(A, R ⊗ A) f ⊗c −→ λ(f ⊗ c) (λ(f ⊗ c) : A −→ R ⊗ A a −→ f (a) ⊗ c) là toàn c u thì A h u h n sinh. Câu 10. Cho R là vành chia đư c, M là R-môđun. Đ t D = HomR (M, M ). Ch ng minh: a)M là m t D-môđun v i phép nhân ngoài đư c đ nh nghĩa như sau: r.m = r(m), ∀r ∈ D, ∀m ∈ M . b)T n t i đ ng c u vành t R vào HomD (M, M ). Câu 11. Ch ng minh m i dãy kh p ng n 0 /A /B / C / 0 các R-môđun đ u có th nhúng vào m t bi u đ giao hoán: 0 0 0    0 /U / V / W / 0    0 /X / Y / Z / 0    0 /A /B /C / 0    0 0 0 A L TEX - http://esnips.com/web/chyputy
  3. Tr n M u Quý - Cao h c Toán 16 (2007-2009) 3 trong đó các dòng và c t đ u kh p, dòng gi a ch ra, X, Y, Z là các môđun x nh, các dãy kh p ng n 0 / U / X / A / 0 0 / W / Z / C /0 có th cho trư c tùy ý. Câu 12. Ch ng minh r ng m i môđun x nh X trên mi n nguyên R là không xo n. —H t— A L TEX - http://esnips.com/web/chyputy

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản