Bài tập PHƯƠNG PHÁP TOÁN LÝ

Chia sẻ: Hoang Thuy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

1
283
lượt xem
89
download

Bài tập PHƯƠNG PHÁP TOÁN LÝ

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

đây là bộ sưu tập về các phương pháp giải toán vật lý như:Phương trình truyền sóng, Phương trình truyền nhiệt, ...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài tập PHƯƠNG PHÁP TOÁN LÝ

  1. Bài t p PHƯƠNG PHÁP TOÁN LÝ Phương trình truy n sóng 1. V d ng c a dây vô h n dao ng t do n u v n t c ban u b ng không, còn l ch ban u ư c cho b i: 0 khi x ≤ 1  x − 1 khi 1 < x ≤ 2  u ( x, 0 ) =  3 − x khi 2 < x ≤ 3 0 khi x > 3  1 t i các th i i m t 0 = 0 , t1 = , t 2 = 1 , t 3 = 2,5 . Xét dao ng t i các i m 2 x = 0 , x = 2 , x = 1 , x = −1 ( khi nào b t u dao ng, khi nào thôi ), bi t v n t c truy n sóng a = 2 . 2. V d ng c a dây n a vô h n, g n ch t u mút, dao ng t do, bi t r ng v n t c ban u b ng không, l ch ban u ư c cho b i: 0 nÕu 0 ≤ x ≤ l  πx  u ( x,0) = − sin nÕu l ≤ x ≤ 2l l  0 nÕu 2l ≤ x ≤ +∞  5l 3l 7l 9l l l t i các th i i m t b ng ,, , , , . 4a a 4a 2 a 4 a 4a 3. Xác nh dao ng t do c a dây h u h n, g n ch t t i các mút x = 0 , x = l , bi t l ch ban u ư c cho b i: 4 x(l − x ) ( 0 ≤ x ≤ l ), u ( x,0 ) = l2 còn v n t c ban u b ng không. áp s : (2n + 1)πx cos (2n + 1)πat . 32 1 ∞ ∑ (2n + 1) u ( x, t ) = sin 3 3 π l l n =0 4. Xác nh dao ng t do c a dây h u h n, g n ch t t i các mút x = 0 , x = l , bi t l ch ban u b ng không, và v n t c ban u ư c cho b i:  π v cos(x - c ) nÕu x - c < ∂u ( x,0 )  0  2 , = π ∂t 0 nÕu x - c >   2 1 Ngày 21-02-2012 Trang Bài t p Phương pháp Toán Lý
  2. π π trong ó v 0 là h ng s dương và . <c<l− 2 2 áp s : kπ 2 kπc sin cos 4v 0 ∞ 2l sin kπx sin kπat . ∑ l u ( x, t ) =  kπ 22 πa l l k =1 k 1 − 2     l 5. Xác nh dao ng d c c a m t thanh ng ch t n u m t mút g n ch t, còn m t mút t do, bi t các i u ki n ban u: ∂u u t =0 = f (x ) , = F (x ) . ∂t t =0 áp s : (2n + 1)πat + b sin (2n + 1)πat  sin (2n + 1)πx  ∞ u ( x, t ) = ∑ a n cos  n 2l 2l 2l n =1   (2n + 1)πx dx , b = (2n + 1)πx l l 2 4 v i a n = ∫ f ( x )sin ∫ F (x )sin 2l dx . (2n + 1)πx 0 n 2l l0 6. Cũng như bài 5. , nhưng c hai mút u t do. áp s : l 1 [ f ( x ) + tF ( x )]dx + ∑  a n cos nπat + bn sin nπat  cos nπx ∞ l∫ u ( x, t ) =   n =1  l l l 0 l l 2 2 nπx nπ x v i an = ∫ f (x ) cos l dx , bn = nπa ∫ F (x ) cos l dx . l0 0 7. M t thanh ng ch t có dài 2l b nén nên dài c a nó còn l i là 2l(1 - ε). Lúc t = 0, ngư i ta buông ra. Ch ng minh r ng l ch u c a thi t di n có hoành x th i i m t ư c cho b i: (− 1)n +1 sin (2n + 1)πx cos (2n + 1)πat , 8εl ∞ ∑ u ( x, t ) = π 2 n = 0 (2n + 1) 2 2l 2l n u g c to t tâm c a thanh. Hư ng d n: Các i u ki n biên và i u ki n ban u là: ∂u (l , t ) ∂u (− l , t ) ∂u ( x.0 ) =0 , = 0 , u ( x,0 ) = −εx , =0. ∂x ∂x ∂t 8. Xét dao ng t do c a m t dây g n ch t các mút x = 0 , x = l trong m t môi trư ng có s c c n t l v i v n t c, bi t các i u ki n ban u: 2 Ngày 21-02-2012 Trang Bài t p Phương pháp Toán Lý
  3. ∂u u t =0 = f (x ) , = F (x ) . ∂t t =0 áp s : ∞ nπx u ( x, t ) = ∑ (a n cos q n t + bn sin q n t ) sin l n =1 2 2 2 l l 2 2 nπ a nπx nπx h − h 2 , a n = ∫ f ( x ) sin dx , bn = dx . ∫ F (x ) sin qn = an + 2 l0 l qn lq n l l 0 Hư ng d n: Phương trình dao ng là: 2 2 ∂u ∂u ∂u = a2 2 . + 2h 2 ∂t ∂t ∂x 9. Xác nh dao ng c a m t dây g n ch t mút x = 0 , còn mút x = l chuy n ng theo quy lu t A sin ωt , bi t r ng l ch và v n t c ban u b ng không. áp s : ω A sin x sin ωt (− 1)n−1 2 Aωa ∞ nπat nπ x ∑ a . u ( x, t ) = sin sin + 2 ω l n =1 l l  nπa  sin l ω2 −  a l Hư ng d n: Tìm u dư i d ng u = v +w, trong ó w tho mãn phương trình dao ng c a dây v i các i u ki n w(0, t ) = 0 , w(l , t ) = A sin ωt , còn v cũng tho mãn phương trình ó v i các i u ki n v(0, t ) = 0 , v(l , t ) = 0 , v( x,0) = − w( x,0) , ∂v( x,0 ) ∂w( x,0 ) . =− ∂t ∂t 10. Tìm dao ng d c c a m t thanh ng ch t có m t mút c nh, còn mút kia ch u tác d ng c a l c Q (lên m t ơn v di n tích) d c theo thanh, bi t r ng l ch và v n t c ban u b ng không. áp s : (− 1)n cos (2n + 1)πat sin (2n + 1)πx 8Ql ∞ 2l 2l Q x− 2 ∑ . u ( x, t ) = (2n + 1)2 π E n=0 E 14. M t màng hình vuông ng ch t lúc t = 0 có l ch ư c xác nh b i u ( x, y ,0 ) = Axy (b − x )(b − y ) , trong ó 0 ≤ x ≤ b , 0 ≤ y ≤ b , dao ng v i v n t c ban u b ng không, mép g n ch t. Hãy xác nh dao ng c a màng. 3 Ngày 21-02-2012 Trang Bài t p Phương pháp Toán Lý
