Bài tập nguyên hàm tích phân nâng cao

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:23

0
829
lượt xem
285
download

Bài tập nguyên hàm tích phân nâng cao

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài tập nguyên hàm tích phân nâng cao mang tính chất tham khảo, giúp ích cho các bạn tự học, ôn thi, với phương pháp giải hay, thú vị, rèn luyện kỹ năng giải đề, nâng cao vốn kiến thức cho các bạn trong các kỳ thi sắp tới. Tác giả hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài tập nguyên hàm tích phân nâng cao

  1. I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số. 1 x 3 3x 2 1. f(x) = x2 – 3x + ĐS. F(x) =   ln x  C x 3 2 2x 4  3 2x3 3 2. f(x) = ĐS. F(x) =  C x2 3 x x 1 1 . f(x) = 2 ĐS. F(x) = lnx + + C x x ( x 2  1) 2 x 3 1 4. f(x) = ĐS. F(x) =  2x   C x2 3 x 3 4 5 2 3 4 2x 3x 4x 5. f(x) = x 3 x 4 x ĐS. F(x) =   C 3 4 5 1 2 6. f(x) = 3 ĐS. F(x) = 2 x  33 x 2  C x x ( x  1) 2 7. f(x) = ĐS. F(x) = x  4 x  ln x  C x x 1 5 2 8. f(x) = 3 ĐS. F(x) = x  x  C 3 3 x x 9. f(x) = 2 sin 2 ĐS. F(x) = x – sinx + C 2 10. f(x) = tan2x ĐS. F(x) = tanx – x + C 1 1 11. f(x) = cos2x ĐS. F(x) = x  sin 2 x  C 2 4 12. f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C 1 13. f(x) = ĐS. F(x) = tanx - cotx + C sin x. cos 2 x 2 cos 2 x 14. f(x) = ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C sin x. cos 2 x 2 1 15. f(x) = sin3x ĐS. F(x) =  cos 3x  C 3 1 16. f(x) = 2sin3xcos2x ĐS. F(x) =  cos 5 x  cos x  C 5 1 17. f(x) = ex(ex – 1) ĐS. F(x) = e 2 x  e x  C 2 ex 18. f(x) = ex(2 + ) ĐS. F(x) = 2ex + tanx + C cos 2 x 2a x 3 x 19. f(x) = 2ax + 3x ĐS. F(x) =  C ln a ln 3 1 20. f(x) = e3x+1 ĐS. F(x) = e 3 x 1  C 3 2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng 1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 ĐS. f(x) = x2 + x + 3 x3 2. f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3 ĐS. f(x) = 2 x  1 3
  2. 8 x x x 2 40 3. f’(x) = 4 x  x và f(4) = 0 ĐS. f(x) =   3 2 3 2 1 x 1 3 4. f’(x) = x -  2 và f(1) = 2 ĐS. f(x) =   2x  x2 2 x 2 5. f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3 ĐS. f(x) = x4 – x3 + 2x + 3 b x2 1 5 6. f’(x) = ax + 2 , f ' (1)  0, f (1)  4, f (1)  2 ĐS. f(x) =   x 2 x 2 II. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phƣơng pháp đổi biến số. Tính I =  f [u( x)].u' ( x)dx bằng cách đặt t = u(x)  Đặt t = u(x)  dt  u' ( x)dx  I =  f [u( x)].u' ( x)dx   f (t )dt BÀI TẬP Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: dx dx 1.  (5x  1)dx 2.  (3  2 x) 5 3.  5  2 x dx 4.  2x 1 x  (2 x  1) 7 xdx  (x  5) 4 x 2 dx  x 2  1.xdx 8.  2 2 3 5. 6. 7. dx x 5 3x 2 dx ln 3 x    x dx  x.e x 2 1 9. dx 10. 11. 12. dx 5  2x3 x (1  x ) 2 sin x tgxdx  sin x cos xdx 14.  cos 5 x dx  cot gxdx  cos 4 13. 15. 16. 2 x x dx dx e 17.  sin x 18.  cos x 19.  tgxdx 20.  x dx x e dx e tgx dx 21.  ex  3 22.  2 dx 23.  1  x 2 .dx 24.  cos x 4  x2 dx x 2 dx dx  x 1  x .dx 26.   28.  2 2 2 25. 27. 1 x2 1 x2 x  x 1 dx  cos x x  1.dx 31.  x x x 2  1.dx 3 29. x sin 2 xdx 30. 32. 3 e 1 2. Phƣơng pháp lấy nguyên hàm từng phần. Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I  u( x).v' ( x)dx  u( x).v( x)   v( x).u' ( x)dx Hay  udv  uv   vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 1.  x. sin xdx 2.  x cos xdx 3.  (x 2  5) sin xdx 4  ( x 2  2 x  3) cos xdx  x sin 2 xdx  x cos 2 xdx  x.e dx  ln xdx x 5. 6. 7. 8. ln xdx 9.  x ln xdx 10.  ln xdx 2 11.  12.  e dx x x
  3. x  cos  xtg  sin  ln( x  1)dx 2 2 13. 2 dx 14. xdx 15. x dx 16. x 17.  e . cos xdx x 18. x e 3 x2  x ln(1  x )dx dx 19. 2 20. 2 x xdx ln(1  x)  x lg xdx  2 x ln(1  x)dx 23.  x dx x 2 21. 22. 2 24. cos 2 xdx TÍCH PHÂN I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN: 1 e 1 1 1.  ( x3  x  1)dx 2.  ( x   2  x 2 )dx 0 1 x x 3 2 2.  x  2 dx 1 3.  1 x  1dx  2 1 4.  (2sin x  3cosx  x)dx 5.  (e x  x)dx  0 3 1 2 6.  ( x3  x x )dx 7.  ( x  1)( x  x  1)dx 0 1  2 1 1 8.  (3sin x  2cosx  )dx 9.  (e x  x 2  1)dx  x 0 3 2 2 10.  ( x 2  x x  3 x )dx 11.  ( x  1)( x  x  1)dx 1 1 3 2 x.dx 12.  (x  1).dx 13. x 3 1 -1 2 2 e2 7x  2 x  5 5 dx 14.  1 x dx 15.  2 x2 x2  ( x  1).dx 2 2 cos3 x.dx 16.  2 17.  3 1 x  x ln x  sin x 6  e x  e x 4 1 tgx .dx 18.  0 cos2 x 19.  ex  e x dx 0 1 2 e x .dx dx 20.  0 e x  e x 21.  1 4x 2  8x  ln 3 2 .dx dx 22.  0 e  e x x 22.  1  sin x 0 1 2 2 24.  (2 x  x  1)dx 25.  (2 x  x  )dx 2 3 1 0 3
  4. 2 4 26.  x( x  3)dx 27.  (x  4)dx 2 2 3 x 2  2x 28.   2  3 dx 2 2 1 1   29.  dx 1 x x  1 x3 1 e 16 dx 30.  1 x 31. 1 x .dx e e2 2 x  5  7x 8  1  32.  dx 33.   4 x  33 x 2 1  dx  1 x  II. PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:   2 2 1.  sin 3 xcos 2 xdx 2.  sin 2 xcos 3 xdx   3 3   2 4 sin x 3.  1  3cosx dx 0 3.  tgxdx 0   4 6 4.  cot gxdx 5.  1  4sin xcosxdx  0 6 1 1 6. x x  1dx 7. x 1  x 2 dx 2 0 0 1 1 x2 8.  x x  1dx 9.  3 2 dx 0 0 x3  1 1 2 1  x 1  x dx x 3 2 10. 11. dx 0 x3  1 1 1 1 1 1 12.  1 x 0 2 dx 13.  2 1 x  2x  2 dx 1 1 1 1 14.  0 x 1 2 dx 15.  (1  3x ) dx 0 2 2   2 2  e cosxdx 17.  ecosx sin xdx sin x 16.   4 4  1 2 18.  e x2  2 xdx 19.  sin 3 xcos 2 xdx 0  3   2 2 20.  esin x cosxdx 21.  ecosx sin xdx   4 4
  5.  1 2 22.  e x 2 23.  sin 3 xcos 2 xdx 2 xdx 0  3   2 2 sin x 24.  sin 2 xcos 3 xdx 25.  1  3cosx dx  0 3   4 4 26.  tgxdx 27.  cot gxdx 0  6  6 1 28.  0 1  4sin xcosxdx 29. x 0 x 2  1dx 1 1 30. x 1  x 2 dx 31. x x 2  1dx 3 0 0 1 2 1 x 32.  33. x 1  x 2 dx 3 dx 0 x 13 0 1  ln x 2 e 1 34. x 1 x 1 3 dx 35.  1 x dx 1  3ln x ln x e e sin(ln x) 36.  dx 37.  dx 1 x 1 x 2ln x 1 e2 1  ln 2 x e e 38.  1 x dx 39.  x ln x dx e 2 e 2 1 x 40.  cos 2 (1  ln x) dx e 41.  1 1 x 1 dx 1 1 x 42.  0 2x 1 dx 43. x 0 x  1dx 1 1 1 1 44.  0 x 1  x dx 45.  0 x 1  x dx x 1 1  ln x 3 e 46.  1 x dx 46.  1 x dx 1  3ln x ln x e e sin(ln x) 47.  1 x dx 48.  1 x dx 2ln x 1 e2 1  ln 2 x e e 49.  1 x dx 50.  x ln x dx e 1  e2 51.  cos 1 dx 52. x 2 x 3  5dx e 2 (1  ln x) 0
  6.  2 4  sin x  1 cos xdx  4  x 2 dx 4 53. 54. 0 0 4 1   dx 55. 4  x 2 dx 56. 0 0 1  x2 0 1 e e 2 x 3 x 57. dx 58. dx 1 0 1 1 x x 59.  (2x  1)3 dx 0 60.  0 2x  1 dx 1 1 4x  11 61.  x 1  xdx 62. x dx 0 0 2  5x  6 1 3 2x  5 x3 63.  x2  4x  4dx 0 64.  x2  2x  1dx 0   6 2 4sin3 x 65.  (sin6 x  cos6 x)dx 66.  dx 0 0 1  cos x   4 1  sin 2x 2 67.  dx 68.  cos4 2xdx 0 cos2 x 0  1 2 1  sin 2x  cos 2x 1 69.  sin x  cos x dx  70.  0 e 1 dx . x 6   4 4 cos 2 x 71.  (cos 4 x  sin 4 x)dx 72.  dx 0 0 1  2 sin 2 x   sin 3x 2 cos x 2 73.  dx 74.  dx 0 2 cos 3 x  1 0 5  2 sin x 2x  2 0 1 dx 75. 2  x  2x  3 2 dx 76.  2 1 x  2x  5   2 2 77.  cos3 x sin 2 xdx 78.  cos 5 xdx 0 0  1 4 sin 4x 79.  dx 80.  x3 1  x2 dx 0 1  cos2 x 0   2 4 1 81.  sin 2x(1  sin 2 x)3dx 82.  cos dx 0 0 4 x  e 1  ln x 4 1 83.  1 x dx 84.  cos xdx 0
  7. e 1 1  ln2 x 85.  x dx 86.  x5 (1  x3 )6dx 1 0  3 6 cos x tg4 x 87.  6  5sin x  sin2 xdx 0 88.  0 cos 2x dx   cos x  sin x 4 2 sin 2 x 89.  dx 90.  dx 0 3  sin 2 x 0 cos 2 x  4 sin 2 x  ln 5 dx 2 sin 2 x 91.  x x 92.  dx ln 3 e  2e 3 0 ( 2  sin x ) 2   ln(tgx ) 3 4 93.  dx 94.  (1  tg 8 x)dx  sin 2 x 0 4   2 sin x  cos x 2 sin 2 x  sin x 95.  dx 96.  dx  1  sin 2 x 0 1  3 cos x 4   sin 2 x cos x 2 2 97.  dx 98.  (e sin x  cos x) cos xdx 0 1  cos x 0 2 x e 1  3 ln x ln x 99.  dx 100.  dx 11 x 1 1 x  1 1  2 sin 2 x 4 101.  0 1  sin 2 x dx 102.  0 1  x 2 dx 1 1 1 1 103.  1  x dx 0 2 104.  4  x2 0 dx 1 1 1 x 105. x 0 2  x 1 dx 106.  4 2 dx 0 x  x 1  2 2 1 2 x2 107.  1  cos x  sin x dx 0 108.  0 1  x2 dx 2 2 3 1 109.  x2 4  x2 dx 1 110. x 2 x2  1 dx 3 1 9  3x 2 1 x 101.  1 x2 dx 112.  0 (1  x )5 dx  2 1 2 cos x 113. 2  x x 1 2 dx 114.  0 7  cos 2 x dx 3 1  1 x4 cos x 115.  dx 116.  dx 0 1  x6 0 1  cos2 x 0 dx 1 dx 117.  118.  1 x  2x  2 1  1  3x 2 0
  8. 8 2x x 1 1 119.  dx 120.  dx 1 x5 3 x x 1 2 7 3 x3  x 1  x 2 dx 5 121. dx 122. 0 3 1 x 2 0 7 ln2 1 3 x 1 123. 0 ex  2 dx 124.  0 3 3x  1 dx 2 2 3 dx 125.  x 2 x 3  1dx 126.  0 5 x x2  4 II. PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: b b Công thức tích phân từng phần :  u( x)v'(x)dx  u ( x)v( x) a   v( x)u '( x)dx b a a Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv sin ax     @ Dạng 1  f ( x) cosax dx  e ax    u  f ( x) du  f '( x)dx    sin ax   sin ax        dv  cos ax  dx v   cosax  dx  e ax   eax         @ Dạng 2:  f ( x) ln(ax)dx   dx u  ln(ax) du  x Đặt   dv  f ( x)dx v  f ( x)dx    sin ax  @ Dạng 3:  eax .  dx  cosax  Ví dụ 1: tính các tích phân sau u  x 2 e x u  x5   1 2 x 3 8 xe x dx a/  dx đă ̣t  dx b/  4 đă ̣t  x3dx ( x  1) 2  dv  ( x  1) 3  dv  4 0  ( x  1) 2 2  ( x  1)3 1  x2  x2 1 1 1 1 dx dx x 2 dx c/   dx     I1  I 2 0 (1  x 2 )2 0 (1  x 2 )2 0 1  x 2 0 (1  x 2 ) 2 1 dx Tính I 1   bằ ng phương pháp đổ i biế n số 0 1  x2
  9. u  x  1 x 2 dx Tính I 2 =  bằ ng phương pháp từng phầ n : đă ̣t  x (1  x 2 )2  dv  dx 0  (1  x 2 ) 2 Bài tập e e ln 3 x 1.  3 dx 2.  x ln xdx 1 x 1 1 e  x ln( x  1)dx x 2 2 3. 4. ln xdx 0 1 e 3 e ln x 5.  1 x3 dx 6.  x ln xdx 1 1 e  x ln( x  1)dx x 2 2 7. 8. ln xdx 0 1  2 e 1 9.  ( x  cosx) s inxdx 0 10.  x 1 ( x  ) ln xdx  2 3  ln( x  x)dx  x tan 2 2 11. 12. xdx 1  4  2 2   x cos xdx ln x 13. dx 14. 1 x5 0  1 2   e x cos xdx x 15. xe dx 16. 0 0 Tính các tích phân sau   1 2 6 1)  x.e dx 2)  ( x  1) cos xdx 3)  (2  x) sin 3xdx 3x 0 0 0  2 4)  x. sin 2 xdx 0 e e 3 5)  x ln xdx 6)  (1  x 7)  4 x. ln x.dx 2 ). ln x.dx 1 1 1 1 2 8)  x. ln(3  x 9)  (x  1).e x .dx 2 2 ).dx 0 1    2 2 10)  x. cos x.dx 11)  x . cos x.dx 12)  (x  2 x). sin x.dx 2 2 0 0 0
  10.  2 1 ln x 2 13)  5 dx  x cos xdx e 2 14) 15) x sin xdx 16) 1 x 0 0 2 e  sin xdx  x ln xdx 2 17) 18) 0 1    3 x  sin x 4  dx  x sin x cos  x(2 cos x  1)dx 2 19) 2 xdx 20) 0 cos2 x 0 0 2 1 e ln(1  x) 21)  dx  (x  1) e dx  (x ln x) dx 2 2x 2 22) 23) 24) 1 x2 0 1  2  cos x.ln(1  cos x)dx 0 e 1 ln x 1  ( x  1)2 dx  xtg xdx 2 25) 26) 27)  ( x  2)e 2 x dx 1 0 0 e 1 e ln x 28)  x ln(1  x )dx 29)  30) 2 dx 0 1 x  2 2 3  ( x  cos x) sin xdx 31)  (2 x  7) ln( x  1)dx 32)  ln( x  x)dx 3 2 0 0 2 III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ: 2x  1 5 b 1 1.  2 dx 2.  ( x  a)( x  b) dx 3 x  3x  2 a x  x 1 x3  x  1 1 3 1 3.  x  1 dx 0 4.  x 2  1 dx 0 1 1 x2 1 5.  dx 6.  ( x  2) dx 0 (3 x  1) 3 0 2 ( x  3) 2 1 x 2x 3  6x 2  9x  9 2 2008 0 7.  x(1  x 2008) dx 1 8. 1 x 2  3x  2 dx  x 2 n 3 3 1 x4 9.  ( x 2  1) 2 dx 2 10.  (1  x 2 ) n dx 0 x2  3 2 2 1 11.  x( x 4  3x 2  2) dx 1 12.  x(1  x 1 4 ) dx 2 1 1 x 13.  4 x 0 2 dx 14. 1 x 0 4 dx 2 1 1 x 15. x 0 2  2x  2 dx 16.  (1  x 0 2 3 ) dx 3x 2  3x  3 4 3 1 17.  x 3  2 x 2  x dx 2 18.  x 3  3x  2 dx 2
  11. 1 x2 2 1 1 19.  1  x 4 dx 1 20. 1 x 0 3 dx x6  x5  x4  2 2  x4 1 1 21.  dx 22.  dx 0 x6 1 0 1 x 2 1 4 x  11  1 x 1 4 23.  1  x 6 dx 0 24. x  5x  6 2 dx 0 1  dx 3 x2 25. x2  x  1 26.  x  1 dx 2 0  2x  2   x2  1 0 27.   x  1  3dx 0  28.   2 x  1  2 x  1dx 1  3x  1 x 2  2x  3 29.    2 1   x  1dx 30.  dx 0 x2  0 x3 0  x2  x 1  1  2x 2  x  2  31. 1 x  1  2 x  1dx      32.   x  1  x  1dx 0    1 dx 33. x 0 2  4x  3 IV. TÍCH PHÂN HÀM LƢỢNG GIÁC:   2 2 1.  sin 2 x cos 4 xdx 2.  sin 2 x cos 3 xdx 0 0   2 2 3.  sin 4 x cos 5 xdx 4.  (sin 3 x  cos 3 )dx 0 0   2 2 5.  cos 2 x(sin x  cos x)dx 6.  (2 sin 2 x  sin x cos x  cos 2 x)dx 4 4 0 0   2 2 1 7.  sin x dx  8.  (sin 10 x  cos 10 x  cos 4 x sin 4 x)dx 0 3   2 2 dx 1 9.  10.  2  sin x dx 0 2  cos x 0   2 sin 3 x 3 dx 11.  1  cos 2 x dx 0 12.   sin 4 x. cos x 6   4 2 dx cos x 13.  sin 2 x  2 sin x cos x  cos 2 x 0 14.  1  cos x dx 0
  12.   2 2 cos x sin x 15.  2  cos x dx 0 16.  2  sin x dx 0   2 cos 3 x 2 1 17.  1  cos x dx 0 18.  sin x  cos x  1 dx 0   2 cos xdx 2 sin x  cos x  1 19.  (1  cos x) 2  20.  sin x  2 cos x  3 dx  3 2   4 4 21.  tg 3 xdx 22.  cot g 3 xdx 0  6   3 4 1 23.  tg 4 xdx 24.  1  tgx dx  0 4   4 dx 2 sin x  7 cos x  6 25.   26.  4 sin x  5 cos x  5 dx 0 cos x cos( x  ) 0 4  2 4 dx 27.  0 1  sin x dx 28.  2 sin x  3 cos x  0 13   4 4 sin 3 x 2 1  cos 2 x  sin 2 x 29.  1  cos 4 x dx 0 30.  0 sin x  cos x dx   2 2 sin 3x dx 31.  1  cos x dx 0 32.   sin 2 x  sin x 4   4 sin 3 x 2 33.  cos 2 x dx 0 34.  sin 2 x(1  sin 2 x) 3 dx 0   3 3 sin 3 x  sin x 35.  cos x 0 sin x dx 36.   sin 3 xtgx dx 4   2 2 dx dx 37.  1  sin x  cos x 0 38.  2 sin x  1 0   2 4 sin 4 xdx 39.  cos 3 x sin 5 xdx 40.  1  cos 2  0 x 4
  13.   2 6 dx dx 41.  5 sin x  3 0 2.   sin 4 x cos x 6   3 3 dx dx 43.   4.    sin x sin( x  )  sin x cos( x  ) 6 6 4 4   3 sin xdx 2 3  45.  cos 6 x  46.  tgxtg ( x  )dx  6 4 6  3 0 4 sin xdx sin 2 x 47.  (sin x  cos x) 3 0 48.  (2  sin x) 2  2   2 2 49.  sin 3 x dx 50. x 2 cos xdx 0 0   2 2 1  sin x 51.  sin 2 x.e 2 x 1 dx 52.  1  cos x e x dx 0 0   4 2 sin 3x sin 4 x sin 2 xdx 53.  tgx  cot g 2 x dx  54.  sin 0 2 x  5 sin x  6 6  2 3 ln(sin x) 55.  cos(ln x)dx 1 56.   cos 2 x dx 6  2  57.  (2 x  1) cos 2 xdx 58.  x sin x cos 2 xdx 0 0  4   xtg xdx 60.  e 2 x sin 2 xdx 2 59. 0 0   2 4 61.  e sin 2 x 3 sin x cos xdx 62.  ln(1  tgx )dx 0 0   4 dx 2 (1  sin x) cos x 63.  (sin x  2 cos x) 2 0 64.  (1  sin x)(2  cos 0 2 x) dx   2 2 65.    sin 2 x sin 7 xdx 66.  0 cos x(sin 4 x  cos 4 x)dx 2
  14.  2   4sin 3 x 2 67. 1  cos x dx 68.  cos 5x. cos 3xdx 0  2   2 4 x 69.  sin 7 x. sin 2 xdx  70.  sin cos xdx 0 2  2  4 71.  sin 2 xdx 0 V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ: b  R( x, f ( x))dx a Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng: ax  +) R(x, ) §Æt x = a cos2t, t  [0; ] ax 2 +) R(x, a 2  x 2 ) §Æt x = a sin t hoÆc x = a cos t ax  b ax  b +) R(x, n ) §Æt t = n cx  d cx  d 1 +) R(x, f(x)) = Víi (ax  b) x 2  x   ( x 2  x   )’ = k(ax+b) Khi ®ã ®Æt t = x 2  x   , hoÆc ®Æt t = 1 ax  b   +) R(x, a 2  x 2 ) §Æt x = a tgt , t  [ ; ] 2 2 a  +) R(x, x 2  a 2 ) §Æt x = , t  [0;  ] \ { } cos x 2 +) R  n1 n2 ni x ; x ;...; x  Gäi k = BCNH(n1; n2; ...; ni) §Æt x = tk 2 3 2 dx dx 1.  x x2  4 2.  2 x x2 1 5 3 1 2 2 dx dx 3.  (2 x  3) 1 4 x 2  12 x  5 4. x 1 x3  1  2 2 2 dx 5.  1 x 2  2008dx 6.  1 x 2  2008
  15. 1 1 7.  x 1  x dx 8.  (1  x 2 ) 3 dx 2 2 0 0 2 x 1 1 x 3 2 2 9. x 1 2 x2 1 dx 10.  0 1 x dx 2 1 2 dx dx 11.  0 (1  x 2 ) 3 12.  0 (1  x 2 ) 3 2 1 2 x 2 dx 13.  1  x dx 14.  2 0 0 1 x2   2 2 cos xdx 15.  0 7  cos 2 x 16.  sin x 0 cos x  cos 2 x dx   2 cos xdx 2 sin 2 x  sin x 17.  0 2  cos 2 x 18.  0 1  3 cos x dx 7 3 x 3 dx 19.  20. x 10  x 2 dx 3 0 3 1 x 2 0 1 1 xdx x 3 dx 21.  0 2x  1 22.  x 0 x2 1 7 1 dx 23.  24. x 1  3x 8 dx 15 2 2x  1  1 0  2 ln 3 dx 25.  1  cos x sin x cos xdx 26.  6 3 5 0 0 ex 1 1 ln 2 dx e 2 x dx 27. 1 1 x  x2 1 28.  0 ex 1 1  3 ln x ln x 1 e 29.  12 x  4 x  8dx 30.  2 dx 5 1 x 4 x5  x3 3 4 31.  0 1 x 2 dx 32.  0 x 3  2 x 2  x dx 0 ln 3 ln 2 x 33.  x(e  x  1)dx 34.  2x 3 dx 1 ln 2 x ln x  1  cos 2 x  2 3tgx ln 2 3 cos 2 x e x dx 35.  0 cos 2 x dx 36.  0 (e x  1) 3   3 2 cos xdx cos xdx 37.  0 2  cos 2 x 38.  0 1  cos 2 x
  16. x2 7 2a 39.  0 3 x3 dx 40.  0 x 2  a 2 dx VI. MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT: Bµi to¸n më ®Çu: Hµm sè f(x) liªn tôc trªn [-a; a], khi a a ®ã:  a f ( x)dx   [ f ( x)  f ( x)]dx 0 3 3 VÝ dô: +) Cho f(x) liªn tôc trªn [- ; ] tháa m·n 2 2 f(x) + f(-x) = 2  2 cos 2 x , 3 2 TÝnh:  f ( x)dx 3  2 x 4  sin x 1 +) TÝnh  1 1  x 2 dx Bµi to¸n 1: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ lÎ trªn [-a, a], a khi ®ã:  f ( x)dx a = 0.  1 2 VÝ dô: TÝnh:  ln( x  1  x )dx  cos x ln( x  1  x 2 )dx 2 1  2 Bµi to¸n 2: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ ch½n trªn [-a, a a a], khi ®ã:  a f ( x)dx = 2  f ( x)dx 0  2 x  cos x  1 x dx VÝ dô: TÝnh x 1 4  x2 1 4  sin 2 x dx   2 Bµi to¸n 3: Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc, ch½n trªn [-a, a a f ( x) a], khi ®ã: a1  b x dx   f ( x)dx (1  b>0,  a)  0  x 1 3 2 2 sin x sin 3x cos 5 x VÝ dô: TÝnh: 31  2 x dx   1 ex dx  2  Bµi to¸n 4: NÕu y = f(x) liªn tôc trªn [0; ], th× 2   2 2  0 f (sin x)   f (cos x)dx 0
  17.   2 2009 2 sin x sin x VÝ dô: TÝnh  sin 2009 x  cos 2009 x dx 0  0 sin x  cos x dx Bµi to¸n 5: Cho f(x) x¸c ®Þnh trªn [-1; 1], khi ®ã:     xf (sin x)dx  0 2 0 f (sin x)dx   x x sin x VÝ dô: TÝnh  1  sin x dx 0  2  cos x dx 0 b b b b Bµi to¸n 6:  a f (a  b  x)dx   f ( x)dx a   0 f (b  x)dx   f ( x)dx 0   4 x sin x VÝ dô: TÝnh  1  cos 2 x dx 0  sin 4 x ln(1  tgx )dx 0 Bµi to¸n 7: NÕu f(x) liªn tôc trªn R vµ tuÇn hoµn víi chu k× T th×: a T T nT T  f ( x)dx   f ( x)dx a 0   f ( x)dx  n f ( x)dx 0 0  2008 VÝ dô: TÝnh  0 1  cos 2 x dx C¸c bµi tËp ¸p dông:  1 x x7  x5  x3  x  1 1 2 4 1.  1 1 2x dx 2.  cos 4 x dx  4  x  cos x 1 2 dx 3.  1 (1  e )(1  x ) x 2 4.  4  sin 2 x dx  2 1 2 2 1 x 5. 1cos 2 x ln(1  x )dx 6.  sin(sin x  nx)dx 0  2  tga cot ga 2 sin 5 x xdx dx 7.   1  cos x dx 8.  1 x2   x(1  x 2 )  1 (tga>0)  1 1 2 e e VII. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: 3 2  x 2  1dx 2. x  4 x  3 dx 2 1. 3 0  1 2 3.  x x  m dx 0 4.  sin x dx  2
  18.   3 5.   1  sin x dx 6.   tg 2 x  cot g 2 x  2dx 6 3 4 2 7.  sin 2 x dx  8.  0 1  cos x dx 4 5 3 9.  ( x  2  x  2 )dx 10. 2  4 dx x 2 0  3 4  cos x cos x  cos xdx x  3x  2dx 2 11. 3 12. 2)  1  2 5 2 1 13.  ( x  2  x  2 )dx 3 14.  1 x2  x2  2dx 2 3  15.  0 2x  4dx 16.  0 1  cos2xdx 2 2 17.  0 1  sin xdx 18.  x 2  x dx 0 VIII. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x =1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x =4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2  Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x =1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x =4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2  Bµi 1: Cho (p) : y = x2+ 1 vµ ®-êng th¼ng (d): y = mx + 2. T×m m ®Ó diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi hai ®-êng trªn cã diÖn tÝch nhá nhÈt Bµi 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) T×m m ®Ó h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (c) vµ 0x cã diÖn tÝch ë phÝa trªn 0x vµ phÝa d-íi 0x b»ng nhau
  19. Bµi 3: X¸c ®Þnh tham sè m sao cho y = mx chia h×nh ph¼ng x  x 3  giíi h¹n bëi y  o  x  1 y  0  Cã hai phÇn diÖn tÝch b»ng nhau Bµi 4: (p): y2=2x chia h×nh ph¼ng giíi bëi x2+y2 = 8 thµnh hai phÇn.TÝnh diÖn tÝch mçi phÇn Bµi 5: Cho a > 0 TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi  x 2  2ax  3a 2 y   1 a4  T×m a ®Ó diÖn tÝch lín nhÊt y  a 2  ax   1 a4 Bµi 6: Tính diện tích của các hình phẳng sau:   3x  1 y  4  x2 y  x  1 y  x 2  4x  3  1) (H1):   4 2) (H2) :   3) (H3): y  0 y  x 2 y  x  3  x  0   4 2   y  x 2 y  x y 2  x  5  0 4) (H4):   5) (H5):   6) (H6):  x  y x  y  3  0 2 y  2  x 2    ln x y  2 x 3 3   y  x  x  2  y  x 2  2x 7) (H7): y  0 8) (H8) :   9) (H9):  2 2 y  x  4x 2 x  e  y  x   x  1  (C ) : y  x (C ) : y  e x y  2y  x  0 2   10) (H10):  11) (d ) : y  2  x 12) (d ) : y  2 x  y  0 (Ox) () : x  1   y  x  y 2  2x  1 y   4  x2   13)  14)  2 15) x  y  2  0 y  x 1 x  3 y  0  y  0   x2 y   y  ln x, y  0  2  y 2  2x  16  17  18)  1 y  1  y  x, y  0, y  3 x  e , x  e    1 x2  1 1  y  sin 2 x ; y  cos 2 x  19.  20): y = 4x – x2 ; (p) vµ tiÕp  x  ; x     6 3 tuyÕn cña (p) ®i qua M(5/6,6)
  20.  y  x 2  4x  5  y  x 2  6x  5   21)  y  2 x  4 22)  y   x 2  4 x  3 23)  y  4 x  11  y  3 x  15   y  x  y  1   x y  0  x  e   y  / x 2  1/  y  x 3 24)  25)  2 26)  y  / x / 5 y  x   y  3x 2  / x /  2  y  0  y  x 2  2x  2 y  x  2   y  / x  1/ 29)  2 2 27)  28)  y  x 2  4 x  5  y  4  x y  x  7 2 y  1   y  x3  y  sin x  2 cos x  2  y  x  3  30)  y  0 31)  y  3  32)  x  x  2; x  1  x  0; x   y  0     y  2x 2  2x  y  x  2x 2  33)  34)  y  x 2  3x  6 35) y  x  2  x  0; x  4   y  / x 2  5x  6 /  y  6  y  2x 2   y  / x 2  3x  2 / 36)  y  x 2  2 x  1 37)  y  2 y  2   y  / x 2  5x  6 /   y  / x  3x  2 / 2  y  / x 2  4x  3 / 38)  39)  40)  y  x 1  y  x 2  y  3 y  eÏ  x2   y 41)  y  e  x 42)  x2  x6 43) x  1  x  0; x  1    y  sin/ x /   y  / x / 

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản