Bài tập nguyên hàm và Tích phân

Chia sẻ: motngaymoi126

Tài liệu Bài tập Nguyên hàm và Tích phân, dành cho các bạn học sinh khối THPT tham khảo, luyện tập theo chuyên đề.

Nội dung Text: Bài tập nguyên hàm và Tích phân

BÀI TẬP NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
Trần Xuân Huyến
Phone:01235775838
I/ NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ ĐƠN GIẢN
1/ Tìm nguyên hàm các hàm số sau
x 2 2 1
a. y = 5 x − e. f ( x) = ( 5 − )(4 x + )
4

2 3 x x x
b. f ( x) = 2 x + 3 x − 1
4 3

1
5
2 f. f ( x ) = x 3 + 2
c. f ( x) = (3 x − 2 x )(5 x + 1) 2x
3 g. f ( x) = 20 x

d. f ( x) = 2 − 5 x + 1
x h. f ( x) = e 2 x +1
2/ Tìm các nguyên hàm sau
2
∫ ( 1− x)
2
a. ( x − 4 x 3 ).dx f. (3x + 5).dx

2 x.3x
x x+ x g. ∫ x+1 dx
b. ∫ 3x .dx 3 5
ex
c. ∫ cosx.dx h. ∫ 3 x .dx
2
1 + cosx
d. ∫ .dx i. ∫ ( ln x + lg x ) .dx
3
3x 2 − 5 5 2 x
5
(
k. ∫ log 2 x + log 3 x − log 5 x .dx
7
)
e. ∫ 3
.dx
x
II/ DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ĐỂ TÍNH NGUYÊN HÀM
1/ Tính các nguyên hàm sau
a. ∫ sin 2 x.dx g ∫ sin x cos x.dx
2



b. ∫ cos5x.dx h ∫ cos x sin x.dx
m



c. ∫ sin(3x − 7).dx i. ∫ e
sinx
cosx.dx
2 k. ∫ 5
cos2x
d. ∫ cos( x+17).dx sin 2 x.dx
3
l. ∫ cos (5x-7)sin(5 x − 7).dx
9

e. ∫ e .dx
5 x +1

m. ∫ ( 3 x − 8 ) .dx
7

f. ∫ 3 .27 .dx
2 x +5 x


2/ Tìm các nguyên hàm sau
a. ∫ ( 7 x − 10 ) .dx ln x
5
f. ∫ x
.dx
b. ∫ ( 2x
2
)
3 x 3 − 2008 .dx 3x 7
g. ∫ 8 .dx
2x x +1
c. ∫x 2
+1
.dx
e2 x − 1
h. ∫ x .dx
5 x9 e +1
d. ∫ ln ln x
x10 + 1 i. ∫ .dx
x ln x
e. ∫ 2 x ( x + 4) .dx
2 3 5
dx
k. ∫
x ln x.ln ln x
III/ TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC :
(Chúng ta hãy lưu ý rằng để làm tốt nguyên hàm của các hàm lượng giác thì cần phải sử dụng thành
thạo các công thức lượng giác đã được học ở lớp 11. Phải coi chúng như bảng cửu chương hoặc
như là 7 hằng đẳng thức đáng nhớ. Trước hết chúng ta xét những dạng bài tập cơ bản)
1/ Tính nguyên hàm
2
a. ∫ sin x.dx f. ∫ cot x.dx
2 2



b. ∫ cos x.dx g. ∫ sin α x.sin β x.dx
2



c. ∫ t anx.dx h. ∫ sin α x.cosβ x.dx
d. ∫ cot x.dx i. ∫ cosα x.cosβ x.dx
e. ∫ tan x.dx
2


2/ Tính các nguyên hàm
a. ∫ sin x.dx e. ∫ tan x.dx
4 6



b. ∫ cos x.dx f. ∫ sin 7 x.cos15x.dx
4



c. ∫ tan x.dx g. ∫ cos7x.cos9x.dx
4



d. ∫ cot x.dx i. ∫ sin 2 x.sin 6 x.dx
4


3/ Tìm các nguyên hàm sau
a. ∫ sin x.cosx.dx dx
3
h. ∫ 1 + cosx
b. ∫ sin x.dx
5
dx
c. ∫ cos x.dx
7 i. ∫ 1 + s inx
d. ∫ sin x.cos x.dx
5 10 k. ∫ s inx. 3+cosx.dx
dx dx
l. ∫ .dx
e. ∫ cos (7x-10)
2 sin( x + 1) sin( x − 3)
dx dx
f. ∫ m. ∫ .dx
cosx sin(2 x − 7).cos(2x+3)
dx cosx.sin 3 x
g. ∫ p. ∫ .dx
s inx 1 + sin 2 x
IV/ NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ (HÀM PHÂN THỨC)
(Lớp nguyên hàm của bài toán này khá dễ, để tìm được nguyên hàm của những lớp hàm này chúng ta
lưu ý những điểm sau:
i. Quan sát bậc đa thức trên tử và bậc dưới mẫu, nếu bậc đa thức trên tử lớn hơn hoặc bằng
bậc đa thức dưới mẫu thì thực hiện phép chía đa thức
ii. Quan tâm tới nghiệm của đa thức dưới mẫu số )
1/ Tìm các nguyên hàm sau
dx dx
a. ∫ f. ∫ 3
( x − 9)( x − 10) 6 x − 7 x 2 − 3x
dx x3 − 1
b. ∫ g. ∫ 3 .dx
( x + 2)(7 − x) 4x − x
dx x5 + x 4 − 8
c. ∫ h. ∫ 3 .dx
(2 x − 5)( x − 3) x − 4x
xdx e x dx
d. ∫ 2 i. ∫ 2 x
2 x + 3x + 1 e −1
2 xdx
e. ∫ 2
2 x − 3x − 2
2/ Tìm nguyên hàm các hàm hữu tỉ sau
xdx x3 dx
a. ∫ 4 b. ∫ 4
x − 3x 2 + 2 x − 4x2 + 3
3
x dx 5 dx
c. ∫x − x3 − 2
6
g. ∫ (x − 4)( x 2 − 1)
2


x3 − 3x + 2 x 2 dx
d. ∫ h. ∫ 2
x( x 2 + 2 x + 1) ( x − 1)( x 2 − 9)
( x + 2) 2 ( x 2 − 1)dx
e. ∫ .dx i. ∫
x( x 2 − 2 x + 1) x4 + 1
dx
f. ∫ dx
x( x 2 + 2) k∫
e (3 + e − x )
x


V/ NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
(Mục đích của việc nguyên hàm từng phần là chuyển một nguyên hàm rất khó tính bằng các
phương pháp đã biết về một nguyên hàm dễ tính hơn, Vậy những bài toán như thế nào thì phải
dùng nguyên hàm từng phần?
Đó là những bài toán có dạng như sau;
i. ∫ P ( x).sin mx.dx ; ∫ P( x).cosmx.dx ; (P(x là một đa thức nào đó vd: ∫ ( x + 1) sin 3x.dx )
2



∫ P( x).e .dx ; ∫ P( x).a .dx ; vd: ∫ (3 x − 5)5 .dx
mx nx x
ii.
iii. ∫ e .sin nx.dx ….) ∫ a cosβ x.dx vd: ∫ e s inx.dx
mx αx 2x



iv. ∫ P ( x) ln x.dx ∫ P( x) log x.dx ∫x
3
a vd: ln x.dx )
1/ Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp toàn phần
a. ∫ (2 x + 1)e .dx d. ∫ cos x.e .dx
2 3x 2 x



∫x e. ∫ ln x.dx
2
b. ln x.dx
c. ∫ e f. ∫ lg x.dx
2x
sin 2 x.dx
VI. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM VÔ TỈ
(Tổng thể nguyên hàm của một hàm vô tỉ là một nguyên hàm có chứa căn thức. Đây là lớp bài toán
tương đối khó . Phương pháp chung để giải quyết chúng là dùng phương pháp đổi biến số)
1/ tìm các nguyên hàm
x +1 x 3 .dx
a. ∫ 3 .dx e. ∫
3x + 1 1 + 3 x4 + 1
x.dx
b. ∫ x 3 .dx
1+ 2x +1 f. ∫ 2
x +2
dx
c. ∫ dx
x+3x g. ∫
x x2 + 1
d. ∫ x 3 − x .dx
dx 1− x 1
h. ∫x 2x + 2x +1
2
l. ∫ . .dx
1+ x x
dx dx
i. ∫ ( x + 1) x2 + 2 x + 2
m. ∫
1+ x + 1+ x
dx
k. ∫ x +1 + x −1
̣
ÔN TÂP

1/ Tính các nguyên hàm sau
4
a. ∫ (3 x + 5 x )dx ∫ (7 + e x dx )
2 x
e.
 24 3 x − 5 x 4   4x 3x 
b. ∫ 

dx
 f. ∫  x + e dx
5 
 x   
c. ∫ (sin x + cos x + 5 x 2 x 3 )dx 4 x+2
5 
g. ∫  2 x + x 4 x dx
7 
 −5 7   
d. ∫  2
+ 7x 2 x + dx
 cos x sin 2 x 
2/ Tìm a để cho F(x) là nguyên hàm của f(x)
F(x) = 6 x 3 + 7 x 2 − 3 x ; f ( x ) = 18 x 2 + 14 x − 5a
3/ Tìm c để F(x) là nguyên hàm của f(x)
F(x) = 2 x ln x + 3x 2 + sin x . f(x) = 2 ln x + 6 x + cos x + c
4/ Tìm nguyên hàm của các hàm số sau
 1 1  c. ∫ cot x.dx
2
1
a. ∫ 
 + x + 4 dx 
 x x x d. ∫ tan x.dx
2

b. ∫ 3 .2 dx
x 2x


5/ Tìm các nguyên hàm sau
 2 4
a. ∫  x − 2 x + dx (x 2
+1 ) 2


 x
c. ∫ x x
dx

b. ∫
x + 2x + x 2 + 1
4 3


x2
dx d. ∫( x + 3 x + 5 x 4 dx )
6/ Tìm các nguyên hàm sau
dx 1 + cos 2 x
a. ∫ c. ∫ 1 + cos 2 x dx
cos x. sin 2 x
2

co 2 x.dx 2 x
b. ∫ d. ∫ 3 sin .dx
cos 2 x. sin 2 x 2
7/ Cho hàm y = x 3 − 2 x . Tìm a, b, c để cho F ( x) = (ax + bx + c ) 3 − 2 x là nguyên hàm của hàm số y
2
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản