Vui lòng download xuống để xem tài liệu đầy đủ.

BÀI TẬP TOÁN KINH TẾ - Chương 1 Quy hoạch tuyến tính

Chia sẻ: | Ngày: | Loại File: doc | 21 trang

7
3.094
lượt xem
1.150
download

Lập mô hình toán học cho các bài toán dƣới đây 1.Một xí nghiệp có 4 máy A, B,C, D dùng để sản xuất ra 6 loại sản phẩm định mức thời gian cho mỗi sản phẩm đối với từng máy, quỹ thời gian của từng máy đư ợc cho trong bảng sau: SP Định mức thời gian cho sản phẩm ( giờ)

BÀI TẬP TOÁN KINH TẾ - Chương 1 Quy hoạch tuyến tính
Nội dung Text

  1. BÀI TẬP TOÁN KINH TẾ CHƢƠNG I: QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH I. Lập mô hình toán học cho các bài toán dƣới đây 1.Một xí nghiệp có 4 máy A, B,C, D dùng để sản xuất ra 6 loại sản phẩm định mức thời gian cho mỗi sản phẩm đối với từng máy, quỹ thời gian của từng máy đư ợc cho trong bảng sau: SP Định mức thời gian cho sản phẩm ( giờ) MÁY SP1 SP2 SP3 SP4 SP5 SP6 A: 132 1 2 1 3 1 0 B: 120 2 1 1 2 3 2 C: 100 1 2 0 2 1 3 D: 144 2 2 2 1 4 2 Giá 1 SP 40 30 35 75 65 60 (1000 đ) Hãy lập phương án sản xuất sao cho tổng thu nhập là lớn nhất (Max) mà vẫn đảm bảo an toàn cho máy. 2. Một phân xưởng có nhiệm vụ sản xuất ra 3 loại sản phẩm cần sử dụng 2 loại nguyên liệu A và B. Hao phí nguyên liệu, dự trù nguyên liệu cho trong bảng dưới đây. Hãy lập kế hoạch sao cho tổng chi phí nhỏ nhất với điều kiện không được sử dụng quá số nguyên liệu, tổng số sản phẩm cả 3 loại không ít hơn 350 số sản phẩm 1, không ít hơn 25% tổng số sản phẩm. Nguyên liệu Sản phẩm Dự tính nguyên liệu I II III (kg) A 2 1 3 1500 B 1 2 2 650 Chi phí/ SP 8 5 10 (1000đ) 3. Hai địa phương Ninh Bình và Hưng Yên cung cấp Khoai với khối lượng 200 tấn và 300 tấn cho 3 địa phương tiêu thụ Khoai là Hải Phòng, Nghệ An và Nam Định với yêu cầu tương ứng là 170 tấn, 200 tấn và 130tấn cước phí (nghìn/ tấn) cho trong bảng dưới đây. Hãy lập kế hoạch sao cho tổng chi phí nhỏ nhất. Nơi tiêu thụ Hải Phòng Ngệ An Nam Định Ninh Bình 20 12 25 Hưng Yên 12 24 14
  2. Bộ môn Toán - Bài tập Toán Kinh Tế - Dùng cho SV các lớp tín chỉ! 1
  3. 4. Ba khu đất người ta dự tính trồng 3 lạo cây lương thực: Ngô, khoai và sắn. Năng suất và chi phí trên 1ha với mỗi loại cây ở từng khu đất và năng suất (tạ) chi phí 1000đ/ha. Diẹn tích(ha) Ngô Khoai Sắn KI:30 150 80 80 KII:50 120 75 90 KIII:27 140 70 70 Yêu cầu 1000 1200 1500 Hãy phân bố cây trồng cho hết đất đai sao cho đảm bảo yêu cầu về số lượng và tổng chi phí là nhỏ nhất. 5. Có 2 xí nghiệp sản xuất 2 loại sản phẩm. Biết rằng đầu tư 1000đ vào xí nghiệp I trong 1 đơn vị thời gian làm được 1,2 sản phẩm A và 1,8 sản phẩm B còn đầu tư 1000đ vào xí nghiệp II làm được 1,8 SP A và 0,8 Sp B. Nguyên liệu và lao động cung cấp cho việc sản xuất, định mức nguyên liệu lao động và dự trù nguyên liệu cho trong bảng dưới đây.Hãy tìm phương án đầu tư sao cho tổng số vốn bỏ ra ít nhất. Nguyên liệu dự trù: 400 tấn và giừo lao động là 200000 giờ XN Định mức hao phí LN(kg/SP), lao động(giờ/SP) A B NL LĐ NL LĐ I 4 2 10 4 II 4,2 3 9 4,5 Yêu cầu số 21000 20000 lượng SP II.Giải các bài toán sau bằng phƣơng pháp hình học  2 x1 + x2 ≥ 8  2 1x + 2x ≥ 10 1. f ( X ) = x1 + x2  →   thỏa mãn  x1 − x2 ≤ 4 Min  2 x1 + x2 ≤ 4  x1 , x2 ≥ 0  x1 + x2 ≥ 2  3x1 −2 x2 ≤ 6 2. f(X)= + 5x2  → M   thỏa mãn  − x1 + x2 ≤ 2 6x1 ax  2x x ≥ 0  1− 2 x1 , x2 ≥ 0
  4. Bộ môn Toán - Bài tập Toán Kinh Tế - Dùng cho SV các lớp tín chỉ! 2
  5.  2 x1 −3x2 ≥ − 6  − x1 + x 2 ≥ 6 2  x −2 x ≤ 1 3. Max ( x1 - x2 ) thỏa mãn  1 2  x + x2 ≤ 5  1 x1 , x2 ≥ 0  x1 − 2 x2 ≤ 0  x +2x ≥ 6 1 2 4. Min ( 4x1 + x2 ) thỏa mãn  3x + x ≥ 6  1 2  2x x − 1 + 2 ≤ 4  x1 , x2 ≥ 0 III. Giải các bài toán sau bằng phƣơng pháp đơn hình Bài 1. f ( X ) = x1 −x2 + x3 + x4 + x5 − x6  → Min   x1 + x4 + 6x6 = 9 3x + x −4x  1 2 3 + 2x6 = 2  + 2x3 + x5 + 2x6 = 2 x1  xj≥ 0 ∀j = 1, 6  ; Bài 2. f ( X ) = 5x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 5x5 + 3x6  → Min  2x1 + x2 + 4x3 + 3x5 = 152  4x1 + 2x3 + x4 + 3x5 = 60  3x  1 + x5 + x6 = 36  xj≥ ∀j = 1, 6  0, Bài 3. f ( X ) = 4x2 −2x3 −13x4 + 7 x5 + 10x6  → Min 
  6.  x1 −3x2 + 2x3 + 13x4 −7 x5 − = −9 12x6  = −3  − x2 + x3 + 4x4 −x5 − 4x6  2x2 + x3 −2x4 + 2x5 − 4x6 = 9   xj≥ ∀j = 1, 6  0, Bài f ( X ) = x1 + x2 −x3  → M ax  4. Bộ môn Toán - Bài tập Toán Kinh Tế - Dùng cho SV các lớp tín chỉ! 3
  7. 2x + x + 3x + x = 1 1 2 3 4 x + 2x − 2x + x5 = 1  1 2 3   x j ≥ ∀j = 1, 5 0 Bài f ( X ) = 3x1 + 2x2 + 14x3 + 13x4 + 4x5  → M ax  5. x 1 + 2x3 + x4 + x5 = 1   x2 + x3 + 2x4 + x5 = 1  xj≥ ∀j = 1, 5  0 Bài f ( X ) = 2x1 + x2 + 5x3 + 3x4  → Min  6.  x1 + 2x2 + 3x3 = 15  2x1 + x2 + 5x3 = 20  x + 2x2 + x3 + x4 = 10  1  xj≥ ∀j = 1, 4  0 Bài f ( X ) = 2x1 + 8x2 + 2x3  → M ax  7.  4x −x + 3x 1 2 3 = 7 7 x + 5x +  1 2 = 19 12x3  x j ≥ 0 ∀j = 1, 3 Bài 8.
  8. f(X) = 3x1 + 7x2 + 6x3 + 5x4  → M ax  −x + 2x + 5x + 1 2 3 = 12 3x4 = 7  4x + 3x + 2x −x  1 2 3 4  x j ≥ 0 ∀j = 1, 4 Bài f ( X ) = x1 + x2 + 2x3 −2x4 − 4x5  → Min  9. − x + x −3x + 2x −2x = 8  1 2 3 4 5 − 1 2x − x3 + x4 − x5 ≥ −21  3x1 + 5x3 −3x4 + 2x5 = 25  2x + x4 + 4x5 ≤ 20  1   xj≥ ∀j = 1, 5 0 Bộ môn Toán - Bài tập Toán Kinh Tế - Dùng cho SV các lớp tín chỉ! 4
  9. Bài f ( X ) = 2x1 + 3x2 −x3 − 4x4 + 6x5  → M ax  10. 2x + x −x = 40  1 2 3 5x1 −2x3 + 2x4 − x5 ≤ 0   x1 + 2x3 − 4x4 + x5 ≥ 12 3x + 2x3 + x4 + 2x5 ≤ 14  1  x j ≥ 0 ∀j = 1, 5  Bài 11. f ( X ) = 2x1 + x2 −3x3 + x4  → Min  2x + x + 4x 1 2 3+ x = 6 4   5x1 + 2x2 + 2x3 + = 10 x4  x j ≥ 0 ∀j = 1, 4 Bài f ( X ) = 2x1 + x2 + 3x3 −x4  → Min  12.  x1 −2x2 + x4 = 16   x2 + x3 − 4x4 ≤ 8   x 2 + 3x3 − 2x4 ≥ −20  x j ≥ 0 ∀j = 1, 4  Bài 13. f ( X ) = 2x1 + 4x2 + x3 + x4  → M ax   x1 + 3x2 + x4 ≤ 1  2x1 +  
  10. x2 ≤ 3 x2 + 4x3 + x4 ≤ 3  x j ≥ 0 ∀j = 1, 4  Bài 14. f ( X ) = 2x1 + 4x2 + x3 + x4  → M ax   x1 + 3x2 + x4 ≤ 1  2x1 + x2 ≤ 3   x2 + 4x3 + x4 ≤ 3  x j ≥ 0 ∀j = 1, 4  Bài 15. f ( X ) = 2x1 + 5x2 + x3 −2x4  → M ax  Bộ môn Toán - Bài tập Toán Kinh Tế - Dùng cho SV các lớp tín chỉ! 5
  11.  3x 1 + 2x3 − 5 x4 ≤ 23   4x1 + x3 −4x4 ≤ 36   x2 −2x3 + 2x4 = 14  2x + x3 −3x4 ≥ 12  1  x j ≥ 0 ∀j = 1, 4  Bài 16. f ( X ) = −x1 + 5x2 − x3  → Min   x1 −x + 4x + 3 x ≥ 8 2 3 4   3x1 −5x2 + 2 x3 −2 x4 ≤ 2   6 x 2 − 4x3 −5x4 ≥ −2  x j ≥ 0 ∀j = 1, 4  Bài 17. f ( X ) = 2x1 −2x2 + 3x3 + x4 −3x5  → Min   4x −2x3 + x4 −4x5 = 8  1  x1 + 2x4 − x5 ≥ −20   −6x3 + x4 + 3x5 = 15 x x x + x4 −2x5 = 14  1 + 2+ 3  x j ≥ 0 ∀j = 1, 5  a) Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình. b) Có thể kết luận gì trong trường f ( X )  → Max  hợp c) Tìm phương án X sao cho f ( X ) = 27
  12. Bài 18. Cho bài toán với tham số λ: f ( X ) = x1 + x3 −λ x4  → Min  − x1 + x2 + −2λ x4 + 4x5 = 9 12x3   2x1 + 8x3 + (1 − λ ) x4 + = 14 2x5   x1 + (λ −1) x 4 = 4  xj≥ ∀j = 1, 5  0, 1 2 5 a) Biết x là một phương án cực biên ứng với cơ sở A , A , A . Hãy lập bảng đơn hình ứng với x . b) Từ bảng đơn hình đã lập, hãy tìm tất cả các giá trị của λ sao cho x là phương án tối ưu. c) Giải bài toán đã cho với λ=1 và λ=3. Bài 19. Cho bài toán với tham số λ: f ( X ) = x2 −3x4 + x5 + 6x6  → Min  Bộ môn Toán - Bài tập Toán Kinh Tế - Dùng cho SV các lớp tín chỉ! 6
  13.  x1 −x2 + 4x3 −2λ x4 + 12x5 +11x6 = 9   2x2 + 2x3 + (1 −λ ) x4 + 8x5 +14 = 14 x6  x2 + (λ − 1) 4 + 3x6 = 4 x   xj≥ ∀j = 1, 6  0, 1 2 3 1) Biết x là một phương án cực biên ứng với cơ sở A , A , A . Hãy lập bảng đơn hình ứng với x . 2) Tìm tất cả các giá trị của λ sao cho x là phương án tối ưu. 3) Giải bài toán đã cho với λ=1 và λ=-1. CHƢƠNG II: BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU Bài 1. Viết bài toán đối ngẫu? Chỉ ra các cặp đối ngẫu của các bài toán sau: a) g(Y ) = 7 y1 + 6 y2 + 4 y3  →  thoả mãn M ax  y1 + 2 y2 + 5 y3 ≤ 2  3 y1 − y2 + y3 ≤ − 3  − + ≤ 2 y1 3 y2 2 y3 4  −y + 3 y + 2 y ≤ 2  1 2 3 b) f ( X ) = 2x1 + x2 −3x3 + x4  → M  thoả mãn ax 2x + x + 3x 1 2 3 + 2x = 2 4   4x1 −x2 + 2x3 − x4 = 5  x j ≥ 0 ∀j = 1, 4 3x + x − 2 x ≥ 4  1 2 3  4 x1 −x2 + 3x3 ≥ 2 c) f ( X ) = 6x1 + 3x2 −x3  →  Min  thoả mãn
  14.  2 x1 + x2 x3 ≤ 4 −  x −2x2 + 3x3 ≤ 5  1  x ≥ 0 ∀j = 1, 3  j 4x1 −x2 + 3x3 −x4 ≤ 2  + − + ≥ 2x1 3x2 x3 2 x4 5 x + x2 + 3x3 + x4 ≤ 3  1 d) f ( X ) = 2x1 −x2 + 3x3 − 4x4  → M thoả mãn   ax 2 x − x + 2x − x = 6  1 2 3 4 3x1 + x2 + 4 x3 + 2 x4 ≤ 10  x j ≥ 0 ∀j = 1, 4 Bộ môn Toán - Bài tập Toán Kinh Tế - Dùng cho SV các lớp tín chỉ! 7
  15. Bài 2. Cho bài f ( X ) = −x1 −3x2 + x3 − 2x4  →  thoả mãn toán Min 4x1 + 12 + 3x4 = 24 x2   x1 + 3x2 − x3 ≥ 3   1 − 18x2 + 2x3 + 3x4 ≥ − 4x 33  xj≥ 0 j = 1, 4  ; Chứng minh x = (0;1;0; 4) là phương án tối ưu của bài toán. rằng Bài 3. Cho bài toán f ( X ) = 15x1 + 10x2 + 6x3  → thoả mãn  Min 3x + 2 x3 ≥ 2  1 x1 + 2x2 + 2x3 ≥ 3  − x1 + x2 + x3 ≥ 2 2  + 4x1 2x2 −2x3 ≥ 1 x ≥ 1  1 x2 ≥ 0 , x3 ≥ 0 5 Biết x = (1, là phương án tối ưu của bài toán đã cho. Hãy tìm phưong án tối rằng 11 ưu , ) 4 4 của bài toán đối ngẫu.  x1 + 2 x2 + x3 ≤ 7  4 x + 3x2 − 6 x3 ≤ 9  1  2 x1 − x2 − 8x3 ≤ −6  Bài 4. Cho bài toán f ( X ) = x1 + x2 − x3  → M  thoả mãn  ax
  16. − 2 x2 + x3 ≤ 2  − x − x + 5x3 ≤ 1 2  1 2  − x1 + 3x3 ≤ 1   x3 ≤ 0 4 3 a) Chứng tỏ rằng các phương x = (− 6, − , y = ( , 0, , 0, theo thứ tự là 4, 1) án 0,1) 5 5 phương án tối ưu của bài toán đã cho và bài toán đối ngẫu của nó. b) Tìm các tập phương án tối ưu của bài toán đã cho và bài toán đối ngẫu của nó. Bộ môn Toán - Bài tập Toán Kinh Tế - Dùng cho SV các lớp tín chỉ! 8
  17. Bài 5. Cho bài toán f ( X ) = −x1 + x2 −2x3 −3x4 + 4x5  →  thoả mãn Min  9 3 − x −2x + x ≤ 7  2 1 4 2 5   3 x + 4x + x − x ≤ 42  1 2 4 2 5   1 1 x +x − x = 5  2 2 3 2 5  x j ≥ 0 , ∀j = 1, 5 a) Giải bài toán bằng phương pháp đơn hình. b) Tìm lời giải cho bài toán đối ngẫu. Bài 6. Cho bài toán f ( X ) = − 1 −4x2 + 2x3 −3x4 − 2x5 −2x6  → M 4x  thoả mãn ax  3x1 − 2x2 + x3 + 2x5 = 8   −x1 + 5x3 + 3x4 −x5 = 3   5x1 − 4x3 + x5 + x6 = −5 x1, x3 , x5 ≥ 0 a) Viết bài toán đối ngẫu, chỉ ra cặp ràng buộc đối ngẫu. b) Xác định phương án tối ưu của bài toán gốc. Bài 7. Cho bài toán f ( X ) = 5x1 −9x2 + 5x3 + 7x4 + 3x5  → Min   2x1 + 6x2 − 2x3 − 2x4 + x5 ≤ −4   8x1 + 2x3 + 4x4 − x5 = 20   x 1 −x2 + x3 − − x5 ≥ −1  x j ≥ ∀j = 2,  0 5 a) Chứng tỏ rằng phương án
  18. x = (0,1, 0,5, 0) là phương án tối ưu của bài toán đã cho. Tìm tập phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu. b) Hãy tìm tất cả các phương án tối ưu của bài toán đã cho có thành x3 = 4 . phần Bài 8. Cho bài toán với tham số α f ( X ) = 4x1 + 10x2 + 2 x3 −8x4 + 9x5 + α x6 −4x7  → Min   2x1 + x3 − 2x4 + 2 x5 − 6x7 = −7   − 1 − 2x2 + 2x3 + 4x4 − 3x5 + x6 2x = 7  4x + 3x2 − 2x3 − 2x4 + x5 + x6 − 22x7 = −20  1  xj≥ ∀j = 1, 7  0 11 9 3 a) Tìm giá trị của α để x = ( , 0, 0, , 0, 0, ) là phương án tối ưu của bài toán đã cho. 2 2 2 b) Trong trường hợp x không là phương án tối ưu, có thể nói gì về bài toán đã cho và bài toán đối ngẫu của nó. Bộ môn Toán - Bài tập Toán Kinh Tế - Dùng cho SV các lớp tín chỉ! 9
  19. CHƢƠNG III: BÀI TOÁN VẬN TẢI Giải các bài toán vận tải sau: Bài 1. T 20 50 50 20 P 30 6 2 4 6 40 4 6 3 8 70 1 5 8 7 Bài 2. T 50 90 90 70 P 110 7 8 5 3 110 2 4 5 9 80 6 4 1 2 Bài 3. T 220 320 540 650 P 250 4 5 3 5 790 7 5 4 9 670 9 8 3 4 340 7 6 6 2 Bài 4. T 150 80 180 60 80 P 50 7 4 17 5 8 200 7 15 10 11 30 100 13 6 14 16 20 200 14 22 17 16 35 Bài 5. T 35 75 40 70 80 P 60 7 10 1 9 12 85 9 4 10 11 5 48 8 7 5 6 8 107 10 7 3 13 9 Bài 6. Bộ môn Toán - Bài tập Toán Kinh Tế - Dùng cho SV các lớp tín chỉ! 10
  20. T 40 80 75 50 55 P 60 8 6 4 5 7 75 7 3 9 6 10 45 2 10 7 8 4 80 11 5 8 12 9 Bài 7. T 35 15 65 25 40 20 P 70 4 7 7 10 11 6 30 10 5 2 3 8 9 60 12 6 4 11 9 7 40 13 5 11 6 7 5 Bài 8. T 54 37 49 120 70 P 80 4 5 3 2 7 120 7 5 3 4 M 80 9 7 M 2 5 50 2 6 4 3 6 Bài 9. T 14 15 25 16 17 20 23 P 27 6 3 4 3 5 7 9 32 12 11 16 14 16 13 17 43 5 6 4 7 4 5 6 28 7 9 10 11 9 6 9 CHƢƠNG IV: BÀI TOÁN SẢN XUẤT ĐỒNG BỘ Giải các bài toán đồng bộ sau đây: Bài 1. Chi tiết CT1 CT2 CT3 Máy 1 1 1 A:1 63 240 160 B:1 103 61 200 C:1 720 360 161 D:1 173 120 240 Bộ môn Toán - Bài tập Toán Kinh Tế - Dùng cho SV các lớp tín chỉ! 11
Đồng bộ tài khoản