Vui lòng download xuống để xem tài liệu đầy đủ.

Bài thảo luận về Toán cao cấp - ThS. Phạm Thị Thư

Chia sẻ: | Ngày: ppt 18 p | 642

0
1.611
views

Tài liệu này cung cấp các bài tập về toán cao cấp có kèm đáp án.

Bài thảo luận về Toán cao cấp - ThS. Phạm Thị Thư
Nội dung Text

  1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ KĨ THUẬT CÔNG NGHIỆP Giáo viên hướng dẫn: th.s PHẠM THỊ THƯ Lớp: ĐẠI HỌC QUẢN TRỊ KINH DOANH K3A1 TỔ 2 NHÓM 1
  2. Danh sách thành viên trong nhóm: stt Họ và tên Điểm 1 Điểm 2 1 LÊ THỊ HÀ NT 2 CAO PHƯƠNG LAN 3 ĐOÀN THỊ MAY 4 PHẠM THỊ HOA 5 VŨ THỊ HỒNG 6 NGUYỄN THỊ QUỲNH ANH 7 NGUYỄN THƯƠNG HUYỀN 8 NGUYỄN ĐĂNG MẠNH 9 VŨ DUY KHANH 10 THÁI BÁ ĐỨC
  3. I/KHÔNG GIAN CON: Bài 3: Trong P2[x] cho không gian con { F = p ( x ) ∈ P2 [ x ] p (1) = 0, p ( − 1) = 0 } E là một cơ sở của F. Khẳng định nào đúng? b/ dim F=2, E={x-1, x+1} a/ dim F=1, E={x2-1} c/ dim F=1, E={x-1} d/ dim F=1, E=(x-1)2(x+1) Giải: ∀ P(x)=ax2+bx+c ∈ F ⇔ P(1)=0, P(-1)=0 ⇒ { a −b+c = 0 a+b+c = 0 ⇔ a = α , b = 0, c = α ⇒ p ( x) = αx 2 − 0 x + α ⇔ p ( x) = α ( x 2 − 1) ⇒ E = {x2 −1 } là tập sinh của F E độc lập tuyến tính. Vậy E là cơ sở của F ⇒ Dim F=1 Vậy ý a/ là đúng
  4.  a b   Bài 27: Trong M 2[R] cho không gian F =   0 0  a, b ∈ R   Tìm 1 cơ sở E của F?    Giải a 0 0 b  F =   + 0  a, b ∈ R  0 0  0   1 0 0 1  = a   + b 0 0 a, b ∈ R   0 0    F là tập hợp các ma trận vuông cấp 2:   1 0  0 1   ⇒ E =   ,  0 0  là tập sinh của F   0 0    E lại độc lập tuyến tính ⇒ E là cơ sở của F ⇒ Dim(F)=2
  5. BÀI 17/ Trong R3 cho 2 không gian con F= (x1,x2,x3) / x1+x2+x3 = 0 G= (x1,x2,x3) / x1+x2-x3 = 0 Tìm chiều và 1 cơ số của F+G giải -Tìm tập sinh của F: ta có: x1+x2+x3 = 0 x3 = -x1-x2 do đó: x = (x1,x2,-x1-x2) = (x1,0,-x1) + (0,x2,-x2) = x1(1,0,-1) + x2(0,1,-1) F < (1,0,-1); (0,1,-1) > là tập sinh của F -Tìm tập sinh của G: ta có: x1+x2-x3 = 0 x3 = x1+x2 do đó: x =(x1,x2,x1+x2) = (x1,0,x1) + (0,x2,x2) = x1(1,0,1) + x2(0,1,1) G < (1,0,1); (0,1,1) > là tập sinh của G
  6. G+F = (1,0,-1); (0,1,-1); (1,0,1); (0,1,1) Ta có: 1 0 -1 1 0 -1 1 0 -1 1 0 -1 A= 0 1 -1` BĐSC 0 1 -1 0 1 -1 0 1 -1 1 0 1 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 1 1 0 1 1 0 0 2 0 0 0 F = < (1,0,-1); (0,1,-1); (0,0,2) > là cơ sở của F+G Dim (F+G) = 3 II/ KHÔNG GIAN VECTƠ: BÀI 15/ trong không gian R3 cho cơ sở B= (1,2,3); (3,4,5); (2,1,4) tìm tọa độ của vectơ (1,0,2) trong cơ sở B Giải Ta có: 1 2 3 1 2 3 A= bđsc 3 4 5 0 -2 -4 r(A) = 3 = số vectơ 2 1 4 0 -3 -2
  7. vậy E = (1,2,3); (3,4,5); (2,1,4) là 1 cơ sở của không gian R3 giả sử tọa độ của vectơ U ( 1,0,2) trong cơ sở E là UE = (x,y,z) Ta có: U = x(1,2,3) + y(3,4,5) + z(2,1,4) = (1,0,2) x + 3y + 2z = 1 x = -1/8 2x + 4y + z = 0 y = - 1/8 3x + 5y + 4z = 2 z = 3/4 Vậy tọa độ của vectơ U = (1,0,2) trong cơ sở B là UE = ( -1/8,-1/8,3/4) BÀI 19/ Cho họ B = (1,1,1,1); (3,2,1,5); (2,3,0,m -11) Với giá trị nào của m thì B PTTT GIẢI Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1 5 h2 h2 -3h1 0 -1 -2 2 h3 h3+h2 0 -1 -2 2 A= 2 3 0 m-11 h3 h3 -2h1 0 1 -2 m-13 0 0 -4 m-11
  8. Để B PTTT thì r (A) < 3 (số vectơ) mà A luôn luôn có hạng = 3 với mọi m vậy không tồn tại m để B PTTT BÀI 21/ Trong R3 cho V = < x,y,z,t >,dim (V) = 2 , x, y ĐLTT Khẳng định nào luôn đúng? a. Dim V =2 b. x,y,z sinh ra V c. hạng của x,y,z <= 3 d. các câu khác đều đúng Giải Theo bài ra ta thấy dim(V) = 2 nên a đúng Do dim(V) = 2 < 4 (số vectơ) nên b sai Do dim(V) = 2 =hạng của x,y,z nên c sai Do đó d sai
  9. BÀI 23/ Cho M = (a,a+b,b-a) thuộc R3 / a,b thuộc R3 Khẳng định nào luôn đúng? a. 3 câu kia đều sai b. (1,0,0); (0,1,-1); (0,1,1) là tập sinh của M c. (1,0,0); (0,1,-1); (0,1,1) là cơ sở của M d. (1,1,-1); (0,1,1) là cơ sở của M Giải Tìm tập sinh của M: Ta có: U = (a,a+b,b-a) = (a,a,-a) + (0,b,b) = a(1,1,-1) + b(0,1,1) E = (1,1,-1); (0,1,1) là tập sinh của M Hiển nhiên E độc lập tuyến tính vậy E là cơ sở của M nên đáp án d đúng
  10. Bài 13: Cho V = {(1,1,1), ( 0,0,0 ), ( 2,3,2 ) } biết E = { (1,1,1) , ( 0,1,0 ) } là cơ sở của V và x = (1,2,1) ∈ V . Tìm toạ độ của x trong E? a. Các câu khác đều sai c. (1,1,0) b. ( 2,1,0) d. (1,1,2) Giải: X1 Gọi [x]E = X x= x1e1+x2e2+x3e3 2 x3 X1(1,1,1) + x2(0,1,0) + x3(0,0,0) = (1,2,1) x1 = 1 x1=1 x1+x2 = 2x2=1 x1= 1 mọi x3 Vậy đáp án a đúng
  11. Bài 17: Cho vectơ x có toạ độ trong cơ s{(1,2,3), ( 3,4,5) , ( 2,1,4 ) ở } là (1,2,−1) . Tìm toạ độ của x trong cơ s{ở1,1,1) , (1,1,0) , (1,0,0) } ( a.(1,5,−4) c. (1,5,2 ) b. ( − 4,5,1) d. ( 9,0,−4 ) Giải; Toạ độ của x trong cơ sở E1 = { (1,2,3) , ( 3,4,5) , ( 2,1,4 ) } là [ x]E 1 = (1,2,−1) ⇔ x =1(1,2,3) + 2( 3,4,5) −1( 2,1,4 ) x = (1.1 + 2.3 −1.2 ) + (1.2 + 2.4 −1.1) + (1.3 + 2.5 −1.4 ) x = ( 5,9,9 ) Vậy vectơ x = ( 5,9,9 )
  12. Gọi toạ độ của x trong cơ sở E2 = { (1,1,1) , (1,1,0 ) , (1,0,0) } là [ x] E2 = ( a , b, c ) Ta có hệ a.1+b.1+c.1=5 a=9 a.1+b.1+c.0=9 ⇒ b=0 a.1+b.0+c.0=9 c=-4 Vậy x[ ]E 2 = ( 9,0,−4 )
  13. Bài 1.25: Tìm chiều và cơ sở của không gian con các nghiệm của hệ phương trình: x + y − z + t = 0 x − y + z − t = 0   3 x + y − z + t = 0 3 x − y + z − t = 0  Giải: Thành lập ma trận hệ số: 1 1 −1 1 1 1 −1 1  h2 →h2 −h1 0 1 −1 1 −1 h3 →h3 −3 h1  −2 2 − 2  A =  h4 →h4 −3 h1 3 1 −1 1    →   0  −2 2 − 2    −4 4 − 4 3 −1 1 −1 0 1 1 −1 −1  h3 → h3 − h2 0 h4 → h4 − 2h2 −2 2 − 2    →  0 0 0  0    0 0 0 0 
  14. BÀI 1.27/ Cho E ={ x =(x1,x2); x1,x2>0} Phép cộng hai phần tử xác định bởi x+y = (x1y1, x2y2) với x = (x1,x2), y = (y1,y2) phép nhân với số thực k cho bởi biểu thức kx = ( x1k , x2k) Tập hợp này với hai phép toán trên có phải là một không gian vectơ không Giải Tập hợp này với hai phép toán trên tạo thành 1 không gian vectơ vì theo định nghĩa thì nó thỏa mãn 8 tiên đề và 2 phép toán.
  15. Bài 1.29/ Cho tập E={f(x): f(x) = acosx+bsinx+c với a,b,c thuộc R} với hai phép toán : Phép cộng hai phần tử xác định bởi f(x) + g(x) = (a+a’)cosx + (b+b’)sinx + (c+c’), Mọi f(x) = acosx + bsinx + c, g(x) = a’cosx + b’sinx + c’ thuộc E Phép nhân phần tử với một số thực k xác định bởi Kf(x) = (ka)cosx + (kb)sinx + (kc) Chứng minh rằng tập E với hai phép toán trên lập thàng không gian vectơ. Tìm một cơ sở của nó Giải Theo định nghĩa ta thấy:do f(x) và g(x) thuộc E nên: f(x) + g(x) = (a+a’)cosx + (b+b’)sinx + (c+c’) thuộc E Giả sử h(x) = a’’cosx + b’’sinx + c’’ Ta có:[ f(x) + g(x) ]+ h(x) = (a+a’+a’’)cosx + (b+b’+b’’) sinx + (c+c’+c’’) thuộc E Phép nhân phần tử với một số thực k xác định ta được:
  16. K[f(x)+g(x)] = k(a+a’)cosx +k(b+b’)sinx + k(c+c’) Vậy theo định nghĩa thì tập E với 2 phép toán trên lập thành 1 không gian vectơ Đặt e1 = cox; e2 = sinx; e3 = 1 Với mọi f(x) = acosx + bsinx +c = ae1+be2+ce3 Do đó E’={e1,e2,e3} là tập sinh của E Ta thấy E’ độc lập tt Vậy E’ là cơ sở của E
  17. ) Bài 1.31: a. CMR: {( E = x1, x2 , x3 , x4 ∈ R 4 : x + x = x + x = 0 1 3 2 4 Lập nên một không gian con của R4 b. Tìm số chiều của E và một cơ sở của nó. Giải: a/ Ta có x = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ E y = ( y1 , y2 , y3 , y4 ) ∈ E ⇒ x + y = ( x1 + x2 , y1 + y2 , x3 + y3 , x4 + y4 ) Nhân toạ độ của x với α ta được: α x = ( α x1 , α x2 , α x3 , α x4 ) x, y ∈ E nên ta có: Vì x1 + x3 = x2 + x4 = 0 y1 + y3 = y2 + y4 = 0
  18. Do đó: ( x1 + x3 ) + ( y1 + y3 ) = ( x2 + x4 ) + ( y2 + y4 ) = 0 αx = α ( x1 + x3 ) = α ( x2 + x4 ) = 0 Vậy E lập nên một không gian con của R4 b/ ∀x = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ E αx = α ( x1 + x3 ) = α ( x2 + x4 ) = 0 ∈ E ⇔ x1 = − x3 ; x2 = − x4 x = ( x1 , x2 ,−x1 ,−x2 ) Khi đó: ⇔ x = x1 (1,0,−1,0 ) + x2 ( 0,1,0,−1) ⇒ E = {(1,0,−1,0 ), ( 0,1,0,−1) } là tập sinh của F E lại độc lập tuyến tính. Vậy E là cơ sở của F dim(E)=2
Đồng bộ tài khoản