Bài tập phương trình lượng giác ôn thi đại học

Chia sẻ: xinccv_vnb

Tài liệu tham khảo bài tập phương trình lượng giác 12 có đáp án dành cho các bạn học sinh ôn thi đại học, cao đẳng.

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Bài tập phương trình lượng giác ôn thi đại học

BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC
Giải các phương trình sau
3π  π
 
1) 2 2 cos 2 x + sin 2 x cos  x + ÷− 4sin  x + ÷ = 0
 4  4
3π π
) − 4sin( x + ) = 0 ⇔
2 2 cos2x + sin2x cos( x +
4 4
3π 3π π π
2 2 cos2x + sin2 x(cos x.cos − sin x sin ) − 4(sin x cos + cos x sin ) = 0
4 4 4 4
⇔ 4cos2x-sin2x(sinx+cosx)-4(sinx+cosx)=0 ⇔ (sinx+cosx)[4(cosx-sinx)-sin2x-4]=0

Với t=-1 ta tìm được nghiệm x là : x = k2π hoÆ x= + k2π .
c
2
π 3π
+ kπ , x = k2π vµ x= + k2π
KL: Họ nghiệm của hệ PT là: x = −
4 2
sinx+cosx=0 (2) π
⇔ + kπ .
. PT (2) có nghiệm x = −
 4(cosx-sinx)-sin2x-4=0 (3) 4

π
Giải (3) : Đặt t = sinx-cosx= 2 sin( x − ), § iÒ kiÖ t ≤ 2 (* ) ⇒ sin2x = 1 − t 2 , thay vào (2)
un
4
được PT: t2-4t-5=0 ⇔ t =-1( t/m (*)) hoặc t =5(loại )



Với t =-1 ta tìm được nghiệm x là : x = k2π hoÆ x= + k2π .
c
2
π 3π
+ kπ , x = k2π vµ x= + k2π
KL: Họ nghiệm của hệ PT là: x = −
4 2
3
2) Giải phương trình sin x + s inx.cos3 x + cos 3 x =
2 2

4
2
 3
1 3
pt ⇔  sinx + cos3 x ÷ + cos 2 3 x =
 4
2 4
 
1 3
 sinx + cos3 x ÷ = sin 3 x
2
 2
2
 32
1
⇔  sinx + cos3 x ÷ = sin 3 x ⇔ 

 4
2 
1 3
 sinx + cos3 x ÷ = − sin 3 x
 
2 2
 π
1 
3 sin  − 3 x ÷ = sin ( − x )
cos3x − sin 3x = − sinx 
 6 
2 2 ⇔

 π
1 
3
sin  6 + 3 x ÷ = sin ( − x )
cos3x + sin 3 x = − sinx

 
2 2




GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 1
BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC
π −5π

x = − kπ ; x = − kπ
 12 12
⇔
 x = −π + kπ ; x = 5π + kπ

 24 2 12
cos 2 x + cos 3 x − 1
cos 2 x − tan x =
2
3)
cos 2 x
ĐK cosx ≠ 0, pt được đưa về

cos 2x − tan 2 x = 1 + cos x − (1 + tan 2 x) ⇔ 2cos 2 x − cos x -1 = 0
Giải tiếp được cosx = 1 và cosx = 0,5 rồi đối chiếu đk để đưa ra ĐS:

2π 2π
x = k2π, x = ± + k2π; hay x = k .
3 3
4) 2 cos 3x(2 cos 2x + 1) = 1
Nhận xét x = kπ, k ∈ Z không là nghiệm của phương trình đã cho nên ta có:
2 cos 3x(3 − 4sin 2 x) = 1 ⇔ 2 cos 3x(3sin x − 4sin 3 x) = sin x
⇔ 2 cos 3x sin 3x = sin x ⇔ sin 6x = sin x

2mπ

x =
6x = x + m2π 5
⇔ ⇔ ;m∈Z
6x = π − x + m2π π 2mπ
x = +

 7 7
5) : 2( tanx – sinx ) + 3( cotx – cosx ) + 5 = 0
Phương trình đã cho tương đương với :
2(tanx + 1 – sinx) + 3(cotx + 1 – cosx) = 0
 sin x   cosx 
⇔ 2 + 1 − sin x ÷+  + 1 − cosx ÷ = 0
 cosx   sin x 
2 ( sin x + cosx − cosx.sin x ) 3 ( sin x + cosx − cosx.sin x )
⇔ + =0
cosx sin x
2 3
÷( cosx + sin x − cosx.sin x ) = 0
⇔ +
 cosx sin x 
−3
2 3
+ = 0 ⇔ tan x = = tan α ⇔ x = α + kπ
• Xét
cosx sin x 2
• Xét : sinx + cosx – sinx.cosx = 0 . Đặt t = sinx + cosx
với t ∈  − 2; 2  . Khi đó phương trình trở thành:
 
t −1
2
t− = 0 ⇔ t 2 − 2t − 1 = 0 ⇔ t = 1 − 2
2
π π  1− 2
 
Suy ra : 2cos  x − ÷ = 1 − 2 ⇔ cos  x − ÷ = = cosβ
 4  4 2


GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 2
BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC
π

6) 2 sin  2x − ÷+ 4sin x + 1 = 0.
 6
π
π 5π


⇔ sin  x + ÷ = −1 ⇔ x = − + k2π
Ta cã : 2 sin  2x − ÷+ 4sin x + 1 = 0.
3
 6  6
⇔ 3 sin2x – cos2x + 4sinx + 1 = 0 7)
sin x + cos x = cos 2 x.(2 cos x − sin x)
3 3
⇔ 3 sin2x + 2sin2x + 4 sinx = 0
⇔ sinx ( 3 cosx + sinx + 2 ) = 0 π

 x = 2 + kπ
⇔ sinx = 0 (1) hoÆc 3 cosx + sinx + 2 = 0 (2)

+ (1) ⇔ x = kπ π
KQ:  x = − + lπ (k , l , m ∈ ¢ )
3 1  4
+ (2) ⇔ cosx + sin x = −1

2 2
 x = arctan 1 + mπ

 2
( )
8) sin 2 x ( cos x + 3 ) − 2 3cos x − 3 3cos2 x + 8 3 cos x − s inx − 3 3 = 0
3


⇔ ( 3 cos x − sin x)(−2 cos 2 x − 6 cos x + 8) = 0
π

 tan x = 3  x = 3 + kπ , k ∈ Ζ

 3 cos x − sin x = 0  
⇔ 2 ⇔ cos x = 1
 x = k 2π
cos x + 3 cos x − 4 = 0

 cos x = 4(loai )


9) 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8
Phương trình đã cho tương đương với
9sinx + 6cosx – 6sinx.cosx + 1 – 2sin2x = 8
 6cosx(1 – sinx) – (2sin2x – 9sinx + 7) = 0
 6cosx(1 – sinx) – (sinx – 1)(2sinx – 7) = 0
 (1-sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0
1 − sin x = 0

6 cos x + 2 sin x − 7 = 0 (VN )
π
x = + k 2π
2
4 + 2sin 2 x
3
+ − 2 3 = 2(cotg x + 1)
10)
2
sin 2 x
cos x
Phương trình đã cho tương đương với:

( )4
3 1 + tg2 x + − 2 3 = 2cotg x
sin 2 x
2(sin 2 x + cos 2 x)
2
⇔ 3tg x + − 3 = 2cotg x
sin x cos x
⇔ 3tg2 x + 2tg x − 3 = 0
π

 tg x = − 3 x = − + kπ

 3
⇔
1
 tg x =
 x = π + kπ

 3 
 6

GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 3
BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC
π π
KL: So sánh với điều kiện phương trình có nghiệm : x = + k ; k∈Z
6 2
π
11) sin 4 x + cos 4 x = 4 2 sin ( x + ) −1
4
⇔ (cos x + sin x) (cos x – sin x) (sin 2x + cos 2x) = 2(sin x + cos x)
π

s inx + cos x = 0 x = − + kπ

⇔ ⇔ 4

(cos x − sinx)(sin 2 x + cos2 x) = 2
cos3 x − sinx = 2
Chứng minh được phương trình cos 3x – sin x = 2 vô nghiệm
π
+ kπ
KL: x = −
4
12) 2 cos 6 x + 2 cos 4 x - 3 cos 2 x = sin 2 x + 3

cos x = 0
cos x=0
⇔
4cos5xcosx = 2sinxcosx + 2 3 cos x ⇔ 
cos5x=cos(x- π )
2

 2cos5x =sinx+ 3 cos x  6
π

x = + kπ
 2

π kπ
⇔ x = − +
 24 2

 x = π + k 2π

 42 7
x
4cos3xcosx - 2cos4x - 4cosx + tan t anx + 2
13) 2 =0
2sinx - 3
x
3
và cos ≠ 0 và cosx ≠ 0
Điều kiện: s inx ≠
2
2
cosx = 1
Biến đổi pt về: 4cos x - 4 cos x – cosx + 1 = 0 ⇔ 
3 2
cosx = ± 1
 2
14) 1 + 3 (sinx + cosx) + sin2x + cos2x = 0

Phương trình đã cho tương đương với ( 3 s inx + sin 2 x) +  3 cos x + (1 + cos2 x)  = 0
 

⇔ ( 3 s inx + 2s inx.cos x) + ( 3 cos x + 2cos 2 x) = 0 ⇔ s inx( 3 + 2 cos x) + cos x( 3 + 2 cos x) = 0

 3
cos x = −
⇔ ( 3 + 2 cos x)(s inx + cos x) = 0 ⇔  2
s inx = − cos x





GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 4
BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC
 5π
 x = ± 6 + k 2π
 5π
x = ± + k 2π
⇔ ⇔ ,k ∈ Z
6
  x = − π + kπ
 t anx = −1 
 4

15) 4sin 3 x.cos3x + 4co s 3 x.sin 3x + 3 3cos4x = 3
Phương trình đã cho tương đương với phương trình :
1. Phương trình : 4 sin 3 x.cos3x + 4co s3 x.sin 3x + 3 3 co s4x = 3
⇔ 4[(1 − co s 2 x) sin x.cos3x + (1 − sin 2 x)co s x.sin 3x ] + 3 3 co s 4x = 3
⇔ 4[( sin x.cos3x + co s x.sin 3x) − cos x sin x(co sx.cos3x + sin x.sin 3x)] + 3 3 co s4x = 3
 
1 1
⇔ 4[ sin 4x − sin 2x.co s2x ] + 3 3 co s4x = 3 ⇔ 4  sin 4x − sin 4x ÷+ 3 3 co s4x = 3 ⇔ 3sin 4x + 3 3 co s4x = 3
2  4 
π π
1 3 1
⇔ sin 4x + 3 co s4x = 1 ⇔ sin 4x + co s 4x = ⇔ sin(4x + ) = sin
2 2 2 3 6
ππ ππ π π π
   
 4x + 3 = 6 + k2π  4x + 3 = 6 + k2π  4x = − 6 + k2π  x = − 24 + k 2
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ (k ∈ Z)
 4x + π = 5π + k2π  4x + π = 5π + k2π x = π + k π
 4x = π + k2π
   
 
 
36 36 8 2
2

π
16) : sin2x + (1 + 2cos3x)sinx - 2sin 2 (2x+ )=0
4
π
sin2x + (1+2cos3x)sinx – 2sin(2x + )=0
4
π
⇔ sin2x + sinx + sin4x – sin2x = 1 – cos(4x + ) ⇔ sinx + sin4x = 1+ sin4x ⇔ sinx = 1
2
π
+ k2 π , k ∈ Z
⇔x=
2
cos 2 x 1
17) T×m x ∈ (0; π ) tho¶ m·n ph¬ng tr×nh: cot x - 1 = + sin 2 x − sin 2 x .
1 + tan x 2
sin 2 x ≠ 0 sin 2 x ≠ 0
⇔
§K: 
sin x + cos x ≠ 0 tan x ≠ −1
cos x − sin x cos 2 x. cos x
+ sin 2 x − sin x cos x
Khi ®ã pt ⇔ =
cos x + sin x
sin x
cos x − sin x
= cos 2 x − sin x cos x + sin 2 x − sin x cos x

sin x
⇔ cos x − sin x = sin x(1 − sin 2 x)
⇔ (cos x − sin x)(sin x cos x − sin 2 x − 1) = 0
⇔ (cos x − sin x)(sin 2 x + cos 2 x − 3) = 0
π
⇔ cos x − sin x = 0 ⇔ tanx = 1 ⇔ x = + kπ (k ∈ Z ) (tm)
4
π
x ∈ ( 0; π ) ⇒ k = 0 ⇒ x =
4
2 π x
x x2
17) 1 + sin sin x − cos sin x = 2 cos  − 
2 2  4 2

GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 5
BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC

(1) ⇔ 1+ sin x sinx − cosx sin2 x = 1+ cos π − x  = 1 + sinx
 
2 2 2 
x  x x
x x x
⇔ sinx sin − cos sinx − 1 = 0 ⇔ sinx sin − cos .2sin cos − 1 = 0
2 2 2 2 2 2

 x  x
x
⇔ sinx sin − 1 2 sin2 + 2 sin + 1 = 0
 2  2 2

sin x = 0
 x = kπ

 x = kπ
sin x = 1 ⇔ x π
⇔ ⇔ ⇔ x = kπ, k ∈ Z
 = + k2π
2  x = π + k4π
2 2
 x x
2sin2 + 2sin + 1
 2 2
18) 2cos4x - ( - 2)cos2x = sin2x + biết x∈ [ 0 ; π ].
Phương trình đã cho tương đương với 2(cos4x + cos2x) = (cos2x + 1) + sin2x
cosx=0
⇔ 4cos3xcosx=2 3cos 2 x + 2s inxcosx ⇔ 
 2cos3x= 3cosx+sinx
π
+ cosx=0 ⇔ x= + kπ
2
π

3x=x- 6 + k 2π
π
+ 2cos3x= 3cosx+sinx ⇔ cos3x=cos(x- ) ⇔ 
3x = π − x + k 2π
6

 6
π

 x = − 12 + kπ π 11π π 13π
vì x ∈ [ 0; π ] ⇒ x = , x =
⇔ ,x = ,x =
 x = π + kπ 2 12 24 24

 24 2
cos x. ( cos x − 1)
2

= 2 ( 1 + sin x ) .
19)
sin x + cos x
ĐK: sin x + cos x ≠ 0
Khi đó PT ⇔ ( 1 − sin x ) ( cos x − 1) = 2 ( 1 + sin x ) ( sin x + cos x )
2


⇔ ( 1 + sin x ) ( 1 + cos x + sin x + sin x.cos x ) = 0
⇔ ( 1 + sin x ) ( 1 + cos x ) ( 1 + sin x ) = 0
sin x = −1
⇔ (thoả mãn điều kiện)
cos x = −1
π

x = − + k 2π
⇔ ( k , m ∈ Z)
2

 x = π + m2π
π
( k , m ∈ Z)
+ k 2π và x = π + m2π
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x = −
2
1
3 sin 2 x + sin 2 x = tan x
20)
2
π
* Đk: cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ .
2

GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 6
BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC
s inx
PT đã cho ⇔ 3 sin2x + sinxcosx - =0
cos x
1
⇔ sinx(
* 3 sinx + cosx - )=0
cos x
s inx = 0
⇔
 3 s inx + cos x − 1 = 0
 cosx
* Sinx = 0 ⇔ x = k π .
1 1
= 0 ⇔ 3 tanx + 1 -
* 3 sinx + cosx - =0
cos 2 x
cos x
 x = kπ
 t anx = 0
⇔
⇔ tan x - 3 tanx = 0 ⇔ 
 x = π + kπ
2

 t anx = 3  3
π
Vậy PT có các họ nghiệm: x = k π , x = + kπ
3
21) 3 sin 2 x.( 2 cos x + 1) + 2 = cos 3 x + cos 2 x − 3 cos x.
Pt ⇔ 3 sin 2 x(2 cos x + 1) = (cos 3x − cos x) + (cos 2 x − 1) − (2 cos x + 1)
⇔ 3 sin 2 x (2 cos x + 1) = −4 sin 2 x cos x − 2 sin 2 x − (2 cos x + 1)
⇔ (2 cos x + 1)( 3 sin 2 x + 2 sin 2 x + 1) = 0
π
• 3 sin 2 x + 2 sin 2 x + 1 = 0 ⇔ 3 sin 2 x − cos 2 x = −2 ⇔ sin( 2 x − ) = −1
6
π
⇔ x = − + kπ
6


 x = 3 + k 2π
• 2 cos x + 1 = 0 ⇔  (k ∈ Z )
 x = − 2π + k 2π

 3
2π 2π π
+ k 2π và x = − + kπ (k∈ Z )
+ k 2π ; x = −
Vậy phương trình có nghiệm: x =
3 3 6
2 3 cos 2 x + 2sin 3 x cos x − sin 4 x − 3
=1
22)
3 sin x + cos x
ĐK:

• Với ĐK trên PT đã cho tương đương với




Đối chiếu ĐK ta được nghiệm của pt đã cho là
1 − 2cos 2 x
+ 2 tan 2 x + cot 3 4 x = 3
23)
s inx.cos x
+) ÑK: sin4x ≠ 0
GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 7
BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC
+) PT ⇔ cot 3 4x − 4cot 4x − 3 = 0
 cot 4x = 1
⇔
 cot 4x = 1 ± 13

 2
π

24) tan x = 2 cos x cos  x − ÷
 4
ĐK: x ≠ lπ (l ∈ ¢ )
PT ⇔ tanx = cosx(sinx + cosx) ⇔ sinx = cos2x(sinx + cosx)
⇔ sinx(sin2x + cos2x) = cos2x(sinx + cosx)
π
+ kπ (k ∈ ¢ ) (Thoả mãn)
⇔ sin3x = cos3x ⇔ sinx = cosx ⇔ x =
4

(2 − 3 ) cos 2 x − 2 sin 13π 

x −
2

25)  4
= −1
4 sin 2 x −1
π
1
Đk 4sin 2 x − 1 ≠ 0 ⇔ cos 2x ≠ ⇔ x ≠ ± + kπ, k ∈ ¢
2 6
π
( ) 
Phương trình đã cho tương đương với 2 − 3 cos 2x − 1 + cos  2x − ÷ = 2 cos 2x − 1

2
π π π
⇔ sin 2x − 3 cos 2x = 0 ⇔ tan 2x = 3 ⇔ 2x = + kπ ⇔ x = + k , k ∈ ¢ .
3 6 2


 x = 3 + k2π
,k ∈¢ .
Kết hợp với điều kiện ta có 
 x = 5π + k2π

 3
( )
5sin 2 x − 4 sin 4 x + cos 4 x + 6
26) =0
2 cos 2 x + 3
5π 5π
+ k 2π ⇔ x ≠ ± + kπ , k ∈ Z
Điều kiện: 2cos2 x + 3 ≠ 0 ⇔ 2 x ≠ ±
6 12
( 1) ⇔ 5sin 2 x − 4 1 −
12
sin 2 x ÷+ 6 = 0

2
 
⇔ 2sin x + 5sin 2 x + 2 = 0(2)
2


t = −2 ( loai )
Đặt sin2x=t, Đk: t ≤ 1 ( 2 ) ⇔ 2t + 5t + 2 = 0 ⇔ 
2
t = − 1 ( TM )

 2
π π
 
 x = − 12 + k 2π ( tm )
 2 x = − 6 + k 2π
Khi t=1/2=>sin2x=-1/2 ⇔  ,k ∈Z ⇔  ,k ∈Z
 2 x = 7π + k 2π  x = 7π + k 2π ( l )
 

 6 12
( )
27) 2sin x + 2 3 sin x cos x + 1 = 3 cos x + 3 sin x
2


3  1 
( ) 1 3
2 + 3 sin 2 x − cos 2 x = 3 cos x + 3 sin x ⇔1 + 
 2 sin 2 x − 2 cos 2 x ÷ = 3  2 cos x + 2 sin x ÷
÷ ÷
   



GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 8
BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC
2π  π π π
  2 
⇔ 1 + cos  2 x − ÷ = 3cos  x − ÷⇔ 2 cos  x − ÷ = 3cos  x − ÷
 3  3  3  3
π ππ 5π

⇔ cos  x − ÷ = 0 ⇔ x − = + kπ ⇔ x = + kπ
 3 32 6
28) 4cos 4 x − 4 3cos3 x + cos 2 x + 3 sin 2 x + 3 = 0
( )( )
⇔ 4 cos 4 x − 4 3 cos 3 x + 3cos 2 x + cos 2 x + 2 3 sin x.cos x + 3sin 2 x = 0

⇔ ( 2 cos ) + ( cos x + )
2 2
x − 3 cos x =0
2
3 sin x
2
π
( ) 
2
⇔ cos 2 x 2 cos x − 3 + 4 cos  x − ÷= 0
 3
cos 2 x = 0


2
π
 vo no
cos  x − ÷= 0
 
 3
 x = ± π + k 2π
⇔ 
⇔   6
3

cos x = π
x = − + l π
 2
 

 6
2
π
cos  x −  = 0
 ÷
  3

π
⇔ x = − + k 2π, k ∈¢
6
2π x
x x2
29) 1 + sin sin x - cos sin x = 2cos  - ÷
 4 2
2 2
2π x
x x2
1 + sin sin x − cos sin x = 2 cos  −  (1)
 4 2
2 2

(1) ⇔ 1+ sin x sinx − cosx sin2 x = 1+ cos π − x  = 1 + sinx
 
2 2 2 
   x
x x x x x
⇔ sinx sin − cos sinx − 1 = 0 ⇔ sinx sin − cos .2sin cos − 1 = 0
2 2 2 2 2 2

 x  x
x
⇔ sinx sin − 1 2 sin2 + 2 sin + 1 = 0
 2  2 2

sin x = 0
 x = kπ

 x = kπ
sin x = 1 ⇔ x π
⇔ ⇔ ⇔ x = kπ, k ∈ Z
 = + k2π
2  x = π + k4π
2 2
 x x
2sin2 + 2sin + 1
 2 2
1 8 12
30) 2 cos x + cos ( x + 3π ) = + sin 2( x − π) + 3cos( x + 10,5π) + sin x
2

3 3 3
TX§: ¡ ; Trªn ®ã PT đã cho tương đương với PT 6 cos x + cos 2 x = 8 + 3si n 2 x − 9sin x + s in 2 x
(1)
(1) ⇔ 6 cos x − 6sin x cos x + cos 2 x − sin 2 x + 9sin x − 8 = 0 ⇔ 6 cos x(1 − s inx) + 2 − 2sin 2 x + 9sin x − 9 = 0
⇔ (1 − sin x)(6 cos x + 2sin x − 7) = 0
π
sin x = 1 ⇔ x = + k 2π (k ∈ ¢ )
2
GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 9
BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC
PT 6cosx + 2sinx - 7 = 0 v« nghiÖm v× 62 + 22 < 72. VËy nghiÖm cña PT ®· cho lµ
π
x= + k 2π (k ∈ ¢ )
2
( )
31) 8 sin x + cos x + 3 3 sin 4 x = 3 3cos 2 x − 9sin 2 x + 11
6 6


3
( sin x + cos 6 x ) = 1 − sin 2 2 x (1)
6

4
Thay (1) vµo ph¬ng tr×nh (*) ta cã :
8 ( sin 6 x + cos 6 x ) + 3 3 sin 4 x = 3 3cos 2 x − 9sin 2 x +11
3 
⇔ 8 1 − sin 2 2 x ÷+ 3 3 sin 4 x = 3 3cos 2 x − 9 sin 2 x + 11
4 
⇔ 3 3 sin 4 x − 3 3cos 2 x = 6sin 2 2 x − 9sin 2 x + 3
⇔ 3 sin 4 x − 3cos 2 x = 2sin 2 2 x − 3sin 2 x + 1

⇔ 3cos 2 x. ( 2sin 2 x − 1) = (2sin 2 x − 1)(sin 2 x − 1)

( )
⇔ ( 2sin 2 x − 1) 3cos 2 x − sin 2 x + 1 = 0
 2sin 2 x − 1 = 0  2sin 2 x = 1 (2)
⇔ ⇔
 3cos 2 x − sin 2 x + 1 = 0 sin 2 x − 3cos 2 x = 1 (3)
Π Π
 
 x = 12 + k Π x = + kΠ
4
(k ∈ Z ) (k ∈ Z )
 
Gi¶i (2) : ; Gi¶i (3)
 x = 5Π + k Π 7Π
x = + kΠ

 
 12
12
KÕt luËn :
1 + s inx 1
32) sin x + − sin 2 x = cosx
2

cosx 2
ĐK: cosx ≠ 0 . PT ⇔ (1 + sinx + cosx)sin2x = 0 nghiệm x = k π
33) : tan 3 x − 2 tan 4 x + tan 5 x = 0 với x ∈ (0; 2π ) .
ĐK: cos 3x ≠ 0;cos 4 x ≠ 0;cos5 x ≠ 0 .
Phương trình cho
 cos 2 4 x − cos 3 x.cos 5 x 
sin 8 x 2sin 4 x
⇔ − =0 ⇔ 2sin 4 x  ÷= 0
cos 3x.cos 5 x cos 4 x  cos 3x.cos 4 x.cos 5 x 
 
 1 + cos8 x − cos 2 x − cos8 x  2sin 2 x
⇔ sin 4 x  ÷= 0 ⇔ sin 4 x  ÷= 0
 cos 3 x.cos 4 x.cos 5 x   cos 3 x.cos 4 x.cos 5 x 
π

sin 4 x = 0 x = k 4 , k ∈¢ ⇔ x = k π , k ∈¢
⇔ ⇔

sin x = 0 4
 x = kπ
Do x ∈ (0; 2π ) nên phương trình cho có nghiệm là
π 5π 3π 7π
x = ;x = π;x = ;x = ;x =
4 4 2 4
( )
34) 2sin x + 2 3 sin x cos x + 1 = 3 cos x + 3 sin x
2


3  1 
( ) 1 3
2 + 3 sin 2 x − cos 2 x = 3 cos x + 3 sin x ⇔1 +  sin 2 x − cos 2 x ÷ = 3  cos x + sin x ÷
2 ÷ 2 ÷
2 2
   

GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 10
BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC
2π  π π π
  2 
⇔ 1 + cos  2 x − ÷ = 3cos  x − ÷⇔ 2 cos  x − ÷ = 3cos  x − ÷
 3  3  3  3
π ππ 5π

⇔ cos  x − ÷ = 0 ⇔ x − = + kπ ⇔ x = + kπ
 3 32 6
35) sin 2 x − cos 2 x + 3 sin x + 5 cos x − 4 = 0
+Phong tr×nh ⇔ 2 sin 2 x + 3 sin x − 5 + cos x(2 sin x + 5) = 0
⇔ (sin x − 1)(2 sin x + 5) + cos x (2 sin x + 5) = 0
⇔ (2 sin x + 5)(sin x + cos x − 1) = 0

ππ
 x + 4 = 4 + k 2π
 5
π
sin x = − (l ) 1
⇔ ⇔ sin( x + ) = ⇔ (k ∈ Z )
2
  x + π = 3π + k 2π
4 2
sin x + cos x = 1
 
 4 4
 x = k 2π

 x = π + k 2π
 2
π
+VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = kπ ; x = + k 2π
2
2(cos x − sin x)
1
=
36)
tan x + cot 2 x cot x − 1
Điều kiện:sinx.cosx ≠ 0 và cotx ≠ 1
Phơng trình tơng đơng
2(cos x − sin x)
1
=
sin x cos 2 x cos x
+ −1
cos x sin 2 x sin x
π
⇒ cosx = 2 ⇒ x = ± + k 2π
4
2
π
+ k 2π
Đối chiếu điều kiện pt có 1 họ nghiệm x = −
4
π 
− 2 x  + 3 cos 4 x = 4 cos 2 x − 1
2
37) 2 cos 
4 
π 
Phương trình tương đương với ⇔ 1 + cos  − 4 x ÷+ 3 cos 4 x = 4 cos 2 x − 1
2 
π

1 3
( )
⇔ sin 4 x + 3 cos 4 x = 2 2 cos 2 x − 1 ⇔ sin 4 x + cos 4 x = cos 2 x ⇔ cos  4 x − ÷ = cos 2 x
 6
2 2
π

 x = 12 + kπ
(k∈¢ )
⇔
 x = π + kπ
 36 3

π12
1 8
38) 2 cos x + cos (π + x) = + sin 2 x + 3cos( x + ) + sin x
2

3 3 23




GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 11
BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC
1 8 1
cos 2 x = + sin 2 x − 3s inx+ sin 2 x ⇔ 6cosx+cos 2 x = 8 + 6s inx.cosx-9sinx+sin 2 x
⇔ 2cosx+
3 3 3
7
⇔ 6cosx(1-sinx)-(2sin 2 x − 9s inx+7) = 0 ⇔ 6cosx(1-sinx)-2(s inx-1)(s inx- ) = 0
2
1 − s inx=0 (1)
 π

⇔ (1-sinx)(6cosx-2sinx+7) = 0 ⇔  ⇔ x = + k 2π ;(k ∈ Z )
6cosx-2sinx+7=0(2) 2

(p/t (2) vô nghiệm )

39) sin 2 x − 2 2(s inx+cosx)=5
⇒ sin2x = t2 - 1 ⇒ ( I )
Đặt sinx + cosx = t ( t ≤ 2 ).
⇔ t 2 − 2 2t − 6 = 0 ⇔ t = − 2 )
π
+Giải được phương trình sinx + cosx = − 2 … ⇔ cos( x − ) = −1
4

+ k 2π ( k∈ Z ) hoặc dưới dạng đúng khác
+ Lấy nghiệm Kết luận : x =
4
cos 2 x 1
40) T×m x ∈ (0; π ) tho¶ m·n ph¬ng tr×nh: cot x - 1 = + sin 2 x − sin 2 x .
1 + tan x 2
sin 2 x ≠ 0 sin 2 x ≠ 0
⇔
§K: 
sin x + cos x ≠ 0 tan x ≠ −1
cos x − sin x cos 2 x. cos x
+ sin 2 x − sin x cos x
Khi ®ã pt ⇔ =
cos x + sin x
sin x
cos x − sin x
= cos 2 x − sin x cos x + sin 2 x − sin x cos x

sin x
⇔ cos x − sin x = sin x(1 − sin 2 x)
⇔ (cos x − sin x)(sin x cos x − sin 2 x − 1) = 0
⇔ (cos x − sin x)(sin 2 x + cos 2 x − 3) = 0
π
⇔ cos x − sin x = 0 ⇔ tanx = 1 ⇔ x = + kπ (k ∈ Z ) (tm)
4
π
x ∈ ( 0;π ) ⇒ k = 0 ⇒ x =
4
41) 3 (2cos2x + cosx – 2) + (3 – 2cosx)sinx = 0
Phương trình đã cho tương đương với phương trình :



 x = ( −1) 3 + nπ, n ∈ ¢
3
sin x =
( 2sin x − 3 ) ( ) ⇔
3 sin x + cos x = 0 ⇔  2
 x = − π + kπ , k ∈ ¢
 3 sin x + cos x = 0
 
 6
π

42) cos x + cos3x = 1 + 2 sin  2x + ÷
 4




GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 12
BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC
π

1. cos x + cos3x = 1 + 2 sin  2x + ÷ ⇔ 2cos x cos 2x = 1 + sin 2x + cos2x
 4
⇔ 2cos x + 2sin x cos x − 2cos x cos 2x = 0 ⇔ cos x ( cos x + sinx − cos 2x ) = 0
2



 π
 x = + kπ
2
cos x = 0 
π
 
⇔ cos x ( cos x + sinx ) ( 1 + sinx − cosx ) = 0 ⇔ cos x + sinx = 0 ⇔ x = − + kπ
4
1 + s inx − cosx = 0 
  π 1
sin  x − 4 ÷ = −
  2
π

 x = 2 + kπ π

x = + kπ
 
 x = − π + kπ 2

 π

4
⇔ ⇔  x = − + kπ
 x − π = − π + k2π 4

 x = k2π
 4 4
 
π 5π 
x − = + k2π
 44
sin 4 2 x + cos 4 2 x
= cos 4 4 x
43) π π
− x).tan( + x)
tan(
4 4
π π
+) ĐK: x ≠ + k ,k ∈Z
4 2
π π π π
+) tan( − x) tan( + x) = tan( − x) cot( − x) = 1
4 4 4 4
1 11
sin 4 2 x + cos 4 2 x = 1 − sin 2 4 x = + cos 2 4 x
2 22
pt ⇔ 2 cos 4 4 x − cos 2 4 x − 1 = 0
π
+) Giải pt được cos24x = 1 ⇔ cos8x = 1 ⇔ x = k và cos24x = -1/2 (VN)
4
π
+) Kết hợp ĐK ta được nghiệm của phương trình là x = k ,k ∈ Z
2
2 π x
x x2
44) 1 + sin sin x − cos sin x = 2 cos  − 
2 2  4 2
π x 
x x
1 + sin sin x − cos sin 2 x = 2 cos 2  −  (1)
 4 2
2 2

(1) ⇔ 1+ sin x sinx − cosx sin2 x = 1+ cos π − x  = 1 + sinx
 
2 2 2 
   x
x x x x x
⇔ sinx sin − cos sinx − 1 = 0 ⇔ sinx sin − cos .2sin cos − 1 = 0
2 2 2 2 2 2

 x  x
x
⇔ sinx sin − 1 2 sin2 + 2 sin + 1 = 0
 2  2 2



GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 13
BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC

sin x = 0
 x = kπ

 x = kπ
x
⇔ x π
⇔ sin = 1 ⇔ ⇔ x = kπ, k ∈ Z
 = + k2π
2  x = π + k4π
2 2
 x x
2sin2 + 2sin + 1
 2 2
2 ( cos x − sin x )
1
45) =
tan x + cot 2 x cot x − 1
cos x.sin 2 x.sin x. ( tan x + cot 2 x ) ≠ 0


cot x ≠ 1

2 ( cos x − sin x )
1 cos x.sin 2 x
= ⇔ = 2 sin x
Từ (1) ta có: sin x cos 2 x cos x cos x
+ −1
cos x sin 2 x sin x
⇔ 2sin x.cos x = 2 sin x
π

x = + k 2π

2 4
( k ∈¢ )
⇔ cos x = ⇔
 x = − π + k 2π
2

 4
π
+ k 2π ( k ∈ ¢ )
Giao với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là x = −
4

46) 1 + tan 2 x = (
sin x − cos x )
2


cos 2 2 x
47) sin x + sin 2 x + sin 3 x + sin 4 x = cos x + cos 2 x + cos3 x + cos 4 x
TXĐ: D =R
sin x + sin 2 x + sin 3 x + sin 4 x = cos x + cos 2 x + cos 3 x + cos 4 x
sin x − cosx = 0
⇔ (sin x − cosx).[ 2 + 2(sin x + cosx) + sin x.cosx ] = 0 ⇔ 
 2 + 2(sin x + cosx) + sin x.cosx = 0
π
+ Với sin x − cosx = 0 ⇔ x = + kπ (k ∈ Z )
4
+ Với 2 + 2(sin x + cosx) + sin x.cosx = 0 , đặt t = sin x + cosx (t ∈  − 2; 2  )
 
 t = −1
được pt : t2 + 4t +3 = 0 ⇔ 
t = −3(loai )
π

 x = 4 + kπ ( k ∈ Z )
 x = π + m2π

t = -1 ⇒  (m ∈ Z )  x = π + m2π (m ∈ Z )
π
 x = − + m2π
 π
 2
 x = − + m2π
 2
48) (2cosx-1)(2sinx+cosx)=sin2x-sinx




GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 14
BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC
⇔ (2cosx-1)(sinx+cosx)=0
 2 cos x − 1 = 0 (1)
⇔
sin x + cos x = 0 (2)
π
1
(1) ⇔ cos x = ⇔ x = ± + k .2π
2 3
π
(2) ⇔ tan x = −1 ⇔ x = − + kπ (k ∈ Z)
4
π π
+ k .2π , x = − + kπ (k ∈ Z)
Vậy nghiệm cña phương trình lµ x = ±
3 4
π
49) cos x + cos 3 x = 1 + 2 sin( 2 x + )
4
cos 2 x 1
+ sin 2 x − sin 2 x .
50) cotx – 1 =
1 + tan x 2
sin 2 x ≠ 0 sin 2 x ≠ 0
⇔
®K: 
sin x + cos x ≠ 0 tan x ≠ −1
cos x − sin x cos 2 x. cos x
+ sin 2 x − sin x cos x
PT ⇔ =
cos x + sin x
sin x
cos x − sin x
= cos 2 x − sin x cos x + sin 2 x − sin x cos x

sin x

⇔ cos x − sin x = sin x(1 − sin 2 x)
(cos x − sin x)(sin x cos x − sin 2 x − 1) = 0
⇔ (cos x − sin x)(sin 2 x + cos 2 x − 3) = 0
cos x − sinx = 0
π
⇔ (cos x − sinx)( 2 sin(2 x + ) − 3) = 0 ⇔ 
 2 sin(2 x + π ) = 3(voly )
4  4
π
x ∈ ( 0;π ) ⇒ k = 0 ⇒ x =
4
( )  π
4 4
51) Tìm m để phương trình 2 sin x + cos x + cos 4 x + 2sin 2 x − m = 0 có nghiệm trên 0;  .
 2
Do đó ( 1) ⇔ −3sin 2 2 x + 2sin 2 x + 3 = m .
 π
Đặt t = sin 2 x . Ta có x ∈  0;  ⇒ 2 x ∈ [ 0; π ] ⇒ t ∈ [ 0;1] .
 2
Suy ra f ( t ) = −3t 2 + 2t + 3 = m, t ∈ [ 0;1]
Ta có bảng biến thiên




GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 15
BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC
 π 10
Từ đó phương trình đã cho có nghiệm trên 0;  ⇔ 2 ≤ m ≤
 2 3
1
3 sin 2 x + sin 2 x = tan x
52)
2
π
* Đk: cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ .
2
s inx
PT đã cho ⇔ 3 sin2x + sinxcosx - =0
cos x
1
⇔ sinx(
* 3 sinx + cosx - )=0
cos x
s inx = 0
⇔
 3 s inx + cos x − 1 = 0
 cosx
⇔ x = kπ .
* Sinx = 0
1 1
= 0 ⇔ 3 tanx + 1 -
* 3 sinx + cosx - =0
cos 2 x
cos x
 x = kπ
 t anx = 0
⇔
⇔ tan x - 3 tanx = 0 ⇔ 
 x = π + kπ
2

 t anx = 3  3
π
Vậy PT có các họ nghiệm: x = k π , x = + kπ
3
53) 3 sin 2 x.( 2 cos x + 1) + 2 = cos 3 x + cos 2 x − 3 cos x.
Pt ⇔ 3 sin 2 x(2 cos x + 1) = (cos 3x − cos x) + (cos 2 x − 1) − (2 cos x + 1)
⇔ 3 sin 2 x (2 cos x + 1) = −4 sin 2 x cos x − 2 sin 2 x − (2 cos x + 1)
⇔ (2 cos x + 1)( 3 sin 2 x + 2 sin 2 x + 1) = 0
π
3 sin 2 x + 2 sin 2 x + 1 = 0 ⇔ 3 sin 2 x − cos 2 x = −2 ⇔ sin(2 x − ) = −1
6
π
+ kπ
⇔x=−
6


+ k 2π
x=
 3
• 2 cos x + 1 = 0 ⇔  (k ∈ Z )
 x = − 2π + k 2π

 3
2π 2π π
+ k 2π và x = − + kπ (k∈ Z )
+ k 2π ; x = −
Vậy phương trình có nghiệm: x =
3 3 6
54) 2 cos 5 x. cos 3x + sin x = cos 8 x , (x ∈ R)
PT ⇔ cos2x + cos8x + sinx = cos8x
1
⇔ 1- 2sin2x + sinx = 0 ⇔ sinx = 1 v sin x = −
2
π π 7π
+ k 2π ; x = − + k 2π ; x = + k 2π , ( k ∈ Z )
⇔x=
2 6 6
55) cos2x + 2sin x − 1 − 2sin x cos 2x = 0 (1)


GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 16
BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC
( 1) ⇔ cos2 x ( 1 − 2sin x ) − ( 1 − 2sin x ) = 0
⇔ ( cos2 x − 1) ( 1 − 2sin x ) = 0
Khi cos2x=1 x = kπ , k ∈ Z
π 5π
1
Khi s inx = ⇔ x = + k 2π hoặc x = + k 2π , k ∈ Z
2 6 6
sin 3x − sin x
( 0; 2π ) = sin 2x + cos2x
55) Tìm các nghiệm trên của phương trình :
1 − cos2x
• Khi x ∈ ( π; 2π ) th×
π
sin 3x − sin x 
2cos2x.sin x
= sin 2x + cos2x (1) ⇔ = 2cos  2x − ÷
 4
1 − cos2x 2 sin x sinx < 0 nªn :
(1) ⇔ − 2π cos2x =
§K : sinx ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ
• Khi x ∈ ( 0; π ) th× sinx > 0 nªn : π

2 cos  2x − ÷
 4
π

(1) ⇔ 2 cos2x = 2 cos  2x − ÷
 4
π kπ
⇔x= +
16 2
π 9π
Do x ∈ ( 0; π ) nªn x = hay x =
16 16
π

⇔ cos ( π-2x ) = cos  2x- ÷
 4
5π kπ
⇔x= +
16 2
21π 29π
Do x ∈ ( π; 2π ) nªn x = hay x =
16 16
π π
 
56) 5 cos 3 x +  + 3 cos 5 x −  = 0
6 10 
 
π π
 
Pt ↔ 5 cos  3 x + ÷ + 3cos  5 x − ÷ = 0 ↔ 5sin 3 x = 3sin 5 x ↔ 2sin 3 x = 3(sin 5 x − sin 3 x)
 2  2
sin x = 0
↔ 2sin x(3cos 4 x + 4sin 2 x − 3) = 0 ↔ 
3cos 2 x − cos 2 x − 2 = 0
2


 x = kπ
↔ ( k ∈Z )
 x = ± 1 arccos(− 2 ) + kπ

 2 3
17 π xπ
57) sin(2 x + ) + 16 = 2 3.s inx cos x + 20sin 2 ( + )
2 2 12
Biến đổi phương trình đã cho tương đương với
π
c os2x − 3 sin 2x + 10c os(x + ) + 6 = 0
6
π π
⇔ c os(2x + ) + 5c os(x + ) + 3 = 0
3 6
π π
⇔ 2c os 2 (x + ) + 5c os(x + ) + 2 = 0
6 6
π π
1
Giải được c os(x + ) = − và c os(x + ) = −2 (loại)
6 2 6

GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 17
BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC
π π 5π
1
*Giải c os(x + ) = − được nghiệm x = + k 2π và x = − + k 2π
6 2 2 6
58) (1 – tanx) (1+ sin2x) = 1 + tanx.
π
TXĐ: x ≠ + lπ (l ∈ Z )
2
t = 0
 2t 
2t
(1 − t ) 1 + = 1+ t ⇔ 
Đặt t= tanx => sin 2 x = 2 , đc pt: 2÷
 t = −1
 1+ t 
1+ t
Với t = 0 => x = k π , (k ∈ Z ) (thoả mãn TXĐ)
π
Với t = -1 => x = − + kπ (thoả mãn TXĐ)
4
π

59) 2sin  x − ÷ = 2sin x − t anx
2 2

 4
π π
  sinx
Đk: cos x ≠ 0 (*) 2sin  x − ÷ = 2sin x − t anx ⇔ 1 − cos  2 x − ÷ = 2sin x −
2 2 2

 4  2 cos x
⇔ cos x − sin 2 x.cos x − 2sin 2 x.cos x + sinx ⇔ cos x + sinx − sin 2 x ( cos x + sinx ) = 0
π
 cos x ≠ 0
sinx = − cos x → t anx = −1 ⇔ x = − + kπ
 π π
4
⇔ →x= +k
sin 2 x = 1 ⇔ 2 x = π + l 2π ⇔ x = π + lπ 4 2

 2 4
sin 2 x cos 2 x
+ = tgx − cot x
60)
cos x sin x
cos x cosx + sin2xsinx sinx cosx
2
(1) ⇔ = −
sinx cosx cosx sinx
cos2x − x) sin x − cos x
( 2 2
⇔ =
sinx cosx sinx cosx
⇔ cosx = − cos2x ∧ sin2x ≠ 0
⇔ 2cos2 x + cosx − 1= 0∧ sin2x ≠ 0
1
⇔ cosx = (cosx = −1 :loaï vì sinx ≠ 0)
i
2
π
⇔ x= ± + k2π
3

2(cos x − sin x)
1
=
61)
tan x + cot 2 x cot x − 1
§iÒu kiÖn:sinx.cosx ≠ 0 vµ cotx ≠ 1
Ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng
2(cos x − sin x)
1
=
sin x cos 2 x cos x
+ −1
cos x sin 2 x sin x

GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 18
BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC
π
2⇒
⇒ cosx = x = ± + k 2π
4
2
π
+ k 2π
§èi chiÕu ®iÒu kiÖn pt cã 1 hä nghiÖm x = −
4
 5π 
− x ÷sin x = 1
62) 2 2 cos 
 12 

 5π 5π  5π 


− x ÷sin x = 1 ⇔ 2 sin  2 x − ÷+ sin  = 1
2 2cos 
 12   12  12 

5π  5π π 5π  π 5π
 
1
⇔ sin  2 x − ÷+ sin = = sin ⇔ sin  2 x − ÷ = sin − sin =
 12   12 
12 4 4 12
2
π  π  π
= 2 cos sin  − ÷ = sin  − ÷
 12   12 
3

π
5π π 

 x = 6 + kπ
= − + k 2π
2x −
π 
5π 
  12 12
( k ∈¢ )
⇔ sin  2 x − ÷ = sin  − ÷ ⇔  ⇔
 2 x − 5π = 13π + k 2π  x = 3π + kπ
 12   12 


 
12 12 4




GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 19
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản