Bài tập phương trình lượng giác ôn thi đại học

Chia sẻ: xinccv_vnb

Tài liệu tham khảo bài tập phương trình lượng giác 12 có đáp án dành cho các bạn học sinh ôn thi đại học, cao đẳng.

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Bài tập phương trình lượng giác ôn thi đại học

 

  1. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC Giải các phương trình sau 3π  π   1) 2 2 cos 2 x + sin 2 x cos  x + ÷− 4sin  x + ÷ = 0  4  4 3π π ) − 4sin( x + ) = 0 ⇔ 2 2 cos2x + sin2x cos( x + 4 4 3π 3π π π 2 2 cos2x + sin2 x(cos x.cos − sin x sin ) − 4(sin x cos + cos x sin ) = 0 4 4 4 4 ⇔ 4cos2x-sin2x(sinx+cosx)-4(sinx+cosx)=0 ⇔ (sinx+cosx)[4(cosx-sinx)-sin2x-4]=0 3π Với t=-1 ta tìm được nghiệm x là : x = k2π hoÆ x= + k2π . c 2 π 3π + kπ , x = k2π vµ x= + k2π KL: Họ nghiệm của hệ PT là: x = − 4 2 sinx+cosx=0 (2) π ⇔ + kπ . . PT (2) có nghiệm x = −  4(cosx-sinx)-sin2x-4=0 (3) 4 π Giải (3) : Đặt t = sinx-cosx= 2 sin( x − ), § iÒ kiÖ t ≤ 2 (* ) ⇒ sin2x = 1 − t 2 , thay vào (2) un 4 được PT: t2-4t-5=0 ⇔ t =-1( t/m (*)) hoặc t =5(loại ) 3π Với t =-1 ta tìm được nghiệm x là : x = k2π hoÆ x= + k2π . c 2 π 3π + kπ , x = k2π vµ x= + k2π KL: Họ nghiệm của hệ PT là: x = − 4 2 3 2) Giải phương trình sin x + s inx.cos3 x + cos 3 x = 2 2 4 2  3 1 3 pt ⇔  sinx + cos3 x ÷ + cos 2 3 x =  4 2 4   1 3  sinx + cos3 x ÷ = sin 3 x 2  2 2  32 1 ⇔  sinx + cos3 x ÷ = sin 3 x ⇔    4 2  1 3  sinx + cos3 x ÷ = − sin 3 x   2 2  π 1  3 sin  − 3 x ÷ = sin ( − x ) cos3x − sin 3x = − sinx   6  2 2 ⇔ ⇔  π 1  3 sin  6 + 3 x ÷ = sin ( − x ) cos3x + sin 3 x = − sinx    2 2 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 1
  2. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC π −5π  x = − kπ ; x = − kπ  12 12 ⇔  x = −π + kπ ; x = 5π + kπ   24 2 12 cos 2 x + cos 3 x − 1 cos 2 x − tan x = 2 3) cos 2 x ĐK cosx ≠ 0, pt được đưa về cos 2x − tan 2 x = 1 + cos x − (1 + tan 2 x) ⇔ 2cos 2 x − cos x -1 = 0 Giải tiếp được cosx = 1 và cosx = 0,5 rồi đối chiếu đk để đưa ra ĐS: 2π 2π x = k2π, x = ± + k2π; hay x = k . 3 3 4) 2 cos 3x(2 cos 2x + 1) = 1 Nhận xét x = kπ, k ∈ Z không là nghiệm của phương trình đã cho nên ta có: 2 cos 3x(3 − 4sin 2 x) = 1 ⇔ 2 cos 3x(3sin x − 4sin 3 x) = sin x ⇔ 2 cos 3x sin 3x = sin x ⇔ sin 6x = sin x 2mπ  x = 6x = x + m2π 5 ⇔ ⇔ ;m∈Z 6x = π − x + m2π π 2mπ x = +   7 7 5) : 2( tanx – sinx ) + 3( cotx – cosx ) + 5 = 0 Phương trình đã cho tương đương với : 2(tanx + 1 – sinx) + 3(cotx + 1 – cosx) = 0  sin x   cosx  ⇔ 2 + 1 − sin x ÷+  + 1 − cosx ÷ = 0  cosx   sin x  2 ( sin x + cosx − cosx.sin x ) 3 ( sin x + cosx − cosx.sin x ) ⇔ + =0 cosx sin x 2 3 ÷( cosx + sin x − cosx.sin x ) = 0 ⇔ +  cosx sin x  −3 2 3 + = 0 ⇔ tan x = = tan α ⇔ x = α + kπ • Xét cosx sin x 2 • Xét : sinx + cosx – sinx.cosx = 0 . Đặt t = sinx + cosx với t ∈  − 2; 2  . Khi đó phương trình trở thành:   t −1 2 t− = 0 ⇔ t 2 − 2t − 1 = 0 ⇔ t = 1 − 2 2 π π  1− 2   Suy ra : 2cos  x − ÷ = 1 − 2 ⇔ cos  x − ÷ = = cosβ  4  4 2 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 2
  3. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC π  6) 2 sin  2x − ÷+ 4sin x + 1 = 0.  6 π π 5π   ⇔ sin  x + ÷ = −1 ⇔ x = − + k2π Ta cã : 2 sin  2x − ÷+ 4sin x + 1 = 0. 3  6  6 ⇔ 3 sin2x – cos2x + 4sinx + 1 = 0 7) sin x + cos x = cos 2 x.(2 cos x − sin x) 3 3 ⇔ 3 sin2x + 2sin2x + 4 sinx = 0 ⇔ sinx ( 3 cosx + sinx + 2 ) = 0 π   x = 2 + kπ ⇔ sinx = 0 (1) hoÆc 3 cosx + sinx + 2 = 0 (2)  + (1) ⇔ x = kπ π KQ:  x = − + lπ (k , l , m ∈ ¢ ) 3 1  4 + (2) ⇔ cosx + sin x = −1  2 2  x = arctan 1 + mπ   2 ( ) 8) sin 2 x ( cos x + 3 ) − 2 3cos x − 3 3cos2 x + 8 3 cos x − s inx − 3 3 = 0 3 ⇔ ( 3 cos x − sin x)(−2 cos 2 x − 6 cos x + 8) = 0 π   tan x = 3  x = 3 + kπ , k ∈ Ζ ⇔  3 cos x − sin x = 0   ⇔ 2 ⇔ cos x = 1  x = k 2π cos x + 3 cos x − 4 = 0   cos x = 4(loai )  9) 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8 Phương trình đã cho tương đương với 9sinx + 6cosx – 6sinx.cosx + 1 – 2sin2x = 8  6cosx(1 – sinx) – (2sin2x – 9sinx + 7) = 0  6cosx(1 – sinx) – (sinx – 1)(2sinx – 7) = 0  (1-sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0 1 − sin x = 0  6 cos x + 2 sin x − 7 = 0 (VN ) π x = + k 2π 2 4 + 2sin 2 x 3 + − 2 3 = 2(cotg x + 1) 10) 2 sin 2 x cos x Phương trình đã cho tương đương với: ( )4 3 1 + tg2 x + − 2 3 = 2cotg x sin 2 x 2(sin 2 x + cos 2 x) 2 ⇔ 3tg x + − 3 = 2cotg x sin x cos x ⇔ 3tg2 x + 2tg x − 3 = 0 π   tg x = − 3 x = − + kπ   3 ⇔ 1  tg x =  x = π + kπ   3   6 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 3
  4. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC π π KL: So sánh với điều kiện phương trình có nghiệm : x = + k ; k∈Z 6 2 π 11) sin 4 x + cos 4 x = 4 2 sin ( x + ) −1 4 ⇔ (cos x + sin x) (cos x – sin x) (sin 2x + cos 2x) = 2(sin x + cos x) π  s inx + cos x = 0 x = − + kπ  ⇔ ⇔ 4  (cos x − sinx)(sin 2 x + cos2 x) = 2 cos3 x − sinx = 2 Chứng minh được phương trình cos 3x – sin x = 2 vô nghiệm π + kπ KL: x = − 4 12) 2 cos 6 x + 2 cos 4 x - 3 cos 2 x = sin 2 x + 3 cos x = 0 cos x=0 ⇔ 4cos5xcosx = 2sinxcosx + 2 3 cos x ⇔  cos5x=cos(x- π ) 2  2cos5x =sinx+ 3 cos x  6 π  x = + kπ  2  π kπ ⇔ x = − +  24 2   x = π + k 2π   42 7 x 4cos3xcosx - 2cos4x - 4cosx + tan t anx + 2 13) 2 =0 2sinx - 3 x 3 và cos ≠ 0 và cosx ≠ 0 Điều kiện: s inx ≠ 2 2 cosx = 1 Biến đổi pt về: 4cos x - 4 cos x – cosx + 1 = 0 ⇔  3 2 cosx = ± 1  2 14) 1 + 3 (sinx + cosx) + sin2x + cos2x = 0 Phương trình đã cho tương đương với ( 3 s inx + sin 2 x) +  3 cos x + (1 + cos2 x)  = 0   ⇔ ( 3 s inx + 2s inx.cos x) + ( 3 cos x + 2cos 2 x) = 0 ⇔ s inx( 3 + 2 cos x) + cos x( 3 + 2 cos x) = 0  3 cos x = − ⇔ ( 3 + 2 cos x)(s inx + cos x) = 0 ⇔  2 s inx = − cos x  GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 4
  5. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC  5π  x = ± 6 + k 2π  5π x = ± + k 2π ⇔ ⇔ ,k ∈ Z 6   x = − π + kπ  t anx = −1   4 15) 4sin 3 x.cos3x + 4co s 3 x.sin 3x + 3 3cos4x = 3 Phương trình đã cho tương đương với phương trình : 1. Phương trình : 4 sin 3 x.cos3x + 4co s3 x.sin 3x + 3 3 co s4x = 3 ⇔ 4[(1 − co s 2 x) sin x.cos3x + (1 − sin 2 x)co s x.sin 3x ] + 3 3 co s 4x = 3 ⇔ 4[( sin x.cos3x + co s x.sin 3x) − cos x sin x(co sx.cos3x + sin x.sin 3x)] + 3 3 co s4x = 3   1 1 ⇔ 4[ sin 4x − sin 2x.co s2x ] + 3 3 co s4x = 3 ⇔ 4  sin 4x − sin 4x ÷+ 3 3 co s4x = 3 ⇔ 3sin 4x + 3 3 co s4x = 3 2  4  π π 1 3 1 ⇔ sin 4x + 3 co s4x = 1 ⇔ sin 4x + co s 4x = ⇔ sin(4x + ) = sin 2 2 2 3 6 ππ ππ π π π      4x + 3 = 6 + k2π  4x + 3 = 6 + k2π  4x = − 6 + k2π  x = − 24 + k 2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ (k ∈ Z)  4x + π = 5π + k2π  4x + π = 5π + k2π x = π + k π  4x = π + k2π         36 36 8 2 2 π 16) : sin2x + (1 + 2cos3x)sinx - 2sin 2 (2x+ )=0 4 π sin2x + (1+2cos3x)sinx – 2sin(2x + )=0 4 π ⇔ sin2x + sinx + sin4x – sin2x = 1 – cos(4x + ) ⇔ sinx + sin4x = 1+ sin4x ⇔ sinx = 1 2 π + k2 π , k ∈ Z ⇔x= 2 cos 2 x 1 17) T×m x ∈ (0; π ) tho¶ m·n ph¬ng tr×nh: cot x - 1 = + sin 2 x − sin 2 x . 1 + tan x 2 sin 2 x ≠ 0 sin 2 x ≠ 0 ⇔ §K:  sin x + cos x ≠ 0 tan x ≠ −1 cos x − sin x cos 2 x. cos x + sin 2 x − sin x cos x Khi ®ã pt ⇔ = cos x + sin x sin x cos x − sin x = cos 2 x − sin x cos x + sin 2 x − sin x cos x ⇔ sin x ⇔ cos x − sin x = sin x(1 − sin 2 x) ⇔ (cos x − sin x)(sin x cos x − sin 2 x − 1) = 0 ⇔ (cos x − sin x)(sin 2 x + cos 2 x − 3) = 0 π ⇔ cos x − sin x = 0 ⇔ tanx = 1 ⇔ x = + kπ (k ∈ Z ) (tm) 4 π x ∈ ( 0; π ) ⇒ k = 0 ⇒ x = 4 2 π x x x2 17) 1 + sin sin x − cos sin x = 2 cos  −  2 2  4 2 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 5
  6. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC (1) ⇔ 1+ sin x sinx − cosx sin2 x = 1+ cos π − x  = 1 + sinx   2 2 2  x  x x x x x ⇔ sinx sin − cos sinx − 1 = 0 ⇔ sinx sin − cos .2sin cos − 1 = 0 2 2 2 2 2 2   x  x x ⇔ sinx sin − 1 2 sin2 + 2 sin + 1 = 0  2  2 2  sin x = 0  x = kπ   x = kπ sin x = 1 ⇔ x π ⇔ ⇔ ⇔ x = kπ, k ∈ Z  = + k2π 2  x = π + k4π 2 2  x x 2sin2 + 2sin + 1  2 2 18) 2cos4x - ( - 2)cos2x = sin2x + biết x∈ [ 0 ; π ]. Phương trình đã cho tương đương với 2(cos4x + cos2x) = (cos2x + 1) + sin2x cosx=0 ⇔ 4cos3xcosx=2 3cos 2 x + 2s inxcosx ⇔   2cos3x= 3cosx+sinx π + cosx=0 ⇔ x= + kπ 2 π  3x=x- 6 + k 2π π + 2cos3x= 3cosx+sinx ⇔ cos3x=cos(x- ) ⇔  3x = π − x + k 2π 6   6 π   x = − 12 + kπ π 11π π 13π vì x ∈ [ 0; π ] ⇒ x = , x = ⇔ ,x = ,x =  x = π + kπ 2 12 24 24   24 2 cos x. ( cos x − 1) 2 = 2 ( 1 + sin x ) . 19) sin x + cos x ĐK: sin x + cos x ≠ 0 Khi đó PT ⇔ ( 1 − sin x ) ( cos x − 1) = 2 ( 1 + sin x ) ( sin x + cos x ) 2 ⇔ ( 1 + sin x ) ( 1 + cos x + sin x + sin x.cos x ) = 0 ⇔ ( 1 + sin x ) ( 1 + cos x ) ( 1 + sin x ) = 0 sin x = −1 ⇔ (thoả mãn điều kiện) cos x = −1 π  x = − + k 2π ⇔ ( k , m ∈ Z) 2   x = π + m2π π ( k , m ∈ Z) + k 2π và x = π + m2π Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x = − 2 1 3 sin 2 x + sin 2 x = tan x 20) 2 π * Đk: cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ . 2 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 6
  7. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC s inx PT đã cho ⇔ 3 sin2x + sinxcosx - =0 cos x 1 ⇔ sinx( * 3 sinx + cosx - )=0 cos x s inx = 0 ⇔  3 s inx + cos x − 1 = 0  cosx * Sinx = 0 ⇔ x = k π . 1 1 = 0 ⇔ 3 tanx + 1 - * 3 sinx + cosx - =0 cos 2 x cos x  x = kπ  t anx = 0 ⇔ ⇔ tan x - 3 tanx = 0 ⇔   x = π + kπ 2  t anx = 3  3 π Vậy PT có các họ nghiệm: x = k π , x = + kπ 3 21) 3 sin 2 x.( 2 cos x + 1) + 2 = cos 3 x + cos 2 x − 3 cos x. Pt ⇔ 3 sin 2 x(2 cos x + 1) = (cos 3x − cos x) + (cos 2 x − 1) − (2 cos x + 1) ⇔ 3 sin 2 x (2 cos x + 1) = −4 sin 2 x cos x − 2 sin 2 x − (2 cos x + 1) ⇔ (2 cos x + 1)( 3 sin 2 x + 2 sin 2 x + 1) = 0 π • 3 sin 2 x + 2 sin 2 x + 1 = 0 ⇔ 3 sin 2 x − cos 2 x = −2 ⇔ sin( 2 x − ) = −1 6 π ⇔ x = − + kπ 6 2π   x = 3 + k 2π • 2 cos x + 1 = 0 ⇔  (k ∈ Z )  x = − 2π + k 2π   3 2π 2π π + k 2π và x = − + kπ (k∈ Z ) + k 2π ; x = − Vậy phương trình có nghiệm: x = 3 3 6 2 3 cos 2 x + 2sin 3 x cos x − sin 4 x − 3 =1 22) 3 sin x + cos x ĐK: • Với ĐK trên PT đã cho tương đương với Đối chiếu ĐK ta được nghiệm của pt đã cho là 1 − 2cos 2 x + 2 tan 2 x + cot 3 4 x = 3 23) s inx.cos x +) ÑK: sin4x ≠ 0 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 7
  8. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC +) PT ⇔ cot 3 4x − 4cot 4x − 3 = 0  cot 4x = 1 ⇔  cot 4x = 1 ± 13   2 π  24) tan x = 2 cos x cos  x − ÷  4 ĐK: x ≠ lπ (l ∈ ¢ ) PT ⇔ tanx = cosx(sinx + cosx) ⇔ sinx = cos2x(sinx + cosx) ⇔ sinx(sin2x + cos2x) = cos2x(sinx + cosx) π + kπ (k ∈ ¢ ) (Thoả mãn) ⇔ sin3x = cos3x ⇔ sinx = cosx ⇔ x = 4 (2 − 3 ) cos 2 x − 2 sin 13π   x − 2  25)  4 = −1 4 sin 2 x −1 π 1 Đk 4sin 2 x − 1 ≠ 0 ⇔ cos 2x ≠ ⇔ x ≠ ± + kπ, k ∈ ¢ 2 6 π ( )  Phương trình đã cho tương đương với 2 − 3 cos 2x − 1 + cos  2x − ÷ = 2 cos 2x − 1  2 π π π ⇔ sin 2x − 3 cos 2x = 0 ⇔ tan 2x = 3 ⇔ 2x = + kπ ⇔ x = + k , k ∈ ¢ . 3 6 2 2π   x = 3 + k2π ,k ∈¢ . Kết hợp với điều kiện ta có   x = 5π + k2π   3 ( ) 5sin 2 x − 4 sin 4 x + cos 4 x + 6 26) =0 2 cos 2 x + 3 5π 5π + k 2π ⇔ x ≠ ± + kπ , k ∈ Z Điều kiện: 2cos2 x + 3 ≠ 0 ⇔ 2 x ≠ ± 6 12 ( 1) ⇔ 5sin 2 x − 4 1 − 12 sin 2 x ÷+ 6 = 0  2   ⇔ 2sin x + 5sin 2 x + 2 = 0(2) 2 t = −2 ( loai ) Đặt sin2x=t, Đk: t ≤ 1 ( 2 ) ⇔ 2t + 5t + 2 = 0 ⇔  2 t = − 1 ( TM )   2 π π    x = − 12 + k 2π ( tm )  2 x = − 6 + k 2π Khi t=1/2=>sin2x=-1/2 ⇔  ,k ∈Z ⇔  ,k ∈Z  2 x = 7π + k 2π  x = 7π + k 2π ( l )     6 12 ( ) 27) 2sin x + 2 3 sin x cos x + 1 = 3 cos x + 3 sin x 2 3  1  ( ) 1 3 2 + 3 sin 2 x − cos 2 x = 3 cos x + 3 sin x ⇔1 +   2 sin 2 x − 2 cos 2 x ÷ = 3  2 cos x + 2 sin x ÷ ÷ ÷     GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 8
  9. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC 2π  π π π   2  ⇔ 1 + cos  2 x − ÷ = 3cos  x − ÷⇔ 2 cos  x − ÷ = 3cos  x − ÷  3  3  3  3 π ππ 5π  ⇔ cos  x − ÷ = 0 ⇔ x − = + kπ ⇔ x = + kπ  3 32 6 28) 4cos 4 x − 4 3cos3 x + cos 2 x + 3 sin 2 x + 3 = 0 ( )( ) ⇔ 4 cos 4 x − 4 3 cos 3 x + 3cos 2 x + cos 2 x + 2 3 sin x.cos x + 3sin 2 x = 0 ⇔ ( 2 cos ) + ( cos x + ) 2 2 x − 3 cos x =0 2 3 sin x 2 π ( )  2 ⇔ cos 2 x 2 cos x − 3 + 4 cos  x − ÷= 0  3 cos 2 x = 0   2 π  vo no cos  x − ÷= 0    3  x = ± π + k 2π ⇔  ⇔   6 3  cos x = π x = − + l π  2     6 2 π cos  x −  = 0  ÷   3  π ⇔ x = − + k 2π, k ∈¢ 6 2π x x x2 29) 1 + sin sin x - cos sin x = 2cos  - ÷  4 2 2 2 2π x x x2 1 + sin sin x − cos sin x = 2 cos  −  (1)  4 2 2 2 (1) ⇔ 1+ sin x sinx − cosx sin2 x = 1+ cos π − x  = 1 + sinx   2 2 2     x x x x x x ⇔ sinx sin − cos sinx − 1 = 0 ⇔ sinx sin − cos .2sin cos − 1 = 0 2 2 2 2 2 2   x  x x ⇔ sinx sin − 1 2 sin2 + 2 sin + 1 = 0  2  2 2  sin x = 0  x = kπ   x = kπ sin x = 1 ⇔ x π ⇔ ⇔ ⇔ x = kπ, k ∈ Z  = + k2π 2  x = π + k4π 2 2  x x 2sin2 + 2sin + 1  2 2 1 8 12 30) 2 cos x + cos ( x + 3π ) = + sin 2( x − π) + 3cos( x + 10,5π) + sin x 2 3 3 3 TX§: ¡ ; Trªn ®ã PT đã cho tương đương với PT 6 cos x + cos 2 x = 8 + 3si n 2 x − 9sin x + s in 2 x (1) (1) ⇔ 6 cos x − 6sin x cos x + cos 2 x − sin 2 x + 9sin x − 8 = 0 ⇔ 6 cos x(1 − s inx) + 2 − 2sin 2 x + 9sin x − 9 = 0 ⇔ (1 − sin x)(6 cos x + 2sin x − 7) = 0 π sin x = 1 ⇔ x = + k 2π (k ∈ ¢ ) 2 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 9
  10. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC PT 6cosx + 2sinx - 7 = 0 v« nghiÖm v× 62 + 22 < 72. VËy nghiÖm cña PT ®· cho lµ π x= + k 2π (k ∈ ¢ ) 2 ( ) 31) 8 sin x + cos x + 3 3 sin 4 x = 3 3cos 2 x − 9sin 2 x + 11 6 6 3 ( sin x + cos 6 x ) = 1 − sin 2 2 x (1) 6 4 Thay (1) vµo ph¬ng tr×nh (*) ta cã : 8 ( sin 6 x + cos 6 x ) + 3 3 sin 4 x = 3 3cos 2 x − 9sin 2 x +11 3  ⇔ 8 1 − sin 2 2 x ÷+ 3 3 sin 4 x = 3 3cos 2 x − 9 sin 2 x + 11 4  ⇔ 3 3 sin 4 x − 3 3cos 2 x = 6sin 2 2 x − 9sin 2 x + 3 ⇔ 3 sin 4 x − 3cos 2 x = 2sin 2 2 x − 3sin 2 x + 1 ⇔ 3cos 2 x. ( 2sin 2 x − 1) = (2sin 2 x − 1)(sin 2 x − 1) ( ) ⇔ ( 2sin 2 x − 1) 3cos 2 x − sin 2 x + 1 = 0  2sin 2 x − 1 = 0  2sin 2 x = 1 (2) ⇔ ⇔  3cos 2 x − sin 2 x + 1 = 0 sin 2 x − 3cos 2 x = 1 (3) Π Π    x = 12 + k Π x = + kΠ 4 (k ∈ Z ) (k ∈ Z )   Gi¶i (2) : ; Gi¶i (3)  x = 5Π + k Π 7Π x = + kΠ     12 12 KÕt luËn : 1 + s inx 1 32) sin x + − sin 2 x = cosx 2 cosx 2 ĐK: cosx ≠ 0 . PT ⇔ (1 + sinx + cosx)sin2x = 0 nghiệm x = k π 33) : tan 3 x − 2 tan 4 x + tan 5 x = 0 với x ∈ (0; 2π ) . ĐK: cos 3x ≠ 0;cos 4 x ≠ 0;cos5 x ≠ 0 . Phương trình cho  cos 2 4 x − cos 3 x.cos 5 x  sin 8 x 2sin 4 x ⇔ − =0 ⇔ 2sin 4 x  ÷= 0 cos 3x.cos 5 x cos 4 x  cos 3x.cos 4 x.cos 5 x     1 + cos8 x − cos 2 x − cos8 x  2sin 2 x ⇔ sin 4 x  ÷= 0 ⇔ sin 4 x  ÷= 0  cos 3 x.cos 4 x.cos 5 x   cos 3 x.cos 4 x.cos 5 x  π  sin 4 x = 0 x = k 4 , k ∈¢ ⇔ x = k π , k ∈¢ ⇔ ⇔  sin x = 0 4  x = kπ Do x ∈ (0; 2π ) nên phương trình cho có nghiệm là π 5π 3π 7π x = ;x = π;x = ;x = ;x = 4 4 2 4 ( ) 34) 2sin x + 2 3 sin x cos x + 1 = 3 cos x + 3 sin x 2 3  1  ( ) 1 3 2 + 3 sin 2 x − cos 2 x = 3 cos x + 3 sin x ⇔1 +  sin 2 x − cos 2 x ÷ = 3  cos x + sin x ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 2     GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 10
  11. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC 2π  π π π   2  ⇔ 1 + cos  2 x − ÷ = 3cos  x − ÷⇔ 2 cos  x − ÷ = 3cos  x − ÷  3  3  3  3 π ππ 5π  ⇔ cos  x − ÷ = 0 ⇔ x − = + kπ ⇔ x = + kπ  3 32 6 35) sin 2 x − cos 2 x + 3 sin x + 5 cos x − 4 = 0 +Phong tr×nh ⇔ 2 sin 2 x + 3 sin x − 5 + cos x(2 sin x + 5) = 0 ⇔ (sin x − 1)(2 sin x + 5) + cos x (2 sin x + 5) = 0 ⇔ (2 sin x + 5)(sin x + cos x − 1) = 0 ππ  x + 4 = 4 + k 2π  5 π sin x = − (l ) 1 ⇔ ⇔ sin( x + ) = ⇔ (k ∈ Z ) 2   x + π = 3π + k 2π 4 2 sin x + cos x = 1    4 4  x = k 2π   x = π + k 2π  2 π +VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = kπ ; x = + k 2π 2 2(cos x − sin x) 1 = 36) tan x + cot 2 x cot x − 1 Điều kiện:sinx.cosx ≠ 0 và cotx ≠ 1 Phơng trình tơng đơng 2(cos x − sin x) 1 = sin x cos 2 x cos x + −1 cos x sin 2 x sin x π ⇒ cosx = 2 ⇒ x = ± + k 2π 4 2 π + k 2π Đối chiếu điều kiện pt có 1 họ nghiệm x = − 4 π  − 2 x  + 3 cos 4 x = 4 cos 2 x − 1 2 37) 2 cos  4  π  Phương trình tương đương với ⇔ 1 + cos  − 4 x ÷+ 3 cos 4 x = 4 cos 2 x − 1 2  π  1 3 ( ) ⇔ sin 4 x + 3 cos 4 x = 2 2 cos 2 x − 1 ⇔ sin 4 x + cos 4 x = cos 2 x ⇔ cos  4 x − ÷ = cos 2 x  6 2 2 π   x = 12 + kπ (k∈¢ ) ⇔  x = π + kπ  36 3  π12 1 8 38) 2 cos x + cos (π + x) = + sin 2 x + 3cos( x + ) + sin x 2 3 3 23 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 11
  12. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC 1 8 1 cos 2 x = + sin 2 x − 3s inx+ sin 2 x ⇔ 6cosx+cos 2 x = 8 + 6s inx.cosx-9sinx+sin 2 x ⇔ 2cosx+ 3 3 3 7 ⇔ 6cosx(1-sinx)-(2sin 2 x − 9s inx+7) = 0 ⇔ 6cosx(1-sinx)-2(s inx-1)(s inx- ) = 0 2 1 − s inx=0 (1)  π  ⇔ (1-sinx)(6cosx-2sinx+7) = 0 ⇔  ⇔ x = + k 2π ;(k ∈ Z ) 6cosx-2sinx+7=0(2) 2  (p/t (2) vô nghiệm ) 39) sin 2 x − 2 2(s inx+cosx)=5 ⇒ sin2x = t2 - 1 ⇒ ( I ) Đặt sinx + cosx = t ( t ≤ 2 ). ⇔ t 2 − 2 2t − 6 = 0 ⇔ t = − 2 ) π +Giải được phương trình sinx + cosx = − 2 … ⇔ cos( x − ) = −1 4 5π + k 2π ( k∈ Z ) hoặc dưới dạng đúng khác + Lấy nghiệm Kết luận : x = 4 cos 2 x 1 40) T×m x ∈ (0; π ) tho¶ m·n ph¬ng tr×nh: cot x - 1 = + sin 2 x − sin 2 x . 1 + tan x 2 sin 2 x ≠ 0 sin 2 x ≠ 0 ⇔ §K:  sin x + cos x ≠ 0 tan x ≠ −1 cos x − sin x cos 2 x. cos x + sin 2 x − sin x cos x Khi ®ã pt ⇔ = cos x + sin x sin x cos x − sin x = cos 2 x − sin x cos x + sin 2 x − sin x cos x ⇔ sin x ⇔ cos x − sin x = sin x(1 − sin 2 x) ⇔ (cos x − sin x)(sin x cos x − sin 2 x − 1) = 0 ⇔ (cos x − sin x)(sin 2 x + cos 2 x − 3) = 0 π ⇔ cos x − sin x = 0 ⇔ tanx = 1 ⇔ x = + kπ (k ∈ Z ) (tm) 4 π x ∈ ( 0;π ) ⇒ k = 0 ⇒ x = 4 41) 3 (2cos2x + cosx – 2) + (3 – 2cosx)sinx = 0 Phương trình đã cho tương đương với phương trình : nπ    x = ( −1) 3 + nπ, n ∈ ¢ 3 sin x = ( 2sin x − 3 ) ( ) ⇔ 3 sin x + cos x = 0 ⇔  2  x = − π + kπ , k ∈ ¢  3 sin x + cos x = 0    6 π  42) cos x + cos3x = 1 + 2 sin  2x + ÷  4 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 12
  13. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC π  1. cos x + cos3x = 1 + 2 sin  2x + ÷ ⇔ 2cos x cos 2x = 1 + sin 2x + cos2x  4 ⇔ 2cos x + 2sin x cos x − 2cos x cos 2x = 0 ⇔ cos x ( cos x + sinx − cos 2x ) = 0 2  π  x = + kπ 2 cos x = 0  π   ⇔ cos x ( cos x + sinx ) ( 1 + sinx − cosx ) = 0 ⇔ cos x + sinx = 0 ⇔ x = − + kπ 4 1 + s inx − cosx = 0    π 1 sin  x − 4 ÷ = −   2 π   x = 2 + kπ π  x = + kπ    x = − π + kπ 2   π  4 ⇔ ⇔  x = − + kπ  x − π = − π + k2π 4   x = k2π  4 4   π 5π  x − = + k2π  44 sin 4 2 x + cos 4 2 x = cos 4 4 x 43) π π − x).tan( + x) tan( 4 4 π π +) ĐK: x ≠ + k ,k ∈Z 4 2 π π π π +) tan( − x) tan( + x) = tan( − x) cot( − x) = 1 4 4 4 4 1 11 sin 4 2 x + cos 4 2 x = 1 − sin 2 4 x = + cos 2 4 x 2 22 pt ⇔ 2 cos 4 4 x − cos 2 4 x − 1 = 0 π +) Giải pt được cos24x = 1 ⇔ cos8x = 1 ⇔ x = k và cos24x = -1/2 (VN) 4 π +) Kết hợp ĐK ta được nghiệm của phương trình là x = k ,k ∈ Z 2 2 π x x x2 44) 1 + sin sin x − cos sin x = 2 cos  −  2 2  4 2 π x  x x 1 + sin sin x − cos sin 2 x = 2 cos 2  −  (1)  4 2 2 2 (1) ⇔ 1+ sin x sinx − cosx sin2 x = 1+ cos π − x  = 1 + sinx   2 2 2     x x x x x x ⇔ sinx sin − cos sinx − 1 = 0 ⇔ sinx sin − cos .2sin cos − 1 = 0 2 2 2 2 2 2   x  x x ⇔ sinx sin − 1 2 sin2 + 2 sin + 1 = 0  2  2 2 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 13
  14. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC  sin x = 0  x = kπ   x = kπ x ⇔ x π ⇔ sin = 1 ⇔ ⇔ x = kπ, k ∈ Z  = + k2π 2  x = π + k4π 2 2  x x 2sin2 + 2sin + 1  2 2 2 ( cos x − sin x ) 1 45) = tan x + cot 2 x cot x − 1 cos x.sin 2 x.sin x. ( tan x + cot 2 x ) ≠ 0   cot x ≠ 1  2 ( cos x − sin x ) 1 cos x.sin 2 x = ⇔ = 2 sin x Từ (1) ta có: sin x cos 2 x cos x cos x + −1 cos x sin 2 x sin x ⇔ 2sin x.cos x = 2 sin x π  x = + k 2π  2 4 ( k ∈¢ ) ⇔ cos x = ⇔  x = − π + k 2π 2   4 π + k 2π ( k ∈ ¢ ) Giao với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là x = − 4 46) 1 + tan 2 x = ( sin x − cos x ) 2 cos 2 2 x 47) sin x + sin 2 x + sin 3 x + sin 4 x = cos x + cos 2 x + cos3 x + cos 4 x TXĐ: D =R sin x + sin 2 x + sin 3 x + sin 4 x = cos x + cos 2 x + cos 3 x + cos 4 x sin x − cosx = 0 ⇔ (sin x − cosx).[ 2 + 2(sin x + cosx) + sin x.cosx ] = 0 ⇔   2 + 2(sin x + cosx) + sin x.cosx = 0 π + Với sin x − cosx = 0 ⇔ x = + kπ (k ∈ Z ) 4 + Với 2 + 2(sin x + cosx) + sin x.cosx = 0 , đặt t = sin x + cosx (t ∈  − 2; 2  )    t = −1 được pt : t2 + 4t +3 = 0 ⇔  t = −3(loai ) π   x = 4 + kπ ( k ∈ Z )  x = π + m2π  t = -1 ⇒  (m ∈ Z )  x = π + m2π (m ∈ Z ) π  x = − + m2π  π  2  x = − + m2π  2 48) (2cosx-1)(2sinx+cosx)=sin2x-sinx GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 14
  15. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC ⇔ (2cosx-1)(sinx+cosx)=0  2 cos x − 1 = 0 (1) ⇔ sin x + cos x = 0 (2) π 1 (1) ⇔ cos x = ⇔ x = ± + k .2π 2 3 π (2) ⇔ tan x = −1 ⇔ x = − + kπ (k ∈ Z) 4 π π + k .2π , x = − + kπ (k ∈ Z) Vậy nghiệm cña phương trình lµ x = ± 3 4 π 49) cos x + cos 3 x = 1 + 2 sin( 2 x + ) 4 cos 2 x 1 + sin 2 x − sin 2 x . 50) cotx – 1 = 1 + tan x 2 sin 2 x ≠ 0 sin 2 x ≠ 0 ⇔ ®K:  sin x + cos x ≠ 0 tan x ≠ −1 cos x − sin x cos 2 x. cos x + sin 2 x − sin x cos x PT ⇔ = cos x + sin x sin x cos x − sin x = cos 2 x − sin x cos x + sin 2 x − sin x cos x ⇔ sin x ⇔ ⇔ cos x − sin x = sin x(1 − sin 2 x) (cos x − sin x)(sin x cos x − sin 2 x − 1) = 0 ⇔ (cos x − sin x)(sin 2 x + cos 2 x − 3) = 0 cos x − sinx = 0 π ⇔ (cos x − sinx)( 2 sin(2 x + ) − 3) = 0 ⇔   2 sin(2 x + π ) = 3(voly ) 4  4 π x ∈ ( 0;π ) ⇒ k = 0 ⇒ x = 4 ( )  π 4 4 51) Tìm m để phương trình 2 sin x + cos x + cos 4 x + 2sin 2 x − m = 0 có nghiệm trên 0;  .  2 Do đó ( 1) ⇔ −3sin 2 2 x + 2sin 2 x + 3 = m .  π Đặt t = sin 2 x . Ta có x ∈  0;  ⇒ 2 x ∈ [ 0; π ] ⇒ t ∈ [ 0;1] .  2 Suy ra f ( t ) = −3t 2 + 2t + 3 = m, t ∈ [ 0;1] Ta có bảng biến thiên GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 15
  16. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC  π 10 Từ đó phương trình đã cho có nghiệm trên 0;  ⇔ 2 ≤ m ≤  2 3 1 3 sin 2 x + sin 2 x = tan x 52) 2 π * Đk: cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ . 2 s inx PT đã cho ⇔ 3 sin2x + sinxcosx - =0 cos x 1 ⇔ sinx( * 3 sinx + cosx - )=0 cos x s inx = 0 ⇔  3 s inx + cos x − 1 = 0  cosx ⇔ x = kπ . * Sinx = 0 1 1 = 0 ⇔ 3 tanx + 1 - * 3 sinx + cosx - =0 cos 2 x cos x  x = kπ  t anx = 0 ⇔ ⇔ tan x - 3 tanx = 0 ⇔   x = π + kπ 2  t anx = 3  3 π Vậy PT có các họ nghiệm: x = k π , x = + kπ 3 53) 3 sin 2 x.( 2 cos x + 1) + 2 = cos 3 x + cos 2 x − 3 cos x. Pt ⇔ 3 sin 2 x(2 cos x + 1) = (cos 3x − cos x) + (cos 2 x − 1) − (2 cos x + 1) ⇔ 3 sin 2 x (2 cos x + 1) = −4 sin 2 x cos x − 2 sin 2 x − (2 cos x + 1) ⇔ (2 cos x + 1)( 3 sin 2 x + 2 sin 2 x + 1) = 0 π 3 sin 2 x + 2 sin 2 x + 1 = 0 ⇔ 3 sin 2 x − cos 2 x = −2 ⇔ sin(2 x − ) = −1 6 π + kπ ⇔x=− 6 2π  + k 2π x=  3 • 2 cos x + 1 = 0 ⇔  (k ∈ Z )  x = − 2π + k 2π   3 2π 2π π + k 2π và x = − + kπ (k∈ Z ) + k 2π ; x = − Vậy phương trình có nghiệm: x = 3 3 6 54) 2 cos 5 x. cos 3x + sin x = cos 8 x , (x ∈ R) PT ⇔ cos2x + cos8x + sinx = cos8x 1 ⇔ 1- 2sin2x + sinx = 0 ⇔ sinx = 1 v sin x = − 2 π π 7π + k 2π ; x = − + k 2π ; x = + k 2π , ( k ∈ Z ) ⇔x= 2 6 6 55) cos2x + 2sin x − 1 − 2sin x cos 2x = 0 (1) GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 16
  17. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC ( 1) ⇔ cos2 x ( 1 − 2sin x ) − ( 1 − 2sin x ) = 0 ⇔ ( cos2 x − 1) ( 1 − 2sin x ) = 0 Khi cos2x=1<=> x = kπ , k ∈ Z π 5π 1 Khi s inx = ⇔ x = + k 2π hoặc x = + k 2π , k ∈ Z 2 6 6 sin 3x − sin x ( 0; 2π ) = sin 2x + cos2x 55) Tìm các nghiệm trên của phương trình : 1 − cos2x • Khi x ∈ ( π; 2π ) th× π sin 3x − sin x  2cos2x.sin x = sin 2x + cos2x (1) ⇔ = 2cos  2x − ÷  4 1 − cos2x 2 sin x sinx < 0 nªn : (1) ⇔ − 2π cos2x = §K : sinx ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ • Khi x ∈ ( 0; π ) th× sinx > 0 nªn : π  2 cos  2x − ÷  4 π  (1) ⇔ 2 cos2x = 2 cos  2x − ÷  4 π kπ ⇔x= + 16 2 π 9π Do x ∈ ( 0; π ) nªn x = hay x = 16 16 π  ⇔ cos ( π-2x ) = cos  2x- ÷  4 5π kπ ⇔x= + 16 2 21π 29π Do x ∈ ( π; 2π ) nªn x = hay x = 16 16 π π   56) 5 cos 3 x +  + 3 cos 5 x −  = 0 6 10    π π   Pt ↔ 5 cos  3 x + ÷ + 3cos  5 x − ÷ = 0 ↔ 5sin 3 x = 3sin 5 x ↔ 2sin 3 x = 3(sin 5 x − sin 3 x)  2  2 sin x = 0 ↔ 2sin x(3cos 4 x + 4sin 2 x − 3) = 0 ↔  3cos 2 x − cos 2 x − 2 = 0 2  x = kπ ↔ ( k ∈Z )  x = ± 1 arccos(− 2 ) + kπ   2 3 17 π xπ 57) sin(2 x + ) + 16 = 2 3.s inx cos x + 20sin 2 ( + ) 2 2 12 Biến đổi phương trình đã cho tương đương với π c os2x − 3 sin 2x + 10c os(x + ) + 6 = 0 6 π π ⇔ c os(2x + ) + 5c os(x + ) + 3 = 0 3 6 π π ⇔ 2c os 2 (x + ) + 5c os(x + ) + 2 = 0 6 6 π π 1 Giải được c os(x + ) = − và c os(x + ) = −2 (loại) 6 2 6 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 17
  18. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC π π 5π 1 *Giải c os(x + ) = − được nghiệm x = + k 2π và x = − + k 2π 6 2 2 6 58) (1 – tanx) (1+ sin2x) = 1 + tanx. π TXĐ: x ≠ + lπ (l ∈ Z ) 2 t = 0  2t  2t (1 − t ) 1 + = 1+ t ⇔  Đặt t= tanx => sin 2 x = 2 , đc pt: 2÷  t = −1  1+ t  1+ t Với t = 0 => x = k π , (k ∈ Z ) (thoả mãn TXĐ) π Với t = -1 => x = − + kπ (thoả mãn TXĐ) 4 π  59) 2sin  x − ÷ = 2sin x − t anx 2 2  4 π π   sinx Đk: cos x ≠ 0 (*) 2sin  x − ÷ = 2sin x − t anx ⇔ 1 − cos  2 x − ÷ = 2sin x − 2 2 2  4  2 cos x ⇔ cos x − sin 2 x.cos x − 2sin 2 x.cos x + sinx ⇔ cos x + sinx − sin 2 x ( cos x + sinx ) = 0 π  cos x ≠ 0 sinx = − cos x → t anx = −1 ⇔ x = − + kπ  π π 4 ⇔ →x= +k sin 2 x = 1 ⇔ 2 x = π + l 2π ⇔ x = π + lπ 4 2   2 4 sin 2 x cos 2 x + = tgx − cot x 60) cos x sin x cos x cosx + sin2xsinx sinx cosx 2 (1) ⇔ = − sinx cosx cosx sinx cos2x − x) sin x − cos x ( 2 2 ⇔ = sinx cosx sinx cosx ⇔ cosx = − cos2x ∧ sin2x ≠ 0 ⇔ 2cos2 x + cosx − 1= 0∧ sin2x ≠ 0 1 ⇔ cosx = (cosx = −1 :loaï vì sinx ≠ 0) i 2 π ⇔ x= ± + k2π 3 2(cos x − sin x) 1 = 61) tan x + cot 2 x cot x − 1 §iÒu kiÖn:sinx.cosx ≠ 0 vµ cotx ≠ 1 Ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng 2(cos x − sin x) 1 = sin x cos 2 x cos x + −1 cos x sin 2 x sin x GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 18
  19. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC π 2⇒ ⇒ cosx = x = ± + k 2π 4 2 π + k 2π §èi chiÕu ®iÒu kiÖn pt cã 1 hä nghiÖm x = − 4  5π  − x ÷sin x = 1 62) 2 2 cos   12   5π 5π  5π    − x ÷sin x = 1 ⇔ 2 sin  2 x − ÷+ sin  = 1 2 2cos   12   12  12  5π  5π π 5π  π 5π   1 ⇔ sin  2 x − ÷+ sin = = sin ⇔ sin  2 x − ÷ = sin − sin =  12   12  12 4 4 12 2 π  π  π = 2 cos sin  − ÷ = sin  − ÷  12   12  3 π 5π π    x = 6 + kπ = − + k 2π 2x − π  5π    12 12 ( k ∈¢ ) ⇔ sin  2 x − ÷ = sin  − ÷ ⇔  ⇔  2 x − 5π = 13π + k 2π  x = 3π + kπ  12   12      12 12 4 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 19
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản