Báo cáo nghiên cứu khoa học: "TÍNH TỌA ĐỘ VUÔNG GÓC PHẲNG THEO PHÉP CHIẾU HÌNH TRỤ NGANG GIỮ GÓC DÙNG HÀM SỐ PHỨC"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Halinh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

117
lượt xem 13
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tính đổi tọa độ trắc địa (BL) thành tọa độ vuông góc phẳng (xy) là công việc quan trọng và thường xuyên trong trắc địa. Tọa độ vuông góc phẳng dùng trong trắc địa có ứng dụng rất rộng rãi. Nó xuất hiện ở tất cả các dạng công tác trắc địa công trình, nhất là khâu lập lưới khống chế mặt bằng phục phụ xây dựng công trình công nghiệp và dân dụng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: "TÍNH TỌA ĐỘ VUÔNG GÓC PHẲNG THEO PHÉP CHIẾU HÌNH TRỤ NGANG GIỮ GÓC DÙNG HÀM SỐ PHỨC"

TÍNH TỌA ĐỘ VUÔNG GÓC PHẲNG THEO PHÉP CHIẾU HÌNH TRỤ NGANG GIỮ GÓC DÙNG HÀM SỐ PHỨC KS. DIÊM CÔNG TRANG Viện KHCN Xây dựng KS. VŨ VĂN ĐOÀN Viện Quy hoạch và thiết kế nông nghiệp 1. Đặt vấn đề Tính đổi tọa độ trắc địa (BL) thành t ọa độ vuông góc p hẳng (xy) là công việc quan trọng và thư ờng xuy ên trong tr ắc địa. Tọa độ vuông góc phẳng d ùng trong tr ắc địa có ứng dụng rất rộng r ãi. N ó xuất hiện ở tất cả các dạng công tác trắc địa công tr ình, nhất là khâu lập l ư ới khống chế mặt bằng ph ục phụ xây dựng c ông trình công nghi ệp v à dân d ụng. Vì v ậy, việc nghiên cứu áp dụng các dạng công thức tính đổi tọa độ trắc địa th ành t ọa độ vuông góc phẳng nhằm đạt hiệu suất cao v à đ ảm bảo độ chính xác khi tính đổi là vi ệc làm rất cần thiết. Tất cả các công thức tính t ọa độ vuông góc phẳng theo lư ới chiếu hình tr ụ ngang giữ góc hiện dùng ở nư ớc ta đều đư ợc xây dựng tr ên cơ s ở khai triển hàm s ố mũ của chuỗi Taylor. Các công thức bi ểu diễn bằng hàm m ũ có ư u đi ểm là dễ biểu diễn trực quan, nh ưng bị hạn chế ở điểm khởi tính đ ạo hàm, s ố l ư ợng, số hạng, tốc độ hội tụ cũng nh ư s ố dư của chuỗi và đ ộ chính xác luôn phụ thuộc v ào độ rộng của múi chiếu. Hàm ph ức có rất nhiều điểm mạnh, các công thức d ùng hàm phức khắc phục đư ợc các như ợc điểm kể tr ên và đem l ại hiệu quả cho việc áp d ụng v ào thực tế. Trong báo cáo khoa h ọc xây dựng hệ quy chiếu v à h ệ thống điểm tọa độ quốc gia VN - 2000 c ũng có gi ới thiệu công thức dùng hàm phức nhưng chưa có các bư ớc tính khi tính thuận và tính ngư ợc cụ th ể. Bài báo này gi ới thiệu công thức v à các bư ớc tính c ụ thể để có thể áp dụng vào s ản xuất. 2. Công thức tính Như đã bi ết, phép chiếu Gauss- Kruger là phép chi ếu thỏa m ãn 3 điều kiện: - P hép chi ếu giữ góc; - Sau khi chi ếu kinh tuyến trục là đư ờng thẳng; - Sau khi chiếu kinh tuyến trục có chiều dài không đổi. C ơ s ở toán học để xây dựng các công thức mới dựa v ào các đi ều kiện kể tr ên của phép chiếu. 2.1. Công th ức hàm số phức cho phép chiếu Gauss khi tính thuận Ta bi ết khi nói đến phép chiếu Gauss không thể không b àn đến độ vĩ đương lư ợng q và quan hệ của nó với độ vĩ trắc địa B. Quan hệ này đư ợc biểu diễn qua công thức: 1  e2 1 1  sin B 1 1  e sin B q dB  ln  e ln 2 2 2 1  sin B 2 1  e sin B (1  e sin B) cos B (1)  arctan h (sin B)  e arctan h (e sin B) Nếu đặt w =q+il là cách bi ểu diễn quan hệ giữa độ vĩ đương lư ợng và hiệu độ kinh và đặt z=x+iy là hàm ph ức của tọa độ vuông góc phẳng, trong đó i   1 . Nếu đặt f là một h àm giải tích tùy ý, từ lý luận của h àm phức, ta đư ợc h àm giải tích luôn thỏa mãn điều kiện giữ góc, cho n ên điều kiện (1) của phép c hi ếu Gauss sẽ có công thức toán học nh ư sau: z  x  iy  f (w)  f (q  il ) (2) Từ điều kiện (2) của phép chiếu Gauss, khi l=0 thì y=0 nên hàm (2) chỉ có bộ phận thực là: x  f (q) (3) Từ điều kiện (3) của phép chiếu ta có công thức (3) chính l à công thức tính chiều dài trên cung kinh tuy ến, đó là: B dB x  X ( B)  a (1  e 2 )  3 (1  e 2 sin 2 B) (4) 2 0  a (1  e 2 )(B   sin 2 B   sin 4 B   sin 6 B   sin 8 B  )
Trong công thức trên a là bán tr ục lớn của ellipsoid quy chiếu, các hệ số trong công thức (4) đư ợc tính theo công thức sau: 32 45 4 175 6 11025 8     1  e    e e e 4 64 256 16384      3 15 525 6 2205 8    e2  e4   e e      8 32 1024 4096   15 4 105 6 2205 8        (5) e e e  256 1024 16384     35 6 105 8        e e   3072 4096   315 8   e  131072   R õ ràng là công th ức (1) quy định quan hệ hàm s ố giữa độ vĩ trắc địa và độ vĩ đương lư ợng, nếu như ta triển khai độ vĩ đương lư ợng q t heo hàm s ố phức w =q+il thì độ vĩ ban đầu cũng biến thành hàm ph ức v à gọi nó l à đ ộ vĩ số phức biểu thị bằ ng ệ. C ũng từ công thức (1) sau khi có độ vĩ trắc địa ta có thể viết ra công thức tính ệ như sau:   arcsin tan h w  e arctan h ( e sin  )  (6) N hìn vào công th ức (6) ta thấy, hai vế của nó đều chứa ệ n ên ph ải tính nhích dần. Quá tr ình t ính nhích d ần có thể biểu diễn q ua công th ức sau:  0  arcsin tan h ( w)   (7)  i  arcsin tan h w  e arctan h (e sin  i 1 )  Trong công thức tr ên ệ0 là tr ị ban đầu, ệi-1 và ệi là các giá tr ị tính nhích dần lần thứ (i-1) và l ần thứ i. Vì đ ộ lệch tâm của elipsoid trái đất rất nhỏ cho n ên chuỗi chứa e2 h ội tụ rất nhanh, thư ờng chỉ cầ n tính đ ến lần thứ ba là đạt y êu cầu. Đem độ vĩ số phức tính đ ư ợc thay v ào công thức (4) ta có:  d   z  x  iy  a 1  e 2 3 1  e  2 sin 2  (8) 2 0    a 1  e 2    sin 2   sin 4   sin 6   sin 8   Công thức (6) và công thức (8) dùng để tính phần thuận của phép chiếu Gauss và có thể giải thích như sau: - W q uyết định độ vĩ số phức ệ, đ ộ vĩ số phức ệ l ại quyết định tọa độ vuông góc phẳng, tất cả đều là quan hệ hàm sơ c ấp đơn trị thỏa mãn điều kiện giữ góc nên đã thỏa m ãn đi ều kiện (1) của phép chiếu Gauss. - Khi hiệu độ kinh l=0 bộ phận số h ư y=0; thì công thức (8) quy về công thức (4) và ta có công th ức tính chiều d ài trên cung kinh tuy ến thỏa m ãn đi ều kiện (2) và đi ều kiện (3) của phép c hiếu Gauss. 2.2. Công th ức hàm số phức cho phép chiếu Gauss khi tính ng ược C ông thức tính ngư ợc trên nguyên tắc có thể dựa vào công thức (8) để chứng minh v à liên quan đến việc tính ng ư ợc chiều dài cung kinh tuy ến ra độ vĩ. Ta biết độ vĩ trắc địa có thể t ính theo công th ức: B    a 2 sin 2  a 4 sin 4  a6 sin 6  a8 sin 8 (9) X ( B) Trong đ ó:   (10) a 1  e 2 
3 2 34 213 6 255 8     e e e e 8 16 2048 4096   a2   21 4 21 6 533 8     e e e  a4   8192  256 256 a    ( 11) 151 8  151 6  e e  6  a   6144 4096   8 1097 8   e  131072   Nếu đặt độ vĩ phức của điểm chân đ ư ờng vĩ tuyến l à ỉ , thì ỉ tính theo công thức: x  iy  (12)   a 1  e2  Đem ỉ t hay vào vị trí của ử t rong công thức (10) và lắp vào công th ức (9) ta có công thức tính ệ:     a 2 sin 2  a 4 sin 4  a 6 sin 6  a8 sin 8 (13) Sau khi tìm đư ợc ệ, đem ệ t hay vào (6) và tính đư ợc: w  q  il  arctan hsin    e arctan he sin   (14) Sau khi tìm đư ợc q từ công thức (1) ta giải đư ợc: B  arcsintan hq  e arctan he sin B  ( 15) Vì hai v ế của công thức (15) đều chứa B nên cũng phải tính nhích dần theo công thức sau: B0  arcsin tan h(q )  (16)  Bi  arcsintan h(q  e arctan he sin Bi 1 )  Trong công thức trên B 0 là giá tr ị ban đầu, Bi-1, B i là đ ộ vĩ trắc địa tính đư ợc ở bư ớc thứ i-1 và bư ớc thứ i. Vì e2 là số nhỏ nên chuỗi cũng hội tụ nhanh và cũng chỉ cần tính nhích dần đến lần thứ ba. Có thể coi công thức (12) đến công thức (15) là công thức tính ngư ợc của phép chiếu Gauss. Cũng tiến hành tương tự như trên ta có thể thấy: - C ông th ức (13), (14), (15) cũng l à các hàm giải tích đ ơn trị nên từ z=x+iy đ ến w =q+il cũng là phép chi ếu giữ góc t hõa mãn điều kiện (1) của phép chiếu Gauss. - Khi y=0 công thức (12) có ý nghĩa như công th ức (10), tức là ỉ= ử, công thức (13) khôi phục dạng công thức (9), lúc đó l=0, giải ra đư ợc B là độ vĩ trắc địa tr ên kinh tuy ến trục, thỏa mãn đi ều kiện (2) và (3) của phép chiếu Gauss. 2.3. Dạng hàm phức của công thức tính tỷ lệ chiều dài và góc h ội tụ kinh tuyến T ỷ lệ chiều dài và góc hội tụ kinh tuyến theo ý nghĩa toán học đều l à hàm giải tích ở một điểm nào đó nên có thể lấy đạo h àm. Nếu ta đặt: df ( w) z'  (17) rdw a cos B Trong đó: r  N cos B  (18) 1  e 2 sin 2 B C ông thức (17) có dạng cụ thể h ơn: df (w)d z'  ( 19) rd dw Nếu lấy đạo h àm c ủa công t hức (8) và công th ức (14) ta có công thức:   a 1  e2 df (w)  (20) 3   d 1  e 2 sin 2  2   1  e2 dw  (21) d (1  e 2 sin 2 ) cos  Đem công th ức (18), (20), (21) thay vào công thức (19) ta đư ợc công thức sau: cos  1  e 2 sin 2 B z'  (22) cos B 1  e 2 sin 2  Nếu đem công thức tr ên bi ểu diễn theo hàm lư ợng giác ta có:
cos  1  e 2 sin 2 B z '  mcos   i sin    (23) cos B 1  e 2 sin 2  Từ định nghĩa đạo hàm c ủa hàm phức ta có m là tỷ lệ chiếu, ó là góc độ hội tụ kinh tuyến. Trong công th ức (23) nếu ta cho dấu “ -” sẽ quy định là hư ớng t huận của hàm phức (ngư ợc chiều kim đồng hồ), sẽ ngư ợc với dấu của góc hội tụ kinh tuyến trong phép chiếu Gauss (tính thuận theo chiều kim đồng hồ). Công thức (23) là công thức khép kín giữa tỷ lệ chiếu và góc h ội tụ kinh tuyến cũng có dạng rất gọn. 3. Ví dụ 3.1. Tính theo hàm s ố phức Ta lấy elip quy chiếu l à Krasovxki có: a= 6378245 m ; e 2=0.006693421623; f= 1/ 298.3 Lấy điểm tính có B= 210; l= 20 để tính theo các công thức giới thiệu ở tr ên. 3.1.1. Công thức hàm s ố phức cho phép chiếu Gauss khi tính thu ận Đầu tiên từ độ vĩ trắc địa B ta tìm đư ợc độ vĩ đương lư ợng q:     q  arctan h sin  e arctan h e sin   0.3726 (24) 4 4   Sau đó cùng với hiệu độ kinh l ta tìm đ ư ợc dạng hàm ph ức w:  w  q  il  0.3726  2  i ( 25) 180 C oi e= 0 t ừ công thức (7) ta tính đư ợc trị gần đúng của độ vĩ số phức ệ0:  0  arcsintan h( w)  0.36448  0.032621i (26) Kết quả tính lặp 3 lần nh ư sau:  1  0.3667147  0.03278389i  2  0.3667278  0.03278452i  3  0.36672787  0.03278452i Nếu có tính lặp lần nữa thì ở vị trí số lẻ thứ 10 không có sự thay đổi nên chỉ cần tính l ặp đến lần th ứ 3. Đem kết quả tính đư ợc thay vào công thức (8) ta có: z  2324419.4925419  207975.913763983i( m) (27) Trong công thức 27 phần thực là tung đ ộ, phần ảo l à hoành đ ộ trong tọa độ Gauss. Vậy tọa độ của điểm tính l à: x= 2324419.493; y= 707975.914 3.1.2. Công thức hàm s ố phức cho phép chiếu Gauss khi tính ngư ợc Đầu tiên ta tính đư ợc: x  iy  = 0.365041+0.032662i ( 28)   a 1  e2  T hay (28) vào công thức (13) ta tính đư ợc độ vĩ số phức:     a 2 sin 2  a 4 sin 4  a 6 sin 6  a8 sin 8 = 0.3667279+0.0327845i (29) Đem (29) thay vào (14) ta tính đư ợc độ vĩ số phức: w  q  il = 0.3726127+0.03490659i (30) Phần thực của w là vĩ đ ộ đương lư ợng q, trong công th ức (15) nếu coi e=0 ta đư ợc trị ban đầu của độ vĩ trắc địa B0: B0  arcsintan h(0.3726127) = 0.364278 ( 31) Tiếp tục tính nhích dần ta đư ợc: B 1= 0.3665060521; B 2= 0.3665060521; B 3= 0.3665060521 Do v ậy B=B 3*180/ ∏ =210; l=l*180/ ∏ =20 3.1.3. Tính tỷ lệ chiều dài và góc h ội tụ kinh tuyến Đem độ vĩ số thực và độ vĩ số phức thay vào công thức (22) ta đư ợc đạo h àm c ủa z là z’: cos  1  e 2 sin 2 B z '  mcos   i sin    =1.000456- 0.01252i (32) cos B 1  e 2 sin 2 
Trong đó ph ần modul chính l à tỷ lệ chiếu: m=|z’|=1.00053, phần góc lấy ngư ợc dấu chính là góc hội tụ kinh tuyến: ó = -arg(z’) = 0.71699 So sánh v ới công thức cũ l à: l2 l4 cos 2 B(1  e' 2 cos 2 B )  cos 4 B(5  4 tan 2 B)  1.00053 m  1 (33) 2 24 l    l sin B 1  cos 2 B(1  3e' 2 cos 2 B  2e' 4 B)  0.71699 (34) 3   3.2. Tính theo phần mềm Geotool của Trung tâm thông tin l ưu tr ữ t ư li ệu Địa chính d ùng hàm s ố mũ Tính điểm M1 có: B= 210; l= 20 Parameters: Ellipsoid: KRASOVSKI Project: GAUSS Center meridian: 105 degree 00 minute Z one: 6 degree N ame ID B L x y 1 M1 210000.000 1 070000.000 2 324419.495 7 07975.914 3.3. So sánh kết quả C ông thức tính đổi B L x y 210 00’00’’ 1070 00’00’’ D ùng hàm s ố phức 2324419.493 707975.914 D ùng Geotool 210000.000 1070000.000 2324419.495 707975.914 Sai lệch 0.002 0 Từ bảng so sánh kết quả tính toán ở ví dụ tr ên ta có nh ận xét sau: - D ùng hàm s ố phức khi tính thuận và tín h ngư ợc đều cho ta kết quả giống nh ư tính theo Geotool. - D ùng hàm s ố phức tính nhanh gọn h ơn 4. Kết luận - Công thức tính của phép chiếu Gauss viết dư ới dạng h àm s ố phức có dạng rất gọn, hiệu suất tính cao, nhiều công thức trong một công thức có đ ư ợc hai đại l ư ợng cần tính; - Nếu coi mặt elip là m ặt cầu thì dạng công thức c àng đơn gi ản hơn; - Nếu dùng phép chi ếu UTM thì t ương tự như cách tính c ũ và chỉ cần thay m=1 bằng 0,9996 hoặc 0,9999 ta sẽ có công thức tính tọa độ UTM cho múi 6 0 ho ặc 30. Rất thuận tiện cho các mạng lư ới chuyên dùng ứ ng dụng trong trắc địa công tr ình. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. HOÀNG NG ỌC H À, TRƯƠNG QUANG HI ẾU. C ơ s ở toán học xử lý số liệu trắc địa. Trư ờng Đại học Mỏ - Địa chất, Hà N ội, 1999. 2. PH ẠM HO ÀNG LÂN, NGUY ỄN VĂN CHÂU. Giáo tr ình trắc địa mặt cầu. T rư ờng Đại học Mỏ - Địa chất, H à N ội, 1999. 3. HOÀNG NG ỌC HÀ. Bình sai tính toán lư ới trắc địa v à GBS . Hà N ội, 1998. 4. T ổng cục địa chính, Xây dựng hệ quy chiếu và h ệ toạ độ quốc gia. B áo cáo khoa học, H à N ội, 1999. 5. Phần mềm GeoTools 1.2, Trung tâm thông tin-Lưu trữ tư liệu địa chính, Bộ T ài nguyên và Môi trường.