Bài tập tìm nguyên hàm của hàm số

Chia sẻ: Phạm Thành Danh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:23

1
988
lượt xem
317
download

Bài tập tìm nguyên hàm của hàm số

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu luyện thi môn toán gồm hệ thống các bài tập tính tích phân bằng cách tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài tập tìm nguyên hàm của hàm số

  1. I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số. 1 x 3 3x 2 1. f(x) = x2 – 3x + − + ln x + C ĐS. F(x) = x 3 2 2x 4 + 3 2x3 3 − +C 2. f(x) = ĐS. F(x) = x2 3 x x −1 1 . f(x) = 2 ĐS. F(x) = lnx + + C x x ( x 2 − 1) 2 3 x 1 − 2x + + C 4. f(x) = ĐS. F(x) = x2 3 x 4 3 5 ĐS. F(x) = 2 x + 3x + 4 x + C 3 2 4 5. f(x) = x + x + x 3 4 3 4 5 1 2 − 6. f(x) = ĐS. F(x) = 2 x − 33 x 2 + C x 3x ( x − 1) 2 7. f(x) = ĐS. F(x) = x − 4 x + ln x + C x x −1 5 2 8. f(x) = ĐS. F(x) = x 3 − x 3 + C 3 x x 9. f(x) = 2 sin 2 ĐS. F(x) = x – sinx + C 2 10. f(x) = tan2x ĐS. F(x) = tanx – x + C 1 1 x + sin 2 x + C 11. f(x) = cos2x ĐS. F(x) = 2 4 12. f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C 1 13. f(x) = ĐS. F(x) = tanx - cotx + C sin x. cos 2 x 2 cos 2 x 14. f(x) = ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C sin x. cos 2 x 2 1 ĐS. F(x) = − cos 3x + C 15. f(x) = sin3x 3 1 ĐS. F(x) = − cos 5 x − cos x + C 16. f(x) = 2sin3xcos2x 5 1 ĐS. F(x) = e 2 x − e x + C 17. f(x) = ex(ex – 1) 2 e−x 18. f(x) = ex(2 + ĐS. F(x) = 2ex + tanx + C ) cos 2 x 2a x 3 x 19. f(x) = 2ax + 3x + +C ĐS. F(x) = ln a ln 3 1 ĐS. F(x) = e 3 x +1 + C 20. f(x) = e3x+1 3 2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng ĐS. f(x) = x2 + x + 3 1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 x3 2. f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3 ĐS. f(x) = 2 x − +1 3
  2. 8 x x x 2 40 3. f’(x) = 4 x − x và f(4) = 0 ĐS. f(x) = − − 3 2 3 1 2 x 1 3 + 2 và f(1) = 2 + + 2x − 4. f’(x) = x - ĐS. f(x) = x2 2x 2 5. f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3 ĐS. f(x) = x4 – x3 + 2x + 3 b x2 1 5 6. f’(x) = ax + 2 , f ' (1) = 0, f (1) = 4, f (−1) = 2 ++ ĐS. f(x) = x 2x2 II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số. Tính I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx bằng cách đặt t = u(x) ặ Đặt t = u(x) ⇒ dt = u ' ( x)dx ⇒ I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt BÀI TẬP Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: dx dx 2. ∫ (3 − 2 x) 5 ∫ 1. ∫ (5 x − 1)dx ∫ 5 − 2 x dx 3. 4. 2x − 1 x ∫ (2 x ∫ (x 8. ∫ 2 ∫ + 1) 7 xdx + 5) 4 x 2 dx 2 3 x 2 + 1.xdx 5. 6. 7. dx x +5 dx 3x 2 ln 3 x ∫ ∫ ∫ x.e x 2 +1 ∫ x dx dx 9. 10. 11. 12. dx x (1 + x ) 2 5 + 2x 3 sin x tgxdx 13. ∫ sin x cos xdx 14. ∫ 5 dx ∫ cot gxdx ∫ cos 4 15. 16. 2 cos x x x dx dx e ∫ tgxdx 17. ∫ 18. ∫ ∫ 19. 20. dx sin x cos x x dx e x dx e tgx ∫ ∫ ∫ ∫ cos 2 x dx 1 − x 2 .dx 21. 22. 23. 24. 4 − x2 e −3x x 2 dx dx dx ∫ ∫ 1+ x2 ∫x ∫ x 1 − x .dx 2 2 25. 26. 27. 28. + x +1 2 1− x2 dx ∫ cos ∫x 31. ∫ x ∫x x − 1.dx 3 x sin 2 xdx x 2 + 1.dx 3 29. 30. 32. e +1 2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần. Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I ∫ u( x).v' ( x)dx = u ( x).v( x) − ∫ v( x).u ' ( x)dx Hay ∫ udv = uv − ∫ vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 1. ∫ x. sin xdx 2. ∫ x cos xdx 3. ∫ ( x + 5) sin xdx 4 ∫ ( x + 2 x + 3) cos xdx 2 2 ∫ x sin 2 xdx ∫ x cos 2 xdx ∫ x.e ∫ ln xdx x dx 5. 6. 7. 8.
  3. ln xdx ∫ ∫ x ln xdx ∫ ln ∫e 2 x xdx 9. 10. 11. 12. dx x x ∫ xtg ∫ sin x dx ∫ ln( x + 1)dx ∫ cos x dx 2 2 xdx 13. 14. 15. 16. 2 ∫ e . cos xdx 19. ∫ x ln(1 + x 20. ∫ 2 xdx ∫ x e dx 2 x 2 x 3x )dx 17. 18. ln(1 + x) ∫ x lg xdx ∫ 2 x ln(1 + x)dx 23. ∫ x dx 24. ∫ x cos 2 xdx 2 21. 22. 2 TÍCH PHÂN I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN: 1 e 11 1. ∫ ( x + x + 1)dx 2. ∫ ( x + + + x 2 )dx 3 x x2 0 1 3 2 ∫ ∫ x − 2 dx x + 1dx 2. 3. 1 1 π 1 2 ∫ (e 4. ∫ (2 sin x + 3cosx + x)dx + x )dx x 5. π 0 3 1 2 ∫ (x 7. ∫ ( x + 1)( x − x + 1)dx + x x )dx 3 6. 0 1 π 1 2 1 ∫ (e 8. ∫ (3sin x + 2cosx + ) dx + x 2 + 1)dx x 9. x π 0 3 2 2 10. ∫ ( x + x x + 3 x )dx 11. ∫ ( x − 1)( x + x + 1)dx 2 1 1 3 2 x.dx ∫ (x + 1).   13.  ∫ 3 12. dx x +2 2 −1 ­1 e2 5 7x − 2 x − 5 dx 15.  ∫ 14.  ∫ dx   x+ 2 + x − 2 x 2 1 π 2 ( + 1)dx 2 3 x cos x.dx . 17.  ∫ 3 16.  ∫ 2 x + xl x n snx i π 1 6 π 1 ex − e− x 4 tgx . dx 19.  ∫ dx 18.  ∫ ex + e− x cos2 x 0 0 2 1 ex . dx dx 21.  ∫ 20.  ∫ 4x 2 + 8x e x + e− x 1 0 π l3 n dx . 2 dx ∫ 22.  22.  ∫ 1 + si x e + e− x x n 0 0
  4. 2 1 2 25.  ∫ (2 x 3 − x − )dx      24.  ∫ (2 x 2 + x + 1)dx          3 −1 0 4 2 27.  ∫ ( x 2 − 4)dx 26.  ∫ x( x − 3)dx         −3 −2 2 2 x − 2x 2 1 1 28. ∫  29.  ∫ + 3 dx           dx           2 x3 1x x 1 1 16 e dx 30.  ∫ 31.  ∫ x .dx                       x 1 1 e   e2 8 2 x + 5 − 7x 1 33.  ∫  4 x − dx 32.  ∫ dx        x 33 x 2   1 1 II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ: π π 2 2 ∫ sin ∫ sin 3 xcos 2 xdx 2 xcos 3 xdx 1. 2. π π 3 3 π π 2 4 sin x 3. 3. ∫ 1 + 3cosx dx ∫ tgxdx 0 0 π π 4 6 ∫ cot gxdx 4. 5. ∫ 1 + 4sin xcosxdx π 0 6 1 1 6. ∫ x x + 1dx ∫x 1 − x 2 dx 2 7. 0 0 1 1 x2 8. ∫ x x + 1dx ∫ 3 2 dx 9. x3 + 1 0 0 1 2 1 ∫x ∫x 1 − x 2 dx 3 dx 10. 11. x3 + 1 0 1 1 1 1 1 ∫ 1+ x 13. ∫ 2 dx dx 12. x + 2x + 2 2 −1 0 1 1 1 1 ∫ ∫ (1 + 3x dx dx 14. 15. 22 ) x2 + 1 0 0 π π 2 2 16. ∫ e cosxdx 17. ∫ e sin xdx sin x cosx π π 4 4 π 1 2 ∫e ∫ sin x2 + 2 3 xcos 2 xdx xdx 18. 19. π 0 3 π π 2 2 ∫e ∫e sin x cosx cosxdx sin xdx 20. 21. π π 4 4
  5. π 1 2 ∫e 23. ∫ sin 3 xcos 2 xdx 2 x +2 xdx 22. π 0 3 π π 2 2 sin x 24. ∫ sin xcos xdx 2 3 ∫ 1 + 3cosx dx 25. π 0 3 π π 4 4 27. ∫ cot gxdx ∫ 26. tgxdx π 0 6 π 1 6 ∫x x 2 + 1dx ∫ 28. 29. 1 + 4sin xcosxdx 0 0 1 1 ∫ x 1 − x dx ∫x x 2 + 1dx 2 3 30. 31. 0 0 1 1 2 x ∫ ∫x 1 − x 2 dx 3 dx 32. 33. x +1 3 0 0 2 e 1 + ln x 1 ∫x ∫ dx dx 34. 35. x x +1 3 1 1 e e 1 + 3ln x ln x sin(ln x) 36. ∫ ∫ dx dx 37. x x 1 1 e2 2 ln x +1 e 1 + ln 2 x e ∫ 39. ∫ dx dx 38. x x ln x 1 e 2 2 e x 1 ∫ 1+ ∫ cos 2 (1 + ln x) dx dx 40. 41. x −1 1 e 1 1 x ∫ ∫x x + 1dx dx 42. 43. 2x +1 0 0 1 1 1 1 ∫ ∫ dx dx 44. 45. x +1 + x x +1 − x 0 0 3 e x +1 1 + ln x ∫ ∫ 46. dx dx 46. x x 1 1 e e 1 + 3ln x ln x sin(ln x) ∫ ∫ dx dx 47. 48. x x 1 1 e2 2 ln x +1 e 1 + ln 2 x e ∫ ∫ x ln x dx dx 49. 50. x 1 e 1 ∫ e2 1 x 2 x 3 + 5dx ∫ cos dx 51. 52. (1 + ln x) 2 e 0
  6. π 4 ∫ 2 ∫ ( sin x + 1) cos xdx 4 − x 2 dx 53.  54.  4 0 0 4 1 dx ∫ ∫ 4 − x 2 dx 55.  56.    1+ x 2 0 0 1 0 58.  ∫ e − x dx 57.  ∫ e 2 x +3 dx     −1 0 1 1 x x 59. ∫ (2x + 1)3dx ∫ dx 60. 2x + 1 0 0 1 1 4x + 11 61. ∫ x 1− xdx 62. ∫ x2 + 5x + 6dx 0 0 1 3 2x − 5 x3 63. ∫ x2 − 4x + 4dx 64. ∫ x2 + 2x + 1dx 0 0 π π 3 6 2 66. ∫ 4sin x dx 65. ∫ (sin6 x + cos6 x)dx 1+ cosx 0 0 π π 67. ∫ 1+ sin2xdx 4 2 68. ∫ cos4 2xdx 2 cos x 0 0 π 1 1+ sin2x + cos2x 1 2 70. ∫ ex + 1dx . 69. ∫ dx sinx + cosx π 0 6 π π 72. ∫ cos 2 x dx 4 4 71. ∫ (cos 4 x − sin 4 x)dx 1 + 2 sin 2 x 0 0 π π 73. ∫ sin 3x dx cos x 2 2 74. ∫ dx 0 2 cos 3 x + 1 0 5 − 2 sin x 0 2x + 2 dx 1 75. ∫ 2 76. ∫ 2 dx x + 2x − 3 −1 x + 2 x + 5 −2 π π 2 2 77. ∫ cos3 xsin2 xdx 78. ∫ cos xdx 5 0 0 π 1 4 79. ∫ sin4x dx 80. ∫ x 1− x dx 3 2 1+ cos2 x 0 0 π π 2 4 1 81. ∫ sin2x(1+ sin2 x)3dx 82. ∫ cos xdx 4 0 0 π e 1+ lnx 4 1 ∫ dx 83. 84. ∫ cosxdx x 1 0
  7. 1 e 1+ ln2 x 86. ∫ x (1− x ) dx 85. ∫ 5 36 dx x 0 1 π 3 tg4x 6 cosx ∫ dx 87. ∫ 88. dx cos2x 6 − 5sinx + sin2 x 0 0 π π 89. ∫ cos x + sin x dx sin 2 x 4 2 90. ∫ dx 3+ sin2x cos x + 4 sin 2 x 2 0 0 π dx ln 5 sin 2 x 2 91. ∫ x 92. ∫ dx −x ln 3 e + 2e −3 0 ( 2 + sin x ) 2 π π ln(tgx ) 3 4 dx 93. π 94. ∫ (1 − tg 8 x)dx ∫ sin 2 x 0 4 π π sin x − cos x 2 96. ∫ sin 2 x + sin x dx 2 dx 95. ∫ 1 + sin 2 x π 1 + 3 cos x 0 4 π π 97. ∫ sin 2 x cos x dx 2 2 98. ∫ (e sin x + cos x) cos xdx 0 1 + cos x 0 x 1 + 3 ln x ln x 2 e dx 99. ∫ 100. ∫ dx 11+ x −1 x 1 π 1 101. ∫ 1 − 2 sin x dx 2 ∫ 1− x2 dx 4 102. 0 1 + sin 2 x 0 1 1 1 1 103. ∫ 1+ x2 dx ∫ dx 104. 4 − x2 0 0 1 1 1 x 105. ∫ x2 − x + 1dx 106. ∫ x4 + x2 + 1dx 0 0 π 2 2 1 x2 2 107. ∫ 108. ∫ dx dx 1+ cos x + sin x 1− x2 0 0 2 2 3 109. ∫ x 4− x dx 1 2 2 110. ∫x dx x2 − 1 1 2 1 1− x 3 9 + 3x2 ∫ ∫ dx 101. 112. dx x2 (1+ x)5 0 1 π 2 1 ∫ 2 cos x dx 113. 114. ∫ dx x x2 − 1 2 7+ cos2x 0 3 π 1 1+ x 4 cos x 115. ∫ 1+ x6 dx ∫ dx 116. 1+ cos2 x 0 0 dx dx 1 0 118. ∫ 117. ∫ −1 x + 2 x + 2 1 + 1 + 3x 2 0
  8. 8 1 x x −1 2 120. ∫ 119. ∫ dx dx 1 x−5 3 x x +1 2 7 3 x3 ∫ ∫x 1+ x2 dx 5 121. 122. dx 1+ x 3 2 0 0 7 ln2 1 x+ 1 3 ∫ dx 123. 124. ∫ dx e +2x 3x + 1 3 0 0 2 dx 23 125. ∫ x x + 1dx 2 3 126. ∫ x x2 + 4 5 0 II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: b b Công thức tích phân từng phần : ∫ u( x)v'(x)dx = u ( x)v( x) a − ∫ v( x)u '( x)dx b a a Tich phân cac ham số dễ phat hiên u và dv ́ ́ ̀ ́ ̣ sin ax β   ∫ f ( x) cosax dx ̣ @ Dang 1 e ax  α   u = f ( x) du = f '( x)dx   sin ax  sin ax     ⇒      dv = cos ax  dx v = ∫ cosax  dx   e ax  e ax        β ∫ f ( x) ln(ax)dx ̣ @ Dang 2: α  dx du = x u = ln(ax ) ⇒ Đăt  ̣  dv = f ( x)dx v = f ( x)dx ∫ β ax sin ax  @ Dang 3: ∫ e .  ̣ dx cosax  α Ví dụ 1: tinh cac tich phân sau ́ ́́ u = x 5 u = x 2 e x 1 3 2x 8   xe x dx a/ ∫ b/ ∫ 4 dx đăt  3 đăt  ̣ ̣ x3 dx dx ( x + 1)  dv = ( x + 1) 2 ( x − 1) 2 dv = 4  0 2 ( x − 1)3   1 1 1 1 1 + x2 − x2 x 2 dx dx dx c/ ∫ =∫ dx = ∫ −∫ = I1 − I 2 (1 + x 2 ) 2 0 (1 + x 2 ) 2 1 + x 2 0 (1 + x 2 ) 2 0 0 1 dx Tinh I 1 = ∫ ́ băng phương phap đôi biên số ̀ ́ ̉ ́ 1 + x2 0
  9. u = x 1 x 2 dx  Tinh I 2 = ∫  x ́ băng phương phap từng phân : đăt ̀ ́ ̀ ̣ dv = (1 + x 2 ) 2 dx  (1 + x 2 ) 2 0  Bài tập e e ln 3 x 1. ∫ 3 dx ∫ x ln xdx 2. x 1 1 1 e ∫ x ln( x ∫x + 1)dx 2 2 ln xdx 3. 4. 0 1 e e 3 ln x ∫ ∫ x ln xdx dx 5. 6. x3 1 1 1 e ∫ x ln( x ∫x + 1)dx 2 2 ln xdx 7. 8. 0 1 π e 1 2 ∫x( x + ) ln xdx ∫ 9. ( x + cosx) s inxdx 10. 1 0 π 2 3 ∫ ln( x ∫ x tan + x )dx 2 2 xdx 11. 12. π 1 4 π 2 ln x ∫ 2 ∫ dx                   13.   14.   x cos xdx   x5 1 0 π 1 ∫ 2 ∫ x 15.  xe dx        16.  e x cos xdx 0 0 Tính các tích phân sau  π π 1 6 2 1)  ∫ x.e dx        2)   ( x − 1) cos xdx            3)   (2 − x) sin 3xdx   3x ∫ ∫ 0 0 0 π 2 4)  x. sin 2 xdx                                          ∫ 0 e e 3  5)   ∫ x ln xdx       6)   ∫ (1 − x ). ln x.dx        7)   ∫ 4 x. ln x.dx   2 1 1 1 1 2 8)   ∫ x. ln(3 + x 2 ).dx                       9)   ∫ ( x 2 + 1).e x .dx   0 1 π π π 2 2 10)   ∫ x. cos x.dx      11)   x 2 . cos x.dx      12)   ( x 2 + 2 x).sin x.dx ∫ ∫ 0 0 0
  10. π 1 2 lnx 2    15)  ∫ ex sinxdx        16)   13)  ∫ 5 dx   14)  xcos2 xdx ∫ x 0 1 0 π2 e                              17)  ∫ xln2 xdx     18)  ∫ sin xdx 1 0 π π π x + sinx     19)  xsinxcos2 xdx       20)  3 4 ∫ ∫ x(2cos x − 1)dx   ∫ cos2 x dx 2 0 0 0 1 2 e ln(1+ x) dx       22)  ∫ (x + 1)2 e2xdx    23)  ∫ (xlnx)2 dx       24)  21)  ∫ 2 x 0 1 1 π 2 ∫ cosx.ln(1+ cosx)dx    0 e ln x 1 25)  ∫ (x + 1) 1 dx       26)  xt 2xdx       27)  ( x − 2)e 2 x dx   ∫ g ∫ 2 1 0 0 e ln x e 1 28)   ∫ x ln(1 + x 2 )dx                           29)   ∫ dx   30)  x 1 0 π 2 3 ∫ (2 x + 7) ln( x + 1)dx    32)   ∫ ln( x − x) dx   2 2 ∫ ( x + cos x ) sin xdx    31)   0 3 2 0 III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ: 5 b 2x −1 1 1. ∫ 2 2.  ∫ dx dx ( x + a )( x + b) 3 x − 3x + 2 a 1 1 x3 + x + 1 x3 + x + 1 3. ∫ 4.  ∫ dx dx x +1 x2 +1 0 0 1 1 x2 1 5. ∫ ∫ ( x + 2) dx dx 6. 0 (3 x + 1) ( x + 3) 2 3 2 0 2 0 1− x 2x 3 − 6x 2 + 9x + 9 2008 ∫ x(1 + x 2008 ) dx ∫1 x 2 − 3x + 2 dx 7. 8. − 1 1 x 2 n −3 3 x4 10. ∫ 9. ∫ 2 dx dx 0 (1 + x ) 2n 2 ( x − 1) 2 2 2 x2 − 3 1 ∫ x( x 4 + 3x 2 + 2) dx ∫ x(1 + x dx 11. 12. 4 ) 1 1 2 1 1 x ∫4+ x ∫1+ x dx dx 13. 14. 2 4 0 0 2 1 1 x ∫x ∫ (1 + x dx dx 15. 16. − 2x + 2 2 23 ) 0 0 4 3 3x 2 + 3 x + 3 1 ∫ x 3 − 2 x 2 + x dx ∫ x 3 − 3x + 2 dx 17. 18. 2 2
  11. 1 2 1− x2 1 ∫1+ x 19. ∫ dx dx 20. 3 1+ x4 0 1 1 1 x6 + x5 + x4 + 2 2 − x4 21. ∫ 22.  ∫ dx dx x6 + 1 0 1+ x 2 0 1 4 x + 11 ∫ 1 23. 1 + x 4 24. ∫ 1 + x 6 dx dx x + 5x + 6 2 0 0 1 dx ∫ 3 x+2 ∫ x − 1 dx         25. 26. x2 + x + 1 2 0 1  2x − 2 0  x−2   27.  ∫  28.  ∫  − 3 dx − 2 x + 1dx      x +1 2x − 1 0  −1  2 1  3x − 1 x 2 + 2x + 3  29.  ∫  30.  ∫ − x − 1dx          dx         x+2 x+3 0  0  x2 + x +1   2x 2 + x − 2  0 1 31.  ∫  32.  ∫  − 2 x + 1dx       − x + 1dx           x −1 x +1 −1  0  1 dx 33.  ∫   x + 4x + 3 2 0 IV. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC: π π 2 2 2.  sin 2 x cos 3 xdx 1. sin 2 x cos 4 xdx ∫ ∫ 0 0 π π 2 2 3. sin 4 x cos 5 xdx 4. (sin 3 x + cos 3 ) dx ∫ ∫ 0 0 π π 2 2 5. cos 2 x(sin 4 x + cos 4 x)dx 6. (2 sin 2 x − sin x cos x − cos 2 x) dx ∫ ∫ 0 0 π π 2 1 2 7. ∫ dx 8. (sin 10 x + cos10 x − cos 4 x sin 4 x)dx ∫ π sin x 0 3 π π 2 2 dx 1 9. 10. ∫ 2 − cos x ∫ 2 + sin x dx 0 0 π π 3 dx sin 3 x 2 ∫ 11. 12. ∫ 1 + cos 2 x dx 4 π sin x. cos x 0 6 π π 4 2 dx cos x 13. 14. ∫ sin ∫ 1 + cos x dx x + 2 sin x cos x − cos 2 x 2 0 0
  12. π π 2 2 cos x sin x 15. 16. ∫ 2 − cos x dx ∫ 2 + sin x dx 0 0 π π cos 3 x 2 2 1 17. 18. ∫ 1 + cos x dx ∫ sin x + cos x + 1 dx 0 0 π π sin x − cos x + 1 2 2 cos xdx ∫ ∫π sin x + 2 cos x + 3 dx 19. 20. π (1 − cos x ) 2 − 3 2 π π 4 4 22.  ∫ cot g xdx 3 21. tg 3 xdx ∫ π 0 6 π π 3 4 23. ∫ tg xdx 1 4 24.  ∫ 1 + tgx dx π 0 4 π π 4 dx sin x + 7 cos x + 6 ∫ 2 25. 26. ∫ 4 sin x + 5 cos x + 5 dx π 0 cos x cos( x + ) 0 4 π 2π 4 ∫ dx 1 + sin x dx 27. 28. ∫ 2 sin x + 3 cos x + 13 0 0 π π 30. 1 + cos 2 x + sin 2 x dx 4 sin 3 x 4 2 29. ∫ 1 + cos 4 x dx ∫ sin x + cos x 0 0 π π 2 dx 2 ∫ sin 3x 31. 32. ∫ 1 + cos x dx π sin 2 x − sin x 0 4 π π sin 3 x 4 2 33. 34. sin 2 x(1 + sin 2 x) 3 dx ∫ cos 2 x dx ∫ 0 0 π π sin 3 x − sin x 33 ∫ cos x ∫ sin x dx dx 35. 36. sin 3 xtgx π 0 4 π π 2 2 dx dx 37. 38. ∫ 1 + sin x + cos x ∫ 2 sin x + 1 0 0 π π 2 4 39. ∫ cos x sin xdx sin 4 xdx 3 5 40. ∫ 1 + cos 2 x π 0 4
  13. π π 6 dx 2 2.  ∫ dx 41. ∫ 5 sin x + 3 4 sin x cos x π 0 6 π π 3 3 dx dx ∫ 4.  ∫ 43. π π sin x sin( x + ) sin x cos( x + π π ) 6 4 6 4 π π π 2 3 3 sin xdx ∫ 46. ∫ tgxtg ( x + )dx 45. cos 6 x 6 π π 4 6 π 0 sin 2 x ∫π (2 + sin x) 3 4 sin xdx 47. 48. ∫ (sin x + cos x) 3 2 − 0 2 π π 2 2 49. sin 3 x dx 50. ∫ ∫x 2 cos xdx 0 0 π π 1 + sin x 2 2 51. sin 2 x.e 2 x +1 dx 52. ∫ ∫ 1 + cos x e x dx 0 0 π π 4 sin 3 x sin 4 x 2 53. ∫ sin 2 xdx dx 54. ∫ sin π tgx + cot g 2 x x − 5 sin x + 6 2 0 6 π 2 3 ln(sin x ) ∫ 55. ∫ cos(ln x )dx dx 56. cos 2 x π 1 6 π π 2 ∫ x sin x cos 2 xdx 57. (2 x − 1) cos 2 xdx 58. ∫ 0 0 π π 4 60. ∫ e sin xdx 2x 2 59. ∫ xtg xdx 2 0 0 π π 2 4 62.  ln(1 + tgx )dx 61. e sin x sin x cos 3 xdx ∫ ∫ 2 0 0 π π (1 − sin x ) cos x 4 2 dx 64.  63. ∫ (sin x + 2 cos x) ∫ (1 + sin x)(2 − cos dx 2 2 x) 0 0 π π 2 ∫ sin 2 x sin 7 xdx 2 ∫ cos x(sin 4 x + cos 4 x) dx 65. 66. π − 0 2
  14. π π 2 2 3 4sin x ∫ 68.  ∫ cos 5 x. cos 3 xdx           67. dx 1 + cos x π − 2 0 π π 2 4 69.  ∫ sin 7 x. sin 2 xdx            70. sin x cos xdx   ∫ 2 π − 0 2 π 4 71.  sin 2 xdx                      ∫ 0 V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ: b ∫ R( x, f ( x))dx Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng:  a π +) R(x,  a − x ) §Æt x = a cos2t, t  ∈ [0; ] a+x 2 +) R(x,  a − x ) §Æt x =  a sin t  hoÆc x =  a cos t 2 2 +) R(x,  n ax + b ) §Æt t =  n ax + b cx + d cx + d 1  Víi ( αx 2 + βx + γ +) R(x, f(x)) =  (ax + b) αx 2 + β x + γ )’ = k(ax+b) Khi ®ã ®Æt t =  αx 2 + βx + γ , hoÆc ®Æt t =  1 ax + b ππ +) R(x,  a 2 + x 2 ) §Æt x =  a tgt , t ∈ [− ; ] 22 π a , t ∈ [0; π ] \ { } +) R(x,  x 2 − a 2 ) §Æt x =  2 cos x ( ) n1 n2 ni x ; x ;.; x  Gäi k = BCNH(n1; n2; ...;  .. +) R ni)  §Æt x = tk  2 dx 23 2.  ∫ dx ∫ 1. x x2 −1 x x2 + 4 2 5 3 1 2 2 dx dx 3.  ∫ 4.  ∫ (2 x + 3) 4 x + 12 x + 5 x x3 + 1 2 1 1 − 2 2 2 dx 6.  ∫ 5.  ∫ x 2 + 2008dx x 2 + 2008 1 1
  15. 1 1 7.  ∫ x 2 1 + x 2 dx 8.  ∫ (1 − x 2 ) 3 dx 0 0 2 3 x2 +1 1+ x 2 9.  ∫ 10.  dx ∫ dx x +1 2 2 x 1− x 1 0 2 1 dx 2 11.  ∫ dx 12.  ∫ (1 + x ) 23 (1 − x 2 ) 3 0 0 2 1 x 2 dx 2 13.  ∫ 1 + x dx 2 14.  ∫ 1− x2 0 0 π π 2 2 cos xdx 15.  16.  sin x cos x − cos 2 x dx ∫ ∫ 7 + cos 2 x 0 0 π π 18.  sin 2 x + sin x dx 2 2 cos xdx 17.  ∫ ∫ 1 + 3 cos x 2 + cos 2 x 0 0 3 7 x 3 dx 20.  ∫ x 3 10 − x 2 dx 19.  ∫ 3 1+ x2 0 0 1 1 x 3 dx xdx 21.  ∫ 22.  ∫ 2x + 1 x + x2 +1 0 0 1 7 dx 24.  ∫ x15 1 + 3x 8 dx 23.  ∫ 2x + 1 + 1 0 2 π 26.  ln 3 dx 25.  2 ∫ ∫ 1 − cos x sin x cos xdx 3 5 6   ex +1 0 0 1 ln 2 e 2 x dx dx 27.  ∫ ∫ 28.  1+ x + x2 +1 ex +1 −1 0 1 e 1 + 3 ln x ln x 29.  ∫ 12 x − 4 x − 8dx 2 30. ∫ dx x 5 1 4 4 3 x5 + x3 32.  ∫ x 3 − 2 x 2 + x dx 31.  ∫ dx 1+ x 2 0 0 0 ln 3 ln 2 x 33.  ∫ x(e 2 x + 3 x + 1)dx ∫ 34.  dx x ln x + 1 −1 ln 2 cos 2 x π ln 2 + 2 3tgx e x dx ∫ 3 35.  36.  cos 2 x ∫ dx (e x + 1) 3 cos 2 x 0 0 π π 3 2 cos xdx cos xdx 37.  38.  ∫ ∫ 2 + cos 2 x 1 + cos 2 x 0 0
  16. 7 2a x+2 39.  ∫ 3 40.  ∫ x 2 + a 2 dx dx x+3 0 0 VI. MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT: Bµi to¸n më ®Çu: Hµm sè f(x) liªn tôc trªn [­a; a], khi  a a ®ã:  ∫ f ( x )dx = ∫ [ f ( x) + f (− x)]dx −a 0 3π 3π VÝ dô: +) Cho f(x) liªn tôc trªn [­ ] tháa m∙n  ; 22 f(x) + f(­x) =  2 − 2 cos 2 x ,  3π 2 ∫π f ( x)dx TÝnh:  3 − 2 1 x 4 + sin x +) TÝnh    ∫ dx −1 1 + x 2 Bµi to¸n 1: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ lΠtrªn [­a, a],  a khi ®ã:  ∫ f ( x)dx  = 0. −a π 1 2 ∫π cos x ln( x + ∫ ln( x + 1 + x 2 )dx 1 + x 2 )dx VÝ dô: TÝnh: −1 − 2 Bµi to¸n 2: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ ch½n trªn [­a,  a a a], khi ®ã:  ∫ f ( x)dx  = 2 ∫ f ( x)dx −a 0 π 2 x + cos x ∫ 1 x dx VÝ dô: TÝnh   ∫ dx 4 − sin 2 x x − x +1 4 2 −1 π − 2 Bµi to¸n 3: Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc, ch½n trªn [­a,  a a f ( x) a], khi ®ã:  ∫ dx = ∫ f ( x)dx  (1 ≠ b>0,  ∀ a) 1+ bx −a 0 π 3 x +1 2 2 sin x sin 3 x cos 5 x VÝ dô: TÝnh:  ∫ ∫π dx   dx −3 1 + 2 1+ ex x − 2 π Bµi to¸n 4: NÕu y = f(x) liªn tôc trªn [0;  ], th×  2 π π 2 2 ∫ f (sin x) = ∫ f (cos x)dx 0 0
  17. π π 2009 2 2 sin x sin x VÝ dô: TÝnh   ∫ sin ∫ dx dx x + cos 2009 x 2009 sin x + cos x 0 0 Bµi to¸n 5: Cho f(x) x¸c ®Þnh trªn [­1; 1], khi ®ã:  π ππ ∫ xf (sin x)dx = 2∫ f (sin x)dx 0 0 π π x x sin x ∫ 1 + sin x dx ∫ 2 + cos x dx VÝ dô: TÝnh 0 0 b b b b Bµi to¸n 6:  ∫ f (a + b − x)dx = ∫ f ( x)dx ∫ f (b − x) dx = ∫ f ( x)dx ⇒ a a 0 0 π π x sin x 4 VÝ dô: TÝnh  ∫ dx ∫ sin 4 x ln(1 + tgx)dx 0 1 + cos x 2 0 Bµi to¸n 7: NÕu f(x) liªn tôc trªn R vµ tuÇn hoµn víi chu  k× T th×:  a +T T nT T ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ∫ f ( x)dx = n ∫ f ( x)dx ⇒          a 0 0 0 2008π ∫ 1 − cos 2 x dx VÝ dô: TÝnh 0 C¸c bµi tËp ¸p dông: π x7 − x5 + x3 − x + 1 1 4 1− x 2 ∫π 1.  ∫ 2.  dx dx cos 4 x 1+ 2x −1 − 4 π x + cos x 1 2 dx 4.  ∫ 3.  ∫ dx 4 − sin 2 x −1 (1 + e )(1 + x ) x 2 π − 2 1 2π 1− x 2 5.  ∫ cos 2 x ln( 6. ∫ sin(sin x + nx)dx )dx 1+ x 1 0 − 2 π tga cot ga xdx dx sin 5 x 2 ∫ 1+ x2 + ∫ = 1  (tga>0) ∫ 7.  8.  1 dx x(1 + x 2 ) 1 + cos x 1 −π 2 e e VII. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: 3 2 ∫ 2.  ∫ x 2 − 4 x + 3 dx x 2 − 1 dx 1. −3 0 π 1 2 3. ∫ x x − m dx 4.  ∫ sin x dx π 0 − 2 π π 3 5.  ∫ 1 − sin x dx 6.  ∫ tg 2 x + cot g 2 x − 2dx π −π 6
  18. 3π 2π 4 7.  ∫ sin 2 x dx 8.  ∫ 1 + cos x dx π 0 4 3 5 10.  ∫ 2 x − 4 dx 9.  ∫ ( x + 2 − x − 2 )dx −2 0 π 4 3 11.  ∫ cos x cos x − cos 3 x dx 12.      2)  ∫ x2 − 3x + 2dx   π −1 − 2 2 1 5 14.  ∫ x + x2 − 2dx   2 13.  ∫ ( x + 2 − x − 2)dx       1 −3 2 π 3 15.  ∫ 2x − 4dx         16.  ∫ 1+ cos2xdx   0 0 2π 2 17.  ∫ 1+ sinxdx               18.  ∫ x 2 − x dx   0 0 VIII. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x =1 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x=4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2 π Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x =1 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x=4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2 π  µi 1    Cho (p) : y = x2+ 1 vµ ®êng th¼ng (d): y = mx +  B  : 2. T×m m ®Ó diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi hai ®êng  trªn cã diÖn tÝch nhá nhÈt Bµi 2: Cho y = x4­ 4x2 +m (c) T×m m ®Ó h×nh ph¼ng giíi h¹n  bëi (c) vµ 0x cã diÖn tÝch ë phÝa trªn 0x vµ phÝa díi 0x  b»ng nhau
  19. Bµi 3: X¸c ®Þnh tham sè m sao cho y = mx chia h×nh ph¼ng  x − x 3  giíi h¹n bëi  y = o ≤ x ≤ 1 y = 0  Cã hai phÇn diÖn tÝch b»ng nhau Bµi 4: (p): y2=2x chia h×nh ph¼ng giíi bëi x2+y2 = 8 thµnh  hai phÇn.TÝnh diÖn tÝch mçi phÇn Bµi 5: Cho a > 0  TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi   x 2 + 2ax + 3a 2 y=   1+ a4 T×m a ®Ó diÖn tÝch lín nhÊt   y = a − ax 2  1+ a4  Bµi 6: Tính diện tích của các hình phẳng sau: −3x − 1   y = x − 1 x2 y = 4−  y = x2 − 4x + 3    4 3) (H3): y = 0 1) (H1):  2) (H2) :  y = x + 3 2 y = x x = 0     42  y = x  y = x2  y2 + x − 5 = 0   4) (H4):  5) (H5):  6) (H6):  x + y − 3 = 0 x = −y 2 y = 2− x 2    lnx y = 2 x  3 3  y = x + x −  y = x2 − 2x 2   (H7): y = 0 2 2 7) 8) (H8) :  9) (H9):   y = − x + 4x 2  x = e y = x   x = 1  (C ) : y = x (C ) : y = e x  y2 − 2y + x = 0   11) (d ) : y = 2 − x 12) (d ) : y = 2 10) (H10):  x + y = 0 (Ox) (∆) : x = 1   y = x y = − 4 − x2  y 2 = 2x + 1   x + y − 2 = 0 13)  14)  2 15) y = x −1 x + 3 y = 0 y = 0    x2  y = ln x, y = 0 y =  y 2 = 2x   2 16  17  18)  1 x = e , x = e  y = x, y = 0, y = 3 y = 1   1+ x  2  1 1  y = sin 2 x ; y = cos 2 x      20): y = 4x – x2 ; (p) vµ tiÕp  19.   π π x = ; x =   6 3 tuyÕn cña (p) ®i qua M(5/6,6)
  20.  y = −x 2 + 6x − 5  y = x 2 − 4x + 5    y = −2 x + 4  y = −x + 4x − 3 21) 22) 23) 2  y = 4 x − 11  y = 3 x − 15   y = x  y = 1  x             y = 0  x = e   y = x  y = / x 2 − 1/ 3 24)   25)   2                        26)   y = / x /+ 5 y = x   y = −3 x 2 − / x / + 2            y = 0  y = x 2 − 2x + 2   y = / x − 1/ y = x + 2  2 2 28)  y = x 2 + 4 x + 5 27)       29)     y = 4 − x y = −x2 + 7 y = 1    y = x3  y = sin x − 2 cos x  2 y = x + 3 +   30)   y = 0               31)   y = 3   32)   x   x = −2; x = 1  x = 0; x = π y = 0     y = 2x 2 − 2x  y = x + 2x  2 34)   y = x 2 + 3x − 6   33)                35)  y = x + 2  x = 0; x = 4   y = / x 2 − 5x + 6 /  y = 6  y = 2x 2   y = / x 2 − 3x + 2 / 36)   y = x 2 − 2 x − 1            37)         y = 2 y = 2    y = / x − 3x + 2 /  y = / x 2 − 5x + 6 /  y = / x 2 − 4x + 3 / 2 38)  39)  40)      y = x +1 y = 3 y = −x2  y = eÏ  x2 y=   41)   y = e − x                  42)   x 2 − x 6       43)  x = 1  x = 0; x = 1    y = sin/ x /   y = / x /− π
Đồng bộ tài khoản