Bài tập về không gian vecto

Chia sẻ: kieudinhtuan

Tham khảo tài liệu 'bài tập về không gian vecto', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Nội dung Text: Bài tập về không gian vecto

Đ I S CƠ B N
(ÔN THI TH C SĨ TOÁN H C)
Bài 13. Bài t p v không gian véctơ
PGS TS M Vinh Quang

Ngày 10 tháng 3 năm 2006


1. Xét xem R2 có là không gian véctơ hay không v i phép c ng và phép nhân vô hư ng sau:

(a1 , a2 ) + (b1 , b2 ) = (a1 + b1 , a2 + b2 )
a∗ (a1 , a2 ) = (aa1 , 0)

Gi i. B n đ c có th ki m tra tr c ti p r ng 7 đi u ki n đ u c a không gian véctơ đ u
th a mãn, riêng đi u ki n th 8 không th a mãn vì v i α = (1, 1), khi đó: 1∗ α = 1∗ (1, 1) =
(1, 0) = α.
V y R2 v i các phép toán trên không là không gian véctơ vì không th a mãn đi u ki n
8.

2. Ch ng minh r ng m t không gian véctơ ho c ch có m t véctơ, ho c có vô s véctơ.

Gi i. Gi s V là không gian véctơ và V có nhi u hơn 1 véctơ, ta ch ng minh V ch a
vô s véctơ. Th t v y, vì V có nhi u hơn m t véctơ nên t n t i véctơ α ∈ V , α = 0. Khi
đó, V ch a các véctơ aα v i a ∈ R. M t khác:

∀a, b ∈ R, aα = bα ⇔ (a − b)α = 0
⇔ a − b = 0 ( vì α = 0)
⇔ a=b

B i v y có vô s các véctơ d ng aα, a ∈ R, do đó V ch a vô s véctơ.

3. Xét s ĐLTT, PTTT. Tìm h ng và h con ĐLTT t i đ i c a các h véctơ sau:

a α1 = (1, 0, −1, 0), α2 = (1, 2, 1, 1), α3 = (3, 2, 3, 2), α4 = (1, 1, 2, 1)
b α1 = (1, 0, 0, −1), α2 = (2, 1, 1, 0), α3 = (1, 1, 1, 1), α4 = (1, 2, 3, 4), α5 = (0, 1, 2, 3).

Gi i. a. L p ma tr n A tương ng và tìm h ng c a ma tr n A:




1
     
1 0 −1 0 1 0 −1 0 1 0 −1 0
 1 2 1 1  −→  0 2 2 1 
 −→  0 1 3 1 
 
A=  3 2

3 2   0 2 6 2   0 2 2 1 
1 1 2 1 0 1 3 1 0 2 6 2
 
1 0 −1 0
 0 1 3 1 
−→   0 0 −4 −1 


0 0 0 0
V y rankA = 3, ít hơn s véctơ, nên h trên là h PTTT. Vì 3 dòng khác không c a
ma tr n ng v i các véctơ α1 , α4 , α2 , nên h con ĐLTT t i đ i c a α1 , α2 , α3 , α4 là
α1 , α4 , α2 và rank{α1 , α2 , α3 , α4 } = 3.
b. Gi i tương t câu a., b n đ c t gi i.



4. Cho h véctơ α1 , α2 , . . . , αm ĐLTT trong không gian véctơ V . Ch ng minh

a. H véctơ β1 = α1 , β2 = α1 + α2 , . . ., βm = α1 + α2 + . . . + αm cũng ĐLTT.
b. H véctơ:
γ1 = a11 α1 + . . . +a1m αm
γ2 = a21 α1 + . . . +a2m αm
.
. .
. .. .
.
. . . .
γm = am1 α1 + . . . +amm αm
ĐLTT khi và ch khi detA = 0, trong đó
 
a11 a12 . . . a1m
 a21 a22 . . . a2m 
A= .
 
. .. .
 . . . 
. . . . 
am1 am2 . . . amm

Gi i. a. Gi s b1 β1 + b2 β2 + . . . + bm βm = 0 v i bi ∈ R
⇔ b1 α1 + b2 (α1 + α2 ) + . . . + bm (α1 + . . . + αm ) = 0
⇔ (b1 + . . . + bm )α1 + (b2 + . . . + bm )α2 + . . . + bm αm =0
Vì α1 , . . . , αm ĐLTT nên ta có:

 b1 + b2 + . . . +bm−1 +bm
 = 0
b2 + . . . +bm−1 +bm = 0




.. .
. .
. .
.
. . . .




 bm−1 +bm = 0
 bm = 0

Suy ngư c t dư i lên, ta có: bm = bm−1 = . . . = b1 = 0.
V y β1 , . . . , βm ĐLTT.
b Gi s c1 γ1 + c2 γ2 + . . . + cm γm = 0 v i cj ∈ R
⇔ (a11 c1 + a21c2 + . . . + am1 cm )α1 + (a12 c1 + a22 c2 + . . . + am2 cm )α2 + . . . + (a1m c1 +
a2m c2 + . . . + amm cm )αm = 0



2

 a11 c1 + a21 c2 + . . . + am1 cm = 0

 a12 c1 + a22 c2 + . . . + am2 cm = 0

⇔ . . .. . . (∗) H véctơ γ1 , γ2 , . . . , γm
 .
 . .
. . .
. .
.

 a c + a c + ... + a c
1m 1 2m 2 mm m = 0
ĐLTT khi và ch khi h phương trình tuy n tính (∗) có nghi m duy nh t (0, 0, . . . , 0)
khi và ch khi ma tr n các h s c a h (∗) không suy bi n khi và ch khi detA = 0.



5. H véctơ α1 , α2 , . . . , αm bi u th tuy n tính đư c qua h véctơ β1 , β2 , . . . , βn . Ch ng minh
rank{α1 , . . . , αm } rank{β1 , . . . , βn }.

Gi i. Gi s αi1 , . . . , αik và βj1 , . . . , βjl l n lư t là h con ĐLTT t i đ i c a các h véctơ
α1 , . . . , αm và β1 , . . . , βn . Vì h α1 , . . . , αm bi u th tuy n tính đư c qua h β1 , . . . , βn nên
h αi1 , . . . , αik bi u th tuy n tính đư c qua h βj1 , . . . , βjl , m t khác h αi1 , . . . , αik đ c l p
tuy n tính nên theo B đ cơ b n ta có k l t c là rank{α1 , . . . , αm } rank{β1 , . . . , βn }.


6. Cho 2 h véctơ cùng h ng, h đ u bi u th tuy n tính đư c qua h sau. Ch ng minh 2 h
véctơ tương đương.

Gi i. Gi s α1 , . . . , αm (α), β1 , . . . , βn (β) th a mãn đ ra. Vì hai h véctơ cùng h ng
nên ta có th gi s rank(α) = rank(β) = k, đ ng th i αi1 , . . . , αik và βj1 , . . . , βjk l n
lư t là h con ĐLTT t i đ i c a các h véctơ (α) và (β). Vì h (α) bi u th tuy n tính
đư c qua h (β) nên h αi1 , . . . , αik bi u th tuy n tính đư c qua h βj1 , . . . , βjk , l i do h
αi1 , . . . , αik ĐLTT nên theo B đ cơ b n, ta có th thay k véctơ αi1 , . . . , αik , cho k véctơ
βj1 , . . . , βjk đ đư c h véctơ m i αi1 , . . . , αik tương đương v i h véctơ βj1 , . . . , βjk , t c là
αi1 , . . . , αik tương đương v i βj1 , . . . , βjk . M t khác, αi1 , . . . , αik tương đương v i h (α),
βj1 , . . . , βjk tương đương v i h (β), do đó ta có h (α) tương đương v i h (β).

7. Trong R4 cho h véctơ

u1 = (1, 1, 1, 1), u2 = (2, 3, −1, 0), u3 = (−1, −1, 1, 1)

Tìm đi u ki n c n và đ đ h véctơ u = (x1 , x2 , x3 , x4 ) bi u th tuy n tính đư c qua h
u1 , u2 , u3 .

Gi i. Véctơ u bi u th tuy n tính đư c qua h u1 , u2 , u3 khi và ch khi phương trình
u = y1 u1 + y2 u2 + y3 u3 có nghi m khi và ch khi h sau có nghi m:
  
1 2 −1 x1 1 2 −1 x1
 1 3 −1 x2    0 1 0 −x1 + x2 

 1 −1 −→   0 −3

1 x3  2 −x1 + x3 
1 0 1 x4 0 −3 2 −x1 + x4
   
1 2 −1 x1 1 2 −1 x1
 0 1 0 −x1 + x2  −→  0 1
  0 −x1 + x2 
−→  
 0 0 2 −4x1 + 3x2 + x3   0 0 2 −4x1 + 3x2 + x3 
0 0 2 −3x1 + 2x2 + x4 0 0 0 x1 − x2 − x3 + x4
Do đó h có nghi m khi và ch khi x1 − x2 − x3 + x4 = 0. B i v y véctơ u = (x1 , x2 , x3 , x4 )
bi u th tuy n tính đư c qua u1 , u2 , u3 khi và ch khi x1 − x2 − x3 + x4 = 0.

3
8. Trong R3 [x] cho các h véctơ:

u1 = x3 + 2x2 + x + 1
u2 = 2x3 + x2 − x + 1
u3 = 3x3 + 3x2 − x + 2

Tìm đi u ki n đ véctơ u = ax3 + bx2 + cx + d bi u th tuy n tính đư c qua h u1 , u2 , u3 .

Gi i. Cách gi i bài này tương t như bài t p 7. Chi ti t cách gi i xin dành cho b n
đ c.

9. Trong R3 cho các h véctơ:

u1 = (1, 2, 1), u2 = (2, −2, 1), u3 = (3, 2, 2) (U )

v1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 1, 0), v3 = (1, 0, 0) (V )

a. Ch ng minh (U ), (V ) là cơ s c a R3
b. Tìm các ma tr n đ i cơ s t (U ) sang (V ) và t (V ) sang (U ).

Gi i. a. L p ma tr n  mà các dòng c a U là các véctơ u1 , u2 , u3
 U
1 2 1
U =  2 −2 1 , ta có detU = 2 = 0.
3 2 2
Do đó h véctơ u1 , u2 , u3 đ c l p tuy n tính vì dimR3 = 3 nên u1 , u2 , u3 là cơ s c a
R3 . Tương t v1 , v2 , v3 là cơ s c a R3 .
b. Gi i tương t như ví d 1, bài 11, sau đây là chi ti t cách gi i:
 tìm ma tr n TU V ta gi i  h sau:
Đ  3 
1 2 3 1 1 1 1 2 3 1 1 1
 2 −2 2 1 1 0  −→  0 −6 −4 −1 −1 −2 
 1 1 2 1 0 0  0 −1 −1
 0 −1 −1 
1 2 3 1 1 1 1 2 3 1 1 1
 0 −1 −1 0 −1 −1  −→  0 −1 −1 0 −1 −1 
0 −6 −4 −1 −1 −2 0 0 2 −1 5 4
1 1 3
H 1: a3 = − , a2 = −a3 = , a1 = 1 − 2a2 − 3a3 =
2 2 2
5 3 7
H 2: b3 = , b2 = 1 − a3 = − , b1 = 1 − 2b2 − 3b3 = −
2 2 2
H 3: c3 = 2, c2 = 1 − c3 = −1, c1 = 1 − 2c2 − c3 = −3
   3 7 
a1 b 1 c 1 2 2
−3
V y TU V =  a2 b2 c2  =  1 3 −1 
2 2
1 5
a3 b 3 c 3 2 2
2
Vi c tìm ma tr n TV U xin dành cho b n đ c.


1 1 3 1
10. Trong R2 cho các cơ s (α), (β), (γ). Bi t Tαβ = , Tγβ = và cơ s
2 1 2 1
(γ) : γ1 = (1, 1), γ2 = (1, 0). Tìm cơ s (α).


4
Gi i. Đ u tiên ta tìm cơ s (β):
3 1
Do Tγβ = nên β1 = 3γ1 + 2γ2 = (5, 3), β2 = γ1 + γ2 = (2, 1). M t khác ta có
2 1
1 1 −1 1
Tαβ = nên Tβα = T−1 =
αβ do đó:
2 1 2 −1

α1 = −β1 + 2β2 = (−1, −1)
α2 = β1 − β2 = (3, 2)

V y cơ s (α) = α1 = (−1, −1), α2 = (3, 2).



11. Cho R+ là t p các s th c dương. Trong R+ ta đ nh nghĩa 2 phép toán

(a) ∀x, y ∈ R+ : x ⊕ y = xy
(b) ∀a ∈ R, x ∈ R+ : a ∗ x = xa

Bi t r ng, (R+ , ⊕, ∗) là KGVT. Tìm cơ s , s chi u c a KGVT R+ .

Gi i. V i m i véctơ x ∈ R+ ta có:
x ⊕ 1 = x.1 = x do đó véctơ không trong KGVT R+ là 1.
V i m i véc tơ α ∈ R+ , α khác véctơ không (t c là α = 1) ta ch ng minh {α} là h
sinh c a R+ . Th t v y ∀x ∈ R+ ta có: x = αlogα x = (logα x) ∗ α = a ∗ α trong đó
a = logα x ∈ R. V y x luôn bi u th tuy n tính đư c qua h g m 1 véctơ {α}.
M t khác vì α khác véctơ không nên h {α} là h véctơ đ c l p tuy n tính. V y dim
R+ = 1 và cơ s c a R+ là h g m 1 véctơ {α} v i α là s th c dương, khác 1.

a −b
12. Cho V = , a, b ∈ R
b a
bi t r ng V cùng v i phép c ng 2 ma tr n và phép nhân 1 s v i ma tr n là KGVT.
Tìm cơ s , s chi u c a V .

Gi i. Xét 2 véctơ trong V :
1 0 0 −1
A1 = , A2 =
0 1 1 0
a −b
Khi đó, v i m i véctơ X = ∈ V ta luôn có X = a.A1 + b.A2 . V y {A1 , A2 } là
b a
1 h sinh c a V .
M t khác, v i m i a, b ∈ R ta có
0 0 a −b 0 0
a.A1 + b.A2 = 0 ⇔ a.A1 + b.A2 = ⇔ = ⇔ a = 0, b = 0
0 0 b a 0 0
do h véctơ {A1 , A2 } đ c l p tuy n tính.
V y {A1 , A2 } là cơ s c a V và dim V = 2

1




1
Đánh máy: LÂM H U PHƯ C, Ngày: 15/02/2006


5
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản