Bài tập Toán cho Vật Lý (Ôn thi Cao Học)

Chia sẻ: meomayhu

Tài liệu tham khảo Bài tập Toán cho Vật Lý (Ôn thi Cao Học) giúp các bạn ôn tập tốt môn lý

Bạn đang xem 20 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Bài tập Toán cho Vật Lý (Ôn thi Cao Học)

Bài tập Toán cho Vật Lý (Ôn thi Cao Học)
Bµi 1 : X¸c ®Þnh dao ®éng tù do cña d©y h÷u h¹n, g¾n chÆt t¹i c¸c mót x = 0 vµ x
4 x (l  x )
(0  x  l) cßn vËn tèc
= l, biÕt ®é lÖch ban ®Çu ®­îc cho bëi u(x,0) =
l2
ban ®Çu b»ng 0.
Gi¶i :
Gäi u(x,t) lµ ®é lÖch cña thiÕt diÖn cã hoµnh ®é x ë thêi ®iÓm t.
 2u  2u
 a2 2
Ta cã ph­¬ng tr×nh dao ®éng cña d©y : (1)
t 2 x
Theo bµi ra, ta cã :
4 x l  x 

u t 0  l2

®iÒu kiÖn ban ®Çu :  (2)
 u 0
 x t 0


vµ ®iÒu kiÖn biªn : u x 0  0 u x l  0 (3)
Theo lý thuyÕt, ta cã nghiÖm riªng cña ph­¬ng tr×nh (1) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn
 
kat kat kx
(3) cã d¹ng : u(x,t) =  u k ( x, t )   (a k cos (4)
 bk sin ). sin
l l l
k 1 k 1

Ta x¸c ®Þnh ak, bk sao cho u(x,t) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ban ®Çu (2)

kx 4 x (l  x )
Thay (4) vµo (2) : u t 0   a k sin (5)

l2
l
k 1

ka kx
u
  bk (6)
0
sin
t l l
k 1
t 0

4 x (l  x )
Gi¶i (5) : NhËn thÊy ak lµ hÖ sè trong khai triÓn thµnh chuçi Fourier theo
l2
hµm sin trong kho¶ng (0, l).
kx
råi lÊy tÝch ph©n 2 vÕ tõ 0  l ta cã :
Nh©n 2 vÕ cña (5) víi sin
l
l l
2 kx kx
4 x (l  x )
(7)
 ak sin l dx   l 2 sin l dx
0 0

kx
1  cos l
l l
l dx  a k  x  l sin kx  = a l
kx
VT =  a k sin 2 dx  a k 
2 l 0
k
k 2
l 2 2
 
0 0

l
 VT = a k (8)
2
l l
kx 
kx
4
dx   x 2 . sin
VP = l. x. sin dx 

l2 l l
0 
0
l l
l
l2 l2
kx kx kx
l
Ta cã : I1 =  x. sin cos k
dx    2 2 sin 
.x. cos
k k
l o k
l lo
0
l
l l
kx kx kx
l2 2l
2
I2 =  x .sin dx   
.x . cos  x. cos l dx
k l o k 0
l
0

l3 2l 3 2l 3
 I2 = - cos k  3 3 cos k  3 3
k k k
3 3 3
2l 3 
4 l 2l l
Nªn VP = 2  cos k  3 3 cos k  cos k  3 3 
l  k k
k k 
 2l 3 2l 3 
4
VP = (9)
 3 3  3 3 cos k 
l2 k  k 
Thay (8) (9) vµo (7) ta cã :
8 2l 3
ak = 3 . 3 3 (1  cos k )
l k
nÕu k  2n
0
16 
= 3 3 (1  cos k )   (n=0,1,2...)
32
k nÕu k  2n  1
 2n  13  3

Tõ (6)  bk = 0
do ®ã, nghiÖm cña bµi to¸n ®· cho :
32  (2n  1)at (2n  1)x
1
3
u(x,t) = .
cos sin
3
 n 0 2n  1 l l
Bµi 2 : X¸c ®Þnh dao ®éng tù do cña d©y h÷u h¹n, g¾n chÆt t¹i c¸c mót x= 0
x = 1 biÕt ®é lÖch ban ®Çu b»ng 0, vËn tèc ban ®Çu ®­îc cho bëi :

v0 cos( x  c) nÕu x  c  /2
u
( x,0)  
t 0 nÕu x  c  /2

víi v0 lµ h»ng sè d­¬ng vµ /2  c  l - /2.

Gi¶i :
Gäi u(x,t) lµ ®é lÖch cña d©y cã hoµnh ®é x ë thêi ®iÓm t .Ta cã ph­¬ng tr×nh
 2u 2
2 u
trong miÒn (0 nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (5) : v(x,t) = B . = u0 (14)
B
Do ®ã ta cã ®iÒu kiÖn ban ®Çu cña ph­¬ng tr×nh (5) : v t  0  u 0 (15)
* Gi¶i ph­¬ng tr×nh (7) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (8) cã nghiÖm :
2
 ka 

kx
 t
l
W ( x, t )   a k e cos
2l
k 0

 §iÒu kiÖn ban ®Çu (9) : w t = 0 = u t = 0 - v t = 0 = (x) - u0 (17)

kx
  x   u 0
a
nªn cos
k
2l
k 0

Ta thÊy ak lµ hÖ sè trong khai triÓn hµm  x   u 0  thµnh chuçi Fourier theo hµm
cosin nªn ta cã :
l l
kx kx
dx     x   u 0 cos
a k  cos 2 dx
2l 2l
0 0
l
l
2lu 0
kx kx
l
 a k     x cos dx  sin
k
20 2l 2l 0

l
l
kx kx
2lu0
    x  cos dx  sin
k
2l 2l 0
0



nÕu k=2n
0
2lu 0 k 
mµ n
   1  2lu 0
sin
k 2 nÕu k=2n+1
 2n  1
 1n1 4u0
l
kx
2
 ak    x  cos dx 
2n  1
l0 2l
2
  2 n 1a 
2n  1x
  t
l
W ( x, t )   a n  e  
cos
VËy :
2l
n 0
n 1
l
2n  1x  1 4u
2
  x cos 2l dx  2n  1 0
víi an 
l0
Do ®ã nghiÖm cña bµi to¸n ®· cho lµ :
2
  2 n 1 a 
2n  1x
  t
l
U ( x, t )  u 0   a n  e  
cos
2l
n0



Víi an ®­îc x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc (18).

C¸ch 2 : nghiÖm cña pt (1) ®­îc t×m d­íi d¹ng : u(x,t) = u0 + W(x,t)
2w
w
 a 2 2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn
trong ®ã hµm W(x,t) tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh :
t x
w
 0; w x l  0 vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ban ®Çu w t 0    x   u 0
biªn
x x 0

Ta thÊy ®©y chÝnh lµ pt (7) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (8) ,(9) cña c¸ch 1 vµ ta còng
t×m ®­îc nghiÖm cña bµi to¸n nh­ ë c¸ch 1.

Qua 2 c¸ch trªn ta thÊy khi sö dông c¸ch 2 th× viÖc gi¶i bµi to¸n sÏ ®¬n gi¶n
h¬n nhiÒu . Do dã trong nh÷ng bµi to¸n d­íi ®©y ta sÏ gi¶i b»ng c¸ch 2 .

Bµi 2: T×m ph©n bè nhiÖt ®é trong mét thanh ®ång chÊt , biÕt nhiÖt ®é ban ®Çu
b»ng kh«ng , nhiÖt ®é t¹i mót x = l b»ng kh«ng , cßn nhiÖt ®é t¹i x = 0 ®­îc cho
bëi u(0,t) = At.
Gi¶i:
Ph­¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt cña thanh :
2
u 2u
(1)
a
x 2
t
tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn :
u x 0  At

( 2)

u x l  0

vµ ®iÒu kiÖn ®Çu : u t  0 0 (3)
NghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) ®­îc t×m d­íi d¹ng :
x
(4)
u ( x, t )  v ( x, t )  At  At
l
Thay (4) vµo (1) ta cã :
 2v
v x
 A  A  a2 2
t l x
2
v v x
 a2 2  A  A (5)

t l
x
trong ®ã hµm v(x,t) tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh (5) vµ tho¶t m·n ®iÒu kiÖn biªn :
v x 0  0
v x 0  u x 0  At  At  At  0 
(6)

v x l   At  At  0 v x l  0

vµ ®iÒu kiÖn ban ®Çu : v t 0  0 (7)
NghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (5) ®­îc t×m d­íi d¹ng : V(x,t) = v1(x) + w(x,t) (8)
Tõ (5) vµ (8) ta cã :
 2 v1  2 w Ax
w
 a2  a2 2  A
x 2
t l
x
nªn hµm v1(x) tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh :
 2 v1 Ax
a2  A (9)

2
l
x
tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn : (10)
v1 x 0  0; v1 x l  0
2w
w
 a2 2
cßn hµm w(x,t) tho¶ m·n pt : (11)
t x
tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn : w x 0  0; w x l  0 (12)
w t 0   v1  x  (13)
vµ ®iÒu kiÖn ban ®Çu :
Tr­íc hÕt ta gi¶i ph­ong tr×nh (9) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn (10) :

Ax A x
a 2 v1"  x   A 
 v1  x   2 1 
"

l l
a
x2  A  x2 x3 
A
 v1' ( x )  2  x    c1  v1 ( x )  2    c1 x  c 2

a 2l  a 2 6l 
   
Tõ ®iÒu kiÖn (10) ta cã :
v1 0  c 2  0
l2 l3 
A Al
v1 l       c1l  0  c1   2
 2 6l 
a2 3a
 
nªn nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (9) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (10) :
 x 2 x 3 lx 
A

 2  6l  3 
v1 ( x)  
a2  
3 2
Al 2  x   x 
x
hay (14)
v1 ( x )   2    3   2  
6a  l  l  l 
 
Ta cã nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (11) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn (12) lµ :
2
 ka 

kx
 t
l
w( x, t )   a k e sin
l
k 1

víi ak ®­îc x¸c ®Þnh tõ ®iÒu kiÖn ban ®Çu (13) :
 x  3  x  2  x 
kx Al 2

w t 0   ak sin 2    3   2 
l 6a  l  l  l 
 
k 1

 x  3  x  2
l l
 x 
Al 2 kx
kx 2
 a k  sin dx  2    3   2  sin
  l   l   l  l dx
l 6a 0 
0

l l
l kx 
 x3 x2  x2
x x 2
kx
l Al l
 
 3  3 2  2  cos  3 3  6 2   cos
 ak  2   dx 
 l
l  
 k l 0 k
2 6a l l l
l l 
 0
 

 x 2 6 x 2  kx l l  6 x 6  kx 
l Al 2 l 2  
 3 3  2   sin
 ak   2  2 2    3  2  sin dx 
l 
2 6a k  l l l 0 0 l l l
 
 
l l
l kx 
Al 4  x3 l2 6
6 kx
l x
 
 3  6 3  2  cos
 ak   2 2 2   2 2  3 sin 
l 
2 6a k   k l 0 k l
l l l 0

 
2 Al 2
 ak 
k 3 3 a 2
nªn
2
 ka 
2 Al 2 
kx
1  t
l
 k3e  (15)
w( x, t )  3 2 sin
a l
k 1

Tõ (4) , (8) , (14) , (15) ta cã nghiÖm cña bµi to¸n :
2
 ka 
 x  3  x  2  x  2 Al
2 2 
kx
 x  Al 1  t
l
 k3e 
U ( x, t )  At 1    2    3   2   2 3 sin

 l  a 
l  6a  l  l l
   k 1




Bµi 3 : T×m ph©n bè nhiÖt ®é trong mét thanh ®ång chÊt , biÕt nhiÖt ®é ban ®Çu
b»ng kh«ng , nhiÖt ®é t¹i mót x = l b»ng kh«ng , cßn nhiÖt ®é t¹i x = 0 ®­îc cho
bëi : u x 0  4 A sin  t
Gi¶i :
Gäi u(x,t) lµ nhiÖt ®é trong thanh ë thêi ®iÓm t . Ta cã ph­¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt:
2
u 2u
(1)
a
x 2
t
trong miÒn ( 0 0 , nÕu nhiÖt ®é
lóc t = 0 ®­îc cho bëi u(x,y,0) = (x,y).
Gi¶i :

Gäi u(x,y,t) lµ nhiÖt ®é trong thanh t¹i thêi ®iÓm t . Ta cã ph­¬ng tr×nh truyÒn
nhiÖt :
  2u  2 u 
u
 a2 2  2  (1)
 x y 
t  
Trong miÒn ( 0xp , 0yq ) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn : u c  0 (2) vµ ®iÒu kiÖn
ban ®Çu : u t 0   ( x, y ) (3)
NghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn (2) ®­îc t×m d­íi d¹ng :
u  x, y , t   v  x, y .T t  (4)
Thay (4) vµo (1) vµ t¸ch biÕn ta cã:
  2v  2 v 
v x, y .T ' t   a 2  2  2 .T t 
 x y 
 
 v  x, y .T ' t   a v x, y .T t 
2




T ' t  v
 
 
a T t  v
2

(5)
 v   v  0

T ' t   a T t   0
2
(6)
Tõ (2) vµ (4) ta cã : u c  v c .T t   0
T t   0  v  x, y  c  0 (7)
Tr­íc hÕt ta t×m nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (5) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (7) d­íi d¹ng
v x, y   X  x .Y  y  (8)
Thay (8) vµo (5) ta cã :
X " x  Y "  y 
  0

X x  Y  y 
X " x Y " y 
§Æt   ; víi     
 
X x  Y  y
(9)
 X "  x   X  x   0

Y "  y   Y  y   0 (10)
Tõ (8) vµ (7) ta cã :
X 0 .Y  y   0  X 0   0
 §Ó Y(y)  0 th×  (11)
X  p .Y  y   0 X  p  0
Y 0 . X  x   0 Y 0   0
 §Ó X(x)  0 th×  (12)
Y q . X  x   0 Y q   0
Ta biÕt nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (9) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (11) cã d¹ng :
kx
X  x   Ak sin
p
T­¬ng tù nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (10) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (12) lµ :
ny
Y  y   Bn sin
q
Do ®ã ta cã nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (5) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn (7) lµ :
kx ny
v kn  x, y   a kn sin (13) víi a kn  Ak Bn
sin
p q
 k 2 n2 
øng víi trÞ riªng   c kn   2 
2
 2  ta cã ph­¬ng tr×nh (6) trë thµnh :
 q
2
p 
T ' t   a 2 c knT t   0
2


 k 2 n2 
 2 a 2  2  2 t
p q 
 a 2 ckn t
2
Tkn t   e
 Tkn t   e  
hay (14)
Tõ (4) , (13) , (14) ta cã nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (2) lµ
 k 2 n2 
 2 a 2  2  2 t
 
kx n y
p q 
u  x, y , t     a kn e  
sin sin
p q
k 1 n 1

Ta cÇn x¸c ®Þnh akn sao cho hµm u(x,y,t) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (3)
 
kx ny
  x 
u t 0    akn sin sin
p q
k 1 n 1

NhËn thÊy akn lµ hÖ sè trong khai triÓn hµm (x) thµnh chuçi Fourier theo hµm sin
trong kho¶ng (0 , p) vµ (0 , q) nªn ta cã :
p q pq
kx n y kx n y
dy      x  sin
2
dx  sin 2
a kn  sin sin dxdy
p q p q
0 0 00
pq
kx ny
p.q
     x  sin
 akn . sin dxdy
4 p q
00
pq
kx ny
4
   x sin p sin q dxdy (15)
 a kn 
pq 0 0
Do ®ã nghiÖm cña bµi to¸n :
 k2 n 
 a 2 2  2  2  t

kx ny
 p q2 
u  x, y , t   a  
e sin sin
kn
p q
k , n 1
trong ®ã akn ®­îc x¸c ®Þnh bëi (15)
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản