Bài tập phương trình lượng giác (có đáp án)

Chia sẻ: xinccv_vnb

Tài liệu tham khảo bài tập phương trình lượng giác 12 có đáp án dành cho học sinh ôn thi đại học, cao đẳng

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Bài tập phương trình lượng giác (có đáp án)

BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC

 Giải phương trình:
3π  π
 
1) 2 2 cos 2 x + sin 2 x cos  x + ÷− 4sin  x + ÷ = 0 .
 4  4
π 3π
HD: (sin x + cos x) [ 4(cos x − sin x) − sin 2 x − 4 ] = 0 ⇔ x = − + kπ ; x = k 2π ; x = + k 2π
4 2
2) sin 2 3 x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x


x = 2
HD: sin 2 3 x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x ⇔ cos x(cos 7 x − cos11x) = 0 ⇔  kπ
x =
 9
π 3π   π
2 x  2
3) 4sin  π − ÷− 3 sin  − 2 x ÷ = 1 + 2cos  x − ÷ với x ∈  0; ÷
 2
 2 2   4
5π 2π

 x = 18 + k 3 (k ∈ Z ) (a )
π π  π 5π
  
HD: sin  2 x − ÷ = sin  − x ÷ ⇔  Vì x ∈  0; ÷ nên x = .

2   2
 3 18
x = + l 2π (l ∈ Z ) (b)
 6

1 1
4) sin 2 x + sin x − − = 2cot 2 x
2sin x sin 2 x
− cos 2 2 x − cos x cos 2 x = 2cos 2 x π π
⇔ cos2x = 0 ⇔ x = + k
HD: Ta có 
sin 2 x ≠ 0 4 2
3sin 2 x − 2sin x
=2
5)
sin 2 x.cos x
2(1 − cos x)sin x(2cos x − 1) = 0 π
⇔ 2cosx – 1 = 0 ⇔ x = ± + k 2π
HD: 
sin x ≠ 0, cos x ≠ 0 3
6) cos 2 x + 5 = 2(2 − cos x)(sin x − cos x)
π
HD: (cos x − sin x) 2 − 4(cos x − sin x) − 5 = 0 ⇔ x = + k 2π ∨ x = π + k 2π
2
1 + log 1 x ≥ 0
7) Tìm các nghiệm thực của phương trình sau thoả mãn :
3

sin x.tan 2 x + 3(sin x − 3 tan 2 x) = 3 3
π π
HD: (sin x − 3)(tan 2 x + 3) = 0 ⇔ x = − + k ; k ∈ Z
6 2
π 5π
Kết hợp với điều kiện ta được k = 1; 2 nên x = ; x =
3 6

2+3 2
8) cos3 x cos3 x − sin 3 x sin 3 x =
8
π π
2
⇔ x=± + k
HD: cos 4 x =
16 2
2
9) 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8

GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 1 “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười
biếng”
BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC
π
HD: (1– sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0 ⇔ 1– sinx = 0 ⇔ x = + k 2π
2
10) Tìm nghiệm của phương trình: cos x + cos x + sin x = 2 thoả mãn : x − 1 < 3
2 3


HD: (cos x − 1)(cos x − sin x − sin x.cos x + 2) = 0 ⇔ x = k 2π . Vì x − 1 < 3 ⇔ −2 < x < 4
nên nghiệm là: x = 0
(sin 2 x − sin x + 4) cos x − 2
=0
11)
2sin x + 3
(2cos x − 1)(sin x cos x + 2) = 0 π

HD: ⇔  ⇔ x = + k 2π
2sin x + 3 ≠ 0 3

12) sin x − cos x + 4sin 2 x = 1
π
HD: Đặt t = sin x − cos x , t ≥ 0 . PT ⇔ 4t 2 − t − 3 = 0 ⇔ x = k .
2
3sin 2 x − 2sin x
=2
13)
sin 2 x.cos x
π
2(1 − cosx )(sin2 x − sin x ) = 0
⇔ x = ± + k 2π
HD: 
sin x ≠ 0, cosx ≠ 0 3
1 3x 7
14) 4 cos 4 x − cos 2 x − cos 4 x + cos =
2 42
 x = kπ
cos 2 x = 1
 
3x
m8π (k ; m ∈ ¢ ) ⇔ x = 8nπ
HD: cos2x + cos = 2 ⇔  ⇔
3x
x = 3
cos 4 = 1
4
 
cos x. ( cos x − 1)
2

= 2 ( 1 + sin x )
15)
sin x + cos x
π
HD: ĐK: sin x ≠ − cos x ⇔ x ≠ − + mπ
4
Pt tương đương (1 + sin x)(1 − sin x)(cos x − 1) = 2(1 + sin x)(sin x + cos x)
π

1 + sin x = 0
1 + sin x = 0 x = − + k 2π
⇔
⇔ ⇔ (nhận)
2
( 1 + sin x ) ( cos x + 1) = 0  x = π + k 2π
sin x + cos x + sin x cos x + 1 = 0
  
2π x
x x2
16) 1 + sin sin x − cos sin x = 2cos  − ÷
 4 2
2 2
 x = kπ
 x  x
2x
⇔ x = kπ
HD: PT ⇔ sin x  sin − 1÷ 2sin + 2sin + 1÷ = 0 ⇔ 
 x = π + k 4π
 2  2
2
sin 3 x.sin 3 x + cos 3 x cos3 x 1
=−
π  π

17) 8
tan  x − ÷tan  x + ÷
 6  3
π  π  π  π

HD: Điều kiện: sin  x − ÷sin  x + ÷cos  x − ÷cos  x + ÷ ≠ 0
 6  3  6  3
π  π π  π
  
Ta có tan  x − ÷tan  x + ÷ = tan  x − ÷cot  − x ÷ = −1
 6  3  6 6 
GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 2 “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười
biếng”
BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC
1
PT ⇔ sin 3 x.sin 3 x + cos3 x cos3 x =
8
1 − cos 2 x cos 2 x − cos 4 x 1 + cos 2 x cos 2 x + cos 4 x 1
⇔ × + × =
2 2 2 2 8
π

 x = 6 + kπ (l)
1 1 1
⇔ 2(cos 2 x + cos 2 x cos 4 x) = ⇔ cos3 2 x = ⇔ cos 2 x = ⇔ 
 x = − π + kπ
2 8 2

 6
π
Vậy phương trình có nghiệm x = − + kπ , (k ∈ Z)
6

18) sin 3 x.(1 + cot x) + cos3 x(1 + tan x) = 2sin 2 x

HD: ĐKXĐ: x ≠ sao cho sin 2 x ≥ 0 .
2
Khi đó, VT = sin 3 x + cos3 x + sin 2 x cos x + cos 2 x sin x
= (sin x + cos x)(sin 2 x − sin x cos x + cos 2 x) + sin x cos x(sin x + cos x) = sin x + cos x
sin x + cos x ≥ 0
PT ⇔ sin x + cos x = 2sin 2 x ⇔ 
(sin x + cos x) = 2sin 2 x (1)
2


π π
(1) ⇔ 1 + sin 2 x = 2sin 2 x ⇔ sin 2 x = 1( > 0) ⇔ 2 x = + 2kπ ⇔ x = + kπ
2 4
π
+ 2 kπ
Để thoả mãn điều kiện sin x + cos x ≥ 0 , các nghiệm chỉ có thể là: x =
4
π π
 
19) sin  3 x − ÷ = sin 2 x sin  x + ÷
 4  4
HD: PT ⇔ sin 3 x − cos 3 x = sin 2 x(sin x + cos x)
sin x + cos x = 0  tan x = −1
⇔ (sinx + cosx)(sin2x − 1) = 0 ⇔  ⇔
sin 2 x − 1 = 0 sin 2 x = 1
π

 x = − 4 + kπ π
⇔ x = ± + kπ
⇔
 x = π + kπ 4

 4
1
20) cos3 x − cos 2 x + cos x =
2
x
HD: Nếu cos = 0 ⇔ x = π + k 2π , k ∈ Z , phương trình vô nghiệm.
2
x x
• Nếu cos ≠ 0 ⇔ x ≠ π + k 2π , k ∈ Z , nhân hai vế phương trình cho 2cos ta được:
2 2
x x x x tích thành tông 7x
2cos cos3 x − 2cos cos 2 x + 2cos cos x = cos ¬  cos =0

2 2 2 2 2
π 2π
⇔ x= +k , k ∈ ¢ , đối chiếu điều kiện: k ≠ 3 + 7m, m∈Z .
7 7
GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 3 “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười
biếng”
BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC

π  π

21) tan  x − ÷tan  x + ÷.sin 3 x = sin x + sin 2 x
 6  3
 π  π
HD: Điều kiện: cos  x − ÷.cos  x + ÷ ≠ 0
 6  3
π  π

sin  x − ÷sin  x + ÷
 6  3
PT ⇒ sin 3 x = sin x + sin 2 x ⇒ – sin3x = sinx + sin2x
π  π

cos  x − ÷cos  x + ÷
 6  3


sin 2 x = 0 x = 2
⇔ sin2x(2cosx + 1) = 0 ⇔  ⇔
cos x = − 1  x = ± 2π + k 2π
 2 
 3


x = 2
Kết hợp điều kiện, nghiệm của phương trình là: 
 x = − 2π + 2kπ

 3
21π  1 2

1 8
22) 2cos x + cos 2 ( x + 3π ) = + sin 2( x − π ) + 3cos  x + ÷+ sin x
 2 3
3 3
1 − sin x = 0
HD: PT ⇔ (1 − sin x)(6cos x + sin x − 8) = 0 ⇔  ⇔ 1 − sin x = 0
6cos x + sin x − 8 = 0
1 1
23) sin 2 x + sin x − − = 2cot 2 x
2sin x sin 2 x
HD: PT ⇔ − cos22x − cosxcos2x = 2cos2x và sin2x ≠ 0
π π π
+ kπ ⇔ x = + k
⇔ cos 2 x = 0 ∨ 2cos 2 x + cos x + 1 = 0(VN ) ⇔ cos2x = 0 ⇔ 2 x =
2 4 2
π 
2 sin  − x ÷
4  (1 + sin 2 x) = 1 + tan x
24)
cos x
π
HD: Điều kiện cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ , k ∈ ¢ .
2
cos x − sin x cos x + sin x
( cos x + sin x ) =
2
⇔ (cos x + sin x)(cos 2 x − 1) = 0
Ta có PT ⇔
cos x cos x
π

cos x + sin x = 0 x = − + mπ
⇔
⇔ ,m∈¢ .
4

cos 2 x − 1 = 0

 x = mπ
25) tan 2 x − tan 2 x.sin 3 x + cos3 x − 1 = 0
π
HD: ĐK: x ≠ = kπ . PT ⇔ tan 2 x(1 − sin 3 x) − (1 − cos3 x) = 0
2
(1 − cos x)(1 − sin x)(sin x − cos x)(sin x + cos x + sin x cos x) = 0



GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 4 “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười
biếng”
BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC
π π π
⇔ x = k 2π ; x = + kπ ; x = + α + k 2π ; x = − α + k 2π
4 4 4
26) 2cos3 x + 3 sin x + cos x = 0
π π π kπ
 
HD: PT ⇔ cos  x − ÷= − cos3 x ⇔ cos  x − ÷= cos(π − 3 x) ⇔ x = +
 3  3 32
sin x + cos x 1
6 6
= tan 2 x
27)
cos 2 x − sin 2 x 4
π kπ
HD: Điều kiện: cos 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠ + (k ∈ ¢ )
42
3 1
PT ⇒ 1 − sin 2 2 x = sin 2 x ⇒ 3sin22x + sin2x – 4 = 0
4 4
π
⇒ sin2x = 1 ⇒ x = + kπ ( không thoả). Vậy phương trình vô nghiệm
4
2
28) cos3 x cos3 x + sin 3 x sin 3 x ==
4
π π
2
HD: cos 4 x = ⇔ x = ± + k ,k ∈ Z
2 16 2
29) cot x + 3 + tan x + 2cot 2 x = 3
π
HD: Điều kiện: sin x cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ k .
2
cos x − sin x
2 2
cos 2 x
Ta có: 2cot 2 x = 2 =2 = cot x − tan x .
sin 2 x 2sin x cos x
cot x ≤ 3 π
⇔ cot x = 1 ⇔ x = + kπ , k ∈ ¢
PT ⇔ 3 + cot x = 3 − cot x ⇔ 
cot x − 7 cot x + 6 = 0
2
4
π 
30) 2cos 2  − 3 x ÷− 4cos 4 x − 15sin 2 x = 21
4 
π
+ kπ
HD: PT ⇔ sin 3 2x − 2sin 2 2x + 3sin 2x + 6 = 0 ⇔ sin 2 x = −1 ⇔ x = −
4
1
31) (1 − 4sin 2 x) sin 3 x =
2
HD: Nhận xét: cosx = 0 không phải là nghiệm của PT. Nhân 2 vế của PT với cosx, ta được:
PT ⇔ 2sin 3 x(4cos 3 x − 3cos x) = cos x ⇔ 2 sin 3 x.cos3 x = cos x
π 
⇔ sin 6x = sin  − x÷
2 
π k 2π π k 2π
⇔x= + ∨ x= +
14 7 10 5
1
32) sin x + sin 2 x = 1 + cos x + cos 2 x
2
π
HD: PT ⇔ (sin x − 1)(sin x + cos x + 2) = 0 ⇔ sin x = 1 ⇔ x = + k 2π .
2


GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 5 “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười
biếng”
BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC
3sin x + 3tan x
− 2cos x = 2
33)
tan x − sin x

{
cos x ≠ 0 2π
1
HD: Điều kiện: sin x ≠ 0 . PT ⇔ cos x = − ⇔ x = ± + k 2π .
3
2
2(cos x − sin x)
1
=
34)
tan x + cot 2 x cot x − 1
sin x ≠ 0
π
 2
HD: Điều kiện: cos x ≠ 0 . PT ⇔ cos x = ⇔ x = − + k 2π .
4
2
cot x ≠ 1

x π π  3x π  π
 
35) cos  − ÷+ cos  − x ÷+ cos  − ÷+ sin  2 x − ÷ = 0
 2 2
2 6 3   6
x π x π x π x π xπ
HD: PT ⇔ cos  − ÷+ cos 2  − ÷+ cos3  − ÷+ cos 4  − ÷ = 0 Đặt t = − ,
2 6 2 6 2 6 2 6 26
 t
cos 2 = 0
t 5t
= 0 ⇔ cos t = 0 ⇔
PT trở thành: cos t + cos 2t + cos3t + cos 4t = 0 ⇔ 4cos .cos t.cos

2 2
cos 5t = 0

 2
t = (2m + 1 π )
π
t = + lπ
2

π 2kπ
t = +

 5 5
π
• Với t = (2m + 1)π ⇒ x = + (4m + 2)π
3
π 4π
• Với t = + lπ + 2lπ
⇒x=
2 3
π 2kπ 11π 4kπ
• Với t = + ⇒x= +
5 5 15 5
36) 2 − 3 cos 2 x + sin 2 x = 4cos 2 3 x
5π π

x = +k
 5π
−3 
1
− 2 x ÷ = cos 6 x ⇔  48π 4π
cos 2 x + sin 2 x = cos 6 x ⇔ cos 
HD: PT ⇔ 5
6 
2 2 x = − +l
 24 2
(1 − 2sin x) cos x
=3
37)
(1 + 2sin x)(1 − sin x)
π

 x ≠ − 6 + m 2π

{
1 + 2sin x ≠ 0  7π

+ n 2π
HD: Điều kiện: 1 − sin x ≠ 0 ⇔  x ≠
6

 x ≠ π + p 2π

 2

GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 6 “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười
biếng”
BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC
cos x − 2sin x.cos x
= 3 ⇔ cos x − sin 2 x = 3(sin x + cos 2 x)
PT ⇔
1 − sin x + 2sin x − 2sin 2 x
π π
 
3 1 1 3
sin x ⇔ cos  2 x − ÷ = cos  x + ÷
cos 2 x + sin 2 x = cos x −

 6  3
2 2 2 2
 π
 x = 2 + k 2π (loaï )
i
π 2π
. Vậy PT có nghiệm: x = − +k
⇔ .
 x = − π + k 2π 18 3
(nhaä )n
 18 3

π

38) 2 sin  2 x + ÷ = 3sin x + cos x + 2
 4
HD: PT ⇔ ( sin x + cos x + 1) ( 2cos x − 3) = 0
π

x = − + k 2π
π
 1
⇔
⇔ sin x + cos x = −1 ⇔ sin  x + ÷ = − 2 .

 4 2
 x = π + k 2π
π
KL: nghiệm PT là x = − + k 2π ; x = π + k 2π .
2

π

39) 2sin  2 x + ÷+ 4sin x = 1
 6
HD: PT ⇔ 3 sin 2 x + cos 2 x + 4sin x − 1 = 0 ⇔ 2 3 sin x cos x − 2sin 2 x + 4sin x = 0 .
π

( ) sin  x − 3 ÷ = 1
sin x − 3 cos x = 2
⇔ 2 3 cos x − sin x + 2 sin x = 0 ⇔  ⇔
 
sin x = 0 x = kπ



+ k 2π
x=
⇔ 6
 x = kπ

40) cos3 x + sin 2 x = 3 ( sin 3 x + cos 2 x )
HD: PT ⇔ cos 3 x − 3 sin 3 x = 3 cos 2 x + sin 2 x
1 3 3 1
⇔ cos 3 x − sin 3 x = cos 2 x + sin 2 x
2 2 2 2
π

x = − + k 2π
π 
π
  6
⇔ cos  3 x + ÷ = cos  2 x − ÷ ⇔ 
 x = − π + k 2π
 3  6

 10 5


4cos 2 2 x
π π
 
41) tan  2 x − ÷.tan  2 x + ÷ =
4  tan x − cot x
 4 


GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 7 “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười
biếng”
BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC
π π
 
cos  2 x − ÷ ≠ 0; cos  2 x + ÷ ≠ 0
( *)
HD: Điều kiện   4  4
sin 2 x ≠ 0; tan x − cot x ≠ 0

Để ý rằng:
π π π π π π
     
tan  2 x − ÷.tan  2 x + ÷ = − tan  − 2 x ÷.tan  2 x + ÷ = − cot  2 x + ÷.tan  2 x + ÷ = −1
 4  4 4   4  4  4
4cos 2 2 x
⇔ cot x − tan x = 4cos 2 2 x
Khi đó PT trở thành: −1 =
tan x − cot x
2
1 − tan x 1 2 4
⇔ ( tan 2 x − 1) = 0
2
⇔ =4 ⇔ =
2 2
1 + tan 2 x tan 2 x 1 + tan 2 x
tan x
π π π
⇔ tan 2 x = 1 ⇔ 2 x = + mπ ⇔ x = + k ( k ∈ Z) : Không thoả điều kiện (*). Vậy
4 8 2
phương trình đã cho vô nghiệm.
42) 2sin 2 x + 3 sin 2 x + 1 = 3 sin x + cos x
HD: PT ⇔ ( 3 sin x + cos x ) = 3 sin x + cos x ⇔ ( 3 sin x + cos x ) ( 3 sin x + cos x − 1) = 0
2



 π
3 
 tan x = − x = − + kπ

 3 sin x + cos x = 0 3 6
⇔ ⇔
⇔
 x = k 2π ; x = 2π + k 2π
π π

 3 sin x + cos x − 1 = 0

sin  x + 6 ÷ = sin 6 
 3
 
cos x + cos x − 1
2 3

43) cos 2 x − tan 2 x =
cos 2 x
HD: Điều kiện: cos x ≠ 0 .
PT ⇔ cos 2 x − tan x = 1 + cos x − (1 + tan x) ⇔ 2cos x − cos x − 1 = 0
2 2 2


 x = k 2π
cos x = 1
1⇔
⇔ 2π (thoả đk)
+ k 2π
x = ±
cos x = −
  3
2
π  5π
 
44) 5cos  2 x + ÷ = 4sin  − x ÷– 9
 3 6 
π π π π
  
HD: PT ⇔ 10sin 2  x + ÷+ 4sin  x + ÷− 14 = 0 ⇔ sin  x + ÷ = 1 ⇔ x = + k 2π .
 6  6  6 3
sin x + cos x
+ 2 tan 2 x + cos 2 x = 0
45)
sin x − cos x
HD: Điều kiện: cos 2 x ≠ 0 .
PT ⇔ −(sin x + cos x) 2 + 2sin 2 x + cos 2 2 x = 0 ⇔ sin 2 2 x − sin 2 x = 0
π
sin 2 x = 0
⇔ sin 2 x = 1 (loaïi ) ⇔ x = k .
 2
π

46) 2sin 2  x − ÷ = 2sin 2 x − tan x
 4
π
HD: Điều kiện: cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ + k .π (*).
2

GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 8 “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười
biếng”
BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC
π sin 2 x = 1
 2
PT ⇔ 1 − cos  2 x − ÷ = 2sin x − tan x ⇔ 1– sin 2 x = tan x(sin 2 x –1) ⇔ 
 tan x = −1
 2
π π
 
 2 x = 2 + k .2π  x = 4 + k .π π π
⇔ x = + k . . (Thỏa mãn điều kiện (*) ).
⇔ ⇔
π π 4 2
 x = − + l.π  x = − + l.π
 
4 4

 5π 
− x ÷sin x = 1
47) 2 2 cos 
 12 
5π  5π 
 5π  5π π
 1
HD: PT ⇔ 2 sin  2 x − ÷+ sin  = 1 ⇔ sin  2 x − 12 ÷+ sin 12 = 2 = sin 4
 
 12  12 
5π  π 5π π  π  π

⇔ sin  2 x − ÷ = sin − sin = 2 cos sin  − ÷ = sin  − ÷
 12   12   12 
4 12 3
π
5π π 

x = + kπ
= − + k 2π
2x − 

5π   π
 6 ( k ∈¢ )
12 12
⇔ sin  2 x − ÷ = sin  − ÷ ⇔  ⇔
5π 13π 3π
 12   12  x =
2 x − + k 2π + kπ
=
 
12 12 4




GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 9 “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười
biếng”
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản