Bài tập phương trình lượng giác (có đáp án)

Chia sẻ: xinccv_vnb

Tài liệu tham khảo bài tập phương trình lượng giác 12 có đáp án dành cho học sinh ôn thi đại học, cao đẳng

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Bài tập phương trình lượng giác (có đáp án)

 

  1. BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC  Giải phương trình: 3π  π   1) 2 2 cos 2 x + sin 2 x cos  x + ÷− 4sin  x + ÷ = 0 .  4  4 π 3π HD: (sin x + cos x) [ 4(cos x − sin x) − sin 2 x − 4 ] = 0 ⇔ x = − + kπ ; x = k 2π ; x = + k 2π 4 2 2) sin 2 3 x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x kπ  x = 2 HD: sin 2 3 x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x ⇔ cos x(cos 7 x − cos11x) = 0 ⇔  kπ x =  9 π 3π   π 2 x  2 3) 4sin  π − ÷− 3 sin  − 2 x ÷ = 1 + 2cos  x − ÷ với x ∈  0; ÷  2  2 2   4 5π 2π   x = 18 + k 3 (k ∈ Z ) (a ) π π  π 5π    HD: sin  2 x − ÷ = sin  − x ÷ ⇔  Vì x ∈  0; ÷ nên x = . 5π 2   2  3 18 x = + l 2π (l ∈ Z ) (b)  6 1 1 4) sin 2 x + sin x − − = 2cot 2 x 2sin x sin 2 x − cos 2 2 x − cos x cos 2 x = 2cos 2 x π π ⇔ cos2x = 0 ⇔ x = + k HD: Ta có  sin 2 x ≠ 0 4 2 3sin 2 x − 2sin x =2 5) sin 2 x.cos x 2(1 − cos x)sin x(2cos x − 1) = 0 π ⇔ 2cosx – 1 = 0 ⇔ x = ± + k 2π HD:  sin x ≠ 0, cos x ≠ 0 3 6) cos 2 x + 5 = 2(2 − cos x)(sin x − cos x) π HD: (cos x − sin x) 2 − 4(cos x − sin x) − 5 = 0 ⇔ x = + k 2π ∨ x = π + k 2π 2 1 + log 1 x ≥ 0 7) Tìm các nghiệm thực của phương trình sau thoả mãn : 3 sin x.tan 2 x + 3(sin x − 3 tan 2 x) = 3 3 π π HD: (sin x − 3)(tan 2 x + 3) = 0 ⇔ x = − + k ; k ∈ Z 6 2 π 5π Kết hợp với điều kiện ta được k = 1; 2 nên x = ; x = 3 6 2+3 2 8) cos3 x cos3 x − sin 3 x sin 3 x = 8 π π 2 ⇔ x=± + k HD: cos 4 x = 16 2 2 9) 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 1 “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
  2. BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC π HD: (1– sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0 ⇔ 1– sinx = 0 ⇔ x = + k 2π 2 10) Tìm nghiệm của phương trình: cos x + cos x + sin x = 2 thoả mãn : x − 1 < 3 2 3 HD: (cos x − 1)(cos x − sin x − sin x.cos x + 2) = 0 ⇔ x = k 2π . Vì x − 1 < 3 ⇔ −2 < x < 4 nên nghiệm là: x = 0 (sin 2 x − sin x + 4) cos x − 2 =0 11) 2sin x + 3 (2cos x − 1)(sin x cos x + 2) = 0 π  HD: ⇔  ⇔ x = + k 2π 2sin x + 3 ≠ 0 3  12) sin x − cos x + 4sin 2 x = 1 π HD: Đặt t = sin x − cos x , t ≥ 0 . PT ⇔ 4t 2 − t − 3 = 0 ⇔ x = k . 2 3sin 2 x − 2sin x =2 13) sin 2 x.cos x π 2(1 − cosx )(sin2 x − sin x ) = 0 ⇔ x = ± + k 2π HD:  sin x ≠ 0, cosx ≠ 0 3 1 3x 7 14) 4 cos 4 x − cos 2 x − cos 4 x + cos = 2 42  x = kπ cos 2 x = 1   3x m8π (k ; m ∈ ¢ ) ⇔ x = 8nπ HD: cos2x + cos = 2 ⇔  ⇔ 3x x = 3 cos 4 = 1 4   cos x. ( cos x − 1) 2 = 2 ( 1 + sin x ) 15) sin x + cos x π HD: ĐK: sin x ≠ − cos x ⇔ x ≠ − + mπ 4 Pt tương đương (1 + sin x)(1 − sin x)(cos x − 1) = 2(1 + sin x)(sin x + cos x) π  1 + sin x = 0 1 + sin x = 0 x = − + k 2π ⇔ ⇔ ⇔ (nhận) 2 ( 1 + sin x ) ( cos x + 1) = 0  x = π + k 2π sin x + cos x + sin x cos x + 1 = 0    2π x x x2 16) 1 + sin sin x − cos sin x = 2cos  − ÷  4 2 2 2  x = kπ  x  x 2x ⇔ x = kπ HD: PT ⇔ sin x  sin − 1÷ 2sin + 2sin + 1÷ = 0 ⇔   x = π + k 4π  2  2 2 sin 3 x.sin 3 x + cos 3 x cos3 x 1 =− π  π  17) 8 tan  x − ÷tan  x + ÷  6  3 π  π  π  π  HD: Điều kiện: sin  x − ÷sin  x + ÷cos  x − ÷cos  x + ÷ ≠ 0  6  3  6  3 π  π π  π    Ta có tan  x − ÷tan  x + ÷ = tan  x − ÷cot  − x ÷ = −1  6  3  6 6  GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 2 “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
  3. BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC 1 PT ⇔ sin 3 x.sin 3 x + cos3 x cos3 x = 8 1 − cos 2 x cos 2 x − cos 4 x 1 + cos 2 x cos 2 x + cos 4 x 1 ⇔ × + × = 2 2 2 2 8 π   x = 6 + kπ (l) 1 1 1 ⇔ 2(cos 2 x + cos 2 x cos 4 x) = ⇔ cos3 2 x = ⇔ cos 2 x = ⇔   x = − π + kπ 2 8 2   6 π Vậy phương trình có nghiệm x = − + kπ , (k ∈ Z) 6 18) sin 3 x.(1 + cot x) + cos3 x(1 + tan x) = 2sin 2 x kπ HD: ĐKXĐ: x ≠ sao cho sin 2 x ≥ 0 . 2 Khi đó, VT = sin 3 x + cos3 x + sin 2 x cos x + cos 2 x sin x = (sin x + cos x)(sin 2 x − sin x cos x + cos 2 x) + sin x cos x(sin x + cos x) = sin x + cos x sin x + cos x ≥ 0 PT ⇔ sin x + cos x = 2sin 2 x ⇔  (sin x + cos x) = 2sin 2 x (1) 2 π π (1) ⇔ 1 + sin 2 x = 2sin 2 x ⇔ sin 2 x = 1( > 0) ⇔ 2 x = + 2kπ ⇔ x = + kπ 2 4 π + 2 kπ Để thoả mãn điều kiện sin x + cos x ≥ 0 , các nghiệm chỉ có thể là: x = 4 π π   19) sin  3 x − ÷ = sin 2 x sin  x + ÷  4  4 HD: PT ⇔ sin 3 x − cos 3 x = sin 2 x(sin x + cos x) sin x + cos x = 0  tan x = −1 ⇔ (sinx + cosx)(sin2x − 1) = 0 ⇔  ⇔ sin 2 x − 1 = 0 sin 2 x = 1 π   x = − 4 + kπ π ⇔ x = ± + kπ ⇔  x = π + kπ 4   4 1 20) cos3 x − cos 2 x + cos x = 2 x HD: Nếu cos = 0 ⇔ x = π + k 2π , k ∈ Z , phương trình vô nghiệm. 2 x x • Nếu cos ≠ 0 ⇔ x ≠ π + k 2π , k ∈ Z , nhân hai vế phương trình cho 2cos ta được: 2 2 x x x x tích thành tông 7x 2cos cos3 x − 2cos cos 2 x + 2cos cos x = cos ¬  cos =0 → 2 2 2 2 2 π 2π ⇔ x= +k , k ∈ ¢ , đối chiếu điều kiện: k ≠ 3 + 7m, m∈Z . 7 7 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 3 “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
  4. BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC π  π  21) tan  x − ÷tan  x + ÷.sin 3 x = sin x + sin 2 x  6  3  π  π HD: Điều kiện: cos  x − ÷.cos  x + ÷ ≠ 0  6  3 π  π  sin  x − ÷sin  x + ÷  6  3 PT ⇒ sin 3 x = sin x + sin 2 x ⇒ – sin3x = sinx + sin2x π  π  cos  x − ÷cos  x + ÷  6  3 kπ  sin 2 x = 0 x = 2 ⇔ sin2x(2cosx + 1) = 0 ⇔  ⇔ cos x = − 1  x = ± 2π + k 2π  2   3 kπ  x = 2 Kết hợp điều kiện, nghiệm của phương trình là:   x = − 2π + 2kπ   3 21π  1 2  1 8 22) 2cos x + cos 2 ( x + 3π ) = + sin 2( x − π ) + 3cos  x + ÷+ sin x  2 3 3 3 1 − sin x = 0 HD: PT ⇔ (1 − sin x)(6cos x + sin x − 8) = 0 ⇔  ⇔ 1 − sin x = 0 6cos x + sin x − 8 = 0 1 1 23) sin 2 x + sin x − − = 2cot 2 x 2sin x sin 2 x HD: PT ⇔ − cos22x − cosxcos2x = 2cos2x và sin2x ≠ 0 π π π + kπ ⇔ x = + k ⇔ cos 2 x = 0 ∨ 2cos 2 x + cos x + 1 = 0(VN ) ⇔ cos2x = 0 ⇔ 2 x = 2 4 2 π  2 sin  − x ÷ 4  (1 + sin 2 x) = 1 + tan x 24) cos x π HD: Điều kiện cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ , k ∈ ¢ . 2 cos x − sin x cos x + sin x ( cos x + sin x ) = 2 ⇔ (cos x + sin x)(cos 2 x − 1) = 0 Ta có PT ⇔ cos x cos x π  cos x + sin x = 0 x = − + mπ ⇔ ⇔ ,m∈¢ . 4  cos 2 x − 1 = 0   x = mπ 25) tan 2 x − tan 2 x.sin 3 x + cos3 x − 1 = 0 π HD: ĐK: x ≠ = kπ . PT ⇔ tan 2 x(1 − sin 3 x) − (1 − cos3 x) = 0 2 (1 − cos x)(1 − sin x)(sin x − cos x)(sin x + cos x + sin x cos x) = 0 ⇔ GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 4 “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
  5. BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC π π π ⇔ x = k 2π ; x = + kπ ; x = + α + k 2π ; x = − α + k 2π 4 4 4 26) 2cos3 x + 3 sin x + cos x = 0 π π π kπ   HD: PT ⇔ cos  x − ÷= − cos3 x ⇔ cos  x − ÷= cos(π − 3 x) ⇔ x = +  3  3 32 sin x + cos x 1 6 6 = tan 2 x 27) cos 2 x − sin 2 x 4 π kπ HD: Điều kiện: cos 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠ + (k ∈ ¢ ) 42 3 1 PT ⇒ 1 − sin 2 2 x = sin 2 x ⇒ 3sin22x + sin2x – 4 = 0 4 4 π ⇒ sin2x = 1 ⇒ x = + kπ ( không thoả). Vậy phương trình vô nghiệm 4 2 28) cos3 x cos3 x + sin 3 x sin 3 x == 4 π π 2 HD: cos 4 x = ⇔ x = ± + k ,k ∈ Z 2 16 2 29) cot x + 3 + tan x + 2cot 2 x = 3 π HD: Điều kiện: sin x cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ k . 2 cos x − sin x 2 2 cos 2 x Ta có: 2cot 2 x = 2 =2 = cot x − tan x . sin 2 x 2sin x cos x cot x ≤ 3 π ⇔ cot x = 1 ⇔ x = + kπ , k ∈ ¢ PT ⇔ 3 + cot x = 3 − cot x ⇔  cot x − 7 cot x + 6 = 0 2 4 π  30) 2cos 2  − 3 x ÷− 4cos 4 x − 15sin 2 x = 21 4  π + kπ HD: PT ⇔ sin 3 2x − 2sin 2 2x + 3sin 2x + 6 = 0 ⇔ sin 2 x = −1 ⇔ x = − 4 1 31) (1 − 4sin 2 x) sin 3 x = 2 HD: Nhận xét: cosx = 0 không phải là nghiệm của PT. Nhân 2 vế của PT với cosx, ta được: PT ⇔ 2sin 3 x(4cos 3 x − 3cos x) = cos x ⇔ 2 sin 3 x.cos3 x = cos x π  ⇔ sin 6x = sin  − x÷ 2  π k 2π π k 2π ⇔x= + ∨ x= + 14 7 10 5 1 32) sin x + sin 2 x = 1 + cos x + cos 2 x 2 π HD: PT ⇔ (sin x − 1)(sin x + cos x + 2) = 0 ⇔ sin x = 1 ⇔ x = + k 2π . 2 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 5 “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
  6. BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC 3sin x + 3tan x − 2cos x = 2 33) tan x − sin x { cos x ≠ 0 2π 1 HD: Điều kiện: sin x ≠ 0 . PT ⇔ cos x = − ⇔ x = ± + k 2π . 3 2 2(cos x − sin x) 1 = 34) tan x + cot 2 x cot x − 1 sin x ≠ 0 π  2 HD: Điều kiện: cos x ≠ 0 . PT ⇔ cos x = ⇔ x = − + k 2π . 4 2 cot x ≠ 1  x π π  3x π  π   35) cos  − ÷+ cos  − x ÷+ cos  − ÷+ sin  2 x − ÷ = 0  2 2 2 6 3   6 x π x π x π x π xπ HD: PT ⇔ cos  − ÷+ cos 2  − ÷+ cos3  − ÷+ cos 4  − ÷ = 0 Đặt t = − , 2 6 2 6 2 6 2 6 26  t cos 2 = 0 t 5t = 0 ⇔ cos t = 0 ⇔ PT trở thành: cos t + cos 2t + cos3t + cos 4t = 0 ⇔ 4cos .cos t.cos  2 2 cos 5t = 0   2 t = (2m + 1 π ) π t = + lπ 2  π 2kπ t = +   5 5 π • Với t = (2m + 1)π ⇒ x = + (4m + 2)π 3 π 4π • Với t = + lπ + 2lπ ⇒x= 2 3 π 2kπ 11π 4kπ • Với t = + ⇒x= + 5 5 15 5 36) 2 − 3 cos 2 x + sin 2 x = 4cos 2 3 x 5π π  x = +k  5π −3  1 − 2 x ÷ = cos 6 x ⇔  48π 4π cos 2 x + sin 2 x = cos 6 x ⇔ cos  HD: PT ⇔ 5 6  2 2 x = − +l  24 2 (1 − 2sin x) cos x =3 37) (1 + 2sin x)(1 − sin x) π   x ≠ − 6 + m 2π { 1 + 2sin x ≠ 0  7π  + n 2π HD: Điều kiện: 1 − sin x ≠ 0 ⇔  x ≠ 6   x ≠ π + p 2π   2 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 6 “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
  7. BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC cos x − 2sin x.cos x = 3 ⇔ cos x − sin 2 x = 3(sin x + cos 2 x) PT ⇔ 1 − sin x + 2sin x − 2sin 2 x π π   3 1 1 3 sin x ⇔ cos  2 x − ÷ = cos  x + ÷ cos 2 x + sin 2 x = cos x − ⇔  6  3 2 2 2 2  π  x = 2 + k 2π (loaï ) i π 2π . Vậy PT có nghiệm: x = − +k ⇔ .  x = − π + k 2π 18 3 (nhaä )n  18 3 π  38) 2 sin  2 x + ÷ = 3sin x + cos x + 2  4 HD: PT ⇔ ( sin x + cos x + 1) ( 2cos x − 3) = 0 π  x = − + k 2π π  1 ⇔ ⇔ sin x + cos x = −1 ⇔ sin  x + ÷ = − 2 .   4 2  x = π + k 2π π KL: nghiệm PT là x = − + k 2π ; x = π + k 2π . 2 π  39) 2sin  2 x + ÷+ 4sin x = 1  6 HD: PT ⇔ 3 sin 2 x + cos 2 x + 4sin x − 1 = 0 ⇔ 2 3 sin x cos x − 2sin 2 x + 4sin x = 0 . π  ( ) sin  x − 3 ÷ = 1 sin x − 3 cos x = 2 ⇔ 2 3 cos x − sin x + 2 sin x = 0 ⇔  ⇔   sin x = 0 x = kπ  5π  + k 2π x= ⇔ 6  x = kπ  40) cos3 x + sin 2 x = 3 ( sin 3 x + cos 2 x ) HD: PT ⇔ cos 3 x − 3 sin 3 x = 3 cos 2 x + sin 2 x 1 3 3 1 ⇔ cos 3 x − sin 3 x = cos 2 x + sin 2 x 2 2 2 2 π  x = − + k 2π π  π   6 ⇔ cos  3 x + ÷ = cos  2 x − ÷ ⇔   x = − π + k 2π  3  6   10 5 4cos 2 2 x π π   41) tan  2 x − ÷.tan  2 x + ÷ = 4  tan x − cot x  4  GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 7 “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
  8. BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC π π   cos  2 x − ÷ ≠ 0; cos  2 x + ÷ ≠ 0 ( *) HD: Điều kiện   4  4 sin 2 x ≠ 0; tan x − cot x ≠ 0  Để ý rằng: π π π π π π       tan  2 x − ÷.tan  2 x + ÷ = − tan  − 2 x ÷.tan  2 x + ÷ = − cot  2 x + ÷.tan  2 x + ÷ = −1  4  4 4   4  4  4 4cos 2 2 x ⇔ cot x − tan x = 4cos 2 2 x Khi đó PT trở thành: −1 = tan x − cot x 2 1 − tan x 1 2 4 ⇔ ( tan 2 x − 1) = 0 2 ⇔ =4 ⇔ = 2 2 1 + tan 2 x tan 2 x 1 + tan 2 x tan x π π π ⇔ tan 2 x = 1 ⇔ 2 x = + mπ ⇔ x = + k ( k ∈ Z) : Không thoả điều kiện (*). Vậy 4 8 2 phương trình đã cho vô nghiệm. 42) 2sin 2 x + 3 sin 2 x + 1 = 3 sin x + cos x HD: PT ⇔ ( 3 sin x + cos x ) = 3 sin x + cos x ⇔ ( 3 sin x + cos x ) ( 3 sin x + cos x − 1) = 0 2  π 3   tan x = − x = − + kπ   3 sin x + cos x = 0 3 6 ⇔ ⇔ ⇔  x = k 2π ; x = 2π + k 2π π π   3 sin x + cos x − 1 = 0  sin  x + 6 ÷ = sin 6   3   cos x + cos x − 1 2 3 43) cos 2 x − tan 2 x = cos 2 x HD: Điều kiện: cos x ≠ 0 . PT ⇔ cos 2 x − tan x = 1 + cos x − (1 + tan x) ⇔ 2cos x − cos x − 1 = 0 2 2 2  x = k 2π cos x = 1 1⇔ ⇔ 2π (thoả đk) + k 2π x = ± cos x = −   3 2 π  5π   44) 5cos  2 x + ÷ = 4sin  − x ÷– 9  3 6  π π π π    HD: PT ⇔ 10sin 2  x + ÷+ 4sin  x + ÷− 14 = 0 ⇔ sin  x + ÷ = 1 ⇔ x = + k 2π .  6  6  6 3 sin x + cos x + 2 tan 2 x + cos 2 x = 0 45) sin x − cos x HD: Điều kiện: cos 2 x ≠ 0 . PT ⇔ −(sin x + cos x) 2 + 2sin 2 x + cos 2 2 x = 0 ⇔ sin 2 2 x − sin 2 x = 0 π sin 2 x = 0 ⇔ sin 2 x = 1 (loaïi ) ⇔ x = k .  2 π  46) 2sin 2  x − ÷ = 2sin 2 x − tan x  4 π HD: Điều kiện: cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ + k .π (*). 2 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 8 “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
  9. BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC π sin 2 x = 1  2 PT ⇔ 1 − cos  2 x − ÷ = 2sin x − tan x ⇔ 1– sin 2 x = tan x(sin 2 x –1) ⇔   tan x = −1  2 π π    2 x = 2 + k .2π  x = 4 + k .π π π ⇔ x = + k . . (Thỏa mãn điều kiện (*) ). ⇔ ⇔ π π 4 2  x = − + l.π  x = − + l.π   4 4  5π  − x ÷sin x = 1 47) 2 2 cos   12  5π  5π   5π  5π π  1 HD: PT ⇔ 2 sin  2 x − ÷+ sin  = 1 ⇔ sin  2 x − 12 ÷+ sin 12 = 2 = sin 4    12  12  5π  π 5π π  π  π  ⇔ sin  2 x − ÷ = sin − sin = 2 cos sin  − ÷ = sin  − ÷  12   12   12  4 12 3 π 5π π   x = + kπ = − + k 2π 2x −   5π   π  6 ( k ∈¢ ) 12 12 ⇔ sin  2 x − ÷ = sin  − ÷ ⇔  ⇔ 5π 13π 3π  12   12  x = 2 x − + k 2π + kπ =   12 12 4 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 9 “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản