Bài tiểu luận toán cao cấp C2

Chia sẻ: 07021988

Bài tiểu luận tham khảo về toán cao cấp C2, gồm đầy đủ kiến thức của các chương: Đạo hàm và vi phân; Cực trị... tài liệu gồm lý thuyết, bài tập và bài giải. Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số."

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Bài tiểu luận toán cao cấp C2

Bài tiểu
luận toán
cao cấp C2
MỤC LỤC
CHƯƠNG I : ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN ............................................................................... 6
A.LÝ THUYẾT: .................................................................................................................. 6
X: tập xác định ..................................................................................................................... 6
Xét f  x0 , y0  ........................................................................................................................ 6
z f
  Z x  f (x) là giới hạn lim f ( x  x, y )  f ( x, y ) ............................................... 6
x x x  0

Cho hàm số z = f(x,y) thì ....................................................................................................... 6
n
n  
Tổng quát: d z     f ........................................................................................... 6
 x y 
 
B. BÀI TẬP:......................................................................................................................... 6
Câu 1: Cho hàm số z  f ( x , y )  e 2 x 3 y Tính z xn )  ? ............................................................. 6
(
n


Giải: ...................................................................................................................................... 6
z x  (2 x  3 y )/ x e 2 x 3 y  2e2 x 3 y
/


Ta có: z xx  2(2 x  3 y ) / x e 2 x 3 y  4e 2 x 3 y ............................................................................ 6
//


z xxx  4(2 x  3 y )/ x e 2 x 3 y  8e2 x 3 y
/ //


Câu 2: Cho hàm số z  f ( x, y )  xe y Tính z y4 x  ? ................................................................ 7
4


Giải: ..................................................................................................................................... 7
z /y  ( xe y ) / y  xe y
z /yy  ( xe y )/ y  xe y
/

Ta có: ............................................................................................... 7
z /yyy  ( xe y ) / y  xe y
//


 z y 4 x  ( xe y )/ x  e y
4


Câu 3 : Cho hàm số z  f ( x , y )  e y ln x Tính z (4) 2  ? ......................................................... 7
yxy

Giải: ..................................................................................................................................... 7
z /y  (e y ln x) / y  e y ln x
ey
z /yx  (e y ln x) / x 
/

x
/
Ta có: / //  ey  ey .......................................................................................... 7
z yxy   
 xy x
/
(4) ey  ey
z   
yxy 2
 xy x
Giải: ..................................................................................................................................... 7
/
z x   e xy   ye xy
/
x
/
Ta có: z xx   ye xy   y 2 e xy .............................................................................................. 7
//
x
5 5 xy
 z x5  y e
Giải: ..................................................................................................................................... 7
/
z x   sin  xy   x  ycos  xy 
/


/
z xx   ycos  xy   x   y 2 sin  xy 
//


/
Ta có: z xy    y 2 sin  xy    cos  xy   xy sin  xy  ............................................................ 7
//
y
/
z /y   sin  xy   y  xcos  xy 
/
z /yy   xcos  xy   y   x 2 sin  xy 
/


Câu 7: Tìm vi phân cấp một của hàm số: z  2 x  4 y ...................................................... 8
Giải: ..................................................................................................................................... 8
Ta có: dz  Z / x dx  Z / y dy .................................................................................................. 8
Giải: ..................................................................................................................................... 8
Ta có: dz  Z / x dx  Z / y dy .................................................................................................. 8
Câu 9: Tím vi phân cấp một của hàm số: z  arcyg ( y  x). ................................................... 8
Giải: ..................................................................................................................................... 8
Ta có: dz  Z / x dx  Z / y dy .................................................................................................. 9
Giải: ..................................................................................................................................... 9
2 y2
Câu 11: Tính vi phân cấp 2 của hàm: z  sin x  e .......................................................... 9
Giải: ..................................................................................................................................... 9
x2 y
Câu 12: Cho hàm hai biến z  e , tính z / /  ?, z / /  ?, z / /  ? ............................................ 9
xx yy xy

Giải: ...................................................................................................................................... 9
Câu 13: Tìm vi phân cấp hai d 2 z của hàm hai biến z  y ln x ............................................ 10
Giải: .................................................................................................................................... 10
Giải: .................................................................................................................................... 10
Giải: .................................................................................................................................... 10
Câu 16: Tìm vi phân cấp hai của hàm hai biếnn z  x 2 y 3 . .................................................. 11
Giải: .................................................................................................................................... 11
CHƯƠNG II: CỰC TRỊ................................................................................................... 11
A. LÝ THUYẾT: ............................................................................................................... 11
Cho hàm số z = f(x,y) xác định trên miền D  R2 ................................................................ 11
Z = f(x,y), D ........................................................................................................................ 11
/ /
Bước 1: z x , z y .................................................................................................................... 12
Bước 2: ............................................................................................................................... 12
// // //
Tính z xx , z xy , z yy .................................................................................................................. 12
Bước 3: ............................................................................................................................... 12
A  z  ( xo , y o )
xx

Đặt B  z   xo , y o  ............................................................................................................. 12
xy

C  z yy  xo , y o 

Cách 2: ............................................................................................................................... 13
Xét   AC  B 2 ................................................................................................................ 13
Nếu   0 hàm f có cực trị ............................................................................................... 13
B. BÀI TẬP:....................................................................................................................... 13
Câu 17: Cho hàm z  x 2  2 x  y 2 Tìm cực trị? ................................................................... 13
Giải: ................................................................................................................................... 13

Giải hệ phương trình: 2 y 0 
2 x  2 0
  x 1
y 0 .................................................................... 13
Câu 18: Cho hàm z  x 4  8 x 2  y 2  5 Tìm cực trị? ............................................................ 13
Giải: .................................................................................................................................... 14
Có 3 điểm dừng M 1 (0;0); M 2 (2; 0); M 3 ( 2; 0) ..................................................................... 14
Vậy M1(0;0) không phải là cực trị của hàm số ..................................................................... 14
Vậy M2(2;0) là điểm cực tiểu của hàm ................................................................................. 14
Vậy M3(-2;0) là điểm cực tiểu của hàm ............................................................................... 14
Câu 19: Cho hàm z  x 2  2 xy  1 Tìm cực trị? ................................................................... 14
Giải: ................................................................................................................................... 14

Giải hệ phương trình: 2 x  0

2 x  2 y 0
  x 0
y  0 .......................................................... 15
Hàm z không có cực trị tại M(0;0) ....................................................................................... 15
Câu 20: Cho hàm z  x 2  xy  y 2 Tìm cực trị? ................................................................... 15
Có 1 điểm dừng M (0;0) ..................................................................................................... 15
Câu 21: Cho hàm z  x 2  y 2  2 x  y  1 Tìm cực trị? ........................................................ 15
Giải: ................................................................................................................................... 15
z / x  ( x 2  y 2  2 x  y  1) / x  2 x  2
Ta có : / ..................................................................... 15
z y  ( x 2  y 2  2 x  y  1) / y  2 y  1
 1
 điểm M  1;   là điểm dừng ...................................................................................... 16
 2
Giải: ................................................................................................................................... 16
Câu 23 : Cho hàm z  2 x 2  6 xy  5 y 2  4 Tìm cực trị? ....................................................... 16
Giải: ................................................................................................................................... 16
Có 1 điểm dừng M  0; 0  .................................................................................................... 16
Câu 24 : Cho hàm z  x 4  y 4  4 x  32 y  8 Tìm cực trị? .................................................. 16
Giải: ................................................................................................................................... 16
Có 1 điểm dừng M (1; 2) ...................................................................................................... 17
Vậy hàm Z không có cực trị tại M (1; 2) ............................................................................... 17
Giải: ................................................................................................................................... 17
Từ (1) =>  = 4 x (1/).......................................................................................................... 17
Giải: ................................................................................................................................... 18
Có 1 điểm dừng M (0;0) .................................................................................................... 18
Vậy hàm Z không có cực trị tại M (0;0) .............................................................................. 18
Giải: ................................................................................................................................... 18
Có 1 điểm dừng M (0; 1) .................................................................................................. 18
Và A  2  0  M (0;0) là điểm cực tiểu của hàm z ............................................................ 19
Giải: ................................................................................................................................... 19
Giải: ................................................................................................................................... 19
Giải ..................................................................................................................................... 19
 
Có 1 điểm dừng M  1;  .................................................................................................. 20
 3
Giải: ................................................................................................................................... 20
Có 2 điểm dừng M 1 1;1 ; M 2 1; 1 ................................................................................... 20
Có 2 điểm dừng M 1 1;1 ; M 2 1; 1 ................................................................................... 21
Giải: ................................................................................................................................... 21
x y20 y  x2
z  ln  x 2  2 x  4 

Đặt z /  2x  2 ..................................................... 21
2
x  2x  4
2x  2 x  1
z/  0  2  0, x 2  2 x  4  0  
x  2x  4  y  1
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại điểm M 1; 1 ......................................................................... 21
Câu 33 : Cho hàm z  ln 1  x 2 y với điều kiện x  y  3  0 .............................................. 22
Giải: ................................................................................................................................... 22
Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm M 1  0; 3 và M 2  2; 1 .................................................. 22
Giải: ................................................................................................................................... 22
Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm M 1  3;10  , đạt cực tiểu tại M 2 1; 2  ............................... 23
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................. 24
2. Nguyễn Đình Trí và nhiều tác giả khác ......................................................................... 24
CHƯƠNG I : ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

A.LÝ THUYẾT:
1.1 Đạo hàm riêng:
Định nghĩa:Cho hàm 2 biến f:
X  R2 X  R2
x , y   Z  f  x , y 
X: tập xác định
Xét f  x0 , y0 
f  x0  x, y0   f  x0 , y0 
f / x  lim
x0 x
f  x0 , y0  y   f  x0 , y0 
f /y  lim
y 0 y
1.2 VI PHÂN:
* Định nghĩa:
Cho hàm số z = f (x,y) đạo hàm riêng của hàm số theo biến x, kí hiệu là:
z f
  Z x  f (x) là giới hạn lim f ( x  x, y )  f ( x, y )
x x x  0

* Vi phân hai biến:
Định nghĩa:
Cho hàm số z = f(x,y) thì
dz  z x dx  z /y dy
/


d 2 z  z xx dx 2  2 z xy dxdy  z /yy dy 2
// // /


n
  n
Tổng quát: d z     f
 x y 
 
B. BÀI TẬP:
Câu 1: Cho hàm số z  f ( x , y )  e 2 x 3 y Tính zx( n)  ? n



Giải:
/ / 2 x 3 y 2 x 3 y
z  (2 x  3 y ) x e
x  2e
2 x 3 y
Ta có: //
z  2(2 x  3 y ) x e
xx
/
 4e 2 x  3 y
z xxx  4(2 x  3 y )/ x e 2 x 3 y  8e2 x 3 y
/ //


 z xn )  2 n .e 2 x  3 y
(
n
Câu 2: Cho hàm số z  f ( x, y )  xe y Tính z y4x  ? 4



Giải:
/ y / y
z  ( xe ) y  xe
y

z /yy  ( xe y )/ y  xe y
/

Ta có:
z /yyy  ( xe y ) / y  xe y
//


 z y 4 x  ( xe y )/ x  e y
4



Câu 3 : Cho hàm số z  f ( x , y )  e y ln x Tính z (4)  ?
yxy 2



Giải:
/ y / y
z  (e ln x) y  e ln x
y

ey
z /yx  (e y ln x) / x 
/

x
/
Ta có: / //  ey  ey
z yxy   
 xy x
/
(4)  ey  ey
z yxy 2
  
 xy x
Câu 4: Cho hàm số z  f ( x , y )  e xy Tính zx  ?
5
5



Giải:
xy /
zx   e
/
  ye xy
x
/
Ta có: z xx   ye xy   y 2 e xy
//
x
5 5 xy
 z x5  y e
Câu 5: Cho hàm số z  f ( x, y )  sin  xy  Tính zxn  ?; z yn   ?
 
n n




Giải:
/
z x   sin  xy   x  ycos  xy 
/


/
z xx   ycos  xy   x   y 2 sin  xy 
//


/
Ta có: z xy    y 2 sin  xy    cos  xy   xy sin  xy 
//
y
/
z /y   sin  xy   y  xcos  xy 
/
z /yy   xcos  xy   y   x 2 sin  xy 
/
// // //
Câu 6: Cho hàm số z  f ( x, y )  cos  xy  Tính zxx  ?; z xy  ?; z yy  ?
/
z x   cos  xy   x   y sin  xy 
/


/
z xx    y sin  xy   x   y 2 cos  xy 
//


/
z xxx    y 2 cos  xy    y 3 sin  xy 
/ //
x

 
 z xn   y n cos  xy  n 
n
 2
/
z /y   cos  xy   y   x sin  xy 
 
 z yn   x n cos  xy  n 
n
 2
Câu 7: Tìm vi phân cấp một của hàm số: z  2 x  4 y
Giải:
/ /
Ta có: dz  Z x dx  Z y dy
z = x2 + 4y
z/x = (x2 + 4y )/ = 2x
z/y = (x2 + 4y )/ = 4y.ln4
y
 dz = 2xdx + 4 ln4dy

Câu 8: Tìm vi phân cấp một của hàm số: z  ln x  y  
Giải:
Ta có: dz  Z / x dx  Z / y dy
z = ln  x  y 
1

z/x = ln  x  y  =
/ ( x  y )/
=
2  x y  1
x x y x y 2( x  y )
1
/ ( x  y )/ 2  x  y 1
z/y = ln  x  y  = = 
x x y x y 2( x  y )
1 1 dx  dy
 dz  dx  dy 
2( x  y ) 2( x  y ) 2( x  y )


Câu 9: Tím vi phân cấp một của hàm số: z  arcyg ( y  x).
Giải:
Ta có: dz  Z / x dx  Z / y dy
z = arcyg ( y  x)
1
z/x   arcyg ( y  x)  x  
/

1  ( y  x) 2
1
z/y   arcyg ( y  x)  y 
/

1  ( y  x) 2
 dx dy dy  dx
 dz  2
 2
 2
1  y  x 1  y  x 1  y  x
Câu 10: Tìm vi phân dz của hàm: z  x 2  2 xy  sin( xy )
Giải:
dz  Z / x dx  Z / y dy
Z / x  2 x  2 y  y.cos  xy 
Z / y  2 x  x.cos  xy 
 dz   2  x  y   y.cos  xy   dx   x  2  cos  xy    dy
   
2
2 y
Câu 11: Tính vi phân cấp 2 của hàm: z  sin x  e
Giải:
z  2(sin x).sin x  2cos x sin x  sin 2 x
x
2
z  2 y.e y
y

z  2cos2x
xx

z  0
xy
2 2
z  2.e y  4 y 2 .e y
yy
2
 d 2 z  2 cos 2 xdx 2  2e y (1  2 y 2 )dy 2

x2 y
Câu 12: Cho hàm hai biến z  e , tính zxx  ?, z /yy  ?, z xy  ?
// / //


Giải:
/ / x2 y x2 y
z  ( x  2 y) e
x
e
z xx  ( x  2 y ) / e x  2 y  e x  2 y
//


z ' y  ( x  2 y ) / .e x 2 y  2.e x  y
z '' yy  2.( x  2 y ) / .e x 2 y  4.e x  2 y
z x  ( x  2 y ) / e x2 y  e x2 y
/


z xy  ( x  2 y ) / e x  2 y  2.e x  2 y
//
Câu 13: Tìm vi phân cấp hai d 2 z của hàm hai biến z  y ln x
Giải:
Ta có:
d 2 z  Z / / xx dx 2  2 Z / / xy dxdy  Z / / yy dy 2
y
Z /x 
x
y
Z / / xx  
x2
Z/y  ln x
Z / / yy  0
1
Z / / xy 
x
y 2
 d 2z  2
.dx 2  .dxdy
x x
Câu 14: Tìm vi phân cấp hai d 2 z của hàm hai biến z  x 2  x sin 2 y
Giải:
Ta có:
d 2 z  Z / / xx dx 2  2 Z / / xy dxdy  Z / / yy dy 2
Z / x  2 x  sin 2 y
Z / / xx  2
Z / y  sin 2 y  2 x sin 2 y
Z / / yy  2 xcos2 y
Z / / xy  2 sin y cos y  2 sin 2 y
 d 2 z  2dx 2  2 sin 2 ydxdy  2 xcos2 ydy 2
Câu 15: Tìm vi phân cấp hai d 2 z của hàm hai biến z  x 2  x cos 2 y.
Giải:
d 2 z  Z / / xx dx 2  2 Z / / xy dxdy  Z / / yy dy 2
Z / x  2 x  sin 2 y
Z / / xx  2
Z / y  sin 2 y  2 x sin 2 y
Z / / yy  2 xcos2 y
Z / / xy  2 sin y cos y  2 sin 2 y
 d 2 z  2dx 2  2 sin 2 ydxdy  2 xcos2 ydy 2
Câu 16: Tìm vi phân cấp hai của hàm hai biếnn z  x 2 y 3 .
Giải:
Ta có:
d 2 z  Z / / xx dx 2  2 Z / / xy dxdy  Z / / yy dy 2
//
z / / xx   x 2 y 3   2 y3
xx
//
z / / xy   x 2 y 3   6 xy 2
xy
//
z / / yy   x 2 y 3   6 x2 y
yy

 d 2 z  2 y 3 dx 2  12 xy 2 dxdy  6 x 2 ydy 2



CHƯƠNG II: CỰC TRỊ
A. LÝ THUYẾT:
1.1 CỰC TRỊ TỰ DO:
Cho hàm số z = f(x,y) xác định trên miền D  R2
Điểm P(a,b) được gọi là cực trị địa phương của hàm z =f(x,y) nếu:
giả thiết: f  a; b   f  x, y  ,   x, y   Q ( P) lân cận điểm P
Cực tiểu địa phương f  a; b   f  x, y 
Cực trị = cực đại + cực tiểu
Điểm dừng: P  a; b 
f f
 a; b   0;  a; b   0
x y
Nếu f tồn tại cực trị địa phương thì nó đạt cực trị địa phương tại các điểm dừng
*Phương pháp tìm cực trị tự do:
Z = f(x,y), D
Tìm cực đại:
Bước 1: z x/ , z y
/


/
z x  o

 /  I ( xo , y o )
z y  0

I ( xo , yo ) được gọi là điểm dừng.
Bước 2:
// // //
Tính z xx , z xy , z yy
Bước 3:
A  z  ( xo , y o )
xx

Đặt B  z xy xo , y o 

C  z yy  xo , y o 

Xét   AC  B 2
Nếu  0  (xo,yo) là điểm cực tiểu
Với A 0 Hàm đạt cực tiểu tại điểm M(1,0)

Câu 18: Cho hàm z  x 4  8 x 2  y 2  5 Tìm cực trị?
Giải:
3
z   4 x  16 x
x

z  2 y
y

 x  0

 4 x 3  16 x  0 4 x ( x 2  4)  0  x2
     M 1 (0; 0); M 2 (2; 0); M 3 (2;0)
2 y  0 y  0   x  2

y  0

z   12 x 2  16
xx

  0
z xy
z   2
yy

Có 3 điểm dừng M 1 (0;0); M 2 (2; 0); M 3 (2; 0)
 M 1 (0; 0)
A1  z   12 x 2  16  16
xx

B1  z   0
xy

C1  z   2
yy

1  A1C1  B12  16 * 2  02  32  0
Vậy M1(0;0) không phải là cực trị của hàm số
 M 2 (2; 0)
A2  z   12 x 2  16  32
xx

B2  z   0
xy

C2  z   2
yy

 2  A2 C2  B2 2  32* 2  02  64  0, A2  0
Vậy M2(2;0) là điểm cực tiểu của hàm
 M 3 (2; 0)
A3  z   12 x 2  16  64
xx

B3  z   0
xy

C3  z   2
yy

3  A3C3  B3 2  64 * 2  02  128  0, A3  0
Vậy M3(-2;0) là điểm cực tiểu của hàm

Câu 19: Cho hàm z  x 2  2 xy  1 Tìm cực trị?
Giải:
Ta có :
z / x  ( x 2  2 xy  1) / x  2 x  2 y
z / y  ( x 2  2 xy  1) / y  2 x
2 x  2 y 0
Giải hệ phương trình: 2 x  0
  
x 0
y 0

 điểm M(0,0) là điểm dừng.
z / / xx  (2 x  2 y ) / x  2
z / / xy  (2 x  2 y ) / y  2
z / / yy  (2 x) / y  0
Đặt:
A  z / / xx  2
B  z / / xy  2
C  z / / yy  0
  AC  B 2  2 * 0  (2) 2  4  0
Hàm z không có cực trị tại M(0;0)

Câu 20: Cho hàm z  x 2  xy  y 2 Tìm cực trị?
z  2 x  y
x

z  x  2 y
y

 z  0
 x 2 x  y  0 2 x  y  0 3 y  0 y  0
       M (0;0)
zy  0
 x  2 y  0 2 x  4 y  0 2 x  y  0 x  0
A  z   2
xx

B  z   1
xy

C  z   2
yy

Có 1 điểm dừng M (0;0)
  AC  B 2  2 * 2  12  3  0  M (0; 0) là cực trị
Và A  2  0  M (0;0) là cực tiểu của hàm z

Câu 21: Cho hàm z  x 2  y 2  2 x  y  1 Tìm cực trị?
Giải:
z / x  ( x 2  y 2  2 x  y  1) / x  2 x  2
Ta có :
z / y  ( x 2  y 2  2 x  y  1) / y  2 y  1

Giải hệ phương trình:
2 x  2  0
 2 y 1 0  
x  1
y  
1
 2

 1
 điểm M  1;   là điểm dừng
 2
Đặt:
A  z / / xx  (2 x  2) / x  2
B  z / / xy  (2 x  2) / y  0
C  z / / yy  (2 y  1)/ y  2
  AC  B 2  2 * (2)  02  4  0
1
Hàm z có một điểm dừng M  1;   nhưng không có cực trị.
 
 2
Câu 22: Cho hàm z  x 3  27 x  y 2  2 y  1 Tìm cực trị?
Giải:
z   3 x 2  27
x z   0
x 3x 2  27  0
;     hệ vô nghiệm, không có điểm dừng
z  2 y  2
y  z y  0 2 y  2  0


Câu 23 : Cho hàm z  2 x 2  6 xy  5 y 2  4 Tìm cực trị?
Giải:
z  4 x  6 y
x

z   6 x  10 y
y

 z  0
x 4 x  6 y  0 x  0
    M (0; 0)
 z  0 10 y  6 x  0 y  0
Có 1 điểm dừng M  0; 0 
/
A  z    4 x  6 y  x  4
xx
/
Đặt: B  z   4 x  6 y  y  6
xy

/
C  z    6 x  10 y  y  10
yy

  40  36  4  0; A  4  0  M  0; 0  là điểm cực tiểu


Câu 24 : Cho hàm z  x 4  y 4  4 x  32 y  8 Tìm cực trị?
Giải:
/
z / x   x 4  y 4  4 x  32 y  8  4 x 3  4
x
/
z / y   x 4  y 4  4 x  32 y  8  y  4 y 3  32

 z  0
 x  3
4 x  4  0 x  1
     M (1; 2)
zy  0

3
4 y  32  0
 y  2
Có 1 điểm dừng M (1; 2)
/
A  z    4 x 3  4   12 x 2  12
xx x
/

Đặt : B  zxy   4 x  4  y  0
3

/
C  z    4 y 3  32   12 y 2  48
yy y

   AC  B 2  12 *(48)  02  576  0

Vậy hàm Z không có cực trị tại M (1; 2)

Câu 25: Tìm cực trị của hàm số: Z  2 x 2  y 2  2 y  2 với điều kiện
 ( x, y )   x  y  1  0
Giải:
2 2
L ( x , y ,  )  2 x  y  2   (  x  y  1)
L /x  4 x  
L /y  2 y  2  
4x    0 (1)

2 y  2    0 (2)
 x  y  1  0 (3 )

Từ (1) =>  = 4 x (1/)
(3) => y = x - 1 (2/)
thế (1/), (3/) vaò (2) ta có:
2( x -1) – 2 + 4 x = 0
 2 x - 2 – 2 + 4 x =0
2
 6x - 4 = 0  x
3
1 8
=> y =  ; 
3 3
2 1 8
 M ( ;  ; )
3 3 3
2 2 2
d L  4 dx  0 dxdy  2 dy
d    / xdx   / ydy
  dx  dy  0
 dy  dx
2 1 8
d 2L( ;  ; )  4 dx 2
 2 dx 2
 6 dx 2
 0
3 3 3
2 1
 ( ; là cực tiểu
3 3)

Câu 26 : Cho hàm z  3 x 2  2e y  2 y  3 Tìm cực trị?
Giải:
/
z    3x 2  2e y  2 y  3  6 x
x x
/
z     3 x  2e  2 y  3   2e y  2
y
2 y
y

 z  0
 x 6 x  0 x  0
   y   M (0; 0)
zy  0
  2e  2  0  y  0
Có 1 điểm dừng M (0;0)
/
A  z    6 x  x  6
xx
/
B  z    6 x  y  0
xy

Đặt : /
C  z    2e y  2   2e y  2* e0  2
yy y

   AC  B  6 * 2  02  12  0
2



Vậy hàm Z không có cực trị tại M (0;0)
Câu 27 : Cho hàm z  x 2  y  ln y  2 Tìm cực trị?
Giải:
/
z    x 2  y  ln y  2  x  2 x
x

/ 1
z    x 2  y  ln y  2  y  1 
y
y
2 x  0
 z  0
 x  x  0
   1   M (0; 1)
zy  0
 1  y  0  y  1

Có 1 điểm dừng M (0; 1)
/
A  z    2 x  x  2
xx
/
B  z    2 x  y  0
xy

/
Đặt :  1 1 1
C  z    1    2 
yy 2
1
 y y y  1
   AC  B 2  2*1  02  2  0
Và A  2  0  M (0;0) là điểm cực tiểu của hàm z
Câu 28 : Cho hàm z  x 6  y 5  cos2 x  32 y Tìm cực trị?
Giải:
/
z    x 6  y 5  cos 2 x  32 y   6 x 5  sin 2 x
x x
/
z    x  y  cos x  32 y   5 y 4  32
y
6 5 2
y

 z  0
 x  5
6 x  sin 2 x  0
  
zy  0
4
 5 y  32  0


 hệ vô nghiệm
Không có điểm dừng. Vậy hàm z không có cực trị
Câu 29 : Cho hàm z  xe y  x 3  2 y 2  4 y Tìm cực trị?
Giải:
/
z    xe y  x3  2 y 2  4 y   e y  3 x 2
x x
/
z    xe y  x3  2 y 2  4 y   xe y  4 y  4
y y
y 2
 z  0
 x 
e  3 x  0 ey
   y  x2  
zy  0
  xe  4 y  4  0
 3
 điều này vô lý  hệ vô nghiệm
Không có điểm dừng. Vậy hàm z không có cực trị
y
Câu 30 : Cho hàm z  2 x 2  4 x  sin y  ,    y    Tìm cực trị?
2
Giải
/
 y
z    2 x 2  4 x  sin y    4 x  4
x
 2 x
/
 y 1
z    2 x 2  4 x  sin y    cos y 
y
 2 y 2
4 x  4  0 x  1
 
 zx  0  
   1  
zy  0
  cos y   0 y  3
 2 

Có 1 điểm dừng M  1;   
 3
/
A  z    4 x  4  x  4
xx
/
B  z    4 x  4  y  0
xy

/
 1  3
Đặt : C  z   cos y  2    sin y   sin 3   2
yy
 y
 3 2
   AC  B 2  4*    0  2 3  0
 2 
 


Vậy hàm z không có cực trị tại M  1; 
 
 3
y2
Câu 31 : Cho hàm z  ln x  x  ln y  Tìm cực trị?
2
Giải:
/
 y2  1
z    ln x  x  ln y     1
x
 2 x x
/
 y2  1
z    ln x  x  ln y     y
y
 2 y y
1
 
 zx  0  1  0
x x  1
   
zy  0
 1  y  0  y  1
y

Có 2 điểm dừng M 1 1;1 ; M 2 1; 1
* Xét điểm M 1 1;1 :
/
1  1 1
A  z     1   2   2  1
xx
x x x 1
/
1 
B  z     1  0
xy
x y
Đặt : /
1  1 1
C  z     y    2  1   2  1  2
yy
y y y 1
   AC  B 2   1 *  2   02  2  0

Và A  1  0  M 1 (1;1) là điểm cực đại của hàm z
Có 2 điểm dừng M 1 1;1 ; M 2 1; 1
* Xét điểm M 2 1; 1 :
/
1  1 1
A  z     1   2   2  1
xx
x x x 1
/
1 
B  z     1  0
xy
x y
Đặt : /
1  1 1
C  z     y    2  1  
yy 2
 1  2
y y y  1
   AC  B 2   1 *  2   0 2  2  0

Và A  1  0  M 2 (1; 1) là điểm cực đại của hàm z
Câu 32 : Cho hàm z  ln  x 2  2 y  với điều kiện x  y  2  0
Giải:
x y20 y  x2
z  ln  x 2  2 x  4 

Đặt z /  2x  2
2
x  2x  4
2x  2 x  1
z/  0  2  0, x 2  2 x  4  0  
x  2x  4  y  1
x  1 

z/  
0
CT
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại điểm M 1; 1
Câu 33 : Cho hàm z  ln 1  x 2 y với điều kiện x  y  3  0
Giải:
x  y 3  0  y  x 3
z  ln 1  x 2  x  3  ln x 3  3 x 2  1

/ 3x2  6 x
z  3
x  3x 2  1
 x  0

/ 3x2  6 x  y  3
z 0 3 2
0 
x  3x  1  x  2
  y  1

x  0.5 0 0.6 2 2.8 
3x2  6 x  0  0 

x 2  3x2  1  0  0  0 


x  0.5 0 0.6 2 2.8 
  0   0  
z
CĐ CĐ



Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm M 1  0; 3 và M 2  2; 1
x3
Câu 33 : Cho hàm z   3x  y với điều kiện  x 2  y  1
3
Giải:
 x2  y  1  y  x 2  1
x3
z  3x  x 2  1
3
z  x2  2 x  3
/


x  1

y  2
z  0  x  2x  3  0  
/ 2
  x  3

  y  10

x  3 1 
z /  0  0 

CT


Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm M 1  3;10  , đạt cực tiểu tại M 2 1; 2 
TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Ngô Thành Phong. Giáo trình toán cao cấp ĐHKHTN 2003
2. Nguyễn Đình Trí và nhiều tác giả khác
3. Trang wed Google.com
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản