Bất đẳng thức

Chia sẻ: phuocnv93

Trong toán học, một bất đẳng thức (tiếng Anh:Inequality) là một phát biểu về quan hệ thứ tự giữa hai đối tượng. (Xem thêm: đẳng thức) • Ký hiệu • Ký hiệu có nghĩa là a nhỏ hơn b và có nghĩa là a lớn hơn b.

Nội dung Text: Bất đẳng thức

Bất đẳng thức 1



Bất đẳng thức
Trong toán học, một bất đẳng thức (tiếng
Anh:Inequality) là một phát biểu về quan hệ thứ tự giữa
hai đối tượng. (Xem thêm: đẳng thức)
• Ký hiệu có nghĩa là a nhỏ hơn b và
• Ký hiệu có nghĩa là a lớn hơn b.
Những quan hệ nói trên được gọi là bất đẳng thức
nghiêm ngặt; ngoài ra ta còn có
• có nghĩa là a nhỏ hơn hoặc bằng b và
• có nghĩa là a lớn hơn hoặc bằng b.
Người ta còn dùng một ký hiệu khác để chỉ ra rằng một
đại lượng lớn hơn rất nhiều so với một đại lượng khác.
• Ký hiệu a >> b có nghĩa là a lớn hơn b rất nhiều.
Các ký hiệu a, b ở hai vế của một bất đẳng thức có thể
Miền chấp nhận được (feasible region) của một bài toán quy hoạch
là các biểu thức của các biến. Sau đây ta chỉ xét các bất
tuyến tính được xác định bởi một tập các bất đẳng thức
đẳng thức với các biến nhận giá trị trên tập số thực hoặc
các tập con của nó.
Nếu một bất đẳng thức đúng với mọi giá trị của tất cả các biến có mặt trong bất đẳng thức, thì bất đẳng thức này
được gọi là bất đẳng thức tuyệt đối hay không điều kiện. Nếu một bất đẳng thức chỉ đúng với một số giá trị nào đó
của các biến, với các giá trị khác thì nó bị đổi chiều hay không còn đúng nữa thì nó được goị là một bất đẳng thức có
điều kiện. Một bất đẳng thức đúng vẫn còn đúng nếu cả hai vế của nó được thêm vào hoặc bớt đi cùng một giá trị,
hay nếu cả hai vế của nó được nhân hay chia với cùng một số dương. Một bất đẳng thức sẽ bị đảo chiều nếu cả hai
vế của nó được nhân hay chia bởi một số âm.

Hai bài toán thường gặp trên các bất đẳng thức là
1. Chứng minh bất đẳng thức đúng với trị giá trị của các biến thuộc một tập hợp cho trước, đó là bài toán chứng
minh bất đẳng thức.
2. Tìm tập các giá trị của các biến để bất đẳng thức đúng. Đó là bài toán giải bất phương trình.
3. Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của một biểu thức một hay nhiều biến.


Các tính chất
Bất đẳng thức có các tính chất sau:


Tính chất bắc cầu
Tính chất bắc cầu của bất đẳng thức được phát biểu như sau:
• Với mọi số thực a, b,c:
• Nếu a > b và b > c thì a > c
• Nếu a < b và b < c thì a < c
Bất đẳng thức 2


Tính chất liên quan đến phép cộng và phép trừ
Tính chất liên quan đến phép cộng và phép trừ được phát biểu như sau:
Phép cộng và phép trừ với cùng một số thực bảo toàn quan hệ thứ tự trên tập số thực. Nghĩa là
• Với mọi số thực a, b và c:
• Nếu a > b thì a + c > b + c và a - c > b - c
• Nếu a < b thì a + c < b + c và a - c < b - c


Tính chất liên quan đến phép nhân và phép chia
Tính chất liên quan đến phép nhân và phép chia được phát biểu như sau:
Phép nhân (hoặc chia) với một số thực dương bảo toàn quan hệ thứ tự trên tập số thực, phép nhân (hoặc
chía)với một số thực âm đảo ngược quan hệ thứ tự trên tập số thực. Cụ thể:
• Với mọi số thực a, b và c:
• Nếu c là một số dương và a > b thì a × c > b × c và a/c > b/c
• Nếu c là một số dương và a < b thì a × c < b × c và a/c < b/c
• Nếu c là một số âm và a > b thì a × c < b × c và a/c < b/c
• Nếu c là một số âm và a < b thì a × c > b × c và a/c > b/c


Áp dụng một hàm đơn điệu vào hai vế của một bất đẳng thức
Từ định nghĩa của các hàm đơn điệu (tăng hoặc giảm) ta có thể đưa hai vế của một bất đẳng thức trở thành biến của
một hàm đơn điệu tăng nghiêm ngặt mà bất đẳng thức kết quả vẫn đúng. Ngược lại nếu ta áp vào hai vế của một bất
đẳng thức dạng hàm đơn điệu giảm nghiêm ngặt thì lúc ấy ta phải đảo chiều bất đẳng thức ban đầu để được bất đẳng
thức đúng.
Điều đó có nghĩa là:
1. Nếu có bất đẳng thức không nghiêm ngặt a ≤ b (hoặc a ≥b) và
1. f(x) là hàm đơn điệu tăng thì f(a) ≤ f(b) (hoặc f(a)≥f(b)) (không đảo chiều)
2. f(x) là hàm đơn điệu giảm thì f(a) ≥ f(b) (hoặc f(a)≤f(b))(đảo chiều)
2. Nếu có bất đẳng thức nghiêm ngặt a < b (hoặc a > b) và
1. f(x) là hàm đơn điệu tăng nghiêm ngặt thì f(a) < f(b) (hoặc f(a)>f(b)) (không đảo chiều)
2. f(x) là hàm đơn điệu giảm nghiêm ngặt thì f(a) > f(b) (hoặc f(a) 3. Cũng có một mẹo
khác là, đại lượng lớn hơn chỉ tay về phía đại lượng nhỏ hơn và nói "ha...ha, tôi lớn hơn bạn".


Tham khảo
• Hardy, G., Littlewood J.E., Polya, G. (1999). Inequalities. Cambridge Mathematical Library, Cambridge
University Press. ISBN 0521052068.
• Beckenbach, E.F., Bellman, R. (1975). Introduction to Inequalities. Random House Inc. ISBN 0394015592.
• Drachman, Byron C., Cloud, Michael J. (1998). Inequalities: With Applications to Engineering. Springer-Verlag.
ISBN 0387984046.
Nguồn và người đóng góp vào bài 4



Nguồn và người đóng góp vào bài
Bất đẳng thức  Nguồn: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?oldid=3724258  Người đóng góp: Ctmt, Cuongdtvtbkhn, Mekong Bluesman, NGO DUC HOANG, Nguyenthephuc, Nguyễn Hữu
Dung, The soul of rock, 13 sửa đổi vô danh




Nguồn, giấy phép, và người đóng góp vào hình
Tập tin:Linear programming example graph.png  Nguồn: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tập_tin:Linear_programming_example_graph.png  Giấy phép: không rõ  Người đóng góp:
Conscious, Inductiveload, Kilom691, Maksim, Martynas Patasius, Sdo, Shizhao, Skies, 2 sửa đổi vô danh




Giấy phép
Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported
http:/ / creativecommons. org/ licenses/ by-sa/ 3. 0/

Top Download

Xem thêm »

Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản