Bài tập thường kỳ hàm phức và phép biến đổi laplace

Chia sẻ: nt_anh14

Tài liệu tham khảo Bài tập thường kỳ hàm phức và phép biến đổi laplace - khoa khoa học căn bản, trường ĐH công nghiệp TP.Hồ Chí Minh

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Bài tập thường kỳ hàm phức và phép biến đổi laplace

 

  1. ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Hàm phức & Phép biến đổi Laplace Đại học 2011 – 2012 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BÀI TẬP THƯỜNG KỲ HÀM PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GVHD: ThS. Đoàn Vương Nguyên Lớp học phần:………………………..Khoa: KHCB Học kỳ:………Năm học: 2011 – 2012 Danh sách nhóm: (ghi theo thứ tự ABC) 1. Nguyễn Văn A 2. Lê Thị B ……….. HƯỚNG DẪN TRÌNH BÀY 1) Trang bìa như trên (đánh máy, không cần in màu, không cần lời nói đầu). 2) Trong phần làm bài tập, chép đề câu nào xong thì giải rõ ràng ngay câu đó. 3) Trang cuối cùng là Tài liệu tham khảo: 1. Nguyễn Kim Đính – Hàm phức và ứng dụng – ĐH Kỹ thuật TP.HCM – 1998 2. Nguyễn Kim Đính – Phép biến đổi Laplace – NXB Khoa học và Kỹ thuật – 1998 3. Võ Đăng Thảo – Hàm phức và Toán tử Laplace – ĐH Kỹ thuật TP.HCM – 2000 4. Phan Bá Ngọc – Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace – NXB Giáo dục – 1996 5. Trương Văn Thương – Hàm số biến số phức – NXB Giáo dục – 2007 6. Đậu Thế Cấp – Hàm biến phức và phép tính Toán tử – NXB ĐH Quốc gia – 2006 7. Nguyễn Văn Khuê – Lê Mậu Hải – Hàm biến phức – NXB Đại học Quốc gia Hà Nội – 2006 8. Theodore. W. Gamelin – Complex Analysis – Department of Mathematics UCLA 9. Trương Thuận – Tài liệu Hàm phức và phép biến đổi Laplace – ĐH Công nghiệp TP.HCM Chú ý • Phần làm bài bắt buộc phải viết tay (không chấp nhận đánh máy) trên 01 hoặc 02 mặt giấy A4 và đóng thành tập cùng với trang bìa. • Thời hạn nộp bài: Tiết học cuối cùng (Sinh viên phải tự đọc trước bài học cuối để làm bài!). • Nếu nộp trễ hoặc ghi sót tên của thành viên trong nhóm sẽ không được giải quyết và bị cấm thi. • Mỗi nhóm chỉ từ 01 đến tối đa là 07 sinh viên. Sinh viên tự chọn nhóm và nhóm tự chọn bài tập. • Phần làm bài tập, sinh viên phải giải bằng hình thức tự luận rõ ràng. * Nếu làm đạt yêu cầu mà chỉ chọn toàn câu hỏi dễ thì điểm tối đa của nhóm là 8 điểm. • Cách chọn bài tập như sau 1) Nhóm chỉ có 1 sinh viên thì chọn làm 32 câu hỏi nhỏ (các câu hỏi nhỏ phải nằm trong các câu hỏi khác nhau) gồm: Chương 1: chọn 7 trong 9 câu hỏi, trong mỗi câu đã chọn thì chọn làm 1 câu hỏi nhỏ. Chương 2: mỗi câu hỏi chọn làm 1 câu hỏi nhỏ. Chương 3: chọn 6 trong 7 câu hỏi, trong mỗi câu đã chọn thì chọn làm 1 câu hỏi nhỏ. Chương 4: chọn 5 trong 8 câu hỏi, trong mỗi câu đã chọn thì chọn làm 1 câu hỏi nhỏ. Chương 5: chọn 10 trong 11 câu hỏi, trong mỗi câu đã chọn thì chọn làm 1 câu hỏi nhỏ. 2) Nhóm có từ 2 đến tối đa 7 sinh viên thì làm như nhóm có 1 sinh viên, đồng thời mỗi sinh viên tăng thêm phải chọn làm thêm 16 câu hỏi nhỏ khác (nằm trong các câu hỏi khác nhau). ……………………………………………… Trang 1
  2. ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Hàm phức & Phép biến đổi Laplace Đại học 2011 – 2012 ĐỀ BÀI TẬP Chương 1. SỐ PHỨC Câu 1. Thực hiện các phép tính sau dưới dạng đại số (1 + i )2 − 5i (2 + 3i )2 + (2 − 3i )2 (1 + i )(2 − i )3 3i − (1 + i )3 1) 2) 3) 4) (5 + 4i )2 .5 + 4i (2 + i )2 .1 + 2i (1 − i )3 + (1 + i )2 (2 + i )2 − (1 + 2i ) ( ) 2 3 − i. 3 + i (1 + 4i )2 − (3 − 2i ) (−4i )5 + 5i + i 3 (1 + 3i )2 − −2i 5) 6) 7) 8) (4 − 3i )2 (3 − i )(2 + 3i ) (2 − i )2 (−i ) + (1 + 2i )2 Câu 2. Tính modun của các số phức sau     2 22 (5 + 12i )26  3 + 2i 6   3 + i 6         (4 − 3i )12 (5 + 7i )3   2) z = 1) z = 3) z = ( ) ( ) ( ) 20 20 24 10 − 24i 2+i 2 + i 2 3 + 3i 3   32 ( ) (3 ) (5 − 12i) 30 12 5   − 6 + i 3   3 −i (−5 + 4i ) 3 − 3i 5   4) z = 5) z = 6) z =       32 10 7 1 + i 2  (3 − i ) 28  6 − i 3     −2 + 2i 3             Câu 3. Thực hiện các phép tính sau dưới dạng lượng giác và dạng mũ ( )    2 2 (1 − i 3 )(5 + 5i) 2 3 + 3i 3  3 + i 6     3 + i 6   3       1) 2) 3) ( )  2 2 2 +i 2 2 + i 2 3 + 3i 3  3 + i 6      ( )  2   2 ( ) 2 3 3 − 3i  8 + i 8    − 6 + i 3   3 − i (−4 + 4i ) 3        4) 5) 6) − 2 + i 2 (3 − 3i )  2 2 − 2 +i 2  6 + i 3      Câu 4. Xác định argument chính ϕ ∈ (−π; π ] của các số phức sau ( ) )( ) ( 3 3 1+i 3 +i (1 + i )4 3 −i 6 (1 + i )7 1) z = 2) z = 3) z = ( ) (−1 − i )4 4 3 +i (1 − i )5 2 6 − 2i 3 ( ) 4 1+i (1 + i ) . 3 + i (1 + i )7 (1 − i )5 4 4) z = 5) z = 6) z = ( ) ( ) (2 ) 3 3 4 3 −i 6 (−1 − i )4 3 +i 6 − 2i 3 Câu 5*. Cho các số phức z sau có argument chính là ϕ ∈ (−π; π ] . Hãy viết z dưới dạng đại số và dạng mũ, từ đó suy ra cos ϕ và sin ϕ (không dùng máy tính!) Trang 2
  3. ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Hàm phức & Phép biến đổi Laplace Đại học 2011 – 2012 1+i 3 2 −i 2 1+i 3 2 −i 6 1) z = 2) z = 3) z = 4) z = 2 −i 2 1+i 3 2 −i 6 1+i 3 3 −i − 2 −i 2 3 −i 2 −i 6 5) z = 6) z = 7) z = 8) z = − 2 +i 2 1+i 3 2 −i 6 3 +i Câu 6. Dùng công thức Moirve, hãy tìm căn bậc bốn của các số phức trong câu 5 ở trên. Câu 7. Trong mặt phẳng phức, hãy xác định tập hợp các điểm z thỏa mãn điều kiện sau 1) 1 ≤ | z + i | < 3 2) | z − 1 + i | ≤ 1 3) Im(z − i ) ≤ 2 4) Re(iz ) > 1 5) | 2z − i | = 4 6) | z − 1 | + | z + 1 | = 4 7) 0 < Re(iz ) ≤ 1 8) Im(z − i ) ≥ 3 Câu 8. Giải các phương trình sau trên trường số phức 1) z 4 − 5z 2 + 7 = 0 2) z 4 − 7z 2 + 25 = 0 3) z 4 − 3z 2 + 9 = 0 4) z 4 + 3z = 0 5) z 4 + 3z 2 + 7 = 0 6) z 4 + 4z 2 + 17 = 0 7) z 4 + 6z 2 + 17 = 0 8) z 4 − 8z = 0 Câu 9*. Giải các phương trình sau trên trường số phức 1) z 3 + (3 + 2i )z 2 + (5 + 8i )z + 3 + 6i = 0 2) z 3 + (1 + 2i )z 2 + (1 + 4i )z − 3 − 6i = 0 3) z 3 + (4 − 3i )z 2 + (1 − 9i )z − 2 − 6i = 0 4) z 3 + (2 − 3i )z 2 − (5 + 3i )z + 2 + 6i = 0 5) z 3 + (2 + 4i )z 2 + (5 + 8i )z + 10 = 0 6) z 3 − (2 − 4i )z 2 + (5 − 8i )z − 10 = 0 ………………………………………………………………….. Chương 2. HÀM BIẾN PHỨC Câu 1. Tính các giá trị f (z 0 ) sau z 2 − iz π −i π π 1) f (z ) = i Re(i.z − 2z ) , z 0 = 2.e , z 0 = cos − i sin 2) f (z ) = 3 6 6 6 z 2π 2 z −i π π 3) f (z ) = i Im(z 3 + iz ) , z 0 = 2.e 4) f (z ) = , z 0 = cos + i sin 3 3z − i.z 6 6 i(z 2 − 2iz 3 ) Re(z − iz ) 5π 3π 2 i i , z 0 = 3.e 6 , z 0 = 2e 4 5) f (z ) = 6) f (z ) = i.z z 7) f (z ) = (i.z 2 + z 2 )4 , z 0 = i 3 − 1 8) f (z ) = 2iz 3 + 4z 2 , z 0 = 3 − i 2 Câu 2. Xác định phần thực và phần ảo của các hàm biến phức sau z −1 z 1) f (z ) = i(i.z − 2z 3 ) 2) f (z ) = −i 3) f (z ) = ie i .z 4) f (z ) = z − i.z z 2 ez 8) f (z ) = 5) f (z ) = cos(iz ) − i.sin(iz ) 6) f (z ) = cos(i.z ) − sin(i.z ) 7) f (z ) = e i .z i Câu 3. Xét tính khả vi của hàm f (z ) và tính đạo hàm (nếu có) tại điểm z 0 = x 0 + iy 0 thuộc miền khả vi 2 1) f (z ) = z 2 . Im(iz ) 2) f (z ) = e i .z 3) f (z ) = z . Im(i.z 2 ) 4) f (z ) = i.e z 2 2 6) f (z ) = e |z −1| −i| 7) f (z ) = | z | .(iz ) 5) f (z ) = z Re(iz − | z |2 ) 8) f (z ) = e|z Trang 3
  4. ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Hàm phức & Phép biến đổi Laplace Đại học 2011 – 2012 Câu 4. Chứng tỏ các hàm sau là hàm điều hòa và tìm hàm giải tích f (z ) = u + iv theo biến z , biết 1 1 2i i 1) u(x , y ) = x 2y − y 3 và f (−i ) = 2) v(x , y ) = x 2y − y 3 và f (i ) = 3 2 3 3 3) u(x , y ) = x 3 − 3xy 2 và f (1 − i ) = 1 4) v(x , y ) = x 3 − 3xy 2 và f (1 + i ) = −i 5) u(x , y ) = e x cos y − y 6) v(x , y ) = e y cos x + 2x 7) u(x , y ) = e x sin y − y 8) v(x , y ) = e y sin x + 2x …………………………………………………………….. Chương 3. TÍCH PHÂN HÀM PHỨC Câu 1. Viết phương trình tham số của các đoạn thẳng (hoặc đường parabol) C theo tham số t và tìm khoảng biến thiên của t dưới dạng t : a → b trong các trường hợp sau 1) C là đoạn thẳng nối từ điểm z = 3 − 2i đến điểm z = −1 + 3i . 2) C là đoạn thẳng nối từ điểm z = −5 − 2i đến điểm z = −7 + 3i . 3) C là đoạn thẳng nối từ điểm z = 3 + 2i đến điểm z = −1 − 3i . 4) C là đoạn thẳng nối từ điểm z = −1 − 4i đến điểm z = −4 − i . 5) C là parabol y = x 2 − 2x nối từ điểm z = 1 − i đến điểm z = −2 + 8i . 6) C là parabol y = −x 2 − 3x nối từ điểm z = 1 − 4i đến điểm z = −1 + 2i . 7) C là parabol y = 2x 2 − x nối từ điểm z = 1 + i đến điểm z = −2 + 10i . 8) C là parabol y = 2x 2 + x nối từ điểm z = 1 + 3i đến điểm z = −1 + i . Câu 2. Viết phương trình tham số của các đường tròn (hoặc đường elip) C theo tham số t và tìm khoảng biến thiên của t dưới dạng t : a → b trong các trường hợp sau 1) C là đường tròn | z − 1 − i | = 1 nối từ điểm z = 2 + i đến điểm z = 1 + 2i theo chiều âm. 2) C là đường tròn | z − 1 − i | = 1 nối từ điểm z = 1 đến điểm z = i theo chiều dương. 3) C là đường tròn | z + 2i | = 1 nối từ điểm z = −3i đến điểm z = 1 − 2i theo chiều âm. 4) C là đường tròn | z + 1 + 2i | = 1 nối từ điểm z = −2i đến điểm z = −2 − 2i theo chiều âm. x2 + y2 = 1 nối từ điểm z = 2 đến điểm z = −i theo chiều dương. 5) C là đường elip 4 y2 6) C là đường elip x 2 + = 1 nối từ điểm z = 2i đến điểm z = −1 theo chiều âm. 4 2 y2 x + = 1 nối từ điểm z = −3i đến điểm z = −2 theo chiều âm. 7) C là đường elip 4 9 2 y2 x + = 1 nối từ điểm z = −2i đến điểm z = 3 theo chiều dương. 8) C là đường elip 9 4 Câu 3. Tính các tích phân sau 1) I = ∫ z 2 .Re(iz )dz , C là đoạn thẳng nối từ điểm z = −2i đến điểm z = −1 + 3i . C ∫z . Im(iz )dz , C là đoạn thẳng nối từ điểm z = i đến điểm z = −1 − i . 2) I = 2 C ∫z .(z 2 − iz )dz , C là đoạn thẳng nối từ điểm z = 2i đến điểm z = −3i . 3) I = 2 C Trang 4
  5. ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Hàm phức & Phép biến đổi Laplace Đại học 2011 – 2012 ∫z .(2z − iz )dz , C là đoạn thẳng nối từ điểm z = 3 đến điểm z = −1 . 4) I = 2 2 C x = 2t 2 − 2t  zdz , C có phương trình  ∫ nối từ điểm A(4; −1) đến điểm B(4; 2) . 5) I =  y = t    C x = 2 cos t  zdz , C có phương trình  ∫ nối từ điểm A(0; −1) đến điểm B(−2; 0) theo chiều âm. 6) I =  y = sin t   C ∫ z dz , C : | z − i | = 1 nối từ điểm z = 0 đến điểm z = 1 + i theo chiều âm. 7) I = 2 C dz ∫ 8) I = , C : | z | = 2 nối từ điểm z = −1 − i đến điểm z = 1 + i theo chiều dương. z2 C Câu 4. Áp dụng tích phân Cauchy, tính các tích phân sau z −1 z +2 dz 1) I = ∫ 2) I = ∫ ∫ 3) I = dz dz z + 4z + 5 z + 4z z 2 − 3z 2 2 |z +2+i|=1 |z +3−i|=2 |z −4 +i|=3 dz dz dz ∫ ∫ ∫ 5) I = 4) I = 6) I = z + 5z 2 + 4 z + 4z 2 z −1 4 4 3 |z +2i|=1 |z +2i|=2 |z −1|=1 Câu 5. Áp dụng tích phân Cauchy, tính các tích phân sau dz dz dz 1) I = ∫ 2 2) I = ∫ 2 ∫ 3) I = z − 2z + 5 z − 4z + 5 z − 2z + 10 2 |z −1|=3 |z −2|=2 |z −1|=4 dz dz dz ∫ ∫ ∫ 4) I = 5) I = 6) I = z + 5z 2 + 4 z −1 z − 3z 4 4 3 |z −2i|=2 |z −1−i|=2 |z −1|=2 Câu 6. Áp dụng tích phân Cauchy, tính các tích phân sau z +3 z −1 z −1 1) I = ∫ 2) I = ∫ ∫ 3) I = dz dz dz (z + 4z ) (z 2 + 4)2 (z − 3z )2 2 2 2 |z +3|=2 |z −i|=2 |z −4+i|=3 dz dz dz ∫ ∫ ∫ 5) I = 4) I = 6) I = z (z − i )3 z (z − 2)3 z (z − 1) 2 2 3 |z +i|=1 |z +2|=1 |z |=1 Câu 7*. Áp dụng tích phân Cauchy, tính các tích phân sau   2 x − 1  + (y + 3)2 = 45 nối z = 2 với z = −1 theo chiều âm. dz 1) I = ∫ 2  , C là cung tròn  2   z +1   4 C   2 x − 1  + y 2 = 9 nối z = −1 với z = 2 theo chiều dương. dz ∫  2) I =  , C là cung tròn  2  z2 + 1   4 C dz ∫z 3) I = , C là cung tròn (x − 1)2 + (y + 2)2 = 8 nối z = 3 với z = −1 theo chiều âm. +4 2 C dz ∫z 4) I = , C là cung tròn (x − 1)2 + (y − 2)2 = 8 nối z = −1 với z = 3 theo chiều dương. +4 2 C dz ∫z 5) I = , C là cung tròn (x − 1)2 + (y + 3)2 = 13 nối z = 3 với z = −1 theo chiều âm. +9 2 C Trang 5
  6. ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Hàm phức & Phép biến đổi Laplace Đại học 2011 – 2012 dz ∫z 6) I = , C là cung tròn (x − 1)2 + (y − 3)2 = 13 nối z = −1 với z = 3 theo chiều dương. +4 2 C …………………………………………………………………….. Chương 4. CHUỖI VÀ THẶNG DƯ Câu 1*. Tìm hình tròn hội tụ của các chuỗi ∞  n 2 z + n ∞ ∞ (z − i )n ∞ zn (2n )! 2) ∑  1) ∑ 3) ∑ ∑ (n !)  (z − 1)n  4)   2nz    2 n2 n =1 n ! n =1 n =1 n =1 Câu 2*. 2.1. Khai triển Taylor các hàm số sau tại điểm z = a z −1 1 1 3) f (z ) = 2 2) f (z ) = ,a=0 ,a=0 1) f (z ) = , a = i z +1 z + 3z + 2 z 1 2.2. Khai triển Laurent của hàm số f (z ) = trong các trường hợp sau (z + 1)(z + 2) 1) trong miền | z | < 1 2) trong miền | z | > 2 3) trong miền 0 < | z + 1 | < 1 Câu 3*. Khai triển Laurent các hàm số sau trong lân cận điểm bất thường cô lập đã chỉ ra và gọi tên các điểm bất thường cô lập đó e 2z 1 1) f (z ) = , tại z = 1 2) f (z ) = , tại z = −1 (z − 1) z (z + 1)2 2 1 1 3) f (z ) = , tại z = −2 4) f (z ) = z 2e z , tại z = 0 z + 3z + 2 2 1 1 5) f (z ) = (z − 1) cos , tại z = 1 6) f (z ) = , tại z = i z −1 (z + 1)2 2 Câu 4. Tìm, phân loại các điểm bất thường cô lập hữu hạn và tính thặng dư của các hàm số tại các điểm đó z +2 1 − cos z z 1) f (z ) = 2) f (z ) = 3 2 3) f (z ) = 2 z (z − 1) z (z − 4) (z + 1)2 3 z4 ez 1 5) f (z ) = 6) f (z ) = 4) f (z ) = (z + 1)3 z3 −1 (z − 2z + 2)2 2 z − 2i 1 z 7) f (z ) = 9) f (z ) = 8) f (z ) = z + 5z 2 + 4 z +i (z 2 + 4)2 4 4 Câu 5. Tính thặng dư tại ∞ của các hàm số sau z2 z2 1 1) f (z ) = 4 2) f (z ) = 7 3) f (z ) = z −2 z −z z9 + 2 z3 1 z 5) f (z ) = 4) f (z ) = 6) f (z ) = 2 − z7 z (z − 1) z −3 2 3 10 z2 1 1 8) f (z ) = 9) f (z ) = 7) f (z ) = 4 1 − 3z 7 2z + 1 z (3 − z 2 ) 6 Trang 6
  7. ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Hàm phức & Phép biến đổi Laplace Đại học 2011 – 2012 Câu 6. Áp dụng thặng dư tính các tích phân phức sau πz sin 1) I = ∫ 2 4 dz, C : x 2 + y 2 = 2x . z −1 C cos z ∫z 2) I = dz , C là chu vi tam giác có các đỉnh là z = 0 , z = 2 − 2i và z = 2 + 2i . −1 2 C z 2dz ∫ , C là biên của hình vuông có các đỉnh là z = ±2, z = ±2 + 4i . 3) I = z2 + 4 C e izdz ∫ , C : |z −i | = 2 . 4) I = 4z 2 − π 2 C 3 dz ∫z 5) I = , C là elip 2x 2 + y 2 = . +1 3 2 C dz ∫ 6) I = . z (z 10 − 2) 3 |z | = 2 Câu 7. Áp dụng thặng dư tính các tích phân thực dạng lượng giác sau 2π π dt dt ∫ ∫ 5 + 4 cos t 1) I = 2) I = 5 − 3 sin t 0 0 2π sin2 tdt π dt ∫ ∫ 3) I = 4*) I = . 3 + sin t 5 − 3 cos t 0 0 2π π dt dt ∫ ∫ 5) I = 6) I = 4 − 3 cos t 3 − 2 cos t 0 0 2π sin2 tdt π dt ∫ ∫ 7) I = 8*) I = . 2 + cos t 3 − 2 cos t 0 0 Câu 8. Áp dụng thặng dư tính các tích phân thực suy rộng sau +∞ +∞ dx dx 1) I = ∫ 2 ∫ 2) I = x + 16 x + 2x + 2 2 −∞ −∞ +∞ +∞ dx dx 3) I = ∫ 2 ∫ 4) I = (x − 2x + 5)2 x + 5x 2 + 4 4 −∞ −∞ +∞ +∞ x2 dx ∫ ∫ 5) I = 6) I = dx (x + 9)2 (x 2 + 1)(x 2 + 4) 2 0 0 +∞ +∞ cos 3x x sin x ∫ ∫ 7*) I = 8*) I = dx dx x2 + 1 (x 2 + 4)2 0 0 .......................................................................... Trang 7
  8. ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Hàm phức & Phép biến đổi Laplace Đại học 2011 – 2012 Chương 5. PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Câu 1. Tìm biến đổi Laplace của các hàm gốc sau t3 t 1) f (t ) = e t cos 3t − 3e −2t sin 4t + 2) f (t ) = e −t sin 2t − 3e 2t cos + t 4e −3t e 5t 2 2 cos 3t sin 3t 3) f (t ) = (t 5 − 2t 2 + 4)e −3t + 4) f (t ) = (t 5 + t 2 − 3t )e 2t + −t e 2t e 6) f (t ) = (t − 1)e −t u(t − 3) 5) f (t ) = 3te 2t u(t − 2) 7) f (t ) = 3t 2 sin 2t − t cos 3t 8) f (t ) = 2t 2 cos 3t + (t − 1) sin 2t Câu 2. Tìm biến đổi Laplace của các hàm gốc sau     t <3 t <2 0, 0,   2 2 t − 2t, 3 ≤ t < 4 t + 5t, 2 ≤ t < 5 1) f (t ) =  2) f (t ) =    1 − 3t, 4 − 3t, t ≥4 t ≥5           t <3 t <2 0, 0,      − 2t 2 , 3 ≤ t < 4  − 4t 2 , 2 ≤ t < 5 3) f (t ) =  4) f (t ) =  2 2 t − 2t, t + 5t,   t ≥4 t ≥5           t <π t <π   0, 0,       3π 3π 5) f (t ) = sin 2t, π ≤ t < 6) f (t ) = cos 2t, π ≤ t <     2 2       3π 3π   t≥ t≥ 0, 0,       2 2 Câu 3. Tìm biến đổi Laplace của các hàm gốc tuần hoàn sau     2t, 0 ≤ t < 3 3t, 0 ≤ t < 2 1) f (t ) =  2 2) f (t ) =  2 ,T = 4 ,T =5   t − 2t, 3 ≤ t ≤ 4 t + 5t, 2 ≤ t ≤ 5       t 2 − 2t, 0 ≤ t < 1  2 − t 2, 0 ≤ t < 2    4) f (t ) =  2 3) f (t ) =  ,T = 3 ,T = 3   − 2t 2 , 1 ≤ t ≤ 3 2t + t, 2 ≤ t ≤ 3           t, 0 ≤ t < π t, 0 ≤ t < π 5) f (t ) =  6) f (t ) =  , T = 2π , T = 2π   sin 2t, π ≤ t ≤ 2π cos 2t, π ≤ t ≤ 2π     Câu 4. Tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm ảnh sau s −5 3 −s s s 1) F (s ) = +2 2) F (s ) = +2 s + 8s + 25 s + 8s + 16 s − 8s + 25 s − 8s + 16 2 2 4 −s 4 −s s s 3) F (s ) = +2 4) F (s ) = +2 s 2 + 10s + 29 s + 10s + 25 s 2 − 10s + 29 s − 10s + 25 Trang 8
  9. ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Hàm phức & Phép biến đổi Laplace Đại học 2011 – 2012 −s −3s se −5s e −s e e 5) F (s ) = + 6) F (s ) = +2 s2 + 4 s + 10s + 25 s 2 + 9 s − 10s + 25 2 e −3s e −2 s 7) F (s ) = 8) F (s ) = s 2 + 2s + 5 s 2 − 6s + 18 Câu 5. Bằng cách phân tích thành phân thức tối giản, tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm ảnh sau s 2 − 5s s 2 − 5s + 3 1) F (s ) = 2) F (s ) = s 3 + 2s 2 − 11s − 12 s 3 − 13s + 12 s s 3) F (s ) = 4) F (s ) = s + 3s − 10s − 24 s − s − 14s + 24 3 2 3 2 s −1 s +2 5) F (s ) = 6) F (s ) = (s + 1)(s − 4) (s + 4)(s + 9) 2 2 s −3 s +1 7) F (s ) = 8) F (s ) = s(s − 1)2 s(s + 2)2 Câu 6. Sử dụng thặng dư, tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm ảnh sau s s 1) F (s ) = 2) F (s ) = (s − 1) (s + 2)2 (s − 1)3 (s + 2) 2 s −2 s −1 3) F (s ) = 4) F (s ) = (s − 3)2 (s + 2)2 (s − 2)(s + 1)3 s s 5) F (s ) = 6) F (s ) = (s − i )(s 2 + 1) (s − 2i )(s 2 + 4) 1 1 7) F (s ) = 8) F (s ) = (s − i )(s + 2is + 3) (s + 3i )(s + 2is + 3) 2 2 Câu 7*. Sử dụng tích chập, tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm ảnh sau s s 1) F (s ) = 2) F (s ) = (s + 1)(s 2 + 2) (s + 4)(s 2 + 3) 2 2 3 1 3) F (s ) = 4) F (s ) = (s + 1)s 3 s (s + 4) 2 3 2 s s 5) F (s ) = 6) F (s ) = (s + 1) (s 2 + 1) (s − 2) (s 2 + 4) 2 2 Trang 9
  10. ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Hàm phức & Phép biến đổi Laplace Đại học 2011 – 2012 2 −s 3 −s 7) F (s ) = 8) F (s ) = (s 2 + 4)2 (s 2 + 9)2 Câu 8. Dùng biến đổi Laplace giải các phương trình vi phân cấp một sau 1) y ′ + 2y = 3e −2t ; y(0) = 1 2) y ′ − 2y = 3e 2t ; y(0) = −1 3) y ′ + 5y = 3e −5t ; y(0) = −2 4) y ′ − 6y = −e 6t ; y(0) = 3 5) y ′ + 4y = −2e −t 6) y ′ − 7y = −e t 7) y ′ + 2y = t; y(0) = 1 8) y ′ − 2y = t; y(0) = −2 Câu 9. Dùng biến đổi Laplace giải các phương trình vi phân cấp hai sau 1) y ′′ − 3y ′ + 2y = e 3t ; y(0) = 1, y ′(0) = −1 2) y ′′ + 4y ′ + 3y = e −2t ; y(0) = 1, y ′(0) = 2 3) y ′′ − 3y ′ + 2y = e t ; y(0) = 0, y ′(0) = −1 4) y ′′ + 4y ′ + 3y = e −3t ; y(0) = 0, y ′(0) = 2 5) y ′′ − 4y ′ + 4y = e t ; y(0) = 0, y ′(0) = −1 6) y ′′ + 4y ′ + 4y = e −3t ; y(0) = 0, y ′(0) = 2 7) y ′′ − 3y ′ + 2y = t; y(0) = 0, y ′(0) = 0 8) y ′′ + 4y ′ + 3y = t; y(0) = 0, y ′(0) = 0 Câu 10*. Dùng biến đổi Laplace giải các phương trình vi phân cấp hai sau 1) y ′′ − 2y ′ + 5y = 3; y(0) = 0, y ′(0) = 0 2) y ′′ + 4y ′ + 8y = −1; y(0) = 0, y ′(0) = 0 3) y ′′ + 4y = te t ; y(0) = 0, y ′(0) = 0 4) y ′′ + 9y = te −3t ; y(0) = 0, y ′(0) = 0 5) y ′′ − 4y ′ + 4y = t; y(0) = 0, y ′(0) = 0 6) y ′′ + 6y ′ + 9y = 2t; y(0) = 0, y ′(0) = 0 7) y ′′ − 2y ′ + 5y = 3t; y(0) = 0, y ′(0) = 0 8) y ′′ + 4y ′ + 8y = −t; y(0) = 0, y ′(0) = 0 Câu 11. Dùng biến đổi Laplace giải các hệ phương trình vi phân cấp một sau x ′ = 2x − 3y x ′ + 4x + 4y = 0   1)  2)  ; x (0) = 8, y(0) = 3 ; x (0) = 3, y(0) = 15 ′ ′ y = y − 2x y + 2x + 6y = 0     x ′ + 3x − 4y = 9e 2t x ′ − 2x − 4y = cos t    4)  ; x (0) = 2, y(0) = 0 ; x (0) = y(0) = 0 3)  ′ y ′ + 2x − 3y = 3e 2t y + x + 2y = sin t      …………………………………Hết………………………………… Trang 10
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản