Bài tập tìm nguyên hàm của hàm số

Chia sẻ: thanhdanh200955

Tài liệu luyện thi môn toán gồm hệ thống các bài tập tính tích phân bằng cách tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất. Mời các bạn cùng tham khảo.

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Bài tập tìm nguyên hàm của hàm số

I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất
1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.
1 x 3 3x 2
1. f(x) = x2 – 3x + − + ln x + C
ĐS. F(x) =
x 3 2
2x 4 + 3 2x3 3
− +C
2. f(x) = ĐS. F(x) =
x2 3 x
x −1 1
. f(x) = 2 ĐS. F(x) = lnx + + C
x
x
( x 2 − 1) 2 3
x 1
− 2x + + C
4. f(x) = ĐS. F(x) =
x2 3 x
4
3 5

ĐS. F(x) = 2 x + 3x + 4 x + C
3
2 4
5. f(x) = x + x + x 3 4

3 4 5
1 2

6. f(x) = ĐS. F(x) = 2 x − 33 x 2 + C
x 3x
( x − 1) 2
7. f(x) = ĐS. F(x) = x − 4 x + ln x + C
x
x −1 5 2
8. f(x) = ĐS. F(x) = x 3 − x 3 + C
3
x
x
9. f(x) = 2 sin 2 ĐS. F(x) = x – sinx + C
2
10. f(x) = tan2x ĐS. F(x) = tanx – x + C
1 1
x + sin 2 x + C
11. f(x) = cos2x ĐS. F(x) =
2 4
12. f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C
1
13. f(x) = ĐS. F(x) = tanx - cotx + C
sin x. cos 2 x
2

cos 2 x
14. f(x) = ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C
sin x. cos 2 x
2

1
ĐS. F(x) = − cos 3x + C
15. f(x) = sin3x
3
1
ĐS. F(x) = − cos 5 x − cos x + C
16. f(x) = 2sin3xcos2x
5
1
ĐS. F(x) = e 2 x − e x + C
17. f(x) = ex(ex – 1)
2
e−x
18. f(x) = ex(2 + ĐS. F(x) = 2ex + tanx + C
)
cos 2 x
2a x 3 x
19. f(x) = 2ax + 3x + +C
ĐS. F(x) =
ln a ln 3
1
ĐS. F(x) = e 3 x +1 + C
20. f(x) = e3x+1
3
2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng
ĐS. f(x) = x2 + x + 3
1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5
x3
2. f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3 ĐS. f(x) = 2 x − +1
3
8 x x x 2 40
3. f’(x) = 4 x − x và f(4) = 0 ĐS. f(x) = − −
3 2 3
1 2
x 1 3
+ 2 và f(1) = 2 + + 2x −
4. f’(x) = x - ĐS. f(x) =
x2 2x 2
5. f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3 ĐS. f(x) = x4 – x3 + 2x + 3
b x2 1 5
6. f’(x) = ax + 2 , f ' (1) = 0, f (1) = 4, f (−1) = 2 ++
ĐS. f(x) =
x 2x2
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số.
Tính I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx bằng cách đặt t = u(x)
ặ Đặt t = u(x) ⇒ dt = u ' ( x)dx
⇒ I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt
BÀI TẬP
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
dx dx
2. ∫ (3 − 2 x) 5 ∫
1. ∫ (5 x − 1)dx ∫ 5 − 2 x dx
3. 4.
2x − 1
x
∫ (2 x ∫ (x 8. ∫ 2

+ 1) 7 xdx + 5) 4 x 2 dx
2 3
x 2 + 1.xdx
5. 6. 7. dx
x +5
dx
3x 2 ln 3 x

∫ ∫ x.e
x 2 +1
∫ x dx
dx
9. 10. 11. 12. dx
x (1 + x ) 2
5 + 2x 3

sin x tgxdx
13. ∫ sin x cos xdx 14. ∫ 5 dx ∫ cot gxdx ∫ cos
4
15. 16. 2
cos x x
x
dx dx e
∫ tgxdx
17. ∫ 18. ∫ ∫
19. 20. dx
sin x cos x x
dx
e x dx e tgx

∫ ∫
∫ cos 2 x dx 1 − x 2 .dx
21. 22. 23. 24.
4 − x2
e −3x


x 2 dx
dx dx

∫ 1+ x2 ∫x
∫ x 1 − x .dx
2 2
25. 26. 27. 28.
+ x +1
2
1− x2
dx
∫ cos ∫x 31. ∫ x ∫x
x − 1.dx
3
x sin 2 xdx x 2 + 1.dx
3
29. 30. 32.
e +1
2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.

Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên
I
∫ u( x).v' ( x)dx = u ( x).v( x) − ∫ v( x).u ' ( x)dx
Hay
∫ udv = uv − ∫ vdu
( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1. ∫ x. sin xdx 2. ∫ x cos xdx 3. ∫ ( x + 5) sin xdx 4 ∫ ( x + 2 x + 3) cos xdx
2 2



∫ x sin 2 xdx ∫ x cos 2 xdx ∫ x.e ∫ ln xdx
x
dx
5. 6. 7. 8.
ln xdx

∫ x ln xdx ∫ ln ∫e
2 x
xdx
9. 10. 11. 12. dx
x
x
∫ xtg ∫ sin x dx ∫ ln( x + 1)dx
∫ cos x dx
2 2
xdx
13. 14. 15. 16.
2


∫ e . cos xdx 19. ∫ x ln(1 + x 20. ∫ 2 xdx
∫ x e dx
2
x 2 x
3x
)dx
17. 18.
ln(1 + x)
∫ x lg xdx ∫ 2 x ln(1 + x)dx 23. ∫ x dx 24. ∫ x cos 2 xdx
2
21. 22. 2


TÍCH PHÂN
I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
1 e
11
1. ∫ ( x + x + 1)dx 2. ∫ ( x + + + x 2 )dx
3

x x2
0 1
3 2

∫ ∫
x − 2 dx x + 1dx
2. 3.
1 1
π
1
2

∫ (e
4. ∫ (2 sin x + 3cosx + x)dx + x )dx
x
5.
π 0
3
1 2

∫ (x 7. ∫ ( x + 1)( x − x + 1)dx
+ x x )dx
3
6.
0 1
π
1
2
1
∫ (e
8. ∫ (3sin x + 2cosx + ) dx + x 2 + 1)dx
x
9.
x
π 0
3
2 2

10. ∫ ( x + x x + 3 x )dx 11. ∫ ( x − 1)( x + x + 1)dx
2

1 1
3 2
x.dx
∫ (x + 1).   13.  ∫
3
12. dx
x +2
2
−1 ­1
e2 5
7x − 2 x − 5 dx
15.  ∫
14.  ∫ dx  
x+ 2 + x − 2
x 2
1
π
2
( + 1)dx 2
3
x cos x.dx
.
17.  ∫ 3
16.  ∫ 2
x + xl x
n snx
i
π
1
6
π
1
ex − e− x
4
tgx .
dx 19.  ∫ dx
18. 
∫ ex + e− x
cos2 x 0
0
2
1
ex . dx
dx
21.  ∫
20.  ∫
4x 2 + 8x
e x + e− x 1
0
π
l3
n
dx
. 2
dx

22.  22. 
∫ 1 + si x
e + e− x
x
n
0 0
2
1
2
25.  ∫ (2 x 3 − x − )dx     
24.  ∫ (2 x 2 + x + 1)dx         
3
−1 0
4
2

27.  ∫ ( x 2 − 4)dx
26.  ∫ x( x − 3)dx        
−3
−2
2 2
x − 2x
2
1 1
28. ∫  29.  ∫
+ 3 dx           dx          
2
x3
1x x 1
1
16
e
dx
30.  ∫ 31.  ∫ x .dx
                     
x
1 1
e

 
e2 8
2 x + 5 − 7x 1
33.  ∫  4 x − dx
32.  ∫ dx       
x 33 x 2 

1
1
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
π π
2 2

∫ sin ∫ sin
3
xcos 2 xdx 2
xcos 3 xdx
1. 2.
π π
3 3
π π
2 4
sin x
3. 3.
∫ 1 + 3cosx dx ∫ tgxdx
0 0
π
π
4
6
∫ cot gxdx
4. 5.
∫ 1 + 4sin xcosxdx
π
0
6
1 1

6. ∫ x x + 1dx ∫x 1 − x 2 dx
2
7.
0 0
1 1
x2
8. ∫ x x + 1dx ∫
3 2
dx
9.
x3 + 1
0 0
1 2
1
∫x ∫x
1 − x 2 dx
3
dx
10. 11.
x3 + 1
0 1
1 1
1 1
∫ 1+ x 13. ∫ 2
dx dx
12.
x + 2x + 2
2
−1
0
1 1
1 1
∫ ∫ (1 + 3x
dx dx
14. 15. 22
)
x2 + 1
0 0
π π
2 2

16. ∫ e cosxdx 17. ∫ e sin xdx
sin x cosx

π π
4 4
π
1 2

∫e ∫ sin
x2 + 2 3
xcos 2 xdx
xdx
18. 19.
π
0
3
π π
2 2

∫e ∫e
sin x cosx
cosxdx sin xdx
20. 21.
π π
4 4
π
1 2

∫e 23. ∫ sin 3 xcos 2 xdx
2
x +2
xdx
22.
π
0
3
π
π
2
2
sin x
24. ∫ sin xcos xdx
2 3
∫ 1 + 3cosx dx
25.
π
0
3
π
π
4
4
27. ∫ cot gxdx

26. tgxdx
π
0
6
π
1
6
∫x x 2 + 1dx

28. 29.
1 + 4sin xcosxdx
0
0
1 1

∫ x 1 − x dx ∫x x 2 + 1dx
2 3
30. 31.
0 0
1 1
2
x
∫ ∫x 1 − x 2 dx
3
dx
32. 33.
x +1 3
0 0
2 e
1 + ln x
1
∫x ∫
dx dx
34. 35.
x
x +1 3
1 1
e e
1 + 3ln x ln x
sin(ln x)
36. ∫ ∫
dx dx
37.
x x
1 1
e2
2 ln x +1
e
1 + ln 2 x
e
∫ 39. ∫
dx dx
38.
x x ln x
1 e
2
2
e
x
1
∫ 1+
∫ cos 2 (1 + ln x) dx dx
40. 41.
x −1
1
e
1 1
x
∫ ∫x x + 1dx
dx
42. 43.
2x +1
0 0
1 1
1 1
∫ ∫
dx dx
44. 45.
x +1 + x x +1 − x
0 0
3 e
x +1 1 + ln x
∫ ∫
46.
dx dx
46.
x x
1 1
e e
1 + 3ln x ln x
sin(ln x)
∫ ∫
dx dx
47. 48.
x x
1 1
e2
2 ln x +1
e
1 + ln 2 x
e
∫ ∫ x ln x dx
dx
49. 50.
x
1 e
1



e2
1
x 2 x 3 + 5dx
∫ cos dx
51. 52.
(1 + ln x)
2
e
0
π
4



2


∫ ( sin x + 1) cos xdx 4 − x 2 dx
53.  54. 
4

0
0
4 1
dx
∫ ∫
4 − x 2 dx
55.  56.   
1+ x 2
0 0
1
0

58.  ∫ e − x dx
57.  ∫ e 2 x +3
dx    
−1 0
1 1
x x
59. ∫ (2x + 1)3dx ∫ dx
60.
2x + 1
0 0
1 1
4x + 11
61. ∫ x 1− xdx 62. ∫ x2 + 5x + 6dx
0 0
1 3
2x − 5 x3
63. ∫ x2 − 4x + 4dx 64. ∫ x2 + 2x + 1dx
0 0
π π
3
6 2
66. ∫ 4sin x dx
65. ∫ (sin6 x + cos6 x)dx
1+ cosx
0 0
π π

67. ∫ 1+ sin2xdx
4 2
68. ∫ cos4 2xdx
2
cos x
0 0
π
1
1+ sin2x + cos2x 1
2

70. ∫ ex + 1dx .
69. ∫ dx
sinx + cosx
π 0
6
π π

72. ∫ cos 2 x dx
4 4
71. ∫ (cos 4 x − sin 4 x)dx
1 + 2 sin 2 x
0 0
π π

73. ∫ sin 3x dx cos x
2 2
74. ∫ dx
0 2 cos 3 x + 1 0 5 − 2 sin x
0
2x + 2 dx
1
75. ∫ 2 76. ∫ 2
dx
x + 2x − 3 −1 x + 2 x + 5
−2
π π
2 2
77. ∫ cos3 xsin2 xdx 78. ∫ cos xdx
5

0 0
π
1
4
79. ∫ sin4x dx 80. ∫ x 1− x dx
3 2

1+ cos2 x 0
0
π π
2 4
1
81. ∫ sin2x(1+ sin2 x)3dx 82. ∫ cos xdx 4
0 0
π
e
1+ lnx 4
1
∫ dx
83. 84. ∫ cosxdx
x
1
0
1
e
1+ ln2 x
86. ∫ x (1− x ) dx
85. ∫
5 36
dx
x 0
1
π
3
tg4x
6
cosx
∫ dx
87. ∫ 88.
dx cos2x
6 − 5sinx + sin2 x 0
0
π π

89. ∫ cos x + sin x dx sin 2 x
4 2
90. ∫ dx
3+ sin2x cos x + 4 sin 2 x
2
0
0
π
dx
ln 5
sin 2 x
2
91. ∫ x 92. ∫ dx
−x
ln 3 e + 2e −3 0 ( 2 + sin x )
2

π
π
ln(tgx )
3
4
dx
93. π 94. ∫ (1 − tg 8 x)dx

sin 2 x 0
4
π
π
sin x − cos x
2
96. ∫ sin 2 x + sin x dx
2
dx
95. ∫
1 + sin 2 x
π
1 + 3 cos x
0
4
π π

97. ∫ sin 2 x cos x dx
2 2
98. ∫ (e sin x + cos x) cos xdx
0 1 + cos x 0

x 1 + 3 ln x ln x
2 e
dx
99. ∫ 100. ∫ dx
11+ x −1 x
1
π 1

101. ∫ 1 − 2 sin x dx
2
∫ 1− x2 dx
4
102.
0 1 + sin 2 x 0
1 1
1 1
103. ∫ 1+ x2 dx ∫ dx
104.
4 − x2
0 0
1 1
1 x
105. ∫ x2 − x + 1dx 106. ∫ x4 + x2 + 1dx
0 0
π 2
2
1 x2
2
107. ∫ 108.

dx dx
1+ cos x + sin x 1− x2
0 0
2
2
3
109. ∫ x 4− x dx 1
2 2
110.
∫x dx
x2 − 1
1
2
1
1− x
3
9 + 3x2

∫ dx
101. 112.
dx
x2 (1+ x)5
0
1
π
2
1
∫ 2
cos x
dx
113. 114. ∫ dx
x x2 − 1
2
7+ cos2x
0
3
π
1
1+ x 4
cos x
115. ∫ 1+ x6 dx ∫ dx
116.
1+ cos2 x
0 0

dx
dx 1
0
118. ∫
117. ∫
−1 x + 2 x + 2 1 + 1 + 3x
2
0
8
1
x x −1
2
120. ∫
119. ∫ dx
dx
1 x−5 3 x x +1
2

7 3
x3
∫ ∫x 1+ x2 dx
5
121. 122.
dx
1+ x
3 2
0 0
7
ln2
1 x+ 1
3
∫ dx
123. 124. ∫ dx
e +2x
3x + 1
3
0
0
2
dx
23
125. ∫ x x + 1dx
2 3
126. ∫
x x2 + 4
5
0


II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
b b

Công thức tích phân từng phần : ∫ u( x)v'(x)dx = u ( x)v( x) a − ∫ v( x)u '( x)dx
b

a a

Tich phân cac ham số dễ phat hiên u và dv
́ ́ ̀ ́ ̣

sin ax β
 
∫ f ( x) cosax dx
̣
@ Dang 1
e ax 
α
 
u = f ( x) du = f '( x)dx
 
sin ax  sin ax 
 
 ⇒
   
 dv = cos ax  dx v = ∫ cosax  dx
 
e ax  e ax 
   
 
β

∫ f ( x) ln(ax)dx
̣
@ Dang 2:
α

 dx
du = x
u = ln(ax )
⇒
Đăt 
̣
 dv = f ( x)dx v = f ( x)dx
∫
β
ax sin ax 
@ Dang 3: ∫ e . 
̣ dx
cosax 
α



Ví dụ 1: tinh cac tich phân sau
́ ́́
u = x 5
u = x 2 e x
1 3
2x 8
 
xe x dx
a/ ∫ b/ ∫ 4
dx đăt  3 đăt 
̣ ̣ x3 dx
dx
( x + 1)  dv = ( x + 1) 2 ( x − 1)
2
dv = 4

0 2
( x − 1)3
 
1 1 1 1
1 + x2 − x2 x 2 dx
dx dx
c/ ∫ =∫ dx = ∫ −∫ = I1 − I 2
(1 + x 2 ) 2 0 (1 + x 2 ) 2 1 + x 2 0 (1 + x 2 ) 2
0 0
1
dx
Tinh I 1 = ∫
́ băng phương phap đôi biên số
̀ ́ ̉ ́
1 + x2
0
u = x
1
x 2 dx 
Tinh I 2 = ∫  x
́ băng phương phap từng phân : đăt
̀ ́ ̀ ̣
dv =
(1 + x 2 ) 2 dx
 (1 + x 2 ) 2
0


Bài tập
e e
ln 3 x
1. ∫ 3 dx ∫ x ln xdx
2.
x
1 1
1 e

∫ x ln( x ∫x
+ 1)dx
2 2
ln xdx
3. 4.
0 1
e e
3
ln x
∫ ∫ x ln xdx
dx
5. 6.
x3
1 1
1 e

∫ x ln( x ∫x
+ 1)dx
2 2
ln xdx
7. 8.
0 1
π
e
1
2
∫x( x + ) ln xdx

9. ( x + cosx) s inxdx 10.
1
0
π
2 3

∫ ln( x ∫ x tan
+ x )dx
2 2
xdx
11. 12.
π
1
4
π
2
ln x

2



dx            
      13.   14.   x cos xdx  
x5
1
0
π
1



2



x
15.  xe dx        16.  e x cos xdx
0
0
Tính các tích phân sau 
π
π
1
6
2
1)  ∫ x.e dx        2)   ( x − 1) cos xdx            3)   (2 − x) sin 3xdx  
3x

∫ ∫
0
0 0
π
2
4)  x. sin 2 xdx                                         
∫ 0
e e 3

 5)   ∫ x ln xdx       6)   ∫ (1 − x ). ln x.dx        7)   ∫ 4 x. ln x.dx  
2

1 1 1
1 2

8)   ∫ x. ln(3 + x 2 ).dx                       9)   ∫ ( x 2 + 1).e x .dx  
0 1
π π
π
2 2
10)   ∫ x. cos x.dx      11)   x 2 . cos x.dx      12)   ( x 2 + 2 x).sin x.dx
∫ ∫
0
0 0
π
1
2
lnx 2
   15)  ∫ ex sinxdx        16) 
 13)  ∫ 5 dx   14)  xcos2 xdx

x 0
1
0
π2 e

                             17)  ∫ xln2 xdx     18) 
∫ sin xdx
1
0
π π
π
x + sinx     19)  xsinxcos2 xdx       20) 
3 4
∫ ∫ x(2cos x − 1)dx  
∫ cos2 x dx
2

0
0 0
1
2 e
ln(1+ x)
dx       22)  ∫ (x + 1)2 e2xdx    23)  ∫ (xlnx)2 dx       24) 
21)  ∫ 2
x 0
1 1
π
2

∫ cosx.ln(1+ cosx)dx   
0
e
ln x 1

25)  ∫ (x + 1)
1
dx       26)  xt 2xdx       27)  ( x − 2)e 2 x dx  
∫ g ∫
2
1 0 0
e
ln x
e
1
28)   ∫ x ln(1 + x 2 )dx                           29)   ∫ dx   30) 
x
1
0
π
2 3
∫ (2 x + 7) ln( x + 1)dx    32)   ∫ ln( x − x) dx  
2 2
∫ ( x + cos x ) sin xdx    31)   0
3
2
0


III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
5 b
2x −1 1
1. ∫ 2 2.  ∫
dx dx
( x + a )( x + b)
3 x − 3x + 2 a
1 1
x3 + x + 1 x3 + x + 1
3. ∫ 4.  ∫
dx dx
x +1 x2 +1
0 0
1 1
x2 1
5. ∫ ∫ ( x + 2)
dx dx
6.
0 (3 x + 1) ( x + 3) 2
3 2
0
2 0
1− x 2x 3 − 6x 2 + 9x + 9
2008

∫ x(1 + x 2008 ) dx ∫1 x 2 − 3x + 2 dx
7. 8.

1
1
x 2 n −3
3
x4
10. ∫
9. ∫ 2 dx
dx
0 (1 + x )
2n
2 ( x − 1)
2

2 2
x2 − 3 1
∫ x( x 4 + 3x 2 + 2) dx ∫ x(1 + x dx
11. 12. 4
)
1 1
2 1
1 x
∫4+ x ∫1+ x
dx dx
13. 14.
2 4
0 0
2 1
1 x
∫x ∫ (1 + x
dx dx
15. 16.
− 2x + 2
2 23
)
0 0
4 3
3x 2 + 3 x + 3
1
∫ x 3 − 2 x 2 + x dx ∫ x 3 − 3x + 2 dx
17. 18.
2 2
1
2
1− x2 1
∫1+ x
19. ∫ dx
dx 20. 3
1+ x4 0
1
1 1
x6 + x5 + x4 + 2 2 − x4
21. ∫ 22.  ∫
dx dx
x6 + 1 0 1+ x
2
0
1
4 x + 11

1
23. 1 + x
4
24.
∫ 1 + x 6 dx dx
x + 5x + 6
2
0
0
1
dx

3
x+2
∫ x − 1 dx        
25. 26.
x2 + x + 1 2
0
1
 2x − 2
0
 x−2
 
27.  ∫  28.  ∫ 
− 3 dx − 2 x + 1dx     
x +1 2x − 1
0  −1 
2 1
 3x − 1 x 2 + 2x + 3

29.  ∫  30.  ∫
− x − 1dx          dx        
x+2 x+3
0  0

 x2 + x +1   2x 2 + x − 2 
0 1

31.  ∫  32.  ∫ 
− 2 x + 1dx       − x + 1dx      
   
x −1 x +1
−1  0 
1
dx
33.  ∫  
x + 4x + 3
2
0


IV. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:
π π
2 2
2.  sin 2 x cos 3 xdx
1. sin 2 x cos 4 xdx
∫ ∫
0 0
π π
2 2
3. sin 4 x cos 5 xdx 4. (sin 3 x + cos 3 ) dx
∫ ∫
0 0
π π
2 2
5. cos 2 x(sin 4 x + cos 4 x)dx 6. (2 sin 2 x − sin x cos x − cos 2 x) dx
∫ ∫
0 0
π
π
2
1 2
7. ∫ dx 8. (sin 10 x + cos10 x − cos 4 x sin 4 x)dx

π sin x
0
3
π π
2 2
dx 1
9. 10.
∫ 2 − cos x ∫ 2 + sin x dx
0 0
π
π
3
dx
sin 3 x
2

11. 12.
∫ 1 + cos 2 x dx 4
π sin x. cos x
0
6
π π
4 2
dx cos x
13. 14.
∫ sin ∫ 1 + cos x dx
x + 2 sin x cos x − cos 2 x
2
0 0
π π
2 2
cos x sin x
15. 16.
∫ 2 − cos x dx ∫ 2 + sin x dx
0 0
π π

cos 3 x
2 2
1
17. 18.
∫ 1 + cos x dx ∫ sin x + cos x + 1 dx
0 0
π π

sin x − cos x + 1
2 2
cos xdx
∫ ∫π sin x + 2 cos x + 3 dx
19. 20.
π (1 − cos x )
2

3 2
π
π
4
4
22.  ∫ cot g xdx
3
21. tg 3 xdx
∫ π
0
6
π
π
3
4
23. ∫ tg xdx 1
4
24. 
∫ 1 + tgx dx
π
0
4
π
π
4
dx sin x + 7 cos x + 6

2
25. 26.
∫ 4 sin x + 5 cos x + 5 dx
π
0 cos x cos( x + ) 0
4
π

4
∫ dx
1 + sin x dx
27. 28.
∫ 2 sin x + 3 cos x + 13
0
0
π π

30. 1 + cos 2 x + sin 2 x dx
4 sin 3 x
4 2
29.
∫ 1 + cos 4 x dx ∫ sin x + cos x
0 0
π
π
2
dx
2

sin 3x
31. 32.
∫ 1 + cos x dx π sin 2 x − sin x
0
4
π π

sin 3 x
4 2
33. 34. sin 2 x(1 + sin 2 x) 3 dx
∫ cos 2 x dx ∫
0 0
π
π
sin 3 x − sin x
33

∫ cos x ∫
sin x dx dx
35. 36.
sin 3 xtgx
π
0
4
π π
2 2
dx dx
37. 38.
∫ 1 + sin x + cos x ∫ 2 sin x + 1
0 0
π
π
2
4
39. ∫ cos x sin xdx sin 4 xdx
3 5
40.
∫ 1 + cos 2
x
π
0
4
π
π
6
dx
2
2.  ∫
dx
41.
∫ 5 sin x + 3 4
sin x cos x
π
0
6
π π
3 3
dx dx
∫ 4.  ∫
43. π π
sin x sin( x + ) sin x cos( x +
π π )
6 4
6 4
π π

π
2
3 3
sin xdx
∫ 46. ∫ tgxtg ( x + )dx
45.
cos 6 x 6
π π
4 6
π 0
sin 2 x
∫π (2 + sin x)
3
4 sin xdx
47. 48.
∫ (sin x + cos x) 3
2

0 2
π π
2 2
49. sin 3 x dx 50.
∫ ∫x
2
cos xdx
0 0
π π

1 + sin x
2 2
51. sin 2 x.e 2 x +1 dx 52.
∫ ∫ 1 + cos x e
x
dx
0 0
π
π
4
sin 3 x sin 4 x 2
53. ∫ sin 2 xdx
dx 54.
∫ sin
π tgx + cot g 2 x x − 5 sin x + 6
2
0
6
π
2 3
ln(sin x )

55. ∫ cos(ln x )dx dx
56.
cos 2 x
π
1
6
π
π
2
∫ x sin x cos
2
xdx
57. (2 x − 1) cos 2 xdx 58.
∫ 0
0
π
π
4
60. ∫ e sin xdx
2x 2
59.
∫ xtg xdx
2
0
0
π π
2 4
62.  ln(1 + tgx )dx
61. e sin x sin x cos 3 xdx
∫ ∫
2



0 0
π π

(1 − sin x ) cos x
4 2
dx 64. 
63.
∫ (sin x + 2 cos x) ∫ (1 + sin x)(2 − cos dx
2 2
x)
0 0
π
π
2


∫ sin 2 x sin 7 xdx
2


∫ cos x(sin 4 x + cos 4 x) dx
65. 66.
π
− 0
2
π π
2 2
3
4sin x
∫ 68.  ∫ cos 5 x. cos 3 xdx          
67. dx
1 + cos x π

2
0
π
π
2
4
69.  ∫ sin 7 x. sin 2 xdx            70. sin x cos xdx  
∫ 2
π
− 0
2
π
4
71.  sin 2 xdx                     
∫ 0




V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ:
b

∫ R( x, f ( x))dx Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng: 
a

π
+) R(x,  a − x ) §Æt x = a cos2t, t  ∈ [0; ]
a+x 2
+) R(x,  a − x ) §Æt x =  a sin t  hoÆc x =  a cos t
2 2



+) R(x,  n ax + b ) §Æt t =  n ax + b
cx + d cx + d
1
 Víi ( αx 2 + βx + γ
+) R(x, f(x)) = 
(ax + b) αx 2 + β x + γ
)’ = k(ax+b)
Khi ®ã ®Æt t =  αx 2 + βx + γ , hoÆc ®Æt t = 
1
ax + b
ππ
+) R(x,  a 2 + x 2 ) §Æt x =  a tgt , t ∈ [− ; ]
22
π
a
, t ∈ [0; π ] \ { }
+) R(x,  x 2 − a 2 ) §Æt x = 
2
cos x
( )
n1 n2 ni
x ; x ;.; x  Gäi k = BCNH(n1; n2; ...; 
..
+) R
ni) 
§Æt x = tk 
2
dx
23

2.  ∫
dx

1.
x x2 −1
x x2 + 4 2
5
3
1
2
2
dx dx
3.  ∫ 4.  ∫
(2 x + 3) 4 x + 12 x + 5 x x3 + 1
2
1 1

2
2
2
dx
6.  ∫
5.  ∫ x 2 + 2008dx
x 2 + 2008
1
1
1 1

7.  ∫ x 2 1 + x 2 dx 8.  ∫ (1 − x 2 ) 3 dx
0 0
2
3
x2 +1 1+ x
2
9.  ∫ 10. 
dx
∫ dx
x +1
2 2
x 1− x
1
0
2
1
dx 2
11.  ∫ dx
12. 

(1 + x ) 23
(1 − x 2 ) 3
0
0

2
1
x 2 dx
2
13.  ∫ 1 + x dx 2
14. 
∫ 1− x2
0
0
π π
2 2
cos xdx
15.  16.  sin x cos x − cos 2 x dx
∫ ∫
7 + cos 2 x
0 0
π π

18.  sin 2 x + sin x dx
2 2
cos xdx
17. 
∫ ∫ 1 + 3 cos x
2 + cos 2 x
0 0
3
7
x 3 dx
20.  ∫ x 3 10 − x 2 dx
19.  ∫ 3
1+ x2 0
0
1 1
x 3 dx
xdx
21.  ∫ 22.  ∫
2x + 1 x + x2 +1
0 0
1
7
dx
24.  ∫ x15 1 + 3x 8 dx
23.  ∫
2x + 1 + 1 0
2
π
26.  ln 3 dx
25.  2

∫ 1 − cos x sin x cos xdx
3 5
6
  ex +1
0
0
1 ln 2
e 2 x dx
dx
27.  ∫ ∫
28. 
1+ x + x2 +1 ex +1
−1 0
1
e
1 + 3 ln x ln x
29.  ∫ 12 x − 4 x − 8dx
2
30. ∫ dx
x
5
1
4
4
3
x5 + x3
32.  ∫ x 3 − 2 x 2 + x dx
31.  ∫ dx
1+ x 2
0
0
0 ln 3
ln 2 x
33.  ∫ x(e 2 x + 3 x + 1)dx ∫
34.  dx
x ln x + 1
−1 ln 2

cos 2 x
π ln 2
+ 2 3tgx e x dx

3
35.  36. 
cos 2 x
∫ dx (e x + 1) 3
cos 2 x 0
0
π π
3 2
cos xdx cos xdx
37.  38. 
∫ ∫
2 + cos 2 x 1 + cos 2 x
0 0
7 2a
x+2
39.  ∫ 3 40.  ∫ x 2 + a 2 dx
dx
x+3
0 0


VI. MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:
Bµi to¸n më ®Çu: Hµm sè f(x) liªn tôc trªn [­a; a], khi 
a a

®ã:  ∫ f ( x )dx = ∫ [ f ( x) + f (− x)]dx
−a 0

3π 3π
VÝ dô: +) Cho f(x) liªn tôc trªn [­ ] tháa m∙n 
;
22
f(x) + f(­x) =  2 − 2 cos 2 x , 

2

∫π f ( x)dx
TÝnh: 
3

2
1
x 4 + sin x
+) TÝnh    ∫ dx
−1 1 + x
2


Bµi to¸n 1: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ lΠtrªn [­a, a], 
a

khi ®ã:  ∫ f ( x)dx  = 0.
−a
π
1 2

∫π cos x ln( x +
∫ ln( x + 1 + x 2 )dx
1 + x 2 )dx
VÝ dô: TÝnh:
−1 −
2

Bµi to¸n 2: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ ch½n trªn [­a, 
a a

a], khi ®ã:  ∫ f ( x)dx  = 2 ∫ f ( x)dx
−a 0
π
2
x + cos x

1
x dx
VÝ dô: TÝnh   ∫ dx
4 − sin 2 x
x − x +1
4 2
−1
π

2
Bµi to¸n 3: Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc, ch½n trªn [­a, 
a a
f ( x)
a], khi ®ã:  ∫ dx = ∫ f ( x)dx  (1 ≠ b>0,  ∀ a)
1+ bx
−a 0
π
3
x +1 2 2
sin x sin 3 x cos 5 x
VÝ dô: TÝnh:  ∫ ∫π
dx   dx
−3 1 + 2 1+ ex
x

2

π
Bµi to¸n 4: NÕu y = f(x) liªn tôc trªn [0;  ], th× 
2
π π
2 2

∫ f (sin x) = ∫ f (cos x)dx
0 0
π π
2009
2 2
sin x sin x
VÝ dô: TÝnh  
∫ sin ∫
dx dx
x + cos 2009 x
2009
sin x + cos x
0 0

Bµi to¸n 5: Cho f(x) x¸c ®Þnh trªn [­1; 1], khi ®ã: 
π
ππ
∫ xf (sin x)dx = 2∫
f (sin x)dx
0 0
π π
x x sin x
∫ 1 + sin x dx ∫ 2 + cos x dx
VÝ dô: TÝnh
0 0
b b b b

Bµi to¸n 6:  ∫ f (a + b − x)dx = ∫ f ( x)dx ∫ f (b − x) dx = ∫ f ( x)dx

a a 0 0
π
π
x sin x 4
VÝ dô: TÝnh  ∫ dx
∫ sin 4 x ln(1 + tgx)dx
0 1 + cos x
2
0

Bµi to¸n 7: NÕu f(x) liªn tôc trªn R vµ tuÇn hoµn víi chu 
k× T th×: 
a +T T nT T

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ∫ f ( x)dx = n ∫ f ( x)dx

        
a 0 0 0
2008π

∫ 1 − cos 2 x dx
VÝ dô: TÝnh
0

C¸c bµi tËp ¸p dông:
π

x7 − x5 + x3 − x + 1
1 4
1− x 2

∫π
1.  ∫ 2.  dx
dx
cos 4 x
1+ 2x
−1 −
4
π

x + cos x
1 2
dx
4.  ∫
3.  ∫ dx
4 − sin 2 x
−1 (1 + e )(1 + x )
x 2
π

2
1

1− x
2
5.  ∫ cos 2 x ln( 6. ∫ sin(sin x + nx)dx
)dx
1+ x
1 0

2
π tga cot ga
xdx dx
sin 5 x
2
∫ 1+ x2 + ∫ = 1  (tga>0)

7.  8.  1
dx x(1 + x 2 )
1 + cos x 1
−π
2 e e
VII. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
3 2

∫ 2.  ∫ x 2 − 4 x + 3 dx
x 2 − 1 dx
1.
−3 0
π
1 2
3. ∫ x x − m dx 4.  ∫ sin x dx
π
0

2
π
π 3
5.  ∫ 1 − sin x dx 6.  ∫ tg 2 x + cot g 2 x − 2dx
π
−π
6


4
7.  ∫ sin 2 x dx 8.  ∫ 1 + cos x dx
π 0
4
3
5

10.  ∫ 2 x − 4 dx
9.  ∫ ( x + 2 − x − 2 )dx
−2 0
π
4
3
11.  ∫ cos x cos x − cos 3 x dx 12.      2)  ∫ x2 − 3x + 2dx  
π −1

2
2
1
5

14.  ∫ x + x2 − 2dx  
2
13.  ∫ ( x + 2 − x − 2)dx      
1
−3
2
π
3

15.  ∫ 2x − 4dx         16.  ∫ 1+ cos2xdx  
0 0

2
17.  ∫ 1+ sinxdx               18.  ∫ x 2 − x dx  
0
0



VIII. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN:
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường
thẳng x = 1
b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x
=1
c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng
x=4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2 π
Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường
thẳng x = 1
b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x
=1
c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng
x=4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2 π
 µi 1    Cho (p) : y = x2+ 1 vµ ®êng th¼ng (d): y = mx + 
B  :
2. T×m m ®Ó diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi hai ®êng 
trªn cã diÖn tÝch nhá nhÈt
Bµi 2: Cho y = x4­ 4x2 +m (c) T×m m ®Ó h×nh ph¼ng giíi h¹n 
bëi (c) vµ 0x cã diÖn tÝch ë phÝa trªn 0x vµ phÝa díi 0x 
b»ng nhau
Bµi 3: X¸c ®Þnh tham sè m sao cho y = mx chia h×nh ph¼ng 
x − x 3

giíi h¹n bëi  y = o ≤ x ≤ 1
y = 0

Cã hai phÇn diÖn tÝch b»ng nhau
Bµi 4: (p): y2=2x chia h×nh ph¼ng giíi bëi x2+y2 = 8 thµnh 
hai phÇn.TÝnh diÖn tÝch mçi phÇn
Bµi 5: Cho a > 0  TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi 
 x 2 + 2ax + 3a 2
y=

 1+ a4
T×m a ®Ó diÖn tÝch lín nhÊt

 y = a − ax
2

 1+ a4

Bµi 6: Tính diện tích của các hình phẳng sau:
−3x − 1


y = x − 1
x2
y = 4−  y = x2 − 4x + 3 
 
4
3) (H3): y = 0
1) (H1):  2) (H2) : 
y = x + 3
2
y = x x = 0

 
 42 
y = x
 y = x2  y2 + x − 5 = 0
 
4) (H4):  5) (H5):  6) (H6): 
x + y − 3 = 0
x = −y
2
y = 2− x
2
 
 lnx
y = 2 x
 3 3
 y = x + x −
 y = x2 − 2x 2
 
(H7): y = 0 2 2
7) 8) (H8) :  9) (H9): 
 y = − x + 4x
2

x = e y = x


x = 1

(C ) : y = x (C ) : y = e x
 y2 − 2y + x = 0  
11) (d ) : y = 2 − x 12) (d ) : y = 2
10) (H10): 
x + y = 0 (Ox) (∆) : x = 1


y = x
y = − 4 − x2
 y 2 = 2x + 1 

x + y − 2 = 0
13)  14)  2 15)
y = x −1 x + 3 y = 0 y = 0


 x2
 y = ln x, y = 0
y =  y 2 = 2x
 
2
16  17  18)  1
x = e , x = e
 y = x, y = 0, y = 3
y = 1 
 1+ x
 2


 1 1
 y = sin 2 x ; y = cos 2 x

    20): y = 4x – x2 ; (p) vµ tiÕp 
19.  
π π
x = ; x =

 6 3
tuyÕn cña (p) ®i qua M(5/6,6)
 y = −x 2 + 6x − 5
 y = x 2 − 4x + 5


 y = −2 x + 4  y = −x + 4x − 3
21) 22) 23)
2

 y = 4 x − 11  y = 3 x − 15
 
y = x

y = 1

x           

y = 0

x = e


y = x
 y = / x 2 − 1/ 3

24)   25)   2                        26) 
 y = / x /+ 5 y = x

 y = −3 x 2 − / x / + 2
         

y = 0
 y = x 2 − 2x + 2

 y = / x − 1/
y = x + 2  2
2

28)  y = x 2 + 4 x + 5
27)       29)    
y = 4 − x y = −x2 + 7
y = 1 

 y = x3  y = sin x − 2 cos x  2
y = x + 3 +
 
30)   y = 0               31)   y = 3   32)   x 
 x = −2; x = 1  x = 0; x = π y = 0



 y = 2x 2 − 2x
 y = x + 2x 
2

34)   y = x 2 + 3x − 6  
33)                35) 
y = x + 2  x = 0; x = 4

 y = / x 2 − 5x + 6 /

y = 6
 y = 2x 2
  y = / x 2 − 3x + 2 /
36)   y = x 2 − 2 x − 1            37)        
y = 2
y = 2


 y = / x − 3x + 2 /
 y = / x 2 − 5x + 6 /  y = / x 2 − 4x + 3 /
2

38)  39)  40)     
y = x +1 y = 3
y = −x2

y = eÏ  x2
y=
 
41)   y = e − x                  42)   x 2 − x 6       43) 
x = 1  x = 0; x = 1


 y = sin/ x /

 y = / x /− π
 y = 2x 2  y 2 = 2x
 
44)   y = x 2 − 4 x − 4            45)  2 x + 2 y + 1 = 0        46) 
y = 8 y = 0


 y = x (a − x )
2 2 2 2


a  0
 y = ( x + 1) 2  y 2 = / x − 1/ x = / y 2 − 1/
47)   48)         49)     32) 
 x = sin πy x = 2 x = 2


  x = 0;
2
x
 x = ( y + 1) 2
y = 4 − 
  1
4
 y = sin x 33)   34)   x =
2
2
y = x
x = 0 
   x
 42
y = ;y =0
1− x4


y = x
2
 y = 5 x −2 
2
 y = 6x
 x2

35)   y = 0     37)   y =      38) 
36)   2
 x + y 2 = 16 27
 x = 0; y = 3 − x  
  27
y = x


 y = / log x /
 y 2 = (4 − x) 3 

39)  y = 0
2
 y = 4x
  1
 x = , x = 10
 10
y = x
 2
ax = y  y = 2x
2

 (a> 0)      41)  y = sin 2 x + x   42)   2
40)  43) 
ay = x 2 27 y = 8( x − 1) 2
 0 ≤ x ≤ π 

x2/25+y2/9 = 1 vµ hai tiÕp tuyÕn ®i qua A(0;15/4)
44) Cho (p): y = x2 vµ ®iÓm A(2;5) ®êng th¼ng (d) ®i qua 
A cã hÖ sè gãc k .X¸c ®Þnh k ®Ó diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi 
h¹n bëi (p) vµ (d) nhá nhÊt
 y = x3 − 2x 2 + 4x − 3
45)   
y = 0

TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY
Công thức: y
y x=b
x=a b y=b
(C ) : y = f ( x)
x=0 (C ) : x = f ( y )
y=a
a
x
x
a y=0
O b
O
2 2
b b
V = π ∫ [ f ( y )] dy
V = π ∫ [ f ( x)] dx
a a



Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y = x;y = 2 − x;y = 0
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy
Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y = (x − 2)2 và y = 4
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh:
a) Trục Ox
b) Trục Oy
Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y = 4 − x2; y = x2 + 2 .
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
x2
1
Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y = ;y=
x2 + 1 2
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = 2x2 và y = 2x + 4
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 7: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = y2 = 4x và y = x
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
1 x
Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = x 2 .e 2 ; y = 0 ; x= 1 ; x = 2
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 9: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = xlnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = e
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài10: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = x ln(1 + x 3 ) ; y = 0 ; x = 1
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
 y = ( x − 2) 2
1)                 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
y = 4
 y = x 2 , y = 4x 2
2)            quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
y = 4
 1
y = 2
3)          quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
x +1
 y = 0, x = 0, x = 1

 y = 2x − x 2
4)                  quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
y = 0
 y = x. ln x

5 )   y = 0                 quay quanh trô c  a) 0x; 
 x = 1; x = e

 y = x 2 ( x > 0)

6) ( )   y = −3x + 10     quay quanh trô c  a) 0x;          ( H ) 
D
y = 1

n»m ngoµ i y = x2
y = x2

7)                       quay quanh trôc a) 0x; 
y = x

8)   MiÒn trong h×nh trßn (x – 4)2 + y2 = 1  quay quanh 
trôc a) 0x; b) 0y
2 2
9)  MiÒn trong (E):  x + y = 1                     quay 
9 4
quanh trôc a) 0x; b) 0y
 y = xe Ï

10)   y = 0           quay quanh trôc  0x;
 x = 1, ;0 ≤ x ≤ 1


 y = cos 4 x + sin 4 x

11)   y = 0   quay quanh trôc  0x;
 π
x = ; x = π
 2
y = x2
12)                  quay quanh trôc  0x;
 y = 10 − 3x
13) H×nh trßn t©m I(2;0) b¸n kÝnh R = 1  quay quanh trôc 
a) 0x; b) 0y


 4
14)   y =          quay quanh trôc  0x;
x−4

 x = 0; x = 2

y = x −1

15)   y = 2                quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
 x = 0; y = 0

Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản