Bài tập về không gian vecto Euclide

Chia sẻ: Xuan Khuong | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

1
1.464
lượt xem
219
download

Bài tập về không gian vecto Euclide

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đại số cơ bản - Ôn thi thạc sỹ toán học - Bài tập về không gian vecto Euclide

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài tập về không gian vecto Euclide

  1. Đ I S CƠ B N (ÔN THI TH C SĨ TOÁN H C) Bài 19. Bài t p v không gian véctơ Euclide PGS TS M Vinh Quang Ngày 10 tháng 3 năm 2006 1. Tìm m t cơ s tr c giao, cơ s tr c chu n c a không gian véctơ con L c a R4 trong các trư ng h p sau: a. L = α1 , α2 , α3 v i α1 = (1, 1, 0, 0), α2 = (1, 1, 1, 1), α3 = (0, −1, 0, 1) b. L = α1 , α2 , α3 v i α1 = (1, 2, 2, −1), α2 = (1, 1, −5, 3), α3 = (3, 2, 8, −7). x1 − x2 + x4 = 0 c. L = (x1 , x2 , x3 , x4 ) x2 − x3 − x4 = 0 Gi i. a. D th y α1 , α2 , α3 ĐLTT nên α1 , α2 , α3 là cơ s c a L. Đ tìm cơ s tr c giao c a L ta ch c n tr c giao hóa h véctơ α1 , α2 , α3 . Ta có: β1 = α1 α2 , β1 2 β2 = α2 − β1 = (1, 1, 1, 1) − (1, 1, 0, 0) = (0, 0, 1, 1) β1 , β1 2 α3 , β1 α3 , β2 = α3 − β1 − β3 β2 β1 , β1 β2 , β2 −1 1 1 1 11 = (0, −1, 0, 1) − (1, 1, 0, 0) − (0, 0, 1, 1) = ( , − , − , ) 2 2 2 2 22 Ta có th ch n β3 = (1, −1, −1, 1). V y, cơ s tr c giao c a L là: β1 = (1, 1, 0, 0), β2 = (0, 0, 1, 1), β3 = (1, −1, −1, 1) Tr c chu n hóa cơ s tr c giao trên, ta đư c cơ s tr c chu n c a L là: 11 11 1 1 11 e1 = ( √ , √ , 0, 0), e2 = (0, 0, √ , √ ), e3 = ( , − , − , ) 2 2 22 22 22 b. Gi i tương t câu a., chi ti t dành cho b n đ c. c. Đ u tiên, ta tìm m t cơ s c a L. L là không gian nghi m c a h x1 − x2 + x4 = 0 (1) x2 − x3 − x4 = 0 do đó cơ s c a L là h nghi m cơ b n c a h (1). H (1) có vô s nghi m ph thu c 2 tham s x3 , x4 . Ta có: x2 = x3 + x4 x1 = x2 − x4 = x3 1
  2. do đó, h nghi m cơ b n c a h (1) là: α1 = (1, 1, 1, 0); α2 = (0, 1, 0, 1) Do đó, cơ s c a L là α1 , α2 . Tr c giao hóa h véctơ α1 , α2 , ta s đư c cơ s tr c giao c a L.Ta có: β1 = α1 α2 , β1 1 12 1 β2 = α2 − β1 = (0, 1, 0, 1) − (1, 1, 1, 0) = (− , , − , 1) β1 , β1 3 33 3 Ta có th ch n β2 = (−1, 2, −1, 3) và cơ s tr c giao c a L là: β1 = (1, 1, 1, 0), β2 = (−1, 2, −1, 3) Tr c chu n hóa cơ s tr c giao β1 , β2 ta đư c cơ s tr c chu n c a L là: 111 1 2 1 3 e1 = ( √ , √ , √ , 0), e2 = (− √ , √ , − √ , √ ) 333 15 15 15 15 2. Ch ng minh các h véctơ sau là h tr c giao trong R4 . Hãy b sung chúng đ đư c m t cơ s tr c giao c a R4 a. α1 = (1, 1, 1, 1), α2 = (1, 0, −1, 0) b. α1 = (0, 0, 1, 1), α2 = (1, 1, 1 − 1) Gi i. a. Vì α1 , α2 = 0 nên α1 ⊥α2 . Đ b sung đư c m t cơ s tr c giao c a R4 , đ u tiên ta ph i b sung thêm 2 véctơ α3 , α4 c a R4 đ đư c m t cơ s c a R4 , sau đó ta tr c giao hóa cơ s đó, ta s đư c cơ s tr c giao c a R4 , ch a các véctơ α1 , α2 . Có nhi u cách ch n các véctơ α3 , α4 đ α1 , α2 , α3 , α4 là cơ s c a R4 (ch n đ đ nh th c c p 4 tương ng là khác 0). Ví d ta có th ch n α3 = (0, 0, 1, 0), α4 = (0, 0, 0, 1). Khi đó đ nh th c c p 4 tương ng c a h α1 , α2 , α3 , α4 b ng 1, nên h α1 , α2 , α3 , α4 ĐLTT nên là cơ s c a R4 . Tr c giao hóa h véctơ α1 , α2 , α3 , α4 . β1 = α1 α2 , β1 β2 = α2 − β1 β1 , β1 = α2 − 0.β1 = α2 α3 , β1 α3 , β2 = α3 − β1 − β3 β2 β1 , β1 β2 , β2 −1 1 1 11 1 = (0, 0, 1, 0) − (1, 1, 1, 1) − (1, 0, −1, 0) = ( , − , , − ) 4 2 4 44 4 Ta có th ch n β3 = (1, −1, 1, −1) α4 , β1 α4 , β2 α4 , β3 β4 = α4 − β1 − β2 − β3 β1 , β1 β2 , β2 β3 , β3 −1 1 0 = (0, 0, 0, 1) − (1, 1, 1, 1) − (1, 0, −1, 0) − (1, −1, 1, −1) 4 2 4 1 1 = (0, − , 0, ) 2 2 Ta có th ch n β4 = (0, −1, 0, 1) 2
  3. V y ta có th b sung thêm 2 véctơ β3 = (1, −1, 1, −1), β4 = (0, −1, 0, 1) đ đư c α1 , α2 , β3 , β4 là cơ s tr c giao c a R4 . b. Gi i tương t câu a., chi ti t xin dành cho b n đ c. 3. Hãy tìm hình chi u tr c giao và kho ng cách c a véctơ x lên không gian con L c a R4 v i: a. x = (1, −1, 1, 0), L = α1 , α2 , α3 , trong đó α1 = (1, 1, 0, 0), α2 = (1, 1, 1, 1), α3 = (0, −1, 0, 1) x1 − x2 + x4 = 0 b. x = (1, 0, 1, 2), L = (x1 , x2 , x3 , x4 ) x2 − x3 + x4 = 0 Gi i. a. Cách 1. Đ u tiên ta m t tìm cơ s tr c chu n c a L. Theo bài 1, cơ s tr c chu n c a L là 11 11 1 111 e1 = ( √ , √ , 0, 0), e2 = (0, 0, √ , √ ), e3 = ( , − , , ) 2 222 22 22 Do đó, hình chi u tr c giao x c a x lên L là x = x, e1 e1 + x, e2 e2 + x, e3 e3 1 1 = 0.e1 + √ e2 + e3 2 2 1 113 = ( ,− , , ) 4 444 Kho ng cách t véctơ x đ n L là đ dài c a véctơ x − x = ( 4 , − 3 , 3 , − 4 ) do đó, 3 3 44 36 9 d(x, L) = x − x = 16 = 4 . Cách 2. D th y m t cơ s c a L là α1 , α2 , α3 và α1 , α1 = 2, α2 , α1 = 2, α3 , α1 = −1 x, α1 = 0, α2 , α2 = 4, α3 , α2 = 0, x, α2 = 1, α3 , α3 = 2, x, α3 = 1 Do đó, hình chi u x c a x có d ng x = x1 α1 + x2 α2 + x3 α3 trong đó x1 , x2 , x3 là nghi m c a h   2x1 + 2x2 − x3 = 0 2x1 + 4x2 + 0x3 = 1 −x1 + 0x2 + 2x3 = 1  Gi i h , ta có nghi m x1 = 0, x2 = 4 , x3 = 1 , do đó 1 2 1 1 1 113 x = 0α1 + α2 + α3 = ( , − , , ) 4 2 4 444 9 và d(x, L) = x − x = 4. 3
  4. b. Cách 1. Tìm m t cơ s tr c chu n c a L, theo bài 1c., đó là cơ s : 111 1 2 1 3 e1 = ( √ , √ , √ , 0), e2 = (− √ , √ , − √ , √ ) 333 15 15 15 15 Do đó, hình chi u tr c giao x c a x lên L là: 2 4 x, e1 .e1 + x, e2 .e2 = √ e1 + √ e2 x = 3 15 6 18 6 12 2624 = ( , , , )=( , , , ) 15 15 15 15 5555 và kho ng cách t x đ n L là: 3 636 90 18 d(x, L) = x − x = ( ,− , , ) = = 5 555 25 5 Cách 2. Đ u tiên ta tìm m t cơ s c a L. M t cơ s c a L là h nghi m cơ b n c a h: x1 − x2 + x4 = 0 x2 − x3 + x4 = 0 theo bài 1c., cơ s đó là α1 = (1, 1, 1, 0), α2 = (0, 1, 0, 1) Ta có α1 , α1 = 3, α2 , α1 = 1, x, α1 = 2, α2 , α2 = 2, x, α2 = 2 Hình chi u tr c giao x c a x lên L là véctơ x = x1 α1 + x2 α2 , trong đó, x1 , x2 là nghi m c a h 3x1 + x2 = 2 x1 + 2x2 = 2 do đó, x1 = 5 , x2 = 4 . 2 5 Vy 2 4 2624 x = α1 + α2 = ( , , , ) 5 5 5555 18 và d(x, L) = ||x − x || = . 5 4. Cho L là không gian véctơ con c a không gian Euclide E và xo ∈ E . Ta g i t p P := L + xo = {x + xo |x ∈ L} là m t đa t p tuy n tính c a E . Kho ng cách t m t véctơ α ∈ E đ n đa t p P , ký hi u d(α, P ) xác đ nh b i: d(α, P ) = min{ α − u : u ∈ P } Ch ng minh r ng kho ng cách d(α, P ) b ng đ dài đư ng tr c giao h t véctơ α − xo đ n L (t c là d(α, P ) = d(α − xo , L). 4
  5. Gi i. Gi s hình chi u tr c giao c a α − xo lên L là β , t c là α − xo = β + γ , trong đó, β ∈ L, γ ⊥L. Khi đó d(α − xo , L) = γ v i m i véctơ u = xo + y ∈ P (t c là y ∈ L), ta có α−u α − u, α − u = α − xo − y, α − xo − y = β−y 2+ γ 2 ≥ γ β − y + γ, β − y + γ = = ( β − y, γ = 0 vì γ ⊥β − y ∈ L) do đó min α − u = γ , d u b ng x y ra khi 2 β−y = 0 ⇐⇒ β = y = u − xo ⇐⇒ u = xo + β Vy d(α, P ) = min{ α − u } = d(α − xo , L) d u b ng x y ra khi và ch khi u = xo + β , trong đó β là hình chi u tr c giao c a α − xo lên L. 5. Tìm kho ng cách t véctơ α = (2, 1, 4, 4) đ n đa t p P xác đ nh b i h phương trình tuy n tính: x1 − x2 + x4 = 3 (1) x2 − x3 + x4 = 3 Gi i. Đ u tiên ta ph i vi t đa t p P dư i d ng (P ) = L + xo = {x + xo | x ∈ L} trong đó, L là không gian véctơ con c a R4 . Vì t p nghi m c a h phương trình (1) chính b ng t p nghi m h phương trình tuy n tính thu n nh t tương ng c a h (1) c ng v i nghi m riêng c a h (1), do đó, L chính là không gian con các nghi m c a h thu n nh t tương ng h (1) x1 − x2 + x4 = 0 (L) x2 − x3 + x4 = 0 còn xo là nghi m riêng b t kỳ c a h (1). Ta có xo = (1, 2, 3, 4) là nghi m c a h (1) Theo bài t p 4. d(α, P ) = d(α − xo , L). V y ta c n tìm kho ng cách t véctơ α − xo = (1, −1, 1, 0) đ n không gian con L các nghi m c a h x1 − x2 + x4 = 0 x2 − x3 + x4 = 0 9 theo bài 3., d(α − xo , L) = 4 9 V y, d(α, P ) = 4 6. Cho L là KGVT con c a không gian Euclide E . Ký hi u: L⊥ = {x ∈ E | x⊥L} Ch ng minh a. L⊥ là KGVT con c a E . L⊥ g i là ph n bù tr c giao c a L. 5
  6. ⊥ b. (L⊥ ) = L c. L + L⊥ = E, L⊥ ∩ L = {0} d. dim L⊥ + dim L = dim E Gi i. a. Ki m tra tr c ti p d a vào tiêu chu n không gian véctơ con. ⊥ b. Gi s α ∈ L, khi đó ∀β ∈ L⊥ , ta có β ⊥L, do đó β ⊥α. V y α⊥L⊥ nên α ∈ (L⊥ ) . ⊥ Ngư c l i, gi s α ∈ (L⊥ ) , khi đó α⊥L⊥ . Hình chi u tr c giao c a α lên L là α , ta có α = α + β, β ⊥L, α ∈ L vì β ∈ L⊥ nên β ⊥α, β ⊥α , do đó 0 = α, β = α + β, β = α , β + β , β = β , β t đó β , β = 0 nên β = 0 và α = α ∈ L. c. V i m i α ∈ L, g i α là hình chi u c a α lên L, ta có: α ∈ L, β ⊥L α = α + β, t c là β ∈ L⊥ nên α ∈ L + L⊥ . V y L + L⊥ = E . N u α ∈ L⊥ ∩ L thì α ∈ L⊥ nên α⊥L, do đó α⊥α t c là α, α = 0. V y, α = 0 nghĩa là L⊥ ∩ L = {0}. d. dim L⊥ + dim L = dim(L⊥ + L) − dim(L⊥ ∩ L) = dim E − dim{0} = dim E 7. Tìm cơ s tr c giao, cơ s tr c chu n c a không gian con L⊥ c a R4 , bi t L là các không gian con dư i đây: a. L = α1 , α2 v i α1 = (1, 0, −1, 2), α2 = (−1, 1, 0, −1) b. L là không gian con các nghi m c a h  x1 − x2 + x3 − x4 = 0  2x1 + x2 − x3 + x4 = 0 (1) x1 + 2x2 − 2x3 + 2x4 = 0  Gi i. Đ tìm cơ s tr c giao, cơ s tr c chu n c a L⊥ , ta tìm m t cơ s c a L⊥ . Sau đó, s tr c giao hóa, tr c chu n hóa như trong bài t p 1. a. Véctơ x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ L⊥ ⇐⇒ x⊥L ⇐⇒ x⊥α1 và x⊥α2 x, α1 = 0 ⇐⇒ x, α2 = 0 x1 − x3 + 2x4 = 0 ⇐⇒ (2) −x1 + x2 − x4 = 0 V y, L⊥ chính là không gian nghi m c a h phương trình tuy n tính trên, do đó h nghi m cơ b n c a h phương trình tuy n tính (2) chính là m t cơ s c a L⊥ . Vi c tìm cơ s tr c giao, tr c chu n c a L⊥ bây gi đư c ti n hành gi ng như trong bài t p 1c. Các tính toán chi ti t xin dành cho b n đ c. 6
  7. b. Véctơ x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ L ⇐⇒ (x1 , x2 , x3 , x4 ) là nghi m c a h (1)   x, β1 = 0 ⇐⇒ x, β2 = 0 x, β3 = 0  trong đó β1 = (1, −1, 1, −1), β2 = (2, 1, −1, 1), β3 = (1, 2, −2, 2)) ⇐⇒ x⊥β1 , x⊥β2 , x⊥β3 ⇐⇒ x⊥ β1 , β2 , β3 Như v y x ∈ L ⇔ x⊥U = β1 , β2 , β3 , ⇔ x ∈ U ⊥ t c là L = U ⊥ , do đó L⊥ = U . V y, L⊥ = β1 , β2 , β3 . T đó, m t h con ĐLTT t i đ i c a h β1 , β2 , β3 là cơ s c a L⊥ . D th y β1 , β2 là cơ s c a L⊥ . Vi c tr c giao hóa, tr c chu n hóa h véctơ β1 , β2 đ đư c cơ s tr c giao, cơ s tr c chu n c a L⊥ khá đơn gi n (ti n hành như bài t p 1a). Chi ti t xin đư c dành cho b n đ c. 8. Cho L1 , L2 là các không gian con c a KGVT Euclide E v i dim L1 < dim L2 . Ch ng minh t n t i véctơ α = 0, α ∈ L2 và α tr c giao v i L1 Gi i. Ta có dim L1 + dim L⊥ = dim L2 + dim L⊥ = dim E (Bài t p 6) 1 2 Do dim L1 < dim L2 nên dim L⊥ > dim L⊥ 1 2 M t khác dim(L2 ∩ L⊥ ) = dim L2 + dim L⊥ − dim(L2 + L⊥ ) 1 1 1 > dim L2 + dim L⊥ − dim(L2 + L⊥ ) 2 1 = dim E − dim(L2 + L⊥ ) ≥ 0 1 V y dim(L2 ∩ L⊥ ) > 0 do đó L2 ∩ L⊥ = {0}, nên t n t i véctơ α ∈ L2 ∩ L⊥ , α = 0. Rõ 1 1 1 ràng α ∈ L2 và α⊥L1 9. Ch ng minh r ng m i h véctơ tr c giao không ch a véctơ không đ u đ c l p tuy n tính. Gi i. Gi s α1 , . . . , αm là h tr c giao, không ch a véctơ không (αi = 0) c a không gian m j =1 aj αj = 0. Khi đó, v i m i i, ta có: véctơ Euclide và gi s m m 0 = αi , 0 = αi , aj αj = aj αi , αj = ai αi , αi j =1 j =1 do đó ai αi , αi = 0 v i m i i, vì αi , αi = 0 nên ai = 0, ∀i. V y, h α1 , . . . , αm là h ĐLTT. 10. Ch ng minh r ng: Trong không gian Euclide, ma tr n đ i cơ s gi a 2 cơ s tr c chu n là ma tr n tr c giao. Gi i. Gi s α1 , . . . , αn (α) và β1 , . . . , βn (β ) là cơ s tr c chu n c a không gian Euclide E và gi s : n βj = aij αi v i m i j = 1, 2, . . . , n i=1 7
  8. n αj = bij βi v i m i j = 1, 2, . . . , n i=1 G i T là ma tr n đ i cơ s t (α) sang (β ) thì:     a11 a12 . . . a1n b11 b12 . . . b 1n  a21 a22 . . . a2n   b21 b22 . . . b 2n   −1 T= . .  và T =  .    . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . an1 an2 . . . ann bn1 bn2 . . . bnn Ta có n n αk , βl = αk , ail αi = ail αk , αi = akl i=1 i=1 M t khác n n αk , βl = bik βi , βl = bik βi , βl = blk i=1 i=1 −1 t V y blk = akl v i m i k, l, t c là T = T , do đó, T là ma tr n tr c giao. 11. Cho E là KGVT Euclide. Ch ng minh r ng phép bi n đ i tuy n tính c a E , f : E → E là phép bi n đ i tr c giao khi và ch khi f là b o toàn đ dài c a m t véctơ ( f (α) = α ) v im iα∈E Gi i. N u f là phép bi n đ i tr c giao thì ∀α ∈ E, f (α), f (α) = α, α do đó f (α) = α . Đ ch ng minh chi u ngư c l i, ta có nh n xét: ∀α, β ∈ E , α + β, α + β = α, α + β , β + 2 α, β do đó 1 2 2 − β 2 ) (∗) −α α, β = ( α + β 2 Bây gi gi s f b o toàn đ dài c a véctơ, khi đó, do công th c (∗), ta có 1 ( f (α) + f (β ) 2 − f (α) 2 − f (β ) 2 ) f (α), f (β ) = 2 1 ( α + β 2 − α 2 − β 2 ) = α, β = 2 V y, f là phép bi n đ i tr c giao. 1 1 Đánh máy: LÂM H U PHƯ C, Ngày: 27/02/2006 8
Đồng bộ tài khoản