Bảng các tích phân cơ bản

Chia sẻ: nguyenngoc010

Ở đây chỉ viết cho hàm y = f(x) còn hàm y = f(u) làm tương tự

Nội dung Text: Bảng các tích phân cơ bản

Bảng các tích phân cơ bản
ở đây chỉ viết cho hàm y = f(x) còn hàm y = f(u) làm tương tự

Hàm Cơ Bản Hàm Hợp
u n +1
x n +1
+u du = n + 1 + C ( n (
+x dx = n + 1 + C
n
n
( n ( -1 ) -1 )


1
1
=u du = ln u + C
=xdx = ln x + C
=eu du = eu + C
=e x dx = e x + C
au
ax
=a du = ln a + C
=a dx = ln a + C
u
x



= u.du = −cosu + C
=sinx.dx = −cosx + C sin

=cosu.du = sin u + C
=cosx.dx = sin x + C
du
� 2u = �+ t an u ) du = tan x + C
(1 2
dx
=cos 2 x = tan x + C cos
du
� u = −�+ cot u ) du = − cot x + C
(1
dx 2

=sin 2 x = − cot x + C 2
sin


Những công thức sau đây muốn sử dụng phải chứng minh:
dx
=sin x = ln tan 2 + C
x
1.

Chưng minh:
x 1 1� x�
t = tan � dt = dx = . �+ tan 2 �
1 dx
2x
Đặt 2 2� 2�
2cos
2
1
dt = . ( 1 + t 2 ) dx
2
Ta có công thức lượng giác sau:
� x�
x x
� �
2sin .cos 2 tan
2t 2 2 2�
� x=
sin x = =
, vi sin
� � x ��
1+ t 2 2 2
2
� x� � x�
sin �+ �os � 1 + �
c tan ��
� �
� 2� � 2� � 2 ��


2dt
( 1 + t 2 ) = dt = ln t + C = ln tan x + C
dx
� x = � 2t � 2
sin t
1+ t2

dx
= ln tan ( 2 + π ) + C
=cosx x
2.
4


Chứng minh:
� π�
Ta có cosx = sin � +
x �
� 2�
Làm tương tự bài trên:
Đặt
� π� � π�
1� �
x 1 x
t = tan � + � dt = dx = . �+ tan 2 � + �dx
� 1 �
x π�
2�
� 4�
2 2� � 4�
2 �
2cos � + �
� 4�
2
1
dt = . ( 1 + t 2 ) dx
2
2dt
( 1 + t 2 ) = dt = ln t + C = ln tan � + π � C
dx x
�x =� � +
� �
2t
cos t 2 4�

1+ t 2
a+x
dx 1
−a 2 − x 2 2a a − x + C ( a
= ln
3. ( 0)

Chứng minh:
dx 1 �1 1�
� − x 2 2a � + x a − x �
= − dx

a2 a
� �
1 �+x�
1 a
= ( ln ( a + x ) − ln ( a − x ) ) = +
ln � �C
2a � − x �
2a a
x−a
dx 1
−x 2 − a 2 2a x + a + C ( a
= ln ( 0)
4.


Chứng minh:
dx 1 �1 1�
� − a 2 2a � − a x + a �
= − dx

2
x x
� �
x−
1
( ln ( x − a ) − ln ( x + a ) ) = 2a ln x + a + C
1
=
2a a


dx
+ = ln x + x 2 + a 2 +a , a
C 0
5.
x +a
2 2




Chứng minh:
Đặt u = x + x2 + a2
� � + x2 + a2 �
� x x
du = �+ d =� �
1 dx
�� 2 �
x2 + a2 � � x +a
2
� �
du dx
=
u x2 + a2
dx
du
�� = � = ln u = ln x + x 2 + a 2 + C
u
x2 + a2
dx
− = ln x + x 2 − a 2 + C , x > a > 0
6.
x2 − a2
Chứng minh:
u = x + x2 − a2
Đặt

� � + x2 − a2 �
� x x
du = �+ d =� �
1 dx
�� 2 �
� x +a � � x −a
2 2 2

du dx
=
u x2 − a2
dx du
�� = � = ln u = ln x + x 2 − a 2 + C
u
x2 − a2

x2 A
+ x 2 + Adx = x + A + ln x + x 2 + A + C
7.
2 2
Chứng minh:
x
u = x 2 + A , dv = dx � du = ,v = x
Đặt
x +A
2


x2
�x + Adx = x x + A − �
2 2
dx
x +A
2




x2 + A − A
= x x + A−+
2
dx
x +A
2




dx
= x x 2 + A − � 2 + Adx + A�
x
x2 + A
2 + x 2 + Adx = x x 2 + A + A ln x + x 2 + A + C
x2 A
+ x 2 + Adx = x + A + ln x + x 2 + A + C
2 2
Các phương pháp tính tích phân:

Phương pháp đổi biến: có hai phương pháp đổi biến
Đổi biến dưới dấu tích phân
u = ϕ ( x)
Cần tính tích phân f f ( x)dx . Giả sử có thể tìm được hàm khả vi

f f ( x)dx
và hàm g(u) sao cho biểu thức dưới dấu tích phân có thể viết
dưới dạng:

�( x)dx = � f ( x)] .ϕ ( x)dx = �u ) du
g[ '
f g(
u =ϕ ( x )


u = ϕ ( x)
Phép biến đổi này thường được gọi là phương pháp đổi biến
u = ϕ ( x) .
dưới dấu tích phân, tức là biến x thay bằng biến mới

u = ϕ ( x)
Nhận xét: Mục đích của phương pháp đổi biến là việc tính

f f ( x)dx được đưa đến tí ch phân gg (u )du , thường đơn giản
tích phân
hơn tích phân ban đầu. Sau này khi lấy tích phân, ta phải thế u = ϕ ( x) vào
kết quả tìm được.

Phương pháp tính tích phân từng phần:
Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [ a ; b ] thì
công thức tính tích phân từng phần sau đây được thỏa mãn.
b b
b
u ( x ) v ( x ) dx = �( x ) v ( x ) � − �( x ) v ( x ) dx

'
u'
u
� �
a
a a
Hay

b b
b
� = u.v −�
udv vdu
a
a a
Giải thích:
dv = v ' dx ,
Ta có:
du = u ' dx

Một sô cách tính hay biến đổi tích phân

Biến đổi lượng giác.
a 2 − x 2 thì đặt x = asint, do đó
Nếu tích phân có chứa căn thức

dx = a cos tdt
a 2 − x 2 = a cos t ,

x 2 + a 2 thì đặt x = atant, do đó
Nếu tích phân có chứa căn thức
a a.dt
x2 + a2 = , dx =
cos 2t
a cos t
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản