Bài tập Toán cho Vật Lý (Ôn thi Cao Học)

Chia sẻ: meomayhu

Tài liệu tham khảo Bài tập Toán cho Vật Lý (Ôn thi Cao Học) giúp các bạn ôn tập tốt môn lý

Bạn đang xem 20 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Bài tập Toán cho Vật Lý (Ôn thi Cao Học)

 

  1. Bài tập Toán cho Vật Lý (Ôn thi Cao Học) Bµi 1 : X¸c ®Þnh dao ®éng tù do cña d©y h÷u h¹n, g¾n chÆt t¹i c¸c mót x = 0 vµ x 4 x (l  x ) (0  x  l) cßn vËn tèc = l, biÕt ®é lÖch ban ®Çu ®­îc cho bëi u(x,0) = l2 ban ®Çu b»ng 0. Gi¶i : Gäi u(x,t) lµ ®é lÖch cña thiÕt diÖn cã hoµnh ®é x ë thêi ®iÓm t.  2u  2u  a2 2 Ta cã ph­¬ng tr×nh dao ®éng cña d©y : (1) t 2 x Theo bµi ra, ta cã : 4 x l  x   u t 0  l2  ®iÒu kiÖn ban ®Çu :  (2)  u 0  x t 0  vµ ®iÒu kiÖn biªn : u x 0  0 u x l  0 (3) Theo lý thuyÕt, ta cã nghiÖm riªng cña ph­¬ng tr×nh (1) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn   kat kat kx (3) cã d¹ng : u(x,t) =  u k ( x, t )   (a k cos (4)  bk sin ). sin l l l k 1 k 1 Ta x¸c ®Þnh ak, bk sao cho u(x,t) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ban ®Çu (2)  kx 4 x (l  x ) Thay (4) vµo (2) : u t 0   a k sin (5)  l2 l k 1  ka kx u   bk (6) 0 sin t l l k 1 t 0 4 x (l  x ) Gi¶i (5) : NhËn thÊy ak lµ hÖ sè trong khai triÓn thµnh chuçi Fourier theo l2 hµm sin trong kho¶ng (0, l). kx råi lÊy tÝch ph©n 2 vÕ tõ 0  l ta cã : Nh©n 2 vÕ cña (5) víi sin l l l 2 kx kx 4 x (l  x ) (7)  ak sin l dx   l 2 sin l dx 0 0 kx 1  cos l l l l dx  a k  x  l sin kx  = a l kx VT =  a k sin 2 dx  a k  2 l 0 k k 2 l 2 2   0 0 l  VT = a k (8) 2
  2. l l kx  kx 4 dx   x 2 . sin VP = l. x. sin dx   l2 l l 0  0 l l l l2 l2 kx kx kx l Ta cã : I1 =  x. sin cos k dx    2 2 sin  .x. cos k k l o k l lo 0 l l l kx kx kx l2 2l 2 I2 =  x .sin dx    .x . cos  x. cos l dx k l o k 0 l 0 l3 2l 3 2l 3  I2 = - cos k  3 3 cos k  3 3 k k k 3 3 3 2l 3  4 l 2l l Nªn VP = 2  cos k  3 3 cos k  cos k  3 3  l  k k k k   2l 3 2l 3  4 VP = (9)  3 3  3 3 cos k  l2 k  k  Thay (8) (9) vµo (7) ta cã : 8 2l 3 ak = 3 . 3 3 (1  cos k ) l k nÕu k  2n 0 16  = 3 3 (1  cos k )   (n=0,1,2...) 32 k nÕu k  2n  1  2n  13  3  Tõ (6)  bk = 0 do ®ã, nghiÖm cña bµi to¸n ®· cho : 32  (2n  1)at (2n  1)x 1 3 u(x,t) = . cos sin 3  n 0 2n  1 l l Bµi 2 : X¸c ®Þnh dao ®éng tù do cña d©y h÷u h¹n, g¾n chÆt t¹i c¸c mót x= 0 x = 1 biÕt ®é lÖch ban ®Çu b»ng 0, vËn tèc ban ®Çu ®­îc cho bëi : v0 cos( x  c) nÕu x  c  /2 u ( x,0)   t 0 nÕu x  c  /2 víi v0 lµ h»ng sè d­¬ng vµ /2  c  l - /2. Gi¶i : Gäi u(x,t) lµ ®é lÖch cña d©y cã hoµnh ®é x ë thêi ®iÓm t .Ta cã ph­¬ng tr×nh  2u 2 2 u trong miÒn (0<x<l , 0<tT) dao ®éng cña d©y : 2  a (1) x 2 t tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn: u x 0  0 u x l  0 (0 tT) (2) vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ban ®Çu :
  3. u t 0  0  (0 x l) (3) v cos x  c  nÕu x  c  /2  u  0   t t 0 0 nÕu x  c  /2 T­¬ng tù bµi 1) ta cã nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn (2) :  ka ka  kx  a u(x,t) = (4) t  bk sin cos t  sin k l l l  k 1  kx Tõ ®iÒu kiÖn ban ®Çu ta cã : u t  0   a k sin (5)  0  ak  0 l k 1  ka kx u  F x    bk sin t t 0 k 1 l l NhËn thÊy bk lµ hÖ sè trong khai triÓn F(x) thµnh chuçi Fourier theo hµm sin trong l l ka 2 kx kx  sin l dx   F x sin l dx kho¶ng (0, l)  bk l0 0 c  / 2 kx 2vo  bk   / 2 cos( x  c) sin l dx ka c  v0 c  / 2  k c  / 2   k    =  1.x  c  dx   sin   1.x  c  dx    sin  ka c  / 2  l  l     c  / 2   c  / 2 c  / 2 v0   1   k  k   1     =  1 x  c    1 x  c  cos  cos   k   c  / 2 k  1  l ka   l    c  / 2  1 l  l     v0   1     k    k     =  1 c    c   cos   1 c    c    cos   k ka  l 2   l 2    1    l    1   k       k     1 c    c   cos  1 c    c   cos  k l 2   l 2    1     l  v0  1   kc k 2    kc k 2    = cos    cos  l  2l  2       2  ka  k l 2l    1 l    kc k 2     1   kc k 2    cos  l  2l  2   cos l  2l  2        k 1       l 
  4.   v 0  1   kc k 2    kc k 2 1   kc k 2  kc k 2      sin    sin    sin    sin      l  2l  l  2l  l  2l  l  2l      ka  k k 1      1       l  l     v0  1 1 k 2 2 =  4v 0 . 2 1 sin . kc cos k kc =   2 sin cos  ka k  2 ka  k k l 2l l 2l  1 1 1 l  2 l   l 2 4v 0 kc k  bk = . sin . cos 22 l 2l  k  ka1  2   l   Do ®ã nghiÖm cña bµi to¸n ®· cho lµ : k 2 kc sin . cos  u(x,t) = 4v 0 . 2l sin kat sin kx . l 22 a l l  k  k 1 k 1  2    l  Bµi 3 : X¸c ®Þnh dao ®éng däc cña thanh nÕu 1 mót g¾n chÆt cßn 1 mót tù do, biÕt u c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu : u t  0  f ( x) ,  F ( x) t t 0 Gi¶i : Gäi u(x,t) lµ ®é lÖch cña thiÕt diÖn cã hoµnh ®é x ë thêi ®iÓm t  2u  2u  a2 2  Ph­¬ng tr×nh : (1) t 2 x u Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu : u t  0  f ( x) , (2)  F ( x) t t 0 u Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn : u x 0  0 , (3) 0 x x l NghiÖm cña ph­¬ng tr×nh cã d¹ng : U(x,t) = X(x).T(t) (4)  X " X  0 (5) Tõ (1) vµ (4) ta cã :  2 T " a T  0 ( 6) Tõ (3)&(4)  X(0) = 0 ; X’(l) = 0 (7) Gi¶i (5) : *  = - c2  X(x) = c1.e-cx + c2.ecx nªn theo (7) : X(x) = c1 + c2 = 0 c1 + c2 = 0 c1 = 0 X’(l) = -c.c1.e-cl + c.c2.ecl = 0 c2.ecl – c1e-cl = 0   c2 = 0 (lo¹i)
  5.  X 0   c1  0 *  = 0  X(x) = c1 + c2x  Theo (7) :  (lo¹i)  X ' l   c 2  0 *  = c2  X(x) = c1cos cx + c2sin cx  X (0)  c1  0 Tõ (7)    X ' (l )  c2 c cos cl  0 2k  1   =  2k  1  2  §Ó c2 = Ak  cos cl = 0  cl   k  c   2 2l 2l   NghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (5) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn (7) lµ : 2k  1x X k  x   Ak sin 2l 2k  1at  D 2k  1at Tk t   Bk Gi¶i (6) : cos sin k 2l 2l Nªn nghiÖm riªng cña ph­¬ng tr×nh (1) lµ : 2k  1at  b sin 2k  1at  sin 2k  1x   u ( x, t )    ak cos (8)  k 2l 2l 2l k 0   2k  1x  f ( x)  Tõ (2) ta cã : u t 0   a k sin (9) 2l k 0 2k  1a sin 2k  1x  F ( x)  u   bk (10) t t 0 k 0 2l 2l NhËn thÊy ak lµ hÖ sè trong khai triÓn chuçi Fourier  nh©n 2 vÕ cña (8) víi 2k  1x nªn : l 2k  1x dx  l 2k  1x dx a k  sin 2 sin  f ( x) sin 2l 2l 2l o o l 2k  1x dx  a k  x  l sin 2k  1x   a k l al  k  1  cos 2  2 o  2k  1 l l 2    0 l 2k  1x dx 2  a k   f ( x) sin (11) lo 2l 2k  1a l sin 2 2k  1x  l F ( x) sin 2k  1x dx (10)  bk   2l 2l 2l o o 2k  1a l 1  cos 2k  1x dx  b a 2k  1  bk   F ( x)  k 2l 2l 4   o l 2k  1x 4  bk  (12)  F ( x) sin 2l dx 2k  1a o VËy (8) lµ nghiÖm cña bµi to¸n trong ®ã ak vµ bk ®­îc x¸c ®Þnh tõ (11),(12) Bµi 4 : Còng nh­ bµi 3 nh­ng c¶ 2 mót ®Òu tù do
  6. Gi¶i :  2u  2u  a2 2 Ta cã ph­¬ng tr×nh dao ®éng cña d©y (1) t 2 x u Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu : u t  0  f ( x) , (2)  F ( x) t t 0 u Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn : u x 0  0 , (3) 0 x x l NghiÖm cña (1) cã d¹ng : U(x,t) = X(x).T(t)  X " X  0 ( 4)  Nªn  '' 2 T  a T  0 (5) Gi¶i(4) :  u  c  c1  c  c 2  0  x c1  0 * =-c2  X(x)= c1.e-cx+c2.ecx   x 0   c 2  0  u  c  c1  e cl  c  c 2  e cl  0  x  x l  u  c  c1  c  c 2  0  x c 2  0 *  = 0  X(x) = c1.x + c2   x 0   c1  0  u  c  c1  c  c 2  0  x  x l  c2 = A0 øng víi trÞ riªng  = 0 th× ta cã hµm riªng t­¬ng øng X0(x) = A0  (5) cã nghiÖm : T0(t) = B0.t + D0  u0(x,t) = a0 + b0t  b0  A0 B0    a  A D  0 0 0 u *  =c2  X(x) = c1cos cx + sin cx  c.c 2  0 x x 0 u  c.c1 . sin cl  0 x x l k §Ó cã nghiÖm kh«ng tÇm th­êng th× sin cl = 0  cl = k  c = khi ®ã l kx c1=Ak nªn X ( x)  Ak cos l kat kat vµ T (t )  B k cos  Dk sin l l do ®ã nghiÖm riªng cña ph­¬ng tr×nh (1) : kat kat  kx  u k x, t    a k cos  bk sin  cos l l l 
  7.  kat kat  kx  nghiÖm cña pt (1) : u ( x, t )  a 0  b0 t    a k cos  bk sin  cos  l l l  k 1  kx Tõ (2)  u t  0  a 0   a k cos (6)  f ( x) l k 0  ka kx u  b0   bk (7)  F ( x) cos t t 0 l l k 0 ka NhËn thÊy a0, ak vµ b0, bk lµ c¸c h»ng sè trong khai triÓn f(x),F(x) thµnh chuçi l Fourier theo hµm cosin trong kho¶ng (0,l). l l l kx Tõ (6)   a 0 dx   a k cos dx   f ( x)dx l 0 0 0 l l l ka kx (7)   b0 dx   bk dx   F ( x)dx cos l l 0 0 0 u 0  x,0   f ( x) V× u0(x,t) lµ 1 nghiÖm riªng cña (1) nªn  u 0   t  x,0   F ( x)  l l l 1   a 0 dx   f ( x)dx  a0  (8) l f ( x )dx 0 0 0 l l l 1 (9)  b0 dx   F ( x)dx b0  l  F ( x)dx 0 0 0 u k  x,0  f x   T­¬ng tù uk(x,t) lµ nghiÖm riªng cña (1)   u k  t  x,0  F ( x )  l l l kx kx kx 2   a k cos 2 dx  a k   f ( x) cos (10) dx   f ( x ) cos dx x x l0 l 0 0 l l l ka kx kx kx 2 cos 2 (11)  bk dx   F ( x ) cos  F ( x) cos l dx dx  bk  ka 0 l l l 0 0 VËy nghiÖm cña bµi to¸n :  kat kat  kx  a  u(x,t) = a0 + b0t + .  bk sin cos  cos k l l l  k 1 Trong ®ã : a0, b0 , ak , bk ®­îc x¸c ®Þnh bëi (8) , (19) , (10) , (11) Bµi 5 : Mét thanh ®ång chÊt cã ®é dµi 2l bÞ nÐn cho nªn ®é dµi cña nã cßn l¹i lµ 2l(1-). Lóc t = 0, ng­êi ta bu«ng ra. Chøng minh r»ng ®é lÖch cña thiÕt diÖn cã hoµnh ®é x ë thêi ®iÓm t ®­îc cho bëi:
  8. 8l  (1) n1 (2n  1)x (2n  1)at 2 nÕu gèc hoµnh ®é ®Æt ë t©m cña u ( x, t )  sin cos 2  n 0 (2n  1) l l thanh. Gi¶i: Chän hÖ trôc to¹ ®é cã gèc trïng víi t©m cña thanh . Trôc ox däc theo thanh Theo bµi ra, thanh ®ång chÊt cã ®é dµi 2l bÞ nÐn th× ®é dµi cßn l¹i cña nã lµ 2l(1-) Do ®ã khi trôc dÞch chuyÓn 1 ®o¹n lµ x th× thanh bÞ nÐn x(1-)  ®é lÖch u(x,0) = x(1-) – x = - x Gäi u(x,t) lµ ®é lÖch cña mÆt c¾t x ë thêi ®iÓm t XÐt tiÕt diÖn cã hoµnh ®é x, do thanh ®ång chÊt nªn ë thêi ®iÓm t nã bÞ nÐn ®Õn vÞ trÝ x(1 - ) vµ cã ®é lÖch u(x,0) = - .x = f(x).  2u  2u  a2 2 Ph­¬ng tr×nh dao ®éng cña thanh : (1) t 2 x Theo bµi ra, t¹i thêi ®iÓm t = 0 ng­êi ta bu«ng ra tøc vËn tèc ban ®Çu = 0 chøng tá hai ®Çu mót cña thanh ®Òu tù do u u  ta cã ®iÒu kiÖn biªn :  0; (2) 0 x x x 0 x l u vµ ®iÒu kiÖn ban ®Çu : u t  0   .x  f ( x ) ; (3) 0 t t 0 T×m nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) d­íi d¹ng u(x,t) = X(x).T(t) (4)  X "  x   X ( x )  0 (5) Tõ (4) vµ (1) ta cã :  T " t   a T (t )  0 2 ( 6) B©y giê ta ®i t×m nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (5) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : X’(-l) = 0 ; X’(l) = 0 (7) rx Gi¶i (5) : §Æt X = e ta cã ph­¬ng tr×nh ®Æc tr­ng cña (5) : r2 +  = 0   = -c2  X(x) = c1e-cx + c2ecx Tõ (7)  c1 = c 2 = 0 (lo¹i)   = 0  X(x) = c1x + c2  X ' (l )  c1  0  c2  0 vµ c2 = A0 Theo (7) :   X ' (l )  c1  0 Nªn X0(x) = A0 øng víi trÞ riªng  = 0 th× (6) cã nghiÖm : T0(t) = B0t + D0 nªn ta cã nghiÖm riªng cña (1) u0(x,t) = a0 + b0t (a0 = A0D0; b0= A0B0) (8)   = c2  X(x) = c1cos cx + c2sin cx Theo (7) :
  9.  u  c1cc sin( cl )  cc 2 cos(cl )  0  x c1 sin cl  c 2 cos cl  0 c1 sin cl  0  x  l     c1 sin cl  c 2 cos cl  0 c 2 cos cl  0  u  cc1c sin( cl )  cc 2 cos(cl )  0  x  xl §Ó (4) cã nghiÖm kh«ng tÇm th­êng th× sincl = 0 hoÆc coscl = 0 k + XÐt sincl = 0  cl = k  c = vµ c1 = Ak l kx  ph­¬ng tr×nh (5) cã nghiÖ m : X k x   Ak sin l 2 k  øng víi    k    ph­¬ng tr×nh (6) cã nghiÖm tæng qu¸t :  l kat kat Tk t   Bk cos  Dk sin l l  Ta cã nghiÖm riªng cña (1) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn (2) : a k  Ak B k kat kat  kx  uk  x, t    ak cos (9)  bk sin  cos  bk  Ak Dk l l l  (2n  1) (2n  1) + XÐt coscl = 0  cl   c 2 2l 2n  1at  D sin 2n  1at (2n  1)x  X n x   An sin vµ Tn t   Bn cos n 2l 2l 2l Nªn nghiÖm riªng cña (1) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn (2) : (2n  1)x a n  An Bn (2n  1)at (2n  1)at   un x, t    an cos (10)  bn sin  sin   bn  An Dn 2l 2l 2l   Tõ (8),(9),(10) ta cã nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn (2) chÝnh lµ tæng cña c¸c nghiÖm riªng cña u(x,t) :  kat kat  kx  u ( x, t )  a 0  b0 t    a k cos  bk sin   cos l l l k 1  2n  1at  b sin 2n  1at  sin 2n  1 x      a n cos  n 2l 2l 2l n 0   Tõ ®iÒu kiÖn ban ®Çu (3) :  kx  (2n  1)x u t  0  a 0   a k cos   a n sin (11)   .x l 2l k 1 n 0  kx  ka (2n  1)a (2n  1)x u  b0     bn (12) 0 bk cos sin t k 1 l l 2l 2l n 0 t 0 Tõ (12)  b0 = bk = bn = 0 (13) LÊy tÝch ph©n 2 vÕ cña (11) theo x cËn tõ (-l  l) l l l l kx (2n  1)x l a0 dx  l ak cos l dx  l an sin 2l dx  l  .xdx 
  10. v× b0 = 0  u0(x,t) = a0 v× u0(x,t) lµ 1 nghiÖm riªng nªn u0(x,o) = -x l l  a0 = -x  lÊy tÝch ph©n 2 vÕ  a 0 dx    xdx l l l x2 22 l  a0 x l  2a0l = (l - l ) = 0  a0 = 0 (14)   2 2 l kat kx v× bk = 0  uk(x,t) = akcos cos l l v× uk(x,t) lµ 1 nghiÖm riªng cña (1) nªn uk(x,0) = - x kx vµ lÊy tÝch ph©n 2 vÕ cËn tõ (-l  l) Nh©n 2 vÕ víi cos l l l kx kx 2 dx    . x cos  a k cos dx l l l l l l a a k 2x k 2  l VT =  k (1  cos )dx  k  x   ak l sin l  l 2k 2 l 2  l l l l kx kx kx l l VP =    x. cos dx =   x sin l sin l dx k k  l l l l l 2 2 kx l l cos k  cos k   0  a k (15)   0 cos 2 2 k 2 2 k l l 2n  1at sin 2n  1x V× bn = 0  u n x, t   a n cos 2l 2l V× un(x,t) lµ 1 nghiÖm riªng cña (1) nªn un(x,0) = - .x l l (2n  1)x (2n  1)x 2   a n sin dx    .x sin dx 2l 2l l l l l an  (2n  1)x  a (2n  1)x  l  VT = n l 1  cos 2l dx  2  x  (2n  1) sin 2l  2     l   an l l l  (2n  1) sin( 2n  1)  l  (2n  1) sin( 2n  1)   2   l 2n  1x dx  x sin 2l l
  11. => VT = an.l VP = l l (2n  1)x (2n  1)x 2l 2l  VP    x cos l cos 2l dx (2n  1) (2n  1)  2l l l 4l 2 (2n  1) (2n  1)  (2n  1)x 2l    l cos  l cos  (2n  1) 2  2 sin  (2n  1) 2 2 2l   l 4l 2 8l 2  (2n  1) (2n  1)  (2n  1)   sin  sin  (2n  1) 2  2 sin  (2n  1) 2  2 2 2 2   8l 2  VP =  1n (2n  1) 2  2  8. .l 2 8. .l n 1 (1) n  a n   1  an  l  (16) (2n  1) 2  2 22 (2n  1)  Tõ (14), (15), (16) ta cã nghiÖm cña (1) : 8. .l  (1) n1 (2n  1)at (2n  1)x 2 u ( x, t )  cos sin 2  n 0 (2n  1) 2l 2l Bµi 6 : B»ng ph­¬ng ph¸p t¸ch biÕn, t×m nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh :  2u  4u  a 2 4  0 tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn biªn vµ ®iÒu kiÖn ban ®Çu sau : t 2 x u x  0  0  u x l  0 u t  0  Ax(l  x ) 2   u ; 0  u 2 0  x x 0  t  2 t 0  u 0  x 2  x l Gi¶i :  2u  4u  a2 4  0 Ta t×m nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh : (1) t 2 x
  12. u x 0  0  u x l  0 2 tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn biªn :   u  0 (2) 2  x x 0 2  u 0  x 2  x l u t  0  Ax(l  x )  vµ ®iÒu kiÖn ban ®Çu :  u (3) 0  t  t 0 d­íi d¹ng : u(x,t) = X(x).T(t) (4) Thay (4) vµo (1) : T”(t).X(x) + a2X(4)(x).T(t) = 0 X ( 4 ) ( x) T " (t )     a 2T (t ) X ( x) T " (t )  a 2T (t )  0 (5)   ( 4)  (6)  X ( x )  X ( x)  0   X (0)  X (l )  0 Tõ (2) vµ (4) ta cã :  (7)  X " (0)  X " (l )  0 Gi¶i (6) : §Æt X(x) = erx th× ph­¬ng tr×nh (6)  r4 –  = 0  r4 =  *NÕu  = 0  X(4)(x) = 0  X(x) = c1x3 + c2x2 + c3x + c4 Nªn tõ (7) ta cã :  X ( 0)  c 4  0  2  X (l )  l (c1l  c 2 l  c3 )  0  c1 = c2 = c3 = c4 = 0   X " ( 0)  2c 2  0  X " (l )  6c1l  0  * NÕu  < 0  r4 =  < 0 : ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm * NÕu  > 0  r4 =  : ph­¬ng tr×nh cã 4 nghiÖm : r1  4  ; r2   4  ; r3  i.4  ; r4  i.4  §Æt   4  th× nghiÖm tæng qu¸t cña ph­¬ng tr×nh (6) :
  13. X  x   c1e  x  c 2 e x  c3 cos  x  c 4 sin  x  X '  x     c1e  x   c 2 e x   c 3 sin  x   c 4 cos  x X " ( x)   2 c1e  x   2 c 2 e x   2 c3 cos x   2 c 4 sin  x Tõ (7) ta cã hÖ 4 ph­¬ng tr×nh : X(0)  c1  c 2  c 3  0  l l  X (l )  c1e  c 2 e  c3 cos cl  c 4 sin cl  0  2 2 2  X " (0)   c1   c 2   c 3  0  X " (l )   2 c e l   2 c el   2 c cos cl   2 c sin cl  0  1 2 3 4 c1  c 2  c3  0  c 4  sin cl  0 4 k k   =   (k = 1,2 ...) §Ó c4  0  sin cl = 0  c =  l l kx X k  x   Ak sin  ph­¬ng tr×nh (6) cã nghiÖm : (8) l 4 k 2 2 a 2 k Thay  =   vµo ph­¬ng tr×nh (5) : T " t   T t   0  l2 l k 2 2 at k 2 2 at  Tk t   Bk cos (9)  Dk sin l2 l2 Thay (8), (9) vµo (4) ta cã : k 2 2 at k 2 2 at    kx u ( x, t )    a k cos (10)  sin  bk sin   2 2 l l l k 1   Víi ak = Ak.Bk ; bk = Ak.Dk Tõ ®iÒu kiÖn ban ®Çu (3) :  kx u t  0   a k sin (11)  Ax(l  x) l k 1 k 2 2 a  kx u   bk (12) 0 sin 2 t l l k 1 t 0 NhËn thÊy ak lµ hÖ sè trong khai triÓn Ax(l - x) thµnh chuçi Fourier theo hµm sin kx kx l l nªn : a k 0 sin 2 dx  A x (l  x) sin dx l l 0
  14. kx kx l l  a k 0 sin 2 dx  A x (l  x) sin dx l l 0 l kx kx kx l l l l (lx  x 2 ) cos Ta cã : I  0 x(l  x ) sin dx     (l  x) cos dx k l 0 k l l 0 l l  kx  2l 2 kx l = (l  2 x) sin  cos  l 0 k 2 2 k l 0    nÕu k=2n 0 2l 3  I  3 3 cos k  1    4l 3 k nÕu k=2n+1  2n  13  3  8l 2 A  ak  (13) (2n  1) 3  3 Tõ (10, (12), (13) ta cã nghiÖm cña bµi to¸n : (2n  1) 2  2 at (2n  1)x cos sin 8l 2 A  2 l l u ( x, t )  3  3  n 0 (2n  1) Bµi 7 : XÐt dao ®éng tù do cña mét d©y g¾n chÆt ë c¸c mót x = 0, x = l trong 1 m«i tr­êng cã søc c¶n tû lÖ víi vËn tèc, biÕt c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu : u u t  0  f ( x) ;  F ( x) t t 0 Gi¶i : Gäi u(x,t) lµ ®é lÖch cña thanh cã hoµnh ®é x t¹i thêi ®iÓm t. Do d©y g¾n chÆt t¹i 2 mót chÞu 1 lùc t¸c dông g(x,t) nªn ph­¬ng tr×nh dao ®éng cña d©y cã d¹ng:  2u 2 2 u (1) a  g ( x, t ) t 2 x 2 u V× trong m«i tr­êng cã søc c¶n tØ lÖ víi vËn tèc nªn g(x,t) =  k t  2u 2 0  x  l  u 2u u ®Æt k = 2h  g(x,t) =  2h nªn (1)  2  2h  a 2 víi (1’)   t 0  t  T  t t t B©y giê ta t×m nghiÖm cña (1’)
  15. u Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu : u t  0  f ( x) ; (2)  F ( x) t t 0 Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn : u x 0  0 ; u x l  0 (3) Ta t×m nghiÖm d­íi d¹ng u(x,t) = X(x).T(t) (4) thay (4) vµo (1’) ta cã :T”(t).X(x) + 2hT’(t).X(x) = a2X”(x).T(t) T " (t ) T ' (t ) X " ( x)  a2 Chia 2 vÕ cho T(t).X(x) :  2h T (t ) T (t ) X ( x) T " (t )  2hT ' (t )  a 2T (t )  0 (5) T " (t ) 2h T ' (t ) X " ( x)      2  a 2T (t ) a T (t ) ( 6) X ( x)  X " ( x )  X ( x )  0 Tõ (3) vµ (4) ®Ó cã nghiÖm kh«ng ®ång nhÊt b»ng 0 th× (7) X 0 X x 0 x l Ta ph¶i t×m nghiÖm cña (6) tho¶ m·n (7)  X ( x)  c1  c 2  0 c1  0 *  = - c2  X(x) = c1e-cx + c2ecx   (lo¹i)   cl cl  c 2 e  0 c 2  0  X (l )  c1e  X (0)  c 2  0 c1  0 *  = 0  X(x) = c1x + c2   (lo¹i)   X (l )  c1l  0 c 2  0  X (0)  c1  0 c 2  Ak *  = c2  X(x) = c1cos cx + c2sin cx     X (l )  c 2 sin cl  0 sin cl  0 k ®Ó cã nghiÖm kh«ng tÇm th­êng th× cl  k  c  l kx  pt (6) cã nghiÖm : X ( x)  Ak sin l vµ gi¶i (5) : §Æt T = et th× (5) cã pt ®Æc tr­ng : 2 + 2h + a2 = 0 Ta cã : 2  ka  2 2 2  ka   ka  2 2 2 2 ’ = h – a = h –    h .i   =  '  i   h l  l  l      = - h  ' = - h  qk.i  nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (5) lµ : T (t )  e  ht c1 cos q k t  c 2 sin q k t  2 ka  víi q k   2  h  l   kx Nªn nghiÖm riªng cña (1) : u k x, t    e a k cos q k t  bk sin q k t sin  ht l k 1
  16.  kx u t  0   a k sin Tõ ®iÒu kiÖn ®Çu (8)  f ( x) l k 1  kx u    ha k  bk q k  sin (9)  F ( x) t l k 1 t 0 NhËn thÊy ak lµ hÖ sè trong khai triÓn hµm f(x) thµnh chuçi Fourier nªn nh©n 2 vÕ l l kx kx kx 2 cña (8) víi sin ®­îc :  ak sin dx   f ( x) sin dx l l l 0 0 l l l l k 2x  kx a k 2x  kx a l  k  1  cos dx  k  x    f ( x) sin sin dx dx   f ( x) sin   2k 2 0 l l 2 l 0 0 l 0 l kx 2  a k   f ( x) sin (10) dx l0 l l l kx kx (9)    ha k  bk q k sin 2 dx   F ( x) sin dx l l 0 0 l l kx kx l 2   ha k  bk q k    F ( x ) sin dx   ha k  bk q k   F ( x ) sin dx 20 l l0 l l ha k kx 2  bk  (11)  F ( x) sin  dx qk lq k l 0 VËy nghiÖm cña bµi to¸n :  kx  a cos q k t  bk sin q k t  sin  ht u ( x, t )  e k l k 1 trong ®ã ak ,bk ®­îc x¸c ®Þnh bëi (10) vµ (11)  2u  2u  a 2 2  bshx Bµi 8: T×m nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh t 2 x Víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu ban ®Çu b»ng 0 vµ ®iÒu kiÖn biªn u x 0  0 ; u x l  0 Gi¶i :  2u  2u  a 2 2  bshx Ta cã ph­¬ng tr×nh : (1) t 2 x u tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : u t 0  0 ; (2) 0 t t 0 vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn : u x 0  0 ; u x l  0 (3) Ta t×m nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) d­íi d¹ng : u(x,t) = V(x) + W(x,t) (4)
  17.  2W  2W  a2 Trong ®ã : W(x,t) tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh (5) t 2 x 2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn W  0; W (6) 0 x 0 x l  2V V(x) tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh a 2 (7)  bshx x 2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn V  0; V (8) 0 x 0 x l b b Gi¶i (7) : V " x    shx  V ' ( x)   2 chx  c1 2 a a b  V ( x)   shx  c1 x  c 2 a2 Tõ (8) ta cã : V  c2  0 c 2  0 x 0    b  b   2 shl  c1l  0 c1  2 shl V x l al  a  bx  V(x) = ( shl – shx) (9) a2 l  b x  V t 0  a 2  l shl  shx     ®iÒu kiÖn ban ®Çu cña (7)  (10)   V 0  t t 0  mµ theo lý thuyÕt ph­¬ng tr×nh (5) cã nghiÖm :  kat kat  kx  W ( x, t )    a k cos (11)  bk sin  sin l l l k 1   b x  W t 0  V t 0   a 2  shl  shx  l  Tõ (2), (4), (10)     W 0  t t 0   kx b x  a   2  shl  shx  sin k l l a  k 1  ka kx b (12)  0  bk  0 sin k l l k 1
  18. kx kx  2b  l x 2b l dx    2 I 1  I 2  Ta cã a k   (13) dx   shx. sin shl. sin 2  0 la  l l l la 0  l kx x víi I 1   shl sin dx l l 0 l l (1) k 1 l 2 l2 l2 kx kx l  I1   cos k   2 2 sin  x. cos k l 0 k k l 0 k  1k 1 l 2 (14)  I1  k l kx vµ I 2   shx sin dx l 0 l l2 kx kx l l l l  I 2   shx. cos shl cos k   dx   chx cos I3  k l 0 k k k l 0 l kx mµ I 3   chx cos dx l 0 l kx kx l l l l  I 3  chx. sin  dx    shx sin I2 k l 0 k k l 0 (1) k 1 l.shl l2 l2 l2   shl (1) k  2 2 I 2  1  2 2 nªn I 2   I 2   k  k k k   (1) k 1 l.shl.k  (15) I2  l 2  k 2 2 Thay (14), (15) vµo (12) : 2b  (1) k 1 l.shl (1) k 1 l.shl.k  (1) k 1 2b.shl (1) k 1 2b.shl.k (16) ak      22    a 2l  l 2  k 2 2  a 2 k a l  k 2 2 k Thay (12) vµ (16) vµo (11) ta cã : (1) k 1 2b (1) k 1 2b.shl.k    kat kx  W ( x, t )   (17)  22  cos sin   2 22  k 1 a k a l k  l l  Tõ (4), (9), (17) ta cã nghiÖm cña (1) : kx 2bshl  (1) k 1 k (1) k  kat kat kx b x  2b k  (l 2  k 2 2 ) cos l sin l u ( x, t )  shl  shx   2  cos sin 2 2  a a l l l a k 1 k 1
  19.  2u  2u  a 2 2  bx( x  l ) Bµi 9: T×m nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh t 2 x Víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu ban ®Çu b»ng 0 vµ ®iÒu kiÖn biªn u x 0  0 ; u x l  0 Gi¶i :  2u  2u  a 2 2  bx( x  l ) T­¬ng tù bµi 8) ta t×m nghiÖm cña pt (1) t 2 x d­íi d¹ng : u(x,t) = V(x) + W(x,t) (2) 2 V Víi V(x) tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh : (3)  bx( x  l ) t 2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn : V  0; V (4) 0 x 0 x l  2W  2W Víi W(x) tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh : (5)  t 2 x 2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn : W  0; W (6) 0 x 0 x l b bl 2 Gi¶i (3) : V " ( x)  bx 2  blx  V ' ( x )   x 3  x  c1 3 2 b 4 bl 3  V ( x)   x  x  c1 x  c 2 12 6 V (0)  c 2  0 Tõ (4)   b 4 bl 4  b  c1l  0  c1   l 3 V (l )   l  12 6 12  b 4 bl 3 bl 3  V ( x)   (7) x x x 12 6 12 b 4 bl 3 b 3  V t 0   12 x  6 x  12 l x Ta cã ®iÒu kiÖn ban ®Çu cña pt (3) :  (8)   V 0  t t 0  Mµ ph­¬ng tr×nh (5) cã nghiÖm :  kat kat  kx  w x, t     a k cos (9)  bk sin  sin l l l k 1  b  3 2 3 W t 0  V t 0  12 x( x  2lx  l ) Tõ (2) vµ (8)   (10)   W 0  t t  0 
  20.  kx b 3 2 3  a k sin l  12 x( x  2lx  l ) Tõ (9) vµ (10)   k1    ka b sin kx  0  b  0  l k k l  k 1 kx b b l  x  4  2lx 3  l 3 x sin  ak  dx  I1 6l l 6l 0 kx l   I 1   x 4  2lx 3  l 3 x sin dx  l 0 l kx kx l l l    4 x  x 4  2 x 3l  l 3 x cos 3  6 x 2 l  l 3 cos =  dx k l 0 k l 0 kx l l  4 x  3  6 x 2 l  l 3 cos = dx k l 0 l l kx  kx l l l    12 x  3 2 3 2 = 4 x  6 x l  l sin   12 xl sin dx   k  k l 0 k l 0    l2 kx l  12 x  2 =  12 xl sin dx k 2 2 l 0 l 12l 2 kx  l2 kx 12l l    2 x  l cos = 2 2 x  xl cos  dx    k l 0 k k l 0    12l 3 kx l  2 x  l  cos = 3 3 dx k l 0 l l 12l 3  kx  2l 2 kx =  3 3 2 x  l sin  cos  l 0 k 2 2 k  l 0   nÕu k=2n 0 24l 5 =  48l 5  I 1   5 5 cos(k  1)  k nÕu k=2n+1  2n  15  5  8bl 4  ak  (11) (2n  1) 5  5 (2n  1)at (2n  1)x cos sin 4  8bl l l  Thay (11) vµo (9) : W ( x, t )  (12) 5 (2n  1) 5 n 0
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản