Bài tập về không gian vecto Euclide

Chia sẻ: xuankhuong

Đại số cơ bản - Ôn thi thạc sỹ toán học - Bài tập về không gian vecto Euclide

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Bài tập về không gian vecto Euclide

Đ I S CƠ B N
(ÔN THI TH C SĨ TOÁN H C)
Bài 19. Bài t p v không gian véctơ Euclide
PGS TS M Vinh Quang

Ngày 10 tháng 3 năm 2006

1. Tìm m t cơ s tr c giao, cơ s tr c chu n c a không gian véctơ con L c a R4 trong các
trư ng h p sau:
a. L = α1 , α2 , α3 v i α1 = (1, 1, 0, 0), α2 = (1, 1, 1, 1), α3 = (0, −1, 0, 1)
b. L = α1 , α2 , α3 v i α1 = (1, 2, 2, −1), α2 = (1, 1, −5, 3), α3 = (3, 2, 8, −7).
x1 − x2 + x4 = 0
c. L = (x1 , x2 , x3 , x4 )
x2 − x3 − x4 = 0
Gi i. a. D th y α1 , α2 , α3 ĐLTT nên α1 , α2 , α3 là cơ s c a L. Đ tìm cơ s tr c giao
c a L ta ch c n tr c giao hóa h véctơ α1 , α2 , α3 . Ta có:
β1 = α1
α2 , β1 2
β2 = α2 − β1 = (1, 1, 1, 1) − (1, 1, 0, 0) = (0, 0, 1, 1)
β1 , β1 2
α3 , β1 α3 , β2
= α3 − β1 −
β3 β2
β1 , β1 β2 , β2
−1 1 1 1 11
= (0, −1, 0, 1) − (1, 1, 0, 0) − (0, 0, 1, 1) = ( , − , − , )
2 2 2 2 22
Ta có th ch n β3 = (1, −1, −1, 1). V y, cơ s tr c giao c a L là:
β1 = (1, 1, 0, 0), β2 = (0, 0, 1, 1), β3 = (1, −1, −1, 1)
Tr c chu n hóa cơ s tr c giao trên, ta đư c cơ s tr c chu n c a L là:
11 11 1 1 11
e1 = ( √ , √ , 0, 0), e2 = (0, 0, √ , √ ), e3 = ( , − , − , )
2 2 22
22 22
b. Gi i tương t câu a., chi ti t dành cho b n đ c.
c. Đ u tiên, ta tìm m t cơ s c a L. L là không gian nghi m c a h
x1 − x2 + x4 = 0
(1)
x2 − x3 − x4 = 0
do đó cơ s c a L là h nghi m cơ b n c a h (1). H (1) có vô s nghi m ph thu c
2 tham s x3 , x4 . Ta có:
x2 = x3 + x4
x1 = x2 − x4 = x3

1
do đó, h nghi m cơ b n c a h (1) là:

α1 = (1, 1, 1, 0); α2 = (0, 1, 0, 1)

Do đó, cơ s c a L là α1 , α2 . Tr c giao hóa h véctơ α1 , α2 , ta s đư c cơ s tr c giao
c a L.Ta có:
β1 = α1
α2 , β1 1 12 1
β2 = α2 − β1 = (0, 1, 0, 1) − (1, 1, 1, 0) = (− , , − , 1)
β1 , β1 3 33 3

Ta có th ch n β2 = (−1, 2, −1, 3) và cơ s tr c giao c a L là:

β1 = (1, 1, 1, 0), β2 = (−1, 2, −1, 3)

Tr c chu n hóa cơ s tr c giao β1 , β2 ta đư c cơ s tr c chu n c a L là:
111 1 2 1 3
e1 = ( √ , √ , √ , 0), e2 = (− √ , √ , − √ , √ )
333 15 15 15 15


2. Ch ng minh các h véctơ sau là h tr c giao trong R4 . Hãy b sung chúng đ đư c m t cơ
s tr c giao c a R4
a. α1 = (1, 1, 1, 1), α2 = (1, 0, −1, 0)
b. α1 = (0, 0, 1, 1), α2 = (1, 1, 1 − 1)
Gi i. a. Vì α1 , α2 = 0 nên α1 ⊥α2 . Đ b sung đư c m t cơ s tr c giao c a R4 , đ u tiên
ta ph i b sung thêm 2 véctơ α3 , α4 c a R4 đ đư c m t cơ s c a R4 , sau đó ta tr c
giao hóa cơ s đó, ta s đư c cơ s tr c giao c a R4 , ch a các véctơ α1 , α2 .
Có nhi u cách ch n các véctơ α3 , α4 đ α1 , α2 , α3 , α4 là cơ s c a R4 (ch n đ đ nh
th c c p 4 tương ng là khác 0). Ví d ta có th ch n α3 = (0, 0, 1, 0), α4 = (0, 0, 0, 1).
Khi đó đ nh th c c p 4 tương ng c a h α1 , α2 , α3 , α4 b ng 1, nên h α1 , α2 , α3 , α4
ĐLTT nên là cơ s c a R4 . Tr c giao hóa h véctơ α1 , α2 , α3 , α4 .
β1 = α1
α2 , β1
β2 = α2 − β1
β1 , β1
= α2 − 0.β1 = α2
α3 , β1 α3 , β2
= α3 − β1 −
β3 β2
β1 , β1 β2 , β2
−1
1 1 11 1
= (0, 0, 1, 0) − (1, 1, 1, 1) − (1, 0, −1, 0) = ( , − , , − )
4 2 4 44 4

Ta có th ch n β3 = (1, −1, 1, −1)

α4 , β1 α4 , β2 α4 , β3
β4 = α4 − β1 − β2 − β3
β1 , β1 β2 , β2 β3 , β3
−1
1 0
= (0, 0, 0, 1) − (1, 1, 1, 1) − (1, 0, −1, 0) − (1, −1, 1, −1)
4 2 4
1 1
= (0, − , 0, )
2 2

Ta có th ch n β4 = (0, −1, 0, 1)

2
V y ta có th b sung thêm 2 véctơ

β3 = (1, −1, 1, −1), β4 = (0, −1, 0, 1)

đ đư c α1 , α2 , β3 , β4 là cơ s tr c giao c a R4 .
b. Gi i tương t câu a., chi ti t xin dành cho b n đ c.

3. Hãy tìm hình chi u tr c giao và kho ng cách c a véctơ x lên không gian con L c a R4 v i:
a. x = (1, −1, 1, 0), L = α1 , α2 , α3 , trong đó

α1 = (1, 1, 0, 0), α2 = (1, 1, 1, 1), α3 = (0, −1, 0, 1)

x1 − x2 + x4 = 0
b. x = (1, 0, 1, 2), L = (x1 , x2 , x3 , x4 )
x2 − x3 + x4 = 0
Gi i. a. Cách 1. Đ u tiên ta m t tìm cơ s tr c chu n c a L. Theo bài 1, cơ s tr c
chu n c a L là
11 11 1 111
e1 = ( √ , √ , 0, 0), e2 = (0, 0, √ , √ ), e3 = ( , − , , )
2 222
22 22
Do đó, hình chi u tr c giao x c a x lên L là

x = x, e1 e1 + x, e2 e2 + x, e3 e3
1 1
= 0.e1 + √ e2 + e3
2
2
1 113
= ( ,− , , )
4 444
Kho ng cách t véctơ x đ n L là đ dài c a véctơ x − x = ( 4 , − 3 , 3 , − 4 ) do đó,
3 3
44
36 9
d(x, L) = x − x = 16 = 4 .
Cách 2. D th y m t cơ s c a L là α1 , α2 , α3 và
α1 , α1 = 2, α2 , α1 = 2, α3 , α1 = −1
x, α1 = 0, α2 , α2 = 4, α3 , α2 = 0,
x, α2 = 1, α3 , α3 = 2, x, α3 = 1

Do đó, hình chi u x c a x có d ng

x = x1 α1 + x2 α2 + x3 α3

trong đó x1 , x2 , x3 là nghi m c a h

 2x1 + 2x2 − x3 = 0
2x1 + 4x2 + 0x3 = 1
−x1 + 0x2 + 2x3 = 1


Gi i h , ta có nghi m x1 = 0, x2 = 4 , x3 = 1 , do đó
1
2

1 1 1 113
x = 0α1 + α2 + α3 = ( , − , , )
4 2 4 444
9
và d(x, L) = x − x = 4.

3
b. Cách 1. Tìm m t cơ s tr c chu n c a L, theo bài 1c., đó là cơ s :
111 1 2 1 3
e1 = ( √ , √ , √ , 0), e2 = (− √ , √ , − √ , √ )
333 15 15 15 15

Do đó, hình chi u tr c giao x c a x lên L là:
2 4
x, e1 .e1 + x, e2 .e2 = √ e1 + √ e2
x =
3 15
6 18 6 12 2624
= ( , , , )=( , , , )
15 15 15 15 5555
và kho ng cách t x đ n L là:

3 636 90 18
d(x, L) = x − x = ( ,− , , ) = =
5 555 25 5

Cách 2. Đ u tiên ta tìm m t cơ s c a L. M t cơ s c a L là h nghi m cơ b n c a
h:
x1 − x2 + x4 = 0
x2 − x3 + x4 = 0
theo bài 1c., cơ s đó là

α1 = (1, 1, 1, 0), α2 = (0, 1, 0, 1)

Ta có

α1 , α1 = 3, α2 , α1 = 1, x, α1 = 2, α2 , α2 = 2, x, α2 = 2

Hình chi u tr c giao x c a x lên L là véctơ x = x1 α1 + x2 α2 , trong đó, x1 , x2 là
nghi m c a h
3x1 + x2 = 2
x1 + 2x2 = 2
do đó, x1 = 5 , x2 = 4 .
2
5
Vy
2 4 2624
x = α1 + α2 = ( , , , )
5 5 5555
18
và d(x, L) = ||x − x || = .
5


4. Cho L là không gian véctơ con c a không gian Euclide E và xo ∈ E . Ta g i t p

P := L + xo = {x + xo |x ∈ L}

là m t đa t p tuy n tính c a E . Kho ng cách t m t véctơ α ∈ E đ n đa t p P , ký hi u
d(α, P ) xác đ nh b i:
d(α, P ) = min{ α − u : u ∈ P }
Ch ng minh r ng kho ng cách d(α, P ) b ng đ dài đư ng tr c giao h t véctơ α − xo đ n
L (t c là d(α, P ) = d(α − xo , L).


4
Gi i. Gi s hình chi u tr c giao c a α − xo lên L là β , t c là α − xo = β + γ , trong đó,
β ∈ L, γ ⊥L. Khi đó
d(α − xo , L) = γ
v i m i véctơ u = xo + y ∈ P (t c là y ∈ L), ta có

α−u α − u, α − u = α − xo − y, α − xo − y
=
β−y 2+ γ 2 ≥ γ
β − y + γ, β − y + γ =
=
( β − y, γ = 0 vì γ ⊥β − y ∈ L)

do đó min α − u = γ , d u b ng x y ra khi
2
β−y = 0 ⇐⇒ β = y = u − xo
⇐⇒ u = xo + β

Vy
d(α, P ) = min{ α − u } = d(α − xo , L)
d u b ng x y ra khi và ch khi u = xo + β , trong đó β là hình chi u tr c giao c a α − xo
lên L.
5. Tìm kho ng cách t véctơ α = (2, 1, 4, 4) đ n đa t p P xác đ nh b i h phương trình tuy n
tính:
x1 − x2 + x4 = 3
(1)
x2 − x3 + x4 = 3
Gi i. Đ u tiên ta ph i vi t đa t p P dư i d ng

(P ) = L + xo = {x + xo | x ∈ L}

trong đó, L là không gian véctơ con c a R4 . Vì t p nghi m c a h phương trình (1) chính
b ng t p nghi m h phương trình tuy n tính thu n nh t tương ng c a h (1) c ng v i
nghi m riêng c a h (1), do đó, L chính là không gian con các nghi m c a h thu n nh t
tương ng h (1)
x1 − x2 + x4 = 0
(L)
x2 − x3 + x4 = 0
còn xo là nghi m riêng b t kỳ c a h (1). Ta có xo = (1, 2, 3, 4) là nghi m c a h (1)
Theo bài t p 4. d(α, P ) = d(α − xo , L). V y ta c n tìm kho ng cách t véctơ α − xo =
(1, −1, 1, 0) đ n không gian con L các nghi m c a h

x1 − x2 + x4 = 0
x2 − x3 + x4 = 0
9
theo bài 3., d(α − xo , L) = 4
9
V y, d(α, P ) = 4
6. Cho L là KGVT con c a không gian Euclide E . Ký hi u:

L⊥ = {x ∈ E | x⊥L}

Ch ng minh
a. L⊥ là KGVT con c a E . L⊥ g i là ph n bù tr c giao c a L.

5

b. (L⊥ ) = L
c. L + L⊥ = E, L⊥ ∩ L = {0}
d. dim L⊥ + dim L = dim E
Gi i. a. Ki m tra tr c ti p d a vào tiêu chu n không gian véctơ con.

b. Gi s α ∈ L, khi đó ∀β ∈ L⊥ , ta có β ⊥L, do đó β ⊥α. V y α⊥L⊥ nên α ∈ (L⊥ ) .

Ngư c l i, gi s α ∈ (L⊥ ) , khi đó α⊥L⊥ . Hình chi u tr c giao c a α lên L là α , ta

α = α + β, β ⊥L, α ∈ L
vì β ∈ L⊥ nên β ⊥α, β ⊥α , do đó

0 = α, β = α + β, β = α , β + β , β = β , β

t đó β , β = 0 nên β = 0 và α = α ∈ L.
c. V i m i α ∈ L, g i α là hình chi u c a α lên L, ta có:

α ∈ L, β ⊥L
α = α + β,

t c là β ∈ L⊥ nên α ∈ L + L⊥ . V y L + L⊥ = E .
N u α ∈ L⊥ ∩ L thì α ∈ L⊥ nên α⊥L, do đó α⊥α t c là α, α = 0. V y, α = 0 nghĩa
là L⊥ ∩ L = {0}.
d. dim L⊥ + dim L = dim(L⊥ + L) − dim(L⊥ ∩ L) = dim E − dim{0} = dim E

7. Tìm cơ s tr c giao, cơ s tr c chu n c a không gian con L⊥ c a R4 , bi t L là các không
gian con dư i đây:
a. L = α1 , α2 v i α1 = (1, 0, −1, 2), α2 = (−1, 1, 0, −1)
b. L là không gian con các nghi m c a h

x1 − x2 + x3 − x4 = 0

2x1 + x2 − x3 + x4 = 0 (1)
x1 + 2x2 − 2x3 + 2x4 = 0



Gi i. Đ tìm cơ s tr c giao, cơ s tr c chu n c a L⊥ , ta tìm m t cơ s c a L⊥ . Sau đó,
s tr c giao hóa, tr c chu n hóa như trong bài t p 1.
a. Véctơ
x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ L⊥ ⇐⇒ x⊥L
⇐⇒ x⊥α1 và x⊥α2
x, α1 = 0
⇐⇒
x, α2 = 0
x1 − x3 + 2x4 = 0
⇐⇒ (2)
−x1 + x2 − x4 = 0
V y, L⊥ chính là không gian nghi m c a h phương trình tuy n tính trên, do đó h
nghi m cơ b n c a h phương trình tuy n tính (2) chính là m t cơ s c a L⊥ . Vi c
tìm cơ s tr c giao, tr c chu n c a L⊥ bây gi đư c ti n hành gi ng như trong bài
t p 1c. Các tính toán chi ti t xin dành cho b n đ c.


6
b. Véctơ
x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ L ⇐⇒ (x1 , x2 , x3 , x4 ) là nghi m c a h (1)

 x, β1 = 0
⇐⇒ x, β2 = 0
x, β3 = 0


trong đó β1 = (1, −1, 1, −1), β2 = (2, 1, −1, 1), β3 = (1, 2, −2, 2))

⇐⇒ x⊥β1 , x⊥β2 , x⊥β3
⇐⇒ x⊥ β1 , β2 , β3

Như v y x ∈ L ⇔ x⊥U = β1 , β2 , β3 , ⇔ x ∈ U ⊥ t c là L = U ⊥ , do đó L⊥ = U . V y,
L⊥ = β1 , β2 , β3 . T đó, m t h con ĐLTT t i đ i c a h β1 , β2 , β3 là cơ s c a L⊥ .
D th y β1 , β2 là cơ s c a L⊥ . Vi c tr c giao hóa, tr c chu n hóa h véctơ β1 , β2 đ
đư c cơ s tr c giao, cơ s tr c chu n c a L⊥ khá đơn gi n (ti n hành như bài t p
1a). Chi ti t xin đư c dành cho b n đ c.


8. Cho L1 , L2 là các không gian con c a KGVT Euclide E v i dim L1 < dim L2 . Ch ng minh
t n t i véctơ α = 0, α ∈ L2 và α tr c giao v i L1
Gi i. Ta có

dim L1 + dim L⊥ = dim L2 + dim L⊥ = dim E (Bài t p 6)
1 2

Do dim L1 < dim L2 nên dim L⊥ > dim L⊥
1 2
M t khác
dim(L2 ∩ L⊥ ) = dim L2 + dim L⊥ − dim(L2 + L⊥ )
1 1 1
> dim L2 + dim L⊥ − dim(L2 + L⊥ )
2 1
= dim E − dim(L2 + L⊥ ) ≥ 0
1

V y dim(L2 ∩ L⊥ ) > 0 do đó L2 ∩ L⊥ = {0}, nên t n t i véctơ α ∈ L2 ∩ L⊥ , α = 0. Rõ
1 1 1
ràng α ∈ L2 và α⊥L1
9. Ch ng minh r ng m i h véctơ tr c giao không ch a véctơ không đ u đ c l p tuy n tính.
Gi i. Gi s α1 , . . . , αm là h tr c giao, không ch a véctơ không (αi = 0) c a không gian
m
j =1 aj αj = 0. Khi đó, v i m i i, ta có:
véctơ Euclide và gi s
m m
0 = αi , 0 = αi , aj αj = aj αi , αj = ai αi , αi
j =1 j =1


do đó ai αi , αi = 0 v i m i i, vì αi , αi = 0 nên ai = 0, ∀i. V y, h α1 , . . . , αm là h
ĐLTT.
10. Ch ng minh r ng: Trong không gian Euclide, ma tr n đ i cơ s gi a 2 cơ s tr c chu n là
ma tr n tr c giao.
Gi i. Gi s α1 , . . . , αn (α) và β1 , . . . , βn (β ) là cơ s tr c chu n c a không gian Euclide
E và gi s :
n
βj = aij αi v i m i j = 1, 2, . . . , n
i=1




7
n
αj = bij βi v i m i j = 1, 2, . . . , n
i=1

G i T là ma tr n đ i cơ s t (α) sang (β ) thì:
   
a11 a12 . . . a1n b11 b12 . . . b 1n
 a21 a22 . . . a2n   b21 b22 . . . b 2n 

−1
T= . .  và T =  .
  
. .. . .
..
. . . . . . . .
. . . . . .
an1 an2 . . . ann bn1 bn2 . . . bnn

Ta có n n
αk , βl = αk , ail αi = ail αk , αi = akl
i=1 i=1

M t khác
n n
αk , βl = bik βi , βl = bik βi , βl = blk
i=1 i=1
−1
t
V y blk = akl v i m i k, l, t c là T = T , do đó, T là ma tr n tr c giao.
11. Cho E là KGVT Euclide. Ch ng minh r ng phép bi n đ i tuy n tính c a E , f : E → E là
phép bi n đ i tr c giao khi và ch khi f là b o toàn đ dài c a m t véctơ ( f (α) = α )
v im iα∈E
Gi i. N u f là phép bi n đ i tr c giao thì

∀α ∈ E, f (α), f (α) = α, α

do đó f (α) = α . Đ ch ng minh chi u ngư c l i, ta có nh n xét: ∀α, β ∈ E ,

α + β, α + β = α, α + β , β + 2 α, β

do đó
1 2 2
− β 2 ) (∗)
−α
α, β = ( α + β
2
Bây gi gi s f b o toàn đ dài c a véctơ, khi đó, do công th c (∗), ta có
1
( f (α) + f (β ) 2 − f (α) 2 − f (β ) 2 )
f (α), f (β ) =
2
1
( α + β 2 − α 2 − β 2 ) = α, β
=
2
V y, f là phép bi n đ i tr c giao.
1




1
Đánh máy: LÂM H U PHƯ C, Ngày: 27/02/2006


8
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản