Vui lòng download xuống để xem tài liệu đầy đủ.

Bài tập PHƯƠNG PHÁP TOÁN LÝ

Chia sẻ: | Ngày: | Loại File: pdf | 7 trang

1
277
lượt xem
86
download

đây là bộ sưu tập về các phương pháp giải toán vật lý như:Phương trình truyền sóng, Phương trình truyền nhiệt, ...

Lưu

Bài tập PHƯƠNG PHÁP TOÁN LÝ
Nội dung Text

  1. Bài t p PHƯƠNG PHÁP TOÁN LÝ Phương trình truy n sóng 1. V d ng c a dây vô h n dao ng t do n u v n t c ban u b ng không, còn l ch ban u ư c cho b i: 0 khi x ≤ 1  x − 1 khi 1 < x ≤ 2  u ( x, 0 ) =  3 − x khi 2 < x ≤ 3 0 khi x > 3  1 t i các th i i m t 0 = 0 , t1 = , t 2 = 1 , t 3 = 2,5 . Xét dao ng t i các i m 2 x = 0 , x = 2 , x = 1 , x = −1 ( khi nào b t u dao ng, khi nào thôi ), bi t v n t c truy n sóng a = 2 . 2. V d ng c a dây n a vô h n, g n ch t u mút, dao ng t do, bi t r ng v n t c ban u b ng không, l ch ban u ư c cho b i: 0 nÕu 0 ≤ x ≤ l  πx  u ( x,0) = − sin nÕu l ≤ x ≤ 2l l  0 nÕu 2l ≤ x ≤ +∞  5l 3l 7l 9l l l t i các th i i m t b ng ,, , , , . 4a a 4a 2 a 4 a 4a 3. Xác nh dao ng t do c a dây h u h n, g n ch t t i các mút x = 0 , x = l , bi t l ch ban u ư c cho b i: 4 x(l − x ) ( 0 ≤ x ≤ l ), u ( x,0 ) = l2 còn v n t c ban u b ng không. áp s : (2n + 1)πx cos (2n + 1)πat . 32 1 ∞ ∑ (2n + 1) u ( x, t ) = sin 3 3 π l l n =0 4. Xác nh dao ng t do c a dây h u h n, g n ch t t i các mút x = 0 , x = l , bi t l ch ban u b ng không, và v n t c ban u ư c cho b i:  π v cos(x - c ) nÕu x - c < ∂u ( x,0 )  0  2 , = π ∂t 0 nÕu x - c >   2 1 Ngày 21-02-2012 Trang Bài t p Phương pháp Toán Lý
  2. π π trong ó v 0 là h ng s dương và . <c<l− 2 2 áp s : kπ 2 kπc sin cos 4v 0 ∞ 2l sin kπx sin kπat . ∑ l u ( x, t ) =  kπ 22 πa l l k =1 k 1 − 2     l 5. Xác nh dao ng d c c a m t thanh ng ch t n u m t mút g n ch t, còn m t mút t do, bi t các i u ki n ban u: ∂u u t =0 = f (x ) , = F (x ) . ∂t t =0 áp s : (2n + 1)πat + b sin (2n + 1)πat  sin (2n + 1)πx  ∞ u ( x, t ) = ∑ a n cos  n 2l 2l 2l n =1   (2n + 1)πx dx , b = (2n + 1)πx l l 2 4 v i a n = ∫ f ( x )sin ∫ F (x )sin 2l dx . (2n + 1)πx 0 n 2l l0 6. Cũng như bài 5. , nhưng c hai mút u t do. áp s : l 1 [ f ( x ) + tF ( x )]dx + ∑  a n cos nπat + bn sin nπat  cos nπx ∞ l∫ u ( x, t ) =   n =1  l l l 0 l l 2 2 nπx nπ x v i an = ∫ f (x ) cos l dx , bn = nπa ∫ F (x ) cos l dx . l0 0 7. M t thanh ng ch t có dài 2l b nén nên dài c a nó còn l i là 2l(1 - ε). Lúc t = 0, ngư i ta buông ra. Ch ng minh r ng l ch u c a thi t di n có hoành x th i i m t ư c cho b i: (− 1)n +1 sin (2n + 1)πx cos (2n + 1)πat , 8εl ∞ ∑ u ( x, t ) = π 2 n = 0 (2n + 1) 2 2l 2l n u g c to t tâm c a thanh. Hư ng d n: Các i u ki n biên và i u ki n ban u là: ∂u (l , t ) ∂u (− l , t ) ∂u ( x.0 ) =0 , = 0 , u ( x,0 ) = −εx , =0. ∂x ∂x ∂t 8. Xét dao ng t do c a m t dây g n ch t các mút x = 0 , x = l trong m t môi trư ng có s c c n t l v i v n t c, bi t các i u ki n ban u: 2 Ngày 21-02-2012 Trang Bài t p Phương pháp Toán Lý
  3. ∂u u t =0 = f (x ) , = F (x ) . ∂t t =0 áp s : ∞ nπx u ( x, t ) = ∑ (a n cos q n t + bn sin q n t ) sin l n =1 2 2 2 l l 2 2 nπ a nπx nπx h − h 2 , a n = ∫ f ( x ) sin dx , bn = dx . ∫ F (x ) sin qn = an + 2 l0 l qn lq n l l 0 Hư ng d n: Phương trình dao ng là: 2 2 ∂u ∂u ∂u = a2 2 . + 2h 2 ∂t ∂t ∂x 9. Xác nh dao ng c a m t dây g n ch t mút x = 0 , còn mút x = l chuy n ng theo quy lu t A sin ωt , bi t r ng l ch và v n t c ban u b ng không. áp s : ω A sin x sin ωt (− 1)n−1 2 Aωa ∞ nπat nπ x ∑ a . u ( x, t ) = sin sin + 2 ω l n =1 l l  nπa  sin l ω2 −  a l Hư ng d n: Tìm u dư i d ng u = v +w, trong ó w tho mãn phương trình dao ng c a dây v i các i u ki n w(0, t ) = 0 , w(l , t ) = A sin ωt , còn v cũng tho mãn phương trình ó v i các i u ki n v(0, t ) = 0 , v(l , t ) = 0 , v( x,0) = − w( x,0) , ∂v( x,0 ) ∂w( x,0 ) . =− ∂t ∂t 10. Tìm dao ng d c c a m t thanh ng ch t có m t mút c nh, còn mút kia ch u tác d ng c a l c Q (lên m t ơn v di n tích) d c theo thanh, bi t r ng l ch và v n t c ban u b ng không. áp s : (− 1)n cos (2n + 1)πat sin (2n + 1)πx 8Ql ∞ 2l 2l Q x− 2 ∑ . u ( x, t ) = (2n + 1)2 π E n=0 E 14. M t màng hình vuông ng ch t lúc t = 0 có l ch ư c xác nh b i u ( x, y ,0 ) = Axy (b − x )(b − y ) , trong ó 0 ≤ x ≤ b , 0 ≤ y ≤ b , dao ng v i v n t c ban u b ng không, mép g n ch t. Hãy xác nh dao ng c a màng. 3 Ngày 21-02-2012 Trang Bài t p Phương pháp Toán Lý
  4. (2n + 1)πx sin (2m + 1)πy sin 4 64 Ab ∞ (2n + 1)2 + (2m + 1)2 πat ∑ b b áp s : u ( x, y, t ) = cos 6 2 2 (2n + 1) (2m + 1) π b n=0 15. M t màng hình ch nh t 0 ≤ x ≤ l , 0 ≤ y ≤ m , g n ch t mép, lúc t = 0 b m t xung lư ng t p trung t i tâm c a màng, sao cho: lim ∫∫ v 0 dxdy = A , ε →0 σε trong ó A là h ng s , v0 là v n t c ban u, σ ε là lân c n c a tâm c a màng. Hãy xác nh dao ng c a màng. áp s :  l m Ψkn  ,  4A 2 2  ∞ ∑ Ψkn ( x, y ) sin µ knπat , u ( x, y , t ) = aπml µ kn k , n =1 2 2 , µ kn =   +   nπ y kπx k n v i Ψkn ( x, y ) = sin . sin   l m l m Phương trình truy n nhi t 1. Tìm nghi m c a phương trình: ∂ 2u ∂u = a2 2 (0 < x < l , t > 0) ∂t ∂x tho mãn các i u ki n : u (0, t ) = 0 , u (l , t ) = 0 ( t > 0 ),  l  x nÕu 0 < x ≤ 2  . u ( x, 0 ) =  l - x nÕu l < x ≤ l   2  (2n + 1) 2 π 2 a 2 t  (− 1)n (2n + 1)πx 4l ∞ 2∑ áp s : u ( x , t ) = exp −  sin 2 2 π n =0 (2n + 1) l l   2. M t thanh ng ch t có dài l , hai mút ư c gi nhi t không, nhi t ban u trong thanh ư c cho b i: cx(l − x ) , u t =0 = l2 Hãy xác nh phân b nhi t trong thanh t i th i i m t > 0. 4 Ngày 21-02-2012 Trang Bài t p Phương pháp Toán Lý
  5.  (2n + 1)2 π 2 a 2 t  (2n + 1)πx 8c 1 ∞ 3∑ u ( x, t ) = exp −  sin áp s : 3 2 π n =0 (2n + 1) l l   3. M t thanh ng ch t có dài l , mút x = 0 ư c gi nhi t không, còn t i mút x = l có s trao i nhi t v i môi trư ng ngoài gi nhi t không. Tìm phân b nhi t trong thanh th i i m t > 0 bi t r ng nhi t ban u trong thanh ư c cho b i u t =0 = ϕ (x ) .  µ 2 a 2t  2 p2 + µn µ xl 2∞ µx ∑ p( p + 1) + µ 2 exp − n 2  sin n ∫ ϕ ( x ) sin n dx u ( x, t ) = áp s :   l n =1 l0 l l   n µ trong ó µ 1 , µ 2 , ... là nh ng nghi m dương c a phương trình , tgµ = p p = hl > 0 . 4. M t thanh ng ch t có m t mút cách nhi t, còn m t mút gi nhi t không i u0 . Tìm phân b nhi t trong thanh bi t nhi t ban u u ( x,0 ) = ϕ ( x ) .  (2n + 1) 2 π 2 a 2 t  (2n + 1)πx , ∞ u ( x, t ) = u 0 + ∑ a n exp−  cos áp s : 2 2l 4l   n=0 (2n + 1)πx dx − (− 1)n 4u 0 . l 2 vi a n = ∫ ϕ ( x ) cos (2n + 1)π 2l l0 Hư ng d n: Tìm u(x,t) có d ng u(x,t) = u0 + v(x,t). 5. Tìm phân b nhi t trong m t thanh ng ch t, bi t nhi t ban u b ng không, nhi t t i mút x = l b ng không, còn nhi t t i mút x = 0 ư c cho b i u(0,t) = At. áp s : x  l 2 A  x   x  2l A ∞ 1 3 2  n 2π 2 a 2 t  2   x nπx u ( x, t ) = At 1 −  − 2   − 3  + 2  + 3 2 ∑ 2 exp − .  sin   2 l  6a  l   l  l  π a n =1 n l   l   Hư ng d n: Tìm u(x,t) dư i d ng u(x,t) = u1(x,t) + u2(x,t) , trong ó u1(x,t) tho mãn phương trình truy n nhi t, tho mãn i u ki n u1(0,t) = At , u1(l,t) = 0. 6. Cũng bài toán như bài 5, nhưng u(0,t) = 4Asinωt.  n 2π 2 a 2 t  2ωA ∞ a n  x nπ x ∑ n exp − l 2  sin l , u ( x, t ) = A1 −  sin ωt − áp s :    l π n =1   5 Ngày 21-02-2012 Trang Bài t p Phương pháp Toán Lý
  6. 2 l  nπa  a n = ∫ exp trong ó  τ cos ωτ dτ . l 0 7. Tìm nghi m c a phương trình: ∂u ∂ 2 u = ∂t ∂x 2 tho mãn các i u ki n: x u (0, t ) = 0 , u (l , t ) = Ae −t , u ( x,0 ) = A . l (− 1)n  n 2π 2 t  Ax − t 2 Al 2 ∞ nπ x ∑ n(n 2π 2 − l 2 )  l u ( x, t ) = exp − 2 − t  sin áp s : e+  π l l   n =1 8. M t t m ng ch t hình ch nh t 0 ≤ x ≤ p , 0 ≤ y ≤ q có mép ư c gi nhi t không. Tìm phân b nhi t trong t m th i i m t > 0 , n u nhi t lúc t = 0 ư c cho b i u (x, y,0) = ϕ ( x, y ) .    m2 n2 ∞ nπy mπx ∑ , u ( x, y , t ) = Amn exp− π 2  2 + 2 t  sin sin áp s : p  p q   q  n , m =1 pq 4 nπy mπx trong ó ∫ ∫ ϕ (x, y )sin p sin q dxdy . = Amn pq 0 0 9. Tìm hàm i u hoà trong mi n hình ch nh t D = {0 ≤ x ≤ l ; 0 ≤ y ≤ m} tho mãn i u ki n biên sau: u (0, y ) = Ay (m − y ) , u (l , y ) = 0 , u (x,0 ) = 0 , u ( x, m ) = 0 . 10. Tìm hàm i u hoà trong mi n hình ch nh t D = {0 ≤ x ≤ l ; 0 ≤ y ≤ m} tho mãn i u ki n biên sau: πx u (0, y ) = 0 , u (l , y ) = 0 , u (x,0 ) = B sin , u ( x, m ) = 0 . l 11. Tìm nghi m c a phương trình Laplace trong mi n hình ch nh t D = {0 ≤ x ≤ l ; 0 ≤ y ≤ m} tho mãn i u ki n biên sau: πx u (0, y ) = Ay (m − y ) , u (l , y ) = 0 , u ( x,0 ) = B sin , u ( x, m ) = 0 . l 12. Tìm hàm i u hoà trong mi n hình ch nh t D = {0 ≤ x ≤ l ; 0 ≤ y ≤ m} tho mãn i u ki n biên sau: 6 Ngày 21-02-2012 Trang Bài t p Phương pháp Toán Lý
  7. ∂u ( x,0) ∂u ( x, m ) u (0, y ) = A , u (l , y ) = Ay , =0 , =0. ∂y ∂y 13.Tìm mi n hypebolic, parabolic và eliptic c a phương trình: 1 u" xx − yu" yy + u' y = 0 . 2y ưa phương trình v d ng chính t c trong mi n hypebolic. 14. ưa phương trình sau v d ng chính t c: u" xx +(1 + y )u" yy +u ' x = 0 . 15. ưa phương trình sau v d ng chính t c: u' x + u' y = 0 . u" xx + y 2 u" yy + y2 12. Tính tích phân: ∫∫ (x cos(n, x ) + y cos(n, y ) + z cos(n, z ))dS S trong ó S là m t (elipxoit : x2 y2 z2 =1 ) + + a2 b2 c2 r là pháp tuy n ngoài i v i S. n 13.Tìm mô men quán tính c a m t ch m c u ng ch t có phương trình x 2 + y 2 + z 2 = R 2 b c t b i m t ph ng z = H ( ch m phía trên ) i v i tr c 0z . Bi t t kh i m t không i và b ng ơn v . R2 2 14.Tìm to tr ng tâm c a ph n m t nón x 2 + y 2 = z b c t b i m t ph ng H2 z = H . Bi t t kh i m t không i và b ng ơn v . 7 Ngày 21-02-2012 Trang Bài t p Phương pháp Toán Lý
Đồng bộ tài khoản