Bài tập tìm nguyên hàm của hàm số

I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất
1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.
1 x 3 3x 2
1. f(x) = x2 – 3x + − + ln x + C
ĐS. F(x) =
x 3 2
2x 4 + 3 2x3 3
− +C
2. f(x) = ĐS. F(x) =
x2 3 x
x −1 1
. f(x) = 2 ĐS. F(x) = lnx + + C
x
x
( x 2 − 1) 2 3
x 1
− 2x + + C
4. f(x) = ĐS. F(x) =
x2 3 x
4
3 5

ĐS. F(x) = 2 x + 3x + 4 x + C
3
2 4
5. f(x) = x + x + x 3 4

3 4 5
1 2
−
6. f(x) = ĐS. F(x) = 2 x − 33 x 2 + C
x 3x
( x − 1) 2
7. f(x) = ĐS. F(x) = x − 4 x + ln x + C
x
x −1 5 2
8. f(x) = ĐS. F(x) = x 3 − x 3 + C
3
x
x
9. f(x) = 2 sin 2 ĐS. F(x) = x – sinx + C
2
10. f(x) = tan2x ĐS. F(x) = tanx – x + C
1 1
x + sin 2 x + C
11. f(x) = cos2x ĐS. F(x) =
2 4
12. f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C
1
13. f(x) = ĐS. F(x) = tanx - cotx + C
sin x. cos 2 x
2

cos 2 x
14. f(x) = ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C
sin x. cos 2 x
2

1
ĐS. F(x) = − cos 3x + C
15. f(x) = sin3x
3
1
ĐS. F(x) = − cos 5 x − cos x + C
16. f(x) = 2sin3xcos2x
5
1
ĐS. F(x) = e 2 x − e x + C
17. f(x) = ex(ex – 1)
2
e−x
18. f(x) = ex(2 + ĐS. F(x) = 2ex + tanx + C
)
cos 2 x
2a x 3 x
19. f(x) = 2ax + 3x + +C
ĐS. F(x) =
ln a ln 3
1
ĐS. F(x) = e 3 x +1 + C
20. f(x) = e3x+1
3
2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng
ĐS. f(x) = x2 + x + 3
1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5
x3
2. f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3 ĐS. f(x) = 2 x − +1
3
 8 x x x 2 40
3. f’(x) = 4 x − x và f(4) = 0 ĐS. f(x) = − −
3 2 3
1 2
x 1 3
+ 2 và f(1) = 2 + + 2x −
4. f’(x) = x - ĐS. f(x) =
x2 2x 2
5. f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3 ĐS. f(x) = x4 – x3 + 2x + 3
b x2 1 5
6. f’(x) = ax + 2 , f ' (1) = 0, f (1) = 4, f (−1) = 2 ++
ĐS. f(x) =
x 2x2
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số.
Tính I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx bằng cách đặt t = u(x)
ặ Đặt t = u(x) ⇒ dt = u ' ( x)dx
⇒ I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt
BÀI TẬP
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
dx dx
2. ∫ (3 − 2 x) 5 ∫
1. ∫ (5 x − 1)dx ∫ 5 − 2 x dx
3. 4.
2x − 1
x
∫ (2 x ∫ (x 8. ∫ 2
∫
+ 1) 7 xdx + 5) 4 x 2 dx
2 3
x 2 + 1.xdx
5. 6. 7. dx
x +5
dx
3x 2 ln 3 x
∫
∫ ∫ x.e
x 2 +1
∫ x dx
dx
9. 10. 11. 12. dx
x (1 + x ) 2
5 + 2x 3

sin x tgxdx
13. ∫ sin x cos xdx 14. ∫ 5 dx ∫ cot gxdx ∫ cos
4
15. 16. 2
cos x x
x
dx dx e
∫ tgxdx
17. ∫ 18. ∫ ∫
19. 20. dx
sin x cos x x
dx
e x dx e tgx
∫
∫ ∫
∫ cos 2 x dx 1 − x 2 .dx
21. 22. 23. 24.
4 − x2
e −3x


x 2 dx
dx dx
∫
∫ 1+ x2 ∫x
∫ x 1 − x .dx
2 2
25. 26. 27. 28.
+ x +1
2
1− x2
dx
∫ cos ∫x 31. ∫ x ∫x
x − 1.dx
3
x sin 2 xdx x 2 + 1.dx
3
29. 30. 32.
e +1
2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.

Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên
I
∫ u( x).v' ( x)dx = u ( x).v( x) − ∫ v( x).u ' ( x)dx
Hay
∫ udv = uv − ∫ vdu
( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1. ∫ x. sin xdx 2. ∫ x cos xdx 3. ∫ ( x + 5) sin xdx 4 ∫ ( x + 2 x + 3) cos xdx
2 2



∫ x sin 2 xdx ∫ x cos 2 xdx ∫ x.e ∫ ln xdx
x
dx
5. 6. 7. 8.
 ln xdx
∫
∫ x ln xdx ∫ ln ∫e
2 x
xdx
9. 10. 11. 12. dx
x
x
∫ xtg ∫ sin x dx ∫ ln( x + 1)dx
∫ cos x dx
2 2
xdx
13. 14. 15. 16.
2


∫ e . cos xdx 19. ∫ x ln(1 + x 20. ∫ 2 xdx
∫ x e dx
2
x 2 x
3x
)dx
17. 18.
ln(1 + x)
∫ x lg xdx ∫ 2 x ln(1 + x)dx 23. ∫ x dx 24. ∫ x cos 2 xdx
2
21. 22. 2


TÍCH PHÂN
I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
1 e
11
1. ∫ ( x + x + 1)dx 2. ∫ ( x + + + x 2 )dx
3

x x2
0 1
3 2

∫ ∫
x − 2 dx x + 1dx
2. 3.
1 1
π
1
2

∫ (e
4. ∫ (2 sin x + 3cosx + x)dx + x )dx
x
5.
π 0
3
1 2

∫ (x 7. ∫ ( x + 1)( x − x + 1)dx
+ x x )dx
3
6.
0 1
π
1
2
1
∫ (e
8. ∫ (3sin x + 2cosx + ) dx + x 2 + 1)dx
x
9.
x
π 0
3
2 2

10. ∫ ( x + x x + 3 x )dx 11. ∫ ( x − 1)( x + x + 1)dx
2

1 1
3 2
x.dx
∫ (x + 1).   13.  ∫
3
12. dx
x +2
2
−1 ­1
e2 5
7x − 2 x − 5 dx
15.  ∫
14.  ∫ dx  
x+ 2 + x − 2
x 2
1
π
2
( + 1)dx 2
3
x cos x.dx
.
17.  ∫ 3
16.  ∫ 2
x + xl x
n snx
i
π
1
6
π
1
ex − e− x
4
tgx .
dx 19.  ∫ dx
18. 
∫ ex + e− x
cos2 x 0
0
2
1
ex . dx
dx
21.  ∫
20.  ∫
4x 2 + 8x
e x + e− x 1
0
π
l3
n
dx
. 2
dx
∫
22.  22. 
∫ 1 + si x
e + e− x
x
n
0 0
 2
1
2
25.  ∫ (2 x 3 − x − )dx     
24.  ∫ (2 x 2 + x + 1)dx         
3
−1 0
4
2

27.  ∫ ( x 2 − 4)dx
26.  ∫ x( x − 3)dx        
−3
−2
2 2
x − 2x
2
1 1
28. ∫  29.  ∫
+ 3 dx           dx          
2
x3
1x x 1
1
16
e
dx
30.  ∫ 31.  ∫ x .dx
                     
x
1 1
e

 
e2 8
2 x + 5 − 7x 1
33.  ∫  4 x − dx
32.  ∫ dx       
x 33 x 2 

1
1
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
π π
2 2

∫ sin ∫ sin
3
xcos 2 xdx 2
xcos 3 xdx
1. 2.
π π
3 3
π π
2 4
sin x
3. 3.
∫ 1 + 3cosx dx ∫ tgxdx
0 0
π
π
4
6
∫ cot gxdx
4. 5.
∫ 1 + 4sin xcosxdx
π
0
6
1 1

6. ∫ x x + 1dx ∫x 1 − x 2 dx
2
7.
0 0
1 1
x2
8. ∫ x x + 1dx ∫
3 2
dx
9.
x3 + 1
0 0
1 2
1
∫x ∫x
1 − x 2 dx
3
dx
10. 11.
x3 + 1
0 1
1 1
1 1
∫ 1+ x 13. ∫ 2
dx dx
12.
x + 2x + 2
2
−1
0
1 1
1 1
∫ ∫ (1 + 3x
dx dx
14. 15. 22
)
x2 + 1
0 0
π π
2 2

16. ∫ e cosxdx 17. ∫ e sin xdx
sin x cosx

π π
4 4
π
1 2

∫e ∫ sin
x2 + 2 3
xcos 2 xdx
xdx
18. 19.
π
0
3
π π
2 2

∫e ∫e
sin x cosx
cosxdx sin xdx
20. 21.
π π
4 4
 π
1 2

∫e 23. ∫ sin 3 xcos 2 xdx
2
x +2
xdx
22.
π
0
3
π
π
2
2
sin x
24. ∫ sin xcos xdx
2 3
∫ 1 + 3cosx dx
25.
π
0
3
π
π
4
4
27. ∫ cot gxdx
∫
26. tgxdx
π
0
6
π
1
6
∫x x 2 + 1dx
∫
28. 29.
1 + 4sin xcosxdx
0
0
1 1

∫ x 1 − x dx ∫x x 2 + 1dx
2 3
30. 31.
0 0
1 1
2
x
∫ ∫x 1 − x 2 dx
3
dx
32. 33.
x +1 3
0 0
2 e
1 + ln x
1
∫x ∫
dx dx
34. 35.
x
x +1 3
1 1
e e
1 + 3ln x ln x
sin(ln x)
36. ∫ ∫
dx dx
37.
x x
1 1
e2
2 ln x +1
e
1 + ln 2 x
e
∫ 39. ∫
dx dx
38.
x x ln x
1 e
2
2
e
x
1
∫ 1+
∫ cos 2 (1 + ln x) dx dx
40. 41.
x −1
1
e
1 1
x
∫ ∫x x + 1dx
dx
42. 43.
2x +1
0 0
1 1
1 1
∫ ∫
dx dx
44. 45.
x +1 + x x +1 − x
0 0
3 e
x +1 1 + ln x
∫ ∫
46.
dx dx
46.
x x
1 1
e e
1 + 3ln x ln x
sin(ln x)
∫ ∫
dx dx
47. 48.
x x
1 1
e2
2 ln x +1
e
1 + ln 2 x
e
∫ ∫ x ln x dx
dx
49. 50.
x
1 e
1


∫
e2
1
x 2 x 3 + 5dx
∫ cos dx
51. 52.
(1 + ln x)
2
e
0
 π
4


∫
2


∫ ( sin x + 1) cos xdx 4 − x 2 dx
53.  54. 
4

0
0
4 1
dx
∫ ∫
4 − x 2 dx
55.  56.   
1+ x 2
0 0
1
0

58.  ∫ e − x dx
57.  ∫ e 2 x +3
dx    
−1 0
1 1
x x
59. ∫ (2x + 1)3dx ∫ dx
60.
2x + 1
0 0
1 1
4x + 11
61. ∫ x 1− xdx 62. ∫ x2 + 5x + 6dx
0 0
1 3
2x − 5 x3
63. ∫ x2 − 4x + 4dx 64. ∫ x2 + 2x + 1dx
0 0
π π
3
6 2
66. ∫ 4sin x dx
65. ∫ (sin6 x + cos6 x)dx
1+ cosx
0 0
π π

67. ∫ 1+ sin2xdx
4 2
68. ∫ cos4 2xdx
2
cos x
0 0
π
1
1+ sin2x + cos2x 1
2

70. ∫ ex + 1dx .
69. ∫ dx
sinx + cosx
π 0
6
π π

72. ∫ cos 2 x dx
4 4
71. ∫ (cos 4 x − sin 4 x)dx
1 + 2 sin 2 x
0 0
π π

73. ∫ sin 3x dx cos x
2 2
74. ∫ dx
0 2 cos 3 x + 1 0 5 − 2 sin x
0
2x + 2 dx
1
75. ∫ 2 76. ∫ 2
dx
x + 2x − 3 −1 x + 2 x + 5
−2
π π
2 2
77. ∫ cos3 xsin2 xdx 78. ∫ cos xdx
5

0 0
π
1
4
79. ∫ sin4x dx 80. ∫ x 1− x dx
3 2

1+ cos2 x 0
0
π π
2 4
1
81. ∫ sin2x(1+ sin2 x)3dx 82. ∫ cos xdx 4
0 0
π
e
1+ lnx 4
1
∫ dx
83. 84. ∫ cosxdx
x
1
0
 1
e
1+ ln2 x
86. ∫ x (1− x ) dx
85. ∫
5 36
dx
x 0
1
π
3
tg4x
6
cosx
∫ dx
87. ∫ 88.
dx cos2x
6 − 5sinx + sin2 x 0
0
π π

89. ∫ cos x + sin x dx sin 2 x
4 2
90. ∫ dx
3+ sin2x cos x + 4 sin 2 x
2
0
0
π
dx
ln 5
sin 2 x
2
91. ∫ x 92. ∫ dx
−x
ln 3 e + 2e −3 0 ( 2 + sin x )
2

π
π
ln(tgx )
3
4
dx
93. π 94. ∫ (1 − tg 8 x)dx
∫
sin 2 x 0
4
π
π
sin x − cos x
2
96. ∫ sin 2 x + sin x dx
2
dx
95. ∫
1 + sin 2 x
π
1 + 3 cos x
0
4
π π

97. ∫ sin 2 x cos x dx
2 2
98. ∫ (e sin x + cos x) cos xdx
0 1 + cos x 0

x 1 + 3 ln x ln x
2 e
dx
99. ∫ 100. ∫ dx
11+ x −1 x
1
π 1

101. ∫ 1 − 2 sin x dx
2
∫ 1− x2 dx
4
102.
0 1 + sin 2 x 0
1 1
1 1
103. ∫ 1+ x2 dx ∫ dx
104.
4 − x2
0 0
1 1
1 x
105. ∫ x2 − x + 1dx 106. ∫ x4 + x2 + 1dx
0 0
π 2
2
1 x2
2
107. ∫ 108.
∫
dx dx
1+ cos x + sin x 1− x2
0 0
2
2
3
109. ∫ x 4− x dx 1
2 2
110.
∫x dx
x2 − 1
1
2
1
1− x
3
9 + 3x2
∫
∫ dx
101. 112.
dx
x2 (1+ x)5
0
1
π
2
1
∫ 2
cos x
dx
113. 114. ∫ dx
x x2 − 1
2
7+ cos2x
0
3
π
1
1+ x 4
cos x
115. ∫ 1+ x6 dx ∫ dx
116.
1+ cos2 x
0 0

dx
dx 1
0
118. ∫
117. ∫
−1 x + 2 x + 2 1 + 1 + 3x
2
0
 8
1
x x −1
2
120. ∫
119. ∫ dx
dx
1 x−5 3 x x +1
2

7 3
x3
∫ ∫x 1+ x2 dx
5
121. 122.
dx
1+ x
3 2
0 0
7
ln2
1 x+ 1
3
∫ dx
123. 124. ∫ dx
e +2x
3x + 1
3
0
0
2
dx
23
125. ∫ x x + 1dx
2 3
126. ∫
x x2 + 4
5
0


II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
b b

Công thức tích phân từng phần : ∫ u( x)v'(x)dx = u ( x)v( x) a − ∫ v( x)u '( x)dx
b

a a

Tich phân cac ham số dễ phat hiên u và dv
́ ́ ̀ ́ ̣

sin ax β
 
∫ f ( x) cosax dx
̣
@ Dang 1
e ax 
α
 
u = f ( x) du = f '( x)dx
 
sin ax  sin ax 
 
 ⇒
   
 dv = cos ax  dx v = ∫ cosax  dx
 
e ax  e ax 
   
 
β

∫ f ( x) ln(ax)dx
̣
@ Dang 2:
α

 dx
du = x
u = ln(ax )
⇒
Đăt 
̣
 dv = f ( x)dx v = f ( x)dx
∫
β
ax sin ax 
@ Dang 3: ∫ e . 
̣ dx
cosax 
α



Ví dụ 1: tinh cac tich phân sau
́ ́́
u = x 5
u = x 2 e x
1 3
2x 8
 
xe x dx
a/ ∫ b/ ∫ 4
dx đăt  3 đăt 
̣ ̣ x3 dx
dx
( x + 1)  dv = ( x + 1) 2 ( x − 1)
2
dv = 4

0 2
( x − 1)3
 
1 1 1 1
1 + x2 − x2 x 2 dx
dx dx
c/ ∫ =∫ dx = ∫ −∫ = I1 − I 2
(1 + x 2 ) 2 0 (1 + x 2 ) 2 1 + x 2 0 (1 + x 2 ) 2
0 0
1
dx
Tinh I 1 = ∫
́ băng phương phap đôi biên số
̀ ́ ̉ ́
1 + x2
0
 u = x
1
x 2 dx 
Tinh I 2 = ∫  x
́ băng phương phap từng phân : đăt
̀ ́ ̀ ̣
dv =
(1 + x 2 ) 2 dx
 (1 + x 2 ) 2
0


Bài tập
e e
ln 3 x
1. ∫ 3 dx ∫ x ln xdx
2.
x
1 1
1 e

∫ x ln( x ∫x
+ 1)dx
2 2
ln xdx
3. 4.
0 1
e e
3
ln x
∫ ∫ x ln xdx
dx
5. 6.
x3
1 1
1 e

∫ x ln( x ∫x
+ 1)dx
2 2
ln xdx
7. 8.
0 1
π
e
1
2
∫x( x + ) ln xdx
∫
9. ( x + cosx) s inxdx 10.
1
0
π
2 3

∫ ln( x ∫ x tan
+ x )dx
2 2
xdx
11. 12.
π
1
4
π
2
ln x
∫
2


∫
dx            
      13.   14.   x cos xdx  
x5
1
0
π
1


∫
2


∫
x
15.  xe dx        16.  e x cos xdx
0
0
Tính các tích phân sau 
π
π
1
6
2
1)  ∫ x.e dx        2)   ( x − 1) cos xdx            3)   (2 − x) sin 3xdx  
3x

∫ ∫
0
0 0
π
2
4)  x. sin 2 xdx                                         
∫ 0
e e 3

 5)   ∫ x ln xdx       6)   ∫ (1 − x ). ln x.dx        7)   ∫ 4 x. ln x.dx  
2

1 1 1
1 2

8)   ∫ x. ln(3 + x 2 ).dx                       9)   ∫ ( x 2 + 1).e x .dx  
0 1
π π
π
2 2
10)   ∫ x. cos x.dx      11)   x 2 . cos x.dx      12)   ( x 2 + 2 x).sin x.dx
∫ ∫
0
0 0
 π
1
2
lnx 2
   15)  ∫ ex sinxdx        16) 
 13)  ∫ 5 dx   14)  xcos2 xdx
∫
x 0
1
0
π2 e

                             17)  ∫ xln2 xdx     18) 
∫ sin xdx
1
0
π π
π
x + sinx     19)  xsinxcos2 xdx       20) 
3 4
∫ ∫ x(2cos x − 1)dx  
∫ cos2 x dx
2

0
0 0
1
2 e
ln(1+ x)
dx       22)  ∫ (x + 1)2 e2xdx    23)  ∫ (xlnx)2 dx       24) 
21)  ∫ 2
x 0
1 1
π
2

∫ cosx.ln(1+ cosx)dx   
0
e
ln x 1

25)  ∫ (x + 1)
1
dx       26)  xt 2xdx       27)  ( x − 2)e 2 x dx  
∫ g ∫
2
1 0 0
e
ln x
e
1
28)   ∫ x ln(1 + x 2 )dx                           29)   ∫ dx   30) 
x
1
0
π
2 3
∫ (2 x + 7) ln( x + 1)dx    32)   ∫ ln( x − x) dx  
2 2
∫ ( x + cos x ) sin xdx    31)   0
3
2
0


III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
5 b
2x −1 1
1. ∫ 2 2.  ∫
dx dx
( x + a )( x + b)
3 x − 3x + 2 a
1 1
x3 + x + 1 x3 + x + 1
3. ∫ 4.  ∫
dx dx
x +1 x2 +1
0 0
1 1
x2 1
5. ∫ ∫ ( x + 2)
dx dx
6.
0 (3 x + 1) ( x + 3) 2
3 2
0
2 0
1− x 2x 3 − 6x 2 + 9x + 9
2008

∫ x(1 + x 2008 ) dx ∫1 x 2 − 3x + 2 dx
7. 8.
−
1
1
x 2 n −3
3
x4
10. ∫
9. ∫ 2 dx
dx
0 (1 + x )
2n
2 ( x − 1)
2

2 2
x2 − 3 1
∫ x( x 4 + 3x 2 + 2) dx ∫ x(1 + x dx
11. 12. 4
)
1 1
2 1
1 x
∫4+ x ∫1+ x
dx dx
13. 14.
2 4
0 0
2 1
1 x
∫x ∫ (1 + x
dx dx
15. 16.
− 2x + 2
2 23
)
0 0
4 3
3x 2 + 3 x + 3
1
∫ x 3 − 2 x 2 + x dx ∫ x 3 − 3x + 2 dx
17. 18.
2 2
 1
2
1− x2 1
∫1+ x
19. ∫ dx
dx 20. 3
1+ x4 0
1
1 1
x6 + x5 + x4 + 2 2 − x4
21. ∫ 22.  ∫
dx dx
x6 + 1 0 1+ x
2
0
1
4 x + 11
∫
1
23. 1 + x
4
24.
∫ 1 + x 6 dx dx
x + 5x + 6
2
0
0
1
dx
∫
3
x+2
∫ x − 1 dx        
25. 26.
x2 + x + 1 2
0
1
 2x − 2
0
 x−2
 
27.  ∫  28.  ∫ 
− 3 dx − 2 x + 1dx     
x +1 2x − 1
0  −1 
2 1
 3x − 1 x 2 + 2x + 3

29.  ∫  30.  ∫
− x − 1dx          dx        
x+2 x+3
0  0

 x2 + x +1   2x 2 + x − 2 
0 1

31.  ∫  32.  ∫ 
− 2 x + 1dx       − x + 1dx      
   
x −1 x +1
−1  0 
1
dx
33.  ∫  
x + 4x + 3
2
0


IV. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:
π π
2 2
2.  sin 2 x cos 3 xdx
1. sin 2 x cos 4 xdx
∫ ∫
0 0
π π
2 2
3. sin 4 x cos 5 xdx 4. (sin 3 x + cos 3 ) dx
∫ ∫
0 0
π π
2 2
5. cos 2 x(sin 4 x + cos 4 x)dx 6. (2 sin 2 x − sin x cos x − cos 2 x) dx
∫ ∫
0 0
π
π
2
1 2
7. ∫ dx 8. (sin 10 x + cos10 x − cos 4 x sin 4 x)dx
∫
π sin x
0
3
π π
2 2
dx 1
9. 10.
∫ 2 − cos x ∫ 2 + sin x dx
0 0
π
π
3
dx
sin 3 x
2
∫
11. 12.
∫ 1 + cos 2 x dx 4
π sin x. cos x
0
6
π π
4 2
dx cos x
13. 14.
∫ sin ∫ 1 + cos x dx
x + 2 sin x cos x − cos 2 x
2
0 0
 π π
2 2
cos x sin x
15. 16.
∫ 2 − cos x dx ∫ 2 + sin x dx
0 0
π π

cos 3 x
2 2
1
17. 18.
∫ 1 + cos x dx ∫ sin x + cos x + 1 dx
0 0
π π

sin x − cos x + 1
2 2
cos xdx
∫ ∫π sin x + 2 cos x + 3 dx
19. 20.
π (1 − cos x )
2
−
3 2
π
π
4
4
22.  ∫ cot g xdx
3
21. tg 3 xdx
∫ π
0
6
π
π
3
4
23. ∫ tg xdx 1
4
24. 
∫ 1 + tgx dx
π
0
4
π
π
4
dx sin x + 7 cos x + 6
∫
2
25. 26.
∫ 4 sin x + 5 cos x + 5 dx
π
0 cos x cos( x + ) 0
4
π
2π
4
∫ dx
1 + sin x dx
27. 28.
∫ 2 sin x + 3 cos x + 13
0
0
π π

30. 1 + cos 2 x + sin 2 x dx
4 sin 3 x
4 2
29.
∫ 1 + cos 4 x dx ∫ sin x + cos x
0 0
π
π
2
dx
2
∫
sin 3x
31. 32.
∫ 1 + cos x dx π sin 2 x − sin x
0
4
π π

sin 3 x
4 2
33. 34. sin 2 x(1 + sin 2 x) 3 dx
∫ cos 2 x dx ∫
0 0
π
π
sin 3 x − sin x
33

∫ cos x ∫
sin x dx dx
35. 36.
sin 3 xtgx
π
0
4
π π
2 2
dx dx
37. 38.
∫ 1 + sin x + cos x ∫ 2 sin x + 1
0 0
π
π
2
4
39. ∫ cos x sin xdx sin 4 xdx
3 5
40.
∫ 1 + cos 2
x
π
0
4
 π
π
6
dx
2
2.  ∫
dx
41.
∫ 5 sin x + 3 4
sin x cos x
π
0
6
π π
3 3
dx dx
∫ 4.  ∫
43. π π
sin x sin( x + ) sin x cos( x +
π π )
6 4
6 4
π π

π
2
3 3
sin xdx
∫ 46. ∫ tgxtg ( x + )dx
45.
cos 6 x 6
π π
4 6
π 0
sin 2 x
∫π (2 + sin x)
3
4 sin xdx
47. 48.
∫ (sin x + cos x) 3
2
−
0 2
π π
2 2
49. sin 3 x dx 50.
∫ ∫x
2
cos xdx
0 0
π π

1 + sin x
2 2
51. sin 2 x.e 2 x +1 dx 52.
∫ ∫ 1 + cos x e
x
dx
0 0
π
π
4
sin 3 x sin 4 x 2
53. ∫ sin 2 xdx
dx 54.
∫ sin
π tgx + cot g 2 x x − 5 sin x + 6
2
0
6
π
2 3
ln(sin x )
∫
55. ∫ cos(ln x )dx dx
56.
cos 2 x
π
1
6
π
π
2
∫ x sin x cos
2
xdx
57. (2 x − 1) cos 2 xdx 58.
∫ 0
0
π
π
4
60. ∫ e sin xdx
2x 2
59.
∫ xtg xdx
2
0
0
π π
2 4
62.  ln(1 + tgx )dx
61. e sin x sin x cos 3 xdx
∫ ∫
2



0 0
π π

(1 − sin x ) cos x
4 2
dx 64. 
63.
∫ (sin x + 2 cos x) ∫ (1 + sin x)(2 − cos dx
2 2
x)
0 0
π
π
2


∫ sin 2 x sin 7 xdx
2


∫ cos x(sin 4 x + cos 4 x) dx
65. 66.
π
− 0
2
 π π
2 2
3
4sin x
∫ 68.  ∫ cos 5 x. cos 3 xdx          
67. dx
1 + cos x π
−
2
0
π
π
2
4
69.  ∫ sin 7 x. sin 2 xdx            70. sin x cos xdx  
∫ 2
π
− 0
2
π
4
71.  sin 2 xdx                     
∫ 0




V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ:
b

∫ R( x, f ( x))dx Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng: 
a

π
+) R(x,  a − x ) §Æt x = a cos2t, t  ∈ [0; ]
a+x 2
+) R(x,  a − x ) §Æt x =  a sin t  hoÆc x =  a cos t
2 2



+) R(x,  n ax + b ) §Æt t =  n ax + b
cx + d cx + d
1
 Víi ( αx 2 + βx + γ
+) R(x, f(x)) = 
(ax + b) αx 2 + β x + γ
)’ = k(ax+b)
Khi ®ã ®Æt t =  αx 2 + βx + γ , hoÆc ®Æt t = 
1
ax + b
ππ
+) R(x,  a 2 + x 2 ) §Æt x =  a tgt , t ∈ [− ; ]
22
π
a
, t ∈ [0; π ] \ { }
+) R(x,  x 2 − a 2 ) §Æt x = 
2
cos x
( )
n1 n2 ni
x ; x ;.; x  Gäi k = BCNH(n1; n2; ...; 
..
+) R
ni) 
§Æt x = tk 
2
dx
23

2.  ∫
dx
∫
1.
x x2 −1
x x2 + 4 2
5
3
1
2
2
dx dx
3.  ∫ 4.  ∫
(2 x + 3) 4 x + 12 x + 5 x x3 + 1
2
1 1
−
2
2
2
dx
6.  ∫
5.  ∫ x 2 + 2008dx
x 2 + 2008
1
1
 1 1

7.  ∫ x 2 1 + x 2 dx 8.  ∫ (1 − x 2 ) 3 dx
0 0
2
3
x2 +1 1+ x
2
9.  ∫ 10. 
dx
∫ dx
x +1
2 2
x 1− x
1
0
2
1
dx 2
11.  ∫ dx
12. 
∫
(1 + x ) 23
(1 − x 2 ) 3
0
0

2
1
x 2 dx
2
13.  ∫ 1 + x dx 2
14. 
∫ 1− x2
0
0
π π
2 2
cos xdx
15.  16.  sin x cos x − cos 2 x dx
∫ ∫
7 + cos 2 x
0 0
π π

18.  sin 2 x + sin x dx
2 2
cos xdx
17. 
∫ ∫ 1 + 3 cos x
2 + cos 2 x
0 0
3
7
x 3 dx
20.  ∫ x 3 10 − x 2 dx
19.  ∫ 3
1+ x2 0
0
1 1
x 3 dx
xdx
21.  ∫ 22.  ∫
2x + 1 x + x2 +1
0 0
1
7
dx
24.  ∫ x15 1 + 3x 8 dx
23.  ∫
2x + 1 + 1 0
2
π
26.  ln 3 dx
25.  2
∫
∫ 1 − cos x sin x cos xdx
3 5
6
  ex +1
0
0
1 ln 2
e 2 x dx
dx
27.  ∫ ∫
28. 
1+ x + x2 +1 ex +1
−1 0
1
e
1 + 3 ln x ln x
29.  ∫ 12 x − 4 x − 8dx
2
30. ∫ dx
x
5
1
4
4
3
x5 + x3
32.  ∫ x 3 − 2 x 2 + x dx
31.  ∫ dx
1+ x 2
0
0
0 ln 3
ln 2 x
33.  ∫ x(e 2 x + 3 x + 1)dx ∫
34.  dx
x ln x + 1
−1 ln 2

cos 2 x
π ln 2
+ 2 3tgx e x dx
∫
3
35.  36. 
cos 2 x
∫ dx (e x + 1) 3
cos 2 x 0
0
π π
3 2
cos xdx cos xdx
37.  38. 
∫ ∫
2 + cos 2 x 1 + cos 2 x
0 0
 7 2a
x+2
39.  ∫ 3 40.  ∫ x 2 + a 2 dx
dx
x+3
0 0


VI. MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:
Bµi to¸n më ®Çu: Hµm sè f(x) liªn tôc trªn [­a; a], khi 
a a

®ã:  ∫ f ( x )dx = ∫ [ f ( x) + f (− x)]dx
−a 0

3π 3π
VÝ dô: +) Cho f(x) liªn tôc trªn [­ ] tháa m∙n 
;
22
f(x) + f(­x) =  2 − 2 cos 2 x , 
3π
2

∫π f ( x)dx
TÝnh: 
3
−
2
1
x 4 + sin x
+) TÝnh    ∫ dx
−1 1 + x
2


Bµi to¸n 1: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ lΠtrªn [­a, a], 
a

khi ®ã:  ∫ f ( x)dx  = 0.
−a
π
1 2

∫π cos x ln( x +
∫ ln( x + 1 + x 2 )dx
1 + x 2 )dx
VÝ dô: TÝnh:
−1 −
2

Bµi to¸n 2: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ ch½n trªn [­a, 
a a

a], khi ®ã:  ∫ f ( x)dx  = 2 ∫ f ( x)dx
−a 0
π
2
x + cos x
∫
1
x dx
VÝ dô: TÝnh   ∫ dx
4 − sin 2 x
x − x +1
4 2
−1
π
−
2
Bµi to¸n 3: Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc, ch½n trªn [­a, 
a a
f ( x)
a], khi ®ã:  ∫ dx = ∫ f ( x)dx  (1 ≠ b>0,  ∀ a)
1+ bx
−a 0
π
3
x +1 2 2
sin x sin 3 x cos 5 x
VÝ dô: TÝnh:  ∫ ∫π
dx   dx
−3 1 + 2 1+ ex
x
−
2

π
Bµi to¸n 4: NÕu y = f(x) liªn tôc trªn [0;  ], th× 
2
π π
2 2

∫ f (sin x) = ∫ f (cos x)dx
0 0
 π π
2009
2 2
sin x sin x
VÝ dô: TÝnh  
∫ sin ∫
dx dx
x + cos 2009 x
2009
sin x + cos x
0 0

Bµi to¸n 5: Cho f(x) x¸c ®Þnh trªn [­1; 1], khi ®ã: 
π
ππ
∫ xf (sin x)dx = 2∫
f (sin x)dx
0 0
π π
x x sin x
∫ 1 + sin x dx ∫ 2 + cos x dx
VÝ dô: TÝnh
0 0
b b b b

Bµi to¸n 6:  ∫ f (a + b − x)dx = ∫ f ( x)dx ∫ f (b − x) dx = ∫ f ( x)dx
⇒
a a 0 0
π
π
x sin x 4
VÝ dô: TÝnh  ∫ dx
∫ sin 4 x ln(1 + tgx)dx
0 1 + cos x
2
0

Bµi to¸n 7: NÕu f(x) liªn tôc trªn R vµ tuÇn hoµn víi chu 
k× T th×: 
a +T T nT T

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ∫ f ( x)dx = n ∫ f ( x)dx
⇒
        
a 0 0 0
2008π

∫ 1 − cos 2 x dx
VÝ dô: TÝnh
0

C¸c bµi tËp ¸p dông:
π

x7 − x5 + x3 − x + 1
1 4
1− x 2

∫π
1.  ∫ 2.  dx
dx
cos 4 x
1+ 2x
−1 −
4
π

x + cos x
1 2
dx
4.  ∫
3.  ∫ dx
4 − sin 2 x
−1 (1 + e )(1 + x )
x 2
π
−
2
1
2π
1− x
2
5.  ∫ cos 2 x ln( 6. ∫ sin(sin x + nx)dx
)dx
1+ x
1 0
−
2
π tga cot ga
xdx dx
sin 5 x
2
∫ 1+ x2 + ∫ = 1  (tga>0)
∫
7.  8.  1
dx x(1 + x 2 )
1 + cos x 1
−π
2 e e
VII. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
3 2

∫ 2.  ∫ x 2 − 4 x + 3 dx
x 2 − 1 dx
1.
−3 0
π
1 2
3. ∫ x x − m dx 4.  ∫ sin x dx
π
0
−
2
π
π 3
5.  ∫ 1 − sin x dx 6.  ∫ tg 2 x + cot g 2 x − 2dx
π
−π
6
 3π
2π
4
7.  ∫ sin 2 x dx 8.  ∫ 1 + cos x dx
π 0
4
3
5

10.  ∫ 2 x − 4 dx
9.  ∫ ( x + 2 − x − 2 )dx
−2 0
π
4
3
11.  ∫ cos x cos x − cos 3 x dx 12.      2)  ∫ x2 − 3x + 2dx  
π −1
−
2
2
1
5

14.  ∫ x + x2 − 2dx  
2
13.  ∫ ( x + 2 − x − 2)dx      
1
−3
2
π
3

15.  ∫ 2x − 4dx         16.  ∫ 1+ cos2xdx  
0 0
2π
2
17.  ∫ 1+ sinxdx               18.  ∫ x 2 − x dx  
0
0



VIII. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN:
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường
thẳng x = 1
b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x
=1
c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng
x=4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2 π
Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường
thẳng x = 1
b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x
=1
c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng
x=4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2 π
 µi 1    Cho (p) : y = x2+ 1 vµ ®êng th¼ng (d): y = mx + 
B  :
2. T×m m ®Ó diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi hai ®êng 
trªn cã diÖn tÝch nhá nhÈt
Bµi 2: Cho y = x4­ 4x2 +m (c) T×m m ®Ó h×nh ph¼ng giíi h¹n 
bëi (c) vµ 0x cã diÖn tÝch ë phÝa trªn 0x vµ phÝa díi 0x 
b»ng nhau
Bµi 3: X¸c ®Þnh tham sè m sao cho y = mx chia h×nh ph¼ng 
x − x 3

giíi h¹n bëi  y = o ≤ x ≤ 1
y = 0

Cã hai phÇn diÖn tÝch b»ng nhau
Bµi 4: (p): y2=2x chia h×nh ph¼ng giíi bëi x2+y2 = 8 thµnh 
hai phÇn.TÝnh diÖn tÝch mçi phÇn
Bµi 5: Cho a > 0  TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi 
 x 2 + 2ax + 3a 2
y=

 1+ a4
T×m a ®Ó diÖn tÝch lín nhÊt

 y = a − ax
2

 1+ a4

Bµi 6: Tính diện tích của các hình phẳng sau:
−3x − 1


y = x − 1
x2
y = 4−  y = x2 − 4x + 3 
 
4
3) (H3): y = 0
1) (H1):  2) (H2) : 
y = x + 3
2
y = x x = 0

 
 42 
y = x
 y = x2  y2 + x − 5 = 0
 
4) (H4):  5) (H5):  6) (H6): 
x + y − 3 = 0
x = −y
2
y = 2− x
2
 
 lnx
y = 2 x
 3 3
 y = x + x −
 y = x2 − 2x 2
 
(H7): y = 0 2 2
7) 8) (H8) :  9) (H9): 
 y = − x + 4x
2

x = e y = x


x = 1

(C ) : y = x (C ) : y = e x
 y2 − 2y + x = 0  
11) (d ) : y = 2 − x 12) (d ) : y = 2
10) (H10): 
x + y = 0 (Ox) (∆) : x = 1


y = x
y = − 4 − x2
 y 2 = 2x + 1 

x + y − 2 = 0
13)  14)  2 15)
y = x −1 x + 3 y = 0 y = 0


 x2
 y = ln x, y = 0
y =  y 2 = 2x
 
2
16  17  18)  1
x = e , x = e
 y = x, y = 0, y = 3
y = 1 
 1+ x
 2


 1 1
 y = sin 2 x ; y = cos 2 x

    20): y = 4x – x2 ; (p) vµ tiÕp 
19.  
π π
x = ; x =

 6 3
tuyÕn cña (p) ®i qua M(5/6,6)
  y = −x 2 + 6x − 5
 y = x 2 − 4x + 5


 y = −2 x + 4  y = −x + 4x − 3
21) 22) 23)
2

 y = 4 x − 11  y = 3 x − 15
 
y = x

y = 1

x           

y = 0

x = e


y = x
 y = / x 2 − 1/ 3

24)   25)   2                        26) 
 y = / x /+ 5 y = x

 y = −3 x 2 − / x / + 2
         

y = 0
 y = x 2 − 2x + 2

 y = / x − 1/
y = x + 2  2
2

28)  y = x 2 + 4 x + 5
27)       29)    
y = 4 − x y = −x2 + 7
y = 1 

 y = x3  y = sin x − 2 cos x  2
y = x + 3 +
 
30)   y = 0               31)   y = 3   32)   x 
 x = −2; x = 1  x = 0; x = π y = 0



 y = 2x 2 − 2x
 y = x + 2x 
2

34)   y = x 2 + 3x − 6  
33)                35) 
y = x + 2  x = 0; x = 4

 y = / x 2 − 5x + 6 /

y = 6
 y = 2x 2
  y = / x 2 − 3x + 2 /
36)   y = x 2 − 2 x − 1            37)        
y = 2
y = 2


 y = / x − 3x + 2 /
 y = / x 2 − 5x + 6 /  y = / x 2 − 4x + 3 /
2

38)  39)  40)     
y = x +1 y = 3
y = −x2

y = eÏ  x2
y=
 
41)   y = e − x                  42)   x 2 − x 6       43) 
x = 1  x = 0; x = 1


 y = sin/ x /

 y = / x /− π
  y = 2x 2  y 2 = 2x
 
44)   y = x 2 − 4 x − 4            45)  2 x + 2 y + 1 = 0        46) 
y = 8 y = 0


 y = x (a − x )
2 2 2 2


a  0
 y = ( x + 1) 2  y 2 = / x − 1/ x = / y 2 − 1/
47)   48)         49)     32) 
 x = sin πy x = 2 x = 2


  x = 0;
2
x
 x = ( y + 1) 2
y = 4 − 
  1
4
 y = sin x 33)   34)   x =
2
2
y = x
x = 0 
   x
 42
y = ;y =0
1− x4


y = x
2
 y = 5 x −2 
2
 y = 6x
 x2

35)   y = 0     37)   y =      38) 
36)   2
 x + y 2 = 16 27
 x = 0; y = 3 − x  
  27
y = x


 y = / log x /
 y 2 = (4 − x) 3 

39)  y = 0
2
 y = 4x
  1
 x = , x = 10
 10
y = x
 2
ax = y  y = 2x
2

 (a> 0)      41)  y = sin 2 x + x   42)   2
40)  43) 
ay = x 2 27 y = 8( x − 1) 2
 0 ≤ x ≤ π 

x2/25+y2/9 = 1 vµ hai tiÕp tuyÕn ®i qua A(0;15/4)
44) Cho (p): y = x2 vµ ®iÓm A(2;5) ®êng th¼ng (d) ®i qua 
A cã hÖ sè gãc k .X¸c ®Þnh k ®Ó diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi 
h¹n bëi (p) vµ (d) nhá nhÊt
 y = x3 − 2x 2 + 4x − 3
45)   
y = 0

TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY
Công thức: y
y x=b
x=a b y=b
(C ) : y = f ( x)
x=0 (C ) : x = f ( y )
y=a
a
x
x
a y=0
O b
O
 2 2
b b
V = π ∫ [ f ( y )] dy
V = π ∫ [ f ( x)] dx
a a



Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y = x;y = 2 − x;y = 0
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy
Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y = (x − 2)2 và y = 4
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh:
a) Trục Ox
b) Trục Oy
Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y = 4 − x2; y = x2 + 2 .
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
x2
1
Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y = ;y=
x2 + 1 2
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = 2x2 và y = 2x + 4
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 7: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = y2 = 4x và y = x
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
1 x
Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = x 2 .e 2 ; y = 0 ; x= 1 ; x = 2
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 9: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = xlnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = e
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài10: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = x ln(1 + x 3 ) ; y = 0 ; x = 1
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
 y = ( x − 2) 2
1)                 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
y = 4
 y = x 2 , y = 4x 2
2)            quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
y = 4
 1
y = 2
3)          quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
x +1
 y = 0, x = 0, x = 1

 y = 2x − x 2
4)                  quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
y = 0
  y = x. ln x

5 )   y = 0                 quay quanh trô c  a) 0x; 
 x = 1; x = e

 y = x 2 ( x > 0)

6) ( )   y = −3x + 10     quay quanh trô c  a) 0x;          ( H ) 
D
y = 1

n»m ngoµ i y = x2
y = x2

7)                       quay quanh trôc a) 0x; 
y = x

8)   MiÒn trong h×nh trßn (x – 4)2 + y2 = 1  quay quanh 
trôc a) 0x; b) 0y
2 2
9)  MiÒn trong (E):  x + y = 1                     quay 
9 4
quanh trôc a) 0x; b) 0y
 y = xe Ï

10)   y = 0           quay quanh trôc  0x;
 x = 1, ;0 ≤ x ≤ 1


 y = cos 4 x + sin 4 x

11)   y = 0   quay quanh trôc  0x;
 π
x = ; x = π
 2
y = x2
12)                  quay quanh trôc  0x;
 y = 10 − 3x
13) H×nh trßn t©m I(2;0) b¸n kÝnh R = 1  quay quanh trôc 
a) 0x; b) 0y


 4
14)   y =          quay quanh trôc  0x;
x−4

 x = 0; x = 2

y = x −1

15)   y = 2                quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
 x = 0; y = 0
