Bài tập PHƯƠNG PHÁP TOÁN LÝ

Chia sẻ: thy_ht

đây là bộ sưu tập về các phương pháp giải toán vật lý như:Phương trình truyền sóng, Phương trình truyền nhiệt, ...

Nội dung Text: Bài tập PHƯƠNG PHÁP TOÁN LÝ

Bài t p
PHƯƠNG PHÁP TOÁN LÝ

Phương trình truy n sóng

1. V d ng c a dây vô h n dao ng t do n u v n t c ban u b ng không,
còn l ch ban u ư c cho b i:
0 khi x ≤ 1
 x − 1 khi 1 < x ≤ 2

u ( x, 0 ) = 
3 − x khi 2 < x ≤ 3
0 khi x > 3

1
t i các th i i m t 0 = 0 , t1 = , t 2 = 1 , t 3 = 2,5 . Xét dao ng t i các i m
2
x = 0 , x = 2 , x = 1 , x = −1 ( khi nào b t u dao ng, khi nào thôi ), bi t v n
t c truy n sóng a = 2 .

2. V d ng c a dây n a vô h n, g n ch t u mút, dao ng t do, bi t
r ng v n t c ban u b ng không, l ch ban u ư c cho b i:
0 nÕu 0 ≤ x ≤ l
 πx

u ( x,0) = − sin nÕu l ≤ x ≤ 2l
l

0 nÕu 2l ≤ x ≤ +∞

5l 3l 7l 9l
l l
t i các th i i m t b ng ,, , , , .
4a a 4a 2 a 4 a 4a

3. Xác nh dao ng t do c a dây h u h n, g n ch t t i các mút x = 0 ,
x = l , bi t l ch ban u ư c cho b i:
4 x(l − x )
( 0 ≤ x ≤ l ),
u ( x,0 ) =
l2
còn v n t c ban u b ng không.

áp s :
(2n + 1)πx cos (2n + 1)πat .
32 1


∑ (2n + 1)
u ( x, t ) = sin
3 3
π l l
n =0



4. Xác nh dao ng t do c a dây h u h n, g n ch t t i các mút x = 0 ,
x = l , bi t l ch ban u b ng không, và v n t c ban u ư c cho b i:
 π
v cos(x - c ) nÕu x - c


 2



1 Ngày 21-02-2012
Trang
Bài t p Phương pháp Toán Lý
π π
trong ó v 0 là h ng s dương và .
0 ),
 l
 x nÕu 0 < x ≤ 2

.
u ( x, 0 ) = 
l - x nÕu l < x ≤ l

 2

 (2n + 1) 2 π 2 a 2 t 
(− 1)n (2n + 1)πx
4l ∞

2∑
áp s : u ( x , t ) = exp −  sin
2 2
π n =0 (2n + 1) l
l
 

2. M t thanh ng ch t có dài l , hai mút ư c gi nhi t không,
nhi t ban u trong thanh ư c cho b i:
cx(l − x )
,
u t =0 =
l2
Hãy xác nh phân b nhi t trong thanh t i th i i m t > 0.



4 Ngày 21-02-2012
Trang
Bài t p Phương pháp Toán Lý
 (2n + 1)2 π 2 a 2 t  (2n + 1)πx
8c 1


3∑
u ( x, t ) = exp −  sin
áp s : 3 2
π n =0 (2n + 1) l
l
 

3. M t thanh ng ch t có dài l , mút x = 0 ư c gi nhi t không,
còn t i mút x = l có s trao i nhi t v i môi trư ng ngoài gi nhi t
không. Tìm phân b nhi t trong thanh th i i m t > 0 bi t r ng nhi t
ban u trong thanh ư c cho b i u t =0 = ϕ (x ) .

 µ 2 a 2t 
2
p2 + µn µ xl
2∞ µx
∑ p( p + 1) + µ 2 exp − n 2  sin n ∫ ϕ ( x ) sin n dx
u ( x, t ) =
áp s :
 
l n =1 l0 l
l
 
n

µ
trong ó µ 1 , µ 2 , ... là nh ng nghi m dương c a phương trình ,
tgµ =
p
p = hl > 0 .

4. M t thanh ng ch t có m t mút cách nhi t, còn m t mút gi nhi t
không i u0 . Tìm phân b nhi t trong thanh bi t nhi t ban u
u ( x,0 ) = ϕ ( x ) .

 (2n + 1) 2 π 2 a 2 t  (2n + 1)πx ,

u ( x, t ) = u 0 + ∑ a n exp−  cos
áp s : 2
2l
4l
 
n=0

(2n + 1)πx dx − (− 1)n 4u 0 .
l
2
vi a n = ∫ ϕ ( x ) cos
(2n + 1)π
2l
l0
Hư ng d n: Tìm u(x,t) có d ng u(x,t) = u0 + v(x,t).

5. Tìm phân b nhi t trong m t thanh ng ch t, bi t nhi t ban u
b ng không, nhi t t i mút x = l b ng không, còn nhi t t i mút x = 0
ư c cho b i u(0,t) = At.

áp s :
x  l 2 A  x   x  2l A ∞ 1
3 2
 n 2π 2 a 2 t 
2
  x nπx
u ( x, t ) = At 1 −  − 2   − 3  + 2  + 3 2 ∑ 2 exp − .
 sin
 
2
l  6a  l 
 l  l  π a n =1 n l
 
l
 

Hư ng d n: Tìm u(x,t) dư i d ng u(x,t) = u1(x,t) + u2(x,t) , trong ó u1(x,t)
tho mãn phương trình truy n nhi t, tho mãn i u ki n u1(0,t) = At , u1(l,t) = 0.

6. Cũng bài toán như bài 5, nhưng u(0,t) = 4Asinωt.

 n 2π 2 a 2 t 
2ωA ∞ a n
 x nπ x
∑ n exp − l 2  sin l ,
u ( x, t ) = A1 −  sin ωt −
áp s :  
 l π n =1  


5 Ngày 21-02-2012
Trang
Bài t p Phương pháp Toán Lý
2
l
 nπa 
a n = ∫ exp
trong ó  τ cos ωτ dτ .
l
0




7. Tìm nghi m c a phương trình:
∂u ∂ 2 u
=
∂t ∂x 2
tho mãn các i u ki n:
x
u (0, t ) = 0 , u (l , t ) = Ae −t , u ( x,0 ) = A .
l

(− 1)n  n 2π 2 t 
Ax − t 2 Al 2 ∞
nπ x
∑ n(n 2π 2 − l 2 )  l
u ( x, t ) = exp − 2 − t  sin
áp s : e+ 
π
l l
 
n =1



8. M t t m ng ch t hình ch nh t 0 ≤ x ≤ p , 0 ≤ y ≤ q có mép ư c gi
nhi t không. Tìm phân b nhi t trong t m th i i m t > 0 , n u nhi t
lúc t = 0 ư c cho b i u (x, y,0) = ϕ ( x, y ) .

 
 m2 n2

nπy
mπx
∑ ,
u ( x, y , t ) = Amn exp− π 2  2 + 2 t  sin sin
áp s : p  p q
 
q

n , m =1
pq
4 nπy
mπx
trong ó ∫ ∫ ϕ (x, y )sin p sin q dxdy .
=
Amn
pq 0 0


9. Tìm hàm i u hoà trong mi n hình ch nh t D = {0 ≤ x ≤ l ; 0 ≤ y ≤ m} tho
mãn i u ki n biên sau:
u (0, y ) = Ay (m − y ) , u (l , y ) = 0 , u (x,0 ) = 0 , u ( x, m ) = 0 .

10. Tìm hàm i u hoà trong mi n hình ch nh t D = {0 ≤ x ≤ l ; 0 ≤ y ≤ m} tho
mãn i u ki n biên sau:
πx
u (0, y ) = 0 , u (l , y ) = 0 , u (x,0 ) = B sin , u ( x, m ) = 0 .
l

11. Tìm nghi m c a phương trình Laplace trong mi n hình ch nh t
D = {0 ≤ x ≤ l ; 0 ≤ y ≤ m} tho mãn i u ki n biên sau:
πx
u (0, y ) = Ay (m − y ) , u (l , y ) = 0 , u ( x,0 ) = B sin , u ( x, m ) = 0 .
l

12. Tìm hàm i u hoà trong mi n hình ch nh t D = {0 ≤ x ≤ l ; 0 ≤ y ≤ m} tho
mãn i u ki n biên sau:



6 Ngày 21-02-2012
Trang
Bài t p Phương pháp Toán Lý
∂u ( x,0) ∂u ( x, m )
u (0, y ) = A , u (l , y ) = Ay , =0 , =0.
∂y ∂y

13.Tìm mi n hypebolic, parabolic và eliptic c a phương trình:
1
u" xx − yu" yy + u' y = 0 .
2y
ưa phương trình v d ng chính t c trong mi n hypebolic.

14. ưa phương trình sau v d ng chính t c:
u" xx +(1 + y )u" yy +u ' x = 0 .

15. ưa phương trình sau v d ng chính t c:
u' x
+ u' y = 0 .
u" xx + y 2 u" yy +
y2

12. Tính tích phân:
∫∫ (x cos(n, x ) + y cos(n, y ) + z cos(n, z ))dS
S

trong ó S là m t (elipxoit :
x2 y2 z2
=1 )
+ +
a2 b2 c2
r
là pháp tuy n ngoài i v i S.
n

13.Tìm mô men quán tính c a m t ch m c u ng ch t có phương trình
x 2 + y 2 + z 2 = R 2 b c t b i m t ph ng z = H ( ch m phía trên ) i v i tr c 0z .
Bi t t kh i m t không i và b ng ơn v .


R2 2
14.Tìm to tr ng tâm c a ph n m t nón x 2 + y 2 = z b c t b i m t ph ng
H2
z = H . Bi t t kh i m t không i và b ng ơn v .




7 Ngày 21-02-2012
Trang
Bài t p Phương pháp Toán Lý
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản