Bài tập tìm nguyên hàm của hàm số

Nội dung Text: Bài tập tìm nguyên hàm của hàm số

1. I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số. 1 x 3 3x 2 1. f(x) = x2 – 3x + − + ln x + C ĐS. F(x) = x 3 2 2x 4 + 3 2x3 3 − +C 2. f(x) = ĐS. F(x) = x2 3 x x −1 1 . f(x) = 2 ĐS. F(x) = lnx + + C x x ( x 2 − 1) 2 3 x 1 − 2x + + C 4. f(x) = ĐS. F(x) = x2 3 x 4 3 5 ĐS. F(x) = 2 x + 3x + 4 x + C 3 2 4 5. f(x) = x + x + x 3 4 3 4 5 1 2 − 6. f(x) = ĐS. F(x) = 2 x − 33 x 2 + C x 3x ( x − 1) 2 7. f(x) = ĐS. F(x) = x − 4 x + ln x + C x x −1 5 2 8. f(x) = ĐS. F(x) = x 3 − x 3 + C 3 x x 9. f(x) = 2 sin 2 ĐS. F(x) = x – sinx + C 2 10. f(x) = tan2x ĐS. F(x) = tanx – x + C 1 1 x + sin 2 x + C 11. f(x) = cos2x ĐS. F(x) = 2 4 12. f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C 1 13. f(x) = ĐS. F(x) = tanx - cotx + C sin x. cos 2 x 2 cos 2 x 14. f(x) = ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C sin x. cos 2 x 2 1 ĐS. F(x) = − cos 3x + C 15. f(x) = sin3x 3 1 ĐS. F(x) = − cos 5 x − cos x + C 16. f(x) = 2sin3xcos2x 5 1 ĐS. F(x) = e 2 x − e x + C 17. f(x) = ex(ex – 1) 2 e−x 18. f(x) = ex(2 + ĐS. F(x) = 2ex + tanx + C ) cos 2 x 2a x 3 x 19. f(x) = 2ax + 3x + +C ĐS. F(x) = ln a ln 3 1 ĐS. F(x) = e 3 x +1 + C 20. f(x) = e3x+1 3 2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng ĐS. f(x) = x2 + x + 3 1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 x3 2. f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3 ĐS. f(x) = 2 x − +1 3
2. 8 x x x 2 40 3. f’(x) = 4 x − x và f(4) = 0 ĐS. f(x) = − − 3 2 3 1 2 x 1 3 + 2 và f(1) = 2 + + 2x − 4. f’(x) = x - ĐS. f(x) = x2 2x 2 5. f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3 ĐS. f(x) = x4 – x3 + 2x + 3 b x2 1 5 6. f’(x) = ax + 2 , f ' (1) = 0, f (1) = 4, f (−1) = 2 ++ ĐS. f(x) = x 2x2 II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số. Tính I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx bằng cách đặt t = u(x) ặ Đặt t = u(x) ⇒ dt = u ' ( x)dx ⇒ I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt BÀI TẬP Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: dx dx 2. ∫ (3 − 2 x) 5 ∫ 1. ∫ (5 x − 1)dx ∫ 5 − 2 x dx 3. 4. 2x − 1 x ∫ (2 x ∫ (x 8. ∫ 2 ∫ + 1) 7 xdx + 5) 4 x 2 dx 2 3 x 2 + 1.xdx 5. 6. 7. dx x +5 dx 3x 2 ln 3 x ∫ ∫ ∫ x.e x 2 +1 ∫ x dx dx 9. 10. 11. 12. dx x (1 + x ) 2 5 + 2x 3 sin x tgxdx 13. ∫ sin x cos xdx 14. ∫ 5 dx ∫ cot gxdx ∫ cos 4 15. 16. 2 cos x x x dx dx e ∫ tgxdx 17. ∫ 18. ∫ ∫ 19. 20. dx sin x cos x x dx e x dx e tgx ∫ ∫ ∫ ∫ cos 2 x dx 1 − x 2 .dx 21. 22. 23. 24. 4 − x2 e −3x x 2 dx dx dx ∫ ∫ 1+ x2 ∫x ∫ x 1 − x .dx 2 2 25. 26. 27. 28. + x +1 2 1− x2 dx ∫ cos ∫x 31. ∫ x ∫x x − 1.dx 3 x sin 2 xdx x 2 + 1.dx 3 29. 30. 32. e +1 2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần. Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I ∫ u( x).v' ( x)dx = u ( x).v( x) − ∫ v( x).u ' ( x)dx Hay ∫ udv = uv − ∫ vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 1. ∫ x. sin xdx 2. ∫ x cos xdx 3. ∫ ( x + 5) sin xdx 4 ∫ ( x + 2 x + 3) cos xdx 2 2 ∫ x sin 2 xdx ∫ x cos 2 xdx ∫ x.e ∫ ln xdx x dx 5. 6. 7. 8.
3. ln xdx ∫ ∫ x ln xdx ∫ ln ∫e 2 x xdx 9. 10. 11. 12. dx x x ∫ xtg ∫ sin x dx ∫ ln( x + 1)dx ∫ cos x dx 2 2 xdx 13. 14. 15. 16. 2 ∫ e . cos xdx 19. ∫ x ln(1 + x 20. ∫ 2 xdx ∫ x e dx 2 x 2 x 3x )dx 17. 18. ln(1 + x) ∫ x lg xdx ∫ 2 x ln(1 + x)dx 23. ∫ x dx 24. ∫ x cos 2 xdx 2 21. 22. 2 TÍCH PHÂN I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN: 1 e 11 1. ∫ ( x + x + 1)dx 2. ∫ ( x + + + x 2 )dx 3 x x2 0 1 3 2 ∫ ∫ x − 2 dx x + 1dx 2. 3. 1 1 π 1 2 ∫ (e 4. ∫ (2 sin x + 3cosx + x)dx + x )dx x 5. π 0 3 1 2 ∫ (x 7. ∫ ( x + 1)( x − x + 1)dx + x x )dx 3 6. 0 1 π 1 2 1 ∫ (e 8. ∫ (3sin x + 2cosx + ) dx + x 2 + 1)dx x 9. x π 0 3 2 2 10. ∫ ( x + x x + 3 x )dx 11. ∫ ( x − 1)( x + x + 1)dx 2 1 1 3 2 x.dx ∫ (x + 1).   13.  ∫ 3 12. dx x +2 2 −1 ­1 e2 5 7x − 2 x − 5 dx 15.  ∫ 14.  ∫ dx   x+ 2 + x − 2 x 2 1 π 2 ( + 1)dx 2 3 x cos x.dx . 17.  ∫ 3 16.  ∫ 2 x + xl x n snx i π 1 6 π 1 ex − e− x 4 tgx . dx 19.  ∫ dx 18.  ∫ ex + e− x cos2 x 0 0 2 1 ex . dx dx 21.  ∫ 20.  ∫ 4x 2 + 8x e x + e− x 1 0 π l3 n dx . 2 dx ∫ 22.  22.  ∫ 1 + si x e + e− x x n 0 0
4. 2 1 2 25.  ∫ (2 x 3 − x − )dx      24.  ∫ (2 x 2 + x + 1)dx          3 −1 0 4 2 27.  ∫ ( x 2 − 4)dx 26.  ∫ x( x − 3)dx         −3 −2 2 2 x − 2x 2 1 1 28. ∫  29.  ∫ + 3 dx           dx           2 x3 1x x 1 1 16 e dx 30.  ∫ 31.  ∫ x .dx                       x 1 1 e   e2 8 2 x + 5 − 7x 1 33.  ∫  4 x − dx 32.  ∫ dx        x 33 x 2   1 1 II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ: π π 2 2 ∫ sin ∫ sin 3 xcos 2 xdx 2 xcos 3 xdx 1. 2. π π 3 3 π π 2 4 sin x 3. 3. ∫ 1 + 3cosx dx ∫ tgxdx 0 0 π π 4 6 ∫ cot gxdx 4. 5. ∫ 1 + 4sin xcosxdx π 0 6 1 1 6. ∫ x x + 1dx ∫x 1 − x 2 dx 2 7. 0 0 1 1 x2 8. ∫ x x + 1dx ∫ 3 2 dx 9. x3 + 1 0 0 1 2 1 ∫x ∫x 1 − x 2 dx 3 dx 10. 11. x3 + 1 0 1 1 1 1 1 ∫ 1+ x 13. ∫ 2 dx dx 12. x + 2x + 2 2 −1 0 1 1 1 1 ∫ ∫ (1 + 3x dx dx 14. 15. 22 ) x2 + 1 0 0 π π 2 2 16. ∫ e cosxdx 17. ∫ e sin xdx sin x cosx π π 4 4 π 1 2 ∫e ∫ sin x2 + 2 3 xcos 2 xdx xdx 18. 19. π 0 3 π π 2 2 ∫e ∫e sin x cosx cosxdx sin xdx 20. 21. π π 4 4
5. π 1 2 ∫e 23. ∫ sin 3 xcos 2 xdx 2 x +2 xdx 22. π 0 3 π π 2 2 sin x 24. ∫ sin xcos xdx 2 3 ∫ 1 + 3cosx dx 25. π 0 3 π π 4 4 27. ∫ cot gxdx ∫ 26. tgxdx π 0 6 π 1 6 ∫x x 2 + 1dx ∫ 28. 29. 1 + 4sin xcosxdx 0 0 1 1 ∫ x 1 − x dx ∫x x 2 + 1dx 2 3 30. 31. 0 0 1 1 2 x ∫ ∫x 1 − x 2 dx 3 dx 32. 33. x +1 3 0 0 2 e 1 + ln x 1 ∫x ∫ dx dx 34. 35. x x +1 3 1 1 e e 1 + 3ln x ln x sin(ln x) 36. ∫ ∫ dx dx 37. x x 1 1 e2 2 ln x +1 e 1 + ln 2 x e ∫ 39. ∫ dx dx 38. x x ln x 1 e 2 2 e x 1 ∫ 1+ ∫ cos 2 (1 + ln x) dx dx 40. 41. x −1 1 e 1 1 x ∫ ∫x x + 1dx dx 42. 43. 2x +1 0 0 1 1 1 1 ∫ ∫ dx dx 44. 45. x +1 + x x +1 − x 0 0 3 e x +1 1 + ln x ∫ ∫ 46. dx dx 46. x x 1 1 e e 1 + 3ln x ln x sin(ln x) ∫ ∫ dx dx 47. 48. x x 1 1 e2 2 ln x +1 e 1 + ln 2 x e ∫ ∫ x ln x dx dx 49. 50. x 1 e 1 ∫ e2 1 x 2 x 3 + 5dx ∫ cos dx 51. 52. (1 + ln x) 2 e 0
6. π 4 ∫ 2 ∫ ( sin x + 1) cos xdx 4 − x 2 dx 53.  54.  4 0 0 4 1 dx ∫ ∫ 4 − x 2 dx 55.  56.    1+ x 2 0 0 1 0 58.  ∫ e − x dx 57.  ∫ e 2 x +3 dx     −1 0 1 1 x x 59. ∫ (2x + 1)3dx ∫ dx 60. 2x + 1 0 0 1 1 4x + 11 61. ∫ x 1− xdx 62. ∫ x2 + 5x + 6dx 0 0 1 3 2x − 5 x3 63. ∫ x2 − 4x + 4dx 64. ∫ x2 + 2x + 1dx 0 0 π π 3 6 2 66. ∫ 4sin x dx 65. ∫ (sin6 x + cos6 x)dx 1+ cosx 0 0 π π 67. ∫ 1+ sin2xdx 4 2 68. ∫ cos4 2xdx 2 cos x 0 0 π 1 1+ sin2x + cos2x 1 2 70. ∫ ex + 1dx . 69. ∫ dx sinx + cosx π 0 6 π π 72. ∫ cos 2 x dx 4 4 71. ∫ (cos 4 x − sin 4 x)dx 1 + 2 sin 2 x 0 0 π π 73. ∫ sin 3x dx cos x 2 2 74. ∫ dx 0 2 cos 3 x + 1 0 5 − 2 sin x 0 2x + 2 dx 1 75. ∫ 2 76. ∫ 2 dx x + 2x − 3 −1 x + 2 x + 5 −2 π π 2 2 77. ∫ cos3 xsin2 xdx 78. ∫ cos xdx 5 0 0 π 1 4 79. ∫ sin4x dx 80. ∫ x 1− x dx 3 2 1+ cos2 x 0 0 π π 2 4 1 81. ∫ sin2x(1+ sin2 x)3dx 82. ∫ cos xdx 4 0 0 π e 1+ lnx 4 1 ∫ dx 83. 84. ∫ cosxdx x 1 0
7. 1 e 1+ ln2 x 86. ∫ x (1− x ) dx 85. ∫ 5 36 dx x 0 1 π 3 tg4x 6 cosx ∫ dx 87. ∫ 88. dx cos2x 6 − 5sinx + sin2 x 0 0 π π 89. ∫ cos x + sin x dx sin 2 x 4 2 90. ∫ dx 3+ sin2x cos x + 4 sin 2 x 2 0 0 π dx ln 5 sin 2 x 2 91. ∫ x 92. ∫ dx −x ln 3 e + 2e −3 0 ( 2 + sin x ) 2 π π ln(tgx ) 3 4 dx 93. π 94. ∫ (1 − tg 8 x)dx ∫ sin 2 x 0 4 π π sin x − cos x 2 96. ∫ sin 2 x + sin x dx 2 dx 95. ∫ 1 + sin 2 x π 1 + 3 cos x 0 4 π π 97. ∫ sin 2 x cos x dx 2 2 98. ∫ (e sin x + cos x) cos xdx 0 1 + cos x 0 x 1 + 3 ln x ln x 2 e dx 99. ∫ 100. ∫ dx 11+ x −1 x 1 π 1 101. ∫ 1 − 2 sin x dx 2 ∫ 1− x2 dx 4 102. 0 1 + sin 2 x 0 1 1 1 1 103. ∫ 1+ x2 dx ∫ dx 104. 4 − x2 0 0 1 1 1 x 105. ∫ x2 − x + 1dx 106. ∫ x4 + x2 + 1dx 0 0 π 2 2 1 x2 2 107. ∫ 108. ∫ dx dx 1+ cos x + sin x 1− x2 0 0 2 2 3 109. ∫ x 4− x dx 1 2 2 110. ∫x dx x2 − 1 1 2 1 1− x 3 9 + 3x2 ∫ ∫ dx 101. 112. dx x2 (1+ x)5 0 1 π 2 1 ∫ 2 cos x dx 113. 114. ∫ dx x x2 − 1 2 7+ cos2x 0 3 π 1 1+ x 4 cos x 115. ∫ 1+ x6 dx ∫ dx 116. 1+ cos2 x 0 0 dx dx 1 0 118. ∫ 117. ∫ −1 x + 2 x + 2 1 + 1 + 3x 2 0
8. 8 1 x x −1 2 120. ∫ 119. ∫ dx dx 1 x−5 3 x x +1 2 7 3 x3 ∫ ∫x 1+ x2 dx 5 121. 122. dx 1+ x 3 2 0 0 7 ln2 1 x+ 1 3 ∫ dx 123. 124. ∫ dx e +2x 3x + 1 3 0 0 2 dx 23 125. ∫ x x + 1dx 2 3 126. ∫ x x2 + 4 5 0 II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: b b Công thức tích phân từng phần : ∫ u( x)v'(x)dx = u ( x)v( x) a − ∫ v( x)u '( x)dx b a a Tich phân cac ham số dễ phat hiên u và dv ́ ́ ̀ ́ ̣ sin ax β   ∫ f ( x) cosax dx ̣ @ Dang 1 e ax  α   u = f ( x) du = f '( x)dx   sin ax  sin ax     ⇒      dv = cos ax  dx v = ∫ cosax  dx   e ax  e ax        β ∫ f ( x) ln(ax)dx ̣ @ Dang 2: α  dx du = x u = ln(ax ) ⇒ Đăt  ̣  dv = f ( x)dx v = f ( x)dx ∫ β ax sin ax  @ Dang 3: ∫ e .  ̣ dx cosax  α Ví dụ 1: tinh cac tich phân sau ́ ́́ u = x 5 u = x 2 e x 1 3 2x 8   xe x dx a/ ∫ b/ ∫ 4 dx đăt  3 đăt  ̣ ̣ x3 dx dx ( x + 1)  dv = ( x + 1) 2 ( x − 1) 2 dv = 4  0 2 ( x − 1)3   1 1 1 1 1 + x2 − x2 x 2 dx dx dx c/ ∫ =∫ dx = ∫ −∫ = I1 − I 2 (1 + x 2 ) 2 0 (1 + x 2 ) 2 1 + x 2 0 (1 + x 2 ) 2 0 0 1 dx Tinh I 1 = ∫ ́ băng phương phap đôi biên số ̀ ́ ̉ ́ 1 + x2 0
9. u = x 1 x 2 dx  Tinh I 2 = ∫  x ́ băng phương phap từng phân : đăt ̀ ́ ̀ ̣ dv = (1 + x 2 ) 2 dx  (1 + x 2 ) 2 0  Bài tập e e ln 3 x 1. ∫ 3 dx ∫ x ln xdx 2. x 1 1 1 e ∫ x ln( x ∫x + 1)dx 2 2 ln xdx 3. 4. 0 1 e e 3 ln x ∫ ∫ x ln xdx dx 5. 6. x3 1 1 1 e ∫ x ln( x ∫x + 1)dx 2 2 ln xdx 7. 8. 0 1 π e 1 2 ∫x( x + ) ln xdx ∫ 9. ( x + cosx) s inxdx 10. 1 0 π 2 3 ∫ ln( x ∫ x tan + x )dx 2 2 xdx 11. 12. π 1 4 π 2 ln x ∫ 2 ∫ dx                   13.   14.   x cos xdx   x5 1 0 π 1 ∫ 2 ∫ x 15.  xe dx        16.  e x cos xdx 0 0 Tính các tích phân sau  π π 1 6 2 1)  ∫ x.e dx        2)   ( x − 1) cos xdx            3)   (2 − x) sin 3xdx   3x ∫ ∫ 0 0 0 π 2 4)  x. sin 2 xdx                                          ∫ 0 e e 3  5)   ∫ x ln xdx       6)   ∫ (1 − x ). ln x.dx        7)   ∫ 4 x. ln x.dx   2 1 1 1 1 2 8)   ∫ x. ln(3 + x 2 ).dx                       9)   ∫ ( x 2 + 1).e x .dx   0 1 π π π 2 2 10)   ∫ x. cos x.dx      11)   x 2 . cos x.dx      12)   ( x 2 + 2 x).sin x.dx ∫ ∫ 0 0 0
10. π 1 2 lnx 2    15)  ∫ ex sinxdx        16)   13)  ∫ 5 dx   14)  xcos2 xdx ∫ x 0 1 0 π2 e                              17)  ∫ xln2 xdx     18)  ∫ sin xdx 1 0 π π π x + sinx     19)  xsinxcos2 xdx       20)  3 4 ∫ ∫ x(2cos x − 1)dx   ∫ cos2 x dx 2 0 0 0 1 2 e ln(1+ x) dx       22)  ∫ (x + 1)2 e2xdx    23)  ∫ (xlnx)2 dx       24)  21)  ∫ 2 x 0 1 1 π 2 ∫ cosx.ln(1+ cosx)dx    0 e ln x 1 25)  ∫ (x + 1) 1 dx       26)  xt 2xdx       27)  ( x − 2)e 2 x dx   ∫ g ∫ 2 1 0 0 e ln x e 1 28)   ∫ x ln(1 + x 2 )dx                           29)   ∫ dx   30)  x 1 0 π 2 3 ∫ (2 x + 7) ln( x + 1)dx    32)   ∫ ln( x − x) dx   2 2 ∫ ( x + cos x ) sin xdx    31)   0 3 2 0 III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ: 5 b 2x −1 1 1. ∫ 2 2.  ∫ dx dx ( x + a )( x + b) 3 x − 3x + 2 a 1 1 x3 + x + 1 x3 + x + 1 3. ∫ 4.  ∫ dx dx x +1 x2 +1 0 0 1 1 x2 1 5. ∫ ∫ ( x + 2) dx dx 6. 0 (3 x + 1) ( x + 3) 2 3 2 0 2 0 1− x 2x 3 − 6x 2 + 9x + 9 2008 ∫ x(1 + x 2008 ) dx ∫1 x 2 − 3x + 2 dx 7. 8. − 1 1 x 2 n −3 3 x4 10. ∫ 9. ∫ 2 dx dx 0 (1 + x ) 2n 2 ( x − 1) 2 2 2 x2 − 3 1 ∫ x( x 4 + 3x 2 + 2) dx ∫ x(1 + x dx 11. 12. 4 ) 1 1 2 1 1 x ∫4+ x ∫1+ x dx dx 13. 14. 2 4 0 0 2 1 1 x ∫x ∫ (1 + x dx dx 15. 16. − 2x + 2 2 23 ) 0 0 4 3 3x 2 + 3 x + 3 1 ∫ x 3 − 2 x 2 + x dx ∫ x 3 − 3x + 2 dx 17. 18. 2 2
11. 1 2 1− x2 1 ∫1+ x 19. ∫ dx dx 20. 3 1+ x4 0 1 1 1 x6 + x5 + x4 + 2 2 − x4 21. ∫ 22.  ∫ dx dx x6 + 1 0 1+ x 2 0 1 4 x + 11 ∫ 1 23. 1 + x 4 24. ∫ 1 + x 6 dx dx x + 5x + 6 2 0 0 1 dx ∫ 3 x+2 ∫ x − 1 dx         25. 26. x2 + x + 1 2 0 1  2x − 2 0  x−2   27.  ∫  28.  ∫  − 3 dx − 2 x + 1dx      x +1 2x − 1 0  −1  2 1  3x − 1 x 2 + 2x + 3  29.  ∫  30.  ∫ − x − 1dx          dx         x+2 x+3 0  0  x2 + x +1   2x 2 + x − 2  0 1 31.  ∫  32.  ∫  − 2 x + 1dx       − x + 1dx           x −1 x +1 −1  0  1 dx 33.  ∫   x + 4x + 3 2 0 IV. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC: π π 2 2 2.  sin 2 x cos 3 xdx 1. sin 2 x cos 4 xdx ∫ ∫ 0 0 π π 2 2 3. sin 4 x cos 5 xdx 4. (sin 3 x + cos 3 ) dx ∫ ∫ 0 0 π π 2 2 5. cos 2 x(sin 4 x + cos 4 x)dx 6. (2 sin 2 x − sin x cos x − cos 2 x) dx ∫ ∫ 0 0 π π 2 1 2 7. ∫ dx 8. (sin 10 x + cos10 x − cos 4 x sin 4 x)dx ∫ π sin x 0 3 π π 2 2 dx 1 9. 10. ∫ 2 − cos x ∫ 2 + sin x dx 0 0 π π 3 dx sin 3 x 2 ∫ 11. 12. ∫ 1 + cos 2 x dx 4 π sin x. cos x 0 6 π π 4 2 dx cos x 13. 14. ∫ sin ∫ 1 + cos x dx x + 2 sin x cos x − cos 2 x 2 0 0
12. π π 2 2 cos x sin x 15. 16. ∫ 2 − cos x dx ∫ 2 + sin x dx 0 0 π π cos 3 x 2 2 1 17. 18. ∫ 1 + cos x dx ∫ sin x + cos x + 1 dx 0 0 π π sin x − cos x + 1 2 2 cos xdx ∫ ∫π sin x + 2 cos x + 3 dx 19. 20. π (1 − cos x ) 2 − 3 2 π π 4 4 22.  ∫ cot g xdx 3 21. tg 3 xdx ∫ π 0 6 π π 3 4 23. ∫ tg xdx 1 4 24.  ∫ 1 + tgx dx π 0 4 π π 4 dx sin x + 7 cos x + 6 ∫ 2 25. 26. ∫ 4 sin x + 5 cos x + 5 dx π 0 cos x cos( x + ) 0 4 π 2π 4 ∫ dx 1 + sin x dx 27. 28. ∫ 2 sin x + 3 cos x + 13 0 0 π π 30. 1 + cos 2 x + sin 2 x dx 4 sin 3 x 4 2 29. ∫ 1 + cos 4 x dx ∫ sin x + cos x 0 0 π π 2 dx 2 ∫ sin 3x 31. 32. ∫ 1 + cos x dx π sin 2 x − sin x 0 4 π π sin 3 x 4 2 33. 34. sin 2 x(1 + sin 2 x) 3 dx ∫ cos 2 x dx ∫ 0 0 π π sin 3 x − sin x 33 ∫ cos x ∫ sin x dx dx 35. 36. sin 3 xtgx π 0 4 π π 2 2 dx dx 37. 38. ∫ 1 + sin x + cos x ∫ 2 sin x + 1 0 0 π π 2 4 39. ∫ cos x sin xdx sin 4 xdx 3 5 40. ∫ 1 + cos 2 x π 0 4
13. π π 6 dx 2 2.  ∫ dx 41. ∫ 5 sin x + 3 4 sin x cos x π 0 6 π π 3 3 dx dx ∫ 4.  ∫ 43. π π sin x sin( x + ) sin x cos( x + π π ) 6 4 6 4 π π π 2 3 3 sin xdx ∫ 46. ∫ tgxtg ( x + )dx 45. cos 6 x 6 π π 4 6 π 0 sin 2 x ∫π (2 + sin x) 3 4 sin xdx 47. 48. ∫ (sin x + cos x) 3 2 − 0 2 π π 2 2 49. sin 3 x dx 50. ∫ ∫x 2 cos xdx 0 0 π π 1 + sin x 2 2 51. sin 2 x.e 2 x +1 dx 52. ∫ ∫ 1 + cos x e x dx 0 0 π π 4 sin 3 x sin 4 x 2 53. ∫ sin 2 xdx dx 54. ∫ sin π tgx + cot g 2 x x − 5 sin x + 6 2 0 6 π 2 3 ln(sin x ) ∫ 55. ∫ cos(ln x )dx dx 56. cos 2 x π 1 6 π π 2 ∫ x sin x cos 2 xdx 57. (2 x − 1) cos 2 xdx 58. ∫ 0 0 π π 4 60. ∫ e sin xdx 2x 2 59. ∫ xtg xdx 2 0 0 π π 2 4 62.  ln(1 + tgx )dx 61. e sin x sin x cos 3 xdx ∫ ∫ 2 0 0 π π (1 − sin x ) cos x 4 2 dx 64.  63. ∫ (sin x + 2 cos x) ∫ (1 + sin x)(2 − cos dx 2 2 x) 0 0 π π 2 ∫ sin 2 x sin 7 xdx 2 ∫ cos x(sin 4 x + cos 4 x) dx 65. 66. π − 0 2
14. π π 2 2 3 4sin x ∫ 68.  ∫ cos 5 x. cos 3 xdx           67. dx 1 + cos x π − 2 0 π π 2 4 69.  ∫ sin 7 x. sin 2 xdx            70. sin x cos xdx   ∫ 2 π − 0 2 π 4 71.  sin 2 xdx                      ∫ 0 V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ: b ∫ R( x, f ( x))dx Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng:  a π +) R(x,  a − x ) §Æt x = a cos2t, t  ∈ [0; ] a+x 2 +) R(x,  a − x ) §Æt x =  a sin t  hoÆc x =  a cos t 2 2 +) R(x,  n ax + b ) §Æt t =  n ax + b cx + d cx + d 1  Víi ( αx 2 + βx + γ +) R(x, f(x)) =  (ax + b) αx 2 + β x + γ )’ = k(ax+b) Khi ®ã ®Æt t =  αx 2 + βx + γ , hoÆc ®Æt t =  1 ax + b ππ +) R(x,  a 2 + x 2 ) §Æt x =  a tgt , t ∈ [− ; ] 22 π a , t ∈ [0; π ] \ { } +) R(x,  x 2 − a 2 ) §Æt x =  2 cos x ( ) n1 n2 ni x ; x ;.; x  Gäi k = BCNH(n1; n2; ...;  .. +) R ni)  §Æt x = tk  2 dx 23 2.  ∫ dx ∫ 1. x x2 −1 x x2 + 4 2 5 3 1 2 2 dx dx 3.  ∫ 4.  ∫ (2 x + 3) 4 x + 12 x + 5 x x3 + 1 2 1 1 − 2 2 2 dx 6.  ∫ 5.  ∫ x 2 + 2008dx x 2 + 2008 1 1
15. 1 1 7.  ∫ x 2 1 + x 2 dx 8.  ∫ (1 − x 2 ) 3 dx 0 0 2 3 x2 +1 1+ x 2 9.  ∫ 10.  dx ∫ dx x +1 2 2 x 1− x 1 0 2 1 dx 2 11.  ∫ dx 12.  ∫ (1 + x ) 23 (1 − x 2 ) 3 0 0 2 1 x 2 dx 2 13.  ∫ 1 + x dx 2 14.  ∫ 1− x2 0 0 π π 2 2 cos xdx 15.  16.  sin x cos x − cos 2 x dx ∫ ∫ 7 + cos 2 x 0 0 π π 18.  sin 2 x + sin x dx 2 2 cos xdx 17.  ∫ ∫ 1 + 3 cos x 2 + cos 2 x 0 0 3 7 x 3 dx 20.  ∫ x 3 10 − x 2 dx 19.  ∫ 3 1+ x2 0 0 1 1 x 3 dx xdx 21.  ∫ 22.  ∫ 2x + 1 x + x2 +1 0 0 1 7 dx 24.  ∫ x15 1 + 3x 8 dx 23.  ∫ 2x + 1 + 1 0 2 π 26.  ln 3 dx 25.  2 ∫ ∫ 1 − cos x sin x cos xdx 3 5 6   ex +1 0 0 1 ln 2 e 2 x dx dx 27.  ∫ ∫ 28.  1+ x + x2 +1 ex +1 −1 0 1 e 1 + 3 ln x ln x 29.  ∫ 12 x − 4 x − 8dx 2 30. ∫ dx x 5 1 4 4 3 x5 + x3 32.  ∫ x 3 − 2 x 2 + x dx 31.  ∫ dx 1+ x 2 0 0 0 ln 3 ln 2 x 33.  ∫ x(e 2 x + 3 x + 1)dx ∫ 34.  dx x ln x + 1 −1 ln 2 cos 2 x π ln 2 + 2 3tgx e x dx ∫ 3 35.  36.  cos 2 x ∫ dx (e x + 1) 3 cos 2 x 0 0 π π 3 2 cos xdx cos xdx 37.  38.  ∫ ∫ 2 + cos 2 x 1 + cos 2 x 0 0
16. 7 2a x+2 39.  ∫ 3 40.  ∫ x 2 + a 2 dx dx x+3 0 0 VI. MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT: Bµi to¸n më ®Çu: Hµm sè f(x) liªn tôc trªn [­a; a], khi  a a ®ã:  ∫ f ( x )dx = ∫ [ f ( x) + f (− x)]dx −a 0 3π 3π VÝ dô: +) Cho f(x) liªn tôc trªn [­ ] tháa m∙n  ; 22 f(x) + f(­x) =  2 − 2 cos 2 x ,  3π 2 ∫π f ( x)dx TÝnh:  3 − 2 1 x 4 + sin x +) TÝnh    ∫ dx −1 1 + x 2 Bµi to¸n 1: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ lΠtrªn [­a, a],  a khi ®ã:  ∫ f ( x)dx  = 0. −a π 1 2 ∫π cos x ln( x + ∫ ln( x + 1 + x 2 )dx 1 + x 2 )dx VÝ dô: TÝnh: −1 − 2 Bµi to¸n 2: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ ch½n trªn [­a,  a a a], khi ®ã:  ∫ f ( x)dx  = 2 ∫ f ( x)dx −a 0 π 2 x + cos x ∫ 1 x dx VÝ dô: TÝnh   ∫ dx 4 − sin 2 x x − x +1 4 2 −1 π − 2 Bµi to¸n 3: Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc, ch½n trªn [­a,  a a f ( x) a], khi ®ã:  ∫ dx = ∫ f ( x)dx  (1 ≠ b>0,  ∀ a) 1+ bx −a 0 π 3 x +1 2 2 sin x sin 3 x cos 5 x VÝ dô: TÝnh:  ∫ ∫π dx   dx −3 1 + 2 1+ ex x − 2 π Bµi to¸n 4: NÕu y = f(x) liªn tôc trªn [0;  ], th×  2 π π 2 2 ∫ f (sin x) = ∫ f (cos x)dx 0 0
17. π π 2009 2 2 sin x sin x VÝ dô: TÝnh   ∫ sin ∫ dx dx x + cos 2009 x 2009 sin x + cos x 0 0 Bµi to¸n 5: Cho f(x) x¸c ®Þnh trªn [­1; 1], khi ®ã:  π ππ ∫ xf (sin x)dx = 2∫ f (sin x)dx 0 0 π π x x sin x ∫ 1 + sin x dx ∫ 2 + cos x dx VÝ dô: TÝnh 0 0 b b b b Bµi to¸n 6:  ∫ f (a + b − x)dx = ∫ f ( x)dx ∫ f (b − x) dx = ∫ f ( x)dx ⇒ a a 0 0 π π x sin x 4 VÝ dô: TÝnh  ∫ dx ∫ sin 4 x ln(1 + tgx)dx 0 1 + cos x 2 0 Bµi to¸n 7: NÕu f(x) liªn tôc trªn R vµ tuÇn hoµn víi chu  k× T th×:  a +T T nT T ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ∫ f ( x)dx = n ∫ f ( x)dx ⇒          a 0 0 0 2008π ∫ 1 − cos 2 x dx VÝ dô: TÝnh 0 C¸c bµi tËp ¸p dông: π x7 − x5 + x3 − x + 1 1 4 1− x 2 ∫π 1.  ∫ 2.  dx dx cos 4 x 1+ 2x −1 − 4 π x + cos x 1 2 dx 4.  ∫ 3.  ∫ dx 4 − sin 2 x −1 (1 + e )(1 + x ) x 2 π − 2 1 2π 1− x 2 5.  ∫ cos 2 x ln( 6. ∫ sin(sin x + nx)dx )dx 1+ x 1 0 − 2 π tga cot ga xdx dx sin 5 x 2 ∫ 1+ x2 + ∫ = 1  (tga>0) ∫ 7.  8.  1 dx x(1 + x 2 ) 1 + cos x 1 −π 2 e e VII. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: 3 2 ∫ 2.  ∫ x 2 − 4 x + 3 dx x 2 − 1 dx 1. −3 0 π 1 2 3. ∫ x x − m dx 4.  ∫ sin x dx π 0 − 2 π π 3 5.  ∫ 1 − sin x dx 6.  ∫ tg 2 x + cot g 2 x − 2dx π −π 6
18. 3π 2π 4 7.  ∫ sin 2 x dx 8.  ∫ 1 + cos x dx π 0 4 3 5 10.  ∫ 2 x − 4 dx 9.  ∫ ( x + 2 − x − 2 )dx −2 0 π 4 3 11.  ∫ cos x cos x − cos 3 x dx 12.      2)  ∫ x2 − 3x + 2dx   π −1 − 2 2 1 5 14.  ∫ x + x2 − 2dx   2 13.  ∫ ( x + 2 − x − 2)dx       1 −3 2 π 3 15.  ∫ 2x − 4dx         16.  ∫ 1+ cos2xdx   0 0 2π 2 17.  ∫ 1+ sinxdx               18.  ∫ x 2 − x dx   0 0 VIII. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x =1 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x=4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2 π Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x =1 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x=4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2 π  µi 1    Cho (p) : y = x2+ 1 vµ ®êng th¼ng (d): y = mx +  B  : 2. T×m m ®Ó diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi hai ®êng  trªn cã diÖn tÝch nhá nhÈt Bµi 2: Cho y = x4­ 4x2 +m (c) T×m m ®Ó h×nh ph¼ng giíi h¹n  bëi (c) vµ 0x cã diÖn tÝch ë phÝa trªn 0x vµ phÝa díi 0x  b»ng nhau
19. Bµi 3: X¸c ®Þnh tham sè m sao cho y = mx chia h×nh ph¼ng  x − x 3  giíi h¹n bëi  y = o ≤ x ≤ 1 y = 0  Cã hai phÇn diÖn tÝch b»ng nhau Bµi 4: (p): y2=2x chia h×nh ph¼ng giíi bëi x2+y2 = 8 thµnh  hai phÇn.TÝnh diÖn tÝch mçi phÇn Bµi 5: Cho a > 0  TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi   x 2 + 2ax + 3a 2 y=   1+ a4 T×m a ®Ó diÖn tÝch lín nhÊt   y = a − ax 2  1+ a4  Bµi 6: Tính diện tích của các hình phẳng sau: −3x − 1   y = x − 1 x2 y = 4−  y = x2 − 4x + 3    4 3) (H3): y = 0 1) (H1):  2) (H2) :  y = x + 3 2 y = x x = 0     42  y = x  y = x2  y2 + x − 5 = 0   4) (H4):  5) (H5):  6) (H6):  x + y − 3 = 0 x = −y 2 y = 2− x 2    lnx y = 2 x  3 3  y = x + x −  y = x2 − 2x 2   (H7): y = 0 2 2 7) 8) (H8) :  9) (H9):   y = − x + 4x 2  x = e y = x   x = 1  (C ) : y = x (C ) : y = e x  y2 − 2y + x = 0   11) (d ) : y = 2 − x 12) (d ) : y = 2 10) (H10):  x + y = 0 (Ox) (∆) : x = 1   y = x y = − 4 − x2  y 2 = 2x + 1   x + y − 2 = 0 13)  14)  2 15) y = x −1 x + 3 y = 0 y = 0    x2  y = ln x, y = 0 y =  y 2 = 2x   2 16  17  18)  1 x = e , x = e  y = x, y = 0, y = 3 y = 1   1+ x  2  1 1  y = sin 2 x ; y = cos 2 x      20): y = 4x – x2 ; (p) vµ tiÕp  19.   π π x = ; x =   6 3 tuyÕn cña (p) ®i qua M(5/6,6)
20.  y = −x 2 + 6x − 5  y = x 2 − 4x + 5    y = −2 x + 4  y = −x + 4x − 3 21) 22) 23) 2  y = 4 x − 11  y = 3 x − 15   y = x  y = 1  x             y = 0  x = e   y = x  y = / x 2 − 1/ 3 24)   25)   2                        26)   y = / x /+ 5 y = x   y = −3 x 2 − / x / + 2            y = 0  y = x 2 − 2x + 2   y = / x − 1/ y = x + 2  2 2 28)  y = x 2 + 4 x + 5 27)       29)     y = 4 − x y = −x2 + 7 y = 1    y = x3  y = sin x − 2 cos x  2 y = x + 3 +   30)   y = 0               31)   y = 3   32)   x   x = −2; x = 1  x = 0; x = π y = 0     y = 2x 2 − 2x  y = x + 2x  2 34)   y = x 2 + 3x − 6   33)                35)  y = x + 2  x = 0; x = 4   y = / x 2 − 5x + 6 /  y = 6  y = 2x 2   y = / x 2 − 3x + 2 / 36)   y = x 2 − 2 x − 1            37)         y = 2 y = 2    y = / x − 3x + 2 /  y = / x 2 − 5x + 6 /  y = / x 2 − 4x + 3 / 2 38)  39)  40)      y = x +1 y = 3 y = −x2  y = eÏ  x2 y=   41)   y = e − x                  42)   x 2 − x 6       43)  x = 1  x = 0; x = 1    y = sin/ x /   y = / x /− π