Bất đẳng thứ Karamata và một số ứng dụng

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

0
53
lượt xem
12
download

Bất đẳng thứ Karamata và một số ứng dụng

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu học tập và luyện thi, nhằm giúp các bạn có cách nhìn toàn diện về kiến thức và kĩ năng cần nắm vững trước khi bước vào kỳ thi với tâm thế vững vàng nhất. Tác giả hi vọng tài liệu này sẽ là tài liệu bổ ích cho các em.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bất đẳng thứ Karamata và một số ứng dụng

  1. B t ð ng Th c Karamata và M t S ng D ng Cao Minh Quang THPT chuyên Nguy n B nh Khiêm, Vĩnh Long 1. L i gi i thi u Jovan Karamata sinh ngày 1 tháng 2 năm 1902 t i Zagreb, Serbia. B t ñ u h c khoa cơ khí t năm 1920, nhưng ñ n năm 1922, ông chuy n ñ n khoa toán ñ h c. T t nghi p năm 1925, ngay l p t c Karamata ñư c nh n làm tr gi ng cho giáo sư Mihailo Petrovic. Ông nh n ñư c h c v ti n sĩ năm 1926, tr thành giáo sư ð i h c Belgrade vào năm 1950. Năm 1951 Karamata r i Belgrade, ñ n gi ng d y t i ð i h c Geneva. Ông s ng và làm vi c ñây ñ n cu i ñ i. Karamata m t ngày 14 tháng 8 năm 1967. B t ñ ng th c Karamata là m t d ng t ng quát c a b t ñ ng th c Jensen. 2. B t ñ ng th c Karamata Trư c h t, ta s ñ nh nghĩa các b tr i. 2.1. ð nh nghĩa. N u x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ xn , y1 ≥ y2 ≥ ... ≥ yn , x1 ≥ y1, x1 + x2 ≥ y1 + y2 , ..., x1 + x2 + ... + xn−1 ≥ y1 + y2 + ... + yn−1 và x1 + x2 + ... + xn = y1 + y2 + ... + yn thì ta nói b ( x1 , x2 ,..., xn ) tr i hơn b ( y1 , y2 ,..., yn ) và ta kí hi u là ( x1, x2 ,..., xn ) ≻( y1, y2 ,..., yn ) hay ( y1, y2 ,..., yn ) ≺( x1, x2 ,..., xn ) . x1 + x2 + .. + xn Hi n nhiên, n u x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ xn thì ( x1 , x2 ,..., xn ) ≻ ( x, x,..., x) , trong ñó x = . n 2.2. B t ñ ng th c Karamata N u hàm s f ( x) là hàm l i trên ño n I = [ a, b] và ( x1, x2 ,..., xn ) ≻( y1, y2 ,..., yn ) v i m i xi , yi ∈ I thì f ( x1 ) + f ( x2 ) + ... + f ( xn ) ≥ f ( y1 ) + f ( y2 ) + ... + f ( yn ) . ð ng th c x y ra khi và ch khi xi = yi , i = 1, 2,..., n . Ta cũng có phát bi u tương t ñ i v i hàm s lõm b ng cách ñ i chi u d u b t ñ ng th c. Ch ng minh. Vì f ( x) là hàm l i nên f ( x) − f ( y) ≥ ( x − y). f '( y), ∀x, y ∈ I . Th t v y: f ( x) − f ( y ) • N u x ≥ y thì = f '(α ) ≥ f '( y ), α ∈ ( y, x) . x− y f ( y ) − f ( x) • N u x ≤ y thì = f '(β ) ≤ f '( y ), β ∈ ( x, y ) . y−x T ñó suy ra f ( xi ) − f ( yi ) ≥ ( xi − yi ). f '( yi ), ∀xi , yi ∈ I , i = 1,2,..., n . Chú ý r ng f '( yi ) ≥ f '( yi +1 ), x1 + x2 + ... + xi ≥ y1 + y2 + ... + yi , i = 1,2,..., n −1 , s d ng khai tri n Abel, ta có n n ∑ f ( xi ) − f ( yi ) ≥ ∑( xi − yi ). f '( yi ) = ( x1 − y1) f '( y1) +( x2 − y2 ) f '( y2 ) + ... +( xn − yn ) f '( yn ) i=1 i=1 = ( x1 − y1 )  f '( y1 ) − f '( y2 ) + ( x1 + x2 − y1 − y2 )  f '( y2 ) − f '( y3 ) + ... +( x1 + x2 +... + xn − y1 − y2 −... − yn )  f '( yn−1) − f '( yn ) +( x1 + x2 +... + xn − y1 − y2 −... − yn ) f '( yn ) ≥ 0 . 1
  2. Do ñó f ( x1 ) + f ( x2 ) + ... + f ( xn ) ≥ f ( y1 ) + f ( y2 ) + ... + f ( yn ) . 2.3. H qu . (B t ñ ng th c Jensen). N u hàm s f ( x) là hàm l i trên ño n I = [ a, b] , thì v i m i xi , ∈ I (i = 1, 2,..., n) , ta có  x + x2 + ... + xn   f ( x1 ) + f ( x2 ) + ... + f ( xn ) ≥ nf  1  .    n  Ch ng minh. Do tính ch t ñ i x ng, không m t tính t ng quát, ta có th gi s x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ xn . x + x2 + .. + xn Khi ñó ta ( x1 , x2 ,..., xn ) ≻ ( x, x,..., x) , trong ñó x = 1 . S d ng b t ñ ng th c Karamata ta n có ngay ñi u c n ch ng minh. ð ng th c x y ra khi và ch khi x1 = x2 = ... = xn . Sau ñây ta s nêu m t s ví d ñ minh h a cho vi c ng d ng c a b t ñ ng th c Karamata. 4. M t s ví d 4.1. Ví d 1. Cho 2n s th c dương ai , bi (i = 1,2,.., n) th a mãn các ñi u ki n sau a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an , b1 ≥ b2 ≥ ... ≥ bn , a1 ≥ b1 , a1a2 ≥ b1b2 ,..., a1a2 ...an ≥ b1b2 ...bn . Ch ng minh r ng a1 + a2 + ... + an ≥ b1 + b2 + ... + bn . L i gi i. ð t xi = ln ai , yi = ln bi ( i = 1, 2,..., n ) . V i các ñi u ki n ñã cho, ta d dàng ki m tra ñư c r ng ( x1, x2 ,..., xn ) ≻( y1, y2 ,..., yn ) . D th y r ng f ( x ) = e x là hàm l i trên ( 0, +∞ ) , do ñó, áp d ng b t ñ ng th c Karamata, ta có e x1 + e x2 + ... + e xn ≥ e y1 + e y2 + ... + e yn hay a1 + a2 + ... + an ≥ b1 + b2 + ... + bn . 4.2. Ví d 2. Cho ABC là tam giác nh n. Ch ng minh r ng 3 1 ≤ cos A + cos B + cos C ≤ . 2 Xác ñ nh khi nào x y ra ñ ng th c? π π π π L i gi i. Không m t tính t ng quát, gi s r ng A ≥ B ≥ C . Khi ñó A ≥ , C ≤ . Vì ≥ A ≥ 3 3 2 3 2π π π  π π π và π ≥ A + B = π − C ≥ nên  , ,0 ≻ ( A, B, C ) ≻  , ,  .  3  2 2     3 3 3      π Xét hàm f ( x) = cos x , d th y f ( x) là hàm lõm th t s trên ño n I =  0,  , do ñó, theo b t ñ ng  2  th c Karamata, ta có π  π π 3 f  +   f   + f (0) ≤ f ( A) + f ( B ) + f (C ) ≤ 3 f   hay 1 ≤ cos A + cos B + cos C ≤ .        2    2   3  2 b t ñ ng th c th nh t, d u ñ ng th c không x y ra (vì hai góc c a tam giác không th cùng vuông). b t ñ ng th c th hai, ñ ng th c x y ra khi và ch khi tam giác ABC ñ u. 4.3. Ví d 3. Cho ABC là tam giác không nh n. Ch ng minh r ng A B C tan + tan + tan ≥ 2 2 − 1 . 2 2 2 L i gi i. Không m t tính t ng quát, gi s A ≥ B ≥ C . Khi ñó, d dàng ki m tra ñư c 2
  3.  A B C  π π π    , , ≻ , , .    2 2 2  4 8 8      π 1 2sin x  π Xét hàm s f ( x ) = tan x, x ∈ 0,  . Ta có f '( x) =  , f ''( x ) = > 0 v i m i x ∈ 0,  .   2   2 cos x 3 cos x  2      π T ñó suy ra f ( x) là hàm s l i trên 0,  . S d ng b t ñ ng th c Karamata, ta nh n ñư c  2     A B C π π π tan + tan + tan ≥ tan + tan + tan = 2 2 − 1 . 2 2 2 4 8 8 π π π ð ng th c x y ra khi và ch khi ( A, B, C ) =  , ,  và các hoán v . 2 4 4     4.4. Ví d 4. Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng 1 1 1 1 1 1 + + ≤ + + . a + b b + c c + a 2a 2b 2c L i gi i. Không m t tính t ng quát, gi s a ≥ b ≥ c . Khi ñó, d dàng ki m tra ñư c (2a,2b,2c) ≻ (a + b, a + c, b + c) . 1 Vì f ( x) = là hàm l i trên kho ng (0,+∞) , nên theo b t ñ ng th c Karamata, ta có x f (2a) + f (2b) + f ( 2c) ≥ f (a + b) + f (a + c ) + f (b + c ) hay 1 1 1 1 1 1 + + ≤ + + . a + b b + c c + a 2a 2b 2c ð ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c . 4.5. Ví d 5. [IMO 2000/2] Cho a, b, c là các s th c dương th a ñi u ki n abc = 1 . Ch ng minh r ng a − 1 + 1 b − 1 + 1 c − 1 + 1  ≤ 1 .           b    c  a x y z L i gi i. Vì abc = 1 nên t n t i các s dương x, y, z sao cho a = , b = , c = . B t ñ ng th c y z x c n ch ng minh tr thành ( x − y + z )( y − z + x)( z − x + y ) ≤ xyz . Ta ñ ý r ng, ( x − y + z ) + ( y − z + x ) = 2 x > 0 , do ñó, trong ba s x − y + z , y − z + x, z − x + y không th có trư ng h p hai s cùng âm. N u trong ba s trên có m t ho c ba s âm, hi n nhi n ta có b t ñ ng th c c n ch ng minh. Trư ng h p c ba s ñ u dương, b ng cách l y logarit hai v , ta có ln ( x − y + z ) + ln ( y − z + x) + ln ( z − x + y ) ≤ ln x + ln y + ln z . Không m t tính t ng quát, gi s x ≥ y ≥ z . Khi ñó, ( y − z + x, x − y + z, z − x + y ) ≻ ( x, y, z ) . Vì f ( x ) = ln x là hàm lõm trên (0,+∞) , do ñó, s d ng b t ñ ng th c Karamata, ta ñư c ln ( y − z + x ) + ln ( x − y + z ) + ln ( z − x + y ) ≤ ln x + ln y + ln z . ð ng th c x y ra khi và ch khi x = y = z hay a = b = c = 1 . 4.6. Ví d 6 Cho a, b là các s th c không âm. Ch ng minh r ng 3
  4. 3 a+ 3 a + 3 b+ 3 b ≤ 3 a+ 3 b + 3 b+ 3 a . L i gi i. Gi s b ≥ a ≥ 0 . Gi a các s x1 = b + 3 b, x2 = b + 3 a, x3 = a + 3 b, x4 = a + 3 a , thì x1 là s l n nh t, x4 là s nh nh t. Vì x1 + x4 = x2 + x3 nên ( x1 , x4 ) ≻ ( x2 , x3 ) ho c ( x1 , x4 ) ≻ ( x3 , x2 ) . D th y f ( x) = 3 x là hàm lõm trên [0,+∞) , do ñó, theo b t ñ ng th c Karamata, ta có 3 f ( x 1 ) + f ( x4 ) ≤ f ( x2 ) + f ( x3 ) hay a+ 3 a + 3 b+ 3 b ≤ 3 a+ 3 b + 3 b+ 3 a . ð ng th c x y ra khi và ch khi a = b . 1 4.7. Ví d 7 Cho −1 ≤ a, b, c ≤ 1, a + b + c = − . Hãy tìm giá tr l n nh t c a bi u th c 2 F = a12 + b12 + c12 . 1 1 1 L i gi i. Không m t tính t ng quát, gi s a ≥ b ≥ c . Khi ñó 1 ≥ a , = 1 − ≥ −c − = a + b . 2 2 2  1  Do ñó 1, − , −1 ≻ (a, b, c) . Vì hàm f ( x) = x12 l i trên [−1,1] , theo b t ñ ng th c Karamata, ta có      2   1 1 a12 + b12 + c12 = f (a ) + f (b) + f (c) ≤ f (1) + f −  + f (−1) = 2 + 12 .    2  2 1 1 ð ng th c x y ra, ch ng h n khi a = 1, b = − , c = −1 . Do ñó giá tr l n nh t c a F là 2 + 12 . 2 2 4.8. Ví d 8 [IMO 1999/2]. Cho x1, x2,..., xn là các s th c không âm, n ≥ 2 . Hãy xác ñ nh h ng s C nh nh t sao cho  n 4 xi x j xi2 ( x2  ) ≤ C ∑ xi  . ∑ + j      1≤i < j ≤n i =1 L i gi i. N u x1 = x2 = ... = 0 thì b t ñ ng th c ñúng v i m i C ≥ 0 . N u có ít nh t m t s xi > 0 , suy ra x1 + x2 + ... + xn > 0 . Vì b t ñ ng th c trên d ng thu n nh t nên ta có th gi s r ng x1 + x2 + ... + xn = 1 . Khi ñó F ( x1 , x2 ,..., xn ) = ∑ xi x j ( xi2 + x 2 ) = j ∑ xi3 x j + ∑ xi x3 j 1≤i < j ≤n 1≤i < j ≤ n 1≤i < j ≤ n n = ∑ x ∑x 3 i j = 3 ∑ x (1− x ) = ∑ f ( x ) , v i i i i f ( x ) = x3 − x 4 . 1≤i ≤ n j ≠i 1≤i ≤n i =1 n Vì v y, ta c n xác ñ nh h ng s C nh nh t sao cho ∑ f (x ) ≤ C , v i i x1 + x2 + ... + xn = 1 , i =1 trong ñó f ( x ) = x3 − x 4 là hàm l i trên [0,1 2] (vì f '( x) = 3x − 4 x3 , f ''( x) = 6 x (1 − 2 x) ). 2 Do tính ñ i x ng, không m t tính t ng quát, gi s x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ xn . Ta s xét các trư ng h p sau. 1 1 1  Trư ng h p 1. ≥ x1 . Khi ñó, d dàng ki m tra ñư c  , ,0,...,0 ≻ ( x1 , x2 ,..., xn ) . S d ng b t    2  2 2  ñ ng th c Karamata, ta có n 1 1 1     ∑ f ( x ) ≤ f  2  + f  2  + f (0) + ... + f (0) = 8 .     i =1 i     4
  5. 1 Trư ng h p 2. ≤ x1 . Ta ki m tra ñư c (1 − x1 ,0,...,0) ≻ ( x2 ,..., xn ) . S d ng b t ñ ng th c 2 Karamata, ta có n n ∑ f ( xi ) = f ( x1 ) + ∑ f ( xi ) ≤ f ( x1 ) + f (1 − x1 ) + f (0) + ... + f (0) = f ( x1 ) + f (1 − x1 ) . i =1 i=2 M t khác, f ( x1 ) + f (1 − x1 ) = ( x13 − x14 ) + (1 − x1 ) − (1 − x1 )  = x1 (1 − x1 )  x12 + (1 − x1 )  3 4 2     2  x + (1 − x1 )   2 = x1 (1 − x1 )  2 x12 + (1 − 2 x1 ) ≤  1     2 1   = 1 .     2    2  8        n 1 1 Do ñó, ∑ f (x ) ≤ 8 . V i y h ng s C nh nh t c n xác ñ nh là 8 . i =1 ð k t th c bài vi t, m i các b n gi i m t s bài t p t luy n. 1. Cho tam giác ABC , ch ng minh r ng A B C 3 a) sin α + sin α + sin α ≥ α v i α < 0 . 2 2 2 2 A B C 3 b) 1 < sin α + sin α + sin α ≤ α v i 1 ≥ α > 0 . 2 2 2 2 α 1+ A B C 3 2 c) cos α + cosα + cosα ≥ α v i α < 0 . 2 2 2 2 α 1+ A B C 3 2 d) 2 < cosα + cosα + cosα ≤ α v i 0 < α ≤ 1 . 2 2 2 2 2. Cho a1, a2 ,..., an là các s th c dương. Ch ng minh r ng  a 2  a2   a2  (1 + a1 )(1 + a2 )...(1 + an ) ≤ 1 + 1 1 + 2 ...1 + n  .              a2    a3    a1  3. [APMO 1996] Cho tam giác ABC . Ch ng minh r ng a +b−c + b + c −a + c + a −b ≤ a + b + c .  π π 4. Cho x1 , x2 ,..., xn ∈ − ,  . Ch ng minh r ng  6 6  cos (2 x1 − x2 ) + cos ( 2 x2 − x3 ) + ... + cos ( 2 xn − x1 ) ≤ cos x1 + cos x2 + ... + cos xn . Tài li u tham kh o [1]. Aleksandar Nikolic, Jovan Karamata (1902 – 1967). [2]. Hojoo Lee, Topics in Inequalities – Theorems and Techniques, 2007. [3]. Kin Y. Li, Majorization Inequality, Mathematical Excalibur, Vol.5, No.5, 11/2000. [4]. Nguy n Văn Nho, Olympic Toán h c Châu Á Thái Bình Dương, NXB Giáo D c, 2003. [5]. Nguy n H u ði n, Gi i toán b ng phương pháp ð i Lư ng B t Bi n, NXB Giáo D c, 2004. [6]. Ph m Kim Hùng, Sáng t o B t ð ng Th c, NXB Tri Th c, 2006. 5
Đồng bộ tài khoản