Bài tập phương trình lượng giác (có đáp án)

Chia sẻ: Blog 12h | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:9

3
2.097
lượt xem
574
download

Bài tập phương trình lượng giác (có đáp án)

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo bài tập phương trình lượng giác 12 có đáp án dành cho học sinh ôn thi đại học, cao đẳng

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài tập phương trình lượng giác (có đáp án)

  1. BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC  Giải phương trình: 3π  π   1) 2 2 cos 2 x + sin 2 x cos  x + ÷− 4sin  x + ÷ = 0 .  4  4 π 3π HD: (sin x + cos x) [ 4(cos x − sin x) − sin 2 x − 4 ] = 0 ⇔ x = − + kπ ; x = k 2π ; x = + k 2π 4 2 2) sin 2 3 x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x kπ  x = 2 HD: sin 2 3 x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x ⇔ cos x(cos 7 x − cos11x) = 0 ⇔  kπ x =  9 π 3π   π 2 x  2 3) 4sin  π − ÷− 3 sin  − 2 x ÷ = 1 + 2cos  x − ÷ với x ∈  0; ÷  2  2 2   4 5π 2π   x = 18 + k 3 (k ∈ Z ) (a ) π π  π 5π    HD: sin  2 x − ÷ = sin  − x ÷ ⇔  Vì x ∈  0; ÷ nên x = . 5π 2   2  3 18 x = + l 2π (l ∈ Z ) (b)  6 1 1 4) sin 2 x + sin x − − = 2cot 2 x 2sin x sin 2 x − cos 2 2 x − cos x cos 2 x = 2cos 2 x π π ⇔ cos2x = 0 ⇔ x = + k HD: Ta có  sin 2 x ≠ 0 4 2 3sin 2 x − 2sin x =2 5) sin 2 x.cos x 2(1 − cos x)sin x(2cos x − 1) = 0 π ⇔ 2cosx – 1 = 0 ⇔ x = ± + k 2π HD:  sin x ≠ 0, cos x ≠ 0 3 6) cos 2 x + 5 = 2(2 − cos x)(sin x − cos x) π HD: (cos x − sin x) 2 − 4(cos x − sin x) − 5 = 0 ⇔ x = + k 2π ∨ x = π + k 2π 2 1 + log 1 x ≥ 0 7) Tìm các nghiệm thực của phương trình sau thoả mãn : 3 sin x.tan 2 x + 3(sin x − 3 tan 2 x) = 3 3 π π HD: (sin x − 3)(tan 2 x + 3) = 0 ⇔ x = − + k ; k ∈ Z 6 2 π 5π Kết hợp với điều kiện ta được k = 1; 2 nên x = ; x = 3 6 2+3 2 8) cos3 x cos3 x − sin 3 x sin 3 x = 8 π π 2 ⇔ x=± + k HD: cos 4 x = 16 2 2 9) 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 1 “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
  2. BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC π HD: (1– sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0 ⇔ 1– sinx = 0 ⇔ x = + k 2π 2 10) Tìm nghiệm của phương trình: cos x + cos x + sin x = 2 thoả mãn : x − 1 < 3 2 3 HD: (cos x − 1)(cos x − sin x − sin x.cos x + 2) = 0 ⇔ x = k 2π . Vì x − 1 < 3 ⇔ −2 < x < 4 nên nghiệm là: x = 0 (sin 2 x − sin x + 4) cos x − 2 =0 11) 2sin x + 3 (2cos x − 1)(sin x cos x + 2) = 0 π  HD: ⇔  ⇔ x = + k 2π 2sin x + 3 ≠ 0 3  12) sin x − cos x + 4sin 2 x = 1 π HD: Đặt t = sin x − cos x , t ≥ 0 . PT ⇔ 4t 2 − t − 3 = 0 ⇔ x = k . 2 3sin 2 x − 2sin x =2 13) sin 2 x.cos x π 2(1 − cosx )(sin2 x − sin x ) = 0 ⇔ x = ± + k 2π HD:  sin x ≠ 0, cosx ≠ 0 3 1 3x 7 14) 4 cos 4 x − cos 2 x − cos 4 x + cos = 2 42  x = kπ cos 2 x = 1   3x m8π (k ; m ∈ ¢ ) ⇔ x = 8nπ HD: cos2x + cos = 2 ⇔  ⇔ 3x x = 3 cos 4 = 1 4   cos x. ( cos x − 1) 2 = 2 ( 1 + sin x ) 15) sin x + cos x π HD: ĐK: sin x ≠ − cos x ⇔ x ≠ − + mπ 4 Pt tương đương (1 + sin x)(1 − sin x)(cos x − 1) = 2(1 + sin x)(sin x + cos x) π  1 + sin x = 0 1 + sin x = 0 x = − + k 2π ⇔ ⇔ ⇔ (nhận) 2 ( 1 + sin x ) ( cos x + 1) = 0  x = π + k 2π sin x + cos x + sin x cos x + 1 = 0    2π x x x2 16) 1 + sin sin x − cos sin x = 2cos  − ÷  4 2 2 2  x = kπ  x  x 2x ⇔ x = kπ HD: PT ⇔ sin x  sin − 1÷ 2sin + 2sin + 1÷ = 0 ⇔   x = π + k 4π  2  2 2 sin 3 x.sin 3 x + cos 3 x cos3 x 1 =− π  π  17) 8 tan  x − ÷tan  x + ÷  6  3 π  π  π  π  HD: Điều kiện: sin  x − ÷sin  x + ÷cos  x − ÷cos  x + ÷ ≠ 0  6  3  6  3 π  π π  π    Ta có tan  x − ÷tan  x + ÷ = tan  x − ÷cot  − x ÷ = −1  6  3  6 6  GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 2 “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
  3. BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC 1 PT ⇔ sin 3 x.sin 3 x + cos3 x cos3 x = 8 1 − cos 2 x cos 2 x − cos 4 x 1 + cos 2 x cos 2 x + cos 4 x 1 ⇔ × + × = 2 2 2 2 8 π   x = 6 + kπ (l) 1 1 1 ⇔ 2(cos 2 x + cos 2 x cos 4 x) = ⇔ cos3 2 x = ⇔ cos 2 x = ⇔   x = − π + kπ 2 8 2   6 π Vậy phương trình có nghiệm x = − + kπ , (k ∈ Z) 6 18) sin 3 x.(1 + cot x) + cos3 x(1 + tan x) = 2sin 2 x kπ HD: ĐKXĐ: x ≠ sao cho sin 2 x ≥ 0 . 2 Khi đó, VT = sin 3 x + cos3 x + sin 2 x cos x + cos 2 x sin x = (sin x + cos x)(sin 2 x − sin x cos x + cos 2 x) + sin x cos x(sin x + cos x) = sin x + cos x sin x + cos x ≥ 0 PT ⇔ sin x + cos x = 2sin 2 x ⇔  (sin x + cos x) = 2sin 2 x (1) 2 π π (1) ⇔ 1 + sin 2 x = 2sin 2 x ⇔ sin 2 x = 1( > 0) ⇔ 2 x = + 2kπ ⇔ x = + kπ 2 4 π + 2 kπ Để thoả mãn điều kiện sin x + cos x ≥ 0 , các nghiệm chỉ có thể là: x = 4 π π   19) sin  3 x − ÷ = sin 2 x sin  x + ÷  4  4 HD: PT ⇔ sin 3 x − cos 3 x = sin 2 x(sin x + cos x) sin x + cos x = 0  tan x = −1 ⇔ (sinx + cosx)(sin2x − 1) = 0 ⇔  ⇔ sin 2 x − 1 = 0 sin 2 x = 1 π   x = − 4 + kπ π ⇔ x = ± + kπ ⇔  x = π + kπ 4   4 1 20) cos3 x − cos 2 x + cos x = 2 x HD: Nếu cos = 0 ⇔ x = π + k 2π , k ∈ Z , phương trình vô nghiệm. 2 x x • Nếu cos ≠ 0 ⇔ x ≠ π + k 2π , k ∈ Z , nhân hai vế phương trình cho 2cos ta được: 2 2 x x x x tích thành tông 7x 2cos cos3 x − 2cos cos 2 x + 2cos cos x = cos ¬  cos =0 → 2 2 2 2 2 π 2π ⇔ x= +k , k ∈ ¢ , đối chiếu điều kiện: k ≠ 3 + 7m, m∈Z . 7 7 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 3 “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
  4. BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC π  π  21) tan  x − ÷tan  x + ÷.sin 3 x = sin x + sin 2 x  6  3  π  π HD: Điều kiện: cos  x − ÷.cos  x + ÷ ≠ 0  6  3 π  π  sin  x − ÷sin  x + ÷  6  3 PT ⇒ sin 3 x = sin x + sin 2 x ⇒ – sin3x = sinx + sin2x π  π  cos  x − ÷cos  x + ÷  6  3 kπ  sin 2 x = 0 x = 2 ⇔ sin2x(2cosx + 1) = 0 ⇔  ⇔ cos x = − 1  x = ± 2π + k 2π  2   3 kπ  x = 2 Kết hợp điều kiện, nghiệm của phương trình là:   x = − 2π + 2kπ   3 21π  1 2  1 8 22) 2cos x + cos 2 ( x + 3π ) = + sin 2( x − π ) + 3cos  x + ÷+ sin x  2 3 3 3 1 − sin x = 0 HD: PT ⇔ (1 − sin x)(6cos x + sin x − 8) = 0 ⇔  ⇔ 1 − sin x = 0 6cos x + sin x − 8 = 0 1 1 23) sin 2 x + sin x − − = 2cot 2 x 2sin x sin 2 x HD: PT ⇔ − cos22x − cosxcos2x = 2cos2x và sin2x ≠ 0 π π π + kπ ⇔ x = + k ⇔ cos 2 x = 0 ∨ 2cos 2 x + cos x + 1 = 0(VN ) ⇔ cos2x = 0 ⇔ 2 x = 2 4 2 π  2 sin  − x ÷ 4  (1 + sin 2 x) = 1 + tan x 24) cos x π HD: Điều kiện cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ , k ∈ ¢ . 2 cos x − sin x cos x + sin x ( cos x + sin x ) = 2 ⇔ (cos x + sin x)(cos 2 x − 1) = 0 Ta có PT ⇔ cos x cos x π  cos x + sin x = 0 x = − + mπ ⇔ ⇔ ,m∈¢ . 4  cos 2 x − 1 = 0   x = mπ 25) tan 2 x − tan 2 x.sin 3 x + cos3 x − 1 = 0 π HD: ĐK: x ≠ = kπ . PT ⇔ tan 2 x(1 − sin 3 x) − (1 − cos3 x) = 0 2 (1 − cos x)(1 − sin x)(sin x − cos x)(sin x + cos x + sin x cos x) = 0 ⇔ GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 4 “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
  5. BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC π π π ⇔ x = k 2π ; x = + kπ ; x = + α + k 2π ; x = − α + k 2π 4 4 4 26) 2cos3 x + 3 sin x + cos x = 0 π π π kπ   HD: PT ⇔ cos  x − ÷= − cos3 x ⇔ cos  x − ÷= cos(π − 3 x) ⇔ x = +  3  3 32 sin x + cos x 1 6 6 = tan 2 x 27) cos 2 x − sin 2 x 4 π kπ HD: Điều kiện: cos 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠ + (k ∈ ¢ ) 42 3 1 PT ⇒ 1 − sin 2 2 x = sin 2 x ⇒ 3sin22x + sin2x – 4 = 0 4 4 π ⇒ sin2x = 1 ⇒ x = + kπ ( không thoả). Vậy phương trình vô nghiệm 4 2 28) cos3 x cos3 x + sin 3 x sin 3 x == 4 π π 2 HD: cos 4 x = ⇔ x = ± + k ,k ∈ Z 2 16 2 29) cot x + 3 + tan x + 2cot 2 x = 3 π HD: Điều kiện: sin x cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ k . 2 cos x − sin x 2 2 cos 2 x Ta có: 2cot 2 x = 2 =2 = cot x − tan x . sin 2 x 2sin x cos x cot x ≤ 3 π ⇔ cot x = 1 ⇔ x = + kπ , k ∈ ¢ PT ⇔ 3 + cot x = 3 − cot x ⇔  cot x − 7 cot x + 6 = 0 2 4 π  30) 2cos 2  − 3 x ÷− 4cos 4 x − 15sin 2 x = 21 4  π + kπ HD: PT ⇔ sin 3 2x − 2sin 2 2x + 3sin 2x + 6 = 0 ⇔ sin 2 x = −1 ⇔ x = − 4 1 31) (1 − 4sin 2 x) sin 3 x = 2 HD: Nhận xét: cosx = 0 không phải là nghiệm của PT. Nhân 2 vế của PT với cosx, ta được: PT ⇔ 2sin 3 x(4cos 3 x − 3cos x) = cos x ⇔ 2 sin 3 x.cos3 x = cos x π  ⇔ sin 6x = sin  − x÷ 2  π k 2π π k 2π ⇔x= + ∨ x= + 14 7 10 5 1 32) sin x + sin 2 x = 1 + cos x + cos 2 x 2 π HD: PT ⇔ (sin x − 1)(sin x + cos x + 2) = 0 ⇔ sin x = 1 ⇔ x = + k 2π . 2 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 5 “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
  6. BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC 3sin x + 3tan x − 2cos x = 2 33) tan x − sin x { cos x ≠ 0 2π 1 HD: Điều kiện: sin x ≠ 0 . PT ⇔ cos x = − ⇔ x = ± + k 2π . 3 2 2(cos x − sin x) 1 = 34) tan x + cot 2 x cot x − 1 sin x ≠ 0 π  2 HD: Điều kiện: cos x ≠ 0 . PT ⇔ cos x = ⇔ x = − + k 2π . 4 2 cot x ≠ 1  x π π  3x π  π   35) cos  − ÷+ cos  − x ÷+ cos  − ÷+ sin  2 x − ÷ = 0  2 2 2 6 3   6 x π x π x π x π xπ HD: PT ⇔ cos  − ÷+ cos 2  − ÷+ cos3  − ÷+ cos 4  − ÷ = 0 Đặt t = − , 2 6 2 6 2 6 2 6 26  t cos 2 = 0 t 5t = 0 ⇔ cos t = 0 ⇔ PT trở thành: cos t + cos 2t + cos3t + cos 4t = 0 ⇔ 4cos .cos t.cos  2 2 cos 5t = 0   2 t = (2m + 1 π ) π t = + lπ 2  π 2kπ t = +   5 5 π • Với t = (2m + 1)π ⇒ x = + (4m + 2)π 3 π 4π • Với t = + lπ + 2lπ ⇒x= 2 3 π 2kπ 11π 4kπ • Với t = + ⇒x= + 5 5 15 5 36) 2 − 3 cos 2 x + sin 2 x = 4cos 2 3 x 5π π  x = +k  5π −3  1 − 2 x ÷ = cos 6 x ⇔  48π 4π cos 2 x + sin 2 x = cos 6 x ⇔ cos  HD: PT ⇔ 5 6  2 2 x = − +l  24 2 (1 − 2sin x) cos x =3 37) (1 + 2sin x)(1 − sin x) π   x ≠ − 6 + m 2π { 1 + 2sin x ≠ 0  7π  + n 2π HD: Điều kiện: 1 − sin x ≠ 0 ⇔  x ≠ 6   x ≠ π + p 2π   2 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 6 “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
  7. BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC cos x − 2sin x.cos x = 3 ⇔ cos x − sin 2 x = 3(sin x + cos 2 x) PT ⇔ 1 − sin x + 2sin x − 2sin 2 x π π   3 1 1 3 sin x ⇔ cos  2 x − ÷ = cos  x + ÷ cos 2 x + sin 2 x = cos x − ⇔  6  3 2 2 2 2  π  x = 2 + k 2π (loaï ) i π 2π . Vậy PT có nghiệm: x = − +k ⇔ .  x = − π + k 2π 18 3 (nhaä )n  18 3 π  38) 2 sin  2 x + ÷ = 3sin x + cos x + 2  4 HD: PT ⇔ ( sin x + cos x + 1) ( 2cos x − 3) = 0 π  x = − + k 2π π  1 ⇔ ⇔ sin x + cos x = −1 ⇔ sin  x + ÷ = − 2 .   4 2  x = π + k 2π π KL: nghiệm PT là x = − + k 2π ; x = π + k 2π . 2 π  39) 2sin  2 x + ÷+ 4sin x = 1  6 HD: PT ⇔ 3 sin 2 x + cos 2 x + 4sin x − 1 = 0 ⇔ 2 3 sin x cos x − 2sin 2 x + 4sin x = 0 . π  ( ) sin  x − 3 ÷ = 1 sin x − 3 cos x = 2 ⇔ 2 3 cos x − sin x + 2 sin x = 0 ⇔  ⇔   sin x = 0 x = kπ  5π  + k 2π x= ⇔ 6  x = kπ  40) cos3 x + sin 2 x = 3 ( sin 3 x + cos 2 x ) HD: PT ⇔ cos 3 x − 3 sin 3 x = 3 cos 2 x + sin 2 x 1 3 3 1 ⇔ cos 3 x − sin 3 x = cos 2 x + sin 2 x 2 2 2 2 π  x = − + k 2π π  π   6 ⇔ cos  3 x + ÷ = cos  2 x − ÷ ⇔   x = − π + k 2π  3  6   10 5 4cos 2 2 x π π   41) tan  2 x − ÷.tan  2 x + ÷ = 4  tan x − cot x  4  GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 7 “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
  8. BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC π π   cos  2 x − ÷ ≠ 0; cos  2 x + ÷ ≠ 0 ( *) HD: Điều kiện   4  4 sin 2 x ≠ 0; tan x − cot x ≠ 0  Để ý rằng: π π π π π π       tan  2 x − ÷.tan  2 x + ÷ = − tan  − 2 x ÷.tan  2 x + ÷ = − cot  2 x + ÷.tan  2 x + ÷ = −1  4  4 4   4  4  4 4cos 2 2 x ⇔ cot x − tan x = 4cos 2 2 x Khi đó PT trở thành: −1 = tan x − cot x 2 1 − tan x 1 2 4 ⇔ ( tan 2 x − 1) = 0 2 ⇔ =4 ⇔ = 2 2 1 + tan 2 x tan 2 x 1 + tan 2 x tan x π π π ⇔ tan 2 x = 1 ⇔ 2 x = + mπ ⇔ x = + k ( k ∈ Z) : Không thoả điều kiện (*). Vậy 4 8 2 phương trình đã cho vô nghiệm. 42) 2sin 2 x + 3 sin 2 x + 1 = 3 sin x + cos x HD: PT ⇔ ( 3 sin x + cos x ) = 3 sin x + cos x ⇔ ( 3 sin x + cos x ) ( 3 sin x + cos x − 1) = 0 2  π 3   tan x = − x = − + kπ   3 sin x + cos x = 0 3 6 ⇔ ⇔ ⇔  x = k 2π ; x = 2π + k 2π π π   3 sin x + cos x − 1 = 0  sin  x + 6 ÷ = sin 6   3   cos x + cos x − 1 2 3 43) cos 2 x − tan 2 x = cos 2 x HD: Điều kiện: cos x ≠ 0 . PT ⇔ cos 2 x − tan x = 1 + cos x − (1 + tan x) ⇔ 2cos x − cos x − 1 = 0 2 2 2  x = k 2π cos x = 1 1⇔ ⇔ 2π (thoả đk) + k 2π x = ± cos x = −   3 2 π  5π   44) 5cos  2 x + ÷ = 4sin  − x ÷– 9  3 6  π π π π    HD: PT ⇔ 10sin 2  x + ÷+ 4sin  x + ÷− 14 = 0 ⇔ sin  x + ÷ = 1 ⇔ x = + k 2π .  6  6  6 3 sin x + cos x + 2 tan 2 x + cos 2 x = 0 45) sin x − cos x HD: Điều kiện: cos 2 x ≠ 0 . PT ⇔ −(sin x + cos x) 2 + 2sin 2 x + cos 2 2 x = 0 ⇔ sin 2 2 x − sin 2 x = 0 π sin 2 x = 0 ⇔ sin 2 x = 1 (loaïi ) ⇔ x = k .  2 π  46) 2sin 2  x − ÷ = 2sin 2 x − tan x  4 π HD: Điều kiện: cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ + k .π (*). 2 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 8 “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
  9. BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC π sin 2 x = 1  2 PT ⇔ 1 − cos  2 x − ÷ = 2sin x − tan x ⇔ 1– sin 2 x = tan x(sin 2 x –1) ⇔   tan x = −1  2 π π    2 x = 2 + k .2π  x = 4 + k .π π π ⇔ x = + k . . (Thỏa mãn điều kiện (*) ). ⇔ ⇔ π π 4 2  x = − + l.π  x = − + l.π   4 4  5π  − x ÷sin x = 1 47) 2 2 cos   12  5π  5π   5π  5π π  1 HD: PT ⇔ 2 sin  2 x − ÷+ sin  = 1 ⇔ sin  2 x − 12 ÷+ sin 12 = 2 = sin 4    12  12  5π  π 5π π  π  π  ⇔ sin  2 x − ÷ = sin − sin = 2 cos sin  − ÷ = sin  − ÷  12   12   12  4 12 3 π 5π π   x = + kπ = − + k 2π 2x −   5π   π  6 ( k ∈¢ ) 12 12 ⇔ sin  2 x − ÷ = sin  − ÷ ⇔  ⇔ 5π 13π 3π  12   12  x = 2 x − + k 2π + kπ =   12 12 4 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 9 “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản