Bài tập sử dụng công thức nguyên hàm, tích phân

Chia sẻ: Abcdef_37 Abcdef_37 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

0
135
lượt xem
43
download

Bài tập sử dụng công thức nguyên hàm, tích phân

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong các đề thi Đại học chủ đề về tich phân nguyên hàm rất được quan tâm vì phần này khá hay và cũng khó, đa phần học sinh thường bỏ qua câu này, nhưng với phần tài liệu này sẽ cung cấp những bài tập điển hình giúp các em đạt được điểm trọn vẹn trong phần này.Mời các bạn tham khảo nhé

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài tập sử dụng công thức nguyên hàm, tích phân

  1. B ài 1 . Bài tập sử dụng công thức nguyên hàm, tích phân CHƯƠNG II. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BÀI 1. BÀI TẬP SỬ DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN B ẤT ĐỊ NH 1. Định nghĩa:  Giả sử y  f(x) liên tụ c trên khoả ng (a, b), khi đó hàm số y  F (x) là m ột nguyên hàm củ a hàm số y  f(x) khi và chỉ khi F(x)  f(x), x(a, b).  Nếu y  F(x) là m ộ t nguyên hàm của hàm số y  f(x) thì tậ p h ợp tấ t cả các nguyên hàm của hàm s ố y  f(x) là tậ p hợp I  F(x)  c c  R v à tậ p hợp này còn đư ợ c kí hiệ u dư ới dấ u tích phân bấ t đị nh I   f(x)dx  F(x)  c 2. Vi phân: 2.1 Giả sử y  f(x) xác định trên khoả ng (a, b) và có đạo hàm tạ i đi ểm x (a,b). Cho x một số gia x sao cho (x + x)  (a,b), khi đó ta có: dy  y   x  x • C ông thứ c vi phân theo số g ia:  df  x   f   x  x • C ông thứ c biến đổi vi phân: Ch ọn hàm số y  x  dy = dx = x’. x =  x  dx = x. dy  y   x  x dy  y   x  dx   Vậ y ta có:    df  x   f   x  x df  x   f   x  dx   • Nế u hàm s ố f(x) có vi phân tạ i điểm x thì ta nói f(x) kh ả vi tạ i điểm x. Do df  x   f   x  x nên f(x) khả v i tạ i đi ểm x  f(x) có đ ạ o hàm tạ i điểm x 2.2. Tính chấ t: Giả sử u v à v là 2 hàm số cùng khả vi tạ i điểm x. Khi đó: udv  vdu  d  u  v   du  dv ; d  uv   udv  vdu ; d u  v2 v 2.3 Vi phân của hàm h ợp  y  f(u) và f, g khả vi thì dy  f   u  du  f u  u  x  dx Nế u  u  g(x)  1
  2. Chương II. Nguyên hàm và tích phân  Trần Phương 3. Quan hệ gi ữa đạo hàm  nguyên hàm và vi phân:  f  x  dx  F  x   c  F  x   f  x   dF  x   f  x  dx 4. Các tính chấ t của nguyên hàm và tích phân 4.1. Nếu f(x) là hàm số có nguyên hàm thì    f  x  dx    f  x  dx   f  x  dx  f x ; d 4.2. Nếu F(x) có đ ạ o hàm thì:  d F  x   F  x   c 4.3. Phép cộng: Nếu f(x) và g(x) có nguyên hàm thì:  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx   4.4. Phép trừ: Nếu f(x) và g(x) có nguyên hàm thì:  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx   4.5. Phép nhân v ới m ột hằ ng số th ực khác 0:  kf  x  dx  k  f  x  dx , k  0 4.6. Công th ức đổi bi ến số: C ho y = f(u) và u = g(x).  f  g  x   g  x  dx   f u du  F u   c  f  x  dx  F  x   c Nế u thì  f  x  dx  F  x   c 5. Nhậ n xét: Nếu với F(x) là hàm sơ cấ p thì ta nói tích phân b ấ t  f  x  dx đ ịnh biể u diễn đư ợc dư ới dạ ng hữ u h ạ n. Ta có nh ậ n xét: Nế u một tích phân bấ t định biểu diễn được dư ới dạ ng hữ u hạ n thì hàm số dư ớ i dấ u tích phân là hàm sơ cấ p và đi ều ngư ợc lạ i không đúng, tứ c là có nhiề u hàm s ố dư ới d ấ u tích phân là hà m sơ cấ p nhưng tích phân bấ t đị nh không biểu diễ n đư ợ c dư ới d ạ ng hữ u hạ n mặ c dù nó tồ n tạ i. Chẳ ng hạ n các tích phân b ấ t định sau tồn tạ i dx sin x cos x x2 dx nhưng chúng không thể biể u di ễ n đư ợc e dx ;  ;  sin x dx ;  dx ;  ln x x x d ư ới dạ ng hữ u hạ n. 2
  3. B ài 1 . Bài tập sử dụng công thức nguyên hàm, tích phân II. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊ NH 1. Định nghĩa: Giả sử hàm s ố f(x) xác đ ịnh và bị chặ n trên đoạ n [a, b]. Xét m ột phân hoạ ch  bấ t kì củ a đo ạ n [a, b], tứ c là chia đoạ n [a, b] thành n phầ n tuỳ ý bởi các điểm chia: a  x 0  x1  ...  x n1  x n  b . Trên mỗi đo ạ n  x k 1 , x k  lấ y bấ t kì đi ểm k   x k 1 , x k      và g ọi  k  x k  x k 1 là độ dài của  x k 1 , x k  . Khi đó:   n  f  k  k  f  1  1  f  2   2  ...  f  n  n gọi là tổng tích phân của hàm f(x) trên k 1 đoạ n [a, b]. Tổng tích phân này phụ t hu ộ c vào phân hoạ ch , số k hoả ng chia n và phụ thuộ c vào cách ch ọn điể m  k. n  f  k  k Nếu tồn tạ i (là một số xác định) thì giới h ạ n này gọi là tích phân xác lim Maxk 0 k 1 b  f  x  dx định của hàm s ố f(x) trên đoạ n [a, b] và kí hi ệu là: a Khi đó hàm s ố y  f(x) đư ợ c g ọi là khả tích trên đoạ n [a, b] 2. Đi ều ki ệ n khả tích: Các hàm liên tụ c trên [a, b], các hàm b ị c hặ n có hữ u hạ n điểm gián đoạ n trên [a, b] và các hàm đơn điệ u bị c hặ n trên [a, b] đều khả tích trên [a, b]. 3. Ý nghĩa hình h ọc: b  f  x  dx Nếu f(x) > 0 trên đoạ n [a, b] thì là diệ n tích của hình thang cong giới hạ n a bởi các đư ờng: y  f(x), x  a , x  b, y  0 y C3 N k-1 B2 C2 Bk Ck Nk C n Bn Bk+1 Nn C 1 B1 N1 C n-1 O x 1 x1 2 x2 ... ... k-1 xk-1 k xk ... ... ... ... n-1 xn-1n xn =b a =x0 3
  4. Chương II. Nguyên hàm và tích phân  Trần Phương 4. Các định lý, tính ch ất và công th ức của tích phân xác định: 4.1. Đị nh lý 1: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì nó khả tích trên đoạn [a, b] 4.2. Đị nh lý 2: Nếu f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a, b] và f(x)  g(x),x[a, b] b b thì  f  x  dx   g  x  dx . Dấ u bằ ng xả y ra  f(x)  g(x), x [a, b] a a 4.3. Công th ức Newton - Leipnitz: b b  f  x  dx  F  x   c thì  f  x  dx  F  x  a  F b   F  a  Nế u a b b b  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx 4.4. Phép cộng:   a a a b b b  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx 4.5. Phép trừ:   a a a b b  kf  x  dx  k  f  x  dx , k  0 4.6. Phép nhân v ới m ột hằ ng số k hác 0: a a b a a  f  x  dx    f  x  dx ;  f  x  dx  0 4.7. Công th ức đảo cận tích phân: a b a b c b  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx 4.8. Công th ức tách c ận tích phân: a a c 4.9. Công th ức đổi bi ến số: Cho y = f(x) liên tụ c trên đoạ n [a, b] và hàm x  (t) khả v i, liên tụ c trên đoạ n [m, M] và Min   t   a; Max   t   b ;   m   a;   M  b . tm,M tm,M b M  f  x  dx   f   t    t  dt Khi đó ta có:   a m 4.10. Công th ức tích phân t ừ ng phần: Gi ả sử h àm s ố u(x), v(x) khả vi, liên tụ c trên [a, b], khi đó: b b b  u  x  v  x  dx  u  x  v  x  a   v  x  u  x  dx a a 4
  5. B ài 1 . Bài tập sử dụng công thức nguyên hàm, tích phân III. Bảng nguyên hàm m ở rộ ng 1 1 1  ax  b    cos  ax  b  dx  a sin  ax  b  c   ax  b  dx    c ,   1  a   1  dx 1 1  sin  ax  b  dx  cos  ax  b   c c  ax  b  a ln ax  b  c a 1 ax b 1 ax b  tg  ax  b  dx   a ln cos  ax  b   c e dx  e c a 1 1 ax  b max b  c  cotg  ax  b  dx  a ln sin  ax  b   c m dx  aln m dx 1 dx 1 x cotg  ax  b   c arctg  c  sin2  ax  b     a2  x 2 a a a dx 1 dx 1 ax  cos 2  ax  b   a tg  ax  b   c ln c   a2  x 2 2a a  x dx  ln  x  x 2  a2   c x x a2  x 2  c   arcsin a dx  x arcsin a  2 2 x a dx x x x a2  x 2  c  arcsin c   arccos a dx  x arccos a  a 2 2 a x dx 1 x x x a  arctg a dx  x arctg a  2 ln  a  x2   c 2 arccos  c  x a a 2 2 x a x x a  arc cotg a dx  x arc cotg a  2 ln  a  x2   c 2 1 a  x 2  a2 dx   ln c  x x 2  a2 a x b dx 1 ax  b   ln  ax  b  dx   x  a  ln  ax  b   x  c  sin  ax  b   a ln tg c 2   x a2  x 2 a2 dx 1 ax  b x a2  x 2 dx   sin  ax  b   a ln tg c arcsin  c   2 2 2 a eax  a sinbx  b cos bx  eax  a cos bx  b sinbx  ax ax  e sinbx dx  c  e cos bx dx  c a2  b 2 a2  b2 5
  6. Chương II. Nguyên hàm và tích phân  Trần Phương IV. NH ỮNG CHÚ Ý KHI S Ử D Ụ NG CÔNG TH ỨC KHÔNG CÓ TRONG SGK 12 Các công thứ c có mặ t trong II. mà không có trong SGK 12 khi sử dụ ng phả i chứ ng m inh lạ i bằ ng cách trình bày dư ớ i dạ ng b ổ đề . Có nhiề u cách chứ ng minh bổ đề n hưng cách đơn gi ả n nhấ t là chứ ng minh bằ ng cách lấ y đạ o hàm dx 1 xa dx 1 ax 1. Ví d ụ 1: Chứ ng minh:  c; ln ln c    x2  a2  a2  x 2 2a x  a 2a a  x dx 11 1 1  dx dx  1 x a Chứ ng minh:   x  a  x  a  dx  2a   x  a   x  a   2a ln x  a  c   x 2  a2 2a     d a  x   1 dx 11 1 1  dx ax   a  x  a  x  dx  2a   a  x   a  x   2a ln a  x  c   a2  x 2 2a     dx  ln  x  x 2  a2   c 2. Ví d ụ 2: Chứ ng minh rằng:  2 2 x a  ln  x  x 2  a2   c   1   x  a   2 2 Chứ ng minh: Lấy đạo hàm ta có:   x  x 2  a2 x  x 2  a2 1 x 1 1   1       x  x 2  a2  x 2  a2  x  x 2  a2 x 2  a2 x 2  a2 x dx 1 3. Ví d ụ 3: Chứ ng minh rằng:   u  c (với tg u  ) 2 2 a a a x d  a tgu  dx 1 1 x   , u   ,  Đặ t tg u   a2  x 2   a2 1  tg2 u  a  du  a u  c 22 a dx x 4. Ví d ụ 4: Chứ ng minh rằng: uc (với sin u  , a > 0)  a 2 2 a x d  a sin u  dx x ,u    ,      du  u  c Đặt sin u      2 2   a a2 1  sin2 u  2 2 a x Bình luậ n: Trư ớc năm 2001, SGK12 có cho s ử dụng công th ức nguyên hàm dx 1 x dx x arctg  c và  c (a > 0) nhưng sau đó không giố ng bất  arcsin   a2  x2  a a a 2 2 a x cứ nư ớ c nào trên thế giới, họ lại c ấm không cho sử dụ ng khái niệm hàm ngược arctg x, arcsin x. Cách trình bày trên để khắc phục lệ nh cấm này. 6
  7. B ài 1 . Bài tập sử dụng công thức nguyên hàm, tích phân V. CÁC D Ạ NG TÍCH PHÂN ĐƠN GI Ả N V.1. CÁC K Ỹ NĂNG CƠ B Ả N: 1. Bi ểu di ễn luỹ th ừ a dạ ng chính tắ c: 1 m m nk n xm  x n ; x m  x nk n x  xn ; m 1 m 1 1 1 1  x n ; n  x n ; nk ; n x x xn n xm x nk xm 2. Bi ến đ ổi vi phân: d x  d(x ± 1)  d(x ± 2)  …  d(x ± p) a dx  d (ax ± 1)  d(ax ± 2)  …  d(ax ± p) 1 x p   dx  d x  1  d x  2  L  d   a a a a V.2. CÁC BÀI T ẬP M ẪU MINH HOẠ  x 3  1  1 x3 1  dx    x 2  x  1   x  1 dx  1. dx  x 1 x 1   d  x  1 13 12     x 2  x  1 dx   x  x  x  ln x  1  c  x 1 3 2 1  4x  7   7  4x  7 dx 2. x 4x  7 dx = 4   1  1 2  2 3 5 3 1  4x  7  2  7  4x  7  2  d  4x  7   4x  7  2  7   4x  7  2   c  16  16  5 3   d 2 x  10  1 dx 1 3. I17  arctg  x  c   2x 2  5   2 2 5  10 2  2 x   5 d  2x  2x 1 1 1 1 1 dx  d 2x  4. ln x c   x  2x + 5 ln 2  2x  2x  5  5 ln 2   2x 2  5  5 ln 2 2  5   cos5 x  1  sin x dx   cos x 1  sin x  dx   1  sin x  cos x  cos x sin x  dx 3 2 3 5.   3 cos 4 x sin x  1  sin x  d  sin x    cos xd  cos x   sin x  2 3 c   3 4 7
  8. Chương II. Nguyên hàm và tích phân  Trần Phương V.3. CÁC BÀI T ẬP DÀNH CHO B ẠN Đ Ọ C T Ự G IẢ I  x  1  x  2   x  3   x  4  dx 3x 2  7x  5 7x  3 J1  ; J2  dx ; J3   dx   2x  5 x 2 xx 2x 3  5x 2  7x  10 4x 2  9x  10 2x 2  3x  9 J4  dx ; J5   dx ; J6   dx  10 x 1 2x  1  x  1 x 3  3x 2  4x  9 2x 3  5x 2  11x  4 J7  dx ; J8  dx   15 30  x  2  x  1 1 2 4x  3 2 1 3 arctg  arctg  arctg    39 39 39  39 39  0 x 2  3x  5 4 3     2x 2  3 .5  x  1 dx ; J13   dx ; J14   x 4 .9 2x 5  3 J12  dx 4  2x  1 7 x9 x3 x J15  dx ; J16  dx ; J17  dx  x x 4 x2  1 x2  1  2  3x  10 5 dx dx dx J18    x  2   x  5  ; J19   ; J20   x   x   2  2 x2  6 2  2 x2  3 x dx dx dx J21  ; J22  ; J23     x    3x   2x   2 2 2 2 2  5 x2  3 3 x 7 7 x 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 e2x dx 1  ex dx e x  1 dx ; J27  J24  ; J25  ; J26  dx     1  ex ex  1 ex  1 1 0 0 0 2 2 1  e  1  e  x x dx 1 1 1 1 e x dx dx J28 ; J29  ; J30 ; J31  dx    2x   x 1  e2x  ex e3x 01 e 0e 0 0 ln 2 ln 4 1 e e 3x dx dx dx 1  ln x J32  ; J33  ; J34   ; J35  dx    e x 3 e x  4e x x x 0 1e 0 0 1 3 1 1 6   x 5 1  x 2 dx ; J37   x 5 1  x 3 dx ; J38   x 3 1  x 2 dx J36   0 0 0 2 2  x  1 dx 1 1 1 1 dx dx ; J42   e2x 1  e x dx J39 ; J40   x ; J41   x  x 4x 0 4 3 0 4 2 0 0 8
Đồng bộ tài khoản