  4. (2n + 1)πx sin (2m + 1)πy sin 4 64 Ab ∞ (2n + 1)2 + (2m + 1)2 πat ∑ b b áp s : u ( x, y, t ) = cos 6 2 2 (2n + 1) (2m + 1) π b n=0 15. M t màng hình ch nh t 0 ≤ x ≤ l , 0 ≤ y ≤ m , g n ch t mép, lúc t = 0 b m t xung lư ng t p trung t i tâm c a màng, sao cho: lim ∫∫ v 0 dxdy = A , ε →0 σε trong ó A là h ng s , v0 là v n t c ban u, σ ε là lân c n c a tâm c a màng. Hãy xác nh dao ng c a màng. áp s :  l m Ψkn  ,  4A 2 2  ∞ ∑ Ψkn ( x, y ) sin µ knπat , u ( x, y , t ) = aπml µ kn k , n =1 2 2 , µ kn =   +   nπ y kπx k n v i Ψkn ( x, y ) = sin . sin   l m l m Phương trình truy n nhi t 1. Tìm nghi m c a phương trình: ∂ 2u ∂u = a2 2 (0 < x < l , t > 0) ∂t ∂x tho mãn các i u ki n : u (0, t ) = 0 , u (l , t ) = 0 ( t > 0 ),  l  x nÕu 0 < x ≤ 2  . u ( x, 0 ) =  l - x nÕu l < x ≤ l   2  (2n + 1) 2 π 2 a 2 t  (− 1)n (2n + 1)πx 4l ∞ 2∑ áp s : u ( x , t ) = exp −  sin 2 2 π n =0 (2n + 1) l l   2. M t thanh ng ch t có dài l , hai mút ư c gi nhi t không, nhi t ban u trong thanh ư c cho b i: cx(l − x ) , u t =0 = l2 Hãy xác nh phân b nhi t trong thanh t i th i i m t > 0. 4 Ngày 21-02-2012 Trang Bài t p Phương pháp Toán Lý
  5.  (2n + 1)2 π 2 a 2 t  (2n + 1)πx 8c 1 ∞ 3∑ u ( x, t ) = exp −  sin áp s : 3 2 π n =0 (2n + 1) l l   3. M t thanh ng ch t có dài l , mút x = 0 ư c gi nhi t không, còn t i mút x = l có s trao i nhi t v i môi trư ng ngoài gi nhi t không. Tìm phân b nhi t trong thanh th i i m t > 0 bi t r ng nhi t ban u trong thanh ư c cho b i u t =0 = ϕ (x ) .  µ 2 a 2t  2 p2 + µn µ xl 2∞ µx ∑ p( p + 1) + µ 2 exp − n 2  sin n ∫ ϕ ( x ) sin n dx u ( x, t ) = áp s :   l n =1 l0 l l   n µ trong ó µ 1 , µ 2 , ... là nh ng nghi m dương c a phương trình , tgµ = p p = hl > 0 . 4. M t thanh ng ch t có m t mút cách nhi t, còn m t mút gi nhi t không i u0 . Tìm phân b nhi t trong thanh bi t nhi t ban u u ( x,0 ) = ϕ ( x ) .  (2n + 1) 2 π 2 a 2 t  (2n + 1)πx , ∞ u ( x, t ) = u 0 + ∑ a n exp−  cos áp s : 2 2l 4l   n=0 (2n + 1)πx dx − (− 1)n 4u 0 . l 2 vi a n = ∫ ϕ ( x ) cos (2n + 1)π 2l l0 Hư ng d n: Tìm u(x,t) có d ng u(x,t) = u0 + v(x,t). 5. Tìm phân b nhi t trong m t thanh ng ch t, bi t nhi t ban u b ng không, nhi t t i mút x = l b ng không, còn nhi t t i mút x = 0 ư c cho b i u(0,t) = At. áp s : x  l 2 A  x   x  2l A ∞ 1 3 2  n 2π 2 a 2 t  2   x nπx u ( x, t ) = At 1 −  − 2   − 3  + 2  + 3 2 ∑ 2 exp − .  sin   2 l  6a  l   l  l  π a n =1 n l   l   Hư ng d n: Tìm u(x,t) dư i d ng u(x,t) = u1(x,t) + u2(x,t) , trong ó u1(x,t) tho mãn phương trình truy n nhi t, tho mãn i u ki n u1(0,t) = At , u1(l,t) = 0. 6. Cũng bài toán như bài 5, nhưng u(0,t) = 4Asinωt.  n 2π 2 a 2 t  2ωA ∞ a n  x nπ x ∑ n exp − l 2  sin l , u ( x, t ) = A1 −  sin ωt − áp s :    l π n =1   5 Ngày 21-02-2012 Trang Bài t p Phương pháp Toán Lý
  6. 2 l  nπa  a n = ∫ exp trong ó  τ cos ωτ dτ . l 0 7. Tìm nghi m c a phương trình: ∂u ∂ 2 u = ∂t ∂x 2 tho mãn các i u ki n: x u (0, t ) = 0 , u (l , t ) = Ae −t , u ( x,0 ) = A . l (− 1)n  n 2π 2 t  Ax − t 2 Al 2 ∞ nπ x ∑ n(n 2π 2 − l 2 )  l u ( x, t ) = exp − 2 − t  sin áp s : e+  π l l   n =1 8. M t t m ng ch t hình ch nh t 0 ≤ x ≤ p , 0 ≤ y ≤ q có mép ư c gi nhi t không. Tìm phân b nhi t trong t m th i i m t > 0 , n u nhi t lúc t = 0 ư c cho b i u (x, y,0) = ϕ ( x, y ) .    m2 n2 ∞ nπy mπx ∑ , u ( x, y , t ) = Amn exp− π 2  2 + 2 t  sin sin áp s : p  p q   q  n , m =1 pq 4 nπy mπx trong ó ∫ ∫ ϕ (x, y )sin p sin q dxdy . = Amn pq 0 0 9. Tìm hàm i u hoà trong mi n hình ch nh t D = {0 ≤ x ≤ l ; 0 ≤ y ≤ m} tho mãn i u ki n biên sau: u (0, y ) = Ay (m − y ) , u (l , y ) = 0 , u (x,0 ) = 0 , u ( x, m ) = 0 . 10. Tìm hàm i u hoà trong mi n hình ch nh t D = {0 ≤ x ≤ l ; 0 ≤ y ≤ m} tho mãn i u ki n biên sau: πx u (0, y ) = 0 , u (l , y ) = 0 , u (x,0 ) = B sin , u ( x, m ) = 0 . l 11. Tìm nghi m c a phương trình Laplace trong mi n hình ch nh t D = {0 ≤ x ≤ l ; 0 ≤ y ≤ m} tho mãn i u ki n biên sau: πx u (0, y ) = Ay (m − y ) , u (l , y ) = 0 , u ( x,0 ) = B sin , u ( x, m ) = 0 . l 12. Tìm hàm i u hoà trong mi n hình ch nh t D = {0 ≤ x ≤ l ; 0 ≤ y ≤ m} tho mãn i u ki n biên sau: 6 Ngày 21-02-2012 Trang Bài t p Phương pháp Toán Lý
  7. ∂u ( x,0) ∂u ( x, m ) u (0, y ) = A , u (l , y ) = Ay , =0 , =0. ∂y ∂y 13.Tìm mi n hypebolic, parabolic và eliptic c a phương trình: 1 u" xx − yu" yy + u' y = 0 . 2y ưa phương trình v d ng chính t c trong mi n hypebolic. 14. ưa phương trình sau v d ng chính t c: u" xx +(1 + y )u" yy +u ' x = 0 . 15. ưa phương trình sau v d ng chính t c: u' x + u' y = 0 . u" xx + y 2 u" yy + y2 12. Tính tích phân: ∫∫ (x cos(n, x ) + y cos(n, y ) + z cos(n, z ))dS S trong ó S là m t (elipxoit : x2 y2 z2 =1 ) + + a2 b2 c2 r là pháp tuy n ngoài i v i S. n 13.Tìm mô men quán tính c a m t ch m c u ng ch t có phương trình x 2 + y 2 + z 2 = R 2 b c t b i m t ph ng z = H ( ch m phía trên ) i v i tr c 0z . Bi t t kh i m t không i và b ng ơn v . R2 2 14.Tìm to tr ng tâm c a ph n m t nón x 2 + y 2 = z b c t b i m t ph ng H2 z = H . Bi t t kh i m t không i và b ng ơn v . 7 Ngày 21-02-2012 Trang Bài t p Phương pháp Toán Lý
Đồng bộ tài khoản