BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC

Chia sẻ: huynhphuoc

Hệ thống các bài tập về phương pháp toán học giúp học sinh củng cố lại những kiến thức cần nhớ

Nội dung Text: BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC

TRƯỜNG THPT VĨNH BÌNH GV:HUỲNH PHƯỚC
-------------------------
PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC
A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1.Để chứng minh một mệnh đề là đúng với mọi n ∈ ¥ * bằng phương pháp qui nạp
toán học,ta tiến hành hai bước:
Bước 1:Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.
Bước 2:Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n=k ( k ≥ 1 ) và chứng
minh rằng nó cũng đúng với n=k+1
2.Trong trường hợp phải chứng minh một mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên
n ≥ p (p là số tự nhiên) thì:
*Ở bước 1,ta kiểm tra mệnh đề đúng với n = p
*Ở bước 2,ta giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n=k ( k ≥ p ) và
chứng minh rằng nó cũng đúng với n=k+1
3.Phép thử với một số hữu hạn số tự nhiên,tuy không phải là chứng minh,nhưng cho
phép ta dự đoán được kết quả.Kết quả này chỉ là giả thiết,và để chứng minh ta có
thể dùng phương pháp quy nạp toán học.
B.BÀI TẬP
Bài 1:
Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ ¥ * )
n(n + 1)
1)1 + 2 + 3 + ... + n =
2
n(3n + 1)
2)2 + 5 + 8 + ... + (3n − 1) =
2
1 n+1
3)3 + 9 + 27 + ... + 3n = ( 3 − 3)
2
n(4n 2 − 1)
4)1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) =
2 2 2 2
n 2 ( n + 1) 2
3 5)1 + 2 + 3 + ... + n =
3 3 3 3

4
6)1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + n(3n − 1) = n ( n + 1)
2


1 1 1 n(n + 3)
7) An = + + ... + =
1.2.3 2.3.4 n( n + 1)( n + 2) 4( n + 1)( n + 2)
n( n + 1) n( n + 1)( n + 2)
8)1 + 3 + 6 + 10 + ... + =
2 6
n(n + 1)(2n + 1)
9)12 + 22 + 32 + ... + n 2 =
6
10)1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n 2


Bài 2:
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2 ,ta có:
a n − b n = (a − b)(a n −1 + a n− 2b + ... + ab n− 2 + b n−1 )
Bài 3:
Cho n là số nguyên dương.Chứng minh rằng:
1)n(2n 2 − 3n + 1) chia hết cho 6.
2)11n +1 + 122 n −1 chia hết cho 133
3)n 7 − n chia hết cho 7
4)n5 − n chia hết cho 5
5)13n − 1 chia hết cho 6
6)n3 + 2n chia hết cho 3
7)16n − 15n − 1 chia hết cho 225
8)4.32 n+1 + 32n − 36 chia hết cho 64
9) n3 + 3n 2 + 5n chia hết cho 3
Bài 4:
Chứng minh các bất đẳng thức:
1)2n + 2 > 2n + 5; (∀n ∈ ¥ * )
2)3n > n 2 + 4n + 5; (∀n ∈ ¥ * , n ≥ 3)
3)3n−1 > n( n + 2); (∀n ∈ ¥ * , n ≥ 4)
4) 2n −3 > 3n − 1; (∀n ∈ ¥ * , n ≥ 8)
1 1 1
5) + + ... + > 1; (∀n ∈ ¥ * )
n +1 n + 2 3n + 1
1 3 5 2n + 1 1
6) . . ....
n ;(∀n ∈ ¥ * , n ≥ 2)
2 3 n
1 1 1
8)1 + + + ... + n < n ;(∀n ∈ ¥ * , n ≥ 2)
2 3 2 −1
Bài 5:
Với giá trị nào của số nguyên dương n,ta có:
1)2n +1 > n 2 + 3n
2)2n > 2n + 1
3)2n > n 2 + 4n + 5
4)3n > 2n + 7 n
Bài 6:
Cho tổng:
1 1 1 1
a) Sn = + + + ... +
1.3 3.5 5.7 (2n − 1)(2n + 1)
1 1 1 1
b) S n = + + + ... +
1.5 5.9 9.13 (4n − 3)(4n + 1)
1)Tính S1; S 2 ; S3 ; S4
2)Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp qui nạp.
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản